压缩与弯曲的组合变形
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组合变形
Iy
32.2 MPa t
40.2 MPa c
※立柱不满足强度要求
例3：图示矩形截面钢杆,用应变片测得上下表面的 轴向正应变分别为a=1×10-3，b=0.4×10-3,材料的 弹性模量E=210GPa.(1)试绘制横截面上的正应力 分布图；(2)求拉力P及偏心距。 a P P a 25 b 5
S
F
M
a
C
y
1
F
1
Mz Wz
例1 工字梁两端简支，载 荷P=60KN ，若材料 的[σ]=160MPa，试选 择工字钢型号
解：1.分解载荷
Py P s in 2 0 .5 2 K N P Pz P c o s 5 6 .3 8 K N
弯曲(xoy平面) 弯曲(xoz平面)
5 6 .3 8 kN m
C
z
E
例5：短柱的形心为矩形，尺寸为bh，试确定截 面核心 若中性轴与AB边重合： z 中性轴在坐标轴的截距：
A
b B
D a h/6 h C
i
yP
2 z
2 z
ay
h 2
, az
ya y
IZ A
i
2 z
yP
，a z
bh
3
i
2 y
zP
2
12 2 bh 12 h
11.6
A
3
FN
M max WZ
0.2 0.3
FN A
(5.83 5.83) 11.66 MPa
350 10 0.2
2 3
8.75
350 50 6 0.2 0.3
32.2 MPa t
40.2 MPa c
※立柱不满足强度要求
例3：图示矩形截面钢杆,用应变片测得上下表面的 轴向正应变分别为a=1×10-3，b=0.4×10-3,材料的 弹性模量E=210GPa.(1)试绘制横截面上的正应力 分布图；(2)求拉力P及偏心距。 a P P a 25 b 5
S
F
M
a
C
y
1
F
1
Mz Wz
例1 工字梁两端简支，载 荷P=60KN ，若材料 的[σ]=160MPa，试选 择工字钢型号
解：1.分解载荷
Py P s in 2 0 .5 2 K N P Pz P c o s 5 6 .3 8 K N
弯曲(xoy平面) 弯曲(xoz平面)
5 6 .3 8 kN m
C
z
E
例5：短柱的形心为矩形，尺寸为bh，试确定截 面核心 若中性轴与AB边重合： z 中性轴在坐标轴的截距：
A
b B
D a h/6 h C
i
yP
2 z
2 z
ay
h 2
, az
ya y
IZ A
i
2 z
yP
，a z
bh
3
i
2 y
zP
2
12 2 bh 12 h
11.6
A
3
FN
M max WZ
0.2 0.3
FN A
(5.83 5.83) 11.66 MPa
350 10 0.2
2 3
8.75
350 50 6 0.2 0.3
材料力学组合变形
第八章 组合变形
组合变形和叠加原理 拉伸或压缩与弯曲旳组合 扭转与弯曲旳组合
目录
§8-1 组合变形和叠加原理
一、组合变形旳概念
构件在荷载作用下发生两种或两种以上旳基本变形,则构件 旳变形称为组合变形.
l 基本变形 u 拉伸、压缩
u 剪切
u 扭转
u 弯曲
二、处理组合变形问题旳基本措施－叠加法
叠加原理旳成立要求:内力、应力、应变、变形等与外力之 间成线性关系.
M A(F) 0
F 42 kN
H 40 kN, V 12.8 kN
l 内力图 l 危险截面
C 截面
M C 12 kNm, N 40 kN
l 设计截面旳一般环节
u 先根据弯曲正应力选择工字钢型号； u 再按组合变形旳最大正应力校核强度，必要时选择大一号或 大二号旳工字钢； u 若剪力较大时，还需校核剪切强度。
按第四强度理论
Qy My T
r4
1 W
Mz Qz
M 2 0.75T 2 47.4 MPa [ ]
(3) 曲柄旳强度计算
l 危险截面 III-III截面
l 计算内力 u 取下半部分
Qx Qz
N R2 C1 13 kN Mx m H2 d /2
765 Nm
M z R2 (a b / 2) 660 Nm
横截面上任意一点 （ z, y） 处旳正应 力计算公式为
1.拉伸正应力
FN
A
2.弯曲正应力
Mz y
Iz
FN Mz y
A Iz
( z,y)
Mz
z
O
x
FN
y
3.危险截面旳拟定
作内力图
F1
轴力
组合变形和叠加原理 拉伸或压缩与弯曲旳组合 扭转与弯曲旳组合
目录
§8-1 组合变形和叠加原理
一、组合变形旳概念
构件在荷载作用下发生两种或两种以上旳基本变形,则构件 旳变形称为组合变形.
l 基本变形 u 拉伸、压缩
u 剪切
u 扭转
u 弯曲
二、处理组合变形问题旳基本措施－叠加法
叠加原理旳成立要求:内力、应力、应变、变形等与外力之 间成线性关系.
M A(F) 0
F 42 kN
H 40 kN, V 12.8 kN
l 内力图 l 危险截面
C 截面
M C 12 kNm, N 40 kN
l 设计截面旳一般环节
u 先根据弯曲正应力选择工字钢型号； u 再按组合变形旳最大正应力校核强度，必要时选择大一号或 大二号旳工字钢； u 若剪力较大时，还需校核剪切强度。
按第四强度理论
Qy My T
r4
1 W
Mz Qz
M 2 0.75T 2 47.4 MPa [ ]
(3) 曲柄旳强度计算
l 危险截面 III-III截面
l 计算内力 u 取下半部分
Qx Qz
N R2 C1 13 kN Mx m H2 d /2
765 Nm
M z R2 (a b / 2) 660 Nm
横截面上任意一点 （ z, y） 处旳正应 力计算公式为
1.拉伸正应力
FN
A
2.弯曲正应力
Mz y
Iz
FN Mz y
A Iz
( z,y)
Mz
z
O
x
FN
y
3.危险截面旳拟定
作内力图
F1
轴力
建筑力学专业习题集
东北农业大学网络教育学院建筑力学作业题（一）一、单项选择题（将正确答案字母序号填入括号里，每小题1分，共5分）1、平面力系向点1简化时，主矢F R ＝0，主矩M 1≠0，如将该力系向另一点2简化，则（ ）。
A ：F R ≠0，M 2≠0；B ：F R ＝0，M 2≠M 1；C ：F R ＝0，M 2＝M 1；D ：F R ≠0，M 2＝M 1。
2. 大小相等的四个力，作用在同一平面上且力的作用线交于一点C ，试比较四个力对平面上点O 的力矩，哪个力对O 点之矩最大（ ）A ．力P 1B ．力P 2C ．力P 3D ．力P 4 3. 两端铰支的等直压杆，其横截面如图所示。
试问压杆失稳时，压杆将绕横截面上哪一根轴转动？( ) Py 1Z 1yZA. Z 轴B. Y 轴C. Z 1轴D. Y 1轴4. 如图所示矩形截面，判断与形心轴z 平行的各轴中，截面对哪根轴的惯性距最小以下结论哪个正确？（ ）A. 截面对Z 1 轴的惯性矩最小B. 截面对Z 2 轴的惯性矩最小C. 截面对与Z 轴距离最远的轴之惯性矩最小D. 截面对Z 轴惯性矩最小5. 指出以下应力分布图中哪些是正确的（ ）• ·C P 1 P 2 P 3A. 图(a)(b) 正确B. 图(b)(c) 正确C. 图(c)(d) 正确D. 图(b) (d) 正确二、判断题（每小题1分，共5分）1. 作用在一个物体上有三个力，当这三个力的作用线汇交于一点时，此力系必然平衡。
（ ）2. 一空间力系，若各力作用线平行某一固定平面，则其独立的平衡方程只有3个。
（ ）3. 压缩与弯曲的组合变形，在进行强度计算时，如考虑附加弯矩的影响，结果是偏于安全的。
（ ）4. 下图为几何不变体系且无多余约束。
（ ）5. 矩形截面梁受横向力作用而弯曲时，其横截面上最大剪应力的大小是平均剪应力的3倍。
（ ）三、填空题（每空1分；共15分。
）1. 横截面面积A=10cm 2的拉杆，P=40KN ，当α=60°斜面上的σ = ，σα= ，τα= 。
拉伸(压缩)与弯曲的组合变形
拉伸（压缩）与弯曲 的组合变形
受力特点：
作用在杆件上的外力既有轴向拉( 压 )力,还有横向力
变形特点：
杆件将发生拉伸 （压缩 ）与弯曲组合变形
示例1 F1 产生弯曲变形
F2
F1
F2
F2 产生拉伸变形
示例2
Fy 产生弯曲变形 Fx 产生拉伸变形
Fy
F
Fx
以上图悬臂梁为例，说明拉（压）与弯曲组合时的 正应力及其强度计算。
160.96 MPa [] 170 MPa
练习：校核横梁AB的强度
25a号工字钢
1、外力分析（求支座反力）
FBC
B
30
F
A FAx
FAy
30
M A (F ) 0 24 2 FBC sin 30 4 0 FBC 24kN
Fy 0 Fx 0
FBC sin 30 F FAy 0 FAy 12kN
+
=
N
M
FN A
M Iz
y
4、强度条件
（1）危险截面： 根据内力图确定 综合可知，固定端最危险。
（2）危险点：根据截面的应力分布确定 在截面的最上边缘。
固定端横截面最上边缘的应力
max
FN A
M max Wz
≤[ ]
强度条件
4、强度条件
max
FN A
M max Wz
≤[ ]
当材料的许用拉应力和许用压应力不相等时， 应分别建立杆件的抗拉和抗压强度条件.
FBC cos 30 FAx 0
FAx 12 3kN
2、内力分析
24
B
30
24
A 12 3 12
B
A
FBCy
受力特点：
作用在杆件上的外力既有轴向拉( 压 )力,还有横向力
变形特点：
杆件将发生拉伸 （压缩 ）与弯曲组合变形
示例1 F1 产生弯曲变形
F2
F1
F2
F2 产生拉伸变形
示例2
Fy 产生弯曲变形 Fx 产生拉伸变形
Fy
F
Fx
以上图悬臂梁为例，说明拉（压）与弯曲组合时的 正应力及其强度计算。
160.96 MPa [] 170 MPa
练习：校核横梁AB的强度
25a号工字钢
1、外力分析（求支座反力）
FBC
B
30
F
A FAx
FAy
30
M A (F ) 0 24 2 FBC sin 30 4 0 FBC 24kN
Fy 0 Fx 0
FBC sin 30 F FAy 0 FAy 12kN
+
=
N
M
FN A
M Iz
y
4、强度条件
（1）危险截面： 根据内力图确定 综合可知，固定端最危险。
（2）危险点：根据截面的应力分布确定 在截面的最上边缘。
固定端横截面最上边缘的应力
max
FN A
M max Wz
≤[ ]
强度条件
4、强度条件
max
FN A
M max Wz
≤[ ]
当材料的许用拉应力和许用压应力不相等时， 应分别建立杆件的抗拉和抗压强度条件.
FBC cos 30 FAx 0
FAx 12 3kN
2、内力分析
24
B
30
24
A 12 3 12
B
A
FBCy
简述几种工程中常见的组合变形
简述几种工程中常见的组合变形
在工程中，组合变形是指由多个形式不同的变形组合而成的变形形式，常见的组合变形有以下几种：
1. 弯曲和剪切组合变形：当物体同时受到弯曲和剪切的变形时，会出现这种组合变形形式。
在制造和使用过程中，这种变形会导致物体的强度和刚度下降。
2. 拉伸和压缩组合变形：当物体同时受到拉伸和压缩的变形时，会出现这种组合变形形式。
这种变形会影响物体的强度和刚度，严重时会导致物体的破坏。
3. 扭曲和弯曲组合变形：当物体同时受到扭曲和弯曲的变形时，会出现这种组合变形形式。
这种变形会影响物体的形状和尺寸，严重时还会影响物体的使用功能。
4. 压缩和剪切组合变形：当物体同时受到压缩和剪切的变形时，会出现这种组合变形形式。
这种变形会影响物体的强度和刚度，严重时还会导致物体的破坏。
以上是几种工程中常见的组合变形，工程师需要对这些组合变形进行分析和评估，以保证工程设计的可靠性和安全性。
- 1 -。
简述杆件变形的四种基本形式
简述杆件变形的四种基本形式杆件变形是指在外力作用下，杆件的长度、形状或尺寸发生改变的现象。
在工程学中，杆件变形是一个重要的研究内容，主要用于结构分析、设计和优化。
杆件变形的四种基本形式可以分为以下几类：1.延伸变形：延伸变形是指杆件在受到拉力作用时，其长度发生变化的形式。
在受到拉力作用时，杆件会发生“伸长”的现象。
延伸变形可以通过胡克定律来描述，即拉力与伸长量成正比。
具体而言，如果拉力作用于杆件上，则杆件产生的伸长量与拉力的比例为常数，该比例常数称为弹性模量。
延伸变形的产生原因主要有杆件被拉伸、受到温度变化引起的热应变和径向引力等。
2.压缩变形：压缩变形是指杆件在受到压力作用时，其长度发生变化的形式。
与延伸变形类似，杆件在受到压力作用时会发生“缩短”的现象。
压缩变形可以通过胡克定律来描述，即压力与压缩量成正比。
压缩变形的原因主要有杆件被压缩、受到温度变化引起的热应变和径向引力等。
3.弯曲变形：弯曲变形是指杆件在受到弯矩作用时，沿长度方向发生弯曲的形式。
当外力作用在杆件的中部时，中部会发生弯矩，使得杆件在这一区域产生弯曲变形。
弯曲变形可以通过伯努利梁理论来描述，该理论基于假设杆件在变形过程中横截面的变形很小，可以近似为平面内曲线的弯曲变形。
弯曲变形的产生原因主要有集中载荷、均匀分布载荷和温度变化引起的热应变等。
4.扭转变形：扭转变形是指杆件在受到扭矩作用时，沿长度方向发生扭转的形式。
当外力作用在杆件的两端时，两端产生扭矩，使得杆件在这一区域产生扭转变形。
扭转变形可以通过剪切应力与剪切变形之间的关系来描述。
扭转变形的产生原因主要有转矩、剪切力和温度变化引起的热应变等。
除了以上四种基本形式外，杆件还可能发生复杂的组合变形，如弯曲-延伸变形、扭转-延伸变形等。
不同形式的杆件变形在工程设计中都需要进行准确的分析与计算，以确保结构的稳定性和安全性。
山东大学850材料力学17-20年真题
的切应变分别是_______。
850-材料力学
一、考试性质 《材料力学》是工程力学、固体力学、结构工程、岩土工程硕士（MPAcc）专业学位研
究生入学统一考试的科目之一。《材料力学》考试要力求反映上述专业学位的特点，科学、 公平、准确、规范地测评考生的基本素质和综合能力，以利用选拔具有发展潜力的优秀人才 入学，为国家的经济建设培养具有良好职业道德、具有较强分析与解决实际问题能力的高层 次、应用型、复合型的会计专业人才。
八、能量法 1. 卡氏定理 1） 卡氏定理的概念 2） 卡氏定理求结构位移 2. 单位载荷法（莫尔定理） 1） 单位载荷法的概念 2） 单位载荷法求结构位移（包括梁、刚架、桁架、曲杆）
4
九、 超静定结构 1. 超静定结构基本概念 1） 超静定次数的判定 2） 多余约束的概念 3） 基本静定系的概念 2. 用力法解超静定结构 1） 力法的概念 2） 用力法解超静定结构的过程 3） 解高次超静定结构的力法正则方程 3. 对称与反对称性质的利用 1） 对称结构上的对称载荷问题 2） 对称结构上的反对称载荷问题
二、考试要求 测试考生对于与材料力学相关的基本概念、基础知识的掌握情况以及分析问题和解决问
题的能力。
三、考试内容 一、基本概念 1. 材料力学的任务 2. 内力、应力、应变的概念 3. 杆件变形的基本形式 二、杆件的内力 1. 杆件内力的一般描述 截面法 1） 轴力、剪力、扭矩和弯矩的概念 2） 截面法求杆的内力 2. 轴力与轴力图 1） 杆件轴向拉伸与压缩的概念 2） 截面法求杆的轴力 3） 轴力图画法 3. 扭矩与扭矩图 1） 扭转的概念 2） 外力偶矩与输出功率、传动轴的转速间的关系 3） 截面法求轴的扭矩 4） 扭矩图的画法 4. 弯曲内力与弯矩图 1） 平面弯曲的概念 2） 弯曲内力的概念 3） 截面法求杆件的剪力与弯矩
850-材料力学
一、考试性质 《材料力学》是工程力学、固体力学、结构工程、岩土工程硕士（MPAcc）专业学位研
究生入学统一考试的科目之一。《材料力学》考试要力求反映上述专业学位的特点，科学、 公平、准确、规范地测评考生的基本素质和综合能力，以利用选拔具有发展潜力的优秀人才 入学，为国家的经济建设培养具有良好职业道德、具有较强分析与解决实际问题能力的高层 次、应用型、复合型的会计专业人才。
八、能量法 1. 卡氏定理 1） 卡氏定理的概念 2） 卡氏定理求结构位移 2. 单位载荷法（莫尔定理） 1） 单位载荷法的概念 2） 单位载荷法求结构位移（包括梁、刚架、桁架、曲杆）
4
九、 超静定结构 1. 超静定结构基本概念 1） 超静定次数的判定 2） 多余约束的概念 3） 基本静定系的概念 2. 用力法解超静定结构 1） 力法的概念 2） 用力法解超静定结构的过程 3） 解高次超静定结构的力法正则方程 3. 对称与反对称性质的利用 1） 对称结构上的对称载荷问题 2） 对称结构上的反对称载荷问题
二、考试要求 测试考生对于与材料力学相关的基本概念、基础知识的掌握情况以及分析问题和解决问
题的能力。
三、考试内容 一、基本概念 1. 材料力学的任务 2. 内力、应力、应变的概念 3. 杆件变形的基本形式 二、杆件的内力 1. 杆件内力的一般描述 截面法 1） 轴力、剪力、扭矩和弯矩的概念 2） 截面法求杆的内力 2. 轴力与轴力图 1） 杆件轴向拉伸与压缩的概念 2） 截面法求杆的轴力 3） 轴力图画法 3. 扭矩与扭矩图 1） 扭转的概念 2） 外力偶矩与输出功率、传动轴的转速间的关系 3） 截面法求轴的扭矩 4） 扭矩图的画法 4. 弯曲内力与弯矩图 1） 平面弯曲的概念 2） 弯曲内力的概念 3） 截面法求杆件的剪力与弯矩
材料力学组合变形答案
材料力学组合变形答案【篇一：材料力学组合变形及连接部分计算答案】，试求危险截面上的最大正应力。
解：危险截面在固定端m，，==返回8-2 受集度为的均布荷载作用的矩形截面简支梁，其荷载作用面与梁的纵向对称面间的夹角为梁的尺寸为m，，如图所示。
已知该梁材料的弹性模量mm，mm；许用应力；；许可挠度。
试校核梁的强度和刚度。
解：=，强度安全，==返回刚度安全。
8-3(8-5) 图示一悬臂滑车架，杆ab为18号工字钢，其长度为m。
试求当荷载作用在ab的中点d处时，杆内的最大正应力。
设工字钢的自重可略去不计。
解：18号工字钢，，ab杆系弯压组合变形。
，，====返回8-4(8-6) 砖砌烟囱高重kn，受m，底截面m-m的外径的风力作用。
试求：m，内径m，自（1）烟囱底截面上的最大压应力；（2）若烟囱的基础埋深许用压应力m，基础及填土自重按，圆形基础的直径d应为多大？计算，土壤的注：计算风力时，可略去烟囱直径的变化，把它看作是等截面的。
解：烟囱底截面上的最大压应力：=土壤上的最大压应力=：即即解得：返回m8-5(8-8) 试求图示杆内的最大正应力。
力f与杆的轴线平行。
解：固定端为危险截面，其中：轴力，弯矩，，z为形心主轴。
=a点拉应力最大==b点压应力最大==因此返回8-6(8-9) 有一座高为1.2m、厚为0.3m的混凝土墙，浇筑于牢固的基础上，用作挡水用的小坝。
试求：（1）当水位达到墙顶时墙底处的最大拉应力和最大压应力（设混凝土的密度为）；（2）如果要求混凝土中没有拉应力，试问最大许可水深h为多大？解：以单位宽度的水坝计算：水压：混凝土对墙底的压力为：墙坝的弯曲截面系数：墙坝的截面面积：墙底处的最大拉应力为：【篇二：材料力学b试题8组合变形】心压缩杆，截面的中性轴与外力作用点位于截面形心的两侧，则外力作用点到形心的距离e和中性轴到形心的距离d之间的关系有四种答案： (a)e?d；(b) e?d；(c) e越小，d越大； (d) e越大，d越大。
《建筑力学》课件 第七章
【例 7-3】 图（a）中 20 号工字钢悬臂梁承受均布荷载 q 和 集 中 力 F qa / 2 ， 已 知 钢 的 许 用弯 曲 正 应力 [ ] 160 MPa ， a 1 m 。试求梁的许可荷载集度 [q] 。
【解】 ① 将集中力沿两主轴分解。
Fy F cos 40 0.383qa
引起的正应力叠加，得最大应力 max 为
max
m ax
max
M z max ymax Iz
M y max zmax Iy
M z max Wz
M y max Wy
（a） （d） （g）
（b） （e）
（c）
图7-4
（f）
（h）
（i）
若材料的抗拉和抗压强度相等，则斜弯曲梁的强度条件可表示为
max
3．应力分析
根据危险截面上的内力值，分析危险截面上的应力分布，确 定危险点所在位置，并求出危险截面上危险点处的应力值。
4．强度分析 根据危险点的应力状态和杆件的材料强度理论进行强度计
算。
第二节 拉伸（压缩）与弯曲的组合变形
等直杆在横向力和轴向力共同作用下，杆件将发生弯曲与拉伸（压 缩）组合变形。图中的烟囱在横向力水平风力和轴向力自重作用下产生 的就是压缩与弯曲的组合变形。对于弯曲刚度EI较大的杆件，由于横向 力引起的挠度与横截面尺寸相比很小，因此，由轴向力引起的附加弯矩 可以忽略不计。于是，可分别计算由横向力和轴向力引起的杆件截面上 的弯曲正应力和拉压正应力，然后按叠加原理求其代数和，即得到杆件 在拉伸（压缩）和弯曲组合变形下横截面上的正应力。
一、双向偏心压缩（拉伸）的强度计算
在偏心压缩（或拉伸）中，当外力F的作用线与柱轴线平 行，但只通过横截面其中一根形心主轴时，称为单向偏心压缩 （拉伸）；当外力F的作用线与柱轴线平行，但不通过横截面 任何一根形心主轴时，称为双向偏心压缩（拉伸）。下面以双 向偏心压缩（拉伸）为例进行强度计算。
《材料力学》第八章组合变形
解 (1)外力分析，确定变形类型—拉弯组合；
（2）内力分析，确定危险截面—整个轴；
M=600(kN·cm) FN=15(kN)
(3)应力计算，确定危险点—ａ、b点；
P产生拉伸正应力： t
FN AFNd 2源自4FNd 24
M拉产弯生组弯合曲：的正应力：wmax
M Wy
M
d3
32
32M
d3
P M= a Pe
补例8.1 已知： P=2kN,L求=：1mσm,Iazx=628×104mm4,Iy=64×1040mm2740 2844
解:1.分解P力。 Py Pcos φ Pz Psin φ 2．画弯矩图，确定危险截面--固定端截面。 3．画应力分布图，确定危险点—A、 B点
σ” σ’
A
x
y
Pyl
M
z
践中，在计算中，往往忽略轴力的影响。
4.大家考虑扭转、斜弯曲与拉（压）的组合怎么处理？
例8.5 图8.14a是某滚齿机传动轴AB的示意图。轴的直径为35 mm，材料为45钢， [σ]=85 MPa。轴是由P=2.2kW的电动机通过
带轮C带动的，转速为n=966r／min。带轮的直径为D=132 mm，
Mz Py l - x Pcosφ l - x Mcosφ My Pz l - x Psinφ l - x Msinφ
式中的总弯矩为：M Pl- x
3.计算两个平面弯曲的正应力。在x截面上任取一点A(z 、y)，
与弯矩Mz、My对应的正应力分别为σ’和σ”，故
- Mz y , - M yz
第八章 组合变形
基本要求: 掌握弯曲与拉伸（或压缩）的组合、扭转与弯曲的组合 的强度计算。
重点： 弯曲与拉伸（或压缩）的组合，扭转与弯曲的组合。
（2）内力分析，确定危险截面—整个轴；
M=600(kN·cm) FN=15(kN)
(3)应力计算，确定危险点—ａ、b点；
P产生拉伸正应力： t
FN AFNd 2源自4FNd 24
M拉产弯生组弯合曲：的正应力：wmax
M Wy
M
d3
32
32M
d3
P M= a Pe
补例8.1 已知： P=2kN,L求=：1mσm,Iazx=628×104mm4,Iy=64×1040mm2740 2844
解:1.分解P力。 Py Pcos φ Pz Psin φ 2．画弯矩图，确定危险截面--固定端截面。 3．画应力分布图，确定危险点—A、 B点
σ” σ’
A
x
y
Pyl
M
z
践中，在计算中，往往忽略轴力的影响。
4.大家考虑扭转、斜弯曲与拉（压）的组合怎么处理？
例8.5 图8.14a是某滚齿机传动轴AB的示意图。轴的直径为35 mm，材料为45钢， [σ]=85 MPa。轴是由P=2.2kW的电动机通过
带轮C带动的，转速为n=966r／min。带轮的直径为D=132 mm，
Mz Py l - x Pcosφ l - x Mcosφ My Pz l - x Psinφ l - x Msinφ
式中的总弯矩为：M Pl- x
3.计算两个平面弯曲的正应力。在x截面上任取一点A(z 、y)，
与弯矩Mz、My对应的正应力分别为σ’和σ”，故
- Mz y , - M yz
第八章 组合变形
基本要求: 掌握弯曲与拉伸（或压缩）的组合、扭转与弯曲的组合 的强度计算。
重点： 弯曲与拉伸（或压缩）的组合，扭转与弯曲的组合。
材料力学第8章组合变形
MB
M
2 yB
M
2 zB
(364 N m)2 (1000N m)2 1064N m
•由Mz图和My图可知， B截面上的总弯矩最大， 并且由扭矩图可见B截 面上的扭矩与CD段其 它横截面上相同，TB ＝-1000 N·m，于是判 定横截面B为危险截面。
3. 根据MB和TB按第四强度理论建立的强度条件为
Wp
r4
M 2 0.75T 2
W
300N.m 1400N
300N.m
1500N 200
150
300N.m
128.6N.m
120N.m
（2）作内力图
危险截面E 左处
T 300N.m
M
M
2 y
M
2 z
176N.m
（3）由强度条件设计d
r3
M2 T2 W
W d 3
32
32 M 2 T 2
第8章 组合变形
8.1 组合变形和叠加原理 8.2 拉伸或压缩与弯曲的组合 8.3 偏心压缩和截面核心 8.4 扭转与弯曲的组合 8.5 组合变形的普遍情况
8.1 组合变形和叠加原理
组合变形——实际构件由外力所引起的变形包含两种或两 种以上的基本变形。如压力框架、烟囱、传动轴、有吊车 的立柱。 叠加原理——如果内力、应力、变形等与外力成线性关系， 则在小变形条件下，复杂受力情况下组合变形构件的内力， 应力，变形等力学响应可以分成几个基本变形单独受力情 况下相应力学响应的叠加，且与各单独受力的加载次序无 关。 前提条件：
即 亦即 于是得
r4
M 2 0.75T 2 [ ]
W
•请同学们按
照第三强度理 (1064 N m)2 0.75(1000 N m)2 100106 Pa W
第十章_组合变形
坐标为x的任意截面上
M z Fy (l x) F(l x) cos M y Fz (l x) F(l x)sin
固定端截面
x
M zmax Fl cos
M ymax Fl sin
2. 应力分析
x 截面上任意一点（y，z） 正应力
Mzy Myz
Iz
Iy
F (l x)( y cos z sin )
三、两个相互垂直平面的弯曲——梁的斜弯曲概念
杆件在通过横截面形心的外载下产生弯曲变形
四、两个相互垂直平面内的弯曲问题分析 （即斜弯曲的研究方法 ） 1.分解：外载沿横截面的两个形心主轴分解，得到两个
正交的平面弯曲
z y
Pz
Py
P
x
z jPz
P
Py
y
Fy F cos Fz F sin
1. 内力分析
叠加原理的成立要求:内力、应力、应变、变形等与外力之 间成线性关系.
二、工程实例 （Engineering eA
F1
x
P
y B
P
hg
P q
hg
水坝
厂房牛腿——偏心压缩
吊车杆——压弯组合变形
三、分析组合变形的总思路（基本方法） （Basic method for solving combined deformation）
3.应力分析（Stress analysis）
画出危险截面的应力分布图,利用叠加原理 将基本变形下的
应力和变形叠加,建立危险点的强度条件
=
+
=
+
+
组合变形和叠加原理
研究内容
斜弯曲
拉（压）弯组合变形 弯扭组合变形
l
M z Fy (l x) F(l x) cos M y Fz (l x) F(l x)sin
固定端截面
x
M zmax Fl cos
M ymax Fl sin
2. 应力分析
x 截面上任意一点（y，z） 正应力
Mzy Myz
Iz
Iy
F (l x)( y cos z sin )
三、两个相互垂直平面的弯曲——梁的斜弯曲概念
杆件在通过横截面形心的外载下产生弯曲变形
四、两个相互垂直平面内的弯曲问题分析 （即斜弯曲的研究方法 ） 1.分解：外载沿横截面的两个形心主轴分解，得到两个
正交的平面弯曲
z y
Pz
Py
P
x
z jPz
P
Py
y
Fy F cos Fz F sin
1. 内力分析
叠加原理的成立要求:内力、应力、应变、变形等与外力之 间成线性关系.
二、工程实例 （Engineering eA
F1
x
P
y B
P
hg
P q
hg
水坝
厂房牛腿——偏心压缩
吊车杆——压弯组合变形
三、分析组合变形的总思路（基本方法） （Basic method for solving combined deformation）
3.应力分析（Stress analysis）
画出危险截面的应力分布图,利用叠加原理 将基本变形下的
应力和变形叠加,建立危险点的强度条件
=
+
=
+
+
组合变形和叠加原理
研究内容
斜弯曲
拉（压）弯组合变形 弯扭组合变形
l
拉伸(压缩)与弯曲的组合变形
max
26103 N 26.1104 m2
22.5103 N m 141106 m3
9.96159.57 106 P a
169.53MPa 170MPa
选用16号工字钢能满足强度要求。
目录
组合变形\拉伸（压缩）与弯曲的组合变形 【例9.4】 如图所示桥墩，其上承
受的荷载为：上部结构传递给桥墩的压 力F 1=1920 kN，桥墩墩帽及墩身自重 F2 =334 kN，基础自重F3=1450 kN，车 辆的水平制动力F4=300kN，试绘出基础 底部截面上的正应力分布图。
目录
组合变形\拉伸（压缩）与弯曲的组合变形
1. 内力分析 拉伸（压缩）与弯曲 的组合变形杆件，其内力 一般有轴力FN、弯矩M和 剪力FS。通常情况下，剪 力对强度的影响较小，可 不予考虑。只需绘出杆件 的FN图和M图（如图）。
目录
组合变形\拉伸（压缩）与弯曲的组合变形
2. 应力分析 轴力FN引起的正应力在横截面上均匀分布（如图），其值为
曲截面系数Wz=185×10-6 m3，代入上式得
max
26103 N 30.6 104 m2
22.5103 N m 185106 m3
8.50121.62 106 P a
130.12MPa 170MPa
所以该横梁强度足够。
从此例看出，由弯曲引起的正应力远比由压缩引起的正应力大， 故在设计截面时，可先按弯曲正应力强度条件选择工字钢型号，然 后再同时考虑由弯曲和轴向压缩（或拉伸）引起的正应力，校核最 大正应力是否满足强度条件，若不能满足强度条件，再另行选择。
应力状态，所以拉伸（压缩）与弯曲组合变形杆件的强度条件可表
示为
max
FN A
拉伸(压缩)与弯曲
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第一节 概述
一、概念： 1. 组合变形：受力构件产生的变形是由两种或两种以上的 基本变形组合而成的。 2. 组合变形实例 ：
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小结
3. 常见组合变形的类型 ： （1） 斜弯曲 （2） 拉伸（压缩）与弯曲组合 （3） 偏心拉伸（压缩） （4） 弯扭组合 二、计算方法 ： 组合变形若忽略变形过程中各基本变形间的互相影 响，则可依据叠加原理计算。 1. 叠加原理 ：弹性范围小变形情况下，各荷载分别单独 作用所产生的应力、变形等互不影响，可叠加计算。 2. 计算方法： “先分解，后叠加。” 先分解-------应先分解为各种基本变形，分别计算各基本 变形。 后叠加-------将基本变形计算某量的结果叠加即得组合变 形的结果。 返回 下一张 上一张 小结
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小结
例9-2 简易起重机如图。最大吊重P=8KN，若AB杆为工字钢, A3钢的 [σ]＝100Mpa，试选择工字钢的型号。 解：（1）AB杆受力如图，设CD杆的拉 力为T，由：P(2.5 1.5) 2.5T sin 0;
T 42kN
（2）内力计算：由内力图知 M max 12KN m, 在C截面；
再如重力坝，自重使坝底 受压力，水压力使坝体产生弯 曲变形，该坝为压弯组合变形 构件。
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二、计算： 以挡土墙为例。 自重作用使任意截面产生轴向 压力N(x)；对应各点产生压应力：
N
N ( x) ; A
土压力作用使截面产生弯矩 M(x)；对应点产生正应力：
M
M ( x) y ; Iz
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第一节 概述
一、概念： 1. 组合变形：受力构件产生的变形是由两种或两种以上的 基本变形组合而成的。 2. 组合变形实例 ：
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3. 常见组合变形的类型 ： （1） 斜弯曲 （2） 拉伸（压缩）与弯曲组合 （3） 偏心拉伸（压缩） （4） 弯扭组合 二、计算方法 ： 组合变形若忽略变形过程中各基本变形间的互相影 响，则可依据叠加原理计算。 1. 叠加原理 ：弹性范围小变形情况下，各荷载分别单独 作用所产生的应力、变形等互不影响，可叠加计算。 2. 计算方法： “先分解，后叠加。” 先分解-------应先分解为各种基本变形，分别计算各基本 变形。 后叠加-------将基本变形计算某量的结果叠加即得组合变 形的结果。 返回 下一张 上一张 小结
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例9-2 简易起重机如图。最大吊重P=8KN，若AB杆为工字钢, A3钢的 [σ]＝100Mpa，试选择工字钢的型号。 解：（1）AB杆受力如图，设CD杆的拉 力为T，由：P(2.5 1.5) 2.5T sin 0;
T 42kN
（2）内力计算：由内力图知 M max 12KN m, 在C截面；
再如重力坝，自重使坝底 受压力，水压力使坝体产生弯 曲变形，该坝为压弯组合变形 构件。
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二、计算： 以挡土墙为例。 自重作用使任意截面产生轴向 压力N(x)；对应各点产生压应力：
N
N ( x) ; A
土压力作用使截面产生弯矩 M(x)；对应点产生正应力：
M
M ( x) y ; Iz
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《拉伸(压缩)与弯曲的组合变形》教学设计
六、教学过程
教师活动
学生活动
设计意图
提问：所给图示发生什么变形？
学生思考并回答问题
由相关的思考题引出新的知识点，过渡比较自然，不会显得突兀，学生们也比较容易接受。
（多媒体展示）由图示引入拉伸压缩与弯曲的组合变形的概念。
总结计算方法：分别计算轴向力和横向力引起的正应力；按叠加原理求正应力的代数和，即可。
1、习题10-4
2、预习：压杆的稳定性问题
记录作业
布置课后习题，以加强学生们对所学知识的运用能力。预习下节课的内容使学生们对下节课内容有所了解，以利于学生们更好地掌握下节课所学内容
八、板书设计
（1）外力分析
（2）变形分析
（3）内力分析
（4）应力状态
（5）确定危险截面、危险点、建立强度条件
应用
本节课理论授课较少，动手练习较多的一节课，因此，本课在教学的设计上将充分发挥学生的主观能动性，本节课将采用PPT和板书相结合授课，以学生们自主思考、练习为主，培养学生分析解决问题的能力，激发学生们学习的兴趣。
六、教学重点及难点
重点：拉伸（压缩）与弯曲的组合变形的变形、内力、应力分析及强度校核
难点：拉伸（压缩）与弯曲的组合变形的强度校核。
建立计算简图及外力分析；
变形分析；
内力分析；
根据强度理论，确定危险截面和危险点，并进行强度计算。
学生们分组讨论，并动手练习。
通过PPT与板书授课相结合、例题讲解和自主练习相结合，将枯燥的理论形象化，加深学生们对知识的理解。在授课过程中不断总结规律，可以简化计算，以便于学生们对该知识点的掌握。
布置作业：
二、教学目标
知识目标：通过本节课的学习理解组合变形的概念，会应用基本变形的理论解决组合变形的问题。
教师活动
学生活动
设计意图
提问：所给图示发生什么变形？
学生思考并回答问题
由相关的思考题引出新的知识点，过渡比较自然，不会显得突兀，学生们也比较容易接受。
（多媒体展示）由图示引入拉伸压缩与弯曲的组合变形的概念。
总结计算方法：分别计算轴向力和横向力引起的正应力；按叠加原理求正应力的代数和，即可。
1、习题10-4
2、预习：压杆的稳定性问题
记录作业
布置课后习题，以加强学生们对所学知识的运用能力。预习下节课的内容使学生们对下节课内容有所了解，以利于学生们更好地掌握下节课所学内容
八、板书设计
（1）外力分析
（2）变形分析
（3）内力分析
（4）应力状态
（5）确定危险截面、危险点、建立强度条件
应用
本节课理论授课较少，动手练习较多的一节课，因此，本课在教学的设计上将充分发挥学生的主观能动性，本节课将采用PPT和板书相结合授课，以学生们自主思考、练习为主，培养学生分析解决问题的能力，激发学生们学习的兴趣。
六、教学重点及难点
重点：拉伸（压缩）与弯曲的组合变形的变形、内力、应力分析及强度校核
难点：拉伸（压缩）与弯曲的组合变形的强度校核。
建立计算简图及外力分析；
变形分析；
内力分析；
根据强度理论，确定危险截面和危险点，并进行强度计算。
学生们分组讨论，并动手练习。
通过PPT与板书授课相结合、例题讲解和自主练习相结合，将枯燥的理论形象化，加深学生们对知识的理解。在授课过程中不断总结规律，可以简化计算，以便于学生们对该知识点的掌握。
布置作业：
二、教学目标
知识目标：通过本节课的学习理解组合变形的概念，会应用基本变形的理论解决组合变形的问题。
材料力学习题册1-14概念答案
第一章 绪论一、是非判断题1.1 材料力学的研究方法与理论力学的研究方法完全相同。
( × ) 1.2 内力只作用在杆件截面的形心处。
( × ) 1.3 杆件某截面上的内力是该截面上应力的代数和。
( × ) 1.4 确定截面内力的截面法，适用于不管等截面或变截面、直杆或曲杆、基本变形或组合变形、横截面或任意截面的普遍情况。
( ∨ ) 1.5 根据各向同性假设，可认为材料的弹性常数在各方向都相同。
( ∨ ) 1.6 根据均匀性假设，可认为构件的弹性常数在各点处都相同。
( ∨ ) 1.7 同一截面上正应力σ与切应力τ必相互垂直。
( ∨ ) 1.8 同一截面上各点的正应力σ必定大小相等，方向相同。
( × ) 1.9 同一截面上各点的切应力τ必相互平行。
( × ) 1.10 应变分为正应变ε和切应变γ。
( ∨ ) 1.11 应变为无量纲量。
( ∨ ) 1.12 假设物体各部分均无变形，则物体内各点的应变均为零。
( ∨ ) 1.13 假设物体内各点的应变均为零，则物体无位移。
( × ) 1.14 平衡状态弹性体的任意部分的内力都与外力保持平衡。
( ∨ ) 1.15 题1.15图所示结构中，AD 杆发生的变形为弯曲与压缩的组合变形。
( ∨ )1.16 题1.16图所示结构中，AB 杆将发生弯曲与压缩的组合变形。
( × )二、填空题材料力学主要研究 受力后发生的，以及由此产生的 。
1.2 拉伸或压缩的受力特征是 ，变形特征是 。
1.3 剪切的受力特征是 ，变形特征B题5图题6图外力的合力作用线通过杆轴线 杆件 变形 应力，应变 沿杆轴线伸长或缩短 受一对等值，反向，作用线距离很近的力的作用 沿剪切面发生相对错动是 。
1.4 扭转的受力特征是 ，变形特征是 。
1.5 弯曲的受力特征是 ，变形特征是 。
1.6 组合受力与变形是指 。
压弯组合变形中轴力对变形和强度的影响
压弯组合变形中轴力对变形和强度的影响压弯是指在外力作用下，使杆件发生弯曲变形。
而压弯组合变形是指杆件在外力作用下，同时发生弯曲和轴向变形。
在压弯组合变形中，轴力是一个重要的参数，它对变形和强度都有影响。
下面将从变形和强度两个方面进行阐述。
首先是变形方面。
轴力会改变杆件的形状和尺寸，从而引起杆件的变形。
对于压弯组合变形，轴向压力会使杆件发生轴向压缩或拉伸。
轴向压缩会减小杆件的长度，而轴向拉伸则会增大杆件的长度。
同时，由于弯曲力矩的作用，杆件还会发生弯曲变形。
轴力的大小、位置和方向都会影响杆件的变形。
在轴力较小的情况下，杆件的变形主要由弯曲变形所主导，而轴向变形相对较小。
但当轴向压力较大时，轴向变形将成为主导。
这是因为轴向变形可以产生较大的变形量，而且轴向压力会使杆件变形速度增大。
此外，轴向压力还会增大弯曲变形的刚度，使弯曲变形的变形量减小。
因此，压弯组合变形中的轴力对杆件的变形有着重要的影响。
接下来是强度方面。
轴力对杆件的强度也有一定的影响。
在压弯组合变形中，轴力会增大杆件的承载能力和稳定性。
当轴向压力较小时，弯曲变形成为主要破坏方式；而当轴向压力较大时，轴向压缩会使杆件变形速度增大，从而使杆件的承载能力增加。
这是因为轴向压缩会增大杆件的横截面积，进而增大其抗弯能力。
此外，轴向压力还可以提高杆件的稳定性。
当轴向压力作用在杆件上时，它可以增大杆件的刚度和强度，使杆件更不容易产生屈曲破坏。
特别是在较长的杆件中，轴向压力可以有效地提高杆件的稳定性，防止其发生屈曲失稳。
总之，在压弯组合变形中，轴力对变形和强度都有显著的影响。
轴向压力可以改变杆件的形状和尺寸，进而影响其变形行为和强度性能。
因此，在工程设计中，需要充分考虑轴向力对杆件的影响，以确保杆件具有足够的变形能力和承载能力。
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FN Pe l A WZ
代入已知数据得
150102 600104 35 2 3 πd 4 πd 32
第11章 组合变形
解上式即可求得立柱的直径d。因为这是一个三次方程，
求解较繁。因为一般在偏心距较大的情况下，偏心拉伸（或 压缩）杆件的弯曲正应力是主要的，所以可先按弯曲强度条 件求出立柱的一个近似直径，然后将此直径的数值稍稍增大， 再代入偏心拉伸的强度条件中进行校核，如数值相差较大，
第11章 组合变形
第11章 组合变形
11.1 概述 11.2 拉伸（压缩）与弯曲的组合变形 11.3 应力状态 11.4 强度理论
11.5 弯曲与扭转的组合变形
思考题 习 题
第11章 组合变形
11.1 概 述
在实际工程中，杆件在受力后，往往同时产生两种或两种以 上基本变形的组合，这种杆件的变形称为组合变形。例如，
再作适当变更，以试凑的方法进行设计计算，最后即可求得
满足此方程的直径。
第11章 组合变形 先考虑弯曲强度条件 10 35 3 d 32
4
得直径,将其稍稍加大，现取，心拉伸的强度条件进行校核，得
150102 600104 l max 32.4MPa 35MPa 2 3 3.14125 4 3.14125 32
l max
FN M max l A WZ
FN M max y max y A WZ
第11章 组合变形
例11-1
如图11-5(a)所示钻床受压力P=15kN作用，已知偏
心距 e=0.4m ，铸铁立柱的许用拉应力［ σl ］ =35MPa ，许用压 应力［σy］=120 MPa。试求铸铁立柱所需的直径。 解（１） 分析立柱变形。 将P力平移到立柱轴线上，同时附加一个力偶Mf=Pe。在P 和Mf的共同作用下, 立柱发生弯曲和拉伸的组合变形。
图 11-1 所示支架中的 AB 梁，力 Ry 、 G 和 Ty 使梁弯曲，力 Rx 和 Tx
使梁压缩，梁 AB 发生压缩和弯曲的组合变形。图 11-2 所示反 应釜中的搅拌轴，叶片在搅拌物料时既受到阻力的作用而发生 扭转变形，同时还受到搅拌轴和桨叶的自重作用而发生轴向拉 伸变形。图11-3所示机械中的齿轮传动轴，在齿轮啮合力的作 用下， 同时发生扭转与弯曲的组合变形。
Fx F cos
Fy F sin
FAx和Fx使杆件轴向拉伸，Fy、FAy和MA使杆件发生弯曲，因
此，杆AB上发生轴向拉伸与弯曲的组合变形。
第11章 组合变形 由轴力引起的应力沿截面均匀分布，其值为
FN σΝ A A
由弯矩引起的弯曲正应力在截面上呈线性分布，其值为
FX
W
M max WZ WZ
第11章 组合变形
图11-1
第11章 组合变形
图11-2
第11章 组合变形
图11-3
第11章 组合变形
11.2 拉伸（压缩）与弯曲的组合变形
若作用在构件对称平面内的外力既不与轴线重合也不与 轴线垂直，如图 11-4 所示，则构件将产生拉伸（压缩）与弯 曲的组合变形。现以矩形截面悬臂梁为例，来说明拉伸（压 缩）与弯曲组合变形的强度计算方法。
y max N W
计算，其强度条件为
Fx Fy l FN M max A WZ A WZ
若杆件材料为塑性材料，需按截面上的最大应力进行强度
max
FN M max A WZ
第11章 组合变形
但对于抗拉、抗压强度不同的脆性材料，则要分别按最
大拉应力和最大压应力进行强度计算，故强度条件分别为
Fy l
由于轴力和弯矩引起的应力均为正应力，因此根据叠加原理
知， 危险点为截面的上、下边缘点。
第11章 组合变形
当 σ Ν σW 时，截面上边缘点的应力，即截面上的最大拉应力 为
l max N W
Fx Fy l FN M max A WZ A WZ
截面下边缘点的应力，即截面上的最大压应力为
FN l A
弯矩在横截面上产生弯曲应力，其最大值为
max
M Pe WZ W z
第11章 组合变形 立柱右侧边缘点的总应力为
FN Pe 右＝ A WZ
立柱左侧边缘点的总应力为
FN Pe 左＝ A WZ
第11章 组合变形
（４）强度计算
由于铸铁抗压能力强，抗拉能力差，故应对受拉侧进 行强度计算，即
AB杆的受力简图如图11-6(b)所示。 设CD杆的拉力为F， 由平衡方程
m A 0
0.8 F 2.5 82.5 1.5 0 2.62
得
F 42 kN
第11章 组合变形
（２）分析杆件变形
把F分解为Fx和Fy两个分力，可见AB杆在AC段内产生压 缩与弯曲的组合变形。
2.5 Fx F 40 KN 2.62
第11章 组合变形
图11-4
第11章 组合变形
如图11-4(a)所示悬臂梁AB的自由端受集中力F的作用，F力
作用在梁的纵向对称平面内，并与梁轴线成夹角α。 固定端A受 约束反力FAx、FAy以及约束反力偶MA的作用。为了分析出梁的变 形， 将载荷F分解成两个正交分量Fx和Fy，两分力的大小分别为
第11章 组合变形
图11-5
第11章 组合变形
（２） 分析内力。
假想地将立柱截开，取上端为研究对象（图11-5(b)）， 由平衡条件得
FN P 15010 N
2
M Pe 150 102 0.4 103 600 104 N mm
第11章 组合变形 （３）分析应力 轴力产生的拉应力在截面上均匀分布，其值为
满足强度条件。最后选用立柱的直径。
第 11章 组合变形 例 11-2 最大吊重P=8 kN的起重机如图11－6(a)所示。 AB为
工字钢，材料为Q235钢，［σ］=100MPa。试选择工字钢型号。
图11-6
第11章 组合变形 解：（１）求CD杆受力 CD杆的长度为
l 25002 8002 2620 mm 2.62m