微分方程-数学建模

数学建模中的常微分方程在科学中，常微分方程（ODE）是一种非常重要的数学工具，它在许多领域都有着广泛的应用，例如物理、化学、生物学等。

在数学建模中，ODE也起到了至关重要的作用。

一、什么是ODE？ODE是指只包含一个自变量（通常是时间）和它的一个或多个导数的方程。

例如，形式为dy/dx=f(x)的方程就是一个ODE，其中y是x的函数。

ODE分为一阶ODE和高阶ODE。

一阶ODE只包含y和它的一阶导数，而高阶ODE则包含更高阶的导数。

在数学建模中，我们通常使用一阶ODE来描述物理、化学、生物等系统。

二、ODE在数学建模中的应用1.物理建模ODE被广泛运用于物理建模中。

例如，在经典力学中，牛顿第二定律指出，质点的运动状态可以由ODE描述。

在电磁学中，麦克斯韦方程组也可以转化为ODE来描述电磁场的变化。

2.化学建模化学过程中涉及到许多反应，这些反应的速率常常可以使用ODE来描述。

在化学反应模型中，ODE可以用来描述化学反应底物的浓度、反应速率、反应机理等。

3.生物建模ODE在生物建模中也有着广泛的应用。

例如，ODE可用来描述种群数量的变化、生物系统的动力学行为、遗传学习环境等。

三、ODE的求解方法一阶ODE的求解方法非常多，例如欧拉方法、隐式欧拉方法、龙格-库塔方法等。

这些方法可以通过计算机程序实现。

四、数学建模实例考虑一个简单的数学建模实例：一个小球在重力作用下自由落体。

我们可以使用ODE来描述这一过程，即y''=-g，其中g为重力加速度。

假设小球的初始位置为y0，速度为v0，则小球的运动状态可以用ODE求解。

欧拉方法可以得到如下结果：y(n+1)=y(n)+h*v(n)v(n+1)=v(n)-h*g其中，h是自变量的步长。

通过不断迭代，我们可以得到小球落到地面的时间t和落地时的位置y(t)。

总结：ODE在数学建模中具有非常广泛的应用。

它不仅可以描述生物、化学、物理等系统的行为，还可以指导我们如何求解这些系统。

微分方程在数学建模中有广泛的应用，具体如下：
1.微分方程可以描述现实世界的变化，揭示实际事物内在的动态关
系。

2.微分方程可以建立纯数学（特别是几何）模型。

3.微分方程可以建立物理学（如动力学、电学、核物理学等）模型。

4.微分方程可以建立航空航天（火箭、宇宙飞船技术）模型。

5.微分方程可以建立考古（鉴定文物年代）模型。

6.微分方程可以建立交通（如电路信号，特别是红绿灯亮的时间）
模型。

7.微分方程可以建立生态（人口、种群数量）模型。

8.微分方程可以建立环境（污染）模型。

9.微分方程可以建立资源利用（人力资源、水资源、矿藏资源、运
输调度、工业生产管理）模型。

10.微分方程可以建立生物（遗传问题、神经网络问题、动植物循环
系统）模型。

11.微分方程可以建立医学（流行病、传染病问题）模型。

12.微分方程可以建立经济（商业销售、财富分布、资本主义经济周
期性危机）模型。

13.微分方程可以建立战争（正规战、游击战）模型。

常微分方程数学建模案例分析常微分方程是运用微积分中的概念与理论研究变化率的方程。

它是数学建模中常用的方法之一，可用于描述各种实际问题，如经济增长、生物扩散、化学反应等。

本文将通过一个关于人群传染病的数学建模案例，分析常微分方程在实际问题中的应用。

假设地有一种传染病，病毒的传播速度与感染者的接触频率有关。

现在我们要研究传染病的传播速度以及控制措施对传染病传播的影响。

为此，我们可以建立如下的数学模型：设N(t)表示时间t时刻的总人口数，而I(t)表示感染者的人口数，S(t)表示易感者的人口数。

根据该模型，易感者的人数随时间的变化率可表示为：dS/dt = -βSI其中，β表示感染率，即感染者每接触到一个易感者，会使其发病的概率。

感染者的人数随时间的变化率可表示为：dI/dt = βSI - γI其中，γ表示恢复率，即感染者每天被治愈的人数。

总人口数随时间的变化率可以通过易感者和感染者的变化率求和得到：dN/dt = dS/dt + dI/dt通过对该方程进行求解，我们可以得到感染者和易感者的人数随时间变化的解析解。

进一步，我们可以通过调节β和γ来研究不同的传播速度和控制措施对传染病传播的影响。

例如，如果β较大，表示感染率较高，此时传染速度会加快，可能导致传染病扩散的速度加快。

反之，如果β较小，表示感染率较低，传染病传播的速度会减慢。

另外，如果γ较大，表示恢复率较高，此时感染者的人数会快速减少，传染病传播的速度会减慢。

相反，如果γ较小，传染病传播的速度会加快。

通过对这些参数的调节，我们可以研究不同的控制措施对传染病传播的影响。

例如，我们可以通过降低感染率β或增加恢复率γ来减缓传染病传播的速度，从而控制疫情的爆发。

在实际应用中，常微分方程数学建模方法可以用于预测传染病的传播趋势，评估各种干预措施的效果。

此外，还可以通过引入更多的变量和参数，建立更复杂的模型，以更好地解释实际问题。

总之，常微分方程是数学建模中常用的方法之一，可以用于描述各种实际问题，如传染病的传播、经济增长等。

数学建模微分方程模型在数学建模的旅程中，微分方程模型扮演了至关重要的角色。

它们在描述和解决各种实际问题中，从物理学到社会科学，都起到了关键的作用。

在本章中，我们将探讨微分方程模型的基本概念、类型和应用。

微分方程是一种方程，它包含未知函数的导数。

这种方程在描述变化率时非常有用，例如，描述物体的速度或加速度。

在形式上，微分方程可以表示为 y'(x) = f(x, y)，其中 y'表示 y的导数，f是一个给定的函数。

根据方程的特点，微分方程可以划分为多种类型，如线性微分方程、非线性微分方程、常微分方程、偏微分方程等。

每种类型的方程都有其特定的求解方法和应用领域。

微分方程在众多领域中都有应用，如物理学、工程学、经济学等。

例如，牛顿第二定律就是一个微分方程，它描述了物体的加速度如何由作用力决定。

人口增长模型、传染病模型等也都依赖于微分方程。

建立微分方程模型通常需要以下步骤：确定模型的目标和变量；然后，根据问题背景和物理规律建立数学模型；通过数值计算或解析解法得出结果。

求解微分方程的方法主要有两种：数值方法和解析方法。

数值方法是通过计算机程序或软件进行数值计算得到近似解，而解析方法是通过求解方程得到精确解。

对于某些类型的微分方程，可能需要结合使用这两种方法。

建立微分方程模型后，我们需要对模型进行评估和检验，以确保其有效性和准确性。

这通常包括对模型的假设进行检验、对模型的预测结果进行验证以及对模型的参数进行估计和调整等。

随着科学技术的发展，微分方程模型的应用前景越来越广阔。

例如，在生物学中，微分方程被用来描述疾病的传播动态；在经济学中，微分方程被用来分析市场供需关系的变化；在工程学中，微分方程被用来模拟复杂系统的行为等。

未来，随着大数据和人工智能等技术的发展，微分方程模型将在更多领域得到应用和发展。

微分方程模型是数学建模中一个极其重要的部分。

通过学习和掌握微分方程的基本概念、类型、应用以及求解方法等，我们可以更好地理解和解决现实生活中的各种问题。

微分方程和差分方程是数学建模中两个重要的工具，它们在描述和解决现实问题中起到了关键作用。

微分方程描述了变量之间的变化率关系，而差分方程描述了变量在不同时间点之间的差异。

本文将讨论微分方程和差分方程在数学建模中的应用以及它们之间的联系。

首先，微分方程在数学建模中的应用非常广泛。

以生态系统建模为例，人们关心物种之间的相互作用，而微分方程提供了描述这些相互作用的数学工具。

例如，Lotka-Volterra模型是描述捕食者与被捕食者之间的关系，其中包含一组微分方程，描述了捕食者和被捕食者的数量随时间的变化。

另外，微分方程还可以用于描述传染病模型、金融模型等各种实际问题。

其次，差分方程也在数学建模中发挥着重要的作用。

差分方程适用于离散时间点的模型建立。

这种模型可以用于描述各类实际问题，比如金融市场波动、天气预测等。

例如，差分方程可以用来模拟股票价格的变化。

我们可以将股价视作一个时间序列，每个时间点的股价与前一时间点的股价之间存在差异。

通过建立差分方程模型，我们可以预测未来股价的变化趋势。

微分方程和差分方程之间存在紧密的联系。

在某些情况下，当离散时间趋于无穷小时，差分方程可以无限地逼近相应的微分方程。

这个过程被称为“微分方程与差分方程的近似”。

通过这个近似，我们可以将微分方程转化为差分方程进行数值计算，从而得到问题的解决办法。

另外，差分方程也可以通过细化时间步长，将离散的解逼近到连续解，并逼近相应的微分方程解。

在数学建模中，我们需要考虑实际问题的特点，来决定使用微分方程还是差分方程。

一般来说，微分方程适用于描述连续变量之间的关系，而差分方程适用于描述离散变量之间的关系。

根据问题的特点，我们可以选择合适的数学工具，并进行模型建立和求解。

综上所述，微分方程和差分方程在数学建模中是不可分割的。

微分方程用于描述连续变量之间的关系，差分方程用于描述离散变量之间的关系。

虽然它们有着不同的应用场景和数学表达方式，但通过近似和转化，它们可以相互联系，并共同为解决实际问题提供了强有力的工具。

数学建模中的微分方程与边界条件的应用分析在数学建模中，微分方程是一种重要的工具，用于描述自然界和社会现象中的各种变化规律。

微分方程可以分为常微分方程和偏微分方程两类。

常微分方程是只涉及一个自变量的方程，而偏微分方程则涉及多个自变量。

边界条件是微分方程求解过程中的重要条件，它限定了解的取值范围。

微分方程在数学建模中的应用非常广泛，我们可以通过一些具体的实例来进行分析。

首先，考虑一个经典的物理问题：自由落体运动。

假设一个物体从高处自由落下，我们想要知道它在任意时刻的位置。

根据牛顿第二定律，我们可以得到物体的运动方程：$m\frac{d^2y}{dt^2} = -mg$，其中$y$表示物体的高度，$m$表示物体的质量，$g$表示重力加速度。

这是一个二阶常微分方程，我们需要给出适当的边界条件来求解它。

边界条件可以是物理上的限制，比如物体在$t=0$时刻的初始位置和初始速度。

假设物体在$t=0$时刻的位置为$y_0$，初始速度为$v_0$，那么我们可以得到边界条件$y(0) = y_0$和$\frac{dy}{dt}(0) = v_0$。

将这些边界条件代入微分方程，我们可以求解得到物体在任意时刻的位置。

另一个常见的应用是热传导问题。

假设一个杆体的两端分别与两个恒温热源接触，我们想要知道杆体上各点的温度分布。

根据热传导定律，我们可以得到杆体上的热传导方程：$\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$，其中$u(x,t)$表示杆体上某点的温度，$\alpha$表示热扩散系数。

这是一个一维的偏微分方程，我们需要给出适当的边界条件来求解它。

边界条件可以是温度的限制，比如杆体两端的温度分别为$T_1$和$T_2$。

我们可以得到边界条件$u(0,t) = T_1$和$u(L,t) = T_2$，其中$L$表示杆体的长度。

微分方程及其应用领域中的数学建模分析微分方程是数学分析的重要内容，它在各个科学领域中都有广泛的应用。

本文将分析微分方程及其在应用领域中的数学建模。

微分方程是描述自变量与相关导数之间关系的方程。

它由一些未知函数及其导数组成，通常用y表示未知函数。

微分方程可分为常微分方程和偏微分方程两类，在应用中广泛应用于物理、生物、经济等领域。

首先，我们来看物理领域中的应用。

物理学中许多自然现象可以通过微分方程建模，其中最典型的是牛顿第二定律。

牛顿第二定律指出力是质量与加速度的乘积，可以用微分方程表示为F=ma，其中F是物体受到的力，m是物体的质量，a是物体的加速度。

通过解这个微分方程，可以预测物体在受力作用下的运动轨迹。

此外，在电路理论中，欧姆定律也可以用微分方程表示。

欧姆定律指出电流与电压之间的关系为I=V/R，其中I是电流，V是电压，R是电阻。

通过解这个微分方程，可以分析电路中的电流变化。

在生物领域中，微分方程的应用同样重要。

生物学中的许多自然现象可以用微分方程建模，例如生物种群的增长。

假设某个生物种群的增长速率与种群数量成正比，可以用微分方程dy/dt = ky表示，其中y是种群的数量，t是时间，k是比例常数。

通过解这个微分方程，可以预测种群数量的变化。

除了物理和生物领域，微分方程在经济学中也有广泛应用。

经济学中的许多问题都可以用微分方程建模，例如经济增长模型和物价变动模型。

通过建立适当的微分方程模型，可以分析经济变量之间的关系，并对经济情况进行预测和决策。

总而言之，微分方程在各个领域中都有广泛的应用。

通过建立合适的微分方程模型，可以描述和分析自然现象和社会现象。

这些模型不仅可以用于预测和决策，还可以用于深入理解问题的本质和规律。

因此，微分方程及其应用领域中的数学建模分析是数学分析的重要内容，也是应用数学的重要工具。

通过不断研究和探索微分方程及其应用，我们能够更好地理解自然界和人类社会的运行规律，为科学研究和社会发展做出贡献。

数学建模在常微分方程中的应用数学建模是将现实世界中的问题用数学语言表示和解决的过程，而在这一过程中，常微分方程则是数学建模中最常用的工具之一。

常微分方程描述了自变量与因变量及其导数之间的关系，而在实际应用中，常微分方程被广泛用于描述各种变化和动力学系统，如物理、生物、经济学等领域。

在本文中，我们将介绍一些常微分方程在数学建模中的应用，并讨论其重要性和意义。

常微分方程在生物学和生态学中扮演着至关重要的角色。

人口增长模型可以用常微分方程描述，这些模型不仅可以帮助我们预测未来的人口数量，还可以提供人口增长对资源利用和环境变化的影响。

常微分方程也被用于描述化学反应和自然界中的各种生物过程，比如鱼群的迁徙、细胞的增殖和死亡等。

通过数学建模和常微分方程分析，我们可以更好地理解这些生物和生态系统的行为规律，为保护生态环境和可持续发展提供科学依据。

常微分方程在物理学中也有着重要的应用。

牛顿第二定律描述了运动物体的运动规律，它可以通过常微分方程的形式表示为F=ma，其中F是作用在物体上的力，m是物体的质量，a是物体的加速度。

这个简单的方程描述了物体随时间的位置和速度的变化，为我们理解宇宙中的运动和力学系统提供了重要工具。

电路中的电流和电压、谐振子的运动等现象也可以通过常微分方程进行描述和分析，在工程和技术应用中有着广泛的应用价值。

常微分方程还在经济学和金融学中有着重要的应用。

经济增长模型、货币供应和通货膨胀等经济现象，都可以通过常微分方程进行建模和分析。

在金融领域，股票价格波动、利率变化和金融衍生品的定价等问题也可以通过常微分方程进行描述和预测。

这些模型不仅可以帮助我们理解经济和金融系统的运行机制，还可以提供决策者制定政策和管理风险的依据。

在实际的数学建模过程中，常微分方程不仅是描述现象和问题的工具，更重要的是它们可以通过解析或数值方法进行求解，从而得到对问题的深入理解和有效预测。

通过求解微分方程可以得到系统的稳定性、平衡点、周期解等重要信息，从而为我们提供了优化系统和设计控制方法的依据。

数学建模中的微分方程及其应用研究随着科技的不断发展，数学建模已经成为了一个不可或缺的工具。

数学建模是指将现实问题抽象为数学模型，通过数学方法来预测和解决问题。

微分方程是数学建模中的关键工具之一。

在本文中，我将介绍微分方程在数学建模中的重要性以及其应用研究。

一、微分方程的定义和分类微分方程是描述一个或多个未知函数及其导数之间关系的方程，通常用来描述自然现象。

微分方程可以分为常微分方程和偏微分方程两种。

常微分方程是指只涉及一个自变量的导数的方程，例如：$\frac{dy}{dx}= f(x,y)$偏微分方程是指涉及多个自变量的导数的方程，例如：$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0$二、微分方程在数学建模中的重要性微分方程在数学建模中有着广泛的应用。

它可以用来研究自然现象中的变化关系，例如物理学中的运动规律、化学中的反应过程，甚至是医学中的疾病治疗。

通过微分方程的求解，我们可以得到有关系统的重要信息，比如系统的稳定性、解的性质、系统的动态行为等等。

三、常微分方程在数学建模中的应用常微分方程是数学建模中最常见的工具之一。

在数学建模中，解决一个常微分方程通常需要以下步骤：1. 根据问题描述建立数学模型。

2. 对模型中的常微分方程进行求解。

3. 通过解析解或数值解来得到所需的结果。

以下是常微分方程在数学建模中的一些应用：1. 表示天体运动的牛顿运动定律。

牛顿运动定律可以用一个常微分方程来描述：$m\frac{d^2x}{dt^2}= -G\frac{Mm}{r^2}$其中，$m$ 是天体的质量，$M$ 是太阳的质量，$r$ 是天体和太阳之间的距离，$G$ 是万有引力常数，$x$ 是天体相对太阳的位置。

通过求解这个方程，我们可以得到天体的运动轨迹。

2. 描述弹簧振动的简谐运动。

弹簧振动可以用一个常微分方程来描述：$m\frac{d^2x}{dt^2}= -kx$其中，$m$ 是弹簧质量，$k$ 是弹簧的弹性系数，$x$ 是弹簧相对平衡位置的偏移量。

数学建模中的微分方程求解数学建模是将真实世界中的问题抽象成数学模型，利用数学方法求解并得出结论的过程。

微分方程作为数学建模中最常用的数学工具之一，广泛应用于物理、生物、工程等领域，成为数学建模不可或缺的一部分。

本文将着重介绍微分方程在数学建模中的求解方法以及常见的数学模型。

一、常见的微分方程求解方法(一) 分离变量法分离变量法是最基本的微分方程求解方法之一。

对于形如$ \frac{dy}{dx} = f(x)g(y) $的一阶微分方程，我们可以将其分离为$ \frac{dy}{g(y)} = f(x) dx $，进而求解出$ y $的解析解。

例如，对于简单的一阶线性微分方程$ \frac{dy}{dx} + p(x)y = q(x) $，我们可以将其写成$ \frac{dy}{dx} = -p(x)y + q(x) $，然后将$ y $和$ x $分隔开来，即$ \frac{dy}{-p(x)y+q(x)} = dx $，最后将分子和分母积分得到$ y $的解析解。

但是，在实际问题中的微分方程很难一步到位地完成分离变量，需要结合其他的方法。

(二) 特解法特解法是一种特殊的微分方程求解方法，它适用于某些特殊的微分方程。

特解法的思想是先猜出通解的一部分，然后再根据该猜测解答出剩余的部分，得到最终的通解。

例如，对于形如$ y'' + ay' + by = f(x) $的二阶非齐次微分方程，我们可以先猜测一个特解$ y_p $，然后再求出方程的通解$ y = y_c + y_p $，其中$ y_c $是齐次方程的通解。

特解法在实际问题中应用广泛，但对特定问题的适用性并不一定好。

(三) 变量代换法变量代换法是另一种常见的微分方程求解方法，它常用于解决高阶微分方程或无法通过分离变量法解决的微分方程。

变量代换法的思想是将微分方程通过变量代换转化为可分离变量或一阶线性微分方程的形式。

例如，对于形如$ y'' + py' + qy = 0 $的二阶齐次微分方程，我们可以通过变量代换$ z = y' $，将其转化为一阶线性微分方程。

数学建模——微分方程的应用举例分布图示★衰变问题 ★逻辑斯谛方程 ★价格调整问题 ★人才分配问题模型 ★追迹问题内容要点一、衰变问题例1 镭、铀等放射性元素因不断放射出各种射线而逐渐减少其质量, 这种现象称为放射性物质的衰变. 根据实验得知, 衰变速度与现存物质的质量成正比, 求放射性元素在时刻t 的质量.解 用x 表示该放射性物质在时刻t 的质量, 则dtdx表示x 在时刻t 的衰变速度, 于是“衰变速度与现存的质量成正比”可表示为.kx dtdx-= (8.1) 这是一个以x 为未知函数的一阶方程, 它就是放射性元素衰变的数学模型, 其中0>k 是比例常数, 称为衰变常数, 因元素的不同而异. 方程右端的负号表示当时间t 增加时, 质量x 减少.解方程(8.1)得通解.ktCex -=若已知当0t t =时, ,0x x =代入通解kt Ce x -=中可得,00kt e x C -= 则可得到方程(8.1)特解,)(00t t k e x x --=它反映了某种放射性元素衰变的规律.注: 物理学中, 我们称放射性物质从最初的质量到衰变为该质量自身的一半所花费的时间为半衰期, 不同物质的半衰期差别极大. 如铀的普通同位素(U 238)的半衰期约为50亿年;通常的镭(Ra 226)的半衰期是上述放射性物质的特征, 然而半衰期却不依赖于该物质的初始量, 一克Ra 226衰变成半克所需要的时间与一吨Ra 226衰变成半吨所需要的时间同样都是1600年, 正是这种事实才构成了确定考古发现日期时使用的著名的碳-14测验的基础.二、 逻辑斯谛方程:逻辑斯谛方程是一种在许多领域有着广泛应用的数学模型, 下面我们借助树的增长来建立该模型.一棵小树刚栽下去的时候长得比较慢, 渐渐地, 小树长高了而且长得越来越快, 几年不见, 绿荫底下已经可乘凉了; 但长到某一高度后, 它的生长速度趋于稳定, 然后再慢慢降下来. 这一现象很具有普遍性. 现在我们来建立这种现象的数学模型.如果假设树的生长速度与它目前的高度成正比, 则显然不符合两头尤其是后期的生长情形, 因为树不可能越长越快; 但如果假设树的生长速度正比于最大高度与目前高度的差, 则又明显不符合中间一段的生长过程. 折衷一下, 我们假定它的生长速度既与目前的高度,又与最大高度与目前高度之差成正比.设树生长的最大高度为H (m), 在t (年)时的高度为h (t ), 则有)]()[()(t h H t kh dtt dh -= (8.2) 其中0>k 是比例常数. 这个方程为Logistic 方程. 它是可分离变量的一阶常数微分方程.下面来求解方程(8.2). 分离变量得,)(kdt h H h dh=-两边积分,)(⎰⎰=-kdt h H h dh得 ,)]ln([ln 11C kt h H h H+=-- 或,21kHt H C kHt e C e hH h ==-+故所求通解为,11)(22kHtkHt kHt CeH e C He C t h -+=+= 其中的⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>==-0112H C e C C C 是正常数. 函数)(t h 的图象称为Logistic 曲线. 图8-8-1所示的是一条典型的Logistic 曲线, 由于它的形状, 一般也称为S 曲线. 可以看到, 它基本符合我们描述的树的生长情形. 另外还可以算得.)(lim H t h t =+∞→这说明树的生长有一个限制, 因此也称为限制性增长模式.注: Logistic 的中文音译名是“逻辑斯谛”. “逻辑”在字典中的解释是“客观事物发展的规律性”, 因此许多现象本质上都符合这种S 规律. 除了生物种群的繁殖外, 还有信息的传播、新技术的推广、传染病的扩散以及某些商品的销售等. 例如流感的传染、在任其自然发展(例如初期未引起人们注意)的阶段, 可以设想它的速度既正比于得病的人数又正比于未传染到的人数. 开始时患病的人不多因而传染速度较慢; 但随着健康人与患者接触, 受传染的人越来越多, 传染的速度也越来越快; 最后, 传染速度自然而然地渐渐降低, 因为已经没有多少人可被传染了.下面举两个例子说明逻辑斯谛的应用.人口阻滞增长模型 1837年, 荷兰生物学家V erhulst 提出一个人口模型00)(),(y t y by k y dtdy=-= (8.3)其中b k ,的称为生命系数.我们不详细讨论这个模型, 只提应用它预测世界人口数的两个有趣的结果.有生态学家估计k 的自然值是0.029. 利用本世纪60年代世界人口年平均增长率为2%以及1965年人口总数33.4亿这两个数据, 计算得,2=b 从而估计得:(1)世界人口总数将趋于极限107.6亿. (2)到2000年时世界人口总数为59.6亿.后一个数字很接近2000年时的实际人口数, 世界人口在1999年刚进入60亿. 新产品的推广模型 设有某种新产品要推向市场, t 时刻的销量为),(t x 由于产品性能良好, 每个产品都是一个宣传品, 因此, t 时刻产品销售的增长率,dtdx与)(t x 成正比, 同时, 考虑到产品销售存在一定的市场容量N , 统计表明dtdx与尚未购买该产品的潜在顾客的数量)(t x N -也成正比, 于是有)(x N kx dtdx-= (8.4)其中k 为比例系数. 分离变量积分, 可以解得kNtCeNt x -+=1)( (8.5)由,)1()1(,)1(2322222kNt kNt kNt kNt kNt Ce Ce e N Ck dt x d Ce ke CN dt dx -----+-=+= 当N t x <)(*时, 则有,0>dt dx 即销量)(t x 单调增加. 当2)(*N t x =时, ;022=dt x d 当2)(*N t x >时, ;022<dt x d 当2)(*Nt x <时, 即当销量达到最大需求量N 的一半时, 产品最为畅销, 当销量不足N 一半时, 销售速度不断增大, 当销量超过一半时, 销售速度逐渐减少.国内外许多经济学家调查表明. 许多产品的销售曲线与公式(8.5)的曲线(逻辑斯谛曲线)十分接近. 根据对曲线性状的分析, 许多分析家认为, 在新产品推出的初期, 应采用小批量生产并加强广告宣传, 而在产品用户达到20%到80%期间, 产品应大批量生产; 在产品用户超过80%时, 应适时转产, 可以达到最大的经济效益.三、价格调整模型在本章第一节例3已经假设, 某种商品的价格变化主要服从市场供求关系. 一般情况下,商品供给量S 是价格P 的单调递增函数, 商品需求量Q 是价格P 的单调递减函数, 为简单起见, 分别设该商品的供给函数与需求函数分别为P P Q bP a P S βα-=+=)(,)( (8.6)其中βα,,,b a 均为常数, 且.0,0>>βb当供给量与需求量相等时, 由(8.6)可得供求平衡时的价格baP e +-=βα 并称e P 为均衡价格.一般地说, 当某种商品供不应求, 即Q S <时, 该商品价格要涨, 当供大于求, 即Q S >时, 该商品价格要落. 因此, 假设t 时刻的价格)(t P 的变化率与超额需求量S Q -成正比, 于是有方程)]()([P S P Q k dtdP-= 其中,0>k 用来反映价格的调整速度.将(8.6)代入方程, 可得)(P P dtdPe -=λ (8.7) 其中常数,0)(>+=k b βλ方程(8.7)的通解为t e Ce P t P λ-+=)(假设初始价格,)0(0P P =代入上式, 得,0e P P C -=于是上述价格调整模型的解为t e e e P P P t P λ--+=)()(0由于0>λ知, +∞→t 时, .)(e P t P →说明随着时间不断推延, 实际价格)(t P 将逐渐趋近均衡价格e P .四、人才分配问题模型每年大学毕业生中都要有一定比例的人员留在学校充实教师队伍, 其余人员将分配到国民经济其他部门从事经济和管理工作. 设t 年教师人数为),(1t x 科学技术和管理人员数目为),(2t x 又设1外教员每年平均培养α个毕业生, 每年人教育、科技和经济管理岗位退休、死亡或调出人员的比率为βδδ),10(<<表示每年大学生毕业生中从事教师职业所占比率),10(<<δ于是有方程111x x dt dx δαβ-= (8.8) 212)1(x x dtdx δβα--= (8.9) 方程(8.8)有通解t e C x )(11δαβ-=(8.10)若设,)0(101x x =则,101x C =于是得特解te x x )(101δαβ-= (8.11)将(8.11)代入(8.9)方程变为tex x dtdx )(1022)1(δαββαδ--=+ (8.12) 求解方程(8.12)得通解t te x eC x )(122)1(δαβδββ---+= (8.13)若设,)0(202x x =则,110202x x C ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=ββ于是得特解 tt ex e x x x )(101020211δαβδββββ--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--= (8.14) (8.11)式和(8.14)式分别表示在初始人数分别为)0(),0(21x x 情况, 对应于β的取值, 在t 年教师队伍的人数和科技经济管理人员人数. 从结果看出, 如果取,1=β即毕业生全部留在教育界, 则当∞→t 时, 由于,δα>必有+∞→)(1t x 而,0)(2→t x 说明教师队伍将迅速增加. 而科技和经济管理队伍不断萎缩, 势必要影响经济发展, 反过来也会影响教育的发展. 如果将β接近于零. 则,0)(1→t x 同时也导致,0)(2→t x 说明如果不保证适当比例的毕业生充实教师选择好比率β, 将关系到两支队伍的建设, 以及整个国民经济建设的大局.五、追迹问题设开始时甲、乙水平距离为1单位, 乙从A 点沿垂直于OA 的直线以等速0v 向正北行走; 甲从乙的左侧O 点出发, 始终对准乙以)1(0>n mv 的速度追赶. 求追迹曲线方程, 并问乙行多远时, 被甲追到.解 设所求追迹曲线方程为).(x y y =经过时刻t , 甲在追迹曲线上的点为),,(y x P 乙在点).,1(0t v B 于是有,1tan 0xyt v y --='=θ (8.15) 由题设, 曲线的弧长OP 为,1002t nv dx y x='+⎰解出t v 0代入(8.15), 得.11)1(02⎰'+=+'-x dx y ny y x 两边对x 求导, 整理得.11)1(2y ny x '+=''- 这就是追迹问题的数学模型.这是一个不显含y 的可降阶的方程, 设p y x p y ''=''='),(, 代入方程得211)1(p np x +='- 或 ,)1(12x n dxp dp -=+两边积分, 得|,|ln |1|ln 1)1ln(12C x np p +--=++即 .1112nxC p p -=++ 将初始条件00||==='x x p y 代入上式, 得.11=C 于是,1112nxy y -='++' (8.16) 两边同乘,12y y '+-'并化简得,112n x y y --='+-' (8.17)(8.16)与(8.17)式相加, 得,11121⎪⎭⎫ ⎝⎛---='n n x x y两边积分, 得.)1(1)1(121211C x n n x n ny nn nn +⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++---=+-代入初始条件0|0==x y 得,122-=n nC 故所求追迹曲线方程为 ),1(11)1(1)1(2211>-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--+-=-+n n n n x n x n y n n n n甲追到乙时, 即曲线上点P 的横坐标,1=x 此时.12-=n n y 即乙行走至离A 点12-n n个单位距离时被甲追到.。