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第1章：对策论(高级运筹学-中南大学 徐选华)

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运筹学-第15章--对策论

运筹学-第15章--对策论

1 8 5 8 5 5*
2 2 3 2 1 1
3 4
9 0
5 2
6 3
5 5*
3
0
max 9 5* 8 5*
可知 ai* j* =5，i*=1,3，j*=2,4．故（α1，β2）（α1，β4）（α2，
β2）（α2，β4）为对策的纳管 什理均运衡，筹 V学G=5．
15
• 最优纯策略求解步骤：
• 1、行中取小，小中取大得最大化最小收益 值；
• 2、列中取大，大中取小得最小化最大支付 值；
• 3、比较两值是否相等。若相等便存在最优 纯策略。若不等，则不存在最优纯策略。
管理运筹学
16
§3 矩阵对策的混合策略
设矩阵对策 G = { S1, S2, A }。当
max
i
min
j
aij
min
j
max
i
aij
时，不存在最优纯策略。
例：设一个赢得矩阵如下:
一个局势，一个局势决定了各局中人的对策结果（量化） 称为该局势对策的益损值。
管理运筹学
3
§1 对策论的基本概念
出赛的次序是一个策略 “齐王赛马”齐王在各局势中的益损值表（单位：千金）
管理运筹学
4
§1 对策论的基本概念
其中：齐王的策略集: S1={ 1, 2, 3, 4, 5, 6 }， 田忌的策略集：S2={ 1, 2, 3, 4, 5, 6 }。
A=[aij]m×n i 行代表甲方策略 i=1, 2, …, m；j 列代表乙方策略 j=1, 2, …, n；aij 代表甲方取策略 i，乙方取策略 j，这一局势下甲方的 益损值。此时乙方的益损值为 -aij（零和性质）。

运筹学-对策论概述

运筹学-对策论概述

局势3：盟军的侦察机重点搜索南线， 而日本舰队走北线。由于发现晚、盟 军的轰炸机群在南线，以及北线气候 恶劣，故有效轰炸只有一天。
局势4：盟军的侦察机重点搜索南线， 日本舰队也恰好走南线。此时日本舰 队迅速被发现，盟军的轰炸机群所需 航程很短，加上天气晴好，有效轰炸 时间三天。
这场海空遭遇与对抗一定会发生， 双方的统帅如何决策呢？历史的实际 情况是：局势1成为现实。肯尼将军 命令盟军的侦察机重点搜索北线；而 山本五十六大将命令日本舰队取道北 线航行。由于气候恶劣，能见度差， 盟军飞机在一天后发现了日本舰队， 基地在南线的盟军轰炸机群远程航行， 实施了两天的有效轰炸，重创了日本 舰队，但未能全歼。
则对策G*= { S1*,S2*;E}
称为对策G混合扩充。
定义4:设G*={S1*,S2*;E}是对策G混合 扩充，如果有
max min E(X,Y)= min max E(X,Y)
X S1* Y S2*
Y S2* X S1*
则称这个公共值为对策G在混合意义下 的值，记为V*G，而达到V*G 的混合局 势（X*，Y*）称为对策G在混合策略 意义下的解，而X*和Y*分别称为局中 人I，II的最优混合策略。
S1= {1、 2…… m }
同样，局中人II有n个策略：1、 2。。。 n ；用S2表示这些策略的集合： S2= { 1、 2… n } 局中人I的赢得矩阵是：
a11 a12 …… a1n a21 a22 …… a2n A= …… …… …… a m1 a m2 … a mn
局中人II的赢得矩阵是 -A 把一个对策记为G： G= { S1，S2；A}
当盟军获悉此情报后，盟军统帅 麦克阿梭命令太平洋战区空军司令肯 尼将军组织空中打击。

运筹学_对策论

运筹学_对策论
第17页
混合策略
• 混合扩充
矩阵对策扩充 N人有限对策
• 混合平衡解
矩阵对策 N人有限对策
• 均衡解的存在性
第18页
混 合 扩 充—矩阵对策
策略集
m
S * 1
{X
( x1 , x2 ,..., xm )
xi 1, xi 0, i 1,2,..., m}
i 1
nS* 2{Y( y1 ,y2 ,...,
yn )
y j 1, y j 0, j 1,2,..., n}
j 1
支付函数
mn
E( X ,Y )
aij xi y j
i1 j1
混合扩充： *
{
S1*
,
S
* 2
,
E
(
x
,
y),
x
S1* ,
y
S
* 2
}
第19页
混 合 扩 充—N人有限对策
N 人有限对策 I {1,2,..., N }, Si , i I , H i (s), i I
• 定理1 N人有限对策的混合扩充存在平衡局势. • 定理2 矩阵对策的混合扩充存在平衡局势.
第23页
矩阵对策的解法
• 问题的简化
优超 算例
• 线性规划方法
基本思想 算例
第24页
优超
给定矩阵对策 {S1 , S2 , A} ， A 是 m n 的矩阵，如果
akj alj , j 1,2,..., n
则称局中人 1 的策略 k 优超于策略 l。如果
aik ail , i 1,2,..., m
则称局中人 2 的策略 k 优超于策略 l。
注：局中人 1 的策略 k 优超于策略 l 则说明对局中人 1

管理运筹学课件第13章-对策论

管理运筹学课件第13章-对策论
管理运筹学课件第13章对策论
• 对策论基本概念 • 矩阵对策 • 连续对策 • 合作对策 • 非合作对策 • 对策论在实际问题中应用
01
对策论基本概念
对策论定义与特点
定义
对策论，又称博弈论，是研究决策过 程中理性决策者之间冲突与合作的数 学理论。
特点
对策论注重分析决策者之间的相互作 用和影响，以及决策结果的均衡性和 稳定性。
供应链管理
在供应链管理中，对策论可用于 协调供应商、制造商、销售商之 间的利益关系，优化供应链整体 效益。
金融市场投资决策
对策论可用于分析金融市场中的 投资决策问题，如股票交易、期 货交易等，帮助投资者制定最优 的投资策略。
军事领域应用案例
作战计划制定
01
对策论可用于分析敌我双方的作战能力和策略选择，帮助军事
指挥官制定最优的作战计划。
武器系统研发
02
在武器系统研发中，对策论可用于分析不同武器系统的性能优
劣和作战效能，为武器系统研发提供决策支持。
军事演习评估
03
对策论可用于评估军事演习的效果和参演部队的作战能力，为
军事训练提供改进建议。
社会领域应用案例
社会治安综合治理
对策论可用于分析社会治安问题中的各方利益关系和行为选择，提 出综合治理的策略和措施。
微分对策的求解方法
包括最大值原理、动态规划等方法。
连续对策求解方法
01
02
03
迭代法
通过不断迭代更新参与者 的策略，直到达到某个均 衡条件为止。
数值解法
利用数值计算的方法求解 连续对策的均衡解，如有 限差分法、有限元法等。
解析法
在某些特殊情况下，可以 通过解析的方法求解连续 对策的均衡解，如线性二 次型微分对策等。

第一章xulun

第一章xulun
由于战争的需要各国军事的军事部门集中了一大批专家研究用科学的方法处理各种军事策略和战术上的问19391939年英国成立第一个运筹学工作小组从事防空预警系统的年英国成立第一个运筹学工作小组从事防空预警系统的研制研究如何合理运用雷达使原先平均击落一架敌研制研究如何合理运用雷达使原先平均击落一架敌机要发机要发22万发炮弹改善为只要发万发炮弹改善为只要发44千发炮弹
整数规划 目标规划 图与网络 网络计划技术 决策论 矩阵对策论 排队论 合 计
4 4 8 4 4 6
42
6
48
4
四.主要参考书
教材：《运筹学基础教程》，马良、王波，高等教
育出版社，2006
参考书：《运筹学》，钱颂迪主编（修订版），清
华大学出版社，2005
《运筹学教程》，胡运权主编，清华大学出版社
五.联系方式
几个重要人物
几个重要学校
1 浙江大学 A++ 2 上海大学 A++ 3 清华大学 A++ 4 复旦大学 A+ 大连理工大学
几个重要网站 / /web/
21
§ 0-2 学科性质与分支
一、学科定义与特点 （1）运筹学的定义
16
§0-1 发展历史概述
☆ 1950年，P.M.Morse 和G.E.Kimball 出版了对二战时期
整个运筹学研究工作与成果的系统、专业性叙述著作
《运筹学方法》（Method of Operational Research）； ☆ 同年，H.W.Kuhn 与 A.W.Tucker 提出了Kuhn－Tucker 条件，标志着非线性规划理论的初步形成；而 T.C.Koopmans 所考虑的生产和分配中的多目标优化问 题，以及在其中引进的有效解的概念和得到的一些研究 结果，为多目标优化分支奠定了初步基础；

对策论_运筹学

对策论_运筹学

习题解答1. 已知矩阵博弈局中人I 的赢得矩阵如下，求最优纯策略及博弈值。

（1） ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡8354667565443494 （2） ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------------21221405126331222210 解: (1) ()8695 35438354667565443494⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡ 所以),(13βα,V=5(2) 2- 3 2- 2 2 2562)2(1)2(214051263312)2(2)2(10----⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------------所以 ),(31βα,),(51βα,),(33βα,),(53βα,V=-22． 甲乙两国进行乒乓球团体赛，每国由三个人组成一个队参加比赛。

甲国的人员根据不同的组合可组成4个队，乙国的人员可组成3个队，根据以往的比赛记解:62828276128184)2(3715---⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------ 所以),(22βα,V=2 答: 双方应均派第2队出场3. 对任意一个m 行n 列的实数矩阵A=（a ij ）,试证有下式成立ij mi n j ij nj m i a a ≤≤≤≤≤≤≤≤≤1111max min min max证:ijmi n j ij nj m i ijmi ij nj m i ijij nj a a a a j a a n j m i j i ≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤∴≤∀∴≤≤≤≤≤∀11111111max min min max max min max ,min : 1,1,,有有4. 某城区有A 、B 、C 三个居民小区，分别居住着40％，30%，30%的居民，有两个公司甲和乙都计划在区内建造超市，公司甲计划建两个，公司乙计划建一个，每个公司都知道，如果在某个小区内设有两个超市，那么这两个超市将平分该区的消费，如果在某个小区只有一个超市，则该超市将独揽这个小区的消费。

第4章：模糊综合评判(高级运筹学-中南大学 徐选华)

解：① 确定 R：对某教师进行单因素评判 就“清楚易懂”因素，作出独立评判，结果是：全班学生中有40%人表示“很好” ， 有50%人表示“较好”，有10%人表示“一般”，无人表示 “不好” 。 于是得：A清=( 0.4，0.5，0.1，0 ) 同理有：A教=( 0.6，0.3，0.1，0 ) A生=( 0.1，0.2，0.6，0.1 ) A板=( 0.1，0.2，0.5，0.2 ) 这样就可得模糊关系矩阵：
③ 确定 B：进行综合评判，采用算子 M(⊙,)，可将结果归一化
结论：对该商品，顾客表示“很受欢迎”的比重为 41.5%； 顾客表示“较受欢迎”的比重为 32%； 顾客表示“不大受欢迎”的比重为 20.5%； 顾客表示“不受欢迎”的比重为 6%；
3
例4-2 企管人员管理能力素质综合评判，从行政组织能力、企管水准、科技知识、知人善任意识 四个方面评判企管人员管理能力素质。 取评判因素集为 X = {行政组织能力、企管水准、科技知识、知人善任意识} ， 取评语集为 Y = { 很好、较好、一般、较差、很差 } ， 试就这四个因素对该企管人员管理能力素质作出综合评判。
③ 确定 B：进行综合评判，采用算子 M(⊙,)，并将结果归一化
综合这四个因素，认为对该企管人员管理能力“很好”的比重为 41%，“较好”的比重4 为 25%，“一般”的比重为 19%，“较差”的比重为 3%。
例4-3 对教师教学能力综合评判，从清楚易懂、教材熟练、生动有趣、板书整齐四个方面评判 教师教学能力。 取评判因素集为 X = {清楚易懂、教材熟练、生动有趣、板书整齐} ， 取评语集为 Y = { 很好、较好、一般、不好 } ， 试就这四个因素对该教师教学能力作出综合评判。
解：① 确定 R：进行单因素评判 组成一个100人的评比小组，到甲、乙、丙三个商店对“清洁卫生”作单因素评判，结果是： 有80人认为甲商店“清洁卫生”好， 有60人认为乙商店“清洁卫生”好， 有40人认为丙商店“清洁卫生”好， 于是得：A清=( 0.8，0.6，0.4 ) 同理有：A礼=( 0.5，0.6，0.7 ) A秤=( 0.7，0.9，0.6 ) A商=( 0.9，0.4，0.3 )

第四讲对策论


计算结果为（保留有效部分）
Global optimal solution found at iteration: 0
Objective value:
5.000000
Variable
Value Reduced Cost
V_A 5.000000
0.000000
X( 1) 0.000000
2.000000
优化建模
例1.1 “石头--剪子--布”中儿童甲的支付函数
乙
石头
剪子
布
石头
0
1
-1
甲
剪子
-1
0
1
布
1
-1
0
优化建模
•当局中人得失总和为零时，称这类对策为零和对策； 否则称为非零和对策。
•当局中人只有两个，且对策得失总和为零，则称为 二人零和对策，若总得失总和为常数，则称为二人常 数和对策，若得失总和是非常数的，则称为二人非常 数和对策。
在对策论中，应有以下要素：
优化建模
(1) 局中人。是指参与对抗的各方，可以是一个人， 也可以是一个集团。在例1.1的甲、乙两名儿童就 是局中人。
(2) 策略。是指局中人所拥有的对付其他局中人的 手段、方案的集合。如例1.1中共有石头、剪子、 布三种策略。
(3) 支付函数（或收益函数）。是指一局对策后各局 中人的得与失，通常用正数字表示局中人的得，用 负数字表示局中人的失。在例1.1的局中人甲的支付 函数如表所示。
j 1
的概率混合使用他的n种策略。
优化建模
当A采用混合策略，B分别采用纯策略
bj(j=1,2, …,n), A的赢得分别为
m
cij xi ( j 1,2,, n)

运筹学教学-对策论公开课获奖课件百校联赛一等奖课件

局中人称为“i旳对手”，记为-i。
对策中利益一致旳参加者只能看成一种局中人，例：桥牌中 旳东、西两方。 对策论中对局中人旳一种主要假设：每个局中人都是“理智 旳”，即每一种局中人都不存在侥幸心理，不存在利用其他 局中人决策旳失误来扩大本身利益旳行为。
基本概念
在策略型博奕中，一种对策有下列几种基本要素： 一．局中人 二．策略(strategies)：
-1
1
布
1
0
-1
剪刀
-1
1
0
第三节 矩阵对策旳纯策略
例：设有一矩阵对策 G {S1, S2; A} 其中
6 1 8
A
3
2
4
9 1 10
3 0
6
解：对局中人I而言，最大赢得是9，若想得到这个赢得，
他要选择纯策略 ，3因为局中人II也是理智旳竞争 者，他已考虑到局中人I打算出 旳3心理，则准备 以 3对付之，使局中人I不但得不到9，反而失掉10. 局中人I当然也会猜到局中人II旳心理，故而出 4
I {1,2,..., n}
Si ;i 1,2,..., n
局势----状态
n
S Si i 1
支付函数
支付有关局势旳函数----决策根据和原则 H i (s);i 1,2,..., n, s S
模型 I {1,2,..., N }, Si , i I , H i (s), i I
二人：参加对策旳局中人有两个；
有限：局中人旳策略集都为有限集；
零和：在任一局势下，两个局中人旳赢得之和总等于0，即，
一种局中人旳所得值恰好是另一种局中人旳所失值，双方旳 利益是完全对抗旳。
设局中人I和II旳策略集分别为
S1 {1,2 ,...,m } S2 {1, 2 ,..., n}

运筹学教材课件(第九章 对策论)


j
ai* j
a a i* j*
i* j
同理有
因此 max i
aij*
ai* j
a a i* j*
ij*
由式（9－6）和式（9－7）得
aij* ai* j* ai* j i=1,2, ,m ;j=1,2, ,n
证得 (i* , j* )是G的纯策略解。
（9－6） （9－7）
9.2.1 最优纯策略和鞍点
4
2*
3
－3
8
1
4
－3
4
0
1
－5
3
－5
max
2*
8
i
2*
5
2
(1, 1), (1, 3), (2, 1), (2, 3) 都是G的鞍点，因而它们也都是最优纯策略
解，对策值VG＝2 ，Ⅰ的最优纯策略解是1,2，Ⅱ的最优纯策略解 是 1, 3。
9.2.1 最优纯策略和鞍点
纯策略解有下述两条性质： （1）无差别性
定义9－4 设G* {X ,Y ; E},是矩阵对策 G {s1, s2; A}的混和扩充， 如果存在混合局势(x*, y*)使得对所有x∈X,y∈Y，有
E(x, y*) E(x*, y*) E(x*, y)
（9－10）
则称(x*, y*)是对策G的混合策略解，简称对策G的解，或称最优
混合局势，简称最优局势。称 x*, y*分别是局中人Ⅰ和Ⅱ的最
ai*
j
又因为
min j
max i
aij
max i
aij*
;
min j
ai*
j
max min
i
j
aij
所以
min j
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1 1 0 0 0.5 0.05 (0.3,0.3,0.4) 1 0 1 1 1 0 0.5
所以，甲平均要输 0.05。
13
4·最优混合策略 ⑴ 定义:若 X*S(m),Y*T(n)，使对所有 XS(m),YT(n),都有 E(X,Y*)≤E(X*,Y*)≤E(X*,Y), 则 X*、Y* 分别称为甲、乙的最优混合策略，(X*,Y*)为对策的解，E(X*,Y*)为对策值V。 例1-6 给定一个矩阵对策 G = {甲,乙,S甲,S乙,A}，S甲={1,2},S乙={1,2} ，
三、对策论的概念
研究竞争现象的一种定量分析理论。
三、对策论的起源
1·我国古代围棋比赛和17世纪欧洲国际象棋比赛 — 形成模拟模型。 2·1912年，数学家翟墨罗发表论文“把集合论应用于象棋的博奕理论”，
把对策从模拟模型抽象为数学模型。 3·第一次世界大战期间，产生了军事对策(战役、战略、军事装备等)。 4·1944年，冯· 诺意曼与经济学家摩根斯特恩合写“对策论与经济行为”,把对策论应用于经济管理。 2 5·我国公元前六世纪(春秋)―孙子兵法”13篇。
二、建模：建立支付函数，这里是支付矩阵(也叫矩阵对策问题)
设局中人甲有m个纯策略 S甲= {1,2,…,m}，局中人乙有n个纯策略 S乙= {1,2,…,n}。 纯局势(i,j)得失为aij：当aij＞0时，甲赢得aij，乙损失aij； 当aij＜0时，甲损失-aij，乙赢得-aij。 构成支付矩阵 A：
12
如例1-2.两小孩共玩了10局游戏对策，最后总计谁胜谁负，设这10次游戏中： 甲随机出了 3次石头、3次剪刀、4次布，即甲采用混合策略 X = (0.3,0.3,0.4)； 乙随机出了 0次石头、5次剪刀、5次布，即乙采用混合策略 Y = (0,0.5,0.5) 。 aij 乙
甲
1 (石头)
j i
若V1=V2=VG，则稳妥原则实现，VG为支付矩阵的稳定值—即鞍点值，对应的纯策略i*,j*为 甲、乙的最优纯策略，局势(i*,j*)为对策的最优解，即：
aij* ai* j* ai* j
如例1-3.
行元素 变化趋势
列元素 变化趋势

鞍点
3400 5500 8400 A 5100 5100 7600 6800 6800 6800
三、鞍点对策问题两个性质 1·解的稳定性 对策的最终结局可在支付矩阵中得到双方均认可的妥协， 双方均认识到在原有策略中存在最优策略。 2·对策的公开性 双方均明确并可公开申明参加对策的最优策略，最优局势是双方妥协的结果， 反映双方策略的实力。
11
1.3 支付矩阵无鞍点的二人有限零和对策
一、特点
1·策略保密性：图谋出奇制胜。 2·得失随机性：某局竞争的胜败难于予料，强者可败，弱者可胜。 3·多局竞争性：多局竞争后决定胜负。
3 (中上下) 1 1 3 1 -1 1
4 (中下上) 1 1 1 3 1 -1
5 (下上中) 1 -1 1 1 3 1
6 (下中上) -1 1 1 1 1 3
1(上中下) 2(上下中) 3(中上下) 4(中下上) 5(下上中) 6(下中上) 则支付矩阵为：
1 1 1 1 1 3 1 3 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 A 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 3
3
联合对策 结 盟 对 策 静 态 对 策 不 结 盟 对 策
合作对策 零和 二人 有 限 多人 非零和 二人 无 限 零和 非零和 零和 非零和
4
非零和 零和
对 策
多人
动 态 对 策 微分对策
1.2
支付矩阵有鞍点的二人有限零和对策
一、特点
1·策略公开。 2·得失确定且总和为零：一方所得必为另一方所失，局中人利益冲突(对抗对策)。 3·单局竞争决定胜负。
如：齐王出策略(上中下)，田忌出策略(中上下)， 则齐王二胜一负，赢得1千金；田忌损失1千金。
六、局势
每个局中人从各自的策略集合中选取一个策略参加对策，形成的一个处于竞争的策略组。 如：齐王选策略(上中下)，田忌选策略(中上下)，构成一个局势{(上中下)，(中上下)}。 局势的得失总和为0。
七、对策的分类
-3400 -5100 -6800
-8400 -7600 -6800
甲用策略3，乙用策略3， 即 秋季购进煤2O吨，总费用最低为68OO元。
10
例1-5 某厂工程师设计了三个矿石冶炼(或选矿)流程，考虑到它们的所用设备和工艺环节等因素， 若付诸实施可会遇上生产正常和生产不正常两种情况,这两种情况的出现及其概率未能予知， 但三个流程在这两种情况下的单位支付费用已算出，如下表，问：选用哪个流程较好? aij 乙 甲 1(流程1) 2(流程2) 3(流程3) 1 2 (生产正常) (生产不正常) -1.5 -1.4 -1.4 -1.4 -1.7 -1.8 -1.7 -1.7 -1.7 -1.8 -1.7 解：有二个鞍点局势(1,2)和(3,2) 甲用1，乙用2；甲用3，乙用2 最小支付费用为：1.7(百元/吨)。 所以应选“流程1‖ 或“流程3‖ 。
2 3
4
3 16
-1 16
2 1
1
4 -9
7 7
2
9
2·稳妥性原则数学表达： ①对甲而言是最小最大原则：从支付矩阵每行元素中取最小数，再从这些最小数中取最大数，得
max min a ij v 1
i j
②对乙而言是最大最小原则：从支付矩阵每列元素中取最大数，再从这些最大数中取最小数，得 min max a ij v 2
则支付矩阵为：
3400 5500 8400 A 5100 5100 7600 6800 6800 6800
8
二、求解 1·稳妥性原则 局中人在公开对策的前提下，都从最坏处着想，在最坏的环境中争取最好的结果。 例1-4 某企业决定由职工代表大会选举行政负责人，经提名产生候选人甲和乙。他们根据企业的 发展战略和群众关心的事业各自提出了企业改革的方案。甲提出了四种：1,2,3,4； 乙提出了三种：1,2,3。他们的参谋人员为使竞争对本方有利，予先作了个民意抽样 测验。因各方提供的不同策略对选票吸引力不同。测验选票经比较后差额如下表 (单位:十张)： aij 乙 甲 1 -4 0 -6 1 2 3 问：甲和乙在竞选中应采用何种策略？ 解：对策时，双方均理智，且发挥主动性。 -6 最后，甲用2竞选，领先2O票优势； 乙只能用2竞选，缩短票数差距。 2 双方均认为只能如此，为双方妥协结果。 -9 -1 支付矩阵中： 每行选最小值，这些最小值中选最大值V1； 每列选最大值，这些最大值中选最小值V2； 若 V1 = V2 ，则得最优解。
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例1-2.两小孩玩石头、剪刀、布的游戏：甲、乙两小孩出的手势都有可能是石头、剪刀、布， 若他们三次出的手势如下图，则乙小孩二胜一负。 甲小孩 乙小孩 石头 剪刀 布 胜 胜 败 石头 剪刀 布
二、竞争现象的特点
双方均有理智：为击败对手，可随机应变改变策略(多为保密)。 实力强者：稳扎稳打以优势取胜。 实力弱者：避开对方优势锋芒，打击对方弱点取胜。 在经济管理对策中：把非理智的客观世界设想为“理智人”，并与之斗争。
0 -1 1
2 (剪刀)
1 0 -1
3 ( 布)
-1 1 0
支付矩阵为(无鞍点)：
1(石头) 2(剪刀) 3(布)
1 1 0 A 1 0 1 1 1 0
得失期望值为：
T E ( X , Y ) XAY (m) X S Y S ( n )
a11 a 21 A a m 1
a 12 a 22 am2
a1n a 2n a mn
对策可写成 G = {甲，乙，S甲，S乙，A}。
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如例1-1.齐王与田忌赛马： aij 田忌
齐王
1 (上中下) 3 1 1 -1 1 1
2 (上下中) 1 3 -1 1 1 1
四、对策
参加竞争的各方为了取胜，而研究出一组对付对方的策略。
五、对策的三要素
1·局中人：参加竞争，并有决策权的各方(二人或多人)。 如：齐王和田忌。 2·策略：在一局竞争中，每一局中人均有供他选择的实际可行的完整行动方案。
如例1-1，齐王有6个策略：{(上中下)，(上下中), (中上下), (中下上),(下上中), (下中上)} 田忌有6个策略：{(上中下)，(上下中), (中上下), (中下上),(下上中), (下中上)} 如例1-2，甲小孩有3个策略：{石头，剪刀，布} 乙小孩有3个策略：{石头，剪刀，布} 3·一局对策的得失：局中人的得失。叫支付函数，对有限策略集，叫支付矩阵。
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如例1-2.两小孩玩游戏： aij 乙
甲
1 (石头) 0 -1 1
2 (剪刀) 1 0 -1
3 ( 布) -1 1 0
1(石头) 2(剪刀) 3(布)
则支付矩阵为：
1 1 0 A 1 0 1 1 1 0
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例1-3.某单位秋季要决定冬季取暖用煤的贮量。冬季用煤贮量在较暖、正常和较冷情况下分为 10、15和20吨。设冬季煤价也随寒冷程度而变，在上述三种情况下分别为340、420和500元/吨， 已知秋季煤价为340元/吨，冬季气象未能予知，问秋季合理贮煤量为多少？ 解：建模，设局中人甲为：贮煤量决策者； 局中人乙为：未来冬季气候。 费用总和=秋季贮煤量费用+冬季补购煤量费用 aij 乙 甲 1(10 吨) 2(15 吨) 3(20 吨) 1 (较暖) -(10×340)=-3400 -(15×340)=-5100 -(20×340)=-6800 2 (正常) -(10×340+5×420)=-5500 -(15×340)=-5100 -(20×340)=-6800 3 (较冷) -(10×340+10×500)=-8400 -(15×340+5×500)=-7600 -(20×340)=-6800