高中数学基础预习课堂探究达标训练3.4.2函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质精品导学案湘教版必

【全程复习方略】湖南省2013版高中数学 3.4函数y=Asin(ωx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用提能训练 理 新人教A 版(40分钟 80分)一、选择题（每小题5分，共20分）1.(2012·岳阳模拟)函数y=5sin(2x+θ)的图象关于y 轴对称的充要条件是( ) (A)θ=2k π+2π(k ∈Z) (B)θ=2k π+π(k ∈Z) (C)θ=k π+2π(k ∈Z) (D)θ=k π+π(k ∈Z)2.(2012·衡阳模拟)若函数f(x)＝sin(ωx+φ)(|φ|<2π)的图象(部分)如图所示，则ω和φ的值是( )(A)ω=1,φ=3π (B)ω=1,φ=-3π(C)ω=12,φ=6π(D)ω=12,φ=-6π3.（易错题）已知函数f(x)=1+cos2x-2sin 2（x-6π)，其中x ∈R ，则下列结论中正确的是( ) (A)f(x)是最小正周期为π的偶函数 (B)f(x)的一条对称轴是x=3π (C)f(x)的最大值为2(D)将函数3的图象左移6π个单位得到函数f(x)的图象 4.（2012·东北师大附中模拟）已知函数f(x)=sin(ωx+4π)(x ∈R,ω＞0)的最小正周期为π，为了得到函数g(x)=cos ωx 的图象，只要将y=f(x)的图象( ) (A)向左平移8π个单位长度 (B)向右平移8π个单位长度(C)向左平移4π个单位长度 (D)向右平移4π个单位长度 二、填空题（每小题5分，共15分） 5.已知函数f(x)＝sin(ωx+3π)(ω>0)的最小正周期为π，则ω=_______． 6.函数f(x)=2sin(ωx+3π)(x ∈R)，f(α)=-2,f(β)=0,且|α-β|的最小值等于2π,则正数ω的值为_______.7．给出下列命题： ①函数f(x)＝4cos(2x+3π)的一个对称中心为(5,12π-0); ②已知函数f(x)＝min{sinx ，cosx}，则f(x)的值域为[-1,22]; ③若α、β均为第一象限角，且α＞β，则sin α＞sin β,其中所有真命题的序号是_______． 三、解答题（每小题15分，共30分） 8.(预测题)已知函数f(x)＝2sin(2x )1.4π-＋ (1)求它的振幅、最小正周期、初相； (2)画出函数y ＝f(x)在[-2π,2π]上的图象．9.已知弹簧上挂的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化规律为s=4sin(2t+3π)，t ∈[0,+∞).用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题. （1）小球在开始振动(t=0)时，离开平衡位置的位移是多少？（2）小球上升到最高点和下降到最低点时离开平衡位置的位移分别是多少？ （3）经过多长时间，小球往复振动一次？ 【探究创新】（15分）已知函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜2π，x ∈R)的图象的一部分如图所示．(1)求函数f(x)的解析式； (2)当x ∈[-6,-23]时，求函数y ＝f(x)＋f(x ＋2)的最大值与最小值及相应的x 的值． 答案解析1. 【解析】选C.只要使sin(2x+θ)能转化为±cos2x 的θ的值均可.2. 【解析】选C.由图可知T 2T 4433ππ+⇒=π＝, 221T 42ππω===π,又图象过(-3π，0)，故其解析式为11y sin (x )sin(x )2326ππ=+=+,则ω=12,φ=6π.3.【解题指南】先将f(x)的解析式化为f(x)=Asin(ωx+φ)的形式，然后判断可知. 【解析】选D.∵f(x)=cos2x+cos2(x-6π) =cos2x+cos2xcos3π+sin2xsin 3π 33cos2x sin2x 3sin(2x )233sin2(x ).6π=+=+π=+∴D 正确.4.【解析】选A.由T=π,∴2πω=π,∴ω=2, ∴f(x)=sin(2x+4π)，又∵g(x)=cos2x=sin(2x+2π)=sin(2x+4π+4π)=sin ［2(x+8π+ 8π)］, ∴y=f(x)的图象向左平移8π个单位长度得g(x)的图象.5.【解析】T=2πω=π，所以ω=2.答案：26.【解析】由f(α)=-2,f(β)=0,且|α-β|的最小值等于2π可知T ,42π=T=2π. ∴ω=1. 答案：17．【解题指南】根据三角函数的性质，逐一进行判断，要注意每个题目所给出的条件. 【解析】对于①，令x ＝5,12-π则2x ＋3π＝－56π＋3π＝－2π，有f(512-π)＝0，因此(5,12-π0)为f(x)的一个对称中心，①为真命题；对于②，结合图象知f(x)的值域为[-1,22]，②为真命题；对于③，令α＝390°，β＝60°，有 390°＞60°，但sin390°＝12＜sin60°＝32，故③为假命题，所以真命题为①②. 答案：①②8.【解题指南】直接根据已知得出振幅、周期、初相，利用五点作图法画出图象.【解析】(1)f(x)＝2sin(2x-4π)＋1的振幅为2， 最小正周期T ＝22π＝π，初相为-4π.(2)列表并描点画出图象：x 2π- 38π-8π- 8π 38π 2π y211-211+22故函数y ＝f(x)在区间[-2,2]上的图象是t12π 3π 712π 56π 1312π2t+3π 2π π 32π 2π 52π sin(2t+3π)1 0 -1 0 1 s4-44描点作图如图所示.（1）将t=0代入s=4sin(2t+3π),得s=4sin 3π=23, 所以小球开始振动时的位移是23cm.（2）小球上升到最高点和下降到最低点的位移分别是4 cm 和-4 cm.（3）因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是π s. 【探究创新】【解题指南】由图象直接得到A ，再根据周期求出ω，由定点求出φ，得到函数解析式.通过代入经变换求出最值.【解析】(1)由图象知A ＝2，T ＝8， ∵T ＝2πω＝8，∴ω＝.4π 又图象经过点(－1,0)，∴2sin(-4π+φ)＝0. ∴φ=k π+4π,k ∈Z, ∵|φ|＜2π，∴φ＝.4π∴f(x)＝2sin(4πx+4π).(2)y ＝f(x)＋f(x ＋2)＝2sin(4πx+4π)＋2sin(4πx+2π+4π) ＝22sin(4πx+2π)＝22cos 4πx.∵x ∈[-6,- 23]，∴－32π≤4πx ≤-6π.∴当4πx ＝-6π，即x ＝-23时，y ＝f(x)＋f(x ＋2)取得最大值6；当4πx ＝－π，即x ＝－4时，y ＝f(x)＋f(x ＋2)取得最小值－22. 【方法技巧】由图象求解析式和性质的方法和技巧（1）给出图象求y=Asin(ωx+φ)+b 的解析式的难点在于ω,φ的确定，本质为待定系数法，基本方法是：①寻找特殊点（平衡点、最值点）代入解析式； ②图象变换法，即考察已知图象可由哪个函数的图象经过变换得到，通常可由平衡点或最值点确定周期T ，进而确定ω．（2）由图象求性质的时候，首先确定解析式，再根据解析式求其性质，要紧扣基本三角函数的性质，例如单调性、奇偶性、周期性和对称性等都是考查的重点和热点. 【变式备选】已知函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(x ∈R ，A>0，ω>0，|φ|<2π)的部分图象如图所示．(1)试确定f(x)的解析式；(2)若f(a 2π)＝12，求cos(23π－a)的值． 【解析】(1)由题干图可知A ＝2，T 5114632＝－＝，∴T ＝2，ω＝2T π＝π.将点P(13，2)代入y ＝2sin(πx ＋φ)，得2sin(3π＋φ)＝2.∴φ=2k π+6π(k ∈Z),又∵|φ|<2π，∴φ＝6π.故所求解析式为f(x)＝2sin(πx ＋6π)(x ∈R)．(2)∵f(a 2π)＝12，∴2sin a 1()262π＋＝，即sin a 1().264π＋＝∴cos(23π－a)＝cos[π－2(a 62π＋)]＝－cos2(a 62π＋)＝2sin 2(a 62π＋)－1＝7.8－。

3.4.2 函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象与性质1．函数y ＝sin(x ＋φ)的图象与函数y ＝sin x 的图象之间的关系一般地，y ＝sin(x ＋φ)的图象可以由y ＝sin x 的图象向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平行移动|φ|个单位长度得到．预习交流1由函数y ＝sin 2x 的图象经过怎样的平移可得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象？一般地，将函数y ＝sin ωx 的图象经怎样的平移可得到y ＝sin(ωx ＋φ)的图象？提示：由于y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，所以应将y ＝sin 2x 的图象向左平移π6个单位，即可得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象；一般地，应把y ＝sin ωx 的图象向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移φ|ω|个单位才能得到y ＝sin(ωx ＋φ)的图象．2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，φ是常数)的图象与y ＝sin x 的图象之间的关系一般地，设A ＞0，ω＞0，φ是常数，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R )的图象可经过以下步骤得到：将正弦曲线y ＝sin x 向左(当φ＞0)或向右(当φ＜0)平行移动|φ|个单位长度；再将所得曲线上每一点的横坐标伸长(0＜ω＜1)或缩短(ω＞1)为原来的1ω倍；进一步将所得曲线上每一点的纵坐标扩大(A ＞1)或缩小(0＜A ＜1)为原来的A 倍．预习交流2若对y ＝sin x 的图象先进行伸缩变换，再进行平移变换，能否得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象？提示：能得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，但要注意这时平移的单位数不再是|φ|，而是⎪⎪⎪⎪⎪⎪φω. 3．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，φ是常数)的性质(1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，A ＞0，ω＞0)的值域为[－A ，A ]，周期为2πω.(2)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)经常用来表示振动过程中的物理量．此时A 表示这个振动量偏离平衡位置的最大距离．称其为振幅．如果x 表示时间，则函数的周期2πω就是往复振动一次所需的时间．而f ＝1T ＝ω2π表示单位时间内往复振动的次数，称为频率，ωx＋φ称为相位，x ＝0时的相位φ称为初相．预习交流3在函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)中，φ取何值时，函数是奇函数？φ取何值时，函数是偶函数？提示：当φ＝k π(k ∈Z )时，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)是奇函数，当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时，函数是偶函数．预习交流4怎样确定函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的对称轴与对称中心？提示：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的对称轴方程由ωx ＋φ＝k π＋π2求得，即x ＝k π＋π2－φω(k ∈Z )；由ωx ＋φ＝k π，即x ＝1ω(k π－φ)(k ∈Z )，得对称中心为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1ω(k π－φ)，0(k ∈Z )．一、函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与性质作出函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，并求函数的单调递增区间以及对称中心的坐标． 思路分析：用“五点作图法”画出函数图象，然后用整体代换的方法求单调增区间以及对称中心坐标．解：按“五点法”，令2x ＋π3分别取0，π2，π，3π2，2π，x 相应取－π6，π12，π3，7π12，5π6.利用函数的周期性，可以把上述简图向左、右扩展，就得到y ＝3sin(2x ＋π3)，x ∈R 的简图．由2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2解得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z ，故函数的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z )． 令2x ＋π3＝k π，解得x ＝k π2－π6，k ∈Z ，所以函数图象的对称中心的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π6，0(k ∈Z )．作出函数y ＝2cos(2x －π3)的图象，并根据图象写出函数的单调减区间．解：令X ＝2x －π3，按“五点法”令X ＝2x －π3分别取0，π2，π，3π2，2π，x 相应取π8，5π12，2π3，11π12，7π，列出表格如下：利用函数的周期性，可以把图左、右扩展得到y ＝2cos(2x －π3)，x ∈R 的简图．由图象知，函数的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3 (k ∈Z )．1．用“五点法”画函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R )的简图，先作变量代换，令X ＝ωx ＋φ，再用方程的思想由X 取0，π2，π，3π2，2π来确定对应的x 的值，最后根据x ，y 的值描点，连线画出函数的图象．2．研究函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称性、单调性等性质时，都是采取整体代换的思想，将ωx ＋φ作为一个整体，然后根据y ＝sin x 的对称性、单调性求出x 的值或范围，从而得出y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质．二、函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象变换(1)如何由函数y ＝sin x 的图象得到函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象？ (2)如何由y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的图象得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3的图象？思路分析：(1)按照伸缩变换以及平移变换的规则进行，可以有两种方法；(2)先将y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6转化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式再进行图象变换．解：(1)方法一：函数y ＝sin x 的图象函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3的图象―------------------------―→将曲线上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象―---------------------―→将曲线上各点的纵坐标伸长为原来的3倍，横坐标不变函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象． 方法二：函数y ＝sin x 的图象―-------------------―→将各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变函数y ＝sin 2x 的图象函数y ＝sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6的图象――-----------------→将曲线上各点的纵坐标伸长为原来的3倍，横坐标不变函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象．(2)由于y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，而y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3－2π3，因此应将函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的图象向右平移2π3个单位，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3的图象．1．(2012安徽高考，文7)要得到函数y ＝cos(2x ＋1)的图象，只要将函数y ＝cos 2x 的图象( )A ．向左平移1个单位B ．向右平移1个单位C ．向左平移12个单位D ．向右平移12个单位答案：C解析：∵y ＝cos(2x ＋1)＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，∴只须将y ＝cos 2x 的图象向左平移12个单位即可得到y ＝cos(2x ＋1)的图象．2．将函数y ＝sin x 的图象向左平移φ(0≤φ＜2π)个单位后，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6的图象，则φ等于________．答案：11π6解析：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋2π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋11π6，∴φ＝11π6.1．三角函数图象的变换可按两种顺序进行：一是先进行相位变换，再进行周期变换；二是先进行周期变换，再进行相位变换．在由y ＝sin ωx 的图象变换到y ＝sin(ωx ＋φ)的图象时，应平移|φω|个单位．2．在进行三角函数图象变换时，要确保变换前后函数的类型是一致的，如果函数类型不一样，应先利用诱导公式转化为同一类型的函数再按照变换的法则进行变换．三、由图象确定y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式如图所示，它是y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)，|φ|＜π的图象，由图中条件，写出该函数的解析式．思路分析：由图象的最高点与最低点确定A ，由周期确定ω，由五个特殊点中的某一个确定φ.解：由图知，A ＝5，周期T ＝2×(5π－2π)＝6π，所以2πω＝6π，ω＝13，由13×π2＋φ＝π2得φ＝π3，所以函数的解析式为y ＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋π3.函数y =A sin(ωx +φ)(A ＞0，ω＞0)，|φ|＜π的图象如图，求其解析式． 解：由图可知A =2，T=7ππ88⎛⎫=- ⎪⎝⎭=π，又∵2πT ω=，∴ω=2.又∵π,08⎛⎫-⎪⎝⎭为五点作图的第一个零点， ∴2·π8-+φ=0.∴π4ϕ=.因此所求函数的表达式为π2sin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.根据y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑：(1)A 的确定：根据图象的最高点和最低点，即A ＝最高点－最低点2；(2)k 的确定：根据图象的最高点和最低点，即k ＝最高点＋最低点2；(3)ω的确定：结合图象，先求出周期T ，然后由T ＝2πω(ω＞0)来确定ω；(4)φ的确定：由某一特殊点的横坐标求出．1．(2012天津高考，文7)将函数f (x )＝sin ωx (其中ω＞0)的图象向右平移π4个单位长度，所得图象经过点⎝⎛⎭⎪⎫3π4，0，则ω的最小值是( )A ．13B ．1C ．53 D ．2 答案：D解析：f (x )＝sin ωx 的图象向右平移π4个单位长度得：y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝⎛⎭⎪⎫x －π4.又所得图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，0，∴sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－π4＝0.∴sin ωπ2＝0.∴ωπ2＝k π(k ∈Z )．∴ω＝2k (k ∈Z )．∵ω＞0，∴ω的最小值为2.2．(2011山东潍坊高一期末检测)为了得到y ＝sin 2x 的图象，只需将y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象 ( )A ．向右平移π12个长度单位B ．向右平移π6个长度单位C ．向左平移π6个长度单位D ．向左平移π12个长度单位答案：B解析：y ＝sin 2x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋π3，故应将y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移π6个单位．选B ． 3．简谐振动y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫5x ＋π4的相位和初相分别是( ) A ．3,5 B ．5x ＋π4，π4C ．3，π4D ．π4，5x ＋π4答案：B4．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－3的最小正周期和最大值分别是( ) A ．π，－2 B ．π， 2C ．2π，－2D ．2π， 2 答案：A解析：周期为T ＝2π2＝π，最大值为1－3＝－2，选A ．5．函数f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2的图象( ) A ．关于x 轴对称 B ．关于原点对称 C ．关于y 轴对称D ．关于直线x ＝π2对称答案：C解析：f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2＝－4cos 2x ，因此f (x )是偶函数，其图象关于y 轴对称．选C ．6．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π)的图象如图所示，则f (x )的解析式为__________．答案：f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4解析：由图可知A ＝2，周期T ＝8，因此2πω＝8，ω＝π4，于是f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋φ， 又图象过点(－1,0)，因此2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋φ＝0，得φ＝π4， 故f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4.。

辅导讲义――函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象及性质教学内容1．y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)，x ∈[0，＋∞)振幅 周期 频率 相位 初相 AT ＝2πωf ＝1T ＝ω2πωx ＋φφ2.用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图 五个特征点的取法：设X =ωx ＋φ，由X 取0，2π，π，23π，π2来求出相应的x 的值，及对应的y 值，再描点作图.如下表所示.x0－φω π2－φω π－φω 3π2－φω 2π－φω ωx ＋φ 0 π2 π 3π2 2π y ＝A sin(ωx ＋φ)A－A3．函数y ＝sin x 的图象经变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的步骤如下：[例1] 函数)421sin(2π+=x y 的周期，振幅，初相分别是______________.[巩固1] 函数)20,0,)(sin(πϕωϕω<≤>∈+=R x x y 的部分图象如图，则ω=______；ϕ=______知识模块1 y ＝A sin(ωx ＋φ)精典例题透析[巩固] 若关于x 的方程01sin sin 2=+-+m x x 有解，则实数m 的取值范围为_____________.[例5] 要得到)21sin(x y -=的图象，只需将)621sin(π--=x y 的图象_______________.[巩固1] 为得到函数)3cos(π+=x y 的图象，只需将函数x y sin =的图象_____________________.[巩固2] 为得到函数)62sin(π-=x y 的图象，只需将函数x y 2cos =的图象_____________________.[例6] 已知函数x x f πsin )(=的图象的一部分如左图，则右图的函数图象所对的函数解析式为_____________.[巩固1] 函数)0,0,0)(sin()(πϕωϕω<<>>+=A x A x f 的部分图象如图所示，则)(x f 的解析式为____________.[巩固2] 已知函数),0,)(sin()(πϕπωϕω<<->∈+=R x x A x f 的部分图象如图所示，则函数)(x f 的解析式 是_______________.[例7] 设函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的图象关于直线x ＝2π3对称，它的周期是π，则下列说法正确的是________．(填序号)[例]（1）已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(其中ω>0，|φ|<π2)的最小正周期是π，且f (0)＝3，则ω＝_____，φ＝_______.（2）已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，|φ|<π2，ω>0)的图象的一部分如图所示，则该函数的解析式为____________．[巩固] 如图为y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的一段．（1）求其解析式；（2）若将y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象向左平移π6个单位长度后得y ＝f (x )，求f (x )的对称轴方程．题型三：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质[例] (2014·重庆改编)已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2≤φ<π2)的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.（1）求ω和φ的值；（2）当x ∈[0，π2]时，求函数y ＝f (x )的最大值和最小值．[巩固] 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω，A >0,0<φ<π2)的最大值为2，最小正周期为π，直线x ＝π6是其图象的一条对称轴．（1）求函数f (x )的解析式；（2）求函数g (x )＝f (x －π12)－f (x ＋π12)的单调递增区间．1．(2013·山东)将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )A ．3π4B ．π4C ．0D ．－π42．(2013·浙江)函数f (x )＝sin x cos x ＋32cos 2x 的最小正周期和振幅分别是__________.3.已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，且|φ|<π2)的部分图象如图所示，则函数f (x )的一个单调递增区间是______________.4．电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin(ωt ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π2)的图象如右图所示，则当t ＝1100秒时，电流强度是_____________.5．已知函数f (x )＝2sin ωx 在区间[－π3，π4]上的最小值为－2，则ω的取值范围是_________________.6．设偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°， KL ＝1，则f (16)的值为________．，7．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos ⎣⎡⎦⎤π6(x －6) (x ＝1,2,3，…，12，A >0)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温值 为________℃.夯实基础训练。

高考总复习2025课时规范练36　函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用基础巩固练C2.(2024·四川达州模拟)先将函数f(x)=sin x-1图象上所有的点向下平移1个单位长度,然后将图象上点的纵坐标不变,横坐标变为原来的2倍,得到g(x)C的图象,则g(x)=( )解析将函数f(x)=sin x-1图象上所有的点向下平移一个单位长度,得到函数h(x)=sin x-2的图象.再将函数h(x)=sin x-2的图象上各点的纵坐标不变,横坐标变为原来的2倍,得到函数g(x)=sin x-2的图象.BACBDCACD8.设函数f(x)=tan ωx(ω>0),将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后,所3得的图象与原图象重合,则ω的最小值为 .9.(2024·重庆高三调研)已知某弹簧振子的位移y(单位:cm)与时间t(单位:s)满足y=A sin(ωt+φ)(ω>0),初始时将弹簧振子下压至-4 cm后松开,经过测量发现弹簧振子每10 s往复振动5次,则在第45 s时,弹簧振子的位移是 cm.411.(2024·河南安阳一中校考)某港口水深y(单位:米)是时间0≤t≤24(单位:时)的函数,下表是水深数据:t/时03691215182124y/米10.013.09.97.010.013.010.17.010.1根据上述数据描成的曲线如图所示,经拟合,该曲线可近似地看成正弦型函数y=A sin ωt+b(A>0,ω>0)的图象.(1)试根据数据表和曲线,求出y=A sin ωt+b(A>0,ω>0)的表达式;(2)一般情况下,船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的,如果某船的吃水度(船底与水面的距离)为7米,那么该船在什么时间段能够安全进港?若该船欲当天安全离港,它在港内停留的时间最多不能超过多长时间?(忽略离港所用的时间)综合提升练12.(多选题)(2024·重庆模拟)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|< )的部分图象如图所示,则下列结论正确的是( )BCD作函数y=f(x),y=log2πx图象如图所示,当x=2π时,又当x>2π时,log2πx>1≥f(x),结合图象可知,函数y=f(x)与y=log2πx有且只有3个交点,即方程f(x)=log2πx有3个实数根,故D正确.故选BCD.甲乙ACD。

辅导讲义――函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象及性质教学内容1．y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)，x ∈[0，＋∞)振幅 周期 频率 相位 初相 AT ＝2πωf ＝1T ＝ω2πωx ＋φφ2.用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图 五个特征点的取法：设X =ωx ＋φ，由X 取0，2π，π，23π，π2来求出相应的x 的值，及对应的y 值，再描点作图.如下表所示.x0－φω π2－φω π－φω 3π2－φω 2π－φω ωx ＋φ 0 π2 π 3π2 2π y ＝A sin(ωx ＋φ)A－A3．函数y ＝sin x 的图象经变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的步骤如下：[例1] 函数)421sin(2π+=x y 的周期，振幅，初相分别是______________.[巩固1] 函数)20,0,)(sin(πϕωϕω<≤>∈+=R x x y 的部分图象如图，则ω=______；ϕ=______知识模块1 y ＝A sin(ωx ＋φ)精典例题透析[巩固] 若关于x 的方程01sin sin 2=+-+m x x 有解，则实数m 的取值范围为_____________.[例5] 要得到)21sin(x y -=的图象，只需将)621sin(π--=x y 的图象_______________.[巩固1] 为得到函数)3cos(π+=x y 的图象，只需将函数x y sin =的图象_____________________.[巩固2] 为得到函数)62sin(π-=x y 的图象，只需将函数x y 2cos =的图象_____________________.[例6] 已知函数x x f πsin )(=的图象的一部分如左图，则右图的函数图象所对的函数解析式为_____________.[巩固1] 函数)0,0,0)(sin()(πϕωϕω<<>>+=A x A x f 的部分图象如图所示，则)(x f 的解析式为____________.[巩固2] 已知函数),0,)(sin()(πϕπωϕω<<->∈+=R x x A x f 的部分图象如图所示，则函数)(x f 的解析式 是_______________.[例7] 设函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的图象关于直线x ＝2π3对称，它的周期是π，则下列说法正确的是________．(填序号)[例]（1）已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(其中ω>0，|φ|<π2)的最小正周期是π，且f (0)＝3，则ω＝_____，φ＝_______.（2）已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，|φ|<π2，ω>0)的图象的一部分如图所示，则该函数的解析式为____________．[巩固] 如图为y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的一段．（1）求其解析式；（2）若将y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象向左平移π6个单位长度后得y ＝f (x )，求f (x )的对称轴方程．题型三：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质[例] (2014·重庆改编)已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2≤φ<π2)的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.（1）求ω和φ的值；（2）当x ∈[0，π2]时，求函数y ＝f (x )的最大值和最小值．[巩固] 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω，A >0,0<φ<π2)的最大值为2，最小正周期为π，直线x ＝π6是其图象的一条对称轴．（1）求函数f (x )的解析式；（2）求函数g (x )＝f (x －π12)－f (x ＋π12)的单调递增区间．1．(2013·山东)将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )A ．3π4B ．π4C ．0D ．－π42．(2013·浙江)函数f (x )＝sin x cos x ＋32cos 2x 的最小正周期和振幅分别是__________.3.已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，且|φ|<π2)的部分图象如图所示，则函数f (x )的一个单调递增区间是______________.4．电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin(ωt ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π2)的图象如右图所示，则当t ＝1100秒时，电流强度是_____________.5．已知函数f (x )＝2sin ωx 在区间[－π3，π4]上的最小值为－2，则ω的取值范围是_________________.6．设偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°， KL ＝1，则f (16)的值为________．，7．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos ⎣⎡⎦⎤π6(x －6) (x ＝1,2,3，…，12，A >0)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温值 为________℃.夯实基础训练。

3.4.1 三角函数的周期性以及函数y ＝Asin x ，y ＝sin ωx 的图象与性质学习目标重点难点1．知道什么是周期函数，什么是函数的周期以及最小正周期；2．能说出函数y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的最小正周期；3．能分析y ＝A sin x ，y ＝sin ωx 的图象与y ＝sin x 图象的关系； 4．会解决函数y ＝A sin x ，y ＝sin ωx 的性质问题.重点：周期函数的定义以及正弦函数、余弦函数、正切函数的周期．分析函数y ＝A sin x ，y ＝sin ωx 的图象与性质；难点：周期函数的定义；疑点：函数y ＝A sin x ，y ＝sin ωx 的图象与函数y ＝sin x 图象的关系.1．三角函数的周期性(1)一般地，对于函数y ＝f (x )，如果存在非零常数T ，使得当x 取定义域内每一个值时，x ±T 都有定义，并且f (x ±T )＝f (x )，则这个函数y ＝f (x )称为周期函数，T 称为这个函数的一个周期．如果周期函数y ＝f (x )的所有的周期中存在一个最小的正数，这个最小的正数就称为这个函数的最小正周期，我们也常常将“最小正周期”简称为“周期”．(2)y ＝sin x 是周期函数，2k π(k ∈Z ，k ≠0)都是它的周期，最小正周期是2π. (3)y ＝cos x 是周期函数，2k π(k ∈Z ，k ≠0)都是它的周期，最小正周期是2π. (4)y ＝tan x 是周期函数，k π(k ∈Z ，k ≠0)都是它的周期，最小正周期是π. 预习交流1能否由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π4＝sin π4，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋5π4＝sin 5π4等说明π2是y ＝sin x 的周期？提示：不能，周期函数中的定义中应要求对定义域中的每一个x ，都满足f (x ＋T )＝f (x )，如果只有个别x 的值满足f (x ＋T )＝f (x )，则不能说f (x )的周期为T .预习交流2所有的周期函数都具有最小正周期吗？ 提示：并不是所有周期函数都存在最小正周期．例如，常数函数f (x )＝C (C 为常数)，x ∈R ，当x 为定义域内的任何值时，函数值都是C ，即对于函数f (x )的定义域内的每一个值x ，都有f (x ＋T )＝C ，因此f (x )是周期函数，由于T 可以是任意不为零的常数，而正数集合中没有最小者，所以f (x )没有最小正周期．2．函数y ＝A sin x (A ＞0，A ≠1)的图象与性质(1)一般地，对任意A ＞0，A ≠1，函数y ＝A sin x 的图象可以由y ＝sin x 的图象上每一点的横坐标不变，纵坐标乘以A 得到．(2)函数y ＝A sin x 的周期是2π，值域是[－A ，A ]，最大值和最小值分别为A 和－A ． 预习交流3函数y ＝A sin x (A ＞0，A ≠1)的奇偶性、单调区间是怎样的？提示：函数y ＝A sin x (A ＞0，A ≠1)仍然是奇函数，它的单调区间与y ＝sin x 的单调区间也完全相同．3．函数y ＝sin ωx (ω＞0，ω≠1)的图象与性质(1)函数y ＝sin ωx (ω＞0，ω≠1)的图象可以由y ＝sin x 的图象上每一点(x ，sin x )的纵坐标不变，横坐标伸长(0＜ω＜1)或缩短(ω＞1)为原来的1ω得到．(2)函数y ＝sin ωx (ω＞0，ω≠1)的周期是T ＝2πω，值域为[－1,1]．预习交流4你能由周期函数的定义说明y ＝sin ωx (ω＞0，ω≠1)的周期为什么是2πω吗？提示：由于sin(ωx ＋2π)＝sin ωx ，即sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2πω＝sin ωx ，因此y ＝sin ωx 的周期为2πω.预习交流5若对于函数f (x )定义域中的每个值x ，都有f (2x ＋T )＝f (2x )，能否说f (x )的周期为T? 提示：不能．从周期函数的定义式f (x ＋T )＝f (x )可知，自变量x 本身增加的常数才是周期．当f (2x ＋T )＝f (2x )时，有f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋T 2＝f (2x )，所以f (x )的周期不是T ，而是T2.在预习中，还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！我的学困点 我的学疑点一、求三角函数的周期求下列函数的周期：(1)y ＝－3sin x ；(2)y ＝cos 5x ；(3)y ＝3tan 3x .思路分析：利用三角函数的周期以及周期的定义求解．解：(1)由于－3sin x ＝－3sin(x ＋2π)，所以y ＝－3sin x 的周期T ＝2π；(2)由于cos 5x ＝cos(5x ＋2π)＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤5⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2π5，所以y ＝cos 5x 的周期T ＝2π5； (3)由于3tan 3x ＝3tan(3x ＋π)＝3tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，所以y ＝3tan 3x 的周期T ＝π3.1．函数y ＝cos(－4x )的最小正周期为__________．答案：π2解析：y ＝cos(－4x )＝cos 4x ，而cos 4x ＝cos(4x ＋2π)＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2，所以函数的最小正周期为π2.2．已知y ＝2sin ωx (ω＞0)的周期为4π，则ω＝__________.答案：12解析：依题意应有2πω＝4π，所以ω＝12.一般地，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)及函数y ＝A cos(ωx ＋φ)(A ≠0，ω≠0)的周期为2π|ω|，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的周期为π|ω|.二、三角函数的图象变换画出函数y ＝2sin 12x 的图象，并说明由这个函数的图象怎样得到函数y ＝sin x 的图象？思路分析：利用五点作图法画函数y ＝2sin 12x 的图象，然后通过横、纵坐标的变换得到函数y ＝sin x 的图象．解：令12x 分别取0，π，π，3π，2π，列表如下：x 0 π 2π 3π 4π 12x 0 π2 π 3π22πy ＝2sin 12x 02 0 －2 0 描点、连线即得函数y =2sin 2x 在一个周期上的图象，然后根据周期性，将其向左、右扩展，即得y =2sin 12x ，x ∈R 的图象．将y =2sin 12x 的图象上每一点的横坐标不变，纵坐标变为原来的12，可以得到函数y =sin 12x的图象，然后再将y =sin 12x 图象上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的12，即可得到函数y =sin x 的图象．1．(2012浙江高考，文6)把函数y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是( )．答案：A解析：y ＝cos 2x ＋1图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得y 1＝cos x ＋1，再向左平移1个单位长度得y 2＝cos(x ＋1)＋1，再向下平移1个单位长度得y 3＝cos(x ＋1)，故相应图象为A ．2．为了得到函数y ＝sin x 的图象，应将函数y ＝13sin x 的图象上每一点的横坐标不变，纵坐标变为原来的( )倍即可．A ．3B ．13C ．1D ．32答案：A1．画函数y ＝A sin ωx (A ＞0，ω＞0)的图象时，仍然可以用“五点法”，但应先作变量代换，令ωx ＝0，π2，π，3π2，2π，求得x 相应的值，然后根据x ，y 的值描点，连线画出函数的图象．2．进行图象变换时，一是要牢记横坐标与纵坐标的变化规则，二是要分清哪是变换前的函数，哪是变换后的函数．三、函数y ＝A sin ωx 的性质已知函数f (x )＝3cos(2x ＋φ)，其中0＜φ＜π，若f (x )是奇函数． (1)求φ的值；(2)求f (x )的单调区间．思路分析：结合诱导公式求φ的值，根据φ的值，将f (x )解析式化简，然后求其单调区间．解：(1)由于cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x . 而y ＝－sin 2x 是奇函数，从而y ＝－3sin 2x 也是奇函数，故当φ＝π2时，f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－3sin 2x 是奇函数，即φ的值为π2. (2)由(1)知f (x )＝－3sin 2x .令2k π－π2≤2x ≤2k π＋π2解得k π－π4≤x ≤k π＋π4，k ∈Z ，所以f (x )的单调减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π4，k π＋π4(k ∈Z )； 令2k π＋π2≤2x ≤2k π＋3π2解得k π＋π4≤x ≤k π＋3π4，所以f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π4，k π＋3π4(k ∈Z )．若函数f (x )＝14sin ωx (ω＞0)的周期为3π，则其递减区间为__________．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤3k π＋3π4，3k π＋9π4(k ∈Z ) 解析：由于f (x )的周期为3π，所以2πω＝3π，ω＝23.于是f (x )＝14sin 23x .令2k π＋π2≤23x ≤2k π＋3π2，解得3k π＋3π4≤x ≤3k π＋94π，k ∈Z .故f (x )的减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤3k π＋3π4，3k π＋9π4(k ∈Z )．求y ＝A sin ωx 的单调区间，可以把ωx 看作一个整体(保证ω＞0)放入y ＝sin x 的单调区间内，解不等式求得．1．函数y ＝－sin x 的周期为( )A ．π B．2π C．4π D．π2答案：B2．函数y ＝－3cos 2x 的最大值是( ) A ．－1 B ．－3 C ．1 D ．3 答案：D3．要得到函数y ＝sin 4x 的图象，只须将函数y ＝sin x 的图象上每一点的( ) A ．横坐标不变，纵坐标变为原来的4倍 B ．纵坐标不变，横坐标变为原来的4倍C ．横坐标不变，纵坐标变为原来的14倍D ．纵坐标不变，横坐标变为原来的14倍答案：D4．函数y ＝sin 3x 的图象，可以由函数y ＝12sin 3x 的图象上每一点( )得到．A ．横坐标变为原来的3倍B ．纵坐标变为原来的12倍C ．横坐标变为原来的13倍D ．纵坐标变为原来的2倍 答案：D5．若函数y ＝－5cos ωx (ω＞0)的周期为4，则其递增区间是__________． 答案：[4k,4k ＋2](k ∈Z )解析：依题意有2πω＝4，所以ω＝π2，即y ＝－5cos π2x .令2k π≤π2x ≤2k π＋π，解得4k ≤x ≤4k ＋2，k ∈Z ，因此函数的递增区间是[4k,4k ＋2](k ∈Z )．。

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函数y＝A sin(ωx＋φ）的图像(二）[学习目标］1。

会用“五点法”画函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象.2。

能根据y＝A sin(ωx＋φ）的部分图象，确定其解析式。

3.了解y＝A sin（ωx＋φ）的图象的物理意义，能指出简谐运动中的振幅、周期、相位、初相．知识点一“五点法"作函数y＝A sin(ωx＋φ)(A〉0,ω〉0）的图象．利用“五点法”作出函数y＝A sin（ωx＋φ）（A〉0，ω>0)在一个周期上的图象，要经过“取值、列表、描点、连线”这四个步骤．请完成下面的填空.ωx＋φ0错误!π错误!π2πx－错误!－错误!＋错误!－错误!＋错误!－φω＋错误!－错误!＋错误!y0A0－A0所以,描点时的五个关键点的坐标依次是（－错误!，0)，(－错误!＋错误!，A）,(－错误!＋错误!,0），（－错误!＋错误!，－A)，（－错误!＋错误!，0）．若设T＝错误!，则这五个关键点的横坐标依次为－错误!，－错误!＋错误!，－错误!＋错误!，－错误!＋错误!T，－错误!＋T。

思考利用“五点法”作出函数y＝2sin（2x＋错误!）一个周期上的图象，通常选取的五个点依次为．答案(－错误!,0)，(错误!，2）,（错误!，0)，(错误!π，－2），(错误!π，0）．知识点二由函数y＝A sin（ωx＋φ)的部分图象求三角函数的解析式(1）在由图象求解析式时，“第一个零点”的确定是关键，一般地可将所给一段图象左、右扩展找离原点最近且穿过x 轴上升的即为“第一零点”(x 1，0）．从左到右依次为第二、三、四、五点，分别有ωx 2＋φ＝π2，ωx 3＋φ＝π，ωx 4＋φ＝错误!π，ωx 5＋φ＝2π. （2）由图象确定系数ω，φ通常采用两种方法：①如果图象明确指出了周期的大小和初始值x 1（第一个零点的横坐标)或第二，第三（或第四，第五）点横坐标，可以直接解出ω和φ，或由方程(组)求出．②代入点的坐标,通过解最简单的三角函数方程，再结合图象确定ω和φ。

第23讲 函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象及应用（达标检测）[A 组]—应知应会1．（2019春•菏泽期末）函数sin(2)y x =-，[0x ∈，2]π的简图是( )A ．B ．C ．D ．【分析】由题意可得函数的最小正周期为π，(0,)4x π∈可得2(0,)2x π∈，sin(2)0y x =-<，可得所求图象．【解答】解：sin(2)y x =-，[0x ∈，2]π， 可得函数的最小正周期为π，函数y 的图象为两个周期，故A ，B 均错；由(0,)4x π∈可得2(0,)2x π∈，sin(2)0y x =-<，故选：D ．2．（2020春•衢州期末）将函数sin3y x =的图象向右平移4π个单位长度后，所得函数图象的解析式为( ) A ．sin(3)4y x π=+ B ．3sin(3)4y x π=+ C ．sin(3)4y x π=-D ．3sin(3)4y x π=-【分析】根据三角函数的图象平移关系进行求解即可． 【解答】解：函数sin3y x =的图象向右平移4π个单位长度， 得到3sin3()sin(3)44y x x ππ=-=-，即所得的函数解析式是3sin(3)4y x π=-．故选：D ．3．（2020•金凤区校级三模）若将函数()sin 2f x x =的图象向左平移6π个单位长度，则平移后图象的一个对称中心可以为( )A ．(,0)3πB ．(,0)6πC ．(,0)12πD ．(,0)2π【分析】由函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，正弦函数的图象和性质即可得解对称中心． 【解答】解：函数()sin 2f x x =图象向左平移6π个单位得到：()sin[2()]sin(2)63g x x x ππ=+=+， 令：23x k ππ+=，()k Z ∈，解得：126x k ππ=-，()k Z ∈，当1k =时，3x π=，可得平移后图象的一个对称中心可以为(,0)3π． 故选：A ．4．（2020•保定二模）已知函数sin()(0)6y x πωω=->的图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，则该函数图象是由cos2y x =的图象经过怎样的变换得到？( ) A ．向左平移3π个单位长度 B ．向左平移6π个单位长度 C ．向右平移3π个单位长度 D ．向右平移6π个单位长度 【分析】先求出函数sin()6y x πω=-的周期，再利用2T πω=求得ω，从而得sin(2)6y x π=-，然后利用诱导公式将其变形为cos2()3y x π=-，最后利用三角函数的平移变换法则即可得解．【解答】解：由题可知，函数sin()6y x πω=-的最小正周期22T ππ=⨯=，∴222T ππωπ===， sin(2)cos(2)cos2()6623y x x x ππππ∴=-=--=-，∴该函数图象是由cos2y x =的图象向右平移3π个单位所得． 故选：C ．5．（2019秋•烟台期末）如图，某港口一天中6时到18时的水深变化曲线近似满足函数3sin()y x k ωϕ=++，据此可知，这段时间水深（单位：)m 的最大值为( )A ．5B ．6C ．8D ．10【分析】由题意和最小值易得k 的值，进而可得最大值． 【解答】解：由题意可得当sin()x ωϕ+取最小值1-时， 函数取最小值32min y k =-+=，解得5k =， 3sin()5y x ωϕ∴=++， ∴当sin()x ωϕ+取最大值1时，函数取最大值358max y =+=， 故选：C ．6．（2019秋•黄山期末）函数sin()y A x ωϕ=+，(0A >，||ϕπ<，0)ω>的部分图象如图所示，则( )A ．2sin(2)6y x π=-B ．2sin(2)3y x π=-C ．2sin()6y x π=+D ．2sin()3y x π=+【分析】结合三角函数的图象先求出A ，周期，利用五点对应法可以求出函数的解析式． 【解答】解：由图象知函数的最大值为2，即2A =， 周期2[()]2362T ππππ=--=⨯=，即2ππω=，得2ω=，则2sin(2)y x ϕ=+， 由五点对应法得232ππϕ⨯+=，得6πϕ=-，即2sin(2)6y x π=-，故选：A ．7．（2020•凯里市校级模拟）若函数()sin cos (0)f x x x ωωω=->的图象关于点(2,0)对称，则ω的最小值是()A ．8π B ．4π C ．38π D ．58π 【分析】化函数()f x 为正弦型函数，根据正弦函数的对称性求出ω的最小值．【解答】解：函数()sin cos )4f x x x x πωωω=-=-，其图象关于点(2,0)对称， 则24k πωπ-=，k Z ∈；解得28k ππω=+，k Z ∈； 又0ω>，所以0k =时，ω取得最小值是8π． 故选：A ．8．（2020春•平谷区期末）已知函数1()cos()24f x x π=+，如果存在实数1x ，2x ，使得对任意的实数x ，都有12()()()f x f x f x ，那么12||x x -的最小值为( )A ．4π B ．2π C ．πD ．2π【分析】计算()f x 的最小正周期T ，则12||x x -的最小值为2T ． 【解答】解：()f x 的周期2412T ππ==， 由题意可知1()f x 为()f x 的最小值，2()f x 为()f x 的最大值， 12||x x ∴-的最小值为22Tπ=． 故选：D ．9．（2019秋•巢湖市期末）已知函数sin()(0y A x A ωϕ=+>，0ω>，||)ϕπ<的部分图象如图所示，若将函数sin()y A x ωϕ=+的图象向右平移(0)αα>个单位后，得到一个偶函数的图象，则α的取值可能为( )A ．6πB ．3π C ．116πD ．1712π【分析】由函数图象可知A ，T ，进而得ω，将点7(12π，代入解析式，得Φ，求出函数的解析式为)3y x π+，因为它的图象向右平移(0)αα>个单位后，得到))3y x πα-+为偶函数，所以2(0)32k ππαπ-+=+，k Z ∈，进而得出答案．【解答】解：由图可知A ， 1741234T πππ=-=，所以T π=， 2ππω=，得2ω=，因为函数图象过点7(12π，，所以7)12π⨯+Φ， 72212k ππ⨯+Φ=，23k ππΦ=+，k Z ∈， 又因为||πΦ<， 所以3πΦ=．所以)3y x π=+，因为它的图象向右平移(0)αα>个单位后，得到))3y x πα=-+为偶函数，所以2(0)32k ππαπ-+=+，k Z ∈得122k ππα=--，k Z ∈ 当3k =-时，1712πα=． 故选：D ．10．（2020•龙岩模拟）已知函数()sin()(0)4f x x πωω=->，满足不等式9()()6f x f π-在R 上恒成立，在3(,)22ππ上恰好只有一个极值点，则实数(ω= ) A ．34B ．1918C ．272D ．32【分析】由题可知，函数()f x 在96x π=-处取得最小值1-，即9sin()164ππω--=-，所以92642k πππωπ--=-+，即1463k ω=-，k Z ∈①，由于()f x 在3(,)22ππ上恰好只有一个极值点，结合正弦函数的图象可知，3222T T ππ<-，即1222πππωω<，解得12ω<②，由①②可得11588k -<-，所以1k =-，32ω=． 【解答】解：不等式9()()6f x f π-在R 上恒成立，∴99()sin()1664f πππω-=--=-， ∴92642k πππωπ--=-+，即1463kω=-，k Z ∈， 函数()f x 在3(,)22ππ上恰好只有一个极值点，∴3222T T ππ<-，即1222πππωω<， 12ω∴<，∴141263k <-，解得11588k -<-， k Z ∈，1k ∴=-，32ω=． 故选：D ．11．（多选）（2020春•聊城期末）为了得到函数cos(2)4y x π=+的图象，可作如下变换( )A ．将cos y x =的图象上所有点向左平移4π个单位长度，然后将所得图象上所有点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变而得到B ．将cos y x =的图象上所有点向右平移4π个单位长度，然后将所得图象上所有点的横坐变为原来的2倍，纵坐标不变而得到C ．将cos y x =的图象上所有点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变，然后将所得图象上所有点向左平移4π个单位长度而得到 D ．将cos y x =的图象上所有点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变，然后将所得图象上所有点向左平移8π个单位长度而得到 【分析】由题意利用函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，得出结论． 【解答】解：为了得到函数cos(2)4y x π=+的图象，将cos y x =的图象上所有点向左平移4π个单位长度，然后将所得图象上所有点的横坐标变为原来的12， 纵坐标不变而得到．也可 将cos y x =的图象上所有点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变， 然后将所得图象上所有点向左平移8π个单位长度而得． 故选：AD ．12．（多选）（2020春•镇江期末）已知函数()cos()(0f x A x A ωϕ=+>，0ω>，0)ϕπ<<的图象的一个最高点为(12π-，3)，与之相邻的一个对称中心为(,0)6π，将()f x 的图象向右平移6π个单位长度得到函数()g x 的图象，则( ) A ．()g x 为偶函数B ．()g x 的一个单调递增区间为5[,]1212ππ- C ．()g x 为奇函数D ．()g x 在[0,]2π上只有一个零点【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，可得()f x 的解析式，再利用函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，得到()g x 的解析式，再利用余弦函数的图象和性质，得出结论．【解答】解：已知函数()cos()(0f x A x A ωϕ=+>，0ω>，0)ϕπ<<的图象的一个最高点为(12π-，3)，故3A =．与之相邻的一个对称中心为(,0)6π，故124612πππω=+，2ω∴=． 再根据五点法作图，可得2()012πϕ-+=，可得6πϕ=，故函数()3cos(2)6f x x π=+． 将()f x 的图象向右平移6π个单位长度得到函数()3cos(2)6g x x π=-的图象 显然，()f x 和()g x 都是非奇非偶函数，故排除A 、C ； 在区间5[,]1212ππ-上，2[6x ππ-∈-，0]，()g x 单调递增，故B 正确； 在[0,]2π上，2[66x ππ-∈-，5]6π，()g x 只有一个零点3x π=，故D 正确，故选：BD ．13．（2020春•安徽期末）函数()2sin 3cos f x x x =+的最小值为 ．【分析】利用两角和与差的三角函数化简函数的表达式为一个角的一个三角函数的形式，然后求解即可．【解答】解：函数()2sin 3cos f x x x =+)[x ϕ=+∈，其中3tan 2ϕ=，()f x ∴的最小值为，故答案为：14．（2020春•潍坊期末）若函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>的最小正周期为π，将()y f x =的图象向左平移6π个单位后，所得图象关于y 轴对称，则ϕ的最小正值为 ．【分析】利用函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，正弦函数的周期性、图象的对称性，求得ω和ϕ，即可得解．【解答】解：函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>的最小正周期为2ππω=，2ω∴=，()sin(2)f x x ϕ=+．其图象向左平移6π个单位后，可得sin(2)3y x πϕ=++的图象； ∴根据所得图象关于y 轴对称，可得32k ππϕπ+=+，k Z ∈，即：6k πϕπ=+，k Z ∈，ϕ∴的最小正值为6π． 故答案为：6π． 15．（2020春•崇明区期末）把函数3sin()5y x π=-的图象向右平移2π个单位，得函数sin()(02)y x θθπ=+的图象，则θ的值等于 ．【分析】通过函数的图象平移变换结合函数的解析式可得答案， 【解答】解：把函数3sin()5y x π=-的图象向右平移2π个单位，得函数131199sin()sin()sin((2))sin()25101010y x x x x ππππππ=--=-=--=+的图象， 由题意所得函数图象为sin()(02)y x θθπ=+的图象可知， 则θ的值等于910π， 故答案为：910π， 16．（2020•鼓楼区校级模拟）已知函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的图象如图所示，则()4f π= ．【分析】根据函数()f x 的部分图象求得A 、T 、ω和ϕ的值，写出()f x 的解析式，计算()4f π的值．【解答】解：根据函数()f x 的部分图象知，2A =，115212122T πππ=-=， 解得T π=，所以22Tπω==； 由55()sin(2)01212f ππϕ=⨯+=，得526k πϕππ+=+，k Z ∈； 解得26k πϕπ=+，k Z ∈；又||2πϕ<，所以6πϕ=，所以()2sin(2)6f x x π=+，所以2()2sin(2)2sin 24463f ππππ=⨯+===17．（2019春•黄浦区校级月考）函数()2sin(2)(0)6f x x πωω=+>图象上有两点(,)A s t ，(2B s π+，)(22)t t -<<，若对任意s R ∈，线段AB 与函数图象都有五个不同交点，若()f x 在1[x ，2]x 和3[x ，4]x 上单调递增，在2[x ，3]x 上单调递减，且4321322()3x x x x x x -=-=-，则1x 的所有可能值是【分析】根据条件求出函数的周期，以及函数的解析式，结合函数的单调性，判断123x x π=-，利用函数的最值进行求解即可．【解答】解：由于||2AB π=且线段AB 与函数图象都有五个不同交点， 则22222T ππω=⨯=，即1ω=， 则()2sin(2)6f x x π=+，由题意得3222T x x π-==， 则43213222()3323x x x x x x ππ-=-=-=⨯=，即123x x π=-，若()f x 在1[x ，2]x 和3[x ，4]x 上单调递增，在2[x ，3]x 上单调递减， ()f x ∴在2x 处取得最大值，即22()2sin(2)26f x x π=+=，即2sin(2)16x π+=，则22262x k πππ+=+，得26x k ππ=+，则123636x x k k ππππππ=-=+-=-，k Z ∈，故答案为：16x k ππ=-，k Z ∈．18．（2020春•城关区校级期末）已知函数()cos(2)3f x x π=+．（1）求函数()y f x =的对称轴方程； （2）求函数()f x 在区间[,]122ππ-上的最大值和最小值． 【分析】（1）直接利用余弦型函数的性质和整体思想求出函数的对称轴方程． （2）利用整体思想，进一步利用函数的定义域求出函数的值域，再求出函数的最值． 【解答】解：（1）函数()cos(2)3f x x π=+．由23x k ππ+=得26k x ππ=-， 即函数的对称轴方程为26k x ππ=-，k Z ∈， （2）当122xππ-时，26x ππ-，42633x πππ+， 所以当23x ππ+=，即3x π=时，函数()f x 取得最小值，最小值为()cos 1f x π==-，当236x ππ+=，即12x π=-时，函数()f x 取得最大值，最大值为()cos6f x π==． 19．（2020春•滨州期末）已知函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的最小正周期为4π．（1）从20;1;33f fx R ππ⎛⎫⎛⎫-=-=-∀∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭①②③，都有2()()3f x f π这三个条件中，选择合适的两个条件，求函数()f x 的解析式；（2）求（1）中所求得的函数()f x 在区间2[,]33ππ-上的最大值和最小值． 【分析】（1）由函数的最小正周期为4可得ω的值，分别选①②，②③由函数的性质可得()f x 的解析式； （2）由x 的范围求出126x π+的范围，进而可得函数()f x 最值．【解答】解：（1）因为函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的最小正周期为4π，所以24ππω=，可得12ω=， 选①②时，因为()03f π-=，所以1sin[()]023πϕ-+=，所以6k πϕπ-=，k Z ∈，||2πϕ<，所以6πϕ=，而2()13f π-=-，所以12sin[()]1236A ππ-+=-，即sin()16A π-=-，所以2A =，所以1()2sin()26f x x π=+；选②③时，因为任意x R ∈，都有2()()3f x f π，所以23x π=时取得最大值，即122232k ππϕπ+=+，k Z ∈，而||2πϕ<，解得6πϕ=，而2()13f π-=-，所以12sin[()1236A ππ-+=-，解得2A =，所以1()2sin()26f x x π=+；（2）因为1()2sin()26f x x π=+；2[,]33x ππ∈-，则1[266x ππ+∈-，]3π，所以11sin()[262x π+∈-所以1()2sin()[126f x x π=+∈-，且23x π=-时函数取值最小值1-，3x π=所以函数在2[,]33x ππ∈-上的最小值为1- 20．（2020春•新余期末）将函数()cos4f x x =-的图象向右平移4π个单位，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍后所得到的图象对应的函数记作()g x ．（1）在ABC ∆中，三个内角A ，B ，C 且A B C <<，若C 角满足g （C ）1=-，求cos cos A B +的取值范围；（2）已知常数R λ∈，*n N ∈，且函数()()sin F x g x x λ=+在(0,)n π内恰有2021个零点，求常数λ与n 的值．【分析】（1）首先利用三角函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用求出函数的关系式，进一步求出函数的取值范围．（2）利用函数的图象和函数的零点的关系进一步进行分类讨论，最后求出参数λ的值和n 的值． 【解答】解：（1）函数()cos4f x x =-的图象向右平移4π个单位，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍后所得到的图象． 可知()cos2g x x =． 因为g （C ）1=-， 所以90C =︒， 90A B ∴+=︒， cos sin B A ∴=，∴cos cos cos sin )4A B A A A π+=+=+．因为A B C <<，所以(0,)4A π∈，所以(,)442A πππ+∈，∴sin()4A π+∈，所以cos cos A B +的取值范围为．（2）依题意，2()cos2sin 2sin sin 1F x x x x x λλ=+=-++，当0λ=时，()cos2F x x =，则()F x 在(0,)n π内的零点个数为偶数个， 故0λ≠，令()0F x =，sin [1t x =∈-，1]，得2210t t λ--=，△280λ=+>， 二次方程2210t t λ--=必有两不等实根1t 、2t ，1212t t =-，则1t 、2t 异号，()i 当10||1t <<且20||1t <<时，方程22sin sin 10x x λ--=在(0，*)()n n N π∈根的个数为偶数个，不合乎题意； ()ii 当11t =，则2102t -<<，当(0,2)x π∈时，关于x 的方程22sin sin 10x x λ--=在(0,2)π上有三个根， 由于202136732=⨯+，则n 为奇数 则13()120212n -+=，解得：40433n =，由于不是整数，故舍去． ()iii 当11t =-时，则2102t <<，当(0,2)x π∈时， 关于x 的方程22sin sin 10x x λ--=在(0,2)π上有三个根，且n 为奇数， 13()220212n -+=，解得1347n =． 此时，22(1)(1)110λλ⨯--⨯--=+=，得1λ=-． 综上所述：1λ=-，1347n =．[B 组]—强基必备1．（2020春•辽阳期末）将函数sin y x =的图象向右平移6π个单位长度，再将横坐标缩短为原来的1(0)ωω>得到函数()y f x =的图象，若()y f x =在[0，]6π上的最大值为5ω，则ω的取值个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】利用函数图象的平移与伸缩变换求得()f x 的解析式，再由x 的范围求得6x πω-的范围，结合()y f x =在[0，]6π上的最大值为5ω，分类求解得答案．【解答】解：将函数sin y x =的图象向右平移6π个单位长度，可得sin()6y x π=-的图象．再将横坐标缩短为原来的1(0)ωω>得到函数()sin()6y f x x πω==-的图象，[0x ∈，]6π上，[66x ππω∴-∈-，1]6ωπ-，当162ωππ-，即4ω时，则15ω=，求得5ω=．当162ωππ-<，即04ω<<时，由题意可得1sin65ωωπ-=，作出函数sin[(1)]6y x π=-与5x y =的图象如图：由图可知，此时函数sin[(1)]6y x π=-与5x y =的图象有唯一交点，则1sin 65ωωπ-=有唯一解．综上，ω的取值个数为2． 故选：B ．2．（2019秋•沙坪坝区校级月考）函数()sin(2)12f x x π=+在区间[,],4t t t R π-∈上的最大值与最小值之差的取值范围是( )A ．[1B ．.[1C ．1]D ．.[1 【分析】当函数()f x 在区间[,],4t t t R π-∈上单调时，最大值与最小值之差有最大值，当对称轴0x t =在区间内部时，讨论可得最大值与最小值之差的最小值． 【解答】解：当对称轴不在[,],4t t t R π-∈上时，函数()f x 在[,],4t t t R π-∈上单调，不妨设函数()f x 在[,],4t t t R π-∈上单调递增，设函数()sin(2)12f x x π=+在区间[,],4t t t R π-∈上的最大值与最小值之差为()g t ，则()()()sin(2)sin[2())sin(2)cos(2))241241212123g t f t f t t t t t t πππππππ=--=+--+=++++，当对称轴在区间[,],4t t t R π-∈上时，不妨设对称轴上取得最大值1，则函数()f x 的最小值为()4f t π-或()f t ， 显然当对称轴经过区间[,],4t t t R π-∈中点时，()g t 有最小值，不妨设()4222122t tk ππππ-+⨯+=+，k Z ∈，则3t k ππ=+，k Z ∈，3()sin[2()]sin(2)3124f t k k πππππ=++=+=， ()g t ∴的最小值为1， 综上，函数()sin(2)12f x x π=+在区间[,],4t t t R π-∈上的最大值与最小值之差的取值范围是[1， 故选：D ．3．（2020春•葫芦岛期末）已知函数())1(0,)22f x x ππωϕωϕ++>-<<，函数()f x 的图象经过点(,1)12π-且()f x 的最小正周期为2π． （1）求函数()f x 的解析式；（2）将函数()y f x =图象上所有的点向下平移1个单位长度，再桦函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再将图象上所有的点的横坐标不变，得到函数()y h x =图象，令函数()()1g x h x =+，区间[a ，](b a ，b R ∈且)a b <满足：()y g x =在[a ，]b 上至少有30个零点，在所有满足上述条件的[a ，]b 中，求b a -的最小值．（3）若13[1()1)]cos 081222x m f x π+--++对任意[0x ∈，2]π恒成立，求实数m 的取值范围．【分析】（1）利用已知条件和函数的周期求出函数的关系式．（2）利用三角函数关系式的平移变换和伸缩变换进一步求出函数()h x 的关系式，进一步利用零点的讨论求出最小值．（3）利用函数的恒成立问题和换元法的应用及单调性的应用求出结果． 【解答】解：（1）())1f x x ωϕ++，又函数()f x 的最小正周期为2π， ∴222ππω=， 2ω∴=．∴())1f x x ϕ=++．又函数()f x 经过点(,1)12π-，所以())11123f ππϕ-=-++=，于是(4()),12k k Z πϕπ⨯-+=∈因为22ππφ-<<，所以3πφ=．故())13f x x π++．（2）由题意，()2sin(2)()2sin(2)133h x x g x x ππ=+=++．令()0g x =得：1sin(2)32x π+=-，∴72236x k πππ+=+或112236x k πππ+=+，k Z ∈ 解得：512x k ππ=+或34x k ππ=+，k Z ∈ ∴相邻两个零点之间的距离为3π或23π． 若b a -最小，则a ，b 均为()g x 的零点，此时在区间[a ，]a π+，[a ，2]a π+，⋯，[a ，*]()m a m N π+∈分别恰有3，5，⋯，21m +个零点． ∴在区间[a ，14]a π+恰有214129⨯+=个零点．(14a π∴+，]b 至少有一个零点． ∴(14)3b a ππ-+，即431433b a πππ-+=． 检验可知，在5543[,]12124πππ+恰有30个零点，满足题意（可有可无） b a ∴-的最小值为433π． （3）由题意得2(3sin 1)3sin 222x xm +-．[0x ∈，2]π，∴[0,]2xπ∈， ∴23sin 22sin [0,1],23sin 12x xmx -∈+． 设3sin 12x t =+，[1t ∈，4]．则1sin 23x t -=．设23sin223sin12xyx-=+．则2213(1)225159(2)33tt ty tt t t----===--在[1t∈，4]上是增函数．∴当1t=时，2miny=-，2m∴-．故实数m的取值范围是(-∞，2]-．。