三角函数图像变换顺序详解(全面).

三角函数的图像与变化规律三角函数是数学中的重要概念，它们在几何、物理、工程等领域中有着广泛的应用。

而三角函数的图像与变化规律是我们理解和应用三角函数的关键。

本文将从正弦函数、余弦函数和正切函数三个方面来探讨三角函数的图像与变化规律。

一、正弦函数的图像与变化规律正弦函数是最常见的三角函数之一，它的图像呈现出周期性的波动。

我们先来看一下正弦函数的图像。

在坐标系中，将x轴分成等分的小段，然后计算每个小段上的正弦函数值，再将这些值在坐标系中表示出来，就得到了正弦函数的图像。

正弦函数的图像是一条连续的波浪线，它在x轴上的取值范围是无穷大，而在y轴上的取值范围是[-1,1]。

正弦函数的图像以原点为对称中心，左右两侧的波浪形状完全相同。

当x=0时，正弦函数的值为0，这是正弦函数的一个特殊点，称为零点。

正弦函数的周期是2π，即在一个周期内，正弦函数的图像会重复出现。

正弦函数的变化规律可以总结为以下几点：1. 周期性：正弦函数的图像在一个周期内重复出现，即在x轴上每增加2π，y轴上的值会再次回到原来的位置。

2. 对称性：正弦函数的图像以原点为对称中心，左右两侧的波浪形状完全相同。

3. 最大值和最小值：正弦函数的最大值为1，最小值为-1。

4. 零点：正弦函数在x=0时取得零值，这是正弦函数的一个特殊点。

二、余弦函数的图像与变化规律余弦函数也是一种常见的三角函数，它与正弦函数在图像上非常相似，但有一些细微的差别。

我们来看一下余弦函数的图像。

余弦函数的图像同样是一条连续的波浪线，它在x轴上的取值范围是无穷大，而在y轴上的取值范围也是[-1,1]。

余弦函数的图像以原点为对称中心，左右两侧的波浪形状完全相同。

当x=0时，余弦函数的值为1，这也是余弦函数的一个特殊点。

余弦函数的变化规律与正弦函数非常相似，但也有一些不同之处：1. 周期性：余弦函数的图像在一个周期内重复出现，即在x轴上每增加2π，y轴上的值会再次回到原来的位置。

cosθ = 邻边/斜边，在单位圆中表示为x坐标。
正切函数（tangent）
三角函数的周期性
tanθ = 对边/邻边，表示为正弦与余弦之比。
正弦、余弦函数周期为2π，正切函数周期为 π。
三角函数在各象限表现
第一象限
所有三角函数值均为正。
第三象限
正弦、余弦函数值为负，正切函数值为正。
第二象限
正弦函数值为正，余弦、正切函数值为负。
伸缩变换对正弦函数影响
横向伸缩
改变正弦函数图像的周期长度。缩小周期使得函数图像更加紧密，扩大周期则 使得函数图像更加稀疏。
纵向伸缩
改变正弦函数图像的振幅大小。增大振幅使得函数图像波动范围更大，减小振 幅则使得函数图像波动范围更小。
周期性与相位调整方法
周期性调整
通过改变正弦函数的周期来调整图像的疏密程度。可以通过调整函数中的系数来 实现周期的变化。
相位调整
通过改变正弦函数的相位来调整图像出现的位置。可以通过在函数中添加常数项 来实现相位的调整。同时，利用三角函数的和差化积公式，也可以实现相位的调 整。
03 余弦函数图像变换分析
余弦函数基本图像特征
波形图像
余弦函数图像呈现周期性波动，具有典型的波形 特征。
振幅和周期
余弦函数的振幅和周期是确定其图像形状和尺寸 的关键参数。
拓展：其他类型周期函数图像变换
锯齿波和方波
除了正弦波和余弦波外，还有其 他类型的周期函数如锯齿波和方 波等，它们的图像变换同样具有 实际应用价值。
周期函数的合成与分解
通过三角函数的线性组合可以合 成其他类型的周期函数；反之， 其他类型的周期函数也可以通过 傅里叶级数展开成三角函数的线 性组合。

高考数学《图像变换在三角函数中的应用》基础知识与典型例题分析在高考中涉及到的三角函数图像变换主要指的是形如()sin y A x ωϕ=+的函数，通过横纵坐标的平移与放缩，得到另一个三角函数解析式的过程。

要求学生熟练掌握函数图像变换，尤其是多次变换时，图像变化与解析式变化之间的对应联系。

一、基础知识：（一）图像变换规律：设函数为()y f x =（所涉及参数均为正数） 1、函数图像的平移变换：（1）()f x a +：()f x 的图像向左平移a 个单位 （2）()f x a −：()f x 的图像向右平移a 个单位 （3）()f x b +：()f x 的图像向上平移b 个单位 （4）()f x b −：()f x 的图像向下平移b 个单位 2、函数图像的放缩变换：（1）()f kx ：()f x 的图像横坐标变为原来的1k（图像表现为横向的伸缩） （2）()kf x ：()f x 的图像纵坐标变为原来的k 倍（图像表现为纵向的伸缩） 3、函数图象的翻折变换： （1）()fx ：()f x 在x 轴正半轴的图像不变，负半轴的图像替换为与正半轴图像关于y 轴对称的图像（2）()f x ：()f x 在x 轴上方的图像不变，x 轴下方的部分沿x 轴向上翻折即可（与原x 轴下方图像关于x 轴对称）（二）图像变换中要注意的几点：1、如何判定是纵坐标变换还是横坐标变换？在寻找到联系后可根据函数的形式了解变换所需要的步骤，其规律如下： ① 若变换发生在“括号”内部，则属于横坐标的变换 ② 若变换发生在“括号”外部，则属于纵坐标的变换例如：()31y f x =+：可判断出属于横坐标的变换：有放缩与平移两个步骤()2y f x =−+：可判断出横纵坐标均需变换，其中横坐标的为对称变换，纵坐标的为平移变换2、解析式变化与图像变换之间存在怎样的对应？由前面总结的规律不难发现： （1）加“常数”⇔ 平移变换（2）添“系数”⇔放缩变换 （3）加“绝对值”⇔翻折变换3、多个步骤的顺序问题：在判断了需要几步变换以及属于横坐标还是纵坐标的变换后，在安排顺序时注意以下原则：① 横坐标的变换与纵坐标的变换互不影响，无先后要求 ② 横坐标的多次变换中，每次变换只有x 发生相应变化 例如：()()21y f x y f x =→=+可有两种方案方案一：先平移（向左平移1个单位），此时()()1f x f x →+。

振幅变换
振幅变换
通过将三角函数中的系数乘以一 个常数，可以改变函数图像的形 状和大小。例如，将正弦函数 y=sin(x)变为y=2sin(x)，图像的 高度变为原来的两倍。
总结词
振幅变换可以改变函数图像的大 小和形状，但不影响位置。
详细描述
振幅变换通常通过乘以一个常数来实 现。例如，对于正弦函数y=sin(x)，乘 以2得到y=2sin(x)，图像的高度变为 原来的两倍。同样地，对于余弦函数 y=cos(x)，乘以2得到y=2cos(x)，图 像的高度也变为原来的两倍。
与复数的联系
三角函数与复数之间有着密切的联系。例如，复数的三角形式就是由三角函数来表示的，这使得复数 的一些性质和运算可以通过三角函数来理解和实现。
此外，在复分析中，三角函数也起着重要的作用，如在求解某些复数域上的微分方程时，经常需要用 到三角函数。
谢谢
THANKS
应用
正切函数在解决实际问题和数学 问题中也有应用，例如在几何学 和三角学中的角度和长度计算。
02 三角函数的图像
CHAPTER
正弦函数的图像
01
正弦函数图像是周期函数，其基本周期为$2pi$，在$[0, 2pi]$ 区间内呈现波形。
02
正弦函数图像在$x$轴上的交点是$(frac{pi}{2} + kpi, 0)$，其
周期变换
总结词
详细描述
通过改变三角函数的周期，可以改变
函数图像的形状和位置。例如，将正 弦函数和余弦函数的周期从2π变为4π， 图像将变为原来的两倍长，但形状和
周期变换可以改变函数图像的长度， 但不影响形状和位置。
位置保持不变。
周期变换通常通过乘以一个常数来实现。例 如，将函数y=sin(x)变为y=sin(2x)，周期 从2π变为π，图像长度减半。同样地，对于 余弦函数，将y=cos(x)变为y=cos(2x)，周 期从2π变为π，图像长度也减半。

三角函数图像平移变换由y ＝sin x 的图象变换出y ＝sin(ωx ＋ϕ）的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。

利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形,请切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量"起多大变化，而不是“角变化”多少.途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换）先将y ＝sin x 的图象向左(ϕ＞0)或向右（ϕ＜0＝平移｜ϕ｜个单位,再将图象上各点的横坐标变为原来的ω1倍（ω＞0)，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象. 途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。

先将y ＝sin x 的图象上各点的横坐标变为原来的ω1倍(ω＞0)，再沿x 轴向左（ϕ＞0）或向右(ϕ＜0＝平移ωϕ||个单位，便得y ＝sin （ωx ＋ϕ)的图象。

1。

为得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像,只需将函数sin 2y x =的图像( A ）A ．向左平移5π12个长度单位B ．向右平移5π12个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位2.要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos y x π⎛⎫=- ⎪3⎝⎭的图象（ D ）A ．向右平移π6个单位 B ．向右平移π3个单位 C ．向左平移π3个单位 D ．向左平移π6个单位3.为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象（ B ）(A ）向右平移6π个单位长度 （B)向右平移3π个单位长度(C)向左平移6π个单位长度 （D)向左平移3π个单位长度4.把函数sin y x =（x R ∈）的图象上所有点向左平行移动3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是CA sin(2)3y x π=-，x R ∈B sin()26x y π=+，x R ∈C sin(2)3y x π=+，x R ∈D sin(2)32y x π=+,x R ∈5.为了得到函数sin(2)3y x π=-的图像，只需把函数sin(2)6y x π=+的图像B（A)向左平移4π个长度单位 （B ）向右平移4π个长度单位 （C ）向左平移2π个长度单位 （D ）向右平移2π个长度单位6.已知函数()sin()(,0)4f x x x R πϖϖ=+∈>的最小正周期为π，为了得到函数()cos g x x ϖ=的图象，只要将()y f x =的图象AA 向左平移8π个单位长度 B 向右平移8π个单位长度 C 向左平移4π个单位长度 D 向右平移4π个单位长度7。

三角函数图像的变换一．x y sin =图像的三种变换：①函数x y sin =的图象上所有点向左（右）平移ϕ个单位长度，得到函数()sin y x ϕ=+的图象；再将函数()sin y x ϕ=+的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1ω倍（纵坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象． ②数sin y x =的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1ω倍（纵坐标不变），得到函数sin y x ω=的图象；再将函数sin y x ω=的图象上所有点向左（右）平移ϕω个单位长度，得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象． 二．函数()()sin 0,0y x ωϕω=A +A >>的性质： ①振幅：A ；②周期：2πωT =；③频率：12f ωπ==T ；④相位：x ωϕ+；⑤初相：ϕ． 函数()sin y x ωϕ=A ++B ，当1x x =时，取得最小值为min y ；当2x x =时，取得最大值为max y ，则()max min 12y y A =-，()max min 12y y B =+，()21122x x x x T=-<．三．练习1.已知简谐运动()2sin()()32f x x ππϕϕ=+<的图象经过点(0，1)，则该简谐运动的最小正周期T =_________；初相ϕ=__________．2.三角方程2sin(2π－x )=1的解集为_______________________． 3.函数),2,0)(sin(R x x A y ∈π<ϕ>ωϕ+ω=的部分图象如图所示，则函数表达式为______________________．{2,}3x x k k Z ππ=±∈ )48sin(4π+π-=x y第3题4.要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos y x π⎛⎫=- ⎪3⎝⎭的图象向右平移__________个单位．5.为了得到函数R x x y ∈+=),63sin(2π的图像，只需把函数2sin y x =，x R ∈的图像上所有的点①向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变）；②向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变）；③向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）； ④向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）．其中，正确的序号有_____③______． 6.为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象向右平移__3π__个单位长度．7.若函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R （其中0ω>，2ϕπ<）的最小正周期是π，且(0)f =ω=______；ϕ=__________．8.下列函数： ①sin 6y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭； ②sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭； ③cos 43y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭； ④cos 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭． 其中函数图象的一部分如右图所示的序号有_____④_____． 9.函数y =sin(2x +3π)的图象关于点_______________对称． 10.求下列函数的单调减区间： （1）⎪⎭⎫⎝⎛+=62cos 2πx y （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=32sin 2πx y 11. 函数tan()2y x π=-(44x ππ-≤≤且0)x ≠的值域是___________________12. 7．如图，函数π2cos()(00)2y x x >ωθωθ=+∈R ，，≤≤的图象与y轴相交于点(0，且该函数的最小正周期为π．（1）求θ和ω的值；π6第8题（2）已知点π2A⎛⎫⎪⎝⎭，，点P是该函数图象上一点，点00()Q x y，是PA当y=ππ2x⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，求x的值．13.设函数)(),()2sin()(xfyxxf=<<-+=ϕπϕ图像的一条对称轴是直线8π=x．（Ⅰ）求ϕ；（Ⅱ）求函数)(xfy=的单调增区间；（Ⅲ）画出函数)(xfy=在区间],0[π上的图像第7题。

三角函数的图像变换三角函数是数学中重要的概念之一，它们在几何、物理和工程等领域中有着广泛的应用。

而其中，图像变换是三角函数中一个非常有趣和重要的概念。

图像变换可以通过改变三角函数的参数来改变其图像的形状、位置和大小。

本文将探讨三角函数的图像变换，并介绍一些常见的图像变换方法。

首先，我们来讨论正弦函数的图像变换。

正弦函数的一般形式为y = A*sin(Bx+ C) + D，其中A、B、C和D分别是函数的振幅、周期、相位和纵坐标平移量。

通过改变这些参数，我们可以实现正弦函数图像的各种变换。

首先，我们来看振幅的变换。

振幅决定了正弦函数图像的上下波动程度。

当振幅A增大时，正弦函数的波峰和波谷的高度也会增加，图像变得更加陡峭。

相反，当振幅A减小时，正弦函数的波峰和波谷的高度也会减小，图像变得更加平缓。

接下来，我们来看周期的变换。

周期决定了正弦函数图像的重复性。

当周期B增大时，正弦函数的波峰和波谷之间的距离增加，图像变得更加拉长。

相反，当周期B减小时，正弦函数的波峰和波谷之间的距离减小，图像变得更加压缩。

然后，我们来看相位的变换。

相位决定了正弦函数图像的水平位置。

当相位C增大时，正弦函数图像向左平移，波峰和波谷的位置向左移动。

相反，当相位C减小时，正弦函数图像向右平移，波峰和波谷的位置向右移动。

最后，我们来看纵坐标平移量的变换。

纵坐标平移量决定了正弦函数图像的垂直位置。

当纵坐标平移量D增大时，正弦函数图像向上平移，波峰和波谷的位置上升。

相反，当纵坐标平移量D减小时，正弦函数图像向下平移，波峰和波谷的位置下降。

除了正弦函数，余弦函数和正切函数也可以进行图像变换。

余弦函数的图像变换和正弦函数类似，只是相位的变换方向相反。

正切函数的图像变换则更为复杂，它的一般形式为y = A*tan(Bx + C) + D，其中A、B、C和D同样是函数的参数。

通过改变这些参数，我们可以实现正切函数图像的各种变换，包括振幅、周期、相位和纵坐标平移量的变换。

三角函数b x A y ++=)sin(ϕω的图像变换三角函数的图像变换是历年来高考的重点内容，因此我们有必要对这一问题作一下研究。

下面就三角函数的图像变换的基本题型，做以详细讲析：一、 振幅变换由函数)(x f y =的图像变换为)(x Af y =的图像，其主要的方法是将)(x f y =图像上的各点的纵坐标变为原来的A 倍，即)()(A x Af y x f y =−−−−−−→−=倍纵坐标变为原来的。

例1、要得到)32sin(4π-=x y 的图像，只需将)32sin(π-=x y 的图像( )。

A 、 向上平移4个单位；B 、 将)32sin(π-=x y 图像上的各点的纵坐标变为原来的4倍； C 、 将)32sin(π-=x y 图像上的各点的纵坐标变为原来的4-倍； D 、 向下平移4个位单位。

分析：由题意可知，将)32sin(π-=x y 图像上的各点的纵坐标变为原来的4倍，就可以得到)32sin(4π-=x y 的图像。

故选B 。

二、 周期变换由函数)(x f y =的图像变换为)(x f y ω=的图像，其主要的方法是将)(x f y =图像上的各点的横坐标变为原来的ω1倍，即)()(1x f y x f y ωω=−−−−−−→−=倍横坐标变为原来的。

例2、如何由x y sin =的图像得到x y 2sin 2=的图像。

解：由x y sin =的图像上各点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到x y sin 2=的图像，再将x y sin 2=的图像各点的横坐标压缩为原来的21倍，得到x y 2sin 2=的图像。

三、 相位变换(左右平移变换)由函数)(x f y =的图像变换为)(ϕ+=x f y 的图像，其主要的方法是将)(x f y =图像上所有点向左或向右平移ϕ个单位。

即)()(0)(ϕϕϕ+=−−−−−−→−=>x f y x f y 个单位向左平移 )()(0)(ϕϕϕ-=−−−−−−→−=>x f y x f y 个单位向右平移 例3、如何由)32sin(31π+=x y 的图像得到x y sin =的图像。

总结方法一： 按照、、A的顺序变化
法二：y=sinx
横坐标缩短为原来 的 1倍
2
y=sin2x
向左平移 12个单位
y=2sin2(x+
)
12
纵坐标伸长为原 来的2倍
y=2sin(2x+ )
6
总结方法二： 按照、、A的顺序变化
题型二：五点作图
例：利用"五点法"画函数y 2 sin(1 x )的图象.
1.5 y=Asin(x+)+b
的图象
一： 变化时，函数y=sin(x+)图象:
y=sinx
所有的点向左( >0) 或向右( <0)平移
| | 个单位
y=sin(x+)
的变化引起图象位置发生变化(左加右减)
二： 变化时函数y=sinx(>0)图象:
所有的点横坐标缩短(>1)或
y=sinx
伸长(0< <1) 1/倍 纵坐标不变
y=sinx
决定函数的周期:
T 2
三：A变化时，函数y=Asinx(A>0)图象:
所有的点纵坐标伸长(A>1)或缩短
y=sinx
(0< A<1) 为原来的A倍
横坐标不变
y=Asinx
A的大小决定这个函数的最大(小)值
四：b变化时，函数y=sin(x)+b图象:
y=sinx
所有的点向上(b >0) 或向下(b <0)平移
x ：相位 x 0时的相位称为初相
题型一、图像变换
例：函数y=2sin(2x+ ） 的图像可以由y=sinx的图
6

三角函数的像变换知识点总结三角函数是数学中重要的一门学科，常常用于解决几何问题、物理问题以及信号处理等领域。

而在实际应用中，常常会遇到对三角函数进行像变换的情况，通过像变换可以改变函数的振幅、频率和相位等性质。

以下是三角函数的像变换相关知识点的总结，包括正弦函数、余弦函数和正切函数的像变换特性以及对应的图像变化。

1. 正弦函数的像变换正弦函数的一般形式为y = A*sin(B(x-C))+D，其中A代表振幅，B代表频率，C代表相位，D代表垂直偏移量。

像变换可以通过改变这些参数来实现。

- 振幅的变化：改变A的值可以改变正弦函数的振幅，当A>1时振幅增大，当0 A时振幅减小，当A<0时振幅变为负数，即使曲线翻转。

- 频率的变化：改变B的值可以改变正弦函数的周期，当B>1时周期缩短，当0 B时周期增加。

- 相位的变化：改变C的值可以改变正弦函数的水平移动，当C>0时函数向右移动C个单位，当0 C时函数向左移动C个单位。

- 垂直偏移量的变化：改变D的值可以改变正弦函数的上下平移，当D>0时整个函数上移D个单位，当0 D时整个函数下移D个单位。

2. 余弦函数的像变换余弦函数的一般形式为y = A*cos(B(x-C))+D，其中A代表振幅，B 代表频率，C代表相位，D代表垂直偏移量。

像变换可以通过改变这些参数来实现。

- 振幅的变化：改变A的值可以改变余弦函数的振幅，变换规律与正弦函数相同。

- 频率的变化：改变B的值可以改变余弦函数的周期，变换规律与正弦函数相同。

- 相位的变化：改变C的值可以改变余弦函数的水平移动，变换规律与正弦函数相同。

- 垂直偏移量的变化：改变D的值可以改变余弦函数的上下平移，变换规律与正弦函数相同。

3. 正切函数的像变换正切函数的一般形式为y = A*tan(B(x-C))+D，其中A代表振幅，B 代表频率，C代表相位，D代表垂直偏移量。

像变换可以通过改变这些参数来实现。

三角函数图像的变换（4月23号）图像变换一：左右平移1、把函数R x x y ∈=,sin 图像上所有的点向左平移4π个单位，所得函数的解析式为 _________ 2、把函数R x x y ∈=,cos 图像上所有的点向右平移5π个单位，所得函数的解析式为 _________图像变换二：纵向伸缩3、对于函数R x x y ∈=,sin 3的图像是将R x x y ∈=,sin 的图像上所有点的______(“横”或”纵”)坐标______（伸长或缩短）为原来的______而得到的图像。

4、由函数R x x y ∈=,s in 4的图像得到R x x y ∈=,sin 的图像，应该是将函数R x x y ∈=,sin 4上所有点的______(“横”或“纵”)坐标______（“伸长”或“缩短”）为原来的______（横坐标不变）而得到的图像。

图像变换三：横向伸缩5、对于函数R x x y ∈=,3sin 的图像是将R x x y ∈=,sin 的图像上所有点的______(“横”或“纵”)坐标______（“伸长”或“缩短”）为原来的______（纵坐标不变）而得到的图像。

图像变换四：综合变换6、用两种方法将函数x y sin =的图像变换为函数)32sin(π+=x y 的图像解：方法一：x y sin =−−−−−→−)(x y 2sin =−−−−→−)()32sin(6(2sin ππ+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=x x y方法二：xy sin =−−−−→−)()3sin(π+=x y −−−−→−)()32sin(π+=x y总结：方法一： 先伸缩后平移()A →→ϕω 方法二：先平移后伸缩()A →→ωϕ7、用两种方法将函数x y 2sin =的图像变换为函数)4sin(π+=x y 的图像方法一：x y 2sin =−−−−−→−)(x y sin =−−−−→−)()4sin(π+=x y方法二：x y 2sin =−−−−→−)()42sin()8(2sin ππ+=+=x x y −−−−→−)()4sin(π+=x y 8、函数)32sin(3π+=x y 的周期、振幅、初相为________、_________、__________ 9、已知函数()()R x A x A y ∈>>+=,0,0sin ωϕω的最大值是3，最小正周期是72π， 初相是6π，则这个函数的表达式是__________________ 10、已知()x x f sin 1=，()x x f ωsin 2=()0>ω且()x f 2的图像可以看做是把()x f 1的图像上所有点的横坐标缩小到原来的31倍（纵坐标不变）得到的，则=ω________________ 11把函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-=32sin πx y 的图像向右平移3π个单位，得到的解析式为____________12、为了得到函数R x x y ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-=,621s in 4π的图像，只需将函数R x x y ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-=,6s in 4π的图像上的所有点____________13、将函数R x x y ∈⎪⎭⎫⎝⎛+=,52sin 3π的图像上的所有点向右平移10π个单位，得到函数()x f 的图像，则()x f 的解析式为________________14、要得到R x x y ∈⎪⎭⎫⎝⎛+=,42cos 3π的图像，只要将R x x y ∈=,2cos 3的图像___________ 15、把函数132s in 2+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πx y 的图像向左平移6π个单位，再向上平移3个单位，所得函数的解析式为__________________ 16、函数⎪⎭⎫⎝⎛-=32sin 3πx y 的图像可由函数x y 2sin 3=的图像经过下列哪种变换得到（ ） A.向右平移3π个单位长度 B.向右平移6π个单位长度C.向左平移个3π单位长度 D.向左平移个6π单位长度17、要得到⎪⎭⎫ ⎝⎛-=42cos πx y 的图像，只要将x y 2sin =的图像（ ）A.向左平移8π个单位长度B.向右平移8π个单位长度C.向左平移个4π单位长度 D.向右平移个4π单位长度18、已知函数242sin 2+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πx y ，求：1函数的周期及单调区间；2函数的图像可由R x x y ∈=,sin 的图像经过怎样的变换而得到三角函数图象变换复习 1.为了得到函数sin(2)3y x π=-的图像，只需把函数sin(2)6y x π=+的图像（ ） （A ）向左平移4π个长度单位（B ）向右平移4π个长度单位（C ）向左平移2π个长度单位（D ）向右平移2π个长度单位2.函数f (x )=2sin x cos x 是（ ）(A)最小正周期为2π的奇函数 （B ）最小正周期为2π的偶函数 (C)最小正周期为π的奇函数（D ）最小正周期为π的偶函数 3.设0ω>,函数sin()23y x πω=++的图像向右平移43π个单位后与原图像重合，则ω的最小值是（ ） （A ）23 （B ） 43 （C ） 32（D ） 3 （1） 将函数y=sin(x+π/6) (x 属于R)的图象上所有的点向左平行移动π/4个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象的解析式为( )(A) y=sin(2x+5π/12) (x 属于R) (B) y=sin(x/2+5π/12) (x 属于R) (C) y=sin(x/2+π/12) (x 属于R) (D) y=sin(x/2+5π/24) (x 属于R) 5.下列函数中，周期为π，且在[,]42ππ上为减函数的是（ ） （A ）sin(2)2y x π=+（B ）cos(2)2y x π=+（C ）sin()2y x π=+ （D ）cos()2y x π=+ 6.已知函数()sin (0,)2y x πωϕωϕ=+><的部分图象如题（6）图所示，则（ ）A. ω=1 ϕ=6π B. ω=1 ϕ=- 6π C. ω=2 ϕ= 6π D. ω=2 ϕ= -6π 7.将函数y=sin(x-π/3)的图像上所有的点的横坐标伸长带原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移π/3个单位，得到的图象对应的解析式为（ ） (A)y=sin(x/2) (B)y=sin(x/2-π/2)(C) y=sin(x/2-π/6) (D)sin(2x-π/6) 8.将函数sin y x =的图像上所有的点向右平行移动10π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是（ ）（A ）sin(2)10y x π=-（B ）sin(2)5y x π=- （C ）1sin()210y x π=- （D ）1sin()220y x π=-9.5y Asin x x R 66ππωϕ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦右图是函数（+）（）在区间-，上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将y sin x x R =∈（）的图象上所有的点（ ）(A)向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变(B) 向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变(C) 向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变(D) 向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变7、将函数y=sin2x 的图象向左平移π/4个单位，再向上平移1个单位所得到函数解析式（ ）y=cos2x y=2(cosx)*(cosx) y=1+sin(2x+π/4) y=2(sinx)*(sinx) 11.函数f(x)= 3sin(),24x x R π-∈的最小正周期为（ ）A. 2πB.xC.2πD.4π1．已知函数，则（ ）A ．其最小正周期为2πB ．其图象关于直线对称C ．其图象关于点对称D ．该函数在区间上单调递增2．已知函数f （x ）=cos （x+φ） （0＜φ＜π）在x=时取得最小值，则f （x ）在[﹣π，0]上的单调增区间是（ ） A ．[]B ．[]C ．[，0]D ．[﹣π，]3．将函数f （x ）=2cos2x 的图象向右平移个单位，再向下平移2个单位，则平移后得到图象的解析式是（ ）A ．y=2sin2x ﹣2B ．y=2cos2x ﹣2C ．y=2cos2x+2D ．y=2sin2x+2 4．（2011•惠州模拟）为得到函数的图象，只需将函数y=sin2x 的图象（ ） A ．向左平移个长度单位B ．向右平移个长度单位C ．向左平移个长度单位D ．向右平移个长度单位5．（2009•湖南）将函数y=sinx 的图象向左平移φ（0≤φ＜2π）个单位后，得到函数y=sin （x ﹣）的图象，则φ等于（ ）A ．B ．C ．D ．6．（2007•山东）为了得到函数y=sin （2x ﹣）的图象，可以将函数y=cos2x 的图象（ ） A ．向右平移个单位长度B ．向右平移个单位长度 C ．向左平移个单位长度D ．向左平移个单位长度7．（2009•山东）将函数y=sin2x 的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是（ ）A ．y=2cos 2x B ．y=2sin 2x C ．D ．y=cos2x8．有以下四种变换方式： ①向左平行移动个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的；②向右平行移动个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的；③每个点的横坐标缩短为原来的，再向右平行移动个单位长度；④每个点的横坐标缩短为原来的，再向左平行移动个单位长度．其中能将函数y=cos（）的图象变为函数y=sin（2x+）的图象是（）A．①和④B．①和③C．②和④D．②和③9．将函数y=cosx的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是（）A．B．C．D．10．（2012•无为县模拟）将函数y=sin2x的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），则所得函数的图象（）A．关于点对称B．关于直线对称C．关于点对称D．关于直线对称11．将函数的图象向右平行移动个单位长度，再把横坐标缩短为原来的一半，纵坐标伸长为原来的3倍，则所得到的图象的函数解析式是（）A．B．C．D．12．为了得到函数的图象，只需把函数y=sin2x的图象上所有的点_________．13．把函数y=sinx（x∈R）的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是_________．14．把y=sinx的图象向左平移个单位，得到函数_________的图象；再把所得图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍，而纵坐标保持不变，得到函数_________的图象．15．已知函数f（x）=sin（ωx+）（x∈R，ω＞0）的最小正周期为π，为了得到函数g（x）=cos（ωx）的图象，只要将y=f（x）的图象向_________平移_________个单位长度．16．①向左平移，再将横坐标变为原来的；②横坐标变为原来的，向左平移；③横坐标变为原来的，向左平移；④向左平移，横坐标变为原来的，其中能将y=sinx的图象变为y=sin（2x+）的图象的是_________．17．将函数y=sinx的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是_________．18．将函数的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得图象各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是_________．19．把函数的图象向左平移个单位，再将横坐标缩小为原来的，则其解析式为_________．20．函数y=Asin（ωx+φ）的图象的图象上相邻的最高点与最低点的横坐标的差为2π，则ω=_________．21．直线y=m与函数y=Asin（ωx+ϕ）（ω＞0）有交点，其中三个相邻交点的横坐标分别为2，4，14，则ω的值为_________．22．（2012•朝阳区二模）函数y=2cosx，x∈[0，2π]的单调递增区间是_________．23．函数y=sin（x+）在[﹣2π，2π]内的单调递增区间是_________．24．函数y=sin（x+）在区间[0，]的最小值为_________25．函数y=sinx，x的值域为_________．26．函数y=3sin （x∈[0，π]）的单调减区间是_________．27．函数的值域为_________．28．函数，x∈[﹣2π，2π]的单调递增区间是_________．29．函数（π≤x≤2π）的值域为_________．30．函数，在区间（﹣π，π）上单调递增，则实数φ的取值范围为_________．1．（2010•福建）计算sin137°cos13°+cos103°cos43°的值等于（）A．B．C．D．2．（2004•重庆）sin163°sin223°+sin253°sin313°等于（）A．﹣B．C．﹣D．3．cos275°+cos215°+cos75°•cos15°的值是（）A．B．C．D．4．（2011•郑州二模）计算cos42°cos18°﹣cos48°cos72°的结果等于（）A．B．C．D．5．（2011•江西模拟）计算cos 28° cos17°﹣sin 28° sin17°的结果等于（）A．B．C．D．6．（2010•海淀区一模）sin75°cos30°﹣cos75°sin30°的值为（）A．1B．C．D．7．（2010•成都三模）计算cos45°cos15°﹣sin45°cos75°的结果是（）A．B．C．D．18．若β=α+30°，则sin2α+cos2β+sinαcosβ=（）A．B．C．cos2βD．sin2α9．下列各式化简结果为cosα的是（）A．cos20°cos（α﹣20°）+cos70°sin（α﹣20°）B．cos20°cos（α﹣20°）﹣cos70°sin（α﹣20°）C．cos20°sin（α﹣20°）+cos70°cos（α﹣20°）D．cos20°sin（α﹣20°）﹣cos70°cos（α﹣20°）10．sin43°cos17°+cos43°sin17°的值为（）A．B．C．D．11．sin17°cos227°+sin73°sin47°等于（）A．﹣B．C．﹣D．12．（2011•南通模拟）化简的值为_________．13．（2009•宁波模拟）sin155°cos35°﹣cos25°cos235°=_________．14．sin14°cos16°﹣cos166°sin16°的值是_________．15．sin35°•sin25°﹣cos35°•cos25°的值是_________．16．求值：cos105°cos15°﹣sin105°sin15°=_________．17．计算：cos13°•cos47°+sin13°•cos137°=_________．18．cos40°cos20°﹣sin40°sin20°的值等于_________．19．的值等于_________．20．sin34°sin64°+cos34°sin26°的值是_________．21．函数y=sinx+cosx的单调增区间是_________．22．cos96°cos24°﹣sin96°cos66°=_________．23．cos174°cos156°﹣sin174°sin156°的值为_________．24．函数的最小值为_________．25．cos47°sin13°+sin47°sin77°的值等于_________．26．sin420°cos750°+sin（﹣330°）cos（﹣660°）=_________．27．sin47°cosl3°+sinl3°sin43°的值等于_________．28．cos73°cos13°+cos17°sin13°=_________．29．函数y=sin2x+cos2x的最小正周期是_________．30．sin75°cos30°﹣cos75°sin30°=_________．1．（2013•湖北）将函数的图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m的最小值是（）A．B．C．D．2．（2012•重庆）=（）A．﹣B．﹣C．D．3．若，，，则cos（α+β）的值等于（）A．B．C．D．4．（2014•孝感二模）函数的最大值是（）A．2 B．1 C．D．5．（2014•云南一模）函数f（x）=sin2x﹣sin（2x+）的最小值为（）A．0 B．﹣1 C．D．﹣2 6．设，则sin2θ=（）A．B．C．D．7．已知，且0°＜α＜90°，则cosα=（）A．B．C．D．8．观察下列等式：13+23=（1+2）2，13+23+33=（1+2+3）2，13+23+33+43=1+2+3+4）2，…，根据上述规律，第四个等式为_________．9．如果一个凸多面体是n棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有_________条，这些直线中共有f （n）对异面直线，则f（4）=_________；f（n）=_________．（答案用数字或n的解析式表示）10．）方程在区间（0，π）内的解是_________．11．化简：=_________．12．函数在区间[]的最小值为____．13．若，则的取值范围是__14．函数的单调递增区间_________．15．已知，，则sinα=_________．16．函数的单调递减区间为_________．17．方程在（0，π）上的解集是_________．18．（2007•金山区一模）方程sinx+cosx=﹣1在[0，π]内的解为_________．19．（2006•南京一模）在△ABC中，若，则的值为_________．20．若cos（）﹣sinα=，则sin（）=_________．21．y=cos2xcos的单调递减区间是_________．22．锐角α，β满足，则α+β=_________．23．已知cosα=，cosβ=，且α、β为锐角，则cos（α+β）=_________．24．已知tan是第二象限角，则sin（）的值为_________．25．（2012•上饶一模），则f（1）+f（2）+…+f（2012）=_________．26．（2012•东至县模拟）在△ABC中，若sinA=，cosB=，则cosC的值是_________．27．（2011•钟祥市模拟）已知，则的值等于_________．28．（2010•金山区一模）若cosα=﹣，α∈（，π），则sin（α+）=_________．29．（2008•崇明县二模）已知，则=_________．30．已知，其中，则=_________．1．（2011•重庆）已知sinα=+cosα，且α∈（0，），则的值为_________．2．（2008•北京）若角α的终边经过点P（1，﹣2），则tan2α的值为_________．3．（2013•松江区二模）已知，且，则sin2α=_________．4．（2013•日照二模）已知α为第二象限角，，则sin2α=_________．5．（2013•成都二模）已知sinα+cosα=，则sin2α的值为_________．6．（2012•烟台二模）已知sin，则sin2α的值为_________．7．（2012•虹口区一模）已知，则的值等于_________．8．（2012•海淀区一模）若tanα=2，则sin2α=_________．9．已知cosθ=2sinθ，则cos2θ的值为_________．10．（2011•成都一模）已知cosα=，则cos2α=_________．11．（2008•江苏二模）已知cos（α+）=，且，则sin2α=_________．12．若α为锐角，且，则=_________．13．计算：sin10°cos20°sin30°cos40°=_________．14．已知，则sin2α=_________．15．已知=_________．16．若tanα=1则sin2α+cos2α=_________．17．=_________．18．若tan（a﹣）=2，则tan2a=_________．19．已知tanx=2，则=_________．20．已知，则的值等于_________．21．（2011•扬州三模）已知，则cos2θ=_________．22．（2012•上高县模拟）若2sinα+cosα=0，则=_________．23．若=_________．24．若tanθ=2，则2sin2θ﹣sin2θ=_________．25．若x=，则sin4x﹣cos4x=_________．26．若，则=________27．三角函数式的值等于____．28．已知函数f（x）=（Ⅰ）求f（x）的定义域；（Ⅱ）设α是第四象限的角，且tanα=，求f（α）的值．29．已知α∈（），且sinα=；（Ⅰ）求sin（α+）的值；（Ⅱ）求cos（2α+）的值．30．已知tanθ=2．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求cos2θ的值．1．（2012•辽宁）已知，α∈（0，π），则sin2α=（ ） A ． ﹣1 B ．C ．D ． 12．（2013•江西）若sin=，则cos α=（ ）A ． ﹣B ． ﹣C ．D ．3．（2012•江西）若，则tan2α=（ ） A ． ﹣ B ． C ． ﹣ D ．4．计算1﹣2sin222.5°的结果等于（ ） A ． B ． C ． D ．5．sin15°cos75°+cos15°sin105°等于（ ） A ． 0B ．C ．D ． 16．设0≤x ＜2π，且=sinx ﹣cosx ，则（ ）A ． 0≤x ≤πB ．≤x ≤C ．≤x ≤D ． ≤x ≤7．函数y=2sinx （sinx+cosx ）的最大值为（ ） A ． B ． C ．D ． 28．sin15°cos30°sin75°的值等于（ ） A ．B ．C ．D ．9．已知sina=，则cos （π﹣2a ）=（ ） A ． ﹣B ． ﹣C ．D ．10．已知sin2α=，则cos2（α+）=（ ） A ． B ．C ．D ．11．已知α为第二象限角，，则cos2α=（ ） A ． ﹣B ． ﹣C ．D ．12．（2014•淄博一模）已知tan α=2，那么sin2α的值是（ ） A ． B ． C ． D ．13．（2014•杭州一模）若α∈（，π），且3cos2α=sin （﹣α），则sin2α的值为（ ）A ．B ．C ．D ．14．（2014•贵阳一模）若sin （+α）=，则sin2α等于（ ） A ． ﹣B ．C ． ﹣D ．15．（2013•唐山一模）已知，则 tan2α=（）A ．B ． ﹣C ．D ． ﹣．16．（2013•合肥二模）若tan α=﹣，则cos2α=（ ）A ．B ．C ．D ．17．已知角α的终边经过点（﹣8，﹣6）则sin2α=（ ） A ．B ．C ．D ．18．化简的结果是（ ） A ． 2cos3 B ． 2sin3 C ． ﹣2sin3 D ． ﹣2cos319．已知的值是（） A ．B ．C ．D ．20．设，则（ ）A． c＜a＜b B． b＜c＜a C． a＜b＜c D． b＜a＜c21．若tanα=3，则tan2α的值是（）A．B．C．D．22．sin275°+sin215°+sin75°•sin15°的值是（）A．B．C．D．23．sin15°•cos15°=（）A． 1 B．﹣1 C．D．﹣224．在△ABC中，若sin2A=﹣，则sinA﹣cosA的值为（）A．B．C．D．25．已知sin（π+α）=，则cos2α等于（）A．B．﹣ C．D．﹣26．（sin22.5°+cos22.5°）（sin22.5°﹣cos22.5°）=（）A．﹣B．C．D．﹣27．sin15°cos165°的值是（）A．B．C．D．28．已知，则sin4θ+cos4θ=．（）A．B．C． 1 D．﹣29．（2013•蚌埠二模）已知sinα=，则cos2α=（）A．B．C．﹣D．30．已知α为锐角，，则tan =（）A．B．C．﹣3 D．﹣21．若角α的终边经过点P（1，﹣2），则tan2α的值为_________．2．函数y=2sinxcosx﹣1，x∈R的值域是_________．3．函数y=sin2xcos2x的最小正周期是_________．4．已知sinα+cosα=，则cos4α=_________．5．已知α∈[，π]，sinα=，则sin2α=_____．6．已知，则cos2α=_________．7．（2013•普陀区二模）若且sin2θ＜0，则tanθ=_________．8．（2013•松江区二模）已知，且，则sin2α=_________．9．（2013•成都二模）已知sinα+cosα=，则sin2α的值为_________．10．（2012•蓝山县模拟）函数y=的最小正周期是_________．11．（2011•成都一模）已知α是第四象限的角，且，则cosα=_________．12．（2011•成都一模）已知cosα=，则cos2α=_________．13．（2012•丰台区二模）已知cosθ=2sinθ，则cos2θ的值为_________．14．（2009•朝阳区一模）若，则cos2θ等于_________．15．（2004•河西区一模）化简cos275°的值是_________．16．若α为锐角，且，则=_________．17．已知cosx﹣sinx=，则sin2x的值为______．18．已知，则sin2θ的值为_________．19．函数y=sin2x﹣2sinxcosx﹣cos2x（x∈R）的单调递增区间为_________．20．计算：cos475°﹣sin475°=_________．21．若tanα=1则sin2α+cos2α=_________．22．=_________．23．2cos215°﹣cos30°=_________．24．（2014•烟台一模）已知tanα=2，则=_________．25．（2013•北京）已知函数f（x）=．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及最大值；（Ⅱ）若α∈（，π），且f（α）=，求α的值．26．已知函数f（x）=2sinxcosx+cos2x（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设α∈（0，π），，求sinα的值、27．解方程cos2x=cosx+sinx，求x的值．28．（2013•荆门模拟）已知函数（1）若a=﹣1，求f（x）的单调增区间；（2）若x∈[0，π]时，f（x）的值域是[5，8]，求a，b的值．29．（2013•惠州模拟）已知函数f（x）=1+sinx•cosx．（1）求函数f（x）的最小正周期和最小值；（2）若tanx=，x∈（0，），求f（﹣）的值．30．（2013•海淀区一模）已知函数f（x）=2﹣（sinx﹣cosx）2．（Ⅰ）求f（）的值和f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数在区间[﹣，]上的最大值和最小值．1．对任何的值等于（）A．B．C．D．2．若，则角θ的终边落在直线（）上A．24x﹣7y=0 B．24x+7y=0 C．7x+24y=0 D．7x﹣24y=03．已知θ为第二象限角，sin（π﹣θ）=，cos的值为（）A．B．C．±D．±4．已知180°＜α＜360°，则的值等于（）A．B．C．D．5．若2sinx=1+cosx，则的值等于（）A．B．或不存在C．2 D．2或6．直线2x+1=0的倾斜角为α，则=（）A．1 B．C．D．07．若sin74°=m，则cos8°=（）A．B．C．D．8．已知，cos2x=a，则sinx=（）A．B．C．D．9．已知cosx+sinx=1，则等于（）A．0 B．1 C．﹣1 D．0或110．已知角α为第二象限角且，则=（）A．B．C．D．11．若cosα=﹣，α是第三象限角，则=（）A．2 B．C．﹣2 D．﹣12．已知π＜α＜2π，且，则=（）A．B．C．D．13．已知cosθ=﹣，θ∈（﹣π，0），则sin+cos=（）A．B．±C．D．﹣14．已知等腰三角形顶角的余弦值为，则底角的余弦值为（）A．B．C．D．15．已知，则cos（π﹣α）=_________．16．（2013•普陀区二模）若且sin2θ＜0，则=_________．17．（2012•温州二模）已知cos2=a，则cos1=_________．（用a表示）18．若，，则的值是_________．19．若，且，则=_________．20．在△ABC中，若，则=_________．21．已知，，则=_________．22．已知=﹣，则sinα等于_________．23．已知，则cosθ=_________．24．如果，则的值为_________．25．设2＜Z，且，．（1）求cosα的值；（2）证明：．26．已知为第四象限角，求的值．27．化简：+．。

三角函数图像变换总结三角函数是高中数学中非常重要的一个概念，它在几何、物理、工程等领域中有着广泛的应用。

在学习三角函数时，我们经常会接触到三角函数的图像变换。

图像变换是指通过对原始函数的一系列操作，得到一个新的函数的过程。

一、平移变换平移变换是指将函数的图像沿着横轴或纵轴方向平移一定的距离。

当我们将函数沿着横轴平移时，可以通过将自变量加上一个常数来实现。

例如，若将函数f(x)沿着横轴向右平移a个单位，则新函数为f(x-a)。

同样，当我们将函数沿着纵轴平移时，可以通过将因变量加上一个常数来实现。

二、伸缩变换伸缩变换是指通过改变函数的自变量或因变量的取值范围来改变函数的图像形状。

当我们将函数的自变量进行伸缩时，可以通过改变自变量的比例系数来实现。

例如，若将函数f(x)的自变量x进行伸缩，新函数为f(kx)，其中k是一个正常数。

当k 大于1时，函数图像会水平压缩；当0<k<1时，函数图像会水平拉伸。

同样，我们可以将函数的因变量进行伸缩，通过改变因变量的比例系数来实现。

三、翻折变换翻折变换是指通过改变函数的自变量或因变量的正负号来改变函数的图像形状。

当我们将函数的自变量进行翻折时，可以通过将自变量取相反数来实现。

例如，若将函数f(x)的自变量进行翻折，新函数为f(-x)。

同样，我们可以将函数的因变量进行翻折，通过将因变量取相反数来实现。

四、迭加变换迭加变换是指将多个变换效果叠加在一起，从而得到一个新的函数的图像。

例如，我们可以将平移、伸缩和翻折等变换操作应用于原始函数，得到一个经过多次变换的新函数的图像。

通过迭加变换，我们可以获得更加丰富多样的函数图像。

总结起来，三角函数的图像变换是通过对函数的自变量和因变量进行平移、伸缩、翻折等操作来改变函数的图像形状。

通过合理地应用这些图像变换，我们可以更好地理解和应用三角函数，并在解决实际问题时提供便利。

因此，掌握三角函数的图像变换是非常重要的数学技能之一，也是我们在数学学习中需要重点关注和掌握的内容之一。

三角函数的像和变换三角函数是数学中的一类重要函数，包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。

它们在几何、物理、工程等领域都有广泛的应用。

同时，通过对三角函数的变换，我们可以得到一系列新的函数及其性质。

本文将介绍三角函数的像和变换，并对其相关概念和性质进行说明。

一、三角函数的像1. 正弦函数（sin 函数）正弦函数是一个周期函数，它的取值范围在[-1, 1]之间。

当自变量为角度时，正弦函数的周期是360度（或2π弧度）。

我们可以通过绘制正弦函数的图像来更好地理解它的像。

下图是正弦函数的图像示例：（插入正弦函数的图像）2. 余弦函数（cos 函数）余弦函数也是一个周期函数，其取值范围同样在[-1, 1]之间。

余弦函数与正弦函数的图像类似，它们之间存在一种相位差。

当自变量为角度时，余弦函数的周期同样是360度（或2π弧度）。

下图是余弦函数的图像示例：（插入余弦函数的图像）3. 正切函数（tan 函数）正切函数的取值范围是整个实数集，即正负无穷。

正切函数也是一个周期函数，其周期为180度（或π弧度）。

当自变量的值接近90度（或π/2弧度）时，正切函数的值趋向于正无穷；接近270度（或3π/2弧度）时，正切函数的值趋向于负无穷。

下图是正切函数的图像示例：（插入正切函数的图像）二、三角函数的变换在三角函数的基础上，我们可以通过一系列的变换来得到新的函数。

1. 水平方向的变换（1）平移变换：平移变换可以将函数的图像沿横轴左右移动。

设原函数为f(x)，平移后的函数为f(x - a)，其中a表示平移的距离。

当a > 0时，图像向右平移；当a < 0时，图像向左平移。

（2）反射变换：反射变换可以将函数的图像关于纵轴或横轴进行翻转。

设原函数为f(x)，反射后的函数为-f(x)，关于横轴的反射变换表示为f(-x)，关于纵轴的反射变换表示为-f(-x)。

2. 垂直方向的变换（1）竖直方向的平移：竖直方向的平移可以将函数的图像沿纵轴上下移动。

三角函数图像平移变换由y ＝sin x 的图象变换出y ＝sin(ωx ＋ϕ）的图象一般有两个途径,只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换.利用图象的变换作图象时,提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。

途径一:先平移变换再周期变换（伸缩变换)先将y ＝sin x 的图象向左(ϕ＞0)或向右（ϕ＜0＝平移｜ϕ｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的ω1倍(ω＞0），便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象。

途径二：先周期变换（伸缩变换)再平移变换。

先将y ＝sin x 的图象上各点的横坐标变为原来的ω1倍（ω＞0），再沿x 轴向左（ϕ＞0)或向右(ϕ＜0＝平移ωϕ||个单位，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象。

1。

为得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像,只需将函数sin 2y x =的图像（ A ）A ．向左平移5π12个长度单位B ．向右平移5π12个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位2。

要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos y x π⎛⎫=- ⎪3⎝⎭的图象( D ）A ．向右平移π6个单位 B ．向右平移π3个单位 C ．向左平移π3个单位D ．向左平移π6个单位3。

为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象（ B ）（A)向右平移6π个单位长度 (B ）向右平移3π个单位长度 (C ）向左平移6π个单位长度 (D ）向左平移3π个单位长度4。

把函数sin y x =(x R ∈）的图象上所有点向左平行移动3π个单位长度,再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是CA sin(2)3y x π=-，x R ∈B sin()26x y π=+,x R ∈C sin(2)3y x π=+，x R ∈D sin(2)32y x π=+，x R ∈ 5.为了得到函数sin(2)3y x π=-的图像，只需把函数sin(2)6y x π=+的图像B（A ）向左平移4π个长度单位 （B ）向右平移4π个长度单位 （C ）向左平移2π个长度单位 （D ）向右平移2π个长度单位6.已知函数()sin()(,0)4f x x x R πϖϖ=+∈>的最小正周期为π，为了得到函数()cos g x x ϖ=的图象，只要将()y f x =的图象AA 向左平移8π个单位长度 B 向右平移8π个单位长度 C 向左平移4π个单位长度 D 向右平移4π个单位长度7.函数cos(2)26y x π=+-的图象F 按向量a 平移到'F ,'F 的函数解析式为(),y f x =当()y f x =为奇函数时，向量a 可以等于B .(,2)6A π-- .(,2)6B π-.(,2)6C π- .(,2)6D π8.将函数y=sinx 的图象向左平移ϕ(0 ≤ϕ＜2π)的单位后，得到函数y=sin ()6x π-的图象，则ϕ等于（D ）A ．6π B ．56π C. 76π D 。

三角函数的像变换规律总结三角函数是数学中的重要概念，它们在数学和物理等领域中有广泛的应用。

像变换规律是描述三角函数在图像上的移动、拉伸和反转等变化规律。

在本文中，我们将总结常见的三角函数的像变换规律。

一、正弦函数的像变换规律正弦函数是最常见的三角函数之一，其一般式为y =A*sin(Bx+C)+D，其中A、B、C、D为常数参数。

1. 水平方向平移：当C改变时，函数图像在水平方向上发生平移。

当C>0时，向左平移；当C<0时，向右平移。

平移的距离等于C的绝对值除以B。

2. 垂直方向平移：当D改变时，函数图像在垂直方向上发生平移。

当D>0时，向上平移；当D<0时，向下平移。

平移的距离等于D。

3. 垂直方向拉伸或压缩：当A改变时，函数图像在垂直方向上发生拉伸或压缩。

当|A|>1时，发生纵向拉伸；当|A|<1时，发生纵向压缩。

拉伸或压缩的程度与|A|的大小有关。

二、余弦函数的像变换规律余弦函数也是常见的三角函数之一，其一般式为y =A*cos(Bx+C)+D，其中A、B、C、D为常数参数。

1. 水平方向平移：与正弦函数类似，余弦函数在改变C时在水平方向上发生平移。

当C>0时，向左平移；当C<0时，向右平移。

平移的距离等于C的绝对值除以B。

2. 垂直方向平移：与正弦函数类似，余弦函数在改变D时在垂直方向上发生平移。

当D>0时，向上平移；当D<0时，向下平移。

平移的距离等于D。

3. 垂直方向拉伸或压缩：与正弦函数类似，余弦函数在改变A时在垂直方向上发生拉伸或压缩。

当|A|>1时，发生纵向拉伸；当|A|<1时，发生纵向压缩。

拉伸或压缩的程度与|A|的大小有关。

三、正切函数的像变换规律正切函数是另一个常见的三角函数，其一般式为y =A*tan(Bx+C)+D，其中A、B、C、D为常数参数。

由于正切函数在某些点上无定义，因此在图像上会有一些特殊的性质。

《图象变换的顺序寻根》题根研究一、图象变换的四种类型从函数y = f (x）到函数y = A f（）+m，其间经过4种变换：1。

纵向平移——m 变换2。

纵向伸缩——A变换3.横向平移——变换4.横向伸缩-—变换一般说来，这4种变换谁先谁后都没关系,都能达到目标，只是在不同的变换顺序中，“变换量”可不尽相同，解题的“风险性"也不一样。

以下以y = sin x到y = A sin （）+m为例，讨论4种变换的顺序问题。

【例1】函数的图象可由y = sin x的图象经过怎样的平移和伸缩变换而得到？【解法1】第1步，横向平移：将y = sin x向右平移，得第2步，横向伸缩：将的横坐标缩短倍，得第3步：纵向伸缩：将的纵坐标扩大3倍，得第4步:纵向平移：将向上平移1,得【解法2】第1步，横向伸缩：将y = sin x的横坐标缩短倍，得y = sin 2x第2步，横向平移：将y = sin 2x向右平移，得第3步，纵向平移：将向上平移,得第4步，纵向伸缩：将的纵坐标扩大3倍，得【说明】解法1的“变换量"（如右移)与参数值（)对应，而解法2中有的变换量（如右移）与参数值（）不对应，因此解法1的“可靠性"大,而解法2的“风险性”大.【质疑】对以上变换，提出如下疑问：（1）在两种不同的变换顺序中,为什么“伸缩量”不变，而“平移量”有变？（2)在横向平移和纵向平移中，为什么它们增减方向相反——如当〈0时对应右移（增方向），而m < 0时对应下移（减方向)？（3）在横向伸缩和纵向伸缩中,为什么它们的缩扩方向相反——如｜| > 1时对应着“缩”，而| A ｜>1时，对应着“扩”？【答疑】对于（2)，（3）两道疑问的回答是：这是因为在函数表达式y = A f ()+m 中x和y的地位在形式上“不平等”所至. 如果把函数式变为方程式（y+）= f (），则x、y在形式上就“地位平等"了。

三角函数图像变换规律三角函数图像变换(TFI)是数学中一个重要的概念，它能够帮助人们更好地理解曲线、函数及它们之间的关系。

三角函数图像变换有助于理解一般函数的性质以及对特殊函数的特性和行为作出准确的预测。

本文旨在探讨三角函数图像变换的一些基本规律以及应用示例，为研究者进行更深入的探究奠定基础。

2、复平面及变换复平面是数学中的一个重要概念，可以用来描述复数的结构和特性。

复平面由实轴和虚轴组成，其中的点的坐标为(x, y)，它们之间的距离可以用欧几里得距离来表示。

复平面上的三角函数变换指的是使用三角函数将原有的点变换到新的位置和形状，其原理可以用复数学来分析推导得出。

3、三角函数图像变换三角函数图像变换是指使用三角函数进行图像变换。

它包括改变图像尺寸大小、旋转图像等。

其基本规律是：一个复数可以通过三角函数变换将其变换为另一个复数，而另一个复数可以通过三角函数变换将其变换为第一个复数。

具体来说，对于一张图片，其复数坐标可以用三角函数变换来改变图片的大小。

具体的方法是：将图像中心（原点）放入复数坐标系，以图像原点为基准，使用三角函数变换来平移复数坐标，从而改变图像尺寸大小；同时，还可以使用三角函数来旋转图像，以得到不同的图像形态。

4、三角函数图像变换的应用三角函数图像变换在计算机图像处理和图像恢复方面都有广泛的应用。

在计算机图像处理方面，使用三角函数变换可以用于改变图像尺寸，实现图像膨胀和缩小；也可以实现图像旋转、倾斜等功能，从而使图像变换成不同的形态。

在图像恢复方面，三角函数图像变换可以用来改善图像质量，旋转图像，去除图像噪声，从而获得更清晰、更易于理解的图像。

5、总结三角函数图像变换是一种利用三角函数将图像变换为不同形状、尺寸大小的技术。

它的基本规律就是将源点的复数坐标变换为另一个复数的坐标，实现图像的角度旋转、尺寸膨胀缩小、景深变化等功能，具有广泛的应用前景。