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第十二章不等式-2021届广东学业水平考试数学题型解题技巧（小高考）考法43不等关系与不等式【题型特点】不等式与不等关系也是合格考考查的内容之一,在试题中多以选择题或填空题的形式考查,有时也渗透到解答题中,主要考查不等式的性质及运用.【方法归纳】比较大小的方法及步骤(1)作差法,步骤如下:①作差;②变形;③判断差的符号;④结论.(2)作商法,步骤如下:①作商;②变形;③判断商与1的关系;④结论.(3)作差的目的是判断差的符号,而作商的目的是判断商与1的大小.两种方法的关键是变形,常用的变形技巧有因式分解、配方、分母有理化等.(4)当两个代数式的正负不确定且为多项式形式时,常用作差法比较大小,当两个代数式均为正且均为幂的乘积形式时,常用作商法比较大小.典例49已知a>0,b>0,且a≠b,则a 2b +b 2a与a+b 的大小关系为.解析因为(a 2b +b2a)-(a+b)=a2b-b+b2a-a=a 2-b2b+b2-a2a=(a2-b2)(1b-1a)=(a2-b2)a-bab =(a-b)2(a+b)ab,又a>0,b>0,且a≠b,所以(a-b)2>0,a+b>0,ab>0, 所以(a 2b +b2a)-(a+b)>0,即a2b+b2a>a+b.答案a 2b +b2a>a+b考法44均值不等式【题型特点】均值不等式:√ab≤a+b2(a>0,b>0)也是合格考的热点,主要考查命题判断、不等式证明以及求最值问题,特别是求最值问题往往与实际问题相结合,同时在均值不等式的使用条件上设置一些问题,实际上是考查学生恒等变形的技巧.【方法归纳】利用均值不等式求最值的解题技巧(1)凑项;(2)凑系数;(3)分离;(4)换元;(5)在应用均值不等式时,若遇到等号取不到的情况,结合函数f(x)=x+ax的单调性;(6)整体代换;(7)取平方.典例50(1)若ab>0且直线ax+by-2=0过点P(2,1),则1 a +2b的最小值为()A.92B.4C.72D.3(2)已知a2+2a+2x≤4x2-x+1对于任意的x∈(1, +∞)恒成立,则()A.a的最小值为-3B.a的最小值为-4C.a的最大值为2D.a的最大值为4解析(1)因为直线ax+by-2=0过点P(2,1),所以2a+b=2.又ab>0,所以1a +2b =12(2a+b )(1a +2b )=12(4+4a b+b a )≥12(4+2√4a b ·ba )=4,当且仅当b=1,a=12时取等号. (2)因为x ∈(1, +∞),所以x-1>0,x>0, 不等式a 2+2a+2x≤4x 2-x +1可化为a 2+2a+2≤x (4x 2-x +1),即a 2+2a+2≤4x -1+x-1+1. 因为4x -1+x-1+1≥2√4x -1(x -1)+1=5, 当且仅当{x >1,4x -1=x -1,,即x=3时,上式取“=”,所以a 2+2a+2≤5,解得-3≤a ≤1.答案(1)B (2)A考法45 一元二次不等式的解法【题型特点】一元二次不等式和一元二次方程、二次函数相联系,三者构成一个统一整体, 贯穿于高中数学的始终,在考题中有时单独对某类不等式的解法进行考查,一般以选择题、填空题的形式出现,有时在解答题中与其他知识综合到一起,难度较大,需借助等价转化、分类讨论等数学思想解题.【方法归纳】一元二次不等式的求解流程 (1)一化:化二次项系数为正数 (2)二判:判断对应方程是否有根. (3)三求:求对应方程的根. (4)四画:画出对应函数的图象. (5)五解:根据图象写出不等式的解集.典例51已知f (x )=x 2-(a +1a )x+1.(1)当a=12时,解不等式f (x )≤0; (2)若a>0,解关于x 的不等式f (x )≤0.解析(1)当a=12时,f (x )=x 2-52x+1≤0,即(x -12)(x-2)≤0,解得12≤x ≤2.故原不等式的解集为{x|12≤x≤2}.(2)因为不等式f(x)=(x-1a)(x-a)≤0,当0<a<1时,有1< p="">a >a,所以原不等式的解集为{x|a≤x≤1a};当a>1时,有1a <a,所以原不等式的解集为{x|1< p="">a≤x≤a};当a=1时,原不等式的解集为{1}.综上,当0<a<1时,不等式的解集为{x|a≤x≤1< p="">a};当a>1时,不等式的解集为{x|1a≤x≤a};当a=1时,不等式的解集为{1}.考法46简单的线性规划【题型特点】本部分内容以求二元一次不等式(组)表示的平面区域的面积、求线性目标函数的最值、线性规划的实际应用问题等为考试的热点,题型既有选择题、填空题,也可能为解答题,难度为中低档.客观题主要考查可行域的求解、目标函数最值的求法以及线性规划的实际应用,主观题重点考查线性规划的实际应用.【方法归纳】解线性规划实际应用题的步骤(1)设出所求的未知数,列出约束条件,建立目标函数.(2)作出可行域.(3)确定平移直线,寻找最优解.(4)检验,考虑最优解是否符合实际意义.典例52某厂用甲、乙两种原料生产A,B两种产品,制造1 t A,1 t B 产品需要的各种原料数、可得利润以及工厂现有各种原料数如下表:(1)在现有原料条件下,生产A,B两种产品各多少时,才能使利润最大?(2)每吨B产品的利润在什么范围变化时,原最优解不变?当超出这个范围时,最优解有何变化?解析(1)设生产A ,B 两种产品分别为x t,y t,则利润z=5x+3y ,x ,y 满足{2x +y ≤14,x+3y ≤18,x ≥0,y ≥0,作出可行域如图,当直线5x+3y=z 过点B 时,z 取最大值{2x +y =14,x +3y =18,解得{x =245,y =225,则B (245,225),z 取最大值,z 的最大值为1865.所以生产A 产品245 t,B 产品225 t 时,才能使利润最大. (2)设每吨B 产品利润为m 万元,则目标函数是z=5x+my ,直线斜率为k=-5m ,又k AB =-2,k CB =-13,要使最优解仍为B 点,则-2<-5m <-13,解得52<m<15.< p="">所以B产品的利润在(52,15)(万元/t)时,原最优解仍为生产A产品245t,B产品225t.若B产品的利润超过15万元/t,则最优解为C(0,6),即只生产B产品6 t;若B产品利润低于52万元/t,则最优解为A(7,0),即只生产A产品7 t.当B产品的利润为15万元/t时,则最优解为线段BC上的点,B产品的利润为52万元/t时,则最优解为线段AB上的点.</m<15.<></a<1时,不等式的解集为{x|a≤x≤1<></a,所以原不等式的解集为{x|1<></a<1时,有1<>。
考纲展示考情汇总备考指导(1)不等关系了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式(组)的实际背景.本章的重点是应用线性规划求目标函数的最值，基本不等式及其应用，难点是不等式及其性质的综合应用，解决简单的线性规划问题时，要注意理解并应用目标函数的几何意义，应用基本不等式求最值时，要注意其使用条件.(2)一元二次不等式 ①会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型. ②通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.③会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.2019年1月T6(3)二元一次不等式组与简单线性规划问题①会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.②了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.③会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.2017年1月T112018年1月T92019年1月T112020年1月T13(4)基本不等式：a＋b2≥ab(a≥0，b≥0)①了解基本不等式的证明过程.②会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.2017年1月T13不等式的性质与解法1．不等关系及不等式a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a<b.2．不等式的基本性质(1)对称性：如果a>b，那么b<a；如果a<b，那么b>a.(2)传递性：如果a>b，b>c，那么a>c；如果a＜b，b＜c，那么a<c.(3)可加性：如果a >b ，那么a＋c >b ＋c .(4)同向可加性：如果a >b ，c >d ，那么a ＋c >b ＋d .(5)可乘性：如果a >b ，c >0，那么ac ＞bc ；如果a >b ，c <0，那么ac <bc . (6)同向同正可乘性：如果a >b >0，c >d >0，那么ac >bd >0. (7)乘方性：如果a >b >0，那么a n >b n (n ∈N ＋，n ≥2)． (8)开方性：如果a >b >0，那么n a >nb (n ∈N ＋，n ≥2)． 3．一元二次不等式的解集 Δ＝b 2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象ax 2＋bx ＋c ＝0(a >0)的根 有两个不相等的实根 有两个相等的实根没有实根ax 2＋bx ＋c >0(a >0) {x |x <x 1或x >x 2} ⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠－b 2aR ax 2＋bx ＋c <0(a >0){x |x 1<x <x 2}∅∅(2019·1月广东学考)不等式x 2－9<0的解集为( ) A ．{x |x <－3} B ．{x |x <3} C ．{x |x <－3或>3}D ．{x |－3<x <3}D [x 2－9<0，x 2<9，－3<x <3.]解一元二次不等式的一般步骤(1)对不等式变形，使不等号一端二次项系数大于0，另一端为0，即化为ax 2＋bx ＋c >0(a >0)或ax 2＋bx ＋c <0(a >0)的形式；(2)计算相应的判别式；(3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根； (4)根据对应的二次函数的图象，写出不等式的解集．[最新模拟快练]1．(2019·佛山市学考模拟)若集合A ＝{x |(2x ＋1)(x －3)＜0}，B ＝{x |x ∈N *，x ≤5}，则A ∩B 等于( )A ．{1,2,3}B ．{1,2}C ．{4,5}D ．{1,2,3,4,5}B [∵(2x ＋1)(x －3)＜0，∴－12＜x ＜3，又x ∈N *且x ≤5，则x ＝1,2.] 2．(2019·珠海市学考模拟)不等式9x 2＋6x ＋1≤0的解集是( )A ．⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠－13B ．⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－13≤x ≤13C ．∅D ．⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝－13D [(3x ＋1)2≤0，∴3x ＋1＝0，∴x ＝－13.]3．(2019·东莞市学考模拟)设x <a <0，则下列不等式一定成立的是( ) A ．x 2<ax <a 2 B ．x 2>ax >a 2 C ．x 2<a 2<axD ．x 2>a 2>axB [∵x <a <0，∴x 2>a 2.∵x 2－ax ＝x (x －a )>0，∴x 2>ax . 又ax －a 2＝a (x －a )>0，∴ax >a 2.∴x 2>ax >a 2.]4．(2019·揭阳高二月考)已知a ＜0，b ＜－1，则下列不等式成立的是( ) A ．a ＞a b ＞a b 2 B ．a b 2＞a b ＞a C ．a b ＞a ＞a b 2D ．a b ＞a b 2＞aD [由题意知a b ＞0，b 2＞1，则a b 2＞a .且a b 2＜0，所以a b ＞ab 2＞a .]5．(2018·广东省普通高中数学学业水平考试模拟题)设M ＝x 2，N ＝－x －1，则M 与N 的大小关系是( )A ．M >NB ．M ＝NC ．M <ND ．与x 有关A [M －N ＝x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34>0，∴M >N .]6．(2018·广东省普通高中数学学业水平考试模拟题)函数f (x )＝ln(x 2－x )的定义域为( )A ．(0,1)B ．[0,1]C ．(－∞，0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，0]∪[1，＋∞)C [要使函数有意义，需满足x 2－x >0，解得x <0或x >1，故选C ．] 7．(2018·深圳市高一期中)不等式x 2－2x －5>2x 的解集是( ) A ．{x |x ≥5或x ≤－1} B ．{x |x >5或x <－1} C ．{x |－1<x <5}D ．{x |－1≤x ≤5}B [原不等式化为x 2－4x －5>0，即(x －5)(x ＋1)>0，得x <－1或x >5，故选B ．] 8．(2019·韶关高二期中)当不等式x 2＋x ＋k >0恒成立时，k 的取值范围为 ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞ [由题意知Δ<0，即1－4k <0，得k >14，即k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞.]9．(2018·肇庆市学考模拟)关于x 的不等式(mx －1)·(x －2)＞0，若此不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1m＜x ＜2，则m 的取值范围是 ．(－∞，0) [由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m <01m <2解得m <0.]简单的线性规划二元一次不等式(组)与简单的线性规划在平面直角坐标系中，二元一次不等式Ax ＋By ＋C >0，表示直线Ax ＋By ＋C ＝0某侧所有点组成的平面区域，其作法分两步：(1)定边界：画直线Ax ＋By ＋C ＝0确定边界； (2)定区域：取特殊点确定区域．[学考真题对练]1．(2018·1月广东学考)若实数x ，y 满足⎩⎨⎧x －y ＋1≥0x ＋y ≥0x ≤0，则z ＝x －2y 的最小值为( )A ．0B ．－1C ．－32D ．－2D [(快速验证法)交点为(0,1)，(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，则z ＝x －2y 分别为－2,0，－32，所以z 的最小值为－2，故选D ．]2．(2019·1月广东学考)设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋3≥0x ＋y －1≤0，y ≥0则z ＝x －2y 的最大值为( )A ．－5B ．－3C ．1D ．4C [⎩⎨⎧ x －y ＋3＝0x ＋y －1＝0→⎩⎨⎧ x ＝－1，y ＝2，⎩⎨⎧x －y ＋3＝0y ＝0→⎩⎨⎧ x ＝－3，y ＝0，⎩⎨⎧ x ＋y －1＝0y ＝0→⎩⎨⎧x ＝1，y ＝0.将三点代入z ＝x －2y 则可得最大值为1.]3．(2020·1月广东学考)设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧y －2≤0x ＋y －1≥0x －y ＋1≤0，则z ＝x －2y的最小值是( )A ．－2B ．－3C ．－5D ．－6C [由z ＝x －2y 得y ＝12x －12z ，作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分)：平移直线y ＝12x －12z ，由图象可知当直线y ＝12x －12z 过点C (－1,2)时，直线的截距最大，此时z 最小，代入目标函数z ＝x －2y ，得z ＝－1－2×2＝－5. ∴目标函数z ＝x －2y 的最小值是－5.故选C ．]简单线性规划问题的解题步骤 1．根据线性约束条件画出可行域． 2．根据线性目标函数，画出直线l 0：z ＝0.3．平移l 0过特殊点使目标函数取得最大值或最小值(当y 的系数大于0时，越向上平移l 0，z 越大，越向下平移l 0，z 越小；当y 的系数小于0时，正好相反)．[最新模拟快练]1．(2019·东莞高二月考)不等式组⎩⎨⎧x ≥1，x ＋y －3≤0，x －y －3≤0，表示的平面区域是( )D [在直角坐标系中，画出直线x ＝1，x ＋y －3＝0，x －y －3＝0，判断(2,0)满足不等式组⎩⎨⎧x ≥1，x ＋y －3≤0，x －y －3≤0，所以不等式组的可行域为：故选D ．]2．(2018·广东省普通高中学业水平测试数学模拟测试卷(考前压题篇))设x ，y满足约束条件⎩⎨⎧x ＋3y ≤3x －y ≥1y ≥0，则z ＝x ＋y 的最大值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3D[x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋3y ≤3x －y ≥1y ≥0的可行域如图：则z ＝x ＋y 经过可行域的A 时，目标函数取得最大值，由⎩⎨⎧y ＝0x ＋3y ＝3解得A (3,0)，所以z ＝x ＋y 的最大值为3.故选D ．]3．(2018·广州市高中二年级学生学业水平模拟测试)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ＋5≥0x －y ≤0y ≤0，则z ＝2x ＋4y ＋1的最小值是( )A ．－14B ．1C ．－5D ．－9A [作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线l 0：2x ＋4y ＝0，平移直线l 0，由图知，当直线l ：z ＝2x ＋4y ＋1过点A 时，z 取最小值，解⎩⎨⎧x ＋y ＋5＝0x －y ＝0得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，－52，故z min ＝－14，故选A ．] 4．(2018·江门市学考模拟题)设x ，y满足约束条件⎩⎨⎧x ＋1≥0，y －2x ≥0，x ＋y －3≤0，则z ＝x－y 的最大值为( )A ．3B ．1C ．－1D ．－5B [y ＝x －z ，作l 0：y ＝x ，当l 0移至l 1，l 2两直线交点H 时截距－z 最小，即z 最大，H (－1，－2)，z max ＝－1＋2＝1.]5．(2019·梅州学考模拟)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，y －3≤0，则目标函数z ＝y －2x 的最小值为( )A ．－7B ．－4C ．1D ．2A [可行域如图阴影部分(含边界)．令z ＝0，得直线l 0：y －2x ＝0，平移直线l 0知，当直线l 过D 点时，z 取得最小值．由⎩⎨⎧y ＝3，x －y －2＝0得D (5,3)．∴z min ＝3－2×5＝－7.]6．(2018·广东省普通高中数学学业水平考试模拟题)若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋1≤0，x －2y ≤0，x ＋2y －2≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3B [如图所示，作出可行域，由目标函数可得y ＝－x ＋z .令z ＝0，作出直线y ＝－x ，结合图形得出直线平移过A 点时，截距最大，此时目标函数值最大．可得A (0,1)，则z 最大值为1，故本题选B ．]7．(2019·广州高二期中检测)若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ≤2，y ≤2，x ＋y ≥2，则z ＝x ＋2y的取值范围是 ．[2,6] [如图，作出可行域，作直线l ：x ＋2y ＝0，将l 向右上方平移，过点A (2,0)时，有最小值2，过点B (2,2)时，有最大值6，故z 的取值范围为[2,6]．]8．(2020·广东学考模拟)已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧x ＋y ≥2x －y ≤20≤y ≤3，则z ＝2x －y 的最大值为 ．7[根据约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≥2x －y ≤20≤y ≤3画出可行域如图，得到△ABC 及其内部，其中A (5,3)，B (－1,3)，C (2,0) 平移直线l ：z ＝2x －y ，得当l 经过点A (5,3)时，z 取最大值， ∴z 最大为2×5－3＝7.故答案为7.]9．(2019·韶关市学考模拟)设m ＞1，在约束条件⎩⎨⎧y ≥xy ≤mxx ＋y ≤1下，目标函数z＝x ＋5y 的最大值为4，则m 的值为 ．3[满足约束条件⎩⎨⎧y ≥xy ≤mxx ＋y ≤1的平面区域如下图所示：目标函数z ＝x ＋5y 可看做斜率为－15的动直线，其纵截距越大z 越大，由⎩⎨⎧y ＝mx x ＋y ＝1可得A 点⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1，m m ＋1，当x ＝1m ＋1，y ＝m m ＋1时，目标函数z ＝x ＋5y取最大值为4，即1＋5mm ＋1＝4；解得m ＝3.] 基本不等式的应用基本不等式(1)对任意实数a ，b ，我们有a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，“＝”成立． (2)若a >0，b >0，则ab ≤a ＋b2，当且仅当a ＝b 时，“＝”成立．[学考真题对练](2017·1月广东学考)下列不等式一定成立的是( ) A ．x ＋1x ≥2(x ≠0) B ．x 2＋1x 2＋1≥1(x ∈R ) C ．x 2＋1≤2x (x ∈R ) D ．x 2＋5x ＋6≥0(x ∈R )B [A 选项：错在x 可以小于0； B 选项：x 2＋1x 2＋1＝x 2＋1＋1x 2＋1－1≥ 2(x 2＋1)·1x 2＋1－1＝1，(当且仅当x 2＋1＝1x 2＋1，即x ＝0时等号成立) C 选项：∵x 2＋1－2x ＝(x －1)2≥0，∴x 2＋1≥2x .D 选项：设y ＝x 2＋5x ＋6可知二次函数与x 轴有两个交点，其值可以小于0.]利用基本不等式求最值的方法(1)利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有两种思路：①对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解． ②条件变形，进行“1”的代换求目标函数的最值．(2)有些题目虽然不具备直接用基本不等式求最值的条件，但可以通过添项、分离常数、平方等手段使之能运用基本不等式．常用的方法还有：拆项法、变系数法、凑因子法、分离常数法、换元法、整体代换法等．[最新模拟快练]1．(2019·佛上高二期末检测) 若0<a <b ，则下列不等式一定成立的是( ) A ．a >a ＋b2>ab >b B ．b >ab >a ＋b2>a C ．b >a ＋b2>ab >a D ．b >a >a ＋b2>abC [∵0<a <b ，∴2b >a ＋b ，∴b >a ＋b2>ab . ∵b >a >0，∴ab >a 2，∴ab >a .故b >a ＋b2>ab >a .]2．(2019·蛇口高二期末检测)已知x ＞1，y ＞1且lg x ＋lg y ＝4，则lg x lg y 的最大值是( )A ．4B ．2C ．1D ．14A [∵x ＞1，y ＞1，∴lg x ＞0，lg y ＞0，lg x lg y ≤⎝⎛⎭⎪⎫lg x ＋lg y 22＝4，当且仅当lg x ＝lg y ＝2，即x ＝y ＝100时取等号．]3．(2018·佛山市学考模拟)当a >0时，2a ＋1a 的最小值为( ) A ．3 B ．2 2 C ．2 D ． 2B [2a ＋1a ≥22a ×1a ＝22，当且仅当2a ＝1a ，即a ＝22时等号成立．]4．(2018·揭阳学考模拟题)已知a >0，b >0，且a ＋2b ＝8，那么ab 的最大值等于( )A ．4B ．8C ．16D ．32B [由a ＋2b ≥22ab 得22ab ≤8，即ab ≤8.]5．(2019·惠州学考模拟)已知点P (x ，y )在经过A (3,0)，B (1,1)两点的直线上，则2x ＋4y 的最小值为( )A ．2 2B ．4 2C ．16D ．不存在B [∵点P (x ，y )在直线AB 上，∴x ＋2y ＝3.∴2x ＋4y ≥22x ·4y ＝22x ＋2y ＝4 2. 当且仅当2x ＝4y ，即x ＝32，y ＝34时，等号成立．]6．(2019·珠海学考模拟)已知a ＝(x －1,2)，b ＝(4，y )(x ，y 为正实数)，若a ⊥b ，则xy 的最大值是( )A ．12B ．－12C ．1D ．－1A [∵a ⊥b ，则a·b ＝0，∴4(x －1)＋2y ＝0，∴2x ＋y ＝2，∴xy ＝12(2x )·y ≤12·⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝12，当且仅当2x ＝y 时，等号成立．]7．(2018·茂名市学考模拟)若a ＞1，则a ＋1a －1的最小值是 ． 3 [原式＝a －1＋1a －1＋1≥2(a －1)×1a －1＋1＝3.] 8．(2018·中山市高二月考)已知a ，b ∈R *，且a ＋2b ＝1，则1a ＋1b 的最小值为 ．1 a＋1b＝(2a＋b)⎝⎛⎭⎪⎫1a＋1b＝3＋ba＋2ab≥3＋2ba×2ab＝3＋2 2.]3＋22[。
