安徽省合肥市四校2015年名校冲刺高考最后一卷(联考通用版)数学理试题

俯视图（6题图）2015年高中毕业班“最后一卷”联考理科数学学科试卷本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)，第Ⅱ卷第21题为选考题，其他题为必考题．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设集合{}0232<++=x x x M , 集合1{|()4}2x N x =≤ ，则MUN为( )A ．}{2-≥x x B ．}{1->x xC ．}{1-<x xD ．}{2-≤x x2.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为( ) A ．9B ．16C ．25D ．363．等差数列}{n a 中，7,10451==+a a a ，则数列}{n a 的公差为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4.“1cos 2α=”是“3πα=”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5.已知直线3231+=x y 与幂函数)0()(≠=m x x f m 的图像将于B A 、两点，且10=AB 则m 的值为（ ）.A ．2-B ．21-C ．21D ．26. 若某几何体的三视图(单位：cm )如图所示，则该几何体的体积等于( )A ．310cmB ．320cmC ．330cmD ．340cm7． 如图，四边形ABCD为矩形，AB =1BC =，以A 为圆心，1为半径画圆，交线段AB 于E ，在圆弧DE 上任取一点P ，则直线AP 与线段BC有公共点率为（ ） A ．16 B ．14 C ．13D ．328.已知半圆的直径10AB = ，O 为圆心，C 为半圆上不同于B A ,的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则()⋅+的最小值是（ ） Ａ．225Ｂ.25- Ｃ．25 Ｄ.225-9．设方程021log 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛-xx 与041log 41=⎪⎭⎫ ⎝⎛-xx 的根分另为21,x x ，则（ ）A ．1021<<x xB ．121=x xC ．2121<<x xD ．221≥x x 10.已知函数错误！未找到引用源。

“合肥市168中学”2015年高三学生最后一卷理科数学一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知i 为虚数单位,复数z 满足12ii z+=,则z 在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.下列结论正确的是A.已知向量,a b 为非零向量,则“,a b 的夹角为钝角”的充要条件是“0a b ⋅<”B.对于命题p 和q ,“p 且q 为真命题”的必要而不充分条件是“p 或q 为真命题”C.命题“若21x =,则1x =或1x =-”的逆否命题为“若1x ≠或1x ≠-,则21x ≠” D.若命题2:,10p x R x x ∃∈-+<,则2:,10p x R x x ⌝∀∈-+>3.已知集合*{|5|23|}A x x N =--∈,则集合A 的非空真子集的个数为 A.62 B.14 C.510 D.5124.设动点(,)x y 满足不等式组(1)(4)03x y x y x -++-≥⎧⎨≥⎩,则22x y +的最小值是C.172D.105.执行如图所示的程序框图(算法流程图),当输出的S 的值为10-时,0S 的值是A.6B.8C.12D.106.在锐角ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别是,,,a b c 若2A B =,则cb的取值范围是 A.(1,3) B.(2,3) C.(0,3) D.(1,2) 7.已知数列{}n a 满足:*1112,()1nn na a a n N a ++==∈-,则122015a a a 的值是A.6-B.3C.2D.1 8.根据抛物线的光学原理,在焦点处的点光源发出的光经抛物面反射后,将平行于对称轴射出,如图,抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ,设过抛物线C 上的点P 的切线为l ,现过原点作l 的平行线交直线PF 于M ,则||MF 等于A.pB.2pC.38pp9.如图,已知点(2,0)P ,正方形ABCD 内接于圆22:2,,O x y M N +=分别为边,AB BC 的中点,当正方形ABCD 绕圆心O 旋转时,PM ON ⋅的取值范围是A.[1,1]-B.[C.[2,2]-D.[22-10.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数,且(2)()f x f x +=-,若1()02f =,则方程()0f x =在区间(0,4)内解的个数的最小值是A.6B.5C.4D.3二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分,请将答案填在答题卡的相应位置. 11.在210(1)x x -+的展开式中,含3x 项的系数是12.已知1xy =且102y <<,则22164x y x y+-的最小值是13.在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中,E 是棱1BB 上的动点,F 是棱CD 的中点,则四面体11A D EF 体积的最大值是14.设函数2()|21|f x x x =--,若1a b >>且()()f a f b =,则ab a b --的取值范围是 15.已知曲线22:1(,,Ax By Cxy A B C Ω++=为常数),有下列命题:①若A B =,则曲线Ω关于直线y x =对称; ②若0C ≠,则曲线Ω一定是一条封闭曲线; ③若0C =,则存在,A B ,使过点(0,1)与曲线Ω有且只有一个交点的直线有4条;④若0C =,则直线0x y m ++=与曲线Ω相交弦的中点轨迹可能是直线.其中的正确命题是(填上你认为正确的所有命题的序号)三、解答题:本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16(本小题满分12分)设函数1()cos cos()cos ,(0,)2f x x x θθθπ=--∈,已知当3x π=时,()f x 取得最大值. (Ⅰ)求θ的值;(Ⅱ)设3()2()2g x f x =求函数()g x 在[0,]3π上的最小值.17(本小题满分12分)某项选拔考试共有三轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答问题者进入下一轮考核,否则即被淘汰.已知某选手能正确回答第一,二,三轮问题的概率分别为432,,555,且各轮问题能否正确回答互不影响. (Ⅰ)求该选手被淘汰的概率; (Ⅱ)该选手在选拔中回答问题的个数记为ξ,求随机变量ξ的概率分布列与数学期望.18(本小题满分12分)已知函数()ln g x ax x =-,其中a R ∈.(Ⅰ)当1a =时,求()g x 在点(1,(1))g 处的切线方程,并判断切线与()g x 的图像的交点个数; (Ⅱ)若()g x 存在零点,求实数a 的取值范围.19(本小题满分13分)在等腰梯形ABCD 中,1//,,2AD BC AB AD BC a E ===是BC 的中点,将BAE ∆沿着AE 翻折成1B AE ∆,使平面1B AE ⊥平面AECD . (Ⅰ)若F 为1B D 的中点,求证:1//B E 平面ACF ; (Ⅱ)求平面1ADB 与平面1ECB 所成二面角的正弦值.20(本小题满分13分)如图,已知椭圆22143x y +=上任意一点P (异于顶点)处的切线与该椭圆在长轴顶点,A B 处的切线分别交于点,M N ,该椭圆的左,右焦点分别是12,F F ,直线12,MF NF 的斜率分别是12,k k .(Ⅰ)求12k k ⋅的值;(Ⅱ)求证:12,,,F F M N 四点共圆.21(本小题满分12分)已知函数31()ln(1),()f x x g x x =+=,数列{},{},{}n n n a b c 满足:1(),(),n n n n a g x dx b g n +==⎰ *()1(),,n n n c g n n N S T =+∈分别是数列{},{}n n a b 的前n 项和.(Ⅰ)求证:42()()n S f x x g x ⋅<⋅对任意0x >及任意*n N ∈成立;;(Ⅱ)若1n m T m+<对任意*n N ∈成立,求整数m 的最大值; (Ⅲ)若数列{}n c 的前n 项的积为n H ,求证:52n H <.(参考数据:62.71 2.72,1.19 1.2)e T <<<<。

第Ⅰ卷一、选择题：本题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.B2.B3.A4.C5.B6.D7.C8.D9. C 10. D 7.C解析：设切点00(,)P x y ，则切线的斜率为0'0|2x x yx ==.由题意有002y x x =又2001y x =+ 解得: 201,2,b x e a =∴===8.D 解析：,,a b c 是单位向量()()2()a c b c a b a b c c∴-∙-=-++21,1->≥+<+=故选D.9. C解析：结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算。

如图设长方体的长宽高分别为,,m n k ，由题意得，=1n ⇒=a =b =，所以22(1)(1)6a b -+-=228a b ⇒+=，22222()282816a b a ab b ab a b +=++=+≤++=∴ 4a b ⇒+≤当且仅当2a b ==时取等号。

10. D解析：由|f (x )|≤M |x |对x ∈R 恒成立，知⎪⎪⎪⎪⎪⎪f (x )x max≤M .①中⎪⎪⎪⎪⎪⎪f (x )x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x ∈(0，＋∞)，故不存在常数M 使不等式恒成立；②中⎪⎪⎪⎪⎪⎪f (x )x ＝|x |∈[0，＋∞)，故不存在常数M 使不等式恒成立； ③中⎪⎪⎪⎪⎪⎪f (x )x ＝|sin x ＋cos x |＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin (x ＋π4)≤2，故存在M 使不等式恒成立； ④中⎪⎪⎪⎪⎪⎪f (x )x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x 2＋x ＋1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1(x ＋12)2＋34≤43， 故存在M 使不等式恒成立．卷Ⅱ（非选择题，共100分）二、填空题（本题共5道小题，每题5分，共25分；将答案直接答在答题卷上指定的位置）11. a ＝2.612.解析 画出可行域，知当直线y ＝a 在x －y ＋5＝0与y 轴的交点(0,5)和x －y ＋5＝0与x ＝2的交点(2,7)之间移动时平面区域是三角形，故5≤a <7. 答案 [5,7)13. 解析：选出 1 5 9 的颜色有3种,再考虑4 8的颜色，48可以相同这时有48只有两种颜色可选，而7则有三种颜色可选，即2×3=6种同理，263的选法也和478的选法一样，有6种,因此共有3x6x6=108种选法。

安徽第一卷·2015年安徽高考最后一卷（B 卷）数学（理科）参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．D 解析：本题考查复数的点的表示与复数的乘法运算．21zi i=-+，(1)(2)3z i i i =+-=+，选D ．2．A 解析：本题考查集合的关系与运算．3(log 2,2]A =，1(,2]2B =，∵331log 2log 2>=，∴A ØB ，选A ． 3．B 解析：本题考查充分、必要条件的判定与函数的奇偶性的判定．当1m =时，()f x 为偶函数，当1m =-时，()f x 不是偶函数；当()f x 为偶函数时，由11()()22f f =-可求得1m =，∴“1m =±”是“函数()f x 为偶函数”的必要不充分条件，选B ． 4．D 解析：本题考查独立性检验与统计抽样调查方法．由于9.967 6.635>，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关，②正确；该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好，④正确，选D ．5．C 解析：本题考查程序框图中的循环结构．121123mn n n n n m S C m---+=⋅⋅⋅⋅=，当8,10m n ==时，82101045m n C C C ===，选C ．6．A 解析：本题考查直线的参数方程、圆的极坐标方程及其直线与圆的位置关系．在直角坐标系中，圆C 的方程为22((1)4x y +-=，直线l 的普通方程为tan (1)y x α=-，直线l 过定点(1M ，∵||2MC <，∴点M 在圆C 的内部．当||AB 最小时，直线l ⊥直线MC ，1MC k =-，∴直线l 的斜率为1，∴4πα=，选A ．7． B 解析：本题考查三视图与几何体的体积的计算．如图该三棱锥是边长为2的正方体1111ABCD A BC D -中的一个四面体1ACED ,其中11ED =，∴该三棱锥的体积为112(12)2323⨯⨯⨯⨯=，选B ．8．C 解析：本题考查等差数列的定义通项公式与“裂项法”求数列的前n 项和．由114n n n na a a a ++-=+得2214n n a a +-=，∴{}2n a 是等差数列，公差为4，首项为4，∴244(1)4n a n n =+-=，由0n a >得n a =．1112n n a a +==+，∴数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n项和为11111)(1)52222n +++==，∴120n =，选C ．9．A 解析：本题考查线性规划中最值的求法．平面区域D 如图所示，先求z ax y =+的最小值，当12a ≤时，12a -≥-，z ax y =+在点1,0A （）取得最小值a ；当12a >时，12a -<-，z ax y =+在点11,33B （）取得最小值1133a +．若D 内存在一点00(,)P x y ,使001ax y +<，则有z ax y =+的最小值小于1，∴121a a ⎧≤⎪⎨⎪<⎩或1211133a a ⎧>⎪⎪⎨⎪+<⎪⎩，∴2a <，选A ．C1A 1C10．C 解析： 当0a >(如图1)、0a =(如图2)时，不等式不可能恒成立；当0a <时，如图3，直线2(2)y x =--与函数2y ax x =+图象相切时，916a =-，切点横坐标为83，函数2y ax x =+图象经过点(2,0)时，12a =-，观察图象可得12a ≤-，选C ．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。

“合肥市一、六、八、168中学”2024年高三四校联考最终一卷（理科数学）一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知i 为虚数单位,复数123,1z i z i =+=-,则复数12z z z =⋅在复平面内的对应的点位于A.第一象限B.其次象限C.第三象限D.第四象限2.已知实数,x y 满意1,1,x y >>且11ln ,,ln 44x y 成等比数列,则xy 有 A.最大值e B.最大值e C.最小值e D.最小值e3.下列三种说法中:①命题“2,0x R x x ∃∈->”的否定是“2,0x R x x ∀∈-≤”②“命题p q ∨为真”是“命题p q ∧为真”的必要而不充分条件;③“若22am bm <,则a b <的逆命题为真”其中错误的是A.③B. ①②C.①③D.②4.一个三棱锥的三视图如图所示,则该棱锥的体积等于A.43B.8C.4D.835.已知函数()2sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><的部分函数图象如图所示,且图象经过点(0,1)和 11(,0)12π,则 A.10,116πωϕ== B.2,12πωϕ== C.2,6πωϕ== D.10,1112πωϕ== 6.某赛季,甲,乙两名运动员都参与了11场竞赛,他们每场竞赛的得分的状况用如图所示的茎叶图表示,则甲,乙两名运动员得分的中位数之和是A.32B.30C.36D.417.已知点(,)P x y 在曲线2cos (sin x y θθθ=-+⎧⎨=⎩为参数,且[,2))θππ∈上,则点P 到直线2(1x t t y t =+⎧⎨=--⎩为参数)的距离的取值范围是 A.3232[,]22- B.3232[1,1]22-+ C.(2,22] D.32(2,1]2+ 8.已知函数()|21||23|f x x x =++-,若关于x 的不等式()|1|f x a <-的解集非空,则实数a 的取值范围是A.[3,5]-B.(3,5)-C.(,3][5,)-∞-+∞D.(,3)(5,)-∞-+∞9.若ABC ∆所在平面内一点P 使得6320PA PB PC ++=,则,,PAB PBC PAC ∆∆∆的面积的比为A.6:3:2B.3:2:6C.2:6:3D.6:2:310.已知实数,(1,2,3)i i a b i =满意123123,a a a b b b <<<<,且123()()()1(1,2,3)i i i a b a b a b i ---=-=,则下列结论正确的是A.112233b a a b b a <<<<<B.112233a b b a a b <<<<<C.121233a a b b a b <<<<<D.121233b b a a b a <<<<<二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分,请将答案填在答题卡的相应位置.11.二项式42()x x -的绽开式中,含2x 项的系数为12.由计算机产生的两个0到1上的随机数,按右侧流程图所示的规则,则能输出数对(,)x y 的概率是13.已知ABC ∆为直角三角形,AB 是斜边,三个顶点在平面α的同侧, ABC ∆在平面α内的正投影为正'''A B C ∆,且'3,'4,'5AA CC BB ===,则ABC ∆的面积是14.我们把焦点相同且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“合一曲线”,已知12,F F 是一对“合一曲线”的焦点,P 是他们在第一象限的交点,当12||10,||8PF PF ==时,这一对“合一曲线”中椭圆的离心率为15.已知函数1,()0,x f x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数,给出下列命题: ①函数()f x 为偶函数;②函数()f x 是周期函数; ③存在(1,2,3)i x i =,使得(,())i i x f x 为顶点的三角形是等边三角形;④存在(1,2,3)i x i =,使得(,())i i x f x 为顶点的三角形是等腰直角三角形.其中的真命题是 (填上你认为正确的全部命题的序号)三、解答题:本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16(本小题满分12分)在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .且72,tan ,53C A A a c ==+=. (Ⅰ)求sin ,cos A A ;(Ⅱ)求b .17(本小题满分12分)合肥八中模拟联合国协会共有三个小组:中文组,英文组,辩论组,现有12名新同学(其中3名为男同学)被平均安排到三个小组.(Ⅰ)求男同学甲被分到中文组,其他2名男同学被分到另外两个不同小组的概率;(Ⅱ)若男同学所在的小组个数为X ,求X 的概率分布列及数学期望.18(本小题满分12分)如图,在三棱锥P ABC -中,ABC ∆为等边三角形,2,AB AP =⊥平面,ABC D 为PC 上的动点. (Ⅰ)若2,PA =当DB 与平面PAC 所成的角最大时,求二面角D AB C --的正切值;(Ⅱ)若A 在平面PBC 上的射影为PBC ∆的重心,求三棱锥P ABC -的外接球的体积.19(本小题满分13分)已知(1,0)F 为肯定点,(0,)P b 是y 轴上的一动点,x 轴上的点M 满意0PM PF ⋅=,点N 满意 20PN NM +=.(Ⅰ)求点N 的轨迹曲线C 的方程;(Ⅱ)过直线:210l x y -+=的点Q 作曲线C 的切线,QA QB ,切点分别为,A B ,求证:当点Q 在直线l 上运动时,直线AB 恒过定点S .20(本小题满分13分)已知k R ∈,函数()ln f x x kx =-. (Ⅰ)若0k >,求函数()f x 的单调区间;(Ⅱ)若()f x 有两个相异的零点12,x x ,求证:212x x e ⋅>.21(本小题满分12分)已知数列{}n a 满意*0110,()2n n a a n N a -==∈-. (Ⅰ)求证:101()n n a a n N +≤<<∈; (Ⅱ)在数列{}n a 中随意取定一项k a ,构造数列{}n b ,满意*10121,()n k n n b b a b n N b ---==∈,问:数列{}n b 是有穷数列还是无穷数列?并证明你的结论; (Ⅲ)令1()n n c a n N =-∈,求证:33223*2121)2n c c c n N +++<+∈。

2015年高考冲刺压轴卷数学（理卷一）本试卷共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，监考教师分发的考生信息条形码是否正确；之后务必用0．5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．不按要求填涂的，答案无效．3．非选择题必须用0．5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答．漏涂、错涂、多涂的答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回． 参考公式：①体积公式：1=,=3V S h V S h ⋅⋅柱体锥体，其中V S h ，，分别是体积，底面积和高．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、（2015·广东省汕头市二模·1）已知集合{}21,2z ,,{2,4}A zi B ==，i 为虚数单位，若{2}A B =，则纯虚数z 为（ ）A ．iB ．-iC ．2iD ．-2i2．（2015·广东省佛山市二模·2）若复数z 满足2)1()1(i z i +=-，其中i 为虚数单位，则在复平面上复数z 对应的点位于（ ）．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．（2015·广东省肇庆市三模·3）在∆ABC 中，AB =5，AC =3，BC =7，则∠BAC =（ ） A ．65πB ．32π C ．3π D ．6π 4．（2015·广东省广州市二模·4）函数()sin y A x ωϕ=+()0,0,0A ωϕ>><<π的图象的一部分如图1所示，则此函数的解析式为（ ）A ．3sin y x ππ⎛⎫=+⎪44⎝⎭B ．3sin y x π3π⎛⎫=+⎪44⎝⎭C ．3sin y x ππ⎛⎫=+ ⎪24⎝⎭D ．3sin y x π3π⎛⎫=+⎪24⎝⎭5．（2015·广东省惠州市二模·4）若变量x ，y 满足约束条件280403x y x y +≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，则目标函数2z x y =+的最大值等于 ( )A ．7B ．8C ．10D ．11图16. （2015·广东省揭阳市二模·5）设向量(12)(23)==，，，a b ，若向量λ-a b 与向量(56)=--，c 共线，则λ的值为（ ）A ．43B ．413C ．49-D ．47．（2015·广东省茂名市二模·4） 某三棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）．A ．23B ．43C ．83D ．48．（2015·广东省深圳市二模·6）如图2，在执行程序框图所示的算法时，若输入3a ，2a ，1a ，0a 的值依次是1，3-，3，1-，则输出v 的值为（ ）A ．2-B ．2C ．8-D ．8二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．） （一）必做题（9～13题）9．（2015·广东省湛江市二模·9）曲线x x y sin +=在点（0,0）处的切线方程是图2________________．10．（2015·广东省汕头市二模·10）11．（2015·广东省佛山市二模·11）将编号为1, 2, 3, 4, 5的五个球放入编号为1, 2, 3, 4, 5的一个盒子，每个盒内放一个球，若恰好有两个球的编号与盒子编号相同，则不同的投放方法的种数为 ．12．（2015·广东省肇庆市三模·11）不等式0|5||12|>--+x x 的解集为 ．13．（2015·广东省茂名市二模·13）已知抛物线x y 42=与双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 有相同的焦点F ，O 是坐标原点，点A 、B 是两曲线的交点，若0)(=∙+AF OB OA ，则双曲线的实轴长为 ．（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分．14．（2015·广东省深圳市二模·14）（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系中，已知直线l ：12x sy s =+⎧⎨=-⎩（s 为参数）与曲线C ：23x t y t=+⎧⎨=⎩（t 为参数）相交于A 、B 两点，则AB =_________．15．（2015·广东省湛江市二模·15）（几何证明选讲选做题）如图，在梯形CD AB 中，D//C A B ，D 2A =，C 5B =，点E ．F 分别在AB ．CD 上，且F//D E A ，若34AE =EB ，则F E 的长是 ． 三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） （2015·广东省汕头市二模·16）17．（2015·广东省佛山市二模·17）（本小题满分12分）寒假期间，很多同学都喜欢参加“迎春花市摆档口”的社会实践活动，下表是今年某个档口某种精品的销售数据．日期 2月14日 2月15日 2月16日2月17日 2月18日 天气 小雨 小雨 阴 阴转多云 多云转阴 销售量（件）白天 39 33 43 41 54 晚上4246505161已知摊位租金900元/档，精品进货价为9元/件，售价为12元/件，售余精品可以以进货价退回厂家．（1）画出表中10个销售数据的茎叶图，并求出这组数据的中位数；（2）从表中可知：2月14、15日这两个下雨天的平均销售量为80件/天，后三个非雨天平均销售量为100件/天，以此数据为依据，除天气外，其它条件不变．假如明年花市5天每天下雨的概率为51，且每天是否下雨相互独立，你准备在迎春花市租赁一个档口销售同样的精品，推测花市期间所租档口大约能售出多少件精品？（3）若所获利润大于500元的概率超过0.6，则称为“值得投资”，那么在（2）条件下，你认为“值得投资”吗？18．（2015·广东省肇庆市三模·18）（本小题满分14分）如图，四棱锥P—ABCD的底面是边长为1的正方形，PD⊥底面ABCD，PD=AD，E为PC的中点，F为PB上一点，且EF⊥PB．（1）证明：PA//平面EDB；（2）证明：AC⊥DF；（3）求平面ABCD和平面DEF所成二面角的余弦值．19．（2015·广东省广州市二模·19）（本小题满分14分）已知点(),n n n P a b ()n ∈*N 在直线l ：31y x =+上，1P 是直线l 与y 轴的交点，数列{}n a 是公差为1的等差数列．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）求证：22212131111116n PP PP PP ++++<．20．（2015·广东省惠州市二模·20）（本小题满分14分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 上的点均在圆222:(5)9C x y -+=外，且对1C 上任意一点M ，M 到直线2x =-的距离等于该点与圆2C 上点的距离的最小值．（1）求曲线1C 的方程；（2）设000(,)(3)P x y y ≠±为圆2C 外一点，过P 作圆2C 的两条切线，分别与曲线1C 相交于点,A B 和,C D ．证明：当P 在直线4x =-上运动时，四点,A B ,,C D 的纵坐标之积为定值．21．（2015·广东省揭阳市二模·21）(本小题满分14分) 已知函数()1,()f x a R =∈（1）当1a =时，解不等式()1f x x <-； （2）当0a >时，求函数()f x 的单调区间；（3）若在区间(0,1]上，函数()f x 的图象总在直线(,y m m R m =∈是常数）的下方，求a 的取值范围．数学（理卷一）参考答案与解析1．D【命题立意】本题考查的知识点是集合的包含关系判断，复数的定义及运算． 【解析】∵A={1，2z 2，zi}，B={2，4}，且A ∩B={2}， ∴2z 2=2或zi=2，解得：z=±1（不合题意，舍去）或z=-2i ， 则纯虚数z 为-2i ． 故选D 2．B【命题立意】本题旨在考查复数除法的运算法则． 【解析】∵()()()()()()()2211121111112i i i i i z i i iii i ++++====+=-+--+∴与第二象限的点（－1,1）对应．故选:B 3．B【命题立意】此题考查了余弦定理．【解析】∵在△ABC 中，AB=c=5，AC=b=3，BC=a=7，∴由余弦定理得：cos ∠BAC=222b +c -a 9+25-491==-2bc 302，∵∠BAC 为△ABC 的内角，∴∠BAC=2π3．故选B 4．A【命题立意】函数()sin y A x ωϕ=+的图象性质，容易题. 【解析】由图知，3=A ，周期8)15(2=-=T ，当3251=+=x 时0=y ，逐个验证知函数3sin y x ππ⎛⎫=+⎪44⎝⎭满足条件.5．C【命题立意】本题考查线性规划求最值问题．【解析】平面区域如图所示，所以24210z =⨯+=，故选C ． 6．A【命题立意】考查平面向量的坐标运算，共线向量，容易题.【解析】由已知得λ-a b =)32,21(λλ--， 向量λ-a b 与向量(56)=--，c 共线，∴632521--=--λλ，解得34=λ. 7．B【命题立意】考查三视图，空间几何体的体积，容易题．【解析】由三视图知，原几何体是一个三棱锥，底面是一个等腰三角形，面积为42421=⨯⨯=S ，三棱锥的高为1，体积为341431=⨯⨯=V ． 8．D【命题立意】本题考查了程序框图,进行模拟运算即可． 【解析】当i=3，31a =，v=1, 当i=2时，23a =-，v=0 当i=1时，13a =，v=3， 当i=0时，01a =-，v=8， 当i=-1时，输出8．故选D ． 9．02=-y x【命题立意】本题考查利用导数求切线的斜率及切线方程．【解析】所求切线的斜率2|)cos 1(|00=+='===x x x y k ,所以由点斜式方程得所求切线方程yx为02=-y x ． 10．4030【命题立意】本题旨等差数列的性质及等差数列前n 项和公式． 【解析】()24201220141201528a a a a a a +++=+=，()120154a a ∴+=，()120152015201520154403022a a S +⨯∴===故答案为4030． 11．20【命题立意】本题旨在考查排列组合的实际意义．【解析】5个球中2个编号与盒子编号一样共有2510C =种放法，余下的3个球与盒子的编号都不同，只有2种放法，由分步乘法可知投放方法共10×2＝20种． 故答案为：20 12．{x| x ＞43或x<-6} 【命题立意】本题考查绝对值不等式的解法，着重考查转化思想与运算能力． 【解析】∵|2x+1|-|5-x|＞0， ∴|2x+1|＞|5-x|≥0， ∴()()222x+1>5-x ，∴x ＞43或x<-6, ∴不等式|2x+1|-|5-x|＞0的解集为{x| x ＞43或x<-6}． 故答案为：{x| x ＞43或x<-6} 13．222-【命题立意】考查抛物线、双曲线的性质，平面向量的数量积，中等题．【解析】 抛物线x y 42=与双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 有相同的焦点F F ∴点的坐标为（1，0） 0)(=∙+，∴AF ⊥x 轴．设A 点在第一象限，则A 点坐标为（1,2）设左焦点为'F ,则'FF =2,由勾股定理得'AF 22=,由双曲线的定义可知2222'-=-=AF AF a ．14【命题立意】本题考查参数方程的化简和应用，将参数方程转化为普通方程即可． 【解析】直线l 的普通方程为y 30x +-=,曲线C 的方程为2=(3)y x -，由230(3)x y y x +-=⎧⎨=-⎩得21x y =⎧⎨=⎩或30x y =⎧⎨=⎩，即A(2，1),B(3，0),则=15．723 【命题立意】本题考查相似三角形对应边成比例问题．【解析】过点A 作CD 的平行线交EF ．BC 分别为M ．N ，由题意可知AEM ∆与ABN ∆相似，所以723,2,79)2(7373,73=∴==-==∴==EF NF BC BN EM AB AE BN EM 又． 16．（1）3；（2）[1,5]；（3）725-． 【命题立意】本题考查了正弦型函数的图像及性质，两角和差的公式,同角三角函数基本关系．【解析】，17．（1）,中位数为44.5；（2）480件；（3）值的投资．【命题立意】本题旨在考查茎叶图，离散型随机变量的期望以及概率的求法．【解析】18．（1）略；（2）略；（3【命题立意】本题考查的是线面平行的判定，线线垂直的证明以及利用法向量求二面角的大小．【解析】证明：（1）连接AC 交BD 于点G ，连接EG ． （1分）因为四边形ABCD 是正方形，所以点G 是AC 的中点，（2分） 又因为E 为PC 的中点，，因此EG //PA ． （3分） 而EG ⊂平面EDB ，所以PA //平面EDB ． （4分）（2）因为四边形ABCD 是正方形，所以AC ⊥BD ． （5分）因为PD ⊥底面ABCD ，AC ⊂底面ABCD ，所以AC ⊥PD ． （6分） 而PD ∩BD =D ，所以AC ⊥平面PBD ． （7分） 又DF ⊂平面PBD ，所以AC ⊥DF ． （8分）（3）建立如图所示的空间直角坐标系，则有)0,0,0(D ，)1,0,0(P ，)0,0,1(A ，)0,1,1(B ，)0,1,0(C ，所以)21,21,0(E ． （9分）设)0)(,,(≠kl l k k F ，则)21,21,(--=l k k ，)1,1,1(-=PB ．由EF ⊥PB ，得0=⋅，即0)21(21=---+l k k ，即k l 2=，故)2,,(k k k F ． （10分） 设平面DEF 的一个法向量),,(z y x =，)21,21,0(=DE ，)2,,(k k k =， 由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00DE n ，得⎪⎩⎪⎨⎧=++=++02021210kz ky kx z y ，解得⎩⎨⎧-=-=z y z x ，取)1,1,1(--=． （11分） 又)1,0,0(=DP 是底面ABCD 的一个法向量， （12分） 所以3313100||||,cos =⨯++=>=<DP n ， （13分）故平面ABCD 和平面DEF 所成二面角的余弦值为33． （14分） 19．（1）1n a n =-，32n b n =-()*n ∈N ；（2）详见解析.【命题立意】考查等差数列、等比数列的通项公式，裂项相消发求数列的前n 项和，放缩法证明不等式，中等题.【解析】（1）因为()111,P a b 是直线l ：31y x =+与y 轴的交点()0,1，所以10a =，11b =．因为数列{}n a 是公差为1的等差数列， 所以1n a n =-．因为点(),n n n P a b 在直线l ：31y x =+上，所以31n n b a =+32n =-．所以数列{}n a ，{}n b 的通项公式分别为1n a n =-，32n b n =-()*n ∈N ．（2）证明：因为()10,1P ，()1,32n P n n --，所以()1,31n P n n ++．所以()222211310n PP n n n +=+=． 所以222121311111n PP PP PP ++++22211111012n ⎛⎫=+++⎪⎝⎭． 因为()()2221144112141212121214n n n n n n n ⎛⎫<===- ⎪--+-+⎝⎭-， 所以，当2n ≥时，222121311111n PP PP PP ++++111111210352121n n ⎡⎤⎛⎫<+-++- ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎣⎦15110321n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭16<．又当1n =时，212111106PP =<． 所以22212131+111116n PP PP PP +++<． 20．（Ⅰ）220y x =（Ⅱ）6400 【命题立意】本题考查曲线与方程、直线与曲线的位置关系，考查运算能力，考查数形结合思想、函数与方程思想等数学思想方法.【解析】（Ⅰ）解法1 ：设M的坐标为(,)x y ，由已知得23x +=…1分易知圆2C 上的点位于直线2x =-的右侧.于是20x +>5x =+. 化简得曲线1C 的方程为220y x =. …………………4分 解法2 ：曲线1C 上任意一点M 到圆心2C (5,0)的距离等于它到直线5x =-的距离，所以曲线1C 是以(5,0)为焦点，直线5x =-为准线的抛物线，…………… 2分故其方程为220y x =. …………………4分 （Ⅱ）当点P 在直线4x =-上运动时，P 的坐标为0(4,)y -，又03y ≠±，则过P 且与圆2C 相切得直线的斜率k 存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为0(4)y y k x -=+，040kx y yk -++= 3.=整理得2200721890.k y k y ++-= ① …………………6分 设过P 所作的两条切线,PA PC 的斜率分别为12,k k ，则12,k k 是方程①的两个实根， 故001218.724y yk k +=-=- ② …………………7分 由101240,20,k x y y k y x -++=⎧⎨=⎩得21012020(4)0.k y y y k -++= ③…………………8分 设四点,,,A B C D 的纵坐标分别为1234,,,y y y y ，则是方程③的两个实根，所以0112120(4).y k y y k +⋅=④…………………9分同理可得0234220(4).y k y y k +⋅=⑤…………………10分于是由②，④，⑤三式得0102123412400(4)(4)y k y k y y y y k k ++=2012012124004()16y k k y k k k k ⎡⎤+++⎣⎦=[]640016400212122=+-=k k k k y y .…………………13分 所以，当P 在直线4x =-上运动时，四点,,,A B C D 的纵坐标之积为定值6400. …14分21．（1）{|020}x x x <<<或；（2）单调增区间为(,)2a -∞，(,)a +∞，单调减区间为(,)2a a ；（3）2m a m -<<+.【命题立意】考查不等式的解法，导数法求函数的单调性、极值、最值，考查分类讨论思想，较难题.【解析】（1）当1a =时，不等式()1f x x <-即|1|x x x -<，显然0x ≠，当0x >时，原不等式可化为：|1|1111x x -<⇒-<-<02x ⇒<<，当0x <时，原不等式可化为：|1|111x x ->⇒->或11x -<-2x ⇒>或0x <，∴0x <综上得：当1a =时，原不等式的解集为{|020}x x x <<<或.（2）∵221,()() 1.()x ax x a f x x ax x a ⎧--≥⎪=⎨-+-<⎪⎩，若x a ≥时，∵0a >，由'()2f x x a =-知，在(,)a +∞上，'()0f x ≥， 若x a <，由'()2f x x a =-+知，当2ax <时，'()0f x >， 当2ax a <<时，'()0f x <， ∴当0a >时，函数()f x 的单调增区间为(,)2a -∞，(,)a +∞，单调减区间为(,)2a a .(其它解法请参照给分)（3）在区间(0,1]上，函数()f x 的图象总在直线(,y m m R m =∈是常数）的下方， 即对(0,1]x ∀∈都有()f x m <，⇔对(0,1]x ∀∈都有||1x x a m -<+， 显然1m >-，即1()1m x x a m --<-<+⇒对(0,1]x ∀∈，11m m x a x x++-<-<恒成立 ⇒对(0,1]x ∀∈，11m m x a x x x++-<<+， 设1(),(0,1]m g x x x x+=-∈，1()m p x x x +=+，(0,1]x ∈，则对(0,1]x ∀∈，11m m x a x x x++-<<+恒成立⇔max min ()()g x a p x <<，(0,1]x ∈， ∵21'()1,m g x x+=+当(0,1]x ∈时'()0g x >∴函数()g x 在(0,1]上单调递增，∴max ()g x m =-，又∵21'()1m p x x +=-1即0m ≥时，对于(0,1]x ∈，有'()0p x < ∴函数()p x 在(0,1]上为减函数 ∴min ()(1)2p x p m ==+，1，即10m -<<时，当x ∈，'()0p x ≤当x ∈，'()0p x >∴在(0,1]上，min ()p x p ==（或当10m -<<时，在(0,1]上，1()m p x x x +=+≥=，当x =又∵当10m -<<时，要max min ()()g x a p x <<即m a -<<第21页m >-2440m m ⇒--<，解得22m -<<+∴当20m -<<时，m a -<< 当0m ≥时，2m a m -<<+．。

1 2015届高三最后一考数学（理科）试题

一.选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.集合26,30AxNxBxRxx≤，则BA（ ）

（A）3,4,5（B）4,5,6 （C）36xx≤ （D）36xx≤ 2.复数111iiz，在复平面内z所对应的点在（ ） （A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限 3.下列命题错误的是

（A）命题“若2320xx，则1x”的逆否命题为“若1x，则2320xx”

（B）若命题2:,10pxRxx，则2:,10pxRxx （C）已知命题:pRx，2lgxx，命题:qRx，1xe， 则命题pq是真命题 （D）“2x”是“2320xx”的充分不必要条件 4.已知1122loglogab，则下列不等式一定成立的是（ ）

（A）11()()43ab （B）11ab （C）ln()0ab （D）31ab 5.函数)sin()(xxf（其中2||）的图象如图所示，为了得到sinyx的图象，只需把()yfx的图象上所有点（ ）

（A）向左平移6个单位长度 （B）向右平移12个单位长度 （C）向右平移6个单位长度 （D）向左平移12个单位长度 6.在区间1,0内随机取两个数分别记为,ab，则使得函数baxxxf2)(2 有零点的概率为（ ） 2

（A）32 （B）31 （C）12 （D）14 7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为（ ）

（A）22 （B）52 （C）62 （D）3 8.若G是ABC的重心，a，b，c分别是角CBA,,的对边，若303aGbGcGC，则角A（ ） （A）90 （B）60 （C）45 （D）30 9.某学组织高考前指导，准备从甲、乙等8名老师中选派4名参加，要求甲、乙两位老师至少有一人参加，且若甲、乙同时参加时，他们的出场顺序不能相邻，那么不同的出场顺序的种数为（ ） （A）1860 （B）1320 （C）1140 （D）1020 10.设函数)(xf在R上存在导数)(xf，Rx，有2)()(xxfxf，在),0(上xxf)(，若mmfmf48)()4(，则实数m的取值范围为（ ）

2015年安徽省某校高考数学模拟最后一卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数z 满足(1+3i)z =10i （其中i 为虚数单位），则z 等于（ ） A 3−i B 3+i C 1+3i D 1−3i2. 已知双曲线mx 2+ny 2=1的离心率为2，其中的一个焦点是抛物线y 2=4x 的焦点，则该双曲线的渐近线方程是（ ） A y =±32x B y =±√32x C y =±√33x D y =±√3x3. 设向量a →=(cosα,−1)，b →=(2, sinα)，若a →⊥b →，则tan(α−π4)等于（ ） A −13B 13C −3D 34. 设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n+1，S n ，S n+2成等差数列，则公比q 为（ ）A 1B 2或−1C −2或1D −25. 设a 、b 、c 表示三条直线，α、β表示两个平面，则下列命题的逆命题不成立的是（ ） A c ⊥α，若c ⊥β，则α // β B b ⊂α，c ⊄α，若c // α，则b // c C b ⊂β，若b ⊥α，则β⊥α D b ⊂β，c 是a 在β内的射影，若b ⊥c ，则b ⊥a6. 函数y =1x ⋅cosx 在坐标原点附近的图象可能是（ ）A B C D7. 将一个质地均匀的几何体放置在水平面上，其三视图如图所示，其中正（主）视图是一个圆心角为90∘的扇形，则该几何体的表面积为（ ） A 3π+6 B 5π+6 C 3π+12 D 5π+128. 若函数f(x)=|x +1x|−|x −1x|−k （k 为常数）有四个零点，则这四个零点之和为（ ）A −2kB 0C 2kD 4k9. 从四面体ABCD 的6条棱的中点及其四个顶点共10个点中任取4个点，则这四个点不共面的概率是（ ）A 57 B 710 C 2435 D 477010. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则“a >b”是“cos2A <cos2B”的( ) A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，请将答案填在答题卡的相应位置. 11. 设实数x ，y 满足条件：{x −y ≥−1x +y ≤4y ≥2，则目标函数z =2x +4y 的最大值为________．12. 向圆(x −1)2+(y +3)2=36内随机投掷一点，则该点落在直线3x −4y =0的左上方的概率为________．13. (x +1x −1)5展开式的常数项为________．14. 在直角三角形ABC 中，∠ACB =90∘，AC =BC =2，点P 是斜边AB 上的一个三等分点，则CP →⋅CB →+CP →⋅CA →=________．15. 对于函数y =f(x)，若存在x 0∈D 使得f(−x 0)+f(x 0)=0则称函数f(x)为“次奇函数”且x 0为该函数的一个“次奇点”，给出下列命题： ①奇函数必为“次奇函数”；②存在某个偶函数，它是“次奇函数”；③若函数f(x)=sin(x +π5)为“次奇函数”，则该函数的所有“次奇点”为kπ2(k ∈Z)；④若函数f(x)=lga+x 1−x为“次奇函数”，则a =±1⑤若函数f(x)=4x −m ⋅2x+1为“次奇函数”，则m ≥12．其中的正确命题是________（写出你认为正确的所有命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 已知函数f(x)=cos(x +π6)sin(x +π3)−sinxcosx −14．（1）求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间；（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b =2,f(A2)=0，B =π6，求c 的值．17. 袋中装有大小相同，颜色不同的10张卡片，其中红色卡片5张，白色卡片3张，蓝色卡片2张，现从中随机抽取一张卡片，确定颜色后再放回袋中，若取出的是白色卡片，则不再抽取，否则，继续抽取卡片，但最多抽取3次． （1）记“恰好取到2次红色卡片”为事件A ，求P(A)；（2）将抽取卡片的次数记为ξ，求随机变量ξ的概率分布列及数学期望E(ξ)．18. 如图，已知平面ABC ⊥平面ACDE ，且△ABC 为等腰直角三角形，AC=BC=4，等腰梯形ACDE中，AC // DE且AE=DE=2．（1）求证：平面ABE⊥平面BCE；（2）求二面角C−BE−D的正弦值．19. 已知椭圆C的中心为坐标原点，F是该椭圆在y轴的正半轴上的一个焦点，其短轴长为2√2，离心率为√33．（1）求椭圆C的方程；（2）过点F分别作斜率为k1，k2的直线交椭圆C，得到弦AB，CD它们的中点分别是M，N，当k1k2=1时，求证：直线MN过定点．20. 已知函数F(x)=|2x+t|+x2+x+1（x∈R，t∈R，t为常数）（1）若t=−1，求F(x)的极值；（2）求F(x)在R上的单调区间．21. 已知数列{a n}是首项为a，公差为b的等差数列，数列{b n}是首项为b，公比为a的等比数列，且a1<b1<a2<b2<a3，其中a，b，m，n∈N∗．（1）求a的值；（2）若数列{1+a m}与数列{b n}有公共项，将所有公共项按原来顺序排列后构成一个新数列{c n}，求数列{c n}的通项公式；（3）设d m=a m2m ，m∈N∗，求证：11+d1+2(1+d1)(1+d2)+...+n(1+d1)(1+d2)…(1+d n)<2．2015年安徽省某校高考数学模拟最后一卷（理科）答案1. B2. D3. B4. D5. C6. A7. C8. B9. D10. C11. 1312. 13−√34π13. −5114. 415. ①②④⑤16. 解：（1）∵ 函数f(x)=cos(x+π6)sin(x+π3)−sinxcosx−14=(cosxcos π6−sinxsinπ6)(sinxcosπ3+cosxsinπ3)−sinxcosx−14=(√32cosx −12sinx)(12sinx +√32cosx)−sinxcosx −14 =34cos 2x −14sin 2x −sinxcosx −14 =38cos2x +38−18+18cos2x −12sin2x −14 =−12sin2x +12sin2x=√22sin(2x +34π)，∴ 函数f(x)的最小正周期T =2π2=π．由π2+2kπ≤2x +34π≤3π2+2kπ，k ∈Z ，得−π8+kπ≤x ≤3π8+kπ，k ∈Z ，∴ 单调递减区间为[−π8+kπ, 3π8+kπ]．k ∈Z ． （2）由（1）得f(A2)=√22sin(A +3π4)=0，∵ 0<A <π，∴ A =π4，C =π−π4−π6=7π12，∴ 由正弦定理得：b sinB=c sinC ，∴ c =bsinC sinB=2sin7π12sin π6=4sin(π4+π3)=4(sin π4cos π3+cos π4sin π3)=4(√22×12+√22×√32)=√2+√6．17. 解：（1）P(A)=5×510×10+5×2×5103+2×5×5103=720．（2）ξ的取值为1，2，3． 则P(ξ=1)=310，P(ξ=2)=7×3102=21100，P(ξ=3)=1−P(ξ=1)−P(ξ=2)=49100．∴ Eξ=1×310+2×21100+3×49100=219100=2.19．18. 证明：（1）如图1，∵ AC =BC =4，等腰梯形ACDE 中，AC // DE 且AE =DE =2，∴ ∠EAC =60∘，∴ AE ⊥EC ，∵ 平面ABC ⊥平面ACDE ，交线为AC ，∴ BC ⊥平面ACDE ， ∴ BC ⊥AE ，∴ AE ⊥平面BCE ，∵ AE ⊂平面ABE ，∴ 平面ABE ⊥平面BCE ． 解：（2）如图2，取AC 的中点M ，连结DM 交EC 于点F ， 在等腰梯形ACDE 中，由已知得DF // AE ， 由（1）知AE ⊥平面BCE ，∴ DF ⊥平面BCE ， 过点F 作FH ⊥BE 于点H ，连结DH ，则DH ⊥BE ， ∴ ∠DHF 为二面角C −BE −D 的平面角，∵ DE =2，EB =√3+9+16=2√7，BD =√3+1+16=2√5， 又DE =2，∴ 由余弦定理得cos∠EBD =28+20−42×2√7×2√5=112√35，∴ sin∠EBD =√192√35， ∴ DH =DBsin∠EBD =√19√7， 又在等腰△CDE 中，由题意得DF =1， ∴ 在Rt △DFH 中，sin∠DHF =√7√19=√13319， ∴ 二面角C −BE −D 的正弦值为√13319． 19. 解：（1）由题意可知：椭圆的焦点在y 轴上，设椭圆方程为：y 2a 2+x 2b 2=1(a >b >0)， 由短轴长为2√2，即2b =2√2，b =√2， 离心率e =ca =√1−b 2a 2=√33，解得：a 2=3，∴ 椭圆C 的方程y 23+x 22=1；（2）证明：由（1）可知：c =1，则焦点F(0, 1)，显然直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y =k 1x +1， {y =kx 1+1y 23+x 22=1，整理得：(2k 12+3)x 2+4k 1x −4=0，设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，由韦达定理可知：x 1+x 2=−4k 12k 12+3，x 1⋅x 2=−42k 12+3，y 1+y 2=(kx 1+1)+(kx 2+1)=k(x 1+x 2)+2=62k 12+3，∴ 弦AB 的中点M(−2k 12k 12+3, 32k 12+3)，同理，弦CD 的中点N(−2k 22k 22+3, 32k 22+3)，则直线MN 的方程是：y−32k 12+332k 22+3−32k 12+3=x+2k 12k 12+3−2k 22k 22+3+2k 12k 12+3，整理得：y−32k 12+33(k 1+k 2)=x+2k 2k 12+33−2k1k 2，由k 1k 2=1， 则y =3(k 1+k 2)x +3(k 1+k 2)×2k 1+32k 12+3=3(k 1+k 2)x +3，直线MN 的方程为：y =3(k 1+k 2)x +3，∴ 直线MN 过定点(0, 3)．20. 解：（1）若t =−1，F(x)=|2x −1|+x 2+x +1={x 2−x +2，x <12x 2+3x ，x ≥12， 当x <12时，函数F(x)=x 2−x +2为减函数，当x ≥12时，函数F(x)=x 2+3x 为增函数， 故当x =12时，函数F(x)取极小值74；（2）当x <−t 2时，函数F(x)=x 2−x +1−t 的图象是开口朝上，且以直线x =12为对称轴的抛物线，当x ≥−t2时，函数F(x)=x 2+3x +1+t 的图象是开口朝上，且以直线x =−32为对称轴的抛物线，当−t2≤−32，即t ≥3时，函数的单调递减区间为：(−∞, −32]，单调递增区间为：[−32, +∞)，当−32<−t 2<12，即−1<t <3时，函数的单调递减区间为：(−∞, −t2]，单调递增区间为：[−t2, +∞)，当−t2≥12，即t ≤−1时，函数的单调递减区间为：(−∞, 12]，单调递增区间为：[12, +∞)． 21. 解：（1）∵ a m =a +(m −1)b ，b n =b ⋅a n−1， 由已知可得，a <b <a +b <ab <a +2b ∴ b <ab ，a >1∴ ab<a+2b<3b又∵ b>0∴ a<3∵ a为正整数∴ a=2（2）设1+a m=b n，即1+a+(m−1)b=b⋅a n−1．∴ 3+(m−1)b=b⋅2n−1，b=32n−1−(m−1)．∵ b>a=2，且b∈N∗，∴ 2n−1−(m−1)=1．∴ 2n−1=m，且b=3∴ c n=b n=3⋅2n−1．（3）证明：由(1)(II)可得a m=a+b(m−1)，且a=2，b>2，可知a1=2，当m≥2时，am≥2m，∴ d m=a m2m≥1，∴ 对任意正整数k，均有d1⋅d2...d k≥1由基本不等式可得1+d i≥2√d i>0，i=1，2，…，k，累乘可得(1+d1)(1+d2)…(1+d k)≥2k，则：11+d1+2(1+d1)(1+d2)+...+n(1+d1)(1+d2)…(1+d n)≤12+222+323+...+n2n，令S n=12+222+323+...+n2n，则12S n=122+223+...+n−12n+n2n+1，∴ 12S n=12+122+123+...+12n−n2n+1=12(1−12n)1−12−n2n+1=1−12n−n2n+1，∴ S n=2−22n −n2n<2，∴ 11+d1+2(1+d1)(1+d2)+...+n(1+d1)(1+d2)…(1+d n)<2．。