九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系1.1第2课时正弦与余弦练习课件新版

A
D
坡度(tan) AE .
BE
B
解：过点A作AE⊥BC于E.
tan AE 1 0.3333,
BE 3
E
C
数学化
?
18.43320. (或18°25′59″).
∴背水坡的坡角α约为18°.
想一想P29 5
正弦、余弦函数
驶向胜利 的彼岸
题3.基础训练:
(1).在Rt△ABC中,∠C=900,AB=13,AC=12,BC=5.
3.化简 : sin4 cos2 sin2 cos2 .
(4).设00<α<450,sinα·cosα= 3 7 ,求sinα.
16
随堂练习P212 0
正弦、余弦函数
驶向胜利 的彼岸
题7:
1.已知sin 6 2 ,求 cos sin cos sin .
4
cos sin cos sin
2.已知 : 00 450 , 化简 : 1 2 sin cos .
(3).设x为锐角,且满足sinx=3cosx,求:sinx·cosx的值.
随堂练习P212 1
正切函数
驶向胜利 的彼岸
题8:
1. 1 tan 300 2 2 tan 600 tan2 600 ;
A
2 1 3
sin150 6 2
2
4
3 3 E 3 1
2
2 3002 450
B 3 1 C
1
1
┌ D
tan150 2 3
cos150 6 2 4
3
注意到了吗,150与750互为余角. 你还有不同的方法吗?与同伴交流.

课堂小测
•1. 如图，在△ABC中，∠C=90°,AB=13，BC=5，则sin A的值是
（）
•A
•A.
B.
C.
D.
B 【解析】由正弦的定义可得 ,
A
C
.
课堂小测
2．在Rt△ABC中,∠C=90°,若AC=2BC,则sin A的值是( •C)
A.
B. 2 C.
D.
【解析】由勾股定理可得AB2=AC2+BC2，
课堂小测
3.如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AC⊥AB，AD=CD，cos
，
BC=10，则AB的值是（ C ）
• A．9 B．8 C．6 D．3
•提示：先利用余弦求出AC的长度，再利用勾股定理，求出AB的长度即可.
课堂小测
•4．在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cosB的值为（B ）
B
•斜
边
•∠A的对
•┌边
A •∠A的邻 C
边
•即在直角三角形中，一个锐角的正弦等于另一个锐角的余弦.
课堂小结
•在定义中应该注意的几个问题: •(1) sin A,cos A,tan A 是在直角三角形中定义的,∠A 是锐角(注意数形结合,构 •造直角三角形) . •(2)sin A,cos A,tan A 是三个完整的符号,表示∠A的正弦,余弦,正切,习惯省去 •“∠”这个符号. •(3)sin A,cos A,tan A 都是比值.注意比的顺序,且sin A,cos A,tan A 均大于0,无 •单位. •(4)sin A,cos A,tan A 的值只与∠A的大小有关,而与直角三角形的边长大小无 •关.
A
5
5
B 6D

第一章 直角三角形的边角关系
1.1 锐角三角函数
知识要点基础练
知识点1 正弦的定义 1.在下列网格中,小正方形的边长均为1,点A,B,O都在格点上,则∠A 的正弦值是( C )
A.13
B.12
C.
5 5
D.
10 10
知识要点基础练
【变式拓展】在正方形网格中,△ABC 的位置如图所示,则 sin A 的
2,则
sin B=
2 2
.
知识要点基础练
知识点 2 余弦的定义
4.( 连云港中考 )在 Rt△ABC 中,∠C=90°,若 sin A=153,则 cos A 的值
是( D )
A.152
B.183
C.23
D.1123
5.在 Rt△ABC 中,∠C=90°,cos B=45,则 AC∶BC∶AB= 3∶4∶5 .
A.sin α=cos α B.tan C=2 C.sin β=cos β D.tan α=1
综合能力提升练
12.( 杭州中考 )在 Rt△ABC 中,∠C=90° A= 33;④tan B= 3,其中正确的是 ②③④ .( 只需填上正
∴ED=EC,
∴∠EDC=∠C,
∴tan∠EDC=tan C=������������������������ = 152.
解:过点 B 作 BC⊥x 轴于点 C.
(
1
)由
sin∠BOA=35
得
������������ ������������
=
35,∴BC=3,
由勾股定理可得 OC=4,∴点 B 的坐标是( 4,3 ).
( 2 )∵OC=4,∴AC=6,由勾股定理可得 AB=3 5,

【解析】如图所示,BC=7m，
B
∠A=30°
BC 7 1， sinA=
AB AB 2
C
A
∴AB=14 m.
即扶梯的长度为14 m.
3.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°, ∠A,∠B ,∠C的对边分别是a,b,c. c
求证:sin2A+cos2A=1.
A
b
【证明】在Rt△ABC中，a2 b2 c2，
∵E,F分别是AB,DC的中点，
∴EF= 1 ( AD BC ) 1 (8 16)=12.
2
2
【规律方法】 1.记住30°，45 °，60 °角的三角函数值及推导方 式，可以提高计算速度. 2.会构造直角三角形，充分利用勾股定理的有关知识结 合三角函数灵活运用.
c 直角三角形三边的关系.
A
D
B
C
【解析】（1）∵∠B＝60°，
∴∠BCD=60°，又∵AB＝AD＝DC， ∴∠DAC=∠DCA， ∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCA， ∴∠DCA=∠BCA.
∴∠ACB=30°. cos∠ACB=cos 30°= 3. 2
（2）∵AB＝AD＝DC＝8，∠ACB=30°，∴BCA
b
直角三角形边与角之间的关系.
特殊角30°,45°,60°角的三角函数值.
互余两角之间的三角函数关系.
同角之间的三角函数关系
45°
B
a ┌
C
30°
45° ┌ 60° ┌
真理的大海，让未发现的一切事物躺卧在 我的眼前，任我去探寻。
——牛顿
C．1 2
D． 2 2
【解析】选B.
3．（眉山·中考）如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，

1. 求tanA的值。 2. 求AB的长。
C
A
D
B
【典例2】△ABC中，AB=AC，2AB=3BC， 求∠B的三个三角函数值。 A
A的对边 A的邻边
B
斜边 ∠A的对边 A ┌ ∠A的邻边 C
一．正切的概念
1. 2. 复习：直角三角形边边关系；角角关系—— 正切的概念
① 直角三角形中，一个锐角的大小一旦确定，它所 对的边与邻边的比值是一个确定的值。 ② 文 直角三角形中，一个锐角的对边与邻边的比值叫 做这个角的正切（值）。——是一个比值。 ③ 符 Rt△ABC中，锐角A确定，其对边与邻边的比值 也确定，这个比值叫做∠A的正切，记作： c B a a ∠A的对边 tanA= ———— =— b C b A ∠A的邻边 ④ 正切是对锐角定义的，是一个确定的比值，没有 单位，且与所在的直角三角形大小无关； tanA 是一个完整的符号，如果角用一个字母表示，角 的符号可以省略不写，如果角用三个字母表示， 角的符号不可省略； tanA＞0；变式使用： a=b a tanA或者：b= —— tanA
①
α的对边 α的邻边 α的对边 α的斜边 α的邻边 α的斜边
角定值定 角变值变 角死值死
确定一个角的三个比值：一定角二定比三定值。 三值与角与比是对应的。 ② 都与三角形大小无关，只与角的大小对应的比值。 ③ 每个定义都是三个公式：一求比（角）二求两边。 ④ 0＜ sin α ＜1； 0＜ cos α ＜1； tan α任意大 ⑤ 平方： sin2 α= (sin α)2 ，而sin α2 则无意义。
┌
C
四．三角函数的概念及锐角三角函数的关系
1. 用函数的观点看： tan α 、sin α、 cos α 都是角α的函数。即：y= tan α、 y= sin α、 y= cos α 分别是锐角α的正切、正弦、余弦 函数。自变量取值范围：0＜ α＜90° 对于任意锐角α，各三角函数之间的关系

突破方法：通过画图、举例子等方式，帮助学生形象地理解正弦和余弦的概念。
（2）计算正弦和余弦值：在具体计算过程中，学生可能会对特殊角的正弦和余弦值记忆模糊，导致计算错误。
突破方法：引导学生记忆特殊角的正弦和余弦值，并提供计算公式和表格，方便学生查阅。
（3）正弦和余弦的应用：将正弦和余弦知识应用于解决实际问题，学生可能会在建立数学模型时感到困难。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“正弦和余弦在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
2.余弦的定义：锐角三角函数中的余弦概念，即锐角三角形中，一个角的余弦等于该角的邻边长度与斜边长度的比值。
3.正弦和余弦值的计算：通过具体实例，引导学生学会计算给定角度的正弦和余弦值。
4.正弦和余弦的性质：探讨正弦和余弦值在0°~90°范围内的变化规律。
5.应用正弦和余弦解决实际问题：结合生活实例，运用正弦和余弦知识解决简单的实际问题。
3.提高学生的数据分析能力，通过计算正弦和余弦值，让学生掌握数据处理的基本方法，并学会从数据中提炼信息。
4.培养学生的数学应用意识，将正弦和余弦知识应用于解决实际问题，使学生体会数学在生活中的广泛应用。
5.培养学生的逻辑思维和推理能力，通过探讨正弦和余弦的性质，引导学生发现数学规律，提高数学推理能力。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。

5.一个人由山底爬到山顶，需先爬坡角为40°的山坡300 m，
再爬坡角为30°的山 坡100 m，求山高（结果精确到0.1m).
解：如图，过点C作CE⊥AE于点E，
过点B作BF⊥AE于点F，
过点B作BD⊥CE于点D，则BF＝DE.
在Rt△ABF中，BF＝AB sin 40°；
在Rt△CDB中，CD＝BC sin 30°.
BC 10 1
如图，在Rt△ABC中，sinA=

，
AC 40 4
那么∠A是多少度呢?
要解决这个问题，我们可以借助科学计算器.
已知三角函数值求角度，要用到
“sin”、“cos”、“tan”键
的第二功能“sin‫־‬¹，cos‫־‬¹，
tan‫־‬¹ ”和2ndf 键。
以“度”为单位
按键顺序
sinA=0.9816
(4)sin18°＋cos55°－tan59°≈－0.7817.
议一议
当缆车继续由点B到达点D时，它又走过了200m，缆车由点B到点D
的行驶路线与水平面的夹角为∠β=42°
，由此你还能计算什么?
想一想
为了方便行人推自行车过某天桥，市政府在10m高的天桥两端
修建了40m长的斜道.这条斜道的倾斜角是多少?
故选A．

)
2.下列各式中一定成立的是（ A ）
A.tan75°﹥tan48°﹥tan15°
B. tan75°﹤tan48°﹤tan15°
C. cos75°﹥cos48°﹥cos15°
D. sin75°﹤sin48°<sin15°
3．某款国产手机上有科学计算器，依次按键： = ，显示
合作学习
如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°

定 理 证 明
定 理 应 用
三角形中的边角关系
a2 b2 c2 2bc cos A b a c 2ac cos B
2 2 2
余弦定理
(1)已知三边，求三个角
c2 a2 b2 2ab cos C
(3)判断三角形形状
(2)已知 两边和 它们的 夹角， 求第 三边和 其它两 个角。
定 理 内 容
2 2 2
c a b 2 ab cos C
2 2 2
回顾正弦定理的证明你还有没有其它的证明 余弦定理的方法？ （1）坐标法
证 明 方 法
（2）直角三角形的边角关系
（3）正弦定理（三角变换）
坐标法证明余弦定理
教材中用向量法给出余弦定理的证明，下面我们给出 坐标法证明．
证明：如图所示，以△ABC的顶点A为原点 ，射线AC为x轴的正半轴，建立直角坐标系 ，这时顶点B可作角A终边上的一个点，它到 原点的距离r＝c，设点B的坐标为(x，y)，由 三角函数的定义可得：x＝ccos A，y＝csin A ，即点B为(ccos A，csin A)，又点C的坐标是
A 56 2 0 2 2 2 2 2 2 a c b 134 . 6 161 . 7 87 . 8 cos B 0.8398 , 2 ac 2 134 . 6 161 . 7
B 32 5 3
C 180 A B 180 56 2 0 32 5 3 90 4 7
1.1 正弦定理和余弦定理
1.1.2 余弦定理
本节课主要学习余弦定理及推导过程、用余弦定理解三角形、判断 三角形形状。以苏格拉底几何原本由来的故事和高铁隧道招标的事例 作为本节的开始引入新课。本节教学以学生探究为主，利用向量法证 明余弦定理定理，引导学生探究坐标法、直角三角形边角关系法、正 弦定理法等多种方法证明余弦定理，使学生能够灵活应用所学知识， 加深对定理的理解。针对定理所解决的三类问题给出3个例题和变式， 通过解决问题引出三角形的解的不同情况，强调正确应用定理的重要 性。 教学过程中通过例1巩固掌握已知两边及其夹角解三角形的问题，通 过例2 巩固掌握已知三边解三角形的问题，通过例3巩固掌握判断三角 形形状的问题，每种类型都有变式进行巩固。用直角三角形的边角关 系证明余弦定理导，既节省时间又能吸引学生注意力。通过余弦定理 的推导和用余弦定理解决问题两个探究指明本节课的方向。由探究二 余弦定理可以解决的问题引出余弦定理的变形及用余弦定理判断三角 形的形状等知识。

你同意小亮的看法吗?
A C2 C1 B1 B2
由感性到理性
直角三角形的边与角的关系
(1).Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么关系?
B1C1 B2C2 (2). 和 有什么关系? AC1 AC2
B2 B3 B1
如果改变B2在梯子上的位置 (如B3C3 )呢?
AБайду номын сангаас
C3
C2
C1
由此你得出什么结论?
= A ┌ C
tanB;
(2)若tanA=tanB,则∠A = ∠B.
课后作业
见本课时练习“课后巩固提升”
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第一章 直角三角形的边角关系
1.1 锐角三角函数
第2课时 正弦与余弦
情景 引入 合作 探究 随堂 训练 课后 作业
情景引入
为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房
A的对边 BC 1 斜边 AB 2
可得AB＝2BC＝70m，也就是说，需要准 备70m长的水管．
合作探究
在上面的问题中，如果使出水口的高度为50m， 那么需要准备多长的水管？
B' B 30m A C 50m
老师提示: 坡面与水平面的夹角(α)称为 坡角,坡面的铅直高度与水平宽 度的比称为坡度i(或坡比),即坡 度等于坡角的正切.
60 3 i tan . 100 5
i
α
60m
100m
┌
课堂小结
• 定义中应该注意的几个问题:
1.tanA是在直角三角形中定义的,∠A是一个锐角（注 意数形结合，构造直角三角形）. 2.tanA是一个完整的符号,表示∠A的正切,习惯省去 “∠”号； 3.tanA是一个比值（直角边之比.注意比的顺序,且 tanA﹥0,无单位. 4.tanA的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形的 边长无关. 5.角相等,则正切值相等；两锐角的正切值相等,则这 两个锐角相等

知2－讲
例5 在Rt△ABC中, ∠C＝90°, ∠A, ∠B, ∠C的对边分 别为a, b, c, 且c＝100, ∠A＝26°44′．求这个三角形 的其他元素.(长度精确到0．01)
导引: 已知∠A, 可根据∠B＝90°－∠A得到∠B的大小.而
解: 已知斜边, 必然要用到正弦或余弦函数.
∵∠A＝26°44′, ∠C＝90°,
例6 如图,
在△ABC中,
AB＝1,
AC＝
2，sin
B＝
2 4
，
求BC的长.
导引:要求的BC边不在直角
三角形中, 已知条件中
有∠B的正弦值, 作BC边上的高,
将∠B置于直角三角形 中, 利用解直角三角形就可
解决问题.
知3－讲
解: 如图, 过点A作AD⊥BC于点D．
2，
∵AB＝1, sin B＝ 4 2
2.
4
4
∴AD＝AB·sin B＝1×
AB2 AD2
＝
12
2 2 4
14 ,
4
∴BD＝ AC 2 AD2
2 2 2
30
2
4
. 4
CD＝ CD BD
30 4
14 4
30 14 .
4（来自《点拨》）
总结
知3－讲
通过作垂线(高), 将斜三角形分割成两个直角三角 形, 然后利用解直角三角形来解决边或角的问题, 这 种 “化斜为直”的思想很常见.在作垂线时, 要结合已知 条件, 充分利用已知条件, 如本题若过（B来点自作《A点C拨的》垂） 线,
（角度精确到1° )：
(1) 已知 a = 4， b =8；
解: 在Rt△ABC中, 由勾股定理得c＝ 42 82