九年级数学正弦与余弦

九年级数学三角知识点归纳总结数学是一门基础性的学科，对于学生的思维能力和逻辑思维能力的培养有着重要的作用。

在九年级数学中，三角函数是一个重要的知识点。

它对于理解几何形状和解决问题具有重要的意义。

本文将对九年级数学中的三角知识点进行归纳总结，帮助同学们更好地理解和掌握这部分内容。

1. 正弦、余弦、正切正弦、余弦、正切是三角函数中最常见的三个函数。

在直角三角形中，对于一个锐角角度A，我们可以定义三角函数。

- 正弦函数：sin(A) = 对边/斜边- 余弦函数：cos(A) = 邻边/斜边- 正切函数：tan(A) = 对边/邻边这些函数可以表示角度和三角形边长之间的关系，帮助我们求解各种三角形问题。

在计算中，我们也经常用到它们的倒数函数：余切、余割、正割。

2. 弧度制与角度制角度可以用角度制和弧度制来表示。

在三角函数中，角度制的角度范围是0°到360°，而弧度制的角度范围是0到2π。

两者之间的换算关系是：角度 = 弧度× 180°/π。

在九年级的学习中，我们会经常遇到角度制和弧度制的转换问题。

因此，我们需要掌握这两种表示方法以及它们之间的关系。

3. 三角函数的基本性质三角函数有一些基本的性质，这些性质在解决问题中起到了重要的作用。

- 正弦函数的性质：在一个周期内，正弦函数是一个周期为360°（2π）的周期函数，其值域在[-1, 1]之间。

正弦函数的图像呈现出典型的波浪形。

- 余弦函数的性质：与正弦函数类似，余弦函数也是一个周期为360°（2π）的周期函数，其值域也在[-1, 1]之间。

余弦函数的图像也呈现出波浪形，但与正弦函数的图像相位相差90°。

- 正切函数的性质：正切函数是一个没有定义域的周期函数，在某些点上的值是无限大。

它的图像以45°（π/4）为中心，两侧呈现出分叉的形式。

正切函数的周期是180°（π）。

正弦和余弦【学习目标】1．了解正弦、余弦的概念的意义(用直角三角形中直角边与斜边的比表示)，知道当锐角固定时，它的对边、邻边与斜边的比值也都固定这一事实．2．熟记30°、45°、60°角的正弦、余弦值，并会根据这些数值说出对应的特殊角的度数． 3．了解一个锐角的正弦(余弦)值与它的余角的余弦(正弦)值之间的关系． 4．会查“正弦和余弦表”，即由已知锐角求对应的正弦、余弦值，已知正弦、余弦值求对应的锐角(或运用计算器)．5．会用上述知识解决一些求三角形中未知元素的简单问题． 【主体知识归纳】1．如图6—1，在Rt △ABC 中，如果∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别是a 、b 、c ，那么∠A 的正弦sin ＝ca，∠A 的余弦cos ＝c b ．2．特殊角的正弦、余弦值．3．任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值．即sinA ＝cos （90°－A ），cosA ＝sin （90°－A ）．4．三角函数表三角函数值的变化规律是使用三角函数表的依据．当角度在0°~90°变化时，正弦值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)．【基础知识讲解】1．正弦、余弦的概念是本章的起点，同时又是重点、关键．这是本章知识的基础．在直角三角形ABC 中，当一个锐角(∠A ）取固定值时，它的直角边与斜边的比值也是一个固定值．AB BC A A =∠=斜边的对边sin ，cos ＝ABACA =∠斜边的邻边． 实际上它们是一个函数关系，它的自变量的取值范围是大于0°且小于90°的所有角度． 在直角三角形中，由于斜边最长，所以函数值的范围是大于0且小于1的所有实数． 2．在查“正弦和余弦表”时，需要明确以下四点：(1)这份表的作用是：求锐角的正弦、余弦值，或由锐角的正弦、余弦值，求这个锐角； (2)这份表中，角精确到1′，正弦、余弦值具有四个有效数字； (3)凡查表所得的值，在教科书中习惯用等号“＝”，而不用约等号“≈”；根据查表所得的值进行近似计算，结果经四舍五入后，一般用约等号“≈”来表示；(4)通过查表要知道：sin0°＝0，sin90°＝1，cos0°＝1，cos90°＝0． 在使用余弦表中的修正值时，如果角度增加(1′～3′），相应的余弦值要减小一些；如果角度减小(1′～3′），相应的余弦值要增加．【例题精讲】例1：如图6—2，已知在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，且AC ＝4，CD ＝3，求∠B 的正弦值和余弦值．剖析：任意一个锐角的三角函数值，一般是利用一个直角三角形中相应的边的比值表示，因此要求∠B 的正弦、余弦值，首先要观察∠B 是否在一个直角三角形中，边的比值可否求出．解：∵AC ⊥BC ，C Ｄ⊥AB ，∴△ACD ∽△ABC ．∴∠ACD ＝∠B ．又∵AC ＝4，C Ｄ＝3，由勾股定理，得AD ＝7． ∴sinB ＝sin ∠ACD ＝47， cosB ＝cos ∠ACD ＝43． 例2：如图6—3，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，写出等于∠A 的正弦的线段比．剖析：根据三角函数定义知，在直角三角形中，角的正弦值等于对边比斜边，余弦值等于邻边比斜边．这里的前提条件一定要注意，是在直角三角形中．错解：sin ＝ABBCAB CD =． 正解：sin ＝BCBDAB BC AC CD ==． 说明：错解之一是所答线段比ABCD，因为它们不在同一个直角三角形中，错解之二是所答线段比不全，不全的原因是在三种情况下形成的：一是∠A 是Rt △ABC 和Rt △ACD 的公共角，应有两个比，二是∠A ＝∠BCD ，则sin ＝sin ，三是∠A ＋∠ACD ＝90°，∠A ＋∠B ＝90°，cosACD ＝sinA ＝ACCD，cosB ＝sin ∠BCD ＝BCBD．只不过第三种情况的比包含在前两种情况之中了． 例3:如图6—4，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，求cos ∠A ．剖析：我们所求的任意一个锐角的三角函数值，都是根据三角函数定义，利用一个直角三角形中相应边的比值来表示．求锐角A 的三角函数值时，要观察∠A 是否存在于一个直角三角形中，如果题中没有给出这样的条件，我们要通过添加辅助线，构造出∠A 所在的直角三角形．解：作△ABC 的高AD 、BE ．∵AB ＝AC ＝5，BC ＝6，∴BD ＝21BC ＝21×6＝3． 在Rt △ABD 中，由勾股定理，得 AD ＝222235-=-BD AB ＝4． ∵S △ABC ＝21BC ·AD ＝21AC ·BE ， ∴BC ·AD ＝AC ·BE ，即6×4＝5×BE ． ∴BE ＝524． 在Rt △ABE 中，由勾股定理，得 AE ＝57)524(52222=-=-BE AB ． ∴cos ＝257=AB AE ． 说明：任意锐角的正弦、余弦值都是存在的，因此在求某一个锐角的正弦值、余弦值时，可把该锐角放到某一直角三角形中（如本例通过添加辅助线，构造出直角三角形），也可以利用某直角三角形中的一个和它相等的角替代（如例1中，求∠B 的三角函数值可转化为求∠ACD 的三角函数值）．例4:计算：cos 245°–︒+︒60sin 2360cos 3＋cos 230°＋sin 245°–sin 230°．剖析：本题主要考查特殊角的三角函数值及数的运算，所以做题时，一是要牢记特殊角的三角函数值，二是运算要准确．解：原式＝(22)2–211＋2323⨯＋(23)2＋(22)2–(21)2＝21–2＋1＋43＋21–41＝21． 说明：牢记特殊角的三角函数值是做题的前提，运算正确是关键．例5：在△ABC 中，若｜sin –22｜＋(23–cos)2＝0，∠A 、∠B 都是锐角，则∠C 的度数是( ) A ．75° B ．90° C ．105° D ．120° 剖析：本题主要考查非负数的性质及正、余弦函数的有关知识，在△ABC 中，要求∠C 的度数，首先要确定∠B 、∠C 的度数．解：∵｜sin –22｜＋(23–cos)2＝0， ∴｜sin –22｜＝0，(23–cos)2＝0，∴sin –22＝0， 23–cos ＝0．即sin ＝22，cos ＝23．∴∠A ＝45°，∠B ＝30°． ∵∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°， ∴∠C ＝105°． 故应选C ．例6：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，则BBA sin cos cos •的值是( )A ．ca B ．acC ．baD ．ab 剖析一：四个选择支均为边的比值，因此想到将sinB 、cosB 、cosA 转化边的比，根据锐角三角函数的定义，cosA ＝c b ，sinB ＝c b ，cosB ＝c a ，化简得ca，所以选A ． 剖析二：利用互余两角三角函数间的关系，得cosA ＝sinB ，即B sin B cos A cos ⋅＝cosB ＝ca．因此选A ．说明：(1)在解题中，常常利用锐角三角函数的定义，将锐角三角函数转化为边的比，或将边的比转化成锐角三角函数；(2)求三角函数式的值、化简三角函数式、或证明三角函数恒等式，常常利用互为余角的三角函数间的关系．将不同角的三角函数变为同角的三角函数．例7：若α是锐角，且sin α＝322，求cos α的值． 解：如图6—5，设∠A ＝α，∠C ＝90°，不妨设BC ＝22，AB ＝3，∴AC ＝2222)22(3-=-BC AB ＝1． ∴cos α＝31=AB AC ． 说明：(1)因α是锐角，可构造一个直角三角形，使α是其中的一个锐角，从而转化为利用锐角三角函数定义来解决问题．(2)已知sin α＝322，运用特例的思想，可设BC ＝22，AB ＝3，从而转化为在直角三角形内的问题．这种解法在做选择题、填空题时应用更为广泛．(3)此题还可应用同角之间的三角函数关系求解，这将在以后的学习中学到． 【知识拓展】培养学习数学好习惯学习习惯是长时期逐渐养成的、一时不容易改变的学习行为方式和行为倾向，一个人养成什么样的学习习惯，会对其学习成绩直接产生有利或有害的影响．同学们养成怎样的学习习惯才对学习有利呢？ （1）独立思考的习惯 爱因斯坦说过：“学习知识要善于思考、思考、再思考，我就是靠这个学习方法成为科学家的．” 课堂上对于老师的讲解，不要只是听或认真听，而要经过思考：老师为什么要这样讲？此题为什么要这样解？辅助线为什么要这样添？还有没有其他解法？长期坚持下去，既培养了自己独立思考的习惯，又真正掌握了知识，提高了能力，只有这样才有助于学习成绩的提高．(2)善于求异和质疑的习惯具体内容是：①独立思考问题，自己从书中、演算中或从分析自己的错例中寻找问题的答案，不畏困难，积极思考．②敢于提出自己的疑问并寻根问底，敢于提出自己不同意见．③在解题、讨论或研究问题时能突破条条框框的约束，不墨守成规，能从不同角度多方面的思考问题，寻求出创造性的解题方法．纠正懒于思考，事事依赖老师、家长、同学或单纯靠记忆模仿、照搬等不良的思维习惯．养成求异和质疑的好习惯对发展创造性思维，及将来的进一步学习都有重要的作用．要养成这种好习惯，首先要认真阅读课本，对书上的结论、注解要多问几个为什么；其次在听懂老师讲解后，要独立思考，看看所讲例题有没有别的解法；再次，就是在研究一题多解的基础上，勤积累，多思考．【同步达纲练习】 1．选择题(1)下列各式中，正确的是( )A ．sin60°＝21B ．cos （90°－30°）＝sin60°C ．cos60°＝21 D ．sin 2x ＝sinx 2(2) 21cos30°＋22cos45°＋sin60°·cos60°等于( )A ． 22B ．23C ．221+D ．231+(3)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ：b ＝3：4，则cosB 等于( )A ．54B ．53C ．43D ．34(4)已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12，AB ＝13，那么sinA 的值是( ) A ．1312 B ．1213 C ．131D ．135 (5)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若c ＝2，sinA ＝41，则b 的值是( ) A ．21B ．1C ．215D ．以上都不对(6)在Rt △ABC 中，各边的长都扩大两倍，那么锐角A 的正弦值( ) A ．扩大两倍 B ．缩小到一半 C ．没有变化 D ．不能确定(7)在Rt △ABC 中，sinB ＝23，则cos 2B 等于( ) A ．21B ．23C ．±23 D ．以上答案都不对(8)若0°＜α＜45°，那么cos α–sin α的值( ) A ．大于零 B ．小于零 C ．等于零 D ．不能确定(9)α是锐角，且cos α＝43，则α( ) A ．0°＜α＜30° B ．30°＜α＜45° C ．45°＜α＜60° D ．60°＜α＜90°(10)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，AB ：AC ＝3：2，则∠BC Ｄ的正弦值为( )A ．35 B ．32C ．23D ．53(11)在△ABC 中，∠C ＝90°，则下列叙述中正确的是( )A ．∠A 的邻边与斜边之比是∠A 的正弦B ．∠A 的对边与邻边之比是∠A 的正弦C ．∠A 的对边与斜边之比是∠B 的余弦D ．∠A 的邻边与斜边之比是∠B 的余弦 (12)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，则sinA ＋cosA 等于( ) A ．1B ．231+ C ．221+ D ．41 (13)下列等式中正确的是( )A ．sin20°＋sin40°＝sin60°B ．cos20°＋cos40°＝cos60°C ．sin （90°－40°）＝cos40°D ．cos （90°－30°）＝sin60° (14)下列不等式中正确的是( )A ．cos42°＞cos40°B ．cos20°＜cos70°C ．sin70°＞sin20°D ．sin42°＜sin40°(15)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，下列等式一定成立的是( )A ．sinA ＝sinB B ．sinA ＝cosAC ．sin （A ＋B ）＝cosD ．sinA ＝cosB（16）化简22)80sin 20(sin 20sin 80sin )80cos 1(︒-︒︒-︒-︒-的结果是( )A ．1–cos80°B ．–cos80°C ．cos80°D ．cos80°–1(17)若α是锐角，sin40°＝cos α，则α等于( ) A ．40° B ．50° C ．60° D ．不能确定(18)已知α、β是两个锐角，sin α＝0．412，sin β＝0．413，则有( )A ．α＞βB ．α＜βC ．α＝βD ．不能确定α、β的大小(19)已知α、β是两个锐角，cos α＝0.43，cos β＝0.44，则有( )A ．α＞βB ．α＜βC ．α＝βD ．不能确定α、β的大小(20)如果α是锐角，且cos α＝54，则sin （90°－α）的值等于( ) A ．259B ．54C ．53D ．2516 (21)在△ABC 中，如果sinA ＝cosB ＝21，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．以上答案都不对2．填空题(1)计算：4sin60°＋23cos30°－6cos 245°＝__________；(2)一个直角三角形的两直角边分别为5和12，则较小锐角的正弦值是__________；(3)化简：︒+︒•︒-︒90sin 60cos 70sin 470sin 22＋cos20°的结果为__________；(4)若锐角α满足2sin α－1＝0，则α＝__________；(5)不查表，比较大小：sin25°_____sin24°30′，cos82°25′_______cos82°26′；(6)△ABC 的面积为24cm 2，∠B ＝90°，一直角边AB 为6 cm ，则sinA ＝__________； (7)若三角形的三边长之比为1：3：2，则此三角形的最小内角的正弦值为__________； (8)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝8，b ＝15，则sinA ＋sinB ＝__________；(9)若锐角α满足等式2sin(α＋15°)–1＝0，则∠α＝__________，cos2α＝__________． (10)如果2＋3是方程x 2–8xcos α＋1＝0的一个根，且α是锐角，则α＝__________． (11)若ααααcos sin cos sin -+没有意义，则锐角α__________．3．用符号表示： (1)∠A 的正弦； (2)∠B 的余弦； (3)40°角的正弦； (4)47°5′角的余弦． 4．求下列各式的值：（1）sin30°＋2cos60°；（2）sin 230°＋cos 230°；（3）2sin45°·cos45°； （4）︒︒45cos sin45－1；（5）sin30°·cos45°＋cos30°·sin45°．5．把下列各角的正弦(余弦)改写成它的余角的余弦(正弦)：(1)sin17°； （2）cos39°； （3）sin41°12′； （4）cos62°27′．6．在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ；先根据下列条件求出∠A 的正弦值和余弦值，然后直接写出∠B 的正弦值和余弦值．(1)a ＝5，c ＝29；（2）b ＝9，c ＝85；（3）a ＝7，b ＝4．7．已知△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，过BC 的中点D 作ＤＥ⊥AB ，垂足为E ，连结CE ，求cosAEC 的值．8．已知2＋3是方程 x 2－5x ·sin θ＋1＝0的一个根，θ是锐角，试求sin θ、cos θ的值．参考答案【同步达纲练习】1．（1）C （2）D （3）B （4）D （5）C （6）C （7）B （8）A （9）B （10）A （11）C （12）A （13）C （14）C （15）D （16）B （17）B （18）B （19）A （20）B （21）A 2．（1）23 （2）135 （3）1 （4）45° （5）＞ ＞ （6）54 （7）21 （8）1723 （9）15° 23（10）60° （11）＝45°3．（1）sinA (2)cosB (3)sin40° (4)cos47°5′ 4．(1)23 (2)1 (3)1 (4)0 (5)4625．(1)cos73° (2)sin51° (3)cos48°48′ (4)sin27°33′6．(1)sinA ＝cosB ＝29295,cosA ＝sinB ＝29292; (2)sinA ＝cosB ＝85852,cosA ＝sinB ＝85859;(3)sinA=cosB ＝65657,cosA ＝sinB ＝656547．cosAEC ＝558．sin θ＝54,cos θ＝53。

九年级三角函数公式大全1二倍角公式正弦形式：sin2α=2sinαcosα正切形式：tan2α=2tanα/(1-tan^2(α))余弦形式：cos2α=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)2、三倍角公式sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α)cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α)tan3a=tana·tan(π/3+a)·tan(π/3-a)3、四倍角公式sin4A=-4*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1))cos4A=1+(-8*cosA^2+8*cosA^4)tan4A=(4*tanA-4*tanA^3)/(1-6*tanA^2+tanA^4)2半角公式1、正弦sin(A/2)=√((1-cosA)/2)sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)2、余弦cos(A/2)=√((1+cosA)/2)cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)3、正切tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA))tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))3积化和差sina*cosb=[sin(a+b)+sin(a-b)]/2 cosa*sinb=[sin(a+b)-sin(a-b)]/2 cosa*cosb=[cos(a+b)+cos(a-b)]/2 sina*sinb=[cos(a-b)-cos(a+b)]/24和差化积sina+sinb=2sin[(a+b)/2]cos[(a-b)/2] sina-sinb=2sin[(a-b)/2]cos[(a+b)/2]cosa+cosb=2cos[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]cosa-cosb=-2sin[(a+b)/2]sin[(a-b)/2]5诱导公式1、任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(-α)=-tanαcot(-α)=-cotα2、设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosαtan(π+α)=tanαcot(π+α)=cotα3、利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(π-α)=sinαtan(π-α)=-tanαcot(π-α)=-cotα4、设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin(2kπ+α)=sinα(k∈Z)cos(2kπ+α)=cosα(k∈Z)tan(2kπ+α)=tanα(k∈Z)cot(2kπ+α)=cotα(k∈Z)5、利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(2π-α)=-sinαcos(2π-α)=cosαtan(2π-α)=-tanαcot(2π-α)=-cotα6、π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin(π/2+α)=cosαcos(π/2+α)=-sinαcot(π/2+α)=-tanαsin(π/2-α)=cosαcos(π/2-α)=sinαtan(π/2-α)=cotαcot(π/2-α)=tanαsin(3π/2+α)=-cosαcos(3π/2+α)=sinαtan(3π/2+α)=-cotαcot(3π/2+α)=-tanαsin(3π/2-α)=-cosαcos(3π/2-α)=-sinαtan(3π/2-α)=cotαcot(3π/2-α)=tanα。

苏科版数学九年级下册7.2《正弦、余弦》（第1课时）讲说课稿一. 教材分析苏科版数学九年级下册7.2《正弦、余弦》这一课时，是在学生学习了锐角三角函数的基础上进行授课的。

本节课的主要内容是正弦和余弦的概念、性质及其应用。

通过本节课的学习，学生能够掌握正弦和余弦的定义，理解它们的性质，并能运用正弦和余弦解决一些实际问题。

教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生巩固所学知识，提高解题能力。

二. 学情分析在进入九年级下册的学习之前，学生已经掌握了锐角三角函数的相关知识，对三角函数有一定的认识。

但是，对于正弦和余弦的概念、性质及其应用，学生可能还比较陌生。

因此，在教学过程中，我需要引导学生逐步理解正弦和余弦的定义，通过举例、讲解、练习等方式，让学生逐步掌握它们的性质和应用。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解正弦和余弦的概念，掌握它们的性质，并能运用正弦和余弦解决一些实际问题。

2.过程与方法目标：通过观察、思考、讨论等方法，学生能够自主探究正弦和余弦的性质，培养学生的探究能力和合作意识。

3.情感态度与价值观目标：学生能够体验数学与实际生活的联系，增强对数学的兴趣和自信心。

四. 说教学重难点1.教学重点：正弦和余弦的概念、性质及其应用。

2.教学难点：正弦和余弦的性质的理解和运用。

五. 说教学方法与手段在本节课的教学过程中，我将采用以下教学方法与手段：1.情境教学法：通过生活实例引入正弦和余弦的概念，让学生感受数学与实际生活的联系。

2.引导发现法：在讲解正弦和余弦的性质时，引导学生观察、思考、讨论，发现其中的规律。

3.练习法：通过丰富的练习题，让学生巩固所学知识，提高解题能力。

六. 说教学过程1.导入：以生活实例引入正弦和余弦的概念，激发学生的学习兴趣。

2.新课讲解：讲解正弦和余弦的定义，通过例题和练习题，让学生掌握它们的性质。

3.课堂讨论：引导学生观察、思考、讨论正弦和余弦的性质，培养学生的探究能力和合作意识。

中考数学考点解析正弦定理与余弦定理的运用中考数学考点解析：正弦定理与余弦定理的运用正弦定理和余弦定理是中学数学中重要的几何定理，广泛应用于解决与三角形相关的各类问题。

本文将针对中考数学中关于正弦定理和余弦定理的考点进行解析，并讨论其运用方法。

一、正弦定理的概念与应用正弦定理是指在任意三角形ABC中，设a、b、c分别为三边AB、BC、AC的边长，A、B、C分别为对应的内角，则有下述关系式成立：sinA/a = sinB/b = sinC/c正弦定理常用于解决三角形边长或角度未知的问题。

根据正弦定理，我们可以通过已知角度和边长的比例关系，求解未知边长或角度的值。

例如，已知在三角形ABC中，角A的度数为30°，边AC的长度为10cm，边BC的长度为8cm，求边AB的长度。

解析：根据正弦定理，我们有sin30°/10 = sinB/8，通过计算可以得到sinB的值为1/2。

根据反三角函数的定义，我们可以求得角B的度数为30°。

然后再利用三角函数的性质，我们可以得到sinC的值为sqrt(3)/2，进而求解出边AB的长度为12cm。

二、余弦定理的概念与应用余弦定理是指在任意三角形ABC中，设a、b、c分别为三边AB、BC、AC的边长，A、B、C分别为对应的内角，则有下述关系式成立：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cosC余弦定理常用于解决三角形边长或角度未知的问题。

相比正弦定理，余弦定理在求解角度时更为常用，尤其适用于已知三边长度求解对应角度的情况。

例如，已知三角形ABC，边AB的长度为5cm，边AC的长度为8cm，角A的度数为45°，求对边BC的长度。

解析：根据余弦定理，我们有BC^2 = 5^2 + 8^2 - 2 * 5 * 8 * cos45°。

通过计算可以得到BC^2的值为25，再开方可以得到BC的长度为5cm。

三、正弦定理与余弦定理的综合应用正弦定理和余弦定理在解决实际问题中常常需要综合运用。

正弦和余弦【基础知识精讲】1.基本概念Rt △ABC ，∠C 为直角，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA.把∠A 的邻边和斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA,即，sinA=斜边的对边A ∠,cosA=斜边的邻边A ∠. 如图1，sinA=c a ,cosA=cb .注意：正弦、余弦是一种比值，当∠A 确定时，这个比值是不变的.2.取值范围由于直角三角形中斜边大于直角边，从而有：0＜c a ＜1，0＜cb ＜1，所以当∠A 为锐角时，0＜sinA ＜1，0＜cosA ＜1.3.特殊角的正、余弦的数值由直角三角形的有关性质及正、余弦定义，可以推出：sin30°=21,sin45°=22,sin60°=23;cos30°=23,cos45°=22,cos60°=21. 4.互余角的正、余弦函数之间的关系由图6-1知，sinA=c a ,cosB=ca ,从而可得：sinA=cosB.同理可证：cosA=sinB ，又A+B=90°，∴sinA=cos(90°-A),cosA=sin(90°-A)(A 为锐角).5.在0°—90°之间正、余弦值的变化情况从正、余弦表中可以看出：当角度在0°—90°是变化时，正弦值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值随着角度的减小(或增大)而增大(或减小).【重点难点解析】本节的重点是理解正弦函数和余弦函数的概念，熟记特殊三角函数值.难点在于搞清sinA 、ocsA 的意义，它提示了直角三角形边角之间内在联系，是后面解直角三角的基础.例1 如图2，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=8，BC=4.(1)求sinA 、cosA 的值；(2)sin 2A+cos 2A 的值；(3)比较sinA 与cosB 的大小.解：(1)∵∠C=90°，AC=8，BC=4，∴AB=22BC AC +=2248+=45.∴sinA=551=AB BC ，cosA=552=AB AC . (2)sin 2A+cos 2A=cos2A=(551)2+(552)2=1. (3)∵cosB=551=AB BC ,sinA=551， ∴sinA=cosB(或由公式得出).点拨：熟练地依据正弦函数、余弦函数的概念求直角形中各锐角的正、余弦值是本节的基本技能；此题为求正、余弦值，必先求出斜边的长，再由定义得出，在问题(3)中我们以具体实例验证了公式sinA=cos(90°-A).例2 求下列各式的值(1)sin30°·sin45°+cos30°·cos45°. (2)2sin45°+sin30°·cos60°.解：(1)sin30°·sin45°+cos30°·cos45°=22232221⨯⨯⨯=641241+. (2)2sin45°+sin30°·cos60°=2×22+21×21=45. 点拨：熟记特殊角的正、余弦值有利于快速、准确的计算.例 3 已知sin35°=0.5736,sin67°18′=0.9225,求cos60°cos55°-2cos22°42′的值.解：∵cos55°=cos(90°-35°)=sin35°=0.5736，cos22°42′=sin67°18′=0.9225，∴cos60°cos55°-2cos22°42′ =21×0.5736-2×0.9225 =-1.5582.简析：运用公式sinA=cos(90°-A)解题，明确互余角之间三角函数关系. 例4 不查表，比较sin46°与cos46°的大小.解：∵46＞45 ∴sin46°＞sin45°,cos46°＜cos45°，又sin45°=22=cos45°，∴sin46°＞cos46°. 点拨：45°的正、余弦值相等以及0°—90°之间正、余弦值变化情况是解决本题的关键.例5 已知Rt △ABC 中∠C=90°，∠B=60°，a+b=6,求a 、b 、c.解：∵sinB=sin60°=23,∴b=23c.① ∵cosB=cos60°=21,∴a=21c.② 又知a+b=6，③由①②③知：a=33-3,b=9-33,c=63-6.点拨：此题由角B 的正、余弦的定义得出等式①②，再由已知③解方程解决问题.【课本难题解答】1.证明：sin 2A+cos 2A=1(A 为锐角).证明：在Rt △ABC 中(∠C=90°)，sinA=c a ,cosA=cb ， sin 2A+cos 2A=22222c c c b a =+=1. 点拨：用定义及勾股定理直接解题.2.已知sinA=54，求cosA 的值.(∠A 为锐角). 解：∵∠A 为锐角，∴cosA ＞0.又sin 2A+cos 2A=1，∴cosA=A sin 12-=53. 点拨：本题有两点值得注意，一是sinA 与cosA 之间的关系(即其平方和为1)，二是由等式sin 2A+cos 2A=1得出的是cosA=±A sin 12-,再由A 是锐角，cosA 大于0，得出正确结论.【典型热点考题】例1 计算：(2+1)0-|sin60°-1|-(213+)-1+(-1)3. 解：(2+1)0-|sin60°-1|-(213+)-1+(-1)3 =1-(1-23)-(3-1)+(-1) =-321. 点拨：简单运用sin60°的值进行计算.例 2 在斜边为10的Rt △ABC 中，∠C=90°，两直角边a 、b 是方程x 2-mx+3m+6=0的两个根.(1)求m 的值；(2)求两个锐角的正弦值.解：依题意：a+b=m,ab=3m+6，∵a 2+b 2=102 ，∴m 2-2(3m+6)=102 .解这个方程得：m 1=-8,m 2=14.∵a+b ＞0,∴m=14.原方程为：x 2-14x+48=0.解之得：x 1=8,x 2=6.∴当a=6,b=8,c=10,sinA=53,sinB=54. 当a=8,b=6,c=10时，sinA=54,sinB=53. 点拨：(1)是用方程的有关知识解题，问题(2)是用定义解题，关键注意题中没有明确a 、b 的大小，从而需加以讨论说明.例 3 已知△ABC 的边AC=2，∠A=45°，cosA 、cosB 是方程4x 2-2(1+2)x+m=0的两根，求∠B 的度数.解：∵∠A=45°，∴sinA=22. 由根与系数的关系：cosA+cosB=21(1+2)， ∴cosB=21,∠B=60°. 点拨：此题将一元二次方程和三角函数结合在一起，要求我们具有综合运用知识的能力.【同步达纲练习】(时间：45分钟，满分：100分)一、填空(6分×5=30分)(1)若sinB=21，则∠B= 度；sinA=23，则∠A=_____度. (2)当α为锐角时，2)1(sin -α= . (3)2)145(sin -︒+|1-cos60°|= .(4)已知2sin α-3=0，则α= .(5)在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=2，则sinA= ，sinB= ,cosA= .二、选择题(6分×5=30分)(1)已知α为锐角，且sin α=m,则m 的取值范围是( )A.一切实数B.m ＞0C.0＜m ＜1D.m ＞1(2)已知cosA(A 为锐角)是方程3x 2-43x+3=0的实根，则cosA 等于( ) A.3 B.33 C. 3或33 D.m ＞1 (3)已知锐角∠AOB ，P 是OB 边上任一点，过P 作PQ ⊥OA 于Q ，设OQ=x ，QP=y,OP=r ，则比值yx x y r x r y ,,,的大小与点P 及∠AOB 的关系是( ) A.由P 点的位置决定，与∠AOB 的大小无关B.由∠AOB 的大小决定，与点P 位置无关C.由∠AOB 的大小和点P 位置决定D.与∠AOB 的大小和点P 位置无关(4)中△ABC 中，∠C=90°，sinA=53,则cosB=( ) A. 53 B.54 C.2516 D.259 (5)已知Q 为锐角，则下列等式中，可能成立的是( )①sinQ=3 ②sinQ+cosQ=0③cosQ=a11(a ＞0) ④sinQ-cosQ=0 A.①② B.②③ C.③④ D.①④三、解答题(8分×5=40分)(1)已知三角形三边长分别是5，12，13.①判断此三角形的形状；②求最小角的正弦和余弦值.(2)在Rt △ABC 中，∠C=90°，a:b=4:5，求sinA 、cosA 的值.(3)计算2)170(cos +︒-22)60sin 60(cos ︒+︒+|sin20°-1|.(4)计算sin45°·cos45°-cos 245°+sin 230°.(5)已知sin75°=426+，求︒︒+︒30sin 15cos 75sin 的值.【素质优化训练】1.设cosQ+sin 2Q=1,Q 为锐角，下而的结论正确的是( )A.sinQ+sin 2Q ＞1B.sinQ+sin 2Q=1C.sinQ+sin 2Q ＜1D.sinQ+sin 2Q 与1的大小关系不能确定2.已知在Rt △ABC 中，∠C=90°，且sinA 和cosB 是方程4x 2+px+1=0的两根，(1)求证：p+4=0;(2)求∠A 和∠B 的度数.3.已知17cosA+13cosB=17,17sinA=13sinB,且A 、B 都是锐角，求2A +B 的值.【生活实际运用】一般向正东方向航行，上午十时在灯塔的西南方58.4海里处，到上午十二时船到达灯塔的正南方，求船航行的速度.参考答案【同步达纲练习】一、(1)30°、60°(2)1-sin α (3)2-2122- (4)60°(5)515,515,510 二、C B B A C三、(1)Rt △，sinA=135，cosA=1312 (2)设a=4k ，则b=5k,∴c=41k,∴sinA=41414.cosA=41415. (3)1-3 (4)41(5)∵sin75°=cos15°,∴原式=26+.【素质优化训练】1．D2．∵A+B=90°,∴sinA=cosB,∴方程4x 2+px+1=0有两个实根，∴△=p 2-16=0，p=±4当p=4时，x=-21,此时sinA ＜0，舍去，当p=-4时，x=21，即sinA=cosB=21.∴∠A=30°∠B=60°，p+4=0.3．作△ABC 中，使AB=AC=13，过点C 作CD ⊥AB 于点D.在△ABC 中，CD=17，sinA=13cosB,AD=17cosA,BD=13cosB,且17cosA+13cosB=AB=17,则在△ABC 中，∠A 、∠B 符合题目条件，又∠A+2∠B=180°，∴2A +B=90°. 【生活实际运用】AC=AB ·cos45°=58.4×22=29.22，∴速度V=2AC =14.62海里/时.。

一、三角函数的定义：在平面直角坐标系中，以坐标轴正方向为单位长，在单位圆上取点P(x,y)，点P与x轴之间的夹角为θ。

根据点P在单位圆上的位置，定义以下三个比率：1. 正弦函数（sine）：sinθ = y2. 余弦函数（cosine）：cosθ = x3. 正切函数（tangent）：tanθ = y/x二、常用的三角函数公式：1.正弦函数的基本性质：（1）sin(-θ) = -sinθ（2）sin(π/2 - θ) = cosθ（3）sin(π - θ) = sinθ（4）sin(2π - θ) = -sinθ（5）sin(θ + 2kπ) = sinθ（k为整数）（6）sin2θ = 2sinθcosθ2.余弦函数的基本性质：（1）cos(-θ) = cosθ（2）cos(π/2 - θ) = sinθ（3）cos(π - θ) = -cosθ（4）cos(2π - θ) = cosθ（5）cos(θ + 2kπ) = cosθ（k为整数）（6）cos2θ = cos²θ - sin²θ3.正切函数的基本性质：（1）tan(-θ) = -tanθ（2）tan(π/2 - θ) = 1/tanθ（3）tan(θ + π) = tanθ（4）tan(θ + πk) = tanθ（k为整数）（5）tan2θ = 2tanθ/(1-tan²θ)4.三角函数间的关系：（1）tanθ = sinθ/cosθ（2）sin²θ + cos²θ = 1（3）1 + tan²θ = sec²θ（4）1 + cot²θ = csc²θ（5）cos(2θ) = cos²θ - sin²θ = 2cos²θ - 1 = 1 - 2sin²θ5.三角函数的诱导公式：sin(x+y) = sinx*cosy + cosx*sinycos(x+y) = cosx*cosy - sinx*sinytan(x+y) = (tanx + tany)/(1 - tanxtany)sin(x-y) = sinx*cosy - cosx*sinycos(x-y) = cosx*cosy + sinx*sinytan(x-y) = (tanx - tany)/(1 + tanxtany)其中，x和y表示任意实数。

第4章锐角三角函数4.1 正弦和余弦知识点1 正弦1.正弦的定义2.特殊角的正弦值3.利用计算器求锐角的正弦值或由正弦值求锐角。

特别提醒1. sinα是完整的数学符号,是一个整体,不能理解成sin·a2.正弦符号后面可以跟单个小写希腊字母或单个英文字母或三个大写英文字母或数字表示的角,也可以跟度数,如sinα,sin A, sin∠ ABC,sin∠2, sin 70°.知识点2 余弦1.余弦的定义2.特殊角的余弦值3.利用计算器求锐角的余弦值或由余弦值求锐角。

知识点3 互余两角正弦值和余弦值的关系1.同一锐角的正弦值和余弦值之间的关系：sin²A+cos²A=1(平方关系)2.互余两角的正弦值和余弦值之间的关系：3.sin A=cos(90°-∠A) cos A=sin(90°-∠A)锐角三角函数之间的关系都可用定义推理得出.4.2 正切知识点1 正切1.正切的定义2.特殊角的正切值3.利用计算器求锐角的正切值或由正切值求锐角。

4.拓展：(1)互余两角的正切值之间的关系：tan α·tan(90°-α)=1.(2)锐角α的正弦值、余弦值、正切值之间的商数关系：tan α= sinαcosα特别提醒：1.tan a是完整的数学符号,是一个整体,不能理解成tan・α.2.tan α中的α角的符号"∠"习惯上省略不写,但对于用三个大写英文字母或数字表示的角,角的符号不能省略。

3. tanα的值只与角α的大小有关,与所在直角三角形的边的长短无关.4.正切符号后面可以跟单个小写希腊字母或单个大写英文字母或三个大写英文字母或数字表示的角,也可以跟度数.知识点2 锐角三角函数1.定义：从正弦、余弦、正切的定义看到，任意给定一个锐角a都有唯一确定的比值sin α(或cos α,tan α)与它对应.当角α变化时，它的比值sin α(或cos α,tan α)也随之变化.因此我们把锐角α的正弦、余弦和正切统称为角α的锐角三角函数2.特殊角的三角函数值：特别提醒并非只有在直角三角形中才有三角函数值,而是只要有角就有三角函数值.锐角三角函数的定义说明了直角三角形中的边角之间的关系,它是一个比值,无单位,这些比值只与锐角的大小有关.在锐角三角函数中,自变量是角a.4.3 解直角三角形知识点1 解直角三角形的定义一般地，在直角三角形中，除直角外,共有五个元素，即三条边和两个锐角，在直角三角形中利用已知元素求其余未知元素的过程叫作解直角三角形.(1)在直角三角形中、除直角外的五个元素中，已知其中的两个元素(至少有一个是边),可求出其余的三个未知元素(知二求三)(2)一个直角三角形可解，则其面积可求.但在一个解直角形的题中，如无特别说明，则不包括求面积.知识点2 直角三角形中的边角关系1.直角三角形中的边角关系：在直角三角形ABC中，∠C为直角，∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,那么除∠C外的5个元素之间有如下关系：1)三边之间的关系：a²+b²=c²(勾股定理)(2)两锐角之间的关系：∠A+∠B=90(3)边角之间的关系：sinA=∠A的对边斜边= ac,sinB=∠B的对边斜边= bc,cosA =∠A的邻边斜边= bc, cosB =∠B的邻边斜边= ac,tanA=∠A的对边∠A的邻边= ac, tanB =∠B的对边∠B的邻边= ac,3.运用关系式解直角三角形时，常常要用到以下变形：（1）锐角之间的关系：∠A=90°-∠B，∠B=90°-∠A；（2）三边之间的关系：a=√c2−b2, b=√c2−a2,c=√a2+b2;（3）边角之间的关系：a=c·sinA ,a=c·cosB ,a=b·tanA ,b=c·sinB ,b=c·cosA ,b=a·tanB,4.4 解直角三角形的应用知识点1 解直角三角形在实际中的应用1.利用解直角三角形解决实际问题的一般步骤：(1)画出平面图形，将实际问题抽象为数学问题，转化为解直角三角形的问题；(2)根据已知条件的特点，灵活选用锐角三角函数等知识解直角三角形；(3)得到数学问题的答案；(4)得到实际问题的答案.2.解决实际问题时，常见的基本图形及相应的关系式如下表所示.特别提醒1.当实际问题中涉及的图形可以直接转化为直角三角形时,可利用解直角三角形的知识直接求解.2.在解直角三角形时,若相关的角不是直角三角形的内角,应利用平行线的性质或互余互补的角的性质将其转化为直角三角形的内角,再利用解直角三角形的知识求解.3.问题中有两个或两个以上的直角三角形,当其中一个直角三角形不能求解时,可考虑分别由两个直角三角形找出含有相同未知元素的关系式,运用方程求解。