九年级数学下册《正弦与余弦》习题(无答案) 苏科版

B 35 C4A
练习1、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边 AB上的高，AB=5，AC=3，则sin∠BCD=_____.
B D
A
C
练习2、Rt△ABC中，∠C=900 ，sin A 5 12
求tanB，cosA
正切值随着锐角的度数的增大而_增__大__； 正弦值随着锐角的度数的增大而__增_大__； 余弦值随着锐角的度数的增大而__减_小__.
练习1、比较大小： (1)sin250____sin430 (2)cos70____cos80 (3)sin480____cos520 (4)tan480____tan400
练习2、已知：300＜α＜450，则： (1)sin α的取值范围：________； (2)cosα的取值范围：________； (3)tanα的取值范围：________.
2、知道直角三角形中的2个元素(至少有一边)， 可以求出其它三个元素.
例1、在△ABC中，∠C=90°，a= 2，2b= 2，6解 这个直角三角形.
例2、如图，在△ABC中，∠A=30°，tanB= AC=2 3，求AB的长.
3 2
DB
A
C
例1.如图所示，小华同学在距离某建筑物6米的点A处 测得广告牌B点、C点的仰角分别为52°和35°，则广告 牌的高度BC为________米（精确到0.1米） (sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70； sin52°≈0.79，cos52°≈0.62，tan52°≈1.28)
三角函数
正 切： tanA 正 弦： sinA
A的 对边 A的 邻边 A的 对边
斜边
余 弦： cosA
A的 邻边 斜边

专项训练:正弦函数与余弦函数的图象一、单选题1．同时具有性质:①最小正周期是；②图象关于直线对称;③在上是增函数的一个函数是 ( ）A ．B ．C ．D ．2．定义在上的函数既是偶函数又是周期函数，若的最小正周期是，且当时,,则的值为( ). A ．B ．C ．D ．3．函数的部分图象如图，则、可以取的一组值是（ ）A ．B ．C ．D ．4．函数,是A ． 最小正周期为的奇函数B ． 最小正周期为的偶函数C ． 最小正周期为的奇函数 D ． 最小正周期为的偶函数5．函数f (x )＝4x －3tan x 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的图象大致为（ )A ．B ．C ．D ．6．如图是函数()(),(0)2f x cos x ππϕϕ<<＝＋的部分图象，则f (3x 0)＝( ）A ．12 B ． －12 C ．3． 37．已知f (x ）＝sin(ωx ＋φ）(ω>0,｜φ｜〈2π)的最小正周期为π，若其图象向左平移π3个单位长度后关于y 轴对称，则( ）A ． ω＝2，φ＝π3B ． ω＝2，φ＝π6C ． ω＝4，φ＝π6D ． ω＝2，ω＝－π68．函数y =sin2x +cos2x 最小正周期为A ．B ．C ． πD ． 2π9．函数f (x )＝sin(ωx ＋φ) 0,2πωϕ⎛⎫>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，若x 1,x 2∈,63ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且f (x 1)＝f （x 2），则f (x 1＋x 2）＝（ )A ．12B ． 22C ．32D ． 1 10．下列函数中,周期为π,且在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数的是（ )A ． sin 2y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ． cos 2y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ C ． cos 22y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ D ． sin 22y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭11．函数y ＝－sin x ，x ∈π3,22π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的简图是( )A ．B ．C ．D ．12．函数f （x )=sin π23x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图象的对称轴方程可以为 ( )A ． x=π12B ． x=5π12 C ． x=π3 D ． x=π613．已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为 （ ）A ．B ．C ．D ．14．函数()22sin sin 44f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是( ）。

sin 60°= 3 2
cos 60°=
1 2
如图：在Rt △ABC中，∠C＝90°，
B
∠A+ ∠B ＝90°
sinA = BC
┌
AB
cosB = BC AB
A
C
(1) sinA = cos(90 °－A）= cosB =
BC
(2) 0＜sinA＜1， 0＜cosB＜1
AB
(3) sin2A=( BC )2 AB
等于1吗？为什么？
可以大于1吗？
┌ 不同大小的两个锐角的正弦值
A
C 可能相等吗？
对于锐角A的每一个确定的值，sinA有唯一的确定的 值与它对应，所以sinA是A的函数。
已知sinA＝ 3 ，那么锐角A等于___6_0_°__。 2
锐角A满足2sin（A－15 °）＝1，那么∠A＝_4_5_°_.
想一想比一比
新人教版九年级数学(下册)第二十八章
§28.1 锐角三角函数（1）
——正弦、余弦
如图：在Rt △ABC中，∠C＝90°，
B
角：∠A+ ∠B ＝90°
勾股定理
┌
A
C 边：AC2 + BC2 = AB2
在直角三角形中，边与角之间有什么关系呢？
实践与探索
在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°， BC＝35，求AB。 根据：“在直角三角形中， 30°角所对的边等于斜
一个固定值；
2
一般地，当∠ A取其它一定度数的锐角时，它的对边 与斜边的比是否也是一个固定值呢？
这也就是说，
在直角三角形中， 当锐角A的度数一 定时，不管三角形 的大小如何，∠A 的对边与斜边的比 是一个固定值。

7.2 正弦、余弦教学目标1.使学生了解正、余弦定义的理论基础是相似三角形；掌握正弦、余弦的定义，并能初步应用解答一些简单的三角函数值问题；2.使学生理解正、余弦的特殊角的三角函数值和取值范围的推导过程，并会用它们去解 答一些基本问题；3.使学生理解从特殊到一般是认识客观事物的基本方法。

教学重点和难点正、余弦定义及其应用是重点；而它的抽象概括过程是难点。

教学过程设计一、从生产实际中提出学习本章的重要性例如，修建某扬水站……(板书本章和本节课题)二、正弦和余弦定义的教学过程1.从特殊到一般抽象、概括出正、余弦定义。

(教师打出投影片，每打一个，边讲边问)从图6-1到图6-4我们发现以下两点：(一边讲解，一边启发学生说出结论) 在Rt △ABC 中，(1)当锐角∠A 不变时，它所对的边BC 与斜边AB 的比值不变；(2)当锐角∠A 发生变化时，它所对的边BC 与斜边AB 的比值也随着发生变化。

由此我们给出定义在△ABC 中，∠C ＝90°，如图6-5，那么BCAB(锐角A的对边与斜边的比)叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即sinA ＝斜边的对边A类似地，ABAC (锐角A 的邻边与斜边的比)叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即cosA ＝斜边的邻边A 2.对符号的理解.sin 的全文为Sine,国际音标为［sain ］,cos 的全文为cosine,国际音标为［kausain ］.sinA 是一个完整的记号，不是Sin ·A,记号里省略了角的符号“∠”，第一个字母“S ”要小写.3.运用标准图形，变式图形和复合图形进一步熟悉正、余弦的定义.(图6-6)sinA ＝ sin Ｄ＝ sin Ｅ＝ ＝cos Ａ＝ cos Ｄ＝ cos Ｅ＝ ＝sin Ｂ＝ sin Ｅ＝ sin ∠ＧＦＥ＝cos Ｂ＝ cos Ｅ＝ cos ∠ＧＦＥ＝4.标准图形简单应用，变式练习.例1 △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，AB ＝10.(图6-7)求：(1)∠B 的正弦；(2)∠B 的余弦；(3)∠A 的正弦；(4)∠A 的余弦；练习1(标准图形)(课本P.7.1)例2 △ABC 中，∠C ＝90°，sin Ａ＝32.求：(1)cosA ； (2)sinB ； (3)cosC.例3 (复合图形)如图6-8，△ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D.BC ＝12，AC ＝5.求：sinA,sin ∠BCD,cos ∠ACD.如图6-9，∠A 为钝角，AB ＝10，AC ＝17，sinB ＝4 5.求BC.(提示：过点A 作AD ⊥BC 于D ，BC ＝21)三、特殊角的正弦和余弦三角函数值的教学过程1.求30°，45°，60°的正弦和余弦值.例4 根据定义求30°和60°的正弦和余弦值.(引导学生画出图6-10)，得到解答)sin30°＝ cos30°＝sin60°＝ cos30°＝例 5 根据定义求出45°的正弦和余弦值.(引导学生画出图6-11，得到解答)sin45°＝cos45°＝2.记忆方法.(1)根据图形记忆；(图6-10和图6-11)(2)列表记忆.3.应用举例，变式练习.例6 求值：(1)sin30°＋sin60°；(2)︒-︒-︒30cos 160sin 45sin 2 答：(1)231+； (2)231--. 四、引导学生根据定义发现正弦和余弦的取值范围1.取值范围：如图6-12，sinA ＝ cosA ＝sinB ＝ cosB ＝你能发现sinA ，cosA 的取值范围吗?在学生回答的基础上，教师总结出，当∠A 为锐角时：0＜sinA ＜1， 0＜cosA ＜1.(因为sinA ＝斜边的对边A ∠，cosA ＝斜边的邻边A ∠，而直角三角形斜边大于直角边.)2.应用举例，变式练习.例7 ∠A 为锐角，下列正确的是（）A.2)1(sin -A ＝sinA －1B.cosA ＝1.02C.sinA ＝－0.34D.｜cosA ＋1｜＝cosA ＋1例8 化简：(1)｜1－cosA ｜－｜sinA －1｜；(A 为锐角)(2)｜cos α｜＋2)cos 1(α-.( α不锐角)解(1)：因为A 为锐角，所以0〈cosA 〈1,0〈sinA 〈1,则1－cosA 〉0，sinA －1〈0.故原式＝(1－cosA)－(1－sinA)＝sinA －cosA.(2)因为α为锐角，所以0＜cos α＜1，故原式＝cos α＋｜1－cos α｜＝cosA ＋1－cos α＝1.五、小结1.教师先提出以下问题：这两节课学习了哪些内容?哪些重要的思维方法?应注意哪些问题?2.在学生回答的基础上，教师总结出：在学习了三个主要内容(2)学习了从特殊到一般认识客观规律的基本方法.(3)应注意sinA 是一个整体符号，是比值，它随着∠A 的变化而变化.六、作业1.已知△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，AC ＝5.求sinA,cosA 的值.2.已知△ABC 中，∠C ＝90°，cosA ＝34.求sinA,sinB,cosB.3.计算：(1)sin45°·cos30°＋cos45°·sin30°；(2)1－sin260°＋cos260°.选作：已 知∠A ，∠B 均为锐角，并且sinA 是6x 2－11X ＋3＝0的根，cosB 是方程6X2－X －2＝0的根.求sin 2A ＋COS 2B 的值.(答案：95) 板书设计(略)课堂教学设计说明这份教案为两课时，讲了三个内容：正弦和余弦的定义及其两条性质.对于定义的教学，采取从特殊到一般的认识方法，让学生理解概念的形成过程，提高学 生的抽象、概括问题的能力.对于两条性质的教学，也是尽可能让学生去猜想和发现，教师再归纳总结，其目的也是培养学生发现问题的能力.为了让学生理解和掌握上述三个内容，每一个内容之后，尽可能采取标准图形、变式图形(或变式练习)、复合图形和构造基本图形相结合的方式进行讲解和练习，以达到巩固知识的目的.这份教案是根据大纲和教材要求设计的，如果学生的学习成绩较好，还可以适当增加一些难度较大的题.由于这份教案是两课时，所以板书设计由老师们自定.。

灌云县伊芦中学7.2 正弦、余弦（2）教学案
年级
九年级
学科
数学
执笔
审核
使用周次
课题
7.2 正弦、余弦（2）
课型
新授
章节
7.2.2
四
上课时间
班级
姓名
学习小组
学习
目标
求三角形中角的正弦、余弦
利用三角函数解决实际问题
重点
难点
三角函数的应用及规律探索
教 学 过 程
二次备课
一、自学：
1、知识回顾：在△ABC中,∠C=90º，
tan∠A=
二、探索活动：
1、根据正弦、余弦概念，求解：
2、通过对例2的运算，你发现在同一个三角形中，两个锐角的函数值有什么特征吗？
三、例题：
解析：
拓展：课本45页第4题。
课堂练习：
教后笔记

【正弦定理、余弦定理模拟试题】一. 选择题：1. 在∆ABC 中，a b B ===︒232245，，，则A 为（ ）A B C D ....60120603015030︒︒︒︒︒︒或或2. 在∆AB C A a B bB 中，若，则sin cos =∠=（ ） A BCD ....30456090︒︒︒︒3. 在∆ABC 中，a b c bc 222=++，则A 等于（ ）A B C D ....604512030︒︒︒︒4. 在∆ABC 中，||||()()AB BC AB BC AB BC →=→=→+→⋅→+→=+12523，，，则边||AC →等于（ ） A B C D ....5523523523--+5. 以4、5、6为边长的三角形一定是（ ）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 锐角或钝角三角形6. 在∆ABC 中，b A a B cos cos =，则三角形为（ ）A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 等腰三角形D. 等边三角形7. 在∆ABC 中，cos cos sin sin A B A B >，则∆ABC 是（ ）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 正三角形8. 三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程57602x x --=的根，则三角形的另一边长为（ ）A. 52B. 213C. 16D. 4二. 填空题：9. 在∆ABC 中，a b A B +==︒=︒126045，，，则a =_______，b =________10. 在∆ABC 中，化简b C c B cos cos +=___________11. 在∆ABC 中，已知sin :sin :sin ::A B C =654，则cosA =___________12. 在∆ABC 中，A 、B 均为锐角，且cos sin A B >，则∆ABC 是_________三. 解答题：13. 已知在∆ABC 中，∠=︒==A a c 4526，，，解此三角形。

B
在△ABC中, ∠C=90°.
A C
我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做 ∠A的正弦,记作sinA. 我们把锐角A的邻边b与斜边c的比叫做 ∠A的余弦,记作cosA.
∠A的对边 a sinA = = 斜边 c
∠A的邻边 b cosA = = 斜边 c
整合提升
1.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB 于D若AC= 5 BC=2 ， 求∠A的三角函数值和sin∠ACD的值.
AD 4 tan B . BD 3
个性展示
3. 在Rt△ABC中,∠B=900,AC=200,sinA=0.6.求: △ABC 的周长和面积
5 4 .在△ABC中，∠C=90°，sinA= 13 ，△ABC的周长
为60，求△ABC的面积。
课堂小结
锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数
例1.根据图中数据,分别求出∠A, ∠B 的正弦,余弦.
A
C
3
C
3
4 ①
B
A
4 ②
B
已知:如图, ∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D
(1)sinA ( AC ) BC (
( AB
A
)
)
C D B
CD (2)sinB ( )

(3)cosACD
(4)tanA CD (
CD (
( AC
)
, cosBCD
) , tanB (
( BC
)
)
A计算器 ,求值（精确到0.01）:
α sinα 10º 20º 30º 40º 50º 60º 70º 80º
0.17 0.34 0.5 0.87 0.64 0.77 0.77 0.64 0.87 0.5 0.94 0.34 0.98 0.17

苏科版数学九年级下册7.2《正弦、余弦》（第1课时）讲教学设计一. 教材分析苏科版数学九年级下册7.2《正弦、余弦》这一节主要介绍了正弦和余弦的概念以及它们的性质。

学生需要了解正弦和余弦的定义，掌握它们的性质，并能够运用正弦和余弦知识解决实际问题。

本节课的内容是学生学习三角函数的基础，对于学生来说具有重要的意义。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了角的度量、弧度制等知识，对于角度有一定的了解。

同时，学生还学习了锐角三角函数的概念，对于三角函数有一定的认识。

但是，学生对于正弦和余弦的性质以及运用正弦和余弦解决实际问题还比较陌生，需要教师通过实例进行讲解和引导。

三. 教学目标1.了解正弦和余弦的定义，掌握它们的性质。

2.能够运用正弦和余弦知识解决实际问题。

3.培养学生的数学思维能力，提高学生的数学素养。

四. 教学重难点1.正弦和余弦的定义。

2.正弦和余弦的性质。

3.运用正弦和余弦解决实际问题。

五. 教学方法采用问题驱动法、实例教学法、小组合作法等教学方法。

通过问题引导学生思考，通过实例让学生理解正弦和余弦的性质，通过小组合作让学生互相讨论和交流，提高学生的学习效果。

六. 教学准备1.准备正弦和余弦的实例，用于讲解和引导学生理解正弦和余弦的性质。

2.准备一些实际问题，用于巩固学生对正弦和余弦的运用。

3.准备教学PPT，用于辅助教学。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问方式引导学生回顾锐角三角函数的概念，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（10分钟）教师通过PPT呈现正弦和余弦的定义，让学生初步了解正弦和余弦的概念。

然后，通过实例讲解正弦和余弦的性质，让学生理解并掌握正弦和余弦的性质。

3.操练（10分钟）学生分组合作，利用正弦和余弦的性质解决实际问题。

教师巡回指导，为学生提供帮助。

4.巩固（10分钟）教师通过PPT呈现一些实际问题，让学生独立解决。

学生展示解题过程，教师进行点评和指导。

5.拓展（10分钟）教师引导学生思考正弦和余弦在实际生活中的应用，让学生发挥想象，提高学生的创新能力。

知2－讲
∴AD= AB2＋BD2= 3k2＋k2= 8k2=2 2k.
∴
AD 2 sinB= AB =
3k2k=232，cosB=BADB=3kk=13，
AD 2 2k tanB=BD= k =2 2.
例4 [月考·银川] 比较大小：
知2－讲
(1)cos35°_＞__cos45°，tan50°_＜__tan60°；
知2－讲
例3 如图7.2-4，在等腰三角形ABC中，AB=AC，如果 2AB=3BC，求∠B的三个三角函数值.
解题秘方：紧扣“锐角三角函数 的定义的前提是在直 角三角形中”这一特 征，用“构造直角三 角形法”求解.
特别提醒：
知2－讲
求锐角三角函数值的方法：锐角三角函数是在直
角三角形的条件下定义的，因此当题目要求某一个
∴cos2a=1－sin2a=1－12659=114649， 又∵a 为锐角，∴ 0＜cos a＜1，
5
∴
cosa
=1123，∴tana=csoinsaa=
13 5 12=12.
13
知识点 4 利用计算器计算锐角的正弦值或余弦值 知4－讲
1. 求以度为单位的锐角正弦值的一般步骤 利用计算器可求锐角的正弦值，先依次按计算器上的 键，再依次按数字键、键即可. 2. 求以度、分、秒为单位的正弦值的一般步骤求以度、分、秒
锐角的三角函数值时，先观察所要求的角是否在题
目中没有直角三角形时，就需要我们作辅助线构造
与该角有关的直角三角形.
知2－讲
解：过点A作AD⊥BC于点D，如图7.2-4， ∵AB=AC，∴BD=DC. 又∵2AB=3BC，∴.
AB 3 设AB=AC=3k(k>0)，B则CB=2C.=2k. ∴BD=CD=k，

苏科版数学九年级下册7.2《正弦、余弦》（第2课时）讲教学设计一. 教材分析苏科版数学九年级下册7.2《正弦、余弦》（第2课时）的内容主要包括正弦函数和余弦函数的定义、性质及其应用。

这部分内容是学生学习三角函数的基础，对于培养学生的数学思维能力和解决实际问题的能力具有重要意义。

在学习本节课时，学生需要掌握正弦函数和余弦函数的定义，了解它们的基本性质，并能运用它们解决一些实际问题。

二. 学情分析在学习本节课之前，学生已经学习了初中阶段的函数知识，对函数的概念和性质有一定的了解。

同时，学生通过之前的学习，已经掌握了锐角三角函数的定义和性质。

然而，对于正弦函数和余弦函数的定义和性质，学生可能还存在一定的困惑。

因此，在教学过程中，教师需要结合学生的实际情况，采用适当的教学方法，引导学生理解和掌握正弦函数和余弦函数的知识。

三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生理解正弦函数和余弦函数的定义，掌握它们的基本性质，并能运用它们解决一些实际问题。

2.过程与方法目标：通过自主学习、合作交流等方法，培养学生探究和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生学习三角函数的兴趣，培养学生的数学思维能力和创新意识。

四. 教学重难点1.重点：正弦函数和余弦函数的定义、性质及其应用。

2.难点：正弦函数和余弦函数的性质的理解和运用。

五. 教学方法1.情境教学法：通过设置一些实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探究。

2.自主学习法：鼓励学生自主学习，培养学生的独立思考能力。

3.合作交流法：学生进行小组讨论，促进学生之间的相互学习。

4.案例分析法：通过分析一些典型案例，使学生更好地理解和掌握正弦函数和余弦函数的知识。

六. 教学准备1.教学课件：制作精美的教学课件，辅助教学。

2.教学案例：收集一些与正弦函数和余弦函数相关的实际问题，用于教学实践。

3.学习资料：为学生提供一些学习资料，帮助学生巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过设置一些实际问题，引导学生回顾已学的函数知识，为新课的学习做好铺垫。

苏科版数学九年级下册7.2《正弦、余弦》（第1课时）讲说课稿一. 教材分析苏科版数学九年级下册7.2《正弦、余弦》这一课时，是在学生学习了锐角三角函数的基础上进行授课的。

本节课的主要内容是正弦和余弦的概念、性质及其应用。

通过本节课的学习，学生能够掌握正弦和余弦的定义，理解它们的性质，并能运用正弦和余弦解决一些实际问题。

教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生巩固所学知识，提高解题能力。

二. 学情分析在进入九年级下册的学习之前，学生已经掌握了锐角三角函数的相关知识，对三角函数有一定的认识。

但是，对于正弦和余弦的概念、性质及其应用，学生可能还比较陌生。

因此，在教学过程中，我需要引导学生逐步理解正弦和余弦的定义，通过举例、讲解、练习等方式，让学生逐步掌握它们的性质和应用。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解正弦和余弦的概念，掌握它们的性质，并能运用正弦和余弦解决一些实际问题。

2.过程与方法目标：通过观察、思考、讨论等方法，学生能够自主探究正弦和余弦的性质，培养学生的探究能力和合作意识。

3.情感态度与价值观目标：学生能够体验数学与实际生活的联系，增强对数学的兴趣和自信心。

四. 说教学重难点1.教学重点：正弦和余弦的概念、性质及其应用。

2.教学难点：正弦和余弦的性质的理解和运用。

五. 说教学方法与手段在本节课的教学过程中，我将采用以下教学方法与手段：1.情境教学法：通过生活实例引入正弦和余弦的概念，让学生感受数学与实际生活的联系。

2.引导发现法：在讲解正弦和余弦的性质时，引导学生观察、思考、讨论，发现其中的规律。

3.练习法：通过丰富的练习题，让学生巩固所学知识，提高解题能力。

六. 说教学过程1.导入：以生活实例引入正弦和余弦的概念，激发学生的学习兴趣。

2.新课讲解：讲解正弦和余弦的定义，通过例题和练习题，让学生掌握它们的性质。

3.课堂讨论：引导学生观察、思考、讨论正弦和余弦的性质，培养学生的探究能力和合作意识。

AB AC 10 13 65 .
cos A
12 6
C
A
sin B cos A 12 . 13
随堂练习
课堂小结
斜边
B
∠A的对边
┌
A
C
∠A的邻边
∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即
sin
A
∠A的对边 斜边
.
∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cos
第一章 直角三角 形的边角关系
第2课时 正弦、 余弦
北师·九年级数学下册
学习目标
1.理解并掌握锐角正弦、余弦的定义，并能进 行简单计算. 2.知道锐角三角函数的意义，能够进行正弦、 余弦和正切的互相转化.
复习导入ห้องสมุดไป่ตู้
BC
AC
1. 如图，Rt△ABC中，tanA = AC ，tanB= BC .
B
A
C
则 B1C1 和 B2C2 的关系是 _B_A1_BC1_1 _= _BA_2BC_22__.
AB1 AB2
C1
C2
A
思考：从上面的问题可以看出：当直角 三角形的一个锐角的大小已确定时，它 B1
的对边与斜边的比值_随__之__确___定__，根据
B2
是__三__角__形__类__似__的__性__质___.
B
cos C BC 120 0.6 AC 200
规律小结
在直角三角形中，一个锐角的
C
正弦等于另一个锐角的余弦.
在此图中，即：sinA=cosC
sinC=cosA
A
B
做一做
如图，Rt△ABC中，∠C=90°， cos A 12 ， AC=10，

（四）反思与评价
1.教师引导学生对所学知识进行反思，总结正弦、余弦函数的性质及应用。
2.学生进行自我评价，发现自身不足，明确后续学习目标。
3.教师对学生的学习过程和成果进行评价，关注学生的成长和发展，给予鼓励和指导。
本节课的教学策略旨在充分发挥学生的主体作用，引导学生主动探究、合作学习，提高学生的数学素养。通过情景创设、问题导向、小组合作、反思与评价等教学手段，激发学生的学习兴趣，培养学生的数学思维能力，促进学生的全面发展。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.利用多媒体展示生活中常见的周期性现象，如钟表走动、海浪起伏等，引导学生关注数学与现实生活的联系。
2.提出引导性问题：“这些周期性现象背后是否存在共同的数学规律？”激发学生思考和探究欲望。
3.回顾已学过的锐角三角函数知识，为学生学习正弦、余弦函数奠定基础。
（二）讲授新知
（一）情景创设
1.利用多媒体展示生活中常见的周期性现象，如钟表走动、海浪起伏等，让学生感受数学与现实生活的紧密联系。
2.设计具有挑战性的数学问题，激发学生探究欲望，引导学生主动参与到学习过程中。
3.创设轻松、愉快的学习氛围，鼓励学生大胆提问、发表见解，增强学生的自信心。
（二）问题导向
1.教师提出引导性问题，引导学生思考正弦、余弦函数的定义及性质。
3.小组合作与实践操作：在学生小组讨论环节，教师组织学生进行小组合作，分享学习心得，培养学生合作学习的习惯。同时，教师还引导学生进行实践性任务，如制作正弦、余弦函数的演示道具，增强学生的动手能力，使学生在实践中巩固所学知识。
4.反思与评价：在总结归纳环节，教师引导学生对所学知识进行反思，总结正弦、余弦函数的性质及应用。同时，学生进行自我评价，发现自身不足，明确后续学习目标。教师对学生的学习过程和成果进行评价，关注学生的成长和发展，给予鼓励和指导，使得学生在评价中不断进步。

江苏省无锡市九年级数学《正弦、余弦（1）》练习题 新人教版自助内容： 1.正弦的定义：如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，我们把锐角∠A 的对 边a 与斜边c 的比叫做∠A 的______，记作________， 即：sinA ＝________=________. 2.余弦的定义：如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°,我们把锐角∠A 的邻边b 与斜边c 的比叫做∠A 的______， 记作=_________，即：cosA =______=___ __.3．试一试：根据如图中条件，分别求出下列直角三角形中锐角．．的正弦、余弦值。

课堂流程： （一）自助反馈针对自助内容，完成：①疑难求助；②互助解疑；③补助答疑；④校对答案． （二）实践探索例1．（1）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12，BC ＝5，则sinA ＝_____，cosA ＝_____，sinB ＝_____，cosB＝_____。

（2）如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =10,sinA =53，则BC =_____。

练习：1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝1，BC ＝3，则sinA ＝_____，cosB =_______,cosA =________,sinB =_______. 2．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝9a ，AC ＝12a ，AB ＝15a ，tanB =________,cosB =______,sinB =_______3．在Rt △ABC 中，∠B =90°，AC =15,sinC =53，则AB =_____4．在Rt △ABC 中，∠C =90°，cosA =32，AC =12，则AB =_____ BC =_____例2．（1）求下列函数值（结果精确到0.0001）：sin 32°12′＝___________，cos 71°24′＝___________， tan 28°36′＝___________（2）用计算器求下列各式的值（精确到0.001）①sin 15°18′＋cos 7°30′－tan 10°2′ ②sin 48°25·cos 23°27′－tan 42°例3．观察与思考：从sin 15°，sin 30°，sin 75°的值，你们得到什么结论？ 从cos 15°，cos 30°，cos 75°的值，你们得到什么结论？归纳：当锐角α越来越大时，它的正弦值是怎样变化的？余弦值又是怎样变化的？ 应用：(1)比较大小：① sin 28° sin 30° ② cos 44° cos 46° (2)已知抛物线y =x22x 3上有三点A (cos 10°，m ),B (cos 20°，n ),C (cos 40°，p ),则m 、n 、p 的关系为（ ）A .m <n <pB .p <n <mC .m <p <nD .无法确定课后续助：一、基础类1．在Rt △ABC 中，如果各边长度都扩大3倍，则锐角A 的各个三角函数值（ ）A ．不变化B . 扩大3倍C .缩小31 D .缩小3倍2.若0°＜α＜90°，则下列说法不正确的是（ ）A .sinα随α的增大而增大B .cosα随α的增大而减小C .tanα随α的增大而增大D .sinα、cosα、tanα的值都随α的增大而增大3.根据图示填空（1）)()(sin BC AC A ==（2）ABCD )()(B sin == （3）BC BCD CD ACD )(cos ,)(cos =∠=∠ （4）)()(tan ,)()(tan ACBD B AC CD A ==== 4.比较大小：sin 30° sin 60°；cos 45° cos 60°；sin 49° sin 48° 5.用“>”，“<”或“=”表示出两个三角函数的大小关系。

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！课时练7.2正弦、余弦一、选择题1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=5,AB=13,则cos B的值为()A.513B.1213C.512D.1352.如图,在△ABC中,∠C=90°,设∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,则()A.c=b sin BB.b=c sin BC.a=b tan BD.b=c tan B3如图,在△ABC中,BD⊥AC于点D,CE⊥AB于点E,BD与CE相交于点O,则下列线段的比不能表示sin A的是()A. 剂B. 剂C. 浔 剂D. 浔4在Rt△ABC中,∠C=90°,若∠A>∠B,则下列选项正确的是()A.sin A<sin BB.cos A<cos BC.tan A<tan BD.sin A<cos A5如图,点A,B,C在正方形网格的格点上,则sin∠BAC等于()A B C D6.如图所示,☉O是△ABC的外接圆,AD是☉O的直径.若☉O的半径为32,AC=2,则sin B的值是()A.23B.32C.34D.43二、填空题7.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=24,sin A=513,则BC=.8.比较大小:(1)sin20°sin21°;(2)cos20°cos21°.9.用计算器求下列各值(精确到0.01):(1)sin24°≈;(2)sin68.25°≈;(3)cos54°≈;(4)cos38°36'≈.10在直角三角形ABC中,若2AB=AC,则cos C=.11如图,已知∠MON是一个锐角,以点O为圆心,任意长为半径画弧,分别交OM,ON于点A,B,再分别以点A,B为圆心,大于12AB的长为半径画弧,两弧交于点C,画射线OC.过点A作AD∥ON,交射线OC于点D,过点D作DE⊥OC,交ON于点E.设OA=10,DE=12,则sin∠MON=.三、解答题12求图中各直角三角形锐角的正弦、余弦值.13.如图,在△ABC中,AB=AC=2BC,AD⊥BC,垂足为D.求sin∠BAD的值.14.如图,在△ABC中,CD⊥AB,垂足为D.若AB=12,CD=6,tan A=32,求sin B+cos B的值.15如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,BC=4,AD=12,sin B=45.求:(1)线段CD的长;(2)sin∠BAC的值.16.如图所示,在平面直角坐标系内,O为原点,点A的坐标为(10,0),点B在第一象限内,BO=5,sin ∠BOA=35,求cos∠BAO的值.17.把(sinα)2记作sin2α,根据图①和图②完成下列各题.(1)sin2A1+cos2A1=,sin2A2+cos2A2=,sin2A3+cos2A3=;(2)观察上述等式猜想:在Rt△ABC中,∠C=90°,总有sin2A+cos2A=;(3)如图②,在Rt△ABC中证明(2)题中的猜想;(4)已知在△ABC中,∠A+∠B=90°,且sin A=1213,求cos A的值.参考答案1.B2.B3.B4.C.5.B6.A7.10.8.(1)<(2)>9.(1)0.41(2)0.93(3)0.59(4)0.7810或255.11.2425.12.解:(1)在Rt△ABC中,∠C=90°,由勾股定理,得BC= 2- 2=132-122=5,所以sin A= =513,cos A= =1213,sin B= =1213,cos B= =513.(2)在Rt△ABC中,∠C=90°,由勾股定理,得AB= 2+ 2=22+32=13,所以sin A= =A= =sin B= =B= =13.解:∵AB=AC,AD⊥BC,垂足为D,∴BD=12BC.∵AB=2BC,∴BD=14AB,∴sin∠BAD= 剂 =14.14.解:∵CD⊥AB,∴∠ADC=∠BDC=90°.在Rt△ACD中,CD=6,tan A= 剂 剂=32,∴AD=4,∴BD=AB-AD=12-4=8.在Rt△BCD中,BC= 剂2+ 剂2=82+62=10,∴sin B+cos B=75.15.解:(1)∵AD是BC边上的高,∴∠D=90°.在Rt△ABD中,∵sin B=45,∴ 剂 =45.又∵AD=12,∴AB=15,∴BD= 2- 剂2=152-122=9.又∵BC=4,∴CD=BD-BC=9-4=5.故线段CD的长为5.(2)如图,过点C作CE⊥AB,垂足为E.∵S△ABC=12BC·AD=12AB·CE,∴12×4×12=12×15×CE,∴CE=165.在Rt△AEC中,∴sin∠BAC= 浔 =165=1665.故sin∠BAC的值为1665.16解:过点B作BC⊥x轴,垂足为C.∴BC=3.在Rt△BOC中,由勾股定理得OC=4.∵点A的坐标为(10,0),∴OA=10,∴AC=6,∴AB= 2+ 2=62+32=35,∴cos∠BAO= =17.解:(1)111(2)1(3)证明:∵sin A= ,cos A= ,且a2+b2=c2,∴sin2A+cos2A= 2+ 2= 2+ 2 2= 2 2=1,即sin2A+cos2A=1.(4)∵在△ABC中,∠A+∠B=90°,∴∠C=90°,∴sin2A+cos2A=1,即12132+cos A2=1,解得cos A=513或cos A=-513(舍去),∴cos A= = =513.。

【答案】根据余弦定理可得：
cos A b2 c2 a2 8 8 4 3 4 3
2bc
22 2 6 2 2
∵ 0 A 180 ， ∴ A 30 ；
∴由正弦定理得： sin C c sin A
6 2 sin 30
6 2
.
a
2
4
【变式 2】在 ABC 中，已知 B 750 ， C 600 ， c 5 ，求 a 、 A .
【答案】 A 1800 (B C) 1800 (750 600 ) 450 ，
根据正弦定理
a
5
，∴ a 5
6
.
sin 45o sin 60o
3
【变式 3】在 ABC 中，已知 sin A : sin B : sin C 1: 2 : 3 ，求 a : b : c 【答案】根据正弦定理 a b c ，得 a : b : c sin A : sin B : sin C 1: 2 : 3 .
【答案】根据三角形内角和定理， C 1800 (A B) 1800 (32.00 81.80) 66.20 ；
根据正弦定理，
b
asin B sin A
42.9sin81.80 sin32.00
80.1(cm)
；
根据正弦定理，
c
asinC sin A
42.9sin 66.20 sin32.00
74.1(cm).
sin A sin B sin C
例 2．在 ABC中，b 3, B 60, c 1，求： a 和 A ， C ．
思路点拨: 先将已知条件表示在示意图形上（如图），可以确定先用正弦定理求出角 C ，然后用三角形 内角和求出角 A ，最后用正弦定理求出边 a .

2022-2023学年苏科版九年级数学下册《第7章锐角三角函数》单元达标测试题（附答案）一．选择题（共8小题，满分32分）1．在Rt△ABC中，如果各边的长度同时扩大2倍，那么锐角A的正弦值和余弦值（）A．都扩大2倍B．都缩小2倍C．都不变D．不能确定2．若∠A为锐角，且sin A＝，则cos A等于（）A．1B．C．D．3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则tan A的值是（）A．B．C．D．4．如图，在△ABC中，∠B＝45°，AD⊥BC交BC于点D，若AB＝4，tan∠CAD＝，则BC＝（）A．6B．6C．7D．75．在△ABC中，BC＝+1，∠B＝45°，∠C＝30°，则△ABC的面积为（）A．B．+1C．D．+16．如图，AB表示一条跳台滑雪赛道，在点A处测得起点B的仰角为40°，底端点C与顶端点B的距离为50米，BC⊥AC于点C，则赛道AB的长度为（）A．米B．米C．50sin40°米D．50cos40°米7．如图，河堤横断面迎水坡AB坡比是1：2，堤高BC＝4m，则坡面AB的长度是（）mA．8B．16C．4D．48．如图，在4×4网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若△ABC的顶点均是格点，则sin∠BAC的值是（）A．B．C．D．二．填空题（共8小题，满分32分）9．比较大小：tan50°tan60°．10．若（3tan A﹣）2+|2sin B﹣|＝0，则以∠A、∠B为内角的△ABC的形状是．11．如图所示的网格是正方形网格，点A，B，P是网格线交点，则tan∠P AB+tan∠PBA ＝．12．如图所示，某河提的横断面是梯形ABCD，BC∥AD，迎水坡AB长13米，且AB边的坡度为，则河堤的高BE为米．13．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，3），以点A 为圆心，AB的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点C，连接BC，则∠C的正弦值为．14．如图，∠EFG＝90°，EF＝10，OG＝17，cos∠FGO＝，则点F的坐标是．15．如图，在△ABC中，AH⊥BC于点H，在AH上取一点K，连接CK，使得∠HKC+∠HAC＝90°，在CK上取一点N，使得CN＝AC，连接BN，交AH于点M，若tan∠ABC ＝2，BN＝15，则CH的长为．16．如图，A，B，C，D均为网格图中的格点，线段AB与CD相交于点P，则∠APD的正切值为．三．解答题（共7小题，满分56分）17．计算：﹣2（1+sin60°）18．（1）在△ABC中，∠C＝90°．已知c＝8，∠A＝60°，求∠B，a，b；（2）如图，在△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，D为AC上一点，∠BDC＝45°，CD ＝6．求AD的长．19．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC＝15，tan A＝．求：（1）S△ABC；（2）∠B的余弦值．20．如图，楼房AB后有一假山CD，CD的坡度为i＝1：2，测得B与C的距离为24米，山坡坡面上E点处有一休息亭，与山脚C的距离CE＝8米，小丽从楼房房顶A处测得E的俯角为45°．（1）求点E到水平地面的距离；（2）求楼房AB的高．21．某海港南北方向上有两个海岸观测站A，B，距离为10海里．从港口出发的一艘轮船正沿北偏东30°方向匀速航行，某一时刻在观测站A，B两处分别测得此轮船正好航行到南偏东30°和北偏东75°方向上的C处．经过0.5时轮船航行到D处，此时在观测站A 处测得轮船在北偏东75°方向上，求轮船航行的速度（结果精确到0.1海里/时，参考数据：≈1.414，＝1.732）22．如图，为测量某建筑物BC的高度，采用了如下方法：先从与建筑物底端B在同一水平线上的A点出发，沿斜坡AD（坡度i＝1：2.4）行走130米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行若干米后至点E处，在E点测得该建筑物顶端C的仰角为60°，底端B 的俯角为45°，点A、B、C、D、E在同一平面内．根据测量数据，计算出建筑物BC 的高度．（参考数据：）23．阅读以下材料，并解决相应问题：在学习了直角三角形的边角关系后，我们可以继续探究任意锐角三角形的边角关系，在锐角△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c．如图1，过点A作AD⊥BC于点D，则根据定义得sin B＝，sin C＝，于是AD＝c sin B，AD＝b sin C，也就是c sin B ＝b sin C，即．同理有，，即最终得到．即在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．在锐角三角形中，若已知三个元素（至少有一条边），运用上述结论就可以求出其余三个未知元素．（1）在锐角△ABC中，若∠B＝30°，∠C＝45°，AC＝2，求AB．（2）仿照证明过程，借助图2或图3，证明和中的其中一个．参考答案一．选择题（共8小题，满分32分）1．解：∵锐角A的正弦值是对边和斜边的比，余弦值是邻边和斜边的比，∴边长同时扩大2倍对于锐角A的正弦值和余弦值没有影响，∴锐角A的正弦值和余弦值没有改变．故选：C．2．解：∵∠A为锐角，且sin A＝，∴∠A＝60°，∴cos A＝cos60°＝，故选：D．3．解：∵AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，∴tan A＝＝，故选：D．4．解：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，在Rt△ABD中，AB＝4，∠B＝45°，∴AD＝AB sin45°＝4×＝4，BD＝AB cos45°＝4×＝4，在Rt△ADC中，tan∠CAD＝，∴CD＝AD tan∠CAD＝4×＝3，∴BC＝BD+DC＝4+3＝7，故选：C．5．解：过A点作AD⊥BC于点D，∵∠B＝45°，∴∠BAD＝45°＝∠B，∴AD＝BD，设BD＝x，则AD＝x，∵∠C＝30°，∴tan C＝，∴，∵BC＝+1，∴x+x＝+1，∴x＝1，即AD＝1，∴．故选：A．6．解：在Rt△ABC中，∵∠A＝40°，BC＝50米，∴sin40°＝，∴AB＝＝米，故选：A．7．解：Rt△ABC中，BC＝4m，tan A＝1：2；∴AC＝＝8m，∴AB＝＝＝4（m）．故选：C．8．解：延长AC到D，连接BD，如图：∵AD2＝20，BD2＝5，AB2＝25，∴AD2+BD2＝AB2，∴∠ADB＝90°，∴sin∠BAC＝．故选：A．二．填空题（共8小题，满分32分）9．解：∵50°＜60°，∴tan50°＜tan60°，故答案为：＜．10．解：∵（3tan A﹣）2+|2sin B﹣|＝0，∴3tan A﹣＝0，2sin B﹣＝0，则tan A＝，sin B＝，∴∠A＝30°，∠B＝60°，∴以∠A、∠B为内角的△ABC的形状是直角三角形．故答案为：直角三角形．11．解：设小正方形的边长是a，∵tan∠P AB＝＝＝，tan∠PBA＝＝＝，∴tan∠P AB+tan∠PBA＝+＝．12．解：由已知斜坡AB的坡度，得：BE：AE＝12：5，设AE＝5x米，则BE＝12x米，在直角三角形AEB中，根据勾股定理得：132＝5x2+（12x）2，即169x2＝169，解得：x＝1或x＝﹣1（舍去），5x＝5，12x＝12即河堤高BE等于12米．故答案为：12．13．解：∵点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，3），∴BO＝3，AO＝4，∴AB＝＝5，∵以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴的负半轴于点C，∴CO＝5﹣4＝1，BC＝＝，∴sin∠C＝＝＝，故答案为：．14．解：过点F作直线F A∥OG，交y轴于点A，过点G作GH⊥F A于点H，则∠F AE＝90°，∵F A∥OG，∴∠FGO＝∠HFG．∵∠EFG＝90°，∴∠FEA+∠AFE＝90°，∠HFG+∠AFE＝90°，∴∠FEA＝∠HFG＝∠FGO，∵cos∠FGO＝，∴cos∠FEA＝，在Rt△AEF中，EF＝10，∴AE＝EF cos∠FEA＝10×＝6，∴根据勾股定理得，AF＝8，∵∠F AE＝90°，∠AOG＝90°，∠GHA＝90°，∴四边形OGHA为矩形，∴AH＝OG，∵OG＝17，∴AH＝17，∴FH＝17﹣8＝9，∵在Rt△FGH中，＝cos∠HFG＝cos∠FGO＝，∴FG＝9÷＝15，∴由勾股定理得：HG＝＝12，∴F（8，12）．故答案为：（8，12）．15．解：如图，过点N作NJ⊥BC于J．设HJ＝x．∵AH⊥BC，∴∠AHB＝∠AHC＝90°，∵tan∠ABH＝＝2，∴可以假设BH＝k，2k，∵∠HKC+∠HAC＝90°，∠HKC+∠KCH＝90°，∴∠HAC＝∠KCH，∵NJ⊥BC，∴∠AHC＝∠CJN＝90°，∴△AHC∽△CJN，∴＝＝＝2，∴CJ＝k，∴CH＝x+k，JN＝（x+k），∴tan∠NBJ＝＝，设NJ＝y，BJ＝2y，∵BN＝15，∴5y2＝152，∴y＝3，∴NJ＝3，∴CH＝2NJ＝6．16．解：连接CM，DN，由题意得：CM∥AB，∴∠APD＝∠NCD，由题意得：CN2＝12+12＝2，DN2＝32+32＝18，CD2＝22+42＝20，∴CN2+DN2＝CD2，∴△CND是直角三角形，∴tan∠NCD＝＝＝3，∴∠APD的正切值为：3，故答案为：3．三．解答题（共7小题，满分56分）17．解：原式＝﹣2（1+）＝+﹣2﹣＝﹣2．18．解：（1）∵∠C＝90°，∠A＝60°，∴∠B＝90°﹣∠A＝30°，∴b＝c＝4，∵tan A＝，∴a＝b tan A，∴a＝4×＝12；（2）∵∠C＝90，∠BDC＝45°，∴△BDC是等腰直角三角形，∴BC＝CD＝6，∵sin A＝，∴AB＝＝10，∵AC2＝AB2﹣BC2，∴AC2＝102﹣62，∴AC＝8，∴AD＝AC﹣DC＝2．19．解：（1）过点C作CD⊥AB，垂足为D，在Rt△ABC中，tan A＝＝，∴设CD＝4k，则AD＝3k，∴AC＝＝＝5k，∵AC＝15，∴5k＝15，∴k＝3，∴AD＝9，CD＝12，∴S△ABC＝AB•CD＝×15×12＝90，∴S△ABC＝90；（2）在Rt△BCD中，BD＝AB﹣AD＝15﹣9＝6，CD＝12，∴BC＝＝＝6，∴cos B＝＝＝，∴∠B的余弦值为．20．解：（1）过点E作EF⊥BC，交BC的延长线于F，∵CD的坡度i＝EF：CF＝1：2，∴设EF＝a米，则CF＝2a米，在Rt△CEF中，根据勾股定理得：CE＝＝＝a（米），∵CE＝8米，∴a＝8，∴a＝8，∴EF＝8米，CF＝2a＝16（米），∴点E到水平地面的距离为8米；（2）如图：延长FE交AG于点H，由题意得：∠HAE＝45°，AH＝BF＝BC+CF＝24+16＝40（米），AB＝FH，在Rt△AHE中，HE＝AH•tan45°＝40×1＝40（米），∴AB＝HF＝HE+EF＝40+8＝48（米），∴楼房AB的高为48米．21．解：作AE⊥CD于E，∵∠ACB＝180°﹣75°﹣30°＝75°，∴∠ABC＝∠ACB，∴AC＝AB＝10海里，∵向北的方向线是平行的，∴∠ACF＝∠CAB＝30°，∴∠ACD＝60°，∴∠CAE＝30°，∴CE＝AC＝5海里，AE＝AC＝5海里，∵∠DAC＝180°﹣75°﹣30°＝75°，∴∠DAE＝75°﹣30°＝45°，∴DE＝AE＝5海里，∴CD＝5+5≈13.66（海里），轮船航行的速度为：13.66÷＝27.3（海里/时），答：轮船航行的速度是27.3海里/时，22．解：如图，过D作DH⊥AB于H，延长DE交BC于F．则四边形DHBF是矩形，∴BF＝DH，在RtADH中，AD＝130米，DH：AH＝1：2.4，∴DH＝50（米），∴BF＝DH＝50米），在Rt△EFB中，∠BEF＝45°，∴△EFB是等腰直角三角形，∴EF＝BF＝50（米），在Rt△EFC中，∠CEF＝60°，tan∠CEF＝tan60°＝＝，∴CF＝EF＝50＝86.6（米），∴BC＝BF+CF＝136.6（米）．答：建筑物BC的高度约为136.6米．23．解：（1）根据阅读材料可知，，∵∠B＝30°，∠C＝45°，AC＝2，∴＝，∴AB＝＝2；（2）证明．理由如下：如图，连接CO并延长交⊙O于D，连接AD、BD，则∠DAC＝∠DBC＝90°，∠BAC＝∠BDC，∠ABC＝∠ADC．在Rt△ADC中，sin∠ADC＝，∴CD＝．在Rt△BDC中，sin∠BDC＝，∴CD＝，∴＝，∴＝，即在△ABC中，．。