沪教版数学九年级上册【学案】锐角的三角函数正弦与余弦

沪科版数学九年级上册23.1《锐角的三角函数》教学设计2一. 教材分析《锐角的三角函数》是沪科版数学九年级上册第23.1节的内容。

本节主要介绍锐角三角函数的定义及性质，包括正弦、余弦、正切函数。

这部分内容是学生对三角函数的初步认识，为后续学习三角函数的图像和性质打下基础。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了代数、几何等基础知识，具备一定的逻辑思维能力和探究能力。

但是，对于三角函数这一概念，学生可能较为陌生，需要通过实例和操作来加深理解。

三. 教学目标1.理解锐角三角函数的定义及性质；2.能够运用锐角三角函数解决简单问题；3.培养学生的合作探究能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.重点：锐角三角函数的定义及性质；2.难点：理解三角函数的概念，并能运用解决实际问题。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生探究锐角三角函数的定义及性质；2.运用多媒体辅助教学，直观展示三角函数的图像；3.采用合作学习法，鼓励学生分组讨论，共同解决问题。

六. 教学准备1.多媒体教学设备；2.相关教案、课件；3.练习题及答案。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示生活中常见的三角函数实例，如建筑物的倾斜角度、运动员投篮的抛物线等，引导学生思考：这些现象与数学中的三角函数有何关系？2.呈现（10分钟）介绍锐角三角函数的定义及性质，包括正弦、余弦、正切函数。

通过示例和讲解，使学生初步理解三角函数的概念。

3.操练（10分钟）学生分组讨论，运用三角函数解决实际问题。

教师巡回指导，解答学生疑问。

4.巩固（10分钟）出示练习题，让学生独立完成。

教师选取部分答案进行讲解，巩固所学知识。

5.拓展（10分钟）引导学生思考：三角函数在实际生活中的应用有哪些？如何运用三角函数解决复杂问题？6.小结（5分钟）总结本节课所学内容，强调锐角三角函数的定义及性质。

7.家庭作业（5分钟）布置适量作业，让学生巩固所学知识。

8.板书（5分钟）绘制三角函数的图像，展示关键知识点。

锐角的三角函数——正弦与余弦教课目的【知识与技术】认识锐角三角函数的观点, 可以正确应用 sinA 、cosA 表示直角三角形中两边的比 .【过程与方法】经过锐角三角函数的学习进一步认识函数 , 领会函数的变化与对应的思想 , 领会数学在解决实质问题中的应用 .【感情、态度与价值观】1.经过学习培育学生的合作意识 .2.经过研究提升学生学习数学的兴趣 .要点难点【要点】锐角三角函数的观点【难点】锐角三角函数观点的理解.教课过程一、创建情境 , 导入新知师：前方我们学过在一个直角三角形中，假如一个锐角等于30o，那么这个角的对边与斜边的比值都等于如图，随意画一个o o，计算∠ A 的对边与斜边的比，Rt△ABC，使∠ C=90，∠A=45能获得什么结论？生：由勾股定理得，故结论：在一个直角三角形中，假如一个锐角等于45o，那么不论三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于师：回答的很对，一般地，当∠A取其余必定度数的锐角时，它的对边与斜边的比能否也是一个固定值？二、共同研究 , 获得新知教师多媒体课件出示 :师: 在这个图中 , 这些直角三角形都是相像的 , 当锐角 A 的大小确立后 , 不单∠A 的对边与邻边的比随之确立 , 还有一些量也是确立的 , 你知道还有哪些量也是确立的吗 ?学生思虑、沟通 .教师提示 : 还有哪两条边的比值也是确立的 ?生甲 : ∠ A的对边与斜边的比值也是确立的 .生乙 : 邻边与斜边的比值也是确立的 .师: 对.教师画一个图形 :师: 在这个直角三角形 ABC中, 我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠ A 的正弦 , 记作 sinA, 即 sinA===. 锐角 A 的邻边与斜边的比叫做∠ A 的余弦 , 记作 cosA,即 cosA===.锐角 A 的正弦、余弦、正切称为锐角 A 的三角函数 . 我们介绍了正弦、余弦 , 下边我们经过详细的实例加深对这些函数的印象 .三、举例应用 , 稳固新知老师多媒体课件出示 :【例 1】如图 , 在 Rt △ABC中, 两直角边 AC=12,BC=5求.∠ A 的各个三角函数值 .师: 要求这三个三角函数的值, 需要知道几条边的长 ?生: 三条.师: 此刻已知了哪几条边的长?生:AC、 BC两条边的长 .师: 那么我们需要求什么才能求出三个三角函数的值?生: 还要求出 AB的长 .师: 如何求呢 ?生: 用勾股定理 .师: 很好 ! 此刻请同学们求出AB的长 , 并进一步求出∠ A 的各个三角函数的值 .学生做题 .师: 请同学们将你的步骤和结果与课本上的解答相对比 , 对不正确的地方加以纠正 .学生比较 .教师多媒体课件出示 :【例 2】如图 , 在平面直角坐标系内有一点P(3,4), 连结 OP.求 OP与 x 轴正方向所夹锐角α的各个三角函数 .教师读题 , 学生思虑 .师: 从前是在直角三角形中 , 用直角三角形的边长之比求三角函数的 , 此刻没有直角三角形怎么办 ?学生思虑 .生: 作协助线 .师: 如何作 ?生: 过点 P 向 x 轴作垂线 , 垂足为 Q.这样在直角三角形 OPQ中求角α的三角函数值就行了 .师: 很好 ! 作出这样的协助线就方便了 , 就变为了我们从前碰到过的种类 , 同学们能求出吗 ?生: 能.师: 好! 此刻请同学们画出协助线, 并求出角α的三角函数值 .学生作图 , 计算 .师: 请同学们将结果与课本上的解答比较, 加以修正 .学生比较 , 修正 .四、练习新知师: 请同学们看课本第116 页练习的第 1、2 题.学生看题 .教师找两生疏别板操练习第1、2 题, 其余同学在下边做 , 而后集体校正。

23．1 锐角的三角函数1．锐角的三角函数目标导航1、经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系。

2、能够用tanA 表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，外能够用正切进行简单的计算。

3、体验数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题.提高解决实际问题的能力。

4、体会解决问题的策略的多样性，发展实践能力和创新精神。

【实例讲解】［例1］如图是甲，乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡?分析：本题中就用到坡度的知识，坡度是坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度（或坡比）tanA 的值越大，梯子越陡；反过来，梯子越陡，tanA 的值越大.sinA 的值越大，梯子越陡；cosA 的值越小，梯子越陡；所以本题应先求出甲、乙两个图的坡度。

解：甲梯中， tanα=125513522=-=∠∠的邻边的对边αα.乙梯中， tanβ=4386==∠∠的邻边的对边ββ.因为tanβ＞tanα，所以乙梯更陡.［例2］如图在Rt △ABC 中，∠B=90°，AC ＝200.sinA ＝0.6，求BC 的长.分析：本题用到直角三角形中的正弦的定义，∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正弦(sine)，记作sinA ，即sinA ＝斜边的对边A ∠解：在Rt △ABC 中， ∵ sinA ＝ACBC， 即sinA ＝ACBC＝0.6， ∴BC ＝200×0.6=120.［例3］在等腰三角形ABC 中，AB=AC ＝5，BC=6， 求sinB ，cosB ，tanB.分析：要求sinB ，cosB ，tanB ，先要构造∠B 所在的直角三角形.根据等腰三角形“三线合一”的性质， 可过A 作AD ⊥BC ，D 为垂足.解：过A 作AD ⊥BC ，D 为垂足。

∴AB=AC ，∴BD=DC=21BC=3. 在Rt △ABD 中，AB ＝5，BD=3， ∴AD ＝4. sinB ＝54=AB AD cosB ＝53=AB BD ，［例4］如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，D 是BC 边上一点，AC =2，CD =1，设 ∠CAD =α.(1)求sin α、cos α、tan α的值；(2)若∠B =∠CAD ，求BD 的长.A B C Dα分析：本题就要用到勾股定理，先求得AD 的长，就可以求出α的三角函数值。

沪科版数学九年级上册《正弦和余弦》教学设计2一. 教材分析《正弦和余弦》是沪科版数学九年级上册的一个重要内容，主要介绍了正弦和余弦的概念、性质及其在实际问题中的应用。

本节课的内容是在学生已经掌握了锐角三角函数的基础上进行的，是初中的难点之一。

教材通过丰富的例题和习题，帮助学生理解和掌握正弦和余弦的概念，培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于锐角三角函数的概念和性质有一定的了解。

但是，正弦和余弦的概念较为抽象，学生理解和掌握起来有一定的难度。

因此，在教学过程中，需要教师通过生动的实例和具体的操作，帮助学生理解和掌握正弦和余弦的概念，并能够运用到实际问题中。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解和掌握正弦和余弦的概念，能够熟练运用正弦和余弦解决实际问题。

2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等过程，培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和积极进取的精神。

四. 教学重难点1.重点：正弦和余弦的概念及其在实际问题中的应用。

2.难点：正弦和余弦的性质和公式的运用。

五. 教学方法1.情境教学法：通过设置具体的问题情境，引导学生观察、思考和解决实际问题。

2.合作学习法：学生进行小组讨论和合作，培养学生的团队合作意识和沟通能力。

3.激励评价法：注重对学生的过程性评价，激发学生的学习兴趣和自信心。

六. 教学准备1.教师准备：熟悉教材内容，了解学生的学习情况，准备相关的教学材料和教具。

2.学生准备：预习相关内容，了解正弦和余弦的概念，准备参与课堂讨论和练习。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过设置一个实际问题，引导学生思考和讨论，引出正弦和余弦的概念。

例如：在直角三角形中，角A的对边与邻边的比值叫做角A的正弦，用符号sinA表示。

2.呈现（10分钟）教师通过PPT或者黑板，呈现正弦和余弦的定义和性质，引导学生观察和思考。

23.1锐角三角函数（第2课时）【教学目标】1、理解正弦和余弦的意义，能够用sinA、cosA表示直角三角形中两边的比。

2、了解直角三角形中锐角三角函数的概念，3、会求锐角的三角函数值。

【教学重点】理解正弦、余弦的意义．会求锐角的三角函数值。

【教学难点】构造直角三角形，求出锐角的三角函数值．【教学过程】一、回顾交流，迁移导入问题：下图是两个不同商场的自动扶梯，依据图形数据探讨下列问题．（1）哪一个自动扶梯陡？为什么？（2）甲、乙两个自动扶梯的倾斜程度是通过什么数学公式计算的？（3）如图（甲），当Rt△ABC中的锐角∠ABC确定时，∠ABC•的对边与邻边的比便随之确定，此时其他边之间的比确定吗？二、新课1、正弦、余弦定义在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与斜边的比，邻边与斜边之比也就确定．（注意引导学生类比正切的定义，得出正、余弦定义）正弦定义：在Rt△ABC中，∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sin=.A BC aAAB c∠==的对边斜边余弦定义：在Rt△ABC中，∠A的邻边与斜边的比叫做∠A CA∠A的邻边b∠A的对边aB斜边c的余弦，记作cosA ，即cos =.A AC b A AB c∠==的邻边斜边 2、三角函数 锐角∠A 的正弦、余斜、正切、余切，统称为锐角∠A 的三角函数。

注意：①引导学生体会对于锐角A 的每个确定的值，sinA 有唯一确定的值与它对应，所以sinA 是锐角A 的函数。

同样地，cosA 、tanA 也是锐角A 的函数。

②引导学生从定义得到锐角的三角函数值都是正实数，而且0<sinA<1，0<cosA<1．三、例题例1 、（课本P115例2）在Rt △ABC 中，两直角边AC=12，BC=5，求∠A 的各个三角函数值。

巩固练习：（课本P116练习1）在Rt △ABC 中,∠C ＝90°，AB=10，AC=6.求sinA 、cosA 、tanA 、sinB 、cosB 、tanB 。

锐角三角函数教学目标1．知识与技能．理解锐角三角函数中的正弦、余弦的概念，并能够举例说明．2．过程与方法．经历探索正弦、余弦概念的过程，掌握运用sinA、cosA表示直角边的比．3．情感、态度与价值观．培养良好的数形结合的能力，体会三角函数在现实生活中的应用价值．教学重点与难点1．重点：理解正弦、余弦的概念．2．难点：怎样运用已学过的正余切，以及正余弦概念解决实际问题． 3．关键：要注意正切、余切、正弦、余弦的特性，把握应用的方法．教学过程一、回顾交流，迁移导入1．专题讨论．（投影显示）问题牵引1：下图是两个不同商场的自动扶梯，依据图形数据探讨下列问题．（1）哪一个自动扶梯陡？为什么？（2）甲、乙两个自动扶梯的倾斜程度是通过什么数学公式计算的？（3）如图（甲），当Rt△ABC中的锐角∠ABC确定时，∠ABC•的对边与邻边的比便随之确定，此时其他边之间的比确定吗？教师活动：操作投影仪，显示“问题牵引”，组织学生讨论．学生活动：四人小组讨论，交流解决方法，上讲台演示．思路点拨：问题（1）的解决方法是通过计算∠ABC和∠DEF的正切值来比较，tan∠ABC>tan∠DEF，因此，甲梯较乙梯陡．这道题复习了正切的概念．问题（2）•实际上是在问题（1）的基础上进一步明确倾斜程度是正切定义来确定的，即斜面的铅直高度与水平宽度的比．问题（3），在锐角∠ABC的三角函数概念中，如图甲∠ABC是自变量，•其取值范围是0°<∠ABC<90°，三个比值是因变量，当∠ABC确定时，三个比值分别唯一确定，当∠ABC 变化时，三个比值也分别有唯一确定的值与之对应．答案：（1）甲梯中：tan∠ABC=2，乙梯中，tan∠DEF=7tan∠ABC>tan∠DEF，•所以甲梯更陡．（2）甲、乙两梯的倾斜程度分别为2：17，（3）略．2．发展认知．在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与斜边的比，邻边与斜边之比也就确定．斜边∠A的邻边∠A的对边BA正弦定义：∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA=A∠的对边斜边余弦定义：∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA=A∠的邻边斜边评析：锐角∠A的正弦、余斜、正切、余切，统称为锐角∠A的三角函数，这些函数值都是正实数，而且0<sinA<1，0<cosA<1．定义拓展：sin2A+cos2A=1，tanA·cosA=1．二、激情促思，多种思维教师提问：请同学们思考：梯子的倾斜程度与sinA和cosA有关吗？学生活动：与同桌交流，得出探究思路：思路1：甲梯中，sin∠==；乙梯中，sin∠DEF=10由于sin ∠ABC>sin ∠DEF ，因此，甲梯较乙校更陡． 规律：sinA 的值越大，梯子越陡． 思路2：甲梯中，cos ∠乙梯中，cos ∠DEF=710． 由于cos ∠ABC<cos ∠DEF ，因此甲梯较乙梯更陡． 规律：cosA 的值越小，梯子越陡．评析：从理论上来讲，正弦和余弦都可以用来刻画梯子的倾斜程度，但是，一般情况下还是使用正切最好． 三、范例学习，类比领悟 1．例1：见课本2．例2：如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=200，sinA=0.6，求BC 的长．思路点拨：可以从sinA=0.6，找到解题途径，由于定义sinA=BCAC，又因为AC=200，可以求出BC 的值．CBA教师板书：在Rt △ABC 中， ∵sina=BC AC =200BC=0.6， ∴BC=200×0.6=120．学生活动：参与例2分析，探讨不同解法，上台演示． 学生板书：在Rt △ABC 中， ∵sinA=0.6=35， ∴可以设BC=3x ，AC=5x ，由于AC=200，因此5x=200，x=40． ∴BC=120．评析：例2中的解法一是运用正弦定义求对边长度，而解法二也是一种常见的方法，引入参数x，将比值转化成具体的线段（舍x），再运用已知量求解．四、丰富联想，拓展延伸问题牵引2：在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=1213，Ac=10，求AB；sinB的值．思路点拨：首先应用余弦定义cosA=ACAB，又因为AC=100，cosA=1213，建立等式10 AB =1213，•可求出AB的值，再应用正弦定义sinB=ACAB，求出si nB值，sinB=1213．学生活动：先独立思考，再与同伴交流，在解题中探寻规律．教师活动：帮助学生归纳“正、余弦”互化公式．sin（90°-A）=cosAcos（90°-A）=sinA．评析：在有关三角函数计算的某些习题中，常常遇到三角函数的互化，实现这种转化，需要灵活运用上述几个公式．五、随堂练习，巩固深化1．课本练习第1、2、3题．2．探研时空．直角三角形的一条直角边为8cm，这条直角边所对锐角的余弦是方程5x+7x-•6=0的两个根，求出这个三角形的斜边长．（10cm）六、课堂总结，提高认识1．正弦和余弦的概念是什么？（学生回答）2．正弦、余弦、正切、余切这四个三角函数在定义上有哪些异同点？•（学生回答）教师归纳：上述四个定义把锐角三角函数值与图形融合在一起，充分体现了数形结合的思想，这里角是图形，边的比是数值．锐角A•的任一三角函数值可以是实数，这个数值的大小不仅由锐角A的大小确定，而且与直角三角形大小无关，•角与边的比是一一对应．七、课后反馈1．如图，在△ABC中，∠C=90°，sinA=34，则tanA=_____，cosA=_____．CBA2．在△ABC 中，∠C=90，则cotB=________． 3．在△ABC 中，∠C=90°，tanA=0.85，b=4，则a=______．4．汽车在坡度为1：7的斜坡路上行进200米，则它垂直上升了____米． 5．在△ABC 中，∠C=90°，C=16，，则△ABC 面积（ ） A ．．．64 D ．32 6．菱形ABCD 中，对角线AC=24，BD=10，则sintan 22B C等于（ ） A ．1.cos.sin .tan 22tan2D D B C DD A7．方程4x 2-2（m+1）x+m=0的两个根恰好是一个直角三角形的两个锐角的余弦，•那么这时的m 值应取多少呢？8．如图，甲城市气象台测得台风中心在甲城正东300•千米时，•以每小时26.5千米的速度向北偏西60°的BF 方向移动，距台风中心200米范围内将受到台风影响，请问甲城市是否会受到台风影响？为什么？甲北OF B。

沪科版数学九年级上册《正弦和余弦》教学设计3一. 教材分析《正弦和余弦》是沪科版数学九年级上册的教学内容，这部分内容是在学生已经掌握了锐角三角函数的基础上进行学习的。

教材通过引入正弦和余弦的概念，使学生能够更好地理解直角三角形的性质，并能运用正弦和余弦解决实际问题。

本节课的内容对于学生来说是比较抽象的，因此需要教师在教学过程中给予充分的引导和帮助。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对锐角三角函数有一定的了解。

但是，对于正弦和余弦的概念以及它们的性质和运用可能还不够清晰。

因此，在教学过程中，需要教师关注学生的认知水平，通过合理的教学设计，帮助学生理解和掌握正弦和余弦的概念和性质。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解和掌握正弦和余弦的概念，能够运用正弦和余弦解决实际问题。

2.过程与方法：通过观察、实验、探究等方法，培养学生的动手能力和思维能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和自主学习能力。

四. 教学重难点1.重点：正弦和余弦的概念及其性质。

2.难点：正弦和余弦在实际问题中的应用。

五. 教学方法1.引导法：通过问题引导学生思考，激发学生的学习兴趣。

2.互动法：通过小组讨论、实验等活动，促进学生之间的交流与合作。

3.示例法：通过具体的例子，使学生更好地理解和掌握正弦和余弦的概念和性质。

六. 教学准备1.教学PPT：制作相关的教学PPT，以便在课堂上进行展示和讲解。

2.实验材料：准备一些直角三角形、量角器等实验材料，以便学生在课堂上进行实验和观察。

3.练习题：准备一些相关的练习题，以便学生在课堂上进行操练和巩固。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问的方式，引导学生回顾锐角三角函数的概念，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（10分钟）教师通过PPT展示正弦和余弦的定义，让学生观察和思考，引导学生自己总结出正弦和余弦的概念。

3.操练（10分钟）学生分组进行实验，用量角器测量直角三角形的角度，计算正弦和余弦的值，从而加深对正弦和余弦概念的理解。

锐角的三角函数教学目标1．理解锐角三角函数(sin A，cos A，tan A)的定义．2．会求直角三角形中各锐角的三角函数值．3．了解坡度、坡角的定义，掌握坡度、坡角与三角函数之间的关系．教学重难点正切、正弦、余弦函数的概念及其应用；使学生知道当锐角固定时，它的对边、邻边与斜边的比值是固定值．教学过程导入新课杂志上有过这样的一篇报道：始建于1350年的意大利比萨斜塔落成时就已经倾斜.1972年比萨发生地震，这座高54.5 m的斜塔大幅度摇摆22分之多，仍巍然屹立．可是，塔顶中心点偏离垂直中心线的距离已由落成时的2.1 m增加至5.2 m，而且还以每年倾斜1 cm的速度继续增加，随时都有倒塌的危险．为此，意大利当局从1990年起对斜塔进行维修纠偏，2001年竣工，使塔顶中心点偏离垂直中心线的距离比纠偏前减少了43.8 cm.根据上面的这段报道中，“塔顶中心点偏离垂直中心线的距离已由落成时的2.1 m增加至5.2 m”这句话你是怎样理解的，它能用来描述比萨斜塔的倾斜程度吗？这个问题涉及到锐角三角函数的知识．学过本章之后，你就可以轻松地解答这个问题了！推进新课一、合作探究1．问题引入梯子是我们日常生活中常见的物体，你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？学生交流：如可用角的大小，梯子斜靠墙的高度等．给学生以发表意见的机会，教师予以引导．【问题1】探究梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？请说出你的判断方法？学生可由铅直高度相等，水平长度不同进行判断．【问题2】当水平长度和铅直高度都不相等时，又如何判断呢？设计意图：引发学生的争论，激发学生的求知欲．从而教师可提出能否用铅直高度与水平长度的比值进行衡量呢？【问题3】 如图，小明想通过测量B 1C 1及AC 1，算出它们的比，来说明梯子AB 1的倾斜程度；而小亮则认为，通过测量B 2C 2及AC 2，算出它们的比，也能说明梯子AB 1的倾斜程度．你同意小亮的看法吗？【问题4】 如图，在锐角A 的一边上任取一点B ，自点B 向另一边作垂线，垂足为C ，得到Rt△ABC ；再任取一点B 1，自点B 1向另一边作垂线，垂足为C 1，得到Rt△AB 1C 1……，这样，我们可以得到无数个直角三角形．在这些直角三角形中，锐角A 的对边与邻边之比BCAC，B 1C 1AC 1，B 2C 2AC 2……有怎样的关系？引导学生独立证明：易知，BC ∥B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3∥…， ∴△ABC ∽△AB 1C 1∽△AB 2C 2∽△AB 3C 3∽…， ∴BC AC ＝B 1C 1AC 1＝B 2C 2AC 2＝….因此，在这些直角三角形中，∠A 的对边与邻边的比值是一个固定值．通过引导，使学生自己独立掌握了重点，达到教学目标，同时培养学生的能力，进行了德育渗透．2．正切函数概念的提出在日常生活和数学活动中，上面所得出的结论是非常有用的．为了叙述方便，作出如下规定：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，我们把锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tan A ，即tan A=A aA b∠=∠的对边的邻边.注意：正切的定义是在直角三角形中，相对其锐角而定义的，实质是两条线段长度的比，它只是一个数值，没有单位，其大小只与角的大小有关，与三角形的大小无关．3．坡度和坡角对于问题2中“当水平长度和铅直高度都不相等时，判断坡度的大小”，你现在能判断了吗？结合图形，教师讲述坡度概念，并板书：坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度(或叫做坡比)，一般用i 表示，即i ＝hl，把坡面与水平面的夹角α叫做坡角(或称倾斜角)．引导学生结合图形思考，坡度i 与坡角α之间具有什么关系？ 答：i ＝h l＝tan α. 4．正弦、余弦的概念我们知道，在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，当锐角A 确定时，∠A 的对边与邻边的比就随之确定了．问：其他边之间的比是否也确定了呢？为什么？ 教师引导学生自己作出结论，其证明方法与上面证明对边比邻边为定值的方法相同，都是通过两个三角形相似来证明．学生证明过后教师进行总结：类似于正切的情况，当锐角A 的大小确定时，∠A 的对边与斜边的比、∠A 的邻边与斜边的比也分别是确定的．正弦：我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sin A ，即sin A ＝∠A 的对边斜边＝a c.余弦：我们把锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cos A ，即cos A ＝∠A 的邻边斜边＝b c.锐角三角函数：锐角A 的正弦、余弦、正切都叫做∠A 的锐角三角函数．对于锐角A 的每一个确定的值，sin A 有唯一确定的值与它对应，所以sin A 是A 的函数．同样地，cos A ，tan A 也是A 的函数．二、巩固提高如图，在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝6，sin A ＝35，求cos A ，tan B 的值．分析：我们已经知道了直角三角形中一条直角边的值，要求余弦值、正切值，就要求斜边与另一条直角边的值．我们可以通过已知角的正弦值与对边值及勾股定理来求．解：sin A ＝BCAB， ∴AB ＝BCsin A ＝6×53＝10. 又∵AC ＝AB 2－BC 2＝102－62＝8，∴cos A ＝AC AB ＝45，tan B ＝AC BC ＝43.三、达标训练 1．如图，菱形ABCD 中，对角线AC ＝6，BD ＝8，∠ABD ＝α，则下列结论中正确的是( )．A ．s in α＝45B ．cos α＝35C ．tan α＝43D ．tan α＝342．在R t△ABC 中，各边长度都同时缩小为原来的一半，则锐角A 的余弦值和正切值( )．A ．都扩大2倍B ．都缩小一半C ．都不变D ．正切值扩大2倍，余弦值缩小一半3．一段坡面的坡角为60°，则坡度i ＝_____________________.4．已知直角三角形中较长的直角边长为30，这边所对角的余弦值为817，则此三角形的周长为__________，面积为__________．本课小结1．在直角三角形中，当锐角A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A 的对边与斜边的比都是一个固定值．2．能利用锐角三角函数的概念求锐角三角函数值，或利用锐角三角函数值求边的长度． 3．对锐角三角函数概念的理解要准确，不要混淆正弦函数、余弦函数和正切函数，特别是正弦函数和余弦函数易混淆，正弦函数是对边比斜边，而不是邻边比斜边(余弦).1．对三角函数概念的理解(1)正切、正弦、余弦的定义是在直角三角形中，相对其锐角而定义的，其本质是两条线段长度的比，它只是一个数值，没有单位，其大小只与角的大小有关，与三角形的大小无关．(2)在直角三角形中，斜边大于直角边，且各边长均为正数，所以有如下结论：tan A ＞0,0＜sin A ＜1，0＜cos A ＜1.(3)“tan A”“sin A”“cos A”都是整体符号，不能写成“tan ·A”“sin ·A”“cos ·A”，对于用三个大写字母，如∠AOB ，应写成“tan∠AOB”“sin∠AOB”“cos∠AOB”．(4)由tan A ＝ab ，sin A ＝ac ，cos A ＝b c，变形可以得到a ＝b ·tan A，a ＝c ·sin A，b ＝c ·cos A，或者b ＝a tan A ，c ＝a sin A ，c ＝bcos A .(5)(sin A)2常写成sin 2A ，不能写成sin A 2. 2．三角函数的产生和发展三角学开创之初，希腊人思考的是定圆各中心角所对应的弦长．如托勒密把圆心角分成360份，把直径分为120份，然后对圆心角求对应弦的长．而印度人则不同，他们研究一个角的倍角所对弦的一半，即角对应的半弦长.1631年邓玉函、汤若望和徐光启编译的《大测》一书，将sin us 译成正半弦或前半弦，简称正弦，此即为我国正弦一词的来源．正弦、余弦的现代定义起源于欧拉．正弦和余弦的符号也是经过长期的发展才成为我们现在所看到的这样．数学家毛罗利科早在1558年就已采用三角函数符号，但当时并无函数的概念，于是只称作三角线.1753年，生于瑞士的欧拉开始使用sin 和cos 表示正弦和余弦，这两个符号才算基本定型．公元727年，唐朝卓越的天文学家、高僧一行受唐玄宗之命撰写《大衍历》．为了求得全国任何一地方一年中各节气的日影长度，一行编出了太阳天顶距和八尺之竿的日影长度对应表，而太阳天顶距和日影长度的关系即为正切函数．希腊科学家海伦在计算正多边形面积时，就已经用到了余切三角函数值了．3．一般三角形中正弦函数的应用在锐角△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ，b ，c .过A 作AD ⊥BC 于D ，如图，则sin B=AD c ，sin C=AD b ，即AD=c sin B ，AD=b sin C ．于是c sin B=b sin C ，即sin sin b cB C.同理有sin sin c a C A =，sin sin a bA B =. 所以sin sin sin a b c A B C==.(*) 即在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等． 解决以下问题：在锐角三角形中，若已知三个元素a ，b ，∠A，运用上述结论(*)和有关定理就可以求出其余三个未知元素c ，∠B，∠C，请你按照下列步骤填空，完成求解过程：第一步：由条件a ，b ，∠A――――→用关系式__________――→求出∠B；第二步：由条件∠A，∠B――――→用关系式__________――→求出∠C；第三步：由条件__________――――→用关系式__________――→求出c .分析：灵活运用结论a sin A ＝b sin B ＝csin C .解：第一步：∵a sin A ＝b sin B ，∴sin B＝bsin Aa.第二步：∵∠A＋∠B＋∠C＝180°， ∴∠C＝180°－(∠A＋∠B)．第三步：a ，∠A，∠C 或b ，∠B，∠C，c sin C ＝a sin A 或b sin B ＝csin C.奥赛链接如图，沿AE 折叠矩形纸片ABCD ，使点D 落在BC 边的点F 处，已知AB ＝8，BC ＝10，则tan∠EFC 的值为( )．A ．34B ．43C ．35D ．45 解析：AF ＝AD ＝10，∴BF＝102－82＝6.又∵∠AFE＝∠D＝90°， ∴∠AFB＋∠EFC＝90°. ∴∠BAF＝∠EFC．∴tan∠EFC＝tan∠BAF＝BF AB ＝68＝34.答案：A。

沪科版数学九年级上册23.1《锐角的三角函数》教学设计4一. 教材分析《锐角的三角函数》是沪科版数学九年级上册第23.1节的内容。

本节主要介绍了锐角三角函数的定义及应用。

通过本节的学习，学生能够理解锐角三角函数的概念，掌握锐角三角函数的计算方法，并能够运用锐角三角函数解决实际问题。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了三角函数的基础知识，对函数的概念和性质有一定的了解。

但是，对于锐角三角函数的具体定义和应用，学生可能还比较陌生。

因此，在教学过程中，需要引导学生从实际问题出发，逐步理解和掌握锐角三角函数的概念和计算方法。

三. 教学目标1.了解锐角三角函数的定义及计算方法。

2.能够运用锐角三角函数解决实际问题。

3.培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.锐角三角函数的定义及计算方法。

2.运用锐角三角函数解决实际问题。

五. 教学方法1.情境教学法：通过设置实际问题，引导学生从实际问题中抽象出锐角三角函数的概念。

2.案例教学法：通过具体的案例，讲解和演示锐角三角函数的计算方法。

3.小组合作学习：学生分组讨论和解决问题，培养学生的合作意识和团队精神。

六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示锐角三角函数的定义和计算方法。

2.案例材料：准备一些实际的案例，用于讲解和演示锐角三角函数的应用。

3.练习题：准备一些练习题，用于巩固学生的学习成果。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一些实际的例子，如建筑物的角度测量、滑翔机的起飞角度等，引导学生思考这些例子与三角函数的关系，从而引出锐角三角函数的概念。

2.呈现（10分钟）讲解锐角三角函数的定义和计算方法，引导学生从实际问题中抽象出锐角三角函数的概念。

3.操练（10分钟）学生分组讨论和解决一些实际的案例，如滑翔机的起飞角度问题、房屋建筑的倾斜度问题等，巩固学生对锐角三角函数的理解和应用。

4.巩固（10分钟）学生独立完成一些练习题，检测学生对锐角三角函数的掌握程度。