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现代控制理论知识点汇总Revised at 2 pm on December 25, 2020.第一章 控制系统的状态空间表达式１． 状态空间表达式 n 阶DuCx y Bu Ax x+=+= 1:⨯r u 1:⨯m y n n A ⨯: r n B ⨯: n m C ⨯:r m D ⨯:A 称为系统矩阵，描述系统内部状态之间的联系；Ｂ为输入（或控制）矩阵，表示输入对每个状态变量的作用情况；C 输出矩阵，表示输出与每个状态变量间的组成关系，Ｄ直接传递矩阵，表示输入对输出的直接传递关系。
２． 状态空间描述的特点①考虑了“输入－状态－输出”这一过程，它揭示了问题的本质，即输入引起了状态的变化，而状态决定了输出。
②状态方程和输出方程都是运动方程。
③状态变量个数等于系统包含的独立贮能元件的个数，n 阶系统有n 个状态变量可以选择。
④状态变量的选择不唯一。
⑤从便于控制系统的构成来说，把状态变量选为可测量或可观察的量更为合适。
⑥建立状态空间描述的步骤：a 选择状态变量；b 列写微分方程并化为状态变量的一阶微分方程组；c 将一阶微分方程组化为向量矩阵形式，即为状态空间描述。
⑦状态空间分析法是时域内的一种矩阵运算方法，特别适合于用计算机计算。
３． 模拟结构图（积分器 加法器 比例器）已知状态空间描述，绘制模拟结构图的步骤：积分器的数目应等于状态变量数，将他们画在适当的位置，每个积分器的输出表示相应的某个状态变量，然后根据状态空间表达式画出相应的加法器和比例器，最后用箭头将这些元件连接起来。
４． 状态空间表达式的建立① 由系统框图建立状态空间表达式：a 将各个环节（放大、积分、惯性等）变成相应的模拟结构图；b 每个积分器的输出选作i x ，输入则为i x；c 由模拟图写出状态方程和输出方程。
② 由系统的机理出发建立状态空间表达式：如电路系统。
通常选电容上的电压和电感上的电流作为状态变量。
利用KVL 和KCL 列微分方程，整理。
第2章 “控制系统的状态空间描述”习题解答2.1有电路如图P2.1所示，设输入为1u ，输出为2u ，试自选状态变量并列写出其状态空间表达式。
图P2.1解 此题可采样机理分析法，首先根据电路定律列写微分方程，再选择状态变量，求得相应的系统状态空间表达式。
也可以先由电路图求得系统传递函数，再由传递函数求得系统状态空间表达式。
这里采样机理分析法。
设1C 两端电压为1c u ，2C 两端的电压为2c u ，则212221c c c du u C R u u dt++= (1) 112121c c c du u duC C dt R dt+= (2) 选择状态变量为11c x u =，22c x u =，由式(1)和(2)得：1121121121212111c c c du R R C u u u dt R R C R C R C +=--+ 2121222222111c c c du u u u dt R C R C R C =--+ 状态空间表达式为：12111211212121212122222221111111R R C x x x u R R C R C R C x x x u R C R C R C y u u x +⎧=--+⎪⎪⎪=--+⎨⎪⎪==-⎪⎩即: 12121121211112222222211111R R C R C R R C R C x x u x x R C R C R C +⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦[]11210x y u x ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦2.2 建立图P22所示系统的状态空间表达式。
1图P2.2解 这是一个物理系统，采用机理分析法求状态空间表达式会更为方便。
令()f t 为输入量，即u f =，1M ，2M 的位移量1y ，2y 为输出量， 选择状态变量1x =1y ，2x = 2y ，3x =1dy dt，24dyx dt =。
现代控制理论总结第一章：控制系统的状态空间表达式1、状态变量，状态空间与状态轨迹的概念：在描述系统运动的所有变量中，必定可以找到数目最少的一组变量，他们足以描述系统的全部运动，这组变量就称为系统的状态变量。
以状态变量X1,，X2，X3，……X n为坐标轴所构成的n维欧式空间（实数域上的向量空间）称为状态空间。
随着时间的推移，x（t）在状态空间中描绘出一条轨迹，称为状态轨迹。
2、状态空间表达式：状态方程和输出方程合起来构成对一个系统完整的动态描述，称为系统的状态空间表达式。
3、实现问题：由描述系统输入输出关系的运动方程或传递函数建立系统的状态空间表达式，这样的问题称为实现问题单入单出系统传函：W(s)=错误!未找到引用源。
，实现存在的条件是系统必须满足m<=n，否则是物理不可实现系统最小实现是在所有的实现形式中，其维数最低的实现。
即无零，极点对消的传函的实现。
三种常用最小实现：能控标准型实现，能观标准型实现，并联型实现（约旦型）4、能控标准型实现，能观标准型实现，并联型实现（约旦型）传函无零点错误!未找到引用源。
系统矩阵A的主对角线上方元素为1，最后一行元素是传函特征多项式系数的负值，其余元素为0，A为友矩阵。
控制矩阵b除最后一个元素是1，其他为0，矩阵A，b具有上述特点的状态空间表达式称为能控标准型。
将b与c矩阵元素互换，另输出矩阵c除第一个元素为1外其他为0，矩阵A，c具有上述特点的状态空间表达式称为能观标准型。
传函有零点见书p17页……..5、建立空间状态表达式的方法：①由结构图建立②有系统分析基里建立③由系统外部描述建立（传函）6、子系统在各种连接时的传函矩阵：设子系统1为子系统2为1）并联：另u1=u2=u，y=y1+y2的系统的状态空间表达式所以系统的传递函数矩阵为：2）串联：由u1=u，u2=y1，y=y2得系统的状态空间表达式为：W(S)=W2(S)W1(S)注意不能写反，应为矩阵乘法不满足交换律3）反馈：系统状态空间表达式：第二章：状态空间表达式的解：1、状态方程解的结构特征：线性系统的一个基本属性是满足叠加原理，把系统同时在初始状态错误!未找到引用源。
2-3 由控制系统的方块图求系统状态空间表达式
系统方块图是经典控制中常用的一种用来表示控制系统中各环节、各信号相互关系的图形化的模型，具有形象、直观的优点，常为人们采用。
要将系统方块图模型转化为状态空间表达式，一般可以由下列三个步骤组成：
第一步：在系统方块图的基础上，将各环节通过等效变换分解，使得整个系统只有标准积分器（1/s ）、比例器（k ）及其综合器（加法器）组成，这三种基本器件通过串联、并联和反馈三种形式组成整个控制系统。
第二步：将上述调整过的方块图中的每个标准积分器（1/s ）的输出作为一个独立的状态变量i x ，积分器的输入端就是状态变量的一阶导数
dt
dx i。
第三步：根据调整过的方块图中各信号的关系，可以写出每个状态变量的一阶微分方程，从而写出系统的状态方程。
根据需要指定输出变量，即可以从方块图写出系统的输出方程。
例2-5 某控制系统的方块图如图2-6所示，试求出其状态空间表达式。
解：
该系统主要有一个一阶惯性环节和一个积分器组成。
对于一阶惯性环节，我们可以通过等效变换，转化为一个前向通道为一标准积分器的反馈系统。
图2-6所示方块图经等效变换后如下图所示。
我们取每个积分器的输出端
信号为状态变量1x 和2x ，积分器的输入端即1x
和2x 。
图2-6 系统方块图
从图可得系统状态方程： ()⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧+--=-+-==u
T K x T x T K K x K u T K x T x x T K x 11211131131121222
2111 取y 为系统输出，输出方程为：1x y =
写成矢量形式，我们得到系统的状态空间表达式：
[]⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨
⎧=⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥
⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=x y u T K x K K T K x 010********
例2-6 求如图2-7（a ）所示系统的动态方程。
解：图2-7(a)中第一个环节
21++s s 可以分解为⎪⎭
⎫ ⎝⎛
+-211s ，即分解为两个通道。
第三个环节为一个二阶振荡环节，它可以等效变换为如图2-7(b)
右侧点划线所框部分。
进一步，我们可以得到图2-7(C)所示的由标准积分器组成的等效方块图。
图2-7（a ）系统方框图
依次取各个积分器的输出端信号为系统状态变量1x 、2x 、3x 、4x 。
由图2-7（c ）可得系统状态方程：
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧+--=+---=+-=+-=u x x x
u x x x x x x x
x x x 41443133
1221123648 由图可知，系统输出1x y =
写成矢量形式，得到系统的状态空间表达式：
[]⎪
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⎥⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------=x
y u x x 00
01110020
11301010640018
2-4 由系统的微分方程或传递函数求其状态空间表达式
从经典控制理论中知道，任何一个线性系统都可以用下列线性微分方程表示：
()()()()()()u b u b u b u b y a y a y a y m m m m n n n 0111101111++++=++++---- 其传递函数就是输出信号()t y 的Laplace 变换()s Y 与输入信号()t u 的Laplace 变换()s U 之比，其形式为如下s 的有理分式：
()()()0
11
10
111a s a s a s b s b s b s b s U s Y s G n n n
m m m m ++++++++==---- 以上两式表示同一系统，只不过前者在时间域t 上表示，后者在复域s 上表示。
上式中，m<n 时称系统为严格正常型；m=n 时为正常型；m>n 时称非正常型，这是不能实现的系统，所以我们一般假定m ≤n 。
由系统的传递函数求其状态空间表达式的过程称为系统的实现问题，因为传递函数只是表达了系统输出与输入的关系，却没有表明系统内部的结构，而状态空间表达式却可以完整的表明系统内部的结构，有了系统的状态空间表达式，就可以唯一地模拟实现该系统。
系统的实现是非唯一的。
系统的实现一般有直接法，串联法和并联法三种。
2-4-1 系统实现的直接分解法 不失一般性，我们假设m=n,则
()()()0
11
1'
0'12'21'1a s a s a s b s b s b s b b s U s Y s G n n n n n n n n +++++++++==------ 其中：i n i i a b b b -=' (1,,1,0-=n i ) 令：()()s U a s a s a s s Y n n n 0
11111
++++=
--
则：()()()
()s Y b s b s
b s b s U b s Y n n n n n 1'
0'12'21'1+++++=----
将上述式子作拉氏反变换，得：
()()()()1'
011'121'211'1y b y b y b y b u b t y n n n n n +++++=----
选择状态变量如下：
()
()
()⎪⎪
⎪⎩
⎪⎪
⎪⎨⎧=======--1112213111211n n n x y x x
y x x y x y x 即：
()⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪
⎨⎧====n n y x
x x x x x x 1433221 关于n x
，由式()()s U a s a s a s s Y n n n 0
11111
++++=-- 可得：
()()()()()t u x a x a x a t u y a y a y a y x
n n n n n n +----=+----==---12110111111101
所以得系统状态方程为：
()⎪⎪
⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨
⎧+----=====---t u x a x a x a x
x x x x
x x x x n n n n n 1121101433221
至于系统的输出y ，由式子
()()()()1'011'121
'211'1y b y b y b y b u b t y n n n n n +++++=----
可得：n n n x b x b x b u b y '
12'11'0-++++=
写成矢量形式，得系统的状态空间表达式：
[
]
⎪⎪
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧+=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥
⎥⎥
⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=---u
b x b b b y u
x a a a a x n n n 1'
1'1'
0121
0100010
0001000010
上式所代表的系统实现的结构图如图2-8所示。
这种系统的实现称作可控
型（I 型）实现，关于可控型我们将在后续章节介绍。
注意：当n m <时，0=n b ，()m i b b i i ,,1,0' ==，这时直接可以从传递函数的分子、分母多项式的系数写出。
当m=0，即系统没有零点时，上述实现方法中，系统状态变量就是输出变量的各阶导数()()()110,,,-n y y y 。
在通常的低阶物理系统中，上述各状态变量的物理意义非常明确，如位移、速度、加速度。
图2-8 传递函数的直接分解法实现
例2-7 试利用直接分解法，建立下列传递函数的状态空间表达式。
（1）()2546223++++=
s s s s s G （2）()2
548
2
3+++=s s s s G （3）()2
541
322
323++++++=s s s s s s s G （1）解: ()()()2
546
22
3
++++==
s s s s s U s Y s G ()()s U s s s s s Y 2546223++++=⇒ 令()()s U s s s s Y 2
541
2
31+++=
()()()s Y s s Y 162+=⇒ 对上述二式分别取拉氏反变换，得
1162y y
y += u y y y y =+++1111254 选取状态变量为
()
()
⎪⎩⎪⎨⎧=====2
21311121
1x
y x x
y x y x 即 ()
⎪⎩⎪
⎨⎧---====3
213133221452x x x u y x x x x x 输出方程为21112662x x y y y +=+= 写成矩阵方程 []⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=x
y u x x 02
6
10045
210001。
