高等几何课件

课程概论
四、计划及注意点
计划：周学时3-5, 一个学期, 第1～第4章; (第5章：自学阅读材料) 注意1：必须充分预习, 学会主动听课, 主动学习
• 课前：预习将要讲到的内容, 记录体会, 提出问题 • 课中：带着问题听课, 适当做笔记 • 课后：再次读书, 整理笔记; 做题、反思、及时总结; 不懂即问
§ 1.1 引 论
一、对应与变换
4. 集合之间的对应(函数、映射) 定义1.6 设f : AB为一个对应. 如果对于集合A中的元素ab, 都有f (a)f (b), 则称f 为单射(injection),也称f 为从A到B内的对应.
(国家精品课程)
• 主讲教师：周兴和 (南京师大数学与计算机科学学院 教授) (江苏省教学名师)
• 教材：周兴和, 《高等几何》, 科学出版社 (江苏省精品教材, “十一五”国家规划教材)
• 参考书：见教材中所列：“参考书目”
课程概论
一、高等几何的内容
高等几何
数学类专业主干基础课课程之一
前三高
数学分析 高等代数
欧氏几何(初等几何)
研究图形在“搬动”之下保持不变的性质和数 量 (统称不变性，如距离、角度、面积、体积等)
搬动
正交变换
对图形作有限次的平移、 旋转、轴反射
欧氏几何
研究图形的 正交变换不变性的科学
仿射几何
平行射影
透视仿射变换
有限次平行射影的结果
仿射变换
仿射几何 仿射不变性
研究图形的
仿射变换不变性的科学
3. 等价关系 定义1.4 设f 为集合A到自身的一个关系. 如果 (1) 若aA, 都有(a,a)f, 则称f 为自反的, 或称f 具有反身性. (2) 若(a,b)f, 就必有(b,a)f, 则称f 为对称的, 或称f 具有对称 性. (3) 若(a,b)f且(b,c)f, 就必有(a,c)f, 则称f 为传递的, 或称f 具 有传递性. 若f 同时满足上述3条, 则称f 为A上的一个等价关系. A上的一个等价关系必将A的元素分成等价类.
教师授课助手 学生自修向导——
高等几何多媒体课件
南京师范大学 周兴和 (国家精品课程主持人 江苏省教学名师)
使用说明
1. 请使用MS-Office2003及其以上版本.
2. 课件中的图形
分别是向后和返回链接.
3. 如果您是一位学生, 希望您——利用本课件帮助您预习、 自学、提出问题, 带着问题去听课；帮助您避免在课堂上被动 地抄笔记, 从而可以更主动地聆听老师授课.
§ 1.1 引 论
一、对应与变换
4. 集合之间的对应(函数、映射) 定义1.5 设f : AB为一个关系. 如果对于集合A中的每一个元 素, f 都唯一地指定集合B中的一个元素与之配对, 则称f 为从集合 A到B的一个对应(或映射, 函数).在f 下A中的元素a对应于B中的 元素b的事实常记为
f : a b 或者 f (a) b.
后三高
实变函数 近世代数
高等几何
点集拓扑
综合大学：空间解几＋仿射几何、射影几何, 一个学期
高等几何
射影几何 几何基础 ……
本课程
主要介绍平面射 影几何知识(教材 前四章)
课程概论
一、高等几何的内容 什么是射影几何？
直观描述
鸟瞰下列几何学
欧氏几何
仿射几何
射影几何
十九世纪名言
一切几何学都是射影几何
解析法
形、数结合，利用代数、分析 的方法研究问题
本课程
以解析法为主，兼用综合法
课程概论
一、高等几何的内容 二、高等几何的与方法 三、开课目的
• 学习射影几何，拓展几何空间概念，引入几何变换 知识，接受变换群思想
• 训练理性思维、抽象思维、逻辑推理能力，增强数 学审美意识，提高数学修养
• 新颖性，趣味性，技巧性，反馈于初等几何和其他 学科，提高观点，加深理解，举一反三
定义1.2 集合A到B的一个关系: R A B.
为集合AB的一个子集.
A B
§ 1.1 引 论
一、对应与变换
1. 集合之间的关系 定义1.2' (通俗的定义)设A, B为两个集合, f 是一种将A的元素 与B的元素配对的法则. 则称f 为集合A到B的一个关系, 记作
f : A B.
设在f 下aA配对为bB. 则称b为a在f 下 的一个像; a为b在f 下的一个原像, 或者说 a是b在f 的逆关系 f 1: BA下的像.
大力提倡：独立思考+交流讨论 注意2：把好入门关, 牢固掌握基本概念, 反复思考, 认真体会
线性代数+“齐次性”
§ 1.1 引 论
一、对应与变换
理解集合的途径之一——Venn图
1. 集合之间的关系
定义1.1 集合A, B的笛卡儿积:
A B {(a,b) | a A,b B}.
全体有序偶(配对) (a,b) 的集合. 特别 地, AA=A2.
§ 1.1 引 论
一、对应与变换
2. 关系的乘积(复合) 定义1.3 设有关系f : AB和 g: BC. 则由此可确定一个A到 C的关系h, 称h 为f 与g的乘积. 记作g◦f , 即
h g f : A C.
注：关系的乘法满足结合律, 但是一般不满足交换律.
§ 1.1 引 论
一、对应与变换
4. Leabharlann Baidu果您是一位教师, 请恕作者班门弄斧, 权当我在抛砖引玉. 希望您——批评本课件, 或利用本课件为素材, 创作您自己的课 件. (作者制作本课件使用的主要软件为：MS-Office, MS-Visio)
5. 恳请读者和老师们批评指正！作者感谢您使用本教材及其 课件, 期待着您的宝贵意见！
高 等几 何
课程概论
一、高等几何的内容
二、高等几何的与方法 三、开课目的
本课程
代数角度 几何角度
三维线性空间的商空 间上的几何学
亏格为零不可定向的 闭曲面上的几何学
其他课程无可 替代的数学思 想与方法
四、计划及注意点
计划：周学时3-5, 一个学期, 第1～第4章; (第5章：自学阅读材料)
真正的大学课程教学模式
比如——平行性、两平行 线段的比等等
射影几何
中心射影
透视变换
有限次中心射影的结果
射影变换
射影几何
研究图形的 射影变换不变性的科学
射影不变性
比如——几条直线共点、 几个点共线等等
射影变换将彻底改变我们原有的几何 空间观念！
课程概论
一、高等几何的内容
二、高等几何的方法
综合法
给定公理系统(一套相互独立、 无矛盾、完备的命题系统)，演 绎出全部内容