高等几何教学大纲.

高等代数与解析几何教学大纲课程介绍：高等代数与解析几何是数学学科中的两门重要课程，其理论与应用均十分广泛。

本课程旨在通过讲授和练习，帮助学生掌握高等代数与解析几何中的部分重要基础知识，为后续学习与研究打下坚实的基础。

教学目标：通过本课程的学习，学生可以：1.掌握向量代数、矩阵代数等基础知识；2.理解线性方程组、行列式、矩阵的行列式、矩阵秩等概念；3.熟练掌握向量、标量的内积、外积等相关概念及其应用；4.掌握解析几何中的相关知识，如向量、直线、平面等的坐标表示、距离公式等；5.理解空间直线、平面的方程、平面与直线的位置关系等；6.培养数学思维、逻辑思维和解决实际问题的能力。

教学内容：第一章：线性方程组1.1 引入矩阵、向量的概念，简述线性方程组的基础知识； 1.2 讲解GCDS算法、消元法等解线性方程组的方法； 1.3 介绍常系数齐次、非齐次线性方程组的解法； 1.4 探讨线性方程组解的唯一性及其相关概念。

第二章：行列式2.1 讲解行列式的基本概念、性质及其应用； 2.2 探讨行列式的计算方法，包括按行/列进行展开、性质法、递推法等； 2.3 引入矩阵的概念，讨论其与行列式等的关系；第三章：矩阵秩3.1 熟悉矩阵的基本概念及其运算法则； 3.2 介绍行列式的几何意义及其相关概念； 3.3 探讨矩阵秩的定义、计算方法及其相关性质； 3.4 引入矩阵的等价关系概念，探讨其应用。

第四章：向量、内积、外积4.1 掌握向量、标量概念及其运算法则； 4.2 熟悉向量的基本性质和几何意义； 4.3 理解向量、标量乘法的运算法则，掌握向量投影的相关知识； 4.4 掌握向量的内积、外积的概念及其运算，探讨其相关性质和应用。

第五章：解析几何基础5.1 引入解析几何的概念，熟悉直线、平面、点的坐标表示； 5.2 探讨直线、平面的基本性质及其方程表示； 5.3 讲解平面与直线的位置关系及其相关概念； 5.4 探讨空间元素的向量表示方式，在向量坐标系中进行相关问题的求解。

《高等几何》教学大纲一、课程名称《高等几何》（Projective Geometry）二、课程性质数学与应用数学专业限选课。

它跟初等几何、解析几何、高等代数等课程有紧密的联系；它对未来中学数学教师在几何方面基础的培养、观点的提高、思维的灵活、方法的多样起着重要作用，从而大有助于中学数学教学质量的提高和科研能力的培养。

本课程的主旨在于拓展读者的几何空间知识，学习了解变换群观点，进而达到训练理性思维的能力，提高数学修养的目的。

本课程包括了许多著名的定理，奇妙的图形。

通过本课程的学习，可以有效地提高数学审美意识。

本大纲要求本课程的内容处理上实行解析法与综合法并用，以解析法为主。

前修课程包括：初等几何、解析几何、数学分析、高等代数、近世代数。

三、课程教学目的通过本课程的学习，使学生掌握射影几何的基本内容和处理几何问题的方法，同时也认识射影几何、仿射几何、欧氏几何的内在联系，以及在初等几何和解析几何中的应用，并为学习数学的其他分支打好基础。

尤其是对无穷远元素的认识和理解，以开拓同学们的思维方式和视野，使同学们能以居高临下的观点来处理初等数学问题。

四、课程教学原则和方法1、理论与实践相结合的原则；2、《高等几何》知识与高等数学中的其它知识相结合原则；3、《高等几何》知识与初等几何知识相结合的原则；4、在课堂教学中使用传统的讲解法，并适当采用教具演示的方法相结合的原则；5、讲解法与自学相结合的原则。

五、课程总学时72学时，习题课占1/5。

六、教学内容要点及建议学时分配课程教学内容要点及建议学时分配第一章仿射坐标与仿射变换（计划学时6）一、本章教学目标：通过本章的学习，掌握透视仿射对应(变换)，仿射对应(变换)以及其代数表达式等。

二、本章主要内容：第一节透视仿射对应1、弄清共线三点的单比和透视仿射对应的基本概念。

2、熟练掌握透视仿射对应的四个性质---保持同素性、结合性、共线三点的单比和平行性。

第二节仿射对应与仿射变换1、掌握平面上的透视链、二直线间和二平面间的仿射对应与仿射变换的概念。

附件1高等代数与解析几何教学大纲课程编号：课程英文名：Advanced Algebra and Analytic Geometry课程性质：学科基础课课程类别：必修课先修课程：高中数学学分：4+4总学时数：72+72周学时数：4+4适用专业：统计学适用学生类别：内招生开课单位：信息科学技术学院数学系一、教学目标及教学要求1.本课程是统计学专业的一门重要基础课。

它不仅是学习后继课程及在各个学科领域进行理论研究和实际应用的必要基础，同时还为培养学生的独立工作能力提供必要的训练。

学生学好这门课程的基本内容和方法，对今后的提高和发展有着深远的影响。

2.通过本课程的学习，要使学生了解高等代数与解析几何的概貌、各部分内容的结构和知识的内在联系；学会代数与几何方法，培养学生抽象思维能力、逻辑推理能力、想象能力、运算能力和综合应用能力。

3.要求学生熟练掌握本课程的基本概念、基本理论、基本运算及方法。

通过课堂教学及进行大量的习题训练等各个教学环节，使得学生做到概念清晰、推理严密、运算准确，并且学会应用这些基本理论及方法去处理实际问题。

二、本课程的重点和难点（略。

由课任教师自行掌握）三、主要实践性教学环节及要求精讲、细读、自学相结合方法，加强课内外训练为手段。

四、教材与主要参考文献教材：《高等代数与解析几何》（上、下）（第二版），孟道骥编著，科学出版社，2004年。

参考书：1.《高等代数与解析几何》，陈志杰编著，高等教育出版社，2000年；2.《数论基础》，张君达主编，北京科学技术出版社，2002年。

五、考核形式与成绩计算考核形式：闭卷考试。

成绩计算：平时成绩（包括平时作业、小测验、考勤等）占30%，期末考试占70%。

六、基本教学内容第二学期第一周—第二周：（8课时）第一章：向量代数与解析几何基础1. 代数与几何发展概述。

2. 向量的线性运算及几何意义：定义与性质、向量的共线、共面与线性关系3. 坐标系：标架、向量和点的坐标、n维向量空间。

《咼等代数与解析几何》课程教学大纲一、课程基本信息1、课程名称：高等代数与解析几何（上、下）2、课程编号：03030001/23、课程类别：学科基础课4、总学时/学分：160/105、适用专业：信息与计算科学6、开课学期：第一、二学期二、课程与人才培养标准实现矩阵说明掌握自然科学基础知识和数学专业所需的技术基础及专业知识，掌握分析问题、解决问题的科学方法；通过所学专业基础知识，获取数学专业知识的能力，更新知识和应用知识的能力。

三、课程的地位性质与目的本课程是数学与应用数学专业学生的重要的基础课程，是现代信息科学中不可缺少的数学工具。

高等代数与解析几何最突出的特点就是代数与几何在知识与理论上的有机结合，在思想和方法上的融会贯通。

主要目的是掌握本门课程的基本理论和基本方法；同时通过本课程的教学，锻炼和提高学生的思维能力，培养学生分析问题和解决问题的能力，培养学生创新能力，提高学生的数学素养。

四、学时分配表五、课程教学内容和基本要求总的目标：通过本课程的学习要求学生对高等代数与解析几何的基本概念、基本定理有比较全面、系统认识，能把几何的观点与代数的方法结合起来，“代数为几何提供研究方法，几何为代数提供直观背景”，逐步培养学生运用几何与代数相结合的方法分析问题、解决问题的能力，培养学生抽象的思维能力及空间想象能力。

本课程各章的教学内容和基本要求如下：第一章向量代数【教学内容】1、向量的线性运算2、向量的共线与共面3、用坐标表示向量4、线性相关性与线性方程组5、n维向量空间6、几何空间向量的内积7、几何空间向量的外积8、几何空间向量的混合积【基本要求】理解向量的概念，掌握向量的线性运算、内积、外积、混合积运算；熟悉向量间垂直、共线、共面的条件；会用坐标进行向量的运算。

【教学重点及难点】重点：向量的概念，向量的线性运算、内积、外积、混合积运算；用坐标进行向量的运算。

难点：向量间垂直、共线、共面的条件。

第二章行列式【教学内容】1、映射与变换2、置换的奇偶性3、矩阵4、行列式的定义理解n阶行列式的概念及性质，掌握常见类型的行列式的计算；熟悉克拉默法则。

《高等代数与解析几何》教学大纲说明高等代数与解析几何是数学的主要基础课. 通过本课程的教学将逐步培养学生运用几何与代数相结合的方法分析问题和解决问题的能力. 因此在教学中应注意讲清代数概念的几何背景, 培养学生的空间想象力.本课程如按每学期每周4节正课2节习题课安排, 在一学年内应能讲授完本大纲的内容。

至于教科书《高等代数与解析几何》中的打星号的选学内容可以作为第三学期的选修课内容。

第一章第一章向量代数(22课时)第二章第二章行列式(12课时)第三章第三章线性方程组与线性子空间(20课时)第四章第四章矩阵的秩与矩阵的运算(14课时)第五章第五章线性空间与欧几里得空间(16课时)第六章第六章几何空间的常见曲面(14课时)第七章第七章线性变换(6课时)第八章第八章线性空间上的函数(10课时)第九章第九章坐标变换与点变换(12课时)第十章第十章一元多项式与整数的因式分解(14课时)第十一章第十一章多元多项式(12课时)第十二章第十二章多项式矩阵与若尔当典范形(10课时)以下计划中所列参考课时数均不包括习题课课时.第一章向量代数(22课时)内容包括向量的线性运算，向量的共线与共面，用坐标表示向量，线性相关性与线性方程组，n维向量空间，几何空间向量的内积、外积与混合积，平面曲线的方程等。

本章的教学目的是使学生对向量及其运算以及线性相关性有一个较直观的认识，为以后抽象向量的学习打下基础。

第二章行列式(12课时)本章从讲解映射与变换以及置换的奇偶性入手，通过体积的计算引入行列式的定义，同时也给出行列式的常用定义，然后引入矩阵的概念，以帮助理解行列式的性质，再讲解行列式按一行(一列)展开以及用行列式解线性方程组的克拉默法则，最后证明拉普拉斯定理。

本章的教学目的是使学生对行列式的意义及其计算有所了解。

并会应用克拉默法则解线性方程组。

对行列式计算的技巧不能太强调。

第三章线性方程组与线性子空间(20课时)用消元法解线性方程组是与初等数学相衔接的，在此基础上讨论线性方程组的解的情况，然后引出向量组的线性相关性的有关性质，再学习线性子空间及线性子空间的基与维数，以帮助理解齐次线性方程组的解的结构。

教学大纲《高等代数与几何II》教学大纲课程编号：123303A课程类型：☑通识教育必修课□通识教育选修课□专业必修课□专业选修课□学科基础课总学时：48 讲课学时：32实验（上机）学时：16学分：3适用对象：数学与应用数学（金融数学）、统计学先修课程：无一、教学目标《高等代数与几何I》是数学专业最重要的必修课之一。

说明本课程的性质以及在人才培养方案中的地位、作用和任务，明确学生在学完本课程后，在思想、知识和能力等方面应达到的目标以及对后续课程的影响。

目标1：在学习方法和数学思想上初步完成从中学数学走向大学数学的适应与过渡；目标2：逐步培养学生运用几何与代数相结合的方法分析问题和解决问题的能力，使学生初步掌握基本的、系统的代数知识和抽象的严格的代数方法；目标3：为后继课程如常微分方程、概率论与数理统计、泛函分析、近世代数、计算方法等提供必须具备的代数知识，也为进一步学习数学的各门课程所需要的抽象思维能力提供一定的训练。

二、教学内容及其与毕业要求的对应关系本课程在教学中要求学生正确理解《高等代数与空间解析几何》中的基本概念，让学生尽早地更多地掌握数学的思想和方法。

突出高等代数中等价分类的思想，分解结构的思想，同构对应的思想，揭示课程内部的本质的有机联系。

在讲解内容的同时，重点传授代数学的基本思想。

所选教材以线性空间为纲的做法，即把高等代数的主要内容放在线性空间的框架下展开，同时将必要的代数方法做尽可能详细的介绍。

讲课的难点在于把握几何直观和代数方法的对应关系和互动关系，使学生既能从几何的观点更好地理解内容，又可把握简洁和直接的代数方法。

通过活泼互动的课堂教学，刺激学生的学习兴趣；通过探索讨论课，调动学生的学习主动性；教学中逐步培养学生运用几何与代数相结合的方法分析问题和解决问题的能力。

以上学生对重点、难点内容的理解与掌握，以及互动式教学方式的实现，是毕业要求中对数学知识理论与方法的掌握、应用数学知识定量分析问题、与外界交流沟通畅通以及具备终生学习的能力的重要训练。

南京师范大学《高等几何》课程教学大纲课程名称：高等几何（Higher Geometry）课程编号：06100020学分：3学时：90先修课程：解析几何, 高等代数(I), 数学分析(I)替代课程：无一、课程教学目的本课程是大学数学类专业的主干基础课程之一。

本课程在学生具备初等几何、解析几何、高等代数、数学分析知识的基础上，系统地学习射影几何的基本知识，使学生能用变换群的观点来看待几何学，加深对几何学的理解，拓展几何空间概念。

通过本课程利用商空间思想研究亏格为零不可定向的闭曲面上的几何学的训练，一方面使得学生拓宽眼界，扩大知识领域，提高抽象思维、理性思维能力，为进一步的数学学习打下基础；另一方面使得学生加深对中学几何特别是解析几何的理论与方法的理解，从而获得用高观点来处理中学几何问题的能力，为未来的中学几何教学打下基础；第三，本课程包括了许多著名的定理，奇妙的图形，匪夷所思的处理技巧，通过本课程的学习，可以有效地提高数学审美意识。

概括来说，学习本课程后，要使得学生有如下收获：（1）空间不只是平直的，除欧氏空间外，还有很多其他的空间。

即让学生在空间观念上有一个提升；（2）进一步让学生了解处理几何问题不只是可以用综合法，还可以用解析法；（3）深刻理解对偶原理，认识到射影几何是与欧氏几何完全不同的几何学；（4）深刻理解射影变换及其性质，认识到射影几何是研究射影图形在射影变换下的不变性和不变量的一门科学；（5）深刻理解Klein的变换群观点，即研究某空间中的图形在它的某变换群作用下不变的性质和数量的科学就称为一门几何学；（6）深刻了解一些平面射影图形的射影性质。

如：点列，线束，完全n点（线）形，二次曲线的射影性质。

（7）学会构造射影图形。

因为我们的纸张是欧氏平面，所以在其上构造射影图形还是有很多技巧，学生要深刻领会这些技巧。

二、教学任务通过课堂教学、课外辅导等多个教学环节，教师主要完成下列教学任务：1、完成上述教学目的。

高等几何教案(高职高专)一、教学目标：1. 了解高等几何的基本概念和理论；2. 掌握高等几何的基本运算方法和技巧；3. 能够应用高等几何解决实际问题。

二、教学内容：1. 高等几何的基本概念和性质；2. 高等几何的基本运算方法；3. 高等几何在实际问题中的应用。

三、教学步骤：1. 导入：引导学生回顾基本几何概念；2. 讲解：详细讲解高等几何的基本概念和性质；3. 实例演练：通过实例演示高等几何的基本运算方法；4. 练：布置练题，让学生巩固运算技巧；5. 应用拓展：引导学生思考高等几何在实际问题中的应用；6. 深化理解：通过讨论和交流，帮助学生进一步理解高等几何的概念和理论；四、教学资源：1. 课本：《高等几何教材》；2. 讲义：提供详细的课堂讲义；3. 实例：准备一些实际问题的例子供学生练。

五、教学评估：1. 布置作业：要求学生完成一定数量的练题；2. 小测验：进行小规模的测验，检查学生对基本概念和运算方法的掌握情况；3. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与和互动，评估他们的研究情况。

六、教学反思：根据学生的反馈和表现，及时调整教学策略，帮助他们更好地理解和掌握高等几何的知识。

七、教学特点：1. 系统性：按照一定的顺序和步骤进行教学；2. 实用性：注重高等几何在实际问题中的应用；3. 互动性：鼓励学生参与讨论和交流，增强研究效果。

八、教学方法：1. 讲授法：结合教材内容进行讲解；2. 演示法：通过实例演示高等几何的运算方法；3. 练法：布置练题，让学生进行实践和巩固；4. 探究法：引导学生自主思考和发现高等几何的性质。

九、教学时间安排：本教案为总共6课时，每课时为50分钟。

十、参考资料：1. 罗素·A·基地著，《高等几何教材》；2. 朱江等编著，《高等几何教学参考资料》。

十一、备注：本教案适用于高职高专高等几何课程教学，可根据实际情况进行调整和变化。

《高等几何》课程教学大纲课程编号：20811010总学时数：48（理论48）总学分数：3课程性质：专业基础和专业课程适用专业：数学与应用数学一、课程的任务和基本要求：几何学是数学的一个重要分支。

高等几何与高等代数，数学分析统称“三高”，是师范数学专业的重要的基础课。

本课程按传统的讲法，在欧氏平面的基础上讲授一维和二维射影几何和仿射几何的基本内容，使学生对射影几何和仿射几何有初步的，直观的，具体的认识。

为进一步充分运用代数知识学习抽象的高维射影几何理论做准备。

另一方面掌握射影几何和仿射几何的理论和方法，对中学几何有直接的指导作用。

使中学数学教师能居高临下，深入掌握中学数学内容，具备应有的水平和素质。

本课程总学时数为51学时，讲授与习题课学时数之比约为5:1。

二、基本内容和要求：（一）仿射坐标与仿射变换1、透视仿射对应，仿射对应与仿射变换。

2、仿射坐标系，仿射变换的代数表示，几种特殊的仿射变换。

3、图形的仿射性质。

要求：掌握仿射变换的定义、性质和解析表达式；知道几种特殊的仿射变换；理解图形的仿射性质，掌握单比的概念和坐标表示法。

（二）射影平面1、欧氏平面的拓广：中心投影与无穷远元素的引进。

2、射影直线与射影平面的概念。

3、齐次点坐标，直线的齐次方程，齐次线坐标，在齐次坐标下，有关点与直线结合性的命题。

4、德萨格定理，运用德萨格定理证明初等几何的有关命题。

5、射影平面上的对偶原理，对偶命题，对偶图形。

要求：掌握射影平面、仿射平面的概念；掌握直线的坐标和点的方程的概念；掌握对偶原则的内容，能写出一个命题的对偶命题。

理解德萨格定理，并会用它来推证某些“点共线”或“线共点”的问题。

（三）射影变换与射影坐标1、共线四点和共点四线的交比，调和比，完全四点形与完全四线形的调和性。

2、射影平面内的一维基本形，一维基本形间的透视对应，射影对应，一维基本形的射影变换，对合。

3、一维二维射影坐标系，射影坐标与仿射坐标，笛氏坐标的关系。