高等几何对初等几何教学指导作用浅析1

从高等几何的视角看待初等几何的若干问题摘要：高等几何是初等几何的延伸课程，二者有着密切的关系.它为初等几何的内容提供了理论依据，开阔了初等几何的学习视野；高等几何可为初等几何构造新的命题，丰富了初等几何的内容；高等几何为初等几何的某些问题提供了解题方法，拓展了初等几何的解题途径.因此，很有必要研究高等几何在初等几何中的运用.关键词：高等几何；初等几何；命题；理论依据；思想方法1 问题的提出1.1 高等几何与初等几何的关系《高等几何》是高等师范院校数学专业的一门重要的课程.是为学生加深对中学几何的理论和方法的理解，获得较高观点上处理中学几何问题的能力的专业选修课程.而《初等几何研究》也是高师数学系数学教育专业的一门重要课程，是为培养中学数学师资所特有的课程，是培养未来中学数学教师从事初等几何教学和研究的能力，是提高他们数学素质和几何教学水平的重要课程。

初等几何是高等几何的基础.而高等几何是初等几何的深化。

初等几何研究的问题一般比较直观、单纯，但形成的概念和积累的技巧对高等几何往往影响深远；高等几何虽然抽象、复杂，但内容和方法却常常可以在初等几何中找到其根源，所以高等几何由于引入了无穷元素，因而处理问题的手段比初等几何高明，作为数学工具也就更具有一般性.从内容上讲，高等几何点变换的观点把初等几何中的正交变换扩大到仿射变换，再扩大到射影变换，从而把几何空间的概念也由欧氏空间扩大到仿射空间，再扩大到射影空间；坐标系也由笛卡尔坐标系扩大到仿射坐标系和射影坐标系.几何学的基本元素方面，也由以点为基本元素的点几何学化为以直线为基本元素的线几何学，并且由有限元素扩大到无穷远元素，由实元素扩大到复元素.1.2高等几何的观点研究出等几何的意义法国教学家Klein曾经说过]9[：“只有在完全不是初等数学的理论体系中，才能深刻理解初等数学.”按照Klein的观点，几何学是研究在相应变换群下图形保持不变的性质和量的科学，即每一个变换群都对应着一个几何学，图形在此变换下保持不变的那些性质和量，就是相应的几何学所研究的对象.由射影变换群，仿射变换群，正交变换群所对应的几何学分别为：射影几何学，仿射几何学，欧氏几何学.又由于射影变换群⊃仿射变换群⊃正交变换群.故又有射影几何学⊃仿射几何学⊃欧氏几何学.但又由于群越大，它所保持不变的东西就越少，故从研究的内容上看有：射影几何学＜仿射几何学＜欧氏几何学.射影几何学的内容比较贫泛，而欧氏几何学的内容就十分丰厚了.了解了这种几何学之间的联系，也就扩大了学生关于几何的眼界，站得高也才能看得远，了解了欧氏几何在整个几何学中所处的地位，这就有助于我们从几何学的全局与整体上来理解和把握初等几何教材.掌握公理法，了解欧氏几何与非欧几何的关系，加深对初等几何教材的理解.几何学的思维其源于非欧几何.因为唯有从非欧几何的观点来看才得以阐明在中学研究的欧氏几何学的逻辑结构，只懂得一种欧几里德几何，就不能充分了解几何学的结构；几何学之所以能够提高到现代的观点，不过是在研究了非欧几何以后的事情.我们把罗巴切夫斯基几何和黎曼几何统称为非欧几何.这三种几何表面上看似乎是相互矛盾，相互排斥的，但它们在射影几何中得到了统一，都是射影几何的子几何学.了解了它们之间的联系，对初等几何教材的理解和把握就会加深一步.2 高等几何在初等几何中的应用欧氏几何作为仿射几何、射影几何的子几何，使我们有可能把初等几何、解析几何放到更为广阔的背景中去考虑，有助于弄清欧氏几何与其它几何的联系与区别，以便从高观点下把握和处理中学教材，将高等几何的思想应用在初等几何中，这无疑对初等几何的教学有很大的指导作用.2.1 高等几何为初等几何内容提供理论依据中学几何考虑了学生的认识规律，内容不可能面面俱到，现行中学几何教材部分仅从直观的现象中发现图形之间的内在联系，探索几何性质，问题的结论依赖于默认，而在高等几何中，这些内容和问题都可以在严密的数学系统内给出严格的论述.例如立体几何中的直观图及截面图的画法；三点定一圆问题；一点在二次曲线的内部还是外部的问题；二次曲线的切线的尺规作图问题；以及著名的“九树十行”问题等，都能在高等几何中得到彻底解决；另外，现行中学几何教材对希尔伯特公理系统中的公理或某些定理作了如下处理，但高等几何中几何基础部分对希尔伯特公理系统的论述，可以帮助我们分析、理解中学几何中的这些公理.（1）中学教材扩大了公理体系]1[。

浅谈高等几何对初等几何的相关指导作用学生姓名:耿丽学号:20085031196数学与信息科学学院数学与应用数学专业指导老师:何俊杰职称:讲师摘要:本文主要从仿射几何、射影几何、交比调和比、德萨格定理四个方面论述了高等几何对初等几何的指导作用.关键词:高等几何;初等几何;变换Discussion on the related instruction function of highergeometry’s on elementary geometryAbstract:In this paper,we mainly introduce the related instruction function of higher geometry’s on elementary geometry form the follow four aspects:affine geometry, projective geometry,cross ratio and harmonic ratio,Desargues theorem.Key Words: higher geometry,elementary geometry, transform前言初等几何是以静止的观点研究一些简单而又有规则的图形,高等几何则是以变动的观点研究变动的图形.相比较而言,它们虽然同属几何学科,但其观点层次的高低不同.高等几何是在初等几何乃至高等代数等课程的基础上研究几何问题的,它使学生在较高层面上认识几何空间的基本特征、研究方法、内在联系,确认几何学的本质,从而发展了几何空间概念,并为进一步学习近代数学创造条件.通过学习高等几何,可以居高临下地认识初等几何的内涵,高等几何不仅为初等几何提供了理论依据,更为它拓展了解题途径,丰富了研究方法.因此,高等几何对初等几何具有现实的指导作用,很有研究、探讨之必要,而且内容非常丰富,甚至是无止境的.1.更加全面地认识几何几何学的研究,有静的观点和动的观点两种,公理法建立几何学是研究几何的静的观点,变换群下对应的几何学研究几何动的观点,这两种观点是贯穿现行高等几何教材内容的两条主线.1.1 射影几何、仿射几何、欧式几何之间的联系按照Klcin的观点,几何学是研究在相应的变换群下图形保持不变的性质和量的科学.也就是说,每一种几何学都对应着一个变换群,图形在该变换群下保持不变的那些性质和量,就是这种几何的研究对象.由变换群序列,射影群⊃仿射群⊃正交群,它们所对应的几何学从研究范围而言,射影几何⊃仿射几何⊃欧式几何,从研究的内容（图形的性质）来说,根据普遍性被包含于特殊性之中,则恰有相反的关系,即射影几何⊂仿射几何⊂欧式几何.射影几何学是专门研究图形在射影变换下的不变性的一个数学分支.所谓平面上的射影变换,我们可以直观地把它理解为连续施行有限次中心投影所得到的平面到自身的一个变换.射影变换的一个特例是仿射变换,我们可以直观的把它理解为连续施行有限次平行投影所得到的变换,仿射变换下不变形的研究,构成仿射几何学,因此它是射影几何学的一章.仿射变换的一个特例是正交变换,我们可以直观地把它理解为连续施行平移和旋转或者再施行一个轴反射所得到的变换.正交变换下不变性的研究,构成欧式几何学,因此它是仿射几何学的一章.平面射影几何只研究平面图形中那些与点和直线的结合相关的性质,实际上比欧式几何学研究的内容更为基本.了解欧式几何、仿射几何、射影几何三者之间的关系,也就扩大了关于几何学的眼界.站得高,才能看得远,了解了欧式几何在几何学中所处的地位,这就有助于我们从几何学的全局与整体上来理解和把握初等几何教材.1.2 欧式几何和非欧氏几何的关系几何学的思维其源于非欧氏几何.因此唯有从非欧氏几何的观点来看才能得以阐明在中学所研究的欧式几何学的逻辑结构.只懂得一种欧几里得几何,就不能充分了解几何学的结构特点.几何学之所以能够提高到现代的观点,不过是在研究了非欧几何以后的事情.罗巴切夫斯基几何——在其中过已知直线的外任一点至少可以引两条直线与已知直线平行,和黎曼几何——在其中过已知直线的外任一点没有任何直线与已知直线平行,统称为非欧几何学.欧式几何、罗氏几何、黎氏几何这三种几何学表面上互相矛盾,互相排斥,但它们在射影几何是统一的,都是射影几何的子几何.了解它们之间的关系,对初等几何教材的理解和把握就会加深一步.用公理法研究几何学,对于培养学生的逻辑思维能力,了解几何学的发展历史,以及对几何中许多问题的透彻理解都是极为有利的.不同的公理体系可以建立不同的几何学,从而说明任何几何学和几何公理都是相对于某种公理体系而言的.例如,若将欧式几何的希尔伯特公理体系的平行公理换成罗巴切夫斯基—伯利亚公理,而保持其余公理不变,便得到了罗氏几何.历史上,从公元前320年欧几里得《几何原本》问世后,到公元1826年非欧几何诞生为止,围绕欧式第五公设的一场持续两千多年的争论,要解决的就是这样一个问题.确立了上述观点,依据公理化方法,就能对几何中的许多问题做出透彻的理解.例如,射影几何中为什么成立对偶原理而在欧式几何中却不成立？其原因是在射影几何中三组公理的对偶命题成立,而在欧式几何中,结合公理的第一条“通过任意给定的两点有一直线”的对偶命题是不成立的,如果离开了公理化体系,这个问题是很难解决的.掌握公理化还能对几何中的一些概念做出准确的解释.例如,在学习公理化之前,往往不容易区分像“两线段的大小”和“线段的长度”的概念,但学习了希尔伯特公理体系之后,便会清醒地认识到,用介于关系只能对两线段的大小进行比较而不能给出线段长度的概念,建立线段长度的概念还必须依赖连续公理.这样就将两个概念从思想上严格地区分出来,从而避免了犯混淆概念的错误.2.高等几何对初等几何的指导作用的具体实例分析由于射影几何包含初等几何,因此射影几何的性质必然是初等几何的性质,所以可以运用射影几何理论来解决初等几何问题.从而为初等几何解题方法寻求了更广泛的途径.2.1利用仿射几何变换法证明初等几何题放射几何是高等几何的重要组成部分,是连接射影几何与欧式几何的纽带,是应用高等几何只是解决初等几何问题的一条重要通道.在初等几何里,有大量的命题是研究图形的仿射性质的,即不涉及到距离、角度、面积的具体度量,而仅涉及到点线结合关系、直线的平行性、共线与平行线段之比、封闭图形面积之比以及线段重点等概念.对于这类的命题,我们可以充分地利用仿射几何的有关理论,由特殊到一般,化繁为简地加以解决,从而达到事半功倍的效果.这方面问题的解决,常常可以借助于仿射变换与仿射坐标系来实现.2.1.1 仿射变换的应用在仿射几何里,几何图形在任意仿射变换下都具有保持同素性、结合性和二直线的平行性及共线三点的单比、共线或平行二线段长度之比、二封闭图形面积之比不变的仿射不变性质和仿射不变量.因而,当我们要研究初等几何中图形的仿射性质时,可以在已知条件下做出它的一个比较容易研究的仿射对应图形,由研究图形的相关性质转而得出图形的性质.例1 （国际数学竞赛题）证明G 为ABC ∆重心的充要条件是AGB AGC S S ∆∆== BGC S ∆图1证明 如图1,在正ABC ∆中,若G 是正ABC ∆的重心,则G 也为内心,即G 到三边距离,,GD GE GF 相等,故AGB AGC BGC S S S ∆∆∆==.反之若AGB AGC BGC S S S ∆∆∆==,因为=AB BC AC =,故G 到三边的距离,GD ,GE GF 相等,即G 是正ABC ∆的内心,从而G 也是重心.根据仿射性质的特点,命题对正三角形成立,所以对一般的三角形也成立.例2 求证:“正方形ABCD 的一组邻边上有,E F 两点,且//EF AC .则AEB ∆和CFB ∆面积相等“（见图2）图2证明 将此命题作一仿射对应,仿射对应后的记号不变,使正方形''''A BC D 对应平行四边形ABCD ,'E 对应E ,'F 对应F .在正方形''''A BC D 中(见图2)显然有''''''A E B C E B ∆≅∆由于两个多边形面积之比为仿射不变量,所以在平行四边形ABCD 中,AEB ∆和CFB ∆面积相等.于是可得另一命题“平行四边形ABCD 的一组邻边上有,E F 两点,且//EF AC ,则AEB ∆和CFB ∆面积相等”.例 3 已知,,L M N 分别为分ABC ∆的三边,,AB BC CA 成相同比例的两个线段的三等分点,求证:ABC ∆和LMN ∆有相同的重心.图3证明 经适当仿射变换将ABC ∆变成正三角形'''A BC ∆ (如图3).设正三角形'''A BC ∆的重心为'G ,''',,L M N 分别为,,L M N 在仿射变换下的象.因仿射变换保持单比不变,故可得'''LMN ∆是正三角形,且''''''G L G M G N ==, 因此'G 是'''LMN ∆的重心, 即'''A BC ∆和'''LMN ∆有相同的重心, 又仿射变换保持三角形重心不变,故ABC ∆和LMN ∆重心相同.2.1.2 仿射坐标系的应用在初等几何中,对仅涉及到图形的有关仿射性质命题的研究,还可以通过仿射坐标系这个重要工具与桥梁,运用代数的方法加以解决.相对于笛氏坐标系,仿射坐标系的坐标轴和单位长度的选取具有任意性,我们可以根据问题的具体条件而按需要适当的建立,因而用此方法处理问题,常可以避免繁琐的几何与三角问题,解题思路简单,计算非常方便.例4 从三角形一个顶点到对边三等分点作线段,过第二顶点的中线被这些分成连比::x y z ,设x y z ≥≥,求::x y z 的值.图4 解 如图4所示,建立仿射坐标系,取(0,0)B ,(1,0)D ,(2,0)E ,(3,0)C ,(0,1)A . 易知31(,)22F ,直线BF 的方程为13y x =,直线AD 的方程为1y x =-+,直线AE 的方程为121y x =-+. 于是直线BF 与AD 的交点为31,44()G ,直线BF 与AE 的交点为62,55()H . 设BG GH λ=,由有向线段定比分点公式有603514λλ+=+,从而得53λ=,即53BG GH =.又设'GH HF λ=,同样由定比分点公式可得'32λ=,即32GH HF =. 所以,得::::5:3:2x y z BG GH HF ==2.2 射影几何在初等几何中的一些应用射影几何对初等几何教学的指导,不仅表现在提高数学思想与观点上,还直接表现在对初等几何图形的射影性质的研究中.由射影几何、仿射几何和欧式几何三者的关系,我们知道,欧式几何为仿射几何及射影几何的子几何,在其中可以讨论仿射几何的对象（仿射不变性质和仿射不变量）和射影对象（射影不变性质和是射影不变量）,因而可以用射影几何去指导与研究初等几何中的一些问题.例5 设三直线121212,,PP Q Q R R 交于一点S ,121212,,PP Q Q R R 分别交两直线12,OX OX 于点111,,P Q R 与222,,P Q R .求证直线12PQ 与21P Q 的交点,12Q R 与21Q R 的交点,12R P 与21R P 的交点在一条直线上,且所在直线通过O .图5图'5 证明 将直线OS 投影到无穷远,这只需在直线12,OX OX 所在平面π外任取一点V ,取平面'π平行于V 与OS 所定的平面,则以V 为投影中心建立π向'π的中心投影将OS 投影到'π的无穷远直线''O S ∞∞(如图'5) 设''''''''12111222,,,,,,,X X P Q R P Q R 分别是12111222,,,,,,,X X P Q R P Q R 在中心投影下的象.在图'5中,显然直线''12P Q 与''21P Q 的交点,''12Q R 与''21Q R 的交点,''12R P 与''21R P 的交点在一条直线上,且所在的直线平行于'''111,,P Q R 所在的直线或'''222,,P Q R 所在的直线.由于中心投影保持结合性不变,所以在图5里有12PQ 与21P Q 的交点,12Q R 与21Q R 的交点,12R P 与21R P 的交点在一条直线上,且点O 也在这三点所在的直线上.例6 命题:“已知//BE CF ,BC 交,BE CF 分别于,B C ,圆与,,BE BC CF 分别相切于,,E D F ,BF 交EC 于T ,则////DT BE CF ”(见图6).图6 图'6证明 此命题显然为真.因为BET FCT ∆≅∆,于是CF BECT TE =, 又因为CD CF =,BD BE =,故CD BDCT TE = 从而////DT BE CF ,即得证明.如图'6所示,ABC ∆的旁切圆切边BC 于D ,切边AB 和AC 的延长线于E 和F ,BF 交EC 于T ,作一射影变换,若各点在射影变换后的记号不变,使射影变换后ABC ∆的旁切圆为一圆,EF 变为圆的直径,A 为垂直于直径EF 的直线相对应的无穷远点.(见图6).于是可得另一命题“ABC ∆的旁切圆切边BC 于D ,切边AB 和AC 的延长线于E 和F ,设T 是直线BF 与CE 的交点,则点,,A D T 共线.”由原命题得此命题亦为真.2.3 交比、调合比在初等几何中的应用交比、调合比是射影几何的两个基本不变量,它们可用来解决许多初等几何问题,是沟通高等几何和初等几何的有效方式.利用交比、调合比可以证明初等几何中共点、共线、线段相等的问题是非常简便的,而且计算交比的方法也适用于所有的二阶曲线,这样就自然地将蝴蝶定理推广到椭圆、抛物线、双曲线上.例7 （蝴蝶定理）在图7中,过弦BC 的中点A 的任何两弦,PQ RS ,设,PS RQ 分别交BC 于,M N .求证:AM AN =.图7证明 连,,,SB SC QB QC ,则(,)(,)S BP RC Q BP RC =再由直线BC 截这两组等交比的直线,则(,)(,)BM AC BA NC =由此可知BA MC BN AC BC MC BC AN⋅⋅=⋅⋅ 由已知BA AC =得MC BN MA AN= 所以MC MA BN AN MA AN--= 又因为MC MA AC BN AN BN -=-=且所以MA AN =例8 求证:“一个角的两边与这个角的内外角平分线调和共扼”.图8 图'8证明 在图8中,,c d 顺次为(,)a b ∠的内外角平分线,作直线l 与d 平行,则l c ⊥.若l 交,,a b c 于,,A B T ,于是AOB ∆为等腰三角形,因此AT TB =.令l 与d 的所交的无穷远点为P ∞,则(,)1AB TP ∞=-所以(,)1ab cd =-.如图'8所示,,d c 顺次为(,)a b ∠的内外角平分线,直线l 与,,,a b c d 分别交于,,,A B T P .由于(,)(,)ab cd AB TP =又因BP PB =-所以AT PB BT AP ⋅=⋅即d O l b a A TB P d O l b a A T B cAT APBT PB=于是可得初等几何中的角平分线性质定理——在ABC ∆中,AD 平分A ∠,交边BC 于D ,则AB BDAC CD=. 例9 如图9所示,直线τ交ABC ∆的三边或其延长线于,,L M N ,且,,AM BNCL 交成一个三角形PQR ,求证:,,AQ BR CP 三直线共点.图9 图'9证明 利用中心射影将,,L M N 所在的直线τ投射到无穷远直线,作图9的对应图形'9.因为'''L M N ∞∞∞，，是无穷远点,所以''''''''''''//////A B Q R B C P R C A P Q ，，故四边形''''A B C R 与''''B C A P 都是平行四边形.所以''''''P A B C A R ==,即得'A 是''P R 的中点.同理可得,'B 是''P Q 的中点,'C 是''Q R 的中点,即'''''',,AQ B R C P 是'''PQ R ∆三边上的中线,且交于一点'S ,故由中心射影同素性和接合性知,,AQ BR CP 交于一点S .例10 求证三角形的三条外角平分线和对边相交,所得三点共线.图10证明 如图10,ABC ∆中,设C ∠的外角平分线交AB 于点E ,A ∠的外角平分线交BC 于点F ,B ∠的外角平分线交AC 于点G ,,,A B C ∠∠∠的内角平分线1,AA11,BB CC 相交于一点P ,AB 与11A B ,BC 与11B C ,AC 与11A C 分别交于111,,E F G .由德萨格定理可得111,,E F G 共线. 又因111,(,)1,()1,(,)1E BC B BA C A F AC G =-=-=-在完全四点形11PB CA 中,根据调和性质得11(,)1BA C E =-故111(,)(,)BA C E BA C E =即可得E 与1E 重合,同理可得F 与1F ,G 与1G 重合. 所以,,,E F G 三点共线.2.4 德萨格定理及其逆定理在初等几何中的应用 例11 试证三角形的三条中线共点图11证明 如图11, ,,AD BE CF 分别是ABC ∆的三边,,BC CA AB 上的中线 所以//,//,//EF BC DE AB DF AC设EF BC P ∞⨯=,DE AB Q ∞⨯=,DF AC R ∞⨯=在ABC ∆与DEF ∆中,对应边的交点P Q R ∞∞∞，，共线于无穷远直线,则由德萨格定理的逆定理可知,对应顶点的连线AD,BE,CF 共点.例12 对于欧式平面上的ABC ∆.设其高线分别为,,AD BE CF ,而BC EF X ⨯=,CA FD Y ⨯=,AB DE Z ⨯=,求证:,,X Y Z 三点共线.图12证明 如图12直接应用德萨格定理,考虑一对对应三点形ABC ∆和DEF ∆,因为其对应顶点连线即是ABC ∆的三条高线,故共点于垂心G ,从而三对对应边的交点,,X Y Z 共线.结束语通过前面的阐述和例题可以看出,对初等几何而言,高等几何具有鲜明的指导性和应用性的特征,对数学与应用数学专业的学生及中学数学教师来说,学好高等几何,处理初等几何的能力也就相应的增强了,而且其几何思维水平也会得到进一步的提升.前面的论述也一再表明,高等几何不是没有用处的,而是对初等几何具有重要的指导作用,只要学习和应用的人有心,积极开动脑筋,就能把高等几何的知识很好地运用到初等数学教学中去,为解决复杂繁琐的集合难题服务,为提高中学教学质量服务.参考文献[1] 罗崇善.高等几何[M ].北京:高等教育出版社,1999. [2] 梅向明.高等几何[M ].北京:高等教育出版社,1983.[3] 赵宏量.几何教学探索[M ]. 重庆:西南师范大学出版社,1987． [4] 泰安师专等.高等几何[M ]．济南:山东教育出版社,1980．[5] 梅向明等. 高等几何学习指导与习题选解[M ].北京:高等教育出版社,2004． [6] 朱德祥等.高等几何[M ].北京:高等教育出版社,2009.。

高等几何与初等几何的相融性
关丽娟
【期刊名称】《高师理科学刊》
【年(卷),期】2007(027)005
【摘要】通过实例探讨了高等几何对于初等几何的指导作用及用初等方法解决高等数学问题的可行性,旨在说明两者的相融性.注意高等数学与初等数学的联系与对比,不但可以降低高等数学的学习难度,而且可以增强高等数学对培养中学数学教师的指导作用.
【总页数】3页(P76-77,91)
【作者】关丽娟
【作者单位】哈尔滨师范大学,阿城学院.黑龙江,阿城,150301
【正文语种】中文
【中图分类】O182.2
【相关文献】
1.高等几何思想方法在初等几何中的应用 [J], 吴华玥
2.高等几何对初等几何的指导作用 [J], 郭雁君
3.利用高等几何知识解初等几何题例谈 [J], 李欢;赵临龙
4.如何利用高等几何知识解决初等几何问题 [J], 尹静
5.高等几何对初等几何的指导作用之例证——一个命题在三种几何中的不同证法[J], 马立
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高等几何教学及其对中学数学作用的研究
首先，高等几何教学可以帮助学生提高几何思维能力。

几何思维能力是指人们理解、分析、推理、解决几何问题的能力。

通过学习高等几何，学生可以学习如何描述几何形体的性质，如何推导几何定理，如何应用几何方法解决实际问题等。

这些能力对于学生的数学学习和其他学科学习都很有帮助。

其次，高等几何教学可以增强学生对数学的兴趣。

数学是一门极具挑战性的学科，学习数学需要一定的认知能力和思维能力。

但是，如果教师能够使用生动形象的教学方法，让学生感受到数学的奥妙所在，就能增强学生对数学的兴趣。

高等几何作为数学的一个重要分支，学习高等几何能让学生更加深入地了解数学的奥妙，感受到数学的魅力，从而增强对数学的兴趣。

此外，高等几何教学也可以打下坚实的基础。

学习高等几何需要学习许多关于空间几何的知识，这些知识对于学习其他数学科目很有帮助。

例如，学习高等几何能帮助学生更好地理解微积分中的概念，如曲线长、曲率等。

此外，学习高等几何还能让学生学会如何使用计算机进行几何模拟和设计，为今后的工程、物理、化学等领域的学习打下基础。

总之，高等几何教学在中学数学教学中非常重要，应该得到重视。

教师应该采用有效的教学方法和教具，使学生在学习过程中受益良多。

哈尔滨学院本科毕业论文（设计）题目：用高等几何的方法证明中学几何题院（系）理学院专业数学与应用数学年级2007级姓名赵润生学号07031334 指导教师姜秀英职称副教授2011年6月8日目录摘要 (1)ABSTRACT (2)第一章高等几何对中学几何的指导作用 (3)1.1 几何学的对象和分类 (3)1.2 对坐标系的认识 (4)1.3 关于直线和二次曲线理论 (5)第二章高等几何的一些基本理论 (8)2.1 平行射影 (8)2.2 仿射象和中心射影 (9)2.3 透视保持交比不变 (10)2.4 调和共轭 (11)第三章用高等几何的方法证明中学几何题 (14)3.1 利用平行射影证明中学几何题 (14)3.2 利用特殊仿射象证明中学几何题 (15)3.3 利用中心射影，将直线投射到无穷远处 (17)3.4 利用透视保持交比对中学几何题进行证明 (18)3.5 利用调和共轭证明线段相等和角相等 (19)参考文献 (21)后记 (22)摘要中学的几何证明题千变万化，精彩纷纭，有不少题目难于找到证明思路，高等几何为我们提供了解决中学几何证明题的一些方法，不仅能帮助教师思考问题，而且能启发我们获得初等证法，其证明过程还可以帮助我们发现新的中学几何命题，为中学生课外活动丰富了材料。

本文从高等几何对中学几何的指导作用的探讨入手，把高等几何的理论应用到中学几何证明题中，通过具体实例论述了用高等几何的方法来解决中学几何证明题的问题。

关键词:平行射影；调和共轭；仿射象；中心射影；ABSTRACTMiddle school geometry proof topic protean, nobody has many topics wonderful find proof ideas, difficult to higher geometry offers us solve middle school geometry questions of some methods, proved not only can help the teacher of thinking, and can inspire us obtain elementary proofs its proof process can also help us find new middle school geometry proposition, for high school students extra-curricular activities enriched material. This article from the higher geometry to middle school geometry guidance to let the discussion of higher geometry theory applied to middle school geometry proof questions with concrete examples discussed higher geometry method to solve the problem of middle school geometry proof.Key words:Parallel projective; Harmonic conjugate; Affine like; Center projective;第一章高等几何对中学几何的指导作用1.1 几何学的对象和分类什么是几何学？它研究的对象是什么？这在中学教科书中虽然没有明确的定义，但初中平面几何开卷家告述读者，几何学要研究图形的“形状、大小和位置关系”虽然在中学几何中，已知图形的形状、大小是不变的，位置关系也是确定的。

高等几何的高观点对初等几何的指导作用作者：李中李伟勋来源：《中学语文(学生版)》2016年第02期摘要：高等几何是高等师范院校数学教育专业的主干课程之一。

由于高等几何贯穿了大量现代数学的观点、思想和方法，因此，学生学习了高等几何，能够加深对中学几何的理论和方法的认识，从而掌握用较高观点去处理初等几何问题的能力。

笔者在长期的高等几何教学实践中，对高等几何的高观点对初等几何的指导作用做了一些教学尝试和探讨。

关键词：高等几何;初等几何; 指导作用近年来，随着高等几何课程教学改革的纵深发展，越来越多的数学教师认识到，深入思考高等几何对初等几何教学指导作用的问题很有必要，在传授专业理论知识的同时，应注重高等几何与初等几何的联系，明确高等几何对初等几何教学指导的意义。

一、高等几何能够居高临下地看待初等几何1872年，德国数学家克莱因在爱尔兰根大学宣读了现在大家叫“爱尔兰根纲领”的演说，提出了变换群的观点，明确地表述了构成几何的普遍原则，即是说可以考虑空间的一一变换的任何一个群，而且研究在这个群的一切变换下保留不变的图形性质。

现行的高等几何教材一般都是利用克莱因变换群的观点建立的，根据这一观点，运动群下图形不变性质的研究，就构成欧氏几何;仿射群下图形的不变性质的研究就构成仿射几何;射影群下图形的不变性质的研究就构成射影几何。

总之，一门几何学就是研究图形在某一变换群下不变性质的科学。

利用克莱因变换群观点可以重新审视初等几何，明确欧氏几何与仿射几何、射影几何之间的联系与区别。

中学初等几何主要研究欧氏几何，因为欧氏几何是射影几何的一个特例，所以，教师可用高等几何的较高观点来指导初等几何的教学，从而不断改进初等几何的教学方法，不断提高初等几何的教学质量。

二、高等几何对初等几何的指导作用之例证1.利用仿射变换解决初等几何问题根据高等几何知识，只要选取恰当的仿射变换，任意一个三角形、平行四边形、梯形或椭圆与特殊的正三角形、正方形、等腰梯形或圆都可以互相转换。

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论高等几何在平面几何中的应用
作者：俞冬梅
来源：《现代商贸工业》2009年第13期
摘要：高等几何是初等几何的延伸，它为初等几何提供了理论依据，拓展了初等几何的解题途径，丰富了初等几何的研究方法，开阔了初等几何的学习视野。

因此，很有必要了解高等几何在中学数学中的运用。

主要从两个方面论述了高等几何及其对初等几何的指导作用：一是高等几何的基本原理和方法；二是用高等几何原理与方法解决中学几何问题。

关键词：克莱因的群论观点；射影几何；欧氏几何；变换群与几何学；射影变换；仿射变换
中图分类号；G633.63
文献标识码：A
文章编号：1672-3198(2009)13-0192-02。