2018年北京市海淀区高三年级第一学期期中数学理试题带答案201711

海淀区高三年级第一学期期中练习数学（理科）2017.11第一部分（选择题，共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）若集合{|20}A x x =-<，{|1}xB x =>e ，则A B =I（）（A ）R（B ）(,2)-∞（C ）(0,2)（D ）(2,)+∞（2）下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递增的是（） （A ）()ln ||f x x =（B ）()2xf x -=（C ）3()f x x =（D ）2()f x x =- （3）已知向量(1,0)=a ，(1,1)=-b ，则（）（A ）a //b（B ）⊥a b（C ）()//-a b b（D ）()+⊥a b a（4）已知数列{}n a 满足1222(1,2,3,...)n a a a a n ++⋅⋅⋅+==，则（）（A ）10a < （B ）10a >（C ）12a a ≠（D ）20a =（5）将sin(2)6y x π=+的图象向左平移6π个单位，则所得图象的函数解析式为（） （A ）sin 2y x =（B ）cos 2y x = （C ）sin(2)3y x π=+（D ）sin(2)6y x π=-（6）设α∈R ，则“α是第一象限角”是“sin cos 1αα+>”的（）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（7）设()sin sin ee xx f x -=+（x ∈R ），则下列说法不正确的是 （）（A ）()f x 为R 上偶函数（B ）π为()f x 的一个周期 （C ）π为()f x 的一个极小值点（D ）()f x 在区间(0,)2π上单调递减（8）已知非空集合,A B 满足以下两个条件：（ⅰ）{}1,2,3,4,5,6A B =U ，A B =∅I ；（ⅱ）A 的元素个数不是A 中的元素，B 的元素个数不是B 中的元素， 则有序集合对(),A B 的个数为（） （A ）10（B ）12（C ）14（D ）16第二部分（非选择题，共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）定积分131x dx -⎰的值等于．（10）设在海拔x （单位：m ）处的大气压强y （单位：kPa ），y 与x 的函数关系可近似表示为100e ax y =，已知在海拔1000 m 处的大气压强为90 kPa ，则根据函数关系式，在海拔2000 m 处的大气压强为kPa ．（11）能够说明“设x 是实数．若1x >，则131x x +>-”是假命题的一个实数x 的值为． （12）已知ABC ∆是边长为2的正三角形，O ，D 分别为边AB ，BC 的中点，则①AD AC ⋅=u u u r u u u r；②若OC x AB y AD =+u u u r u u u r u u u r，则x y +=．（13）已知函数1()sin()f x x ωϕ=+（其中0ω>，2πϕ<）的部分图象如图所示，则ω=，ϕ=．（14）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，2()f x x ax a =-+，其中a ∈R ． ① (1)f -=；②若()f x 的值域是R ，则a 的取值范围是．三、解答题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，验算步骤或证明过程。

（15）（本小题13分）已知函数()22cos sin()14f x x x π=+-． （Ⅰ）求()4f π的值；（Ⅱ）求()f x 在区间[0,]2π上的最大值和最小值．（16）（本小题13分）已知{}n a 是等比数列，满足26a =，318a =-，数列{}n b 满足12b =，且{2}n n b a +是公差为2的等差数列．（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n b 的前n 项和．（17）（本小题13分）已知函数()(1)ln af x x a x x=-+-，其中0a >． （Ⅰ）当2a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）求()f x 在区间[1,e]上的最小值．（其中e 是自然对数的底数）（18）（本小题13分）如图，在四边形ACBD 中，1cos 7CAD ∠=-，且ABC ∆为正三角形.C（Ⅰ）求cos BAD ∠的值；（Ⅱ）若4CD =，BD =，求AB 和AD 的长.（19）（本小题14分）已知函数()sin x f x x =（0x <<π），()(1)ln g x x x m =-+（m ∈R ）（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）求证：1是()g x 的唯一极小值点；（Ⅲ）若存在a ，(0,)b ∈π，满足()()f a g b =，求m 的取值范围.（只需写出结论）（20）（本小题14分）若数列A ：1a ，2a ，…，n a （3n ≥）中*i a ∈N （1i n ≤≤）且对任意的21k n ≤≤-112k k k a a a +-+>恒成立，则称数列A 为“U -数列”．（Ⅰ）若数列1，x ，y ，7为“U -数列”，写出所有可能的x ，y ；（Ⅱ）若“U -数列”A ：1a ，2a ，…，n a 中，11a =，2017n a =，求n 的最大值； （Ⅲ）设0n 为给定的偶数，对所有可能的“U -数列”A ：1a ，2a ，…，0n a ，记012max{,,...,}n M a a a =，其中12max{,,...,}s x x x 表示1x ，2x ，…，s x 这s 个数中最大的数，求M 的最小值．海淀区高三年级第一学期期中练习参考答案 2017.11数 学（理科）阅卷须知:1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数.2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.(有两空的小题第一空3分) 9． 0 10．81 11．2 12．（1）3 （2）1213． 2，3π-14．（1）1- （2）(,0][4,)-∞+∞U三、解答题: 本大题共4小题，共44分. 15．（本题13分）解：（Ⅰ）因为 ()sin 1442f πππ=- ……………………1分11=- ……………………2分1= ……………………3分（Ⅱ）()sin()14f x x x π=+-(sin +)122x x x =⋅- ……………………4分 22sin cos 2cos 1x x x =+-sin 2cos 2x x =+ ……………………8分（一个公式2分）)4x π=+……………………10分因为02x π≤≤， 所以52444x πππ≤+≤ ……………………11分所以sin 214x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭ 故124x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭当2,42x ππ+=即8x π=时，()f x当52,44x ππ+=即2x π=时，()f x 有最小值1- …………………… 13分 （函数最大值和最小值结果正确1分，写出取得最大值和最小值时对应自变量的取值1分）16．（本题13分） 解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公比为q ，则21231618a a q a a q ==⎧⎨==-⎩ ……………………2分 解得12a =-，3q =- ……………………3分 所以，12(3)n n a -=-⨯-……………………5分令2n n n c b a =+，则11122c b a =+=2(1)22n c n n =+-⨯=……………………7分1(3)2n n nn c a b n --==+- ……………………9分（Ⅱ） (1)1(3)24nn n n S +--=+ …………………13分 （分组求和，每组求对给2分）17．（本题13分）解：（Ⅰ）当2a =时，2()3ln f x x x x =--，2(1)(2)'()x x f x x --=，………………1分 此时，(1)1f =-，'(1)0f =， ……………………2分故曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为1y =-． ……………………3分 （Ⅱ）()(1)ln af x x a x x=-+-的定义域为(0,)+∞ ……………………4分 221(1)()'()1a a x x a f x x x x +--=-+=……………………5分令'()0f x =得，x a =或1x =……………………6分① 当01a <≤时，对任意的1x <<e ，'()0f x >，()f x 在[1,]e 上单调递增 …………7分()(1)1f x f a ==-最小…………………… 8分② 当1< ……………………10分()()1(1)ln f x f a a a a ==--+⋅最小……………………11分 ② 当a ≥e 时，对任意的1x <<e ，'()0f x <，()f x 在[1,]e 上单调递减 …………12分()()(1)a f x f a ==-+-e e e最小…………………… 13分由①、②、③可知，1,01()1(1)ln ,1(1),a a g a a a a a a a a ⎧⎪-<≤⎪=--+⋅<<⎨⎪⎪-+-≥⎩e e ee18．（本题13分）解：（Ⅰ）因为1cos 7CAD ∠=-，(0,)CAD ∠∈π所以sin 7CAD ∠=…………………… 2分 （没写角取值范围的扣1分 ） 所以cos BAD ∠cos ()3CAD π=∠-cos cos sin sin 33CADCAD ππ=∠+∠ ……………………4分117272=-⋅+1114=…………………… 6分（Ⅱ）设AB AC BC x ===，AD y =，在ACD ∆和ABD ∆中由余弦定理得2222222cos 2cos AC AD AC AD CAD CD AB AD AB AD BAD BD⎧+-⋅∠=⎪⎨+-⋅∠=⎪⎩ …………………10分（每个公式给2分）代入得 222221671137x y xy x y xy ⎧++=⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩解得x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩即AB =，AD =……………………13分19．（本题14分）解：（Ⅰ）因为'()sin cos )x x f x x x =+e e ……………………2分2sin()4x x π=+e令'()0f x =，得sin()04x π+=因为0x <<π，所以 34x =π …………………… 3分 当x 变化时，'()f x ，()f x 的变化情况如下：故()f x 的单调递增区间为3(0,)4π，()f x 的单调递减区间为3(,)4ππ…………………… 6分 （Ⅱ）证明：()(1)ln g x x x m =-+Q1'()ln 1g x x x∴=-+（0x >）， …………………… 7分设1()'()ln 1h x g x x x ==-+，则 '211()0h x x x=+>。