2018学年杨浦区高三年级一模试卷2018.12一、填空题1.设全集{}1,2,3,4,5U =，若集合{}3,4,5A =，则u A =ð___________.2.已知扇形的半径为6，圆心角为3π，则扇形的面积为___________. 3.已知双曲线221x y -=，则其两条渐近线的夹角为___________. 4.若()na b +展开式的二项式系数之和为8，则n =___________. 5.若实数,x y 满足221x y +=，则xy 的取值范围是___________.6.若圆锥的母线长()5l cm =，高()4h cm =，则这个圆锥的体积等于___________.7.在无穷等比数列{}n a 中，()121lim ,2n n a a a →+∞+++=则1a 的取值范围是___________. 8.若函数()1ln1xf x x +=-的定义域为集合A ，集合(),1B a a =+，且B A ⊆,则实数a 的取值范围为___________.9.在行列式274434651xx--中，第3行第2列的元素的代数余子式记作()f x ，则()1y f x =+的零点是___________.10.已知复数())12cos 2,cos z x f x i z x x i =+=++，（,x R i ∈虚数单位）在复平面上，设复数12,z z 对应的点分别为12,Z Z ，若1290Z OZ ∠=，其中是坐标原点，则函数()f x 的最小正周期___________. 11.当0x a <<时，不等式()22112x a x +≥-恒成立，则实数a 的最大值为___________. 12.设d 为等差数列{}n a 的公差，数列{}n b 的前项和n T ，满足()()112n n n nT b n N *+=-∈，且52d a b ==，若实数{}()23,3k k k m P x a x a k N k *-+∈=<<∈≥，则称m 具有性质k P ，若是n H 数列{}n T 的前n 项和，对任意的n N *∈，21n H -都具有性质k P ，则所有满足条件的k 的值为___________. 二、选择题13.下列函数中既是奇函数，又在区间[]1,1-上单调递减的是（ ）（A ）()arcsin f x x= （B ）lg y x= （C ）()f x x =-（D ）()cos f x x =14.某象棋俱乐部有队员5人，其中女队员2人，现随机选派2人参加一个象棋比赛，则选出的2人中恰有1人是女队员的概率为 （ ）（A ）310 （B ） 35 （C ） 25 （D ）2315.已知()sin log ,0,2f x x θπθ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，设sin cos ,,2a f b f θθ+⎛⎫== ⎪⎝⎭sin sin cos c f θθθ⎛⎫=⎪+⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是 （A ）a b c ≤≤ （B ）b c a ≤≤ （C ）c b a ≤≤（D ）a b c ≤≤16.已知函数()22x f x m x nx =⋅++，记集合(){}0,A x f x x R==∈，集合(){}0,B x f x x R ==∈，若A B =，且都不是空集，则m n +的取值范围是（ ）（ A ）[]0,4（B ）[]1,4- （C ）[]3,5- （D ）[]0,7三、解答题17.如图，,PA ABCD ⊥平面四边形ABCD 为矩形，1PA PB ==，2AD =，点F 是PB 的中点，点E 在边BC 上移动。
2018年上海市杨浦区中考数学一模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．（4分）如果5x＝6y，那么下列结论正确的是（）A．x：6＝y：5B．x：5＝y：6C．x＝5，y＝6D．x＝6，y＝52．（4分）下列条件中，一定能判断两个等腰三角形相似的是（）A．都含有一个40°的内角B．都含有一个50°的内角C．都含有一个60°的内角D．都含有一个70°的内角3．（4分）如果△ABC∽△DEF，A、B分别对应D、E，且AB：DE＝1：2，那么下列等式一定成立的是（）A．BC：DE＝1：2B．△ABC的面积：△DEF的面积＝1：2C．∠A的度数：∠D的度数＝1：2D．△ABC的周长：△DEF的周长＝1：24．（4分）如果（，均为非零向量），那么下列结论错误的是（）A．B．C．D．5．（4分）如果二次函数y＝ax 2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么下列不等式成立的是（）A．a＞0B．b＜0C．ac＜0D．bc＜0．6．（4分）如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、AC、BC上，且∠AED＝∠B，再将下列四个选项中的一个作为条件，不一定能使得△ADE和△BDF相似的是（）A ．B ．C ．D ．．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）抛物线y ＝x 2﹣3的顶点坐标是．8．（4分）化简：．9．（4分）点A （﹣1，m ）和点B （﹣2，n ）都在抛物线y ＝（x ﹣3）2+2上，则m 与n 的大小关系为mn （填“＜”或“＞”）．10．（4分）请写出一个开口向下，且与y 轴的交点坐标为（0，4）的抛物线的表达式．11．（4分）如图，DE ∥FG ∥BC ，AD ：DF ：FB ＝2：3：4，如果EG ＝4，那么AC ＝．12．（4分）如图，在?ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，点E 是OA 的中点，联结BE 并延长交AD于点F ，如果△AEF 的面积是4，那么△BCE 的面积是．13．（4分）Rt △ABC 中，∠C ＝90°，如果AC ＝9，cosA ，那么AB ＝．14．（4分）如果某人滑雪时沿着一斜坡下滑了130米的同时，在铅垂方向上下降了50米，那么该斜坡的坡度是1：．15．（4分）如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，M 是AB 中点，MH ⊥BC ，垂足为点H ，CM 与AH交于点O ，如果AB ＝12，那么CO ＝．16．（4分）已知抛物线y ＝ax 2+2ax+c ，那么点P （﹣3，4）关于该抛物线的对称轴对称的点的坐标是．17．（4分）在平面直角坐标系中，将点（﹣b ，﹣a ）称为点（a ，b ）的“关联点”（例如点（﹣2，﹣1）是点（1，2）的“关联点”）．如果一个点和它的“关联点”在同一象限内，那么这一点在第象限．18．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，将△ABC绕点A旋转，当点B与点C重合时，点C落在点D处，如果sinB，BC＝6，那么BC的中点M和CD的中点N的距离是．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：．20．（10分）已知：如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，sinB，点D、E分别在边AB、BC上，且AD：DB＝2：3，DE⊥BC．（1）求∠DCE的正切值；（2）如果设，，试用、表示．21．（10分）甲、乙两人分别站在相距6米的A、B两点练习打羽毛球，已知羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，甲在离地面1米的C处发出一球，乙在离地面 1.5米的D处成功击球，球飞行过程中的最高点H与甲的水平距离AE为4米，现以A为原点，直线AB为x轴，建立平面直角坐标系（如图所示）．求羽毛球飞行的路线所在的抛物线的表达式及飞行的最高高度．22．（10分）如图是某路灯在铅垂面内的示意图，灯柱BC的高为10米，灯柱BC与灯杆AB的夹角为120°．路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域DE的长为13.3米，从D、E两处测得路灯A的仰角分别为α和45°，且tanα＝6．求灯杆AB的长度．23．（12分）已知：梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，对角线AC、BD交于点E，点F在边BC 上，且∠BEF＝∠BAC．（1）求证：△AED∽△CFE；（2）当EF∥DC时，求证：AE＝DE．24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x 2+2mx﹣m2﹣m+1交y轴于点为A，顶点为D，对称轴与x轴交于点H．（1）求顶点D的坐标（用含m的代数式表示）；（2）当抛物线过点（1，﹣2），且不经过第一象限时，平移此抛物线到抛物线y＝﹣x2+2x的位置，求平移的方向和距离；（3）当抛物线顶点D在第二象限时，如果∠ADH＝∠AHO，求m的值．25．（14分）已知：矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点M、N分别在边AB、CD上，直线MN交矩形对角线AC于点E，将△AME沿直线MN翻折，点A落在点P处，且点P在射线CB上．（1）如图1，当EP⊥BC时，求CN的长；（2）如图2，当EP⊥AC时，求AM的长；（3）请写出线段CP的长的取值范围，及当CP的长最大时MN的长．2018年上海市杨浦区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．（4分）如果5x＝6y，那么下列结论正确的是（）A．x：6＝y：5B．x：5＝y：6C．x＝5，y＝6D．x＝6，y＝5【解答】解：∵5x＝6y，∴，故选项A正确．故选：A．2．（4分）下列条件中，一定能判断两个等腰三角形相似的是（）A．都含有一个40°的内角B．都含有一个50°的内角C．都含有一个60°的内角D．都含有一个70°的内角【解答】解：因为A，B，D给出的角40°，50°，70°可能是顶角也可能是底角，所以不对应，则不能判定两个等腰三角形相似；故A，B，D错误；C、有一个60°的内角的等腰三角形是等边三角形，所有的等边三角形相似，故C正确．故选：C．3．（4分）如果△ABC∽△DEF，A、B分别对应D、E，且AB：DE＝1：2，那么下列等式一定成立的是（）A．BC：DE＝1：2B．△ABC的面积：△DEF的面积＝1：2C．∠A的度数：∠D的度数＝1：2D．△ABC的周长：△DEF的周长＝1：2【解答】解：A、BC与EF是对应边，所以，BC：DE＝1：2不一定成立，故本选项错误；B、△ABC的面积：△DEF的面积＝1：4，故本选项错误；C、∠A的度数：∠D的度数＝1：1，故本选项错误；D、△ABC的周长：△DEF的周长＝1：2正确，故本选项正确．故选：D．4．（4分）如果（，均为非零向量），那么下列结论错误的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、正确．因为（，均为非零向量），所以与是方向相同的向量，即∥；B、错误．应该是2；C、正确．由可得；D、正确．因为所以||＝2||；故选：B．5．（4分）如果二次函数y＝ax 2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么下列不等式成立的是（）A．a＞0B．b＜0C．ac＜0D．bc＜0．【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴x＞0，∴b＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴ac＜0，bc＞0．故选：C．6．（4分）如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、AC、BC上，且∠AED＝∠B，再将下列四个选项中的一个作为条件，不一定能使得△ADE和△BDF相似的是（）A ．B ．C ．D ．．【解答】解：A 、∵∠AED ＝∠B ，，∴△ADE ∽△BDF ，正确；B 、∵∠AED ＝∠B ，，∴△ADE ∽△BDF ，正确；C 、∵∠AED ＝∠B ，，不是夹角，∴不能得出△ADE ∽△BDF ，错误；D 、∵∠AED ＝∠B ，，∴△ABC ∽△BDF ，∵∠A ＝∠A ，∠B ＝∠AED ，∴△AED ∽△ABC ，∴△ADE ∽△BDF ，正确；故选：C ．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）抛物线y ＝x 2﹣3的顶点坐标是（0，﹣3）．【解答】解：∵抛物线y ＝x 2﹣3，∴抛物线y ＝x 2﹣3的顶点坐标是：（0，﹣3），故答案为：（0，﹣3）．8．（4分）化简：4．【解答】解：＝234故答案为4．9．（4分）点A （﹣1，m ）和点B （﹣2，n ）都在抛物线y ＝（x ﹣3）2+2上，则m 与n 的大小关系为m＜n （填“＜”或“＞”）．【解答】解：∵二次函数的解析式为y ＝（x ﹣3）2+2，∴该抛物线开口向上，对称轴为x ＝3，在对称轴y 的左侧y 随x 的增大而减小，∵﹣1＞﹣2，∴m ＜n ．故答案为：＜．10．（4分）请写出一个开口向下，且与y 轴的交点坐标为（0，4）的抛物线的表达式y ＝﹣x 2+4．【解答】解：因为抛物线的开口向下，则可设a ＝﹣1，又因为抛物线与y轴的交点坐标为（0，4），则可设顶点为（0，4），所以此时抛物线的解析式为y＝﹣x2+4．故答案为y＝﹣x2+4．11．（4分）如图，DE∥FG∥BC，AD：DF：FB＝2：3：4，如果EG＝4，那么AC＝12．【解答】解：∵DE∥FG∥BC，∴AE：EG：GC＝AD：DF：FB＝2：3：4，∵EG＝4，∴AE，GC，∴AC＝AE+EG+GC＝12，故答案为：12．12．（4分）如图，在?ABCD中，AC、BD相交于点O，点E是OA的中点，联结BE并延长交AD 于点F，如果△AEF的面积是4，那么△BCE的面积是36．【解答】解：∵在?ABCD中，AO AC，∵点E是OA的中点，∴AE CE，∵AD∥BC，∴△AFE∽△CBE，∴，∵S△AEF＝4，（）2，∴S△BCE＝36，故答案为36．13．（4分）Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AC＝9，cosA，那么AB＝27．【解答】解：如图．∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，cosA，∴，∴AB＝27．故答案为：27．14．（4分）如果某人滑雪时沿着一斜坡下滑了130米的同时，在铅垂方向上下降了50米，那么该斜坡的坡度是1： 2.4．【解答】解：由题意得，水平距离120，则该斜坡的坡度i＝50：120＝1：2.4．故答案为 2.4．15．（4分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，M是AB中点，MH⊥BC，垂足为点H，CM与AH 交于点O，如果AB＝12，那么CO＝4．【解答】解：∵∠C＝90°，CM是AB边上的中线，∴CM AB＝6，∵MH⊥BC，∴H是BC的中点，∴AH 是BC 边上的中线，∵AH 与CM 交于点O ，∴O 是△ABC 的重心，∴，∴CO CM ＝4，故答案为：4；16．（4分）已知抛物线y ＝ax 2+2ax+c ，那么点P （﹣3，4）关于该抛物线的对称轴对称的点的坐标是（1，4）．【解答】解：∵y ＝ax 2+2ax+c ，∴抛物线对称轴为x 1，∵P （﹣3，4）关于对称轴对称的点的坐标为（1，4），故答案为：（1，4）．17．（4分）在平面直角坐标系中，将点（﹣b ，﹣a ）称为点（a ，b ）的“关联点”（例如点（﹣2，﹣1）是点（1，2）的“关联点”）．如果一个点和它的“关联点”在同一象限内，那么这一点在第二、四象限．【解答】解：若a ，b 同号，则﹣b ，﹣a 也同号且符号改变，此时点（﹣b ，﹣a ），点（a ，b ）分别在一三象限，不合题意；若a ，b 异号，则﹣b ，﹣a 也异号，此时点（﹣b ，﹣a ），点（a ，b ）都在第二或第四象限，符合题意；故答案为：二、四．18．（4分）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，将△ABC 绕点A 旋转，当点B 与点C 重合时，点C 落在点D 处，如果sinB ，BC ＝6，那么BC 的中点M 和CD 的中点N 的距离是4．【解答】解：如图所示，连接BD ，AM ，∵AB ＝AC ，M 是BC 的中点，BC ＝6，∴AM ⊥BC ，∵sin B，BM＝3，∴Rt△ABM中，由勾股定理可得：AM，AB AC，∵∠ACB＝∠ACD，BC＝DC，∴BD⊥AC，BH＝DH，∴BC×AM AC×BH，∴BH4，∴BD＝2BH＝8，又∵M是BC的中点，N是CD的中点，∴MN BD＝4，故答案为：4．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：．【解答】解：原式．20．（10分）已知：如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，sinB，点D、E分别在边AB、BC上，且AD：DB＝2：3，DE⊥BC．（1）求∠DCE的正切值；（2）如果设，，试用、表示．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，sinB，∴，∴设AC＝3a，AB＝5a．则BC＝4a．∵AD：DB＝2：3，∴AD＝2a，DB＝3a．∵∠ACB＝90°即AC⊥BC，又DE⊥BC，∴AC∥DE．∴，．∴，．∴DE a，CE a，∵DE⊥BC，∴tan∠DCE．（2）∵AD：DB＝2：3，∴AD：AB＝2：5，∵，，∴，，∵，∴．21．（10分）甲、乙两人分别站在相距6米的A、B两点练习打羽毛球，已知羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，甲在离地面1米的C处发出一球，乙在离地面 1.5米的D处成功击球，球飞行过程中的最高点H与甲的水平距离AE为4米，现以A为原点，直线AB为x轴，建立平面直角坐标系（如图所示）．求羽毛球飞行的路线所在的抛物线的表达式及飞行的最高高度．【解答】解：由题意得：C（0，1），D（6，1.5），抛物线的对称轴为直线x＝4，设抛物线的表达式为：y＝ax2+bx+1（a≠0），则据题意得：，解得：，∴羽毛球飞行的路线所在的抛物线的表达式为：y x2x+1，∵y（x﹣4）2，∴飞行的最高高度为：米．22．（10分）如图是某路灯在铅垂面内的示意图，灯柱BC的高为10米，灯柱BC与灯杆AB的夹角为120°．路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域DE的长为13.3米，从D、E两处测得路灯A的仰角分别为α和45°，且tanα＝6．求灯杆AB的长度．【解答】解：过点A作AF⊥CE，交CE于点F，过点B作BG⊥AF，交AF于点G，则FG＝BC ＝10．由题意得∠ADE＝α，∠E＝45°．设AF＝x．∵∠E＝45°，∴EF＝AF＝x．在Rt△ADF中，∵tan∠ADF，∴DF，∵DE＝13.3，∴x13.3．∴x＝11.4．∴AG＝AF﹣GF＝11.4﹣10＝1.4．∵∠ABC＝120°，∴∠ABG＝∠ABC﹣∠CBG＝120°﹣90°＝30°．∴AB＝2AG＝2.8，答：灯杆AB的长度为 2.8米．23．（12分）已知：梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，对角线AC、BD交于点E，点F在边BC 上，且∠BEF＝∠BAC．（1）求证：△AED∽△CFE；（2）当EF∥DC时，求证：AE＝DE．【解答】证明：（1）∵∠BEC＝∠BAC+∠ABD，∠BEC＝∠BEF+∠FEC，又∵∠BEF＝∠BAC，∴∠ABD＝∠FEC，∵AD＝AB，∴∠ABD＝∠ADB，∴∠FEC＝∠ADB，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠ECF，∴△AED∽△CFE；（2）∵EF∥DC，∴∠FEC＝∠ECD，∵∠ABD＝∠FEC，∴∠ABD＝∠ECD，∵∠AEB＝∠DEC．∴△AEB∽△DEC，∴，∵AD∥BC，∴，∴．即AE2＝DE2，∴AE＝DE．24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x 2+2mx﹣m2﹣m+1交y轴于点为A，顶点为D，对称轴与x轴交于点H．（1）求顶点D的坐标（用含m的代数式表示）；（2）当抛物线过点（1，﹣2），且不经过第一象限时，平移此抛物线到抛物线y＝﹣x2+2x的位置，求平移的方向和距离；（3）当抛物线顶点D在第二象限时，如果∠ADH＝∠AHO，求m的值．【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣m+1＝﹣（x﹣m）2﹣m+1，∴顶点D（m，1﹣m）．（2）∵抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣m+1过点（1，﹣2），∴﹣2＝﹣1+2m﹣m2﹣m+1．整理得：m2﹣m﹣2＝0．∴m＝﹣1（舍）或m＝2．当m＝2时，抛物线的顶点是（2，﹣1），∴向左平移了1个单位，向上平移了2个单位．（3）∵顶点D在第二象限，∴m＜0．当点A在y轴的正半轴上，如图（1）作AG⊥DH于点G，∵A（0，﹣m2﹣m+1），D（m，﹣m+1），∴H（m，0），G（m，﹣m2﹣m+1）∵∠ADH＝∠AHO，∴tan∠ADH＝tan∠AHO，∴．∴．整理得：m2+m＝0．∴m＝﹣1或m＝0（舍）．当点A在y轴的负半轴上，如图（2）．作AG⊥DH于点G，∵A（0，﹣m2﹣m+1），D（m，﹣m+1），∴H（m，0），G（m，﹣m2﹣m+1）∵∠ADH＝∠AHO，∴tan∠ADH＝tan∠AHO，∴．∴．整理得：m2+m﹣2＝0．∴m＝﹣2或m＝1（舍）．综上所述，m的值为﹣1或﹣2．25．（14分）已知：矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点M、N分别在边AB、CD上，直线MN交矩形对角线AC于点E，将△AME沿直线MN翻折，点A落在点P处，且点P在射线CB上．（1）如图1，当EP⊥BC时，求CN的长；（2）如图2，当EP⊥AC时，求AM的长；（3）请写出线段CP的长的取值范围，及当CP的长最大时MN的长．【解答】解：（1）∵△AME沿直线MN翻折，点A落在点P处，∴△AME≌△PME．∴∠AEM＝∠PEM，AE＝PE．∵ABCD是矩形，∴AB⊥BC．∵EP⊥BC，∴∠AME＝∠PEM．∴∠AEM＝∠AME．∴AM＝AE，∵ABCD是矩形，∴AB∥DC．∴．∴CN＝CE，设CN＝CE＝x．∵ABCD是矩形，AB＝4，BC＝3，∴AC＝5．∴PE＝AE＝5﹣x．∵EP⊥BC，∴sin∠ACB．∴，∴x，即CN（2）∵△AME沿直线MN翻折，点A落在点P处，∴△AME≌△PME．∴AE＝PE，AM＝PM．∵EP⊥AC，∴．∴．∵AC＝5，∴AE，CE．∴PE，∴PC．∴PB＝PC﹣BC，在Rt△PMB中，∵PM2＝PB2+MB2，AM＝PM．∴AM2＝（）2+（4﹣AM）2．∴AM；（3）∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝3，根据勾股定理得，AC＝5，由折叠知，AE＝PE，由三角形的三边关系得，PE+CE＞PC，∴AC＞PC，∴PC＜5，∴点E是AC中点时，PC最小为0，当点E和点C重合时，PC最大为AC＝5，∴0≤CP≤5，如图，当点C，N，E重合时，PC＝BC+BP＝5，∴BP＝2，由折叠知，PM＝AM，在Rt△PBM中，PM＝4﹣BM，根据勾股定理得，PM2﹣BM2＝BP2，∴（4﹣BM）2﹣BM2＝4，∴BM，在Rt△BCM中，根据勾股定理得，MN．当CP最大时MN，第21页（共21页）。
杨浦区2018学年度第一学期高三年级模拟质量调研数学学科试卷及答案 2018.12.考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号,并将核对后的条形码贴在指定位置上.2． 本试卷共有21道题，满分150分，考试时间120分钟．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置填写结果.1．设全集{}=1,2,3,4,5U ，若集合{}3,4,5A =，则U A =ð ▲ ．2．已知扇形的半径为6，圆心角为3π，则扇形的面积为 ▲ ． 3．已知双曲线221x y -=，则其两条渐近线的夹角为 ▲________．4. 若nb a )(+展开式的二项式系数之和为8，则n = ▲________．5. 若实数,x y 满足 221x y +=，则xy 的取值范围是▲________．6. 若圆锥的母线长=l )(5cm ，高)(4cm h =，则这个圆锥的体积等于▲________()3cm . 7. 在无穷等比数列{}n a 中，121lim()2n n a a a →∞+++=，则1a 的取值范围是▲________． 8. 若函数1()ln1xf x x+=-的定义域为集合A ，集合(,1)B a a =+. 且B A ⊆， 则实数a 的取值范围为▲________．9. 在行列式中，第3行第2列的元素的代数余子式记作，则的零点是▲________10. 已知复数1cos 2()i z x f x =+，2cos )i z x x =++ (,R x λ∈，i 为虚数单位）．在复平面上，设复数12,z z 对应的点分别为12,Z Z ，若︒=∠9021OZ Z ，其中O 是坐标原点，则函数()f x 的最小正周期 ▲________． 11. 当a x <<0时，不等式2)(1122≥-+x a x 恒成立，则实数a 的最大值为 ▲________． 274434651xx--()f x 1()y f x =+12. 设d 为等差数列}{n a 的公差，数列}{n b 的前n 项和n T ，满足)N ()1(21*∈-=+n b T n n n n ，且25b a d ==. 若实数)3,N }(|{*32≥∈<<=∈+-k k a x a x P m k k k ，则称m 具有性质k P .若n H 是数列}{n T 的前n 项和，对任意的*N ∈n ，12-n H 都具有性质k P ，则所有满足条件的k 的值为▲________.二、选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13. 下列函数中既是奇函数，又在区间[-1,1]上单调递减的是 ………( ). x x f arcsin )(=. lg y x =.()f x x =-.()cos f x x =14. 某象棋俱乐部有队员5人，其中女队员2人. 现随机选派2人参加一个象棋比赛，则选出的2人中恰有1人是女队员的概率为 ………( )()A .310()B .35()C .25()D .2315. 已知x x f θsin log )(=，，设sin cos ,2a f θθ+⎛⎫=⎪⎝⎭b f =，sin 2sin cos c f θθθ⎛⎫=⎪+⎝⎭，则c b a ,,的大小关系是 ………( )()A .b c a ≤≤.()B .a c b ≤≤. ()C .a b c ≤≤.()D .c b a ≤≤.16. 已知函数nx x m x f x ++⋅=22)(，记集合},0)(|{R x x f x A ∈==，集合},0)]([|{R x x f f x B ∈==，若B A =，且都不是空集，则n m +的取值范围是………( )()A . [0,4) ()B . [1,4)- ()C . [3,5]- ()D . [0,7)()A ()B ()C ()D )2,0(πθ∈三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，1PA AB ==，2AD =，点F 是PB 的中点，点E 在边BC 上移动.（1）求三棱锥E PAD -的体积；（2）证明：无论点E 在边BC 的何处，都有AF PE ⊥.18. （本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且5cos 13B =． （1）若4sin 5A =，求cos C ； （2）若4b =，求证：5-≥⋅BC AB ．19. （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）上海某工厂以x 千克/小时的速度匀速生产一种产品，每一小时可获得的利润是)315(xx -+元，其中101≤≤x .（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于30元，求x 的取值范围；（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：该厂应选取何种生产速度？并求最大利润.20. （本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分）如图，已知点P 是y 轴左侧（不含y 轴）一点，抛物线x y C 4:2=上存在不同的两点B A ,，满足PB PA ,的中点均在抛物线C 上.（1）求抛物线C 的焦点到准线的距离；（2）设AB 中点为M ，且),(),,(M M P P y x M y x P ，证明：M P y y =；（3）若P 是曲线221(0)4y x x +=<上的动点，求PAB ∆面积的最小值.21. （本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分9分） 记无穷数列{}n a 的前n 项中最大值为n M ，最小值为n m ，令2n nn M m b +=，其中*N ∈n . (1) 若2cos2n n n a π=+，请写出3b 的值； (2) 求证：“数列{}n a 是等差数列”是“数列{}n b 是等差数列”的充要条件；(3) 若对任意n ，有||2018n a <, 且||1n b =，请问：是否存在*K ∈N ，使得对于任意不小于K 的正整数n ，有1n n b b += 成立？请说明理由．青浦区2018学年第一学期高三年级期终学业质量调研测试数学参考答案及评分标准 2018.12说明1．本解答列出试题一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分．2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅．当考生的解答在某一步出现错误，影响了后续部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，但是原则上不应超出后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分．3．第17题至第21题中右端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题分数． 4．给分或扣分均以1分为单位．一.填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果. 1．{}1-； 2．“若a b <，则22am bm <”； 3．()2,3-；4．43； 5．12π；67．(0,4)(4,8)； 8．32；9. 80； 10. 14；11．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦；12.1,3⎤⎦.二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 13. A ；14. D ； 15．C ；16. C .三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分. 解：（1）在正四棱柱1111ABCD A B C D -中， ∵1AA ⊥平面ABCD ，AD ⊂≠平面ABCD ， ∴1AA AD ⊥，故14AA =， ∴正四棱柱的侧面积为(43)448⨯⨯=， 体积为2(3)436⨯=．（2）建立如图的空间直角坐标系O xyz -，由题意 可得(0,0,0)D ,(3,3,0)B ,1(3,0,4)A ,(0,0,0)D ,3(,0,2)2E ,1(0,0,4)AA =，3(,3,2)2BE =--，设1AA 与BE 所成角为α，直线BE 与平面ABCD 所成角为θ，则11cos ||||AA BEAA BE α⋅===⋅ 又1AA是平面ABCD 的一个法向量， 故sin cos θα==，θ=．所以直线BE 与平面ABCD所成的角为arcsin61． 【另法提示：设AD 中点为G ，证EBG ∠即为BE 与平面ABCD 所成的角，然后解直角三角形EBG ，求出EBG ∠】arctan 1518．（本题满分14分）第（1）小题满分8分，第（2）小题满分6分.解：（1）,1,01BP t CP t t ==-≤≤45DAQ θ∠=︒-,1tan(45)1tDQ tθ-=︒-=+, 12111t tCQ t t-=-=++所以211t PQ t +===+ 故221111211t t l CP CQ PQ t t t t t+=++=-++=-++=++ 所以△CPQ 的周长l 是定值2（2）111221ABP ADQ ABCD t t S S S S t ∆∆-=--=--⨯+正方形122(1)221t t=-++≤+当且仅当1t =时，等号成立所以摄像头能捕捉到正方形ABCD 内部区域的面积S至多为22hm19.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分. 解：（1）因为函数()3g x x =是函数()3mf x x x=+在区间[)+∞4，上的弱渐近函数， 所以()()1mf xg x x-=≤ ，即m x ≤在区间[)+∞4，上恒成立， 即444m m ≤⇒-≤≤（2）()()2f x g x x x -==[)2,+x ∈∞，()()22(f x g x x x ∴-==-A DCBθP Q45令2()()()2(x xh x f x g x x=-===任取122x x≤<，则2212311x x≤-<-≤<120xx<<12()()h x h x⇒>⇒<即函数()()()2(h x f x g x x=-=在区间[)2,+∞上单调递减，所以(()()0,4f x gx-∈-，又([]0,41,1-⊆-，即满足()2g x x=使得对于任意的[)2,x∈+∞有()()1f xg x-≤恒成立，所以函数()2g x x=是函数()f x=在区间[)2,+∞上的弱渐近函数．20.(本题满分16分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分.解：（1）242a a=⇒=，又双曲线的渐近线方程为y=，所以bba==双曲线的标准方程是221412x y-=．（2）法一：由题不妨设11()A x，22(,)B x，则1212(,)22x xP+，由P在双曲线上，代入双曲线方程得124x x⋅=；法二：当直线AB的斜率不存在时，显然2x=±，此时124xx⋅=；当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为(0,y kxt k k=+≠≠则由y kx tAy=+⎛⎧⎪⇒⎨=⎪⎩同理y kx tBy=+⎛⎧⎪⇒⎨=⎪⎩此时223,33kt t P k k ⎛⎫ ⎪--⎝⎭代入双曲线方程得224(3)t k =-，所以212243t x x k ⋅==-（3）①对称中心：原点；对称轴方程：,y y x ==②顶点坐标：3,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，322⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭；焦点坐标：(，(1,-实轴长：2a =、虚轴长：22b =、焦距：24c =③范围：()0,,2,x y ⎡≠∈-∞+∞⎣④渐近线：0,3x y x ==21.(本题满分18分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分.解：（1）因为数列{}n b 是“Γ数列”，且11b =，3k =、4d =、0c =，所以当1n ≥，n *∈N 时，310n b +=，又*2016672N 3=∈，即20170b =， 20182017044b b d =+=+=，20192018448b b d =+=+= （2）因为数列{}n b 是“Γ数列”，且12b =，4k =、2d =、1c =()()()414344341434243434312336n n n n n n n n n n b b cb b b d b b d b b d b d +---------=-=⨯+-=+-=+-==则数列前4n 项中的项43n b -是以2为首项，6为公差的得差数列，易知{}4n b 中删掉含有43n b -的项后按原来的顺序构成一个首项为2公差为2的等差数列，41543()n n S b b b -∴=+++()()()()23467846454442414+n n n n n n b b b b b b b b b b b b -----++++++++++++⎡⎤⎣⎦2(1)3(31)26(3)2212822n n n n n n n n --=+⨯+⨯+⨯=+ 43nn S λ≤⋅，43nn S λ∴≤，设2412833n n n n S n n c +==，则()max n c λ≥，22211112(1)8(1)12824820333n n n n n n n n n n n c c +++++++-++-=-=当1n =时，2248200n n -++>，12c c <；当2n ≥，n *∈N 时，2248200n n -++<，1n n c c +<，∴123c c c <>>，∴()2max 649n c c ==， 即()2max 649n c c λ≥==（3）因为{}n b 既是“Γ数列”又是等比数列，设{}n b 的公比为1n nb q b +=，由等比数列的通项公式有1n n b bq -=，当m *∈N 时，21k m k m b b d ++-=，即()11km km km bq bq bq q d +-=-=① 1q =，则0d =，n b b =； ② 1q ≠，则()1kmd qq b=-，则kmq 为常数，则1q =-，k 为偶数，2d b =-，()11n n b b -=-； 经检验，满足条件的{}n b 的通项公式为n b b =或()11n n b b -=-.。
杨浦区2018学年度第一学期高三年级模拟质量调研数学学科试卷评分标准 2018.12.考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号,并核对后的条形码贴在指定位置上.2．本试卷共有21道题，满分150分，考试时间120分钟．一、 填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置填写结果. 1． ；2． ；3．2π； 4. 3 ；5. 11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；6. π12 ； 7. )1,21()21,0( ；8. [1,0]- ；9. 1- ； 10.π ；11. 2 ；12. 3或4二、 选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13.；14. ；15. ；16.三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1） …… 6分（2）只需证明因为，故，又， 故，所以；……10分 中，，点是的中点，故……12分 所以，，故无论点在边的何处，都有.……14分（用向量证明类似评分）18. （本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分） 解：（1）在中，由得，． ．故为锐角． ……3分 ．∴．……7分（2）由余弦定理得，， 当且仅当时等号成立．．{}1,26π()C ()B ()D ()A 1133P ADE ADE V PA S -∆=⋅⋅=AF PBC ⊥面PA ABCD ⊥面PA BC ⊥BC AB ⊥BC AB ⊥面P BC AF ⊥PAB ∆PA AB =F PB AF PB ⊥AF PBC ⊥面E BC AFPE ⊥ABC ∆5cos 13B =12sin 13B =12sin sin ,13B A =>B A ∴>A 3cos 5A ∴=33cos cos()cos cos sin sin 65C A B A B A B =-+=-+=2222cos b a c ac B =+-22101016162131313a c ac ac ac ac =+-≥-=a c =13ac ∴≤∴． ……14分 19. （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 解：（1）根据题意，30)315(2≥-+xx ，得03145≥--xx ……2分 解得3≥x 或51-≤x ……4分 又101≤≤x ，可得103≤≤x ……6分（2）设利润为y 元，则)315(900xx x y -+=， ……8分 ]1261)611(3[9002+--=x ， ……12分故6=x 时，4575max =y ……14分 20. （本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分）解：（1）焦点到准线的距离2； ……4分 （2）设),(),,(2211y x B y x A ，则⎪⎩⎪⎨⎧+=+=,24)2(,4121121P Px x y y x y ……6分 整理得，0822121=-+-P P P y x y y y ，同理，0822222=-+-P P P y x y y y ， ……8分 所以，21,y y 是关于y 的方程08222=-+-P P P y x y y y 的两根，故M 的纵坐标为P y y y =+221，即M P y y =； ……9分（3）若直线x AB ⊥轴，则M 的纵坐标为0， 因此，)0,1(-P ，则B A ,两点的纵坐标满足082=-y ，22±=y 故)22,2(),22,2(-B A ，2624321=⨯⨯=∆PAB S ； ……10分5cos()cos 513AB BC ac B ac B ac ⋅=π-=-=-≥-若直线AB 的斜率存在，方程为)(121211x x x x y y y y ---=-，即121222121)41()(41y y x y y y y y +---=，整理得，2121214y y y y x y y y +++=，将⎩⎨⎧-==+,8,222121P P P y x y y y y y 代入得，直线PPP P y y x x y y AB 282:2-+=， ……12分 故)4)(4(2)4(841||41||2222212P P P P P P P x y y x y y y y y AB -+=-⨯+=-+=， 而点P 到直线AB 的距离为4|4|2341|282|2222+-=+--+=P P P PP PP P P P y y x y y y y x x y h ， ……14分 故232)4(423||21P P PAB x y h AB S -=⨯=∆，而)0(1422<=+P PPx y x ，故232232])12(5[423)444(423+-=+--=∆P P P PAB x x x S ， ……15分由(1,0)P x ∈-得，2444(4,5]P P x x --+∈，PAB S ∆∈ 综上，PAB ∆的面积的最小值为26. ……16分 21. （本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分9分） 解：(1)因为8,3,2321===a a a ……2分 所以52823=+=b ……4分 (2) （必要性）当数列是等差数列时，设其公差为 当 时， ，所以，所以，， 当 时， ，所以，所以，， 当 时， ，所以，所以，{}n a d d >010n n a a d --=>1n n a a ->nn M a =1n m a =d <010n n a a d --=<1n n a a -<1nM a =n n m a =d =010n n a a d --==1n n a a -=1nM a =n n m a =综上，总有 所以 ，所以数列是等差数列 ……6分 （充分性） 当数列是等差数列时，设其公差为 因为， 根据的定义，有以下结论：，且两个不等式中至少有一个取等号当时，则必有，所以，所以是一个单调递增数列，所以，，所以 所以，即为等差数列当时，则必有，所以所以是一个单调递减数列，所以，，所以 所以，即为等差数列当时，0222211111=-+-=+-+=------n n n n n n n n n n m m M M m M m M b b 因为中必有一个为0， 根据上式，一个为0，则另一个亦为0， 所以 所以为常数数列，所以为等差数列综上，结论得证. ……9分(3)存在 ……10分假设不存在， 因为，即 或者，所以对任意，一定存在，使得符号相反 ……12分 所以在数列中存在，其中12n n a a b +=1111222nn n n a a a a db b --++-=-={}n b {}n b d **11111+2222n n n n n n n n n n M m M m M M m m b b d -----+----=-==n n M m ，11n n n n M M m m --≥≤，d >*01n n M M ->11n n n n a M M a --=>≥{}n a n n M a =1n m a =*11111222n n n n n n a a a a a a b b d ---++--=-==*12n n a a d --={}n a d <*01n n m m -<11n n n n a m m a --=<≤{}n a 1n M a =n n m a =*11111222n n n n n n a a a a a a b b d ---++--=-==*12n n a a d --={}n a d =*011n n n n M M m m ----，11,,nn n n M M m m --=={}n a {}n a ||1nb =1n b =1n b =-*K ∈N i K ≥1,i i b b +{}n b 1231,,,...,,....i i k k k k k b b b b b +123......i k k k k <<<<且 ，……14分因为，即注意到，且有且仅有一个等号成立， 所以必有……16分所以，所以 因为，所以 ，所以 所以 所以 所以 所以…… 所以 所以所以，这与矛盾，所以假设错误， ……18分 所以存在，使得任意，，有.12311.......i i k k k k k b b b b b +-======1231111111......i i k k k k k b b b b b ++++++======11,1i i k k b b +=-=111,122i ii i k k k k M m M m ++++=-=11,i i i i k k k k M M m m ++≥≤11,i i i ik k k k M M m m ++>=14i i k k M M +=+114i i i k k k a M M ++==+1i i k k ->11i i k k -≥+-1+1i i k k M M ≥-11+144i i i k k k a M M +=+≥+-11+14i i k k a a +≥+-11+14i i k k a a +-≥21114k k a a ++-≥32114k k a a ++-≥43114k k a a ++-≥1114m m k k a a -++-≥11+14(1)m k k a a m +-≥-11+14(1)m k k a a m +≥+-101011+14(10101)201840362018k k a a +≥+->-+=||2018n a <*K ∈N n n K ≥1n n b b +=。
