高中数学 章末检测卷(二)苏教版选修2-2

第1章导数及其应用(A)(时间：120分钟满分：160分) 一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．物体自由落体运动方程为s(t)＝12gt2，g＝9.8 m/s2，若当Δt无限趋近于0时，s(1＋Δt)－s(1)Δt无限趋近于9.8 m/s，那么下面说法正确的是__________．(填序号)①9.8 m/s是0～1 s这段时间内的平均速度；②9.8 m/s是从1 s到(1＋Δt) s这段时间内的速度；③9.8 m/s是物体在t＝1这一时刻的速度；④9.8 m/s是物体从1 s到(1＋Δt) s这段时间内的平均速度．2．曲线y＝x＋ln x在点(e2，e2＋2)处的切线在y轴上的截距为________．3．若f(x0)存在且f′(x0)＝0，下列结论中正确的是________．(填序号)①f(x0)一定是极值点；②如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；③如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极小值；④如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极大值．4．下列有关导数的说法正确的是________．(填序号)①f′(x0)就是曲线f(x)在点(x0，f(x0))的切线的斜率；②f′(x0)与(f(x0))′意义是一样的；③设s＝s(t)是位移函数，则s′(t0)表示物体在t＝t0时刻的瞬时速度；④设v＝v(t)是速度函数，则v′(t0)表示物体在t＝t0时刻的加速度．5．如图为y＝f(x)的导函数的图象，则下列判断正确的是________．(填序号)①f(x)在(－3,1)内是增函数；②x＝－1是f(x)的极小值点；③f(x)在(2,4)内是减函数，在(－1,2)内是增函数；④x＝1是f(x)的极大值点．6．某汽车启动阶段的路程函数为s(t)＝2t3－5t2＋2，则t＝2时，汽车的加速度是________．7．函数f(x)＝4x－x4在[－1,2]上的最大值、最小值分别为__________．8．设f′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象最有可能是下图中的________．(填序号)9．一批物资用13辆汽车从A 地运到300 km 以外的B 地，若车速为v km/h ，则两车的距离不能小于⎝⎛⎭⎫v102 km 时，这批物资全部从A 地运到B 地至少要花________h.10．函数y ＝x ＋cos x 在区间[0，π2]上的最大值是________．11．若两曲线y ＝x 2与y ＝cx 3 (c >0)围成图形的面积是23，则c ＝________.12．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 在区间(－1,1)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．13．f ′(x )是f (x )＝13x 3＋2x ＋1的导函数，则f ′(－1)的值是________．14．若ʃa 1⎝⎛⎭⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln 2，则a 的值是______． 二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)求过点(1，－1)的曲线y ＝x 3－2x 的切线方程．16．(14分)某物流公司购买了一块长AM ＝30米，宽AN ＝20米的矩形地块AMPN ，规划建设占地如图中矩形ABCD 的仓库，其余地方为道路和停车场，要求顶点C 在地块对角线MN 上，B 、D 分别在边AM 、AN 上，假设AB 长度为x 米．若规划建设的仓库是高度与AB 的长相同的长方体建筑，问AB 长为多少时仓库的库容最大？(墙体及楼板所占空间忽略不计)17.(14分)已知直线l 1为曲线y ＝f (x )＝x 2＋x －2在点(1,0)处的切线，l 2为该曲线的另外一条切线，且l 1⊥l 2.(1)求直线l 2的方程；(2)求由直线l 1、l 2及x 轴所围成的三角形的面积． 18．(16分)要设计一容积为V 的有盖圆柱形储油罐，已知侧面的单位面积造价是底面造价的一半，盖的单位面积造价又是侧面造价的一半．问储油罐的半径r 和高h 之比为何值时造价最省？19.(16分)若函数f (x )＝ax 3－bx ＋4，当x ＝2时，函数f (x )有极值－43.(1)求函数的解析式；(2)若方程f (x )＝k 有3个不同的根，求实数k 的取值范围．20．(16分)已知函数f (x )＝ax 3－32x 2＋1(x ∈R )，其中a >0.(1)若a ＝1，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程；(2)若在区间[－12，12]上，f (x )>0恒成立，求a 的取值范围．答案 1．③ 2．1解析 因为y ′＝1＋1x ，所以曲线在点(e 2，e 2＋2)处的切线的斜率为k ＝1＋1e2，切线方程为y －e 2－2＝⎝⎛⎭⎫1＋1e 2(x －e 2)． 即y ＝⎝⎛⎭⎫1＋1e 2x ＋1，令x ＝0，得y ＝1. 3．②解析 由题意x 0附近的左侧f ′(x)>0，即x 0附近的左侧函数单调递增，同理x 0附近右侧函数单调递减，故f (x 0)为极大值．4．①③④解析 因f ′(x 0)表示在x ＝x 0处的导数， 而[f (x 0)]′表示对函数值f (x 0)求导． 因f (x 0)为常数，所以[f (x 0)]′＝0.5．②③解析 ①错，因在(－3，－1)上f ′(x )<0， 在(－1,1)上f ′(x )>0，故f (x )在(－3，－1)内是减函数，在(－1,1)内是增函数； ②正确，因f ′(x )在(－3，－1)上为负， f ′(－1)＝0，f ′(x )在(－1,2)上为正；③正确，因在(2,4)内f ′(x )<0，故f (x )在(2,4)内是减函数； 在(－1,2)内f ′(x )>0，故f (x )在(－1,2)内为增函数， ④错，在(－1,1)内f ′(x )>0，在(1,2)内f ′(x )>0， 且f ′(1)≠0，故x ＝1不是极值点． 6．14解析 v (t )＝s ′(t )＝6t 2－10t ，a (t )＝v ′(t)＝12t －10. ∴当t ＝2时，a (2)＝24－10＝14. 7．3、－8解析 f ′(x )＝4－4x 3，由f ′(x )＝0得x ＝1，易知x ＝1为极值点，又f(1)＝3，f(－1)＝－5，f(2)＝－8.所以f(x )在[－1,2]上的最大值为3，最小值为－8. 8．③解析 由已知图象可知，当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0，所以函数f (x )在(－∞，0)上递增；当x ∈(0,2)时，f ′(x )<0，所以函数f (x )在(0,2)上递减；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，所以函数f (x )在(2，＋∞)上递增．注意观察导函数f ′(x )的图象的特点，根据图象划分好区间．9．12解析 最后一辆汽车从A 地到B 地所用的时间为t ＝300＋12×⎝⎛⎭⎫v 102v ＝300v ＋3v25，v ∈(0，＋∞)，则t ′＝－300v 2＋325.令t ′＝0，得－300v 2＋325＝0，∴v ＝50.又∵函数t ＝300v ＋3v25在(0，＋∞)内只有一个极值点v ＝50，且这是极小值点．∴当v ＝50时，所花费的时间最短为12 h .10.π2解析 y ′＝1－sin x ，令y ′＝0，得sin x ＝1，∴x ＝π2，又因f (0)＝0＋cos 0＝1，f (π2)＝π2＋cos π2＝π2， 所以y ＝x ＋cos x 在[0，π2]上的最大值为π2.11.12解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2y ＝cx 3得x 2＝cx 3， 解之得x ＝0或x ＝1c，∴S ＝123()c c dx x x -⎰取F (x )＝13x 3－14cx 4，则F ′(x )＝x 2－cx 3.∴S ＝123()c c dx x x -⎰＝1'0c F dx ⎰＝F ⎝⎛⎭⎫1c －F(0)＝112·1c 3＝23， ∴c 3＝18，即c ＝12.12．a ≥3解析 由题意应有f ′(x )＝－3x 2＋a ≥0，在区间(－1，1)上恒成立，则a ≥3x 2，x ∈(－1,1)恒成立，故a ≥3.13．3解析 ∵f ′(x )＝x 2＋2，∴f ′(－1)＝3. 14．2解析 取F (x )＝x 2＋ln x ，则F ′(x )＝2x ＋1x，∴ʃa 1⎝⎛⎭⎫2x ＋1x d x ＝ʃa 1F ′(x )＝F (a )－F (1) ＝a 2＋ln a －1＝3＋ln 2，∴a ＝2.15．解 设P (x 0，y 0)为切点，则切线的斜率为 f ′(x 0)＝3x 20－2.故切线方程为y －y 0＝(3x 20－2)(x －x 0)，即y －(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)(x －x 0)，又知切线过点(1，－1)，代入上述方程，得－1－(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)(1－x 0)，解得x 0＝1或x 0＝－12，故所求的切线方程为y ＋1＝x －1或y ＋1＝－54(x －1)．即x －y －2＝0或5x ＋4y －1＝0.16．解 因为DC AM ＝NDAN ，且AM ＝30，AN ＝20.所以ND ＝AB AM ·AN ＝2x3，得AD ＝AN －ND ＝20－2x3.仓库的库容V (x )＝(20－2x3)·x ·x＝－2x 33＋20x 2(0<x <30)，令V ′(x )＝－2x 2＋40x ＝－2x (x －20)＝0， 得x ＝20或x ＝0(舍去)． 当x ∈(0,20)时，V ′(x )>0； 当x ∈(20,30)时，V ′(x )<0.所以当x ＝20时，V (x )有极大值也是最大值． 即AB 的长度为20米时仓库的库容最大．17．解 (1)因为f ′(x )＝2x ＋1，所以f ′(1)＝3， 所以直线l 1的方程为y ＝3(x －1)， 即y ＝3x －3.设直线l 2过曲线上点B (b ，b 2＋b －2)， 因为f ′(b )＝2b ＋1，所以直线l 2的方程为y －(b 2＋b －2)＝(2b ＋1)(x －b )， 即y ＝(2b ＋1)x －b 2－2.又l 1⊥l 2，所以3(2b ＋1)＝－1，所以b ＝－23，所以直线l 2的方程为y ＝－13x －229.即3x ＋9y ＋22＝0.(2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －3y ＝－13x －229，可得⎩⎨⎧x ＝16y ＝－52. 因为直线l 1、l 2与x 轴的交点坐标分别为(1,0)、⎝⎛⎭⎫－223，0， 所以所求三角形的面积为S ＝12×⎪⎪⎪⎪－52×⎪⎪⎪⎪1＋223＝12512. 18．解 由V ＝πr 2h ，得h ＝Vπr2.设盖的单位面积造价为a ，则储油罐的造价M ＝a πr 2＋2a ·2πrh ＋4a ·πr 2＝5a πr 2＋4aVr，M ′＝10a πr －4aVr 2，令M ′＝0，解得r ＝32V 5π，经验证，当r ＝32V 5π时，函数取得极小值，也是最小值，此时，h ＝Vπr 2＝325V 4π. ∴当rh ＝32V 5π325V 4π＝25时，储油罐的造价最省． 19．解 f ′(x )＝3ax 2－b .(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f ′(2)＝12a －b ＝0f (2)＝8a －2b ＋4＝－43，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13b ＝4，故所求函数的解析式为f (x )＝13x 3－4x ＋4.(2)由(1)可得f ′(x )＝x 2－4＝(x －2)(x ＋2)， 令f ′(x )＝0，得x ＝2或x ＝－2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，－2) －2 (－2,2)2 (2，＋∞) f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x ) 283－43因此，当x ＝－2时，f (x )有极大值283，当x ＝2时，f (x )有极小值－43，所以函数f (x )＝13x 3－4x ＋4的图象大致如右图所示．若f (x )＝k 有3个不同的根，则直线y ＝k 与函数f (x )的图象有3个交点，所以－43<k <283.20．解 (1)当a ＝1时，f (x )＝x 3－32x 2＋1，f (2)＝3.f ′(x )＝3x 2－3x ，f ′(2)＝6，所以曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y －3＝6(x －2)，即6x －y －9＝0.(2)f ′(x )＝3ax 2－3x ＝3x (ax －1)．令f ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝1a.以下分两种情况讨论：①若0<a ≤2，则1a ≥12.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－12，0) 0 (0，12)f ′(x ) ＋ 0 －f (x ) 极大值当x ∈[－12，12]时，f (x )>0等价于⎩⎨⎧f (－12)>0，f (12)>0，即⎩⎨⎧5－a8>0，5＋a 8>0.解不等式组得－5<a <5.因此0<a ≤2.②若a >2，则0<1a <12.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－12，0) 0 (0，1a )1a (1a ，12) f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋f (x )极大值极小值当x ∈[－12，12]时，f (x )>0等价于⎩⎨⎧f (－12)>0，f (1a )>0，即⎩⎨⎧5－a8>0，1－12a 2>0.解不等式组得22<a <5或a <－22. 因此2<a <5.综合①②，可知a 的取值范围为0<a <5.。

高中新课标数学选修（2-2）第三章测试题一、选择题1．0a =是复数()z a bi a b =+∈R ，为纯虚数的（ ）Ａ．充分条件但不是必要条件Ｂ．必要条件但不是充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不是充分也不必要条件答案：Ｂ2．若12z i =+，23()z ai a =+∈R ，12z z +的和所对应的点在实轴上，则a 为（ ） Ａ．3Ｂ．2 Ｃ．1 Ｄ．1-答案：Ｄ3．复数22(2)(2)z a a a a i =-+--对应的点在虚轴上，则（ ）Ａ．2a ≠或1a ≠ Ｂ．2a ≠且1a ≠ Ｃ．0a =Ｄ．2a =或0a =答案：Ｄ4．设1z ，2z 为复数，则下列四个结论中正确的是（ ）Ａ．若22120z z +>，则2212z z >- Ｂ．2121212()4z z z z z z -=+-Ｃ．22121200z z z z +=⇔== Ｄ．11z z -是纯虚数或零答案：Ｄ5．设22(253)(22)z t t t t i =+-++-+，t ∈R ，则下列命题中正确的是（ ） Ａ．z 的对应点Z 在第一象限Ｂ．z 的对应点Z 在第四象限Ｃ．z 不是纯虚数Ｄ．z 是虚数答案：Ｄ6．若1i +是实系数方程20x bx c ++=的一个根，则方程的另一个根为（ ） Ａ．1i - Ｂ．1i -+ Ｃ．1i -- Ｄ．i答案：Ａ7．已知复数1cos z i θ=-，2sin z i θ=+，则12z z ·的最大值为（ ） Ａ．32 Ｂ．2 Ｃ．62 Ｄ．3答案：Ａ8．已知m ∈R ，若6()64m mi i +=-，则m 等于（ ）Ａ．2- Ｂ．2± Ｃ．2- Ｄ．4答案：Ｂ9．在复平面内，复数1322i ω=-+对应的向量为OA ，复数2ω对应的向量为OB ．那么向量AB 对应的复数是（ ）Ａ．1 Ｂ．1- Ｃ．3i Ｄ．3i -答案：Ｄ10．在下列命题中，正确命题的个数为（ ）①两个复数不能比较大小；②123z z z ∈C ，，，若221221()()0z z z z -+-=，则13z z =；③若22(1)(32)x x x i -+++是纯虚数，则实数1x =±；④z 是虚数的一个充要条件是z z +∈R ；⑤若a b ，是两个相等的实数，则()()a b a b i -++是纯虚数；⑥z ∈R 的一个充要条件是z z =．Ａ．0Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3答案：Ｂ11．复数()a bi a b +∈R ，等于它共轭复数的倒数的充要条件是（ ）Ａ．2()1a b +=Ｂ．221a b += Ｃ．221a b -= Ｄ．2()1a b -=答案：Ｂ12．复数z 满足条件：21z z i +=-，那么z 对应的点的轨迹是（ ）Ａ．圆Ｂ．椭圆 Ｃ．双曲线 Ｄ．抛物线答案：Ａ二、填空题13．若复数cos sin z i θθ=-·所对应的点在第四象限，则θ为第 象限角．答案：一14．复数3z i =+与它的共轭复数z 对应的两个向量的夹角为 ．答案：60°15．已知2z i =-，则32452z z z -++= ．答案：216．定义运算a b ad bc c c =-，则符合条件2132i z zi -=+的复数z = ．答案：7455i -三、解答题17．已知复数(2)()x yi x y -+∈R ，的模为3，求y x的最大值． 解：23x yi -+=∵，22(2)3x y -+=∴，故()x y ，在以(20)C ，为圆心， 3为半径的圆上，y x表示圆上的点()x y ，与原点连线的斜率． 如图，由平面几何知识，易知y x 的最大值为3．18．已知1z i a b =+，，为实数．（1）若234z z ω=+-，求ω；（2）若2211z az b i z z ++=--+，求a ，b 的值．解：（1）2(1)3(1)41i i i ω=++--=--，2ω=∴；（2）由条件，得()(2)1a b a i i i+++=-， ()(2)1a b a i i +++=+∴，121a b a +=⎧⎨+=⎩，，∴解得12a b =-⎧⎨=⎩，．19．已知2211z x x i =++，22()z x a i =+，对于任意x ∈R ，均有12z z >成立，试求实数a 的取值范围．解：12z z >∵，42221()x x x a ++>+∴，22(12)(1)0a x a -+->∴对x ∈R 恒成立．当120a -=，即12a =时，不等式成立； 当120a -≠时，21201124(12)(1)0a a a a ->⎧⇒-<<⎨---<⎩， 综上，112a ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦，．20．已知()z i z ω=+∈C ，22z z -+是纯虚数，又221116ωω++-=，求ω．解：设()z a bi a b =+∈R ， 2(2)2(2)z a bi z a bi--+=+++∴2222(4)4(2)a b bi a b +-+=++． 22z z -+∵为纯虚数， 22400a b b ⎧+-=⎨≠⎩，．∴ 222211(1)(1)(1)(1)a b i a b i ωω++-=++++-++∴ 2222(1)(1)(1)(1)a b a b =++++-++222()44a b b =+++844b =++124b =+．12416b +=∴．1b =∴．把1b =代入224a b +=，解得3a =±．3z i =±+∴．32i ω=±+∴．21．复数3(1)()1i a bi z i++=-且4z =，z 对应的点在第一象限内，若复数0z z ，，对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a ，b 的值．解：2(1)(1)()2()221i i z a bi i i a bi a bi i++=+=+=---···， 由4z =，得224a b +=． ①∵复数0，z ，z 对应的点是正三角形的三个顶点，z z z =-∴，把22z a bi =--代入化简，得1b =． ②又Z ∵点在第一象限内，0a <∴，0b <． 由①②，得31a b ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，． 故所求3a =-，1b =-．22．设z 是虚数1z zω=+是实数，且12ω-<<． （1）求z 的值及z 的实部的取值范围．（2）设11z zμ-=+，求证：μ为纯虚数； （3）求2ωμ-的最小值．（1）解：设0z a bi a b b =+∈≠R ，，，， 则1a bi a bi ω=+++2222a b a b i a b a b ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭． 因为ω是实数，0b ≠，所以221a b +=，即1z =．于是2a ω=，即122a -<<，112a -<<． 所以z 的实部的取值范围是112⎛⎫- ⎪⎝⎭，； （2）证明：2222111211(1)1z a bi a b bi b i z a bi a b a μ------====-++++++． 因为112a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，0b ≠，所以μ为纯虚数； （3）解：22222122(1)(1)b a a a a a ωμ--=+=+++1222111a a a a a -=-=-+++12(1)31a a ⎡⎤=++-⎢⎥+⎣⎦因为112a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，所以10a +>，故2122(1)31a a ωμ-+-+··≥431-=． 当111a a +=+，即0a =时，2ωμ-取得最小值1．高中新课标数学选修（2-2）第三章测试题一、选择题1．实数x ，y 满足(1)(1)2i x i y ++-=，则xy 的值是（ ） Ａ．1Ｂ．2 Ｃ．2- Ｄ．1-答案：Ａ2．复数cos z i θ=，[)02πθ∈，的几何表示是（ ） Ａ．虚轴Ｂ．虚轴除去原点Ｃ．线段PQ ，点P ，Q 的坐标分别为(01)(01)-，，，Ｄ．（Ｃ）中线段PQ ，但应除去原点答案：Ｃ3．z ∈C ，若{}22(1)1M z z z =-=-|，则（ ） Ａ．{}M =实数Ｂ．{}M =虚数 Ｃ．{}{}M实数复数苘Ｄ．{}M ϕ=答案：Ａ4．已知复数1z a bi =+，21()z ai a b =-+∈R ，，若12z z <，则（ ） Ａ．1b <-或1b > Ｂ．11b -<<Ｃ．1b >Ｄ．0b >答案：Ｂ5．已知复数z 满足2230z z --=的复数z 的对应点的轨迹是（ ） Ａ．1个圆Ｂ．线段 Ｃ．2个点 Ｄ．2个圆答案：Ａ6．设复数()z z ∈C 在映射f 下的象是z i ·，则12i -+的原象为（ ） Ａ．2i -Ｂ．2i + Ｃ．2i -+ Ｄ．13i +－答案：Ａ7．设A ，B 为锐角三角形的两个内角，则复数(cot tan )(tan cot )z B A B A i =-+-对应的点位于复平面的（ ）Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限答案：Ｂ8．已知()22f z i z z i +=++，则(32)f i +=（ ） Ａ．9iＢ．93i + Ｃ．9i - Ｄ．93i -－答案：Ｂ9．复数2()12mi A Bi m A B i-=+∈+R ，，，且0A B +=，则m =（ ） Ａ．2 Ｂ．23 Ｃ．23- Ｄ．2答案：Ｃ10．(32)(1)i i +-+表示（ ）Ａ．点(32)，与点(11)，之间的距离 Ｂ．点(32)，与点(11)--，之间的距离 Ｃ．点(32)，与原点的距离Ｄ．点(31)，与点(21)，之间的距离答案：Ａ11．已知z ∈C ，21z -=，则25z i ++的最大值和最小值分别是（ ） Ａ．411+和411-Ｂ．3和1 Ｃ．52和34Ｄ．39和3答案：Ａ12．已知1z ，2z ∈C ，1222z z +=，13z =，22z =，则12z z -=（ ） Ａ．1Ｂ．12 Ｃ．2 Ｄ．2答案：Ｄ二、填空题13．若()1()f z z z =-∈C ，已知123z i =+，25z i =-，则12z f z ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ ．答案：19172626i -14．“复数z ∈R ”是“11z z =”的 ．答案：必要条件，但不是充分条件15．A ，B 分别是复数1z ，2z 在复平面上对应的两点，O 为原点，若1212z z z z +=-，则AOB △为 ．答案：直角16．若n 是整数，则6(1)(1)nn i i -+-=· ．答案：8±或8i ±三、解答题17．已知复数3z z -对应的点落在射线(0)y x x =-≤上，12z +=，求复数z ．解：设()z a bi a b =+∈R ，，则33324z z a bi a bi a bi -=+-+=+， 由题意得4120b a b ⎧=-⎪⎨⎪>⎩，，① 又由12z +=，得22(1)2a b ++=， ②由①，②解得21a b =-⎧⎨=⎩，，2z i =-+∴．18．实数m 为何值时，复数216(815)55m z m i m i m m -⎛⎫=++++ ⎪++⎝⎭． （1）为实数；（2）为虚数；（3）为纯虚数；（4）对应点在第二象限．解：226(815)5m m z m m i m +-=++++． （1）z 为实数28150m m ⇔++=且50m +≠，解得3m =-；（2）z 为虚数2815050m m m ⎧++≠⇔⎨+≠⎩，， 解得3m ≠-且5m ≠-；（3）z 为纯虚数226058150m m m m m ⎧+-=⎪⇔+⎨⎪++≠⎩，，解得2m =；（4）z 对应的点在第二象限226058150m m m m m ⎧+-<⎪⇔+⎨⎪++>⎩，，解得5m <-或32m -<<．19．设O 为坐标原点，已知向量1OZ ，2OZ 分别对应复数12z z ，，且213(10)5z a i a =+-+，22(25)1z a i a=+--，a ∈R ．若12z z +可以与任意实数比较大小，求1OZ ，2OZ 的值． 解：213(10)5z a i a =--+，则31232[(10)(25)]51z z a a i a a +=++-+-+-的虚部为0，22150a a +-=∴．解得5a =-或3a =．又50a +≠∵，3a =∴． 则138z i =+，21z i =-+，1318OZ ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，2(11)OZ =-，． 1258OZ OZ =∴·． 20．已知z 是复数，2z i +与2z i-均为实数，且复数2()z ai +在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．解：设()z x yi x y =+∈R ，，2(2)z i x y i +=++为实数，2y =-∴．211(22)(4)2255z x i x x i i i -==++---为实数， 4x =∴，则42z i =-．22()(124)8(2)z ai a a a i +=+-+-∵在第一象限，212408(2)0a a a ⎧+->⎨->⎩，，∴解得26a <<．21．已知关于x 的方程2(6)90()x i x ai a -+++=∈R 有实数根b ．（1）求实数a ，b 的值；（2）若复数z 满足2z a bi z --=，求z 为何值时，z 有最小值并求出最小值．解：（1）将b 代入题设方程，整理得2(69)()0b b a b i -++-=， 则2690b b -+=且0a b -=，解得3a b ==；（2）设()z x yi x y =+∈R ，，则2222(3)(3)4()x y x y -++=+， 即22(1)(1)8x y ++-=．∴点Z 在以(11)-，为圆心，22为半径的圆上， 画图可知，1z i =-时，min 2z =．。

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第2章 推理与证明单元检测一、填空题1．用反证法证明命题“若a 2＋b 2＝0，则a ,b 全为0(a ,b ∈R )"，其反设是__________． 2．周长一定的平面图形中圆的面积最大，将这个结论类比到空间，可以得到的结论是________．3．用数学归纳法证恒等式111111111234212122n n n n n-+-++-=+++-++，由n ＝k 到n＝k ＋1时,两边应同时加上________．4．对于等差数列{a n ｝有如下命题:“若｛a n }是等差数列，a 1＝0，s ，t 是互不相等的正整数，则有(s －1)a t －(t －1)a s ＝0"．类比此命题，给出等比数列{b n }相应的一个正确命题：“__________________________________________”．5．若P =Q =(a ≥0），则P ，Q 的大小关系是__________． 6．补充下列证明过程：要证a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac ,即证______________,即证________________________________________________________________________．7．下列四个图形中,着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，则这个数列的一个通项公式为__________．8．已知x ，y 为正数，当x 2＋y 2＝________时,有1=.9．一个等差数列｛a n ｝,其中a 10＝0,则有a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n （1≤n ＜19，n ∈N *）．一个等比数列{b n ｝，其中b 15＝1。

章末质量评估(二)(时间：120分钟 满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填写在题中的横线上) 1．若数列{a n }(n ∈N *)是等差数列，则有b n ＝a 1＋a 2＋…＋a nn (n ∈N *)也为等差数列．类比上述性质，相应地，若数列{c n }是等比数列，且c n ＞0(n ∈N *)．则数列d n ＝________(n ∈N *)也是等比数列．解析 通常正数的算术平均数，类比其几何平均数． 答案n c 1c 2…c n2．用反证法证明方程F (x )＝0至少有两个实根，其反证假设为____________________．解析 方程F (x )＝0至少有两个实根，意指方程F (x )＝0有两个或两个以上实根，其反面是方程F (x )＝0至多只有一个实根． 答案 方程F (x )＝0至多只有一个实根 3．观察下列数表规律则从数2 007到2 008的箭头方向是________．解析 因上行奇数是首项为3，公差为4的等差数列．若2 007在上行，则2 007＝3＋(n －1)×4⇒n ∈N *，故2 007在上行，又因为上行奇数的箭头为→a n ↓.答案 ↓4．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①∠A ＋∠B ＋∠C ＝90°＋90°＋∠C ＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，∠A ＝∠B ＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设∠A 、∠B 、∠C 中有两个角是直角，不妨设∠A ＝∠B ＝90°. 正确顺序的序号排列为________． 答案 ③①②5．用数学归纳法证明(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)时，从“k ”到“k ＋1”左边需增乘的代数式是________． 解析 若n ＝k 时等式成立，此时有(k ＋1)(k ＋2)…(k ＋k )＝2k ×1×3×…×(2k －1)若n ＝k ＋1时，左边变为(k ＋2)(k ＋3)…(k ＋k )(k ＋k ＋1)(k ＋1＋k ＋1)． 与上式相比增的代数式应为(k ＋k ＋1)(k ＋1＋k ＋1)k ＋1＝2(2k ＋1)．答案 2(k ＋1)6．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：①“mn ＝nm ”类比得到“a ·b ＝b·a ”；②“(m ＋n )t ＝mt ＋nt ”类比得到“(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b·c ”； ③“(m ·n )t ＝m (n ·t )”类比得到“(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )”；④“t ≠0，mt ＝xt ⇒m ＝x ”类比得到“p ≠0，a ·p ＝x ·p ⇒a ＝x ”； ⑤“|m ·n |＝|m |·|n |”类比得到“|a·b|＝|a |·|b |”； ⑥“ac bc ＝a b ”类比得到“a·c b·c ＝ab”．以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是________． 解析 只有①②对，其余错误． 答案 27．凡自然数是整数，4是自然数，所以4是整数．对以上三段论推理下列说法正确的是________(请填写相应的序号)． ①正确；②推理形式不正确；③两个“自然数”概念不一致； ④“两个整数”概念不一致．解析 三段论中的大前提、小前提及推理形式都是正确的． 答案 ①8．若数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝3＋5，a 3＝7＋9＋11，a 4＝13＋15＋17＋19，…，则a 8＝________.解析 由a 1，a 2，a 3，a 4的形式可归纳， ∵1＋2＋3＋4＋…＋7＝7×(1＋7)2＝28，∴a 8的首项应为第29个正奇数，即2×29－1＝57. ∴a 8＝57＋59＋61＋63＋65＋67＋69＋71 ＝8×(57＋71)2＝512.答案 5129．在数列{a n }中，a 1＝1，且S n 、S n ＋1、2S 1成等差数列(S n 表示数列{a n }的前n 项和)，则S 2、S 3、S 4分别为______________，猜想S n ＝________.解析 由S n ，S n ＋1,2S 1成等差数列，得2S n ＋1＝S n ＋2S 1，因为S 1＝a 1＝1，所以2S n＋1＝S n ＋2.令n ＝1，则2S 2＝S 1＋2＝1＋2＝3⇒S 2＝32，同理，分别令n ＝2，n ＝3，可求得S 3＝74，S 4＝158.由S 1＝1＝21－120，S 2＝32＝22－121，S 3＝74＝23－122，S 4＝158＝24－123，猜想S n ＝2n －12n －1.答案 32、74、158 2n－12n －1(n ∈N *)10．观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第五个等式为________．解析 由前三个式子可以得出如下规律：每个式子等号的左边是从1开始的连续正整数的立方和，且个数依次多1，等号的右边是一个正整数的平方，后一个正整数依次比前一个大3,4，…，因此，第五个等式为13＋23＋33＋43＋53＋63＝212. 答案 13＋23＋33＋43＋53＋63＝21211．对于等差数列{a n }有如下命题：“若{a n }是等差数列，a 1＝0，s 、t 是互不相等的正整数，则有(s －1)a t ＝(t －1)a s ”．类比此命题，给出等比数列{b n }相应的一个正确命题是：“__________________________________”． 解析 由类比推理可得．答案 若{b n }是等比数列，b 1＝1，s ，t 是互不相等的正整数，则有b s －1t ＝b t －1s12．已知f (1,1)＝1，f (m ，n )∈N *(m ，n ∈N *)，且对任意m ，n ∈N *都有：①f (m ，n ＋1)＝f (m ，n )＋2；②f (m ＋1,1)＝2f (m,1)．给出以下三个结论：(1)f (1,5)＝9；(2)f (5,1)＝16；(3)f (5,6)＝26.其中正确的个数为________．解析 f (1,5)＝f (1,4)＋2＝f (1,3)＋4＝f (1,2)＋6＝f (1,1)＋8＝9； f (5,1)＝2f (4,1)＝4f (3,1)＝8f (2,1)＝16f (1,1)＝16；f (5,6)＝f (5,5)＋2＝f (5,4)＋4＝f (5,3)＋6＝f (5,2)＋8＝f (5,1)＋10＝26. 所以这3个结论都正确． 答案 313．凸函数的性质定理为：如果函数f (x )在区间D 上是凸函数，则对于区间D 内的任意x 1，x 2，…，x n ，有f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )n ≤f⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋…＋x n n ，若函数y ＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，则在△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值为________． 解析 根据凸函数的性质定理，可得sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin ⎝⎛⎭⎫A ＋B ＋C 3＝332，即sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值为332.答案33214．(2011·陕西高考)观察下列各式：1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49……照此规律，第n 个等式为________．解析 由前4个等式可知，第n 个等式的左边第一个数为n ，且连续2n －1个整数相加，右边为(2n －1)2，故第n 个等式为n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2.答案 n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2二、解答题(本大题共6小题，共计90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)已知a 、b 、c 为正数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：a ＋b ＋c ≤ 3.证明 ∵a ·13≤a ＋132， b ·13≤b ＋132， c ·13≤c ＋132， 三式相加得a 3＋b 3＋c 3≤12(a ＋b ＋c )＋12＝1.∴a ＋b ＋c ≤ 3.16．(本小题满分14分)设a ，b ，c 均为奇数，求证：方程ax 2＋bx ＋c ＝0无整数根．证明 假设方程有整数根x ＝x 0，∴ax 20＋bx 0＋c ＝0，∴c ＝－(ax 20＋bx 0)． 若x 0是偶数，则ax 20，bx 0是偶数， ax 20＋bx 0是偶数，从而c 是偶数，与题设矛盾； 若x 0是奇数，则ax 20，bx 0是奇数， ax 20＋bx 0是偶数，从而c 是偶数，与题设矛盾．综上所述，方程ax 2＋bx ＋c ＝0没有整数根．17．(本小题满分14分)在数列{a n }中，a 1＝－23，a n ＝S n ＋1S n＋2(n ≥2，n ∈N *)．(1)求S 1，S 2，S 3；(2)猜想S n 的表达式，并用数学归纳法证明你的猜想． 解 (1)∵n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝S n ＋1S n ＋2，∴S n －1＋1S n ＋2＝0(n ≥2)，S n ＝－1S n －1＋2(n ≥2)，S 1＝a 1＝－23，S 2＝－1S 1＋2＝－34，S 3＝－1S 2＋2＝－45.(2)猜想S n ＝－n ＋1n ＋2(n ∈N *)，下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，S 1＝－23＝－1＋11＋2，猜想正确．②假设当n ＝k (k ∈N *)时猜想正确，即S k ＝－k ＋1k ＋2，那么S k ＋1＝－1S k ＋2＝－1－k ＋1k ＋2＋2＝－(k ＋1)＋1(k ＋1)＋2，这表明当n ＝k ＋1时猜想也正确．根据①，②可知对任意n ∈N *，S n ＝－n ＋1n ＋2.18．(本小题满分16分)由下列各个不等式：1＞12，1＋12＋13＞1,1＋12＋13＋14＋…＋17＞32，1＋12＋13＋14＋…＋115＞2，…，你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明．解 根据给出的几个不等式可以猜测第n 个不等式，即一般不等式为1＋12＋13＋14＋…＋12n －1＞n2(n ∈N *)．用数学归纳法证明如下： (1)当n ＝1时，1＞12，猜想成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，猜想成立，即1＋12＋13＋14＋…＋12k －1＞k2，则当n ＝k ＋1时，1＋12＋13＋14＋…＋12k －1＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1＞k 2＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k 1－1＞k 2＋12k 1＋12k 1＋…＋12k 1＝k 2＋2k 2k 1＝k ＋12，即当n ＝k ＋1时，猜想也正确．由(1)(2)知，不等式对一切n ∈N *都成立．19．(本小题满分16分)在Rt △ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D ，求证：1AD 2＝1AB 2＋1A C 2，那么在四面体A -BCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由．解 如图①所示，由射影定理知 AD 2＝BD ·DC ， AB 2＝BD ·BC ，AC 2＝BC ·DC ， 图①∴1AD 2＝1BD ·DC＝BC 2BD ·BC ·DC ·BC ＝BC 2AB 2·AC 2. 又BC 2＝AB 2＋AC 2，∴1AD 2＝AB 2＋AC 2AB 2·AC 2＝1AB 2＋1AC 2. 所以1AD 2＝1AB 2＋1AC2.类比AB ⊥AC ，AD ⊥BC 猜想：四面体A -BCD 中，AB 、AC 、AD 两两垂直，AE ⊥平面BCD ，则1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD 2.如图②，连接BE 并延长交CD 于F ， 连接AF .∵AB ⊥AC ，AB ⊥AD ， 图② ∴AB ⊥平面ACD .而AF ⊂平面ACD ，∴AB ⊥AF . 在Rt △ABF 中，AE ⊥BF ， ∴1AE 2＝1AB 2＋1AF2. 在Rt △ACD 中，AF ⊥CD ，∴1AF 2＝1AC 2＋1AD 2.∴1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD2，故猜想正确． 20．(本小题满分16分)已知等差数列{a n }的公差d 大于0，且a 2，a 5是方程x 2－12x ＋27＝0的两根，数列{b n }的前n 项和为T n ，且T n ＝1－12b n .(1)求数列{a n }、{b n }的通项公式；(2)设数列{a n }的前n 项和为S n ，试比较1b n与S n ＋1的大小，并说明理由．解 (1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a 5＝12，a 2a 5＝27.因为{a n }的公差大于0，所以a 5>a 2，所以a 2＝3，a 5＝9. 所以d ＝a 5－a 23＝9－33＝2，a 1＝1，即a n ＝2n －1.因为T n ＝1－12b n ，所以b 1＝23.当n ≥2时，T n －1＝1－12b n －1，所以b n ＝T n －T n －1＝1－12b n －1－12b n －1，化简得b n ＝13b n －1，所以{b n }是首项为23，公比为13的等比数列，即b n ＝23·13n －1＝23n .所以a n ＝2n －1，b n ＝23n .(2) 因为S n ＝1＋(2n －1)2×n ＝n 2，所以S n ＋1＝(n ＋1)2，1b n ＝3n2.下面比较1b n与S n ＋1的大小：当n ＝1时，1b 1＝32，S 2＝4，所以1b 1<S 2，当n ＝2时，1b 2＝92，S 3＝9，所以1b 2<S 3，当n ＝3时，1b 3＝272，S 4＝16，所以1b 3<S 4，当n ＝4时，1b 4＝812，S 5＝25，所以1b 4>S 5.猜想：n ≥4时，1b n ＞S n ＋1.下面用数学归纳法证明： ①当n ＝4时，已证．②假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥4)时，1b k >S k ＋1，即3k2＞(k ＋1)2，那么，1b k＋1＝3k＋12＝3·3k2>3(k＋1)2＝3k2＋6k＋3＝(k2＋4k＋4)＋2k2＋2k－1>[(k＋1)＋1]2＝S(k＋1)＋1，所以当n＝k＋1时，1b n>S n＋1也成立．由①②可知，对任何n∈N*，n≥4，1b n>S n＋1都成立．综上所述，当n＝1,2,3时，1b n<S n＋1，当n≥4时，1b n>S n＋1.。

第二章 章末检测1、观察下列各式：22334455134711a b a b a b a b a b ＋＝，＋＝，＋＝，＋＝，＋＝，…，则1010a b ＋＝（ ）A. 28B. 76C. 123D. 1992、用反证法证明命题:“若,N,a b ab ∈能被3整除,那么,a b 中至少有一个能被3整除”时,假设应为( )A.,a b 都能被3整除B.,a b 都不能被3整除C.,a b 不都能被3整除D.a 不能被3整除3、《论语·子路》篇中说:“名不正,则言不顺;言不顺,则事不成;事不成,则礼乐不兴;礼乐不兴,则刑罚不中;刑罚不中,则民无所措手足”,所以,名不正,则民无所措手足.上述推理用的是( )A.类比推理B.归纳推理C.演绎推理D.—次三段论4、下面是一段“三段论”推理过程:若函数()f x 在(),a b 内可导且单调递增,则在(),a b 内, ()'0f x >恒成立.因为()3f x x =在()1,1-内可导且单调递增,所以在()1,1-内,()230f x x ='>恒成立,以上推理中( )A.大前提错误B.小前提错误C.结论正确D.推理形式错误5、证明命题:“()1x xf x e e =+在()0,+∞上是增函数”,现给出的证法如下:因为()1x x f x e e =+,所以()1'x x f x e e=-, 因为0x >,所以1x e >,101x e <<,所以10x x e e ->,即()0f x '>,所以()f x 在()0,+∞上是增函数,使用的证明方法是( )A.综合法B.分析法C.反证法D.以上都不是6、用数学归纳法证明“111111111234212122n n n n n-+-++-=+++-++”时,由n k =的假设证明1n k =+时,如果从等式左边证明右边,则必须证得右边为( )A. 1111221k k k +++++B. 1111122122k k k k +++++++ C. 1112221k k k +++++ D. 11122122k k k ++++++ 7、在证明命题"对于任意角θ,44cos sin cos 2θθθ-="的过程"44cos sin θθ+()()2222cos sin cos sin θθθθ=+-22cos sin θθ=-cos2θ="中,应用了( )A.分析法B.综合法C.分析法和综合法综合使用D.间接证明法8、如图所示的三角形数阵叫“莱布尼茨调和三角形”,它们是由整数的倒数组成的,第n 行有n 个数且两端的数均为()12n n≥,每个数是它下一行左右相邻两数的和,如111122=+,111236=+,1113412=+,则第10行第4个数(从左往右数)为( )A.1360B. 1504C. 1840D. 11260 9、若数列{}n a 是等比数列,则数列{}1n n a a ++ ( )A.一定是等比数列B.一定是等差数列C.可能是等比数列也可能是等差数列D.一定不是等比数列10、求证:>证明:,>,只需证明22>,展开得55+>,即0>,此式显然成立,>.上述证明过程应用了( )A.综合法B.分析法C.综合法、分析法配合使用D.间接证法11、用数学归纳法证明: 422123,2n n n ++++⋯+=其初始值为______,当1n k =+时,其式子的左端应在n k =时的左端再加上_________.12、已知1131,,23n n n a a a a +==+则234,,a a a 的值分别为_______,由此猜想n a =________. 13、已知,,x y R ∈且2,x y +<则,x y 中至多有一个大于1,在用反证法证明时,假设应为__________.14、若三角形的周长为L ,面积为S ,内切圆半径为r ,则有2s r L=,类比此结论,在四面体中,设其表面积为S ,体积为V ,内切球半径为R ,则有__________.15、已知21()(1)bx f x ax +=+(1x a≠-,0a >),且16(1)log 2f =,(2)1f -=. 1.求函数()f x 的表达式;2.已知数列{}n x 的项满足[][][]1(1)1(2)1()n x f f f n =-⋅-⋅⋅-,试求1x 、2x 、3x 、4x ;3.猜想{}n x 的通项.答案以及解析1答案及解析：答案：C解析：2答案及解析：答案：B解析：反证法证明命题时，应假设命题的反面成立.而",a b 中至少有一个能被3整除"的反面是;",a b 都不能被3整除",故应假设,a b 都不能被3整除,故选B ．3答案及解析：答案：C解析：这是一个复合三段论,从“名不正”推出“民无所措手足”,连续运用五次三段论,属演绎推理形式.4答案及解析：答案：A解析：()f x 在(),a b 内可导且单调递增,则在(),a b 内, ()'0f x ≥恒成立,故大前提错误.故选A.5答案及解析：答案：A解析：题中命题的证明方法是由所给的条件,利用所学的定理、定义、公式证得要证的结论,故此题的证明方法属于综合法,6答案及解析：答案：D解析：当1n k =+时,右边应为111(1)1(1)2(1)(1)k k k k ++⋯+++++++ 11111.2222122k k k k k =++⋯+++++++ 故D 正确.7答案及解析：答案：B解析：因为证明过程是“从左往右”,即由条件⇒结论.8答案及解析：答案：C解析：设第n 行第 m 个数为(),a n m ,由题意知()17,17a =,()18,18a =,()19,19a =,()110,110a =, ∴()()()11110,29,110,191090a a a =-=-=, ()()()1118,27,18,17856a a a =-=-=, ()()()1119,28,19,18972a a a =-=-=, ∴()()()110,39,210,2360a a a =-=,()()()19,38,29,2252a a a =-=, ∴()()()110,49,310,3840a a a =-=, 则第10行第4个数为1840,故选C.9答案及解析：答案：C解析：设等比数列{}n a 的公比为q ,则1(1)n n n a a a q ++=+.∴当1q ≠-时, {}1n n a a ++一定是等比数列;当1q =-时, 10,n n a a ++=此时为等差数列.10答案及解析：答案：B解析：证明过程中的“为了证明……”,“只需证明……”这样的语句是分析法所特有的,是分析法的证明模式.11答案及解析：答案：1;()()()k k k +++++⋯+222121解析：代入验证可知n 的初始值为1. n k =时的左端为2123,1k n k +++⋯+=+时的左端为()()()2222123121.k k k k +++⋯++++++⋯++ 故增加的式子为()()()222121.k k k ++++⋯++12答案及解析： 答案：3333,,;7895n + 解析：121133332,1372532a a a ⨯====+++ 同理, 232333,3835a a a ===++ 433,945a ==+ 533,1055a ==+ 猜想3.5n a n =+13答案及解析：答案：x ，y 都大于1解析：“至多有一个大于1”包括“都不大于1和有且仅有一个大于1”,故其对立面为“,x y 都大于1”.14答案及解析： 答案：3V R S= 解析：三角形可分解为三个以内切圆圆心为顶点的三角形,于是有12L r S ⋅=,即2S r L=,四面体可分解为四个以四面体各面为底面,内切球球心为顶点的三棱锥.于是13S R V ⋅⋅=,即3V R S =.15答案及解析：答案：1.由16(1)log 2f =,(2)1f -=解得1a =,0b =,所以21()(1)(1)f x x x =≠-+. 2. 134x =,223x =,358x =,435x =. 3.猜想: 22(1)n n x n +=+*()n N ∈. 数学归纳法证明22(1)n n x n +=+. ①当1n =时,因为134x =,而()1232114+=⨯+, 所以猜想成立. ②假设当()*1,n k k k N =≥∈时,猜想成立,即()221k k x k +=+, 当1n k =+时, ()111k k x x f k +=-+⎡⎤⎣⎦()()22112111k k k ⎡⎤+=-⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦()()()()221212212k k k k k +++-+=⋅++ ()()121322211k k k k +++=⋅=+++⎡⎤⎣⎦. 所以当1n k =+时,猜想也成立.所以{}n x 的通项为22(1)n n x n +=+. 解析：1.实际上是用待定系数法求()f x 的解析式.2.体现的则是“归纳-猜想-证明”的思想方法.3.点评:这是一道函数、数列与数学归纳法相结合的综合题,重点是培养我们分析问题和解决问题的能力.由Ruize收集整理。

章末分层突破
[自我校对]
①由部分到整体，由个别到一般②类比推理③演绎推理
④由一般到特殊⑤综合法⑥执果索因⑦反证法⑧数学归纳法
.
.类比推理的特点及一般步骤
(·温州月
考)下面四个图案都是由小正三角形构成的，设第个图形中有个正三角形，且所
有小正三角形边上黑点的总数为().
图-
()求()，()，()，()；
()找出()与(＋)的关系，并求出()的表达式.【精彩点拨】()根据图案推导计算()，()，()，()及它们之间的关系.()利用()推
导出的关系归纳出()与(＋)的关系，然后再求()的表达式.【规范解答】()由题意有()＝，()＝()＋＋×＝，()＝()＋＋×＝，()＝()＋＋×
＝，()＝()＋＋×＝.
()由题意及()知，(＋)＝()＋＋×＝()＋＋，
即(＋)－()＝＋，所以()－()＝×＋，
()－()＝×＋，()－()＝×＋，…，
()－(－)＝×(－)＋，
将上面－个式子相加，得
()－()＝[＋＋＋…＋(－)]＋(－)
＝×＋(－)＝－，
又()＝，所以()＝.
[再练一题]
.已知函数＝＋(∈)的值域是，则
()函数＝＋(∈)的值域是；
()类比上述结论，函数＝＋(∈*)的值域是.。

综合检测卷(时间：分钟满分：分)一、填空题(本大题共小题，每小题分，共分)．已知是虚数单位，则(－＋)(－)＝.答案－＋解析(－＋)(－)＝－＋－＝－＋.．演绎推理“因为对数函数＝(>且≠)是增函数，而函数＝是对数函数，所以＝是增函数”所得结论错误的原因是．答案大前提错误解析对数函数＝(>，且≠)，当>时是增函数，当<<时是减函数，故大前提错误．．用反证法证明命题：“若，∈，能被整除，那么，中至少有一个能被整除”时，假设应为．答案，都不能被整除解析“至少有一个”的否定为“一个也没有”．．为虚数单位，复平面内表示复数＝的点在第象限．答案三解析因为＝＝＝－－，所以复平面内表示复数＝的点在第三象限．．若＝＋，＝＋(≥)，则，的大小关系为．答案<解析要比较与的大小，只需比较与的大小，只需比较＋＋与＋＋的大小，只需比较＋与＋＋的大小，即比较与的大小，而<，故<.．函数()在定义域内可导，若()＝(－)，且(－)′()>，＝()，＝()，＝()，则，，的大小关系是．答案>>解析因为(－)′()>，所以当>，′()>，即函数＝()在(，＋∞)上是增函数．又()＝(－)，所以＝()＝()，＝()＝()，所以>>.．设()＝－－，则()的单调递增区间为．答案(，＋∞)解析()定义域为(，＋∞)，又由′()＝－－＝>，解得－<<或>，所以′()>的解集为(，＋∞)．．设，，都是正数，则三个数＋，＋，＋的值说法正确的是．①都小于②至少有一个不大于③至少有一个不小于④都大于答案③解析假设这三个数都小于，即＋<，＋<，＋<，则(＋)＋(＋)＋(＋)<，又由基本不等式>，>，>时，(＋)＋(＋)＋(＋)≥＋＋＝，与假设矛盾．故选③.．曲线()＝＋－在点处的切线平行于直线＝－，则点的坐标为．答案()或(－，－)解析设点的坐标为(，)，因为′()＝＋，所以点处的切线的斜率为′()＝＋，又切线平行于直线＝－，所以＋＝，解得＝±.当＝时，由(，)为曲线()＝＋－上的点，得＝；当＝－时，同理可得＝－，所以点的坐标为()或(－，－)．．设△的三边长分别为，，，△的面积为，内切圆半径为，则＝，类比这个结论可知：四面体—的四个面的面积分别为，，，，内切球半径为，四面体—的体积为，则＝.答案解析设四面体的内切球的球心为，则球心到四个面的距离都是，所以四面体的体积等于以为顶点，分别以四个面为底面的个三棱锥体积的和．则四面体的体积为四面体—＝(＋＋＋)，∴＝.．若复数＝θ－θ所对应的点在第四象限，则θ为第象限角．答案一。

章末检测卷(二)(时间：分钟满分：分)一、填空题(本大题共小题，每小题分，共分)．由＝＋＝＋＋＝＋＋＋＝，…，得到＋＋…＋(－)＝用的是推理．答案归纳．在△中，、分别为、的中点，则有∥，这个问题的大前提为．答案三角形的中位线平行于第三边解析这个三段论推理的形式为：大前提：三角形的中位线平行于第三边；小前提：为△的中位线；结论：∥.．用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，反设为．答案假设至少有两个钝角．用数学归纳法证明：＋＋＋…＋＝时，由＝到＝＋左边需要添加的项是．答案解析由＝到＝＋时，左边需要添加的项是＝.．已知(＋)＝，()＝(∈*)，猜想()的表达式为．答案()＝解析当＝时，()＝＝＝，当＝时，()＝＝＝；当＝时，()＝＝＝，故可猜想()＝.．下列四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前页，则这个数列的一个通项公式为．答案＝－(∈*，≥)解析＝＝，＝＝，＝＝，＝＝，…，由此猜想＝－(∈*，≥)．．对“，，是不全相等的正数”，给出下列判断：①(－)＋(－)＋(－)≠；②＝与＝及＝中至少有一个成立；③≠，≠，≠不能同时成立．其中判断正确的个数为．答案解析若(－)＋(－)＋(－)＝，则＝＝，与“，，是不全相等的正数”矛盾，故①正确．＝与＝及＝中最多只能有一个成立，故②不正确．由于“，，是不全相等的正数”，有两种情形：至多有两个数相等或三个数都互不相等，故③不正确．．我们把平面几何里相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体．下列几何体中，一定属于相似体的有个．①两个球体；②两个长方体；③两个正四面体；④两个正三棱柱；⑤两个正四棱椎．答案解析类比相似形中的对应边成比例知，①③属于相似体．．数列{}满足＝，＋＝－，则＝.答案解析∵＝，＋＝－，∴＝－＝－，＝－＝，＝－＝，＝－＝－，＝－＝，。

3 _______ () 8 9 4AC BD ABCD AC BD51 21 21 46 ( )F V E8 x y R x 2 y 2 __________ 甘y X 1.91 2 22 2n 1 2n 1(n N *) n 1121 1 1[ 120 160 ](14)5 70ABCB②假设当n = k(k € N *)时，等式成立，即 1+ 2 + 22+…+ 2k 「1 = 2k — 1; 高中数学14 .(湖北高考)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数 1,3,6,10，…，第n 个三角形数为 中+1 = *n 2+切.记第n 个k 边形数为N(n , k)(k >3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 1 2 1N(n ,3) = ?n +尹 正方形数 N(n,4) = n 2, 五边形数3 2 1 N(n,5) = ?n 2—1n ,六边形数N( n,6) = 2n 2— n ,可以推测N(n , k)的表达式，由此计算 N(10,24) = _________、解答题(本大题共6个小题，共90分.解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤)③则当n = k + 1时,k + 11+ 2+尸+…十2k —1 + 2k=等—T =2k +1 -1则当n = k + 1时等式* »成立•由此可知，对任何 n € N ,等式都成立.上述证明步骤中错误的是 _________ •2 2 210.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，圆x + y = r (r > 0)内切于正 方形 ABCD ，任取圆上一点 P ,若 OP = m OA + n OB (m , n € R ), 则和2 2m 2, n 2的等差中项；现有一椭圆 X 2+ y ^= 1(a >b > 0)内切于矩形 ABCD ,a b任取椭圆上一点 P ,若OP = m OA + n OB (m , n € R )，贝U m 2, n 2的等差中项为 ____________11.(安徽高考)如图，在等腰直角三角形 ABC 中，斜边BC = 2 . 2. 过点A 作BC 的垂线，垂足为A 1 ；过点A 1作AC 的垂线，垂足为A 2； 过点A 2作A 1C 的垂线，垂足为 A 3 ;…，依此类推.设 BA = a 1 , AA 1 =a 2 , A 1A 2= a 3，…， A 5A 6= a 7，贝a 7=___________________________________________ .1 4 27 a12 .已知 x>0，不等式 x +-> 2, x + -2 >3, x + r > 4,…，可推广为 x + n + 1,则x x x xa 的值为 _________ .13.如图，第n 个图形是由正n + 2边形“扩展”而来(n = 1,2,3，…)，则第n 个图形中 共有 ________ 个顶点.15 ( 14 ) a>0 b>0 a b 1 1 1 1 a b ab16 (14 ) {a n}a1 a3 52a n 5n 3 b n 6T n 5n a n{b n}1 a n a n 1 g"n N *)T n a1 a2 5n17 ( 14 ) sin210 2cos 40 sin 10 cos 402 si n262cos 36 sin 6 cos 3634.18 ( 16 ) a b c 0<a b c<2 (2 a)b (2 b)c1.(2 c)a19. (本小题满分16分)数列｛a n｝满足S n= 2n-a n(n € N ).(1)计算a i, a2, a3, a4,并由此猜想通项a n的表达式；⑵用数学归纳法证明(1)中的猜想.1 320. (本小题满分16分)已知函数f(x) = 3X -x，数列｛a n｝满足条件：a1> 1, a n+1>f' (a n+ 1),(1) 证明：a n> 2n- 1(n€ N ).1 1 1(2) 试比较一 + -一+…+ —与1的大小，并说明理由.1 + a1 1 + a2 1 + a n答案1. 解析：由甲、丙的回答易知甲去过A城市和C城市，乙去过A城市或C城市，结合乙的回答可得乙去过A城市.答案：A2. 解析：平面图形中的图类比空间几何体中的球，周长类比表面积，面积类比体积.故可以得到的结论是：表面积一定的空间几何体中，球的体积最大.答案：表面积一定的空间几何体中，球的体积最大3. 解析：如果演绎推理的大前提和小前提都正确，则结论一定正确.大前提和小前提中，只要有一项不正确，则结论一定也不正确•故②错误.答案：①③④4. 形对角线互相垂直且平分V1_竺_包也」1_ 15.解析:V2 1 S2 h2 4 2 8'1站2答案：1 : 8高中数学12x6 6 10 26 8 12 2F V E 2.8x y 4x 2 122222x (1 y ) 1 y (1 x ) 2yp1 x 2y x 2 1 x 2 y 2.y)2 0 yx 2 y 2 1.1944 2 XT XT x xa n n n n10P(x y) 227 p 2 1 A(a b) B( a b)m OA n OBn 2(m n a (m n p22 , m n 1 ~~24m 2 n 21 4.11 ABCBC 2^2 ABAC a 1AA 1 a 2 V 2 A 1A 2a 3 1 ABCAn 1A nan 12 /(m n) (m A 5A 6 a 7 a 11 4.2 , 2A 2a7a 1 2 AA 13 27 3 P x4 x xn n -n n x13 a n a1 3 3 3 a2 4 4 4高中数学12 xa n -2 = n + n •,22a n = (n + 2) + n + 2 = n + 5n + 6. 答案：n 5+ 5n + 614. 解析：N(n , k) = a k n 2 + b k n(k 》3)，其中数列｛a k ｝是以舟为首项，2为公差的等差数列; 数列｛b k ｝是以*为首项，一1为公差的等差数列；所以N(n,24) = 11n 2- 10n,当n = 10时，N(10,24)=11 x 102- 10 x 10= 1 ooo.答案：1 00015. 证明：•/ a>0, b>0, a + b = 1.1 11 = a + b >2 ab , ab <㊁，ab <4, •-存4当a = 2, b = 2时等号成立 又 a +6=(a +b) 1+b当a =1，b =2■时等号成立 1 1 1 •1+ b +新 8. 16. 解：因为 T n = a 1 + a2 5+ a3 52+ …+ an 5nS ① 所以 5T n = a 1 5+ a 2 5 + a 3 5 + …+ a n -1 5 1+a n 5，② 由①+②得：6T n = a 1+ (a 1 + a ?) 5+ @+ 83) 52 + …+ (a n -1+ a *) 5n 1+ a * 5n=1 + 5x 5+ 1 2x 52+-+n -1x 5n -1 + a n 5n=n+ an 5 ,所以 6T n — 5n a n = n ,所以数列｛ b n ｝的通项公式为b n = n.17•解：观察 40。

章末综合测评(二)(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填在题中的横线上)1.有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f(x)，若f(x)＝0，则x＝x是函数f(x)的极值点.因为f(x)＝x3在x＝0处的导数值f′(0)＝0，所以x ＝0是f(x)＝x3的极值点.以上推理中________错误.【解析】大前提是错误的，若f′(x0)＝0，x＝x不一定是函数f(x)的极值点.【答案】大前提2.下列四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，则这个数列的一个通项公式为________.图1【解析】由图形可知，着色三角形的个数依次为：1,3,9,27，…，故an ＝3n－1.【答案】3n－13.(2016·日照联考)已知f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n(n∈N*)，计算得f(22)＞2，f(23)＞52，f(24)＞3，f(25)＞72，由此推测，当n≥2时，有________.【解析】因为f(22)＞42，f(23)＞52，f(24)＞62，f(25)＞72，所以推测，当n≥2时，f(2n)＞n＋2 2.【答案】f(2n)＞n＋2 24.已知圆x2＋y2＝r2(r＞0)的面积为S＝πr2，由此类比椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的面积最有可能是________.【解析】将圆看作椭圆的极端情况，即a＝b情形. ∴类比S圆＝πr2，得椭圆面积S＝πab.【答案】πab5.已知a＞0，b＞0，m＝lg a＋b2，n＝lga＋b2，则m与n的大小关系为________.【解析】∵(a＋b)2＝a＋b＋2ab＞a＋b＞0，∴a＋b＞a＋b＞0，则a＋b2＞a＋b2.∴lg a＋b2＞lga＋b2，则m＞n.【答案】m＞n6.已知数列{an }为等差数列，数列{bn}是各项均为正数的等比数列，且公比q＞1，若a1＝b1，a2 013＝b2 013，则a1 007与b1 007的大小关系是________.【解析】由2a1 007＝a1＋a2 013，得a1 007＝a1＋a2 0132.又b21 007＝b1·b2 013，得b1 007＝b1·b2 013，∵a1＝b1＞0，a2 013＝b2 013＞0，且a1≠a2 013，∴a1 007＞b1 007.【答案】a1 007＞b1 0077.利用数学归纳法证明不等式1n＋1＋1n＋2＋…＋1n＋n＞12(n＞1，n∈N*)的过程中，第一步的代数式为____________________.【解析】第一步：n＝2时，左边为12＋1＋12＋2，故代数式为12＋1＋12＋2＞1 2 .【答案】12＋1＋12＋2＞128.(2016·江西一模)观察下列等式：(1＋x＋x2)1＝1＋x＋x2，(1＋x＋x2)2＝1＋2x＋3x2＋2x3＋x4，(1＋x ＋x 2)3＝1＋3x ＋6x 2＋7x 3＋6x 4＋3x 5＋x 6，(1＋x ＋x 2)4＝1＋4x ＋10x 2＋16x 3＋19x 4＋16x 5＋10x 6＋4x 7＋x 8，由以上等式推测：对于n ∈N *，若(1＋x ＋x 2)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2n x 2n ，则a 2＝________.【解析】 观察知，a 2为数列1,3,6,10，…中的第n 项，而1＝22＝1×22，3＝62＝2×32，6＝122＝3×42，10＝202＝4×52，…，归纳得a 2＝n (n ＋1)2. 【答案】n (n ＋1)29.将全体正整数排成一个三角形数阵：图2根据以上排列规律，数阵中第n(n ≥3)行从左到右的第三个数是________. 【解析】 前n －1行共有正整数1＋2＋3＋…＋(n －1)＝n 2－n2个，∴第n 行第3个数是n 2－n 2＋3＝n 2－n ＋62.【答案】 n 2－n ＋6210.(2016·东北三校二模)观察下列等式：13＝12,13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第n 个等式为________.【解析】 由题知13＝12； 13＋23＝⎝⎛⎭⎪⎫2×322； 13＋23＋33＝⎝⎛⎭⎪⎫3×422； 13＋23＋33＋43＝⎝⎛⎭⎪⎫4×522； …。

第2章过关检测(时间90分钟，满分100分)一、填空题(本大题共14小题，每小题4分，满分56分)1．如果f (x ＋y )＝f (x )f (y )，且f (1)＝1，则f (2)f (1)＋f (3)f (2)＋…＋f (2 010)f (2 009)等于__________．2．若从点O 所作的两条射线OM 、ON 上分别有点M 1、M 2与点N 1、N 2，则三角形面积之比为：S △OM 1N 1S △OM 2N 2＝OM 1OM 2·ON 1ON 2.若从点O 所作的不在同一个平面内的三条射线OP 、OQ和OR 上分别有点P 1、P 2与点Q 1、Q 2和R 1、R 2，则类似的结论为：__________.3．根据图中的5个图形及相应的点的个数的变化规律，试猜测第n 个图中有__________个点．4．三段论：“①只有船准时起航，才能准时到达目的港；②这艘船是准时到达目的港的；③所以这艘船是准时起航的．”中的“小前提”是__________．5．设S (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋1n 2，则S (n )共有__________项，S (2)＝__________.6．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1(n ∈N *)的过程如下： ①当n ＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立． ②假设当n ＝k 时，等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k －1， 则当n ＝k ＋1时，1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k ＝1－2k ＋11－2＝2k ＋1－1，所以当n ＝k ＋1时等式成立． 由此可知对任何n ∈N *，等式都成立． 上述证明的错误是__________．7．F (n )是一个关于自然数n 的命题，若F (k )(k ∈N *)真，则F (k ＋1)真，现已知F (7)不真，则有①F (8)不真；②F (8)真；③F (6)不真；④F (6)真；⑤F (5)不真；⑥F (5)真．其中真命题是__________．8．从1＝1,1－4＝－(1＋2)，1－4＋9＝1＋2＋3,1－4＋9－16＝－(1＋2＋3＋4)，…，归纳出一般的式子是__________．9．已知a ＞b ＞0，且ab ＝1，若0＜c ＜1，p ＝log c a 2＋b 22，q ＝log c (1a ＋b )2，则p 、q的大小关系是__________．10．在椭圆中，我们有如下结论：椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上斜率为1的弦的中点在直线x a 2＋yb 2＝0上，类比上述结论，得到正确的结论为：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上斜率为1的弦的中点在直线__________上．11．在等差数列{a n }中，当a r ＝a s (r ≠s )时，数列{a n }必定是常数列．然而在等比数列{a n }中，对某些正整数r ，s (r ≠s )，当a r ＝a s 时，非常数数列{a n }的一个例子是__________．12．将正奇数排列如下表，其中第i 行第j 个数表示a ij (i ∈N *，j ∈N *)，例如a 32＝9，a ij＝2 009，则i ＋j ＝__________.13．在平面上的n 个圆中，每两个圆都相交，每三个圆不交于一点，则它们把平面分成__________部分．14．{a n }是由非负整数组成的数列，满足a 1＝0，a 2＝3，a n ＋1a n ＝(a n －1＋2)(a n －2＋2)，n ＝3,4,5，…，则a 3＝__________.二、解答题(本大题共4小题，满分44分)15．(10分)如图，已知平面α∩平面β＝直线a ，直线b ⊂α，直线c ⊂β，b ∩a ＝A ，c ∥a .求证：b 与c 是异面直线．16.(10分)已知数列{a n}满足a1＝1，且4a n＋1－a n a n＋1＋2a n＝9(n∈N*)．(1)求a2，a3，a4；(2)由(1)猜想{a n}的通项公式a n，并用数学归纳法证明你的猜想．17．(12分)下列命题是真命题还是假命题，用分析法证明你的结论．命题：若a＞b＞c且a＋b＋c＝0，则b2－aca＜ 3.18．(12分)已知f (n )＝(2n ＋7)·3n ＋9，是否存在自然数m ，使对任意n ∈N *，都有m 整除f (n )？若存在，求出最大值的m 值，并证明你的结论；若不存在，说明理由．参考答案1．2 009 解析：令x ＝n (n ∈N *)，y ＝1得f (n ＋1)＝f (n )·f (1)＝f (n )，所以f (n ＋1)f (n )＝1，所以f (2)f (1)＋f (3)f (2)＋…＋f (2 010)f (2 009)＝1＋1＋…＋1＝2 009. 2.VO —P 1Q 1R 1VO —P 2Q 2R 2＝OP 1OP 2·OQ 1OQ 2·OR 1OR 23．n 2－n ＋1 解析：如设第n 个图中的点数为a n ，则有a 1＝1，a 2＝3＝22－1，a 3＝7＝32－2，a 4＝13＝42－3，a 5＝21＝52－4.故a n ＝n 2－(n －1)＝n 2－n ＋1.4．② 解析：①的意思是：如果船不准时起航，那么它就不能准时到达目的港，它的逆否命题是：如果船准时到达目的港，那么它是准时起航．由此可知，①是大前提，②是小前题．5．n 2－n ＋1 1312解析：从n 到n 2共有n 2－n ＋1个自然数，即S (n )共有n 2－n ＋1项．S (2)＝12＋13＋14＝1312. 6．在证明n ＝k ＋1时，没有用假设n ＝k 时的结论7．③⑤ 解析：“F (k )真⇒F (k ＋1)真”等价于“F (k ＋1)假⇒F (k )假”．8．1－4＋9－16＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n －1·n (n ＋1)2(n ∈N *) 解析：1－4＝－(1＋2)＝(－1)2－1·2(2＋1)2，1－4＋9＝1＋2＋3＝(－1)3－13(3＋1)2，1－4＋9－16＝－(1＋2＋3＋4)＝(－1)4－14(4＋1)2，由此可归纳出结论． 9．p ＞q 解析：∵a 2＋b 22≥ab ＝1，∴p ＝log c a 2＋b 22＜0.又q ＝log c (1a ＋b )2＝log c 1a ＋b ＋2ab＞log c 14ab ＝log c 14＞0，∴q ＞p . 10.x a 2－yb2＝0 11．1，－1,1，－1，…(不唯一)12．60 解析：2 009是正奇数1,3,5，…中的第1 005个，则1 005＝1＋2＋3＋…＋(i －1)＋j ＝(i －1)i2＋j .估算：当i ＝45时，(i －1)i2＝990，j ＝15，所以i ＋j ＝60.13．n 2－n ＋2 解析：n ＝1时，a 1＝2； n ＝2时，a 2＝4＝a 1＋2＝a 1＋2×1； n ＝3时，a 3＝8＝a 2＋4＝a 2＋2×2； n ＝4时，a 4＝14＝a 3＋6＝a 3＋2×3； …a n ＋1＝a n ＋2n .由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2a n ＋1＝a n＋2n⇒a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2(n －1)＋2(n －2)＋…＋2×1＋2＝n 2－n ＋2.14．2 解析：由已知a 4a 3＝(a 2＋2)(a 1＋2)＝5×2＝10×1， ∴a 3可能取值1,2,5,10. 若a 3＝1，a 4＝10，从而a 5＝(a 3＋2)(a 2＋2)a 4＝1510＝32，显然a 5不是非负整数，与题设矛盾． 若a 3＝10，则a 4＝1，从而a 5＝60. 但再计算a 6＝35，也与题设矛盾．∴a 3＝2，a 4＝5(或a 3＝5，a 4＝2⇒a 5∉N *，舍去)． 15．证明：假设b 、c 不是异面直线，即b 与c 共面， 设b 与c 确定的平面为γ，则γ∩α＝b ，γ∩β＝c ， ∵a ∥c ，∴α∥γ.又a ⊂α，且α∩γ＝b ， ∴a ∥b ，这与a ∩b ＝A 矛盾．因此b 与c 不可能共面，故b 与c 是异面直线． 16．解：(1)由4a n ＋1－a n a n ＋1＋2a n ＝9得 a n ＋1＝9－2a n 4－a n ＝2－1a n －4，求得a 2＝73，a 3＝135，a 4＝197.(2)猜想a n ＝6n －52n －1.证明：①当n ＝1时，猜想成立．②设当n ＝k 时(k ∈N ＋)时，猜想成立，即a k ＝6k －52k －1，则当n ＝k ＋1时，有a k ＋1＝2－1a k －4＝2－16k －52k －1－4＝6k ＋12k ＋1＝6(k ＋1)－52(k ＋1)－1，所以当n ＝k ＋1时猜想也成立．③综合①②，猜想对任何n ∈N ＋都成立． 17．解：此命题是真命题．∵a ＋b ＋c ＝0，a ＞b ＞c ，∴a ＞0，c ＜0. 要证b 2－ac a ＜3成立，只要证b 2－ac ＜3a ，即证b 2－ac ＜3a 2，也就是证(a ＋c )2－ac ＜3a 2，即证(a－c)(2a＋c)＞0，∵a－c＞0,2a＋c＝(a＋c)＋a＝a－b＞0，∴(a－c)(2a＋c)＞0成立．故原不等式成立．18．解：由f(1)＝36，f(2)＝108，f(3)＝360，f(4)＝1 224，猜想f(n)被36整除．证明：①当n＝1时，猜想显然成立．②设n＝k时，f(k)能被36整除．则n＝k＋1时，f(k＋1)＝[2(k＋1)＋7]·3k＋1＋9＝3[(2k＋7)·3k＋9]＋18(3k－1－1)，根据假设3[2(k＋7)·3k＋9]被36整除，而3k－1－1是偶数，∴18(3k－1－1)能被36整除，从而f(k＋1)能被36整除．综上所述，n∈N*时，f(n)能被36整除，由于f(1)＝36，故36是整除f(n)的自然数中的最大数．。

2012-2013学年江苏省盐城市高二（下）期末数学试卷（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1．（5分）命题p“∀x∈R，sinx≤1”的否定是∃x∈R，sinx＞1．考点：命题的否定．专题：综合题．分析：直接把语句进行否定即可，注意否定时∀对应∃，≤对应＞．解答：解：根据题意我们直接对语句进行否定命题p“∀x∈R，sinx≤1”的否定是：∃x∈R，sinx＞1．故答案为：∃x∈R，sinx＞1．点评：本题考查了命题的否定，注意一些否定符号和词语的对应．2．（5分）已知复数z满足z=i（2﹣i）（其中i为虚数单位），则|z|=．考点：复数代数形式的乘除运算；复数求模．专题：计算题．分析：先由复数的乘法运算对z进行化简，再代入公式求出复数的模．解答：解：由题意得z=i（2﹣i）=2i﹣i2=1+2i，则|z|==，故答案为：．点评：本题考查了复数的乘法运算，以及复数模的公式，属于基础题．3．（5分）某校对全校1000名男女学生进行课外阅读情况调查，采用分层抽样法抽取一个容量为200的样本，已知女生抽了80人，则该校的男生数为600．考点：分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：先求出样本中的男生数目，然后利用样本容量和全校学生的人数比确定该校的男生数．解答：解：在样本中，由于女生抽了80人，所以男生为120，所以男生在样本中的比例为，所以该校的男生数为人．故答案为：600．点评：本题的考点是分层抽样的应用．4．（5分）已知向量，，若，则λ=0或2．考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：平面向量及应用．分析：根据两个向量垂直的性质可得=2λ+0﹣λ2=0，与哦刺球的λ的值．解答：解：已知向量，，若，则=2λ+0﹣λ2=0，解得λ=0，或λ=2，故答案为0或2．点评：本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量坐标形式的运算，属于基础题．5．（5分）有6件产品，其中有2件次品，从中任选2件，恰有1件次品的概率为．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：所有的选法有种，而从中任选2件，恰有1件次品的选法有•种，由此求得恰有1件次品的概率．解答：解：所有的选法有=15种，而从中任选2件，恰有1件次品的选法有•=8种，故从中任选2件，恰有1件次品的概率为，故答案为．点评：本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，属于基础题．6．（5分）甲、乙两种水稻试验品种连续4年的单位面积平均产量如下：品种第1年第2年第3年第4年甲9.8 9.9 10.2 10.1乙9.7 10 10 10.3其中产量比较稳定的水稻品种是甲．考点：极差、方差与标准差．专题：计算题．分析：首先做出两个品种的平均产量，结果平均数相同，再分别求出两个品种的产量的方差，得到甲的方差小于乙的方差，得到结论．解答：解：甲的平均数是=10乙的平均数是=10，两个品种的平均数相同，甲的方差是乙的方差是=0.045∴甲的方差小于乙的方差，即甲的产量比较稳定．故答案为：甲点评：本题考查方差和平均数，对于两组数据通常考查这两组数据的平均数和方差，以观察两组数据的性质特点．7．（5分）若双曲线=1（a＞0，b＞0）的一个焦点到一条渐近线的距离等于a，则该双曲线的离心率为．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由已知中双曲线的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，通过渐近线、离心率等几何元素，沟通a，b，c的关系，即可求出该双曲线的离心率．解答：解：∵焦点到渐近线的距离等于半实轴长，∴∴b=a，∴e=．故答案为：．点评：本题考查的知识点是双曲线的简单性质，双曲线的渐近线与离心率存在对应关系，通过a，b，c的比例关系可以求离心率，也可以求渐近线方程．8．（5分）（2013•黄埔区一模）执行如图的程序框图，若p=15，则输出的n=5．考点：程序框图．专题：计算题．分析：由已知可得循环变量n的初值为1，循环结束时S≥p，循环步长为1，由此模拟循环执行过程，即可得到答案．解答：解：当n=1时，S=2，n=2；当n=2时，S=6，n=3；当n=3时，S=14，n=4；当n=4时，S=30，n=5；故最后输出的n值为5故答案为：5点评：本题考查的知识点是程序框图，处理本类问题最常用的办法是模拟程序的运行，其中分析循环过程中各变量在循环中的值是关键．9．（5分）（2008•江苏二模）观察下列不等式：1＞，1++＞1，1+++…+＞，1+++…+＞2，1+++…+＞，…，由此猜测第n个不等式为1+++…+＞（n∈N*）．考点：归纳推理．专题：规律型；探究型．分析：根据所给的五个式子，看出不等式的左边是一系列数字的倒数的和，观察最后一项的特点，3=22﹣1，7=23﹣1，15=24﹣1，和右边数字的特点，得到第n格不等式的形式．解答：解：∵3=22﹣1，7=23﹣1，15=24﹣1，∴可猜测：1+++…+＞（n∈N*）．故答案为：1+++…+＞点评：本题考查归纳推理，是由某类事物的部分对象所具有的某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，它的特点是有个别到一般的推理，本题是一个不完全归纳．10．（5分）若，则a0+a2+a4+a6+a8的值为128．考点：二项式定理的应用．专题：计算题．分析：在所给的等式中，令x=1可得28=a0+a1+a2+a3+…+a8；再令x=﹣1可得0=a0﹣a1+a2﹣a3+…+a8．两式相加可得28=2（a0+a2+a4+a6+a8），从而求得a0+a2+a4+a6+a8 的值．解答：解：∵，令x=1可得28=a0+a1+a2+a3+…+a8．再令x=﹣1可得0=a0﹣a1+a2﹣a3+…+a8．两式相加可得28=2（a0+a2+a4+a6+a8），∴a0+a2+a4+a6+a8 =27=128，故答案为128．点评：本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于中档题．11．（5分）某停车场内有序号为1，2，3，4，5的五个车位顺次排成一排，现在A，B，C，D四辆车需要停放，若A，B两车停放的位置必须相邻，则停放方式种数为48．（用数字作答）考点：排列、组合及简单计数问题．专题：计算题．分析：第一步：先把AB两车看成一个整体进行停放，方法共有2×4=8种．第二步：从剩余的3个车位中选出2个车位，停放C、D两个车，方法共有=6种．再根据分步计数原理求得所有的停放车的方法．解答：解：第一步：把AB两车看成一个整体，有2种方法，再选取序号为12、或23、或34、或45的停车位，放上、AB两车，方法共有2×4=8种．第二步：从剩余的3个车位中选出2个车位，停放C、D两个车，方法共有=6种．再根据分步计数原理，所有的停放车的方法共有8×6=48种，故答案为48．点评：本题主要考查排列与组合及两个基本原理的应用，相邻的问题用捆绑法，属于中档题．12．（5分）若函数f（x）=ln（ae x﹣x﹣3）的定义域为R，则实数a的取值范围是（e2，+∞）．考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析： f（x）=ln（ae x﹣x﹣3）的定义域为R等价于ae x﹣x﹣3＞0的解集是R，由此能求出实数a的范围．解答：解：∵f（x）=ln（ae x﹣x﹣3）的定义域为R，∴ae x﹣x﹣3＞0的解集是R，即a＞恒成立．设g（x）=，则g'（x）=，当x＜﹣2时g'（x）＞0，当x＞﹣2时g'（x）＜0，故g（x）在（﹣∞，﹣2）是增函数，在（﹣2，+∞）上是减函数，故当x=﹣2时，g（x）取得最大值g（﹣2）=e2，∴a＞e2．故答案为：（e2，+∞）．点评：本题考查对数函数的定义域，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．13．（5分）已知Rt△ABC的三个顶点都在抛物线y2=2px（p＞0）上，且斜边AB∥y轴，则斜边上的高等于2p．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由斜边AB∥y轴及抛物线的对称性可知△ABC为等腰直角三角形，高CD为AB一半，求出点A 坐标即可．解答：解：由题意，斜边平行y轴，即垂直对称轴x轴，所以Rt△ABC是等腰直角三角形，所以斜边上的高CD是AB的一半，假设斜边是x=a，则有A（，），代入y2=2px得a=4p，所以CD==2p，故答案为：2p．点评：本题的考点是抛物线的应用，主要考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查抛物线的标准方程等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于中档题．14．（5分）已知曲线C：f（x）=x+（a＞0），直线l：y=x，在曲线C上有一个动点P，过点P分别作直线l和y轴的垂线，垂足分别为A，B．再过点P作曲线C的切线，分别与直线l和y轴相交于点M，N，O是坐标原点．则△OMN与△ABP的面积之比为8．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：由题意易得B的坐标，写出垂线的方程联立y=x可得A坐标，进而可得△ABP的面积，然后可写出切线的方程，进而可得M、N的坐标，可表示出△OMN的面积，从而求出△OMN与△ABP的面积之比．解答：解：由题意设点P（x0，x0+），则B（0，x0+），又与直线l垂直的直线向斜率为﹣1，故方程为y﹣（x0+）=﹣（x﹣x0）和方程y=x联立可得x=y=x0+，故点A（x0+，x0+），故△ABP的面积S=|x0||x0+﹣（x0+）|=|x0|||=a，解得a=2，又因为f（x）=x+，所以f′（x）=1﹣，故切线率为k=1﹣，故切线的方程为y﹣（x0+）=（1﹣）（x﹣x0），令x=0，可得y=，故点N（0，），联立方程y=x可解得x=y=2x0，即点M（2x0，2x0），故△OMN的面积为•|||2x0|=2a，则△OMN与△ABP的面积之比为8．故答案为：8．点评：本题考查利用导数研究曲线的切线方程，涉及三角形的面积和方程组的求解，属中档题．二、解答题：本大题共8小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为A1B1，CD的中点．（1）求直线EC与AF所成角的余弦值；（2）求二面角E﹣AF﹣B的余弦值．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面所成的角．专题：空间角．分析：（1）通过建立空间直角坐标系，得到与的坐标，利用它们的夹角公式即可得到异面直线EC 与AF所成角的余弦值；（2）利用线面垂直的性质求出平面ABCD与平面AEF的一个法向量，利用法向量的夹角即可得到二面角的余弦值．解答：解：（1）建立空间直角坐标系．则A（2，0，0），F（0，1，0），C（0，2，0），E（2，1，2），∴，．∴，故直线EC与AF所成角的余弦值为．（2）平面ABCD的一个法向量为．设平面AEF的一个法向量为，∵，，∴，令x=1，则y=2，z=﹣1，∴．由图知二面角E﹣AF﹣B为锐二面角，其余弦值为．点评：熟练掌握通过建立空间直角坐标系、利用异面直线的方向向量的夹角公式即可得到异面直线EC与AF所成角的余弦值、利用两个平面的法向量的夹角得到二面角的余弦值的方法是解题的关键．16．（14分）由于生产条件的影响，生产某种产品正品的概率为，次品的概率分别为．已知生产1件正品获得的利润为6万元，而生产1件次品则亏损2万元．（1）求生产3件产品恰有2件正品的概率；（2）设2件产品的利润和（单位：万元）为ξ，求ξ的分布列和数学期望．考点：离散型随机变量及其分布列；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：（1）设X为生产3件产品中正品的个数，则X服从二项分布（3，），由此可求生产3件产品恰有2件正品的概率；（2）确定ξ的取值，求出相应的概率，即可求ξ的分布列和数学期望．解答：解：（1）设X为生产3件产品中正品的个数，则X服从二项分布（3，），所以P（X=2）==；…（6分）（2）ξ的取值有12、4、﹣4，则P（X=12）=，P（X=4）=，P（X=﹣4）=，ξ的分布列为ξ12 4 ﹣4PE（ξ）=12×+4×﹣4×=10（万元）．…（14分）点评：本题考查概率知识，考查离散型随机变量的分布列与期望，正确求概率是关键．17．（14分）已知，n∈N*．（1）若g（x）=f4（x）+2f5（x）+3f6（x），求g（x）中含x2项的系数；（2）若p n是f n（x）展开式中所有无理项的系数和，数列{a n}是各项都大于1的数组成的数列，试用数学归纳法证明：p n（a1a2…a n+1）≥（1+a1）（1+a2）…（1+a n）．考点：数学归纳法；二项式定理的应用．专题：综合题；点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）确定函数g（x），利用二项式定理可得g（x）中含x2项的系数；（2）确定p n的表达式，根据数学归纳法的步骤，先证n=1时成立，再设n=k时成立，利用归纳假设证明n=k+时成立即可．解答：（1）解：g（x）=f4（x）+2f5（x）+3f6（x）=+2+3，∴g（x）中含x2项的系数为=1+10+45=56．（3分）（2）证明：由题意，p n=2n﹣1．（5分）①当n=1时，p1（a1+1）=a1+1，成立；②假设当n=k时，p k（a1a2…a k+1）≥（1+a1）（1+a2）…（1+a k）成立，当n=k+1时，（1+a1）（1+a2）…（1+a k）（1+a k+1）≤2k﹣1（a1a2…a k+1）（1+a k+1）=2k﹣1（a1a2…a k a k+1+a1a2…a k+a k+1+1）．（*）∵a k＞1，a1a2…a k（a k+1﹣1）≥a k+1﹣1，即a1a2…a k a k+1+1≥a1a2…a k+a k+1，代入（*）式得（1+a1）（1+a2）…（1+a k）（1+a k+1）≤2k（a1a2…a k a k+1+1）成立．综合①②可知，p n（a1a2…a n+1）≥（1+a1）（1+a2）…（1+a n）对任意n∈N*成立．（10分）点评：本题考查二项式定理，考查数学归纳法的运用，掌握数学归纳法的证题步骤是关键．18．（16分）为改善行人过马路难的问题，市政府决定在如图所示的矩形区域ABCD（AB=60米，AD=104米）内修建一座过街天桥，天桥的高GM与HN均为米，，AE，EG，HF，FC的造价均为每米1万元，GH的造价为每米2万元，设MN与AB所成的角为α（α∈[0，]），天桥的总造价（由AE，EG，GH，HF，FC五段构成，GM与HN忽略不计）为W万元．（1）试用α表示GH的长；（2）求W关于α的函数关系式；（3）求W的最小值及相应的角α．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数解析式的求解及常用方法．专题：导数的综合应用．分析：（1）先确定MP的值，再在Rt△NMT中，即可用α表示GH的长；（2）利用AE，EG，HF，FC的造价均为每米1万元，GH的造价为每米2万元，即可求出W关于α的函数关系式；（3）求导函数，确定函数的单调性，即可求出W的最小值及相应的角α．解答：解：（1）由题意可知∠MNP=α，故有MP=60tanα，所以在Rt△NMT中，…（6分）（2）==．…（11分）（3）设（其中，则．令f'（α）=0得1﹣2sinα=0，即，得．列表αf'（α）+ 0 ﹣f（α）单调递增极大值单调递减所以当时有，此时有．答：排管的最小费用为万元，相应的角．…（16分）点评：本题考查函数模型的构建，考查导数知识的运用，考查函数的最值，考查学生的计算能力，属于中档题．19．（16分）已知椭圆E：=1（a＞b＞0）上任意一点到两焦点距离之和为，离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，点P是右准线上任意一点，过F2作直线PF2的垂线F2Q交椭圆于Q点．（1）求椭圆E的标准方程；（2）证明：直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值；（3）点P的纵坐标为3，过P作动直线l与椭圆交于两个不同点M、N，在线段MN上取点H，满足，试证明点H恒在一定直线上．考点：直线与圆锥曲线的关系；直线的斜率；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由题意可得，解出即可；（2）由（1）可知：椭圆的右准线方程为，设P（3，y0），Q（x1，y1），由PF2⊥F2Q，可得，利用斜率计算公式可得k PQ•k OQ及代入化简得直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值．（3）设过P（3，3）的直线l与椭圆交于两个不同点M（x1，y1），N（x2，y2），点H（x，y），由点M，N在椭圆上可得，．设，则，可得（3﹣x1，3﹣y1）=﹣λ（x2﹣3，y2﹣3），（x﹣x1，y﹣y1）=λ（x2﹣x，y2﹣y），即可证明6x+9y为定值．解答：解：（1）由题意可得，解得，c=1，所以椭圆E：．（2）由（1）可知：椭圆的右准线方程为，设P（3，y0），Q（x1，y1），因为PF2⊥F2Q，所以，所以﹣y1y0=2（x1﹣1）又因为且代入化简得．即直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值．（3）设过P（3，3）的直线l与椭圆交于两个不同点M（x1，y1），N（x2，y2），点H（x，y），则，．设，则，∴（3﹣x1，3﹣y1）=﹣λ（x2﹣3，y2﹣3），（x﹣x1，y﹣y1）=λ（x2﹣x，y2﹣y）整理得，，∴从而，由于，，∴我们知道与的系数之比为2：3，与的系数之比为2：3．∴，所以点H恒在直线2x+3y﹣2=0上．点评：本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、向量运算、斜率计算公式等基础知识与基本技能，考查了分析问题和解决问题的能力、推理能力和计算能力．20．已知椭圆E：=1（a＞b＞0）上任意一点到两焦点距离之和为，离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，点P是右准线上任意一点，过F2作直线PF2的垂线F2Q交椭圆于Q点．（1）求椭圆E的标准方程；（2）证明：直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值；（3）证明：直线PQ与椭圆E只有一个公共点．考点：直线与圆锥曲线的关系；直线的斜率；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由题意可得，解出即可；（2）由（1）可知：椭圆的右准线方程为，设P（3，y0），Q（x1，y1），由PF2⊥F2Q，可得，利用斜率计算公式可得k PQ•k OQ及代入化简得直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值．（3）由（2）知，直线PQ的方程为，即，与椭圆的方程联立，消去一个未知数得到关于x的一元二次方程，只要证明△=0即可．解答：解：：（1）由题意可得，解得，c=1，所以椭圆E：．（2）由（1）可知：椭圆的右准线方程为，设P（3，y0），Q（x1，y1），因为PF2⊥F2Q，所以，所以﹣y1y0=2（x1﹣1）又因为且代入化简得．即直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值．（3）由（2）知，，，∴．∴直线PQ的方程为，即，联立得，∵，．∴化简得：，又△=0，解得x=x1，所以直线PQ与椭圆C相切，只有一个交点．点评：本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、斜率计算公式等基础知识与基本技能，考查了分析问题和解决问题的能力、推理能力和计算能力．21．（16分）设函数f（x）=alnx，．（1）记h（x）=f（x）﹣g（x），若a=4，求h（x）的单调递增区间；（2）记g'（x）为g（x）的导函数，若不等式f（x）+2g'（x）≤（a+3）x﹣g（x）在x∈[1，e]上有解，求实数a的取值范围；（3）若在[1，e]上存在一点x0，使得成立，求a的取值范围．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；函数的零点；利用导数研究函数的单调性．专题：计算题；导数的综合应用．分析：（1）当a=4时，可得，利用导数公式算出，再解关于x的不等式并结合函数h（x）的定义域，即可得到函数h（x）的单调递增区间；（2）通过移项合并同类项，化简不等式f（x）+2g'（x）≤（a+3）x﹣g（x）得，再进行变量分离得，由此设并讨论其单调性得到，结合原不等式有解即可算出实数a的取值范围；（3）原不等式等价于，整理得，设右边对应的函数为m（x），求得它的导数m'（x）=，然后分a≤0、0＜a≤e﹣1和a＞e﹣1三种情况加以讨论，分别解关于a的不等式得到a的取值，最后综上所述可得实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（，+∞）．解答：解：（1）当a=4时，可得f（x）=4lnx，此时，由得﹣2＜x＜2，结合x＞0，可得0＜x＜2．所以h（x）的单调递增区间为（0，2）．…（4分）（2）不等式f（x）+2g′（x）≤（a+3）x﹣g（x），即为，化简得：，由x∈[1，e]知x﹣lnx＞0，因而，设，由=，∵当x∈（1，e）时x﹣1＞0，，∴y′＞0在x∈[1，e]时成立．由不等式有解，可得知，即实数a的取值范围是[﹣，+∞）…（10分）（3）不等式等价于，整理得，设，则由题意可知只需在[1，e]上存在一点x0，使得m（x0）＜0．对m（x）求导数，得，因为x＞0，所以x+1＞0，令x﹣1﹣a=0，得x=1+a．…（12分）①若1+a≤1，即a≤0时，令m（1）=2+a＜0，解得a＜﹣2．②若1＜1+a≤e，即0＜a≤e﹣1时，m（x）在1+a处取得最小值，令m（1+a）=1+a﹣aln（1+a）+1＜0，即1+a+1＜aln（1+a），可得考察式子，因为1＜t≤e，可得左端大于1，而右端小于1，所以不等式不能成立③当1+a＞e，即a＞e﹣1时，m（x）在[1，e]上单调递减，只需m（e）＜0，得，又因为，所以．综上所述，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（，+∞）．…（16分）点评：本题给出含有分式和对数符号的函数，求函数的单调区间并讨论关于x的不等式解集非空的问题，着重考查了导数的公式和运算法则、利用导数研究函数的单调性和导数在最大最小值问题中的应用等知识，属于中档题．22．设函数f（x）=alnx，g（x）=x2．（1）记h（x）=f（x）﹣g（x），若a=4，求h（x）的单调递增区间；（2）记g'（x）为g（x）的导函数，若不等式f（x）+2g'（x）≤（a+3）x﹣g（x）在x∈[1，e]上有解，求实数a的取值范围；（3）若a=1，对任意的x1＞x2＞0，不等式m[g（x1）﹣g（x2）]＞x1f（x1）﹣x2f（x2）恒成立．求m（m∈Z，m≤1）的值．考点：利用导数研究函数的单调性；函数的零点；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：计算题；导数的综合应用．分析：（1）当a=4时，可得，利用导数公式算出，再解关于x的不等式并结合函数h（x）的定义域，即可得到函数h（x）的单调递增区间；（2）通过移项合并同类项，化简不等式f（x）+2g'（x）≤（a+3）x﹣g（x）得，再进行变量分离得，由此设并讨论其单调性得到，结合原不等式有解即可算出实数a的取值范围；（3）当a=1时原不等式恒成立，即mg（x1）﹣x1f（x1）＞mg（x2）﹣x2f（x2）恒成立，因此设，结合题意当x∈（0，+∞）时t（x）为增函数，得t′（x）≥0恒成立，解出恒成立．再研究不等式右边对应函数h（x）的单调性得到h（x）max=1，从而得到m≥1，结合已知条件可得m=1．解答：解：（1）当a=4时，可得f（x）=4lnx，此时，由得﹣2＜x＜2，结合x＞0，可得0＜x＜2．所以h（x）的单调递增区间为（0，2）．…（4分）（2）不等式f（x）+2g′（x）≤（a+3）x﹣g（x），即为，化简得：，由x∈[1，e]知x﹣lnx＞0，因而，设，由=，∵当x∈（1，e）时x﹣1＞0，，∴y′＞0在x∈[1，e]时成立．由不等式有解，可得知，即实数a的取值范围是[﹣，+∞）…（10分）（3）当a=1，f（x）=lnx．由m[g（x1）﹣g（x2）]＞x1f（x1）﹣x2f（x2）恒成立，得mg（x1）﹣x1f（x1）＞mg（x2）﹣x2f （x2）恒成立，设．由题意知x1＞x2＞0，故当x∈（0，+∞）时函数t（x）单调递增，∴t′（x）=mx﹣lnx﹣1≥0恒成立，即恒成立，因此，记，得，∵函数在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，∴函数h（x）在x=1时取得极大值，并且这个极大值就是函数h（x）的最大值．由此可得h（x）max=h（1）=1，故m≥1，结合已知条件m∈Z，m≤1，可得m=1．…（16分）点评：本题给出含有分式和对数符号的函数，求函数的单调区间并讨论关于x的不等式解集非空的问题，着重考查了导数的公式和运算法则、利用导数研究函数的单调性和导数在最大最小值问题中的应用等知识，属于中档题．。

高中苏教选修（2-2）2.3数学归纳法水平测试一、选择题1．用数学归纳法证明“221nn >+对于0n n ≥的自然数n 都成立”时，第一步证明中的起始值0n 应取（ ） A ．2 B ．3C ．5D ．6答案：C2．用数学归纳法证明不等式1111(1)2321nn n n *++++<∈>-N ，且时，不等式在1n k =+时的形式是（ ）A ．11111232k k ++++<+B ．1111111232121kk k ++++++<+-- C ．111111112321221kk k k +++++++<+-- D ．1111111111123212212221kk k k k k +++++++++++<+-+-- 答案：D3．用数学归纳法证明，“当n 为正奇数时，n nx y +能被x y +整除”时，第二步归纳假设应写成（ ）A ．假设21()n k k *=+∈N 时正确，再推证23n k =+正确B ．假设21()n k k *=-∈N 时正确，再推证21n k =+正确 C ．假设(1)n k k k *=∈N ，≥的正确，再推证2n k =+正确D ．假设(1)n k k k *∈N ，≤≥时正确，再推证2n k =+正确答案：B4．用数学归纳法证明：“22111(1)1n n a a a aa a++-++++=≠-”在验证1n =时，左端计算所得的项为（ ） A ．1B ．1a +C ．21a a ++D ．231a a a +++答案：C5．下面四个判断中，正确的是（ ）A ．式子21()n k k k n *++++∈N ，当1n =时为1 B ．式子211()n k k k n -*++++∈N ，当1n =时为1k +C ．式子1111()12321n n *++++∈-N ，当1n =时为111123++ D ．设111()()1231f n n n n n *=++∈+++N ，则111(1)()323334f k f k k k k +=++++++ 答案：C6．用数学归纳法证明(1)(2)()213(21)()n n n n n n n *+++=+∈N ，从k 到1k +左端需增乘的代数式为（ ） A ．21k +B ．2(21)k +C ．211k k ++ D ．231k k ++ 答案：B二、填空题7．用数学归纳法证明1111(1)2321nn n n *++++<∈>-N 且，第一步即证不等式 成立． 答案：111223++< 8．用数学归纳法证明命题：2222121(1)1234(1)(1)()2n n n n n n --*+-+-++-=-∈N ，从“第k 步到1k +步”时，两边应同时加上 ．答案：2(1)(1)k k -+9．已知21111()()12f n n n n n n*=++++∈++N ，则()f n 中共有 项． 答案：21n n -+10．设21()61n f n -=+，则(1)f k +用含有()f k 的式子表示为 ． 答案：36()35f k - 三、解答题11．用数学归纳法证明：22389()n n n +*--∈N 能被64整除．证明：（1）当1n =时，4381964-⨯-=，能被64整除，命题成立． （2）假设n k =时，命题成立，即22389k k +--能被64整除，则当1n k =+时，2(1)22238(1)99(389)6464k k k k k +++-+-=--++．因为22389k k +--能被64整除， 所以2(1)238(1)9k k ++-+-能被64整除．即当1n k =+时，命题也成立．由（1）和（2）可知，对任何n *∈N ，命题成立． 12．用数学归纳法证明：11112()23n n n*++++<∈N ． 证明：（1）当1n =时，左边1=，右边2=，12<，所以不等式成立． （2）假设n k =时不等式成立，即1111223k k++++<， 则当1a k =+时，11111122311k k k k +++++<+++ 2(1)1112111k k k k k k k +++++=<=+++，即当1n k =+时，不等式也成立．由（1）、（2）可知，对于任意n *∈N 时，不等式成立．13．数列{}n a 的前n 项和2n n S n a =-，先计算数列的前4项，后猜想n a 并证明之． 解：由112a a =-，11a =，由12222a a a +=⨯-，得232a =． 由123323a a a a ++=⨯-，得374a =．由1234424a a a a a +++=⨯-，得4158a =． 猜想1212n n n a --=．下面用数学归纳法证明猜想正确：（1）1n =时，左边11a =，右边11112121122n n +---===，猜想成立．（2）假设当n k =时，猜想成立，就是1212k k k a --=，此时121222k k k k S k a k --=-=-．则当1n k =+时，由112(1)k k S k a ++=+-， 得1112(1)2k k k S a k a +++-=+-，11[2(1)]2k k a k S +∴=+-11(1)11212112222k k k k k k +-+-⎛⎫--=+--= ⎪⎝⎭．这就是说，当1n k =+时，等式也成立．由（1）（2）可知，1212n n n a --=对n *∈N 均成立．高中苏教选修（2-2）2.3数学归纳法水平测试一、选择题1．如果命题()p n 对n k =成立，那么它对2n k =+也成立，又若()p n 对2n =成立，则下列结论正确的是（ ） A ．()p n 对所有自然数n 成立 B ．()p n 对所有正偶数n 成立 C ．()p n 对所有正奇数n 成立D ．()p n 对所有大于1的自然数n 成立答案：B2．用数学归纳法证明多边形内角和定理时，第一步应验证（ ） A ．1n =成立 B ．2n =成立 C ．3n =成立 D ．4n =成立 答案：C 3．已知111()()1231f n n n n n *=+++∈++-N ，则(1)f k +=（ ） A ．1()3(1)1f k k +++B ．1()32f k k ++ C ．1111()3233341f k k k k k +++-++++ D ．11()341f k k k +-++ 答案：C4．凸n 边形有()f n 条对角线，则凸1n +边形的对角线的条数(1)f n +为（ ） A ．()1f n n ++ B ．()f n n + C ．()1f n n +- D ．()2f n n +-答案：C 二、填空题5．用数学归纳法证明“35n n +能被6整除”的过程中，当1n k =+时，式子3(1)5(1)k k +++应变形为 ．答案：3(5)3(1)6k k k k ++++6．用数学归纳法证明不等式1111127124264n -++++>成立，起始值至少应取为 ． 答案：8 三、解答题7．用数学归纳法证明：(31)(1)(2)()()2n n n n n n n *+++++++=∈N ． 证明：（1）当1n =时，左边2=， 右边1(31)22⨯+===左边，等式成立． （2）假设n k =时等式成立，即(31)(1)(2)()2k k k k k k +++++++=． 则当1n k =+时，左边(2)(3)()(1)(2)k k k k k k k k =++++++++++++[(1)(2)()]32k k k k k =++++++++(31)323k k k +=++ 2374(1)(34)22k k k k ++++==(1)[3(1)1]2k k +++=，1n k ∴=+时，等式成立． 由（1）和（2）知对任意n *∈N ，等式成立． 8．求证：121(1)n n aa +-++能被21a a ++整除（其中n *∈N ）．证明：（1）当1n =时，212(1)1a a a a ++=++能被21a a ++整除，即当1n =时原命题成立．（2）假设()n k k *=∈N 时，121(1)k k a a +-++能被21a a ++整除．则当1n k =+时，2211221(1)(1)(1)k k k k aa a a a a +++-++=+++121221(1)(1)(1)k k k a a a a a a a +--=++++++()()211212(1)11k k k a a a a a a -+-⎡⎤=++++++⎣⎦．由归纳假设及21a a ++能被21a a ++整除可知，221(1)k k a a ++++也能被21a a ++整除，即1n k =+命题也成立．根据（1）和（2）可知，对于任意的n *∈N ，原命题成立．备选题1． 已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b ，且11a b =，22a b =，12a a ≠，0n a >，n *∈N ，试比较3a 与3b ，4a 与4b 的大小，并猜想n a 与n b （3n ≥，n *∈N ）的大小关系，并证明你的结论．解：设11a b a ==，{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ．22(1)a b a d aq d a q ∴=⇒+=⇒=-．因为0n a >，12a a ≠，0d ∴>，0a >，11dq a∴=+>． 22233(2)2(1)(1)0b a aq a d aq a a q a q ∴-=-+=---=->， 33b a ∴>．又3244(3)(1)(2)0b a aq a d a q q -=-+=-+>，44b a ∴>．猜想(3)n n b a n n *>∈N ，≥．下面用数学归纳法证明此猜想：（1） 当3n =时，已证33b a >，猜想正确．（2）假设当n k =（3k ≥，k *∈N ）时猜想正确，即k k b a <．则当1n k =+时，由1k k b aq -=，(1)k a a k d =+-知：1(1)k aq a k d ->+-，又1q >，(1)kaq aq k dq ∴>+-，而(1)d a q =-，11()(1)()k k k b a aq a kd aq k dq a kd ++∴-=-+>+--+(1)(1)(1)aq k qa q a ka q =+----- 2(1)(1)0a k q =-->， 11k k b a ++∴>．即当1n k =+时，猜想也成立．由（1）和（2）可知，对3n ≥，n *∈N ，均有n n b a >成立．2． 设111()123f n n=++++，是否存在()g n 使等式(1)(2)(1f ff ng n f n g n+++-=-对2n ≥的一切自然数都成立，并证明你的结论．解：(1)1f =，1(2)12f =+，11(3)123f =++， 由(1)(2)(1)()()()f f f ng n f n g n +++-=-，得当2n =时，(1)(2)(2)(2)f g f g =-，可得(2)2g =． 当3n =时，(1)(2)(3)(3)(3)f f g f g +=-，得(3)3g =． 猜想：()g n n =．用数学归纳法证明：当2n =时，已验证成立． 假设n k =（2k ≥，k *∈N ）时成立，即()g k k =，且有(1)(2)(1)[()1]f f f k k f k +++-=-成立．则当1n k =+时，(1)(2)(1)()[()1]()(1)()f f f k f k k f k f k k f k k +++-+=-+=+-1(1)(1)1k f k k k ⎡⎤=++--⎢⎥+⎣⎦(1)(1)(1)k f k k =++-+．即当1n k =+时成立．综上可知，()g n n =使等式(1)(2)(1)()()()f f f n g n f n g n +++-=-对2n ≥的一切自然数都成立．3．求证：n 棱柱中过侧棱的对角面的个数是1()(3)2f n n n =-． 证明：（1）当4n =时，四棱柱有2个对角面：14(43)22⨯⨯-=，命题成立． （2）假设n k =（4k ≥，k *∈N ）时，命题成立，即符合条件的棱柱的对角面有1()(3)2f k k k =-个． 现在考虑1n k =+时的情形． 第1k +条棱11k k A B ++与其余和它不相邻的2k -条棱分别增加了1个对角共2k -个，而面11k k A B B A 变成了对角面．因此对角面的个数变为：1()(2)1(3)12f k k k k k +-+=-+-11(2)(1)(1)[(1)3]22k k k k =-+=++-，即1(1)(1)[(1)3]2f k k k +=++-成立．由（1）和（2）可知，对任何4n ≥，n *∈N ，命题成立．。

第3章 数系的扩充与复数的引入(B)(时间：120分钟 满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．下列命题正确的是________．(填序号)①纯虚数集相对复数集的补集是虚数集；②复数z 是实数的充要条件是z ＝z ；③复数z 是纯虚数的充要条件是z ＋z ＝0；④i ＋1的共轭复数是i －1.2．复数z 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2，z 2＝2－i 3分别对应复平面内的点P 、Q ，则向量PQ →对应的复数是________．3．已知复数z 1＝x ＋2i ，z 2＝－2＋i 且|z 1|<|z 2|，则实数x 的取值范围是________．4．已知复数z ＝1－i ，则z 2z －1＝________.5．已知z 1＝3－4i ，z 2＝－7－2i ，z 1、z 2对应点分别为P 1、P 2，则P 2P 1→对应复数为________．6．复数z ＝2i 1＋i的共轭复数z ＝________. 7．设x 1＋i ＝32－i ＋y 1－i(x ，y ∈R )，则x ＝________，y ＝________. 8．若(2－i)·4i ＝4－b i(其中i 为虚数单位，b 为实数)，则b ＝________.9．已知z 是纯虚数，z ＋21－i是实数，那么z ＝________. 10．设m ∈R ，复数z ＝(2＋i)m 2－3(1＋i)m －2(1－i)．(1)若z 为实数，则m ＝________；(2)若z 为纯虚数，则m ＝________.11．已知m1－i＝1＋i ，其中m 是实数，i 是虚数单位，则在复平面内复数－1＋m i 对应的点在第________象限．12．设f (n )＝(1＋i 1－i )n ＋(1－i 1＋i)n (n ∈Z )，则值域中元素有________个． 13．若复数z ＝2i 1－i，则|z ＋3i|＝________.14．已知复数z 1＝2＋3i ，z 2＝a ＋b i ，z 3＝1－4i ，它们在复平面上所对应的点分别为A 、B 、C .若OC →＝2OA →＋OB →，则a ＝________，b ＝________.二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)已知复数z ＝(2＋i)m 2－6m 1－i－2(1－i)，当实数m 取什么值时，复数z 是： (1)虚数；(2)纯虚数．16.(14分)设复数z 满足|z |＝5，且(3＋4i)z 在复平面内的对应点在第二、四象限的角平分线上，|2z －m |＝52(m ∈R )，求z 和m 的值．17．(14分)复数z ＝(1＋i)2＋3(1－i)2＋i ，若z 2＋a z<0，求纯虚数a .18.(16分)已知复数z 的模为2，求复数1＋3i ＋z 的模的最大值、最小值．19．(16分)已知z 是虚数，证明：z ＋1z为实数的充要条件是|z |＝1.20.(16分)复数z ＝(1＋i)3(a ＋b i)1－i且|z |＝4，z 对应的点在第一象限，若复数0，z ，z 对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a 、b 的值．答案1．②2．3＋i解析 PQ →：z 2－z 1＝2－i 3－(1－i 1＋i)2 ＝2＋i ＋1＝3＋i.3．(－1,1)解析 ∵|z 2|＝5，∴x 2＋4<5，∴x 2<1，∴－1<x <1.4．2解析 ∵z ＝1－i ，∴z 2＝－2i ，又z －1＝1－i －1＝－i ，则z 2z －1＝－2i －i＝2. 5．10－2i解析 ∵P 2P 1→＝OP 1→－OP 2→，∴P 2P 1对应的复数为z 1－z 2＝(3－4i)－(－7－2i)＝(3＋7)－(4－2)i ＝10－2i.6．1－i解析 z ＝2i(1－i)(1＋i)(1－i)＝i(1－i)＝1＋i. ∴z ＝1－i.7.35 －95解析 由已知可得x (1－i)(1＋i)(1－i)＝3(2＋i)(2－i)(2＋i)＋y (1＋i)(1－i)(1＋i)， 所以x (1－i)2＝6＋3i 5＋y ＋y i 2， 即x 2－x 2i ＝65＋y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫35＋y 2i.所以⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝65＋y 2，－x 2＝35＋y 2. 所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝35，y ＝－95.8．－8解析 4＋8i ＝4－b i ，∴b ＝－8.9．－2i解析 设z ＝y i(y ∈R ，且y ≠0)，则y i ＋21－i ＝(2－y )＋(y ＋2)i 2∈R ， ∴2＋y ＝0，即y ＝－2，∴z ＝－2i.10．(1)1或2 (2)－12解析 (1)z ＝(2＋i)m 2－3(1＋i)m －2(1－i)＝(2m 2－3m －2)＋(m 2－3m ＋2)i.由题意知：m 2－3m ＋2＝0，即m ＝1或m ＝2时，z 是实数．(2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2m 2－3m －2＝0，m 2－3m ＋2≠0， 解得m ＝－12. ∴当m ＝－12时，z 是纯虚数． 11．二解析 ∵m ＝(1＋i)(1－i)＝2，∴－1＋m i ＝－1＋2i ，故其对应的点在第二象限．12．3解析 f (n )＝i n ＋(－i)n ，n 取特殊值1,2,3,4，可得相应的值．f (1)＝0，f (2)＝－2，f (3)＝0，f (4)＝2. 13. 5解析 ∵z ＝2i 1－i ＝2i(1＋i)2＝－1＋i. ∴z ＝－1－i ，∴|z ＋3i|＝|－1＋2i|＝ 5.14．－3 －10解析 ∵OC →＝2OA →＋OB →∴1－4i ＝2(2＋3i)＋(a ＋b i)即⎩⎪⎨⎪⎧ 1＝4＋a －4＝6＋b ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3b ＝－10. 15．解 由于m ∈R ，复数z 可表示为z ＝(2＋i)m 2－3m (1＋i)－2(1－i)＝(2m 2－3m －2)＋(m 2－3m ＋2)i ，(1)当m 2－3m ＋2≠0，即m ≠2且m ≠1时，z 为虚数．(2)当⎩⎪⎨⎪⎧2m 2－3m －2＝0m 2－3m ＋2≠0，即m ＝－12时，z 为纯虚数． 16．解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )．因为|z |＝5，所以a 2＋b 2＝25.因为(3＋4i)z ＝(3＋4i)(a ＋b i)＝(3a －4b )＋(4a ＋3b )i ，又(3＋4i)z 在复平面内的对应点在第二、四象限的角平分线上，所以3a －4b ＋4a ＋3b ＝0，得b ＝7a ，所以a ＝±22，b ＝±722，即z ＝±⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋722i ， 所以2z ＝±(1＋7i)．当2z ＝1＋7i 时，有|1＋7i －m |＝52，即(1－m )2＋72＝50，得m ＝0，或m ＝2.当2z ＝－(1＋7i)时，同理可得m ＝0，或m ＝－2.17．解 z ＝(1＋i)2＋3(1－i)2＋i＝2i ＋3－3i 2＋i ＝3－i 2＋i＝1－i. ∵a 为纯虚数，∴设a ＝m i(m ≠0)，则z 2＋a z ＝(1－i)2＋m i 1－i ＝－2i ＋m i －m 2＝－m 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m2－2i<0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ －m 2<0，m 2－2＝0， ∴m ＝4.∴a ＝4i.18．解 利用公式||z 1|－|z 2||≤|z 1＋z 2|≤|z 1|＋|z 2|.∵|z |＝2，∴||z |－|1＋3i||≤|z ＋1＋3i|≤|z |＋|1＋3i|.∴0≤|z ＋1＋3i|≤2＋2， ∴|z ＋1＋3i|min ＝0，|z ＋1＋3i|max ＝4.19．证明 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R 且y ≠0)，则z ＋1z ＝x ＋y i ＋1x ＋y i ＝x ＋y i ＋x －y i x 2＋y2 ＝x ＋xx 2＋y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －y x 2＋y 2i. 当|z |＝1，即x 2＋y 2＝1时，z ＋1z＝2x ∈R . 当z ＋1z ∈R ，即y －y x 2＋y 2＝0时，又y ≠0， ∴x 2＋y 2＝1，即|z |＝1.∴z ＋1z为实数的充要条件是|z |＝1. 20．解 z ＝(1＋i)2·(1＋i)1－i(a ＋b i) ＝2i ·i(a ＋b i)＝－2a －2b i.由|z |＝4，得a 2＋b 2＝4.①∵复数0、z 、z 对应的点构成正三角形，∴|z －z |＝|z |.把z ＝－2a －2b i 代入化简得|b |＝1.②又∵z 对应的点在第一象限，∴－2a >0，－2b >0，∴a <b ，b <0.③由①②③得⎩⎨⎧ a ＝－3，b ＝－1.故所求值为a ＝－3，b ＝－1.。

饶平二中高二数学（选修2-2）单元测试(1)班级： 姓名： 座号： 成绩：____________ 一、选择题（每题3分，共30分）1.已知物体的运动方程是2341644t t t s +-=（t 表示时间，s 表示位移），则瞬时速度为0的时刻是：A.0秒、2秒或4秒B.0秒、2秒或16秒C.2秒、8秒或16秒D.0秒、4秒或8秒2.1-=⎰A.2πB.πC.2πD.4π 3.设)(x f 是可导函数，且/0000(2)()lim 2,()x f x x f x f x x∆→-∆-==∆A.0.5B. 0C.－1D.－24.若()f x 为偶函数，且/()f x 存在，则/(0)f 等于A.0B.lC.1- D.x -5.如果1N 能拉长弹簧1cm,为了将弹簧拉长6cm,所耗费的功为 A.0.18JB.0.26JC.0.12JD.0.28J6./(3)baf x dx =⎰A.()()f b f a -B.(3)(3)f b f a -C.1[(3)(3)]3f b f a - D.3[(3)(3)]f b f a -7.已知函数x x x f sin 21)(2+=，则/()f x 的大致图象是AB C D8.函数4cos 2)(2-+=x ex f x在]20[π，上是： A.在],0[π上是增函数，]2,[ππ上是减函数B.减函数 C.在],0[π上是减函数，]2,[ππ上是增函数D.增函数9.函数)1(log )(2+=x x f ，若321x x x >>，则/1()f x ，/2()f x ，/3()f x 的大小关系为： A.///123()()()f x f x f x >> B.///132()()()f x f x f x >> C.///213()()()f x f x f x >> D.///321()()()f x f x f x >>10.lim lnn →∞A.221ln xdx ⎰B.212ln xdx ⎰ C.212ln(1)x dx +⎰ D.221ln (1)x dx +⎰二、填空题（每题4分，共16分）11.已知函数y =/|x e y ==12.变速直线运动的物体的速度2()5v t t =-,初始位置(0)1x =,则2s 时所处的位置(2)x 为___________13.2(1)lim(sinsinsin sin )n n n n n n n nπππππ→∞-++++=L ________________14.点P 在曲线323y x x =-+上移动，则在P 点处的切线的倾斜角取值范围为_____________________三解答题（第15、16、17题每小题8分，第18、19、20题每小题10分，共54分）15.当室内的有毒细菌开始增加时，就要使用杀菌剂．刚开始使用的时候，细菌数量还会继续增加，随着时间的增加，它增加幅度逐渐变小，到一定时间，细菌数量开始减少．如果使用杀菌剂t 小时后的细菌数量由函数()B b t =给出。