弹塑性力学基础翻译-第七章
7、塑性
7.1介绍
两个基本因素控制弹性的发展，一个是加载过程的完全可逆性，当一个使物体产生应变的力消失，物体就立刻回到未加载力之前；第二个因素说明在荷载作用下物体的变形或者应变只取决于最终的应力，与加载过程和路径无关，因此弹性行为可以视为一个点函数，因为任何产生的应变可以通过初始应力、终了应力以及特定的比例常数来确定。但是当塑性或者永久变形产生时这两个因素就不明显了。
为了产生塑性变形或者塑性流，应力必须超过屈服应力。如果大大超过屈服应力，许多固体（比如延性金属）的变形或尺寸会一直打到一个很大的程度。另外，当最终应变形成，一个应变元可以通过不同的加载方式使物体达到末状态，因此当荷载消失后不仅无法观测到像弹性一样的完全可逆现象，末状态也取决于荷载的加载过程而不只是初应力和末应力状态。这个发现意味着塑性变形是一个过程函数，需要增量应变在应变过程上的累积来确定总的应变。
在研究塑性的时候至少可以采取三种很明显
的方式。
1、在考虑应力应变分布满足规定的边界条件的情况下，通过材料的性质来建立理想模型。这个被称作宏观塑性理论，很类似于长久以来的弹性理论。
2、应用于金属物理学的方法。在这种方法中，实际固体中单晶体变形方式建立于研究的基础，通过一个物体内部联系从单晶体扩展到多晶体的聚集从而形成整个构件。这种方法通常被工程师运用。这个叫做微观塑性理论。
3、技术的方法。通过寻求某些现象学的规则，运用实验观察实际物体材料在宏观尺寸上的数学表达式。这确保在一般意义上的设计上可以预测材料的属性，这可能被叫做宏观工程塑性。这种方法在本章中是重点。
7.2弹性和塑性的比较
为了方便，许多上述的说明被总结成表格的形式。在这种方式有个直接的比较，很明显的揭示了这两种性质的主要区别。
由于屈服的开始和表现是我们优先考虑的，所以我们会用不同的模型来解释上述的物理过程。对于下面的几个模型，我们做几个假设。
1、固体是各向同性的并且是均质的。
2、拉伸和压缩对屈服是等效的。没有把司机效应。
3、体积改变是微小的。膨胀系数等于0，泊松比为1/2。尽管这个比是弹性常数，把这个理论运用到塑性中来也没有什么含糊的。
4、平均正应力的大小和静水效应的形成不影响屈服。
5、忽略应变速率的影响。
6、温度影响不考虑。
注意到假设3和4通过铸铁上的实验很好验证，但是在许多聚合物上不成立。
7.3塑性变形的模型
纯塑性固体
完全塑性行为在许多分析研究上应用广泛。这种情况下当应力达到一个标准值变形就会产生（弹性模量E无穷大），然后会产生无止境的变形只要有不断的应力流施加。然后什么都不会出现直到固体发生破裂。图7.1所示是一个较合理的模型。
注意以下的说明：
1、只要施加的荷载一直在增加，没有任何位移
产生直到某个特定的F值。一旦产生位移，变形就会随时间持续不断的进行。力F
直接决定
1
屈服应力Y。
卸载，物体没有任何恢复（如F-2、只要力F
1
δ平面阴影面积所示）。δ1产生的永久变形将会被保留。
3、变形过程中物体不会硬化。这意味着没有应变硬化效应。
线性应变硬化固体
线应变硬化固体在某种程度上比前面提到的模型更加符合实际情况，因为它包含在固体，尤其是延性金属中观测到的应变硬化的影响。这种模型中塑性变形也必须到达某个特定的应力值，但是不断的变形需要应力的不断增加。这在图7.2中反映出来。下面提到的效应需要被注意：
1、只有当施加的力F到达某个固定的F
值时
才会产生位移。
并且产生初始的应力流Y
2、只有当施加的应力Y以Y=Y
+f（ε）的形式
增加时位移才会不断的增加，f（ε）和线的斜率有关。这和模量E很类似。在这个模型中，
应力硬化产生，应力增加导致塑性变形从而诱发了更深一度的变形。
非线性的应变硬化固体
幂指数形式的变化性质更好地解释了许多固体应变硬化的现象。图7.3揭示了这个模型。这里需要指出的是：
除了应变硬化是以非线性的速率进行的，其他现象都和前面的那个模型相同，指数0 最后，通过在变形的初始阶段增加一个直线段就可以把弹性效应的的影响归纳到以上三个模型中去，这个斜率是一个定值的非无穷大的弹性模量。许多情况下要考虑塑性应变，因为塑性应变的量级要比弹性大，通过满足下面三个情况可以很容易的忽略弹性的影响： 1、当弹性效应的ν小于二分之一时来确定 体积改变。通过忽略这个效应可以引进体 积守恒的概念。 2、卸载后的变形恢复属于弹性恢复。因此， 对这一结果做一临时考虑，以上的模型无 法解释这一现象。也要注意的是，这种情 况符合弹性恢复，但连续不断的弹性应变 伴随不断增加的塑性流。 3、如果弹性和塑性应变在同一个量级，那么 上述的模型就无法成立除非弹性比例被 包含在上面提到的情况中。 7.4 屈服轨迹和屈服表面 由于我们假定塑性流中物体是均质、各向同性、没有巴斯基效应、具有不可压缩性，并且不受静水应力的的影响，在所有的法则中必须有条件用来判定屈服的开始。 二维应力平面图已经被用于预测上述的假设。我们假定单个应力是所有应力的组成部分，在解决这类问题中应力被视为矢量。这就类似于相对于一个新的坐标轴的变形，也只能这么理解。这种情况只适用于主应力并且其中有一个应力为0 （因为是平面应力情况）。我们使用一个σ 1-σ 2 平面图来说明。因为拉伸和压缩是等效的，所以弹性范围—Y<σ 1 2 1 -σ 2 应力平面内出现了四个点， 到达这四个点意味着屈服应力的产生。一个可接受的但是更加复杂的屈服应力状态理论已经被提出。这需要理解什么是弹性范围和屈服点，这涉及应力极限这一概念。图7.4展示了屈服极限的开端。 在二维应力平面中，±Y四点落在了屈服轨迹上，假设材料受到的应力如点A所示，然后当增后应力保持平衡。在一些点上，如B 加一个σ 2 点，弹性变形结束，我们制定B为屈服点。必须注意的是在一个或者两个方向施加相同的荷载可以使应力轨迹沿着OB，这样上述B点发生的屈服同样可以发生。因此，要到达屈服点B，可以通过无数种不同的加载路径；并且直到屈服前，所有的应变都是弹性的。使用许多种加载方式，到达最终屈服点，所描述的轨迹区分了弹性应力（在轨迹包含的区域内）和轨迹自身所显示的屈服。考虑到这个模型包含应变硬化，这就意味着这个效应将增加屈服应力和新的应力流。在本教材中像这类屈服应力和应力流增加的趋势被认为是增大了初始的应力轨迹，这就被叫做各向同性硬化。 引进三维的应力空间。图7.5中，1,2和3方向上的应力a，b和c组合在一起产生了屈服。这些应力的总的应力状态被定义为σ，在空间中，σ从原点开始产生，尖端表示了屈服点。如果进行足够多的试验，所有的这些点（上述的尖端点）都将在同一个屈服平面上。所有点类似σ 的应力状态，它们在屈服表面以下的部位只会产 生弹性效应，这些矢量的尖端都在这一平面上，这一平面就是屈服的开始。需要注意的是，屈服轨迹穿过一个经过屈服平面的一个表面，三个主应力中的一个是常数（比如在初始阶段σ 3 =0）。 考虑到平均正应力的大小σ m 不影响屈服，屈服表面这一概念可以更容易被理解。参见图7.6,可以很好地说明平均正应力的意义。施加的应力 状态在等式做点的因素上。如图所示，σ m 等于 三个正应力和的三分之一，σ m =（σ 1 +σ 2 +σ 3 ） /3，压缩应力在这个算式中当做负值。如果从每个所施加的应力中减去平均应力就得到了应力偏量。很明显这些偏量和平均值无关，如果σ m 不影响屈服，那么这些偏应力在某些程度上就导致了屈服，这表明了它们是切应力的函数。 因此，如果应力（σ 1，σ 2， σ 3 ）合力导致屈服， 那么（σ 1+σ 0， σ 2 +σ 0， σ 3 +σ ）肯定会导致屈服， 所以不同σ 0和（σ 1， σ 2， σ 3 ）的组合在屈服平面 上产生一条线，这条线平行于空间中σ 1=σ 2 =σ 3 这条线。这条线对（1,2,3）坐标系各轴方向余弦相同。现在假定各向同性并且没有巴斯基效 应，这条线将会绕着空间斜对角线（σ 1=σ 2 =σ 3 ） 旋转，就产生了一个棱柱型屈服表面。为了很好地解释这一棱柱表面，它们截面尺寸和形状都是确定的。 所有和这个斜对角线正交的平面上被认为满 足等式σ 1+σ 2 +σ 3 =常数。这个常数就是所有正 应力组合中的3σ m 。如果把这一常数设为0，那 么这一平面就经过原点，并与了棱柱的轴线垂直，这通常被叫做π平面，它与屈服平面的交点形成了曲线C。这说明了所有屈服平面上的点都 可以通过施加一个适当的应力σ ，这样就可以把初始点在屈服平面上下移动，使点最终落在曲线C上。最后考虑如下应力状态： （σ 1，σ 2， σ 3 ）=（6，-2，1）；σ m =5/3, 如果这一应力状态“减去”σ m （因为应力状态无法加减），那么得到新的应力状态 （σ 1， ， σ 2 ， ， σ 3 ，）=（13/3，-11/3，-2/3）, 此时Σσ，=0 因此，三维应力矢量有π平面上的应力偏量和出之于π平面的静水应力或者说平均应力组成。既然我们已经了解到了屈服轨迹和屈服表面的物理意义，接下来我们烤炉上面已经提出的可能形成的平面。 7.5 屈服法则 如章节2提到的，对于任意的三维应力状态都存在三个等式，它们的三个根都是主应力，一下就是一个符合的等式： σp3-Ι1σP2-Ι2σP-Ι3=0 式中的的应力不变量可以通过下述的主应力来表示。 Ι1=（σ1+σ2+σ3）Ι2=—（σ1σ2+σ1σ3+σ 2σ 3 ）Ι 3 =（σ 1 σ 2 σ 3 ） 很明显可以发现Ι 1 =3σ m ，因此第一个不变量 是静水应力或者平均应力的函数，它不影响屈服。因此，任何可以被我们接受的屈服法则不应 该出现Ι 1，因此固体屈服现象和平均应力σ m 无 关。 假定屈服法则如下述：当σ 1—σ 2 —σ 3 =常数 =+10，屈服将会产生。如果这是一个可接受的法 则，那么σ 1=+5，σ 2 =—2，σ 3 =—3这一应力状 态将会导致屈服。现在添加一个应力，σ =+10，这意味着产生了一个新的应力状态，（+15，+8，+7）。根据上面提出的条件，将不会发生屈服。 由于σ 1—σ 2 —σ 3 =0而不是10，因为只有平均 应力改变了，这个法则和实验观察到的不符，所 以不能被当做判断屈服的一般理论。两个广泛应用的法则满足于Ι 1 无关并且和实验观察大的延性金属的实验现象一致。 7.6 特斯卡法则 这个法则提出，当切应变函数值达到某个特 定值时就会发生屈服。在σ 1，σ 2 ，σ 3 这三个量 不事先知道大小的情况下，我们都尽可能遵循σ 1>σ 2 >σ 3 这一惯例。另外，这一惯例在二维或者 三位应力空间中不能严格满足。 我们可以回忆，莫尔圆中最大的半径是最大切应力，用代数符号可以表示为： |σ max —σ min |=常数=|σ 1 —σ 3 |，如果σ 1 >σ 2 > σ3 (7.3) 如果这一法则在施加不同应力状态时都很合理，那么这个常数可以通过简单标准测试来确定。 （a）对于单轴拉伸，当σ 1 到达单轴屈服应力Y时就会产生屈服，因此， σ1=Y，σ2=σ3=0，+27.72ksi。 带入式（7.3）可表示为|σ 1 —0|常数=Y。 （b）对于纯剪切，σ 1=—σ 3 =τ max ，σ 2 =0（通 过莫尔圆可得出），为了方便，我们把最大 可允许切应力定位屈服切应力K，代入式7.3，我们得到： |σ 1—（—σ 1 ）|=常数=2σ 1 =2K。 因此，特斯卡法则可以表示为： |σ max —σ min |=Y=2K=|σ 1 —σ 3 |，如果σ 1 >σ 2 > σ3 (7.4) 如果物体都遵循这一法则，那么拉伸和剪切屈 服应力将和一两个比值有关。这并不表示这一比值一定可以被测出，而是说明可以通过这一法则来预测屈服。 7.7 冯麦瑟斯法则 可能由于特斯卡法则只提出了屈服棱柱空间的一小部分，中间应力σ 2 被忽略了，所以冯麦瑟斯就提出了较合适的法则。尽管数学表达式缩 减至6J 2 =常数这么简洁，但是这一法则也很难理解。几个物理解释必须要提出，它们叫做扭曲能和等八面体剪应力理论。我们可以通过提出的数学表达式来理解，但是就使用法则而言，注重计算过程是没有意义的。这一法则最广泛使用的表达式中，冯麦瑟斯法则在主应力基础上提出，当满足下面条件时将会发生屈服： （σ 1—σ 2 ）2+（σ 2 —σ 3 ）2+（σ 1 —σ 3 ）2=常 数 (7.5) 更广反应用的形式： （σ x —σ y ）2+（σ x —σ z ）2+（σ y —σ z ）2+6(τ 2 xy +τ2 max +τ2 max ) =常数 (7.6) 上述等式的证明对有兴趣的读者是个习题（屁 话）。通过式（7.5），我们不需要了解开始时主应力在数学上有什么关联，因为所有的都相等。我们需要注意到，在每个莫尔圆中，没两个应力之差就是一个切应力。和特斯卡法则一样，切应力关系到屈服的产生。为了确定这一常数，我们使用类似7.6节的推倒过程： （a）对于单轴拉伸，当σ 1=Y，σ 2 =σ 3 =0时 产生屈服。带入式（7.5）。2σ 1 2=2Y2. （b）对于纯剪切，σ 1=—σ 3 =K，σ 2 =0时屈 服产生，带入式（7.5） σ12+σ21+4σ21=常数=6σ21=6K2 因此，冯麦瑟斯法则可以表示为： （σ 1—σ 2 ）2+（σ 2 —σ 3 ）2+（σ 1 —σ 3 ）2=6K2=2Y2 根据这一法则，拉伸和剪切屈服关系是： 这是第一个暗示，这两个法则可能有不同的屈 服预测结果。 我们可以认为每个法则都是有效应力的函数，记为σ，σ也是施加应力的函数。当它的值达到单轴拉伸屈服应力时，施加的应力状态就会使物体屈服。因此： 冯麦瑟斯法则： σ=1/[（σ1—σ2）2+（σ2 —σ 3）2+（σ 1 —σ 3 ）2]1/2 特斯卡法则：σ=|σ max —σ min | 当σ的值因为σ 1，σ 2 和σ 3 的大小变化 到Y时，每个法则都显示物体已经屈服。然而，根据冯麦瑟斯法则，当 σk时发生屈服而根据特斯卡准则σ到2K时才会发生屈服。 这两个法则可以通过许多方式来表示，但是我们要知道它们都不符合自然定律，因为初始假设是根据数学方法而不是物理方法得出的。但是令人惊奇的是这两个假设和物理上实际观测到的现象很接近。 例题7.2 使用冯麦瑟斯准则重新预测例题7.1的屈服应力。使用式（7.7）： 解法： [(σ1—0)2+（0—（-30））]2+（-30—σ1）2 =2（50） 2 σ12+900+900+60σ1+σ12=5000 σ12 +30σ1—1600=0 σ1= 1/230(9006400)3085.44 22 -±+-±= 解得 σ1=—57.72或者+27.72ksi 根据提议+27.72ksi 是正确解。负值-57.75ksi 如果是正确的就表示压应力。注意这儿的τmax 等于Y/ ，例题7.1中τ max 等于Y/2. 通过图7.7我们可以知道这两个法则不受σ m 的影响，偏应力（作为切应力的函数）被认为是主导因素。假想在初始状态，每个应力分量都加9，那么σ1=48，σ2=17，σ3=13，新的平均应力σm =26，最大圆圆心在σ=30.5处，τmax =17.5. 注意到应力偏量σ1 ，=22，σ 2 ，=-9，σ3 ，=-13， 那么σm 的移动既不改变圆大小也不影响应力偏 量大小，记： ()() 1213'113 m σσσσσσσ-+-=-= （σ ， 2，σ ，3 类似表示方 法） 所以应力偏量是切应力的函数（如（（σ1—σ 2）/2=τ 12 ） 许多实际问题可以简化到双轴问题上来解决。 考虑一个问题：σ 2=0，如果画σ 1 —σ 3 应力圆， 图7.8是特斯卡法则的圆，圆7.9是冯麦瑟斯法则的应力圆。合并这两个图，就得到图7.10.图7.10所示，不同加载路径产生的不同常数应力比最大值在不同准则中在α=—1（纯剪切）或α=1/2或α=2.我们也可以发现两个准则中某些点重合。椭圆形外接于六边形，仅仅因为两个重合点上的值时式7.8和7.9中单轴拉伸和压缩屈服应力的值Y。 7.8 扭曲能 一个队麦瑟斯法则的解释是弹性致使扭曲到某个特定值时发生屈服。在一般理论方法上我们观察到，这个应变能等于总的弹性应变能减去膨胀应变能、单位体积总应变能可以表示为： W v =1/2(σ x ε xx +σ y ε yy +σ z ε zz +τ xy γ xy +τ yz γ yz +τ zx γ zx ) (7.10) 或者以主应力的形式： W v =1/2(σ 1 ε 1 +σ 2 ε 2 +σ 3 ε 3 ) （7.11） 为了表示式（7.1）是切应力的函数，使用式（7,1）的胡克定律的形式可以表示为： W v =1/2E(σ 1 2+σ 2 2+σ 3 2)—ν/E(σ 1 σ 2 +σ 1 σ 3 + σ2σ3) （7.12） 由于只有正应力引起体积变化，体积膨胀可表示为： Δ=ε1+ε2+ε3=（1—2ν）/E（σ1+σ2+σ3)=3/E （1—2ν）σ m （7.13） σm和正应力是等价的，因为Δ=3σm εm=（1—2ν）/Eσm （7.14） 由于是膨胀做功，最终我们可以得到： W d =（1—2ν）/6E（σ 1 +σ 2 +σ 3 )2（7.15） 从式（7.12）中减去（7.15）就可以得到切应 变能量W s ，经过运算W d 可表示为： W s =1/12G[(σ 1 —σ 2 ）2+（σ 2 —σ 3 ）2+（σ 1 — σ3）2] (7.16) 在单轴拉伸状态下切应变能σ 2=σ 3 =0. W s =σ 1 2/6G （7.17） 发生屈服时必会产生一个特定的值W sc ，此时σ1=Y。设式（7.16）等于这一值。 1/12G[(σ 1—σ 2 ）2+（σ 2 —σ 3 ）2+（σ 1 —σ 3 ） 2] =Y/6G2（7.18） 这式和（7.7）式一样。这解释了为什么麦瑟斯法则经常被叫做扭曲能理论。它的物理意义是 当弹性能使扭曲达到一个特定的值时就会发生屈服。 7.9正八面体切应力 对冯麦瑟斯法则的第二个物理解释已经被提出。为了简便，考虑一个以主应力方向定义的坐标系，从原点发出的一条线的方向余弦相等l=m=n（这里我觉得夹角应该都当做小于90度）。其他空间中和这条线以及其他等价的线相垂直的平面被叫做正八面体平面，这八个等价平面的各个交点形成一个八面体。（发挥一下想象力应该可以想出这个正八面体的形状，虽然文字表述不怎么样），第二章已经翻译过这一情况。 σn=σ1l2+σ2m2+σ32（7.19） 由于l=m=n=cos54。44， ,σn=1/3（σ1+σ2+σ3)，因此和这正八面体垂直的应力等于σ m 。又因为σ m 不影响屈服，所以到达屈服时这个 平面上的切应力一定会达到某个值，虽然这儿没有完全导出，这个应力可以表示成如下方式：τ0=[(σ1—σ2）2+（σ2—σ3）2+（σ1—σ3）2]1/2/3 (7.20) 和7.8式相比就可得出，τ （7.21） 考虑到多种因素的影响，这只是麦瑟斯准则的另一个解释。这本书剩下的内容中，当使用冯麦瑟斯法则时就会用到式（7.8）。 7.10 塑性应力应变流动准则 正如广义胡克定律在弹性阶段可以表示为： 1 1 2 3 1 [()]e E εσνσσ=-- 我们也需要在塑性阶段类似的公式。 这些流动准则可以用一个简单的方式表示，如下所示。我们可以想到，塑性变形阶段判断是否变形决定于力的加载路径和过程，需要运用应变增量。 考虑图7.11在单轴拉伸状态下的塑性流 1 2 3 1 133 m σσσσσ++== 现在1方向的偏应力' 1 1m σσσ=-在某个时刻应力状 态如图7.11， ''' 1123112 11,0333 σσσσσσ===-=- 所以，''' 123 22σ σσ=-=- 由于体积守恒，总的塑性应变增量为0，因此：12 3 0p p p d d d εεε++= 由于此例中力的对称性 23p p d d εε=，因此，12322p p p d d d εεε=-=-。这使得：'' 1212 /2/p p d d ε εσσ=-=，以上可 以被写成如下形式： 第七章课后答案翻译 1．a,在纽约买IBM公司的股票同时在NYSE卖出，你将获得每股2美圆的套利 b,经过一段时间后，两地价格将会相等。 c,假定购买股票的成本为每笔交易额的1%，就将会有一个2%的差异，在这个事例中大概有0。70美圆 2．a,这是违背一价定理的，这是因为在一个洲有强加的销售税，而另一个州却没有，不合法的套利行为将发生，违法者将在免税的州买进大量的酒，而在有征税的州卖出，却不付税 b,很有可能酒店将开在免税的州并且靠近有征税的州的边境上，居名将会在免税的商店买酒，有征税的州的商店将会没有生意 3． a、由于1盎司黄金值$100和DM155，所以1马克应该价值100/155=$0.645。 b、市场价格比其应该的价格要便宜，用美元兑换成马克，再用马克购买黄金，最后再用黄金换回美元。 例如： 1）开始你有1百万美元，那时你所能筹集到的最多的资金来进行三角套利。 2）用这1百万美元购买1666667马克 3）再用马克购买10752.69盎司黄金 4）把黄金兑换成1075269美元 从而你能得到75269美元 4、 5、 美元英镑德国马克日元 美元$1$1.50$.5$.01 英镑￡0.671= .67 / 2= .67 / 100 德国马克DM2.0= 2 / .671= 2 / 100 = 100 / 21 日元￥100= 100 / .67 美元英镑德国马克日元 美元$1$1.50$.5$.01 英镑￡0.67￡1￡.33￡.0067 德国马克DM2.0DM3.0DM1.0DM.02 日元￥100￥150￥50￥1 ６， a， 你应该尽量找一些最近所销售的可比房屋的信息和情况，如果你能说服税务所，你的房屋与最近销售的房屋是可比较的，而最近 所销售的可比房屋的市价低于$525,000，你就会得到一个好的评 估结果。你可以从房地产经纪人那里得到你想要的信息。 b， 你房子的估价和你隔壁公寓的市价差额是$35,000 ($525,000 -$490,000)。如果你能说服税务所，隔壁公寓所缺少的卧室的市 价少于$35,000，税务所就会同意你的观点，你的房子的估价应 该少于$525,000。举个例子，如果一个可比房屋的销售曲线图显 示，增加一间房间（或其他类似的东西）的市价是$10,000，你 就可以说，你的房子的估价应该是$500,000而不是$525,000。7， 可能的原因是： ITT公司的风险高于标准普尔500，也许它本身就是个高风险行业，或者有更高的负债率。 ITT公司所公布的销售额比它们预期的还高。或者他们使用了特殊的会计准则，导致通货膨胀（或许通胀是因为ITT的新算法。） 8， 很合理地，你的P/E为11 (= (8 + 14) / 2)，（申请一个 P/E of 11x 盈利 (= (8 + 14) / 2)），因为你的负债权益比刚好在这两个公司之间。所以，你的公司每股价值是11x $2.00 = $22.00。 9 a，销售额的倍数 0.8 x = $12000000 x 0.8 = $9600000 净收入的倍数 12 x = $1000000 x 12 = $12000000 帐面价值的倍数 0.9 x = $10500000 x 0 .9 = $9450000 公司的价值区间应该是 9000000 到 12000000 b，比区间的最大值还多 10．投资者有可能相信没有这个糟糕的CEO公司的未来预期会更好（比 弹塑性力学 第四章 弹性力学的基本方程与解法 一、线性弹性理论适定问题的基本方程和边界条件 对于在空间占有体积域V 的线弹性体在外加恒定载荷和固定几何约束条件下引起 的小变形问题，若以, , u εσ作为求解变量，则可以建立如下偏微分方程边值问题： 几何方程 ()1,,2ij i j j i u u ε= + ()12?+?u u ε= (1a) 广义胡克定律 ij ijkl kl E σε= :E σ=ε (1b) 平衡方程 ,0ij j i f σ+= ??+=f 0σ V ?∈x (1c) 以上方程均要求在域内各点均满足。 边界条件 u u i i = ?∈x S ui (2a) n t j ji i σ= ?∈x S ti (2b)对于适定问题，即不仅要求保证解存在唯一，而且有较好的稳定性。当载荷或边界条件给定值有微小摄动时，应能保证问题解的变化也是微小的。对于边界条件的提法就有严格的要求。即要求： S S S S S ui ti ui ti U I ==? (2c) 对于各向同性材料，其广义胡克定律可具体写成 σλεδεij kk ij ij G =+2 ()tr 2G λ+I σ=εε (3a) ()11ij ij kk ij E ενσνσδ??=+??? ()()1tr E νν=????I ε1+σ?σ (3b)以上就域内方程来说，一共是对于u ,,σ ε的15个独立分量u i ij ij ,, σε的15个方程。对于边界条件来说，三维问题每点有三个边界条件，而且是在三个正交方向上每个方向有一个边界条件，这个边界条件或者给定位移、或者给定面力。这三个正交 第十一章 习题答案 11.3使用静力法和机动法求出图示超静定梁的极限载荷。 解1：（1）静力法 首先该超静定梁（a ）化为静定结构（b ）、（c ）。分别求出其弯矩图，然后叠加，得该超静定梁的弯矩图（f ） 在极限情况下 ,A s B s M M M M =-= 设C 点支反力为C R ，则： 12C s R l Pl M -=- 1(2)C s R l l M -= 由上二式得() ()111 42p M l l P l l l * -= - 当P 值达到上述数值时，结构形成破坏机构，故P 为该梁的完全解。 （2）机动法 设破坏机构如图（g ），并设B 点挠度为δ，则： 11,(2)A C l l l θδθδ==- () 1122B A C l l l l δ θθθ=+= - 外力功e W P δ= 内力功() 1 1142i A A B B s l l W M M M l l l θθδ-=+= - 由e i W W =，可得极限载荷上限为 () 1 1142s l l P M l l l *-= - 由于在P *作用下，()s s M M x M -≤≤，故上式所示载荷为完全解的极限载荷。 解2：（1）静力法 先将该超静定梁化为静定梁（b ）、（c ），分别作弯矩图，叠加得该超静定梁的弯矩图（f ） 设A 点为坐标原点，此时弯矩方程为： ()()()2 12 B M x R l x q l x =--- 在极限状态时，有 ()0,0s x M M ==- ()11,s x x M x M == 令 () 0dM x dx =得1()B q l x R -= （1） 而21 2 B s R l ql M -=- （2） ()()2 1112 B s R l x q l x M ---= （3） 联立解（1）、（2）、（3）得 2 1 22s s M qM ql l ??=- ??? 解得21122s M q l ?= ? 应用弹塑性力学习题解答 目录 第二章习题答案 (2) 第三章习题答案 (6) 第四章习题答案 (9) 第五章习题答案 (26) 第六章习题答案 (37) 第七章习题答案 (49) 第八章习题答案 (54) 第九章习题答案 (57) 第十章习题答案 (59) 第十一章习题答案 (62) 第二章习题答案 2.6设某点应力张量的分量值已知，求作用在过此点平面上的应力矢量，并求该应力矢量的法向分量。 解该平面的法线方向的方向余弦为 而应力矢量的三个分量满足关系 而法向分量满足关系最后结果为 2.7利用上题结果求应力分量为时，过平面处的应力矢量，及该矢量的法向分量及切向分量。 解求出后，可求出及，再利用关系 可求得。 最终的结果为 2.8已知应力分量为，其特征方程为 三次多项式，求。如设法作变换，把该方程变为形式 ，求以及与的关系。 解求主方向的应力特征方程为 式中：是三个应力不变量，并有公式 代入已知量得 为了使方程变为形式，可令代入，正好项被抵消，并可得关系 代入数据得，， 2.9已知应力分量中，求三个主应力。 解在时容易求得三个应力不变量为， ，特征方程变为 求出三个根，如记，则三个主应力为 记 2.10已知应力分量 ，是材料的屈服极限，求及主应力。 解先求平均应力，再求应力偏张量，， ，，，。由此求得 然后求得，，解出 然后按大小次序排列得到 ，， 2.11已知应力分量中，求三个主应力，以及每个主应力所对应的方向余弦。 解特征方程为记，则其解为， ，。对应于的方向余弦，，应满足下列关系 （a） （b） （c） 由（a）,(b)式，得，，代入（c）式，得 ，由此求得 本次翻译由【谭扬】一人独立完成，考虑到很多人应该没有翻译，所以提供大家共享哈哈~~ 注：红色部分为翻译不出或者有问题等。 In a 500mL modified Claisen flask are placed 250g (4 moles) of ammonium formate, 150 g. (1.25 moles) of acetophenone, and a few chips of porous plate. 在一个500mL的改良克氏烧瓶中加入250g（4moles）的甲酸铵和150g（1.25moles）的乙酰苯以及几片多孔板。 The flask is fitted with a cork carrying a thermometer extending nearly to the bottom, and the side arm is connected to a small condenser set for distillation. 烧瓶口装有携带温度计的软木塞延伸近烧瓶底部，在其侧壁连接有一个蒸馏用的小型冷凝器。 On heating the flask with a small flame the mixture first melts to two layers and distillation occurs; at 150–155° it becomes homogeneous and reaction takes place with moderate foaming. 当用小火加热烧瓶时，先将混合物融化并分成两层随即开始蒸馏；当温度达到150-155°时，液体将均匀混合并发生反应伴有温和发泡。 The heating is continued, more slowly if necessary, until the temperature reaches 185°. 持续加热，若有必要可以更加缓慢，直到温度达到185°。 During this process water, acetophenone, and ammonium carbonate distil; about three hours is required and little attention is necessary（这一句没搞懂）. 在这个过程中，水、乙酰苯、和碳酸铵被蒸出；大约须要三小时并且要注重细节。 At 185° the heating is stopped and the upper layer of acetophenone is separated from the distillate and returned, without drying, to the reaction flask. 在185°时停止加热，上层的苯乙酮馏分被分离并未经干燥返回烧瓶中。 The mixture is then heated for three hours at 180–185°. 然后在180-185°加热混合物3小时。 The distillate is extracted with 25–30mL of benzene to recover acetophenone, and the aqueous portion is discarded. 蒸馏物与25-30mL的苯反应恢复成苯乙酮，而水层被丢弃。 The reaction mixture is cooled and then shaken in a 500mL separatory funnel with 150–200mL of water to remove ammonium formate and formamide. 反应混合物冷却之后与150-200mL的水在一个500mL的分液漏斗中震荡除去氨甲酸和甲酰胺。 The crude α-phenylethylformamide is drawn off into the original flask, and the water layer is extracted with two 30mL portions of benzene and discarded. 粗品苯基乙基甲酰胺抽出到原烧瓶中，水提取层和两份30mL苯合并后丢弃。 The benzene extracts are united with the main portion, and 150 mL of concentrated hydrochloric acid is added, together with a few pieces of porous plate. 第二章 应力理论和应变理论 2—3．试求图示单元体斜截面上的σ30°和τ30°（应力单位为MPa ）并说明使用材料力学求斜截面应力为公式应用于弹性力学的应力计算时，其符号及正负值 应作何修正。 解：在右图示单元体上建立xoy 坐标，则知 σx = -10 σy = -4 τxy = -2 （以上应力符号均按材力的规定） 代入材力有关公式得： 代入弹性力学的有关公式得： 己知 σx = -10 σy = -4 τxy = +2 由以上计算知，材力与弹力在计算某一斜截面上的应力时，所使用的公式是不同的，所得结果剪应力的正负值不同，但都反映了同一客观实事。 2—6. 悬挂的等直杆在自重W 作用下（如图所 示）。材料比重为γ弹性模量为 E ，横截面面积为A 。试求离固定端z 处一点C 的应变εz 与杆的总伸长量Δl 。 解：据题意选点如图所示坐标系xoz ，在距下端（原点）为z 处的c 点取一截面考虑下半段杆的平衡得： c 截面的内力：N z =γ·A ·z ； c 截面上的应力：z z N A z z A A γσγ??===?； 所以离下端为z 处的任意一点c 的线应变εz 为： z z z E E σγε==； 则距下端（原点）为z 的一段杆件在自重作用下，其伸长量为： ()2 2z z z z z z z z y z z l d l d d zd E E E γγ γε=???=??=? = ?= o o o o V ； 显然该杆件的总的伸长量为（也即下端面的位移）： ()2 222l l A l l W l l d l E EA EA γγ?????=??= = = o V ；（W=γAl ） 2—9.己知物体内一点的应力张量为：σij =50030080030003008003001100-?? ??+-?? ??--?? 应力单位为kg ／cm 2 。 试确定外法线为n i （也即三个方向余弦都相等）的微分斜截面上的总应力n P v 、正应力σn 及剪应力τn 。 解：首先求出该斜截面上全应力n P v 在x 、y 、z 三个方向的三个分量：n ＇=n x =n y =n z 题图1-3 弹塑性力学 第七章塑性力学的基本方程与解法 一、非弹性本构关系的实验基础 拿一根工程上最常用的低碳钢的试件，在拉伸试验机上就可得到如图7.1所示的应力应变曲线。图中A为比例极限，当变形状态未超过A点时材料处于线弹性状态；B为弹性极限，AB段的变形虽然还是弹性的，即卸载时能按原来的加载曲线返回，但应力应变之间不再是线性关系。C，D分别为上、下屈服极限，超过C点后材料进入塑性变形状态，卸载时不再按原来的加载曲线返回，而且当载荷完全卸除后还有残余变形。由C到D是突然发生的，由于材料屈服引起应力突然下降，而应变继续增加。由D到H是一接近水平的线段，称为塑性流动段。对同一种材料D点的测量值比较稳定，而C点受试件截面尺寸、加载速率等影响较大。如果载荷在使材料屈服之后还继续增加，则进入图中曲线右部的强化段。即虽然材料已经屈服，但只有当应力继续增加时，应变才能继续增大。在图中b点之后，试件产生颈缩现象，最后试件被拉断。如果在塑性流动段的D′点，或强化段的H′点卸载，将能观测到沿着与OA平行的直线返回，当载荷为零是到达O′点或O′′点，即产生残余变形。 图7.1 低碳钢单向拉伸应力应变曲线 有些高强度的合金钢并没有象低碳钢那样的屈服段，其单向拉伸的应力应变曲线如图7.2所示。这种情况下屈服极限规定用产生0.2%塑性应变所对应的应力来表示，σ。 记为 0.2 图7.2 高强度合金钢单向拉伸应力应变曲线 第七章 塑性力学的基本方程与解法 如果以超过屈服极限的载荷循环加载，所得试验结果则象图7.3所示。在实验中还发现，对于某些材料（图7.4），如果在加载（拉伸）屈服后完全卸载到O ′′点，然后接着反向加载（压缩），则其反向屈服点对应的应力绝对值s σ′′不仅小于s σ′，而且小于初始屈服应力的绝对值σ′。这是德国的包辛格（Bauschinger, J.）最早发现的，称为包辛格效应。 图7.3 循环加载曲线示意图 图7.4 包辛格效应 当材料进入塑性状态后，如果不是单调加载，则应力和应变之间不仅不是单值函数的关系，而且当时的应变不仅和当时的应力有关，还和整个加载的历史有关。同样，当时的应力不仅和当时的应变有关，而且也和整个变形的历史有关。这就增加了问题的复杂性。材料的特性不能简单的用应力应变关系来描述，而要用比较复杂的本构关系，即应力和整个变形历史的关系来描述。 此外，在实际工程问题中经常遇到的材料非线性问题往往不是单向应力状态，即不是一维问题。要对三维问题单靠实验来确定应力张量和应变张量之间的关系几乎是不可能的。因此，在建立非线性本构关系时，除去不能脱离实验基础之外，还必须有基本理论的指导。 二、刚塑性与弹塑性本构模型 z 简化模型 对于低碳钢一类材料，如果承载后产生的变形状态一直达到塑性流动段，为了简化起见，略去应力应变曲线中的上、下屈服极限等细节，可得到由线弹性段和塑性流动水平线段组成的简化模型，称为理想弹塑性模型（图7.5a ）： s s s s E E σεεεσεσεε=≤??==>?当当 (1) 在金属成型等问题中，由于塑性流动引起的塑性应变较大，而弹性应变因相比较小而将其忽略，则又可进一步简化为只有水平线段的刚塑性模型（图7.5b ）： 弹塑性力学基础翻译■第七章 7、塑性 7.1介绍 两个基本因素控制弹性的发展，一个是加载过程的完全可逆性，当一个使物体产生应变的力消失，物体就立刻回到未加载力之前；第二个因素说明在荷载作用下物体的变形或者应变只取决于最终的应力，与加载过程和路径无关，因此弹性行为可以视为一个点函数，因为任何产生的应变可以通过初始应力、终了应力以及特定的比例常数来确定。但是当塑性或者永久变形产生时这两个因素就不明显了。 为了产生塑性变形或者塑性流，应力必须超过屈服应力。如果大大超过屈服应力，许多固体（比如延性金属）的变形或尺寸会一直打到一个很大的程度。另外，当最终应变形成，一个应变元可以通过不同的加 载方式使物体达到末状态，因此当荷载消失后不仅无法观测到像弹性一样的完全可逆现象，末状态也取决于荷载的加载过程而不只是初应力和末应力状态。这个发现意味着塑性变形是一个过程函数，需要增量应变在应变过程上的累积来确定总的应变。 在研究塑性的时候至少可以采取三种很明显 的方式。 1、在考虑应力应变分布满足规定的边界条件的情况下，通过材料的性质来建立理想模型。这个被称作宏观塑性理论，很类似于长久以来的弹性理论。 2、应用于金属物理学的方法。在这种方法中，实际固体中单晶体变形方式建立于研究的基础，通过一个物体内部联系从单晶体扩展到多晶体的聚集从而形成整个构件。这种方法通常被工程师运用。这个叫做微观塑性理论。 3、技术的方法。通过寻求某些现象学的规则，运用实验观察实际物体材料在宏观尺寸上的数学表达式。这确保在一般意义上的设计上可以预测材料的属性，这可能被叫做宏观工程塑性。这种方法在本章中是重点。 7.2弹性和塑性的比较为了方便，许多上述的说明被总结成表格的形式。在这种方式有个直接的比较，很 弹性力学 对于均匀、各向同性材料，可以证明只有两个独立弹性常数，3各常数之间存在关系：2(1) E G μ= +。 广义胡克定律的体积式：体积应变：x y z θεεε=++；体积应力： x y z σσσΘ=++，则：12E ν θ-= Θ。 各向同性体的体积改变定律：3(12) m E K σθθν= =-.其中体积模量： 3(12) E K ν= - 弹性力学解的唯一性定理：弹性体在给定体力、面力和约束条件的情况下而 处于平衡时，体内各点的应力分量、应变分量的解是唯一的。 塑性力学 从物理上看，塑性变形过程属于不可逆过程，并且必然伴随机械能的耗散。研究塑性力学问题主要采用宏观的方法，即联系介质力学的方法，它不去探究材料塑性变形的内在机理，而是从材料的宏观塑性行为中抽象出力学模型，并建立相应的数学物理方程来予以描述，应力平衡方程和应变位移间的几何关系是与材料性质无关的，因此对弹性力学与塑性力学都一样，弹性力学与塑性力学的差别主要表现在应力与应变的物理关系的不同。屈服条件以及塑性的本构关系是塑性力学物理方程的具体内容，具有： （1）应力与应变关系（本构关系）呈非线性，其非线性性质与具体材料有关； （2）应力与应变之间没有一一对应的关系，它与加载历史有关； （3）变形体中存在弹性区和塑性区，分析问题时需要找出其分界限。在弹性区， 加载与卸载均服从广义胡克定律；在塑性区，加载过程要使用塑性阶段的应力应变关系，而卸载过程中，则使用广义胡克定律。 这些特点带来了研究、处理问题方法上的不同，塑性力学首先要解决的问题是在实验资料的基础上确立塑性本构关系，进而与平衡和几何关系一起去建立塑 弹塑性力学基本内容 本课程是以物体的应力、应变理论以及在工程中的应用主要对象的一门基础性、实践性很强的应用学科。 教学目标为在强化物体的应力、应变理论基础的同时，关注物体的弹性力学模型的建立、分析和应用，并兼顾塑性理论的建立。在深度和广度上力求体现学科专业发展的前沿，有利于研究生掌握弹性理论专门知识，了解塑性理论的思想和方法，并着重在基础理论和实践应用两方面进行科研能力的培养。其基本要求为：使学生掌握弹性理论的建立、分析、应用，初步掌握塑性力学理论，使其具有从事弹性力学分析的知识和初步能力。 （1）弹塑性力学的研究对象和内容、弹塑性力学的分析方法和体系、弹塑性力学的基本假定 应力矢量、应力张量、Cauchy公式、平衡微分方程、力边界条件、应力分量的坐标变换、主应力、应力张量不变量、最大切应力、Mohr应力圆、偏应力张量及其不变量、八面体上的应力和等效应力、主应力空间与π平面 （2）位移分量和应变分量、两者的关系、物体内无限邻近两点位置的变化、转动分量、转轴时应变分量的变换、应变张量、主应变应变张量不变量、应变协调方程、应力和应变的关系、应力率和应变增量 （3）弹性力学的基本方程及其边值问题、位移解法（以位移表示的平衡微分方程）、应力解法（以应力表示的应变协调方程）、解的唯一性定理、局部性原理、逆解法和半逆解法、几个简单问题的求解 （4）平面应变问题、平面应力问题、应力解法（把平面问题归结为双调和方程的边值问题）、用多项式解平面问题、悬臂梁一端受集中力作用、简支梁受均匀分布荷载作用（5）平面问题的极坐标方程、轴对称应力问题和对应的位移、圆筒受均匀压力作用、曲梁的纯弯曲、具有小圆孔的平板的均匀拉伸 （6）薄板弯曲的基本概念及基本假设、弹性曲面的基本公式、薄板横截面上的内力、边界条件、圆形薄板弯曲问题 （7）塑性力学的基本概念、材料在简单拉压时的实验结果、应力-应变关系的简化模型、轴向拉伸时的塑性失稳、塑性本构关系的主要内容和研究方法 （8）应变张量和应力张量、屈服条件、几个常用的屈服条件、屈服条件的实验验证、加载条件 （9）塑性应变增量、加卸载判别准则、Drucker公设和Ilyushin公设、加载面外凸性和正交流动法则、塑性势理论、简单弹塑性问题 工程硕士研究生弹塑性力学试题 一、简述题（每题5分，共２0分） 1．简述弹性力学与塑性力学之间的主要差异。 固体力学是研究固体材料及其构成的物体结构在外部干扰（荷载、温度变化等）下的力学响应的科学，按其研究对象区分为不同的科学分支。塑性力学、弹性力学正是固体力学中的两个重要分支。 弹性力学是研究固体材料及由其构成的物体结构在弹性变形阶段的力学行为，包括在外部干扰下弹性物体的内力(应力)、变形(应变)和位移的分布，以及与之相关的原理、理论和方法；塑性力学则研究它们在塑性变形阶段的力学响应。 大多数材料都同时具有弹性和塑性性质，当外载较小时，材料呈现为弹性的或基本上是弹性的；当载荷渐增时，材料将进入塑性变形阶段，即材料的行为呈现为塑性的。所谓弹性和塑性，只是材料力学性质的流变学分类法中两个典型性质或理想模型；同一种材料在不同条件下可以主要表现为弹性的或塑性的。因此，所谓弹性材料或弹性物体是指在—定条件下主要呈现弹性性态的材料或物体。塑性材料或塑性物体的含义与此相类。如上所述。大多数材料往往都同时具有弹性和塑性性质，特别是在塑性变形阶段，变形中既有可恢复的弹性变形，又有不可恢复的塑性变形，因此有时又称为弹塑性材料。本书主要介绍分析弹塑性材料和结构在外部干扰下力学响应的基本原理、理论和方法。以及相应的“破坏”准则或失效难则。 塑性力学和弹性力学的区别在于，塑性力学考虑物体内产生的永久变形，而弹性力学不考虑；和流变学的区别在于，塑性力学考虑的永久变形只与应力和应变的历史有关，而不随时间变化，而流变学考虑的永久变形则与时间有关。 2．简述弹性力学中圣维南原理的基本内容。 3．简述薄板弯曲的基本假定。 应力应变关系: 弹性模量 || 广义虎克定律 1.弹性模量 a 弹性模量 单向拉伸或压缩时正应力与线应变之比,即 E σε = b 切变模量 切应力与相应的切应变 之比,即 G τγ= c 体积弹性模量 三向平均应力 0() 3 x y z σσσσ++= 与体积应变θ(=εx +εy +εz )之比, 即 K σθ= d 泊松比 单向正应力引起的横向线应变ε1的绝对值与轴向线应变ε的绝对值之比,即 1 ε νε= 2.广义虎克定律 a.弹性力学基本方程 在弹性力学一般问题中，需要确定15个未知量，即6个应力分量，6个应变分量和3个位移分量。这15个未知量可由15个线性方程确定，即 (1)3个平衡方程(或用脚标形式简)写 为: 22()0 j ij i i x u f t σρ??++-=?? (,,,)i j x y z = (2)6个变形几何方程,或简写为: 1()2j i ij j i u u E x x ??= +?? (,,,)i j x y z = (3)6个物性方程简写为: 0132ij ij E G E ν σσδ= - 2ij ij ij G σελθδ=+ (,,,)i j x y z = { 1() 0() () i j ij i j δ=≠= 2.边界条件 x x xx xy xy xz xz F l l l σττ=++ y yz xx y xy yz xz F l l l τσσ=++ z zz xx xy xy z xz F l l l ττσ=++ 式中，l nj =cos(n,j)为边界上一点的外 法线n 对j 轴的方向余弦 b 位移边界问题 在边界S x 上给定的几何边界条件为 *x x u u = * y y u u = *z z u u = 式中，u i 为表面上给定的位移分量 Cauchy 公式： T x = σ x l + τ xy m +τ zx n T y = τ xy l+σ y m +τ zy n T y =τ xz l+τ y z m +σ z n (n z n T n T στ= 边界条件： ()()()x xy xz s x xy y yz s y xz yz z s z l m n T l m n T l m n T στττστττσ++=++=++= 平衡微分方程： 000yx x zx x xy y zy y yz xz z z F x y z F x y z F x y z τσττστττσ???+++=??????+++=??????+++=??? 主应力、不变量，偏应力不变量 321231230 x y z x xy y z zx yz yx y zy xz x z x xy xz yx y yz zx zy z I I I I I I σσσσσσστσστττσττσσστττστττσ-+-==++=++ = 1231 ();3 m i i m s σσσσσσ=++=- ()()()1123222222230 16()6x y y z z x xy yz zx J s s s J J σσσσσστττ=++=??=-+-+-+++????=偏应力张量行列式的秩 八面体 812381 () 3σσσστ=++ 等效应力σ=体积应变x y z θεεε=++ 12312()E v v εσσσ-= ++ 几何方程： ;;;x xy y yz z xy u u v x y x v v w y z y w u w z z x εγεγεγ???= =+??????==+ ??????==+ ??? 1 2 ij ij εγ= 变形协调方程22 222y xy x xy y x ετε???+=??? 物理方程 ()()()12(1) ;12(1) ;12(1) ;x x y z xy xy y y x z yz yz z z y x zx zx v v E E v v E E v v E E εσσσγτεσσσγτεσσσγτ+??=-+=??+??=-+=??+??=-+=?? 第七章 等截面柱体的弹塑性扭转 在船舶、航空、土建以及机械工程等的机械传动机构中，作为传递扭矩的柱体是个重要的部件。所谓柱体的扭转，是指圆柱体和棱柱体只在端部受到扭矩的作用，且扭矩矢量与柱体的轴线z 的方向相重合。 扭转问题属于仅在端面上受力柱体的平衡问题，若严格地满足其边界条件，按弹塑性力学求解是比较困难的。因此，利用圣维南原理，将边界条件放松，即认为柱体中间截面上的应力仅与端面上外力的合力及合力矩有关，这种放松了边界条件的问题称为圣维南问题。即使对于圣维南问题，仍需要求解一组偏微分方程，并使其满足一定的边界条件。但在实用上很少由直接积分其基本方程而得到解答，大部分工程问题用间接的或近似的方法得到。在间接方法中，圣维南的半逆解法是很重要的。即先在应力或位移分量中假设一部分未知函数，然后将这部分函数代入基本方程，求得另外一部分的未知函数，并使全部未知函数满足所给定的边界条件，则所假设的和求得的函数即为问题的解。由于用应力作为基本未知函数用半逆法求解时可以导致比较简单的边界条件，因此求解比较方便。 7.1 弹性柱体自由扭转的基本关系式与应力函数解 在材料力学中曾经过讨论圆轴的扭转，其特点是扭转变形前后的截面都是圆形，而且每一个截而只作刚体转动，在小变形条件下，没有铀向位移，取坐标系为z y x ,,，且柱体的轴线为z 方向，z 方向的位移为w ，即0),,(=z y x w 。这样，变形后截面的半径及圆轴长度基本不变。 非圆形截面柱体的情况要复杂得多。由于截面的非对称性，在扭转过程中，截面不再保持为平面，而发生了垂直于截面的翘曲变形，即0),,(≠z y x w 。函数 ),,(z y x w 称为翘曲函数。下面讨论任意截面形状的棱柱体扭转基本方程。 设有任意截面形状的等截面棱柱体，柱体两端受纠扭矩T M 作用，如图7.1所示。 1. 边界条件 对于扭转问题，柱体侧面为自由表面，因此柱体侧面的边界条件为 ?? ???=+=+=+000m l m l m l zy zx y xy xy x ττσττσ (7.1-1) 式中),cos(),,cos(n y m x n l ==。 第七章之正译与反译affirmation and affirmtion 英语中含有no, not, never及否定前缀non-, un-, im-, in-, ir-和否定后缀-less等成分的词句和汉语中含有不、没、无、未、别、休、莫、非、毋、勿等成分的词句，都称为否定说法，简称反说；相反，没有这些成分的简称正说。原则上说，英语中的正说正好可以译成汉语中的正说，反说也是如此。 *但在实践中，两者的正反表达方式有时不能吻合，必需进行正反转换，即将正说处理为反说，将反说处理为正说。 In the English language, negation usually fall into the following categories: A.full negation: no, not, none, neither, nor never, nothing, nobody, nowhere B.semi negation: hardly, scarcely, seldom, barely, few, little C.partial negation:not every,/all/both/much/many/always D.words with negative implification: some verbs like avoid, cease, deny, fail, hate, ignore/neglect/ overlook, miss, , pass, prevent, stop, refrain and refuse; some nouns like absence, aversion/dislike, failure, refusal, some adjectives like absent, far(from), free(from), little; some advs like out, too(…to)之类的副词，some prepositions like without, above, beyond,except, instead of, rather than and other than; some conjunctions like before,until, unless, lest. 1.正说转反说。 讲解：1)frost-free refrigerator 无霜冰箱; 2)Freeze! 别动！ 3)Wet paint!油漆未干！ 1) A pollution free car 无污染的车 2) Keep off the lawn! 请勿践踏草坪！ 3) No pains , no gains. 4) We’ll be there in no time. 5) I hate to see animals in cages我不喜欢看到动物关在笼子里。 6) And may trouble avoid you wherever you go!但愿你上哪儿都不会 遇到麻烦。 7) I tried in vain to persuade him to give up that idea.我想劝他放弃那 个念头，但失败了 8) True , reading is far from the only source of knowledge.的确，阅读 远非知识的唯一来源。 学生： .1 动词的正说反译 一、简答题 1答：（1）如图1所示，理想弹塑性力学模型： e s s e E E σε εεσεσεε=≤==>当当 （2）如图2所示，线性强化弹塑性力学模型： () 1e s s e E E σε εεσσεεεε=≤=+->当当 （3）如图3所示，幂强化力学模型：n A σε= （4）如图4所示，钢塑性力学模型：（a ）理想钢塑性： s s εσσεσσ=≤=>当不确定 当 （b ）线性强化钢塑性： ()0 /s s s E εσσεσσσσ=≤=->当当 图1理想弹塑性力学模型 图2线性强化弹塑性力学模型 图 3幂强化力学模型 （a ） （b ） 图4钢塑性力学模型 2答： 3答：根据德鲁克公设， ()00,0p p ij ij ij ij ij d d d σσεσε-≥≥。在应力空间中，可将0ij ij σσ-作为向量ij σ与向量0 ij σ之差。由于应力主轴与应变增量主轴是重合的，因此，在应力空间 中应变增量也看作是一个向量。利用向量点积的定义： ()0 0cos 0p p ij ij ij ij ij ij d σ σεσσε?-=-≥，?为两个向量的夹角。由于0ij ij σσ-和p ij ε都是 正值，要使上式成立，?必须为锐角，因此屈服面必须是凸的。 4 答：逆解法就是先假设物体内部的应力分布规律，然后分析它所对应的边界条件，以确定这样的应力分布规律是什么问题的解答。 半逆解法就是针对求解的问题，根据材料力学已知解或弹性体的边界形状和受力情况，假设部分应力为某种形式的函数，从而推断出应力函数，从而用方程和边界条件确定尚未求出的应力分量，或完全确定原来假设的尚未全部定下来的应力。如果能满足弹性力学的全部条件，则这个解就是正确的解答。否则需另外假定，重新求解。 二、计算题 1解：对于a 段有：0N a a a a F A E a a σσεε==?= ，对b 段有：0 N b b b b P F A E b b σσεε-==?= 又a b ?=? 则N bP F a b = + 2解：代入公式，116I =，227I =-，30I = 故117.5MPa σ=，20MPa σ=， 3 1.5MPa σ=- ()0123/3 5.33MPa σσσσ=++= 08.62MPa τ= = 3解：（1）代入公式，110I =，2200I =-，30I = 故主应力：120MPa σ=，20MPa σ=， 310MPa σ=- 弹塑性力学基础翻译-第七章 7、塑性 7.1介绍 两个基本因素控制弹性的发展，一个是加载过程的完全可逆性，当一个使物体产生应变的力消失，物体就立刻回到未加载力之前；第二个因素说明在荷载作用下物体的变形或者应变只取决于最终的应力，与加载过程和路径无关，因此弹性行为可以视为一个点函数，因为任何产生的应变可以通过初始应力、终了应力以及特定的比例常数来确定。但是当塑性或者永久变形产生时这两个因素就不明显了。 为了产生塑性变形或者塑性流，应力必须超过屈服应力。如果大大超过屈服应力，许多固体（比如延性金属）的变形或尺寸会一直打到一个很大的程度。另外，当最终应变形成，一个应变元可以通过不同的加载方式使物体达到末状态，因此当荷载消失后不仅无法观测到像弹性一样的完全可逆现象，末状态也取决于荷载的加载过程而不只是初应力和末应力状态。这个发现意味着塑性变形是一个过程函数，需要增量应变在应变过程上的累积来确定总的应变。 在研究塑性的时候至少可以采取三种很明显 的方式。 1、在考虑应力应变分布满足规定的边界条件的情况下，通过材料的性质来建立理想模型。这个被称作宏观塑性理论，很类似于长久以来的弹性理论。 2、应用于金属物理学的方法。在这种方法中，实际固体中单晶体变形方式建立于研究的基础，通过一个物体内部联系从单晶体扩展到多晶体的聚集从而形成整个构件。这种方法通常被工程师运用。这个叫做微观塑性理论。 3、技术的方法。通过寻求某些现象学的规则，运用实验观察实际物体材料在宏观尺寸上的数学表达式。这确保在一般意义上的设计上可以预测材料的属性，这可能被叫做宏观工程塑性。这种方法在本章中是重点。 7.2弹性和塑性的比较 为了方便，许多上述的说明被总结成表格的形式。在这种方式有个直接的比较，很明显的揭示了这两种性质的主要区别。 由于屈服的开始和表现是我们优先考虑的，所以我们会用不同的模型来解释上述的物理过程。对于下面的几个模型，我们做几个假设。 2—15.如图所示三角形截面水坝材料的比重为γ，水的比重为γ1。己求得应力解为： σx =ax+by ，σy =cx+dy-γy ， τxy =-dx-ay ； 试根据直边及斜边上的边界条件，确定常数a 、b 、c 、d 。 解：首先列出OA 、OB 两边的应力边界条件： OA 边：l 1=-1 ；l 2=0 ；T x = γ1y ； T y =0 则σx =-γ1y ； τ xy =0 代入：σx =ax+by ；τxy =-dx-ay 并注意此时：x =0 得：b=-γ1；a =0； OB 边：l 1=cos β；l 2=-sin β，T x =T y =0 则：cos sin 0cos sin 0x xy yx y σβτβτβσβ+=?? +=?………………………………（a ） 将己知条件：σx= -γ1y ；τxy =-dx ； σy =cx+dy-γy 代入（a ）式得： ()()() 1cos sin 0cos sin 0y dx b dx cx dy y c γβββγβ-+=?? ? --+-=??L L L L L L L L L L L L L L L L L L 化简（b ）式得：d =γ1ctg 2 β； 化简（c ）式得：c =γctg β-2γ1 ctg 3 β 2—17.己知一点处的应力张量为3 1260610010000Pa ?? ????????? 试求该点的最大主应力及其主方向。 解：由题意知该点处于平面应力状态，且知：σx =12×103 σy =10×103 τxy =6×103，且 该点的主应力可由下式求得： (()()3 1.2333 3 121010 2217.0831******* 6.082810 4.9172410 x y Pa σσσ?++?==±????=?=±?=? 则显然：3 312317.08310 4.917100Pa Pa σσσ=?=?= 第七章超越痛苦 我们可以超越自己的身体和性格 不管我们的外表怎样变化 我们的心灵将永远美丽和可爱。 死亡带来的痛苦 积极地态度令人愉悦。同样，承认自己的感觉也令人愉悦。上天让你经历特定的生活经历从而产生感觉，拒绝自己的感觉将会带来更多的痛苦。请记住,死亡并不代表失败。每个人都会死亡,这是生命的进程。 当你爱的人去世了，你可能会至少伤心一年。因此，请给自己留点空间。我们不得不孤单的度过所有节假日、情人节、生日、周年纪念日、圣诞节等。这确实很困难，因此，请对自己温和一点，就让自己伤心吧！世界上没有什么绝对的原则,我们也不必为自己制定什么原则。 当有人去世了你会觉得愤怒，甚至想发狂都是很正常的事。你不能假装不伤心，你需要把自己的感觉发泄出来，让自己哭泣。或对镜子大叫“这是不公平的”等等。无论如何请把你的感觉说出来，否则你的身体会出现问题。你必须尽自己的所能照顾好自己,我知道这并不容易。 许多人和艾滋病人在一起工作，他们会感到无比的伤痛，就像战争中带来的伤痛一样，激烈的撞击着我们的神经系统。很多次，每当我想到一些朋友或特殊群体时，我几乎要发疯。当我的 母亲去世时，我的伤心程度还少些，我觉得这是她91岁生命历程的圆满结束，虽然伤心，也没有因为不公平或不到时候而感到愤怒。战争和传染病的不公平才会给人带来无比的沮丧。 摆脱伤痛需要时间,有时你觉得自己就好像掉入了无底的深渊。如果你几年以后都还在伤心,那说明你已经陷入了痛苦的深渊。你需要原谅自己和别人。请释放吧！请记住,我们没有失去谁,因为我们从一开始就不曾拥有谁。 如果你觉得很难释放的话,还可以做点其他事。首先,我建议你想象，有些去世的人在世的时候，不论他们曾经想什么或说什么，当他们离开这个世界的时候，生命的面纱将被揭起。他们清楚地看到了生命，再也没有了害怕，没有信念，如果你很伤心，他们可能会告诉你，不用担心。因为一切都好了，在想象中，请求这个人帮助你度过这段时间，告诉他或她，你爱他们。 请不要因为他们在世的时候，你没能和他们在一起，或做的不够好而自责，那样会使你越发的伤心。许多人因此逃避现实，有的人想随之死去，有的人可能会对死亡产生恐惧。这只是过失的增加你的悲伤。你也可以利用这段时作为一个借口不继续你自己的生活。你们中的一些人想要离开地球,或者,你们中的一些人,你直到某人的死亡和爱带给了你自己的对死亡的恐惧。 请深入自己的内心，释放所有的感觉，当我们所爱的人去世了，我们会很伤心，就让自己伤心吧！找一个足够安静的地方把你的悲伤释放出来。如果你能花两三天的时间坐下来哭泣的话，金融学7第七章课后答案翻译
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