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弹性与塑性力学基础-第一章应力分析

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塑性力学(第一章)简单应力状态下的弹塑性力学问题

塑性力学(第一章)简单应力状态下的弹塑性力学问题
MC M 1
σ =ψ(ξ),
dε P ∫
σS
A
—— ξ是刻画塑性变形历史的参数
例如：可取 ξ = 例如： 或
A'
O
M M''
'
N
ε
ξ =W P = ∫ ε P σd
图2（a）
该模型不论拉伸还是压缩都使屈服应力提高，对应图2 该模型不论拉伸还是压缩都使屈服应力提高，对应图2（a）中的NM 和NM'' 。
当材料有较大的塑性变形时（弹性变形相对地很小）， 当材料有较大的塑性变形时（弹性变形相对地很小）， 可近似地认为体积是不可压的。 可近似地认为体积是不可压的。 静水压力对屈服应力的影响也是不大的。 静水压力对屈服应力的影响也是不大的。
应力§1.3 应力-应变关系关系的简化模型
1．理想弹塑性模型
σ < σs时 ε = σ E 当 ， 当 ， σ = σs时 ε = σ E + λsignε
适用： 适用：拉伸时的屈服应力和压缩时的屈服应力始终是相等 的。
σ
随动强化模型 p σ −ψ(ε ) = σs ,
p 的单调递增函数） （ψ(ε ) 是塑性应变ε p的单调递增函数）
MC M 1
σS
A
上式在线性强化情形下也可写为
σ − hε = σs ,
p
dψ （h = p 是一个常数 ） dε
O
二、塑性与脆性 如果变形很小就破坏，便称是脆性 如果变形很小就破坏，便称是脆性 ——采用弹性理论分析 ——采用弹性理论分析 如果经受了很大的变形才破坏，材料具有较好的 如果经受了很大的变形才破坏， 韧性或延性，这时材料的塑性变形能力较强， 韧性或延性，这时材料的塑性变形能力较强，便 称是塑性 在这种情况下， 塑性。 称是塑性。在这种情况下，物体从开始出现永久 变形到最终破坏之间仍具有承载能力。 变形到最终破坏之间仍具有承载能力。 ——采用塑性力学分析 ——采用塑性力学分析

弹性与塑性力学基础 第1章 应力分析

弹性与塑性力学基础 第1章 应力分析


1 1 2 2 1 2 1 2 2 4
2
(1-7)
应力圆：任一截面正应力与剪应力关系图 确定任一截面上 的 和。 坐标系： － 圆 半 应力圆 心： 轴上点 径：
1 ( 1 2 ) 2
1 ( 1 2 ) 2
单 向 拉 伸 时 轴 与塑性 力 学 基 础
第一章 应力分析
哈工大（威海） 材料学院
§1-1 单向及平面应力状态分析
1.1.2 应力的方向性
为了便于研究，通常将任意方向
截面上的应力分解为两个分量：
σ－垂直于截面的分量（正应力） τ－平行于截面的分量（剪应力）
即：
边 界 存 在 正 应 力 时 斜 截 面 受 力 图
1 cos2 2 sin 2
(1-4)
弹性与塑性 力 学 基 础
第一章 应力分析
哈工大（威海） 材料学院
§1-1 单向及平面应力状态分析
1.1.3 平面应力状态应力关系 沿a-a方向,力的平衡方程为：
边 界 存 在 正 应 力 时 斜 截 面 受 力 图
弹性与塑性 力 学 基 础
第一章 应力分析
哈工大（威海） 材料学院
§1-1 单向及平面应力状态分析
1.1.3 平面应力状态应力关系
任一截面上 的 和 确定方法：
取任一截面上法向 和 的值。第一主应力截面法向夹角的二倍 2 ，由 轴逆时针旋转，应力圆上对应于2点的轴上的 和
弹性与塑性力学基础
哈工大（威海） 材料学院
第 一 章
应 力 分 析
弹性与塑性 力 学 基 础
第一章 应力分析
1.1.1 应力定义
哈工大（威海） 材料学院

000弹塑性力学-应力理论

000弹塑性力学-应力理论
y 32
zl323
2 xyl31l32
2 yzl32l33
2 zxl33l31
（2-4）
x'y' xl11l21 yl12l22 zl13l23 xy (l11l22 l12l21) yz (l12l23 l13l22 ) zx (l13l21 l11l23 ) y'z' xl21l31 yl22l32 zl23l33 xy (l21l32 l22l31) yz (l22l33 l23l32 ) zx (l23l31 l21l33) z'x' xl31l11 yl32l12 zl33l13 xy (l31l12 l32l11) yz (l32l13 l33l12 ) zx (l33l11 l31l13 )
砂土 粘 （ 半 土 透 水 ）
毛细张力力 总应力
中和应力 有效应力
px
τ xz
τ O yz τ zy
τ zx
σz
n x'
σx
py
A
x
z'
B
y
假定不计体力，且斜截面上的外法线n 的余弦分别为：
cos(n, x) l1
cos(n, y) l2
（a）
cos(n, z) l3
若令斜截面ABC的面积为1，则三角形 OBC、OAC、OAB的面积分别为：
第一章 概述
1. 弹塑性力学的任务 2. 基本假设 3. 发展概况 4. 主要内容 5. 主要参考文献
第二章 应力理论
§2-1 应力的概念
若一物体受到外力 P1、P2…….Pn 的作用，它必然产生变形，也即其形 状或尺寸会发生变化，同时物体内各 部分之间将产生相互平衡的内力（附 加内力）。现假想用一个平面K将物 体分成两部分，如图2-1所示。显然 这两部分将通过K截面有分布内力的 相互作用。

弹塑性力学第一章 PPT资料共54页

弹塑性力学第一章 PPT资料共54页

16.11.2019
10
§1-2 基本假设和基本规律
2.1基本假设
假设1：固体材料是连续的介质，即固体体积 内处处充满介质，没有任何间隙。
从材料的微观看此假设不正确。因为粒子 间有空隙，但从宏观上看作为整体进行力学分 析时，假设1是成立的。假设1的目的：变形体 的各物理量为连续函数（坐标函数）。
16.11.2019
11
§1-2 基本假设和基本规律
假设2：物体的材料是均匀的。认为物体内 各点的材料性质相同（力学特性相同），所 以从物体内任一部分中取出微元体进行研究， 它的力学性质代表了整个物体的力学性质。
16.11.2019
12
§1-2 基本假设和基本规律
假设3：小变形假设。物体在外因作用下，物 体产生的变形与其本身几何尺寸相比很小。
哑标如：
3
rr1e1r2e2r3e3 riei riei r j e j 3 i1
uu1e1u2e2u3e3 uiei uiei u j e j

i1

33


1e 1 1 e 11e 1 2 e 2 .. ..3.e 3 3 e .3 ie jie jie jie j
排列符号的作用可以简化公式书写，如： 1． 三阶行列式：
A11 A12 A13 AA21 A22 A23eijkAi1Aj2Ak3eijkA1iA2jA3k
A31 A32 A33
（共六项，三项为正，三项为负）。
16.11.2019
32
§1-5 笛卡尔坐标系下的矢量、 张量基本知识
2. 基向量的叉积：右手系
16.11.2019
弹塑性力学
授课教师：龙志飞 目录

弹塑性力学1

弹塑性力学1

n = n1 e1 + n2 e 2 + n3 e3 = ni ei
ni = n ⋅ ei = cos(n, ei ) dSi = cos(n, ei )dS = ni dS
dS dS3
第一章 应力与平衡
一、固体中的应力状态
• 任意斜面上应力矢量的Cauchy应力公式
dSi = cos(n, e i )dS = ni dS
与
σ ij
的关系
′
(σ ij = σ ⋅ e j )
(i )
σ i′j′ = σ (i ) ⋅ e j′
= e i′ ⋅ σ ⋅ e j′ = e i′ ⋅ (σ mn e m e n ) ⋅ e j ′ = (α i′i e i ) ⋅ (σ mn e m e n ) ⋅ (α j′j e j ) = α i′iα j ′jσ mnδ imδ nj = α i′iα j′jσ ij
一点应力状态
σ = n ⋅ σ (n) σ j = niσ ij
(n)
t = n ⋅ σ t j = niσ ij
第一章 应力与平衡
二、应力张量
u
u = ui e i
ui
u1 u2 u 3
σ 11 σ 12 σ 13 σ 21 σ 22 σ 23 σ σ 32 σ 33 31
σ 11 − σ 0 σ 12 σ 13 0 σ 22 − σ σ 23 → σ 21 σ σ 32 σ 33 − σ 0 31 S11 S12 S13 = S 21 S 22 S 23 应力偏(斜)张量 S S32 S33 31
• 一点应力状态与应力标号

塑性力学-应力状态

塑性力学-应力状态
( x v )l xy m xz n 0 yx l ( y v )m yz n 0 zx l zy m ( z v )n 0
几何关系
l m n 1
2 2 2
l,m,n不能同时为零 ，因此前式为包括三个未知量
应力强度 或广义剪应力
i
3 2
0
1
1 2 2
( 1 2 )2 ( 2 3 )2 ( 3 1 )2 3J 2 ( x y )2 ( y z )2 ( z x ) 2 6( xy yz zx )
2 2 2
0 为平均应力或静
水压力，只引起物 体体积的变化，i 或0只引起物体形 状的变化， 与应 力状态有关。
应力偏量分量、主应力用应力强度、 平均应力与应力状态状态角表示
应力偏量 主应力
s1+s2+s3 = 0
1+2+3 = 30
应力星圆
应力星圆是以距原点O为0的一点为圆心，以
塑性力学
第1章 应力分析
1. 应力状态
2. 三维应力状态分析
3. 三维应力状态的主应力
4. 最大剪应力
5. 等倾面上的正应力和剪应力 6. 应力罗德参数与应力罗德角 7. 应力张量的分解 8. 平衡微分方程
1－1 应力状态
1. 外力
体力、面力
(1) 体力 —— 弹性体内单位体积上所受的外力
Q —— 体力分布集度 F lim （矢量） V 0 V F Xi Yj Zk
八面体上 的正应力 与剪应力
p 0 0
称为应力状态的特征角，cos 为应力形式指数 。

应力分析(Stress Analysis)


推导原理： 静力平衡条件： 静力矩平衡条件：
X 0, Y 0, Z 0
M
x
0, M y 0, M z 0
2 1 f ( x ) 1 f ( x) 泰勒级数展开： f ( x dx) f ( x) ...... 2 1! x 2! x
2 2 P 总应力 8 8 8 八面体上的正应力与塑性变形无关，剪应力与塑性变形有 关。

八面体应力的求解思路：
ij (i, j x, y, z) 1, 2 , 3 8 , 8
I1, I 2
因为
2 2 8 ( I1 3I 2 ) 3
ij ij m
' ij
(i,j=x,y,z)
为柯氏符号。
1 其中 m ( x y z ) 即平均应力， 3
即
' x xy xz x xy xz 1 0 0 . . ' 0 1 0 y yz y yz m ' . . . . z z 0 0 1
' ' ' ' ' ' I1' x y z 1 2 3 0
' ' ' ' ' ' I2 1 2 2 3 3 1' （体现变形体形状改变的程度）
' ' ' ' I3 1 2 3 const
§1.4 应力平衡微分方程
直角坐标下的应力平衡微分方程* ij 0 i
讨论：1. 等效的实质？ 是（弹性）应变能等效（相当于）。 2. 什么与什么等效？ 复杂应力状态（二维和三维）与简单应力状态（一维）等效 3. 如何等效？ 等效公式（注意：等效应力是标量，没有作用面）。 4. 等效的意义？ 屈服的判别、变形能的计算、简化问题的分析等。

弹塑性力学总复习

弹塑性⼒学总复习《弹塑性⼒学》课程第⼀篇基础理论部分第⼀章应⼒状态理论1.1 基本概念1．应⼒的概念应⼒：微分⾯上内⼒的分布集度。

从数学上看，应⼒sPF s ??=→?0lim ν由于微分⾯上的应⼒是⼀个⽮量，因此，它可以分解成微分⾯法线⽅向的正应⼒νσ和微分⾯上的剪应⼒ντ。

注意弹塑性⼒学中正应⼒和剪应⼒的正负号规定。

2．⼀点的应⼒状态（1）⼀点的应⼒状态概念凡提到应⼒，必须同时指明它是对物体内哪⼀点并过该点的哪⼀个微分⾯。

物体内同⼀点各微分⾯上的应⼒情况，称为该点的应⼒状态。

（2）应⼒张量物体内任⼀点不同微分⾯上的应⼒情况⼀般是不同的，这就产⽣了⼀个如何描绘⼀点的应⼒状态的问题。

应⼒张量概念的提出，就是为了解决这个问题。

在直⾓坐标系⾥，⼀点的应⼒张量可表⽰为=z zy zx yz yyx xz xy x ij στττστττσσ若已知⼀点的应⼒张量，则过该点任意微分⾯ν上的应⼒⽮量p就可以由以下公式求出：n m l p xz xy x x ττσν++= （1-1’a ） n m l p yz y yx y τστν++=（1-1’b ）n m l p z zy zx z σττν++=（1-1’c ）由式（1-1），还可进⼀步求出该微分⾯上的总应⼒p 、正应⼒νσ和剪应⼒v τ： 222z y x p p p p ++=（1-2a ）nl mn lm n m l zx yz xy z y x τττσσσσν222222+++++=22ννστ-=p（1-2c ）（3）主平⾯、主⽅向与主应⼒由⼀点的应⼒状态概念可知，通过物体内任⼀点都可能存在这样的微分⾯：在该微分⾯上，只有正应⼒，⽽剪应⼒为零。

这样的微分⾯即称为主平⾯，该⾯的法线⽅向即称为主⽅向，相应的正应⼒称为主应⼒。

主应⼒、主⽅向的求解在数学上归结为求解以下的特征问题：}{}]{[i n i ij n n σσ=（1-3）式中，][ij σ为该点应⼒张量分量构成的矩阵，n σ为主应⼒，}{i n 为主⽅向⽮量。

弹性力学-应力和应变


σ x τ xy τ xz σ xx σ xy σ xz τ xy σ y τ yz 或σ xy σ yy σ yz τ z τ yz σ z σ xz σ yz σ zz
写法： 采用张量下标记号的应力写法 写法： 把坐标轴x、 、 分别 把坐标轴 、y、z分别 表示， 用x1、x2、x3表示， 或简记为x 或简记为 j (j=1,2,3),
s j = σ j −σm, ( j = 1,2,3)
应力偏张量也有三个不变量： 应力偏张量也有三个不变量：
(3 −13)
J1 = s1 + s2 + s3 = σ1 +σ2 +σ3 −3σM = 0 1 2 2 2 J2 = −(s1s2 + s2s3 + s3s1) = (s1 + s2 + s3 ) 2 J3 = s1s2s3
3
偏张量的第二不变量 J2 有关。 有关。
四、等效应力 1.定义： 定义： 定义 相等的两个应力状态的力学效应相同， 如果假定 J2相等的两个应力状态的力学效应相同，那么
对一般应力状态可以定义： 对一般应力状态可以定义：
σ ≡ 3J2 =
1 2
(σ1 −σ2 )2 + (σ2 −σ3 )2 + (σ3 −σ1)2
三、等斜面上的应力 等斜面：通过某点做平面 ，该平面的法线与三个应力主轴
夹角相等 坐标轴与三个应力主轴一致， 设在这一点取 x1, x2 , x3 坐标轴与三个应力主轴一致， σ 3 则等斜面法线的三个方向余弦为
l1 = l2 = l3 =1/ 3
(3 − 20)
八面体面： 八面体面：
满足（3-20）式的面共有八个，构成 满足（ 20）式的面共有八个， 一个八面体，如图所示。 一个八面体，如图所示。 等斜面常也被叫做八面体面。 等斜面常也被叫做八面体面。 若八面体面上的应力向量用F 表示，则按（ 若八面体面上的应力向量用F8表示，则按（3-3）式有 1 2 2 2 2 2 2 2 F = (σ1l1) + (σ2l2 ) + (σ3l3) = (σ1 +σ2 +σ3 ) (3− 21) 8 3

弹塑性力学——应力


x xy xz yx y yz z zx zy
• 张量表示 用1、2、3取代下标x、y、z，
11 12 13 ij 21 22 23 31 32 33
• 应力正、负号规定 正面上的应力若指向坐标轴正方向为正，否则为负； 负面的应力若指向坐标轴负方向为正，否则为负。
y
应力分量的坐标变换
• 新旧坐标的夹角 ex
e ' x
ey
m1 m2
ez
n1 n2
l1 l2
ey '
ez'
l3
m3
n3
• e ' 面（斜截面）的应力矢量在旧坐标下的分量 x
Tx＝xl1+yxm1+zxn1 Ty＝xyl1+ym1+zyn1 Tz＝xzl1+yzm1+zn1
• 力矩平衡：绕z轴
(xydydz)dx(yxdxdz)dy=0 xy＝yx 绕x和y方向的形心轴取矩 yz=zy xz= zx
静力学边界条件
n X A
xl+yxm+zxn＝ X
xyl+ym+zyn＝ Y ＝
xzl+yzm+zn
Z
z y x
例1-2 如图所示的楔形体受水压力作用，水的容重为，试写出边界条 件。
zx zx dz dxdy zx dxdy Xdxdydz 0 z
x yx zx X 0 x y z
• 由y、z方向的平衡
xy x y y zy z Y 0
xz yz z Z 0 x y z
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x
2
y

2
2 xy
(1-11)
根据式(1-9)的第二式，当 =0时，
＝0则可得
tg 2 0 2
xy

x

(1-12)
y
式(1-12)也可参照应力圆直接列出。
弹性与塑性 力 学 基 础
第一章 应力分析
§1-1 单向及平面应力状态分析
1.1.3 平面应力状态应力关系 边界同时存在正应力、剪应力情况 如果0为方程式(1-12)的最小正根， 则其他的根1，2 ，3 ，… n ， 可由下式确定 2 2 n n 0 即 n 0 2 当 1
平面上的应力
0 P / A0
(1-2)
P—轴向力； A0——垂直于轴线的横截面面积。
而当所截平面的法线与轴线成α角时，由于斜
面的面积增大(由A0→A0/cosα) ， 相应的轴向应
力为 来越小。
1 P / A 0 cos
(1-3)
随着α增大，截平面越来越倾斜，应力也就越
弹性与塑性 力 学 基 础
=0。
弹性与塑性 力 学 基 础
第一章 应力分析
§1-1 单向及平面应力状态分析
1.1.3 平面应力状态应力关系 边界同时存在正应力、剪应力情况 如图所示， x－x、 ；y－y、
任意截面上BC：( ，)
设截面BC的面积A， AC面积为Acos ，
AB的面积为Asin 。
边界同时存在正应力、剪 应力时斜截面受力图
§1-2 三维应力状态分析
1.2.1 任意倾斜面上的应力分量表示方法
作用在四面体四个面上的应力及这些面的面积列于表1-1中。
表1-1 四面体各个面上的应力分布
面的名 外法线 称 方向
YOZ XOZ XOY 倾斜面 -X -Y -Z N
面积
应力投影
X轴
1/2dydz 1/2dzdx - x -yx
Y轴
-xy - y -zy Sy
Z轴
-xz -yz - z Sz 四面体受力图
1/2dxdy -zx dA Sx
弹性与塑性 力 学 基 础
第一章 应力分析
§1-2 三维应力状态分析
1.2.1 任意倾斜面上的应力分量表示方法
在四面体面上的力作用于相应面的重心上。体积力忽略不 计。x轴上力的平衡条件为
A 0
(1-1)
当物体受外力P1、P2、P3、…作用时，产生与诸外力相平衡的内力。
作用于变形体 中某一微元面 积的内力ΔP
弹性与塑性 力 学 基 础
第一章 应力分析
单 向 拉 伸 时 轴 向 应 力 值
1.1.2 应力的方向性
应力与方向有关，例如简单拉伸。垂直于轴线
边 界 存 在 正 应 力 时 斜 截 面 受 力 图
§1-1 单向及平面应力状态分析
1.1.3 平面应力状态应力关系 沿a-a方向,力的平衡方程为：
A ( 1 A cos ) sin ( 2 A sin ) cos
即：
( 1 2 ) sin co s

(1-8)
或

1 2 1 2

x
x

1
2
x

y
cos
2
xy
sin 2
y
sin
2
xy
cos 2

(1-9)
消去 后，则得
2 1
x

y



2

2
1 2
x
从受力物体中取出任一无穷小四面体
三个面与坐标面平行， 第四个面法线n方向余弦是l、m、n。 正应力总是沿着作用面的法线方向 剪应力两个下标说明所在的面
(用外法线方向表示)与作用方向，
例如yx表示剪应力所在面与y轴垂直， 它的方向与x轴平行。
四面体受力图
弹性与塑性 力 学 基 础
第一章 应力分析
1 2 (
x
y)
做为圆心, 取
1 2
(
x
y)
为
C P1 或 C P ，在 P1 及 P2 处取xy 的值
2
作为纵坐标；在 C P1
1 2
(
x
y ) 点，
取xy为正值，得到应力圆的半径CP1，等于

x
2
y

2
2 xy
弹性与塑性 力 学 基 础
第一章 应力分析
§1-1 单向及平面应力状态分析
1.1.3 平面应力状态应力关系
边界同时存在正应力、剪应力情况按式
(1-11)，线段OA和OB表示主应力主应力
1与x轴正向角度0是ACP1之半；
由图也可以看出，最大剪应力
max

x
2
y

2
2 xy
n zx n zy n z
(1-17)
作用在任意倾斜面上的应力分量可以用作用
在相互垂直的三个面上的应力分量来表示。
四面体受力图
弹性与塑性 力 学 基 础
第一章 应力分析
§1-2 三维应力状态分析
1.2.1 任意倾斜面上的应力分量表示方法 如果作用在物体表面上的外部载荷用Fx, Fy, Fz 表示, 于是式(1-17)中的Sx,Sy,Sz都换成Fx, Fy, Fz， 即式(1-17)可作为应力的边界条件。
1.6.1 张量概念
1.6.2 应力张量概念
1.6.3 应力张量球张量与偏张量
1.6.4 应变速率张量
弹性与塑性 力 学 基 础
第一章 应力分析
§1-1 单向及平面应力状态分析
1.1.1 应力定义
应力是指当物体中一微元面积M趋近于零时，作用在该面积上的内力
ΔP与ΔA比值的极限，即
lim P / A
第一章 应力分析
§1-2 三维应力状态分析
1.2.1 任意倾斜面上的应力分量表示方法 将式(1-16)代入式(1-15)便可得到Sx的表达式。 S x l x m yx n zx 用同样的方法, 可得到Sy、Sz的表达式，即:
S x l
x
m
yx y yz
S y l x y m S z l x z m
沿BC面的切线方向力的平衡方程为：
A ( x A c o s ) s in ( y A s in ) c o s
( xy A s in ) s in ( xy A c o s ) c o s
边界同时存在正应力、剪 应力时斜截面受力图
弹性与塑性 力 学 基 础

y



2
xy
2
(1-10)
弹性与塑性 力 学 基 础
第一章 应力分析
§1-1 单向及平面应力状态分析
1.1.3 平面应力状态应力关系
边界同时存在正应力、剪应力情况
坐标系： － 参 数： x、y和xy
圆
半
心： 轴上点
径： 1
(
1 2
( 1 2 )
2
第一章 应力分析
单 向 拉 伸 时 轴 向 应 力 值 随 截 面 方 位 变 化
§1-1 单向及平面应力状态分析
1.1.2 应力的方向性
为了便于研究，通常将任意方向
截面上的应力分解为两个分量：
σ－垂直于截面的分量（正应力） τ－平行于截面的分量（剪应力）
显然，有：
P / A0 c o s
弹性与塑性 力 学 基 础
第一章 应力分析
§1-1 单向及平面应力状态分析
1.1.3 平面应力状态应力关系 沿BC面的法线方向力的平衡方程为：
A ( x A c o s ) c o s ( y A sin ) sin
( xy A c o s ) sin ( xy A sin ) c o s

2
最大剪应力确定方法：出现于 2
出现在图中的

4

或
2
3 2
的截面上，即
1 2 ( 1 2 )
的截面上，最大剪应力的值为
。
2=0情况下应力圆：应力圆将切于上，最大剪应力值等于 1。
2
1
1= 2 =0 的情况下：应力圆将变成一个点，此时在任一截面上将有
第一章 应力分析
§1-1 单向及平面应力状态分析
1.1.3 平面应力状态应力关系
边界同时存在正应力、剪应力情况; 整理后，得

x x
cos
2

y
sin cos
y
y
sin
2
2

xy
cos
xy
sin cos
2
sin
2

x
y)

2

2 xy
应力莫尔圆
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第一章 应力分析
§1-1 单向及平面应力状态分析
1.1.3 平面应力状态应力关系
边界同时存在正应力、剪应力情况
主应力状态1、2和0 的确定 剪应力为零时的正应力的值为
1 2 2
1
x

y


(1-5)
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第一章 应力分析
由式(1-4)和(1-5)，将 消去后，可得：
1 2 1