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弹塑性力学-第十一章 塑性力学基础

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弹塑性力学第十一章标准详解

弹塑性力学第十一章标准详解

弹塑性⼒学第⼗⼀章标准详解第⼗⼀章习题答案11.3使⽤静⼒法和机动法求出图⽰超静定梁的极限载荷。

解1：（1）静⼒法⾸先该超静定梁（a ）化为静定结构（b ）、（c ）。

分别求出其弯矩图，然后叠加，得该超静定梁的弯矩图（f ）在极限情况下,A sB s M M M M =-=设C 点⽀反⼒为C R ，则：12C s R l Pl M -=- 1(2)C s R l l M -=由上⼆式得()()11142p M l l P l l l *-=-当P 值达到上述数值时，结构形成破坏机构，故P 为该梁的完全解。

（2）机动法设破坏机构如图（g ），并设B 点挠度为δ，则：11,(2)A C l l l θδθδ==-()1122B A C l l l l δθθθ=+=-外⼒功e W P δ=内⼒功()11142i A A B B s l l W M M M l l l θθδ-=+=-由e i W W =，可得极限载荷上限为()11142s l l P M l l l *-=-先将该超静定梁化为静定梁（b ）、（c ），分别作弯矩图，叠加得该超静定梁的弯矩图（f ）设A 点为坐标原点，此时弯矩⽅程为：()()()212B M x R l x q l x =---在极限状态时，有()0,0s x M M ==- ()11,s x x M x M == 令()0dM x dx=得1()B q l x R -= （1）⽽212B s R l ql M -=- （2）()()21112B s R l x q l x M ---= （3）联⽴解（1）、（2）、（3）得2122s s M qM ql l ??=-解得21122s M q l=取较⼤的值，可得0211.66sM q l ≈在以上0q 值作⽤下，梁已形成破坏机构，故其解为完全解。

（2）机动法如图（g ）设在A 、C 两点形成塑性铰,2A B C θθθθθ=== 内⼒功为()23i s s s W M M M θθθ=--+=g 外⼒功为e W q x dx q l θθ**==由虚功原理i W W =得：0221211.66s s M M q q l l*=>≈该解与完全解的误差为 03%q q q **-≈解3：（1）静⼒法设坐标原点在C 点，此时弯矩⽅程为：BC 段（02x l ≤≤）21()2c M x R x qx =-AB 段（2l x l ≤≤）11()24c M x R x ql x l ?? =--在x ξ=处，M 为极⼤值，设ξ在BC 段，由()0x dM x dx ξ==得0c R q ξ-= cR qξ=（1）在极限情况下()s M l M =- ， ()s M M ξ=即：238c s R l ql M -=- （2）21221889s M q l=取正号219.2s Mq l=由于此时形成破坏机构，故q 值完全解。

塑性力学基础知识

塑性力学基础知识

•
(2)屈服函数是非线性的
•
（3）不需要知道应力大小的次序
特雷斯卡条件
•
(l)不受中间应力影响
•
(2)屈服函数是线性的
•
（3）需要知道应力大小的次序
精选
两种屈服条件相同之处
• 不受静水压力影响 • 应力可以互换
精选
塑性应力应变关系
胡克定律
E , 式中 E 为常数
塑性本购关系
E , i , 式中 E ,为变数 i
精选
简单弹塑性力学问题
• 梁的弯曲 • 圆柱体的扭转 • 旋转圆盘 • 受内压或外压作用的厚壁筒和
厚壁球体
精选
梁的弹塑性弯曲问题
精选
受弯梁中的应力分布
精选
各受弯阶段弯矩的计算公式
正应力 与弯矩 M 之间的关系为
b
M 2b zdz
0
三种状态，相应的弯矩
为
Me
2 3
bh
2
弹性状态
s
M ep
1 2 s 2 3 s 3 1 s
最大形变能屈服条件又称米泽斯屈服条件
1 2
（1 2）（ 2
3）（ 3
1） s
精选
当 3 0时，以上两个条件又可
写为：
1 s 2 s 1 2 s
2 1
1 2
2 2
2 s
精选
屈服条件的几何表示
精选
两种屈服条件的比较
• 不同处
• 米泽斯条件(l)受中间应力影响
• 根据不同应力路径所进行的实验，可 以定出从弹性阶段进入塑性阶段的各 个界限。这个分界面即称为屈服面， 而描述这个屈服面的数学表达式称为 屈服函数或称为屈服条件。

《弹塑性力学》第十一章 塑性力学基础

《弹塑性力学》第十一章 塑性力学基础

2021/8/9
30
§11-2 一维问题弹塑性分析
s
-
+
+ -
+ +
s
- = +-
s
M I
y
y y0
x
y0s
y
M I
y
y0 y y0
s
M I
y
y y0
2021/8/9
31
§11-2 一维问题弹塑性分析
2.3 梁具有一个对称轴截面的弹塑性弯曲:
M
x
y
b
M
z
h
y
具有一个对称轴截面梁的弹塑性弯曲特点： 随着弯矩的增大，中性轴的位置而变化。
（a段进入塑性屈服，但 b 段仍处于弹性）
N2=P- N1=P-sA 力 P 作用点的伸长取决于b 段杆的变形
b
N2b EA
(P
s A)b
EA
2021/8/9
17
§11-2 一维问题弹塑性分析
b
N2b EA
(P s A)b
EA
Pe s A(1 a b) s A Pe (1 a b)
应力较少）屈服条件是不变的。当应力满足
屈服条件时，卸载将有残余变形，即塑性变
形存在。卸载按线性弹性。
C
s A B
’s s
A
B
C
o
p
e
p
e
o O’
p e
软钢 -
合金钢 -
2021/8/9
5
§11-1 金属材料的力学实验及几种简化力学模型
而对于合金钢，无明显屈服，当 s时进
入强化阶段，在加载即发生弹性变形和塑性变

弹塑性力学讲义 第一章绪论

弹塑性力学讲义 第一章绪论
i 1 j 1



3

每个分量用一个标量（具有两个下标）与两个并在一起基矢量（并矢） ，称为二阶 张量。矢量可称为一阶张量，标量为零阶张量。 5.2 求和约定 在张量表示说明中，看到张量分量表示是一组符号之和，很长，特别是高阶张量， 为了书写简捷，采用求和约定。 求和约定：当在同一项中，有一个下标字母出现两次时，则表示该项在该指标的取 值范围内遍历求和，且称此种在同一项重复出现一次的下标为哑标。如：
e1 e2 a2 b2 e3
a b ai ei b j e j ai b j eijk ek ai b j ekij ek ， 则
c c k eijk ai b j ekij ai b j ， a b a1 b1
ij
自动消失。ij 也称为换标符号。
eijk ( i,j,k =1,2,3)
定义： eijk
共有 27 个元素。
1 若(i , j , k ) (1,2,3)或 ( 2,3,1)或 (3,1,2)时 正排列顺序 －1 若(i , j , k ) ( 2,1,3)或（1， 3， 2）或（3， 2， 1）时 逆排列顺序 0 若 i , j , k中任意两指标相同时
(i=1,2,3)，用 ri 表示矢径；
同样位移矢量 u，用 ui 表示位移，ij 表示应力

张量。
xi aij y j
i

x1 a11 y1 a12 y2 a13 y3 x2 a21 y1 a22 y2 a23 y3 x a y a y a y 31 1 32 2 33 3 3
矢量场的拉普拉斯算子定义为矢量场的梯度的散度：是一个向量

第一章弹塑性力学基础

第一章弹塑性力学基础

i 1

的值从1到3变化。
xi 和 x j代表同一个矢量。
1.2.2 求和约定
求和约定在相关文献中都有详细的的介绍，下面只举一个小的例子， 考虑下边方程组：
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 a31 x1 a32 x2 a33 x3 b3
' 三阶张量： Gijk liml jnlkpGmnp

张量可以有任意阶，从以上表达式中可以明显得出一般的变换规则。 由于受笛卡尔坐标系的限制，所以所有这些张量均成为笛卡尔张量。
1.2.7 张量性质
张量的运算法则与矢量相类似，如张量相等即对应分量相等；张 量相加即对应分量相加；张量相乘构成一个新的张量，通常其阶数是 原张量的阶数之和；n阶张量缩并后变为n-2阶张量等等。下面简单的 举例说明: 1. 一个张量在一个坐标系中的所有分量都为0，则在所有坐标系中 的所有分量都为0。这个论述在减少数学和物理证明方面很有帮助， 如：要考虑 Fi 导致的应力 ij ，以后将证明，为满足平衡 ij, j Fi ， 现将它重写为Di ij, j Fi 0，因为 Di 是零矢量，因此只需在一个 坐标系中证明即可。 2.一个三阶张量与一个二阶张量相乘，构成一个五阶张量。
令 所以
3.三阶张量缩并成一阶张量
证明： 因为 所以 又因为 所以
' Aijk Arst lri lsj ltk
' Aiik Arst lri lsi ltk
lri lsi rs
' Aiik Arst rs ltk
又
1 0 0 rs 0 1 0 0 0 1

弹塑性力学基础

弹塑性力学基础

2、弹塑性的工程解答一般认为是精确的；
3、可对初等力学理论解答的精确度和可靠
进行度量。
第10页/共206页
四、 弹塑性力学的基本任务
可归纳为以下几点： 1．建立求解固体的应力、应变和位移分布规律的 基本方程和理论； 2．给出初等理论无法求解的问题的理论和方法， 以及对初等理论可靠性与精确度的度量； 3．确定和充分发挥一般工程结构物的承载能力， 提高经济效益； 4．为进一步研究工程结构物的强度、振动、稳定 性、断裂等力学问题，奠定必要的理论基础。
第31页/共206页
3.应力张量
数学上，在坐标变换时，服从一定坐标变换式 的九个数所定义的量，叫做二阶张量。根据这一定 义，物体内一点处的应力状态可用二阶张量的形式 来表示，并称为应力张量，而各应力分量即为应力 张量的元素，且由剪应力等定理知，应力张量应是 一个对称的二阶张量，简称为应力张量。
（I-4） （I-5）
★ 关于求和标号，即哑标有：
◆ 求和标号可任意变换字母表示。
◆ 求和约定只适用于字母标号，不适用于数字标号。 ◆ 在运算中，括号内的求和标号应在进行其它运算前
优先求和。例：
aii 2 a121 a222 a323 (aii )2 (a11 a22 a33 )2
第21页/共206页
◆ 二阶以上的张量已不可能在三维空间有明显直
观的几何意义，但它做为物理恒量，其分量间 可由坐标变换关系式来解决定义。
第18页/共206页
2.下标记号法
◆ 在张量的讨论中，都采用下标字母符号，来表
示和区别该张量的所有分量。
◆ 不重复出现的下标符号称为自由标号。自由标
号在其方程内只罗列不求和。以自由标号的数 量确定张量的阶次。

《弹塑性力学》第十一章塑性力学基础

几何方程
描述了塑性变形过程中应变和位移之 间的关系，是塑性力学的基本方程之 一。
塑性变形的增量理论
流动法则
描述了塑性变形过程中应力和应变增量之间的关系，是增量理论的核心。
屈服准则
描述了材料在受力达到屈服点时的行为，是增量理论的重要概念。
塑性变形的全量理论
全量应力和全量应变
描述了塑性变形过程中应力和应变的 状态，是全量理论的基本概念。
100%
材料性能
塑性力学为材料性能的描述提供 了理论基础，有助于深入了解材 料的变形和破坏行为。
80%
科学基础
塑性力学是连续介质力学的一个 重要分支，为研究物质宏观性质 的变化规律提供了科学基础。
塑性力学的发展历程
初创期
塑性力学作为独立学科始于20 世纪初，初期主要研究简单的 应力状态和理想塑性材料。
有限元法的优点在于其灵活性和通用性，可以处 理复杂的几何形状和边界条件，适用于各种类型 的塑性变形问题。
然而，有限元法在处理大规模问题时可能会遇到 计算效率和精度方面的问题，需要进一步优化算 法和网格划分技术。
边界元法在塑性力学中的应用
01
02
03
04
边界元法是一种仅在边界上离 散化的数值方法，通过将问题 转化为边界积分方程来求解。
发展期
随着实验技术的进步，塑性力 学在20世纪中叶得到了快速发 展，开始涉及更复杂的材料和 应力状态。
深化期
进入20世纪末至今，塑性力学 与计算机技术、先进材料等交 叉融合，研究领域不断扩大和 深化。
塑性力学的基本假设
02
01
03
连续性
材料内部是连续的，没有空洞或缝隙。
塑性变形不可逆
塑性变形发生后，不会消失或还原。

弹塑性力学部分习题

2018/10/7 7
第六章 弹性力学平面问题的直 坐标系解答
§6-1平面问题的分类
§6-2平面问题的基本方程和边界条件
§6-3平面问题的基本解法
§6-4多项式应力函数运用举例
2018/10/7
8
第七章弹性力学平面问题的极坐 标系解答
§7-1平面极坐标下的基本公式 §7-2轴对称问题 §7-3轴对称应力问题——曲梁 的纯弯曲 §7-4圆孔的孔边应力集中问题 §7-5曲梁的一般弯曲 §7-6楔形体在楔顶或楔面受力
弹塑性力学
第 六 章 弹性力学平面问题的直角坐标系解答 第 七 章 弹性力学平面问题的极坐标系解答 第 八 章 等截面直杆的扭转 第 九 章 空间轴对称问题 第 十 章 弹性力学问题的能量原理 第 十一 章 塑性力学基础知识
2018/10/7
1
参考书目
1.徐芝纶， 弹性力学：上册 .第三版,高等教育
w k x, y
其中 k 为待定常数，(x‚y)为待定函数， 试写出应力分量的表达式和位移法方程。
2018/10/7
18
题1-6 半空间体在自重 g 和表面均布压力 q 作用下的位移解为 u = v = 0,
1 g 2 2 w q h z h z 2G 2
2018/10/7
在 V上
16
题1-4 等截面柱体在自重作用下，应力解为
x=y=xy=yz=zx=0 , z=gz，试求位移。
z l y
Fbz g
x
x
2018/10/7
17
题1-5 等截面直杆（无体力作用），杆轴 方向为 z 轴,已知直杆的位移解为
u kyz
v kxz

《弹塑性力学》课件

结构弹塑性分析的方法包括有限元法、有限差分法、边界元法等数值计算 方法。
材料的弹塑性行为模拟
材料的弹塑性行为模拟是研究材料在 不同应力状态下表现出的弹塑性性质 ，对于理解材料的力学行为和优化材 料设计具有重要意义。
材料弹塑性行为模拟的方法包括分子 动力学模拟、有限元分析等。
通过实验和数值模拟相结合的方法， 可以研究材料的微观结构和宏观性能 之间的关系，预测材料的弹塑性行为 。
THANKS
感谢观看
弹塑性力学在工程实践中的挑战与解决方案
工程实践中，由于材料和结 构的复杂性，弹塑性力学应 用面临诸多挑战，如非线性 行为、边界条件和初始条件
的确定等。
为了解决这些挑战，需要采 用先进的数值计算方法和实 验技术，提高模拟精度和可
靠性。
此外，加强跨学科合作，将 弹塑性力学与计算机科学、 物理学等学科相结合，可以 推动工程实践中的弹塑性力 学应用不断发展。
《弹塑性力学》课件
目录
• 弹塑性力学概述 • 弹性力学基础 • 塑性力学基础 • 材料弹塑性性质 • 弹塑性力学在工程中的应用
01
弹塑性力学概述
弹塑性力学的定义

弹塑性力学是一门研究材料在弹性和 塑性范围内行为的学科。它主要关注 材料在外力作用下发生的变形行为， 以及这种行为与材料内部应力、应变 的关系。
塑性
材料在应力超过屈服极限后发生的不可逆变形。
屈服准则
描述材料开始进入塑性状态的应力条件。
塑性力学的基本方程
应力平衡方程
01
描述受力物体内部应力分布的平衡关系。
几何方程
02
描述材料在塑性变形过程中应变与位移的关系。
屈服准则
03
确定材料进入塑性状态的条件。

弹塑性力学(浙大通用课件)通用课件


塑性力学
研究材料在塑性状态下应 力和应变行为的科学。
塑性力学的基本假 设
塑性变形是连续的，且不改变物质的性质。 塑性变形过程中，应力和应变之间存在单值关系，且该关系是连续的。 塑性变形过程中，材料内部的应力状态是稳定的，不会出现应力振荡或波动。
塑性力学的基本方程
应力平衡方程
在塑性状态下，物体的内部应力场满 足平衡方程，即合力为零。
应变协调方程
本构方程
在塑性状态下，应力和应变之间的关 系由本构方程描述，该方程反映了材 料的塑性行为特性。
在塑性状态下，物体的应变状态满足 应变协调方程，即应变是连续的。
塑性力学的边值问题
01
塑性力学中的边值问题是指给定 物体的边界条件和初始条件，求 解物体内部的应力和应变状态的 问题。
02
边值问题可以通过求解微分方程 或积分方程来解决，具体方法取 决于问题的具体形式和条件。
04
材料弹塑性性质
材料弹性性质
弹性模量
材料在弹性变形阶段所表现出的 刚度，反映了材料抵抗弹性变形
的能力。
泊松比
描述材料在受到压力时横向膨胀 的程度，反映了材料在弹性变形
阶段的横向变形特性。
弹性极限
材料在弹性变形阶段所能承受的 最大应力，超过该应力值材料将
发生不可逆的塑性变形。
材料塑性性 质
屈服点
解析法的优点是精度高、理论严 谨，但缺点是适用范围较窄，对
于复杂问题难以得到解析解。
有限元法
有限元法是一种将连续的求解域离散化为有限个小的单元，通过求解这些小单元的 解来逼近原问题的求解方法。
它适用于各种复杂的几何形状和边界条件，能够处理大规模的问题，并且可以方便 地处理非线性问题。
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EA
N1
图示为两端固定的等
P
N2
截面杆(超静定杆)，
x ab
设材料为理想弹塑性材料，
在x = a 处（b a）作用一
逐渐增大的力P。
s
平衡条件 : N1+N2=P
变形协调条件：a+b=0
o s
理想弹塑性模型
2020/4/15
14
§11-2 一维问题弹塑性分析
（1）弹性解：
当杆处于弹性阶段，杆两部分的伸长为
s(1E E t)E t s(1)E t Et E1
2020/4/15
10
§11-1 金属材料的力学实验及几种简化力学模型
在实际问题中，有时当弹性应变 e p 塑
性应变，可忽略弹性变形。
上述两种模型分别简化为： s 时, = 0
s =s
Et
s
s+Et
o
理想刚塑性模型
o
线性强化刚塑性模型
是一一对应关系，而要考虑加载变形历史。
（3）对于有明显屈服流动且强化阶段较小的材料， 屈服条件采用初始屈服条件。对于无明显屈服流 动且强化阶段较高的材料，将有后继屈服函数产生。
（4）有些强化材料具有包辛格效应。
2020/4/15
8
§11-1 金属材料的力学实验及几种简化力学模型
1.2 常见的几种简化力学模型
35
§11-2 一维问题弹塑性分析
极限弯矩 Mp = s (S1 + S2 )
S1 和S2 分别为面积A1和A2对等面积轴的静矩。
作业：已知理想弹塑性材料的屈服极限为 s ,
试求(1)图示梁截面的极限弯矩 Mp ,（2）当M / Me =1.2 时， y0 的值为多少 ?
a) y
b) a y
a
z
a
2020/4/15
27
§11-2 一维问题弹塑性分析
（2）梁弹塑性弯曲时的变形
在线弹性阶段，梁弯矩和曲率的关系为线性关系
M=EI
( M Me ),
或
M EI
将应力与弯矩关系式 My 代入上式,可得
I
Ey
2020/4/15
28
§11-2 一维问题弹塑性分析
在弹塑性阶段，由于梁弯曲 时截面仍然保持平面，可得
1）在线弹性阶段
P
固定端弯矩最大，
A l/2 C l/2
B
MA 362PlMe
6Pl/32
P
A
C
B
2）在弹塑性阶段：固定
5Pl/32
端首先发生塑性区域， 随着荷载增加、固定端 MP
Pe<P<PP
成为第一个塑性铰。
A
C
B
2020/4/15
38
§11-2 一维问题弹塑性分析
3）极限状态
P
固 定 端 弯 矩 保 A l/2 C l/2
2020/4/15
30
§11-2 一维问题弹塑性分析
s
-
+
+ -
+ +
s
- = +-
s
M I
y
y y0
x
y
s 0
y M I
y
y0 y y0
s
M I
y
y y0
2020/4/15
31
§11-2 一维问题弹塑性分析
2.3 梁具有一个对称轴截面的弹塑性弯曲:
M
x
y
b
M
z
h
y
具有一个对称轴截面梁的弹塑性弯曲特点： 随着弯矩的增大，中性轴的位置而变化。
1
§11-1 金属材料的力学实验及几种简化力学模型
1.1 单 向 拉 压 实 验 ：
不同材料在单向拉压实验中，有不同的 应力－应变曲线。
C
s A B
’s s
A
B
C
o
p
e
p
e
软钢 -
o O’
p e
合金钢 -
2020/4/15
2
§11-1 金属材料的力学实验及几种简化力学模型
C
软钢 - s A B
截面形状
1.5
1.7
1.15-1.17
2020/4/15
26
§11-2 一维问题弹塑性分析
Me
s
bh2 6
MMp
sbh2
4
截面弯矩达到极限弯矩时，其附近无限靠
近的相邻两截面可发生有限相对转角，该截面
称为塑性铰。
对于静定梁，截面弯矩达到极限弯矩时，
结构变成机构，承载力已无法增加。这种状态 称为极限状态。
2020/4/15
23
§11-2 一维问题弹塑性分析
s
s
+ h/2
s
y0 y0
+
s
y
x
s
y y0
M
AxydA2b
0y0s
y y0
ydy
yh02sydy
当y0=h/2b时s：h42M y302M ebsh42 1 h22sb 6h2
——最大弹性弯矩
2020/4/15
24
§11-2 一维问题弹塑性分析
1. 理想弹塑性模型：
加载时： =E = s
s s
s
o s
理想弹塑性模型
2020/4/15
9
§11-1 金属材料的力学实验及几种简化力学模型
2. 线性强化弹塑性模型：
加载时： =E s
Et
s
E
= E s+ Et ( - s ) s o s
sE t(s) sE E tE (s)线性强化弹塑性模型
o
p
e
p
e
’s s
A
BC
合金钢 -
o
O’
p e
当应力－应变曲线在OA范围内变化，材料
为弹性变化。当应力达到 s时（软钢有明显
屈服发生(AB段），合金钢无明显屈服发生） 将发生塑性变形。确定材料发生塑性变形的
条件为
2020/4/15
3
§11-1 金属材料的力学实验及几种简化力学模型
f () = - s = 0 初始屈服条件（函数）
力P 作用点的伸长为
e
N1a Pea sa
EA (1a)EA E
b
2020/4/15
16
§11-2 一维问题弹塑性分析
(2)弹塑性解Pp P Pe : P = Pe 后，P 可继续增大，而 N1=sA 不增加
（a段进入塑性屈服，但 b 段仍处于弹性）
N2=P- N1=P-sA 力 P 作用点的伸长取决于b 段杆的变形
s
s
s
+ h/2
s
y0 -
-
y0 +
s
y
x
s
y y0
+
s
M
AxydA2b
0y0s
y y0
ydy
h2
y0
sydy
bsh42
y02 3
当y0=
0时：MMp
sbh2
4
——极限弯矩
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§11-2 一维问题弹塑性分析
Me
s
bh2 6
MMp
sbh2
4
令 =Mp/Me=1.5（矩形截面） —— 截面形状系数。
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§11-2 一维问题弹塑性分析
b
F2
s
-
-
-
h
z
+
+ F1
+
y
s
s
s
在塑性流动阶段：受拉区应力和受压区应力均为 常数，中性轴的位置由截面上合力为零来确定:
F1 = F2 或 s A1 = s A2
得 A1 = A2 ——中性轴的位置由受拉区截面面
积等于受压区截面面积确定。
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a
N1a EA
b
N2b EA
代入变形协调方程为
N1a N2b 0 或
EA EA
N2
N1
a b
由于b a，所以 N1 N2 ，将 N2N1ab
代入平衡方程。
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§11-2 一维问题弹塑性分析
得 N1P/1 (ab) N 2(P ab)(1ab)
最大弹性荷载
P e N 1 ( 1 a b )sA ( 1 a b )
s 或
Ey 0
s
y0 y0
+
s
y
x
s
y y0
y0
s E
代入梁弹塑性弯曲时M的表达式
M
bs
h2 4
y02 3
得
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§11-2 一维问题弹塑性分析
Mbs
h2 4
13Es 2
M Mp Me
( M Me )
o e
(3) 梁弹塑性弯曲时的卸载：
卸载是以线弹性变化，卸载后梁截面的弯 矩M=0, 但截面内的应力不为零，有残余 应力存在。以矩形截面为例：
bN E2bA (PE sA A)b
ห้องสมุดไป่ตู้
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§11-2 一维问题弹塑性分析
bN E2bA (PE sA A)b
P esA (1ab) sAP e (1ab) P P e(1 ab )bP a (P P e)b
EA E(1 A ab )
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§11-2 一维问题弹塑性分析