2017-2018年北京市西城区高三(上)期末数学试卷(理科)含参考答案

北京市西城区2017 — 2018学年度第一学期期末试卷高一数学2018.1试卷满分：150分 考试时间：120分钟A 卷[三角函数与平面向量] 本卷满分：100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.已知向量,a b 满足1=b ，，则向量,a b（C ）[二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上. 11.7sin6π=_____. 12.已知向量(1,2)=a ，(,2)x =-b ，若//a b ，则实数x =______.13.角θ的始边与x 轴正半轴重合，终边上一点坐标为(1,2)-，则tan θ=______. 14.函数()sin cos f x x x =+的最大值为______.15. 已知点(0,4)A ，(2,0)B ，如果2AB BC =，那么点C 的坐标为______； 设点(3,)P t ，且APB ∠是钝角，则t 的取值范围是______. 16.已知函数()sin tan f x x x =. 给出下列结论：①函数()f x 是偶函数；②函数()f x 在区间(,0)2π-上是增函数；③函数()f x 的最小正周期是2π； ④函数()f x 的图象关于直线x =π对称.其中正确结论的序号是_____.（写出所有正确结论的序号）三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知(,)2απ∈π，且3cos 5α=-.（Ⅰ）求tan α的值；（Ⅱ）求cos2sin 21αα+的值.18．（本小题满分12分）已知函数π()sin(2)6f x x =+.（Ⅰ）请用“五点法”画出函数()f x 在一个周期上的图象；（Ⅱ）求()f x 在区间[,]122ππ上的最大值和最小值； （Ⅲ）写出()f x 的单调递增区间.19．（本小题满分12分）如图，已知AB BC ⊥，AB =，[1,3]a ∈，圆A 是以A 为圆心、半径为2的圆，圆B 是以B 为圆心、半径为1的圆，设点E 、F 分别为圆A 、圆B 上的动点，//AE BF （且AE 与BF 同向），设BAE θ∠=（[0,]θ∈π）.（Ⅰ）当a =6θπ=时，求AE AC ⋅的值； （Ⅱ）用,a θ表示出CE CF ⋅，并给出一组,a θ的值，使得CE CF ⋅最小.BAFECB 卷 [学期综合]本卷满分：50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在题中横线上. 1．设全集U =R ，集合{|0}A x x =<，{|1}B x x =>，则()U A B =ð_____．2．函数()f x _____.3．已知函数122,1,()log ,01,x x f x x x ⎧>⎪=⎨<≤⎪⎩则1(())4f f =_____；若()1f x =，则x =_____．4．sin 2，13log 2，121log 3三个数中最大的是_____． 5．某购物网站在2017年11月开展“买三免一”活动，规则是“购买3件商品，最便宜的一件商品免费”，比如如下结算案例：如果在此网站上购买的三件商品价格如下图所示，按照“买三免一”的规则，购买这三件商品的实际折扣为______折.在这个网站上购买3件商品，按照“买三免一”的规则，这3件商品实际折扣力度最大约为_______折（保留一位小数）.二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 6．（本小题满分10分）已知函数21()f x ax x=+是偶函数. （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）判断函数()f x 在区间(0,)+∞上的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论.7．（本小题满分10分）设a 为实数，函数2()1f x x x a =--+，x ∈R .（Ⅰ）当0a =时，求()f x 在区间[0,2]上的最大值和最小值； （Ⅱ）求函数()f x 的最小值.8．（本小题满分10分）若函数()f x 满足：对于,[0,)s t ∈+∞，都有()0f s ≥，()0f t ≥，且()()()f s f t f s t +≤+，则称函数()f x 为“T 函数”.（Ⅰ）试判断函数21()f x x =与2()lg(1)f x x =+是否是“T 函数”，并说明理由； （Ⅱ）设()f x 为“T 函数”，且存在0[0,)x ∈+∞，使00(())f f x x =，求证：00()f x x =； （Ⅲ）试写出一个“T 函数”()f x ，满足(1)1f =，且使集合{|(),01}y y f x x =≤≤中元素 的个数最少.（只需写出结论）北京市西城区2017— 2018学年度第一学期期末试卷高一数学参考答案及评分标准2018.1A 卷[三角函数与平面向量] 满分100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 1.C2.B 3.A 4.A 5.B 6.D 7.B8.C 9.B 10.D.二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 11.12-12.1-13.2-(3,2)-；(1,3)16.①③④ 注：第15题每空2分.第16题少选得2分，多选、错选不得分.三、解答题：本大题共3小题，共36分. 17.（本小题满分12分）解：解：（Ⅰ）因为(,)2απ∈π，3cos 5α=-，所以sin α………………3分45==. ………………4分所以sin 4tan cos 3ααα==-.………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）4sin 5α=，3cos 5α=-，所以4324sin 22sin cos 2()5525ααα==⨯⨯-=-. ………………9分2237cos22cos 12()1525αα=-=⨯--=-. ………………11分 所以7cos 225724sin 21125αα-==-+-+. ………………12分18.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）()f x 在[,]1212π11π-上的图象如图所示.………………5分说明：个别关键点错误酌情给分.（Ⅱ）π()sin(2)6f x x =+．因为122x ππ≤≤，所以ππ7π2366x ≤+≤，………………7分 当π262x π+=，即π6x =时，πsin(2)6x +最大值等于1，即()f x 的最大值等于1；………………8分当π266x 7π+=，即π2x =时，πsin(2)6x +最小值等于12-，即()f x 的最小值等于21-.………………9分所以()f x 在区间[,]122ππ上的最大值为1，最小值为21-.注：根据图象求出最大、最小值相应给分.（Ⅲ）函数()f x 的单调递增区间为[,]36k k ππ-+π+π（k ∈Z ）.………………12分19.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）如图，以点A 为原点，AB 所在直线为x 轴，与AB 垂直的直线为y 轴建立平面直角坐标系.则(0,0)A，(3,C，E ，………………2分(3,1)(3,AE AC ⋅=⋅=.………………4分（Ⅱ）(0,0)A ，,)C a-，(2cos ,2sin )E θθ，cos ,sin )Fθθ+，………………7分(2cos ,2sin )(cos ,sin )CE CF a a θθθθ⋅=+⋅+2sin()26aθπ=+⋅-+………………9分22[)]23sin ()66a θθππ=-+--因为[0,]θ∈π，所以1sin()[,1]62θπ-∈-，以a 为变量的二次函数的对称轴)[6θπ-∈.因为[1,3]a ∈，所以当1a =时，CE CF ⋅的最小值为3)6θπ+-，………10分又1sin()[,1]62θπ-∈-，所以CE CF ⋅的最小值为3，此时0θ=.所以，当1a =，0θ=时，CE CF ⋅的最小值为3. ………………12分B 卷 [学期综合] 满分50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.BAFECxy1.{1}x x ≤2.[3,)+∞3.4；124.121log 35.7.5；6.7.注：第3题、第5题每空2分.二、解答题：本大题共3小题，共30分. 6.（本小题满分10分）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞.由()()f x f x -=得2211ax ax x x-=+.………………3分所以0ax =.因为0ax =对于定义域中任意的x 都成立，所以0a =.………………5分 （Ⅱ）函数21()f x x=在区间(0,)+∞上是减函数.………………7分证明：在(0,)+∞上任取1x ，2x ，且12x x <，则12211222221212()()11()()x x x x f x f x x x x x +--=-=， ………………9分由120x x <<，得120x x +>，210x x ->，22120x x >， 于是12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >.所以函数21()f x x =在区间(0,)+∞上是减函数. ………………10分7.（本小题满分10分）解：（Ⅰ）当0a =，[0,2]x ∈时，函数2()1f x x x =-+，………………2分因为()f x 的图象抛物线开口向上，对称轴为12x =，所以，当12x =时，()f x 值最小，最小值为34；当2x =时，()f x 值最大，最大值为3. ………………4分（Ⅱ）①当x a ≤时，函数2213()1()24f x x x a x a =+-+=+-+.若12a ≤-，则()f x 在(,]a -∞上单调递减，在(,]a -∞上的最小值为2()1f a a =+；若12a >-，则函数()f x 在(,]a -∞上的最小值为13()24f a -=-；………………6分②当x a >时，2213()1()24f x x x a x a =-++=-++.若12a <，则()f x 在[,)a +∞上的最小值为13()24f a =+；若12a ≥，则()f x 在[,)a +∞上单调递增，2()()1f x f a a >=+.………………7分所以，当12a ≤-时，22311()()042a a a +-+=-≥，()f x 的最小值为34a +.当12a ≥时，22311()()042a a a +--=+≥，()f x 的最小值为34a -. 当1122a -<<时，()f x 的最小值为34a +与34a -中小者. 所以，当102a -<<时，()f x 的最小值为34a +；当102a ≤<时，()f x 的最小值为34a -.………………9分综上，当0a <时，()f x 的最小值为34a +；当0a ≥时，()f x 的最小值为34a -.………………10分8.（本小题满分10分）解：（Ⅰ）对于函数21()f x x =，当,[0,)s t ∈+∞时，都有1()0f s ≥，1()0f t ≥，又222111()()()()20f s f t f s t s t s t st +-+=+-+=-≤，所以111()()()f s f t f s t +≤+. 所以21()f x x =是“T 函数”.………………2分对于函数2()lg(1)f x x =+，当2s t ==时，22()()lg9f s f t +=，2()lg5f s t +=， 因为lg9lg5>，所以222()()()f s f t f s t +>+.所以2()lg(1)f x x =+不是“T 函数”. ………………4分 （Ⅱ）设12,[0,)x x ∈+∞，21x x >，21x x x =+∆，0x ∆>.则211111()()()()()()0f x f x f x x f x f x x x f x -=+∆-≥+∆-=∆≥所以，对于12,[0,)x x ∈+∞，12x x <，一定有12()()f x f x ≤. ………………6分 因为()f x 是“T 函数”，0[0,)x ∈+∞，所以0()0f x ≥. 若00()f x x >，则000(())()f f x f x x ≥>，不符合题意. 若00()f x x <，则000(())()f f x f x x ≤<，不符合题意. 所以00()f x x =. ………………8分（Ⅲ）20,[0,1),(),[1,).x f x x x ∈⎧⎪=⎨∈+∞⎪⎩（注：答案不唯一）………………10分。

北京市西城区2017 — 2018学年度第一学期期末试卷高三数学（文科） 2018.1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的 四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．若集合{|03}A x x =<<，{|12}B x x =-<<，则A B =（A ）{|13}x x -<< （B ）{|10}x x -<< （C ）{|02}x x << (D ）{|23}x x <<2．在复平面内，复数2i1i-对应的点的坐标为 （A)(1,1)（B)(1,1)-（C ）(1,1)--（D ）(1,1)-3．下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递增的是 (A)1y x =-+（B ）2(1)y x =-（C ）sin y x =（D ）12y x =4．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 (A ）2 (B ）6 (C ）30 （D)2705．若122log log 2a b +=，则有（A ）2a b = （B ）2b a = （C ）4a b = （D)4b a =6．一个棱长为2的正方体被一个平面截去一部分后，剩余几何体的 三视图如图所示，则截去．．的几何体是 （A ）三棱锥 （B ）三棱柱 (C ）四棱锥 (D ）四棱柱7．函数()sin()f x x ϕ=+的图象记为曲线C ．则“(0)(π)f f ="是“曲线C 关于直线π2x =对称”的（A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件8．已知A ，B 是函数2xy =的图象上的相异两点．若点A ，B 到直线12y =的距离相等， 则点A ，B 的横坐标之和的取值范围是 (A ）(,1)-∞- (B)(,2)-∞-（C ）(,3)-∞-(D ）(,4)-∞-第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．若函数()()f x x x b =+是偶函数,则实数b =____．10．已知双曲线22221x y a b-=的一个焦点是(2,0)F ，其渐近线方程为3y x =±，该双曲线的方程是____．11．向量,a b 在正方形格中的位置如图所示．如果小正方形格的边长为1,那么⋅=a b ____．12．在△ABC 中，3a =，3C 2π∠=，△ABC 的面积为334,则b =____；c =____．13．已知点(,)M x y 的坐标满足条件10,10,10.x x y x y -⎧⎪+-⎨⎪-+⎩≤≥≥设O 为原点，则OM 的最小值是____．14．已知函数2,2,()1,3.x x x c f x c x x ⎧+-⎪=⎨<⎪⎩≤≤≤若0c =，则()f x 的值域是____;若()f x 的值域是1[,2]4-,则实数c 的取值范围是____．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分)已知函数2π()2sin cos(2)3f x x x =-+．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求证：当π[0,]2x ∈时，1()2f x -≥．16．（本小题满分13分）已知数列{}n a 是公比为13的等比数列，且26a +是1a 和3a 的等差中项．(Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n a 的前n 项之积为n T ，求n T 的最大值．17．（本小题满分13分）某市高中全体学生参加某项测评，按得分评为A ，B 两类（评定标准见表1）．根据男女学生比例，使用分层抽样的方法随机抽取了10000名学生的得分数据，其中等级为1A 的学生中有40%是男生，等级为2A 的学生中有一半是女生．等级为1A 和2A 的学生统称为A 类学生，等级为1B 和2B 的学生统称为B 类学生．整理这10000名学生的得分数据，得到如图2所示的频率分布直方图．表1 图2（Ⅰ)已知该市高中学生共20万人，试估计在该项测评中被评为A 类学生的人数； （Ⅱ)某5人得分分别为45,50,55,75,85．从这5人中随机选取2人组成甲组，另外3人组成乙组，求“甲、乙两组各有1名B 类学生"的概率；(Ⅲ）在这10000名学生中,男生占总数的比例为51%，B 类女生占女生总数的比例为1k ， B类男生占男生总数的比例为2k ．判断1k 与2k 的大小．(只需写出结论）类别得分()xB1B8090x ≤≤ 2B7080x <≤ A1A5070x <≤ 2A2050x <≤18．（本小题满分14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB ⊥平面11AA C C ，1AA AC =.过1AA 的平面交11B C 于点E ，交BC 于点F 。

2017-2018 学年北京市西城区高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8 小题，每题 5 分，共 40 分．在每题列出的四个选项中，选出切合题目要求的一项．1．（5 分）若会合A={ x| 0＜x＜3} ， B={ x| ﹣ 1＜x＜2} ，则 A∪B=（）A．{ x| ﹣ 1＜ x＜3} B． { x| ﹣1＜x＜ 0} C．{ x| 0＜x＜2} D． { x| 2＜x＜3} 2．（5 分）在复平面内，复数对应的点的坐标为（）A．（1，1） B．（﹣1，1）C．（﹣ 1，﹣ 1）D．（1，﹣ 1）3．（5 分）以下函数中，在区间（ 0， +∞）上单一递加的是（）A．y=﹣x+1 B．y=（ x﹣ 1）2 C．y=sinx D．4．（5 分）履行以下图的程序框图，输出的S值为（）A．2B．6C．30D．2705．（5 分）若，则有（）A．a=2b B．b=2a C．a=4b D．b=4a6．（5 分）一个棱长为 2 的正方体被一个平面截去一部分后，节余几何体的三视图以下图，则截去的几何体是（）A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱7．（5 分）函数 f（ x）=sin（x+φ）的图象记为曲线C．则“f（0） =f（π）”是“曲线 C 对于直线对称”的（）A．充足而不用要条件B．必需而不充足条件C．充足必需条件D．既不充足也不用要条件8．（ 5 分）已知 A，B 是函数 y=2x的图象上的相异两点．若点A，B 到直线的距离相等，则点A， B 的横坐标之和的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣ 1）B．（﹣∞，﹣ 2）C．（﹣∞，﹣ 3）D．（﹣∞，﹣ 4）二、填空题：本大题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分．9．（5 分）若函数 f（ x）=x（x+b）是偶函数，则实数 b=．10．（5 分）已知双曲线的一个焦点是（F2，0），其渐近线方程为，该双曲线的方程是．11．（ 5 分）向量，在正方形网格中的地点以下图．假如小正方形网格的边长为 1，那么=．12．（5 分）在△ ABC中，a=3，，△ABC的面积为，则b=；c=．13．（5 分）已知点 M（x，y）的坐标知足条件，设O为原点，则| OM|的最小值是．14．（ 5 分）已知函数，若c=0，则f（x）的值域是；若 f （x）的值域是，则实数c的取值范围是．三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出必需的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（ 13 分）已知函数．（Ⅰ）求 f（ x）的最小正周期；（Ⅱ）求证：当时，．16．（ 13 分）已知数列 { a n} 是公比为的等比数列，且a2+6 是 a1和 a3的等差中项．（Ⅰ）求 { a n} 的通项公式；（Ⅱ）设数列 { a n} 的前 n 项之积为 T n，求 T n的最大值．17．（ 13 分）某市高中全体学生参加某项测评，按得分评为A， B 两类（评定标准见表）．依据男女学生比率，使用分层抽样的方法随机抽取了10000 名学生的得分数据，此中等级为 A1的学生中有 40%是男生，等级为 A2的学生中有一半是女生．等级为 A1和 A2的学生统称为 A 类学生，等级为 B1和 B2的学生统称为 B 类学生．整理这 10000 名学生的得分数据，获得以下图的频次散布直方图．类型得分（ x）B B180≤x≤90B270≤x＜80A A150≤x＜70A220≤x＜50（Ⅰ）已知该市高中学生共20 万人，试预计在该项测评中被评为 A 类学生的人数；（Ⅱ）某 5 人得分分别为 45，50，55，75， 85．从这 5 人中随机选用 2 人构成甲组，此外 3 人组成乙组，求“甲、乙两组各有1 名 B 类学生”的概率；（Ⅲ）在这 10000 名学生中，男生占总数的比率为 51%，B 类女生占女生总数的比率为k1，B 类男生占男生总数的比率为k2．判断k1与k2的大小．（只要写出结论）18．（ 14 分）如图，在三棱柱 ABC﹣A1 B1C1中， AB⊥平面 AA1 C1C，AA1=AC．过 AA1的平面交 B1C1于点 E，交 BC于点 F．（Ⅰ）求证： A1C⊥平面ABC1；（Ⅱ）求证： A1A∥EF；（Ⅲ）记四棱锥 B1﹣ AA1EF的体积为 V1，三棱柱 ABC﹣A1B1C1的体积为 V．若，求的值．19．（ 14 分）已知椭圆过A（2，0），B（0，1）两点．（Ⅰ）求椭圆 C 的方程及离心率；（Ⅱ）设点 Q 在椭圆 C 上．试问直线 x+y﹣4=0 上能否存在点 P，使得四边形 PAQB 是平行四边形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明原因．20．（ 13 分）已知函数 f （x）=x2lnx﹣ 2x．（Ⅰ）求曲线 y=f（x）在点（ 1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求证：存在独一的x0∈（ 1， 2），使得曲线 y=f（ x）在点（ x0， f（x0））处的切线的斜率为f（2）﹣ f（1）（Ⅲ）比较 f（）与﹣ 2.01 的大小，并加以证明．2017-2018 学年北京市西城区高三（上）期末数学试卷（文科）参照答案与试题分析一、选择题：本大题共8 小题，每题 5 分，共 40 分．在每题列出的四个选项中，选出切合题目要求的一项．1．（5 分）若会合 A={ x| 0＜x＜3} ， B={ x| ﹣ 1＜x＜2} ，则 A∪B=（）A．{ x| ﹣ 1＜ x＜3} B． { x| ﹣1＜x＜ 0}C．{ x| 0＜x＜2} D． { x| 2＜x＜3} 【剖析】利用并集定义直接求解．【解答】解：∵会合 A={ x| 0＜ x＜ 3} ，B={ x| ﹣ 1＜ x＜ 2} ，∴A∪ B={ x| ﹣1＜x＜3} ．应选： A．【评论】此题考察并集的求法，考察并集定义等基础知识，考察运算求解能力，考察函数与方程思想，属于基础题．2．（5 分）在复平面内，复数对应的点的坐标为（）A．（1，1） B．（﹣1，1） C．（﹣1，﹣ 1）D．（1，﹣ 1）【剖析】依据复数的几何意义，将复数进行化简即可．【解答】解：===﹣ 1+i，对应点的坐标为（﹣ 1，1），应选： B【评论】此题主要考察复数的几何意义，利用复数的运算法例进行化简是解决此题的重点．3．（5 分）以下函数中，在区间（ 0， +∞）上单一递加的是（）A．y=﹣x+1 B．y=（ x﹣ 1）2 C．y=sinx D．【剖析】依据常有函数的单一性分别判断即可．【解答】解：对于 A，函数在 R 递减，对于 B，函数在（ 0，1）递减，对于 C，函数在（ 0，+∞）无单一性，对于 D，函数在（ 0， +∞）递加，应选： D．【评论】此题考察了常有函数的单一性问题，是一道基础题．4．（5 分）履行以下图的程序框图，输出的S值为（）A．2B．6C．30D．270【剖析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值，模拟程序的运转过程，剖析循环中各变量值的变化状况，可得答案．【解答】解：模拟程序的运转，可得S=1， k=2知足条件 k≤ 5，履行循环体， S=2，k=3知足条件 k≤ 5，履行循环体， S=6，k=5知足条件 k≤ 5，履行循环体， S=30， k=9不知足条件 k≤5，退出循环，输出S 的值为 30．应选： C．【评论】此题考察了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运转过程，以便得出正确的结论，是基础题．5．（5 分）若，则有（）A．a=2b B．b=2a C．a=4b D．b=4a【剖析】直接由对数的运算性质计算得答案．【解答】解：，得，即 a=4b．应选： C．【评论】此题考察了对数的运算性质，是基础题．6．（5 分）一个棱长为 2 的正方体被一个平面截去一部分后，节余几何体的三视图以下图，则截去的几何体是（）A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱【剖析】由三视图复原原几何体，可知原几何体为直四棱柱，进而可知，截去的部分为三棱柱．【解答】解：由三视图复原原几何体如图：该几何体为直四棱柱ABEA1﹣DCFD1，截去的部分为三棱柱BB1E﹣CC1F．【评论】此题考察由三视图求面积、体积，重点是由三视图复原原几何体，是中档题．7．（5 分）函数 f（ x）=sin（x+φ）的图象记为曲线C．则“f（0） =f（π）”是“曲线 C 对于直线对称”的（）A．充足而不用要条件B．必需而不充足条件C．充足必需条件D．既不充足也不用要条件【剖析】依据充足条件和必需条件的定义，联合三角函数对称性的性质进行判断即可．【解答】解：若 f（ 0） =f（π），则 sin φ=sin（π+φ） =﹣sin φ，则 sin φ=0，则φ=kπ，此时 f（ x）=sin（x+φ）=sin（ x+kπ） =± sinx，曲线 C 对于直线对称，反之若曲线 C 对于直线对称，则f（0）=f（π），即“f（0）=f（π）”是“曲线 C 对于直线对称”的充要条件，应选： C【评论】此题主要考察充足条件和必需条件的判断，联合三角函数的性质是解决此题的重点．．（分）已知x 的图象上的相异两点．若点A，B 到直线的8 5 A，B 是函数 y=2距离相等，则点 A， B 的横坐标之和的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣ 1）B．（﹣∞，﹣ 2）C．（﹣∞，﹣ 3）D．（﹣∞，﹣ 4）【剖析】依题意可得? ，利用均值不等式即可求解，【解答】解：不如设 A（ x1， y1），B（ x2，y2），（x1＞x2），可得? ，利用均值不等式 1 ? 2∴x1+x2＜﹣ 2，【评论】此题考察了指数运算，均值不等式，属于中档题．二、填空题：本大题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分．9．（5 分）若函数 f（ x）=x（x+b）是偶函数，则实数 b= 0．【剖析】依据函数是偶函数，成立方程进行求解即可．【解答】解：∵ f（x）是偶函数，∴ f（﹣ x） =f（x），即﹣ x（﹣ x+b）=x（x+b），得 x﹣b=x+b，则﹣ b=b，得 b=0，故答案为： 0．【评论】此题主要考察函数奇偶性的应用，依据偶函数的定义成立方程是解决此题的重点．10．（5 分）已知双曲线的一个焦点是（F2，0），其渐近线方程为，该双曲线的方程是x2﹣=1．【剖析】依据双曲线的一个焦点为（2，0），且双曲线的渐近线方程为，可得 c=2，可得 a，b 是方程，求出 a，b 的值，即可得出双曲线的标准方程．【解答】解：∵双曲线的一个焦点为（2，0），且双曲线的渐近线方程为，∴ c=2，，∵ c=，∴a=1，b2=3，∴双曲线的方程为x2﹣=1．故答案为： x2﹣=1．【评论】此题考察双曲线的标准方程，考察双曲线的几何性质，考察学生的计算能力，正确运用双曲线的几何性质是重点．11．（ 5 分）向量，在正方形网格中的地点以下图．假如小正方形网格的边长为1，那么= 4．【剖析】求出向量，向量的坐标，而后求解数目积即可．【解答】解：向量，在正方形网格中的地点以下图．假如小正方形网格的边长为 1，=（2，0）． =（2，﹣ 1）．那么=2×2+0×（﹣ 1）=4．故答案为： 4．【评论】此题考察向量的数目积的应用，考察计算能力．12．（ 5 分）在△ ABC中， a=3，，△ ABC的面积为，则 b= 1 ；c= ．【剖析】依据三角形的面积公式和余弦定理，即可求出 b 和 c 的值．【解答】解：△ ABC中， a=3，，∴△ ABC的面积为absinC= ×3×sin = ，解得 b=1；2 2 2 2 2∴ c =a +b ﹣2abcosC=3+1 ﹣ 2× 3× 1× cos=13，c=．故答案为： 1；．【评论】此题考察了三角形的面积公式和余弦定理的应用问题，是基础题．13．（5 分）已知点 M（x，y）的坐标知足条件，设O为原点，则| OM| 的最小值是．【剖析】先依据拘束条件画出可行域，再利用几何意义求最值， z=| MO| 表示（ 0，0）到可行域的距离，只要求出（0，0）到可行域的距离的最小值即可．【解答】解：画出知足条件的可行域，以下图：故 | OM| 的最小值为原点到直线x+y﹣1=0 的距离：=．故答案为：．【评论】此题主要考察了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．14．（ 5 分）已知函数，若c=0，则f（x）的值域是[ ﹣，+∞）；若（fx）的值域是，则实数c的取值范围是[，1]．【剖析】若 c=0，分别求得 f（x）在 [ ﹣2，0] 的最值，以及在（ 0，3] 的范围，求并集即可获得所求值域；议论 f（ x）在[ ﹣ 2，1] 的值域，以及在（c，3] 的值域，注意 c＞0，运用单一性，即可获得所求 c 的范围．【解答】解： c=0 时， f（ x） =x2+x=（x+）2﹣，f（x）在 [ ﹣2，﹣）递减，在（﹣，0]递加，可得 f （﹣ 2）获得最大值，且为2，最小值为﹣；当 0＜x≤ 3 时， f（x）= 递减，可得 f（3）= ，则 f（ x）∈ [ ，+∞），综上可得 f（ x）的值域为 [ ﹣，+∞）；∵函数 y=x2+x 在区间 [ ﹣2，﹣）上是减函数，在区间（﹣，1] 上是增函数，∴当 x∈[ ﹣2，0）时，函数 f（x）最小值为 f（﹣）=﹣，最大值是 f（﹣ 2）=2；由题意可得 c＞0，∵当 c＜x≤3 时， f（x）=是减函数且值域为[，），当 f（ x）的值域是 [ ﹣，2]，可得≤c≤1．故答案为：；．【评论】此题给出特别分段函数，求函数的值域，并在已知值域的状况下求参数的取值范围，侧重考察了函数的值域和二次函数的单一性和最值等知识，属于中档题．三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出必需的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（ 13 分）已知函数．（Ⅰ）求 f（ x）的最小正周期；（Ⅱ）求证：当时，．【剖析】（Ⅰ）利用两角和与差的三角函数化简函数的分析式，而后求解函数 f （x）的最小正周期；（Ⅱ）利用三角函数的最值，证明不等式即可．【解答】（本小题满分 13 分）解：（Ⅰ）由于= [ （4 分）]= [ （5 分）]= ，[ （7 分）]因此 f （x）的最小正周期．[ （8 分）]（Ⅱ）由于，因此．[ （10 分） ]因此，[ （12 分） ]因此．[ （13 分）]【评论】此题考察两角和与差的三角函数，三角函数的最值的求法，考察计算能力．16．（ 13 分）已知数列 { a n} 是公比为的等比数列，且a2+6 是 a1和 a3的等差中项．（Ⅰ）求 { a n} 的通项公式；（Ⅱ）设数列 { a n} 的前 n 项之积为 T n，求 T n的最大值．【剖析】（Ⅰ）利用等差数列以及等比数列的通项公式求出数列的首项，而后求解数列的通项公式．（Ⅱ）求出 a n≥ 1， n≤ 4 判断数列的特点，而后求解T n获得最大值时， n=3，求解即可．【解答】（本小题满分 13 分）解：（Ⅰ）由于 a2+6 是 a1和 a3的等差中项，因此 2（a2+6）=a1+a3．[ （ 2 分） ]由于数列 { a n} 是公比为的等比数列，因此，[ （4 分）]解得 a1=27． [ （ 6 分） ]因此 a n=a1?q n﹣1=（）n﹣4．[[（8分）]（Ⅱ）令 a n≥1，即（）n﹣4≥1，得n≤ 4，[（10分）]故正项数列 { a n} 的前 3 项大于 1，第 4 项等于 1，此后各项均小于 1．[ （11 分）]因此当 n=3，或 n=4 时， T n获得最大值， [ （ 12 分） ] T n的最大值为T3=T4=a1?a2?a3=729．[ （13 分） ]【评论】此题考察等差数列以及等比数列的通项公式的求法，数列与函数的综合应用，考察转变首项以及计算能力．17．（ 13 分）某市高中全体学生参加某项测评，按得分评为A， B 两类（评定标准见表）．依据男女学生比率，使用分层抽样的方法随机抽取了10000 名学生的得分数据，此中等级为 A1的学生中有 40%是男生，等级为 A2的学生中有一半是女生．等级为 A1和 A2的学生统称为 A 类学生，等级为 B1和 B2的学生统称为 B 类学生．整理这 10000 名学生的得分数据，获得以下图的频次散布直方图．类型得分（ x）B B180≤x≤90B2 70≤x＜80A A150≤x＜70A220≤x＜50（Ⅰ）已知该市高中学生共20 万人，试预计在该项测评中被评为 A 类学生的人数；（Ⅱ）某 5 人得分分别为 45，50，55，75， 85．从这 5 人中随机选用 2 人构成甲组，此外 3 人组成乙组，求“甲、乙两组各有1 名 B 类学生”的概率；（Ⅲ）在这 10000 名学生中，男生占总数的比率为 51%，B 类女生占女生总数的比率为k1，B 类男生占男生总数的比率为k2．判断k1与k2的大小．（只要写出结论）【剖析】（Ⅰ）样本中 B 类学生所占比率为 60%，进而 A 类学生所占比率为40%．由此能求出在该项测评中被评为 A 类学生的人数．（Ⅱ）在 5 人（记为 a，b，c，d，e）中，B 类学生有 2 人（不如设为 b，d）．将他们按要求分红两组，利用列举法能求出“甲、乙两组各有一名B 类学生”的概率．（Ⅲ）由题意获得 k1＜k2．【解答】（本小题满分 13 分）解：（Ⅰ）依题意得，样本中 B 类学生所占比率为（）× 10=60%，（ 2 分）因此 A 类学生所占比率为40%．（3 分）由于全市高中学生共20 万人，因此在该项测评中被评为 A 类学生的人数约为8 万人．（ 4 分）（Ⅱ）由表 1 得，在 5 人（记为 a，b，c，d，e）中， B 类学生有 2 人（不如设为b，d）．将他们按要求分红两组，分组的方法数为10 种．（6 分）挨次为：（ab，cde），（ac，bde），（ad，bce），（ ae，bcd），（ bc，ade），（bd，ace），（ be，acd），（cd，abe），（ce， abd），（de，abc）．（8 分）因此“甲、乙两组各有一名 B 类学生”的概率为．（10 分）（Ⅲ） k1＜ k2．（ 13 分）【评论】此题考察频次散布直方图的应用，考察概率的求法，考察频次散布直方图、古典概型等基础知识，考察运算求解能力，考察函数与方程思想，是基础题．第 16 页（共 20 页）18．（ 14 分）如图，在三棱柱 ABC﹣A1 B1C1中， AB⊥平面 AA1 C1C，AA1=AC．过 AA1的平面交 B1C1于点 E，交 BC于点 F．（Ⅰ）求证： A1C⊥平面ABC1；（Ⅱ）求证： A1A∥EF；（Ⅲ）记四棱锥 B1﹣ AA1EF的体积为 V1，三棱柱 ABC﹣A1B1C1的体积为 V．若，求的值．【剖析】（Ⅰ）证明 A1C⊥AB，说明四边形 AA1C1C 为菱形，推出 A1C⊥AC1．即可证明 A1C⊥平面 ABC1．（Ⅱ）证明 A1A∥平面 BB1C1C，而后证明 A1A∥EF．（Ⅲ）记三棱锥B1﹣ABF的体积为 V2，三棱柱 ABF﹣A1B1E 的体积为 V3．三棱锥1﹣ABF与三棱柱ABF﹣A1 1 同底等高，，转变求解．B B E【解答】（本小题满分 14 分）（Ⅰ）证明：由于AB⊥平面 AA1C1C，因此 A1C⊥AB．[ （2 分） ]在三棱柱 ABC﹣A1B1C1中，由于 AA1=AC，因此四边形 AA1C1C 为菱形，因此 A1C⊥AC1．[ （3 分） ]因此 A1C⊥平面 ABC1．[ （5 分） ]（Ⅱ）证明：在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，由于 A1A∥ B1B， A1A?平面 BB1C1C，[ （6 分） ]因此 A1A∥平面 BB1C1C． [ （8 分） ]由于平面 AA1EF∩平面 BB1C1C=EF，因此 A1A∥EF．[ （10 分）]（Ⅲ）解：记三棱锥B1﹣ABF的体积为 V2，三棱柱 ABF﹣A1B1E 的体积为 V3．由于三棱锥 B1﹣ ABF与三棱柱 ABF﹣A1B1E 同底等高，因此，[ （11 分） ]因此．由于，因此．[ （12 分）]由于三棱柱 ABF﹣ A 与三棱柱﹣等高，1B1E ABC A1B1C1因此△ ABF与△ ABC的面积之比为，[ （13 分）]因此．[ （14 分） ]【评论】此题考察直线与平面垂直的判断定理以及直线与平面平行的判断定理的应用，几何体的体积的求法，考察空间想象能力以及计算能力．19．（ 14 分）已知椭圆过A（2，0），B（0，1）两点．（Ⅰ）求椭圆 C 的方程及离心率；（Ⅱ）设点 Q 在椭圆 C 上．试问直线 x+y﹣4=0 上能否存在点 P，使得四边形 PAQB 是平行四边形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明原因．【剖析】（Ⅰ）求出椭圆 C 的方程为，而后求解椭圆的离心率即可．（Ⅱ）设 P（t， 4﹣t ），Q（x0， y0），推出，解得x0=2﹣t，y0=t﹣3，代入，转变求解 t ，判断能否存在点P．【解答】（本小题满分 14 分）解：（Ⅰ）由题意得， a=2，b=1．[ （2 分） ]因此椭圆 C的方程为．[（3分）]设椭圆 C 的半焦距为 c，则，[（4分）]因此椭圆 C的离心率．[（5分）]（Ⅱ）由已知，设P（t ，4﹣t），Q（x0， y0）． [ （ 6 分） ]若 PAQB 是平行四边形，则，[ （8 分）]因此（ 2﹣t ，t ﹣ 4） +（﹣ t ， t ﹣3）=（x 0﹣ t ，y 0﹣ 4+t ），整理得 x 0=2﹣t ，y 0=t ﹣3．[ （10 分） ]将上式代入，得（ 2﹣t ） 2+4（ t ﹣3）2， （ 11 分） ]=4 [整理得 5t 2﹣28t+36=0，解得 ，或 t=2．[ （13 分） ]此时 ，或 P （2，2）．经查验，切合四边形 PAQB 是平行四边形，因此存在，或 P （2，2）知足题意． [ （ 14 分） ]【评论】此题考察椭圆方程的求法， 直线与椭圆的地点关系的综合应用， 存在性问题的办理方法，考察转变思想以及计算能力．20．（ 13 分）已知函数 f （x ）=x 2lnx ﹣ 2x ．（Ⅰ）求曲线 y=f （x ）在点（ 1，f （1））处的切线方程；（Ⅱ）求证：存在独一的 x 0∈（ 1， 2），使得曲线 y=f （ x ）在点（ x 0， f （x 0））处的切线的斜率为 f （2）﹣ f （1）（Ⅲ）比较 f （）与﹣ 2.01 的大小，并加以证明．【剖析】（Ⅰ）求得 f （ x ）的导数，可得切线的斜率和切点，运用点斜式方程，即可获得所求切线的方程；（Ⅱ）求得 f （2）﹣ f （1），只要证明方程 2xlnx+x ﹣2=4ln2﹣2 在区间（ 1， 2）有独一解．设函数 g （x ）=2xlnx+x ﹣4ln2，求得导数，判断单一性，联合函数零点存在定理，即可得证；（Ⅲ） f （）＞﹣，设 h （x ） =f （x ）﹣（﹣ x ﹣1）=x 2lnx ﹣x+1，求得导数，单一区间，运用单一性可得 f （ x ）＞﹣ x ﹣1（x ＞1）．【解答】 解：（Ⅰ）函数 f （x ）=x 2lnx ﹣2x 的定义域是（ 0，+∞），导函数为 f' （x ） =2xlnx+x ﹣ 2，因此 f' （1）=﹣1，又 f （ 1）=﹣2，因此曲线 y=f （x ）在点（ 1， f （1））处的切线方程为 y=﹣x ﹣1；（Ⅱ）证明：由已知 f （2）﹣ f（1）=4ln2﹣2，因此只要证明方程2xlnx+x﹣2=4ln2﹣2 在区间（ 1， 2）有独一解．即方程 2xlnx+x﹣4ln2=0 在区间（ 1，2）有独一解．设函数 g（x）=2xlnx+x﹣4ln2，则 g'（x）=2lnx+3．当 x∈（ 1，2）时， g'（x）＞ 0，故 g（ x）在区间（ 1， 2）单一递加．又 g（1）=1﹣4ln2＜0，g（2）=2＞ 0，因此存在独一的 x0∈（ 1，2），使得 g（x0）=0．综上，存在独一的 x0∈（ 1， 2），使得曲线 y=f（x）在点（ x0，f（ x0））处的切线的斜率为 f （2）﹣ f（ 1）；（Ⅲ） f（）＞﹣．证明以下：第一证明：当 x＞1 时， f（ x）＞﹣ x﹣1．设 h（x） =f（x）﹣（﹣ x﹣1）=x2lnx﹣x+1，则 h'（x）=x+2xlnx﹣1．当 x＞1 时， x﹣1＞0，2xlnx＞0，因此 h'（ x）＞ 0，故 h（x）在（ 1， +∞）单一递加，因此 x＞1 时，有 h（ x）＞ h（ 1） =0，即当 x＞1 时，有 f （x）＞﹣ x﹣1．因此 f （）＞﹣﹣1=﹣．【评论】此题考察导数的运用：求切线的方程和单一性，考察转变思想和函数零点存在定理的运用，考察结构函数法和化简整理的运算能力，属于中档题．。

北京市西城区2017-2018学年度第一学期期末试卷高三数学（理科）第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合{|1}A x x =>，集合{2}B a =+，若A B =∅ ，则实数a 的取值范围是（ ） （A ）(,1]-∞- （B ）(,1]-∞ （C ）[1,)-+∞ （D ）[1,)+∞2. 下列函数中，值域为R 的偶函数是（ ）（A ）21y x =+ （B ）e e x x y -=- （C ）lg ||y x = （D ）2y x =3. 设命题p ：“若1sin 2α=，则π6α=”，命题q ：“若a b >，则11a b<”，则（ ） （A ）“p q ∧”为真命题 （B ）“p q ∨”为假命题 （C ）“q ⌝”为假命题 （D ）以上都不对4. 在数列{}n a 中，“对任意的*n ∈N ，212n n n a a a ++=”是“数列{}n a 为等比数列”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 5. 一个几何体的三视图如图所示，那么这个 几何体的表面积是（ ） （A ）1623+ （B ）1625+ （C ）2023+ （D ）2025+侧(左)视图正(主)视图俯视图221 1开始 4x >输出y 结束否 是 输入xy=12○1 6. 设x ，y 满足约束条件1,3,,x y y m y x +-⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≥ 若3z x y =+的最大值与最小值的差为7，则实数m =（ ）（A ）32 （B ）32- （C ）14（D ）14-7. 某市乘坐出租车的收费办法如下：不超过4千米的里程收费12元;超过4千米的里程按每千米2元收费（对于其中不足千米的部分，若其小于0.5千米则不收费，若其大于或等于0.5千米则按1千米收费）；当车程超过4千米时，另收燃油附加费1元.相应系统收费的程序框图如图所示，其中x （单位：千米）为行驶里程，y （单位：元）为所收费用，用[x ]表示不大于x 的最大整数，则图中○1处应填（ ） （A ）12[]42y x =-+（B ）12[]52y x =-+（C ）12[]42y x =++（D ）12[]52y x =++8. 如图，正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别在边AD ，BC 上，且2DE AE =，2CF BF =.如果对于常数λ，在正方形ABCD 的四条边上，有且只有6个不同的点P 使得=PE PF λ⋅成立，那么λ的取值范围是（ ） （A ）(0,7) （B ）(4,7) （C ）(0,4) （D ）(5,16)-第Ⅱ卷（非选择题 共110分）E FD P C A BB OC A NM二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 已知复数z 满足(1i)24i z +=-，那么z =____.10．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若A B =，3a =，2c =，则cos C =____.11．双曲线C ：221164x y -=的渐近线方程为_____；设12,F F 为双曲线C 的左、右焦点，P 为C 上一点，且1||4PF =，则2||PF =____.12．如图，在ABC ∆中，90ABC ∠= ，3AB =，4BC =，点O 为BC 的中点，以BC 为直径的半圆与AC ，AO 分别相交于点M ，N ，则AN =____；AMMC= ____.13. 现有5名教师要带3个兴趣小组外出学习考察，要求每个兴趣小组的带队教师至多2人，但其中甲教师和乙教师均不能单独带队，则不同的带队方案有____种.（用数字作答）14. 某食品的保鲜时间t （单位：小时）与储藏温度x （单位：C ）满足函数关系60,264, , 0.kx x t x +⎧=⎨>⎩≤ 且该食品在4C的保鲜时间是16小时.已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示. 给出以下四个结论：○1 该食品在6C 的保鲜时间是8小时； ○2 当[6,6]x ∈-时，该食品的保鲜时间t 随着x 增大而逐渐减少； ○3 到了此日13时，甲所购买的食品还在保鲜时间内； ○4 到了此日14时，甲所购买的食品已然过了保鲜时间. 其中，所有正确结论的序号是____.。