信号与系统状态变量分析共50页文档

vC t C i t C R1
iL t
L
R2

v t

信号与系统
则得
1 1 1 t 2 t x t C C 2 t 1 t R1 R 2 t R1 x t 1 2 L L L
若令
1 t vC t , 2 t iL t , 1 t

d dt
vC t ,
2 t

d dt
iL t
is t
系统激励 系统输出
x t i S t
y1 t v t , y 2 t iC t
1 1 t C t R R2 2 1 L 1 C x t R1 L
0 t 1 1 2 t L
是一阶微分方程组，它描述了系统状态变量的一阶导数与状态变量和 激励的关系，称为状态方程；
iL t
1 L
vC t
R1 R2 L
iL t
R1
iS t
v t vC t R1iC t vC t R1iL t R1iS t iC t iL t iS t
y1 (t ) 1 y t y 2 (t ) 0
R1 1 t R1 x t 1 2 t 1
信号与系统
变量代表了 v C
t , i L t 电路的状态，称为状态变量
信号与系统
§ 7.1 系统的状态变量分析
信号与系统

1、不要轻言放弃，否则对不起自己。
2、要冒一次险!整个生命就是一场冒险。走得最远的人，常是愿意 去做，并愿意去尔．卡耐基。
梦 境
3、人生就像一杯没有加糖的咖啡，喝起来是苦涩的，回味起来却有 久久不会退去的余香。
信号与系统状态变量分析 4、守业的最好办法就是不断的发展。 5、当爱不能完美，我宁愿选择无悔，不管来生多么美丽，我不愿失 去今生对你的记忆，我不求天长地久的美景，我只要生生世世的轮 回里有你。
Thank you
6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿

0 x1 0
0
x2
0
f
4 x3 1
x1
y 0
0
1
x2
x3
并联型结构
H (s)
0.5 s2
s
1 3
1.5 s4
0.5s 1 1 2s 1
s 1 1 3s 1
1.5s 1 1 4s 1
f
s1 x1
0.5
2 s1 x2
3
s1 x3
1.5
4
x1 2x1 f
y x2 3x2 f
x1[k 1] a1x1[k] f1[k] x2[k 1] a2x2[k] f2[k]
由右端加法器列写出输出方程为
y1[k] x1[k] x2[k] y2[k] x2[k] f1[k]
矩阵表示式为
x1[k 1]
x2[k
1]
a1
0
0
a2
x1[k]
x2
[k
]
1 0

0 f1[k]
由上面四式可求出状态方程为
x1
(t)
1 R1C
x1
(t)
1 C
x2 (t)
1 R1C
f (t)
x2 (t)
1 L
x1(t)
R2 L
x2 (t)
系统的输出方程为
y(t) R2x2 (t)
系统的状态方程和输出方程用矩阵来表示
x1
x2
1
R1C 1
L
1 C
R2 L
x1
x2
1
R1C 0
f
y(t) [0
R2
]
x1 x2
[例2]已知一个LTL系统的系统函数为

第8章 系统的状态变量分析
6
8.1.2 由电路引出系统的状态方程与输出方程
先从一个具体电路(系统)的例子看方程的列写。图8.1-2(a) 为二阶电路(系统)，图中is(t)为激励源(输入)，u(t)、iC(t)为两 个响应(输出)。从系统的观点看，该电路属于单输入两个输 出的系统，如图8.1-2(b)所示。
可将状态方程与输出方程分别写为更简洁的矢量矩阵形式，
即
(8.1-14)
(8.1-15)
第8章 系统的状态变量分析
19
式中

第8章 系统的状态变量分析
20
分别为状态矢量、状态矢量的一阶导数矢量、输入矢量
和输出矢量。其中上标T表示转置运算。
第8章 系统的状态变量分析
21
2. 离散系统的动态方程
图8.1-4是n阶离散系统的示意框图，它同样有p个输入， q个输出。对于离散系统，有关状态、状态变量的概念与连续 系统类似，因为离散信号定义的特殊性，致使状态变量、输
选择了uC、iL作为状态变量列写了状态方程式(8.1-8)， 我们亦可选择iC、uL作为该电路的状态变量列写出另外形式 旳状态方程。事实上，对于二阶系统，如果它的状态变量用
x1，x2来表示，则这组变量的各种线性组合
(8.1-18a)
(8.1-18b)
第8章 系统的状态变量分析
26
(3) 状态空间与状态轨迹概念。 为了使读者能够形象直观地接受状态轨迹概念，我们 对图8.1-2(a)电路简化配置参数：令RL=RC=0，L=0.5 H， C=0.5 F，uC(0)=0，iL(0)=0，is=1 A，解得状态变量
入、输出都是序列，状态方程表现为状态变量的一阶前向差
分方程组；输出方程更是与连续系统的输出方程形式上类似，

对于一般情况而言， 连续动态系统在某一时刻t0的状 态， 是描述该系统所必需的最少的一组数x1(t0)， x2(t0)， …， xn(t0), 根据这组数和t≥t0时给定的输入就可以唯一地确定在 t≥t0的任一时刻的状态及输出。 这组描述系统状态随时间变 化所必需的数目最少的一组变量x1(t)、x2(t)、 …、 xn(t), 就 称为系统的状态变量。 状态变量
8.1 状 态 方
8.1.1
在状态变量分析法中， 首先需要选择一组描述系统的 关键性变量， 这组关键性变量称为描述系统的状态变量。 状态变量的选择必须使系统在任意时刻t的每一输出都可由 系统在t
为了说明状态变量和状态方程的概念， 首先分析图8.1 所示的包含两个动态元件的二阶系统， 输入us (t)为电压源， 输出为uL(t)
第八章 系统的状态变量分析
输入-输出分析法和状态变量分析法都是分析、 研 究系统特性的基本方法， 只是分析的角度不同。 一个 是从系统外部特性进行分析， 而另一个则是对系统内 部变量进行分析研究， 两种方法互为补充。 本章仅研 究线性时不变系统状态方程的建立、 求解以及可控制 性和可观测性。
第八章 系统的状态变量分析
y1(t) c11
y2 (t)
c21
y p (t) cq1
c12 c22
cq2
c1n
c2n
cqn
x1(t)
x2 (t
)
d11 d 21
xn (t) dq1
d12 d 22 dq2
d1 p d2p
f1 (t ) f2 (t)
dqp f p (t)
类似地， 对于线性离散系统， 也可以写出系统的状态方程
设一个n阶多输入 - 多输出线性离散系统， 它的p个输入为

1

1
t
t0
u L d
1 t0 其中：iL t0 u L d L

1 iC d C1
t

0
1 iC d C1
t0
1
i
t0
t
C1
d
1 t 1 t0 uC t 0 iC d 其中： uC1 t0 iC1 d C1 t C1 1 t 1 t 1 t uC t iC d iC d iC d C2 C2 C2 t
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2018/9/15
信号与线性系统分析——系统的状态变量分析
4
本章讨论一种系统的近代分析法：状态变量分
析法或状态空间分析法。这种分析方法的特点是：
①在多输入、多输出系统分析中显示出其优越性；
②它既可以描述系统的外部特性，也可以描述系统
的内部特性；③而且还可以推广到时变系统和非线 性系统中；④它与数字计算机的应用紧密地结合起 来——数值计算。由此可知状态变量分析法已为系 统理论开拓出新的研究领域。
dt
dt

i2
u1

u1

1H


iL
u2
3
uL

f1 t

1
1F 2
iC



uC
u2 i2

uC

f 2 t
iL
iC
f1 t

f 2 t
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2018/9/15
信号与线性系统分析——系统的状态变量分析
19
u L t 1 iL t uC t f1 t 1 uC t f 2 t i t i t C L 3

0
1
C
vC
(t)
0
1
0 R2
iL1 iL2
(t ) (t)
L1 0
L2
0
0
e1 e2
(t) (t)
1
L2
（9.1-5）
v(t) 0 iC (t) 0
0 1
R2 1
vC iL1 iL2
(t) (t) (t)
0 0
1 e1(t)
0
e2
(t
)
（9.1-6）
第9章 系统的状态变量分析法
9.1.2 连续系统的状态方程和输出方程
对于一个 n 阶多输入/多输出的连续时间系统，其状态方程和输出 方程的一般形式可以表示为
状
d1(t)
dt
f1 1(t), 2 (t),
, n (t); e1(t), e2 (t),
, em (t), t
态 方
d2 (t) dt
dvC
(t
)
dt
1 C
iL1
(t)
1 C
iL2
(t)
diL1 (t dt
)
1 L1
vC
(t)
R1 L1
iL1
(t)
1 L1
e1 (t )
diL2
(t
)
dt
1 L2
vC (t)
R2 L2
iL2
(t)
1 L2
e2 (t)
（9.1-3）
第9章 系统的状态变量分析法
式（9.1-3）是由三个内部变量 vC (t) 、 iL1 (t) 和 iL2 (t) 构成的一阶微分联立方程组。由微分方程理论 可知，如果这三个变量在初始时刻 t t0 的值 vC (t0 ) 、iL1 (t0 ) 和 iL2 (t0 ) 已知，那么根据 t t0 时的激励 e1(t) 和 e2 (t) ，就可以唯一地确定该一阶微分方程组在 t t0 时的解 vC (t) 、iL1 (t) 和 iL2 (t) 。这样，系统的输出 v(t) 和 iC (t) 就可以很容易通过这三个内部变量 vC (t) 、 iL1 (t) 、 iL2 (t) 和系统的激励 e1(t) 、 e2 (t) 求出，此时

X(s)
H(s)
Y(s)
看出简单的方框图，变成流图形式是用一有始有终的 线段表示。起始点标为X(s),终点标为Y(s).
4、流图中的名词
结点：表示系统中变量或信号的点。 线段（支路）：两个结点之间的定向线段，表示信 号传输的路径。 箭头：表示信号的传输方向；
转移函数： 两个结点之间的增益称为转移函数，标 注在箭头附近。
三状态方程引入??t??????t????1111lldrdtddlll0ietit????????????????????????????????????????????????????????????状态方程?在状态空间分析方法中将状态方程以矢量和矩阵形式表示
第八章 系统的 状态变量分析
本章的主要内容
有二种方法。第一种方法：把所有输入支路增益除以 -G H （1+G2H2）
1 2
1 G2 H 2
X
H1 H 2 1 G2 H 2
1
X2 X3
-G3
X5 X4 H4 -G 4
1
H3
Y
另一种方法是把输出支路增益除以（1+G2H2）。
这两种方法等同。
H1 H 2
-G1 H 2 -G3
1
X2
X5 X4 H4 -G 4
H1 H 2 H 3 H 4 (1+G 2 H 2 ) (1+G3 H 3 )
1
X

Y
G4H 4 1+G3 H 3
并联环路增益相加。
H1 H 2 H 3 H 4 (1+G 2 H 2 ) (1+G3 H 3 ) -G1 H 2 H 3 H 4 G4 H 4 (1 G2 H 2 ) (1 G2 H 2 )(1 G3 H 3 )

d1m e1 d 2 m e2 d rm em
(9---11b)
y=Cx+De
若只需 R2上的电压作为输出，则 y5(t)=R2x2 其矩阵形式为
(9---14)
y5 0
式中 C=[ 0 R2 0 ]，
x'
输出方程
A
0 x1 0 x 2 x3
x D=[0]
x
B
e
y 1
y
C
9.3---2 由转移函数和模拟框图建立状态方程
1. 由级联模拟图建立状态方程
设
d3y d2y dy de 8 2 19 12 y 4 10e 3 dt dt dt dt
Ll L2 + C1+ _ C2 _ +u L1 _ C3 L2 L3
C2 +
iL
uC
_
C1 C2
uC1 u C3
iL 1
iL 3
iL 2
(a)一独立电流
(b)一独立电压
(c) 二独立电压
(d) 二独立电流
网络的复杂度 n=b l c-n c-n l 节点 式中 b l c 为网络中储能元件 L、C 的总数； n c 为仅由电容或电容和电压源组成的独立回路的总数； n l 为仅由电感或电感和电流源组成的独立割集的总数。
R
+ + _ uc(t) _
n 最小
il(t)
+
例：uc(t)和i l(t)为已知，则uR(t)=Ri l(t); ul(t)=uc(t) - Ril(t); 可确定uR(t)和u l(t)的值。 又如 ul(t) 和 i1(t) 为已知，则

状态变量，得到状态方程为
输出方程为
系统的状态变量分析 写成矩阵形式，状态方程和输出方程分别为
系统的状态变量分析
2. 并联模拟 由式(7. 2－15b )，系统函数可写为
系统的状态变量分析 即可用 3 个简单的子系统的并联来表示。其中每个简 单子系统的系统函数为
其模拟框图如图 7.2－4 所示。
系统的状态变量分析
(1)可以有效地提供系统内部的信息，使人们能够较为 容易地解决那些与系统内部情况有关的分析设计问题。
(2)状态变量描述法不仅适用于线性非时变的单输入单 输出系统特性的描述，也适用于非线性时变多输入多输出系 统特性的描述。
(3)描述方法规律性强，便于应用计算机技术解决复杂 系统的分析设计问题。
系统的状态变量分析 【例 7.2－1 】 电路如图 7. 2 1 所示，激励为 u s ( t )，
响应为 i (t )，试写出其状态方程和输出方程。
图 7.2－1 例 7. 2－1 用图
系统的状态变量分析
系统的状态变量分析
将式(7. 2－2 )中状态变量的一阶导数放在等式左端，把状态 变量和激励放在等式右端，则可写成
前面几章讨论的分析方法属于输入 输出描述法( Input-OutputDescription )，又称端口分析法，也称外部法。 它主要关心的是系统的激励与响应之间的关系，而不直接涉 及系统的内部情况。这种分析法对于较为简单系统的分析是 合适的。其相应的数学模型是 n 阶微分(或差分)方程。
系统的状态变量分析
系统的状态变量分析 将式(7. 2－12 )最高阶导数项留在等式左边，其余各项移到 等式右边，代入状态变量符号，得
于是，写出其状态方程和输出方程为
系统的状态变量分析 写成矩阵形式，状态方程为

第8章 系统的状态空间分析
第8章系统的状态空间分析
1. 状态变量与状态方程 2. 连续系统状态方程的建立 3. 离散系统状态方程的建立与模
拟 4. 连续系统状态方程的求解 5. 离散系统状态方程的解
第8-1页
■
第8章 系统的状态变量分析
第8章 系统的状态变量分析
一、系统的状态变量分析法简介
1、系统的状态空间描述：
状态方程的建
1
1
1 f1
LL2
f
2
0
第8-27页
f2
■
8.2 状态方程的建
立
y1 y
2
R
R
R R
1 0
x1 xx32
0
0
f
1 f1
1
2
2、由系统微分方程编写状态方程：
例1：已知系统方程为
y ''(t) a y'' (t) a y' (t) a y(t)
b
f (t)
2
析设计问题。
第8-3页
■
8.1 系统的状态空间描
8.1 系统的状述态空间描 一、连续述系统的状态变量、状态方程、输出方程：
1、状态变量：
（1） 初 始 状 态 ： 设 初 始 时 刻 为 t0 t0时刻的状 态通常指电容元件上电压uc(t0)和电 感元件上 电流iL(t0)。n阶系统有n个初始状态。
例：设二阶系统的初始状态为x1(t0 ), x2 (t0 )并且
g1(t0 ) a1x1(t0 ) a2 x2(t0 )
g
2
(t
) b1 x1 (t0
) b2 x2
0 (t ) 0
则g1(t0 ), g2 (t0 )也可作为系统在t0时刻的状态

信号与系统状态变量分析
1、合法而稳定的权力在使用得当时很 少遇到 抵抗。 ——塞 ·约翰 逊 2、权力会使人渐渐失去温厚善良的美 德。— —伯克
3、最大限度地行使权力总是令人反感 ；权力 不易确 定之处 始终存 在着危 险。— —塞·约翰逊 4、权力会奴化一切。——塔西佗
5、虽然权力是一头固执的熊，可是金 子可以 拉着它 的鼻子 不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克