等积问题

一、打折销售问题（1）售价、进价、利润的关系：利润=售价—成本进价、利润、利润率的关系：利润率＝商品利润商品成本价×100%商品售价＝商品进价×(1+利润率)（2）标价、折扣数、商品售价关系：商品售价＝标价×折扣数（3）商品总销售额＝1件商品售价×销售量例1. 一家商店将某种服装按进价提高40%后标价，又以8折优惠卖出，结果每件仍获利15元，这种服装每件的进价是多少？等量关系：折扣后价格－进价=151.一家商店将某种服装按成本价提高20%后标价，又以9折销售，售价为270元，这种服装成本价是多少元？2、某商场的电视机原价为2500元，现以8折销售，如果想使降价前后的销售额都为10万元，那么销售量应增加多少？3、一家服装店将某种服装按成本提高40%后标价，又以八折优惠卖出，•结果每件仍获利15元，这种服装每件的成本为多少？4、一件夹克按成本提高50%后标价，后因季节关系案标价的8折出售，每件以60元卖出，5、一种药物涨价25%的价格是50元，那么涨价前的价格x满足的方程是____________。

6.某商品的销售价格每件900元，为了参加市场竞争，商店按售价的九折再让利40元销售，些时仍可获利10%，此商品的进价为______．7、某商品进价1500元，提高40%后标价，若打折销售，使其利润率为20%，则此商品是按几折销售的？8、某商场把一个双肩背的书包按进价提高50%标价，然后再按8折（标价的80%）出售，这样商场每卖出一个书包就可赢利8元。

这种书包的进价是多少元？9、商店对某种商品作调价，按原价的8折出售，此时商品的利润率是10%，此商品的进价为1600元。

问商品的原价是多少？10.一商场把彩电按标价的九折出售，仍可获利20%，如果该彩电的进货价是2400元，那么彩电的标价是多少元？11.某商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏？二、相遇与追击问题（画草图）1.行程问题中的三个基本量及其关系：路程＝速度×时间 时间＝路程÷速度 速度＝路程÷时间2.行程问题基本类型 （1）相遇问题： 快行路程＋慢行路程＝总路程 （二者所用时间相同）（2）追及问题： 快行路程=慢行路程+二者初始距离 （二者所用时间相同）（1）相遇问题： 两者的路程之和=环形跑道一圈的长度（2）追及问题： 两者的路程之差=环形跑道一圈的长度错车问题：两者路程和或差=两个车身的长度和1、甲、乙两人每天早晨坚持跑步，甲每秒跑4m ，乙每秒跑6m.（1）如果他们站在百米跑道的两端同时起跑，那么几秒后两人相遇？（2）如乙站在百米跑道的起点处，甲站在他前面10米处，两人同时同向起跑，几秒后乙能追上甲？2、一个自行车队进行训练，训练时所有队员都以35km/h 的速度前进。

一元一次方程实际应用题之等积变形问题“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提. 常见几何图形的周长、面积、体积公式:1.等长变形问题例题1：用一根长10米的铁丝围成一个长方形．使得长方形的长比宽多1.2米，此时长方形的长是多少米？宽是多少米？分析：抓住总长度不变，也就是长方形的周长等于10米。

可设宽为未知数，进而表示出长，等量关系为：2（长+宽）=10，把相关数值代入可求得宽，进而求得长即可。

解：设长方形的宽为x米，则长为（x+1.2）米．依题意得：2（x+1.2+x）=10，解得x=1.9，∴x=1.2+1.9=3.1，答：长方形的长为3.2米，宽为1.9米。

2.等体积变形问题例题2：要锻造直径为60mm，高为30mm的圆柱形毛坯，需截取直径为40mm的圆钢长是多少毫米？分析：抓住锻造前后的体积不变，此题的等量关系为：锻造前的体积=锻造后的体积．据此列方程求解。

要注意的是，题目中已知直径，需要转化为半径。

解：设需截取直径为40mm的圆钢长xmm，60÷2=30（mm）、40÷2=20（mm）；依题意得：π×30^2×30=π×20^2×x解得：x=67.5例题3：有一段钢材可作一个底面直径 8 厘米，高 9 厘米的圆柱形零件。

如果把它改制成高是 12 厘米的圆锥形零件，零件的底面积是多少平方厘米？分析：根据“底面直径8厘米，高9厘米的圆柱形零件”，利用圆柱体积公式，可以求出圆柱的体积，又因为把圆柱形的零件改制成圆锥形零件时，此段钢的体积不变，根据体积不变列出方程求解。

解：零件的底面积是x平方厘米。

8÷2=4（厘米）依题意得：3×π×4^2×9=x×12解得：x=36π答：零件的底面积是36π平方厘米。

3.等面积变形问题例题4：如图，某小学将一块梯形空地改成宽为30m的长方形运动场地，要求面积不变．若在改造后的运动场地，小王、小李两人同时从点A出发，小李沿着长方形边顺时针跑，小王则是逆时针跑，并且小王每秒比小李多跑2m，经过10秒钟他们相遇．（1）求长方形的长；（2）求小王、小李两人的速度分析：（1）求得原梯形的面积，利用面积不变和长方形的面积求得长方形的长即可；（2）设小李的速度是xm/s，则小王的速度是（x+2）m/s，利用10秒钟他们相遇所走的路程为长方形的周长列出方程解决问题。

等积问题
1一标志性建筑的底面呈正方形,在其四周铺上花岗石,形成一个宽为3米的正方形边框(如图).已知铺这个边框恰好用了192块边长为0.75米的正方形花岗石,问标志性建筑底面的边长是多少?
2如图，有A、B两个圆柱形容器，A容器的底面积是B容器底面积的2倍，B 容器的壁高为22cm.已知A容器内装有高为10cm的水，若把这些水倒入B容器，水会溢出？
拓展一：周长为68的长方形ABCD被分成7个全等的长方形，如图5－4－4
所示，则长方形ABCD的面积为
拓展二：一个长方形养鸡场的长边靠墙，墙长14 m，其他三边用竹篱笆围成，现有长为35 m的竹篱笆，小王打算用它围成一个鸡场，其中长比宽多5 m；小赵也打算用它围成一个鸡场，其中长比宽多2 m，你认为谁的设计符合实际？按照他的设计，鸡场的面积是多少？
拓展三：如图一个铁片长30cm,宽20cm，打算从四个角各截去一个小正方形，然后把四边折起来做一个无盖的铁盒，铁盒的底面周长为60cm,问铁盒的高是多少？。

5.8等积问题（形状改变但面积或者体积不变）姓名教学目标：1：掌握等积变形问题主要抓住面积不变或者体积不变这一等量关系建立方程。

2：会列一元一次方程解简单的等积变形问题。

教学过程：1：请同学们默写三角形。

正方形。

长方形，梯形的面积公式以及长方体，正方体，圆柱体的体积公式（5分钟）2：一个边长为2厘米的正方形，它的面积是cm2，周长是cm若把4个这样的正方形拼成一个更大的正方形，则它的面积是cm2，周长是cm。

3：一块长方体橡皮泥长4 cm，宽3 cm，高2 cm，则它的体积是cm3，若把这块橡皮泥做成一个唐老鸭，则唐老鸭的体积是cm3。

4：请指出下列过程中，哪些量发生了变化，哪些量保持不变.（1）把一小杯水倒入另一只大杯中.（2）用一根15cm长的铁丝围成一个三角形，然后把它改围成长方形.（3）用一块橡皮泥先做成一个立方体，再把它改做成球．5例题讲解（师生合作）例1 如图5-9，用直径为200mm的钢柱锻造一块长、宽、高分别为300mm，300mm和80mm 的长方体毛坯底板.问应截取钢柱多少长（不计损耗，结果误差不超过1mm）？（1）本题等量关系是：。

（2）独立完成解答过程：例3 一标志性建筑的底面呈正方形，在其四周铺上花岗石，形成一个边宽为 3.2 m的正方形框（如图5-8 中阴影部分）. 已知铺这个框恰好用了144 块边长为0.8 m的正方形花岗石（接缝忽略不计），问标志性建筑的底面边长是多少m？（1）本题等量关系是：。

（2）独立完成解答过程：练习1．把一块梯形空地（如图）改成宽为30m的长方形运动场地，要求面积不变，则应将原梯形的上、下底边作怎样的调整？2．如图，有Ａ，Ｂ两个圆柱形容器，Ａ容器的底面积是Ｂ容器底面积的2倍，Ｂ容器的壁高为22cm．已知Ａ的高度为10cm，若把这些水倒入Ｂ容器，水会溢出吗？3．一书架能放厚为6.3cm的书45本．现在准备放厚为2.1cm的书，问能放这种书多少本4. 一种小麦磨成面粉后，质量将减少15％，为了要得到5 100 千克面粉，需多少千克小麦。