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12-微分方程

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常微分方程12解的存在唯一性

常微分方程12解的存在唯一性

1 x2
),
y(x) 0 ,
c2
exp(
1 x2
)
,
x 0. x 0. x 0.
3
1.2.1例子和思路
例 4: 证明初值问题
dy y, dx
的解存在且惟一。
y(0) 1
(1 .2 .1)
证：若 y y(x) 是初始值问题的解, (1 .2 .1) 两端积分
y ( x ) 满足 y(x)=1+ xy(s)ds 0
y 1 , 1 x
x( ,1).
初值问题 yy2,y(0)2的解:
y
2 1 2x
.
它的存在区间为
(
1 2
,
)
例2: 初值问题 yx,y(0)a(a0)的解为: y
y a2 x2存在区间为 (a,a)
2
例3:初始值问题:
2y yx3
x0 ,
0 x0
y(0)0
有无穷多解,存在区间为: (,).
c1
exp(
x 2 (x )1 (x )x 0f(s ,1 (s )) f(s ,0 (s ))d s 13
x 2 (x )1 (x )x 0f(s ,1 (s )) f(s ,0 (s ))d s
x
L 2
其中第二个不等式由Lipschitz条件可以得到，
（ 1 x） =y0＋xx0 f(s,0(s))ds （ 2 x） M =y0＋xx0 f(s,1(s))ds （ n x） =y0＋xx0 f(s,n1(s))ds
这样就得到一个连续函数列 n ( x)
它称为 Picard迭代序列。
11
（ 3 ) Picard 序列的收敛性
引理1.1 对于一切 n 和 x [x0,x0h],n(x)

第12章 微分方程 习题 12- (3)

第12章 微分方程 习题 12- (3)

1 = − sin x + Ce x . y (2)
方程化为
y
−
1 2
y′ −
4 2 y = x, x
6
1
令z=
1 y2
, 方程化为 z′ − 2 x z= , 2 x
求解此线性方程, 得
z=e ∫ x dx
2
x − ∫ dx 1 [ ∫ e x dx + C ] = x 2 ( ln x + C ) , 2 2
解此方程, 得
1 − ln 1 − 2u 3 = ln x + C , 2
3
x3 − 2 y 3 = Cx . (8)
方程化为
dy y y = + tan , x dx x
令
du y = u, y ′ = u + x , 方程化为 x dx u+x du = u + tan u , dx dx , x
解此方程, 得
− ln 1 − u 2 + ln C = ln x , y 2 = x( x − C ) . (5)
方程化为
2
dy 1 y y = [2 − ( ) 2 ] , x dx 2 x
令
du y = u, y ′ = u + x , 方程化为 x dx u+x du u = (2 − u 2 ) , dx 2 2du dx , − 3 = x u
(4)
(1) 方程化为
( xy )′ = y ln xy ,
令 u = xy , 方程化为
u ln u , x du dx = , u ln u x u′ =
求解此微分方程, 得
ln ln u = ln x + ln C , xy = eCx . (2)

人大微积分课件12-1微分方程的基本概念

人大微积分课件12-1微分方程的基本概念

x
C 2e
2x
是微分方程
y 3 y 2 y 0 的 解 . 并 求 满 足 初 始 条 件 y
x0
0, y
x0
1的 特 解 .
C 1 e x 2 C 2 e 2 x , y C 1 e x 4 C 2 e 2 x , 解 y
将 y , y , y 代入原方程.
求解微分方程 求积分
(通解可用初等函数或积分表示出来)
例4 求 y C 1
C2 x
2
( C 1 , C 2 为任意常数
)
所满足的二阶微分方程.
解
y C1 C2 x
2
, y
1 2
2C 2 x
3
解得 : C 1 y
x y , C 2
1 2
x y .
微分方程的解: 指代入微分方程能使方程成为恒等式的函数.
设 y ( x ) 在区间 I 上有 n 阶导数 ,
F ( x , ( x ), ( x ), ,
则y
(n)
( x )) 0 .
( x )为方程的解 .
微分方程的解的分类：
(1)通解: 微分方程的解中含有任意常数,且独 立任意常数的个数与微分方程的阶数相同.
微分方程的阶:指微分方程中出现的未知函数的最
高阶导数的阶数. 分类2: 一阶微分方程
F ( x , y , y ) 0 , y f ( x , y );
高阶(n>2)微分方程
y
(n)
, , y ( n ) ) 0 , F ( x, y, y
, , y ( n 1 ) ). f ( x, y, y

12-13常系数线性微分方程组的解法举例

12-13常系数线性微分方程组的解法举例

练习题
一、求下列微分方程组的通解：
1.
dx ddxt dt
dy dt dy dt
x
x y
y
3, 3;
2.
dx dt
2x
dy dt
y
t,
5 x
dy dt
3
y
t
2
.
二、求下列微分方程组满足所给初始条件的通解：
1.
d 2
dt
x
2
2
dy dt
x
0,
x t0 1,
dx dt
y
0,
y t0 0;
方程组通解为
x 3C1et 3C2et 3C3 cost
3C4 sint 2et
y
C1e t
C2et
C3 cost
C4 sint
et
注意：在求得一个未知函数的通解以后，再求另 一个未知函数的通解时，一般不再积分．
三、小结
１．注意微分算子D的使用；
２．注意求出其中一个解，再求另一个解时， 宜用代数法，不要用积分法．避免处理两次 积分后出现的任意常数间的关系．
２．解此高阶微分方程,求出满足该方程的未知 函数.
３．把已求得的函数带入原方程组,一般说来， 不必经过积分就可求出其余的未知函数．
例1
解微分方程组
dy
dx
dz
3 2
y y
2z, z.
(1) (2)
dx
解 设法消去未知函数 y ， 由(2)式得
y
1 2
dz dx
z
(3)
两边求导得，
dy dx
x
,
z (C1 C2 x)e x
用 D 表示对自变量 x求导的运算 d ,

《高等数学》教学课件：12-2 可分离变量的微分方程

《高等数学》教学课件：12-2 可分离变量的微分方程

dx
22
2
dy sin
y
sin
x 2
dx,
2
ln csc y cot y 2cos x C, 为所求解.
三、小结
分离变量法步骤: 1、分离变量; 2、两端积分-------隐式通解.
作业：1(1、3、4)、4(2、3)
思考题
求解微分方程 dy cos x y cos x y .
dx
2
2
思考题解答
dy cos x y cos x y 0,
dx
2
2
dy 2sin x sin y 0,
例2 求方程 f ( xy) ydx g( xy)xdy 0 通解.
解 令u xy, 则 du xdy ydx,
f (u) ydx g(u)(du ydx) 0
[ f (u) g(u)] u dx g(u)du 0, x
dx
g(u) du 0,
x u[ f (u) g(u)]
y(0)
1
解：令 u x y 1, du 1 dy， du 1 sin u dx dx dx
dx
du 1 sin
u
1 sin u cos2 u
du
sec2 udu secu tan udu
解得 x tan u secu C，
x tanx y 1 secx y 1 C
代入 y(0) 1，得 C 1.
的含量, 用一台风量为每秒2000立方米的鼓风机
通入含 0.03%的CO2的新鲜空气, 同时以同样的
风量将混合均匀的空气排出, 问鼓风机开动6分
钟后, 车间内CO2的百分比降低到多少?
解 设鼓风机开动后 t 时刻 CO2的含量为 x(t )% 在[t, t dt]内,

§12-8 高阶线性微分方程 - 太原理工大学

§12-8 高阶线性微分方程 - 太原理工大学

y=C y +C y 一 是 解 ？ 1 1 2 2 定 通 吗
定义：设 y1 , y2 ,L, yn 为定义在区间 I 内的n 个函数．如 定义 果存在 n 个不全为零的常数，使得当 x 在该区间内有恒 等式成立
k1 y1 + k 2 y2 + L + k n yn = 0，
那么称这 n 个函数在区间 I 内线性相关．否则称线性无 关
′ y′ +P x y +Qx y=0 ( ) ( )′ ( ) 1
定 1 如 函 y (x 与 2(x 是 程1 的 个 , 理 果 数 1(x y (x 方 ( ) 两 解那 ) ) 末 =C y +C y 也 ( ) 解（ 1, C是 数 y 1 1 2 2 是1 的 . C 2 常 ）
问题: 问题:
2.二阶非齐次线性方程的解的结构:
理 y 二非次性程 定 3 设 是阶齐线方
*
′ y′ +P x y +Qx y= f(x ( )′ ( ) )
*
(2 )
的 个 解 Y 与2 对 的 次 程1 的 解 一 特 , 是 () 应 齐 方 () 通 , 则 =Y+y 是 阶 齐 线 微 方 ( ) 通 二 非 次 性 分 程2 的 y 解 .
理 定 4
*
设 齐 方 ( ) 右 f(x 是 个 非 次 程2 的 端 ) 几 函
*
数 和 如 ′ +P x y +Q x y= f (x + f2(x 之 , y′ ( ) ′ ( ) ) ) 1 而 1与 2分 是 程 y y 别方,
′ y′ +P x y +Q x y= f1(x ( ) ′ ( ) ) ′ y′ +P x y +Q x y= f2(x ( ) ′ ( ) )

高数第十二章 微分方程

27
可分离 变量的 微分方程
内容小结
1.通解不一定是方程的全部解 例如, 方程
( x y) y 0 有解
y=–x 及 y=C
后者是通解 , 但不包含前一个解 . 2. 可分离变量方程的求解方法: 分离变量后积分; 根据定解条件(初始条件)定常数 .
28
3. 解微分方程应用题的方法和步骤
d2x 程 2 k 2 x 0的解. 当 k≠0 时,求满足初始条 dt dx 0的特解. 件 x t 0 A, dt t 0 dx 解 kC1 sin kt kC 2 cos kt , dt d2x 2 2 k C cos kt k C 2 sin kt , 1 2 dt d2x 将 2 和x的表达式代入原方程 , dt 13
y '' f ( x , y , y ') y | y , y ' | y ' x x 0 x x 0 0 0
几何意义:求过定点 ( x0 , y0 ) 且在定点的切线的斜 率为定值 y '0 的积分曲线.
12
例 3 验证:函数 x C1 cos kt C 2 sin kt 是微分方
(1) 找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程. 常用的方法: 1) 根据几何关系列方程 ( 如: P263,5(2) ) 2) 根据物理规律列方程 ( 如: 例 3)
3) 根据微量分析平衡关系列方程 ( 如: 例4 )
积分
y 2 xdx 即 y x 2 C ,
将 x 1时, y 2代入上式， 求得C 1,
故所求曲线方程为 y x 2 1 .
3
例 2 列车在平直的线路上以 20 米/秒的速度行驶, 当制动时列车获得加速度 0.4米/秒 2,问开始制动 后多少时间列车才能停住？以及列车在这段时间内 行驶了多少路程？

12-4 一阶线性微分方程

−
∫
1 dy y ln y
1 dy y ln y
1 1 [c + (ln y )2 ] = ln y 2
任意常数。 ， c 任意常数。
例3 设f ( x )有连续导数， f (0) = 0，且存在 有连续导数， 函数u( x , y ), 使得
du = y[ f ( x ) + 3e ]dx + f ( x )dy ,
y y
−y
c
为任意常数。 为任意常数。
∞ 2 n+1 n= 0
x 例6 证明幂级数 ∑ (2n + 1)! 在其收敛域内 y( x ) 满足方程 y ′ + y = e x , 并求 y( x ). 的和函数
解
x 考查 ∑ (2n + 1)! 易知其收敛域为( −∞ , +∞ )
∞
2 n+1
n= 0
x=e
ln cos y
[∫ sin 2 y ⋅ e
− ln cos y
dy + C
]
2 sin y cos y dy + C = cos y[C − 2 cos y ]. = cos y ∫ cos y
练 习 题 一、求下列微分方程的通解 : 求下列微分方程的通解: 1、 1 、 y′ + y cos x = e −sin x ； 2、 2 、 y ln ydx + ( x − ln y )dy = 0； dy 2 3、 3 、 ( y − 6 x ) + 2 y = 0. dx 二、 求下列微分方程满足所给初始条件 的特解: 的特解: dy 1、 1 、 + y cot x = 5e cos x , y x =π = −4;；

12-2可分离变量的微分方程和一阶线性微分方程


G[ ( x)] H ( x) C
则由隐函数求导法，得
G( y) y ( x) ( x) H ( x)
1
( x) h( x)
g( y) y ( x)
即 ( x) h( x) g[ ( x)]
2 当g( y0 ) 0时，y y0也是(1.1)的解.
注 若题目只需求通解，则不必讨论 g( y) 0情形.
——— 一阶线性微分方程
当Q( x) 0, 上方程称为齐次的.
当Q( x) 0, 上方程称为非齐次的.
例如 d y y x2, d x x sin t t 2,
dx
dt
求解法:
1. 常数变易法 1º齐次线性方程： d y P( x) y 0
dx 分离变量： d y P( x)d x,
y
(2.2)
dy y
P(
x)d
x,
ln | y | P(x)d x ln C,
齐次线性方程的通解为：y Ce P( x)d x .
2º非齐次线性方程： d y P( x) y Q( x). dx
将 C 变易 C( x) (待定)
作变换 y C( x)e P( x)d x
y C( x) e P( x)d x C( x) [P( x)]e P( x)d x ,
2. 常数变易公式 (2.1)的通解为：
y e P( x)d x[ Q( x)e P( x)d x d x C ] (2.3)
注 1 常数变易法的实质: 未知函数的变量代换 法，通过变量代换将 原方程化为可分离变 量的方程.
2 在常数变易公式(2.3)中，应将积分
P( x)d x, Q( x)e P( x)d x d x
x
d

(完整版)高等数学微分方程试题

第十二章 微分方程§12-1 微分方程的基本概念、判断题 1.y=ce 2x(c 的任意常数 )是 y =2x 的特解。

2. y=( y ) 3是二阶微分方程。

3. 微分方程的通解包含了所有特解。

4. 若微分方程的解中含有任意常数，则这个解称为通解。

5. 微分方程的通解中任意常数的个数等于微分方程的阶数。

二、填空题 微分方程 .(7x-6y)dx+dy=0 的阶数是 函数 y=3sinx-4cosx 微分方程的解。

A)( y )+x 2 y+x 2=0 (B) ( y ) 2+3x 2y=x 3 (C) y +3 y +y=0 (D) y -y 2=sinx2 2 2x 3x 1．y Cx 2 C 2(其中 C 为任意常数) 2.y C 1e 2x C 2e 3x (其中 C 1 ,C 2为任意常数)五、质量为 m 的物体自液面上方高为 h 处由静止开始自由落下，已知物体在液体中受的阻 力与运动的速度成正比。

用微分方程表示物体， 在液体中运动速度与时间的关系并写出初始 条件。

12-2 可分离变量的微分方程 一、求下列微分方程的通解1. 2. 3. 积分曲线 y=(c 1 +c 2 x)e 2x中满足y x=0=0, y x=0=1 的曲线是三、选择题 1．下列方程是常微分方程A )、x 2+y 2=a 2 (B) 、 y+ d(earctanx) 0 (C)dx2 a2+ 2a2 22=0 (D)、 y =x 2+y 2y2.下列方程中是二阶微分方程3.微分方程 ddx 2y+w 2y=0 的通解是其中 c.c 1.c 2 均为任意常数A ) y=ccoswx(B)y=c sinwx (C)y=c 1coswx+c 2sinwx (D)y=c coswx+c sinwx2 则微分方程 y =3y3 的一个特解是 (B)y=x 3+1 (C) y=(x+c) 34. C 是任意常数，(A )y-=(x+2) 3 四、试求以下述函数为通解的微分方程。

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10、方程 y 3 y 2 y e x cos 2 x 的一个特解形式是 ( ). (A) y A1 e x cos 2 x ； (B) y A1 xe x cos 2 x B1 xe x sin 2 x ； (C) y A1 e x cos 2 x B1 e x sin 2 x ； (D) y A1 x 2 e x cos 2 x B1 x 2 e x sin 2 x .
9、 已知方程 y P ( x ) y Q ( x ) y 0 的一个特解为 y1 , 则另一个与它线性无关的特解为( ). 1 P ( x ) dx dx ； (A) y 2 y1 2 e y1 1 P ( x ) dx dx ； (B) y 2 y1 2 e y1 1 P ( x ) dx dx ； (C) y 2 y1 e y1 1 P ( x ) dx dx . (D) y 2 y1 e y1
)
(B)是该方程的解； (D)不一定是该方程的解.
7、求方程 yy ( y ) 2 0 的通解时,可令( ). (A) y P , 则y P ； dP (B) y P , 则y P ； dy dP (C) y P , 则y P ； dx dP (D) y P , 则y P . dy 8、已知方程 x 2 y xy y 0 的一个特解为 y x ,于 是方程的通解为( ). 1 2 (A) y C 1 x C 2 x ； (B) y C 1 x C 2 ； x x x y C x C e y C x C e (C) ； (D) . 1 2 1 2
四、1、 x (1 2 ln y ) y 2 0 ； 1 x 2、 y xe sin x . 2 五、 y x x ln x . 六、 ( x ) cos x sin x . 1 3 1 2 2 2 七、 y (1 x ) (1 x ) 3 3
五、已知某曲线经过点( 1 , 1 ) ,它的切线在纵轴上的截 距等于切点的横坐标,求它的方程 .
六、设可导函数 ( x ) 满足
( x ) cos x 2 ( t ) sin tdt x 1 , 求 ( x Nhomakorabea . 0
七、我舰向正东 1 海里 处的敌舰发射制导鱼雷,鱼雷在 航行中始终对准敌舰.设敌舰以常数 v 0 沿正北方向 直线行驶,已知鱼雷速度是敌舰速度的两倍, 求鱼雷 的航行曲线方程,并问敌舰航行多远时,将被鱼雷击 中?
P ( x ) dx P ( x ) dx
(D) y ce . 2 2 x y x y y 是( 2、方程 ). (A)齐次方程； (B)一阶线性方程； (C)伯努利方程； (D)可分离变量方程 .
P ( x ) dx
Q ( x ) e [ Q ( x )e
第十二章
微分方程
主要内容 典型例题 练习题及答案
一、主要内容
一阶方程 类 型
1.直接积分法 2.可分离变量 3.齐次方程 4.可化为齐次 方程 5.全微分方程 6.线性方程
基本概念
二阶常系数线性 方程解的结构
特征方程法
高阶方程 可降阶方程
待 特征方程的根 定 及其对应项 系 数 法 f(x)的形式及其
dy y 例10 求通解 3x 2 dx x
三 、练 习 题
一、选择题: 1 、 一阶线性非齐次微分方程 y P ( x ) y Q ( x ) 的通 解是( ). P ( x ) dx P ( x ) dx [ Q ( x )e dx C ] ； (A) y e (B) y e (C) y e
线性方程 解的结构
定理1;定理2 定理3;定理4
7.伯努利方程
特解形式
欧拉方程
微分方程解题思路
分离变量法
一阶方程
作 降 变 阶 换
作变换
非非 变全 全微分方程 量微 积分因子 可 分 分方 常数变易法 离程
高阶方程
特征方程法 幂级数解法 待定系数法
二、典型例题
例1
例2 例3 微分方程 y'' y' 6 y 0 的通解 微分方程 y y 0 的通解 微分方程 y y 0 的通解
例4
例5 例6 例7
求通解 (x 2 y2 )dx xydy 0
求通解 xy y 3x 2x 1
' 2
求通解
2x y 4y e
求通解 xy y x 2 3x 2
例8
例9
2x 求通解 y 4 y 4 y xe
2 求通解 xy y 3x 2 x 1
5、方程 y y 0 的通解是( ). (A) y sin x cos x C 1 ； (B) y C 1 sin x C 2 cos x C 3 ； (C) y sin x cos x C 1 ； (D) y sin x C 1 . 6、若 y1 和y 2 是二阶齐次线性方程 y P ( x ) y Q ( x ) y 0 的两个特解,则 y C 1 y1 C 2 y 2 (其中C 1 , C 2 为任意常数)( (A)是该方程的通解； (C)是该方程的特解；
(0 x 1) .
P ( x ) dx
dx ；
P ( x ) dx
dx C ] ；
dy dx 3、 2 2 0 , y(1) 2 的特解是( ). y x (A) x 2 y 2 2 ； (B) x 3 y 3 9 ； 3 3 x y 1. (C) x 3 y 3 1 ； (D) 3 3 4、方程 y sin x 的通解是( ). 1 (A) y cos x C 1 x 2 C 2 x C 3 ； 2 1 (B) y sin x C 1 x 2 C 2 x C 3 ； 2 (C) y cos x C 1 ； y 2 sin 2 x (D) .
二、求下列一阶微分方程的通解: 1、 xy ln x y ax(ln x 1) ； dy 2、 xy x 3 y 3 0 ； dx ydx xdy 0. 3、 xdx ydy 2 2 x y
三、求下列高阶微分方程的通解: 1、 yy y 2 1 0 ； 2、 y y 2 y x (e x 4) . 四、求下列微分方程满足所给初始条件的特解: 3 2 2 1、 y dx 2( x xy )dy 0 , x 1时，y 1 ； 3 y 2 y y cos x x 0 时， y 0 , y 2、 , . 2
x
练习题答案
一、1、A； 2、A； 3、B； 4、A； 5、B ； 6、B； 7、B； 8、B； 9、A； 10、C. c 二、1、 y ax ； ln x 2 x2 2、 y C1e x 2 1 ； y 2 2 3、 x y 2 arctan C . x 1 三、1、 y cosh(C1 x C 2 ) ； C1 1 2 4 x 2 x x 2 y C C e C e ( x x ) e x x. 2、 1 2 3 6 9