九年级数学中考专题复习训练题及解析 矩形、菱形与正方形

矩形菱形正方形(39题)一、单选题1(2023·湖南·统考中考真题)如图，菱形ABCD中，连接AC，BD，若∠1=20°，则∠2的度数为()A.20°B.60°C.70°D.80°【答案】C【分析】根据菱形的性质可得BD⊥AC,AB∥CD，则∠1=∠ACD,∠ACD+∠2=90°，进而即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形∴BD⊥AC,AB∥CD，∴∠1=∠ACD,∠ACD+∠2=90°，∵∠1=20°，∴∠2=90°-20°=70°,故选：C．【点睛】本题考查了菱形的性质，熟练掌握是菱形的性质解题的关键．2(2023·湖南常德·统考中考真题)如图1，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E，F分别为AO，DO上的一点，且EF∥AD，连接AF,DE．若∠FAC=15°，则∠AED的度数为()A.80°B.90°C.105°D.115°【答案】C【分析】首先根据正方形的性质得到∠OAD=∠ODA=45°，AO=DO，然后结合EF∥AD得到OE= OF，然后证明出△AOF≌△DOE SAS，最后利用三角形内角和定理求解即可．【详解】∵四边形ABCD是正方形∴∠OAD=∠ODA=45°，AO=DO∵EF∥AD∴∠OEF=∠OAD=45°，∠OFE=∠ODA=45°∴∠OEF=∠OFE∴OE=OF又∵∠AOF=∠DOE=90°，AO=DO∴△AOF ≌△DOE SAS∴∠ODE =∠FAC =15°∴∠ADE =∠ODA -∠ODE =30°∴∠AED =180°-∠OAD -∠ADE =105°故选：C ．【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．3(2023·湖南常德·统考中考真题)下列命题正确的是()A.正方形的对角线相等且互相平分B.对角互补的四边形是平行四边形C.矩形的对角线互相垂直D.一组邻边相等的四边形是菱形【答案】A 【分析】根据正方形、平行四边形、矩形、菱形的各自性质和构成条件进行判断即可．【详解】A 、正方形的对角线相等且互相垂直平分，描述正确；B 、对角互补的四边形不一定是平行四边形，只是内接于圆，描述错误；C 、矩形的对角线不一定垂直，但相等，描述错误；D 、一组邻边相等的平行四边形才构成菱形，描述错误．故选：A ．【点睛】本题考查平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定，解题的关键是熟悉掌握各类特殊四边形的判定和性质．4(2023·浙江·统考中考真题)如图，在菱形ABCD 中，AB =1，∠DAB =60°，则AC 的长为()A.12B.1C.32D.3【答案】D 【分析】连接BD 与AC 交于O ．先证明△ABD 是等边三角形，由AC ⊥BD ，得到∠OAB =12∠BAD =30°，∠AOB =90°，即可得到OB =12AB =12，利用勾股定理求出AO 的长度，即可求得AC 的长度．【详解】解：连接BD 与AC 交于O ．∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AB=AD，AC⊥BD，AO=OC=12AC，∵∠DAB=60°，且AB=AD，∴△ABD是等边三角形，∵AC⊥BD，∴∠OAB=12∠BAD=30°，∠AOB=90°，∴OB=12AB=12，∴AO=AB2-OB2=12-12 2=123，∴AC=2AO=3，故选：D．【点睛】此题主要考查了菱形的性质、勾股定理、等边三角形的判定和性质、30°角所对直角边等于斜边的一半，关键是熟练掌握菱形的性质．5(2023·上海·统考中考真题)在四边形ABCD中，AD∥BC,AB=CD．下列说法能使四边形ABCD 为矩形的是()A.AB∥CDB.AD=BCC.∠A=∠BD.∠A=∠D【答案】C【分析】结合平行四边形的判定和性质及矩形的判定逐一分析即可．【详解】A：∵AB∥CD，AD∥BC,AB=CD∴ABCD为平行四边形而非矩形故A不符合题意B：∵AD=BC，AD∥BC,AB=CD∴ABCD为平行四边形而非矩形故B不符合题意C：∵AD∥BC∴∠A+∠B=180°∵∠A=∠B∴∠A=∠B=90°∵AB=CD∴ABCD为矩形故C符合题意D：∵AD∥BC∴∠A+∠B=180°∵∠A=∠D∴∠D+∠B=180°∴ABCD不是平行四边形也不是矩形故D不符合题意故选：C．【点睛】本题主要考查平行线的性质，平行四边形的判定和性质及矩形的判定等知识，熟练掌握以上知识并灵活运用是解题的关键．6(2023·浙江宁波·统考中考真题)如图，以钝角三角形ABC 的最长边BC 为边向外作矩形BCDE ，连结AE ,AD ，设△AED ，△ABE ，△ACD 的面积分别为S ,S 1,S 2，若要求出S -S 1-S 2的值，只需知道()A.△ABE 的面积B.△ACD 的面积C.△ABC 的面积D.矩形BCDE 的面积【答案】C【分析】过点A 作FG ∥BC ，交EB 的延长线于点F ，DC 的延长线于点G ，易得：FG =BC ,AF ⊥BE ,AG⊥CD ，利用矩形的性质和三角形的面积公式，可得S 1+S 2=12S 矩形BCDE ，再根据S =S △ABC +S 矩形BCDE -S 1-S 2=S △ABC +12S 矩形BCDE ，得到S -S 1-S 2=S △ABC ，即可得出结论．【详解】解：过点A 作FG ∥BC ，交EB 的延长线于点F ，DC 的延长线于点G ，∵矩形BCDE ，∴BC ⊥BE ,BC ⊥CD ,BE =CD ，∴FG ⊥BE ,FG ⊥CD ，∴四边形BFGC 为矩形，∴FG =BC ,AF ⊥BE ,AG ⊥CD ，∴S 1=12BE ⋅AF ,S 2=12CD ⋅AG ，∴S 1+S 2=12BE AF +AG =12BE ⋅BC =12S 矩形BCDE ，又S =S △ABC +S 矩形BCDE -S 1-S 2=S △ABC +12S 矩形BCDE ，∴S -S 1-S 2=S △ABC +12S 矩形BCDE -12S 矩形BCDE =S △ABC ，∴只需要知道△ABC 的面积即可求出S -S 1-S 2的值；故选C ．【点睛】本题考查矩形的性质，求三角形的面积．解题的关键是得到S 1+S 2=12S 矩形BCDE 7(2023·湖南·统考中考真题)如图所示，在矩形ABCD 中，AB >AD ，AC 与BD 相交于点O ，下列说法正确的是()A.点O 为矩形ABCD 的对称中心B.点O 为线段AB 的对称中心C.直线BD 为矩形ABCD 的对称轴D.直线AC 为线段BD 的对称轴【答案】A【分析】由矩形ABCD是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，线段AB的对称中心是线段AB的中点，矩形ABCD是轴对称图形，对称轴是过一组对边中点的直线，从而可得答案．【详解】解：矩形ABCD是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，故A符合题意；线段AB的对称中心是线段AB的中点，故B不符合题意；矩形ABCD是轴对称图形，对称轴是过一组对边中点的直线，故C，D不符合题意；故选A【点睛】本题考查的是轴对称图形与中心对称图形的含义，矩形的性质，熟记矩形既是中心对称图形也是轴对称图形是解本题的关键．8(2023·四川宜宾·统考中考真题)如图，边长为6的正方形ABCD中，M为对角线BD上的一点，连接AM并延长交CD于点P．若PM=PC，则AM的长为()A.33-1B.333-2C.63-1D.633-2【答案】C【分析】先根据正方形的性质、三角形全等的判定证出△ADM≅△CDM，根据全等三角形的性质可得∠DAM=∠DCM，再根据等腰三角形的性质可得∠CMP=∠DCM，从而可得∠DAM=30°，然后利用勾股定理、含30度角的直角三角形的性质求解即可得．【详解】解：∵四边形ABCD是边长为6的正方形，∴AD=CD=6,∠ADC=90°,∠ADM=∠CDM=45°，在△ADM和△CDM中，DM=DM∠ADM=∠CDM=45°AD=CD，∴△ADM≅△CDM SAS，∴∠DAM=∠DCM，∵PM=PC，∴∠CMP=∠DCM，∴∠APD=∠CMP+∠DCM=2∠DCM=2∠DAM，又∵∠APD+∠DAM=180°-∠ADC=90°，∴∠DAM=30°，设PD=x，则AP=2PD=2x，PM=PC=CD-PD=6-x，∴AD=AP2-PD2=3x=6，解得x=23，∴PM=6-x=6-23，AP=2x=43，∴AM=AP-PM=43-6-23=63-1，故选：C．【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握正方形的性质是解题关键．9(2023·四川乐山·统考中考真题)如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，E 为边BC 的中点，连结OE ．若AC =6，BD =8，则OE =()A.2B.52C.3D.4【答案】B【分析】先由菱形的性质得AC ⊥BD ，OC =12AC =12×6=3，OB =12BD =12×8=4，再由勾股定理求出BC =5，然后由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求解．【详解】解：∵菱形ABCD ，∴AC ⊥BD ，OC =12AC =12×6=3，OB =12BD =128=4，∴由勾股定理，得BC =OB 2+OC 2=5，∵E 为边BC 的中点，∴OE =12BC =12×5=52故选：B ．【点睛】本考查菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质，直角三角形的性质是解题的关键．10(2023·甘肃武威·统考中考真题)如图，将矩形ABCD 对折，使边AB 与DC ，BC 与AD 分别重合，展开后得到四边形EFGH ．若AB =2，BC =4，则四边形EFGH 的面积为()A.2B.4C.5D.6【答案】B【分析】由题意可得四边形EFGH 是菱形，FH =AB =2，GE =BC =4，由菱形的面积等于对角线乘积的一半即可得到答案．【详解】解：∵将矩形ABCD 对折，使边AB 与DC ，BC 与AD 分别重合，展开后得到四边形EFGH ，∴EF ⊥GH ，EF 与GH 互相平分，∴四边形EFGH 是菱形，∵FH =AB =2，GE =BC =4，∴菱形EFGH的面积为12FH⋅GE=12×2×4=4．故选：B【点睛】此题考查了矩形的折叠、菱形的判定和性质等知识，熟练掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键．11(2023·浙江绍兴·统考中考真题)如图，在矩形ABCD中，O为对角线BD的中点，∠ABD=60°．动点E在线段OB上，动点F在线段OD上，点E,F同时从点O出发，分别向终点B,D运动，且始终保持OE =OF．点E关于AD,AB的对称点为E1,E2；点F关于BC,CD的对称点为F1,F2．在整个过程中，四边形E1E2F1F2形状的变化依次是()A.菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形B.菱形→正方形→平行四边形→菱形→平行四边形C.平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形D.平行四边形→菱形→正方形→平行四边形→菱形【答案】A【分析】根据题意，分别证明四边形E1E2F1F2是菱形，平行四边形，矩形，即可求解．【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∠BAD=∠ABC=90°，∴∠BDC=∠ABD=60°，∠ADB=∠CBD=90°-60°=30°，∵OE=OF、OB=OD，∴DF=EB∵对称，∴DF=DF2，BF=BF1，BE=BE2,DE=DE1∴E1F2=E2F1∵对称，∴∠F2DC=∠CDF=60°，∠EDA=∠E1DA=30°∴∠E1DB=60°，同理∠F1BD=60°，∴DE1∥BF1∴E1F2∥E2F1∴四边形E1E2F1F2是平行四边形，如图所示，当E,F,O三点重合时，DO=BO，∴DE1=DF2=AE1=AE2即E1E2=E1F2∴四边形E1E2F1F2是菱形，如图所示，当E,F分别为OD,OB的中点时，设DB=4，则DF2=DF=1，DE1=DE=3，在Rt△ABD中，AB=2,AD=23，连接AE，AO，∵∠ABO=60°，BO=2=AB，∴△ABO是等边三角形，∵E为OB中点，∴AE⊥OB，BE=1，∴AE=22-12=3，根据对称性可得AE1=AE=3，∴AD2=12,DE21=9,AE21=3，∴AD2=AE21+DE21，∴△DE1A是直角三角形，且∠E1=90°，∴四边形E1E2F1F2是矩形，当F,E分别与D,B重合时，△BE1D,△BDF1都是等边三角形，则四边形E1E2F1F2是菱形∴在整个过程中，四边形E1E2F1F2形状的变化依次是菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形，故选：A．【点睛】本题考查了菱形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，矩形的性质与判定，勾股定理与勾股定理的逆定理，轴对称的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．12(2023·重庆·统考中考真题)如图，在正方形ABCD中，O为对角线AC的中点，E为正方形内一点，连接BE，BE=BA，连接CE并延长，与∠ABE的平分线交于点F，连接OF，若AB=2，则OF的长度为()A.2B.3C.1D.2【答案】D【分析】连接AF ，根据正方形ABCD 得到AB =BC =BE ，∠ABC =90°，根据角平分线的性质和等腰三角形的性质，求得∠BFE =45°，再证明△ABF ≌△EBF ，求得∠AFC =90°，最后根据直角三角形斜边上的中点等于斜边的一半，即可求出OF 的长度．【详解】解：如图，连接AF ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB =BE =BC ，∠ABC =90°，AC =2AB =22，∴∠BEC =∠BCE ，∴∠EBC =180°-2∠BEC ，∴∠ABE =∠ABC -∠EBC =2∠BEC -90°，∵BF 平分∠ABE ，∴∠ABF =∠EBF =12∠ABE =∠BEC -45°，∴∠BFE =∠BEC -∠EBF =45°，在△BAF 与△BEF ,AB =EB∠ABF =∠EBF BF =BF，∴△BAF ≌△BEF SAS ，∴∠BFE =∠BFA =45°，∴∠AFC =∠BAF +∠BFE =90°，∵O 为对角线AC 的中点，∴OF =12AC =2，故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，正方形的性质，直角三角形特征，作出正确的辅助线，求得∠BFE =45°是解题的关键．二、解答题13(2023·湖南怀化·统考中考真题)如图，矩形ABCD 中，过对角线BD 的中点O 作BD 的垂线EF ，分别交AD ，BC 于点E ，F ．(1)证明：△BOF ≌△DOE ；(2)连接BE 、DF ，证明：四边形EBFD 是菱形．【答案】(1)见解析；(2)见解析【分析】(1)根据矩形的性质得出AD ∥BC ，则∠1=∠2,∠3=∠4，根据O 是BD 的中点，可得BO =DO ，即可证明△BOF ≌△DOE AAS ；(2)根据△BOF ≌△DOE 可得ED =BF ，进而可得四边形EBFD 是平行四边形，根据对角线互相垂直的四边形是菱形，即可得证．【详解】(1)证明：如图所示，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴∠1=∠2,∠3=∠4，∵O 是BD 的中点，∴BO =DO ，在△BOF 与△DOE 中∠1=∠2∠3=∠4BO =DO，∴△BOF ≌△DOE AAS ；(2)∵△BOF ≌△DOE∴ED =BF ，又∵ED ∥BF∴四边形EBFD 是平行四边形，∵EF ⊥BD∴四边形EBFD 是菱形．【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质与判定，菱形的判定，熟练掌握特殊四边形的性质与判定是解题的关键．14(2023·湖北随州·统考中考真题)如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，DE ∥AC ,CE ∥BD ．(1)求证：四边形OCED 是菱形；(2)若BC =3,DC =2，求四边形OCED 的面积．【答案】(1)见解析；(2)3【分析】(1)先根据矩形的性质求得OC =OD ，然后根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形分析推理；(2)根据矩形的性质求得△OCD 的面积，然后结合菱形的性质求解．【详解】(1)解：∵ DE ∥AC ,CE ∥BD ，∴四边形OCED 是平行四边形，又∵矩形ABCD 中，OC =OD ，∴平行四边形OCED 是菱形；(2)解：矩形ABCD 的面积为BC ⋅DC =3×2=6，∴△OCD 的面积为14×6=32，∴菱形OCED 的面积为2×32=3．【点睛】本题考查矩形的性质、菱形的判定，属于中考基础题，掌握矩形的性质和菱形的判定方法，正确推理论证是解题关键．15(2023·湖南永州·统考中考真题)如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，其对角线相交于点O ，OA =3,BD =8,AB =5．(1)△AOB 是直角三角形吗？请说明理由；(2)求证：四边形ABCD 是菱形．【答案】(1)△AOB 是直角三角形，理由见解析．(2)见解析【分析】(1)根据平行四边形对角线互相平分可得BO =12BD =4，再根据勾股定理的逆定理，即可得出结论；(2)根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可求证．【详解】(1)解：△AOB 是直角三角形，理由如下：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BO =12BD =4，∵OA 2+OB 2=32+42=52=AB 2，∴△AOB 是直角三角形．(2)证明：由(1)可得：△AOB 是直角三角形，∴∠AOB =90°，即AC ⊥BD ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴四边形ABCD 是菱形．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理的逆定理，菱形的判定，解题的关键是掌握平行四边形对角线互相平分，对角线互相垂直的平行四边形是菱形．16(2023·新疆·统考中考真题)如图，AD 和BC 相交于点O ，∠ABO =∠DCO =90°，OB =OC ．点E 、F 分别是AO 、DO的中点．(1)求证：OE =OF ；(2)当∠A =30°时，求证：四边形BECF 是矩形．【答案】(1)见解析；(2)见解析【分析】(1)直接证明△AOB ≌△DOC ASA ，得出OA =OD ，根据E 、F 分别是AO 、DO 的中点，即可得证；(2)证明四边形BECF 是平行四边形，进而根据∠A =30°，推导出△BOE 是等边三角形，进而可得BC =EF ，即可证明四边形BECF 是矩形．【详解】(1)证明：在△AOB 与△DOC 中，∠ABO =∠DCO =90°OB =OC∠AOB =∠DOC∴△AOB ≌△DOC ASA ，∴OA =OD ，又∵E 、F 分别是AO 、DO 的中点，∴OE =OF ；(2)∵OB =OC ，OF =OE ，∴四边形BECF 是平行四边形，BC =2OB ，EF =2OE ，∵E 为AO 的中点，∠ABO =90°，∴EB =EO =EA ，∵∠A =30°，∴∠BOE =60°，∴△BOE 是等边三角形，∴OB =OE ，∴BC =EF ，∴四边形BECF 是矩形．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，矩形判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．17(2023·云南·统考中考真题)如图，平行四边形ABCD 中，AE 、CF 分别是∠BAD 、∠BCD 的平分线，且E 、F 分别在边BC 、AD 上，AE =AF ．(1)求证：四边形AECF 是菱形；(2)若∠ABC =60°，△ABE 的面积等于43，求平行线AB 与DC 间的距离．【答案】(1)证明见解析；(2)43【分析】(1)先证AD ∥BC ，再证AE ∥FC ，从而四边形AECF 是平行四边形，又AE =AF ，于是四边形AECF 是菱形；(2)连接AC ，先求得∠BAE =∠DAE =∠ABC =60°，再证AC ⊥AB ，∠ACB =90°-∠ABC =30°=∠EAC ，于是有33=AB AC，得AB =33AC ，再证AE =BE =CE ，从而根据面积公式即可求得AC =43．【详解】(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∠BAD =∠BCD ，∴∠BEA =∠DAE ，∵AE 、CF 分别是∠BAD 、∠BCD 的平分线，∴∠BAE =∠DAE =12∠BAD ，∠BCF =12∠BCD ，∴∠DAE =∠BCF =∠BEA ，∴AE ∥FC ，∴四边形AECF 是平行四边形，∵AE =AF ，∴四边形AECF 是菱形；(2)解：连接AC ，∵AD ∥BC ，∠ABC =60°，∴∠BAD =180°-∠ABC =120°，∴∠BAE =∠DAE =∠ABC =60°，∵四边形AECF 是菱形，∴∠EAC =12∠DAE =30°，∴∠BAC =∠BAE +∠EAC =90°，∴AC ⊥AB ，∠ACB =90°-∠ABC =30°=∠EAC ，∴AE =CE ，tan30°=tan ∠ACB =AB AC 即33=AB AC，∴AB =33AC ，∵∠BAE =∠ABC ，∴AE =BE =CE ，∵△ABE 的面积等于43，∴S △ABC =12AC ⋅AB =12AC ⋅33AC =36AC 2=83，∴平行线AB 与DC 间的距离AC =43．【点睛】本题考查了平行四边形的判定及性质，菱形的判定，角平分线的定义，等腰三角形的判定，三角函数的应用以及平行线间的距离，熟练掌握平行四边形的判定及性质，菱形的判定，角平分线的定义，等腰三角形的判定，三角函数的应用以及平行线间的距离等知识是解题的关键．18(2023·四川遂宁·统考中考真题)如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，点O 为对角线BD 的中点，过点O 的直线l 分别与AD 、BC 所在的直线相交于点E 、F ．(点E 不与点D 重合)(1)求证：△DOE ≌△BOF ；(2)当直线l ⊥BD 时，连接BE 、DF ，试判断四边形EBFD 的形状，并说明理由．【答案】(1)见解析；(2)四边形EBFD 为菱形；理由见解析【分析】(1)根据AAS 证明△DOE ≌△BOF 即可；(2)连接EB 、FD ，根据△DOE ≌△BOF ，得出ED =BF ，根据ED ∥BF ，证明四边形EBFD 为平行四边形，根据EF ⊥BD ，证明四边形EBFD 为菱形即可．【详解】(1)证明：∵点O 为对角线BD 的中点，∴BO =DO ，∵AD ∥BC ，∴∠ODE =∠OBF ，∠OED =∠OFB ，在△DOE 和△BOF 中，∠ODE =∠OBF∠OED =∠OFB BO =DO，∴△DOE ≌△BOF AAS ；(2)解：四边形EBFD 为菱形，理由如下：连接EB 、FD ，如图所示：根据解析(1)可知，△DOE ≌△BOF ，∴ED =BF ，∵ED ∥BF ，∴四边形EBFD 为平行四边形，∵l ⊥BD ，即EF ⊥BD ，∴四边形EBFD 为菱形．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，菱形的判定，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法和菱形的判定方法．19(2023·浙江嘉兴·统考中考真题)如图，在菱形ABCD 中，AE ⊥BC 于点E ，AF ⊥CD 于点F ，连接EF(1)求证：AE =AF ；(2)若∠B =60°，求∠AEF 的度数．【答案】(1)证明见解析；(2)60°【分析】(1)根据菱形的性质的三角形全等即可证明AE =AF ．(2)根据菱形的性质和已知条件可推出∠BAD 度数，再根据第一问的三角形全等和直角三角形的性质可求出∠BAE 和∠DAF 度数，从而求出∠EAF 度数，证明了等边三角形AEF ，即可求出∠AEF 的度数．【详解】(1)证明：∵菱形ABCD ，∴AB =AD ,∠B =∠D ，又∵AE ⊥BC ,AF ⊥CD ，∴∠AEB =∠AFD =90°．在△AEB 和△AFD 中，∠AEB =∠AFD∠B =∠D AB =AD，∴△ABE ≌△ADF (AAS )．∴AE =AF ．(2)解：∵菱形ABCD ，∴∠B +∠BAD =180°，∵∠B =60°，∴∠BAD =120°．又∵∠AEB =90°,∠B =60°，∴∠BAE =30°．由(1)知△ABE ≌△ADF ，∴∠BAE =∠DAF =30°．∴∠EAF =120°-30°-30°=60°．∵AE =AF ，∴△AEF 等边三角形．∴∠AEF =60°．【点睛】本题考查了三角形全等、菱形的性质、等边三角形的性质，解题的关键在于熟练掌握全等的方法和菱形的性质．20(2023·湖北鄂州·统考中考真题)如图，点E是矩形ABCD的边BC上的一点，且AE=AD．(1)尺规作图(请用2B铅笔)：作∠DAE的平分线AF，交BC的延长线于点F，连接DF．(保留作图痕迹，不写作法)；(2)试判断四边形AEFD的形状，并说明理由．【答案】(1)见解析；(2)四边形AEFD是菱形，理由见解析【分析】(1)根据题意结合尺规作角平分线的方法作图即可；(2)根据矩形的性质和平行线的性质得出∠DAF=∠AFE，结合角平分线的定义可得∠EFA=∠EAF，则AE=EF，然后根据平行四边形和菱形的判定定理得出结论．【详解】(1)解：如图所示：(2)四边形AEFD是菱形；理由：∵矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠DAF=∠AFE，∵AF平分∠DAE，∴∠DAF=∠EAF，∴∠EFA=∠EAF，∴AE=EF，∵AE=AD，∴AD=EF，∵AD∥EF，∴四边形AEFD是平行四边形，又∵AE=AD，∴平行四边形AEFD是菱形．【点睛】本题主要考查了尺规作角平分线，矩形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，平行四边形的判定以及菱形的判定等知识，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键．21(2023·吉林长春·统考中考真题)将两个完全相同的含有30°角的直角三角板在同一平面内按如图所示位置摆放．点A，E，B，D依次在同一直线上，连结AF、CD．(1)求证：四边形AFDC是平行四边形；(2)己知BC=6cm，当四边形AFDC是菱形时．AD的长为cm．【答案】(1)见解析；(2)18【分析】(1)由题意可知△ACB≌△DFE易得AC=DF，∠CAB=∠FDE=30°即AC∥DF，依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证明；(2)如图，在Rt△ACB中，由30°角所对的直角边等于斜边的一半和直角三角形锐角互余易得AB=2BC= 12cm，∠ABC=60°；由菱形得对角线平分对角得∠CDA=∠FDA=30°，再由三角形外角和易证∠BCD=∠CDA即可得BC=BD=6cm，最后由AD=AB+BD求解即可．【详解】(1)证明：由题意可知△ACB≌△DFE，∴AC=DF，∠CAB=∠FDE=30°，∴AC∥DF，∴四边形AFDC地平行四边形；(2)如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，BC=6cm，∴AB=2BC=12cm，∠ABC=60°，四边形AFDC是菱形，∴AD平分∠CDF，∴∠CDA=∠FDA=30°，∵∠ABC=∠CDA+∠BCD，∴∠BCD=∠ABC-∠CDA=60°-30°=30°，∴∠BCD=∠CDA，∴BC=BD=6cm，∴AD=AB+BD=18cm，故答案为：18．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，平行四边形的判定，菱形的性质，30°角所对的直角边等于斜边的一半和直角三角形锐角互余，三角形外角及等角对等边；解题的关键是熟练掌握相关知识综合求解．22(2023·湖南张家界·统考中考真题)如图，已知点A，D，C，B在同一条直线上，且AD=BC，AE= BF，CE=DF．(1)求证：AE∥BF；(2)若DF=FC时，求证：四边形DECF是菱形．【答案】(1)见解析；(2)见解析【分析】(1)根据题意得出AC=BD，再由全等三角形的判定和性质及平行线的判定证明即可；(2)方法一：利用全等三角形的判定和性质得出DE=CF，又EC=DF，再由菱形的判定证明即可；方法二：利用(1)中结论得出∠ECA=∠FDB，结合菱形的判定证明即可．【详解】(1)证明：∵AD=BC，∴AD+DC=BC+DC，即AC=BD在△AEC和△BFD中，AC=BDAE=BFCE=DF，∴△AEC≌△BFD SSS∴∠A=∠B，∴AE∥BF(2)方法一：在△ADE和△BCF中，AE=BF∠A=∠BAD=BC，∴△ADE≌△BCF SAS∴DE=CF，又EC=DF，∴四边形DECF是平行四边形∵DF=FC，∴▱DECF是菱形；方法二：∵△AEC≌△BFD，∴∠ECA=∠FDB∴EC∥DF，又EC=DF，∴四边形DECF是平行四边形∵DF=FC，∴▱DECF是菱形．【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，理解题意，熟练掌握运用这些知识点是解题关键．23(2023·湖南郴州·统考中考真题)如图，四边形ABCD是平行四边形．(1)尺规作图；作对角线AC的垂直平分线MN(保留作图痕迹)；(2)若直线MN分别交AD，BC于E，F两点，求证：四边形AFCE是菱形【答案】(1)见解析；(2)见解析【分析】(1)根据垂直平分线的作图方法进行作图即可；(2)设EF与AC交于点O，证明△AOE≌△COF ASA，得到OE=OF，得到四边形AFCE为平行四边形，根据EF⊥AC，即可得证．【详解】(1)解：如图所示，MN 即为所求；(2)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠CAE =∠ACF ，如图：设EF 与AC 交于点O ，∵EF 是AC 的垂直平分线，∴AO =OC ，EF ⊥AC ，∵∠AOE =∠COF ，∴△AOE ≌△COF ASA ，∴OE =OF ，∴四边形AFCE 为平行四边形，∵EF ⊥AC ，∴四边形AFCE 为菱形．【点睛】本题考查基本作图-作垂线，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定．熟练掌握菱形的判定定理，是解题的关键．24(2023·湖北十堰·统考中考真题)如图，▱ABCD 的对角线AC ,BD 交于点O ，分别以点B ,C 为圆心，12AC ,12BD 长为半径画弧，两弧交于点P ，连接BP ,CP ．(1)试判断四边形BPCO的形状，并说明理由；(2)请说明当▱ABCD的对角线满足什么条件时，四边形BPCO是正方形？【答案】(1)平行四边形，见解析；(2)AC=BD且AC⊥BD【分析】(1)根据平行四边形的性质，得到BP=12AC=OC,CP=12BD=OB，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定即可．(2)根据对角线相等、平分且垂直的四边形是正方形判定即可．【详解】(1)四边形BPCO是平行四边形．理由如下：∵▱ABCD的对角线AC,BD交于点O，∴AO=OC,BO=OD，∵以点B,C为圆心，12AC,12BD长为半径画弧，两弧交于点P，∴BP=12AC=OC,CP=12BD=OB∴四边形BPCO是平行四边形．(2)∵对角线相等、平分且垂直的四边形是正方形，∴AC=BD且AC⊥BD时，四边形BPCO是正方形．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，正方形的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键．25(2023·四川内江·统考中考真题)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F．(1)求证：AF=BD；(2)连接BF，若AB=AC，求证：四边形ADBF是矩形．【答案】(1)见解析；(2)见解析；【分析】(1)根据两直线平行，内错角相等求出∠AFE=∠DCE，然后利用“角角边”证明三角形全等，再由全等三角形的性质容易得出结论；(2)先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形AFBD是平行四边形，再根据一个角是直角的平行四边形是矩形判定即可．【详解】(1)证明：∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DCE，∵点E为AD的中点，∴AE=DE，在△AEF和△EDC中，∠AFE=∠DCE∠AEF=∠DECAE=DE，∴△EAF≌△EDC(AAS)；∴AF=CD，∵CD=BD，∴AF=BD；(2)证明：∵AF∥BD，AF=BD，∴四边形AFBD是平行四边形，∵AB=AC，BD=CD，∴∠ADB=90°，∴平行四边形AFBD是矩形．【点睛】本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，是基础题，明确有一个角是直角的平行四边形是矩形是解本题的关键．26(2023·湖南岳阳·统考中考真题)如图，点M在▱ABCD的边AD上，BM=CM，请从以下三个选项中①∠1=∠2；②AM=DM；③∠3=∠4，选择一个合适的选项作为已知条件，使▱ABCD为矩形．(1)你添加的条件是(填序号)；(2)添加条件后，请证明▱ABCD为矩形．【答案】(1)答案不唯一，①或②；(2)见解析【分析】(1)根据有一个角是直角的平行四边形是矩形进行选取；(2)通过证明△ABM≌△DCM可得∠A=∠D，然后结合平行线的性质求得∠A=90°，从而得出▱ABCD 为矩形．【详解】(1)解：①或②(2)添加条件①，▱ABCD为矩形，理由如下：在▱ABCD中AB=CD，AB∥CD，在△ABM和△DCM中AB=CD∠1=∠2 BM=CM ，∴△ABM≌△DCM ∴∠A=∠D，又∵AB∥CD，∴∠A+∠D=180°，∴∠A =∠D =90°，∴▱ABCD 为矩形；添加条件②，▱ABCD 为矩形，理由如下：在▱ABCD 中AB =CD ，AB ∥CD ，在△ABM 和△DCM 中AB =CDAM =DM BM =CM，∴△ABM ≌△DCM ∴∠A =∠D ，又∵AB ∥CD ，∴∠A +∠D =180°，∴∠A =∠D =90°，∴▱ABCD 为矩形【点睛】本题考查矩形的判定，全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形的性质和矩形的判定方法(有一个角是直角的平行四边形是矩形)是解题关键．27(2023·四川乐山·统考中考真题)如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，点D 为AB 边上任意一点(不与点A 、B 重合)，过点D 作DE ∥BC ，DF ∥AC ，分别交AC 、BC 于点E 、F ，连接EF．(1)求证：四边形ECFD 是矩形；(2)若CF =2，CE =4，求点C 到EF 的距离．【答案】(1)见解析；(2)455【分析】(1)利用平行线的性质证明∠CED =∠CFD =90°，再利用四边形内角和为360°，证明∠EDF =90°，即可由矩形判定定理得出结论；(2)先由勾股定理求出EF =CF 2+CE 2=25，再根据三角形面积公式求解即可．【详解】(1)证明：∵DE ∥BC ，DF ∥AC ，∴四边形ECFD 为平行四边形，∵∠C =90°，∴四边形ECFD 是矩形．(2)解：∵∠C =90°，CF =2，CE =4，∴EF =CF 2+CE 2=25设点C 到EF 的距离为h ，∵S △CEF =12CE ⋅CF =12EF ⋅h ∴2×4=25h∴h=455答：点C到EF的距离为45 5．【点睛】本题考查矩形的判定，平行线的性质，勾股定理．熟练掌握矩形的判定定理和利用面积法求线段长是解题的关键．28(2023·浙江台州·统考中考真题)如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=∠C，BD为对角线．(1)证明：四边形ABCD是平行四边形．(2)已知AD>AB，请用无刻度的直尺和圆规作菱形BEDF，顶点E，F分别在边BC，AD上(保留作图痕迹，不要求写作法)．【答案】(1)见解析；(2)见解析【分析】(1)先证明∠ADB=∠CBD，再证明180°-∠ADB+∠A=180°-∠CBD+∠C，即∠ABD=∠CDB，从而可得结论；(2)作对角线BD的垂直平分线交AD于F，交BC于E，从而可得菱形BEDF．【详解】(1)证明：∵AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD，∵∠A=∠C，∴180°-∠ADB+∠A=180°-∠CBD+∠C，即∠ABD=∠CDB．∴AB∥CD．∴四边形ABCD是平行四边形．(2)如图，四边形BEDF就是所求作的菱形．【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，作线段的垂直平分线，菱形的判定，熟练的利用菱形的判定进行作图是解本题的关键．三、填空题29(2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题)如图，在四边形ABCD中，AD=BC，AC⊥BD于点O．请添加一个条件：，使四边形ABCD成为菱形．【答案】AD∥BC(荅案不唯一)【分析】根据题意，先证明四边形ABCD是平行四边形，根据AC⊥BD，可得四边形ABCD成为菱形．【详解】解：添加条件AD∥BC∵AD=BC，AD∥BC∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC⊥BD，∴四边形ABCD成为菱形．添加条件AB=CD∵AD=BC，AB=CD∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC⊥BD，∴四边形ABCD成为菱形．添加条件OB=OD∵AC⊥BD，∴∠AOD=∠COB=90°∵AD=BC，OB=OD，∴Rt△AOD≌Rt△COB HL∴AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC⊥BD，∴四边形ABCD成为菱形．添加条件∠ADB=∠CBD在△AOD与△COB中，∠ADB=∠CBD ∠AOD=∠COB AD=BC∴△AOD≌△COB∴AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC⊥BD，∴四边形ABCD成为菱形．故答案为：AD∥BC(AB=CD或OB=OD或∠ADB=∠CBD等)．【点睛】本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．30(2023·辽宁大连·统考中考真题)如图，在菱形ABCD中，AC、BD为菱形的对角线，∠DBC=60°, BD=10，点F为BC中点，则EF的长为．。

课时(二十二)矩形、菱形、正方形基础练习1.[2020·襄阳]已知四边形ABCD是平行四边形,AC,BD相交于点O,下列结论错误的是()A.OA=OC,OB=ODB.当AB=CD时,四边形ABCD是菱形C.当∠ABC=90°时,四边形ABCD是矩形D.当AC=BD且AC⊥BD时,四边形ABCD是正方形2.[2020·毕节]如图1,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别是AO,AD的中点,连接EF,若AB=6 cm,BC=8 cm,则EF的长是()图1A.2.2 cmB.2.3 cmC.2.4 cmD.2.5 cm3.[2020·黄冈]若菱形的周长为16,高为2,则菱形两邻角的度数之比为()A.4∶1B.5∶1C.6∶1D.7∶14.如图2所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成的,根据实际需要可以调节A,E间的距离,若A,E间的距离调节到60 cm,菱形的边长AB=20 cm,则∠DAB的度数是()图2A.90°B.100°C.120°D.150°AD,则图中阴5.[2020·海南]如图3,在矩形ABCD中,AB=6,BC=10,点E,F在AD边上,BF和CE交于点G,若EF=12影部分的面积为()图3A.25B.30C.35D.406.[2020·青岛]如图4,将矩形ABCD折叠,使点C和点A重合,折痕为EF,EF与AC交于点O.若AE=5,BF=3,则AO 的长为()图4A.√5B.3√5C.2√5D.4√527.如图5,在菱形OABC中,点B在x轴上,点A的坐标为(2,2√3),将菱形绕点O旋转,当点A落在x轴上时,点C 的对应点的坐标为()图5A.(-2,-2√3)或(2√3,-2)B.(2,2√3)C.(-2,2√3)D.(-2,-2√3)或(2,2√3)8.[2020·青海]如图6,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,已知∠BOC=120°,DC=3 cm,则AC的长为cm.图69.[2020·玉林]如图7,将两张对边平行且等宽的纸条交叉叠放在一起,则重合部分构成的四边形ABCD菱形(填“是”或“不是”).图710.[2020·包头]如图8 ,在正方形ABCD中,E是对角线BD上一点,AE的延长线交CD于点F,连接CE.若∠BAE=56°,则∠CEF=°.图811.[2020·毕节]如图9,已知正方形ABCD的边长为4,点E是边AB的中点,点P是对角线BD上的动点,则AP+PE 的最小值是.图912.[2020·遂宁]如图10,在△ABC中,AB=AC,点D,E分别是线段BC,AD的中点,过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F,连接CF.(1)求证:△BDE≌△F AE;(2)求证:四边形ADCF为矩形.图1013.[2020·扬州]如图11,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点O作EF⊥AC,分别交AB,DC于点E,F,连接AF,CE.(1)若OE=3,求EF的长;2(2)判断四边形AECF的形状,并说明理由.图1114.[2020·北京]如图12,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是AD的中点,点F,G在AB上,EF⊥AB,OG∥EF.(1)求证:四边形OEFG是矩形;(2)若AD=10,EF=4,求OE和BG的长.图12能力提升15.[2020·龙东地区]如图13,以Rt△ABC的两边AB,AC为边,向外作正方形ABDE和正方形ACFG,连接EG,过点A作AM⊥BC于M,延长MA交EG于点N.(1)如图①,若∠BAC=90°,AB=AC,求证:EN=GN.(2)如图②,∠BAC=90°;如图③,∠BAC≠90°,(1)中结论是否成立?若成立,选择一个图形进行证明;若不成立,写出你的结论,并说明理由.图13【答案】1.B2.D3.B [解析]如图,AH 为菱形ABCD 的高,AH=2,∵菱形的周长为16,∴AB=4. 在Rt △ABH 中,sin B=AH AB =24=12, ∴∠B=30°.∵AB ∥CD ,∴∠C=150°, ∴∠C ∶∠B=5∶1.故选B . 4.C5.C [解析]连接BE ,CF ,如图.∵四边形ABCD 是矩形,∴AD=BC ,AD ∥BC , ∴EF=12BC=5,且△EFG ∽△CBG , ∴S △BEG S △EFG=BG FG=BC EF =21,∴S △BEG =23S △BEF =23×12×5×6=10.同理S △CFG =10.又∵S △ABE +S △CDF =12(AE+DF )×AB=12×5×6=15, ∴S 阴影=15+10+10=35.6.C [解析]由折叠得AD'=CD ,D'E=DE=AD -AE ,∠D'=∠D=90°,AO=OC=12AC.∵四边形ABCD 是矩形,∴AB=CD ,AD ∥BC , ∴∠OAE=∠OCF ,∠OEA=∠OFC , ∴△OAE ≌△OCF (AAS),∴CF=AE=5. ∴AD=BC=BF+CF=3+5=8, ∴D'E=DE=AD -AE=8-5=3,∴AB=CD=AD'=√AE 2-D 'E 2=√52-32=4. 又∵∠D=90°,∴AC=√AD 2+CD 2=√82+42=4√5, ∴AO=12AC=12×4√5=2√5.7.D [解析]菱形OABC 中,点A 的坐标为(2,2√3),所以OA=4,∠A=∠C=60°,分类讨论.①若顺时针旋转,旋转后的图形如图①所示,则OC=OA=4,∠C=60°,可求出点C 对应点的坐标为(-2,-2√3);②若逆时针旋转,旋转后的图形如图②所示,则OC=OA=4,∠C=60°,可求出点C 对应点的坐标为(2,2√3).8.69.是 [解析]如图,过点A 作AE ⊥BC 于点E ,作AF ⊥CD 于点F .∵两张纸条宽度相同,∴AE=AF.∵AB∥CD,AD∥BC,∴四边形ABCD是平行四边形.∵S▱ABCD=BC·AE=CD·AF,AE=AF,∴BC=CD,∴四边形ABCD是菱形.10.22[解析]由四边形ABCD是正方形,可得△ADE≌△CDE,∴∠DAE=∠DCE=90°-56°=34°,∵AB∥CD,∴∠BAE=∠DFE.∵∠DFE=∠FCE+∠FEC,∴56°=34°+∠CEF,∴∠CEF=22°.11.2√5[解析]∵正方形ABCD的边长为4,点E是边AB的中点,∴BE=2.∵点P是对角线BD上的动点,连接PC,则PC=P A.连接EC交BD于点P,此时AP+PE=PC+PE=EC为最小值,最小值EC=√EB2+BC2=√42+22=2√5.故答案为2√5.12.证明:(1)∵AF∥BC,∴∠AFE=∠DBE.∵E是线段AD的中点,∴AE=DE.∵∠AEF=∠DEB,∴△BDE≌△F AE(AAS).(2)∵△BDE≌△F AE,∴AF=BD.∵D是线段BC的中点,∴BD=CD,∴AF=CD.∵AF∥CD,∴四边形ADCF是平行四边形.∵AB=AC,BD=CD,∴AD⊥BC,∴∠ADC=90°,∴四边形ADCF为矩形.13.解:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AO=CO,AB∥DC,∴∠OAE=∠OCF,∵EF⊥AC,∴∠AOE=∠COF=90°,在△AEO和△CFO中,∠OAE=∠OCF,AO=CO,∠AOE=∠COF,∴△AEO≌△CFO,∴OE=OF,,又OE=32,∴OE=OF=32∴EF=OE+OF=3.(2)四边形AECF是菱形.理由:由(1)得OE=OF,又∵AO=CO,∴四边形AECF是平行四边形.∵EF⊥AC,∴四边形AECF是菱形.14.解:(1)证明:∵四边形ABCD为菱形,∴点O为BD的中点,∵点E为AD中点,∴OE为△ABD的中位线,∴OE∥FG.∵OG∥EF,∴四边形OEFG为平行四边形.∵EF⊥AB,∴平行四边形OEFG为矩形.(2)∵四边形ABCD为菱形,∴AC⊥BD.在Rt△AOD中,∵点E为AD的中点,AD=10,AD=5.∴OE=AE=12∵∠EF A=90°,EF=4,∴在Rt△AEF中,AF=22=√522=3.∵四边形OEFG为矩形,∴FG=OE=5,∴BG=AB-AF-FG=10-3-5=2.15.解:(1)证明:∵∠BAC=90°,AB=AC,∴∠ACB=45°,∵AM⊥BC,∴∠MAC=45°.∴∠EAN=∠MAC=45°.同理∠NAG=45°,∴∠EAN=∠NAG.∵四边形ABDE和四边形ACFG为正方形,∴AE=AB=AC=AG,∴EN=GN.(2)①如图①,∠BAC=90°时,(1)中结论成立.证明:过点E作EP⊥AN交AN的延长线于点P,过点G作GQ⊥AM于点Q.∵四边形ABDE 是正方形,∴AB=AE ,∠BAE=90°,∴∠EAP+∠BAM=180°-90°=90°. ∵AM ⊥BC ,∴∠ABM+∠BAM=90°,∴∠ABM=∠EAP .在△ABM 和△EAP 中,{∠ABM =∠EAP ,∠AMB =∠P =90°,AB =AE , ∴△ABM ≌△EAP (AAS),∴EP=AM , 同理可得GQ=AM ,∴EP=GQ.在△EPN 和△GQN 中,{∠P =∠GQN ,∠ENP =∠GNQ ,EP =GQ , ∴△EPN ≌△GQN (AAS),∴EN=GN.②如图②,∠BAC ≠90°时,(1)中结论成立.证明:过点E 作EP ⊥AN 交AN 的延长线于点P ,过点G 作GQ ⊥AM 于点Q.∵四边形ABDE 是正方形,∴AB=AE ,∠BAE=90°,∴∠EAP+∠BAM=180°-90°=90°. ∵AM ⊥BC ,∴∠ABM+∠BAM=90°, ∴∠ABM=∠EAP .在△ABM 和△EAP 中,{∠ABM =∠EAP ,∠AMB =∠P =90°,AB =AE , ∴△ABM ≌△EAP (AAS),∴EP=AM. 同理可得:GQ=AM ,∴EP=GQ.在△EPN 和△GQN 中,{∠P =∠NQG ,∠ENP =∠GNQ ,EP =GQ , ∴△EPN ≌△GQN (AAS),∴EN=GN.。

中考数学二轮专题复习-矩形、菱形及正方形一、单选题1．下列四边形中，对角线互相垂直平分的是（）A．平行四边形、菱形B．矩形、菱形C．矩形、正方形D．菱形、正方形2．下列测量方案中，能确定四边形门框为矩形的是（）A．测量对角线是否互相平分B．测量两组对边是否分别相等C．测量对角线是否相等D．测量对角线交点到四个顶点的距离是否都相等3．如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接，若，，则菱形的面积为（）A．B．C．D．4．如图，有甲、乙、丙三个矩形，其中相似的是（）A．甲与丙B．甲与乙C．乙与丙D．三个矩形都不相似5．如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，cosA＝，AE＝3，则tan∠DBE的值是（）A．B．2C．D．6．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，E是边AB的中点，连结OE.若菱形ABCD的面积为24，AC＝8，则OE的长为（）A．B．3C．D．57．如图，在正方形ABCD中，E是边BC上一点，且BE：CE＝1：3，DE交AC于点F，若DE＝10，则CF等于()A．B．C．D．8．如图，矩形中，对角线交于点O，，则矩形的面积是（）A．2B．C．D．89．如图，将长、宽分别为6cm，cm的长方形纸片分别沿AB，AC折叠，点M，N恰好重合于点P．若∠α＝60°，则折叠后的图案（阴影部分）面积为（）A．cm2 B．（36）cm2C．cm2D．cm210．如图所示，反比例函数的图象经过矩形OABC的边AB的中点，则矩形OABC的面积为（）A．2B．4C．5D．811．如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，AE⊥BC，AF⊥CD ，垂足分别为点E，F，连结EF，则△AEF 的面积是（）A．B．C．D．12．如图，四边形ABCD是正方形，BE⊥EF，DF⊥EF，BE=2.5dm，DF=4dm，那么EF的长为（）A．6.5dm B．6dm C．5.5dm D．4dm13．将一矩形纸片ABCD沿CE折叠，B点恰好落在AD边上的F处，若，则的值为（）A．B．C．D．14．正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一动点，DN＋MN的最小值为（）A．6B．8C．10D．915．如图，在矩形ABCD中，对角线、BD交于C，，垂足为E，，那么的面积是（）A．B．C．D．16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边向外作正方形，过点C作CI⊥HJ于点I，交AB于K，在图形的外部作矩形MNPQ，使点D，E，G和H，J都落在矩形的边上.已知矩形BJIK的面积为1，正方形ACDE的面积为4，则为（）A．B．C．D．17．如图，正方形的边长为a，点E在边上运动（不与点A，B重合），，点F在射线上，且与相交于点G，连接．则下列结论：①，② 的周长为 ，③；④当 时，G 是线段 的中点，其中正确的结论是（ ）A ．①②③B ．①④C ．①③④D ．①②③④ 18．如图，菱形ABCD 的边长为4，E 、F 分别是AB 、AD 上的点，AC 与EF 相交于点G ，若， ，则FG 的长为（ ）A ．B ．2C ．3D ．419．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，以△ABC 的各边为边分别作正方形BAHI ，正方形BCFG 与正方形CADE ，延长BG ，FG 分别交AD ，DE 于点K ，J ，连结DH ，IJ.图中两块阴影部分面积分别记为S 1，S 2.若S 1：S 2＝1：4，S 四边形边BAHE ＝18，则四边形MBNJ 的面积为（ ）A．5B．6C．8D．920．如图，在Rt△ABC中，∠CBA＝60°，斜边AB＝10，分别以△ABC的三边长为边在AB上方作正方形，S1，S2，S3，S4，S5分别表示对应阴影部分的面积，则S1+S2+S3+S4+S5＝（）A．50B．50C．100D．100二、填空题21．在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA=OC=OB=OD，添加一个条件使四边形ABCD是正方形，那么所添加的条件可以是(写出一个即可)22．如图，分别以Rt△ABC三边构造三个正方形，面积分别为S1，S2，S3，若S1=15，S3=39，则S2=.23．如图，在平面直角坐标系中，点A1（1，0）、A2（3，0）、A3（6，0）、A4（10，0）、……，以A1A2为对角线作第一个正方形A1C1A2B1，以A2A3为对角线作第二个正方形A2C2A3B2，以A3A4，为对角线作第三个正方形A3C3A4B3，……，顶点B1，B2，B3……都在第一象限，按照此规律依次下去，则点Bn的坐标为.24．如图，菱形ABCD的对角线，BD相交于点，，，以AB为直径作一个半圆，则图中阴影部分的面积为.25．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为.26．建党100周年主题活动中，702班浔浔设计了如图1的“红色徽章”其设计原理是：如图2，在边长为的正方形四周分别放置四个边长为的小正方形，构造了一个大正方形，并画出阴影部分图形，形成了“红色徽章”的图标.现将阴影部分图形面积记作，每一个边长为的小正方形面积记作，若，则的值是.27．如图，正方形ABCD的边长为4，P是边CD上的一动点，EF⊥BP交BP于G，且EF平分正方形ABCD的面积，则线段GC的最小值是.28．正方形ABCD的边长为4，点E是BC边上的一动点，连结AE，过点B作BF⊥AE于点F，以BF为边作正方形FBHG，当点E从B运动到C时，求CF的最短距离为；线段HG扫过的面积为29．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，将△BCD沿射线BD平移长度a（a＞0）得到△B'C'D'，连接AB'，AD'，则当△AB'D'是直角三角形时，a的长为.30．如图，矩形ABCD中，AB＝20，AD＝15，P，Q分别是AB，AD边上的动点，PQ＝16，以PQ 为直径的⊙O与BD交于点M，N，则MN的最大值为．三、计算题31．如图，在中，，D为的中点，，，连接交于点O.（1）证明：四边形为菱形；（2）若，，求菱形的高.32．如图，已知在矩形ABCD中，AB=6，BC=2，点E，F分别在边CD，AB上，且DE=BF.（1）求证:四边形AFCE是平行四边形；（2）若□AFCE是菱形，求菱形AFCE的边长.四、解答题33．如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BD，CD，AC的中点，AD＝BC，求证：四边形EFGH是菱形．34．如图，矩形ABCD中，BC=4，将矩形ABCD绕点C顺时针旋转得到矩形A′B′C′D′，此时点B′恰好落在边AD上．连接B′B，若∠AB′B=75°，求旋转角及AB长．35．如图，△ABC中，点D是边AC的中点，过D作直线PQ∥BC，∠BCA的平分线交直线PQ于点E，点G是△ABC的边BC延长线上的点，∠ACG的平分线交直线PQ于点F．求证：四边形AECF是矩形．36．在几何探究问题中，经常需要通过作辅助线（如，连接两点，过某点作垂线，作延长线，作平行线等等）把分散的条件相对集中，以达到解决问题的目的.（1）（探究发现）如图1，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，，连接EF.通过探究，可发现BE，EF，DF之间的数量关系为（直接写出结果）.（2）（验证猜想）同学们讨论得出下列三种证明思路（如图1）：思路一：过点A作，交CD的延长线于点G.思路二：过点A作，并截取，连接DG.思路三：延长CD至点G，使，连接AG.请选择你喜欢的一种思路证明（探究发现）中的结论.（3）（迁移应用）如图2，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，且，，设，试用含的代数式表示DF的长.37．在平面直角坐标系中，O为原点，点A（6，0），点B在y轴的正半轴上，∠ABO＝30°．矩形CODE的顶点D，E，C分别在OA，AB，OB上，OD＝2．（Ⅰ）如图①，求点E的坐标；（Ⅱ）将矩形CODE沿x轴向右平移，得到矩形C′O′D′E′，点C，O，D，E的对应点分别为C′，O′，D′，E′．设OO′＝t，矩形C′O′D′E′与△ABO重叠部分的面积为S．①如图②，当矩形C′O′D′E′与△ABO重叠部分为五边形时，C′E′，E′D′分别与AB相交于点M，F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；②当≤S≤5 时，求t的取值范围（直接写出结果即可）．38．阅读下面的例题及点拨，并解决问题：例题：如图①，在等边中，是边上一点(不含端点)，是的外角的平分线上一点，且.求证：.点拨：如图②，作，与的延长线相交于点，得等边，连接.易证：，可得；又，则，可得；由，进一步可得又因为，所以，即：.问题：如图③，在正方形中，是边上一点(不含端点)，是正方形的外角的平分线上一点，且.求证：.五、综合题39．将绕点A按逆时针方向旋转度，并使各边长变为原来的n倍，得，如图①，我们将这种变换记为.（1）如图①，对作变换得，则；直线与直线所夹的锐角为度；（2）如图②，中，，对作变换得，使点B、C、在同一直线上，且四边形为矩形，求和n的值；（3）如图③，中，，对作变换得，使点B、C、在同一直线上，且四边形为平行四边形，求和n的值. 40．如图（1）如图1，正方形ABCD与调研直角△AEF有公共顶点A，∠EAF＝90°，连接BE、DF，将△AEF绕点A旋转，在旋转过程中，直线BE、DF相交所成的角为β，则＝；β＝；（2）如图2，矩形ABCD与Rt△AEF有公共顶点A，∠EAF＝90°，且AD＝2AB，AF＝2AE，连接BE、DF，将Rt△AEF绕点A旋转，在旋转过程中，直线BE、DF相交所成的角为β，请求出的值及β的度数，并结合图2进行说明；（3）若平行四边形ABCD与△AEF有公共项点A，且∠BAD＝∠EAF＝α(0°＜α＜180°)，AD＝kAB，AF＝kAE(k≠0)，将△AEF绕点A旋转，在旋转过程中，直线BE、DF相交所成的锐角的度数为β，则：①＝；②请直接写出α和β之间的关系式．答案解析部分【解析】【解答】解：∵平行四边形对角线互相平分，菱形对角线互相垂直平分，矩形对角线互相平分且相等，正方形对角线互相垂直平分且相等，∴A、B、C不符合题意，D符合题意.故答案为：D.【分析】根据平行四边形对角线互相平分，菱形对角线互相垂直平分，矩形对角线互相平分且相等，正方形对角线互相垂直平分且相等，即可得出答案.【解析】【解答】解：A、∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，而对角线互相平分且相等的四边形才是矩形，∴选项A不符合题意；B、∵两组对边分别相等是平行四边形，∴选项B不符合题意；C、∵对角线互相平分且相等的四边形才是矩形，∴对角线相等的四边形不是矩形，∴选项C不符合题意；D、∵对角线交点到四个顶点的距离都相等，∴对角线互相平分且相等，∵对角线互相平分且相等的四边形是矩形，∴选项D符合题意.故答案为：D.【分析】利用对角线互相平分且相等的四边形是矩形，可作出判断.【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，∵DH⊥AB，∴∠BHD=90°，∴BD=2OH，∵OH=2，∴BD=4，∵OA=3，∴AC=6，∴菱形ABCD的面积．故答案为：A．【分析】根据菱形的性质和直角三角形斜边上的中线定理求出对角线的长即可求出菱形的面积。

矩形、菱形与正方形专题训练(含答案)班级________姓名________成绩________一、选择题(每小题3分，共30分)1．如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE＝2，DE＝6，∠EFB＝60°，则矩形ABCD的面积是( )A．12 B．24 C．12 3 D．16 3第1题图第2题图第3题图第4题图2．如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为( ) A．14 B．15 C．16 D．173．如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C与点C′重合．若AB＝2，则C′D的长为( ) A．1 B．2 C．3 D．44．如图，在△ABC中，AC＝BC，点D，E分别是边AB，AC的中点．将△ADE绕点E旋转180°得△CFE，则四边形ADCF一定是( )A．矩形B．菱形C．正方形D．梯形5．由菱形的两条对角线的交点向各边引垂线，以各垂足为顶点的四边形是( )A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形6．如图，▱ABCD的周长为16 cm，AC，BD相交于点O，OE⊥AC交AD于点E，则△DCE的周长为( )A．4 cm B．6 cm C．8 cm D．10 cm第6题图第9题图第10题图7．菱形的周长为8 cm，高为1 cm，则菱形两邻角度数比为( )A．3∶1 B．4∶1 C．5∶1 D．6∶18．用两块完全相同的直角三角形拼下列图形：①平行四边形，②矩形，③菱形，④正方形，⑤等腰三角形，⑥等边三角形，一定能拼成的图形是( )A．①④⑤B．②⑤⑥C．①②③D．①②⑤9．如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1＋S2的值为( )A．16 B．17 C．18 D．1910．如图，F为正方形ABCD的边AD上一点，CE⊥CF交AB的延长线于点E，若正方形ABCD 的面积为64，△CEF的面积为50，则△CBE的面积为( )A．20 B．24 C．25 D．26二、填空题(每小题3分，共24分)11．如图所示，在菱形ABCD中，∠ADC＝72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为点E，连结CP，则∠CPB＝____度．第11题图第12题图第14题图第15题图12．如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD互相垂直，A1，B1，C1，D1分别是四边形ABCD 各边中点，如果AC＝8，BD＝10，则四边形A1B1C1D1的面积为___．13．矩形的对角线相交成的角中，有一个角是60°，这个角所对的边长为20 cm，则其对角线长为____________-_，矩形的面积为_______________．14．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC和BD相交于点O，AC＝4 cm，BD＝8 cm，则这个菱形的面积是____cm2.15．如图，矩形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，连结DE和BF，分别取DE，BF的中点M，N，连结AM，CN，MN，若AB＝22，BC＝23，则图中阴影部分的面积为____________．,第16题图第17题第18题图16．如图，▱ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件______________，使▱ABCD是矩形．17．如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E点在BC上，EG⊥OB，EF⊥OC，垂足分别为点G，F，AC＝10，则EG＋EF＝____．18．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为(10，0)，(0，4)，点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为_______________________________．三、解答题(共66分)19．(6分)如图，已知矩形ABCD中，E是AD上一点，F是AB上一点，EF⊥EC且EF＝EC，DE ＝4 cm，矩形ABCD的周长为32 cm，求AE的长．20．(8分)如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点O，与BC相交于点N，连结BM，DN.(1)求证：四边形BMDN是菱形；(2)若AB＝4，AD＝8，求MD的长．21．(8分)如图所示，矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，∠DAE∶∠BAE＝3∶1，求∠BAE和∠EAO 的度数．22．(10分)如图，已知菱形ABCD中，AB＝AC，E，F分别是BC，AD的中点，连结AE，CF.(1)证明：四边形AECF是矩形；(2)若AB＝8，求菱形ABCD的面积．23．(12分)如图，已知四边形ABCD是平行四边形，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是点E，F，并且DE＝DF，求证：(1)△ADE≌△CDF；(2)四边形ABCD是菱形．24．(10分)在四边形ABCD中，AB＝CD，M，N，P，Q分别是AD，BC，BD，AC的中点，求证：MN与PQ互相垂直平分．参考答案一、选择题(每小题3分，共30分)1．如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE＝2，DE＝6，∠EFB＝60°，则矩形ABCD的面积是( D )A．12 B．24 C．12 D．16第1题图第2题图第3题图第4题图2．如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为( C ) A．14 B．15 C．16 D．173．如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C与点C′重合．若AB＝2，则C′D的长为( B ) A．1 B．2 C．3 D．44．如图，在△ABC中，AC＝BC，点D，E分别是边AB，AC的中点．将△ADE绕点E旋转180°得△CFE，则四边形ADCF一定是( A )A．矩形B．菱形C．正方形D．梯形5．由菱形的两条对角线的交点向各边引垂线，以各垂足为顶点的四边形是( B )A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形6．如图，▱ABCD的周长为16 cm，AC，BD相交于点O，OE⊥AC交AD于点E，则△DCE的周长为( C )A．4 cm B．6 cm C．8 cm D．10 cm第6题图第9题图第10题图7．菱形的周长为8 cm，高为1 cm，则菱形两邻角度数比为( C )A．3∶1 B．4∶1 C．5∶1 D．6∶18．用两块完全相同的直角三角形拼下列图形：①平行四边形，②矩形，③菱形，④正方形，⑤等腰三角形，⑥等边三角形，一定能拼成的图形是( D )A．①④⑤B．②⑤⑥C．①②③D．①②⑤9．如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1＋S2的值为( B )A．16 B．17 C．18 D．1910．如图，F为正方形ABCD的边AD上一点，CE⊥CF交AB的延长线于点E，若正方形ABCD 的面积为64，△CEF的面积为50，则△CBE的面积为( B )A．20 B．24 C．25 D．26二、填空题(每小题3分，共24分)11．如图所示，在菱形ABCD中，∠ADC＝72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为点E，连结CP，则∠CPB＝__72__度．第11题图第12题图第14题图第15题图12．如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD互相垂直，A1，B1，C1，D1分别是四边形ABCD 各边中点，如果AC＝8，BD＝10，则四边形A1B1C1D1的面积为__20__．13．矩形的对角线相交成的角中，有一个角是60°，这个角所对的边长为20 cm，则其对角线长为__40_cm__，矩形的面积为__400_cm2__．14．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC和BD相交于点O，AC＝4 cm，BD＝8 cm，则这个菱形的面积是__16__cm2.15．如图，矩形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，连结DE和BF，分别取DE，BF的中点M，N，连结AM，CN，MN，若AB＝2，BC＝2，则图中阴影部分的面积为__2__．,第16题图第17题第18题图16．如图，▱ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件__AO＝BO(答案不唯一)__，使▱ABCD 是矩形．17．如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E点在BC上，EG⊥OB，EF⊥OC，垂足分别为点G，F，AC＝10，则EG＋EF＝__5__．18．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为(10，0)，(0，4)，点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为__(8，4)，(3，4)或(2，4)__．三、解答题(共66分)19．(6分)如图，已知矩形ABCD中，E是AD上一点，F是AB上一点，EF⊥EC且EF＝EC，DE ＝4 cm，矩形ABCD的周长为32 cm，求AE的长．解：∵∠AFE ＋∠AEF ＝∠AEF ＋∠CED ＝90°，∴∠AFE ＝∠DEC .又∵∠A ＝∠D ＝90°，EF ＝EC ，∴△AEF ≌△DCE ，∴AE ＝CD .设AE ＝x ，则CD ＝x ，∴AD ＋CD ＝21×32，即x ＋4＋x ＝16，∴x ＝6.即AE ＝6 cm20．(8分)如图，在矩形ABCD 中，对角线BD 的垂直平分线MN 与AD 相交于点M ，与BD 相交于点O ，与BC 相交于点N ，连结BM ，DN .(1)求证：四边形BMDN 是菱形；(2)若AB ＝4，AD ＝8，求MD 的长．解：(1)∵MN 是BD 的垂直平分线，∴BO ＝DO ，∠BON ＝∠DOM ＝90°.∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴∠BNO ＝∠DMO ，∴△BON ≌△DOM (AAS )，∴OM ＝ON .∵OB ＝OD ，∴四边形BMDN 是平行四边形．∵MN ⊥BD ，∴▱BMDN 是菱形(2)设MD ＝x ，则MB ＝x ，MA ＝8－x ，在Rt △ABM 中，∵BM 2＝AM 2＋AB 2，∴x 2＝(8－x )2＋42，解得x ＝5.∴MD 的长为521．(8分)如图所示，矩形ABCD 中，AE ⊥BD 于点E ，∠DAE ∶∠BAE ＝3∶1，求∠BAE 和∠EAO 的度数．解：提示：由∠DAE ∶∠BAE ＝3∶1，求出∠BAE ＝22.5°，而∠ABD ＝90°－∠BAE ＝90°－22.5°＝67.5°，∵∠BAO ＝∠ABD ＝67.5°，∴∠EAO ＝∠BAO －∠BAE ＝67.5°－22.5°＝45°22．(10分)如图，已知菱形ABCD 中，AB ＝AC ，E ，F 分别是BC ，AD 的中点，连结AE ，CF .(1)证明：四边形AECF 是矩形；(2)若AB ＝8，求菱形ABCD 的面积．解：(1)∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC ，又∵AB ＝AC ，∴△ABC 是等边三角形．∵E 是BC 的中点，∴AE ⊥BC (等边三角形三线合一)，∠AEC ＝90°.同理，CF ⊥AD .∵E ，F 分别是BC ，AD 的中点，∴AF ＝21AD ，EC ＝21BC .∵四边形ABCD 是菱形，∴AD 綊BC ，∴AF 綊EC ，∴四边形AECF 是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)．又∵∠AEC ＝90°，∴四边形AECF 是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形)(2)在Rt △ABE 中，∵AE ＝＝4，∴S 菱形ABCD ＝8×4＝3223．(12分)如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，垂足分别是点E ，F ，并且DE ＝DF ，求证：(1)△ADE ≌△CDF ；(2)四边形ABCD 是菱形．解：证明：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠A ＝∠C ，又∵DE ＝DF ，DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，∴∠DEA ＝∠DFC ＝90°，∴△ADE ≌△CDF (AAS ) (2)由(1)知AD ＝DC ，又∵四边形ABCD 是平行四边形，∴四边形ABCD 是菱形24．(10分)在四边形ABCD 中，AB ＝CD ，M ，N ，P ，Q 分别是AD ，BC ，BD ，AC 的中点，求证：MN 与PQ 互相垂直平分．解：证明：连结MP ，NQ ，PN ，MQ ，∵PM 綊21AB ，同理NQ 綊21AB ，∴PM 綊NQ ，∴四边形MPNQ 为平行四边形，又∵PN 綊21CD ，而CD ＝AB ，∴PN ＝PM ，∴四边形MPNQ 为菱形，∴MN 与PQ 互相垂直平分。

中考数学专题训练：矩形、菱形、正方形（附参考答案）1．下列命题正确的是( )A ．正方形的对角线相等且互相平分B ．对角互补的四边形是平行四边形C ．矩形的对角线互相垂直D ．一组邻边相等的四边形是菱形2．如图，D ，E ，F 分别是△ABC 各边的中点，则以下说法错误的是( )A ．△BDE 和△DCF 的面积相等B ．四边形AEDF 是平行四边形C ．若AB ＝BC ，则四边形AEDF 是菱形D ．若∠A ＝90°，则四边形AEDF 是矩形3．如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，CE ，DF 交于点G ，连接AG .下列结论：①CE ＝DF ；②CE ⊥DF ；③∠AGE ＝∠CDF .其中正确的结论是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③4．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E 为BC 的中点，连接EO 并延长交AD 于点F ，∠ABC ＝60°，BC ＝2AB .下列结论：①AB ⊥AC ；②AD ＝4OE ；③四边形AECF 是菱形；④S △BOE ＝14S △ABC .其中正确结论的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．15．如图，在矩形ABCD中，AB＝6 cm，BC＝9 cm，点E，F分别在边AB，BC上，AE＝2 cm，BD，EF交于点G.若G是EF的中点，则BG的长为______cm.6．如图，在菱形ABCD中，AC，BD为菱形的对角线，∠DBC＝60°，BD＝10，点F为BC的中点，则EF的长为_____．7．已知四边形ABCD是正方形，点E在边DA的延长线上，连接CE交AB于点G，过点B作BM⊥CE，垂足为点M，BM的延长线交AD于点F，交CD的延长线于点H.(1)如图1，求证：CE＝BH；(2)如图2，若AE＝AB，连接CF，在不添加任何辅助线情况下，请直接写出图2中的四个三角形(△AEG除外)，使写出的每个三角形都与△AEG全等．8．如图，在菱形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD上的点，且BE ＝BF＝CG＝AH.若菱形的面积等于24，BD＝8，则EF＋GH＝_____．9．如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，DE＝BE，AC与BD相交于点O，BE与AC相交于点F.(1)若BE平分∠CBD，求证：BF⊥AC；(2)找出图中与△OBF相似的三角形，并说明理由；(3)若OF＝3，EF＝2，求DE的长度．10．(1)如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE⊥DF，垂足为点G.求证：△ADE∽△DCF.【问题解决】(2)如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF，延长BC 到点H，使CH＝DE，连接DH.求证：∠ADF＝∠H.【类比迁移】(3)如图3，在菱形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF＝11，DE＝8，∠AED＝60°，求CF的长．参考答案1．A 2．C 3．A 4．D5．√13 6．5 7．(1)证明略 (2)略8．6解析：如图，连接AC ，交BD 于点O ，∵四边形ABCD 是菱形，BD ＝8，∴AB ＝BC ＝AD ＝CD ，AC ⊥BD ，AO ＝OC ＝12AC ，BO ＝OD ＝12BD ＝4. ∵S 菱形ABCD ＝12AC ·BD ＝24，∴AC ＝6，∴AO ＝3，∴AB ＝√AO 2+BO 2＝5＝AD .∵BE ＝BF ＝CG ＝AH ，∴AE ＝CF ＝DH ＝DG ，∴BE AE ＝BF CF ，∴EF ∥AC .同理可得GH ∥AC ，设BE ＝BF ＝CG ＝AH ＝a ，则有DH ＝5－a ，∵EF ∥AC ，∴△BEF ∽△BAC ，∴BE AB ＝EF AC ，即a 5＝EF 6，∴EF ＝65a ，同理可得DH DA ＝GH CA ，即5−a 5＝GH 6，∴GH ＝6－65a ，∴EF ＋GH ＝6.9．(1)证明略(2)与△OBF相似的三角形有△ECF，△BAF，理由略(3)DE＝3＋√1910．(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝∠ADE＝90°，∴∠CDF＋∠DFC＝90°.∵AE⊥DF，∴∠DGE＝90°，∴∠CDF＋∠AED＝90°，∴∠AED＝∠DFC，∴△ADE∽△DCF.(2)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，AD∥BC，∠ADE＝∠DCF＝90°.∵AE＝DF，∴Rt△ADE≌Rt△DCF(HL)，∴DE＝CF.∵CH＝DE，∴CF＝CH.∵点H在BC的延长线上，∴∠DCH＝∠DCF＝90°.又∵DC＝DC，∴△DCF≌△DCH(SAS)，∴∠DFC＝∠H.∵AD∥BC，∴∠ADF＝∠DFC，∴∠ADF＝∠H.(3)解：如图3，延长BC至点G，使CG＝DE＝8，连接DG，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝DC，AD∥BC，∴∠ADE＝∠DCG，∴△ADE≌△DCG(SAS)，∴∠DGC＝∠AED＝60°，AE＝DG. ∵AE＝DF，∴DG＝DF，∴△DFG是等边三角形，∴FG＝DF＝11.∵CF＋CG＝FG，∴CF＝FG－CG＝11－8＝3，即CF的长为3.。

九年级数学中考复习课题矩形、菱形、正方形AB组习题专题课后训练分层练习B组提高题含答案解析A组1．下列性质中，菱形具有而平行四边形不具有的性质是（）A．对边平行且相等B．对角线互相平分C．对角线互相垂直D．对角互补解：A、平行四边形的对边平行且相等，所以A选项错误；B、平行四边形的对角线互相平分，所以B选项错误；C、菱形的对角线互相垂直，平行四边形的对角线互相平分，所以C选项正确；D、平行四边形的对角相等，所以D选项错误．故选C．2．矩形具有而菱形不一定具有的性质是（）A．对边分别相等B．对角分别相等C．对角线互相平分D．对角线相等解：矩形的性质有：①矩形的对边相等且平行，①矩形的对角相等，且都是直角，①矩形的对角线互相平分、相等；菱形的性质有：①菱形的四条边都相等，且对边平行，①菱形的对角相等，①菱形的对角线互相平分、垂直，且每一条对角线平分一组对角；①矩形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等，故选D．3．顺次连接四边形ABCD各边中点所成的四边形为菱形，那么四边形ABCD的对角线AC 和BD只需满足的条件是（）A．相等B．互相垂直C．相等且互相垂直D．相等且互相平分解：因为原四边形的对角线与连接各边中点得到的四边形的关系：①原四边形对角线相等，所得的四边形是菱形；①原四边形对角线互相垂直，所得的四边形是矩形；①原四边形对角线既相等又垂直，所得的四边形是正方形；①原四边形对角线既不相等又不垂直，所得的四边形是平行四边形．因为顺次连接四边形ABCD各边中点所成的四边形为菱形，所以四边形ABCD的对角线AC和BD相等．故选A．4．已知菱形的两条对角线长分别是6cm和8cm，则菱形的边长是（）A．12cm B．10cm C．7cm D．5cm解：如图：①菱形ABCD中BD=8cm，AC=6cm，①OD=BD=4cm，OA=AC=3cm，在直角三角形AOD中AD===5cm．故选D．5．如图，菱形纸片ABCD，①A=60°，P为AB中点，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP所在的直线上，得到经过点D的折痕DE，则①DEC等于75度．解：连接BD，①四边形ABCD为菱形，①A=60°，①①ABD为等边三角形，①ADC=120°，①C=60°，①P为AB的中点，①DP为①ADB的平分线，即①ADP=①BDP=30°，①①PDC=90°，①由折叠的性质得到①CDE=①PDE=45°，在①DEC中，①DEC=180°﹣（①CDE+①C）=75°．故答案为：75．6．如图：在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE垂直AC交AD于点E，则DE的长是3．解：如图，连接CE，，设DE=x，则AE=8﹣x，①OE①AC，且点O是AC的中点，①OE是AC的垂直平分线，①CE=AE=8﹣x，在Rt①CDE中，x2+42=（8﹣x）2解得x=3，①DE的长是3．故答案为：3．7．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是BC上一点，且AB=BE，①1=15°，则①2=30°．解：①四边形ABCD是矩形，①①ABC=①BAD=90°，OB=OD，OA=OC，AC=BD，①OB=OC，OB=OA，①①OCB=①OBC，①AB=BE，①ABE=90°，①①BAE=①AEB=45°，①①1=15°，①①OCB=①AEB﹣①EAC=45°﹣15°=30°，①①OBC=①OCB=30°，①①AOB=30°+30°=60°，①OA=OB，①①AOB是等边三角形，①AB=OB，①①BAE=①AEB=45°，①AB=BE，①OB=BE，①①OEB=①EOB，①①OBE=30°，①OBE+①OEB+①BEO=180°，①①OEB=75°，①①AEB=45°，①①2=①OEB﹣①AEB=30°，故答案为：30°．8．如图，在Rt①ABC中，①ACB=90°，D为AB的中点，AE①CD，CE①AB，连接DE交AC于点O．（1）证明：四边形ADCE为菱形．（2）BC=6，AB=10，求菱形ADCE的面积．证明：（1）①在Rt①ABC中，①ACB=90°，D为AB中点，①CD=AB=AD，又①AE①CD，CE①AB①四边形ADCE是平行四边形，①平行四边形ADCE是菱形；（2）在Rt①ABC中，AC===8．①平行四边形ADCE是菱形，①CO=OA，又①BD=DA，①DO是①ABC的中位线，①BC=2DO．又①DE=2DO，①BC=DE=6，①S菱形ADCE===24．B组9．如图：点P是Rt①ABC斜边AB上的一点，PE①AC于E，PF①BC于F，BC=15，AC=20，则线段EF的最小值为（）A．12B．6C．12.5D．25解：如图，连接CP．①①C=90°，AC=3，BC=4，①AB===25，①PE①AC，PF①BC，①C=90°，①四边形CFPE是矩形，①EF=CP，由垂线段最短可得CP①AB时，线段EF的值最小，此时，S①ABC=BC•AC=AB•CP，即×20×15=×25•CP，解得CP=12．故选A．10．如图，在菱形ABCD中，①BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，点E为垂足，连接DF，则①CDF为（）A．80°B．70°C．65°D．60°解：如图，连接BF，在①BCF和①DCF中，①CD=CB，①DCF=①BCF，CF=CF①①BCF①①DCF①①CBF=①CDF①FE垂直平分AB，①BAF=×80°=40°①①ABF=①BAF=40°①①ABC=180°﹣80°=100°，①CBF=100°﹣40°=60°①①CDF=60°．故选D．11．如图，在菱形ABCD中，①A=110°，E，F分别是边AB和BC的中点，EP①CD于点P，则①FPC的度数为（）A．55°B．50°C．45°D．35°解：延长PF交AB的延长线于点G．如图所示：在①BGF与①CPF中，，①①BGF①①CPF（ASA），①GF=PF，①F为PG中点．又①由题可知，①BEP=90°，①EF=PG，①PF=PG，①EF=PF，①①FEP=①EPF，①①BEP=①EPC=90°，①①BEP﹣①FEP=①EPC﹣①EPF，即①BEF=①FPC，①四边形ABCD为菱形，①AB=BC，①ABC=180°﹣①A=70°，①E，F分别为AB，BC的中点，①BE=BF，①BEF=①BFE=（180°﹣70°）=55°，①①FPC=55°；故选：A．12．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是BC上一点，且AB=BE，①1=15°，则①2=30°．解：①四边形ABCD是矩形，①①ABC=①BAD=90°，OB=OD，OA=OC，AC=BD，①OB=OC，OB=OA，①①OCB=①OBC，①AB=BE，①ABE=90°，①①BAE=①AEB=45°，①①1=15°，①①OCB=①AEB﹣①EAC=45°﹣15°=30°，①①OBC=①OCB=30°，①①AOB=30°+30°=60°，①OA=OB，①①AOB是等边三角形，①AB=OB，①①BAE=①AEB=45°，①AB=BE，①OB=BE，①①OEB=①EOB，①①OBE=30°，①OBE+①OEB+①BEO=180°，①①OEB=75°，①①AEB=45°，①①2=①OEB﹣①AEB=30°，故答案为：30°．13．（2019•绍兴）如图，在直线AP上方有一个正方形ABCD，①P AD＝30°，以点B为圆心，AB长为半径作弧，与AP交于点A，M，分别以点A，M为圆心，AM长为半径作弧，两弧交于点E，连结ED，则①ADE的度数为15°或45°．【分析】分点E与正方形ABCD的直线AP的同侧、点E与正方形ABCD的直线AP的两侧两种情况，根据正方形的性质、等腰三角形的性质解答．解：①四边形ABCD是正方形，①AD＝AE，①DAE＝90°，①①BAM＝180°﹣90°﹣30°＝60°，AD＝AB，当点E与正方形ABCD的直线AP的同侧时，由题意得，点E与点B重合，①①ADE＝45°，当点E与正方形ABCD的直线AP的两侧时，由题意得，E′A＝E′M，①①AE′M为等边三角形，①①E′AM＝60°，①①DAE′＝360°﹣120°﹣90°＝150°，①AD＝AE′，①①ADE′＝15°，故答案为：15°或45°．14．如图：在①ABC中，CE、CF分别平分①ACB与它的邻补角①ACD，AE①CE于E，AF①CF 于F，直线EF分别交AB、AC于M、N．（1）求证：四边形AECF为矩形；（2）试猜想MN与BC的关系，并证明你的猜想；（3）如果四边形AECF是菱形，试判断①ABC的形状，直接写出结果，不用说明理由．（1）证明：①AE①CE于E，AF①CF于F，①①AEC=①AFC=90°，又①CE、CF分别平分①ACB与它的邻补角①ACD，①①BCE=①ACE，①ACF=①DCF，①①ACE+①ACF=（①BCE+①ACE+①ACF+①DCF）=×180°=90°，①三个角为直角的四边形AECF为矩形．（2）结论：MN①BC且MN=BC．证明：①四边形AECF为矩形，①对角线相等且互相平分，①NE=NC，①①NEC=①ACE=①BCE，①MN①BC，又①AN=CN（矩形的对角线相等且互相平分），①N是AC的中点，若M不是AB的中点，则可在AB取中点M1，连接M1N，则M1N是①ABC的中位线，MN①BC，而MN①BC，M1即为点M，所以MN是①ABC的中位线（也可以用平行线等分线段定理，证明AM=BM）①MN=BC；法二：延长MN至K，使NK=MN，因为对角线互相平分，所以AMCK是平行四边形，KC①MA，KC=AM因为MN①BC，所以MBCK是平行四边形，MK=BC，所以MN=BC（3）解：①ABC是直角三角形（①ACB=90°）．理由：①四边形AECF是菱形，①AC①EF，①EF①AC，①AC①CB，①①ACB=90°．即①ABC是直角三角形．15．如图，在①ABC中，①ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作CE①BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．（1）求证：BD=DF；（2）求证：四边形BDFG为菱形；（3）若AG=13，CF=6，求四边形BDFG的周长．（1）证明：①①ABC=90°，BD为AC的中线，①BD=AC，①AG①BD，BD=FG，①四边形BGFD是平行四边形，①CF①BD，①CF①AG，又①点D是AC中点，①DF=AC，①BD=DF；（2）证明：①BD=DF，①四边形BGFD是菱形，（3）解：设GF=x，则AF=13﹣x，AC=2x，①在Rt①ACF中，①CFA=90°，①AF2+CF2=AC2，即（13﹣x）2+62=（2x）2，解得：x=5，①四边形BDFG的周长=4GF=20．。

初三数学中考基础知识总复习—矩形、菱形、正方形命题点1 矩形的相关证明与计算1．对于任意的矩形，下列说法一定正确的是( ) A. 对角线垂直且相等 B. 四边都互相垂直 C. 四个角都相等D. 是轴对称图形，但不是中心对称图形2．如图，在□ABCD 中，M ，N 是BD 上两点，BM ＝DN ，连接AM ，MC ，CN ，NA .添加一个条件，使四边形AMCN 是矩形，这个条件是( )A. OM ＝12AC B. MB ＝MO C. BD ⊥AC D. ∠AMB ＝∠CND第2题图3．如图，矩形ABCD 中，AC 、BD 交于点O ，M 、N 分别为BC 、OC 的中点，若MN ＝4，则AC 的长为________．第3题图4．如图，在矩形ABCD 中，∠DAC ＝65°，点E 是CD 上一点，BE 交AC 于点F ，将△BCE 沿BE 折叠，点C 恰好落在AB 边上的点C ′处，则∠AFC ′＝________．第4题图5．如图，四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OD.求证：四边形ABCD是矩形．第5题图6．如图，在 ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，E，F分别为垂足．(1)求证：△ABE≌△CDF；(2)求证：四边形AECF是矩形．第6题图命题点2 菱形的相关证明与计算7．如图，菱形ABCD中，∠D＝150°，则∠1＝()A. 30°B. 25°C. 20°D. 15°第7题图8．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，O(0，0)，A(4，0)，∠AOC＝60°，则对角线交点E的坐标为()A. (2，3)B. (3，2)C. (3，3)D. (3，3)第8题图9．如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且点O是BD的中点，若AB＝AD＝5，BD＝8，∠ABD＝∠CDB，则四边形ABCD的面积为()A. 40B. 24C. 20D. 15第9题图10．如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E为BC的中点，若OE＝3，则菱形的周长为________．第10题图11．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，已知BO＝4，S菱形ABCD＝24，则AH＝________．第11题图12．如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且BE＝DF，连接AE，AF.求证：AE＝AF.第12题图13．如图，在菱形ABCD 中，AC 为对角线，点E ，F 分别在AB ，AD 上，BE ＝DF ，连接EF . (1)求证：AC ⊥EF ；(2)延长EF 交CD 的延长线于点G ，连接BD 交AC 于点O .若BD ＝4，tanG ＝12，求AO 的长．第13题图命题点3 正方形的相关证明与计算14．如图，点E 在正方形ABCD 边AB 上，若EB ＝1，EC ＝2，那么正方形ABCD 的面积为( ) A. 3 B. 3 C. 5 D. 5第14题图15．如图，四边形ABCD 是正方形，延长AB 到点E ，使AE ＝AC ，连接CE ，则∠BCE 的度数是________度．第15题图16．如图，已知点E 在正方形ABCD 的边AB 上，以BE 为边向正方形ABCD 外部作正方形BEFG ，连接DF ，M 、N 分别是DC 、DF 的中点，连接MN .若AB ＝7，BE ＝5，则MN ＝________．第16题图17．如图，正方形ABCD的边长为1，点E，F分别为BC，CD的中点，连接AE，BF交于点P，连接PD，则tan∠APD＝________．第17题图18．如图，ABCD是正方形，E是CD边上任意一点，连接AE，作BF⊥AE，DG⊥AE，垂足分别为F，G.求证：BF－DG＝FG.第18题图19．如图，正方形ABCD中，点E，F分别在AD，CD上，且DE＝CF，AF与BE相交于点G.(1)求证BE＝AF；(2)若AB＝4，DE＝1，求AG的长．第19题图中考冲刺集训一、选择题(本大题共7小题，每小题3分，共21分)1．下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是()A. 内角和为360°B. 对角线互相平分C. 对角线相等D. 对角线互相垂直2．顺次连接菱形四边中点得到的四边形是()A. 平行四边形B. 菱形C. 矩形D. 正方形3、如图，四边形ABCD为菱形，A，B两点的坐标分别是(2，0)，(0，1)，点C，D在坐标轴上，则菱形ABCD的周长等于()A. 5B. 4 3C. 4 5D. 20第3题图4．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边CD、AD上，BE与CF交于点G.若BC＝4，DE＝AF＝1，则FG的长为()A. 135 B.125 C.195 D.165第4题图5．如图，矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC，AD于点E，F，若BE＝3，AF ＝5，则AC的长为()A. 4 5B. 4 3C. 10D. 8第5题图6．如图，正方形ABCD的边AB上有一动点E，以EC为边作矩形ECFG，且边FG过点D，在点E 从点A移动到点B的过程中，矩形ECFG的面积()A. 先变大后变小B. 先变小后变大C. 一直变大D. 保持不变第6题图7．如图，在正方形ABCD中，点E，F将对角线AC三等分，且AC＝12.点P在正方形的边上，则满足PE＋PF＝9的点P的个数是()A. 0B. 4C. 6D. 8第7题图二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)8．将一个矩形纸片折叠成如图所示的图形，若∠ABC＝26°，则∠ACD＝________°.第8题图9．已知正方形ABCD的面积是2，E为正方形一边BC从B到C方向的延长线上的一点，若CE＝2，连接AE，与正方形另一边CD交于点F，连接BF并延长，与线段DE交于点G，则BG的长为________．10．三个形状大小相同的菱形按如图所示方式摆放，已知∠AOB＝∠AOE＝90°，菱形的较短对角线长为2 cm，若点C落在AH的延长线上，则△ABE的周长为________cm.第10题图11．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，∠DCA＝30°，点F是对角线AC上的一个动点，连接DF，以DF为斜边作∠DFE＝30°的直角三角形DEF，使点E和点A位于DF两侧，点F从点A到点C 的运动过程中，点E的运动路径长是________．第11题图12．如图，正方形ABCD的边长为a，点E在边AB上运动(不与点A，B重合)，∠DAM＝45°，点F 在射线AM上，且AF＝2BE，CF与AD相交于点G，连接EC，EF，EG.则下列结论：①∠ECF＝45°；②△AEG的周长为(1＋22)a；③BE2＋DG2＝EG2；④△EAF的面积的最大值是18a2.其中正确的结论是________．(填写所有正确结论的序号)第12题图三、解答题(本大题共4小题，13～15题每题8分，16题10分，共34分)13．如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG＝AE，连接CG.(1)求证：△ABE≌△CDF；(2)当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由．第13题图14．如图，在四边形ABCD 中，BC ∥AD ，BC ＝12AD ，点E 为AD 的中点，点F 为AE 的中点，AC⊥CD ，连接BE ，CE ，CF .(1)判断四边形ABCE 的形状，并说明理由；(2)如果AB ＝4，∠D ＝30°，点P 为BE 上的动点，求△P AF 的周长的最小值．第14题图15．如图，菱形ABCD 中，作BE ⊥AD 、CF ⊥AB ，分别交AD 、AB 的延长线于点E 、F . (1)求证：AE ＝BF ；(2)若点E 恰好是AD 的中点，AB ＝2，求BD 的值．第15题图16．如图，在边长为1的正方形ABCD 中，E 是边CD 的中点，点P 是边AD 上一点(与点A 、D 不重合)，射线PE 与BC 的延长线交于点Q .(1)求证：△PDE≌△QCE；(2)过点E作EF∥BC交PB于点F，连接AF，当PB＝PQ时，①求证：四边形AFEP是平行四边形；②请判断四边形AFEP是否为菱形，并说明理由．第16题图教材改编题拓展1．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，正方形A′B′C′O与正方形ABCD的边长相等，在正方形A′B′C′O绕点O旋转的过程中，两个正方形重叠部分的面积与正方形ABCD的面积有什么关系？请证明你的结论．第1题图【1－变式拓展1】(2019荆州)如图①，等腰直角三角形OEF的直角顶点O为正方形ABCD的中点，点C，D分别在OE和OF上，现将△OEF绕点O逆时针旋转α角(0°<α<90°)，连接AF，DE(如图②)．(1)在图②中，∠AOF＝________；(用含α的式子表示)(2)在图②中，猜想AF与DE的数量关系，并证明你的结论．1－变式拓展1题图【1－变式拓展2】如图所示，已知正方形OEFG 的顶点O 为正方形ABCD 对角线AC 、BD 的交点，连接CE 、DG .(1)求证：△DOG ≌△COE ；(2)若DG ⊥BD ，正方形ABCD 的边长为2，线段AD 与线段OG 相交于点M ，AM ＝12，求正方形OEFG的边长．1－变式拓展2题图2．如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，且ED ∥AC ，CE ∥BD . 求证：四边形OCED 是菱形．第2题图【2－变式拓展1】如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB∶BC＝3∶2，过点B作BE∥AC，过点C作CE∥DB，BE、CE交于点E，连接DE，则tan∠EDC＝()2－变式拓展1题图A. 29 B.14 C.26 D.310【2－变式拓展2】如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是CD中点，连接OE.过点C作CF∥BD交OE的延长线于点F，连接DF.求证：(1)△ODE≌△FCE；(2)四边形OCFD是矩形．2－变式拓展2题图3．如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，且CE＝CF，BE与DF 之间有怎样的关系？请说明理由．第3题图【3－变式拓展1】如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置．若四边形AECF的面积为20，DE＝2，则AE的长为()A. 4B. 25C. 6D. 263－变式拓展1题图【3－变式拓展2】如图，在正方形ABCD中，点E是BC上的一点，点F是CD延长线上的一点，且BE＝DF，连接AE、AF、EF.(1)求证：△ABE≌△ADF;(2)若AE＝5，请求出EF的长．3－变式拓展2题图4．已知：如图，在□ABCD中，E，F分别是BC和AD上的点，且AE∥FC.求证：EF过BD的中点O.第4题图【4－变式拓展1】如图，已知四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD，过O点作EF⊥BD，分别交AD、BC于点E、F.(1)求证：△AOE≌△COF；(2)判断四边形BEDF的形状，并说明理由．4－变式拓展1题图【4－变式拓展2】如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点O是对角线BD的中点，过点O的直线分别交AB、CD边于点E、F.(1)求证：四边形DEBF是平行四边形；(2)当DE＝DF时，求EF的长．4－变式拓展2题图第十七讲 矩形、菱形、正方形命题点分类集训1．C 2.A 3.16 4.40° 5．证明：∵AB ＝CD ，AD ＝BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形． ∴OA ＝12AC ，OD ＝12BD .又∵OA ＝OD ，∴AC ＝BD .∴□ABCD 是矩形．··········(3分) 6．证明：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AB ＝CD . ∵AE ⊥BC ，CF ⊥AD ， ∴AE ＝CF .∴△ABE ≌△CDF (HL )．··········(4分) (2)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC .∵AE ⊥BC ，CF ⊥AD ， ∴AE ∥CF ，由(1)得AE ＝CF ， ∴四边形AECF 为平行四边形， 又∵∠AEC ＝90°.∴四边形AECF 是矩形.·········· (10分) 7．D8. D 【解析】如解图，过点E 作EF ⊥x 轴于点F ，∵四边形OABC 为菱形，∠AOC ＝60°，∴∠AOE ＝12∠AOC ＝30°，AC ⊥OB ，△AOC 为等边三角形．∴∠F AE ＝60°.∵A (4，0)，∴OA ＝4.∴AE＝12AO ＝12×4＝2.∴AF ＝12AE ＝1.∴EF ＝AE 2－AF 2＝22－12＝ 3.∴OF ＝AO －AF ＝4－1＝3.∴E (3，3)．第8题解图9．B 10.24 11.4.812．证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝AD ，∠B ＝∠D .··········(2分) ∵BE ＝DF ，(3分)∴△ABE ≌△ADF (SAS )．··········(5分) ∴AE ＝AF .··········(6分) 13．(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝AD ， ∴∠BAC ＝∠DAC . ∵AB ＝AD ，BE ＝DF ，∴AB －BE ＝AD －DF ，即AE ＝AF . ∴△AEF 是等腰三角形． 又∵∠BAC ＝∠DAC ， ∴AC ⊥EF .··········(2分) (2)解：由题意作解图如下， ∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，AB ∥CD ，OB ＝12BD ＝12×4＝2.∴∠G ＝∠AEG . 由(1)知EF ⊥AC .第13题解图又∵BD ⊥AC ， ∴EF ∥BD . ∴∠AEG ＝∠ABO . ∴∠G ＝∠ABO . ∵tanG ＝12，∴tan ∠ABO ＝AO OB ＝12.∴AO ＝OB ·tan ∠ABO ＝2×12＝1.··········(5分)14．B 15.22.5 16.132 17.218．证明：∵BF ⊥AE ，DG ⊥AE ，∴∠DGA ＝AFB ＝90°，∠ABF ＋∠F AB ＝90°. ∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠F AB ＋∠DAG ＝90°，AB ＝AD . ∴∠DAG ＝∠ABF .··········(2分) 在△DAG 和△ABF 中⎩⎪⎨⎪⎧∠DGA ＝∠AFB ，∠DAG ＝∠ABF ，AD ＝BA ，∴△DAG ≌△ABF (AAS )．··········(4分) ∴AF ＝DG , BF ＝AG . ∴FG ＝AG －AF ＝BF －DG . ∴BF －DG ＝FG .··········(6分) 19．(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝AD ，∠BAE ＝∠ADF ＝90°. 又∵DE ＝CF ，∴AD －DE ＝DC －CF ，即AE ＝DF . 在△ABE 与△DAF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧BA ＝AD ，∠BAE ＝∠ADF ，AE ＝DF ，∴△ABE ≌△DAF (SAS ) . ∴BE ＝AF .··········(4分)(2)解：∵AB ＝4，DE ＝1，∴AE ＝4－1＝3. ∴BE ＝AB 2＋AE 2＝42＋32＝5. 由(1)知，∠EBA ＝∠F AD ，∴∠F AD ＋∠AEB ＝∠EBA ＋∠AEB ＝90°， 即∠AGE ＝90°＝∠BAE . ∴△AGE ∽△BAE .∴AG BA ＝AE BE ，即AG 4＝35，解得AG ＝125.··········(8分) 中考冲刺集训1．C 2.C 3.C 4.A 5.A 6.D 7.D 8．128 9.2103 10.12＋82 11.433 12.①④13．(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OB ＝OD ，AB ＝CD .··········(1分) ∵AB ∥CD ，∴∠ABE ＝∠CDF .··········(2分) ∵点E ，F 分别为OB ，OD 的中点， ∴BE ＝12OB ，DF ＝12OD .··········(3分)∴BE ＝DF .∴△ABE ≌△CDF (SAS )．··········(4分)(2)解：当AB ＝12AC 时，四边形EGCF 是矩形．··········(6分)理由：∵AB ＝12AC ，AO ＝OC ，∴AB ＝AO . ∵BE ＝OE ，∴AE ⊥BO (等腰三角形三线合一)．··········(7分) ∴∠FEG ＝90°.由(1)得△ABE ≌△CDF ， ∴∠AEB ＝∠CFD ＝90°，AE ＝CF .∵∠AEB ＝∠FEG ， ∴∠CFD ＝∠FEG . ∴EG ∥FC .∵AE ＝CF ，EG ＝AE ， ∴EG ＝CF ，∴四边形EGCF 是平行四边形． 又∵∠FEG ＝90°，∴四边形EGCF 是矩形．··········(8分) 14．解：(1)四边形ABCE 是菱形．理由如下：∵BC ＝12AD ，点E 为AD 的中点，∴BC ＝AE ＝ED .··········(1分) 又∵BC ∥AD ，∴四边形ABCE 为平行四边形，四边形BCDE 为平行四边形． ∴BE ∥CD . 又∵AC ⊥CD ， ∴AC ⊥BE .∴四边形ABCE 为菱形；··········(3分) (2)∵∠D ＝30°，AC ⊥CD ， ∴∠EAC ＝∠ACE ＝60°. ∴△AEC 为等边三角形． ∵四边形ABCE 为菱形， ∴EC ＝AE ＝AB ＝4.又∵点A 与点C 关于对角线BE 对称， ∴P A ＝PC .··········(5分)当点P 运动到FC 与BE 的交点处为△P AF 周长最小值的位置， ∴此时△P AF 的周长＝P A ＋PF ＋AF ＝PC ＋PF ＋AF ＝FC ＋AF . ∵△AEC 为等边三角形，∴FC ＝2 3，AF ＝12AE ＝2.··········(7分)∴△P AF 的周长最小值为2＋2 3.··········(8分)15．(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ∥BC ，∴∠BAE ＝∠CBF .··········(1分) ∵BE ⊥AD ，CF ⊥AB ，∴∠AEB ＝∠BFC .··········(2分) 又∵AB ＝BC ，∴△ABE ≌△BCF (AAS )． ∴AE ＝BF .··········(4分)(2)解：由题意知，BE 垂直平分AD ，即BE 是AD 的垂直平分线， ∴点B 到AD 两边的距离相等．··········(6分) ∴BD ＝AB ＝2.(8分)16．(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠D ＝∠BCD ＝90°.∴∠ECQ ＝90°＝∠D .··········(1分) ∵E 是CD 的中点，∴DE ＝CE .··········(2分) 又∵∠DEP ＝∠CEQ ，∴△PDE ≌△QCE .··········(3分)(2)①证明：如解图，由(1)可知△PDE ≌△QCE ， ∴PE ＝QE ＝12PQ .又∵EF ∥BC ， ∴PF ＝FB ＝12PB .∵PB ＝PQ ， ∴PF ＝PE . ∴∠1＝∠2.∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠BAD ＝90°.在Rt △ABP 中，F 是PB 的中点，∴AF ＝12BP ＝FP . ∴∠3＝∠4.又∵AD ∥EF ，∴∠1＝∠4.∴∠2＝∠3.又∵PF ＝FP ，∴△APF ≌△EFP .∴AP ＝EF .∴四边形AFEP 是平行四边形．··········(6分)②解：四边形AFEP 不是菱形，理由如下：第16题解图设PD ＝x ，则AP ＝1－x ，由(1)可知△PDE ≌△QCE ，∴CQ ＝PD ＝x .∴BQ ＝BC ＋CQ ＝1＋x .∵点E ，F 分别是PQ ，PB 的中点，∴EF ＝12BQ ＝1＋x 2， 由①可知AP ＝EF ，即1－x ＝1＋x 2，解得x ＝13， ∴PD ＝13，AP ＝23. 在Rt △PDE 中，DE ＝12， ∴PE ＝PD 2＋DE 2＝136. ∴AP ≠PE .∴四边形AFEP 不是菱形．··········(10分)教材改编题拓展1．解：重叠部分面积不变，总是等于正方形面积的14. 理由如下：如解图∵四边形ABCD 和四边形OA ′B ′C ′都是正方形，∴OB ＝OC ，∠OBA ＝∠OCB ＝45°，∠BOC ＝∠A ′OC ′＝90°.第1题解图∵∠A ′OB ＋∠BOC ′＝90°，∠COC ′＋∠BOC ′＝90°，∴∠A ′OB ＝∠COC ′.在△OBM 与△OCN 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠OBM ＝∠OCN ，OB ＝OC ，∠BOM ＝∠CON ，∴△OBM ≌△OCN (ASA )．∴四边形OMBN 的面积等于三角形BOC 的面积．即重叠部分面积不变，总是等于正方形面积的14. 【1－变式拓展1】解：(1)90°－α；【解法提示】∵∠FOD ＝α，∠AOD ＝90°，∴∠AOF ＝∠AOD －∠FOD ＝90°－α.(2)AF ＝DE ，证明：∵∠DOE ＝∠FOE －∠FOD ＝90°－α，∴∠DOE ＝∠AOF .在△DOE 与△AOF 中，⎩⎪⎨⎪⎧OD ＝OA ，∠DOE ＝∠AOF ，OE ＝OF ，∴△DOE ≌△AOF (SAS )．∴AF ＝DE .【1－变式拓展2】(1)证明：∵四边形OEFG 与四边形ABCD 为正方形，∴∠EOG ＝∠COD ＝90°，GO ＝EO ，DO ＝CO .又∵∠GOD ＋∠DOE ＝∠EOC ＋∠DOE ＝90°，∴∠GOD ＝∠EOC .在△DOG 与△COE 中，⎩⎪⎨⎪⎧GO ＝EO ，∠GOD ＝∠EOC DO ＝CO ，，∴△DOG ≌△COE (SAS )；(2)解：∵DG ⊥BD ，AO ⊥BD ，∴DG ∥AO .∴∠GDA ＝∠OAM .∴△GMD ∽△OMA .∴MD MA ＝GD OA. 又∵AB ＝2，AM ＝12，∴DM ＝32，OA ＝ 2. ∴GD ＝MD ·OA MA ＝32×212＝3 2. ∴OG ＝DG 2＋OD 2＝2 5.∴正方形OEFG 的边长为2 5.2．证明：∵DE ∥AC ，CE ∥BD ，∴四边形OCED 是平行四边形．∵四边形ABCD 是矩形，∴OC ＝OD ，∴四边形OCED 是菱形．【2－变式拓展1】A【2－变式拓展2】证明：(1)∵CF∥BD，∴∠DOE＝∠CFE.∵E是CD中点，∴DE＝CE.又∵∠DEO＝∠CEF，∴△ODE≌△FCE(AAS)．(2)∵△ODE≌△FCE，∴OD＝FC.∵CF∥BD，∴四边形OCFD是平行四边形．又∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD即∠COD＝90°，∴四边形OCFD是矩形．3．解：BE＝DF，BE⊥DF.理由如下：如解图，延长BE交DF于点P，第3题解图∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD，∠DCB＝∠DCF.又∵CE＝CF，∴△BCE≌△DCF(SAS)．∴BE＝DF，∠PBF＝∠CDF.又∵∠CDF＋∠F＝90°.∴∠PBF＋∠F＝90°.∴∠BPF＝90°.∴BE⊥DF，∴BE与DF的数量关系是BE＝DF，位置关系是BE⊥DF.【3－变式拓展1】D【3－变式拓展2】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°.∴∠B＝∠ADF＝90°.又∵BE＝DF，∴△ABE≌△ADF(SAS)；(2)解：∵△ABE≌△ADF，∴AF＝AE＝5，∠F AD＝∠BAE.∴∠F AE＝∠BAD＝90°.∴EF＝AE2＋AF2＝52＋52＝5 2.4．证明：如解图，连接BF、DE，第4题解图∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC.∵AE∥FC，∴四边形AECF是平行四边形．∴AF＝EC.∴DF＝BE.∴四边形BEDF为平行四边形．∴BD与EF互相平分，O是BD的中点O.∴EF过BD的中点O.【4－变式拓展1】(1)证明：∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形．∴AD∥BC.∴∠EAO＝∠FCO.在△AOE 和△COF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠EAO ＝∠FCO ，OA ＝OC ，∠EOA ＝∠FOC ，∴△AOE ≌△COF (ASA )；(2)解：四边形BEDF 是菱形．理由如下：∵△AOE ≌△COF ，∴OE ＝OF .又∵OB ＝OD ，∴四边形BEDF 是平行四边形．又∵EF ⊥BD ,∴四边形BEDF 是菱形．【4－变式拓展2】(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥CD ，∴∠DFO ＝∠BEO ，又∵∠DOF ＝∠BOE ，OD ＝OB ，∴△DOF ≌△BOE ，∴DF ＝BE ，又∵DF ∥BE ，∴四边形BEDF 是平行四边形；(2)解：∵DE ＝DF ，四边形BEDF 是平行四边形， ∴四边形BEDF 是菱形．∴DE ＝BE ，EF ⊥BD ，OE ＝OF ，设AE ＝x ，则DE ＝BE ＝8－x ，在Rt △ADE 中，根据勾股定理，有AE 2＋AD 2＝DE 2，∴x 2＋62＝(8－x )2.解得x ＝74， ∴DE ＝8－74＝254. 在Rt △ABD 中，根据勾股定理，有AB 2＋AD 2＝BD 2， ∴BD ＝62＋82＝10.∴OD ＝12BD ＝5. 在Rt △DOE 中，根据勾股定理，有DE 2－OD 2＝OE 2， ∴OE ＝（254）2－52＝154. ∴EF ＝2OE ＝152.。

一、选择题9．（2019·苏州）如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，AC =4，BD =16将△ABO 沿点A 到点C 的方向平移，得到△A 'B 'O '．当点A '与点C 重合时，点A 与点B '之问的距离为 （ ） A ．6 B ．8 C ．10 D ．12（第9题）【答案】C【解析】∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，AO ＝OC 12=AC ＝2，OB ＝OD 12=BD ＝8，∵△ABO 沿点A 到点C 的方向平移，得到△A 'B 'O '，点A '与点C 重合，∴O 'C ＝OA ＝2，O 'B '＝OB ＝8，∠CO 'B '＝90°， ∴AO '＝AC +O 'C ＝6，∴AB'===10，故选C ．10．（2019·温州）如图，在矩形ABCD 中，E 为AB 中点，以BE 为边作正方形BEFG ，边EF 交CD 于点H ，在边BE 上取点M 使BM=BC ，作MN ∥BG 交CD 于点L ，交FG 于点N ．欧几里得在《几何原本》中利用该图解释了(a+b)(a-b)=a 2-b 2．现以点F 为圆心，FE 为半径作圆弧交线段DH 于点P ，连结EP ，记△EPH 的面积为S 1，图中阴影部分的面积为S 2．若点A ，L ，G 在同一直线上，则12S S 的值为 （ ）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】C【解析】如图，连接ALGL ，PF ．由题意：S 矩形AMLD ＝S 阴＝a 2﹣b 2，PH＝22-a b ，∵点A ，L ，G 在同一直线上，AM ∥GN ，∴△AML ∽△GNL ，∴＝，∴＝，整理得a ＝3b ，∴＝＝＝，故选C ．9．（2019·绍兴）正方形ABCD 的边AB 上有一动点E ，以EC 为边作矩形ECFG ，且边FG 过点D ，在点E 从点A 移动到点B 的过程中，矩形ECFG 的面积 ( )A.先变大后变小B.先变小后变大C.一直变大D.保持不变10． （2019·烟台）如图，面积为24的ABCD 中，对角线BD 平分，过点D 作交BC 的延长线于点E ，6DE =，则sin DCE ∠的值为（ ）．A ．2425B ．45C ．34D ．1225【答案】A【解析】连接AC ，交BD 于点F ，过点D 作DM CE ⊥，垂足为M因为四边形ABCD 是平行四边形， 所以F 是BD 的中点，AD//BC ， 所以DBC ADB ∠=∠，因为BD 是 ABC ∠的平分线， 所以ABD DBC ∠=∠， 所以ABD ADB ∠=∠， 所以AB AD =，所以□ABCD 是菱形， 所以AC BD ⊥， 又因为DE BD ⊥， 所以AC//DE ，因为AC//DE ，F 是BD 的中点， 所以C 是BE 的中点，所以132CF DE ==， 因为四边形ABCD 是菱形， 所以26AC FC ==，2ABCD AC BDS ⨯=菱形， FADB所以222486ABCDS BD AC⨯===菱形， 所以142BF BD ==， 在Rt △BFD 中，由勾股定理得5BC ==，因为四边形ABCD 是菱形， 所以5DC BC ==，因为ABCD S BC DM =⨯菱形 所以245ABCDS DM BC==菱形， 在Rt △DCM 中，24sin 25DM DCE DC ∠==． 6．（2019·江西）如图，由10根完全相同的小棒拼接而成，请你再添2根与前面完全相同的小棒，拼接后的图形恰好有3个菱形的方法共有（ ）A.3种B.4种C.5种D.6种【答案】B【解题过程】具体拼法有4种，如图所示：4．（2019·株洲）对于任意的矩形，下列说法一定正确的是（） A ．对角线垂直且相等B ．四边都互相垂直C ．四个角都相等D ．是轴对称图形，但不是中心对称图形 【答案】C 【解析】根据矩形的性质可知，矩形的对角线相等但不一定垂直，所以选项A 是错误的；矩形相邻的边互相垂直，对边互相平行，所以选项B 是错误的；矩形的四个角都是直角，所以四个角都相等是正确的；矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，所以选项D 是错误的；故选C.3． （2019·娄底）顺次连接菱形四边中点得到的四边形是（ ）A 平行四边形B ． 菱形C ． 矩形D ． 正方形 【答案】C【解析】如图：菱形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、AD 的中点，∴EH ∥FG ∥BD ，EH ＝FG ＝ 12 BD ；EF ∥HG ∥AC ，EF ＝HG ＝12 AC ， 故四边形EFGH 是平行四边形， 又∵AC ⊥BD ，∴EH ⊥EF ，∠HEF ＝90° ∴四边形EFGH 是矩形． 故选C ．10．（2019·安徽）如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 将对角线AC 三等分，且AC=12.点P 在正方形的边上，则满足PE+PF=9的点P 的个数是A. 0B. 4C. 6D. 8【答案】D【解题过程】如图，作点F 关于CD 的对称点F /，连接PF /、PF ，则PE ＋PF ＝EF /，根据两点之间线段最知可知此时PE ＋PF 的值最小.过点E 作EH ⊥FF /，垂足为点H ，FF’交CD 于点G ，易知△EHF 、△CFG 是等腰直角三角形，∴EH ＝FH ＝FG ＝F’G＝2EF ＝，∴EF’＝9.根据正方形的对称性可知正方形ABCD 的每条边上都有一点P 使得PE ＋PF 最小值.连接DE 、DF ，易求得DE ＋DF ＝＞9，CE ＋CF ＝12＞0，故点P 位于点B 、D 时，PE ＋PF ＞9，点P 位于点A 、C 时，PE ＋PF ＞9，∴该正方形每条边上都有2处点使得PE ＋PF ＝9，共计点P 有8处.1.（2019·无锡）下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是（） A.内角和为360° B.对角线互相平分 C.对角线相等 D.对角线互相垂直 【答案】C【解析】本题考查了矩形的性质、菱形的性质，矩形的对角线相等且平分，菱形的对角线垂直且平分，所以矩形具有而菱形不具有的为对角线相等，故选C ．2. (2019·泰安)如图,矩形ABCD 中,AB ＝4,AD ＝2,E 为AB 的中点,F 为EC 上一动点,P 为DF 中点,连接PB,则PBB的最小值是A.2B.4C.2D.22【答案】D【解析】∵F为EC上一动点,P为DF中点,∴点P的运动轨迹为△DEC的中位线MN,∴MN∥EC,连接ME,则四边形EBCM为正方形,连接BM,则BM⊥CE,易证BM⊥MN,故此时点P与点M重合,点F与点C重合,BP取到最小值,在Rt△BCP中,BP＝22BC CP＝22.3.（2019·眉山）如图，在矩形ABCD中AB=6，BC=8，过对角线交点O作EF⊥AC交AD于点E，交BC于点F，则DE的长是A．1 B．74C．2 D．125【答案】B【解析】连接CE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=90°，OC=OA，AD=BC=8，DC=AB=6，∵EF⊥AC，OA=OC，∴AE=CE，在Rt△DEC中，DE2+DC2=CE2，即DE2+36=（8-DE）2，解得：x=74，故选B.4.（2019·攀枝花）下列说法错误的是（）A．平行四边形的对边相等B．对角线相等的四边形是矩形C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形D．正方形既是轴对称图形、又是中心对称图形【答案】B【解析】对角线相等的四边形不一定是矩形，如等腰梯形.故选B．5.（2019·攀枝花）如图，在正方形ABCD中，E是BC边上的一点，BE＝4，EC＝8，将正方形边AB沿AE折叠到AF ，延长EF 交DC 于G 。

矩形和菱形进阶 2022-2023苏科版数学中考专题复习一．选择题1．如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，且120AOD ∠=︒．过点A 作AE BD ⊥于点E ，则:BE ED 等于( )A ．1:3B ．1:4C ．2:3D ．2:52．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，且6AC =，8BD =，过A 点作AE 垂直BC ，交BC 于点E ，则BE CE的值为( )A ．512B ．725C ．718D ．5243．如图，在直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，3AC =，4BC =，点M 是边AB 上一点（不与点A ，B 重合），作ME AC ⊥于点E ，MF BC ⊥于点F ，若点P 是EF 的中点，则CP 的最小值是( )A ．1.2B ．1.5C ．2.4D ．2.54．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点A 、C 的坐标分别为(6,0)，(0,4)，点5OD =，点P 在BC 上运动，当ODP ∆是腰长为5的等腰三角形时，则满足条件的点P 有( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个5．下列说法正确的是( )A ．矩形的对角线互相垂直B ．菱形的对角线相等C ．正方形的对角线互相垂直且相等D ．平行四边形的对角线相等6．如图，两个全等的矩形纸片重叠在一起，矩形的长和宽分别是8和6，则重叠部分的四边形周长是( )A ． 10B ．15C ．20D ．257．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，且OA OD =，55OAD ∠=︒，则OCD ∠的度数为( )A ．35︒B ．40︒C ．45︒D ．50︒8．如图，在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，3AB =，4AC =，P 是斜边BC 上一动点，PE AB ⊥于E ，PF AC ⊥于F ，EF 与AP 相交于点O ，则OF 的最小值是( )A ．4.8B ．3.6C ．2.4D ．1.29．如图，菱形ABCD 中，60BAD ∠=，AC 与BD 交于点O ，E 为CD 延长线上的一点，且CD DE =，连结BE 分别交AC ，AD 于点F 、G ，连结OG ，则下列结论：①2OG AB =； ②与EGD ∆全等的三角形共有5个；③ABF ODGF S S ∆>四边形；④由点A 、B 、D 、E 构成的四边形是菱形，其中正确的是( )A ．①④B ．①③④C ．①②③D ．②③④10．如图，分别以Rt ABC ∆的斜边AB ，直角边AC 为边向外作等边ABD ∆和ACE ∆，F 为AB 的中点，DE ，AB 相交于点G ．连接EF ，若30BAC ∠=︒，下列结论：①EF AC ⊥；②四边形ADFE 为菱形；③4AD AG =；④DBF EFA ∆≅∆．则正确结论的序号是( )A ．①③B ．②④C ．①③④D ．②③④二．填空题（共8小题）11．如图，在ABC ∆中，已知90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，6BC =，D 为斜边AB 上一点，以CD 、CB 为边作平行四边形CDEB ，当AD = 时，平行四边形CDEB 为菱形．12．一个菱形的面积为220cm ，它的两条对角线长分别为y cm ，x cm ，则y 与x 之间的函数关系式为y = ．13．（2020•贺州模拟）如图，在线段AB 上取一点C ，分别以AC ，BC 为边长作菱形BCFG 和菱形ACDE ，使点D 在边CF 上，连接EG ，H 是EG 的中点，且4CH =，则EG 的长是 ．14．如图，矩形ABCD 中，2AB =，BC E 为CD 的中点，连接AE 、BD 于点P ，过点P 作PQ BC ⊥于点Q ，则PQ = ．15．如图，在矩形ABCD 中，8AB =，6BC =，点P 为边AB 上任意一点，过点P 作PE AC ⊥，PF BD ⊥，垂足分别为E 、F ，则PE PF += ．16．如图，矩形ABCD 中，AE 平分BAC ∠交BC 于点E ，DF AE ⊥交AB 于点F ，交AC 于点G ，若//EG AB ，且1BF =，则AF = ．17．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点(1,2)B ，若锁定OA ，向左推矩形OABC ，使点B 落在y 轴的点B '的位置，则点C 的对应点C '的坐标为 ．三．解答题（共4小题）18．如图所示，在矩形ABCD 中，E ，F 分别是边AB ，CD 上的点，AE CF =，连接EF ，BF ，EF 与对角线AC 交于点O ，且BE BF =，2BEF BAC ∠=∠．（1）求证：OE OF =；（2）若AC =AB 的长．19．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥，垂足为D ，AF 平分CAB ∠，交CD 于点E ，交CB 于点F ．（1）若30B ∠=︒，4AC =，求CE 的长；（2）过点F 作AB 的垂线，垂足为G ，连接EG ，试判断四边形CEGF 的形状，并说明理由．20．如图，过ABC ∆边AC 的中点O ，作OE AC ⊥，交AB 于点E ，过点A 作//AD BC ，与BO 的延长线交于点D ，连接CD ，CE ，若CE 平分ACB ∠，CE BO ⊥于点F ．（1）求证：①OC BC =；②四边形ABCD 是矩形；（2）若3BC =，求DE 的长．参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，且120AOD ∠=︒．过点A 作AE BD ⊥于点E ，则:BE ED 等于( )A ．1:3B ．1:4C ．2:3D ．2:5【分析】由矩形的性质得OA OB OD ==，易求60AOB ∠=︒，则AOB ∆为等边三角形，由AE BD ⊥，得出12BE OE OB ==，推出3ED BE =，即可得出结果． 【解答】解：四边形ABCD 是矩形，OA OB OD ∴==，120AOD ∠=︒，18012060AOB ∴∠=︒-︒=︒，AOB ∴∆为等边三角形，AE BD ⊥，12BE OE OB ∴==， 3ED BE ∴=， ∴13BE ED =， 故选：A ．【点评】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质等知识；熟练掌握矩形的性质和等边三角形的判定与性质是解题的关键．2．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，且6AC =，8BD =，过A 点作AE 垂直BC ，交BC 于点E ，则BE CE的值为( )A ．512B ．725C ．718D ．524【分析】利用菱形的性质即可计算得出BC 的长，再根据面积法即可得到AE 的长，最后根据勾股定理进行计算，即可得到BE 的长，进而得出结论．【解答】解：四边形ABCD 是菱形，132CO AC ∴==，142BO BD ==，AO BO ⊥，5BC ∴=，12ABCD S AC BD BC AE =⋅=⨯菱形， 16824255AE ⨯⨯∴==．在Rt ABE ∆中，75BE =， 718555CE BC BE ∴=-=-=， ∴BE CE 的值为718， 故选：C ．【点评】本题主要考查了菱形的性质以及勾股定理的运用，关键是掌握菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直平分．3．如图，在直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，3AC =，4BC =，点M 是边AB 上一点（不与点A ，B 重合），作ME AC ⊥于点E ，MF BC ⊥于点F ，若点P 是EF 的中点，则CP 的最小值是( )A ．1.2B ．1.5C ．2.4D ．2.5【分析】先由勾股定理求出5AB =，再证四边形CEMF 是矩形，得EF CM =，当CM AB ⊥时，CM 最短，此时EF 也最小，则CP 最小，然后由三角形面积求出 2.4CM =，即可得出答案．【解答】解：连接CM ，如图所示：90ACB ∠=︒，3AC =，4BC =，5AB ∴==，ME AC ⊥，MF BC ⊥，90ACB ∠=︒，∴四边形CEMF 是矩形，EF CM ∴=，点P 是EF 的中点，12CP EF ∴=， 当CM AB ⊥时，CM 最短，此时EF 也最小，则CP 最小，ABC ∆的面积1122AB CM AC BC =⨯=⨯， 34 2.45AC BC CM AB ⨯⨯∴===， 11 1.222CP EF CM ∴===， 故选：A ．【点评】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、三角形面积以及最小值等知识；熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．4．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点A 、C 的坐标分别为(6,0)，(0,4)，点5OD =，点P 在BC 上运动，当ODP ∆是腰长为5的等腰三角形时，则满足条件的点P 有( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【分析】根据当OP OD =时，以及当OD PD =时，分别进行讨论得出P 点的坐标．【解答】解：由题意，当ODP ∆是腰长为5的等腰三角形时，有三种情况：（1）如答图①所示，5PD OD ==，点P 在点D 的左侧．过点P 作PE x ⊥轴于点E ，则4PE =．在Rt PDE ∆中，由勾股定理得：3DE =， 532OE OD DE ∴=-=-=，∴此时点P 坐标为(2,4)；（2）如答图②所示，5OP OD ==．过点P 作PE x ⊥轴于点E ，则4PE =．在Rt POE ∆中，由勾股定理得：3OE ==，∴此时点P 坐标为(3,4)；（3）如答图③所示，5PD OD ==，点P 在点D 的右侧．过点P 作PE x ⊥轴于点E ，则4PE =．在Rt PDE ∆中，由勾股定理得：3DE =，538OE OD DE ∴=+=+=，∴此时点P 坐标为(8,4)（舍弃）．综上所述，点P 的坐标为：(2,4)或(3,4)；故选：C ．【点评】此题主要考查了矩形的性质以及坐标与图形的性质和等腰三角形的性质，根据ODP ∆是腰长为5的等腰三角形进行分类讨论是解决问题的关键．5．下列说法正确的是( )A ．矩形的对角线互相垂直B ．菱形的对角线相等C ．正方形的对角线互相垂直且相等D ．平行四边形的对角线相等【分析】根据正方形的性质，平行四边形的性质，菱形的性质，矩形的性质逐一进行判断即可．【解答】解：A ．因为矩形的对角线相等，所以A 选项错误，不符合题意；B ．因为菱形的对角线互相垂直，所以B 选项错误，不符合题意；C ．因为正方形的对角线互相垂直且相等，所以C 选项正确，符合题意；D ．因为平行四边形的对角线互相平分，所以D 选项错误，不符合题意．故选：C ．【点评】本题考查了正方形的性质，平行四边形的性质，菱形的性质，矩形的性质，解决本题的关键是综合掌握以上知识．6．如图，两个全等的矩形纸片重叠在一起，矩形的长和宽分别是8和6，则重叠部分的四边形周长是( )A ．10B ．15C ．20D ．25【分析】先证四边形ABCD 平行四边形，再证四边形ABCD 是菱形，得CD BC AB AD ===，设CD BC x ==，则8CG x =-，然后在Rt CDG ∆中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：如图所示：由题意得：矩形BFDE ≅矩形BHDG ，90G ∴∠=︒，6DG DE ==，//BG DH ，//BE DF ，8BG =，∴四边形ABCD 平行四边形，∴平行四边形ABCD 的面积AD DG CD DE =⨯=⨯，AD CD ∴=，∴四边形ABCD 是菱形，CD BC AB AD ∴===，设CD BC x ==，则8CG x =-，在Rt CDG ∆中，由勾股定理得：2226(8)x x +-=， 解得：254x =， 254CD ∴=， ∴四边形ABCD 的周长425CD ==；故选：D ．【点评】本题考查了菱形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理等知识；证明四边形ABCD 为菱形是解题的关键．7．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，且OA OD =，55OAD ∠=︒，则OCD ∠的度数为( )A ．35︒B ．40︒C ．45︒D ．50︒【分析】根据矩形的判定得到四边形ABCD 是矩形，由矩形的性质求出90DAB ∠=︒，//AB CD ，求出35OAB DAB OAD ∠=∠-∠=︒，由平行线的性质即可得出答案．【解答】解：四边形ABCD 是平行四边形，OA OC ∴=，OB OD =，OA OD =，AC BD ∴=，∴四边形ABCD 是矩形，90DAB ∴∠=︒，//AB CD ，905535OAB DAB OAD ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，35OCD OAB ∠=∠=︒，故选：A ．【点评】本题考查了矩形的判定和性质、平行四边形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解此题的关键．8．如图，在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，3AB =，4AC =，P 是斜边BC 上一动点，PE AB ⊥于E ，PF AC ⊥于F ，EF 与AP 相交于点O ，则OF 的最小值是( )A ．4.8B ．3.6C ．2.4D ．1.2【分析】根据矩形的性质就可以得出，EF ，AP 互相平分，且EF AP =，垂线段最短的性质就可以得出AP BC ⊥时，AP 的值最小，即EF 的值最小，由勾股定理求出BC ，根据面积关系建立等式求出其解即可．【解答】解：四边形AEPF 是矩形，EF ∴，AP 互相平分．且EF AP =，OE OF =，当AP 的值最小时，EF 的值就最小，∴当AP BC ⊥时，AP 的值最小，即OF 的值最小．1122AP BC AB AC =， AP BC AB AC ∴=．在Rt ABC ∆中，由勾股定理，得5BC =．3AB =，4AC =，534AP ∴=⨯， 125AP ∴=． 1625OF EF ∴==， 故选：D ．【点评】本题考查了矩形的性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，垂线段最短的性质的运用，解答时求出AP 的最小值是关键．9．如图，菱形ABCD 中，60BAD ∠=，AC 与BD 交于点O ，E 为CD 延长线上的一点，且CD DE =，连结BE 分别交AC ，AD 于点F 、G ，连结OG ，则下列结论：①2OG AB =； ②与EGD ∆全等的三角形共有5个；③ABF ODGF S S ∆>四边形；④由点A 、B 、D 、E 构成的四边形是菱形，其中正确的是( )A ．①④B ．①③④C ．①②③D ．②③④【分析】由AAS 证明ABG DEG ∆≅∆，得出AG DG =，证出OG 是ACD ∆的中位线，得出1122OG CD AB ==，①正确； 先证明四边形ABDE 是平行四边形，证出ABD ∆、BCD ∆是等边三角形，得出AB BD AD ==，因此OD AG =，得出四边形ABDE 是菱形，④正确；由菱形的性质得出ABG BDG DEG ∆≅∆≅∆，由SAS 证明ABG DCO ∆≅∆，得出ABO BCO CDO AOD ABG BDG DEG ∆≅∆≅∆≅∆≅∆≅∆≅∆，得出②不正确；证出OG 是ABD ∆的中位线，得出//OG AB ，12OG AB =，得出GOD ABD ∆∆∽，ABF OGF ∆∆∽，由相似三角形的性质和面积关系得出ABF ODGF S S ∆=四边形；③不正确；即可得出结果．【解答】解：四边形ABCD 是菱形，AB BC CD DA ∴===，//AB CD ，OA OC =，OB OD =，AC BD ⊥，BAG EDG ∴∠=∠，ABO BCO CDO AOD ∆≅∆≅∆≅∆，CD DE =，AB DE ∴=，在ABG ∆和DEG ∆中，BAG EDG AGB DGE AB DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABG DEG AAS ∴∆≅∆，AG DG ∴=，OG ∴是ACD ∆的中位线，1122OG CD AB ∴==， 2OG AB ∴=，①正确；//AB CE ，AB DE =，∴四边形ABDE 是平行四边形，60BCD BAD ∠=∠=︒，ABD ∴∆、BCD ∆是等边三角形，AB BD AD ∴==，60ODC ∠=︒，OD AG ∴=，四边形ABDE 是菱形，④正确；AD BE ∴⊥，由菱形的性质得：()ABG DEG SAS ∆≅∆，()BDG DEG SAS ∆≅∆，在ABG ∆和DCO ∆中，60OD AG ODC BAG AB DC =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，()ABG DCO SAS ∴∆≅∆，()ABO DEG SAS ∴∆≅∆，()BCO DEG SAS ∆≅∆，()CDO DEG SAS ∆≅∆，()AOD DEG AAS ∆≅∆，()ABG DEG SAS ∆≅∆，()BDG DEG SAS ∆≅∆，∴②不正确；OB OD =，AG DG =，OG ∴是ABD ∆的中位线，//OG AB ∴，12OG AB =， ()GOD ABD ASA ∴∆∆∽，()ABF OGF ASA ∆∆∽，GOD ∴∆的面积14ABD =∆的面积，ABF ∆的面积OGF =∆的面积的4倍，:2:1AF OF =， AFG ∴∆的面积OGF =∆的面积的2倍，又GOD ∆的面积AOG =∆的面积BOG =∆的面积，ABF ODGF S S ∆∴=四边形；③不正确；正确的是①④．故选：A ．【点评】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，难度较大．10．如图，分别以Rt ABC ∆的斜边AB ，直角边AC 为边向外作等边ABD ∆和ACE ∆，F 为AB 的中点，DE ，AB 相交于点G ．连接EF ，若30BAC ∠=︒，下列结论：①EF AC ⊥；②四边形ADFE 为菱形；③4AD AG =；④DBF EFA ∆≅∆．则正确结论的序号是( )A ．①③B ．②④C ．①③④D ．②③④【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得FA FC =，根据等边三角形的性质可得EA EC =，根据线段垂直平分线的判定可得EF 是线段AC 的垂直平分线；根据条件及等边三角形的性质可得90DFA EAF ∠=∠=︒，DA AC ⊥，从而得到//DF AE ，//DA EF ，可得到四边形ADFE 为平行四边形而不是菱形；根据平行四边形的对角线互相平分可得24AD AB AF AG ===；易证DB DA EF ==，60DBF EFA ∠=∠=︒，BF FA =，即可得到DBF EFA ∆≅∆．【解答】解：连接FC ，如图所示：90ACB ∠=︒，F 为AB 的中点，FA FB FC ∴==，ACE ∆是等边三角形，EA EC ∴=，FA FC =，EA EC =，∴点F 、点E 都在线段AC 的垂直平分线上，EF ∴垂直平分AC ，即EF AC ⊥；ABD ∆和ACE ∆都是等边三角形，F 为AB 的中点，DF AB ∴⊥即90DFA ∠=︒，2BD DA AB AF ===，60DBA DAB EAC ACE ∠=∠=∠=∠=︒．30BAC ∠=︒，90DAC EAF ∴∠=∠=︒，90DFA EAF ∴∠=∠=︒，DA AC ⊥，//DF AE ∴，//DA EF ，∴四边形ADFE 为平行四边形而不是菱形；四边形ADFE 为平行四边形，DA EF ∴=，2AF AG =，BD DA EF ∴==，24DA AB AF AG ===；在DBF ∆和EFA ∆中，BD EF DBF EFA BF FA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DBF EFA SAS ∴∆≅∆；综上所述：①③④正确，故选：C ．【点评】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等边三角形的性质、线段垂直平分线的判定、平行四边形判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；本题综合性比较强，有一定难度．二．填空题11．（2020•金牛区模拟）如图，在ABC ∆中，已知90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，6BC =，D 为斜边AB 上一点，以CD 、CB 为边作平行四边形CDEB ，当AD = 6 时，平行四边形CDEB 为菱形．【分析】首先含30︒角直角三角形的性质得12AB =，由菱形的性质可得OD OB =，CD CB =，由三角形面积可求出OC ，根据勾股定理可得OB ，由2AD AB OB =-即可求AD 的长．【解答】解：连接CE 交AB 于点O ，如图所示：Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，6BC =，212AB BC ∴==，AC ，若平行四边形CDEB 为菱形时，CE BD ⊥，OD OB =，CD CB =，1122AB OC AC BC =， 6312AC BC OC AB ∴===3OB∴==，212236AD AB OB∴=-=-⨯=，故答案为：6．【点评】本题考查了菱形的判定与性质、含30︒角直角三角形的性质、勾股定理、三角形面积计算等知识；求出OB的长是解题的关键．12．一个菱形的面积为220cm，它的两条对角线长分别为y cm，x cm，则y与x之间的函数关系式为y=40yx=．【分析】根据菱形面积12=⨯对角线的积可列出关系式．【解答】解：由题意得：1202xy=，可得40yx=，故答案为40yx =．【点评】本题考查菱形的性质，反比例函数等知识，解题的关键是记住菱形的面积公式，属于中考常考题型．13．（2020•贺州模拟）如图，在线段AB上取一点C，分别以AC，BC为边长作菱形BCFG 和菱形ACDE，使点D在边CF上，连接EG，H是EG的中点，且4CH=，则EG的长是8．【分析】连接CE、CG，先由菱形的性质得12DCE ACD∠=∠，12FCG BCF∠=∠，则90DCE FCG∠+∠=︒，即90ECG∠=︒，然后由直角三角形斜边上的中线性质求解即可．【解答】解：连接CE、CG，如图所示：四边形ACDE 与四边形BCFG 均是菱形，12DCE ACD ∴∠=∠，12FCG BCF ∠=∠， 180ACD BCF ∠+∠=︒，11()1809022DCE FCG ACD BCF ∴∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒， 即90ECG ∠=︒， H 是EG 的中点，4CH =，28EG CH ∴==故答案为：8．【点评】本题考查的是菱形的性质以及直角三角形斜边上的中线性质等知识，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用直角三角形斜边上的中线性质求解是解答此题的关键．14．如图，矩形ABCD 中，2AB =，BC E 为CD 的中点，连接AE 、BD 于点P ，过点P 作PQ BC ⊥于点Q ，则PQ = 43．【分析】根据矩形的性质得到//AB CD ，AB CD =，AD BC =，90BAD ∠=︒，根据线段中点的定义得到1122DE CD AB ==，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：四边形ABCD 是矩形，//AB CD ∴，AB CD =，AD BC =，90BAD ∠=︒， E 为CD 的中点，1122DE CD AB ∴==，ABP EDP ∴∆∆∽， ∴AB PB DE PD =， ∴21PB PD =， ∴23PB BD =， PQ BC ⊥，//PQ CD ∴，BPQ DBC ∴∆∆∽， ∴23PQ BP CD BD ==， 2CD =，43PQ ∴=， 故答案为：43．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，正确的识别图形是解题的关键．15．如图，在矩形ABCD 中，8AB =，6BC =，点P 为边AB 上任意一点，过点P 作PE AC ⊥，PF BD ⊥，垂足分别为E 、F ，则PE PF += 245．【分析】连接OP ．由勾股定理得出10AC =，可求得5OA OB ==，由矩形的性质得出48ABCD S AB BC =⋅=矩形，1124AOB ABCD S S ∆==矩形，5OA OB ==，由1111()5()122222AOB AOP BOP S S S OA PE OB PF OA PE PF PE PF ∆∆∆=+=+=+=⨯⨯+=求得答案．【解答】解：连接OP ，如图：四边形ABCD 是矩形，90ABC ∴∠=︒，OA OC =，OB OD =，AC BD =，OA OB ∴=，10AC ，48ABCD S AB BC ∴=⋅=矩形，1124AOB ABCD S S ∆==矩形，5OA OB ==， 1111()5()122222AOB AOP BOP S S S OA PE OB PF OA PE PF PE PF ∆∆∆∴=+=+=+=⨯⨯+=， 245PE PF ∴+=； 故答案为：245．【点评】此题考查了矩形的性质、勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．16．如图，矩形ABCD 中，AE 平分BAC ∠交BC 于点E ，DF AE ⊥交AB 于点F ，交AC于点G ，若//EG AB ，且1BF =，则AF = ．【分析】设AE 与FG 交于点O ，先由AE 平分BAC ∠，DF AE ⊥，可得出条件证得AF AG =；再判定四边形AFEG 为菱形；由矩形的性质可证得CD CG AB ==；设(0)AG EG AF EF x x ====>，则1CD CG AB x ===+，由//EF AC ，可得BFE BAC ∆∆∽，由相似三角形的性质可得比例式，解方程求得x 的值并作出取舍即可．【解答】解：设AE 与FG 交于点O ，如图：AE 平分BAC ∠，FAE GAE ∴∠=∠； DF AE ⊥，90AOF AOG ∴∠=∠=︒，AFO AGO ∴∠=∠，AF AG ∴=；//EG AB ，GEA FAE ∴∠=∠，FAE GAE ∠=∠，GEA GAE ∴∠=∠，AG EG ∴=，又AF AG =，AF EG ∴=，∴四边形AFEG 为菱形，AG EG AF EF ∴===，//EF AC ．四边形ABCD 为矩形，//AB DC ∴，AB DC =，AFO CDG ∴∠=∠，AFO AGO ∠=∠，CGD AGO ∠=∠，CDG CGD ∴∠=∠，CD CG AB ∴==，设(0)AG EG AF EF x x ====>，1BF =，1CD CG AB x ∴===+，//EF AC ，BFE BAC ∴∆∆∽，::BF BA EF AC ∴=，1:(1):(1)x x x x ∴+=++(1)21x x x ∴+=+，解得：1x （舍)，2x =【点评】本题主要考查了矩形的性质、等腰三角形的判定与性质及角平分线的定义等知识点，数形结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．17．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点(1,2)B ，若锁定OA ，向左推矩形OABC ，使点B 落在y 轴的点B '的位置，则点C 的对应点C '的坐标为 (- ．【分析】先由矩形的性质得1OA =，2AB =，再由题意得2AB AB '==，四边形OAB C ''是平行四边形，得1B C OA ''==，然后由勾股定理求出OB '，即可得出答案．【解答】解：四边形OABC 是矩形，点B 的坐标为(1,2)，1OA ∴=，2AB =，由题意得：2AB AB '==，四边形OAB C ''是平行四边形，OB '∴1B C OA ''==，∴点C 的对应点C '的坐标为(-；故答案为：(-．【点评】本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质和勾股定理是解题的关键．三．解答题（共4小题）18．如图所示，在矩形ABCD 中，E ，F 分别是边AB ，CD 上的点，AE CF =，连接EF ，BF ，EF 与对角线AC 交于点O ，且BE BF =，2BEF BAC ∠=∠．（1）求证：OE OF =；（2）若AC =AB 的长．【分析】（1）利用矩形的性质得出CAE ACF ∠=∠，CFO AEO ∠=∠，进而求出()AOE COF AAS ∆≅∆，得出答案即可；（2）首先求出30BAC ∠=︒，进而得出2BEF OBE ∠=∠，利用勾股定理求出AB 即可．【解答】（1）证明：四边形ABCD 是矩形，//AB CD ∴，CAE ACF ∴∠=∠，CFO AEO ∠=∠，在AOE ∆和COF ∆中，&&&CAE ACF CFO AEO AE CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AOE COF AAS ∴∆≅∆，OE OF ∴=；（2）解：连接OB ，如图所示：BF BE =，OE OF =，BO EF ∴⊥，由（1）知，AOE COF ∆≅∆，OA OC ∴=，四边形ABCD 是矩形，90ABC ∴∠=︒，12BO AC OA ∴==， BAC OBA ∴∠=∠，又2BEF BAC ∠=∠，2BEF OBE ∴∠=∠，而Rt OBE ∆中，90BEO OBE ∠+∠=︒，30BAC ∴∠=︒，12BC AC ∴==9AB ∴==．【点评】此题主要考查了矩形的性质以及勾股定理和全等三角形的判定与性质等知识，得出AOE COF ∆≅∆是解题关键．19．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥，垂足为D ，AF 平分CAB ∠，交CD 于点E ，交CB 于点F ．（1）若30B ∠=︒，4AC =，求CE 的长；（2）过点F 作AB 的垂线，垂足为G ，连接EG ，试判断四边形CEGF 的形状，并说明理由．【分析】（1）根据90ACB ∠=︒，CD AB ⊥，30B ∠=︒，6AC =，即可求CE 的长；（2）过点F 作AB 的垂线，垂足为G ，连接EG ，根据菱形的判定即可判断四边形CEGF 的形状．【解答】解：（1）90ACB ∠=︒，30B ∠=︒，60CAB ∴∠=︒，CD AB ⊥，90ADC ∴∠=︒，30ACD ∴∠=︒， AF 平分CAB ∠，30CAF BAF ∴∠=∠=︒，CE AE ∴=，过点E 作EH AC ⊥于点H ，CH AH ∴=4AC =，2CH ∴=，CE ∴=； （2）FG AB ⊥，FC AC ⊥，AF 平分CAB ∠，90ACF AGF ∴∠=∠=︒，CF GF =，在Rt ACF ∆与Rt AGF ∆中，AF AF CF GF =⎧⎨=⎩，Rt ACF Rt AGF(HL)∴∆≅∆，AFC AFG ∴∠=∠，CD AB ⊥，FG AB ⊥，//CD FG ∴，CEF EFG ∴∠=∠，CEF CFE ∴∠=∠，CE CF ∴=，CE FG ∴=，∴四边形CEGF 是菱形【点评】本题考查了菱形的判定和性质，解决本题的关键是综合运用角平分线的性质、等腰三角形的判定、30度特殊角的直角三角形．20．如图，过ABC ∆边AC 的中点O ，作OE AC ⊥，交AB 于点E ，过点A 作//AD BC ，与BO 的延长线交于点D ，连接CD ，CE ，若CE 平分ACB ∠，CE BO ⊥于点F ．（1）求证：①OC BC =；②四边形ABCD 是矩形；（2）若3BC =，求DE 的长．【分析】（1）①根据角平分线定义得到OCE BCE ∠=∠，由垂直的定义得到90CFO CFB ∠=∠=︒，根据全等三角形的性质即可得到结论；②根据平行线的性质得到DAO BCO ∠=∠，ADO CBO ∠=∠，根据全等三角形的性质得到AD BC =，推出四边形ABCD 是平行四边形，根据全等三角形的性质得到90EBC EOC ∠=∠=︒，于是得到四边形ABCD 是矩形；（2）由矩形的性质得到3AD BC ==，90DAB ∠=︒，AC BD =，得到OBC ∆是等边三角形，求得60OCB ∠=︒，根据勾股定理即可得到结论．【解答】（1）证明：①CE 平分ACB ∠，OCE BCE ∴∠=∠，BO CE ⊥，90CFO CFB ∴∠=∠=︒，在OCF ∆与BCF ∆中，OCE BCE CF CFCFO CFB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()OCF BCF ASA ∴∆≅∆，OC BC ∴=； ②点O 是AC 的中点，OA OC ∴=，//AD BC ，DAO BCO ∴∠=∠，ADO CBO ∠=∠，在OAD ∆与OCB ∆中，DAO BCO OA OCADO CBO ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()OAD OCB ASA ∴∆≅∆，AD BC ∴=，//AD BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形，OE AC ⊥，90EOC ∴∠=︒，在OCE ∆与BCE ∆中，CE CE OCE BCE OC BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()OCE BCE SAS ∴∆≅∆，90EBC EOC ∴∠=∠=︒，∴四边形ABCD 是矩形；（2）解：四边形ABCD 是矩形，3AD BC ∴==，90DAB ∠=︒，AC BD =，OB OC ∴=，OC BC =，OC OB BC ∴==，OBC ∴∆是等边三角形，60OCB ∴∠=︒，1302ECB OCB ∴∠=∠=︒， 90EBC ∠=︒，12EB EC ∴=， 222BE BC EC +=，3BC =，EB ∴EC =OE AC ⊥，OA OC =，EC EA ∴==在Rt ADE ∆中，90DAB ∠=︒，DE ∴．【点评】本题考查了矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．。

天津市和平区一般中学2024届初三数学中考复习矩形、菱形和正方形专项复习练习1．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点O作BD的垂线分别交AD，BC于E，F两点．若AC＝23，∠AEO＝120°，则FC的长度为( )A．1 B．2 C. 2 D. 32．在▱ABCD中，AB＝3，BC＝4，当▱ABCD的面积最大时，下列结论正确的有( )①AC＝5；②∠A＋∠C＝180°；③AC⊥BD；④AC＝BD.A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④3. 关于▱ABCD的叙述，正确的是( )A．若AB⊥BC，则▱ABCD是菱形 B．若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形C．若AC＝BD，则▱ABCD是矩形 D．若AB＝AD，则▱ABCD是正方形4. 如图，在菱形ABCD中，过点D做DE⊥AB于点E，做DF⊥BC于点F，连结EF. 求证：(1)△ADE≌△CDF；(2)∠BEF＝∠BFE.5. 如图为某城市部分街道示意图，四边形ABCD为正方形，点G在对角线BD上，GE⊥CD，GF⊥BC，AD＝1500 m，小敏行走的路途为B→A→G→E，小聪行走的路途为B→A→D→E→F.若小敏行走的路程为3100 m，求小聪行走的路程．6. 如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，∠ABC∶∠BAD＝1∶2，BE∥AC，CE∥BD.(1)求tan∠DBC的值；(2)求证：四边形OBEC是矩形．7. 如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过点O作直线EF∥BC分别交∠ACB，外角∠ACD的平分线于点E，F.(1)若CE＝8，CF＝6，求OC的长；(2)连结AE ，AF .问：当点O 在边AC 上运动到什么位置时，四边形AECF 是矩形？并说明理由．8. 如图，在▱ABCD 中，BC ＝2AB ＝4，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点．(1)求证：△ABE≌△CDF；(2)当四边形AECF 为菱形时，求出该菱形的面积．9. 已知菱形的周长为45，两条对角线的和为6，求菱形的面积．10. 如图，已知E ，F ，G ，H 分别为菱形ABCD 四边的中点，AB ＝6 cm ，∠ABC ＝60°.(1)试推断四边形EFGH 的类型，并证明你的结论；(2)求四边形EFGH 的面积．11. 如图，点E 是正方形ABCD 的边BC 延长线上一点，连结DE ，过顶点B 作BF⊥DE，垂足为F ，BF 分别交AC 于H ，交CD 于G.(1)求证：BG ＝DE ；(2)若点G 为CD 的中点，求HG GF的值． 12. 已知正方形的对角线AC ，BD 相交于点O .(1)如图1，E ，G 分别是OB ，OC 上的点，CE 与DG 的延长线相交于点F .若DF ⊥CE ，求证：OE ＝OG ；(2)如图2，H 是BC 上的点，过点H 作EH ⊥BC ，交线段OB 于点E ，连结DH ，交CE 于点F ，交OC 于点G .若OE ＝OG .①求证：∠ODG ＝∠OCE ；②当AB ＝1时，求HC 的长．答案与解析：1. A2. B【解析】当▱ABCD 的面积最大时，四边形ABCD 为矩形，得出∠A ＝∠B ＝∠C ＝∠D ＝90°，AC ＝BD ，依据勾股定理求出AC ＝32＋42＝5，①正确，②正确，④正确；③不正确；故选B.3. C4. 解：(1) ∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ＝CD ，∠A ＝∠C ，∵DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，∴∠AED ＝∠CFD ＝90°，∴△ADE ≌△CDF(2) ∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝CB ，∵△ADE ≌△CDF ，∴AE ＝CF ，∴BE ＝BF ，∴∠BEF ＝∠BFE5. 解：小敏走的路程为AB ＋AG ＋GE ＝1500＋(AG ＋GE)＝3100，则AG ＋GE ＝1600 m ，小聪走的路程为BA ＋AD ＋DE ＋EF ＝3000＋(DE ＋EF)．连结CG ，在正方形ABCD 中，∠ADG ＝∠CDG＝45°，AD ＝CD ，在△ADG 和△CDG 中，∵AD ＝CD ，∠ADG ＝∠CDG，DG ＝DG ，∴△ADG ≌△CDG ，∴AG ＝CG.又∵GE⊥CD，GF⊥BC，∠BCD ＝90°，∴四边形GECF 是矩形，∴CG ＝EF.又∵∠CDG＝45°，∴DE ＝GE ，∴小聪走的路程为BA ＋AD ＋DE ＋EF ＝3000＋(GE ＋AG)＝3000＋1600＝4600 m6. 解：(1)∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ∥BC ，∠DBC ＝12∠ABC，∴∠ABC ＋∠BAD ＝180°，∵∠ABC ∶∠BAD ＝1∶2，∴∠ABC ＝60°，∴∠DBC ＝12∠ABC＝30°，则tan ∠DBC ＝tan30°＝33(2)∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，即∠BOC＝90°，∵BE ∥AC ，CE ∥BD ，∴四边形OBEC 是平行四边形，则四边形OBEC 是矩形【解析】(1)由四边形ABCD 是菱形，得到一对同旁内角互补，依据已知角之比求出相应度数，进而求出∠DBC 的度数；(2)由四边形ABCD 是菱形，得到对角线相互垂直，即∠BOC ＝90°，利用有一个角为直角的平行四边形是矩形即可得证．7. 解：(1)∵EF 交∠ACB 的平分线于点E ，交∠ACB 的外角平分线于点F ，∴∠OCE ＝∠BCE，∠OCF ＝∠DCF，∵EF ∥BC ，∴∠OEC ＝∠BCE，∠OFC ＝∠DCF，∴∠OEC ＝∠OCE，∠OFC ＝∠OCF，∴OE ＝OC ，OF ＝OC ，∴OE ＝OF ；∵∠OCE＋∠BCE ＋∠OCF＋∠DCF＝180°，∴∠ECF ＝90°，在Rt △CEF 中，由勾股定理得：EF ＝CE 2＋CF 2＝10，∴OC ＝OE ＝12EF ＝5 (2)当点O 在边AC 上运动到AC 中点时，四边形AECF 是矩形．理由如下： 连结AE ，AF ，当O 为AC 的中点时，AO ＝CO ，∵EO ＝FO ，∴四边形AECF 是平行四边形，∵∠ECF ＝90°，∴平行四边形AECF 是矩形【解析】(1)依据平行线的性质以及角平分线的性质得出∠OEC ＝∠OCE ，∠OFC ＝∠OCF ，证出OE ＝OC ＝OF ，∠ECF ＝90°，由勾股定理求出EF ，即可得出答案；(2)依据平行四边形的判定以及矩形的判定得出即可．8. 解：(1)∵▱ABCD ，∴AB ＝CD ，BC ＝AD ，∠ABC ＝∠CDA.又∵BE＝EC ＝12BC ，AF ＝DF ＝12AD ，∴BE ＝DF.∴△ABE ≌△CDF (2)∵四边形AECF 为菱形，∴AE ＝EC.又∵点E 是边BC 的中点，∴BE ＝EC ，即BE ＝AE.又BC ＝2AB ＝4，∴AB ＝12BC ＝BE ，∴AB ＝BE ＝AE ，即△ABE 为等边三角形，▱ABCD 的BC 边上的高为2×sin60°＝3，∴菱形AECF 的面积为2 39. 解：四边形ABCD 是菱形，AC ＋BD ＝6，∴AB ＝5，AC ⊥BD ，AO ＝12AC ，BO ＝12BD ，∴AO ＋BO ＝3，∴AO 2＋BO 2＝AB 2，(AO ＋BO)2＝9，即AO 2＋BO 2＝5，AO 2＋2AO ·BO＋BO 2＝9，∴2AO ·BO ＝4，∴菱形的面积是12AC·BD＝2AO·BO＝4 【解析】依据菱形对角线相互垂直，利用勾股定理转化为两条对角线的关系式求解．10. 解：(1)连结AC ，BD ，相交于点O ，∵E ，F ，G ，H 分别是菱形四边上的中点，∴EH ＝12BD ＝FG ，EH ∥BD ∥FG ，EF ＝12AC ＝HG ，∴四边形EHGF 是平行四边形，∵菱形ABCD 中，AC ⊥BD ，∴EF ⊥EH ，∴四边形EFGH 是矩形 (2)∵四边形ABCD是菱形，∠ABC ＝60°，∴∠ABO ＝30°，∵AC ⊥BD ，∴∠AOB ＝90°，∴AO ＝12AB ＝3，∴AC ＝6，在Rt △AOB 中，由勾股定理得OB ＝AB 2－OA 2＝33，∴BD ＝63，∵EH ＝12BD ，EF ＝12AC ，∴EH ＝33，EF ＝3，∴矩形EFGH 的面积＝EF·FG＝9 3 cm 211. 解：(1)∵BF⊥DE，∴∠GFD ＝90°，∵∠BCG ＝90°，∠BGC ＝∠DGF，∴∠CBG ＝∠CDE，在△BCG 与△DCE 中，∵∠CBG ＝∠CDE，BC ＝CD ，∠BCG ＝∠DCE，∴△BCG ≌△DCE(ASA)，∴BG ＝DE(2)设CG ＝1，∵G 为CD 的中点，∴GD ＝CG ＝1，由(1)可知：△BCG≌△DCE(ASA)，∴CG ＝CE ＝1，∴由勾股定理可知：DE ＝BG ＝5，∵sin ∠CDE ＝CE DE ＝GF GD ，∴GF ＝55，∵AB ∥CG ，∴△ABH ∽△CGH ，∴AB CG ＝BH HG ＝21，∴BH ＝253，GH ＝53，∴HG GF ＝53【解析】(1)由于BF⊥DE，所以∠GFD＝90°，从而可知∠CBG＝∠CDE，依据全等三角形的判定即可证明△BCG≌△DCE，从而可知BG ＝DE ；(2)设CG ＝1，从而知CG ＝CE ＝1，由勾股定理可知：DE ＝BG ＝5，易证△ABH∽△CGH，所以BH HG＝2，从而可求出HG 的长度，进而求出HG GF的值． 12. 解：(1) ∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ，OD ＝OC ，∴∠DOG ＝∠COE ＝90°，∴∠OEC ＋∠OCE ＝90°.∵DF ⊥CE ，∴∠OEC ＋∠ODG ＝90°，∴∠ODG ＝∠OCE.∴△ODG ≌△OCE(ASA)，∴OE ＝OG(2)①∵OD ＝OC ，∠DOG ＝∠COE＝90°，又OE ＝OG ，∴DOG ≌COE(SAS)，∴∠ODG ＝∠OCE②设CH ＝x ，∵四边形ABCD 是正方形，AB ＝1，∴BH ＝1－x ，∠DBC ＝∠BDC＝∠ACB ＝45°，∵EH⊥BC，∴∠BEH ＝∠EBH＝45°.∴EH ＝BH ＝1－x.∵∠ODG＝∠OCE，∴∠BDC －∠ODG＝∠ACB－∠OCE.∴∠HDC＝∠ECH.∵EH⊥BC，∴∠EHC ＝∠HCD＝90°.∴△CHE ∽△DCH.∴EH HC ＝HC CD. ∴HC 2＝EH·CD，得x 2＋x －1＝0.解得x 1＝5－12，x 2＝－5－12(舍去)．∴HC＝5－12。