中考初三数学专题隐形圆

专题13隐圆问题3种模型通用的解题思路：隐圆一般有如下呈现方式：（1）定点定长：当遇到同一个端点出发的等长线段时，通常以这个端点为圆心，等线段长为半径构造辅助圆；（2）定弦定角：当遇到动点对定点对定线段所张的角为定值时，通常把张角转化为圆周角构造辅助圆。

当遇到直角时，通常以斜边为直径构造辅助圆。

（3）四点共圆：对角互补的四边形的四个顶点共圆。

隐圆常与线段最值结合考查。

类型1：定点定长1．（2023•新城区校级三模）圆的定义：在同一平面内，到定点的距离等于定长的所有点所组成的图形．（1）已知：如图1，OA OB OC∠=︒，则ACB∠=AOB==，请利用圆规画出过A、B．C三点的圆．若7035︒．如图，Rt ABCAB=．∠=︒，2BCA∆中，90∠=︒，30ABC（2）已知，如图2．点P为AC边的中点，将AC沿BA方向平移2个单位长度，点A、P、C的对应点分别为点D、E、F，求四边形BDFC的面积和BEA∠的大小．（3）如图3，将AC边沿BC方向平移a个单位至DF，是否存在这样的a，使得直线DF上有一点Q，满足45∠=︒且此时四边形BADF的面积最大？若存在，求出四边形BADF面积的最大值及平移距离a，BQA若不存在，说明理由．【分析】（1）利用圆的定义知A，B，C三点共圆，再利用圆周角定理求解．（2）根据图形的平移性质，判定平移后图形形状，继而确定面积的计算方式和方法，角度问题也迎刃而解．（3）因角度不变，借助圆周角定点在圆周上运动时角度不变的思想，判断出D点能够向右移动的最大距离，求出四边形的最大面积．【解答】（1）以O 为圆心，OA 为半径作辅助圆，如图，，70AOB ∠=︒ ，35ACB ∴∠=︒，故答案为35︒．（2）连接PB ，PE ，如图，，Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，30BCA ∠=︒，2AB =．4AC ∴=，60BAC ∠=︒，BC =．P 为Rt ABC ∆斜边AC 中点，122BP AC ∴==，线段AC 平移到DF 之后，2AB AD PE ===，2BP AE ==，∴四边形ABPE 为菱形，60BAC ∠=︒ ，30BEA ∴∠=︒，//CF BD ，且90ABC ∠=︒，∴四边形BDFC 为直角梯形，11()622S BD CF BC ∴=+⨯=⨯⨯=（3）如图所示，以AB 为斜边在AB 的右侧作等腰直角三角形OAB ，以O 为圆心，OA 为半径作O ，当AC 边沿BC 方向平移a 个单位至DF 时，满足45BQA ∠=︒且此时四边形BADF 的面积最大，∴直线DF 与O 相切于点Q ，连接OQ 交AD 于G ，过点O 作OH AD ⊥于H ，则90AHO OHG DQG ∠=∠=∠=︒，45OAH ∠=︒，30GDQ ∠=︒，90ABC ∠=︒ ，30BCA ∠=︒，2AB =，BC ∴=OA OB OQ ===1AH OH ∴==，33HG =，233OG =，3GQ ∴=，23DG GQ ==-，11AD AH HG GD ∴=++=++，1a ∴=+，此时直角梯形ABFD 的最大面积为：11()112222S BF AD AB =⨯+⨯=⨯++-++⨯=+．【点评】本题主要考查图形的平移，圆心角，圆周角之间的关系，解题的关键是数形结合，找到极值点求解．2．（2024•兰州模拟）综合与实践【问题情境】在数学综合实践课上，“希望小组”的同学们以三角形为背景，探究图形变化过程中的几何问题，如图，在ABC ∆中，AB AC =，90BAC ∠=︒，点D 为平面内一点（点A ，B ，D 三点不共线），AE 为ABD ∆的中线．【初步尝试】（1）如图1，小林同学发现：延长AE 至点M ，使得ME AE =，连接DM ．始终存在以下两个结论，请你在①，②中挑选一个进行证明：①DM AC =；②180MDA DAB ∠+∠=︒；【类比探究】（2）如图2，将AD 绕点A 顺时针旋转90︒得到AF ，连接CF ．小斌同学沿着小林同学的思考进一步探究后发现：12AE CF =，请你帮他证明；【拓展延伸】（3）如图3，在（2）的条件下，王老师提出新的探究方向：点D 在以点A 为圆心，AD 为半径的圆上运动()AD AB >，直线AE 与直线CF 相交于点G ，连接BG ，在点D 的运动过程中BG 存在最大值．若4AB =，请直接写出BG的最大值．【分析】（1）利用SAS 证明ABE MDE ∆≅∆，可得AB DM =，再结合AB AC =，即可证得DM AC =；由全等三角形性质可得BAE DME ∠=∠，再运用平行线的判定和性质即可证得180MDA DAB ∠+∠=︒；（2）延长AE 至点M ，使得ME AE =，连接DM ．利用SAS 证得ACF DMA ∆≅∆，可得CF AM =，再由12AE AM =，可证得12AE CF =；（3）延长DA 至M ，使AM AD =，设AM 交CF 于N ，连接BM 交CF 于K ，取AC 中点P ，连接GP ，可证得()ACF ABM SAS ∆≅∆，利用三角形中位线定理可得//AE BM ，即//AG BM ，利用直角三角形性质可得11222GP AC AB ===，得出点G 在以P 为圆心，2为半径的P 上运动，连接BP 并延长交P 于G '，可得BG '的长为BG 的最大值，再运用勾股定理即可求得答案．【解答】（1）证明：①AE 为ABD ∆的中线，BE DE ∴=，在ABE ∆和MDE ∆中，BE DE AEB MED AE ME =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABE MDE SAS ∴∆≅∆，AB DM ∴=，AB AC = ，DM AC ∴=；②由①知ABE MDE ∆≅∆，BAE DME ∴∠=∠，//AB DM ∴，180MDA DAB ∴∠+∠=︒；（2）证明：延长AE 至点M ，使得ME AE =，连接DM．由旋转得：AF AD =，90DAF ∠=︒，90BAC ∠=︒ ，360DAF BAC BAD CAF ∠+∠+∠+∠=︒，180BAD CAF ∴∠+∠=︒，由（1）②得：180MDA DAB ∠+∠=︒，DM AB AC ==，CAF MDA ∴∠=∠，在ACF ∆和DMA ∆中，AF AD CAF MDA AC DM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACF DMA SAS ∴∆≅∆，CF AM ∴=，12AE AM = ，12AE CF ∴=；（3）如图3，延长DA 至M ，使AM AD =，设AM 交CF 于N ，连接BM 交CF 于K ，取AC 中点P ，连接GP ，由旋转得：AF AD =，90DAF ∠=︒，AF AM ∴=，1809090MAF ∠=︒-︒=︒，90BAC ∠=︒ ，MAF CAM BAC CAM ∴∠+∠=∠+∠，即CAF BAM ∠=∠，在ACF ∆和ABM ∆中，AC AB CAF BAM AF AM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACF ABM SAS ∴∆≅∆，AFC AMB ∴∠=∠，即AFN KMN ∠=∠，ANF KNM ∠=∠ ，90FAN MKN ∴∠=∠=︒，BM CF ∴⊥，E 、A 分别是DB 、DM 的中点，AE ∴是BDM ∆的中位线，//AE BM ∴，即//AG BM ，AG CF ∴⊥，90AGC ∴∠=︒，点P 是AC 的中点，11222GP AC AB ∴===，∴点G 在以P 为圆心，2为半径的P 上运动，连接BP 并延长交P 于G '，BG ∴'的长为BG 的最大值，在Rt ABP ∆中，BP ==2BG BP PG ∴'=+'=+，BG ∴的最大值为2+．【点评】本题是几何综合题，考查了三角形的全等的性质与判定，两直线垂直的判定，三角形中位线定理，勾股定理，圆的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解决本题的关键．3．（2022•番禺区二模）已知抛物线23(0)2y ax bx a =+->与x 轴交于点A ，B 两点，OA OB <，4AB =．其顶点C 的横坐标为1-．（1）求该抛物线的解析式；（2）设点D 在抛物线第一象限的图象上，DE AC ⊥垂足为E ，//DF y 轴交直线AC 于点F ，当DEF ∆面积等于4时，求点D 的坐标；（3）在（2）的条件下，点M 是抛物线上的一点，M 点从点B 运动到达点C ，FM FN ⊥交直线BD 于点N ，延长MF 与线段DE 的延长线交于点H ，点P 为N ，F ，H 三点构成的三角形的外心，求点P 经过的路线长．【分析】（1）利用对称性，求得A 和B 的坐标，然后用待定系数法求得抛物线的解析式；（2）证明CGA ∆和DEF ∆都为等腰直角三角形，利用等面积法求得4DF =，再求得直线AC 的解析式为1y x =-，设点D 的坐标，得到点F 的坐标，然后求解即可；（3）先求得45BDF ∠=︒，推出点P 的运动路径时11H N 的中点绕点F 逆时针旋转90︒得到2N H 的中点之间的弧长，证明四边形2DN FE 为正方形，即可求解．【解答】解：（1） 点A ，点B 两点关于直线1x =-对称，4AB =，(1,0)A ∴，(3,0)B -，代入232y ax bx =+-得，30239302a b a b ⎧+-=⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩，解得：121a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线的解析式为21322y x x =+-．（2）如图1所示：//DF y 轴//GC ，GCA DFE ∴∠=∠，抛物线的解析式为22131(1)2222y x x x =+-=+-，∴顶点(1,2)C --，(1,0)A ，2AG ∴=，2CG =，CGA ∴∆为等腰直角三角形，45GCA DFE ∴∠=∠=︒，DE AC ⊥ ，DEF ∴∆为等腰直角三角形，DE EF ∴=，DF =，142DEF S DE EF ∆=⋅= ，DE ∴=，4DF ∴==，设直线AC 的解析式为y kx b =+，则02k b k b +=⎧⎨-+=-⎩，解得：11k b =⎧⎨=-⎩，∴直线AC 的解析式为1y x =-，设点213(,22D x x x +-，则(,1)F x x -，221311(1)42222DF x x x x ∴=+---=-=，解得：3x =或3x =-（舍)，(3,6)D ∴，(3,2)F ．（3）如图2所示，NFH ∆ 是直角三角形，NFH ∴∆的外心是斜边NH 的中点，当点M 位于点B 时，△11N FH ，其外心是斜边11H N 的中点，当点M 位于点C 时，得△2N FE ，其外心是斜边22N H 的中点，即2N E 的中点，(3,6)D ，(3,0)B -，33tan 16BDF +∴∠==，45BDF ∴∠=︒，由（2）得，45FDE ∠=︒，45DBA BAC ∴∠=∠=︒，//BD AC ∴，FN BD ∴⊥，DF ∴平分BDE ∠，90BDE ∠=︒，∴点D ，N ，F ，H 四点共圆，∴点P 在线段DF 的垂直平分线上，即点P 在2N E 上运动，即点P 的运动轨迹是一条线段．2290DN F N DH DHF ∠=∠=∠=︒ ，2FN FE =，∴四边形2DN FE 为正方形，此时点P 在DF 上，且2EP =；当点M 与点C 重合时，此时点P 在DF 上，即为2P ，且222FP EP ==，由题意，224BN BD DN =-=，BF =2N F =，21//FN DH ，2BFN ∴∆∽△1BH D ，∴21BN BF BD BH =，解得1FH =，1FP ∴=，由勾股定理可得：121P P =，即点P 的运动轨迹长为1．【点评】本题主要考查二次函数的综合问题，包括待定系数法确定函数解析式，三角形外接圆的性质，弧长公式，勾股定理，三角函数解直角三角形等，理解题意，作出相应辅助线是解题的关键．4．（2021•红谷滩区校级模拟）（1）学习心得：小刚同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到有一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．例如：如图1，在ABC=，求BDC∆外一点，且AD AC∠的度数．若∆中，AB AC=，80BAC∠=︒，D是ABC以点A 为圆心，AB 为半径作辅助圆A ，则点C 、D 必在A 上，BAC ∠是A 的圆心角，而BDC ∠是圆周角，从而可容易得到BDC ∠=40︒．（2）问题解决：如图，在四边形ABCD 中，90BAD BCD ∠=∠=︒，25BDC ∠=︒，求BAC ∠的度数．（3）问题拓展：抛物线21(1)34y x =--+与y 轴交于点A ，顶点为B ，对称轴BC 与x 轴交于点C ，点P 在抛物线上，直线//PQ BC 交x 轴于点Q ，连接BQ ．①若含45︒角的直线三角板如图所示放置，其中，一个顶点与C 重合，直角顶点D 在BQ 上，另一顶点E 在PQ 上，求Q 的坐标；②若含30︒角的直角三角板一个顶点与点C 重合，直角顶点D 在BQ 上，另一个顶点E 在PQ 上，点D 与点B ，点Q 不重合，求点P 的坐标．【分析】（1）利用同弦所对的圆周角是所对圆心角的一半求解．（2）由A 、B 、C 、D 共圆，得出BDC BAC ∠=∠，（3）①先求出抛物线顶点的坐标，再由点D 、C 、Q 、E 共圆，得出45CQB OED ∠=∠=︒，求出CQ ，再求点Q 的坐标．②分两种情况，Ⅰ、当30︒的角的顶点与点C 重合时，Ⅱ、当60︒的角的顶点与点C 重合时，运用点D 、C 、Q 、E 共圆，求出CQ 即点P 的横坐标，再代入抛物线求出点P 的纵坐标，即可求出点P 的坐标．【解答】解：（1）AB AC = ，AD AC =，∴以点A 为圆心，点B 、C 、D 必在A 上，BAC ∠ 是A 的圆心角，而BDC ∠是圆周角，1402BDC BAC ∴∠=∠=︒，（2）如图2，90BAD BCD ∠=∠=︒ ，∴点A 、B 、C 、D 共圆，BDC BAC ∴∠=∠，25BDC ∠=︒ ，25BAC ∴∠=︒，（3）①如图3点B 为抛物线21(1)34y x =--+的顶点，∴点B 的坐标为(1,3)，45︒ 角的直角三角板如图所示放置，其中，一个顶点与C 重合，直角顶点D 在BQ 上，另一顶点E 在PQ 上，∴点D 、C 、Q 、E 共圆，45CQB CED ∴∠=∠=︒，3CQ BC ∴==，4OQ ∴=，∴点Q 的坐标为(4,0)，②如图4，Ⅰ、当30︒的角的顶点与点C 重合时，直角三角板30︒角的顶点与点C 重合，直角顶点D 在BQ 上，另一个顶点E 在PQ 上∴点D 、C 、Q 、E 共圆，60CQB CED ∴∠=∠=︒，3CQ BC ∴==1OQ ∴=+，∴把1+代入21(1)34y x =--+得94y =，∴点P 的坐标是(1+94Ⅱ、如图5，当60︒的角的顶点与点C 重合时，直角三角板60︒角的顶点与点C 重合，直角顶点D 在BQ 上，另一个顶点E 在PQ 上∴点D 、C 、Q 、E 共圆，30CQB CED ∴∠=∠=︒，CQ ∴==，1OQ ∴=+∴把1+21(1)34y x =--+得154y =-，∴点P 的坐标是(1+，154-综上所述，点P 的坐标是(1+94或(1+15)4-．【点评】本题主要考查了圆的综合题，解题的关键就是运用同弦对的圆周角相等．类型2：定弦定角1．（2022•雁塔区校级三模）问题提出（1）如图①，已知ABC ∆为边长为2的等边三角形，则ABC ∆的面积为问题探究（2）如图②，在ABC ∆中，已知120BAC ∠=︒，BC =，求ABC ∆的最大面积；问题解决（3）如图③，某校学生礼堂的平面示意为矩形ABCD ，其宽20AB =米，长24BC =米，为了能够监控到礼堂内部情况，现需要在礼堂最尾端墙面CD 上安装一台摄像头M 进行观测，并且要求能观测到礼堂前端墙面AB 区域，同时为了观测效果达到最佳，还需要从点M 出发的观测角45AMB ∠=︒，请你通过所学知识进行分析，在墙面CD 区域上是否存在点M 满足要求？若存在，求出MC 的长度；若不存在，请说明理由．【分析】（1）作AD BC ⊥于D ，由勾股定理求出AD 的长，即可求出面积；（2）作ABC ∆的外接圆O ，可知点A 在 BC上运动，当A O BC '⊥时，ABC ∆的面积最大，求出A H '的长，从而得出答案；（3）以AB 为边，在矩形ABCD 的内部作一个等腰直角三角形AOB ，且90AOB ∠=︒，过O 作HG AB ⊥于H ，交CD 于G ，利用等腰直角三角形的性质求出OA ，OG 的长，则以O 为圆心，OA 为半径的圆与CD 相交，从而O 上存在点M ，满足45AMB ∠=︒，此时满足条件的有两个点M ，过1M 作1M F AB ⊥于F ，作1EO M F ⊥于E ，连接OF ，利用勾股定理求出OE 的长，从而解决问题．【解答】解：（1）作AD BC ⊥于D ，ABC ∆ 是边长为2的等边三角形，1BD ∴=，AD ∴==ABC ∴∆的面积为122⨯=；（2）作ABC ∆的外接圆O ，120BAC ∠=︒ ，BC =，∴点A 在 BC上运动，当A O BC '⊥时，ABC ∆的面积最大，60BOA '∴∠=︒，33BH CH ==，3OH ∴=，6OB =，633A H OA OH ''∴=-=-=，ABC ∴∆的最大面积为133932⨯=（3）存在，以AB 为边，在矩形ABCD 的内部作一个等腰直角三角形AOB ，且90AOB ∠=︒，过O 作HG AB ⊥于H ，交CD 于G ，20AB = 米，10AH OH ∴==米，2OA =米，24BC = 米，14OG ∴=米，10214> ，∴以O 为圆心，OA 为半径的圆与CD 相交，O ∴ 上存在点M ，满足45AMB ∠=︒，此时满足条件的有两个点M ，过1M 作1M F AB ⊥于F ，作1EO M F ⊥于E ，连接OF ，10EF OH ∴==米，1102OM =114EM ∴=米，22112OE OM M E ∴-=米，18CM BF ∴==米，同理210212CM BH OE =+=+=（米)，MC ∴的长度为8米或12米．【点评】本题是四边形综合题，主要考查了等边三角形的性质，矩形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，垂径定理等知识，熟练掌握定角定边的基本模型是解题的关键．2．（2023•灞桥区校级模拟）问题提出：（1）如图①，ABC ∆为等腰三角形，120C ∠=︒，8AC BC ==，D 是AB 上一点，且CD 平分ABC ∆的面积，则线段CD 的长度为4．问题探究：（2）如图②，ABC ∆中，120C ∠=︒，10AB =，试分析和判断ABC ∆的面积是否存在最大值，若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．问题解决：（3）如图③，2023年第九届丝绸之路国际电影开幕式在西安曲江竞技中心举行，主办方要在会场旁规划一个四边形花圃ABCD ，满足600BC =米，300CD =米，60C ∠=︒，60A ∠=︒，主办方打算过BC 的中点M 点（入口）修建一条径直的通道ME （宽度忽略不计）其中点E （出口）为四边形ABCD 边上一点，通道ME 把四边形ABCD 分成面积相等并且尽可能大的两部分，分别规划成不同品种的花圃以供影迷休闲观赏．问是否存在满足上述条件的通道ME ？若存在，请求出点A 距出口的距离AE 的长；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由题意可知，CD 是ABC ∆的中线，利用等腰三角形的性质推出CD AB ⊥，利用三角函数求解即可解决问题；（2）当ABC ∆的AB 边上的高CD 最大时，三角形ABC 的面积最大，即CD 过圆心O ，连接AO ．求出CD 的最大值即可得出答案；（3）连接DM ，BD ．首先证明90BDC ∠=︒，求出BD ，推出BDC ∆的面积是定值，要使得四边形ABCD 的面积最大，只要ABD ∆的面积最大即可，因为BD 为定值，A ∠为定角60=︒，推出当ABD ∆是等边三角形时，求出四边形ABCD 的面积最大值，然后再求出90MDE ∠=︒，构建方程解决问题即可．【解答】解：（1）如图①，CD 平分ABC ∆的面积，AD DB ∴=，8AC BC == ，CD AB ∴⊥，1602ACD BCD ACB ∠=∠=∠=︒，cos 8cos 604CD AC ACD ∴=∠=︒=，CD ∴的长度为4，故答案为：4；（2）存在．如图②，10AB = ，120ACB ∠=︒都是定值，∴点C 在AB 上，并且当点C 在 AB 的中点时，ABC ∆的面积最大；连接OC 交AB 于点D ，则CD AB ⊥，152AD BD AB ===，1602ACD ACB ∠=∠=︒，∴tan AD ACD CD ∠=，53tan 603AD CD ==︒，∴125323ABC S AB CD ∆=⋅=，答：ABC ∆（3）存在．如图③，连接DM ，BD ，M 是BC 的中点，13002CM BC ∴==，CM CD ∴=，又60C ∠=︒ ，CMD ∴∆是等边三角形，60MDC CMD ∴∠=∠=︒，CM DM BM ==，30CBD MDB ∴∠=∠=︒，90BDC ∴∠=︒，tan 60BD CD ∴=⋅︒=米，在ABD ∆中，BD =60A ∠=︒为定值，由（2）可知当AB AD =时，即ABD ∆为等边三角形时ABD ∆的面积最大，此时也为四边形ABCD 的最大值(BDC ∆的面积不变），21330024max BDC BDA S S S ∆∆=+=⨯⨯=；ABD ∆ 是等边三角形，60ADB ∴∠=︒，90ADM ADB BDM ∴∠=∠+∠=︒，由12EMD CDM max S S S ∆∆+=，得：21130030022DE ⨯+=⨯解得：DE =，AE AD DE ∴=-==)，答：点A 距出口的距离AE 的长为米．【点评】本题是圆的综合题，考查了勾股定理，垂径定理，解直角三角形，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意构造辅助圆，灵活运用所学知识解决问题，难度较大，属于中考压轴题．3．（2023•柯城区校级一模）如图，点A 与点B 的坐标分别是(1,0)，(5,0)，点P 是该直角坐标系内的一个动点．（1）使30APB ∠=︒的点P 有无数个；（2）若点P 在y 轴上，且30APB ∠=︒，求满足条件的点P 的坐标；（3）当点P 在y 轴上移动时，APB ∠是否有最大值？若有，求点P 的坐标，并说明此时APB ∠最大的理由；若没有，也请说明理由．【分析】（1）已知点A 、点B 是定点，要使30APB ∠=︒，只需点P 在过点A 、点B 的圆上，且弧AB 所对的圆心角为60︒即可，显然符合条件的点P 有无数个．（2）结合（1）中的分析可知：当点P 在y 轴的正半轴上时，点P 是（1）中的圆与y 轴的交点，借助于垂径定理、等边三角形的性质、勾股定理等知识即可求出符合条件的点P 的坐标；当点P 在y 轴的负半轴上时，同理可求出符合条件的点P 的坐标．（3）由三角形外角的性质可证得：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角大于同弧所对的圆外角．要APB ∠最大，只需构造过点A 、点B 且与y 轴相切的圆，切点就是使得APB ∠最大的点P ，然后结合切线的性质、三角形外角的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识即可解决问题．【解答】解：（1）以AB 为边，在第一象限内作等边三角形ABC ，以点C 为圆心，AC 为半径作C ，交y 轴于点1P 、2P ．在优弧1APB 上任取一点P ，如图1，则11603022APB ACB ∠=∠=⨯︒=︒．∴使30APB ∠=︒的点P 有无数个．故答案为：无数．（2）①当点P 在y 轴的正半轴上时，过点C 作CG AB ⊥，垂足为G ，如图1．点(1,0)A ，点(5,0)B ，1OA ∴=，5OB =．4AB ∴=．点C 为圆心，CG AB ⊥，122AG BG AB ∴===．3OG OA AG ∴=+=．ABC ∆ 是等边三角形，4AC BC AB ∴===．CG ∴===∴点C 的坐标为(3，．过点C 作CD y ⊥轴，垂足为D ，连接2CP ，如图1，点C 的坐标为(3，，3CD ∴=，OD =1P 、2P 是C 与y 轴的交点，1230APB AP B ∴∠=∠=︒．24CP CA == ，3CD =，2DP ∴== 点C 为圆心，12CD PP ⊥，12PD P D ∴==2(0P ∴，-．1(0P ，+．②当点P 在y 轴的负半轴上时，同理可得：3(0,P -．4(0,P -．综上所述：满足条件的点P 的坐标有：(0，-、(0，、(0,--、(0,-+．（3）当过点A 、B 的E 与y 轴相切于点P 时，APB ∠最大．理由：可证：APB AEH ∠=∠，当APB ∠最大时，AEH ∠最大．由2sin AEH AE∠=得：当AE 最小即PE 最小时，AEH ∠最大．所以当圆与y 轴相切时，APB ∠最大．①当点P 在y 轴的正半轴上时，连接EA ，作EH x ⊥轴，垂足为H ，如图2．E 与y 轴相切于点P ，PE OP ∴⊥．EH AB ⊥ ，OP OH ⊥，90EPO POH EHO ∴∠=∠=∠=︒．∴四边形OPEH 是矩形．OP EH ∴=，3PE OH ==．3EA ∴=．90EHA ∠=︒ ，2AH =，3EA =，EH ∴===OP ∴P ∴．②当点P 在y 轴的负半轴上时，同理可得：(0,P ．理由：①若点P 在y 轴的正半轴上，在y 轴的正半轴上任取一点M （不与点P 重合），连接MA ，MB ，交E 于点N ，连接NA ，如图2所示．ANB ∠ 是AMN ∆的外角，ANB AMB ∴∠>∠．APB ANB ∠=∠ ，APB AMB ∴∠>∠．②若点P 在y 轴的负半轴上，同理可证得：APB AMB ∠>∠．综上所述：当点P 在y 轴上移动时，APB ∠有最大值，此时点P 的坐标为和(0,．【点评】本题考查了垂径定理、圆周角定理、勾股定理、等边三角形的性质、矩形的判定与性质，切线的性质、三角形外角性质等知识，综合性强．同时也考查了创造性思维，有一定的难度．构造辅助圆是解决本题关键．类型3：四点共圆1．（2022•中原区校级模拟）阅读下列材料，并完成相应的任务．西姆松定理是一个平面几何定理，其表述为：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边或其延长线的垂线，则三垂足共线（此线常称为西姆松线）．某数学兴趣小组的同学们尝试证明该定理．如图（1），已知ABC∆内接于O，点P在O上（不与点A，B，C重合），过点P分别作AB，BC，AC的垂线，垂足分别为点D，E，F．求证：点D，E，F在同一条直线上．如下是他们的证明过程（不完整）:如图（1），连接PB，PC，DE，EF，取PC的中点Q，连接QE．QF，则12EQ FQ PC PQ CQ====，（依据1)点E，F，P，C四点共圆，180FCP FEP∴∠+∠=︒．（依据2)又180ACP ABP∠+∠=︒，FEP ABP∴∠=∠．同上可得点B，D，P，E四点共圆，⋯⋯任务：（1）填空：①依据1指的是中点的定义及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；②依据2指的是．（2）请将证明过程补充完整．（3）善于思考的小虎发现当点P是 BC的中点时，BD CF=，请你利用图（2）证明该结论的正确性．【分析】（1）利用直角直角三角形斜边上的中线的性质和圆内接四边形对角互补即可；（2）利用直角三角形斜边上中线的性质证明点E，F，P，C和点B，D，P，E四点分别共圆，再说明180FEP DEP∠+∠=︒，可证明结论；（3）连接PA，PB，PC，利用HL证明Rt PBD Rt PCF∆≅∆，从而得出结论．【解答】（1）解：①依据1指的是中点的定义及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，②依据2指的是圆内接四边形对角互补，故答案为：①直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；②圆内接四边形对角互补；（2）解：如图（1），连接PB，PC，DE，EF，取PC的中点Q，连接QE．QF，则12EQ FQ PC PQ CQ ====，∴点E，F，P，C四点共圆，180FCP FEP∴∠+∠=︒，又180ACP ABP∠+∠=︒，FEP ABP∴∠=∠，同上可得点B，D，P，E四点共圆，DBP DEP∴∠=∠，180ABP DBP∠+∠=︒，180FEP DEP∴∠+∠=︒，∴点D，E，F在同一直线上；（3）证明：如图，连接PA，PB，PC，点P 是 BC的中点，∴ BPPC =，BP PC ∴=，PAD PAC ∠=∠，又PD AD ⊥ ，PF AC ⊥，PD PF ∴=，Rt PBD Rt PCF(HL)∴∆≅∆，BD CF ∴=．【点评】本题主要考查了四点共圆，以及圆内接四边形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，证明Rt PBD Rt PCF ∆≅∆是解题的关键．2．（2021•哈尔滨模拟）（1）【学习心得】于彤同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．例如：如图1，在ABC ∆中，AB AC =，90BAC ∠=︒，D 是ABC ∆外一点，且AD AC =，求BDC ∠的度数．若以点A 为圆心，AB 为半径作辅助A ，则点C 、D 必在A 上，BAC ∠是A 的圆心角，而BDC ∠是圆周角，从而可容易得到BDC ∠=45︒．（2）【问题解决】如图2，在四边形ABCD 中，90BAD BCD ∠=∠=︒，25BDC ∠=︒，求BAC ∠的度数．（3）【问题拓展】如图3，如图，E ，F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点，满足AE DF =．连接CF 交BD 于点G ，连接BE 交AG 于点H ．若正方形的边长为2，则线段DH 长度的最小值是．【分析】（1）利用同弦所对的圆周角是所对圆心角的一半求解．（2）由A 、B 、C 、D 共圆，得出BDC BAC ∠=∠，（3）根据正方形的性质可得AB AD CD ==，BAD CDA ∠=∠，ADG CDG ∠=∠，然后利用“边角边”证明ABE ∆和DCF ∆全等，根据全等三角形对应角相等可得12∠=∠，利用“SAS ”证明ADG ∆和CDG ∆全等，根据全等三角形对应角相等可得23∠=∠，从而得到13∠=∠，然后求出90AHB ∠=︒，取AB 的中点O ，连接OH 、OD ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得112OH AB ==，利用勾股定理列式求出OD ，然后根据三角形的三边关系可知当O 、D 、H 三点共线时，DH 的长度最小．【解答】解：（1）如图1，AB AC = ，AD AC =，∴以点A 为圆心，AB 为半径作圆A ，点B 、C 、D 必在A 上，BAC ∠ 是A 的圆心角，而BDC ∠是圆周角，1452BDC BAC ∴∠=∠=︒，故答案为：45；（2）如图2，取BD 的中点O ，连接AO 、CO ．90BAD BCD ∠=∠=︒ ，∴点A 、B 、C 、D 共圆，BDC BAC ∴∠=∠，25BDC ∠=︒ ，25BAC ∴∠=︒，（3）如图3，在正方形ABCD 中，AB AD CD ==，BAD CDA ∠=∠，ADG CDG ∠=∠，在ABE ∆和DCF ∆中，AB CD BAD CDA AE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABE DCF SAS ∴∆≅∆，12∴∠=∠，在ADG ∆和CDG ∆中，AD CD ADG CDG DG DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADG CDG SAS ∴∆≅∆，23∴∠=∠，13∴∠=∠，390BAH BAD ∠+∠=∠=︒ ，190BAH ∴∠+∠=︒，1809090AHB ∴∠=︒-︒=︒，取AB 的中点O ，连接OH 、OD ，则112OH AO AB ===，在Rt AOD ∆中，OD ===，根据三角形的三边关系，OH DH OD +>，∴当O 、D 、H 三点共线时，DH 的长度最小，最小值1OD OH =-=．（解法二：可以理解为点H 是在Rt AHB ∆，AB 直径的半圆 AB 上运动当O 、H 、D 三点共线时，DH 长度最小）1-．【点评】本题主要考查了圆的综合题，需要掌握垂径定理、圆周角定理、等腰直角三角形的性质以及勾股定理等知识，难度偏大，解题时，注意辅助线的作法．3．（2022•潢川县校级一模）如图1，点B 在直线l 上，过点B 构建等腰直角三角形ABC ，使90BAC ∠=︒，且AB AC =，过点C 作CD ⊥直线l 于点D ，连接AD ．（1）小亮在研究这个图形时发现，90BAC BDC ∠=∠=︒，点A ，D 应该在以BC 为直径的圆上，则ADB ∠的度数为45︒，将射线AD 顺时针旋转90︒交直线l 于点E ，可求出线段AD ，BD ，CD 的数量关系为；（2）小亮将等腰直角三角形ABC 绕点B 在平面内旋转，当旋转到图2位置时，线段AD ，BD ，CD 的数量关系是否变化，请说明理由；（3）在旋转过程中，若CD 长为1，当ABD ∆面积取得最大值时，请直接写AD 的长．【分析】（1）由90BAC ∠=︒，且AB AC =，可得45ACB ABC ∠=∠=︒，由90BAC BDC ∠=∠=︒，推出A 、B 、C 、D 四点共圆，所以45ADB ACB ∠=∠=︒；由题意知EAB DAC ∆≅∆，所以BE CD =，由AE AD =，90EAD ∠=︒，可知ADE ∆是等腰直角三角形，推出2CD DB EB BD DE +=+==；（2）如图2，将AD 绕点A 顺时针旋转90︒交直线l 于点E ．易证()EAB DAC SAS ∆≅∆，则BE CD =，由AE AD =，90EAD ∠=︒，所以ADE ∆是等腰直角三角形，则2DE =，由BD CD BD BE DE -=-=，推出BD CD-=；（3）当点D在线段AB的垂直平分线上且在AB的左侧时，ABD∆的面积最大．【解答】解：（1）①如图，在图1中．=，，且AB AC∠=︒90BACACB ABC∴∠=∠=︒，45，∠=∠=︒90BAC BDC∴、B、C、D四点共圆，A∴∠=∠=︒；45ADB ACB②由题意可知，90∠=∠=︒，EAD BAC∴∠=∠，EAB DAC又AE AD=，AB AC=，EAB DAC SAS∴∆≅∆，()∴=，BE CD，90AE AD=∠=︒，EAD∴∆是等腰直角三角形，ADE∴=，DE，+=+=CD DB EB BD DE∴+=；CD DB故答案为45︒，CD DB+=；（2）线段AD，BD，CD的数量关系会变化，数量关系为BD CD-=．理由如下：如图2，将AD绕点A顺时针旋转90︒交直线l于点E．则90∠=∠=︒，DAE CAB∴∠=∠，DAC EAB又AD AE=，AC AB=，EAB DAC SAS∴∆≅∆，()∴=，BE CD，90AE AD=∠=︒，EAD∴∆是等腰直角三角形，ADE∴=，2DE，-=-=BD CD BD BE DE∴-=；2BD CD（3）由（2）知，CDA BEA∆≅∆，∴∠=∠，CDA AEB，∠=︒DEA45∴∠=︒-︒=︒，AEB18045135∴∠=∠=︒，135CDA AEB∴∠+∠=︒+︒=︒，13545180CDA ABC∴、B、C、D四点共圆，A于是作A、B、C、D外接圆O，如图，当点D在线段AB的垂直平分线上且在AB的左侧时，DG经过圆心，此时DG最长，因此ABD∆的面积最大．作DG AB ⊥，则DG 平分ADB ∠，DB DA =，在DA 上截取一点H ，使得1CD DH ==，45ADB ACB ∠=∠=︒ ，22.5GDB ∴∠=︒，67.5DBG ∠=︒，67.54522.5DBC ∴∠=︒-︒=︒，4522.522.5HCB DHC HBC ∠=∠-∠=︒-︒=︒，HCB HBC ∴∠=∠，HB CH ∴==，1AD BD DH BH ∴==+=．【点评】本题考查三角形综合题、等腰直角三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、圆等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用辅助圆解决问题，属于中考压轴题．。

初三隐圆问题的4种模型咱来唠唠初三隐圆问题的那四种模型哈。

一、定点定长模型你就想象有这么一个点，它像个圆心一样，然后有个固定的长度，就好比是这个圆的半径。

不管这个点怎么动来动去，只要到某个点的距离始终是这个固定长度，那这些点就能构成一个隐圆。

比如说，一个点A到另一个点B的距离始终是5厘米，那点A运动的轨迹就是一个以B为圆心、5厘米为半径的圆，只不过这个圆有时候不是明明白白画出来给你的，得你自己去发现，这就是定点定长模型的隐圆啦。

二、定弦定角模型这个就像是有一根固定的弦，就像琴弦一样，在这根弦的同侧，有一个固定大小的角。

你想啊，不管这个角的顶点在弦的同侧怎么挪，只要这个角的大小不变，那这个顶点的运动轨迹就是一个圆。

比如说，有一条线段AB，然后在AB同侧有个角∠C，∠C始终是30°，那点C就会在一个隐圆上运动。

就好比是这个角被这根弦给“牵制”着，只能在特定的圆上活动，这就是定弦定角模型的妙处。

三、直角对直径模型这个就特别有趣啦。

你知道圆的直径所对的圆周角是直角吧？反过来，如果有一个直角，它的顶点在运动，但是这个直角的两条边分别经过两个定点，那这个直角顶点的运动轨迹就是一个圆，而且这个圆的直径就是这两个定点所连成的线段。

就好像这个直角被这两个定点“绑架”了，只能在以这两点连线为直径的圆上晃悠，这就是直角对直径模型的隐圆，发现这个模型就像发现了一个隐藏的小秘密一样。

四、四点共圆模型这个模型呢，就是有四个点，这四个点要是满足一些特殊的条件，那它们就在同一个圆上。

比如说，如果四边形的对角互补，那这个四边形的四个顶点就在同一个圆上。

就好像这四个点商量好了似的，它们之间有着一种神秘的联系，让它们能够共同在一个隐圆上存在。

还有一种情况就是，如果一个四边形的一个外角等于它的内对角，那这四个点也共圆。

这就像是这四个点之间有一种默契，按照一种特殊的规则就可以确定它们在一个隐圆上啦。

类型一：定点到动点定长点A为定点，点B为动点，AB为定长，则点B的轨迹为圆心为点A，半径为AB的圆。

【经典例题1】如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB边的中点，F 是线段BC边上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B′D的最小值是___.【解析】如图所示：当∠BFE=∠B′EF，点B′在DE上时，此时B′D的值最小，根据折叠的性质，△EBF≌△EB′F，∴EB′⊥B′F，∴EB′=EB，∵E是AB边的中点，AB=4，∴AE=EB′=2，∵AD=6，∴DE=1022622=+，∴B′D=102−2.练习1-1如图③，矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，点E 是AB 边上一点，且AE=2，点F 是BC 边上的任意一点，把△BEF 沿EF 翻折，点B 的对应点为G ，连接AG 、CG ，四边形AGCD 的面积是否存在最小值，若存在，求这个最小值及此时BF 的长度。

若不存在，请说明理由。

【解析】（3）如图3，△四边形ABCD 是矩形，△CD=AB=3，AD=BC=4，△ABC=△D=90°，根据勾股定理得，AC=5， △AB=3，AE=2，△点F 在BC 上的任何位置时，点G 始终在AC 的下方，设点G 到AC 的距离为h ，△S 四边形AGCD =S △ACD +S △ACG =21AD×CD+21AC×h=21×4×3+21×5×h=25h+6， △要四边形AGCD 的面积最小，即：h 最小，△点G 是以点E 为圆心，BE=1为半径的圆上在矩形ABCD 内部的一部分点， △EG△AC 时，h 最小，由折叠知△EGF=△ABC=90°，延长EG 交AC 于H ，则EH△AC ，在Rt△ABC 中，sin△BAC=AC BC =54， 在Rt△AEH 中，AE=2，sin△BAC=AE EH =54， △EH=54AE=58，△h=EH -EG=58-1=53 △S 四边形AGCD 最小=25h+6=25×53+6=215． 练习1-2如图，等边△ABC 的边AB=8，D 是AB 上一点，BD=3，P 是AC 边上一动点，将△ADP 沿直线DP 折叠，A 的对应点为A'，则CA'的长度最小值是 .【解析】2练习1-3如图，在平行四边形ABCD 中，△BCD =30°，BC =4，CD=M 是AD 边的中点，N 是AB 边上的一动点，将△AMN 沿MN 所在直线翻折得到△AMN ，连接A'C ，则A'C 长度的最小值是 .【解析】如图，连接MC ；过点M 作ME△CD ，交CD 的延长线于点E ；△四边形ABCD 为平行四边形，△AD△BC ，AD=BC=4，△点M 为AD 的中点，△BCD=30△，△DM=MA=2，△MDE=△BCD=30△， △ME=21DM=1，DE=3， △CE=CD+DE=43，由勾股定理得：CM 2=ME 2+CE 2，第4题图AB C DA'M N△CM=7;由翻折变换的性质得：MA′=MA=2，显然，当折线MA′C 与线段MC 重合时，线段A′C 的长度最短，此时A′C=7−2=5，故答案为5.练习1-4如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A=60∘，点M 是AD 边的中点，点N 是AB 边上一动点，将△AMN 沿MN 所在的直线翻折得到△A′MN ，连结A′C ，则A′C 长度的最小值是( ) A. 7 B. 7−1 C. 3 D. 2【解析】如图所示：∵MA′是定值，A′C 长度取最小值时，即A′在MC 上时， 过点M 作MF ⊥DC 于点F ，∵在边长为2的菱形ABCD 中，∠A=60∘，M 为AD 中点，∴2MD=AD=CD=2，∠FDM=60∘，∴∠FMD=30∘，∴FD=21MD=21，∴FM=DM×cos30∘=23， ∴MC=722=+CF FM ，∴A′C=MC−MA′=7−1.故选：B.变式：在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点F 在边AC 上，并且CF=2，点E 为边BC 上的动点，将△CEF 沿直线EF 翻折，点C 落在点P 处，则点P 到边AB 距离的最小值是_____解题思路：同上题，不难看出点P 的运动轨迹为以点F 为圆心，PF 为半径的圆上运动，求点P 到AB 的距离最小，可过点F 作AB 的垂线于点M ，交圆 F 于点P ，此时，最小值为PM 。

中考数学复习隐形圆问题大全一定点+定长1.依据：到定点的距离等于定长的点的集合是以定点为圆心定长为半径的圆。

2.应用：（1）如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD=2，BC=1，AB∥CD，求BD的长。

简析：因AB=AC=AD=2，知B、C、D在以A为圆2为半径的圆上，由AB∥CD 得DE=BC=1，易求BD=15。

（2）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB边的中点，F是线段BC 边上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B′D的最小值是.简析：E为定点，EB′为定长，B′点路径为以E为圆心EB′为半径的圆，作穿心线DE得最小值为210。

（3）ΔABC中，AB=4，AC=2，以BC为边在ΔABC外作正方形BCDE，BD、CE 交于点O，则线段AO的最大值为.简析：先确定A、B点的位置，因AC=2，所以C点在以A为圆心，2为半径的圆上；因点O是点C以点B为中心顺时针旋转45度并1：√2缩小而得，所以把圆A旋转45度再1：2缩小即得O点路径。

如下图，转化为求定点A到定圆F的最长路径，即AF+FO=32。

二定线+定角1.依据：与一条定线的两端夹角一定的动点路径是以定线为弦，定角为圆周角的弧。

2.应用：（1）矩形ABCD中，AB=10，AD=4，点P是CD上的动点，当∠APB=90°时求DP的长.简析：AB为定线，∠APB为定角（90°），P点路径为以AB为弦（直径）的弧，如下图，易得DP为2或8。

（2）如图，∠XOY = 45°，等边三角形ABC的两个顶点A、B分别在OX、OY上移动，AB = 2，那么OC的最大值为.简析：AB为定线，∠XOY为定角，O点路径为以AB为弦所含圆周角为45°的弧，如下图，转化为求定点C到定圆M的最长路径，即CM+MO=3+1+2。

（3）已知A（2，0），B（4，0）是x轴上的两点，点C是y轴上的动点，当∠ACB最大时，则点C的坐标为_____．简析：作ΔABC的处接圆M，当∠ACB最大时，圆心角∠AMB最大，当圆M 半径最小时∠AMB最大，即当圆M与y轴相切时∠ACB最大。

隐形圆问题一、确定动点轨迹是圆【例题1】如图，已知圆C的半径为3，圆外一定点O满足OC=5，点P为圆C上一动点，经过点O的直线l上有两点A，且OA=OB，∠APB=90°，l不过点C，则AB的最小值为【举一反三】1、如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A’MN,连接A’C，则A’C长度的最小值是第1题第2题2、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC＝6，BC=8，点F在边AC 上，并且CF＝2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是3、如图，已知等边△ABC的边长为8，点P是AB边上的一个动点(与点A、B不重合).直线l是经过点P的一条直线，把△ABC沿直线l折叠，点B的对应点是点B’.当PB=6时，在直线l变化过程中，则△ACB’面积的最大值是.4、如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC=8，P、Q分別是直线BC、AB上的两个动点，AE＝2，△AEQ沿EQ翻折形成△FEQ，连接PF、PD，则PF+PD的最小值是二、定边对直角知识回顾:直径所对的圆周角是直角构造思路:一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧.图形释义:若AB是一条定线段，且∠APB-90°，则P点轨迹是以AB为直径的圆【例题1】已知正方形ABCD边长为2，E、F分别是BC、CD上的动点，且满足BE＝CF，连接AE、BF，交点为P点，则PC的最小值为【举一反三】1、如图，E、F是正方形ABCD的边AD上的两个动点，满足AE＝DF，连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H，若正方形边长为2，则线段DH长度的最小值是2、如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC，则线段CP长的最小值是3、如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，AB＝5，AC＝4.D是弧BC上的一个动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE.在点D移动的过程中，BE的最小值为4、如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC＝12，AB＝10，点D是AC上的一个动点，以AD为直径作圆O，连接BD交圆O于点E，则AE的最小值为5、如图，正方形ABCD的边长为4，动点E、F分別从点A、C同时出发，以相同的速度分别沿AB、CD向终点B、D移动，当点E到达点B时，运动停止，过点B作直线EF的垂线BG，垂足为点G，连接AG，则AG长的最小值为【辅助圆+将军饮马】如图，正方形ABCD的边长是4，点E是AD 边上一动点，连接BE，过点A作AF⊥BE于点F，点P是AD边上另一动点，则PC+PF的最小值为【辅助圆+相切】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB ＝4，D是BC上一动点，CE⊥AD于E，EF⊥AB交BC于点F，则CF的最大值是三、定边对定角在“定边对直角”问题中，依据“直径所对的圆周角是直角”，关键性在于寻找定边、直角，而根据圆周角定理:同圆或等圆中，同弧或等弧所対的圆周角都相.定边必不可少，而直角则可一般为定角.例如，AB 为定值，∠P为定角，则P点轨迹是一个圆.当然，∠P度数也是特殊角，比如30°、45°、60°、120°，下面分别作对应的轨迹圆若∠P＝30°，以AB为边，同侧构造等边三角形AOB，O即为圆心若∠P＝45°，以AB为斜边，同侧构造等腰直角三角形AOB，O即为圆心.若∠P＝60°，以AB为底，同侧构造顶角为120°的等腰三角形AOB，O即为圆心.若∠P＝120°，以AB为底，异侧为边构造顶角为120°的等腰三角形AOB，O即为圆心.【例题1】如图，等边△ABC边长为2，E、F分別是BC、CA上两个动点，且BE=CF，连接AE、BF，交点为P点，则CP的最小值为【举一反三】1、如图，△ABC为等边三角形，AB=3，若P为△ABC内一动点，且满足∠PAB＝∠ACP，则线段PB长度的最小值为2、在△ABC中，AB＝4，∠C＝60°，∠A>∠B，则BC的长的取值范围是3、如图，AB是圆O的直径，M、N是弧AB(异于A、B)上两点，C 是弧MN上一动点，∠ACB的角平分线交圆O于点D，∠BAC的平分线交CD于点E，当点C从点M运动到点N时，则C、E两点的运动路径长的比是。

中考隐圆问题的4种模型
中考隐圆问题的4种模型
隐圆问题，在中考数学中是相对比较难的一个知识点，需要掌握从点或者直线的相关信息推导出圆的方程。

下面将介绍中考隐圆问题的4种模型，帮助学生理解和掌握这个难点。

模型一：点到圆心的距离恒定
这种模型，要求考生熟悉圆的基本概念和性质，例如圆心、半径等。

当一个固定点到圆心的距离与另一点到圆心的距离相等时，这两个点的坐标必然满足圆的方程。

因此，考生需要学会利用这个条件推导出圆的方程。

模型二：直线与圆交点
当一个圆与一条直线相交时，会产生2个交点。

在这种情况下，考生需要根据这2个交点的坐标推导出圆的方程。

要注意的是，由于圆对称性的存在，这2个交点必然在直线和圆心连线的中垂线上。

因此，这种模型可以简化为求直线与圆心的距离以及一个交点的坐标，再由对称性求出另外一个交点的坐标。

模型三：圆的切线
当一个直线与圆相切时，认为这个直线是圆内切线。

这种情况下，直线与圆有且仅有一个交点，考生需要根据这个交点和直线方程推导出圆的方程。

要注意的是，圆的切线和圆心的连线垂直，因此在求解过程中要利用这个性质。

模型四：两圆交点
当两个圆相交时，会产生2个交点。

在这种情况下，考生需要根据这2个交点的坐标推导出两个圆的方程。

要注意的是，两个圆的方程之间存在联立关系，因此需要利用数学知识进行解题。

总之，掌握中考隐圆问题的4种模型，是中考数学难点掌握的重要一步，可以通过刻意练习和查阅相关资料来提升对隐圆问题的理解和掌握，从而更好地应对中考数学考试。

3、应用隐圆解决实际问题；最值问题之“隐圆再现”的问题【知识要点】点到圆的最小距离和最大距离总结：（圆外一点到圆上最短距离是与圆心的连线；最长距离是与圆心连线的延长线。

）圆内一点P到圆上的最短距离为PA，最长距离为PB；(P、A、0、B四点在同一条直线上，即P，A，B三点过圆心O) ．二、圆的存在条件（常见的类型，还有定半径长度类）类型1、圆的定义：（定长）在一个平面内，线段 AB 绕它固定的一个端点 A 旋转一周，另一个端点 B 所形成的图形叫做圆；类型2、定直角：直径所对的圆周角为90°；应用几何性质：①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；②两点间线段最短；③连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；④定圆中的所有弦中，直径最长．【例题精讲】知识点一、翻折定点定长--隐圆现。

例1．如图，在Rt△ABC中，∠C=6，BC=8，点F在边AC上，并且CF=2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是．2.如图，在矩形ABCD中，AC=6，BC=8，点F是边AC的中点，点E为边BC上的动点，将△CEF 沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到点D的距离的最小值是．3．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，E是AB边的中点，F是线段BC边上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B′D的最小值是．5．如图，菱形ABCD边长为4，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN 所在的直线翻折得到△A1MN，连接A1C，则A1C的最小值是．知识点二、动点定直角---隐圆现1.如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BC=，点D是AC边上一动点，连接BD，以AD为直径的圆交BD于点E，则线段CE长度的最小值为．2．如图，在Rt△ABC中，BC＝AC＝2，点M是AC边上一动点，连接BM，以CM为直径的⊙O 交BM于N，则线段AN的最小值为．3．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D为线段AC上一动点，连接BD，过点C作CH⊥BD于H，连接AH，则AH的最小值为．4．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是矩形内部的一个动点，且AE⊥BE，则线段CE 的最小值为．6．如图，正方形ABCD中，AB＝2，动点E从点A出发向点D运动，同时动点F从点D出发向点C运动，点E、F运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段AF、BE相交于点P，M是线段BC上任意一点，则MD+MP的最小值为．4、（湖北武汉3分）如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF 交BD于G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是．知识点三、动点定长隐圆现1．如图，⊙O的半径为2，AB.CD是互相垂直的两条直径，点P是⊙O上任意一点，过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥CD于点N，点Q是MN的中点，当点P从点A运动到点D时，点Q所经过的路径长为（）．2．如图，正方形ABCD的边长为2，将长为2的线段QR的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑动．如果点Q从点A出发，沿图中所示方向按A⇒B⇒C⇒D⇒A滑动到A止，同时点R从点B 出发，沿图中所示方向按B⇒C⇒D⇒A⇒B滑动到B止，在这个过程中，线段QR的中点M所经过的路线围成的图形的面积为（）A．2B．4﹣πC．πD．π﹣13．如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E、F分别为AD、DC边上的点，且EF＝2，点G 为EF的中点，点P为BC上一动点，则P A+PG的最小值为（）A．3B．4C．2D．5【立马试试】2．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN 沿MN所在直线翻折得到△A'MN，连接A'C．在MN上存在一动点P．连接A'P、CP，问△A'PC 周长是否存在最小值是，若存在，请计算出这个最小值；若不存在，请说明理由．7．如图，一块∠BAC为30°的直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，点E在量角器的圆弧边缘处从A到B运动，连接CE，交直径AB于点D．(1)当点E在量角器上对应的刻度是90°时，则∠ADE的度数为多少？(2)若AB=8，P为CE的中点，当点E从A到B的运动过程中，点P也随着运动，则点P所走过的路线长为多少？类型四、三条相等线段造成的隐形圆1．如图，已知AB＝AC＝AD，∠CBD＝2∠BDC，∠BAC＝44°，则∠CAD的度数为（）A．68°B．88°C．90°D．112°2．如图，四边形ABCD中，DC∥AB，BC＝1，AB＝AC＝AD＝2．则BD2的值为（）A．14B．15C．18D．12【课堂总结】隐形圆的几种存在情况1.2.3.4.【2019锦江1诊真题再现】（武侯二诊）24．（4分）如图，点O是矩形ABCD的对角线的交点，AB＝15，BC＝8，直线EF 经过点O，分别与边CD，AB相交于点E，F（其中0＜DE＜）．现将四边形ADEF沿直线EF折叠得到四边形A′D′EF，点A，D的对应点分别为A′，D′，过D′作D′G⊥CD于点G，则线段D′G的长的最大值是，此时折痕EF的长为．（2018•锦江区模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝43，对角线AC、BD相交于点O，现将一个直角三角板OEF的直角顶点与O重合，再绕着O点转动三角板，并过点D作DH⊥OF 于点H，连接AH．在转动的过程中，AH的最小值为．【课后练习】3．如图，在△OAB中，OA＝OB，∠AOB＝15°，在△OCD中，OC＝OD，∠COD＝45°，且点C在边OA上，连接CB，将线段OB绕点O逆时针旋转一定角度得到线段OE，使得DE＝CB，则∠BOE的度数为（）A．15°B．15°或45°C．45°D．45°或60°4．直线y＝x+4分别与x轴、y轴相交于点M，N，边长为2的正方形OABC一个顶点O在坐标系的原点，直线AN与MC相交于点P，若正方形绕着点O旋转一周，则点P到点（0，2）长度的最小值是（）A．2﹣2B．3﹣2C．D．1二．填空题（共5小题）5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，P是AB边上的动点（不与点B重合），将△BCP沿CP所在的直线翻折，得到△B′CP，连接B′A，则B′A长度的最小值是．三．解答题（共2小题）7．（阿氏圆）问题背景如图1，在△ABC中，BC＝4，AB＝2AC．问题初探请写出任意一对满足条件的AB与AC的值：AB＝，AC＝．问题再探如图2，在AC右侧作∠CAD＝∠B，交BC的延长线于点D，求CD的长．问题解决求△ABC的面积的最大值．8．已知A（2，0），B（6，0），CB⊥x轴于点B，连接AC画图操作：（1）在y正半轴上求作点P，使得∠APB＝∠ACB（尺规作图，保留作图痕迹）理解应用：（2）在（1）的条件下，①若tan∠APB＝，求点P的坐标；②当点P的坐标为时，∠APB最大拓展延伸：（3）若在直线y＝x+4上存在点P，使得∠APB最大，求点P的坐标．9．如图，边长为2的正方形ABCD的顶点A，B在一个半径为2的圆上，顶点C，D在该圆内，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点D第一次落在圆上时，点C运动的路线长为______．。