人教版九年级数学上册中考专题复习题含答案全套

一元二次方程一、选择题1. （某某某某，5，4分）—元二次方程x 2＋2x ＋1=0的根的情况（ ）A ．有一个实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个不相等的实数根D ．没有实数根【答案】B【逐步提示】先根据一元二次方程x 2＋2x ＋1=0确定a 、b 、c 的值，再求判别式b 2－4ac 的值，最后根据判别式值的情况作出判断．【详细解答】解：一元二次方程x 2＋2x ＋1=0中，a =1，b =2，c =1，所以b 2－4ac =22-4×1×1=0，故选择B .【解后反思】一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），当b 2－4ac ＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当b2－4ac ＝0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当b 2－4ac ＜0时，一元二次方程没有实数根；当b 2－4ac ≥0时，一元二次方程有实数根，以上结论反过来也成立．【关键词】一元二次方程；一元二次方程根的判别式2. （ 某某省，14，2分）a ，b ，c 为常数，且（a -c ）2>a 2+c 2，则关于x 的方程ax 2+bx +c =0根的情况是（）A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．无实数根D ．有一根为0【答案】B【逐步提示】本题考查了一元二次方程根的判别式，先化简不等式得到ac ＜0，进而判断出b 2－4ac 的符号，由此可知方程根的情况.【详细解答】解：∵（a －c ）2＞a 2+c 2，即a 2－2ac+c 2＞a 2+c 2，∴ac ＜0，a ≠0.∴关于x 的方程ax 2+bx+c 是一元二次方程，且b 2－4ac ＞0，故该方程有两个不相等的实数根.【解后反思】1.一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），当b 2－4ac ＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当b 2－4ac ＝0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当b 2－4ac ＜0时，一元二次方程没有实数根；当b 2－4ac ≥0时，一元二次方程有实数根，以上结论反过来也成立．ax 2＋bx ＋c ＝0来说，只有当a≠0时，这个方程才是一元二次方程.【关键词】不等式；根的判别式；一元二次方程的定义3. （某某省某某市，10，3分）关于x 的一元二次方程042=++k x x 有两个相等的实根，则k 的值为（ ）A.k =-4B.k =4C.4-≥kD.4≥k【答案】B【逐步提示】本题考查的是一元二次方程根的判别式，利用一元二次方程的根的情况得到判别式的大小是解题的关键.第一步，根据题目已知条件判断“0=∆”；第二步， 由ac b 42-=∆，列出含有字母k 的方程并求解即可得出答案。

中考复习专题5：无刻度的直尺作图（四）1.如图，已知四边形ABCD为平行四边形，请仅用无刻度直尺完成下列画图，并回答问题，保留作图痕迹（用虚线画出画图过程，实现表示画图结果）（1）如图1，画一条直线既能平分四边形ABCD的周长，也能平分ABCD的面积；（2）如图2，若AB=AD，点E为AD上的一点，请在CB上截取一点M，使得AE=CM，并说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，若∠ABC=90°，连接BD，点F为BD上的一点，请以AF为边构造一个菱形，并说明理由．【解答】（1）如图，直线l即为所求．（2）如图，连接AC，BD交于点O，连接EO延长EO交BC于M，点M即为所求．理由：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，OA=OC，∴∠AEO=∠CMO，∵∠AOE=∠COM，∴△AEO≌△CMO（AAS），∴AE=CM．（3）如图3中，连接AC交BD于O，延长AF交CD于M，连接MO，延长MO交AB于N，连接CN 交BD于K，连接AK，CK，CF，则四边形AKCF是菱形．同法可证：AM=AN，∵AN∥CM，∴四边形ANCM是平行四边形，∴AF∥CK，∴∠AFO=∠CKO，∵OA=OC，∠AOF=∠COK，∴△AOF≌△COK（AAS），∴AF=CK，∵AB=BC，∠ABF=∠CBF=45°，BF=BF，∴△ABF≌△CBF（SAS），∴AF=CF，同法可证：AK=CK，∴AF=FC=CK=AK，∴四边形AKCF是菱形．2.如图，在Rt△OBC中，∠B=90°，∠C=60°，OB与⊙O相交于点A，且OA=BC．（1）请你在图1中，用无刻度的直尺在⊙O上找出一点P，使CP∥OB；（2）请你在图2中，用无刻度的直尺在⊙O上找出一点P，使BP∥OC．【解答】（1）如图1：点P即为所求作的点，使CP∥OB；（2）如图2：点P即为所求作的点，使BP∥OC．3.已知四边形ABCD内接于⊙O，且已知∠ADC=120°；请仅用无刻度直尺完成以下作图（保留作图痕迹，不写作法，写明答案）．（1）在图1中，已知AD=CD，在⊙O上求作一个度数为30°的圆周角；（2）在图2中，已知AD≠CD，在⊙O上求作一个度数为30°的圆周角．【解答】（1）如图1所示：∠ABD=30°或∠CBD=30°；（2）如图2所示：∠CAE=30°．4.如图，在△ABC中，已知AB=AC，AD⊥BC于点D．（1）如图①，点P为AB上任意一点，请你用无刻度的直尺在AC上找出一点P′，使AP=AP′．（2）如图②，点P为BD上任意一点，请你用无刻度的直尺在CD上找出一点P′，使BP=CP′．【解答】（1）如图①，点P'为所求作的图形，理由：∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠ABC=∠ACB，BD=CD，∴AD是BC的垂直平分线，连接CP，交AD于H，连接BH并延长交AC于P'，∴BH=CH，∴∠HBC=∠HCB，∴∠ABP'=∠ACP，∵AB=AC，∠BAP'=∠CAP，∴△ABP'≌△ACP，∴AP'=AP，（2）如图②，点P'为所求作的图形，理由：同（1）的方法即可得出，BP=CP'．5.如图，在▱ABCD中，点E在BC上，AB=BE，BF平分∠ABC交AD于点F，请用无刻度的直尺画图（保留作图痕迹，不写画法）．（1）在图1中，过点A画出△ABF中BF边上的高AG；（2）在图2中，过点C画出C到BF的垂线段CH．【解答】（1）如图1，AG即为所求．（2）如图2，连接AC，BD交于点O，作射线EO，交AD于G，连接CG，交BF于H，则CH即为所求．理由是：如图3，连接AE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，AG∥CE，∴∠AGO=∠CEO，∵∠AOG=∠COE，∴△AOG≌△COE（AAS），∴OG=OE，∴四边形AECG是平行四边形，∴AE∥CG，∵AE⊥BF，∴CG⊥BF，即CH⊥BF．6.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=2BC，点E是AD的中点，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图．（不写画法，保留画图痕迹）（1）在图1中，画出△ACD的边AC上的中线DM；（2）在图2中，若AC=AD，画出△ACD的边CD上的高AN．【解答】（1）如图，DM为所作；（2）如图，AN为所作．7.用无刻度的直尺按要求作图，请保留画图痕迹，不需要写作法．（1）如图1，已知∠AOB，OA=OB，点E在OB边上，四边形AEBF是矩形．请你只用无刻度的直尺在图中画出∠AOB的平分线．（2）如图2，在8×6的正方形网格中，请用无刻度直尺画一个与△ABC面积相等，且以BC为边的平行四边形，顶点在格点上．【解答】（1）连接AB，EF，交点设为P，射线AP即为所求；（2）如图所示，平行四边形MBCN即为所求．8.在正方形ABCD中，E为AB的中点．（1）将线段AB绕点O逆时针旋转一定角度，使点A与点B重合，点B与点C重合，用无刻度直尺作出点O的位置，保留作图痕迹；（2）将△ABD绕点D逆时针旋转某个角度，得到△CFD，使DA与DC重合，用无刻度直尺作出△CFD，保留作图痕迹．【解答】如图所示：（1）连接AC交BD于点O，则点O即为所求的点；（2）连EO并延长交CD于H，连AH，延长AH、BC交于点F，连DF，则△DCF即为所求．9.请仅用无刻度的直尺在下列图1和图2中按要求画菱形．（1）图1是矩形ABCD，E，F分别是AB和AD的中点，以EF为边画一个菱形；（2）图2是正方形ABCD，E是对角线BD上任意一点（BE＞DE），以AE为边画一个菱形．【解答】（1）如图所示：四边形EFGH即为所求的菱形；（2）如图所示：四边形AECF即为所求的菱形．10.如图，▱ABCD的顶点A、B、D均在⊙O上，请仅用无刻度的直尺按要求作图．（1）AB边经过圆心O，在图（1）中作一条与AD边平行的直径；（2）AB边不经过圆心O，DC与⊙O相切于点D，在图（2）中作一条与AD边平行的弦．【解答】（1）连接AC、BD交于点K，过点O、K作直径EF．EF为所求．（2）连接OD，DO的延长线交AB于T，连接AC、BD交于K，过T、K作弦GH，GH为所求．11.已知矩形ABCD，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图（不写作法）（1）如图1，点P为CD的中点，画出AB的垂直平分线l．（2）如图2，在矩形ABCD中，以对角线AC为一边构造一个正方形ACFE，画出EF的中点M．【解答】12.在△ABC中，AB=AC，点A在以BC为直径的半圆内，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留作图痕迹）（1）在图①中作弦EF，使EF∥BC；（2）在图②中过点A作线段BC的中垂线．【解答】（1）如图①中，线段EF即为所求．（2）如图②中，直线AG即为所求．13.请仅用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹．（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）（1）如图①，四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D，画出四边形ABCD的对称轴m；（2）如图②，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=∠D，画出BC边的垂直平分线n．（3）如图③，△ABC的外接圆的圆心是点O，D是弧AC的中点，画一条直线把△ABC分成面积相等的两部分．【解答】（1）如图①，对称轴m即为所求；∵AB=AD，∠B=∠D，AC=AC，∴△ABC≌△ABD（SAS），∴AC所在直线为四边形ABCD的对称轴m；（2）如图②，直线n即为所求．四边形ABCD中，∵AD∥BC，∠A=∠D，∴四边形ABCD是等腰梯形，∴AD的垂直平分线n即是BC边的垂直平分线；（3）如图③，BE所在直线把△ABC分成面积相等的两部分．连接OD，交AC于点E，∵△ABC的外接圆的圆心是点O，D是弧AC的中点，∴点E是AC的中点，连接BE，∴BE所在直线把△ABC分成面积相等的两部分．。

24.1垂直于弦的直径1. 在⊙O 中,AB 为弦,AB OC ⊥于点C ,交⊙O 于点D ，若5=AO ,2=CD ,则弦AB 的长为（ ）A.4B.6C.8D.102.如图,⊙O 的弦AB 垂直平分半径OC ,则四边形OACB （ ） A.是正方形 B.是长方形 C.是菱形 D.以上答案都不对3.设P 为半径6cm 的圆内的一点,它到圆心的距离为3．6cm,则经过点P 的最短弦的长度是 ( )．A ．4.8cmB ．7.2cmC ．6.4cmD ．9.6cm4.在直径是20cm 的⊙O 中，∠AOB 是60°，那么弦AB 的弦心距是（ ）5.若圆的半径3,圆中一条弦为52,则此弦中点到弦所对劣弧的中点的距离为 .6.兴隆蔬菜基地建圆弧形蔬菜大棚的剖面如右图所示，已知AB =16m ，半径OA =10m ，高度CD 为_____m.7.圆中一弦把和它垂直的直径分成3 cm 和4 cm 两部分，则这条弦长为________． 8.工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径，假设钢珠的直径是10mm ，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm ，如图所示， 则这个小孔的直径是 mm.9.已知：如图，AB 是⊙O 的弦，半径OC ，OD 分别交AB 于点E ，F ，且BF AE =.求证：OF OE =.10.已知：如图, ⊙O 的直径CD 垂直弦AB 于P , 且PA =4cm, PD =2cm ．AB 第2题图第6题图DBAO CBA 8mm第8题图求：⊙O的半径长．11.如图，已知：⊙O中，弦AB与弦CD互相垂直，垂足为E，又AE=3，EB=7，求O点到CD的距离．12.已知：如图，AB，CD是⊙O的弦，且AB⊥CD于H，A H=4，B H=6，C H=3，D H=8．求：⊙O 的半径．13. 如图弓形的弦AB=6cm，弓形的高是1cm，求其所在圆的半径.14.某机械传动装置在静止时如图所示，连杆PB与B的运动所形成的⊙O交于点A，测量得PA=4cm，AB=8cm，⊙O的半径是5cm，求点P到圆心O 的距离.人教版九年级数学 24.2 点和圆、直线和圆的位置关系一、选择题1. 如图，AB为☉O的切线.切点为A，连接AO，BO，BO与☉O交于点C，延长BO与☉O交于点D，连接AD.若∠ABO=36°，则∠ADC的度数为()A.54°B.36°C.32°D.27°2. 2018·眉山如图所示，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，线段PO交⊙O于点C，连接BC，若∠P＝36°，则∠B等于( )A．27° B．32° C．36° D．54°3. 在数轴上，点A所表示的实数为5，点B所表示的实数为a，⊙A的半径为3，要使点B 在⊙A内，则实数a的取值范围是( )A．a＞2 B．a＞8C．2＜a＜8 D．a＜2或a＞84. (2019•益阳)如图，PA、PB为圆O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO的延长线交圆O于点D，下列结论不一定成立的是A．PA=PB B．∠BPD=∠APDC．AB⊥PD D．AB平分PD5. 选择用反证法证明“已知：在△ABC中，∠C＝90°.求证：∠A，∠B中至少有一个角不大于45°.”时，应先假设( )A．∠A＞45°，∠B＞45° B．∠A≥45°，∠B≥45°C．∠A＜45°，∠B＜45° D．∠A≤45°，∠B≤45°6. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有下列问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何．”其意思是：“今有直角三角形(如图)，勾(短直角边)长为8步，股(长直角边)长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)的直径是多少．”答案是 ( )A．3步B．5步C．6步D．8步7. 已知⊙O的半径为2，点P在⊙O内，则OP的长可能是( )A．1 B．2C．3 D．48. 2020·武汉模拟在平面直角坐标系中，圆心为坐标原点，⊙O的半径为10，则P(－10，1)与⊙O的位置关系为( )A．点P在⊙O上B．点P在⊙O外C．点P在⊙O内D．无法确定二、填空题9. 如图，在平面直角坐标系中，已知C(3，4)，以点C为圆心的圆与y轴相切．点A，B在x轴上，且OA＝OB.P为⊙C上的动点，∠APB＝90°，则AB长的最大值为________．10. 已知在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，以点A为圆心，4为半径作⊙A，则直线BC与⊙A 的位置关系是________.11. 如图，菱形ABOC的边AB，AC分别与☉O相切于点D，E，若点D是AB的中点，则∠DOE= .12. 如图，边长为1的正方形ABCD的对角线相交于点O，以点A为圆心，以1为半径画圆，则点O，B，C，D中，点________在⊙A内，点________在⊙A上，点________在⊙A外．13. (2019•河池)如图，PA、PB是的切线，A、B为切点，∠OAB=38°，则∠P=_______ ___．14. 如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12，过A，D两点的⊙O与BC边相切于点E.则⊙O 的半径为________．15. 如图，在扇形ABC中，CD⊥AB，垂足为D，⊙E是△ACD的内切圆，连接AE，BE，则∠AEB的度数为________．O16. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8.若以C为圆心，R为半径所作的圆与斜边AB 只有一个公共点，则R的取值范围是______________．三、解答题17. 2020·凉山州模拟如图，⊙O的直径AB＝10 cm，弦BC＝6 cm，∠ACB的平分线交⊙O 于点D，交AB于点E，P是AB延长线上一点，且PC＝PE.(1)求证：PC是⊙O的切线；(2)求AC，AD的长．18. 已知直线l与⊙O，AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D.(1)如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，求证：AC平分∠DAB；(2)如图②，当直线l与⊙O相交于点E，F时，求证：∠BAF＝∠DAE.19. 已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10.点P在AC上，AP＝2.若⊙O的圆心在线段BP上，且⊙O与AB，AC分别切于点D，E.求：(1)△BAP的面积S；(2)⊙O的半径．人教版九年级数学 24.2 点和圆、直线和圆的位置关系课时训练-答案一、选择题1. 【答案】D[解析]∵AB为☉O的切线，∴∠OAB=90°.∵∠ABO=36°，∴∠AOB=90°-∠ABO=54°.∵OA=OD，∴∠ADC=∠OAD，∵∠AOB=∠ADC+∠OAD，∴∠ADC=∠AOB=27°，故选D.2. 【答案】A3. 【答案】C4. 【答案】D【解析】∵PA，PB是⊙O的切线，∴PA=PB，所以A成立；∠BPD=∠APD，所以B成立；∴AB⊥PD，所以C成立；∵PA，PB是⊙O的切线，∴AB⊥PD，且AC=BC，只有当AD∥PB，BD∥PA时，AB平分PD，所以D不一定成立，故选D．5. 【答案】A6. 【答案】C7. 【答案】A8. 【答案】B二、填空题9. 【答案】1610. 【答案】相切11. 【答案】60°[解析]连接OA，∵四边形ABOC是菱形，∴BA=BO，∵AB与☉O相切于点D，∴OD⊥AB.∵D是AB的中点，∴OD是AB的垂直平分线，∴OA=OB，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOD=∠AOB=30°，同理∠AOE=30°，∴∠DOE=∠AOD+∠AOE=60°，故答案为60°.112. 【答案】O B，D C [解析] ∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD，AO＝BO＝CO＝DO. 设AO＝BO＝x.由勾股定理，得AO2＋BO2＝AB2，即x2＋x2＝12，解得x＝22(负值已舍去)，∴AO ＝22＜1，AC ＝2＞1，∴点O 在⊙A 内，点B ，D 在⊙A 上，点C 在⊙A 外．13. 【答案】76【解析】∵是的切线，∴， ∴，∴，∴，故答案为：76．14. 【答案】254【解析】如解图，连接EO 并延长交AD 于点F ，连接OD 、OA ，则OD ＝OA.∵BC与⊙O 相切于点E ，∴OE ⊥BC ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴EF ⊥AD ，∴DF ＝AF ＝12AD ＝6，在Rt △ODF 中，设OD ＝r ，则OF ＝EF －OE ＝AB －OE ＝8－r ，在Rt △ODF 中，由勾股定理得DF 2＋OF 2＝OD 2，即62＋(8－r)2＝r 2，解得r ＝254.∴⊙O 的半径为254.解图15. 【答案】135° [解析] 连接CE.∵∠ADC ＝90°，∴∠DAC ＋∠DCA ＝90°.∵⊙E 内切于△ADC ，∴∠EAC ＋∠ECA ＝45°，∴∠AEC ＝135°.由“边角边”可知△AEC ≌△AEB ，∴∠AEB ＝∠AEC ＝135°.16. 【答案】R ＝4.8或6<R ≤8 [解析] 当⊙C 与AB 相切时，如图①，过点C 作CD ⊥AB 于点D .根据勾股定理，得AB ＝AC 2＋BC 2＝62＋82＝10.根据三角形的面积公式，得12AB ·CD＝12AC ·BC ，解得CD ＝4.8，所以R ＝4.8；当⊙C 与AB 相交时，如图②，此时R 大于AC 的长，而小于或等于BC 的长，即6<R ≤8.PA PB 、O PA PB PA OA =⊥，90PAB PBA OAP ∠=∠∠=︒，90903852PBA PAB OAB ∠=∠=︒-∠=︒-︒=︒180525276P ∠=︒-︒-︒=︒三、解答题17. 【答案】解：(1)证明：连接OC，如图所示．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝45°.∵PC＝PE，∴∠PCE＝∠PEC.∵∠PEC＝∠EAC＋∠ACE＝∠EAC＋45°，而∠EAC＝90°－∠ABC，∠ABC＝∠OCB，∴∠PCE＝90°－∠OCB＋45°＝90°－(∠OCE＋45°)＋45°，∴∠OCE＋∠PCE＝90°，即∠PCO＝90°，∴OC⊥PC，∴PC为⊙O的切线．(2)连接BD，如图所示．在Rt△ACB中，AB＝10 cm，BC＝6 cm，∴AC＝AB2－BC2＝102－62＝8(cm)．∵∠ACD＝∠BCD＝45°，∴∠DAB＝∠DBA＝45°，∴△ADB为等腰直角三角形，∴AD＝22AB＝5 2(cm)．18. 【答案】证明：(1)如图①，连接OC.∵直线l与⊙O相切于点C，∴OC⊥l.又∵AD ⊥l ，∴AD ∥OC ，∴∠DAC ＝∠ACO.∵OA ＝OC ，∴∠ACO ＝∠CAO ，∴∠DAC ＝∠CAO ，即AC 平分∠DAB.(2)如图②，连接BF.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AFB ＝90°，∴∠BAF ＝90°－∠B.∵∠AEF ＝∠ADE ＋∠DAE ＝90°＋∠DAE ，又由圆内接四边形的性质，得∠AEF ＋∠B ＝180°，∴90°＋∠DAE ＋∠B ＝180°， ∴∠DAE ＝90°－∠B ，∴∠BAF ＝∠DAE.19. 【答案】解：(1)∵∠C ＝90°，AC ＝8，AB ＝10，∴在Rt △ABC 中，由勾股定理，得BC ＝6，∴△BAP 的面积S ＝12AP ·BC ＝12×2×6＝6. (2)连接OD ，OE ，OA.设⊙O 的半径为r ，则S △BAP ＝12AB ·r ＋12AP ·r ＝6r ， ∴6r ＝6，解得r ＝1.故⊙O 的半径是1.24.3 正多边形和圆（满分120分；时间：120分钟）一、选择题（本题共计 9 小题，每题 3 分，共计27分，）1. 如图，要拧开一个边长为a=6cm的正六边形螺帽，扳手张开的开口b至少为（）A.6√2cmB.12cmC.6√3cmD.4√3cm2. 已知△ABC是⊙O的内接正三角形，△ABC的面积等于a，DEFG是半圆O的内接正方形，面积等于b，ab的值为（）A.2B.√62C.3√35D.15√3163. 如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=70∘，则∠ADC的度数是( )A.70∘B.110∘C.130∘D.140∘4. 已知正多边形的边心距与边长的比是√3:2，则此正多边形是（）A.正三角形B.正方形C.正六边形D.正十二边形5. 四边形ABCD内接于⊙O．如果∠D=80∘，那么∠B等于（）A.80∘B.100∘C.120∘D.160∘6. 若一个正九边形的边长为a，则这个正九边形的半径是（）A.acos20B.asin20C.a2cos20D.a2sin207. 如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若∠BCD=110∘，则∠BAD为（）A.140∘B.110∘C.90∘D.70∘8. 如图，把正△ABC的外接圆对折，使点A与劣弧的中点M重合，若BC=5，则折痕在△ABC 内的部分DE的长为（）A.5√33B.10√33C.103D.529. 如图，某学校欲建一个喷泉水池，底面是半径为4m的正六边形，池底是水磨石地面，所要用的磨光机是半径为2dm的圆形砂轮，磨池底时，磨头磨不到的正六边形的部分为（单位：dm2）（）A.2400√3−1200πB.8√3−400πC.8√3−23π D.24√3−23π二、填空题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分，）10. 圆内接正六边形的半径为2cm，则其边长等于________．11. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠A=62∘，则∠C=________∘．12. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠CBE是它的外角，若∠D=120∘，则∠CBE的度数是________．13. 如图，ABCDEF是⊙O的内接正六边形，若△BCF的面积为18√3cm2，则六边形ABCDEF的面积为________cm2．14 半径为1的圆的内接正三角形的边长为________．15 如图，四边形ABCD外切于⊙O，且AB=16，CD=10，则四边形的周长是________．16. 已知四边形ABCD内接于圆，且弧AB、BC的度数分别为140∘和100∘，若弧AD=2•弧DC，则∠BCD=________．17. 已知AB，AC分别是同一圆的内接正方形和内接正六边形的边，那么∠ACB度数为________ ．18. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠DCE=60∘，则∠BAD=________度．19. 小刚要在边长为10的正方形内设计一个有共同中心O的正多边形，使其边长最大且能在正方形内自由旋转．如图1，若这个正多边形为正六边形，此时EF=________；若这个正多边形为正三角形，如图2，当正△EFG可以绕着点O在正方形内自由旋转时，EF的取值范围为_________．三、解答题（本题共计 6 小题，共计63分，）20. (1)请你用直尺和圆规作出△ABC的外接圆（保留作图痕迹）；(2)当AB=AC=4√5，BC=16，求△ABC的外接圆半径．21. 延长圆内接四边形ABCD的边AD和边BC，相交于点E，求证：△ABE∽△CDE．22. 如图，圆内接四边形ABCD，两组对边的延长线分别相交于点E、F，且∠E=40∘，∠F= 60∘，求∠A的度数．23. 如图，在等腰△PAD中，PA=PD，B是边AD上的一点，以AB为直径的⊙O经过点P，C是⊙O上一动点，连接AC,PC,PC交AB于点E，且∠ACP=60∘．（1）求证：PD是⊙O的切线．（2）连结OP,PB,BC,OC，若⊙O的直径是4，则：①当四边形APBC是矩形时，求DE的长；②当DE=________时，四边形OPBC是菱形．24 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠CBE是它的一个外角.求证：∠D=∠CBE.25. 问题提出(1)如图①，在⊙O中，点M、N分别是⊙O上的点，若OM=4，则MN的最大值为________.问题探究(2)如图②，在△ABC中，AB=BC,∠ABC=120∘,AC=6，求△ABC外接圆的半径及AB+BC 的长；问题解决(3)如图③．某旅游区有一个形状为四边形ABCD的人工湖，已知AD//BC，AD⊥AB，AB= 180m，BC=300m，AD>BC，为了营造更加优美的旅游环境，旅游区管委员会决定在四边形ABCD内建一个湖心小岛P，并分别修建观光长廊PB和PC，且PB和PC相互垂直．为了容纳更多的游客，要使线段PB、PC之和尽可能的大．试问PB+PC是否存在最大值？若存在，请求出PB+PC的最大值，若不存在，请说明理由.（观光长廊的宽度忽略不计）24.3 正多边形和圆（满分120分；时间：120分钟）一、选择题（本题共计 9 小题，每题 3 分，共计27分，）1. 如图，要拧开一个边长为a=6cm的正六边形螺帽，扳手张开的开口b至少为（）A.6√2cmB.12cmC.6√3cmD.4√3cm2. 已知△ABC是⊙O的内接正三角形，△ABC的面积等于a，DEFG是半圆O的内接正方形，的值为（）面积等于b，abA.2B.√62C.3√35D.15√3163. 如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=70∘，则∠ADC的度数是( )A.70∘B.110∘C.130∘D.140∘4. 已知正多边形的边心距与边长的比是√3:2，则此正多边形是（）A.正三角形B.正方形C.正六边形D.正十二边形5. 四边形ABCD内接于⊙O．如果∠D=80∘，那么∠B等于（）A.80∘B.100∘C.120∘D.160∘6. 若一个正九边形的边长为a，则这个正九边形的半径是（）A.acos20B.asin20C.a2cos20D.a2sin207. 如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若∠BCD=110∘，则∠BAD为（）A.140∘B.110∘C.90∘D.70∘8. 如图，把正△ABC的外接圆对折，使点A与劣弧的中点M重合，若BC=5，则折痕在△ABC内的部分DE的长为（）A.5√33B.10√33C.103D.529. 如图，某学校欲建一个喷泉水池，底面是半径为4m的正六边形，池底是水磨石地面，所要用的磨光机是半径为2dm的圆形砂轮，磨池底时，磨头磨不到的正六边形的部分为（单位：dm2）（）A.2400√3−1200πB.8√3−400πC.8√3−23π D.24√3−23π二、填空题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分，）10. 圆内接正六边形的半径为2cm，则其边长等于________．11. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠A=62∘，则∠C=________∘．12. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠CBE是它的外角，若∠D=120∘，则∠CBE的度数是________．13. 如图，ABCDEF是⊙O的内接正六边形，若△BCF的面积为18√3cm2，则六边形ABCDEF的面积为________cm2．14 半径为1的圆的内接正三角形的边长为________．15 如图，四边形ABCD外切于⊙O，且AB=16，CD=10，则四边形的周长是________．16. 已知四边形ABCD内接于圆，且弧AB、BC的度数分别为140∘和100∘，若弧AD=2•弧DC，则∠BCD=________．17. 已知AB，AC分别是同一圆的内接正方形和内接正六边形的边，那么∠ACB度数为________ ．18. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠DCE=60∘，则∠BAD=________度．19. 小刚要在边长为10的正方形内设计一个有共同中心O的正多边形，使其边长最大且能在正方形内自由旋转．如图1，若这个正多边形为正六边形，此时EF=________；若这个正多边形为正三角形，如图2，当正△EFG可以绕着点O在正方形内自由旋转时，EF的取值范围为_________．三、解答题（本题共计 6 小题，共计63分，）20. (1)请你用直尺和圆规作出△ABC的外接圆（保留作图痕迹）；(2)当AB=AC=4√5，BC=16，求△ABC的外接圆半径．21. 延长圆内接四边形ABCD的边AD和边BC，相交于点E，求证：△ABE∽△CDE．22. 如图，圆内接四边形ABCD，两组对边的延长线分别相交于点E、F，且∠E=40∘，∠F= 60∘，求∠A的度数．23. 如图，在等腰△PAD中，PA=PD，B是边AD上的一点，以AB为直径的⊙O经过点P，C是⊙O上一动点，连接AC,PC,PC交AB于点E，且∠ACP=60∘．（1）求证：PD是⊙O的切线．（2）连结OP,PB,BC,OC，若⊙O的直径是4，则：①当四边形APBC是矩形时，求DE的长；②当DE=________时，四边形OPBC是菱形．24 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠CBE是它的一个外角.求证：∠D=∠CBE.25. 问题提出(1)如图①，在⊙O中，点M、N分别是⊙O上的点，若OM=4，则MN的最大值为________.问题探究 (2)如图②，在△ABC 中，AB =BC,∠ABC =120∘,AC =6，求△ABC 外接圆的半径及AB +BC 的长；问题解决(3)如图③．某旅游区有一个形状为四边形ABCD 的人工湖，已知AD//BC ，AD ⊥AB ，AB =180m ，BC =300m ，AD >BC ，为了营造更加优美的旅游环境，旅游区管委员会决定在四边形ABCD 内建一个湖心小岛P ，并分别修建观光长廊PB 和PC ，且PB 和PC 相互垂直．为了容纳更多的游客，要使线段PB 、PC 之和尽可能的大．试问PB +PC 是否存在最大值？若存在，请求出PB +PC 的最大值，若不存在，请说明理由.（观光长廊的宽度忽略不计）人教版 九年级数学 24.4 弧长和扇形面积一、选择题1. 如图在等边三角形ABC 中，将边AC 逐渐变成以BA 为半径的AC ︵，其他两边的长度不变，则∠ABC 的度数由60°变为( )图A ．(180π)°B ．(120π)°C ．(90π)°D ．(60π)°2. 一个扇形的半径为6，圆心角为120°，则该扇形的面积是( )A ．2πB ．4πC ．12πD ．24π3. （2020·聊城）如图，有一块半径为1m ，圆心角为90°的扇形铁皮，要把它做成一个圆锥形容器（接缝忽略不计），那么这个圆锥形容器的高为（ ）A ．41m B ．43m C ．415m D ．23m 4. （2020·聊城）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为点M ，连接OC ，DB ，如果OC∥DB ，OC ＝23，那么图中阴影部分的面积是（ ）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π5. 2019·天水模拟 一个圆锥的轴截面是一个正三角形，则圆锥侧面展开图形的圆心角是( ) A ．60° B ．90° C ．120° D ．180°6. 用圆心角为120°，半径为6 cm 的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽(如图所示)，则这个纸帽的高是( )A. 2 cm B ．3 2 cm C ．4 2 cm D ．4 cm7. （2020·苏州）如图，在扇形OAB 中，已知90AOB ∠=︒，2OA =，过AB 的中点C作CD OA ⊥，CE OB ⊥，垂足分别为D 、E ，则图中阴影部分的面积为（ ）AM CBDA.1π-B.12π- C.12π-D.122π-8. 2018·黑龙江 如图在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝4，将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转40°得到△ADE ，点B 经过的路径为弧BD ，则图阴影部分的面积为( )图A.143π－6B.259π C.338π－3D.33＋π二、填空题9. (2020·湘潭)如图，在半径为6的⊙O 中，圆心角60AOB ︒∠=，则阴影部分面积为________．10. (2020·绥化)已知圆锥的底面圆的半径是2.5，母线长是9，其侧面展开图的圆心角是______度．11. 如图所示，在△ABC 中，AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝90°，则图中阴影部分的面积是________．12. 如图，以点O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 是小圆的切线，点P 为切点，AB ＝123，OP ＝6，则劣弧AB ︵的长为________．(结果保留π)13. 如图所示，有一直径是 2 米的圆形铁皮，现从中剪出一个圆心角是90°的最大扇形ABC ，则：(1)AB 的长为________米；(2)用该扇形铁皮围成一个圆锥，所得圆锥的底面圆的半径为________米．14. 已知一个圆心角为270°，半径为3 m 的扇形工件未搬动前如图示，A ，B 两点触地放置，搬动时，先将扇形以点B 为圆心，做如图示的无滑动翻转，再使它紧贴地面滚动，当A ，B 两点再次触地时停止，则圆心O 所经过的路线长为________m ．(结果用含π的式子表示)15. （2020·新疆）如图，⊙O 的半径是2，扇形BAC 的圆心角为60°，若将扇形BAC 剪下转成一个圆锥，则此圆锥的底面圆的半径为____________．16. 如图中的小方格都是边长为1的正方形，则以格点为圆心，半径为1和2的两种弧围成的“叶状”(阴影部分)图案的面积为________．三、解答题17. 如图，AB 是半圆O 的直径，C 是半圆O 上的一点，AC 平分∠DAB ，AD ⊥CD ，垂足为D ，AD 交半圆O 于点E ，连接CE.(1)判断CD 与半圆O 的位置关系，并证明你的结论；(2)若E 是AC ︵的中点，半圆O 的半径为1，求图中阴影部分的面积．18. （2020·内江）如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，ODBC 于点D ，过点C 作⊙O 的切线，交OD 的延长线于点E ，连结BE ． （1）求证：BE 是⊙O 的切线；（2）设OE 交⊙O 于点F ，若2DF BC ==，EF 的长； （3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．19. 如图，在正方形ABCD 中，AD ＝2，E 是AB 的中点，将△BEC 绕点B 逆时针旋转90°后，点E 落在CB 的延长线上的点F 处，点C 落在点A 处，再将线段AF 绕点F 顺时针旋转90°得线段FG ，连接EF ，CG. (1)求证：EF ∥CG ；(2)求点C ，A 在旋转过程中形成的AC ︵，AG ︵与线段CG 所围成的阴影部分的面积．人教版 九年级数学 24.4 弧长和扇形面积 课时训练-答案一、选择题1. 【答案】A [解析] 设变形后的∠B ＝n °，AB ＝AC ︵的长＝a .由题意可得n180π·a ＝a ，解得n ＝180π.2. 【答案】C [解析] 根据扇形的面积公式，S ＝120×π×62360＝12π.故选C.3. 【答案】C 【解析】先利用弧长公式求得圆锥的底面半径，再利用勾股定理求圆锥的高．设圆锥形容器底面圆的半径为r ，则有2πr＝180190⋅π，解得r ＝41，则圆锥的高为22)41(1-＝415(m)．4. 【答案】B【解析】借助圆的性质，利用等积转化求解阴影部分的面积．由垂径定理，得CM ＝DM ，∵OC ∥DB ，∴∠C ＝∠D ，又∵∠OMC ＝∠BMD ，∴△OMC ≌△BMD(ASA)，∴OM ＝BM ＝21OB ＝21OC ，∴cos ∠COM ＝OC OM ＝21，∴∠COM ＝60°．∴S 阴影＝S 扇形BOC ＝360)32(602⋅π＝2π．5. 【答案】D6. 【答案】C [解析] 设纸帽底面圆的半径为r cm ，则2πr ＝120×π×6180，解得r ＝2.设圆锥的高为h cm ，由勾股定理得h2＋r2＝62，所以h2＋22＝62，解得h ＝4 2.7. 【答案】B【解析】本题考查了不规则图形面积的计算，连接OC ，由题意得∠DOC=∠BOC=45°，四边形OECD 为正方形,OC=2,由特殊角的三角函数得OE=OD=1,S 阴影=S 扇形OAB -S 正方形CEOD =290(2)360π⨯-12=2π-1，因此本题选B ．8. 【答案】B [解析] ∵AB ＝5，AC ＝3，BC ＝4，∴AC 2＋BC 2＝25＝AB 2，∴△ABC 为直角三角形．由旋转的性质得，△ADE 的面积＝△ABC 的面积，由图可知，阴影部分的面积＝△ADE 的面积＋扇形ADB 的面积－△ABC 的面积， ∴阴影部分的面积＝扇形ADB 的面积＝40π×52360＝259π.二、填空题9. 【答案】6π【解析】本题考查了扇形面积的计算，解题的关键是熟记扇形面积的计算公式．阴影部分面积为26066360ππ⨯=，故答案为：6π．10. 【答案】100【解析】设圆心角的度数是n ，则2π×2.5＝9180n π．解得n ＝100．11. 【答案】π－2 [解析] ∵在△ABC 中，AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝90°，∴△ABC 是等腰直角三角形，∴S 阴影＝S 半圆AB ＋S 半圆BC －S △ABC＝12π×(22)2＋12π×(22)2－12×2×2 ＝π－2.12. 【答案】 8π 【解析】∵AB 是小圆的切线，∴OP ⊥AB ，∴AP ＝12AB ＝6 3.如解图，连接OA ，OB ，∵OA ＝OB ，∴∠AOB ＝2∠AOP.在Rt △AOP 中，OA ＝OP 2＋AP 2＝12，tan ∠AOP ＝AP OP ＝636＝3，∴∠AOP ＝60°.∴∠AOB ＝120°，∴劣弧AB 的长为120π·12180＝8π.13. 【答案】(1)1 (2)14[解析] (1)如图，连接BC.∵∠BAC ＝90°，∴BC 为⊙O 的直径，即BC ＝ 2. ∵AB ＝AC ，AB2＋AC2＝BC2＝2， ∴AB ＝1(米)．(2)设所得圆锥的底面圆的半径为r 米． 根据题意，得2πr ＝90·π·1180，解得r ＝14.14. 【答案】6π [解析] 由题意易知∠AOB ＝90°，OA ＝OB ，∴∠ABO ＝45°，圆心O 旋转的长度为2×45π×3180＝3π2(m)，圆心O 平移的距离为270π×3180＝9π2(m)，则圆心O 经过的路线长为3π2＋9π2＝6π(m)．15.【解析】本题考查了垂径定理，弧长公式，圆锥的侧面展开图．连接OA ，OB ，OC ，过点O 作OD ⊥AC 于点D ．∵AB ＝AC ，OB ＝OC ，OA ＝OA ，所以△OAB ≌△OAC ，所以∠OAB ＝∠OAC ＝12∠BAC ＝12×60°＝30°．在Rt △OAD 中，因为∠OAC ＝30°，OA ＝2，所以OD ＝1，AD 因为OD ⊥AC ，所以AC ＝2AD ＝BC l ＝60180×π×π．设此圆锥的底面圆的半径为r ，则r ．16. 【答案】2π－4 [解析] 如图所示，由题意，得阴影部分的面积＝2(S 扇形OAB －S △OAB)＝2(90π×22360－12×2×2)＝2π－4. 故答案为2π－4.三、解答题17. 【答案】解：(1)CD 与半圆O 相切．证明：∵AC 平分∠DAB ，∴∠DAC ＝∠BAC.∵OA ＝OC ，∴∠BAC ＝∠OCA ，∴∠DAC ＝∠OCA ，∴OC ∥AD.∵AD ⊥CD ，∴OC ⊥CD.又∵OC 为半圆O 的半径，∴CD 与半圆O 相切．(2)连接OE.∵AC 平分∠DAB ，∴∠DAC ＝∠BAC ，∴EC ︵＝BC ︵.又∵E 是AC ︵的中点，∴AE ︵＝EC ︵＝BC ︵，S 弓形AE ＝S 弓形CE ，∴∠BOC ＝∠EOC ＝60°.又∵OE ＝OC ，∴△OEC 是等边三角形，∴∠ECO ＝60°，CE ＝OC ＝1.由(1)得OC ⊥CD ，∴∠OCD ＝90°，∴∠DCE ＝30°，∴DE ＝12，DC ＝32， ∴S 阴影＝S △DEC ＝12×12×32＝38.18. 【答案】（1）证明：连接OC ，如图，∵OD ⊥BC ，∴CD=BD ，∴OE 为BC 的垂直平分线，∴EB=EC ，∴∠EBC=∠ECB ，∵OB=OC ，∴∠OBC=∠OCB ，∴∠OBC+∠EBC=∠OCB+∠ECB ，即∠OBE=∠OCE ，∵CE 为⊙O 的切线，∴OC ⊥CE ，∴∠OCE=90°， ∴∠OBE=90°，∴OB ⊥BE ，∴BE 与⊙O 相切．（2）设⊙O 的半径为R ，则OD=R-DF=R-2，OB=R ，在Rt △OBD 中，BD=12BC=∵OD2+BD2=OB2，∴222(2)R R -+=，解得R=4，∴OD=2，OB=4，∴∠OBD=30°，∴∠BOD=60°，∴在Rt △OBE 中，∠BEO=30º，OE=2OB=8，∴EF=OE-OF=8-4=4，即EF=4；（3）由∠OCD=∠OBD=30º和OD ⊥BC 知：∠COD=∠BOD=60º，∴∠BOC=120º，又BC=OE=8，∴=S OBEC S S -阴影四边形扇形OBC =21120482360π⨯⨯ 163π=,【解析】本题考查了切线的判定与性质、垂径定理、扇形面积的计算、含30º角的直角三角形边角关系、勾股定理等知识，熟练掌握每个知识点是解答的关键．（1）连接OC ，如图，根据垂径定理由OD ⊥BC 得到CD=BD ，则OE 为BC 的垂直平分线，所以EB=EC ，根据等腰三角形的性质得∠EBC=∠ECB ，加上∠OBC=∠OCB ，则∠OBE=∠OCE ；再根据切线的性质得∠OCE=90°，所以∠OBE=90°，然后根据切线的判定定理得BE 与⊙O 相切；（2）设⊙O 的半径为R ，则OD=R-DF=R-2，OB=R ，在Rt △OBD ，利用勾股定理解得R=4，再利用含30º角的直角三角形边角关系可求得OE ，利用EF=OE-OF 即可解答；（3）利用（2）中可求得∠BOC=120º,然后利用=S OBEC S S 阴影四边形扇形OBC 代入数值即可求解．19. 【答案】解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ＝AD ＝2，∠ABC ＝90°.∵△BEC 绕点B 逆时针旋转90°得△BFA ，∴△BFA ≌△BEC ，∴∠FAB ＝∠ECB ，∠ABF ＝∠CBE ＝90°，AF ＝CE ，∴∠AFB ＋∠FAB ＝90°.∵线段AF 绕点F 顺时针旋转90°得线段FG ，∴∠AFB ＋∠CFG ＝∠AFG ＝90°，AF ＝FG ，∴∠CFG ＝∠FAB ＝∠ECB ，CE ＝FG ，∴CE 綊FG ，∴四边形EFGC 是平行四边形，∴EF ∥CG.(2)∵E 是AB 的中点，∴AE ＝BE ＝12AB. ∵△BFA ≌△BEC ，∴BF ＝BE ＝12AB ＝1， ∴AF ＝AB2＋BF2＝ 5.由(1)知四边形EFGC 是平行四边形，FC 为其对角线，∴点G 到FC 的距离等于点E 到FC 的距离，即BE 的长，∴S 阴影＝S 扇形BAC ＋S △ABF ＋S △FGC －S 扇形FAG ＝90π·22360＋12×2×1＋12×(1＋2)×1－90π·（5）2360＝52－π4.。

人教版 九年级数学上册 第22章复习测试题带答案22.1 二次函数的图象和性质一、选择题1. 对于二次函数y ＝－(x －1)2＋2的图象与性质，下列说法正确的是( ) A. 对称轴是直线x ＝1，最小值是2 B. 对称轴是直线x ＝1，最大值是2 C. 对称轴是直线x ＝－1，最小值是2 D. 对称轴是直线x ＝－1，最大值是22. 二次函数y ＝x 2－2x ＋4化为y ＝a (x －h )2＋k 的形式，下列正确的是( ) A. y ＝(x －1)2＋2 B. y ＝(x －1)2＋3 C. y ＝(x －2)2＋2 D. y ＝(x －2)2＋43. 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图所示，下列结论：①b <0；②c >0；③a ＋c <b ；④b 2－4ac >0，其中正确的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 44. 已知二次函数y ＝ax 2－bx －2(a ≠0)的图象的顶点在第四象限，且过点(－1，0)，当a －b 为整数时，ab 的值为( ) A. 34或1 B. 14或1 C. 34或12 D. 14或345. (2019•雅安)在平面直角坐标系中，对于二次函数22()1y x =-+，下列说法中错误的是A ．y 的最小值为1B ．图象顶点坐标为(2，1)，对称轴为直线2x =C ．当2x <时，y 的值随x 值的增大而增大，当2x ≥时，y 的值随x 值的增大而减小D ．它的图象可以由2y x 的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到6. 海滨广场中心标志性建筑处有高低不同的各种喷泉，其中一支高度为1米的喷水管喷出的水的最大高度为3米，此时喷水的水平距离为12米．在如图所示的平面直角坐标系中，这支喷泉喷出的水在空中划出的曲线满足的函数解析式是( )A ．y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋3B ．y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋1C ．y ＝－8⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋3D ．y ＝－8⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋37. 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数且a ≠0)的图象如图所示，则一次函数y ＝ax ＋b 与反比例函数y ＝cx 的图象可能是( )8. 已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (b ＞a ＞0)与x 轴最多有一个交点．现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴在y 轴左侧；②关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＋2＝0无实数根；③a －b ＋c ≥0；④a ＋b ＋cb －a的最小值为3.其中，正确结论的个数为( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个9. (2019•泸州)已知二次函数(1)(1)37y x a x a a =---+-+(其中x 是自变量)的图象与x 轴没有公共点，且当1x <-时，y 随x 的增大而减小，则实数a 的取值范围是 A ．2a < B ．1a >- C ．12a -<≤D ．12a -≤<10. 如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A ＝90°，BC ＝4，点P 是△ABC 边上一动点，沿B →A →C 的路径移动．过点P 作PD ⊥BC 于点D ，设BD ＝x ，△BDP 的面积为y ，则下列能大致反映y 与x 函数关系的图象是( )二、填空题11.抛物线y ＝－8x 2的开口向________，对称轴是________，顶点坐标是________；当x ＞0时，y 随x 的增大而________，当x ＜0时，y 随x 的增大而________．12. 如图为二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象，在下列说法中：①ac<0；②方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根是x 1＝－1，x 2＝3；③a ＋b ＋c>0；④当x>1时，y 随着x 的增大而增大．正确的说法有________．(请写出所有正确说法的序号)13. (2019•襄阳)如图，若被击打的小球飞行高度h (单位：m)与飞行时间t (单位：s)之间具有的关系为2205h t t =-，则小球从飞出到落地所用的时间为__________s ．14. (2019•徐州)已知二次函数的图象经过点(2,2)P ，顶点为(0,0)O 将该图象向右平移，当它再次经过点P 时，所得抛物线的函数表达式为__________．15. 如图，抛物线y＝－x2＋2x＋3与y轴交于点C，点D(0，1)，点P在抛物线上，且△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为________．16. 已知点(x1，－7)和点(x2，－7)(x1≠x2)均在抛物线y＝ax2上，则当x＝x1＋x2时，y的值是________．17. 如图，直线y＝x＋m和抛物线y＝x2＋bx＋c都经过点A(1，0)和B(3，2)，不等式x2＋bx＋c＞x＋m的解集为____________．三、解答题18. 如图，已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象过点A(1，0)，C(0，－3)．(1)求此二次函数的解析式；(2)设抛物线与x轴的另一交点为B，在抛物线上存在一点P，使△ABP的面积为10，请直接写出点P的坐标．19. 2018·南京已知二次函数y＝2(x－1)(x－m－3)(m为常数)．(1)求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点；(2)当m取什么值时，该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方？20. 已知二次函数y＝ax2－2ax＋c(a>0)的图象与x轴的负半轴和正半轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C，它的顶点为P，直线CP与过点B且垂直于x轴的直线交于点D，且CP∶PD＝2∶3.(1)求A、B两点的坐标；(2)若tan∠PDB＝54，求这个二次函数的关系式．21. 在平面直角坐标系中，设二次函数y1＝(x＋a)(x－a－1)，其中a≠0.(1)若函数y1的图象经过点(1，－2)，求函数y1的表达式；(2)若一次函数y2＝ax＋b的图象与y1的图象经过x轴上同一点，探究实数a，b 满足的关系式；(3)已知点P(x0，m)和Q(1，n)在函数y1的图象上．若m<n，求x0的取值范围．22. 如图，已知抛物线经过A(－3，0)，B(0，3)两点，且其对称轴为直线x＝－1.(1)求此抛物线的解析式；(2)若P是抛物线上点A与点B之间的动点(不包括点A，B)，求△PAB的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．人教版九年级22.1 二次函数的图象和性质培优训练-答案一、选择题1. 【答案】B 【解析】由二次函数y ＝－(x －1)2＋2可知，对称轴为直线x ＝1排除C ，D ，函数开口向下，有最大值，最大值为当x ＝1时y ＝2，故排除A 选B .2. 【答案】B 【解析】将二次函数的一般式经过配方转化成顶点式，可以加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式．y ＝x 2－2x ＋4＝x 2－2x ＋1＋3＝(x －1)2＋3.3. 【答案】C 【解析】∵图象开口向下，∴a ＜0，∵对称轴在y 轴右侧，∴a ，b 异号，∴b ＞0，故①错误；∵图象与y 轴交于x 轴上方，∴c ＞0，故②正确；当x ＝－1时，a －b ＋c <0，则a ＋c <b ，故③正确；图象与x 轴有两个交点，则b 2－4ac ＞0，故④正确．4. 【答案】A 【解析】由二次函数过点(－1，0)可得a ＋b ＝2，把x ＝1代入y ＝ax 2－bx －2得y ＝a －b －2，即a －b ＝2＋y.由a ＋b ＝2和a －b ＝2＋y 得a ＝2＋12y ，由题意得a ＞0，b ＞0，所以2＋12y ＞0，解得y ＞－4，又由顶点在第四象限，可得y ＝－3或－2或－1.当y ＝－3时，可得a ＝12，b ＝32，则ab ＝34；当y ＝－2时，可得a ＝1，b ＝1，则ab ＝1；当y ＝－1时，可得a ＝32，b ＝12，则ab ＝34，综上ab 的值为34或1.5. 【答案】C【解析】二次函数22()1y x =-+，10a =>，∴该函数的图象开口向上，对称轴为直线2x =，顶点为(2,1)，当2x =时，y 有最小值1，当2x >时，y 的值随x 值的增大而增大，当2x <时，y 的值随x 值的增大而减小；故选项A 、B 的说法正确，C 的说法错误； 根据平移的规律，2yx 的图象向右平移2个单位长度得到2(2)y x =-，再向上平移1个单位长度得到22()1y x =-+， 故选项D 的说法正确， 故选C ．6. 【答案】C7. 【答案】C【解析】抛物线开口向上，所以a ＞0，对称轴在y 轴右侧，所以a 、b 异号，所以b ＜0，抛物线与y 轴交于负半轴，所以c ＜0，所以直线y ＝ax ＋b过第一、三、四象限，反比例函数y ＝cx 位于第二、四象限，故答案为C.8. 【答案】D 【解析】 序号 逐项分析 正误① ∵b >a >0，∴对称轴－b2a <0，即对称轴在y 轴左侧√ ② ∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴最多有一个交点，且抛物线开口向上，∴y ＝ax 2＋bx ＋c ≥0，∴方程ax 2＋bx ＋c ＋2＝0即ax 2＋bx ＋c ＝－2无实数根√③ 由②得y ＝ax 2＋bx ＋c ≥0，∴当x ＝－1时，a －b ＋c ≥0 √④∵当x ＝－2时，y ＝4a －2b ＋c ≥0，∴a ＋b ＋c ≥3b －3a ，a ＋b ＋c ≥3(b －a )，∵b ＞a ，∴a ＋b ＋cb －a≥3 √9. 【答案】D【解析】(1)(1)37y x a x a a =---+-+22236x ax a a =-+-+， ∵抛物线与x 轴没有公共点，∴22(2)4(36)0a a a ∆=---+<，解得2a <， ∵抛物线的对称轴为直线22ax a -=-=，抛物线开口向上， 而当1x <-时，y 随x 的增大而减小， ∴1a ≥-，∴实数a 的取值范围是12a -≤<， 故选D ．10. 【答案】B【解析】∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠A ＝90°，∠B ＝∠C ＝45°.(1)当0≤x ≤2时，点P 在AB 边上，△BDP 是等腰直角三角形，∴PD ＝BD ＝x ，y ＝12x 2 (0≤x ≤2)，其图象是抛物线的一部分； (2)当2＜x ≤4时，点P 在AC 边上，△CDP 是等腰直角三角形，∴PD ＝CD ＝4－x ，∴y ＝12BD ·PD ＝12x (4－x ) (2＜x ≤4)，其图象也是抛物线的一部分．综上所述，两段图象均是抛物线的一部分，因此选项B 的图象能大致反映y 与x 之间的函数关系．二、填空题11. 【答案】下 y 轴 (0，0) 减小 增大12. 【答案】①②④【解析】由于二次函数开口向上，且与y 轴的交点在负半轴上，∴a ＞0，c ＜0，∴ac ＜0，即①正确；又由于二次函数与x 轴交点的横坐标为－1，3.∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根是x 1＝－1，x 2＝3即②正确；当x ＝1时，二次函数上的点在第四象限，即a ＋b ＋c ＜0即③错误；由于(－1，0)，(3，0)两点关于二次函数的对称轴为轴对称，∴此二次函数的对称轴方程为：x ＝1，因为二次函数开口向上，所以当x ＞1时y 随x 的增大而增大，即④正确. 故①②④正确．13. 【答案】4【解析】依题意，令0h =得： ∴20205t t =-， 得：(205)0t t -=， 解得：0t =(舍去)或4t =，∴即小球从飞出到落地所用的时间为4s ， 故答案为：4．14. 【答案】21(4)2y x =- 【解析】设原来的抛物线解析式为：2y ax =(0)a ≠， 把(2,2)P 代入，得24a =， 解得12a =， 故原来的抛物线解析式是：212y x =， 设平移后的抛物线解析式为：21()2y x b =-， 把(2,2)P 代入，得212(2)2b =-，解得0b =(舍去)或4b =， 所以平移后抛物线的解析式是：21(4)2y x =-， 故答案为：21(4)2y x =-．15. 【答案】(1＋2，2)或(1－2，2) 【解析】抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3与y 轴交于点C ，则点C 坐标是(0，3)，∵点D(0，1)，点P 在抛物线上，且△PCD 是以CD 为底的等腰三角形，∴易得点P 的纵坐标是2，当y ＝2时，∴－x 2＋2x＋3＝2，则x 2－2x －1＝0，解得方程的两根是x ＝2±222＝1±2，∴点P 的坐标是(1＋2，2)或(1－2，2)．16. 【答案】0 [解析]依题意可知已知两点关于y 轴对称，∴x 1与x 2互为相反数，即x 1＋x 2＝0.当x ＝0时，y ＝a·02＝0.17. 【答案】x<1或x>3 【解析】∵直线y ＝x ＋m 和抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 都经过点A(1，0)和B(3，2)，∴根据图象可知，不等式x 2＋bx ＋c ＞x ＋m 的解集为x ＜1或x ＞3.三、解答题18. 【答案】解：(1)∵二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象过点A(1，0)，C(0，－3)，∴⎩⎨⎧1＋b ＋c ＝0，c ＝－3，解得⎩⎨⎧b ＝2，c ＝－3.∴此二次函数的解析式为y ＝x 2＋2x －3. (2)∵当y ＝0时，x 2＋2x －3＝0，解得x 1＝－3，x 2＝1，∴B(－3，0)，∴AB ＝4. 设点P 的坐标为(m ，n)． ∵△ABP 的面积为10， ∴12AB·|n|＝10，解得n ＝±5. 当n ＝5时，m 2＋2m －3＝5，解得m ＝－4或m ＝2，∴P(－4，5)或P(2，5)； 当n ＝－5时，m 2＋2m －3＝－5，此方程无解．故点P 的坐标为(－4，5)或(2，5)．19. 【答案】解：(1)证明：当y ＝0时，2(x －1)(x －m －3)＝0， 解得x 1＝1，x 2＝m ＋3.当m ＋3＝1，即m ＝－2时，方程有两个相等的实数根； 当m ＋3≠1，即m ≠－2时，方程有两个不相等的实数根． 综上，不论m 为何值，该函数的图象与x 轴总有公共点． (2)当x ＝0时，y ＝2(x －1)(x －m －3)＝2m ＋6， ∴该函数的图象与y 轴交点的纵坐标为2m ＋6，∴当2m ＋6＞0，即m ＞－3时，该函数的图象与y 轴的交点在x 轴的上方．20. 【答案】解：(1)y ＝ax 2－2ax ＋c＝a(x 2－2x)＋c ＝a(x －1)2＋c －a ∴P 点坐标为(1，c －a)．(2分)如图，过点C 作CE ⊥PQ ，垂足为E ，延长CE 交BD 于点F ，则CF ⊥BD. ∵P(1，c －a)， ∴CE ＝OQ ＝1. ∵PQ ∥BD ，∴△CEP ∽△CFD ， ∴CP CD ＝CE CF .又∵CP ∶PD ＝2∶3， ∴CE CF ＝CP CD ＝22＋3＝25，∴CF ＝2.5，(4分) ∴OB ＝CF ＝2.5，∴BQ ＝OB －OQ ＝1.5， ∴AQ ＝BQ ＝1.5，∴OA ＝AQ －OQ ＝1.5－1＝0.5， ∴A(－0.5，0)，B(2.5，0)．(5分)(2)∵tan ∠PDB ＝54，∴CFDF＝5 4，∴DF＝45CF＝45×2.5＝2，(6分)∵△CFD∽△CEP，∴PEDF＝CE CF，∴PE＝DF·CECF＝2×12.5＝0.8.∵P(1，c－a)，C(0，c)，∴PE＝PQ－OC＝c－(c－a)＝a，∴a＝0.8，(8分)∴y＝0.8x2－1.6x＋c.把A(－0.5，0)代入得：0.8×(－0.5)2－1.6×(－0.5)＋c＝0，解得c＝－1.(9分)∴这个二次函数的关系式为：y＝0.8x2－1.6x－1.(10分)21. 【答案】【思维教练】由图象过点(1，－2)，将其带入y1的函数表达式中，解方程即可；(2)由y1＝(x＋a)(x－a－1)可得出y1过x轴上的两点的坐标，然后分两种情况讨论即可；(3)先求出y1＝(x＋a)(x－a－1)的对称轴，根据开口向上的二次函数，离对称轴越近，函数值越小即可得解．解：(1)∵函数y1＝(x＋a)(x－a－1)图象经过点(1，－2)，∴把x＝1，y＝－2代入y1＝(x＋a)(x－a－1)得，－2＝(1＋a)(－a)，(2分)化简得，a2＋a－2＝0，解得，a1＝－2，a2＝1，∴y1＝x2＋x－2；(4分)(2)函数y1＝(x＋a)(x－a－1)图象在x轴的交点为(－a，0)，(a＋1，0)，①当函数y2＝ax＋b的图象经过点(－a，0)时，把x＝－a，y＝0代入y2＝ax＋b中，得a2＝b；(6分)②当函数y2＝ax＋b的图象经过点(a＋1，0)时，把x＝a＋1，y＝0代入y2＝ax＋b中，得a2＋a＝－b；(8分)(3)∵抛物线y1＝(x＋a)(x－a－1)的对称轴是直线x＝－a＋a＋12＝12，m<n，∵二次项系数为1，∴抛物线的开口向上，∴抛物线上的点离对称轴的距离越大，它的纵坐标也越大，∵m<n，∴点Q离对称轴x＝12的距离比P离对称轴x＝12的距离大，(10分)∴|x0－12|<1－12，∴0<x0<1.(12分) 22. 【答案】解：(1)设抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c. 根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧9a －3b ＋c ＝0，c ＝3，－b2a ＝－1，解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝－2，c ＝3. 所以抛物线的解析式为y ＝－x 2－2x ＋3.(2)易知直线AB 的表达式为y ＝x ＋3，设P(m ，－m 2－2m ＋3)，过点P 作PC ∥y 轴交AB 于点C ，则C(m ，m ＋3)，PC ＝(－m 2－2m ＋3)－(m ＋3)＝－m 2－3m ， 所以S △PAB ＝12×(－m 2－3m)×3＝－32(m 2＋3m)＝－32(m ＋32)2＋278， 所以当m ＝－32时，S △PAB 有最大值278，此时点P 的坐标为(－32，154)．22.2 二次函数与一元一次方程一、选择题（本大题共10道小题）1. 抛物线y ＝－x 2＋4x －4与坐标轴的交点个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．32. 根据下列表格中的数值，判断方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ，b 为常数)根的情况是( )A.B ．有两个相等的实数根 C ．只有一个实数根 D ．无实数根3. 已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的解是( )A．x1＝－3，x2＝1 B．x1＝3，x2＝1C．x＝－3 D．x＝－24. 从地面竖直向上抛出一个小球，小球的上升高度h(单位：m)与小球运动时间t(单位：s)之间的关系式为h＝24t－4t2，那么小球从抛出至回落到地面所需的时间是()A．6 s B．4 s C．3 s D．2 s5. 若A(－1，0)为抛物线y＝－3(x－1)2＋c上一点，则当y≥0时，x的取值范围是()A．－1＜x＜3 B．x＜－1或x＞3C．－1≤x≤3 D．x≤－1或x≥36. 函数y＝ax2＋2ax＋m(a＜0)的图象过点(2，0)，则使函数值y＜0成立的x的取值范围是()A．x＜－4或x＞2 B．－4＜x＜2C．x＜0或x＞2 D．0＜x＜27. 若二次函数y＝ax2－2ax＋c的图象经过点(－1，0)，则方程ax2－2ax＋c＝0的解为()A. x1＝－3，x2＝－1B. x1＝1，x2＝3C. x1＝－1，x2＝3D. x1＝－3，x2＝18. 根据下列表格中的对应值，判断方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的一个根x的取值范围是()A.1.23＜x＜1.24 B．1.24＜x＜1.25C．1.25＜x＜1.26 D．1＜x＜1.239. 如图，抛物线y ＝12x 2－7x ＋452与x 轴交于点A ，B ，把抛物线在x 轴及其下方的部分记作C 1，将C 1向左平移得到C 2，C 2与x 轴交于点B ，D ，若直线y ＝12x ＋m 与C 1，C 2共有3个不同的交点，则m 的取值范围是( )A ．－458＜m ＜－52B ．－298＜m ＜－12C ．－298＜m ＜－52D ．－458＜m ＜－1210. 已知二次函数y ＝－x 2＋x ＋6及一次函数y ＝－x ＋m ，将该二次函数在x 轴上方的图象沿x 轴翻折到x 轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数图象(如图)，当直线y ＝－x ＋m 与新图象有4个交点时，m 的取值范围是( )A ．－254<m<3 B ．－254<m<2 C ．－2＜m ＜3D ．－6＜m ＜－2二、填空题（本大题共7道小题）11. 飞机着陆后滑行的距离y (单位：m)关于滑行时间t (单位：s)的函数解析式是y ＝60t －32t 2，在飞机着陆滑行中，最后2 s 滑行的距离是________m.12. 如图，已知抛物线y ＝x 2＋2x －3与x 轴的两个交点分别是A ，B (点A 在点B的左侧)．(1)点A 的坐标为__________，点B 的坐标为________； (2)利用函数图象，求得当y <5时x 的取值范围为________．13. 已知二次函数y＝kx2－6x－9的图象与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围为____________．14. 设A，B，C三点分别是抛物线y＝x2－4x－5与y轴的交点以及与x轴的两个交点，则△ABC的面积是________．15. 如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx＋c的两个交点分别为A(－2，4)，B(1，1)，则方程ax2＝bx＋c的解是____________．16. 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，有下列结论：①b＞0；②a－b ＋c＝0；③一元二次方程ax2＋bx＋c＋1＝0(a≠0)有两个不相等的实数根；④当x ＜－1或x＞3时，y＞0.上述结论中正确的是________．(填上所有正确结论的序号)17. 已知实数x，y满足x2＋3x＋y－3＝0，则x＋y的最大值为________．三、解答题（本大题共4道小题）18. 已知二次函数y＝x2＋mx＋n的图象经过点P(－3，1)，对称轴是直线x＝－1.(1)求m，n的值；(2)当x取何值时，y随x的增大而减小？19. 已知二次函数y＝－x2＋2x＋m.(1)如果二次函数的图象与x轴有两个公共点，求m的取值范围；(2)如图，二次函数的图象过点A(3，0)，与y轴交于点B，直线AB与这个二次函数图象的对称轴交于点P，求点P的坐标；(3)根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．20. 某班“数学兴趣小组”对函数y＝x2－2|x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．(2)根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分；(3)观察函数图象，写出两条函数的性质；(4)进一步探究函数图象发现：①函数图象与x轴有________个交点，所以对应的方程x2－2|x|＝0有________个实数根；②方程x2－2|x|＝2有________个实数根；③关于x的方程x2－2|x|＝a有4个实数根时，a的取值范围是________．21. 利用图象解一元二次方程x2－2x－1＝0时，我们采用的一种方法是在直角坐标系中画出抛物线y＝x2和直线y＝2x＋1，两图象交点的横坐标就是该方程的解．(1)请你再给出一种利用图象求方程x2－2x－1＝0的解的方法；(2)已知函数y＝x3的图象(如图)，求方程x3－x－2＝0的解(精确到0.1)．人教版九年级数学22.2 二次函数与一元一次方程同步训练-答案一、选择题（本大题共10道小题）1. 【答案】C[解析] 当x＝0时，y＝－x2＋4x－4＝－4，则抛物线与y轴的交点坐标为(0，－4)；当y＝0时，－x2＋4x－4＝0，解得x1＝x2＝2，则抛物线与x轴的交点坐标为(2，0)，所以抛物线与坐标轴有2个交点．故选 C.2. 【答案】A【解析】当x＝2时，方程ax2＋bx＋c＝0，因此方程有一个实数根为2.当x 由－1增大到0时，ax 2＋bx ＋c 的值由－3增大到2，因此可以推断当x 在－1与0之间取某一值时，必有ax 2＋bx ＋c ＝0，说明方程ax 2＋bx ＋c ＝0必有一个根在－1与0之间．3. 【答案】A[解析] ∵抛物线与x 轴的一个交点的坐标是(1，0)，对称轴是直线x ＝－1，∴抛物线与x 轴的另一个交点的坐标是(－3，0)．故一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的解是x 1＝－3，x 2＝1.故选A.4. 【答案】A5. 【答案】C6. 【答案】A[解析] 抛物线的对称轴是直线x ＝－2a2a ＝－1，∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标是(－4，0)．∵a ＜0，∴抛物线开口向下，∴使y ＜0成立的x 的取值范围是x ＜－4或x ＞2.故选A.7. 【答案】C【解析】∵图象过点(－1，0)，∴将点(－1，0)代入方程得a ＋2a＋c ＝0，即3a ＋c ＝0.当x ＝3时，将(3，0)代入方程也得到3a ＋c ＝0成立，当x ＝－3时，将(－3，0)代入方程也得到15a ＋c ＝0(与3a ＋c ＝0不相符)，∴方程的两个根为x 1＝－1，x 2＝3.8. 【答案】B9. 【答案】C【解析】 如图．∵抛物线y ＝12x 2－7x ＋452与x 轴交于点A ，B ，∴B (5，0)，A (9，0)．∴抛物线C 1向左平移4个单位长度得到C 2，∴平移后抛物线的解析式为y ＝12(x －3)2－2.当直线y ＝12x ＋m 过点B 时，有2个交点， ∴0＝52＋m ，解得m ＝－52；当直线y ＝12x ＋m 与抛物线C 2只有一个公共点时，令12x ＋m ＝12(x －3)2－2，∴x 2－7x ＋5－2m ＝ 0，∴Δ＝49－20＋8m ＝0，∴m ＝－298，此时直线的解析式为y ＝12x －298，它与x 轴的交点为(294，0)，在点A 左侧，∴此时直线与C 1，C 2有2个交点，如图所示．∴当直线y ＝12x ＋m 与C 1，C 2共有3个不同的交点时，－298＜m ＜－52.10. 【答案】D【解析】 如图，当y ＝0时，－x 2＋x ＋6＝0，解得x 1＝－2，x 2＝3，则A (－2，0)，B (3，0)．将该二次函数在x 轴上方的图象沿x 轴翻折到x 轴下方的部分图象的解析式为y ＝(x ＋2)(x －3)，即y ＝x 2－x －6(－2≤x ≤3)．当直线y ＝－x ＋m 经过点A (－2，0)时，2＋m ＝0，解得m ＝－2；当直线y ＝－x ＋m 与抛物线y ＝x 2－x －6有唯一公共点时，方程x 2－x －6＝－x ＋m 有两个相等的实数根，解得m ＝－6.所以当直线y ＝－x ＋m 与新图象有4个交点时，m 的取值范围为－6＜m ＜－2.二、填空题（本大题共7道小题）11. 【答案】6 【解析】 当y 取得最大值时，飞机停下来， 则y ＝60t －32t 2＝－32(t －20)2＋600，此时t ＝20，飞机着陆后滑行600米停下来， 因此t 的取值范围是0≤t ≤20. 当t ＝18时，y ＝594， 所以600－594＝6(米)． 故答案是：6.12. 【答案】(1)(－3，0)(1，0) (2)－4<x <2【解析】(1)当x2＋2x－3＝0时，解得x1＝－3，x2＝1，∴A(－3，0)，B(1，0)．(2)当y＝5时，x2＋2x－3＝5，x2＋2x－8＝0，解得x1＝－4，x2＝2.由函数图象可得，当－4<x<2时，y<5.13. 【答案】k＞－1且k≠014. 【答案】15[解析] 当x＝0时，y＝－5，∴点A的坐标为(0，－5)；当y＝0时，x2－4x－5＝0，解得x1＝－1，x2＝5，不妨设点B在点C的左侧，∴点B的坐标为(－1，0)，点C的坐标为(5，0)，则BC＝6，∴△ABC的面积为12×6×5＝15.15. 【答案】x1＝－2，x2＝1[解析] 方程ax2＝bx＋c的解即抛物线y＝ax2与直线y＝bx＋c交点的横坐标．∵交点是A(－2，4)，B(1，1)，∴方程ax2＝bx＋c的解是x1＝－2，x2＝1.16. 【答案】②③④[解析] 由图可知，抛物线的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为(3，0)，∴b＝－2a，抛物线与x轴的另一个交点坐标为(－1，0)．①∵a＞0，∴b＜0，∴①错误；②当x＝－1时，y＝0，∴a－b＋c＝0，∴②正确；③一元二次方程ax2＋bx＋c＋1＝0的解是函数y＝ax2＋bx＋c的图象与直线y＝－1的交点的横坐标，由图象可知函数y＝ax2＋bx＋c的图象与直线y＝－1有两个不同的交点，∴一元二次方程ax2＋bx＋c＋1＝0(a≠0)有两个不相等的实数根，∴③正确；④由图象可知，y＞0时，x＜－1或x＞3，∴④正确．17. 【答案】4[解析] x＋y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，∴当x＝－1时，x＋y有最大值，最大值是4.三、解答题（本大题共4道小题）18. 【答案】解：(1)∵二次函数y ＝x 2＋mx ＋n 的图象经过点P (－3，1)，对称轴是直线x ＝－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＝9－3m ＋n ，－m 2＝－1，解得⎩⎨⎧m ＝2，n ＝－2. (2)由(1)知二次函数的解析式为y ＝x 2＋2x －2.∵a ＝1＞0，∴抛物线的开口向上，∴当x ≤－1时，y 随x 的增大而减小．19. 【答案】解：(1)∵二次函数的图象与x 轴有两个公共点，∴Δ＝b 2－4ac ＝22＋4m ＞0，∴m ＞－1.(2)∵二次函数的图象过点A(3，0)，∴0＝－9＋6＋m ，∴m ＝3，∴二次函数的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3.令x ＝0，则y ＝3，∴B(0，3)．设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋b ，∴⎩⎨⎧3k ＋b ＝0，b ＝3，解得⎩⎨⎧k ＝－1，b ＝3，∴直线AB 的解析式为y ＝－x ＋3.∵抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3的对称轴为直线x ＝1，∴把x ＝1代入y ＝－x ＋3，得y ＝2，∴P(1，2)．(3)根据函数图象可知：使一次函数值大于二次函数值的x 的取值范围是x ＜0或x ＞3.20. 【答案】解：(1)m ＝0.(2分)(2)如解图所示：(4分)(3)①函数图象有两个最低点，坐标分别是(－1，－1)以及(1，－1)．②函数图象是轴对称图形，对称轴是直线x＝0(y轴)．(6分)③从图象信息直接看出：当x＜－1或0＜x＜1时，函数值随自变量的增大而减小；当－1＜x＜0或x＞1时，函数值随自变量的增大而增大．④在x＜－2或x＞2时，函数值大于0，在－2＜x＜0或0＜x＜2时，函数值小于0等．(答案不唯一，合理即可)(4)①3，3；②2; ③－1＜a＜0.(10分)【解法提示】①观察图象可知函数图象与x轴有3个交点，∴方程x2－2|x|＝0有3个不相等的实数根；②把抛物线y＝x2－2|x|向下平移2个单位，得抛物线y＝x2－2||x－2，则抛物线y＝x2－2|x|－2与x轴只有2个交点，∴方程x2－2|x|－2＝0有2个不相等的实数根；③把抛物线y＝x2－2|x|向上平移0＜h＜1时，抛物线与x轴有4个交点，∴抛物线解析式y＝x2－2|x|－a中，0＜－a＜1，∴－1＜a＜0.21. 【答案】解：(1)答案不唯一，如在直角坐标系中画出抛物线y＝x2－1和直线y＝2x，其交点的横坐标就是方程的解．(2)在图中画出直线y＝x＋2，与函数y＝x3的图象交于点B，得点B的横坐标x≈1.5，∴方程的解为x≈1.5.22.3【实际问题与二次函数】一．选择题1．一小球被抛出后，距离地面的高度h（米）和飞行时间t（秒）满足下面函数关系式：h＝﹣6（t﹣2）2+7，则小球距离地面的最大高度是（）A．2米B．5米C．6米D．7米2．正方形的边长为3，如果边长增加x，那么面积增加y，则y与x之间的函数表达式是（）A．y＝3x B．y＝（3+x）2C．y＝9+6x D．y＝x2+6x3．对于二次函数y＝﹣（x﹣2）2﹣3，下列说法中正确的是（）A．当x＝﹣2时，y的最大值是﹣3B．当x＝2时，y的最小值是﹣3C．当x＝2时，y的最大值是﹣3D．当x＝﹣2时，y的最小值是﹣34．一台机器原价50万元，如果每年的折旧率是x，两年后这台机器的价格为y万元，则y 与x的函数关系式为（）A．y＝50（1﹣x）2B．y＝50（1﹣2x）C．y＝50﹣x2D．y＝50（1+x）2 5．若二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下、顶点坐标为（2，﹣3），则此函数有（）A．最小值2B．最小值﹣3C．最大值2D．最大值﹣36．若抛物线y＝x2﹣2x+m的最低点的纵坐标为n，则m﹣n的值是（）A．﹣1B．0C．1D．27．已知二次函数y＝a（x﹣1）2+b（a≠0）有最大值，则a，b的大小比较为（）A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．不能确定8．二次函数y＝﹣x2+6x﹣7，当x取值为t≤x≤t+2时，y＝﹣（t﹣3）2+2，则t的取值最大值范围是（）A．t＝0B．0≤t≤3C．t≥3D．以上都不对9．已知二次函数y＝a（x﹣1）2+b（a≠0）有最大值2，则a、b的大小比较为（）A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．不能确定10．用一段20米长的铁丝在平地上围成一个长方形，求长方形的面积y（平方米）和长方形的一边的长x（米）的关系式为（）A．y＝﹣x2+20x B．y＝x2﹣20x C．y＝﹣x2+10x D．y＝x2﹣10x 二．填空题11．已知x2﹣3x+y﹣5＝0，则y﹣x的最大值为．12．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率y与加工时间x（单位：min）满足函数表达式y＝﹣0.2x2+1.5x﹣2，则最佳加工时间为min．13．如图，有一个矩形苗圃园、其中一边靠墙（墙长为15m），另外三边用长为16m的篱笆围成，则这个苗圃园面积的最大值为．14．某工厂今年一月份生产防疫护目镜的产量是20万件，计划之后两个月增加产量，如果月平均增长率为x，那么第一季度防疫护目镜的产量y（万件）与x之间的关系应表示为．15．如图，P是抛物线y＝x2﹣x﹣4在第四象限的一点，过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为A、B，则四边形OAPB周长的最大值为．三．解答题16．龙眼是同安的特产，远销国内外．现有一个龙眼销售点在经销时发现：如果每箱龙眼盈利10元，每天可售出50箱．若每箱龙眼涨价1元，日销售量将减少2箱．若该销售点单纯从经济角度考虑，每箱龙眼应涨价多少元才能获利最高？17．心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（单位：分）之间满足函数关系y＝﹣0.1x2+2.6x+43（0≤x≤30）．y值越大，表示接受能力越强．（1）x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？（2）某同学思考10分钟后提出概念，他的接受能力是多少？18．某超市销售一种水果，进价为每箱40元，规定售价不低于进价．现在的售价为每箱72元，每月可销售60箱．经市场调查发现：若这种水果的售价每降低2元，则每月的销量将增加10箱，设每箱水果降价x元（x为偶数），每月的销量为y箱．（1）写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围．（2）若该超市在销售过程中每月需支出其他费用500元，则如何定价才能使每月销售水果的利润最大？最大利润是多少元？19．用长12m的一根铁丝围成长方形．（1）如果长方形的面积为5m2，那么此时长方形的较长的边是多少？（2）能否围成面积是10m2的长方形？为什么？（3）能围成的长方形的最大面积是多少？20．生产商对在甲、乙两地生产并销售的某产品进行研究后发现如下规律：每年年产量为x （吨）时所需的全部费用y（万元）与x满足关系式y＝x2+5x+90，投人市场后当年能全部售10出，且在甲、乙两地每吨的售价P甲P乙（万元）均与x满足一次函数关系．（注：年利润＝年销售额﹣全部费用）（1）当在甲地生产并销售x吨时，满足P甲＝﹣x+14，求在甲地生成并销售20吨时利润为多少万元；（2）当在乙地生产并销售x吨时，P乙＝﹣x+15，求在乙地当年的最大年利润应为多少万元？参考答案一．选择题1．解：∵h＝﹣6（t﹣2）2+7，∴a＝﹣6＜0，∴抛物线的开口向下，函数由最大值，∴t＝2时，h最大＝7．故选：D．2．解：∵新正方形的边长为x+3，原正方形的边长为3，∴新正方形的面积为（x+3）2，原正方形的面积为9，∴y＝（x+3）2﹣9＝x2+6x，故选：D．3．解：对于二次函数y＝﹣（x﹣2）2﹣3，由于﹣1＜0，所以，当x＝2时，y取得最大值，最大值为﹣3，故选：C．4．解：二年后的价格是为：50×（1﹣x）×（1﹣x）＝50（1﹣x）2，则函数解析式是：y＝50（1﹣x）2．故选：A．5．解：因为抛物线开口向下和其顶点坐标为（2，﹣3），所以该抛物线有最大值是﹣3．故选：D．6．解：∵y＝x2﹣2x+m，∴＝＝n，即m﹣1＝n，∴m﹣n＝1．故选：C．7．解：∵y＝a（x﹣1）2+b有最大值，∴抛物线开口向下a＜0，b＝，∴a＜b．故选：B．8．解：∵y＝﹣x2+6x﹣7＝﹣（x﹣3）2+2，当t≤3≤t+2时，即1≤t≤3时，函数为增函数，y max＝f（3）＝2，与y max＝﹣（t﹣3）2+2矛盾．当3≥t+2时，即t≤1时，y max＝f（t+2）＝﹣（t﹣1）2+2，与y max＝﹣（t﹣3）2+2矛盾．当3≤t，即t≥3时，y max＝f（t）＝﹣（t﹣3）2+2与题设相等，故t的取值范围t≥3，故选：C．9．解：∵二次函数y＝a（x﹣1）2+b（a≠0）有最大值2，∴a＜0，b＝2，则a、b的大小比较为：a＜b．故选：B．10．解：∵长方形一边的长度为x米，周长为20米，∴长方形的另外一边的长度为（10﹣x）米，则长方形的面积y＝x（10﹣x）＝﹣x2+10x，故选：C．二．填空题11．解：∵x2﹣3x+y﹣5＝0，∴y＝﹣x2+3x+5，∴y﹣x＝﹣x2+2x+5＝﹣（x﹣1）2+6，∴y﹣x的最大值为6，故答案为6．12．解：根据题意：y＝﹣0.2x2+1.5x﹣2，当x＝﹣＝3.75时，y取得最大值，则最佳加工时间为3.75min．故答案为：3.75．13．解：设垂直于墙面的长为xm，则平行于墙面的长为（16﹣2x）m，由题意可知：y＝x（16﹣2x）＝﹣2（x﹣4）2+32，且x＜8，∵墙长为15m，∴16﹣2x≤15，∴0.5≤x＜8，∴当x＝4时，y取得最大值，最大值为32m2；故答案为：32m2．14．解：y与x之间的关系应表示为：y＝20+20（x+1）+20（x+1）2．故答案为：y＝20+20（x+1）+20（x+1）2．15．解：设P（x，x2﹣x﹣4），四边形OAPB周长＝2PA+2OA＝﹣2（x2﹣x﹣4）+2x＝﹣2x2+4x+8＝﹣2（x﹣1）2+10，当x＝1时，四边形OAPB周长有最大值，最大值为10．故答案为10．三．解答题16．解：设每箱龙眼应涨价x元，总利润为y，根据题意可得：y＝（10+x）（50﹣2x）＝﹣2x2+30x+500＝﹣2（x﹣）2+612.5，答：每箱龙眼应涨价元才能获利最高．17．解：（1）∵y＝﹣0.1（x2﹣26x+169）+16.9+43＝﹣0.1（x﹣13）2+59.9∴对称轴是：直线x＝13即当（0≤x≤13）提出概念至（13分）之间，学生的接受能力逐步增强；（2）当x＝10时，y＝﹣0.1×102+2.6×10+43＝59．18．解：（1）根据题意知y＝60+5x，（0≤x≤32，且x为偶数）；（2）设每月销售水果的利润为w，则w＝（72﹣x﹣40）（5x+60）﹣500＝﹣5x2+100x+1420＝﹣5（x﹣10）2+1920，当x＝10时，w取得最大值，最大值为1920元，答：当售价为62元时，每月销售水果的利润最大，最大利润是1920元．19．解：设长方形的宽为xm，则长为（12﹣2x）m，即为（6﹣x）m，则6﹣x≥x，得0＜x≤3，（1）根据题意，得x（6﹣x）＝5，即x2﹣6x+5＝0，x1＝5，x2＝1（舍去），∴此时长方形较长的边为5m．（2）当面积为10m2时，x（6﹣x）＝10，即x2﹣6x+10＝0，此时b2﹣4ac＝36﹣40＝﹣4＜0，故此方程无实数根．所以这样的长方形不存在．（3）设围成的长方形面积为k，则有x（6﹣x）＝k．即x2﹣6x+k＝0，要使该方程有解，必须（﹣6）2﹣4k≥0，即k≤9，∴最大的k只能是9，即最大的面积为9m2，此时x＝3m，6﹣x＝3m，这时所围成的图形是正方形．20．解：（1）甲地当年的年销售额为（﹣x+14）•x＝（﹣x2+14x）万元；w＝（﹣x2+14x）﹣（x2+5x+90）＝﹣x2+9x﹣90．甲＝﹣×202+9×20﹣90＝30，当x＝20时，w甲所以在甲地生成并销售20吨时利润为30万元；（2）在乙地区生产并销售时，年利润：w＝﹣x2+15x﹣（x2+5x+90）乙＝﹣x2+10x﹣90＝﹣（x﹣25）2+35．∴当x＝25时，w有最大值35万元，乙∴在乙地当年的最大年利润应为35万元．。

元二次方程及其应用复习【课前热身】1方程3x(x 1) 0的二次项系数是___________ ，一次项系数是_____ ，常数项是 _•2. _______________________________________________________________________ 关于x 的一元二次方程(n 3)x|n 1 (n 1)x 3n 0中，则一次项系数是____________________________ .3. 一元二次方程x2 2x 3 0的根是4. 某地2005年外贸收入为2.5亿元，2007年外贸收入达到了4亿元，若平均每年的增长率为x，则可以列出方程为_______________________ .5. 关于x的一元二次方程x2 5x p2 2p 5 0的一个根为1,则实数p=()A. 4 B . 0 或2 C . 1 D . 1【考点链接】1. 一元二次方程：在整式方程中，只含 _个未知数，并且未知数的最高次数是_的方程叫做一元二次方程•一元二次方程的一般形式是_____________ . _________ 其中_______ 叫做二次项，_________ 叫做一次项，_________ 叫做常数项； ________ 叫做二次项的系数，_叫做一次项的系数•2. 一元二次方程的常用解法：(1) 直接开平方法：形如x2 a(a 0)或(x b)2 a(a 0)的一元二次方程，就可用直接开平方的方法.(2) 配方法：用配方法解一元二次方程ax2 bx c o a 0的一般步骤是：①化二次项系数为1,即方程两边同时除以二次项系数；②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项，③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方，④化2原方程为(x m) n的形式，⑤如果是非负数，即n 0 ,就可以用直接开平方求出方程的解.如果n v 0,则原方程无解.2(3)公式法：一元二次方程ax bx c 0(a 0)的求根公式是2a0).(4)因式分解法：因式分解法的一般步骤是：①将方程的右边化为______________ :②将方程的左边化成两个一次因式的乘积；③令每个因式都等于0,得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解3. 易错知识辨析：(1)判断一个方程是不是一元二次方程，应把它进行整理，化成一般形式后再进行判断，注意一元二次方程一般形式中 a 0.(2)用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成一般形式(3)用配方法时二次项系数要化 1.(4)用直接开平方的方法时要记得取正、负.【典例精析】例1选用合适的方法解下列方程：(1) (x 4)2 5(x 4) ；(2) (x 1)2 4x ；2 2 2(3) (x 3) (1 2x) ；(4) 2x 10x 3.例2已知一元二次方程(m 1) x2 7mx m2 3m 4 0有一个根为零，求m的值.例3用22长的铁丝，折成一个面积是 30 cm 2的矩形，求这个矩形的长和宽 •又问：能否折 成面积是32 cm 2的矩形呢？为什么？【中考演练】1 .方程(5x — 2) (x — 7) = 9 (x — 7)的解是 ____________ .32. 已知2是关于x 的方程_x 2— 2 a = 0的一个解，则2a — 1的值是23. 关于y 的方程2y 2 3py 2p为 _____ .4. 下列方程中是一元二次方程的有④ x 2-2y+6=0(3) 4 X 2 — 8x + 1 = 0 (用配方法)；&某商店4月份销售额为50万元，第二季度的总销售额为 182万元，若5、6两个月的月增长率相同，求月增长率.一元二次方程根的判别式及根与系数的关系复习【课前热身】A.有两个相等的实数根C.只有一个实数根1.—兀二次方程x 2x 10的根的情况为(20有一个根是y 2，则关于x 的方程x 3 p 的解2② 丄=8③ 3y(y-1)=y(3y+1)3)① 9 X 2=7 x⑤.2( x 2+i )= .. 10 4 d 门 —-x-仁0x①③⑤ C. ①②⑤5. (6.A . ①②③ B. 元二次方程(4x + 1)(2x — 3) = 5x 2 + 1化成一般形式 )A . 3, — 10,— 4B. 3,— 12,— 2C. 8,— 10,— 2D. 8, — 12, 4.次方程2x 2 — (m + 1)x + 1 = x (x — 1)化成一般形式后二次项的系数为 1，一次项的) C.D. ⑥①⑤ax 2 + bx + c = 0(a z 0)后 a,b,c 的值为7.兀 系数为一1,贝U m 的值为( A. -1B. 1解方程2 (1) x — 5x — 6= 0 ; D. 2X 2— 4x — 1 = 0 (用公式法)；(4) x 2 2 2x+1=0.E.有两个不相等的实数根 D.没有实数根2. 右方程kx2—6x+ 1 = 0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是___________3 . 设X1、X2是方程3X2+ 4X—5 = 0的两根，则,.X12+ X22=X-I x24.关于x 的方程2X2+ (m2—9)x+ m+ 1 = 0,当当m= ____________ 时，两根互为相反数.【考点链接】■一二x的m = ________ 时，两根互为倒数;1.—兀'关于次方程根的判别式：元二次方程ax2 bx 0的根的判别式为(1)b2 4ac>o ______________________________________ —元二次方程ax2 bx c 0 a 0有两个实数根，即X1,2 _____________ . ______(2)b2 4ac=o __________ 一元二次方程有相等的实数根，即x i X2 —.(3)b2 4ac<o _______________________________ 一元二次方程ax2 bxc 0 a 0 实数根.2. 一元二次方程根与系数的关系若关于x的一元二次方程ax2 bx c 0(a 0)有两根分别为x1, x2,那么为x2 , X i X23. 易错知识辨析：(1)在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母，要加上二次项系数不为零这个限制条件.(2)应用一元二次方程根与系数的关系时，应注意：①根的判别式b2 4ac 0 ；②二次项系数a 0，即只有在一元二次方程有根的前提下，才能应用根与系数的关系【典例精析】例1当k为何值时，方程x2 6x k 1 0 ,(1)两根相等；(2)有一根为0 ；( 3)两根为倒数.例3菱形ABCD勺一条对角线长为6,边AB的长是方程x2 7x 12 0的一个根，则菱形ABCD勺周长为【中考演练】1.设X1, X2 是方程2x2+ 4x— 3 = 0 的两个根，则(X1+ 1)(x2 + 1)= ___________ , X12+ X22=1 1 2_________ , = ___________ , (X1—X2)= -------- .2.当c ___________ 时，关于X的方程2x2 8x c 0有实数根.(填一个符合要求的数1 即可)&设关于x 的方程kx 2— (2k + 1)x + k = 0的两实数根为X 1、X 2,，若凶X 29.已知关于x 的一元二次方程x 2 m 1 x m 2 0.且满足丄 11,则m 的值是( )A. 3 或 1B. 3C. 1 D .3或1 6. 一兀二次方程 x3x 10的两个根分别是为，X 2，则 2X 1 X 2 X 1X 22的值是( )A. 3B.13CD .1337 .若关于x 的一兀—一次方程 X2X m 0没有实数根，则实数m 的取值范围是()A . m<lB . m> — 1C . m>lD . m< — 13. 已知关于x 的方程x 2 (a 2)x a 2ba b 的值为 __________ .4. 已知a , b 是关于x 的方程x 2(2 k 1)x值是 ______________ .5•已知，是关于x 的一元二次方程x 20的判别式等于0，且x —是方程的根，则2 k(k 1)0的两个实数根，则a 2 b 2的最小(2m 3)x m 2 0的两个不相等的实数根，X 217,求k 的(1)若方程有两个相等的实数根，求m的值；(2)若方程的两实数根之积等于m2 9m 2，求、一m 6的值.1课时6.反比例函数【课前热身】k1 •已知反比例函数y 的图象经过点 A （ 3, 6），则这个反比例函数的解析式是x2.（07梅州）近视眼镜的度数 y （度）与镜片焦距 x （米）成反比例，已知 400度近视眼 镜镜片的焦距为0.25米，则眼镜度数y 与镜片焦距x 之间的函数关系式为 △ AMO 的面积为3,则k _____ 【考点链接】1. 反比例函数：一般地，如果两个变量或 _________ （ k 为常数，k z 0）的形式,2. 反比例函数的图象和性质k 的符号k > 0 k v 0图像的大致位置经过象限 第 象限 第象限 性质在每一象限内y 随x 的增 大而在每一象限内y 随x 的增大 而k3.k 的几何含义：反比例函数 y = （k 工0）中比例系数k 的几何xk意义，即过双曲线 y = （k z 0）上任意一点P 作x 轴、y 轴x3•在反比例函数k 3图象的每一支曲线上,xy 都随x 的增大而减小，则 k 的取值范围是（A. k >34. （07青是气体体积V （ 时，气球将爆炸.5 3 m4 4 3m5A.不小于C .不小于B某气球内充满了一定质量的气体， m ）的反比例函数，其图象如图 为了安全起见，气球的体积应（.小于-m4 4 3.小于一 m 5.k v 0当温度不变时，气球内气体的气压 P （ kPa ） 1所示•当气球内的气压大于 120 kPa 5. (08巴中) 如图若点 A 在反比例函数k-（k 0）的图象上，AM xy 之间的关系可以表示成 y = 那么称 y 是x 的反比例函数. X 、-------；)x轴于点M ,垂线，设垂足分别为A B,则所得矩形OAPB勺面积为—. 【典例精析】x6. (08嘉兴)某反比例函数的图象经过点A. (2, 3) B . ( 3, 3)例1某汽车的功率P 为一定值，汽车行驶时的速度 v （米/秒）与它所受的牵引力 F （牛）之间的函数关系如右图所示： （1） 这辆汽车的功率是多少？请写出这一函数的表达式； （2）当它所受牵引力为1200牛时，汽车的速度为多少千米/时？（3） 如果限定汽车的速度不超过 30米/秒，则F 在什么范围内？«(*/«0 拠2000304000 502010Ftt-1例2（07四川）如图，一次函数 yA （ 21），B （1, n ）两点.（1） 试确定上述反比例函数和一次函数的表达式;（2） 求△ AOB 的面积.kx b 的图象与反比例函数【中考演练】 1. 2. k （07福建）已知点（1, 2）在反比例函数y —的图象上，贝U k _________ . x力F （牛）与此物体在力的方向上移动的距离 P （5, 1）在图象上，则当力达到 10牛时,（07安徽）在对物体做功一定的情况下， 成反比例函数关系，其图象如图所示， 力的方向上移动的距离是 _________ 米.s（米） 物体在3. （08河南）已知反比例函数的图象经过点（ m , 2）和（一2, 3），贝U m 的值为 （08宜宾）若正方形AOBC 勺边OA OB 在坐标轴上，顶点 C 在第一象限且在反比例函数 y1 =丄的图像上，则点 C 的坐标是 . x 5. （08广东）如图，某个反比例函数的图象经过点 则它的解析式为 1A.y = （x>0）x1 C.y = （x<0） x4. B.y D.y-1 (x>0) x 1 ——(x<0)x y p, p i x -1 O 7. （ 07江西）对于反比例函数y2 ，下列说法不正确的是（2,3），则此函数图象也经过点（（2,3） （ 4,6）A.点（2, 1）在它的图象上C.当x 0时，y随x的增大而增大B .它的图象在第一、三象限D .当x 0时，y随x的增大而减小x68. ( 08乌鲁木齐)反比例函数y -的图象位于( )xA.第一、三象限B •第二、四象限C •第二、三象限 D.第一、二象限9•某空调厂装配车间原计划用2个月时间(每月以30天计算)，每天组装150台空调.(1)从组装空调开始，每天组装的台数m (单位：台/天)与生产的时间t (单位：天) 之间有怎样的函数关系？(2)由于气温提前升高、厂家决定这批空调提前十天上市，那么装配车间每天至少要组装多少空调？10. (07四川)如图，已知A(-4 , 2)、B(n, -4)是一次函数y kx b的图象与反比例函数y m的图象的两个交点x(1) 求此反比例函数和一次函数的解析式；(2) 根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围.相似三角形复习1两个相似三角形对应边上中线的比等于3: 2，则对应边上的高的比为 ________ ，周长之比为 ________ ，面积之比为 __________ . 2•若两个相似三角形的周长的比为4: 5,且周长之和为45,则这两个三角形的周长分别为3.如图，在厶ABC 中，已知/ ADE= / B ，则下列等式成立的是 （4. 在△ ABC 与A ABC 中，有下列条件:1. 若DE // BC （A 型和X 型）则 ________________ .2. 射影定理：若 CD 为Rt △ ABC 斜边上的高（双直角图形）贝U Rt △ ABC s Rt △ ACD s Rt △ CBD 且 AC 2=CD 2=BC 2=3. 两个角对应相等的两个三角形 _____________ .4. 两边对应成 __________ 且夹角相等的两个三角形相似.5. 三边对应成比例的两个三角形 _____________ . 三、相似三角形的性质1. 相似三角形的对应边 __________ ，对应角 ________ .2. 相似三角形的对应边的比叫做 __________ ，一般用k 表示.3. 相似三角形的对应角平分线，对应边的 ____________ 线，对应边上的 ________ ?线的比等于_______ 比，周长之比也等于 __________ 比，面积比等于 _________ . 例1 在厶ABC 和厶DEF 中，已知/ A= / D ,AB=4， AC=3，DE=1，当DF 等于多少时，这两个三角形相 似A . 1B. 2 C.3 D.4【考点链接】「、相似三角形的定义三边对应成，三个角对应的两个三角形叫做相似三角形如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ ABC s^ABC 的共有多少组（ 、相似三角形的判定方法A ADAEAE ADA.-BAB ACBC BD-DE AEDE ADDBC AB BC A(1)AB A-B*BC(2)BC BCAC AC*(3)Z A= / A (4)Z C=Z C.'例2 如图，△ ABC 是一块锐角三角形余料，边BC=120mm ，高AD=80mm , ?要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在 AB 、AC 上，？这个正方形零件的边长是多少?例3 一般的室外放映的电影胶片上每一个图片的规格为： 3.5cm x 3.5cm ,格为2m X 2m ,若放映机的光源距胶片20cm 时，问荧屏应拉在离镜头多远的地方，放映的图象刚好布满整个荧屏？【中考演练】1. ___________________________________________________ 如图，若△ ABCDEF ，则/ D 的度数为 _________________________ 放映的荧屏的规AD 13.如图，在△ ABC 中若DE // BC, = - ,DE = 4cm,则BC 的长为(DB 24.如图，已知E 是矩形ABCD 的边CD 上一点，BF AE 于F , 试证明△ ABFEAD •2 在 Rt ABC 中,C 为直角，CDAB 于点 D , BC 3, AB 5,写出其中的一对相似三角形是______ 和 _; 并写出它的面积比 ________A.8cmB.12cmC.11cmD.10cm锐角三角函数AB = AC = 5, BC = 8,求底角/ B的四个三角函数值.1. 在厶ABC 中，/ 1 C = 90°,1 nttanA = ，贝U sinB =(3)1.在△ABC中，/〔C =90°,BC=2, si nA=2——则AC的长是（）3A . 5B.3C45D.帀2. Rt AB C 中，/ C=90 , / A:/B=1 ::2,则si nA的值（）A.1B.2C.3D.1222, cos304. --------------- = ___________ .1 sin 30【考点链接】1. sin a, cos a, tan a定义sin a = _____ , cos a= _________ , tan a = ________2•特殊角三角函数值30°45°60°sin aCOs atan a【典例精析】例 1 在Rt △ ABC 中，a= 5, c = 13,求si nA, cosA , tanA例 2 计算：4sin 30 、2 cos45 . 3tan60 .等腰△ ABC中,3.如图，在平面直角坐标系中，已知点 A ( 3, 0)，点B ( 0, - 4)，则COS OAB 等于A」 B .-C . 3D.10341032 •右cos A —,则下列结论正确的为（48.矩形ABCD 中AB = 10, BC = 8, E 为AD 边上一点，沿 BE 将厶BDE 对折，点 D 正 好落在 AB边上，求 tan Z AFE .1.如图，太阳光线与地面成 60°角，一棵倾斜的大树与地面成 30°角，这时测得大树在地 面上的影子约为10米，则大树的高约为 ___________ 米.（结果保留根号）2. ______________________________________ 某坡面的坡度为1 ••怎，则坡角是 度.3. 王英同学从 A 地沿北偏西60o 方向走100m 到B 地，再从B 地向正南方向走 200m 到C 地, 此时王英同学离A 地（）A. 150mB . 503 mC . 100 mD . 100.3m1.解直角三角形的概念：在直角三角形中已知一些 2 .解直角三角形的类型：已知 _____________ ;已知 ___________________ 3.如图（1）解直角三角形的公式：（1） 三边关系： __________________ .A.0°< / A < 30°.30°< C. 45°< Z A < 60° .60°<3.在 Rt A ABC 中，C90o , AC 5, BC 则 tan A4.计算Sin60 tan 45的值是cos305.已知 3tan A 30 则6 . △ ABC中，若(si nA — 1 ) 2+ I —3 — cosB|2 2=0，求Z C 的大小. 7.图中有两个正方形，A , C 两点在大正方形的对角线上, 求EF 的长.△ HAC?是等边三角形，若AB=2 ,解直角三角形及其应用叫做解直角三角形.AC a B（2）角关系：Z A+ Z B= ____ ,（3）边角关系：sinA= __ ,sinB= ___ , cosA=_4.5.6. cosB=如图（2）如图（3）如图（4） __ , tanA= _____ , tanB= _____ .仰角是_____________ ,俯角是_______方向角：0A : ______ , 0B : ______坡度：AB的坡度i AB = ___________ ，/,OC: ________ , 0D :a 叫_____ ,tan a i = _北AC东1 Rt ABC的斜边3AB = 5, cosA —求ABC中的其他量.5它的周围18海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点A 方向上，航行12海里到达B点，这时测得小岛P在北偏东45°方例2海中有一个小岛P, 测得小岛P在北偏东60 向上•如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁危险？请说明理由.F\12例题3为了农田灌溉的需要，某乡利用一土堤修筑一条渠道，在堤中间挖出深为1.2米，下底宽为2米，坡度为1 : 0.8的渠道（其横断面为等腰梯形），并把挖出来的土堆在两旁，使土堤高度比原来增加了0.6米.（如图所示）求：（1）渠面宽EF;（2）修200米长的渠道需挖的土方数.1•在Rt ABC 中，C 900, AB = 5, AC = 4,则sinA 的值是_________________2.升国旗时，某同学站在离旗杆24m处行注目礼，当国旗升至旗杆顶端时，该同学视线的仰角恰为30°,若两眼距离地面 1.2m，则旗杆高度约为_________ .（取药1.73，结果精确到0.1m）3.已知：如图，在△ ABC 中，/ B = 45 ° / C = 60 ° AB = 6 号）4.如图，在测量塔高AB时，选择与塔底在同一水平面的同一直线上的C、D两点，用测角仪器测得塔顶A的仰角分别是30°和60°已知测角仪器高CE=1.5米，CD=30米，求塔高AB .（保留根号）求BC的长.（结果保留根。

人教版九年级上册数学期中常考题《二次函数的图像和性质》专项复习一．选择题（共5小题）1．（日喀则市一模）下列函数中是二次函数的为（）A．y＝3x﹣1B．y＝3x2﹣1C．y＝（x+1）2﹣x2D．y＝x3+2x﹣32．（舒城县期末）下列y关于x的函数中,属于二次函数的是（）A．y＝x﹣1B．y＝C．y＝（x﹣1）2﹣x2D．y＝﹣2x2+13．（阜宁县期末）下列函数中,不是二次函数的是（）A．y＝1﹣x2B．y＝2（x﹣1）2+4C．y＝（x﹣1）（x+4）D．y＝（x﹣2）2﹣x24．（中江县模拟）二次函数y＝ax2+bx+c与一次函数y＝ax+c,它们在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）A．B．C．D．5．（合川区校级期末）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示,那么一次函数y＝ax+b的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．二．填空题（共5小题）6．（林州市期中）当m＝时,y ＝（m 2﹣1）是二次函数．7．（仙游县期中）若y ＝（m +1）x 2+mx ﹣1是关于x 的二次函数,则m 满足 ． 8．如果函数y ＝（m +1）x+2是二次函数,那么m ＝ ．9．已知两个二次函数的图象如图所示,那么a 1 a 2（填“＞”、“＝”或“＜”）．10．用“描点法”画二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象时,列出了如下表格：x … 1 2 3 4 … y ＝ax 2+bx +c…﹣13…那么该二次函数在x ＝0时,y ＝ ．三．解答题（共5小题）11．已知函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1．（1）若这个函数是一次函数,求m的值；（2）若这个函数是二次函数,则m的值应怎样？12．已知y＝（m﹣1）x是关于x的二次函数,求m的值．13．已知二次函数y＝﹣x2+4x．（1）写出二次函数y＝﹣x2+4x图象的对称轴；（2）在给定的平面直角坐标系中,画出这个函数的图象（列表、描点、连线）；（3）根据图象,写出当y＜0时,x的取值范围．14．小明利用函数与不等式的关系,对形如（x﹣x1）（x﹣x2）…（x﹣x n）＞0（n为正整数）的不等式的解法进行了探究．（1）下面是小明的探究过程,请补充完整：①对于不等式x﹣3＞0,观察函数y＝x﹣3的图象可以得到如表格：x的范围x＞3x＜3y的符号+﹣由表格可知不等式x﹣3＞0的解集为x＞3．②对于不等式（x﹣3）（x﹣1）＞0,观察函数y＝（x﹣3）（x﹣1）的图象可以得到如表表格：x的范围x＞31＜x＜3x＜1y的符号+﹣+由表格可知不等式（x﹣3）（x﹣1）＞0的解集为．③对于不等式（x﹣3）（x﹣1）（x+1）＞0,请根据已描出的点画出函数y＝（x﹣3）（x﹣1）（x+1）的图象；观察函数y＝（x﹣3）（x﹣1）（x+1）的图象补全下面的表格：x的范围x＞31＜x＜3﹣1＜x＜1x＜﹣1y的符号+﹣由表格可知不等式（x﹣3）（x﹣1）（x+1）＞0的解集为．……小明将上述探究过程总结如下：对于解形如（x﹣x1）（x﹣x2）……（x﹣x n）＞0（n为正整数）的不等式,先将x1,x2…,x n按从大到小的顺序排列,再划分x的范围,然后通过列表格的办法,可以发现表格中y的符号呈现一定的规律,利用这个规律可以求这样的不等式的解集．（2）请你参考小明的方法,解决下列问题：①不等式（x﹣6）（x﹣4）（x﹣2）（x+2）＞0的解集为．②不等式（x﹣9）（x﹣8）（x﹣7）2＞0的解集为．15．下表给出一个二次函数的一些取值情况：x…01234…y…30﹣103…（1）请在直角坐标系中画出这个二次函数的图象；（2）根据图象说明：当x取何值时,y的值大于0？参考答案一．选择题（共5小题）1．（日喀则市一模）下列函数中是二次函数的为（）A．y＝3x﹣1B．y＝3x2﹣1C．y＝（x+1）2﹣x2D．y＝x3+2x﹣3【考点】二次函数的定义．【分析】根据二次函数的定义,可得答案．【解答】解：A、y＝3x﹣1是一次函数,故A错误；B、y＝3x2﹣1是二次函数,故B正确；C、y＝（x+1）2﹣x2不含二次项,故C错误；D、y＝x3+2x﹣3是三次函数,故D错误；故选：B．【点评】本题考查了二次函数的定义,形如y＝ax2+bx+c（a≠0）是二次函数,要先化简再判断．2．（舒城县期末）下列y关于x的函数中,属于二次函数的是（）A．y＝x﹣1B．y＝C．y＝（x﹣1）2﹣x2D．y＝﹣2x2+1【考点】二次函数的定义．【专题】函数思想．【分析】整理成一般形式,根据二次函数定义即可解答．【解答】解：A、该函数中自变量x的次数是1,属于一次函数,故本选项错误；B、该函数是反比例函数,故本选项错误；C、由已知函数关系式得到：y＝﹣2x+1,属于一次函数,故本选项错误；D、该函数符合二次函数定义,故本选项正确．故选：D．【点评】考查了二次函数的定义：一般地,形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数,a≠0）的函数,叫做二次函数．其中x、y是变量,a、b、c是常量,a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数,a≠0）也叫做二次函数的一般形式．3．（阜宁县期末）下列函数中,不是二次函数的是（）A．y＝1﹣x2B．y＝2（x﹣1）2+4C．y＝（x﹣1）（x+4）D．y＝（x﹣2）2﹣x2【考点】二次函数的定义．【分析】将各函数整理成一般式后根据二次函数定义判断即可．【解答】解：A、y＝1﹣x2是二次函数；B、y＝2（x﹣1）2+4＝2x2﹣4x+6,是二次函数；C、y＝（x﹣1）（x+4）＝x2+x﹣2,是二次函数；D、y＝（x﹣2）2﹣x2＝﹣4x+4,是一次函数；故选：D．【点评】本题主要考查二次函数的定义,掌握二次函数的定义：形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数,a≠0）的函数叫做二次函数是解题的关键．4．（中江县模拟）二次函数y＝ax2+bx+c与一次函数y＝ax+c,它们在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】正比例函数的图象；二次函数的图象．【分析】根据二次函数的开口方向,与y轴的交点；一次函数经过的象限,与y轴的交点可得相关图象．【解答】解：∵一次函数和二次函数都经过y轴上的（0,c）,∴两个函数图象交于y轴上的同一点,排除B、C；当a＞0时,二次函数开口向上,一次函数经过一、三象限,排除D；当a＜0时,二次函数开口向下,一次函数经过二、四象限,A正确；故选：A．【点评】考查二次函数及一次函数的图象的性质；用到的知识点为：二次函数和一次函数的常数项是图象与y轴交点的纵坐标；一次函数的一次项系数大于0,图象经过一、三象限；小于0,经过二、四象限；二次函数的二次项系数大于0,图象开口向上；二次项系数小于0,图象开口向下．5．（合川区校级期末）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示,那么一次函数y＝ax+b的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】一次函数的图象；二次函数的图象．【专题】一次函数及其应用；二次函数图象及其性质；几何直观；推理能力．【分析】由y＝ax2+bx+c的图象判断出a＜0,b＜0,于是得到一次函数y＝ax+b的图象经过二,三,四象限,即可得到结论．【解答】解：∵y＝ax2+bx+c的图象的开口向下,∴a＜0,∵对称轴在y轴的左侧,∴b＜0,∴一次函数y＝ax+b的图象经过二,三,四象限．【点评】本题考查了二次函数和一次函数的图象,解题的关键是明确二次函数的性质,由函数图象可以判断a、b的取值范围．二．填空题（共5小题）6．（林州市期中）当m＝2时,y＝（m2﹣1）是二次函数．【考点】二次函数的定义．【专题】二次函数图象及其性质；模型思想．【分析】利用二次函数定义可得m2﹣m＝2,且m2﹣1≠0,再解出m的值即可．【解答】解：由题意得：m2﹣m＝2,且m2﹣1≠0,解得：m＝2,故答案为：2．【点评】此题主要考查了二次函数定义,关键是注意二次函数的二次项系数不为零．7．（仙游县期中）若y＝（m+1）x2+mx﹣1是关于x的二次函数,则m满足m≠﹣1．【考点】二次函数的定义．【专题】二次函数图象及其性质；模型思想．【分析】利用二次函数定义可得m+1≠0,再解不等式即可．【解答】解：由题意得：m+1≠0,解得：m≠﹣1,故答案为：m≠﹣1．【点评】此题主要考查了二次函数定义,关键是掌握形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数,a ≠0）的函数,叫做二次函数．8．如果函数y＝（m+1）x+2是二次函数,那么m＝2．【考点】二次函数的定义．【专题】二次函数图象及其性质；符号意识．【分析】直接利用二次函数的定义得出m的值．【解答】解：∵函数y＝（m+1）x+2是二次函数,∴m2﹣m＝2,（m﹣2）（m+1）＝0,解得：m1＝2,m2＝﹣1,∴m≠﹣1,故m＝2．故答案为：2．【点评】此题主要考查了二次函数的定义,正确得出m的方程是解题关键．9．已知两个二次函数的图象如图所示,那么a1＞a2（填“＞”、“＝”或“＜”）．【考点】二次函数的图象．【专题】二次函数图象及其性质；几何直观；推理能力．【分析】直接利用二次函数的图象开口大小与a的关系进而得出答案．【解答】解：如图所示y＝a1x2的开口大于y＝a2x2的开口,开口向下,则a2＜a1＜0,故答案为：＞．【点评】此题主要考查了二次函数的图象,正确记忆开口大小与a的关系是解题关键．10．用“描点法”画二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象时,列出了如下表格：x…12 3 4…y＝…0﹣1 0 3 …ax2+bx+c那么该二次函数在x＝0时,y＝3．【考点】二次函数的图象．【分析】根据题目提供的满足二次函数解析式的x、y的值,确定二次函数的对称轴,利用抛物线的对称性找到当x＝0时,y的值即可．【解答】解：由上表可知函数图象经过点（1,0）和点（3,0）,∴对称轴为x＝2,∴当x＝4时的函数值等于当x＝0时的函数值,∵当x＝4时,y＝3,∴当x＝0时,y＝3．故答案是：3．【点评】本题考查了二次函数的图象的性质,利用表格找到二次函数的对称点是解决此题的关键．三．解答题（共5小题）11．已知函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1．（1）若这个函数是一次函数,求m的值；（2）若这个函数是二次函数,则m的值应怎样？【考点】一次函数的定义；二次函数的定义．【专题】函数思想．【分析】（1）根据二次项的系数等于零,一次项的系数不等于零,可得方程和不等式,根据解方程和不等式,可得答案；（2）根据二次项的系数不等于零,可得不等式,根据不等式,可得答案．【解答】解：（1）依题意得∴∴m＝0；（2）依题意得m2﹣m≠0,∴m≠0且m≠1．【点评】本题考查了二次函数的定义,二次函数的二次项的系数不等于零是解题关键．12．已知y＝（m﹣1）x是关于x的二次函数,求m的值．【考点】二次函数的定义．【专题】常规题型．【分析】根据二次函数定义可得m2+2m﹣1＝2且m﹣1≠0,再解即可．【解答】解：∵y＝（m﹣1）x是关于x的二次函数,∴m2+2m﹣1＝2,解得m＝1或﹣3,∵m﹣1≠0,∴m≠1,∴m＝﹣3．【点评】此题主要考查了二次函数定义,关键是掌握形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数,a ≠0）的函数,叫做二次函数．13．已知二次函数y＝﹣x2+4x．（1）写出二次函数y＝﹣x2+4x图象的对称轴；（2）在给定的平面直角坐标系中,画出这个函数的图象（列表、描点、连线）；（3）根据图象,写出当y＜0时,x的取值范围．【考点】二次函数的图象；二次函数的性质．【分析】（1）把一般式化成顶点式即可求得；（2）首先列表求出图象上点的坐标,进而描点连线画出图象即可．（3）根据图象从而得出y＜0时,x的取值范围．【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4,∴对称轴是过点（2,4）且平行于y轴的直线x＝2；（2）列表得：x…﹣1012345…y…﹣503430﹣5…描点,连线．（3）由图象可知,当y＜0时,x的取值范围是x＜0或x＞4．【点评】本题考查了二次函数的图象和二次函数的性质,要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来,利用二次函数的图象,从而求出y＜0时,x的取值．14．小明利用函数与不等式的关系,对形如（x﹣x1）（x﹣x2）…（x﹣x n）＞0（n为正整数）的不等式的解法进行了探究．（1）下面是小明的探究过程,请补充完整：①对于不等式x﹣3＞0,观察函数y＝x﹣3的图象可以得到如表格：x的范围x＞3x＜3y的符号+﹣由表格可知不等式x﹣3＞0的解集为x＞3．②对于不等式（x﹣3）（x﹣1）＞0,观察函数y＝（x﹣3）（x﹣1）的图象可以得到如表表格：x的范围x＞31＜x＜3x＜1y的符号+﹣+由表格可知不等式（x﹣3）（x﹣1）＞0的解集为x＞3或x＜1．③对于不等式（x﹣3）（x﹣1）（x+1）＞0,请根据已描出的点画出函数y＝（x﹣3）（x﹣1）（x+1）的图象；观察函数y＝（x﹣3）（x﹣1）（x+1）的图象补全下面的表格：x的范围x＞31＜x＜3﹣1＜x＜1x＜﹣1y的符号+﹣+﹣由表格可知不等式（x﹣3）（x﹣1）（x+1）＞0的解集为x＞3或﹣1＜x＜1．……小明将上述探究过程总结如下：对于解形如（x﹣x1）（x﹣x2）……（x﹣x n）＞0（n为正整数）的不等式,先将x1,x2…,x n按从大到小的顺序排列,再划分x的范围,然后通过列表格的办法,可以发现表格中y的符号呈现一定的规律,利用这个规律可以求这样的不等式的解集．（2）请你参考小明的方法,解决下列问题：①不等式（x﹣6）（x﹣4）（x﹣2）（x+2）＞0的解集为x＞6或2＜x＜4或x＜﹣2．②不等式（x﹣9）（x﹣8）（x﹣7）2＞0的解集为x＞9或x＜8且x≠7．【考点】一次函数的图象；一次函数与一元一次不等式；二次函数的图象．【专题】一元一次不等式(组)及应用；一次函数及其应用；二次函数图象及其性质．【分析】（1）②根据表格中的数据可以直接写出不等式的解集；③根据表格中的数据可以直接写出不等式的解集；（2）①根据小明的方法,可以直接写出该不等式的解集；②根据小明的方法,可以直接写出该不等式的解集．【解答】解：（1）②由表格可知不等式（x﹣3）（x﹣1）＞0的解集为x＞3或x＜1,故答案为：x＞3或x＜1；③图象如右图所示,当﹣1＜x＜1时,（x﹣3）（x﹣1）（x+1）＞0,当x＜﹣1时,（x﹣3）（x﹣1）（x+1）＜0,由表格可知不等式（x﹣3）（x﹣1）（x+1）＞0的解集为x＞3或﹣1＜x＜1,故答案为：+,﹣,x＞3或﹣1＜x＜1；（2）①不等式（x﹣6）（x﹣4）（x﹣2）（x+2）＞0的解集为x＞6或2＜x＜4或x＜﹣2,故答案为：x＞6或2＜x＜4或x＜﹣2；②不等式（x﹣9）（x﹣8）（x﹣7）2＞0的解集为x＞9或x＜8且x≠7,故答案为：x＞9或x＜8且x≠7【点评】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象、一次函数与一元一次不等式,解答本题的关键是明确题意,写出相应的不等式的解集．15．下表给出一个二次函数的一些取值情况：x…01234…y…30﹣103…（1）请在直角坐标系中画出这个二次函数的图象；（2）根据图象说明：当x取何值时,y的值大于0？【考点】二次函数的图象．【专题】常规题型．【分析】（1）先利用描点、连线的方法画出图形；（2）找出函数图象位于x轴上方时,自变量x的范围即可．【解答】解：（1）描点、连线得：（2）由函数图象可知：当x＜1或x＞3时,y＞0．【点评】本题主要考查的是二次函数的图形,数形结合是解题的关键．。

人教版九年级上册数学专题复习(九个专题)专题一：解一元二次方程1、直接开方解法1）$x-6+\sqrt{3}=2\sqrt{2}$解：移项得$x=6-2\sqrt{2}-\sqrt{3}$2）$(x-3)^2=2$解：两边开方得$x-3=\pm\sqrt{2}$，即$x=3\pm\sqrt{2}$ 2、用配方法解方程1）$x+2x-1=0$解：合并同类项得$3x-1=0$，移项得$x=\frac{1}{3}$2）$x-4x+3=0$解：合并同类项得$-3x+3=0$，移项得$x=1$3、用公式法解方程1）$2x^2-7x+3=0$解：根据一元二次方程的求根公式，$x=\frac{7\pm\sqrt{7^2-4\times2\times3}}{4}$，即$x=\frac{1}{2}$或$x=3$2）$x^2-x-1=0$解：同样根据求根公式，$x=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$，即$x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$或$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$4、用因式分解法解方程1）$3x(x-2)=2x-4$解：移项得$3x^2-6x-2x+4=0$，合并同类项得$3x^2-8x+4=0$，将其因式分解为$3(x-2)(x-\frac{2}{3})=0$，即$x=2$或$x=\frac{2}{3}$2）$2x-4=x+5$解：移项得$x=3$5、用十字相乘法解方程1）$x^2-x-90=0$解：将其因式分解为$(x-10)(x+9)=0$，即$x=10$或$x=-9$ 2）$2x^2+x-10=0$解：将其因式分解为$(2x-5)(x+2)=0$，即$x=\frac{5}{2}$或$x=-2$专题二：化简求值1、$\frac{x^2+y^2-2xy}{x-y}$，其中$x=2+1$，$y=2-1$解：将$x$和$y$的值代入得$\frac{(2+1)^2+(2-1)^2-2(2+1)(2-1)}{2+1-(2-1)}=\frac{3}{2}$2、$\frac{4x-6}{x-1}\cdot\frac{x-2}{x-1}$，任选一个数$x$代入求值解：将$x$代入得$\frac{4x-6}{x-1}\cdot\frac{x-2}{x-1}=\frac{4x^2-14x+12}{(x-1)^2}$专题三：根与系数的关系1、已知关于$x$的一元二次方程$x-4x-2k+8=0$有两个实数根$x_1$，$x_2$。

专题12 正多边形和圆（综合题）知识互联网易错点拨知识点01：正多边形的概念各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．细节剖析:判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形).知识点02：正多边形的重要元素1.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．2.正多边形的有关概念(1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．(2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．(4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．3.正多边形的有关计算(1)正ｎ边形每一个内角的度数是；(2)正ｎ边形每个中心角的度数是；(3)正ｎ边形每个外角的度数是.细节剖析:要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形.知识点03：正多边形的性质1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形.2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形.3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n 边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.4.边数相同的正多边形相似。

它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方．5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆细节剖析:（1）各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形；（2）各角相等的圆的外切多边形是圆的外切正多边形.知识点04：正多边形的画法1.用量角器等分圆由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以等分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形.2.用尺规等分圆对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图.①正四、八边形.在⊙O中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份，从而作出正四边形. 再逐次平分各边所对的弧(即作∠AOB的平分线交于E) 就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边形.②正六、三、十二边形的作法.通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在⊙O中，任画一条直径AB，分别以A、B为圆心，以⊙O的半径为半径画弧与⊙O相交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分点.显然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O 的3等分点.同样，在图(3)中平分每条边所对的弧，就可把⊙O 12等分…….细节剖析:画正n边形的方法：（1）将一个圆n等份，（2）顺次连结各等分点.易错题专训一．选择题1．（2022•雅安）如图，已知⊙O的周长等于6π，则该圆内接正六边形ABCDEF的边心距OG 为（）A．3B．C．D．3【易错思路引导】连接OC，OD，由正六边形ABCDEF可求出∠COD＝60°，进而可求出∠COG＝30°，根据30°角的锐角三角函数值即可求出边心距OG的长．【规范解答】解：连接OC，OD，∵正六边形ABCDEF是圆的内接多边形，∴∠COD＝60°，∵OC＝OD，OG⊥CD，∴∠COG＝30°，∵⊙O的周长等于6π，∴OC＝3，∴OG＝3cos30°＝，故选：C．【考察注意点】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、等腰三角形的判定与性质；熟练掌握正六边形的性质是解决问题的关键．2．（2022•游仙区校级二模）如图，在正六边形ABCDEF中，M，N分别为边CD，BC的中点，AN与BM相交于点P，则∠APM的度数是（）A．110°B．120°C．118°D．122°【易错思路引导】根据正六边形的性质可得AB＝BC＝CD，BN＝CM，利用全等三角形的判定与性质可得∠BNP＝∠CMB，然后利用三角形的内角和定理可得答案．【规范解答】解：∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠ABC＝∠BCD＝＝120°，AB＝BC＝CD，∵M，N分别为边CD，BC的中点，∴BN＝CM，∴△ABN≌△BCM（SAS），∴∠BNP＝∠CMB，∵∠CBM＝∠PBN，∴∠BPN＝∠BCD＝120°，∴∠APM＝120°，故选：B．【考察注意点】本题考查了正六边形的性质、全等三角形的性质和判定等知识，通过证三角形全等得到∠BNP＝∠CMB是解决此题的关键．3．（2022•太原一模）如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是（）A．7个B．8个C．9个D．10个【易错思路引导】先求出多边形的每一个内角为108°，可得到∠O＝36°，即可求解．【规范解答】解：∵多边形是正五边形，∴正五边形的每一个内角为：＝108°，∴∠O＝180°﹣（180°﹣108°）×2＝36°，∴正五边形的个数是360°÷36°＝10．故选：D．【考察注意点】本题主要考查圆的基本性质，多边形内角和问题，熟练掌握相关知识点是解题关键．4．（2022•安国市一模）2019年版一元硬币的直径约为22.25mm，则用它能完全覆盖住的正方形的边长最大不能超过（）A．11.125mm B．22.25mm C．mm D．mm【易错思路引导】根据正方形性质得到△AOD为等腰直角三角形，根据正方形和圆的关系得到AC的长度，根据等腰直角三角形的性质求出AD的长度．【规范解答】解：如图所示，∵AC＝BD＝22.25mm，∴AO＝OD＝＝mm．∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD，∴△AOD为等腰直角三角形，∴AD＝AO＝mm．故选：C．【考察注意点】本题考查了正多边形和圆，等腰直角三角形的性质，根据题意画出图形，掌握正多边形和圆的关系，得到△AOD为等腰直角三角形是解题的关键．5．（2022•固安县模拟）如图，两张完全相同的正六边形纸片（边长为2a）重合在一起，下面一张保持不动，将上面一张纸片六边形A'B'C'D'E'F'沿水平方向向左平移a个单位长度，则上面正六边形纸片面积与折线A'﹣B'﹣C扫过的面积（阴影部分面积）之比是（）A．3：1 B．4：1 C．5：2 D．2：1【易错思路引导】求出正六边形和阴影部分的面积即可解决问题．【规范解答】解：正六边形的面积＝6××（2a）2＝6a2，阴影部分的面积＝a•2a＝2a2，∴空白部分与阴影部分面积之比是＝6a2：2a2＝3：1，故选：A．【考察注意点】本题考查正多边形的性质、平移变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．二．填空题6．（2022•雨花台区校级模拟）如图，A、B、C、D、E、F是正n边形的六个连续顶点，AE与CF交于点G，若∠EGF＝30°，则n＝18 ．【易错思路引导】连接CE，用n表示出正n边形的中心角，根据三角形的外角性质列出方程，解方程求出n．【规范解答】解：连接CE，正n边形的中心角的度数为：，则∠ECF＝×，∠AEC＝，∵∠EGF＝30°，∴∠ECF+∠AEC＝30°，∴×+＝30°，解得：n＝18，故答案为：18．【考察注意点】本题考查的是正多边形和圆，掌握正多边形的中心角的计算公式、三角形的外角性质是解题的关键．7．（2022•长春）跳棋是一项传统的智力游戏．如图是一副跳棋棋盘的示意图，它可以看作是由全等的等边三角形ABC和等边三角形DEF组合而成，它们重叠部分的图形为正六边形．若AB＝27厘米，则这个正六边形的周长为54 厘米．【易错思路引导】根据对称性和周长公式进行解答即可．【规范解答】解：由图象的对称性可得，AM＝MN＝BN＝AB＝9（厘米），∴正六边形的周长为9×6＝54（厘米），故答案为：54．【考察注意点】本题考查等边三角形的性质，正多边形与圆，理解图形的对称性以及等边三角形的判定是解决问题的前提．8．（2022•陈仓区二模）如图，以正五边形ABCDE的对角线BE为边，作正方形BEFG，使点A 落在正方形BEFG内，则∠ABG的度数为54°．【易错思路引导】根据正五边形的性质可求出角A的度数，再根据等腰三角形以及三角形的内角和可求出∠ABE，再根据正方形的性质求出∠ABG即可．【规范解答】解：∵正五边形ABCDE，∴∠BAE＝＝108°，AB＝BC＝CD＝DE＝AE，∴∠ABE＝∠AEB＝36°，又∵四边形BEFG是正方形，∴∠EBG＝90°，∴∠ABG＝90°﹣36°＝54°，故答案为：54°．【考察注意点】本题考查正五边形，正方形以及等腰三角形，掌握正五边形、正方形、等腰三角形的性质是正确计算的前提．9．（2022•沙湾区模拟）已知图标（如图）是由圆的六个等分点连接而成，若圆的半径为1，则阴影部分的面积等于．【易错思路引导】根据题意得到图中阴影部分的面积＝S△ABC+3S△ADE，代入数据即可得到结论．【规范解答】解：如图，过点A作AH⊥BC于点H，交DE于点F．∵如图是由圆的六等分点连接而成，∴△ABC与△ADE是等边三角形，∵圆的半径为1，∴AH＝，BC＝AB＝，∴AE＝，AF＝，∴图中阴影部分的面积＝S△ABC+3S△ADE＝××+×××3＝，故答案为：．【考察注意点】本题考查了正多边形与圆，等边三角形的性质，熟记正多边形与圆的性质是解题的关键．10．（2022•雁塔区校级模拟）在正六边形ABCDEF中，对角线AC，BD相交于点M，则的值为 2 ．【易错思路引导】根据正六边形的性质可得∠BCD＝∠ABC＝120°，AB＝BC＝CD，从而利用等腰三角形的性质可得∠CBD＝∠BCA＝30°，进而求出∠ABM＝90°，BM＝CM，然后在Rt△ABM中，进行计算即可解答．【规范解答】解：∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠BCD＝∠ABC＝120°，AB＝BC＝CD，∴∠CBD＝∠BDC＝30°，∠BAC＝∠BCA＝30°，∴∠ABM＝∠ABC﹣∠CBD＝90°，∠CBD＝∠BCA＝30°，∴BM＝CM，在Rt△ABM中，∠BAC＝30°，∴AM＝2BM，∴AM＝2CM，∴＝2，故答案为：2．【考察注意点】本题考查了等腰三角形的判定，正多边形和圆，多边形的内角与外角，含30度角的直角三角形，熟练掌握正六边形的性质是解题的关键．11．（2022•河北二模）如图，将几个全等的正八边形进行拼接，相邻的两个正八边形有一条公共边，围成一图后中间形成一个正方形．设正方形的边长为1，则该图形外轮的周长为20 ；若n个全等的正多边形中间围成的图形是正三角形，且相邻的两个正多边形有一条公共边，设正三角形的边长为1，则该图形外轮廓的周长是27 ．【易错思路引导】根据拼图，由“外围”的边长进行计算即可．【规范解答】解：由拼图可知，每个正八边形有5条边在“外围”，因此周长为5×4＝20，若n个全等的正多边形中间围成的图形是正三角形，且相邻的两个正多边形有一条公共边，可知这个正多边形为正十二边形，如图，则“外围”的周长为（12﹣3）×3＝27，故答案为：20，27．【考察注意点】本题考查正多边形与圆，理解“外围”的意义是正确解答的前提，得出外围正多边形的边数是解决问题的关键．12．（2021秋•西湖区校级月考）如图，⊙O的内接正六边形，点M，N分别为AF，BC边的中点，直线MN与⊙O交于点PQ，若AB＝1，则PQ＝．【易错思路引导】如图，连接CF，OA，OB，OP，过点O作OJ⊥AB于点J，交PQ于点K．利用勾股定理求出PK，再利用垂径定理，可得结论．【规范解答】解：如图，连接CF，OA，OB，OP，过点O作OJ⊥AB于点J，交PQ于点K．∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠AOB＝60°，CF∥AB，CF经过圆心O，∵CN＝BN，AM＝MF，∴MN∥AB∥CF，∴OK＝JK，∵OA＝OB＝AB＝1，∴OJ＝，∴OK＝，∵AB∥PQ，OJ⊥AB，∴OK⊥PQ，∴PK＝QK＝＝＝，∴PQ＝2PK＝．故答案为：．【考察注意点】本题考查正多边形与圆，解直角三角形，垂径定理，梯形的中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．13．（2020秋•海曙区期末）如图，正六边形ABCDEF中，G，H分别是边AF和DE上的点，GF ＝AB＝2，∠GCH＝60°，则线段EH长．【易错思路引导】作GP∥AB，交BC于点P，AN∥BC交GP于点N，可得四边形ABPN是平行四边形，根据六边形ABCDEF是正六边形，可得△ANG是等边三角形，然后证明△CPG∽△HDC，对应边成比例即可解决问题．【规范解答】解：如图，作GP∥AB，交BC于点P，AN∥BC交GP于点N，∴四边形ABPN是平行四边形，∴PN＝AB＝6，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠BAF＝∠B＝∠BCD＝∠D＝120°，AF＝AB＝BC＝CD＝6，∴∠BAN＝∠NAG＝∠AGN＝60°，∠CPG＝∠D＝120°，∴△ANG是等边三角形，∴NG＝AN＝AG＝6﹣2＝4，∴PG＝NG+PN＝4+6＝10，∵∠PCG+∠DCH＝∠BCD﹣∠GCH＝120°﹣60°＝60°，∠DHC+∠DCH＝180°﹣∠D＝180°﹣120°＝60°，∴∠PCG＝∠DHC，∵∠CPG＝∠D，∴△CPG∽△HDC，∴＝，∵PC＝BC﹣BP＝6﹣4＝2，PG＝10，CD＝6，∴DH＝，∴EH＝ED﹣DH＝6﹣＝．故答案为：．【考察注意点】本题考查了正多边形和圆，解决本题的关键是综合运用正多边形和圆，平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质．14．（2017•浦东新区校级自主招生）如图，边长为5的圆内接正方形ABCD中，P为CD的中点，连接AP并延长交圆于点E，则DE的长为．【易错思路引导】连接CE，作出EF⊥CD，运用相似三角形的性质，得出EF，PF的长，再根据勾股定理即可得出结论．【规范解答】解：连接CE，作EF⊥PF．∵∠DAP＝∠PCE，∠APD＝∠CPE，∴△APD∽△CPE，∴＝，∵P为边CD的中点∴PD＝PC＝，PA＝＝，＝，∴PE＝，∵FE∥AD∴△APD∽△EPF，∴＝，∴＝，∴PF＝，∴EF＝＝1，∴DE＝＝＝，故答案为：．【考察注意点】本题考查的是正多边形的圆及相似三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形是解答此题的关键．三．解答题15．（2021秋•咸宁月考）如图，正五边形ABCDE，连接对角线AC，BD，设AC与BD相交于O．（1）求证：AO＝CD；（2）判断四边形AODE的形状，并说明理由．【易错思路引导】（1））根据正五边形的性质可知AB＝BC＝CD＝DE＝AE，∠ABC＝∠BAE＝108°，AE∥BD，所以∠ABO＝72°，∠BAO＝（180°﹣108°）＝36°，因此∠AOB ＝180°﹣72°﹣36°＝72°＝∠ABO，推出AB＝AO，则CD＝AO；（2）根据圆周角定理求出∠BDE、∠E的度数，进而证明DF∥AE；证明AF∥DE，AE＝DE，即可解决问题．【规范解答】解：（1）∵五边形是正五边形，∴AB＝BC＝CD＝DE＝AE，∠ABC＝∠BAE＝108°，AE∥BD，∴∠ABO＝72°，∠BAO＝（180°﹣108°）＝36°，∴∠AOB＝180°﹣72°﹣36°＝72°＝∠ABO，∴AB＝AO，∴CD＝AO；（2）四边形AODE是菱形；理由如下：∵正五边形ABCDE内接于⊙O，∴∠BDE＝＝72°，∠E＝×360°＝108°，∴∠BDE+∠E＝180°，DO∥AE；同理可证：AO∥DE，而AE＝DE，∴四边形AODE是菱形．【考察注意点】该题主要考查了正多边形和圆的性质及其应用问题；解题的关键是：深入分析、大胆猜测、合情推理、科学论证．16．（2021•云岩区模拟）如图，正方形ABCD内接于⊙O，P为上的一点，连接DP，CP．（1）求∠CPD的度数；（2）当点P为的中点时，CP是⊙O的内接正n边形的一边，求n的值．【易错思路引导】（1）连接OD，OC，根据正方形ABCD内接于⊙O，结合圆周角定理可得∠CPD；（2）结合正多边形的性质以及圆周角定理得出∠COP的度数，进而得出答案．【规范解答】解：（1）连接OD，OC，∵正方形ABCD内接于⊙O，∴∠DOC＝90°．∴；（2）连接PO，OB，∵正方形ABCD内接于⊙O，∴∠COB＝90°，∵点P为BC的中点，∴＝，∴，∴n＝360÷45＝8．【考察注意点】此题主要考查了正多边形和圆以及圆周角定理、正方形的性质，正确掌握正方形的性质是解题关键．17．（2019秋•长乐区期中）如图，正方形ABCD内接于⊙O，过O点作边AD的垂线交于E 点，连接BE，求∠ABE的度数．【易错思路引导】求出圆内接正方形的中心角度数∠AOD，再根据垂径定理求出∠AOE，由圆周角定理得出答案．【规范解答】解：如图，连接OA、OD，∵四边形ABCD是圆内接正方形，∴∠AOD＝＝90°，∵OE⊥AD，∴＝，∴∠AOE＝∠AOD＝×90°＝45°，∴∠ABE＝∠AOE＝×45°＝22.5°．【考察注意点】本题考查正多边形和圆，圆周角定理以及垂径定理，求出圆内接正方形的中心角度数是解决问题的关键．18．（2021秋•日喀则市月考）如图，正方形ABCD是半径为R的⊙O内接四边形，R＝6．求正方形ABCD的边长和边心距．【易错思路引导】过点O作OE⊥BC，垂足为E．解直角三角形求出BC，OE即可．【规范解答】解：过点O作OE⊥BC，垂足为E．∵四边形ABCD为⊙O的内接正方形，∴∠BOC＝＝90°，∠OBC＝45°，OB＝6，∴BE＝OE．在Rt△OBE中，∠BEO＝90°，由勾股定理可得OE＝BE＝，∴BC＝2BE＝．即半径为6的圆内接正方形ABCD的边长为，边心距为．【考察注意点】本题考查正多边形与圆，正方形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造直角三角形解决问题．19．（2022•包河区校级二模）如图，正方形ABCD是⊙O的内接正方形，E在边AB上，F在DC的延长线上，且∠F＝∠BEC，BF交⊙O于点G，连接DG，交BC于点H．（1）求证：四边形BECF是平行四边形；（2）求证：DH＝CE．【易错思路引导】（1）证明CF∥BE，BF∥EC可得结论；（2）证明△DCH≌△CBE（ASA），可得结论．【规范解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥DF，∴∠DCE＝∠CEB，∵∠F＝∠BEC，∴∠F＝∠DCE，∴BF∥CE，∴四边形BECF是平行四边形；（2）∵BF∥EC，∴∠CBF＝∠BCE，∵∠CDH＝∠CBG，∴∠CDH＝∠BCE，∵四边形ABCD是正方形，∴CD＝CB，∠DCH＝∠CBE＝90°，在△DCH和△CBE中，，∴△DCH≌△CBE（ASA），∴DH＝CE．【考察注意点】本题考查正多边形与圆，正方形的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．20．（2022•金华）如图1，正五边形ABCDE内接于⊙O，阅读以下作图过程，并回答下列问题：作法如图2．1．作直径AF．2．以F为圆心，FO为半径作圆弧，与⊙O交于点M，N．3．连结AM，MN，NA．（1）求∠ABC的度数．（2）△AMN是正三角形吗？请说明理由．（3）从点A开始，以DN长为半径，在⊙O上依次截取点，再依次连结这些分点，得到正n边形，求n的值．【易错思路引导】（1）根据正五边形内角和，可以计算出∠ABC的度数；（2）先判断，然后根据题意和图形说明理由即可；（3）根据题意和（2）中的结果，计算出∠NOD的度数，然后即可计算出n的值．【规范解答】解：（1）∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠ABC＝＝108°，即∠ABC＝108°；（2）△AMN是正三角形，理由：连接ON，NF，如图，由题意可得：FN＝ON＝OF，∴△FON是等边三角形，∴∠NFA＝60°，∴∠NMA＝60°，同理可得：∠ANM＝60°，∴∠MAN＝60°，∴△MAN是正三角形；（3）连接OD，如图，∵∠AMN＝60°，∴∠AON＝120°，∵∠AOD＝＝144°，∴∠NOD＝∠AOD﹣∠AON＝144°﹣120°＝24°，∵360°÷24°＝15，∴n的值是15．【考察注意点】本题考查正多边形和圆、等边三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答。

中考数学九年级上册专题训练50题含答案一、单选题1．已知方程x 2+2x ﹣3=0的解是x 1=1，x 2=﹣3，则另一个方程（x +3）2+2（x +3）﹣3=0的解是（ ）A ．x 1=﹣1，x 2=3B ．x 1=1，x 2=﹣3C ．x 1=2，x 2=6D ．x 1=﹣2，x 2=﹣62．用配方法解方程2430x x --=，下列配方正确的是（ ）A ．()227x -=B ．()227x +=C ．()223x -=D ．()221x -= 3．分式()()2234x x x ++-的值为0，则( )A ．x ＝－3B ．x ＝－2C ．x ＝－3或x ＝－2D ．x ＝±24．如图，四边形ABCD 内接于O ，DA DC =，若55CBE ∠=︒，则DAC ∠的度数为（ ）A ．70︒B ．67.5︒C ．62.5︒D ．65︒ 5．方程()()()1222x x x -+=+的根是（ ）A ．1，﹣2B ．3，﹣2C ．0，﹣2D ．1 6．下列一元二次方程中有两个不相等的实数根的是（ ）A ．240x +=B ．2690x x -+=C ．23450x x --=D ．2340x x -+= 7．下面关于两个图形相似的判断：①两个等腰三角形相似；①两个等边三角形相似；①两个等腰直角三角形相似；①两个正方形相似；①两个等腰梯形相似．其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 8．如图，线段AB 的两个端点坐标分别为A （2，2）、B （4，2），以原点O 为位似中心， 将线段AB 缩小后得到线段DE ， 若1DE =，则端点E 的坐标为（ ）A ．（1，1）B ．（1，2）C ．（2，1）D ．（2，2） 9．一元二次方程22560x x -+=的根的情况为（ ）A ．无实数根B ．有两个不等的实数根C ．有两个相等的实数根D ．不能判定10．如果，正方形ABCD 的边长为2cm ，E 为CD 边上一点，①DAE=30°，M 为AE 的中点，过点M 作直线分别与AD 、BC 相交于点P 、Q ，若PQ=AE ，则PD 等于（ ）A ．23 cm B cm C ．43cm D ．23cm 或43cm 11．一元二次方程﹣x 2+2x ＝﹣1的两个实数根为α，β，则α+β+α•β的值为（ ） A ．1 B ．﹣3 C ．3 D ．﹣112．若x ＝-2是关于x 的一元二次方程x 2＋32ax -a 2＝0的一个根，则a 的值为（ ）A ．1或-4B ．-1或-4C ．-1或4D ．1或413．下列关于x 的方程中，一定是一元二次方程的为（ ）A ．20ax bx c ++=B ．222(3)x x -=+C ．()210k x -=D ．210x -= 14．某一商人进货价便宜8%，而售价不变，那么他的利润率（按进货价而定）可由目前x 增加到（x +10%），则x 是（ ）A ．12%B ．15%C ．30%D ．50%15．已知关于x 的一元二次方程()244610ax a x a -+++=有实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．94a ≥B ．98a ≥-且0a ≠C ．94a ≤且0a ≠D ．98a ≤且0a ≠ 16．我国古代数学著作《九章算术》有题如下：“今有邑方二百步，各中开门．出东门一十五步有木．问出南门几何步而见木？”大意是，今有正方形小城ABCD 的边长BC 为200步，如图，各边中点分别开一城门，走出东门E 15步处有树Q ．问出南门F 多少步能见到树Q （即求从点F 到点P 的距离）？（注：步是古代的计量单位）（ ）A ．23663步 B ．24663步 C ．25663 D ．26663步 17．以下说法：①若直角三角形的两边长为3与4，则第三次边长是5；①两边及其第三边上的中线对应相等的两个三角形全等；①长度等于半径的弦所对的圆周角为30°①反比例函数y=﹣2x ，当＞0时y 随x 的增大而增大， 正确的有（ ）A ．①①B ．①①C ．①①D ．①① 18．如图，正方形ABCD 中，点E 在边BC 上，BE EC =，将DCE ∆沿DE 对折至DFE ∆，延长EF 交边AB 于点G ，连接DG ，BF ．给出以下结论：①DAG DFG ∆≅∆；①2BG AG =；①EBF DEG ∆∆；①23BFC BEF S S ∆∆=．其中所有正确结论的个数是（ ）A．1B．2C．3D．419．如图，①ABD内接于圆O，①BAD=60°，AC为圆O的直径．AC交BD于P点且PB=2，PD=4，则AD的长为()A．B．C．D．420．如图，四边形ABCD是边长为1的菱形，①ABC＝60°．动点P第1次从点A处开始，沿以B为圆心，AB为半径的圆弧运动到CB延长线，记为点P1；第2次从点P1开始，沿以C为圆心，CP1为半径的圆弧运动到DC的延长线，记为点P2；第3次从P2开始，沿以D为圆心，DP2为半径的圆弧运动到AD的延长线，记为点P3；第4次从点P3开始，沿以A为圆心，AP3为半径的圆弧运动到BA的延长线，记为点P4；…．．如此运动下去，当点P运动到P20时，点P所运动的路程为（）A．4303πB．3103πC．2103πD．1053π二、填空题21．计算：tan245°－1＝_______．22．国家对药品实施价格调整，某药品经过两次降价后，每盒的价格由原来的100元降至81元，那么平均每次降价的百分率是________．23．如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若18ADB ∠=︒，则这个正多边形的边数为_______．24．已知一个扇形的面积为9π，其圆心角为90°，则扇形的弧长为_____． 25．在平行四边形ABCD 中，E 为靠近点D 的AD 的三等分点，连结BE ，交AC 于点F ，AC ＝12，则AF 为_____．26．6cm 长的弦将圆分成1:2的两条弧,则圆的直径为___________．27．已知一元二次方程260x x c -+=的一个根为12x =，另一根2x =________，c =________．28．如图，A 是半径为1的O 外一点，2OA =，AB 是O 的切线，B 是切点，弦BC 平行于OA ，联结AC ，则阴影部分面积为________．29．关于x 的一元二次方程(a －2)x 2+5x +a 2－2a =0的一个根是0，则a =____． 30．如图，一次函数y =﹣12x +a （a ＞0）的图像与坐标轴交于A ，B 两点，以坐标原点O 为圆心，半径为2的①O 与直线AB 相离，则a 的取值范围是______．31．如图，梯形ABCD 中，AD BC ∥，对角线AC BD 、相交于点O ，如果BCD △的面积是ABD △面积的2倍，那么BOC 与BDC 的面积之比是 __.32．如图，AB 与①O 相切于B 点，AC 经过圆心O ，①A ＝30°，AB ＝3，则劣弧BC 的长为_____．33．如图，矩形ABCD 中，AB =1，AD A 为圆心，AD 的长为半径作弧交BC 边于点E ，则图中DE 的弧长是_______.34．如图，直线l 1①l 2①l 3，直线AC 分别交l 1，l 2，l 3于点A ，B ，C ；直线DF 分别交l 1，l 2，l 3于点D ，E ，F ．AC 与DF 相交于点H ，且AH=2，HB=1，BC=5，则DE EF的值为________35．如图，已知ABC 和ADE 均为等边三角形，点D 在BC 边上，DE 与AC 相交于点F ，如果AB 9=，BD 3=，那么CF 的长度为________．36．一个扇形的圆心角为120︒，面积为23cm π，则此扇形的半径是__________．37．在正方形ABCD 中，AB =E 为BC 中点，连接AE ，点F 为AE 上一点，2,FE FG AE =⊥交DC 于G ，将GF 绕着G 点逆时针旋转使得F 点正好落在AD 上的点H 处，过点H 作HN HG ⊥交AB 于N 点，交AE 于M 点，则MNF S ∆=________．38．对于一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0），下列说法：①a +c =0，方程ax 2+bx +c =0，有两个不相等的实数；①若方程ax 2+bx +c =0有两个不相等的实根．则方程cx 2+bx +a =0也一定有两个不相等的实根；①若c 是方程ax 2+bx +c =0的一个根，则一定有ac +b +1=0成立；①若m 是方程ax 2+bx +c =0的一个根，则一定有b 2-4ac =（2am +b ）2成立，其中正确的结论是_____．（把你认为正确结论的序号都填上）39．将一个较短直角边1AB =的直角三角形纸片沿斜边上的高线AD 分割成两个小的直角三角形（如图1），将得到的两个直角三角形按图2叠放（A D ''在DC 边上），当A '与点D 重合时，图3中两个阴影部分的面积相等．（1）图3中有_____个等腰三角形．（2）记两个直角三角形重叠部分的面积为S ，则S 的取值范围是_____．40．如图，定直线l 经过圆心O ，P 是半径OA 上一动点，AC l ⊥于点C ，当半径OA 绕着点O 旋转时，总有OP OC =，若OA 绕点O 旋转60︒时，P 、A 两点的运动路径长的比值是__．三、解答题41．宝鸡国金中心是宝鸡的地标建筑．如图，某数学兴趣小组用无人机测量宝鸡国金中心AB的高度，在飞行高度为300米的无人机上的点P处测得大楼顶部B处的俯角为33°，大楼底部A处的俯角为63.3°，求宝鸡国金中心AB的高．（参考数据：︒≈，tan63.3 2.00tan330.65︒≈）42．用适当的方法解下列方程．（1）（2x﹣1）2=9（2）x2-4x-5=0（配方法）43．如图，点P是①O内的一点，请用尺规作图法，在①O内作一条弦MN，使得点P 为弦MN的中点．（不写作法，保留作图痕迹）44．如图，已知在①ABC中，AD是①BAC平分线，点E在AC边上，且①AED=①ADB．求证：（1）①ABD①①ADE；（2）AD2=AB·AE.︒+︒-45．计算：2cos30tan4546．已知一元二次方程220x bx +-=．(1)当b ＝1时，求方程的根．(2)若b 为任意实数，请判断方程根的情况，并说明理由．47．已知在Rt ABC 中，90ABC ∠=，30A ∠=，点P 在BC 上，且90MPN ∠=．()1当点P 为线段AC 的中点，点M 、N 分别在线段AB 、BC 上时（如图1）．过点P 作PE AB ⊥于点E ，请探索PN 与PM 之间的数量关系，并说明理由；()2当PC =，①点M 、N 分别在线段 AB 、BC 上，如图2时，请写出线段PN 、PM 之间的数量关系，并给予证明．①当点M 、K 分别在线段AB 、BC 的延长线上，如图3时，请判断①中线段PN 、PM 之间的数量关系是否还存在．（直接写出答案，不用证明）48．（1）模型探究：如图1，D 、E 、F 分别为ABC ∆三边BC 、AB 、AC 上的点，且B C EDF α∠=∠=∠=，BDE ∆与CFD ∆相似吗？请说明理由.（2）模型应用：ABC ∆为等边三角形，其边长为8，E 为边AB 上一点，F 为射线AC 上一点，将AEF ∆沿EF 翻折，使点A 落在射线CB 上的点D 处，且2BD =. ①如图2，当点D 在线段BC 上时，求AE AF的值；①如图3，当点D落在线段CB的延长线上时，求BDE∆与CFD∆的周长之比.49．如图，现有一张宽为12 cm的练习纸，相邻两条格线间的距离均为0.6 cm.调皮的小聪在纸的左上角用印章印出一个矩形卡通图案，图案的顶点恰好在四条格线上，已知sinα＝3 5 .(1)求一个矩形卡通图案的面积；(2)若小聪在第一个图案的右边以同样的方式继续盖印，最多能印几个完整的图案？50．如图，△ABC内接于①O，点D在①O外，①ADC＝90°，BD交①O于点E，交AC 于点F，①EAC＝①DCE，①CEB＝①DCA，CD＝6，AD＝8．（1）求证：AB①CD；（2）求证：CD是①O的切线；（3）求tan①ACB的值．参考答案：1．D【分析】根据已知方程的解得出x +3=1，x +3=﹣3，求出两个方程的解即可．【详解】解：①方程x 2+2x ﹣3=0的解是x 1=1，x 2=﹣3，①方程（x +3）2+2（x +3）﹣3=0中x +3=1或﹣3，解得：x =﹣2或﹣6，即x 1=﹣2，x 2=﹣6，故选：D ．【点睛】本题考查了解一元二次方程，换元法解一元二次方程，能根据方程的解得出x +3=1，x +3=﹣3，是解此题的关键．2．A【分析】方程移项后，两边同时加上4，变形即可得到结果．【详解】方程移项得 243x x -=方程两边同时加上4，得 24434x x -+=+即2(2)7x -=故选：A ．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 3．A【分析】分式的值为0时，需满足分子等于0，且分母不等于0，即可求解．【详解】解：①分式()()2234x x x ++-的值为0，①()()230x x ++=且240x -≠，解得3x =-，故选：A ．【点睛】本题考查分式值为0的条件，需满足分子等于0，且分母不等于0．4．C【分析】根据圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角可求得①D=①CBE=55°，再根据等腰三角形的性质求解即可．【详解】解：①四边形ABCD 内接于O ，55CBE ∠=︒，①①D =①CBE=55°，①DA DC =，①①DAC =1805562.52︒-︒=︒， 故选：C ．【点睛】本题考查圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角这一性质是解答的关键．5．B【分析】先移项，然后提取公因式计算求解即可．【详解】解：()()()1222x x x -+=+移项得：()()()12220x x x -+-+=()()230+-=x x解得12x =-，23x =故选B ．【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程．解题的关键在于对提公因式法的熟练掌握．6．C【分析】根据一元二次方程根的判别式即可进行解答．【详解】解：A 、240414160b ac -=-⨯⨯=-<，原方程无实数根；不符合题意； B 、24364190b ac -=-⨯⨯=，原方程有两个相等的实数根；不符合题意；C 、24=164?3?(5)=76>0b ac ---，原方程有两个不相等的实数根；符合题意；D 、24941470b ac -=-⨯⨯=-<，原方程无实数根；不符合题意；故选：C ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握240b ac ->时，方程有两个不相等的实数根；240b ac 时，方程有两个相等的实数根；240b ac -<时，方程无实数根．7．C【分析】根据相似图形的定义，结合图形，对选项一一分析，利用排除法求解．【详解】解：①两个等腰三角形顶角不一定相等，故不一定相似；①两个等边三角形，角都是60°，故相似；①两个等腰直角三角形，都有一个直角和45°的锐角，故相似．①两个正方形，对应角相等，对应边成比例，故相似；①两个等腰梯形不一定对应角相等，对应边成比例，故不相似．①所以共有3个一定相似，故选：C ．【点睛】本题考查的是相似形的定义，联系图形，即图形的形状相同，但大小不一定相等．正确理解相似形的概念是解题的关键．8．C【详解】将线段AB 缩小后得到线段DE ， 若1DE ，说明DE 是原来的12，位似比是12，①D （1，1），①E 的坐标是（2，1），故本题选C ．9．A【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．【详解】解：①Δ＝（−5）2−4×2×6＝-23＜0，①方程无实数根．故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的判别式Δ＝b 2−4ac ：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．10．D【详解】根据题意画出图形，过P 作PN①BC ，交BC 于点N ，①四边形ABCD 为正方形，①AD=DC=PN ，在Rt①ADE 中，①DAE=30°，AD=2cm ，①tan30°=DE AD ，即，根据勾股定理得：，①M 为AE 的中点，①AM=12， 在Rt①ADE 和Rt①PNQ 中，AD PN AE PQ =⎧⎨=⎩， ①Rt①ADE①Rt①PNQ （HL ），①DE=NQ ，①DAE=①NPQ=30°，①PN①DC ，①①PFA=①DEA=60°，①①PMF=90°，即PM①AF ，在Rt①AMP 中，①MAP=30°， ①AP=4cos303AM =︒cm ， 所以PD=2﹣43=43或23． 故选D ．11．A【分析】先把一元二次方程化成一般形式，再根据根与系数的关系求得α+β＝2，α•β＝﹣1，将其代入代数式即可求值．【详解】解：整理得，﹣x 2+2x +1＝0，x 2﹣2x ﹣1＝0，①此一元二次方程的两个实数根为α，β，①α+β＝2、αβ＝﹣1，①α+β+α•β＝2﹣1＝1.故选A ．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系.将一元二次方程化成一般形式并牢记一元二次方程根与系数的关系式是解题的关键．12．A【详解】解：①x =-2是关于x 的一元二次方程22302x ax a +-=的一个根， ①（-2）2+32a ×（-2）-a 2=0，即a 2+3a -4=0， 整理，得（a +4）（a -1）=0，解得 a 1=-4，a 2=1．即a 的值是1或-4．故选：A ．【点睛】一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．13．D【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．【详解】解：A 、方程二次项系数可能为0，故错误；B 、化简后方程不含二次项，故错误；C 、方程二次项系数可能为0，故错误；D 、符合一元二次方程的定义，正确，故选D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 14．B【详解】解：设进价是1，则，x +10%=()()11%118%18%x ⨯+-⨯--.解得x =15%，故选B.15．B【详解】①一元二次方程()244610ax a x a -+++=有实数根，①①=[﹣(4a +6)]2－4a ×4(a +1)≥0，且a ≠0， 解得：98a ≥-且0a ≠. 故选B.【点睛】本题主要考查根的判别式，解此题的关键在于利用根的判别式得到关于a 的不等式，然后解不等式即可得到答案.16．D【分析】证明①CPF ①①QCE ，利用相似三角形的性质得10010015PF =，然后利用比例性质可求出CK 的长．【详解】解：CE ＝100，CF ＝100，EQ ＝15，①QE ①CF ，①①PCF ＝①Q ，而①PFC ＝①QEC ，①①PCF ①①CQE ， ①PF CF CE QE=， 即10010015PF =， ①PF ＝26663（步）； 答：出南门F 26663步能见到树Q ， 故选：D ．【点睛】本题考查了相似三角形的应用：利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求得结论．17．C【详解】试题分析：分别利用勾股定理、全等三角形的判定、圆周角定理及反比例函数的性质判断：①若直角三角形的两边长为3与4，则第三次边长是5，故错误；①两边及其第三边上的中线对应相等的两个三角形全等，正确；①长度等于半径的弦所对的圆周角为30°或150°，故错误；①反比例函数y=﹣2x，当＞0时y 随x 的增大而增大，正确， 故选C ． 考点：1、反比例函数的性质；2、全等三角形的判定；3、勾股定理；4、圆周角定理 18．B【分析】根据正方形的性质和折叠的性质可得AD ＝DF ，①A ＝①GFD ＝90°，于是根据“HL”判定Rt △ADG①Rt △FDG ，可判断①的正误；设正方形ABCD 的边长为a ，AG ＝FG ＝x ，BG ＝a−x ，根据勾股定理得到x ＝13a ，得到BG ＝2AG ，故①正确；根据已知条件得到△BEF 是等腰三角形，易知△GED 不是等腰三角形，于是得到△EBF 与△DEG 不相似，故①错误；连接CF ，根据三角形的面积公式得到S △BFC ＝2S △BEF ．故①错误．【详解】解：如图，由折叠和正方形性质可知，DF ＝DC ＝DA ，①DFE ＝①C ＝90°， ①①DFG ＝①A ＝90°，在Rt △ADG 和Rt △FDG 中，AD DF DG DG⎧⎨⎩＝＝， ①Rt △ADG①Rt △FDG （HL ），故①正确；设正方形ABCD 的边长为a ，AG ＝FG ＝x ，BG ＝a−x ，①BE ＝EC ，①EF ＝CE ＝BE ＝12a①GE=12a+x由勾股定理得：EG 2＝BE 2＋BG 2，即：(12a+x)2=(12a)2+(a-x)2解得：x ＝13 ①BG ＝2AG ，故①正确；①BE＝EF，①①BEF是等腰三角形，易知△GED不是等腰三角形，①①EBF与△DEG不相似，故①错误；连接CF，①BE＝CE，BC，①BE＝12①S△BFC＝2S△BEF．故①错误，综上可知正确的结论的是2个．故选：B．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、图形的折叠变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的面积计算，有一定的难度．19．B【分析】连接DO并延长交①O于E，连接BE，由DE是①O的直径，可得①EBD=90°，由圆周角定理可得①BED=①BAD=60°，继而得①BDE=30°，可求得BD、DE长，进而可得△OPD①△BED，从而可得①POD=①EBD=90°，再根据勾股定理即可求得结论.【详解】连接DO并延长交①O于E，连接BE，①DE是①O的直径，①①EBD=90°，①①BED=①BAD=60°，①①EDB=30°，①DE=2BE，①PB=2，PD=6，①BD=6，①BD2+BE2=DE2，①OD BD ==PD DE = ①OD PD BD DE =， 又①①ODP=①BDE ，①①ODP①△BDE ，①①POD=①EBD=90°，=故选B.【点睛】本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理等，正确添加辅助线、熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.20．B【分析】利用弧长公式计算即可解决问题．【详解】由题意：点P 所运动的路程 ＝1201602180180ππ⋅⋅++1203180π⋅+ 604180π⋅+ 1205180π⋅+…+6020180π⋅ ＝120180π（1+3+5+…+19）+60180π（2+4+…+2+20） ＝23π•1192+×10+3π•2202+×10 ＝2003π+ 1103π ＝3103π， 故选：B ．【点睛】本题考查菱形的性质，弧长公式等知识，理解题意，灵活运用所学知识是解题的关键．21．0【分析】根据特殊角的锐角三角函数值即可求得结果．【详解】解：tan245°－1＝12－1＝0．故答案为：0【点睛】本题是特殊角的锐角三角函数值的基础应用题，在中考中比较常见，一般以选择题、填空题形式出现．22．10%【分析】降低后的价格=降低前的价格×（1-降低率），如果设平均每次降价的百分率是x，则第一次降低后的价格是100（1-x），那么第二次后的价格是100（1-x）2，即可列出方程求解．【详解】解：设平均每次降价的百分率为x，依题意列方程：100（1-x）2=81，解方程得x1=0.1=10%，x2=1.9（舍去）．故平均每次降价的百分率为10%．故答案为10%【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．23．10【分析】连接AO,BO，根据圆周角定理得到①AOB=36°，根据中心角的定义即可求解．【详解】如图，连接AO,BO，①①AOB=2①ADB=36°①这个正多边形的边数为36036=10故答案为：10．【点睛】此题主要考查正多边形的性质，解题的关键是熟知圆周角定理．24．3π【分析】设扇形的半径为r，利用扇形的面积公式求出r＝6，然后根据弧长公式计算扇形的弧长．【详解】解：设扇形的半径为r ， 根据题意得2909360r ，解得r ＝6， 所以扇形的弧长＝9063180ππ⨯=． 故答案为3π． 【点睛】本题考查了扇形面积及弧长的计算，熟练掌握扇形面积公式和弧长公式是解题关键．25．245【分析】由题意易得AD ＝BC ，AD ①BC ，则有AE ＝23AD ＝23BC ，进而可得AEF CBF ∽△△，然后可得23AF AE FC BC ==，则问题可求解． 【详解】解：在ABCD 中，AD ＝BC ，AD ①BC ，①E 为AD 的三等分点，①AE ＝23AD ＝23BC ，①AD ①BC ，①AEF CBF ∽△△， ①23AF AE FC BC ==， ①AC ＝12，①AF ＝2241255⨯=； 故答案为：245． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．26．【分析】如图，过圆心O 作OA①BC 于点E ，连接OB ，OC ，根据垂径定理可得BE=CE=3cm ，再根据题意可得①BOA=60°，即①OBE=30°，再利用勾股定理求得OE 的长，即可得到圆的直径长.【详解】如图，过圆心O 作OA①BC 于点E ，连接OB ，OC ，①BC=6cm，①BE=CE=3cm，①弦将圆分成1:2的两条弧,①①BOC=120°，即①BOA=60°，在Rt①BOE中，①OBE=30°，①OE=12 OB，①OB2﹣OE2=BE2，①3OE=9，解得，即，则圆的直径为故答案为【点睛】本题主要考查垂径定理，勾股定理等，解此题的关键在于熟练掌握其知识点. 27．48【分析】把x=2代入方程260x x c-+=,即可求得实数c的值，再根据根与系数的关系即可求出2x【详解】把x=2代入方程260x x c-+=,得22-6×2+c=0解得c=8①a=1，b=-6，12x=①x1+x2=−ba=6①2x=4故答案是:4,8【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，熟练掌握公式是解题的关键 28．6π 【分析】连接O B 、OC ，过O 作OD ①BC 于点D ，则可知S △BOC =S △ABC ，可知阴影部分面积=扇形OBC 的面积，再计算扇形OBC 的面积即可．【详解】解：连接O B 、OC ，过O 作OD ①BC 于点D ，①BC ①OA ，①点A 到BC 的距离等于点O 到BC 的距离，①S △BOC =S △ABC ，①阴影部分面积=扇形OBC 的面积，①AB 是①O 的切线，①OB ①AB ，①OA =2，OB =OC =1，①①OAB =30°，①①AOB =60°，又BC ①OA ，①①OBC =①AOB =60°，①①BOC 为等边三角形，①BC =OA ，①扇形OBC 的面积=26013606ππ⨯=， ①阴影部分面积为6π， 故答案为：6π．【点睛】本题考查扇形面积的计算，把所求面积化为扇形面积是解题的关键．29．0【分析】把x =0代入方程计算，检验即可求出a 的值．【详解】解：把x =0代入方程得：()2205020a a a -⨯+⨯+-=，解得：a =0或a =2，20,a -≠ 则2,a ≠0.a ∴=故答案为：0【点睛】此题考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程的定义，熟练掌握解一元二次方程的方法是解本题的关键．30．a 【分析】先求出一次函数与坐标轴的交点A ，B 的坐标，再利用勾股定理计算出AB =，接着利用面积法计算出OH =，然后根据直线与圆的位置关系得到OH >22>，于是解不等式即可得到a 的范围． 【详解】解：当y =0时，﹣12x +a =0，解得x =2a ，则A (2a ，0)，当x =0时，y =−12x +a =a ，则B (0，a )，在Rt △ABO 中，AB ，过O 点作OH ①AB 于H ，如图，①12⋅OH ⋅AB =12⋅OB ⋅OA ，①OH， ①半径为2的O 与直线AB 相离，所以OH >2>2，所以a故答案为a【点睛】本题考查了判断直线和圆的位置关系：设①O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ，若直线l 和①O 相交⇔d <r ；直线l 和①O 相切⇔d =r ；直线l 和①O 相离⇔d >r ．也考查了一次函数与系数的关系．31．2:3【分析】过点D 作DM BC ⊥，垂足为M ，过点B 作BN AD ⊥，交DA 的延长线于点N ，根据已知易得=DM BN ，再根据=2BCD ABD S S ，从而可得2BC AD =，然后再证明8字模型相似三角形AOD COB ∽，利用相似三角形的性质可得1==2AD DO BC BO ，从而可得2=3BO BD ，最后根据BOC 与BDC 的高相等，即可解答． 【详解】解：过点D 作DM BC ⊥，垂足为M ，过点B 作BN AD ⊥，交DA 的延长线于点N ，①AD BC ∥，①BN DM =，①=2BCD ABD S S ， ①11·=?22BC DM AD BN ， ①2BC AD =，①AD BC ∥，①==ADB DBC DAC ACB ∠∠∠∠，，①AOD COB ∽， ①1==2AD DO BC BO ， ①2=3BO BD ， ①BOC 与BDC 的高相等，①2==3BOCBDC S BO S BD ， 故答案为：2:3．【点睛】本题考查了平行线间的距离，相似三角形的判定与性质，梯形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．32 【分析】连接OB ，根据切线的性质得到①ABO ＝90°，求出①BOC ，根据正切的定义求出OB ，根据弧长公式计算，得到答案.【详解】解：连接OB ，①AB 是①O 的切线，①①ABO ＝90°，①①AOB ＝90°﹣①A ＝60°，①①BOC ＝120°，在Rt①ABO 中，OB ＝AB•tanA①劣弧BCπ，【点睛】此题考查了圆的切线的性质定理，锐角三角函数，弧长的计算公式，正确理解弧长公式中各字母的意义，分别求出其值进行计算是解题的关键.33π 【分析】根据题意可得sin①AEB ，可以判断出①AEB=45°，进一步求解①DAE=①AEB=45°，代入弧长计算公式可得出弧DE 的长度．【详解】解：①以AD 为半径画弧交BC 边于点E ，又①AB=1，①sinAB AEB AE ∠==①①AEB=45°，①四边形ABCD 是矩形①AD①BC①①DAE=①AEB=45°，故可得弧DC 的长度为452180π⋅⋅=，． 【点睛】此题考查了弧长的计算公式，解答本题的关键是求出①DAE 的度数，要求我们熟练掌握弧长的计算公式及解直角三角形的知识．34．35【详解】试题解析：①AH=2，HB=1，①AB=AH+BH=3，①l 1①l 2①l 3，①3 5DE AB EF BC == 考点：平行线分线段成比例．35．2【分析】利用两对相似三角形，线段成比例：AB ：BD=AE ：EF ，CD ：CF=AE ：EF ，可得CF=2．【详解】如图，①①ABC 和①ADE 均为等边三角形，①①B=①BAC=60°，①E=①EAD=60°，①①B=①E ，①BAD=①EAF ，①①ABD①①AEF ，①AB:BD=AE:EF.同理：①CDF①①EAF ，①CD:CF=AE:EF ，①AB:BD=CD:CF ，即9:3=(9−3):CF ，①CF=2.故答案为2.【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质和等边三角形的性质，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的判定与性质和等边三角形的性质.36．3cm【分析】已知扇形面积求扇形的半径，使用扇形的面积公式即可．【详解】解：①S=3π，n=120°，①根据扇形面积公式可得21203360r ππ⨯=， 解得扇形半径r=3cm ，故答案为：3cm ．【点睛】本题主要考查扇形面积公式的使用．37【分析】过B 作BP AE ⊥于P ，根据勾股定理得出12BE BC ==AE=10，进一步得出,,B F G 共线，然后通过作辅助线构造直角三角形，利用三角函数求出FQ =BQ =，然后进一步分别计算利用面积差求解即可. 【详解】如图，过B 作BP AE ⊥于P ，①正方形ABCD 中，AB =E 为BC 中点，①12BE BC ==①10AE ==，①4AB BE BP AE ⋅===，①2PE =，①EF EP =，①F 与P 重合，①,,B F G 共线，过F 作OS DC ⊥，交AB 于,O DC 于S ，则OS AB ⊥，过F 作FQ BC ⊥于Q ， ①sin EF FQ FBE BE BF∠==，4FQ =①FQ =①BQ =， 易得矩形OFQB ，①FO BQ ==①FS ==AO AB OB =-== ①GF AE ⊥，①90AFG ∠=︒，①GFS AFH AFH FAH ∠+∠=∠+∠，①GFS FAB ∠=∠， ①tan tan BE GS FAB GFS AB FS∠=∠==，=①GS =①DG DS GS AO GS =-=-== ①GH GF =，①2222DH DG GS FS +=+，①2222DH +=+⎝⎭⎝⎭， ①4DH =，①4AH =，①tan tan ,AH DG ANH DHG AN DH∠=∠==，，①AN = 过M 作MR AB ⊥于R ，设MR x =，则2,tan tan DG MR AR x ANH DHG DH RN =∠=∠==，x RN=， ①RN =，由AR RN AN +=得：2x =6x =-①6MR =- ①()111222MNF ANF AMN S S S AN FO AN MR AN FO MR ∆∆∆=-=⋅-⋅=-162=+=⎝.【点睛】本题主要考查了直角三角形与三角函数的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.38．①①【分析】①根据根的判别式即可作出判断；①方程有两个不相等的实数根，则2b 4ac 0∆=->，当c =0时，cx 2+bx +a =0为一元一次方程；①若c 是ax 2+bx +c =0的一个根，则代入即可作出判断；①若m 是方程ax 2+bx +c =0的一个根，则方程有实根，判别式0∆>，结合m 是方程的根，代入一定成立，即可作出判断．【详解】①根据公式法解一元二次方程可知2b 4ac ∆=-，若a +c =0，且a ≠0，①a ，c 异号，①0∆>，故此时有两个不相等的实数根，故选项①正确；①若c =0，b ≠0，则2b 4ac 0->，①方程ax 2+bx +c =0有两个不相等的实数根，方程cx 2+bx +a =0仅有一个解，故选项①错误；①将x =c 代入方程ax 2+bx +c =0，可得2ac bc c 0++=，即()c ac bc 10++=，解得c =0或ac +b +1=0，因此ac +b +c =0不一定成立，故选项①错误；①①m 是方程ax 2+bx +c =0的一个根，①am 2+bm +c =0，此时()()()222222222am b 4a m b 4abm 4a am bm b 4a c b b 4ac +=++=++=-+=-，故选项①正确 故答案为①①．【点睛】本题主要考查一元二次方程根与判别式的关系．39． 3 112S ≤≤【分析】（1）由题意易得,B DAC C BAD ∠=∠∠=∠，则有BA D C ''∠=∠，//AD BD '，然后根据角的等量关系及等腰三角形的判定可进行求解；（2）由（1）可得：,B DAC C BAD ∠=∠∠=∠，则有BAD ACD ∽△△，设AD =h ，则有tan h BD B=∠，tan tan CD h DAC h B =⋅∠=⋅∠，由题意可得当A '与点D 重合时，重合面积最大，当点D 与C 重合时，重合面积最小，进而分类求解即可得出答案．【详解】解：（1）当A '与点D 重合时，设AC 与BD 、BD '分别相交于点O 、F ，如图所示：①AD BC ⊥，①90B BAD ∠+∠=︒，①90BAC ∠=︒，①90B C ∠+∠=︒，①C BAD ∠=∠，同理可得B DAC ∠=∠，①BA D BAD ''∠=∠，①BA D C ''∠=∠，①COD △是等腰三角形，①90ADC BD D '∠=∠=︒，①//AD BD '，①A BFA B ADO ∠=∠=∠=∠，①AOD △和BOF 都为等腰三角形，①图3中有3个等腰三角形；故答案为3；（2）由（1）可得：∠B =∠DAC,∠C =∠BA′D′，①''BA D ACD ∽，设AD =h ，则有tan h BD B=∠， ①tan tan CD h DAC h B =⋅∠=⋅∠，①当A '与点D 重合时，作OE CD ⊥，如图所示：①OD =OC ，①DE =CE ，AD ①OE ， ①122h OE AD ==， ①阴影部分的面积相等，①BOF D FC DD FO DD FO SS S S '''+=+四边形四边形， ①BD D DOC SS '=， ①11222h A D BD CD '''⋅=⋅， ①,tan h A D AD h BD BD B '''====∠， ①221tan tan 2h h B B =∠∠，①tan B ∠①AB =1，则有在Rt ①ABD 中，221h +=，①h =BD =①))11CD CD A D h '''=-==，①)1tan tan CD CD FD CFD B '''==='∠∠，①)1111223A D B CFD S S S A D BD CD FD ''''''''=-=⋅-⋅=， ①当点D 与C 重合时，作OM ①BC 于点M ，如图所示：①B OCB ∠=∠，①1122BM CM BD '====①tan OM BM B =⋅∠=①1122A D B BOC S S S A D BD BD OM ''''''=-=⋅-⋅=，由上可知S 的取值范围为112S ≤≤故答案为112S ≤ 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定及解直角三角形，熟练掌握相似三角形的性质与判定及解直角三角形是解题的关键．40．1．【分析】设①O 的半径为R ，l 与①O 交于点B ，由直角三角形的性质得出1122OC OA OB ==,由已知得出12OP OA =，证明①AOB 是等边三角形，得出BP OA ⊥，①OPB=90°，得出点P 在以OB 为直径的圆上运动，圆心为C ，由圆周角定理得出。

人教版九年级上册数学解答题专题训练50题含答案一、解答题1．解方程：2630x x +-=.2．如图所示，正方形网格中，ABC 为格点三角形（即三角形的顶点都在格点上）．(1)把ABC 沿BA 方向平移后，点A 移到点1A ，在网格中画出平移后得到的111A B C △；(2)把111A B C △绕点1A 按逆时针方向旋转90︒，在网格中画出旋转后的22A B C 1△．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）利用平移的性质画图，即对应点都移动相同的距离；（2）利用旋转的性质画图，对应点都旋转相同的角度．【详解】（1）解：如图所示：111A B C △即为所求；（2）如图所示：22A B C 1△即为所求．【点睛】本题主要考查了平移变换、旋转变换作图，做这类题时，理解平移、旋转的性质是关键．3．如图，杠杆绕支点转动撬起重物，杠杆的旋转中心在哪里？旋转角是哪个角？【答案】杠杆的旋转中心是点O ，旋转角是∵BOB ′（或∵AOA ′）【分析】根据旋转的定义即可得到杠杆绕支点转动撬起重物的旋转中心，旋转角.【详解】解：杠杆绕支点转动撬起重物，杠杆绕点O 旋转，所以杠杆的旋转中心是点 O ，旋转角是∵BOB ′（或∵AOA ′）．【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角.4．已知，如图，直线AB 经过点()0,6B ，点()4,0A ，与抛物线22y ax =+在第一象限内相交于点P ，又知AOP 的面积为6．（1）求a 的值；（2）若将抛物线22y ax =+沿y 轴向下平移，则平移多少个单位才能使得平移后的抛物线经过点A ．AOP∆的面积∴=，y3y=再把3P所以(2,3)P代入到把(2,3)5．某商店购进一批小玩具，每个成本价为20元，经调查发现售价为32元时，每天可售出20个，若售价每增加5元，每天销售量减少2个；售价每减少5元，每天销售量增加2个，商店同一天内售价保持不变.（1）若售价增加x元，则销售量是（______________）个（用含x的代数式表示）；（2）某日商店销售该玩具的利润为384元，求当天的售价是多少元？（利润=售价-进价）6．2022年3月，举世瞩目的北京冬奥会、冬残奥会胜利闭幕．以下是2022年北京冬奥运会会徽—冬梦、冬残奥会会徽—飞跃、冬奥会吉祥物—冰墩墩及冬残奥会吉祥物—雪容融的卡片，四张卡片分别用编号A，B，C，D来表示，这4张卡片背面完全相同，现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．(1)从中任意抽取一个张卡片，恰好是“冬梦”的概率为；(2)将A冬梦和C冰墩墩的组合或B飞跃和D雪容融的组合称为“一套”，小明和小红依次从中随机抽取一张卡片（不放回），请你用列表或画树状图的方法求他们抽到的两张卡片恰好一套的概率．7．今年是中国共产党建党100周年，中华人民共和国成立72周年！在国庆前夕，社区便民超市调查了某种水果的销售情况获得如下信息：信息一：进价是每千克12元；信息二：当销售价为每千克27元时，每天可售出120千克；若每千克售价每降低2元，则每天的销售量将增加80千克．根据以上信息解答问题：该超市每天想要获得3080元的销售利润，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售单价应为多少元．【答案】这种水果的销售单价为19元【分析】设这种水果的销售单价为x 元，则有销售量为()120040x -千克，然后根据利润=销售量×单个利润即可求解．【详解】解：设这种水果的销售单价为x 元，由题意得：8．已知抛物线23y ax bx =++经过点()3,0A 和点()4,3B ．(1)求这条抛物线所对应的二次函数的关系式；(2)直接写出它的开口方向、对称轴、顶点坐标和最大值（或最小值）． 【答案】(1)243y x x =-+(2)开口向上，对称轴为直线2x =，顶点坐标为()21-，，最小值为1-【分析】（1）由条件可知点A 和点B 的坐标，代入解析式可得到关于a 和b 的二元一次方程组，解得a 和b ，可写出二次函数解析式；（2）根据a 的值可确定开口方向，并将抛物线的解析式配方后可得对称轴、顶点坐标和二次函数的最值．【详解】（1）解：将点()3,0A 和点()4,3B 代入23y ax bx =++中，得933016433a b a b ++=⎧⎨++=⎩， 解得：14a b =⎧⎨=-⎩， ∵243y x x =-+（2）解：∵243y x x =-+()221x =--，1a =0>， ∵开口向上，对称轴为直线2x =，顶点坐标为()21-，，最小值为1-． 【点睛】本题考查二次函数的性质、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用配方法确定二次函数的顶点坐标和对称轴．9．在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共30只，这些球除颜色外其余完全相同．搅匀后，小明做摸球实验，他从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据．（1）若从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的概率的估计值为（精确到0.1）（2）盒子里白色的球有只；（3）若将m个完全一样的白球放入这个盒子里并摇匀，随机摸出1个球是白球的概率是0.8，求m的值．10．（1）2(1)4x-=；（2）2430-+=；x xx x-=．（3）230x-+=；（4）(6)611．解方程：（用适当的方法解方程）(1)2430x x --=(2)2(1)(1)0x x x ---=(3)2542x x =-(4)2)(35)1x x --=（12．我国快递行业迅速发展，经调查，某快递公司今年2月份投递快递总件数为20万件，4月份投递快递总件数33.8万件，假设该公司每月投递快递总件数的增长率相同．(1)求该公司投递快递总件数的月增长率；(2)若该公司每月投递快递总件数的增长率保持不变，那么5月份投递快递总件数是否达到45万件？答：若该公司每月投递快递总件数的增长率保持不变，那么5月份投递快递总件数不能达到45万件．【点睛】本题主要考查了一元二次方程应用题中的平均增长率问题，如何正确根据题意列出一元二次方程是解题的关键．13．已知关于x的一元二次方程20ax bx c++=（a≠0）的一个根为，则244ac ba-＝_____．14．列方程解应用题：口罩是一种卫生用品，正确佩戴口罩能阻挡有害气体、飞沫、病毒等物质，对进入肺部的空气有一定的过滤作用．据调查，2021年1月份某厂家口罩产量为80万只，2月份比1月份增加了25%，4月份口罩产量为196万只．(1)该厂家2月份的口罩产量为______万只；(2)该厂家2月份到4月份口罩产量的月平均增长率是多少？【答案】(1)100(2)40%【分析】（1）用1月份的产量乘以(1+25%)即可求解；（2）设月平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解．（1）2月份的产量为：80×(1+25%)=100（万只），故答案为：100；（2）设月平均增长率为x，根据题意有：100×(1+x)2=196，解得：x=40%，（负值舍去），故2月份到4月份的平均增长率为40%．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解答本题的关键．15．“2019淮安清江浦国际半程马拉松赛”的赛事共有三项：A．“半程马拉松2019”、B．“纪念2019”、C．“爱跑2019”.小明和小丽参与了该项赛事的志愿者服务工作，组委会随机将志愿者分配到三个项目组.(1)小明被分配到“爱跑2019”项目组的概率为____________；(2)用树状图或列表法求小明和小丽被分配到不同项目组的概率.16．如图，∵ABC三个顶点的坐标分别为A（0，1），B（4，2），C（1，3）．（1）将∵ABC 向右、向下分别平移1个单位长度和5个单位长度得到∵A 1B 1C 1，请画出∵A 1B 1C 1，并写出点A 1，C 1的坐标；（2）请画出∵ABC 关于原点O 成中心对称的∵A 2B 2C 2．【答案】（1）见解析，点A 1的坐标为（1，﹣4），点C 1的坐标为（2，﹣2）；（2）见解析．【分析】（1）利用点平移的坐标变换规律得出对应点的坐标，描点画出图形即可； （2）根据关于原点对称的点的坐标特征得出对应点的坐标，描点画出图形即可． 【详解】（1）如图，∵A 1B 1C 1为所作，点A 1的坐标为（1，﹣4），点C 1的坐标为（2，﹣2）；（2）如图，∵A 2B 2C 2为所作．【点睛】本题考查坐标与图形变换-平移、坐标与图形变换-旋转，熟练掌握坐标与图形变换的规律，正确得出对应点的坐标是解答的关键． 17．解方程 (1)2430x x -+= (2)()()2323x x -=- 【答案】(1)11x =，23x =． (2)13x =，25x =．【分析】（1）先把方程左边分解因式化为()()130x x --=，再化为两个一次方程，再解一次方程即可；（2）先移项，把方程左边分解因式化为()()350x x --=，再化为两个一次方程，再解一次方程即可．【详解】（1）解：2430x x -+=， ∵()()130x x --=， ∵10x -=或30x -=， 解得：11x =，23x =． （2）()()2323x x -=-， 移项得：()()23230x x ---=， ∵()()350x x --=， ∵30x -=，50x -=， 解得：13x =，25x =．【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握“利用因式分解的方法解一元二次方程”是解本题的关键．18．某校团委决定从4名学生会干部（小明、小华、小丽和小颖）中抽签确定2名同学去进行宣传活动，抽签规则：将4名同学姓名分别写在4张完全相同的卡片正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，既然从中随机抽取一张卡片，记下姓名，再从剩余的3张卡片中随机抽取第二张，记下姓名．试用画树状图或列表的方法表示这次抽签所有可能的结果，并求出小明被抽中的概率．由表可知，共有12种等可能结果，其中小明被抽中的有6种结果，所以小明被抽中的概率为：61 122．【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．19．如图1所示，是一块边长为2的正方形瓷砖，其中瓷砖的阴影部分是半径为1 的扇形.请你用这种瓷砖拼出两种不同的图案，使拼成的图案即是轴对称图形又是中心对称图形，并把它们分别画在下面边长为4的正方形中（要求用圆规画图）.图1图2图3【答案】通过对轴对称图形分析作图【详解】试题分析：图形（1）既轴对称（对称轴为正方形对角线所在的直线），又中心对称（对称中心为正方形的中心），根据小正方形的对称性，将小正方形换动不同方向，得出既轴对称图形又中心对称的图形既轴对称图形又中心对称的图形如图所示考点：旋转作图点评：本题考查了运用旋转，轴对称方法设计图案的问题．关键是熟悉有关图形的对称性，利用中心对称性拼图20．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1，1)、B(4，2)、C(3，4)（1）请画出将△ABC 向左平移4个单位长度后得到的图形111A B C ∆，直接写出点1A 的坐标；（2）请画出△ABC 绕原点O 顺时针旋转90∘的图形222A B C ∆，直接写出点2A 的坐标； （3）在x 轴上找一点P ，使PA+PB 的值最小，请直接写出点P 的坐标．【答案】（1）1(3,1)A -，作图见解析，（2）2(1,1)A -，作图见解析，（3）(2,0)P ，作图见解析．【分析】（1）根据网格结构找出点A 、B 、C 平移后的对应点的位置，然后顺次连接即可；（2）找出点A 、B 、C 绕原点O 顺时针旋转90°的对称点的位置，然后顺次连接即可；（3）找出A 的对称点A′，连接BA′，与x 轴交点即为P ． 【详解】解：（1）如图所示：点1A 的坐标（-3，1）； （2）如图所示：点2A 的坐标（1，-1）；（3）找出A 的对称点A′（1，-1）， 连接BA′，与x 轴交点即为P ；则',PA PA = （'2,A A 重合），'',PA PB PA PB BA ∴+=+=则P 即为所求作的点，如图所示：点P 坐标为（2，0）．【点睛】本题考查了利用平移，旋转变换作图、轴对称-最短路线问题；熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．21．已知关于x 的方程2390x x k --+=的两个实根为1x ，2x ．且满足122x x =-，试求这个方程的两个实根及k 的值．22．嘉淇同学用配方法推导一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的求根公式时，对于b 2﹣4ac ＞0的情况，她是这样做的：（下页） 解：由于a ≠0，方程ax 2+bx +c =0变形为： x 2+b ax =﹣ca ，…第一步x 2+b ax +（2b a ）2=﹣c a +（2ba ）2，…第二步（x +2b a ）2=2244b ac a -，…第三步x +2b a =（b 2﹣4ac ≥0），…第四步x 1…第五步(1)嘉淇的解法从第 步开始出现错误；事实上，当b 2﹣4ac ≥0时，方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的求根公式是 ． (2)用配方法解方程：2x 2﹣4x +1=0．23．如图，AB 是∵O 的直径，点D 在∵O 上，∵DAB=45°，BC∵AD ，CD∵AB ．（1）判断直线CD 与∵O 的位置关系，并说明理由；（2）若∵O的半径为1，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．24．如图，∵O是△ABC的外接圆，AB是∵O的直径，延长AB到点E,连接EC,使得∵BCE=∵BAC(1)求证：EC是∵O的切线；（2）过点A作AD∵EC的延长线于点D,若AD=5，DE=12，求∵O的半径.25．如图O 是ABD △的外接圆，AB 为直径，点C 是AD 的中点，连结,OC BC 分别交AD 于点F ，E ．（1）求证：2ABD C ∠=∠．（2）若10,8AB BC ==，求BD 的长． 【答案】（1）见解析；（2）2.8【分析】（1）由圆周角定理得出ABC CBD ∠=∠，由等腰三角形的性质得出ABC C ∠=∠，则可得出结论；（2）连接AC ，由勾股定理求出6AC =，得出222256(5)OF OF -=--，求出 1.4OF =，则可得出答案．【详解】解：（1）证明：C 是AD 的中点， ∴AC DC =，ABC CBD ∴∠=∠，OB OC =， ABC C ∴∠=∠，ABC CBD C ∴∠=∠=∠，2ABD ABC CBD C ∴∠=∠+=∠；（2）连接AC ，AB 为O 的直径，C 是AD OC ∴⊥2OA OF ∴-25OF ∴- 1.4OF ∴=又O 是AB 2BD OF ==【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系定理，勾股定理，以及三角形的外接圆与圆心，熟练掌握性质及定理是解决本题的关键．26．用公式法解方程：210x x --=．【答案】x =27．疫情期间，学校按照防疫要求，学生在进校时必须排队接受体温检测．某校统计了学生早晨到校情况，发现学生到校的累计人数y （单位：人）随时间x （单位：分钟）的变化情况如图所示，当010x ≤≤时，y 可看作是x 的二次函数，其图象经过原点，且顶点坐标为(10,500)；当1012x <≤时，累计人数保持不变．（1）求y 与x 之间的函数表达式；（2）如果学生一进校就开始测量体温，校门口有2个体温检测棚，每个检测点每分钟可检测20人．校门口排队等待体温检测的学生人数最多时有多少人？全部学生都完成体温检测需要多少时间？（3）在（2）的条件下，如果要在8分钟内让全部学生完成体温检测，从一开始就应该至少增加几个检测点？【答案】（1）25100(010),500(1012)y x x x y x =-+≤≤=<≤；（2）排队人数最多时有180人，全部考生都完成体温检测需要12.5分钟；（3）2个【分析】（1）当010x ≤≤时，y 可看作是x 的二次函数，由于抛物线的顶点为（10，500），设y 与x 之间的函数解析式为：y =a （x -10）2+500，把O 点的坐标（0，0）代入即可求得a ；当1012x <≤时，累计人数保持不变，问题即可解决；（2）设第x 分钟时的排队人数为w 人，到校人数减去检测人生，即可得到w 与x 的函数解析式，根据二次函数解析式可求得其最大值=180；要全部学生都完成体温检测，根据题意得500400x -=，求解即可；（3）设从一开始就应该增加m 个检测点，由“在8分钟内让全部考生完成体温检测”，列出不等式，可求解．【详解】解：（1）当010x ≤≤时，设y 与x 之间的函数关系式为：2(10)500y a x =-+，把(0,0)代入上式得：20(010)500a =-+，解得：5a =-，故函数关系式为：25(10)500(010)y x x =--+≤≤当1012x <≤时，累计人数保持不变，即y =500．∵25100(010),500(1012)y x x x y x =-+≤≤=<≤（2）设第x 分钟时的排队等待人数为w 人，由题意可得：40w y x =-∵010x ≤≤时，2225100405605(6)180w x x x x x x =-+-=-+=--+，∵当6x =时，w 的最大值180=，∵当1012x <≤时，50040,w w x =-随x 的增大而减小，20100w ∴≤<，∵排队人数最多时是180人，要全部学生都完成体温检测，根据题意得：500400x -=解得：12.5x =答：排队人数最多时有180人，全部考生都完成体温检测需要12.5分钟；（3）设从一开始就应该增加m 个检测点，28．已知：如图．∵ABC和∵DEC都是等边角形．D是BC延长线上一点，AD与BE 相交于点P．AC、BE相交于点M，AD、CE相交于点N．(1)在图∵中，求证：AD＝BE；(2)当∵CDE绕点C沿逆时针方向旋转到图∵时，∵APB＝．【答案】(1)见解析(2)60°【分析】（1）根据等边三角形性质得出AC＝BC，CE＝CD，∵ACB＝∵ECD＝60°，求出∵BCE＝∵ACD，根据SAS推出两三角形全等即可；（2）证明∵ACD∵∵BCE（SAS），得到AD＝BE，∵DAC＝∵EBC，根据三角形的内角和定理，即可解答．【详解】（1）证明：∵∵ABC和∵CDE为等边三角形，∵AC＝BC，CD＝CE，∵BCA＝∵DCE＝60°，∵∵ACD＝∵BCE，在∵ACD和∵BCE中，AC＝BC，∵ACD＝∵BCE，CD＝CE，∵∵ACD∵∵BCE（SAS），∵AD＝BE；（2）解：∵∵ABC和∵CDE都是等边三角形，∵AC＝BC，CD＝CE，∵ACB＝∵DCE＝60°，∵∵ACB ＋∵BCD ＝∵DCE ＋∵BCD ，即∵ACD ＝∵BCE ，在∵ACD 和∵BCE 中，AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∵∵ACD ∵∵BCE （SAS ），∵∵DAC ＝∵EBC ， ∵∵AMP ＝∵BMC ，∵∵APB ＝∵ACB ＝60°．故答案为：60°．【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．29．图1，图2是小明家厨房的效果图和装修平面图（长方形），设计师将厨房按使用功能分为三个区域，区域∵摆放冰箱，区域∵为活动区，区域∵为台面区，其中区域∵、区域∵为长方形．现测得FG 与墙面BC 之间的距离等于HG 与墙面CD 之间的距离，比EF 与墙面AB 之间的距离少0.1m ．设AE 为x （m ），回答下列问题：(1)用含x 的代数式表示FG ，则FG = m ．(2)当AE 为何值时，区域∵的面积能达到2.34m 2？(3)测得JF =0.35m ，在（2）的条件下，在下列几款冰箱中选择安装，要求机身左右和背面与墙面之间的距离至少预留20mm 的散热空间，则选择购买 款冰箱更合适．【答案】(1)3.2-2x(2)0.7(3)B【分析】（1）用含x 的代数式表示出DH 的长，根据FG =AD -AE -DH ，代入化简，可表示出FG 的长．（2）用含x的代数式表示出GH的长，再根据长方形的面积=长×宽，可得到关于x的方程，解方程求出x的值．（3）将x的值代入计算求出EF，EJ的长，根据要求机身左右和背面与墙面之间的距离至少预留20mm的散热空间，利用A，B，C三款冰箱的尺寸，可得答案．【详解】（1）3100mm=3.1m，1900mm=1.9m∵AE=xm，DH=（x-0.1）m，∵FG=AD-AE-DH=3.1-x-（x-0.1）=3.2-2x故答案为：3.2-2x（2）解：GH=1.9-（x-0.1）=（2-x）m，∵（3.2-2x）（2-x）=2.34解之：x1=0.7，x2=2.9（舍去）∵x=0.7，∵当AE=0.7时，区域∵的面积能达到2.34m2．（3）由（2）得EF=GH=2-x=2-0.7=1.3mEJ=EF-JF=1.3-0.35=0.95m，EJ=950mm，AE=0.7=700mm，950-2×20=910mm，∵910＞908且700-20＞677，∵应该选择B冰箱更合适．故答案为：B．【点睛】一元二次方程的实际应用-几何问题，解题的关键是读懂题意，看清图形，根据题意设未知数，根据等量关系列一元二次方程．30．我们把能二等分多边形面积的直线称为多边形的“好线”．请用无刻度的直尺画出图(1)、图(2)的“好线”．其中图(1)是一个平行四边形，图(2)由一个平行四边形和一个矩形组成（保留画图痕迹，不写画法）【答案】见解析【分析】图（1）过平行四边形的中心O画直线MN即可，图（2）过平行四边形和矩形的中心O，O′画直线MN即可．【详解】解：如图（1），直线MN即为所求（答案不唯一）．如图（2），直线MN即为所求．【点睛】本题考查了利用中心对称图形的性质进行作图及平行四边形和矩形的性质，掌握中心对称图形的性质是解题的关键．31．幻方是一种将数字排在正方形格子中，使每行、每列和每条对角线上的数字和都相等的模型．数学课上，老师在黑板上画出一个幻方如图所示，并设计游戏：一人将一颗能粘在黑板上的磁铁豆随机投入幻方内，另一人猜数，若所猜数字与投出的数字相符，则猜数的人获胜，否则投磁铁豆的人获胜．猜想的方法从以下两种中选一种：()1猜“是大于5的数”或“不是大于5的数”；()2猜“是3的倍数”或“不是3的倍数”；如果轮到你猜想，那么为了尽可能获胜，你将选择哪--种猜数方法？怎么猜？为什么？254>>399∵为了尽可能获胜，我会选猜法（【点睛】本题主要考查等可能事件的概率，掌握概率公式，是解题的关键．32．已知关于x的一元二次方程2x2﹣3mx+m2+m﹣3＝0（m为常数）．(1)求证：无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根：(2)若x＝2是方程的根，则m的值为_____．33．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线22=-+-+-（m是常数）．y x mx m m22(1)求该抛物线的顶点坐标（用含m 代数式表示）；(2)如果该抛物线上有且只有两个点到直线1y =的距离为1，直接写出m 的取值范围；(3)如果点1(,)A a y ，2(2,)B a y +都在该抛物线上，当它的顶点在第四象限运动时，总有12y y >，求a 的取值范围． 【答案】(1)抛物线的顶点坐标（m ，m -2）；(2)2＜m ＜4；(3)a ≥1．【分析】（1）将二次函数解析式化为顶点式求解．（2）由抛物线上有且只有两个点到直线1y =的距离为1，及抛物线开口向下可得顶点在直线y =0和直线y =2之间，进而求解．（3）由顶点在第四象限可得m 的取值范围，由y 1＜y 2可得点B 到对称轴距离大于点A 到对称轴距离，进而求解．（1）∵22222()2y x mx m m x m m =-+-+-=--+-，∵抛物线的顶点坐标（m ，m -2）；（2）∵抛物线开口向下，顶点坐标为（m ，m -2），∵0＜m -2＜2，解得2＜m ＜4；（3）∵抛物线顶点在第四象限，∵020m m ⎧⎨-⎩＞＜，解得0＜m ＜2，∵抛物线开口向下，对称轴为直线x =m 且y 1＞y 2，∵2(2,)B a y +在对称轴右侧，∵a +2-m ＞|a -m |，即a +2-m ＞a -m 或a +2-m ＞m -a ，解得a ＞m -1，∵0＜m ＜2，∵a ≥1．【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．34．解方程.21122x x --=-35．如图，半圆O 的直径AB=18，将半圆O 绕点B 顺针旋转45°得到半圆O′，与AB 交于点P ．（1）求AP 的长．（2）求图中阴影部分的面积（结果保留π）36．某校为了解七年级学生课外学习情况，随机抽取了部分学生作调查，通过调查将获得的数据按性别绘制成如下的女生频数分布表和如图所示的男生频数分布直方图：根据图表解答下列问题：（1）在女生的频数分布表中，m= ，n= ；（2）此次调查共抽取了多少名学生？（3）从学习时间在120～150分钟的5名学生中依次抽取两名学生调查学习效率，恰好抽到男女生各一名的概率是多少？12337．操作发现：（1）数学活动课上，小明将已知△ABO(如图1)绕点O旋转180°得到△CDO(如图2)．小明发现线段AB与CD有特殊的关系，请你写出：线段AB与CD的关系是．（2）连结AD（如图3），观察图形，试说明AB+AD＞2AO．（3）连结BC（如图4），观察图形，直接写出图中全等的三角形：（写出三对即可）．【答案】（1）AB=CD，AB//CD；（2）证明见解析；（3）ΔABO≅ΔCDO，ΔADO≅ΔCBO，ΔABC≅ΔCDA，ΔABD≅ΔCDB【详解】分析：（1）根据图形旋转的性质即可得出结论；（2）根据三角形三边不等关系得AD+CD>AC，再由旋转的性质得AC=2AO，从而得出结论；（3）根据三角形全等的判定条件可得出结论.详解：（1）根据旋转的性质可得：ΔABO≅ΔCDO，∵AB=CD，∵ABO=∵CDO，∵AB//CD，故线段AB与CD的关系是：AB=CD，AB//CD；(2)在ΔACD中，AD+CD>AC又因为AB=CD，AO=OC所以AB+AD>2AO（3）ΔABO≅ΔCDO,ΔADO≅ΔCBO,ΔABC≅ΔCDA,ΔABD≅ΔCDB.点睛：本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质等知识点．旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．38．某学校为了解学生的体能情况，组织了体育测试，测试项目有A “立定跳远”、B “掷实心球”、C “耐久跑”、D“快速跑”四个．规定：每名学生测试三项，其中A、B为必测项目，第三项C、D中随机抽取，每项10分，满分30分．（1）请用列表或树状图，求甲、乙两同学测试的三个项目完全相同的概率；（2）据统计，九（1）班有8名女生抽到了C“耐久跑”项目，她们的成绩如下：7，6，8，9，10，5，8，7∵这组成绩的中位数是_________，平均数是________；∵该班女生丙因病错过了测试，补测抽到了C “耐久跑”项目，加上丙同学的成绩后，发现这组成绩的众数与中位数相等，但平均数比∵中的平均数大，则丙同学“耐久跑”的成绩为________；（3）九（1）班有50名学生，下表是单项目成绩统计，请计算出该班此次体能测试的平均成绩39．如图，AC是∵O的弦，过点O作OP∵OC交AC于点P，在OP的延长线上取点B，使得BA＝BP．（1）求证：AB是∵O的切线；（2）若∵O的半径为4，PC＝AB的长．AB=．对称的点为B．（1）求点B的坐标；∠度数．（2）求AOB41．如图，在平面直角坐标系中，Rt∵ABC的顶点分别是A（﹣3，2）B（0，4）C （0，2）．（1）将∵ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的∵A1B1C1；（2）分别连接AB1，BA1后，求四边形AB1A1B的面积．42．某商店销售一种销售成本为40元/千克的水产品，若按50元/千克销售，一个月可售出500千克，销售单价每涨价1元，月销售量就减少10千克．（1）∵求出月销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系式；∵求出月销售利润w（元）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系式；（2）在月销售成本不超过10000元的情况下，使月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少元？（3）当销售单价定为多少元时，能获得最大利润？最大利润是多少元？【答案】（1）∵y＝﹣10x+1000；∵w＝﹣10x2+1400x﹣40000；（2）不超过10000元的情况下，使月销售利润达到8000元，销售单价应定为80元；（3）售价定为70元时会获得最大利润，最大利润是9000元【分析】（1）根据题意可以得到月销售利润w （单位：元） 与售价x （单位：元/千克）之间的函数解析式；（2）根据题意可以得到方程和相应的不等式，从而可以解答本题； （3）根据（1）中的关系式化为顶点式即可解答本题．【详解】解：（1）∵由题意可得：y ＝500﹣（x ﹣50）×10＝﹣10x +1000； ∵w ＝（x ﹣40）[﹣10x +1000]＝﹣10x 2+1400x ﹣40000； （2）设销售单价为a 元，210140040000800040(101000)10000a a x ⎧-+-=⎨-+≤⎩， 解得，a ＝80，答：商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使月销售利润达到8000元，销售单价应定为80元；（3）∵y ＝﹣10x 2+1400x ﹣40000＝﹣10（x ﹣70）2+9000， ∵当x ＝70时，y 取得最大值，此时y ＝9000，答：当售价定为70元时会获得最大利润，最大利润是9000元；【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，掌握解二次函数的方法、二次函数的性质是解题的关键．43．如图所示，直角梯形ABCD 中，ABDC ，7cm AB =，4cm BC CD ==，以AB所在直线为轴旋转一周，得到一个几何体，求它的全面积．【答案】68π【分析】所得几何体为圆锥和圆柱的组合图形，表面积为底面半径为4，母线长的平方等于42+32的圆锥的侧面积和底面半径为4，高为4的圆柱的侧面积和下底面积之和．【详解】解：∵Rt∵AOD 中，AO =7-4=3cm ，OD =4cm ， ∵AD 2=42+32=25 ∵AD =5cm ，∵所得到的几何体的表面积为π×4×5+π×4×2×4+π×4×4=68πcm2．故它的全面积为68πcm2．【点睛】本题考查圆锥的计算和圆柱的计算，得到几何体的形状是解决本题的突破点，需掌握圆锥、圆柱侧面积的计算公式．44．某批乒乓球的质量检验结果如下：（1）画出这批乒乓球“优等品”频率的折线统计图；（2）这批乒乓球“优等品”的概率的估计值是多少？（3）从这批乒乓球中选择5个黄球、13个黑球、22个红球，它们除颜色外都相同，将它们放入一个不透明的袋中．∵求从袋中摸出一个球是黄球的概率；∵现从袋中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球，搅拌均匀后使从袋中摸出一个是黄球的概率不小于13，问至少取出了多少个黑球？。