[推荐学习]2017年高中数学课时达标训练七椭圆及其标准方程新人教A版选修2_1

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课时达标训练1.设P是椭圆错误！未找到引用源。

+错误！未找到引用源。

=1上的点.若F1,F2是椭圆的两个焦点,则|PF1|+|PF2|等于( )A.4B.5C.8D.10【解析】选D.由椭圆错误！未找到引用源。

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=1,得a=5,所以|PF1|+|PF2|=2×5=10.2.已知椭圆中a=错误！未找到引用源。

,c=错误！未找到引用源。

,则该椭圆的标准方程为( )A.错误！未找到引用源。

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=1B.错误！未找到引用源。

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=1C.错误！未找到引用源。

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=1或错误！未找到引用源。

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=1D.错误！未找到引用源。

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=1或错误！未找到引用源。

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=1【解析】选D.因为a=错误！未找到引用源。

,c=错误！未找到引用源。

,所以b2=(错误！未找到引用源。

)2-(错误！未找到引用源。

)2=4,而由于焦点不确定,所以D选项正确.3.椭圆的两个焦点坐标分别为F1(0,-8),F2(0,8),且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20,则此椭圆的标准方程为( )A.错误！未找到引用源。

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=1B.错误！未找到引用源。

+错误！未找到引用源。

=1C.错误！未找到引用源。

+错误！未找到引用源。

=1D.错误！未找到引用源。

+错误！未找到引用源。

=1【解析】选C.焦点在y轴上,c=8,2a=20,a=10,所以b2=36.所以椭圆方程为错误！未找到引用源。

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=1.4.椭圆9x2+16y2=144的焦点坐标为________.【解析】椭圆的标准方程为错误！未找到引用源。

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=1,所以a2=16,b2=9,c2=7,且焦点在x轴上,所以焦点坐标为(-错误！未找到引用源。

2.2.1椭圆及其标准方程一、选择题1．【题文】已知椭圆221102x y m m +=--，焦点在y 轴上，若焦距为4，则m 等于（ ） A ．4 B ．5 C ．7 D ．82．【题文】已知椭圆221416x y +=上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为 （ ）A ．2B ．3C ．5D ．73．【题文】设()14,0F -，()24,0F 为定点，动点M 满足128MF MF +=，则动点M 的轨迹是 （ ）A ．椭圆B ．直线C ．圆D ．线段4．【题文】已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆2213x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长l 是 （ ）A ．．6 C ．．125．【题文】如果椭圆2218125x y +=上一点M 到此椭圆一个焦点1F 的距离为2，N 是1MF 的中点，O 是坐标原点，则ON 的长为 ( )A ．2B ．4C ．8D ．326．【题文】已知椭圆()22:1,2,04x C y A +=，点P 在椭圆C 上，且OP PA ⊥，其中O 为坐标原点，则点P 的坐标为（ ）A ．2,33⎛⎫±⎪ ⎪⎝⎭ B ．2,33⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭C ．2,33⎛-± ⎝⎭D ．233⎛⎫-± ⎪ ⎪⎝⎭7．【题文】若△ABC 顶点B ，C 的坐标分别为()4,0-，()4,0，AC ，AB 边上的中线长之和为30，则△ABC 的重心G 的轨迹方程为 ( )A.()221010036x y y +=≠ B.()221010084x y y +=≠ C.()221010036x y x +=≠ D.()221010084x y x +=≠8．【题文】已知12,F F 为椭圆22:14x C y +=的左，右焦点，点P 在C 上，123PF PF =，则12cos F PF ∠等于 （ ） A ．34 B ．13- C ．35- D ．45二、填空题9．【题文】椭圆221167x y +=上横坐标为2的点到右焦点的距离为 .10．【题文】已知方程2213+2x y k k+=-表示椭圆，则k 的取值范围为 .11．【题文】椭圆221259x y +=的左焦点为1F ，P 为椭圆上的动点，M 是圆 (221x y +-=上的动点，则1PM PF +的最大值是 .三、解答题12．【题文】已知椭圆的中心在原点，两焦点1F ，2F 在x 轴上，且过点()4,3A -．若12F A F A ⊥，求椭圆的标准方程．13．【题文】求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在x 轴上，且经过点()2,0和点()0,1；(2)焦点在y 轴上，与y 轴的一个交点为()0,10P -，P 到距它较近的一个焦点的距 离等于2.14．【题文】已知定点1,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，B 是圆C ：22142x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭上的一个动点，线段AB 的垂直平分线交BC 于M 点，求动点M 的轨迹方程．2.2.1椭圆及其标准方程 参考答案及解析1. 【答案】D【解析】因为焦点在y 轴上，所以2100m m ->->，即610m <<，又 ()()22102m m ---=，所以8m =，故选D. 考点：椭圆的标准方程． 【题型】选择题 【难度】一般 2. 【答案】B【解析】设所求距离为d ，由题意得4a =．根据椭圆的定义得25253a d d a =+⇒=-=，故选B ．考点：椭圆的定义． 【题型】选择题 【难度】较易 3. 【答案】D【解析】动点M 满足128MF MF +=，128F F =，故动点M 的轨迹是线段12F F .考点：椭圆的定义. 【题型】选择题 【难度】一般 4. 【答案】C【解析】如图，设椭圆的另外一个焦点为F ，由椭圆的方程知a =ABC 的周长()()4l AB AC BC AB BF AC CF a =++=+++==．考点：椭圆的定义及其应用． 【题型】选择题 【难度】一般 5. 【答案】C【解析】∵椭圆方程为2218125x y +=，∴9a =，根据椭圆的定义得2=18216MF -=， 而ON 是△12MF F 的中位线，∴216822MF ON ===，故选C ． 考点：椭圆的定义． 【题型】选择题 【难度】一般 6. 【答案】A【解析】设(),P x y ，由OP PA ⊥，得OP PA ⊥，所以()()()2,2,20OP PA x y x y x x y ⋅=⋅--=--=，与椭圆方程2214x y +=联立，解得23x =（2x =舍去），此时3y =±，即点P 的坐标为2,33⎛± ⎝⎭，故选A.考点：椭圆上点的坐标. 【题型】选择题 【难度】一般 7. 【答案】B【解析】设AC 、AB 边上的中线分别为BD 、CE ，∵23BG BD =，23CG CE =， ∴()22302033BG CG BD CE +=+=⨯=（定值）. 因此，重心G 的轨迹为以B 、C 为焦点的椭圆，220a =，4c =，∴10a =，b =，可得椭圆的方程为22110084x y +=.∵当G 点在x 轴上时，A 、B 、C 三点共线，不能构成△ABC ，∴G 的纵坐标不能是0，可得△ABC 的重心G 的轨迹方程为()221010084x y y +=≠，故选B. 考点：椭圆的定义及标准方程. 【题型】选择题 【难度】较难 8. 【答案】B【解析】由题意可知，12F F ==12222344PF PF PF PF PF +=+==，211,3PF PF ∴==，(22222212121212311cos 22313PF PF F F F PF PF PF +-+-∴∠===-⋅⨯⨯，故选B ．考点：椭圆的定义，余弦定理． 【题型】选择题 【难度】较难 9. 【答案】2.5【解析】由椭圆方程可知22216,7,9,3a b c c ==∴=∴=，右焦点为()3,0，将2x =代入椭圆方程得2214y =，所以两点间距离为2.5d ==. 考点：椭圆的定义.【题型】填空题 【难度】一般10. 【答案】132,2k k k ⎧⎫-<<≠-⎨⎬⎩⎭且【解析】由椭圆的定义知30,20,32,k k k k +>⎧⎪->⎨⎪+≠-⎩解得132,2k k k ⎧⎫-<<≠-⎨⎬⎩⎭且. 考点：椭圆的定义. 【题型】填空题 【难度】一般 11. 【答案】17【解析】圆(221x y +-=的圆心为(0,C ，半径为1.由椭圆方程221259x y +=可知2225,9a b ==，所以5a =，左焦点为()14,0F -，右焦点为()24,0F .122221010PC PF PC a PF PC PF CF +=+-=+-≤+=，()()11maxmax 117PM PF PC PF +=++=.考点：椭圆的定义. 【题型】填空题 【难度】较难12. 【答案】2214015x y += 【解析】设椭圆的标准方程为()222210x y a b a b+=>>，焦点()1,0F c -，()2,0F c ．∵12F A F A ⊥，∴120F A F A ⋅=，而()14,3FA c =-+， ()24,3F A c =--， ∴()()24430c c -+--+=，∴225c =，即5c =.∴()15,0F -，()25,0F ．∵122a AF AF =+==∴a=，∴(22222515b a c =-=-=.∴所求椭圆的标准方程为2214015x y +=.考点：椭圆的标准方程. 【题型】解答题 【难度】一般13. 【答案】(1)2214x y +=(2)22110036y x += 【解析】(1)因为椭圆的焦点在x 轴上，所以可设它的标准方程为()222210x y a b a b+=>>. ∵椭圆经过点()2,0和()0,1，∴224,1a b ==，故所求椭圆的标准方程为2214x y +=. (2)∵椭圆的焦点在y 轴上，所以可设它的标准方程为()222210y x a b a b+=>>，∵()0,10P -在椭圆上，∴10a =.又∵P 到距它较近的一个焦点的距离等于2， ∴()102c ---=，故8c =，∴22236b a c =-=.∴所求椭圆的标准方程是22110036y x +=. 考点：椭圆的定义，椭圆的标准方程. 【题型】解答题 【难度】一般14. 【答案】22413y x += 【解析】∵线段AB 的垂直平分线交BC 于M 点，∴MB MA =，又∵2MB MC +=， ∴2MA MC AC +=>，点M 的轨迹是以A 、C 为焦点的椭圆， 此时122,2a c ==，∴1,a =234b =, ∴所求的点M 的轨迹方程是22413y x +=. 考点：椭圆的定义及动点的轨迹方程. 【题型】解答题 【难度】一般。

2.2 椭圆2.2.1 椭圆及其标准方程1.了解椭圆标准方程的推导.2.理解椭圆的定义及椭圆的标准方程.(重点)3.掌握用定义和待定系数法求椭圆的标准方程.(重点、难点)教材整理1 椭圆的定义阅读教材P 38“思考”以上部分，完成下列问题.把平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于______的点的轨迹叫做椭圆，这________叫做椭圆的焦点，________叫做椭圆的焦距.【答案】 常数(大于|F 1F 2|) 两个定点 两焦点间的距离判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)到平面内两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆.( )(2)在椭圆定义中，将“大于|F 1F 2|”改为“等于F 1F 2”的常数，其它条件不变，点的轨迹为线段.( )(3)到两定点F 1(－2,0)和F 2(2,0)的距离之和为3的点M 的轨迹为椭圆.( ) 【答案】 (1)× (2)√ (3)× 教材整理2 椭圆的标准方程阅读教材P 39～P 40“例1”以上部分，完成下列问题.【答案】 a 2＋b2＝1(a ＞b ＞0) (0，－c ) (0，c ) a 2－b 2椭圆x 225＋y 29＝1的焦点在________轴上，焦距为________，椭圆x 29＋y 216＝1的焦点在________轴上，焦点坐标为________.【解析】 由25>9可判断椭圆x 225＋y 29＝1的焦点在x 轴上，由c 2＝25－9＝16，可得c＝4，故其焦距为8.由16>9，可判断椭圆x 29＋y 216＝1的焦点在y 轴上， c 2＝16－9＝7，故焦点坐标为(0，7)和(0，－7).【答案】 x 8 y (0，7)和(0，－7)(1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0);【导学号：37792045】(2)焦点在y 轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)； (3)经过点A (3，－2)和点B (－23，1). 【自主解答】 (1)由于椭圆的焦点在x 轴上，∴设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0).∴a ＝5，c ＝4，∴b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9. 故所求椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1.(2)由于椭圆的焦点在y 轴上，∴设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0).∴a ＝2，b ＝1.故所求椭圆的标准方程为y 24＋x 2＝1.(3)法一：①当焦点在x 轴上时，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0).依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ 32a2＋ －22b2＝1， －232a2＋1b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝15，b 2＝5.故所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.②当焦点在y 轴上时，设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0).依题意有⎩⎪⎨⎪⎧－22a2＋ 32b2＝1，1a 2＋ －232b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，b 2＝15，因为a ＞b ＞0，所以无解. 所以所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.法二：设所求椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧3m ＋4n ＝1，12m ＋n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝115，n ＝15.所以所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.1.利用待定系数法求椭圆的标准方程(1)先确定焦点位置；(2)设出方程；(3)寻求a ，b ，c 的等量关系；(4)求a ，b 的值，代入所设方程.2.当焦点位置不确定时，可设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ≠n ，m ＞0，n ＞0).因为它包括焦点在x 轴上(m ＜n )或焦点在y 轴上(m ＞n )两类情况，所以可以避免分类讨论，从而简化了运算.1.已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点A (0,2)和B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3，求椭圆的标准方程.【解】 设椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )，将A ，B 两点坐标代入方程得⎩⎪⎨⎪⎧ 4n ＝1，14m ＋3n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝14，∴所求椭圆方程为x 2＋y 24＝1.设P 是椭圆25＋754＝1上一点，F 1、F 2是椭圆的焦点，若∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积.【精彩点拨】 (1)由椭圆方程，你能写出|PF 1|＋|PF 2|与|F 1F 2|的大小吗？(2)在△F 1PF 2中，根据余弦定理可以得到|F 1F 2|、|PF 1|、|PF 2|之间的关系式吗？(3)怎样求△F 1PF 2的面积？【自主解答】 由椭圆方程知，a 2＝25，b 2＝754，∴c 2＝254，∴c ＝52，2c ＝5.在△PF 1F 2中，|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos 60°， 即25＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|PF 1|·|PF 2|. ①由椭圆的定义得10＝|PF 1|＋|PF 2|， 即100＝|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|. ②②－①得3|PF 1|·|PF 2|＝75， 所以|PF 1|·|PF 2|＝25，所以S △F 1PF2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin 60°＝2534.1.椭圆的定义具有双向作用，即若|MF 1|＋|MF 2|＝2a (2a ＞|F 1F 2|)，则点M 的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M 到两焦点的距离之和必为2a .2.椭圆中的焦点三角形椭圆上一点P 与椭圆的两个焦点F 1，F 2构成的△PF 1F 2，称为焦点三角形.解关于椭圆的焦点三角形的问题，通常要利用椭圆的定义，结合正弦定理、余弦定理等知识求解.2.在本例中，若把椭圆方程改为“x 24＋y 23＝1”，把“∠F 1PF 2＝60°”改为“∠PF 1F 2＝90°”，其余条件不变，试求△PF 1F 2的面积.【解】 由椭圆方程x 24＋y 23＝1，知a ＝2，c ＝1，由椭圆定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4，且|F 1F 2|＝2，在△PF 1F 2中，∠PF 1F 2＝90°.∴|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2.从而(4－|PF 1|)2＝|PF 1|2＋4，则|PF 1|＝32，因此S △PF 1F 2＝12·|F 1F 2|·|PF 1|＝32.故所求△PF 1F 2的面积为32.探究1如图2­2­1，P 为圆B ：(x ＋2)2＋y 2＝36上一动点，点A 的坐标为(2,0)，线段AP 的垂直平分线交直线BP 于点Q ，求点Q 的轨迹方程.图2­2­1【提示】 用定义法求椭圆的方程，首先要利用平面几何知识将题目条件转化为到两定点的距离之和为定值，然后判断椭圆的中心是否在原点、对称轴是否为坐标轴，最后由定义确定椭圆的基本量a ，b ，c .所求点Q 的轨迹方程为x 29＋y 25＝1.探究2如图2­2­2，在圆x 2＋y 2＝4上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足.当点P 在圆上运动时，线段PD 的中点M 的轨迹方程是什么？为什么？图2­2­2【提示】 当题目中所求动点和已知动点存在明显关系时，一般利用相关点法求解.用相关点法求轨迹方程的基本步骤为：(1)设点：设所求轨迹上动点坐标为P (x ，y )，已知曲线上动点坐标为Q (x 1，y 1).(2)求关系式：用点P 的坐标表示出点Q 的坐标，即得关系式⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝g x ，y ，y 1＝h x ，y .(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程得到所求动点轨迹的方程，并把所得方程化简即可.所求点M 的轨迹方程为x 24＋y 2＝1.一个动圆与圆Q 1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，与圆Q 2：(x －3)2＋y 2＝81内切，试求这个动圆圆心的轨迹方程.【导学号：37792046】【精彩点拨】 由圆的相切，及动圆圆心与两个定圆圆心、半径的关系得轨迹. 【自主解答】 由已知，得两定圆的圆心和半径分别为Q 1(－3,0)，R 1＝1；Q 2(3,0)，R 2＝9.设动圆圆心为M (x ，y )，半径为R ，如图. 由题设有 |MQ 1|＝1＋R ， |MQ 2|＝9－R ，所以|MQ 1|＋|MQ 2|＝10>|Q 1Q 2|＝6.由椭圆的定义，知点M 在以Q 1，Q 2为焦点的椭圆上， 且a ＝5，c ＝3.所以b 2＝a 2－c 2＝25－9＝16， 故动圆圆心的轨迹方程为x 225＋y 216＝1.1.与椭圆有关的轨迹方程的求法常用方法有：直接法、定义法和代入法，本例所用方法为代入法.2.对定义法求轨迹方程的认识如果能确定动点运动的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可以利用这种已知曲线的定义直接写出其方程，这种求轨迹方程的方法称为定义法.定义法在我们后续要学习的圆锥曲线的问题中被广泛使用，是一种重要的解题方法.3.代入法(相关点法)若所求轨迹上的动点P (x ，y )与另一个已知曲线C ：F (x ，y )＝0上的动点Q (x 1，y 1)存在着某种联系，可以把点Q 的坐标用点P 的坐标表示出来，然后代入已知曲线C 的方程 F (x ，y )＝0，化简即得所求轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做代入法(又称相关点法).3.已知圆C ：x 2＋y 2＝4，过圆C 上一动点M 作平行于x 轴的直线m ，设直线m 与y 轴的交点为N ，若向量OQ →＝OM →＋ON →，则动点Q 的轨迹方程为____________.【解析】 设点M 的坐标为(x 0，y 0)，点Q 的坐标为(x ，y )，点N 的坐标为(0，y 0)，∵OQ →＝OM →＋ON →，∴(x ，y )＝(x 0,2y 0)，即x 0＝x ，y 0＝y2，又∵x 20＋y 20＝4，∴x 2＋y 24＝4.由已知，直线m 平行于x 轴，得y ≠0，∴Q 点的轨迹方程是y 216＋x 24＝1(y ≠0). 【答案】y 216＋x 24＝1(y ≠0)1.若椭圆x 216＋y 2b2＝1过点(－2, 3)，则其焦距为( )A.2 5B.2 3C.4 5D.4 3【解析】 将点(－2, 3)代入椭圆方程求得b 2＝4，于是焦距2c ＝216－4＝4 3. 【答案】 D2.已知椭圆的焦点为(－1,0)和(1,0)，点P (2,0)在椭圆上，则椭圆的方程为( )A.x 24＋y 23＝1B.x 24＋y 2＝1 C.y 24＋x 23＝1 D.y 24＋x 2＝1 【解析】 由题意知c ＝1，a ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝3.∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.【答案】 A3.已知椭圆的焦点在y 轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为215，则此椭圆的标准方程为________.【解析】 由已知2a ＝8,2c ＝215， ∴a ＝4，c ＝15， ∴b 2＝a 2－c 2＝16－15＝1. 又椭圆的焦点在y 轴上， ∴椭圆的标准方程为y 216＋x 2＝1.【答案】y 216＋x 2＝1 4.已知椭圆的中心在原点，两焦点F 1，F 2在x 轴上，且过点A (－4,3).若F 1A ⊥F 2A ，求椭圆的标准方程.【导学号：37792047】【解】 设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0).设焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c ＞0).∵F 1A ⊥F 2A ， ∴F 1A →·F 2A →＝0， 而F 1A →＝(－4＋c,3)，F 2A →＝(－4－c,3)，∴(－4＋c )·(－4－c )＋32＝0， ∴c 2＝25，即c ＝5. ∴F 1(－5,0)，F 2(5,0). ∴2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝ －4＋5 2＋32＋ －4－5 2＋32＝10＋90＝410.∴a＝210，∴b2＝a2－c2＝(210)2－52＝15.∴所求椭圆的标准方程为x240＋y215＝1.。

第2课时椭圆的标准方程及性质的应用1.进一步掌握椭圆的方程及其性质的应用，会判断直线与椭圆的位置关系.(重点)2.能运用直线与椭圆的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题.(难点)[基础·初探]教材整理1点与椭圆的位置关系阅读教材P43～46，完成下列问题.点P(x0，y0)与椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的位置关系：点P在椭圆上⇔________________；点P在椭圆内部⇔________________；点P在椭圆外部⇔________________.【答案】x20a2＋y20b2＝1x20a2＋y20b2<1x20a2＋y20b2>1若点A(a,1)在椭圆x24＋y22＝1的内部，则a的取值范围是________.【解析】∵点A在椭圆内部，∴a24＋12＜1，∴a2＜2，∴－2＜a＜ 2.【答案】(－2，2)教材整理2直线与椭圆的位置关系阅读教材P47例7，完成下列问题.直线y＝kx＋m与椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的位置关系：联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y 2b2＝1，消去y 得一个关于x 的一元二次方程.【答案】 两直线y ＝x ＋1与椭圆x 2＋y 22＝1的位置关系是( )A.相离B.相切C.相交D.无法确定【解析】 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x 2＋y 22＝1，消去y ，得3x 2＋2x －1＝0，Δ＝22＋12＝16＞0， ∴直线与椭圆相交. 【答案】 C[小组合作型]对不同的实数值m ，讨论直线y ＝x ＋m 与椭圆x 4＋y 2＝1的位置关系. 【精彩点拨】联立两个方程―→消去y 得到关于x 的一元二次方程―→求Δ―→讨论Δ得结论【自主解答】 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ， ①x 24＋y 2＝1. ②将①代入②得：x 24＋(x ＋m )2＝1， 整理得：5x 2＋8mx ＋4m 2－4＝0.③Δ＝(8m )2－4×5(4m 2－4)＝16(5－m 2).当Δ＞0，即－5＜m ＜5时，方程③有两个不同的实数根，代入①可得两个不同的公共点坐标，此时直线与椭圆相交；当Δ＝0，即m ＝±5时，方程③有两个相等的实数根，代入①得一个公共点坐标，此时直线与椭圆相切；当Δ＜0，即m ＜－5或m ＞5时，方程③无实根，此时直线与椭圆相离.1.直线与椭圆有相交、相切和相离三种情况，其位置关系的几何特征分别是直线与椭圆有两个交点、有且只有一个交点、无公共点，并且二者互为充要条件.2.判断直线与椭圆的位置关系可使用代数法，即通过方程研究，先将直线方程与椭圆的方程联立，消去一个未知数y (或x )，得到关于x (或y )的一个一元二次方程.由于该一元二次方程有无实数解、有几个实数解与方程组的解的个数相对应，故利用一元二次方程根的判别式Δ，根据Δ＞0，Δ＜0还是Δ＝0即可判断方程组解的个数，从而得出直线与椭圆的交点情况.[再练一题]1.若把本例中直线方程改为“y ＝2x ＋m ”，椭圆方程改为“x 24＋y 22＝1”，试讨论直线与椭圆的位置关系.【解】 由直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ， ①x 24＋y 22＝1， ②将①代入②，并整理得9x 2＋8mx ＋2m 2－4＝0，③方程③的判别式为Δ＝(8m )2－4×9×(2m 2－4)＝－8m 2＋144.(1)由Δ＞0，得－32＜m ＜32，也就是当－32＜m ＜32时，方程③有两个不相等的实数根，可知原方程组有两个不同的实数解，这时直线l 与椭圆C 有两个不同的公共点，即直线l 与椭圆C 相交.(2)由Δ＝0，得m ＝±32，也就是当m ＝±32时，方程③有两个相等的实数根，可知原方程组有两个相同的实数解，这时直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，即直线l 与椭圆C 相切.(3)由Δ＜0，得m ＜－32或m ＞32，也就是当m ＜－32或m ＞32时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数根，这时直线l 与椭圆C 没有公共点，即直线l 和椭圆C 相离.已知动点0)连线的斜率的积为定值－12.(1)试求动点P 的轨迹方程C;【导学号：37792059】(2)设直线l ：y ＝kx ＋1与曲线C 交于M ，N 两点，当|MN |＝423时，求直线l 的方程.【精彩点拨】 (1)采用什么方法求动点P 的轨迹；(2)求弦长|MN |时需要具体求出M 、N 的坐标吗，如何表示出弦长|MN |. 【自主解答】 (1)设动点P 的坐标是(x ，y )，由题意得，k P A ·k PB ＝－12. ∴y x ＋2·y x －2＝－12， 化简整理得x 22＋y 2＝1.故P 点的轨迹方程C 是x 22＋y 2＝1(x ≠±2). (2)设直线l 与曲线C 的交点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2＋4kx ＝0.∴x 1＋x 2＝－4k 1＋2k 2，x 1·x 2＝0.|MN |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1·x 2＝423， 整理得k 4＋k 2－2＝0， 解得k 2＝1或k 2＝－2(舍). ∴k ＝±1，经检验符合题意.∴直线l 的方程是y ＝±x ＋1，即x －y ＋1＝0或x ＋y －1＝0.求弦长的两种方法(1)求出直线与椭圆的两交点坐标，用两点距离公式求弦长.(2)联立直线与椭圆的方程，消元得到关于一个未知数的一元二次方程，利用弦长公式：|P 1P 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋1k 2(y 1＋y 2)2－4y 1y 2，其中x 1，x 2(y 1，y 2)是上述一元二次方程的两根，由根与系数的关系求出两根之和与两根之积后代入公式可求得弦长.[再练一题]2.求过点(3,0)且斜率为45的直线被椭圆x 225＋y 216＝1所截线段的长度. 【解】 过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3).设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线方程代入椭圆方程得x 225＋(x －3)225＝1，即x 2－3x －8＝0.∴x 1＋x 2＝3，x 1x 2＝－8.∴|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1625(9＋32)＝415.[探究共研型]探究1 直线l 11B (x 2，y 2)及弦AB 的中点P (x 0，y 0)，试写出x 0，y 0与x 1，y 1，x 2，y 2的关系.【提示】 x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22.探究2 怎样处理与弦的中点有关的问题？【提示】 在处理与弦的中点有关的问题时，主要有两种方法：(1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；(2)点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系.具体如下：已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上的两个不同的点，M (x 0，y 0)是线段AB 的中点，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b 2＝1， ①x 22a 2＋y 22b2＝1， ②由①－②，得b 2(x 21－x 22)＋a 2(y 21－y 22)＝0，变形得y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－b 2a 2·x 0y 0，即k AB ＝－b 2x 0a 2y 0.过椭圆x 216＋y 24＝1内一点M (2,1)引一条弦，使弦被M 点平分，求此弦所在的直线方程.【导学号：37792060】【精彩点拨】 可以联立方程，消元后利用根与系数的关系和中点坐标公式求解，也可以考虑利用点差法求解.【自主解答】 法一：设所求直线方程为y －1＝k (x －2).代入椭圆方程并整理，得(4k 2＋1)x 2－8(2k 2－k )x ＋4(2k －1)2－16＝0. 又设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1，x 2是方程的两个根， 于是x 1＋x 2＝8(2k 2－k )4k 2＋1.又M 为AB 的中点，∴x 1＋x 22＝4(2k 2－k )4k 2＋1＝2，解之得k ＝－12.故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0.法二：设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2). 又M (2,1)为AB 的中点，∴x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2. 又A ，B 两点在椭圆上，则x 21＋4y 21＝16，x 22＋4y 22＝16. 两式相减得(x 21－x 22)＋4(y 21－y 22)＝0.于是(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0. ∴y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 24(y 1＋y 2)＝－12， 即k AB ＝－12.又直线AB 过点M (2,1)， 故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0.本题的这两种解法，是解中点弦问题的常用方法，解中点弦问题关键在于充分利用“中点”这一条件，灵活运用中点坐标公式及根与系数的关系，法一是设出方程，根据中点坐标求出k ；法二是设出交点坐标，代入方程，整体作差求直线方程(也叫点差法)，是“设而不求”.[再练一题]3.焦点分别为(0,52)和(0，－52)的椭圆截直线y ＝3x －2所得椭圆的弦的中点的横坐标为12，求此椭圆方程.【解】 设y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0). 依题意，有a 2－b 2＝(52)2＝50. ①由⎩⎪⎨⎪⎧y 2a 2＋x 2b 2＝1，y ＝3x －2，消去y 并整理，得(a 2＋9b 2)x 2－12b 2x ＋4b 2－a 2b 2＝0.因为x 1＋x 22＝12，所以6b 2a 2＋9b 2＝12. 所以a 2＝3b 2.②由①②，得a 2＝75，b 2＝25. 经检验，此时Δ>0. 所以椭圆方程为y 275＋x 225＝1.1.已知点(2,3)在椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1上，则下列说法正确的是( ) A.点(－2,3)在椭圆外 B.点(3,2)在椭圆上 C.点(－2，－3)在椭圆内 D.点(2，－3)在椭圆上【解析】 由椭圆的对称性知，点(2，－3)在椭圆上，故选D. 【答案】 D2.若直线y ＝kx ＋2与椭圆x 23＋y 22＝1相切，则斜率k 的值是( ) A.63 B.－63 C.±63 D.±33【解析】 把y ＝kx ＋2代入x 23＋y 22＝1，得(3k 2＋2)x 2＋12kx ＋6＝0，因为直线与椭圆相切，∴Δ＝(12k )2－4(3k 2＋2)×6＝0，解得k ＝±63.【答案】 C3.若直线y ＝2x ＋b 与椭圆x 24＋y 2＝1无公共点，则b 的取值范围为________.【导学号：37792061】【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋b ，x 24＋y 2＝1，得x 24＋(2x ＋b )2＝1.整理得17x 2＋16bx ＋4b 2－4＝0. Δ＝(16b )2－4×17(4b 2－4)＜0， 解得b ＞17或b ＜－17.【答案】 (－∞，－17)∪(17，＋∞)4.已知斜率为1的直线l 过椭圆x 24＋y 2＝1的右焦点F ，交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长.【解】 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 由椭圆方程知a 2＝4，b 2＝1， ∴c ＝a 2－b 2＝3，∴F (3，0)， ∴直线l 的方程为y ＝x －3，将其代入椭圆方程，并化简整理得5x 2－83x ＋8＝0， ∴x 1＋x 2＝835，x 1x 2＝85， ∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝2·(83)2－4×5×85＝85.。

课时达标训练（七）[即时达标对点练]题组椭圆的标准方程．已知方程＋＝表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是( )．(，) ．(，)．(，) ．(，＋∞)．已知椭圆＋＝的一个焦点为(，)，则椭圆的方程是( )＋＝＋＝．＋＝＋＝．椭圆＋＝的焦点坐标为．．已知椭圆的中心在原点，一个焦点为(，－)且＝，则椭圆的标准方程为．题组与椭圆有关的轨迹问题．已知圆＋＝，从这个圆上任意一点向轴作垂线，垂足为′，则′的中点的轨迹方程是( )．＋＝．＋＝＋＝．＋＝．已知，是两个定点，＝，且△的周长等于，求这个三角形的顶点的轨迹方程．题组椭圆的定义及焦点三角形问题．椭圆的两焦点为(－，)、(，)，点在椭圆上，若△的面积最大为，则椭圆方程为．．在平面直角坐标系中，已知△的顶点(－，)和(，)，顶点在椭圆＋＝上．则＋)＝．．已知椭圆的焦点在轴上，且焦距为，为椭圆上一点，且是和的等差中项．()求椭圆的方程；()若△的面积为，求点坐标．[能力提升综合练]．设定点(，－)，(，)，动点满足条件＋＝＋(>)，则点的轨迹是( )．椭圆．线段．不存在．椭圆或线段．椭圆＋＝的两个焦点为，，过作轴的垂线与椭圆相交，一个交点为，则△的面积等于( )．．已知为椭圆上一点，，为椭圆的焦点，且＝，若与的等差中项为，则椭圆的标准方程为( )＋＝＋＝或＋＝＋＝＋＝或＋＝．设，是椭圆：＋＝的焦点，在曲线上满足的点的个数为( )．．．．．，分别为椭圆＋＝(>>)的左、右焦点，点在椭圆上，△是面积为的正三角形，则的值是．．椭圆＋＝上的一点到左焦点的距离为，是的中点，则等于．．已知椭圆的中心在原点，两焦点，在轴上，且过点(－，)．若⊥，求椭圆的标准方程．．已知是椭圆＋＝上的一点，，是椭圆的两个焦点．()当∠＝°时，求△的面积；()当∠为钝角时，求点横坐标的取值范围．答案即时达标对点练.解析：选由题意知解得<<..解析：选由题意知，椭圆焦点在轴上，且＝，∴＝＋＝，因此椭圆方程为＋＝，故选..解析：椭圆的标准方程为＋＝，∴＝，＝，＝，且焦点在轴上，∴焦点坐标为(－，)，(，)．答案：(－，)，(，).解析：∵＝，＝，∴－＝＝＝，＝，＝.又∵焦点在轴上，∴标准方程为＋＝.答案：＋＝.解析：选设点的坐标为(，)，点的坐标为(，)，则＝，＝.∵(，)在圆＋＝上，∴＋＝.①将＝，＝代入方程①，得＋＝..解：以过，两点的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系，如图所示．由＝，可知点(－，)，(，)．。

更上一层楼基础·巩固1.在椭圆的标准方程中,a=6,b=35,则椭圆的标准方程是（ ） A.353622y x +=1 B.353622x y +=1 C.2236y x +=1 D.以上都不对 思路分析：因为题中给出的条件不能确定椭圆的焦点所在的坐标轴,所以椭圆的方程应有两种形式.答案:D2.椭圆4x 2+9y 2=1的焦点坐标是（ ） A.(±5,0) B.(0,±5) C.(±65,0) D.(±365,0) 思路分析：因为椭圆的焦点在x 轴上,a 2=41,b 2=91, 所以c=65914=-1,椭圆的焦点坐标为(±65,0). 答案:C3.若△ABC 的两个顶点坐标为A(-4,0)、B(4,0),△ABC 的周长为18,则顶点C 的轨迹方程为（ ） A.92522y x +=1(y≠0) B.92522x y +=1(y≠0) C.91622y x +=1(y≠0) D.91622x y +=1(y≠0) 思路分析：因为|AB|=8,|CA|+|CB|=18-8=10,所以顶点C 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆(去掉长轴的两个端点).因2a=10,2c=8,所以b 2=9.所以顶点C 的轨迹方程为92522y x +=1(y≠0). 答案:A4.已知A 、B 两点的坐标分别为(0,-5)和(0,5),直线MA 与MB 的斜率之积为94-,则M 的轨迹方程是（ ） A.91002522y x +=1 B.91002522y x +=1(x≠±5)C.25422522y x +=1D.25422522y x +=1(x≠0) 思路分析：设M 的坐标为(x,y),则k MA =x y 5+,k MB =x y 5-.由题知9455-=-∙+x y x y (x≠0),即25422522y x +=1(x≠0). 答案:D5.已知椭圆的焦点是F 1(0,-1)、F 2(0,1),P 是椭圆上一点,并且|PF 1|+|PF 2|=2|F 1F 2|,则椭圆的方程是 _________________________________________.思路分析：由|PF 1|+|PF 2|=2|F 1F 2|=2×2=4,得2a=4,而c=1,所以b 2=3.所以椭圆的方程是3422x y + =1 答案：3422x y +=1. 6.已知椭圆244922y x +=1上一点P 与椭圆两焦点F 1、F 2连线的夹角为直角,则|PF 1|·|PF 2|=_______.思路分析：两焦点的坐标分别为F 1(-5,0)、F 2(5,0),由PF 1⊥PF 2，得|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2=100.而|PF 1|+|PF 2|=14,∴(|PF 1|+|PF 2|)2=196,100+2|PF 1|·|PF 2|=196,|PF 1|·|PF 2|=48.答案:487.已知α∈(0,2π),方程x 2sinα+y 2cosα=1表示焦点在y 轴上的椭圆,求α的取值范围. 思路分析：把所给的方程化为椭圆的标准方程，根据所给的焦点在y 轴便可以求出结果.解:把方程x 2sinα+y 2cosα=1写成1cos 1sin 122=+a y a x . ∵椭圆的焦点在y 轴上,α∈(0,2π),∴a a sin 1cos 1>,即tanα>1. ∴24παπ<<为所求.8.设P(x,y)是椭圆162522y x +=1上的点且P 的纵坐标y ≠0,点A(-5,0)、B(5,0),试判断k PA ·k PB 是否为定值?若是定值,求出该定值；若不是定值,请说明理由.思路分析：利用斜率的坐标公式分别求出k PA 与k PB 的值，利用椭圆的方程找出x 与y 的关系，代入即可.解:∵点P 的纵坐标y≠0,∴x≠±5.∴k PA =5+x y ,k PB =5-x y . ∴k PA ·k PB =255522-=-∙+x y x y x y . ∵点P 在椭圆162522y x +=1上, ∴y 2=16×(2512x -)=16×25252x -. 把y 2=16×25252x -代入k PA ·k PB =2522-x y ,得k PA ·k PB =25162525251622-=--⨯x x . ∴k PA ·k PB 为定值,这个定值是2516-. 综合·应用9.已知圆A:(x+3)2+y 2=100,圆A 内一定点B(3,0),圆P 过B 点且与圆A 内切,求圆心P 的轨迹方程.思路分析：根据与圆A 内切的性质找出P 点满足的关系式|PA|=10-|PB|.解:∵圆P 与圆A 内切,圆A 的半径为10,∴两圆的圆心距|PA|=10-|PB|,即|PA|+|PB|=10(大于|AB|).∴点P 的轨迹是以A 、B 两点为焦点的椭圆.∴2a=10,2c=6.∴a=5,c=3,b 2=52-32=16.∴点P 的轨迹方程为162522y x +=1. 10.已知A 、B 两点的坐标分别是(-1,0)、(1,0),直线AM 、BM 相交于点M,且它们的斜率之积为m(m<0),求点M 的轨迹方程并判断轨迹的形状.思路分析：先把动直线AM 、BM 的斜率表示出来，根据乘积为m,化简得到结果.M 的轨迹的形状为圆〔去掉点(±1,0)〕或椭圆〔去掉点(±1,0)］解:设点M 的坐标为(x,y),因为点A 的坐标是(-1,0),所以直线AM 的斜率为k A M=1+x y (x≠-1)； 同理,直线BM 的斜率为k BM =1-x y (x≠1). 由已知有11-⨯+x y x y =m(x≠±1). 化简得点M 的轨迹方程为x 2+my -2=1(x≠±1).当m=-1时,M 的轨迹方程为x 2+y 2=1(x≠±1),M 的轨迹是单位圆去掉两个点(±1,0). 当-1<m<0时,M 的轨迹为焦点在x 轴上的椭圆去掉两个点(±1,0).当m<-1时,M 的轨迹为焦点在y 轴上的椭圆去掉两个点(±1,0).回顾·展望11.(2006天津高考)椭圆的中心为点 E （-1,0），它的一个焦点为 F （-3,0），相应于焦点F 的准线方程为x=27-,则这个椭圆的方程是（ ） A.3221)1(222y x +-=1 B.3221)1(222y x ++=1 C.225)1(y x +-=1 D.225)1(y x ++=1 思路分析：∵椭圆中心为 E （-1,0）,准线方程为x=27-, ∴设椭圆方程为2222)1(by a x ++=1. 由题意知，焦点到中心的距离为 c=22)0-(0](-1)-[-3+=2 ① 准线到中心的距离为25)27(12=---=c a ② 由①②两式,可得a 2=5,c 2=4,b 2=1. ∴椭圆方程为225)1(y x ++=1. 答案:D12.(2006全国高考Ⅱ)已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆223y x +=1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则 △ABC 的周长是（ ） A.32 B.6 C.34 D.12思路分析：由题意知a=3,b=1,c=2.如图所示A 、F 为椭圆焦点，由椭圆定义可得AB+BF=2a,AC+CF=2a.∴△ABC 周长为4a=34.答案:C13.(2006上海高考)已知椭圆中心在原点，一个焦点为F （32-，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是__________________．思路分析：设椭圆的方程为2222by a x +=1， 由题可知，a=2b ，且a 2-b 2=（32-)2，易得答案.答案:41622y x +=1 14.(2005上海高考)若椭圆长轴长与短轴长之比为2，它的一个焦点是(152,0),则椭圆的标准方程是____________________.思路分析：由题意可设2222by a x +=1，∵焦点为（152,0）， ∴a>b>0,c 2=60. ∵b a 22=2，可得a 2=80,b 2=20，∴椭圆的方程是208022y x +=1 答案:208022y x +=1。

§2.2 椭圆2.2.1 椭圆及其标准方程课时目标 1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程.2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形．1．椭圆的概念：平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于________(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做________．这两个定点叫做椭圆的________，两焦点间的距离叫做椭圆的________．当|PF 1|＋|PF 2|＝|F 1F 2|时，轨迹是______________，当|PF 1|＋|PF 2|<|F 1F 2|时__________轨迹．2．椭圆的方程：焦点在x 轴上的椭圆的标准方程为________________，焦点坐标为________________，焦距为____________；焦点在y 轴上的椭圆的标准方程为________________．一、选择题1．设F 1，F 2为定点，|F 1F 2|＝6，动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝6，则动点M 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．直线 C ．圆 D ．线段2．椭圆x 216＋y27＝1的左右焦点为F 1，F 2，一直线过F 1交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 2的周长为( )A ．32B ．16C ．8D ．43．椭圆2x 2＋3y 2＝1的焦点坐标是( )A .⎝⎛⎭⎪⎫0，±66 B ．(0，±1)C ．(±1,0)D .⎝ ⎛⎭⎪⎫±66，0 4．方程x 2|a|－1＋y2a ＋3＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是( )A ．(－3，－1)B ．(－3，－2)C ．(1，＋∞)D ．(－3,1)5．若椭圆的两焦点为(－2,0)，(2,0)，且该椭圆过点⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－32，则该椭圆的方程是( )A .y 28＋x 24＝1B .y 210＋x26＝1 C .y 24＋x 28＝1 D .y 26＋x210＝1 6．设F 1、F 2是椭圆x 216＋y212＝1的两个焦点，P 是椭圆上一点，且P 到两个焦点的距离之差为2，则△PF 1F 2是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．斜三角形D ．直角三角形二、填空题7．椭圆x 29＋y22＝1的焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆上．若|PF 1|＝4，则|PF 2|＝________，∠F 1PF 2的大小为________．8．P 是椭圆x 24＋y23＝1上的点，F 1和F 2是该椭圆的焦点，则k ＝|PF 1|²|PF 2|的最大值是______，最小值是______．9．“神舟六号”载人航天飞船的运行轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆，设其近地点距地面n 千米，远地点距地面m 千米，地球半径为R ，那么这个椭圆的焦距为________千米． 三、解答题10．根据下列条件，求椭圆的标准方程．(1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)，(4,0)，椭圆上任意一点P 到两焦点的距离之和等于10；(2)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，52.11．已知点A(0，3)和圆O 1：x 2＋(y ＋3)2＝16，点M 在圆O 1上运动，点P 在半径O 1M 上，且|PM|＝|PA|，求动点P 的轨迹方程．能力提升13.如图△ABC 中底边BC ＝12，其它两边AB 和AC 上中线的和为30，求此三角形重心G 的轨迹方程，并求顶点A 的轨迹方程．1．椭圆的定义中只有当距离之和2a>|F 1F 2|时轨迹才是椭圆，如果2a ＝|F 1F 2|，轨迹是线段F 1F 2，如果2a<|F 1F 2|，则不存在轨迹．2．椭圆的标准方程有两种表达式，但总有a>b>0，因此判断椭圆的焦点所在的坐标轴要看方程中的分母，焦点在分母大的对应轴上．3．求椭圆的标准方程常用待定系数法，一般是先判断焦点所在的坐标轴进而设出相应的标准方程，然后再计算；如果不能确定焦点的位置，有两种方法求解，一是分类讨论，二是设椭圆方程的一般形式，即mx 2＋ny 2＝1 (m ，n 为不相等的正数)．§2.2 椭 圆2.2.1 椭圆及其标准方程知识梳理1．常数 椭圆 焦点 焦距 线段F 1F 2 不存在2.x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0) F 1(－c ，0)，F 2(c ，0) 2c y 2a 2＋x 2b2＝1 (a >b >0) 作业设计1．D [∵|MF 1|＋|MF 2|＝6＝|F 1F 2|， ∴动点M 的轨迹是线段．] 2．B [由椭圆方程知2a ＝8，由椭圆的定义知|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝8，|BF 1|＋|BF 2|＝2a ＝8，所以△ABF 2的周长为16.] 3．D4．B [|a |－1>a ＋3>0.]5．D [椭圆的焦点在x 轴上，排除A 、B ，又过点⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－32验证即可．]6．D [由椭圆的定义，知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝8.由题可得||PF 1|－|PF 2||＝2，则|PF 1|＝5或3，|PF 2|＝3或5. 又|F 1F 2|＝2c ＝4，∴△PF 1F 2为直角三角形．]7．2 120° 解析∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6， ∴|PF 2|＝6－|PF 1|＝2. 在△F 1PF 2中， cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|²|PF 2|＝16＋4－282³4³2＝－12，∴∠F 1PF 2＝120°. 8．4 3解析 设|PF 1|＝x ，则k ＝x (2a －x )， 因a －c ≤|PF 1|≤a ＋c ，即1≤x ≤3.∴k ＝－x 2＋2ax ＝－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4， ∴k max ＝4，k min ＝3. 9．m －n解析 设a ，c 分别是椭圆的长半轴长和半焦距， 则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝m ＋R a －c ＝n ＋R，则2c ＝m －n .10．解 (1)∵椭圆的焦点在x 轴上，∴设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)．∵2a ＝10，∴a ＝5，又∵c ＝4. ∴b 2＝a 2－c 2＝52－42＝9.故所求椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1.(2)∵椭圆的焦点在y 轴上，∴设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1 (a >b >0)．由椭圆的定义知，2a ＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52－22＝3102＋102＝210，∴a ＝10.又∵c ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝10－4＝6. 故所求椭圆的标准方程为y 210＋x 26＝1.11．解 ∵|PM |＝|PA |，|PM |＋|PO 1|＝4， ∴|PO 1|＋|PA |＝4，又∵|O 1A |＝23<4， ∴点P 的轨迹是以A 、O 1为焦点的椭圆， ∴c ＝3，a ＝2，b ＝1， ∴动点P 的轨迹方程为x 2＋y 24＝1.13．解 以BC 边所在直线为x 轴，BC 边中点为原点，建立如图所示坐标系， 则B (6,0)，C (－6,0)，CE 、BD 为AB 、AC 边上的中线， 则|BD |＋|CE |＝30. 由重心性质可知|GB |＋|GC |＝23(|BD |＋|CE |)＝20.∵B 、C 是两个定点，G 点到B 、C 距离和等于定值20，且20>12， ∴G 点的轨迹是椭圆，B 、C 是椭圆焦点． ∴2c ＝|BC |＝12，c ＝6,2a ＝20，a ＝10， b 2＝a 2－c 2＝102－62＝64， 故G 点的轨迹方程为x 2100＋y 264＝1， 去掉(10,0)、(－10,0)两点． 又设G (x ′，y ′)，A (x ，y )，则有x ′2100＋y ′264＝1.由重心坐标公式知⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x 3，y ′＝y3.故A 点轨迹方程为 x3 2100＋ y3264＝1.即x 2900＋y 2576＝1，去掉(－30,0)、(30,0)两点．。

课时分层作业(七) 椭圆及其标准方程(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．椭圆x 225＋y 2169＝1的焦点坐标为( )A ．(5,0)，(－5,0)B ．(0,5)，(0，－5)C ．(0,12)，(0，－12)D ．(12,0)，(－12,0)C [c 2＝169－25＝144.c ＝12，故选C.]2．已知椭圆过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－4和点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，3，则此椭圆的标准方程是( ) A ．x 2＋y 225＝1B.x 225＋y 2＝1或x 2＋y 225＝1 C.x 225＋y 2＝1 D ．以上都不对A [设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )， 则⎩⎪⎨⎪⎧925m ＋16n ＝1，1625m ＋9n ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝125.∴椭圆的方程为x 2＋y 225＝1.]3．设F 1，F 2是椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|∶|PF 2|＝2∶1，则△F 1PF 2的面积等于( )【导学号：46342065】A ．5B ．4C ．3D ．1B [由椭圆方程，得a ＝3，b ＝2，c ＝5，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，又|PF 1|∶|PF 2|＝2∶1，∴|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，由22＋42＝(25)2，可知△F 1PF 2是直角三角形，故△F 1PF 2的面积为12|PF 1|·|PF 2|＝12×4×2＝4，故选B.]4．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，M 为椭圆上一动点，F 1为椭圆的左焦点，则线段MF 1的中点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．线段D ．直线B [|PF 1|＋|PO |＝12|MF 1|＋12|MF 2|＝12(|MF 1|＋|MF 2|)＝a >|F 1O |，因此点P 的轨迹是椭圆．]5．如果方程x 2a 2＋y 2a ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是( )A ．(3，＋∞)B ．(－∞，－2)C ．(3，＋∞)∪(－∞，－2)D ．(3，＋∞)∪(－6，－2) D [由于椭圆的焦点在x 轴上，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＞a ＋6，a ＋6＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧(a ＋2)(a －3)＞0，a ＞－6.解得a ＞3或－6＜a ＜－2，故选D.] 二、填空题6．已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆与x 轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1，则椭圆的标准方程为____________.【导学号：46342066】x 24＋y 23＝1 [由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝3a －c ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝3，故椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.]7．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且PF 1→⊥PF 2→.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.3 [依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|PF 1|·|PF 2|＝18，|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2，可得4c 2＋36＝4a 2，即a 2－c 2＝9，故有b ＝3.]8．已知P 是椭圆x 24＋y 23＝1上的一动点，F 1，F 2是椭圆的左、右焦点，延长F 1P 到Q ，使得|PQ |＝|PF 2|，那么动点Q 的轨迹方程是________．(x ＋1)2＋y 2＝16 [如图，依题意，|PF 1|＋|PF 2|＝2a (a 是常数且a ＞0)．又|PQ |＝|PF 2|， ∴|PF 1|＋|PQ |＝2a ， 即|QF 1|＝2a .由题意知，a ＝2，b ＝3，c ＝a 2－b 2＝4－3＝1. ∴|QF 1|＝4，F 1(－1,0)，∴动点Q 的轨迹是以F 1为圆心，4为半径的圆， ∴动点Q 的轨迹方程是(x ＋1)2＋y 2＝16.] 三、解答题9．设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点．设椭圆C 上一点⎝⎛⎭⎪⎫3，32到两焦点F 1，F 2的距离和等于4，写出椭圆C 的方程和焦点坐标．[解] ∵椭圆上一点到两焦点的距离之和为4， ∴2a ＝4，a 2＝4， ∵点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32是椭圆上的一点， ∴(3)24＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322b 2＝1，∴b 2＝3，∴c 2＝1， ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.焦点坐标分别为(－1,0)，(1,0)．10．已知点A (0，3)和圆O 1：x 2＋(y ＋3)2＝16，点M 在圆O 1上运动，点P 在半径O 1M 上，且|PM |＝|PA |，求动点P 的轨迹方程.【导学号：46342067】[解] 因为|PM |＝|PA |，|PM |＋|PO 1|＝4，所以|PO 1|＋|PA |＝4， 又因为|O 1A |＝23<4，所以点P 的轨迹是以A ，O 1为焦点的椭圆，所以c ＝3，a ＝2，b ＝1. 所以动点P 的轨迹方程为x 2＋y 24＝1.[能力提升练]1．已知椭圆x 24＋y 2＝1的焦点为F 1、F 2，点M 在该椭圆上，且MF 1→·MF 2→＝0，则点M 到x轴的距离为( )A.233 B ．.263C.33D. 3C [设M (x 0，y 0)，由F 1(－3，0)，F 2(3，0)得MF 1→＝(－3－x 0，－y 0)，MF 2→＝(3－x 0，－y 0)，由MF 1→·MF 2→＝0得x 20＋y 20＝3， 又x 204＋y 20＝1，解得y 0＝±33. 即点M 到x 轴的距离为33，故选C.] 2.如图2­2­3，∠OFB ＝π6，△ABF 的面积为2－3，则以OA 为长半轴，OB 为短半轴，F 为一个焦点的椭圆方程为__________．图2­2­3x 28＋y 22＝1 [设所求椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由题意可知，|OF |＝c ，|OB |＝b ， ∴|BF |＝a .∵∠OFB ＝π6，∴b c ＝33，a ＝2b .∴S △ABF ＝12·|AF |·|BO |＝12(a －c )·b ＝12(2b －3b )b ＝2－3，解得b 2＝2，则a ＝2b ＝2 2.∴所求椭圆的方程为x 28＋y 22＝1.]3．若椭圆2kx 2＋ky 2＝1的一个焦点为(0，－4)，则k 的值为________.【导学号：46342068】k ＝132 [易知k >0，方程2kx 2＋ky 2＝1变形为y 21k ＋x 212k＝1，所以1k －12k ＝16，解得k ＝132.] 4．如图2­2­4所示，F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，点P 在椭圆上，△POF 2是面积为3的正三角形，则b 2＝________.图2­2­42 3 [设正三角形POF 2的边长为c ，则34c 2＝3， 解得c ＝2，从而|OF 2|＝|PF 2|＝2，连接PF 1(略)，由|OF 1|＝|OF 2|＝|OP |知，PF 1⊥PF 2 则|PF 1|＝|F 1F 2|2－|PF 2|2＝42－22＝2 3 所以2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝23＋2，即a ＝3＋1 所以b 2＝a 2－c 2＝(3＋1)2－4＝2 3.]5．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2，过点F 2的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点(如图2­2­5所示)，∠F 1F 2B ＝2π3，△F 1F 2A 的面积是△F 1F 2B 面积的2倍．若|AB |＝152，求椭圆C 的方程．图2­2­5[解] 由题意可得S △F 1F 2A ＝2S △F 1F 2B ，∴|F 2A |＝2|F 2B |， 由椭圆的定义得|F 1B |＋|F 2B | ＝|F 1A |＋|F 2A |＝2a ， 设|F 2A |＝2|F 2B |＝2m ， 在△F 1F 2B 中，由余弦定理得(2a －m )2＝4c 2＋m 2－2·2c ·m ·cos 2π3⇒m ＝2(a 2－c 2)2a ＋c.在△F 1F 2A 中，同理可得m ＝a 2－c 22a －c，所以2(a 2－c 2)2a ＋c ＝a 2－c 22a －c ，解得2a ＝3c ，可得m ＝5c 8，|AB |＝3m ＝15c 8＝152，c ＝4.由c a ＝23，得a ＝6，b 2＝20， 所以椭圆C 的方程为x 236＋y 220＝1.。

第二章 2.2 2.2.1请同学们认真完成练案[11]A 级 基础巩固一、选择题1．设F 1、F 2为定点，|F 1F 2|＝6，动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝6，则动点M 的轨迹是( D ) A ．椭圆 B ．直线 C ．圆D ．线段[解析] ∵|MF 1|＋|MF 2|＝6，|F 1F 2|＝6， ∴|MF 1|＋|MF 2|＝|F 1F 2|， ∴点M 的轨迹是线段F 1F 2.2．过点(－3,2)且与x 29＋y 24＝1有相同焦点的椭圆的方程是( A )A ．x 215＋y 210＝1B ．x 2225＋y 2100＝1C ．x 210＋y 215＝1D ．x 2100＋y 2225＝1[解析] 将点(－3,2)代入验证，只有A 的方程满足，故选A ．3．中心在原点，焦点在坐标轴上，且过两点(4,0)、(0,2)的椭圆方程为( D ) A ．x 24＋y 22＝1B ．y 24＋x 22＝1C ．y 216＋x 24＝1D ．x 216＋y 24＝1[解析] 解法一：验证排除：将点(4,0)代入验证可排除A 、B 、C ，故选D ． 解法二：设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧16m ＝14n ＝1，∴⎩⎨⎧m ＝116n ＝14，故选D ．4．已知椭圆x 225＋y 29＝1上的点M 到该椭圆一个焦点F 的距离为2，N 是MF 的中点，O为坐标原点，那么线段ON 的长是( B )A ．2B ．4C ．8D ．32[解析] 设椭圆左焦点F ，右焦点F 1，∵2a ＝10，|MF |＝2，∴|MF 1|＝8，∵N 为MF 中点，O 为FF 1中点，∴|ON |＝12|MF 1|＝4.5．(2019－2020学年房山区期末检测)“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的充要条件是( A )A ．m ＞n ＞0B ．n ＞m ＞0C ．mn ＞0D ．mn ＜0[解析] 若方程表示椭圆，则m ，n ≠0，则方程等价为x 21m ＋y 21n ＝1，若方程表示焦点在y 轴上椭圆，则等价为1n ＞1m＞0，解得：m ＞n ＞0，故选A ．6．(2019－2020学年湖南省长沙市湖南师大附中高二期中)设F 1，F 2为椭圆C ：x 236＋y 220＝1的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限，若△MF 1F 2为等腰三角形，则△MF 1F 2的面积为( D )A ．53B ．103C ．215D ． 415[解析] 设M (m ，n )，m ，n ＞0，则m ∈(0,6)，n ∈(0，25)， 椭圆C ：x 236＋y 220＝1的a ＝6，b ＝25，c ＝4.设F 1，F 2分别为椭圆C 的左右焦点，由于M 为C 上一点且在第一象限，可得|MF 1|＞|MF 2|，|F 1F 2|＝2c ＝8， 因为|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＝12，所以|MF 1|＞6，|MF 2|＜6， △MF 1F 2为等腰三角形，只能|MF 2|＝2c ＝8，则|MF 2|＝4， 由勾股定理得|MF 2|2＝(4－m )2＋n 2＝16， 又m 236＋n 220＝1，联立并消去n 得 m 2－18m ＋45＝0，且m ∈(0,6)，解得m ＝3，则n ＝15. 则△MF 1F 2的面积为12×8×15＝415.故选D ．二、填空题7．已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆与x 轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1，则椭圆的标准方程为__x 24＋y 23＝1__.[解析] 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋c ＝3a －c ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2c ＝1.故b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1. 8．(福州市2019－2020学年高二期末)若以椭圆上一点和椭圆的两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1，则该椭圆长轴长的最小值为[解析] 由题意可知，因为椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的最大面积为1，即可知bc ＝1，因为a 2＝b 2＋c 2＝b 2＋1b2≥2，所以a ≥2，故长轴长的最小值为22，答案为2 2.三、解答题9．求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在y 轴上，焦距是4，且经过点M (3,2)；(2)a ：c ＝13：5，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.[解析] (1)由焦距是4可得c ＝2，且焦点坐标为(0，－2)，(0,2)．由椭圆的定义知，2a ＝32＋(2＋2)2＋32＋(2－2)2＝8，所以a ＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝16－4＝12. 又焦点在y 轴上，所以椭圆的标准方程为y 216＋x 212＝1.(2)由题意知，2a ＝26，即a ＝13，又a c ＝135，所以c ＝5，所以b 2＝a 2－c 2＝132－52＝144， 因为焦点所在的坐标轴不确定，所以椭圆的标准方程为x 2169＋y 2144＝1或y 2169＋x 2144＝1.10．已知点A (－12，0)，B 是圆F ：(x －12) 2＋y 2＝4(F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，求动点P 的轨迹方程．[解析] 如图所示，由题意知，|P A |＝|PB |，|PF |＋|BP |＝2， ∴|P A |＋|PF |＝2，且|P A |＋|PF |>|AF |， ∴动点P 的轨迹是以A 、F 为焦点的椭圆， ∴a ＝1，c ＝12，b 2＝34.∴动点P 的轨迹方程为x 2＋y 234＝1，即x 2＋43y 2＝1. B 级 素养提升一、选择题1．已知椭圆x 225＋y 29＝1，F 1、F 2分别在其左、右焦点，椭圆上一点M 到F 1的距离是2，N是MF 1的中点，则|ON |的长为( D )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] 由椭圆定义得|MF 2|＋|MF 1|＝2a ＝10， 因为|MF 1|＝2，所以|MF 2|＝8. 因为N 是MF 1的中点，所以|ON |＝|MF 2|2＝4.故选D ． 2．若△ABC 的两个焦点坐标为A (－4,0)、B (4,0)，△ABC 的周长为18，则顶点C 的轨迹方程为( D )A ．x 225＋y 29＝1B ．y 225＋x 29＝1(y ≠0)C ．x 216＋y 29＝1(y ≠0)D ．x 225＋y 29＝1(y ≠0)[解析] ∵|AB |＝8，△ABC 的周长为18，∴|AC |＋|BC |＝10>|AB |，故点C 轨迹为椭圆且两焦点为A 、B ，又因为C 点的纵坐标不能为零，所以选D ．3．(多选题)若方程x 2a 2＋y 2a ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围可以是( AD )A ．a >3B ．a <－2C ．－2<a <3D ．－6<a <－2[解析] 由题意得a 2>a ＋6>0， 解得a >3或－6<a <－2，故选AD ．4．(多选题)直线2x ＋by ＋3＝0过椭圆10x 2＋y 2＝10的一个焦点，则b 的值可以为( AB ) A ．－1 B ．1 C ．－12D ．12[解析] 椭圆方程化为标准形式为x 2＋y 210＝1，∴焦点坐标为(0，±3)，当直线过焦点(0,3)时，b ＝－1；当直线过焦点(0，－3)时，b ＝1.故选AB ．二、填空题5．下列命题是真命题的是__③__.①已知定点F 1(－1,0)，F 2(1,0)，则满足|PF 1|＋|PF 2|＝2的点P 的轨迹为椭圆；②到定点F 1(－3,0)，F 2(3,0)距离相等的点的轨迹为椭圆；③若点P 到定点F 1(－4,0)，F 2(4,0)的距离之和等于点M (5,3)到定点F 1(－4,0)，F 2(4,0)的距离之和，则点P 的轨迹为椭圆．[解析] ①2<2，故点P 的轨迹不存在；②到定点F 1(－3,0)，F 2(3,0)距离相等的点的轨迹是线段F 1F 2的垂直平分线(y 轴)；③点M (5,3)到定点F 1(－4,0)，F 2(4,0)的距离之和为410>8，故点P 的轨迹为椭圆．故填③.6．设F 1、F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任意一点，点M 的坐标为(6,4)，则|PM |＋|PF 1|的最大值为__15__.[解析] 由椭圆的方程可得a ＝5，b ＝4，c ＝3. ∴F 1(－3,0)，F 2(3,0)，如图所示，由椭圆的定义可得，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10，∴|PM |＋|PF 1|＝|PM |＋2a －|PF 2|＝10＋(|PM |－|PF 2|)≤10＋|MF 2|＝10＋32＋42＝15，∴|PM |＋|PF 1|的最大值为15. 三、解答题7．已知椭圆的中心在原点，且经过点P (3,0)，a ＝3b ，求椭圆的标准方程．[解析] 当焦点在x 轴上时，设其方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由椭圆过点P (3,0)，知9a 2＋0b2＝1，又a＝3b，解得b2＝1，a2＝9，故椭圆的方程为x29＋y2＝1.当焦点在y轴上时，设其方程为y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)．由椭圆过点P(3,0)，知0a2＋9b2＝1，又a＝3b，联立解得a2＝81，b2＝9，故椭圆的方程为y281＋x29＝1.故椭圆的标准方程为y281＋x29＝1或x29＋y2＝1.8．如图所示，在圆C：(x＋1)2＋y2＝25内有一点A(1,0)．Q为圆C上一点，AQ的垂直平分线与C，Q的连线交于点M，求点M的轨迹方程．[解析]如图所示，连接MA，由题知点M在线段CQ上，从而有|CQ|＝|MQ|＋|MC|.又点M在AQ的垂直平分线上，所以|MA|＝|MQ|，故|MA|＋|MC|＝|CQ|＝5.又A(1,0)，C(－1,0)，故点M的轨迹是以(1,0)，(－1,0)为焦点的椭圆，且2a＝5，c＝1，故a＝52，b2＝a2－c2＝254－1＝214.故点M的轨迹方程为x2254＋y2214＝1.。

课时跟踪训练(七) 椭圆的标准方程1.已知命题甲：动点P 到两定点A 、B 的距离之和|PA |＋|PB |＝2a ，其中a 为大于0的常数；命题乙：P 点轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分且必要条件D ．既不充分又不必要条件2．设P 是椭圆x 216＋y 212＝1上一点，P 到两焦点F 1、F 2的距离之差为2，则△PF 1F 2是( ) A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形 3．以圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为椭圆的右焦点，且过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32的椭圆的标准方程为( )A.x 23＋y 24＝1 B.x 24＋y 23＝1 C.4x 29＋y 2＝1 D ．x 2＋4y 29＝1 4．若方程x 24＋y 28sin α＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则锐角α的取值范围是( ) A ．(π3，π2) B ．[π3，π2) C ．(π6，π2) D ．[π6，π2) 5．已知椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，－23)且a ＝2b ，则椭圆的标准方程为________________．6．椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|＝4，则|PF 2|＝________，∠F 1PF 2的大小为________．7．求适合下列条件的椭圆的方程．(1)焦点在x 轴上，且经过点(2,0)和点(1，32)； (2)焦点在y 轴上，与y 轴的一个交点为P (0，－10)，点P 到离它较近的一个焦点的距离等于2.8．一动圆过定点A (2,0)，且与定圆x 2＋4x ＋y 2－32＝0内切，求动圆圆心M 的轨迹方程．答 案1．选B 若P 点轨迹是椭圆，则一定有|PA |＋|PB |＝2a (a >0，为常数)，所以甲是乙的必要条件．反过来，若|PA |＋|PB |＝2a (a >0，为常数)，P 点轨迹不一定是椭圆，所以甲不是乙的充分条件，综上，甲是乙的必要不充分条件．2．选B 由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝8.又|PF 1|－|PF 2|＝2，∴|PF 1|＝5，|PF 2|＝3.又|F 1F 2|＝2c ＝216－12＝4，∴△PF 1F 2为直角三角形．3．选B 由已知c ＝1，且焦点在x 轴上， 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2a 2－1＝1， 将点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32代入求得a 2＝4或a 2＝14(舍去)．故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1. 4．选C ∵方程x 24＋y 28sin α＝1表示焦点在y 轴上的椭圆， ∴8sin α>4，sin α>12. ∵α为锐角，∴π6<α<π2. 5．解析：∵c ＝23，a 2＝4b 2，∴a 2－b 2＝3b 2＝c 2＝12， b 2＝4，a 2＝16.又∵焦点在y 轴上，∴标准方程为y 216＋x 24＝1. 答案：y 216＋x 24＝16．解析：∵a 2＝9，b 2＝2，∴c ＝a 2－b 2＝9－2＝7，∴|F 1F 2|＝27.又|PF 1|＝4，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，∴|PF 2|＝2.又由余弦定理得cos ∠F1PF 2＝22＋42－722×2×4＝－12， ∴∠F 1PF 2＝120°.答案：2 120°7．解：(1)∵椭圆焦点在x 轴上， ∴设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)． ∵椭圆经过(2,0)和(1，32)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4a 2＝11a 2＋34b 2＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4b 2＝1 ∴所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1. (2)∵椭圆的焦点在y 轴上，∴设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)． ∵P (0，－10)在椭圆上，∴a ＝10.∵P 到离它较近的一个焦点的距离为2，∴－c －(－10)＝2，∴c ＝8，∴b 2＝a 2－c 2＝36，∴椭圆的标准方程为y 2100＋x 236＝1. 8．解：将圆的方程化为标准形式为(x ＋2)2＋y 2＝62，∴圆心坐标为B (－2,0)，半径为6，如图：由于动圆M 与已知圆B 相内切，设切点为C .∴已知圆(大圆)半径与动圆(小圆)半径之差等于两圆心的距离，即|BC |－|MC |＝|BM |，而|BC |＝6，|CM |＝|AM |，∴|BM |＋|AM |＝6.根据椭圆的定义知M 的轨迹是以点B (－2,0)和点A (2,0)为焦点的椭圆，且2a ＝6. ∴a ＝3，c ＝2，b ＝a 2－c 2＝5，∴所求圆心的轨迹方程为x 29＋y 25＝1.。