2014-2015学年高中数学(人教版必修四)课时训练第二章 2.2 2.2.2 向量数乘运算及其几何意义

第二章 2.2 平面向量的线性运算 2.2.2 向量减法运算及其几何意义课时分层训练‖层级一‖|学业水平达标|1．(2019·涪城区校级期中)设OA →＝a ，OB →＝b ，点P 与R 关于点A 对称，点R 与Q 关于点B 对称，则向量PQ →＝( )A ．2(a －b )B ．2(b －a )C ．12(a －b )D ．12(b －a )解析：选B ∵点P 与R 关于点A 对称，点R 与Q 关于点B 对称， ∴PQ→＝OQ →－OP →＝(OQ →＋OR →)－(OP →＋OR →)＝2OB →－2OA →＝2(b －a )．故选B. 2．如图，已知OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，且四边形ABCD 为平行四边形，则( )A ．a ＋b ＋c ＋d ＝0B ．a －b ＋c －d ＝0C ．a ＋b －c ＋d ＝0D ．a －b －c ＋d ＝0解析：选B 由题意得，BA →＋DC →＝0，∴OA →－OB →＋OC →－OD →＝0，即a －b＋c －d ＝0，故选B.3．已知△ABC 为等腰直角三角形，且A ＝90°，给出下列结论：①|AB →－AC →|＝|AB →＋AC →|； ②|BC→－BA →|＝|CB →－CA →|； ③|AB→－CB →|＝|AC →－BC →|； ④|AB→－AC →|2＝|BC →－AC →|2＋|CB →－AB →|2. 其中正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：选D如图，以AB ，AC 为邻边作▱ABDC ，则它是正方形，根据向量加减法的几何意义可知题中四个结论都正确．故选D.4．在四边形ABCD 中，若AB →＝－CD →，且|AB →－AD →|＝|AB →＋AD →|，则四边形ABCD 为( )A ．平行四边形B ．菱形C ．矩形D ．正方形解析：选C 因为AB→＝－CD →，所以AB →＝DC →，所以四边形ABCD 为平行四边形．因为|AB→＋AD →|＝|AB →－AD →|，所以|AC →|＝|DB →|，即▱ABCD 的对角线相等，所以四边形ABCD 为矩形．故选C ．5．(2019·河南三门峡灵宝三中质检)下列四个式子中可以化简为AB →的是( )①AC →＋CD →－BD →；②AC →－CB →；③OA →＋OB →；④OB →－OA →. A ．①④ B ．①② C ．②③D ．③④解析：选A 因为AC→＋CD →－BD →＝AD →－BD →＝AD →＋DB →＝AB →，所以①正确，排除C 、D ；因为OB→－OA →＝AB →，所以④正确，排除B.故选A ．6．如图，在四边形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，BC →＝c ，则DC →可用a ，b ，c 表示为________．解析：DC →＝AC →－AD →＝AB →＋BC →－AD →＝a －b ＋c .答案：a －b ＋c 7.如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 与BD 交于O 点，则BA →－BC →－OA→＋OD →＋DA →＝________. 解析：BA →－BC →－OA →＋OD →＋DA →＝(BA →－BC →)－(OA →－OD →)＋DA →＝CA →－DA →＋DA→＝CA →. 答案：CA→8．若向量a ，b 满足：|a |＝2，|a ＋b |＝3，|a －b |＝3，则|b |＝________. 解析：由|a ＋b |＝3，|a －b |＝3，可得|a |2＋|b |2＝9，又|a |＝2，解得|b |＝ 5. 答案： 59．设O 是△ABC 内一点，且OA→＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，若以OA ，OB 为邻边作平行四边形，第四个顶点为D ，再以OC ，OD 为邻边作平行四边形，其第四个顶点为H .试用a ，b ，c 表示DC→，OH →，BH →.解：由题意可知四边形OADB 为平行四边形， OD→＝OA →＋OB →＝a ＋b ， ∴DC→＝OC →－OD →＝c －(a ＋b )＝c －a －b . 又∵四边形ODHC 为平行四边形， ∴OH→＝OC →＋OD →＝c ＋a ＋b ， BH→＝OH →－OB →＝a ＋b ＋c －b ＝a ＋c .10.如图所示，已知正方形ABCD 的边长等于1，AB →＝a ，BC →＝b ，AC →＝c ，试求：(1)|a ＋b ＋c |； (2)|a －b ＋c |.解：(1)由已知得，a ＋b ＝AB →＋BC →＝AC →，又AC→＝c ， 延长AC 到E ，使|CE→|＝|AC →|.则a ＋b ＋c ＝AE →，且|AE →|＝2 2.∴|a ＋b ＋c |＝2 2. (2)作BF→＝AC →，连接CF ， 则DB→＋BF →＝DF →， 而DB→＝AB →－AD →＝a －BC →＝a －b ， ∴a －b ＋c ＝DB →＋BF →＝DF →，且|DF →|＝2.∴|a －b ＋c |＝2.‖层级二‖|应试能力达标|1．(2019·山东淄博六中期中)对于菱形ABCD ，给出下列各式：①AB →＝BC →；②|AB →|＝|BC →|；③|AB →－CD →|＝|AD →＋BC →|；④|AD →＋CD →|＝|CD →－CB →|.其中正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C 在菱形ABCD 中，向量AB →与BC →的方向是不同的，但它们的模是相等的，所以②正确，①错误；因为|AB→－CD →|＝|AB →＋DC →|＝2|AB →|，|AD →＋BC →|＝2|BC→|，且|AB →|＝|BC →|，所以|AB →－CD →|＝|AD →＋BC →|，所以③正确；因为|AD →＋CD →|＝|BC→＋CD →|＝|BD →|，|CD →－CB →|＝|CD →＋BC →|＝|BD →|，所以④正确．综上所述，正确的个数为3，故选C ．2．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，|BC →|2＝16，|AB →＋AC →|＝|AB→－AC →|，则|AM →|＝( ) A ．8 B ．4 C ．2D ．1解析：选C 以AB →，AC →为邻边作▱ACDB ，则|AD →|＝|AB →＋AC →|，|CB →|＝|AB →－AC →|.因为|AB→＋AC →|＝|AB →－AC →|，所以|AD →|＝|CB →|，所以四边形ACDB 为矩形，故AC ⊥AB ，所以AM 为Rt △BAC 斜边BC 上的中线，因此|AM→|＝12|BC →|＝2.故选C ．3．若O 是△ABC 内的一点，且OA →＋OB →＋OC →＝0，则O 是△ABC 的( )A ．重心B ．垂心C ．内心D ．外心解析：选A ∵OA→＋OB →＋OC →＝0，OA →＋OB →是以OA →，OB →为邻边的平行四边形的对角线且过AB 的中点，设AB 的中点为D ，则OA →＋OB →＝2OD →，∴2OD →＋OC →＝0.∴|OD→|＝12|OC →|.又∵D 为AB 的中心，C ，O ，D 三点共线， ∴O 为△ABC 的重心．4．已知△ABC 的三个顶点A ，B ，C 及平面内一点P 满足P A →＋PB →＝PC →，则下列结论正确的是( )A ．点P 在△ABC 的内部B ．点P 在△ABC 的边AB 上 C ．点P 在AB 边所在直线上D ．点P 在△ABC 的外部解析：选D 由P A →＋PB →＝PC →，可得P A →＝PC →－PB →＝BC →，∴四边形PBCA 为平行四边形，∴点P 在△ABC 的外部．故选D.5．如图，已知ABCDEF 是一正六边形，O 是它的中心，其中OB →＝b ，OC →＝c ，则EF→等于________．解析：EF →＝CB →＝OB →－OC →＝b －c .答案：b －c6．对于向量a ，b ，当且仅当________时，有|a －b |＝||a |－|b ||.解析：当a ，b 不同向时，根据向量减法的几何意义，知一定有|a －b |>||a |－|b ||，所以只有两向量共线且同向时，才有|a －b |＝||a |－|b ||.答案：a 与b 同向7．已知|AB →|＝6，|AD →|＝9，则|AB →－AD →|的取值范围是________．解析：∵||AB→|－|AD →||≤|AB →－AD →|≤|AB →|＋|AD →|，且|AD →|＝9，|AB →|＝6，∴3≤|AB →－AD→|≤15，∴|AB →－AD →|的取值范围为[3,15]． 答案：[3,15]8．(2018·江苏泰州中学模考)已知△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，M 是斜边AB 的中点，CM→＝a ，CA →＝b ，求证： (1)|a －b |＝|a |； (2)|a ＋(a －b )|＝|b |.证明：(1)如图，在等腰直角三角形ABC 中，由M 是斜边AB 的中点，得|CM →|＝|AM→|，|CA →|＝|CB →|.在△ACM 中，AM→＝CM →－CA →＝a －b .于是由|AM →|＝|CM →|，得|a －b |＝|a |. (2)MB→＝AM →＝a －b ， 在△MCB 中，CB→＝MB →－MC →＝a －b ＋a ＝a ＋(a －b )，从而由|CB →|＝|CA →|，得|a ＋(a －b )|＝|b |.由Ruize收集整理。

(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．在三角形ABC 中，BC →＝a ，CA →＝b ，则AB →＝( ) A ．a －b B ．b －a C ．a ＋bD ．－a －b解析： AB →＝CB →－CA →＝－BC →－CA →＝－a －b . 答案： D2．在△ABC 中，|AB →|＝|BC →|＝|CA →|＝1，则|BC →－AC →|的值为( ) A ．0 B ．1 C .3D ．2解析： |BC →－AC →|＝|BC →＋CA →|＝|BA →|＝1. 答案： B3．若O ，E ，F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( ) A .EF →＝OF →＋OE → B .EF →＝OF →－OE → C .EF →＝－OF →＋OE →D .EF →＝－OF →－OE →解析： EF →＝EO →＋OF →＝OF →－OE →＝EO →－FO →＝－OE →－FO →.故选B . 答案： B4．已知一点O 到▱ABCD 的3个顶点A ，B ，C 的向量分别是a ，b ，c ，则向量OD →等于( )A ．a ＋b ＋cB ．a －b ＋cC ．a ＋b －cD ．a －b －c解析： 如图，点O 到平行四边形的三个顶点A ，B ，C 的向量分别是a ，b ，c ，结合图形有OD →＝OA →＋AD →＝OA →＋BC →＝OA →＋OC →－OB →＝a －b ＋c .答案： B二、填空题(每小题5分，共15分) 5．下列四个等式： ①a ＋b ＝b ＋a ； ②－(－a )＝a ； ③AB →＋BC →＋CA →＝0； ④a ＋(－a )＝0，其中正确的是________(填序号)．解析： 由向量的运算律及相反向量的性质可知①②④是正确的，③符合向量的加法法则，也是正确的．答案： ①②③④6．若a ，b 为相反向量，且|a |＝1，|b |＝1，则|a ＋b |＝________，|a －b |＝________． 解析： 若a ，b 为相反向量，则a ＋b ＝0，∴|a ＋b |＝0， 又a ＝－b ，∴|a |＝|－b |＝1，∵a 与－b 共线，∴|a －b |＝2. 答案： 0 27．在△ABC 中，D 是BC 的中点，设AB →＝c ，AC →＝b ，BD →＝a ，AD →＝d ，则d －a ＝________，d ＋a ＝________．解析： 根据题意画出图形，如下图，d －a ＝AD →－BD →＝AD →＋DB →＝AB →＝c ；d ＋a ＝AD →＋BD →＝AD →＋DC →＝AC →＝b . 答案： c b三、解答题(每小题10分，共20分) 8．化简：(1)MN →－MP →＋NQ →－PQ →； (2)BD →＋DC →＋AB →－AC →. 解析： (1)MN →－MP →＋NQ →－PQ →＝(MN →＋NQ →)－(MP →＋PQ →)＝MQ →－MQ →＝0.(2)BD →＋DC →＋AB →－AC →＝(BD →＋DC →)＋(AB →－AC →) ＝BC →＋CB →＝0.9．如图，解答下列各题： (1)用a ，d ，e 表示DB →； (2)用b ，c 表示DB →； (3)用a ，b ，e 表示EC →； (4)用d ，c 表示EC →.解析： 由图可知AB →＝a ，BC →＝b ，CD →＝c ，DE →＝d ，EA →＝e . (1)DB →＝DE →＋EA →＋AB →＝d ＋e ＋a . (2)DB →＝CB →－CD →＝－BC →－CD →＝－b －c . (3)EC →＝EA →＋AB →＋BC →＝a ＋b ＋e . (4)EC →＝－CE →＝－(CD →＋DE →)＝－c －d .。

数学 ·必修 4(人教 A 版)2．3 平面向量的基本定理及坐标表示2．3.2 平面向量的正交分解、坐标表示及坐标运算预习导学基 础提高．若 →＝(2， 3)，且点 A 的坐标为 (1,2)，则点 B 的坐标为 ( )1 ABA ．(1,1)B.(－1，1)C.(3，5)D.(4， 4)答案： C．已知平行四边形 为原点 ， → →2 OABC(O＝(2,0)，OB ＝(3,1)，则) OAOC 等于( )A ．(1,1)B ．(1，－ 1)C ．(－ 1，－ 1)D ． (－1,1)分析：→→ → →OC ＝AB ＝OB －OA ＝(3,1)－(2,0)＝(1,1)，应选 A.答案： A3．若向量 a＝(1,1)，b＝(1，－ 1)，c＝ (－1,2)，则 c 等于 () 1313A．－2a＋2b B.2a－2b3131C.2a－2b D．－2a＋2b答案： B4．已知 a＝(1，2)，b＝(2， 3)，实数 x，y 知足 xa＋yb＝(3，4)，则 x＝________.答案：－1π5．若将向量 a＝( 3，1)按逆时针方向旋转2获得向量 b，则 b 的坐标为 ________．答案： (－ 1，3)6．已知平行四边形 ABCD 中，A(1,1)，B(6,1)，C(8,5)，则点 D 的坐标为 ________．答案： (3，5)巩固提高7．作用于原点的两个力F1＝(2，2)，F2＝(1，3)，为使它们均衡，需加力 F3＝________.答案： (－3，－5)8．已知 A(2， 3)，B(4，－ 3)，点 P 在线段 AB 的延伸线上，且AP →＝32 PB→，求点 P 的坐标．分析：设 P x，y ，由点 P 在线段 AB 的延伸线上，且AP→＝32 PB→，得3x－2，y－3 ＝2 x－4， y＋3 ，2x－4＝3x－12，x＝8，即解得2y－6＝3y＋9，y ＝－ 15.∴P 点的坐标为8，－ 15 .9．已知 A(－2,1)，B(1, 7)，求线段 AB 的三平分点 P，Q 的坐标 (其中 P距点 A近)．分析：设 P(x，y)，∵P 为 AB 的三平分点，→ 1 →，即＋，－＝1∴AP＝1)．3AB(x 2y3(3,6)x＋2＝1，x＝－ 1，∴?y－1＝2，y＝3.∴P(－1,3)同理可求 Q(0,5)．10．在正方形ABCD 中， P 为对角线 BD 上的一点， PECF 是矩形，用向量方法证明PA＝EF ．证明：成立如右图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为a，→2a)，则 F 2λ， 0则 A(0，a)．设 |DP|＝λ(0＜λ＜2，222P 2λ，2λ，E a，2λ，→＝22因此 EFλ－，－λ，2a2→2λ，a－2PA＝－22λ，由于→ 222 |EF | ＝λ－ 2aλ＋a，→ 222 |PA| ＝λ－2aλ＋a，因此→→|EF |＝|PA|，即 EF ＝PA.．已知点，，及→→→＝OA＋tAB，试求 t 为什么11O(0,0)A(1,2)B(4,5)OP值时：(1)点 P 在 x 轴；(2)点 P 在 y 轴；(3)点 P 在第一象限．→分析：∵OP＝(1＋3t,3t＋2)，∴P(1＋3t,3t＋2)．2(1)若点 P 在 x 轴上，则 2＋3t＝0，∴t＝－3；1(2)若点 P 在 y 轴上，则 1＋3t＝0，∴t＝－3；1＋3t>0，1(3)若点 P 在第一象限上，则t>－3.2＋3t>0，。

2.2.3 向量数乘运算及其几何意义课时目标 1.掌握向量数乘的定义.2.理解向量数乘的几何意义.3.了解向量数乘的运算律.4.理解向量共线的条件．1．向量数乘运算实数λ与向量a 的积是一个__________，这种运算叫做向量的__________，记作________，其长度与方向规定如下： (1)|λa |＝__________.(2)λa (a ≠0)的方向⎩⎪⎨⎪⎧当 时，与a 方向相同当 时，与a 方向相反；特别地，当λ＝0或a ＝0时，0a ＝________或λ0＝________. 2．向量数乘的运算律 (1)λ(μa )＝________.(2)(λ＋μ)a ＝____________. (3)λ(a ＋b )＝____________.特别地，有(－λ)a ＝____________＝________； λ(a －b )＝____________. 3．共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使______________． 4．向量的线性运算向量的____、____、________运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a 、b ，以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有 λ(μ1a ±μ2b )＝__________________.一、选择题1．设e 1，e 2是两个不共线的向量，若向量m ＝－e 1＋k e 2 (k ∈R )与向量n ＝e 2－2e 1共线，则( )A ．k ＝0B ．k ＝1C ．k ＝2D ．k ＝122．已知向量a 、b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( ) A ．B 、C 、D B ．A 、B 、C C ．A 、B 、D D ．A 、C 、D3．已知△ABC 的三个顶点A ，B ，C 及平面内一点P ，且P A →＋PB →＋PC →＝AB →，则( ) A ．P 在△ABC 内部 B ．P 在△ABC 外部C ．P 在AB 边上或其延长线上D ．P 在AC 边上4．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．55．在△ABC 中，点D 在直线CB 的延长线上，且CD →＝4BD →＝rAB →＋sAC →，则r －s 等于( )A ．0 B.45 C.83D ．36．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，BC →2＝16，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，则|AM →|等于( )A ．8B ．4C ．2D ．1题 号1 2 3 4 5 6 答 案7．若2⎝⎛⎭⎫y －13a －12(c ＋b －3y )＋b ＝0，其中a 、b 、c 为已知向量，则未知向量y ＝_______. 8．已知平面内O ，A ，B ，C 四点，其中A ，B ，C 三点共线，且OC →＝xOA →＋yOB →，则x ＋y ＝________.9. 如图所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD →＝______.(填写正确的序号)①－BC →＋12BA →②－BC →－12BA →③BC →－12BA →④BC →＋12BA →10. 如图所示，在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，M 为BC 的中点，则MN →＝______.(用a ，b 表示)三、解答题11．两个非零向量a 、b 不共线．(1)若A B →＝a ＋b ，B C →＝2a ＋8b ，C D →＝3(a －b )，求证：A 、B 、D 三点共线； (2)求实数k 使k a ＋b 与2a ＋k b 共线．12. 如图所示，在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，M 为BC 的中点，则MN →＝______.(用a ，b 表示)能力提升13．已知O 是平面内一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|(λ∈[0，＋∞))，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心14．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F .若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →等于( ) A.14a ＋12b B.23a ＋13b C.12a ＋14b D.13a ＋23b2．2.3 向量数乘运算及其几何意义知识梳理1．向量 数乘 λa (1)|λ||a | (2)λ>0 λ<0 0 02．(1)(λμ)a (2)λa ＋μa (3)λa ＋λb －(λa ) λ(－a ) λa －λb 3．b ＝λa4．加 减 数乘 λμ1a ±λμ2b 作业设计1．D [当k ＝12时，m ＝－e 1＋12e 2，n ＝－2e 1＋e 2.∴n ＝2m ，此时，m ，n 共线．]2．C [∵BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋4b ＝2AB →， ∴A 、B 、D 三点共线．]3．D [P A →＋PB →＋PC →＝PB →－P A →，∴PC →＝－2P A →，∴P 在AC 边上．]4．B [∵MA →＋MB →＋MC →＝0， ∴点M 是△ABC 的重心． ∴AB →＋AC →＝3AM →，∴m ＝3.]5．C [∵CD →＝CB →＋BD →＝4BD →， ∴CB →＝3BD →.∴CD →＝AD →－AC →＝AB →＋BD →－AC → ＝AB →＋13CB →－AC →＝AB →＋13(AB →－AC →)－AC →＝43AB →－43AC → ∴r ＝43，s ＝－43，r －s ＝83.]6．C [∵BC →2＝16， ∴|BC →|＝4.又|AB →－AC →|＝|CB →|＝4， ∴|AB →＋AC →|＝4.∵M 为BC 中点，∴AM →＝12(AB →＋AC →)，∴|AM →|＝12|AB →＋AC →|＝2.]7.421a －17b ＋17c 8．1解析 ∵A ，B ，C 三点共线，∴∃λ∈R 使AC →＝λAB →. ∴OC →－OA →＝λ(OB →－OA →)． ∴OC →＝(1－λ)OA →＋λOB →.∴x ＝1－λ，y ＝λ，∴x ＋y ＝1. 9．①解析 －BC →＋12BA →＝CB →＋12BA →＝CB →＋BD →＝CD →.10.14(b －a ) 解析 MN →＝MB →＋BA →＋AN →＝－12b －a ＋34AC →＝－12b －a ＋34(a ＋b )＝14(b －a )． 11．(1)证明 ∵A D →＝A B →＋B C →＋C D →＝a ＋b ＋2a ＋8b ＋3a －3b ＝6a ＋6b ＝6A B →，∴A 、B 、D 三点共线．(2)解 ∵k a ＋b 与2a ＋k b 共线，∴k a ＋b ＝λ(2a ＋k b )． ∴(k －2λ)a ＋(1－λk )b ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧k －2λ＝0，1－λk ＝0⇒k ＝±2. 12．证明 设BA →＝a ，BC →＝b ，则由向量加法的三角形法则可知： CM →＝BM →－BC →＝12BA →－BC →＝12a －b .又∵N 在BD 上且BD ＝3BN ，∴BN →＝13BD →＝13(BC →＋CD →)＝13(a ＋b )，∴CN →＝BN →－BC →＝13(a ＋b )－b ＝13a －23b ＝23⎝⎛⎭⎫12a －b ， ∴CN →＝23CM →，又∵CN →与CM →共点为C ，∴C 、M 、N 三点共线．13．B [AB →|AB →|为AB →上的单位向量，AC →|AC →|为AC →上的单位向量，则AB →|AB →|＋AC→|AC →|的方向为∠BAC 的角平分线AD →的方向．又λ∈[0，＋∞)，∴λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|的方向与AB →|AB →|＋AC →|AC →|的方向相同．而OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，∴点P 在AD →上移动．∴点P 的轨迹一定通过△ABC 的内心．] 14．B [如图所示，∵E 是OD 的中点， ∴OE →＝14BD →＝14b .又∵△ABE ∽△FDE ， ∴AE EF ＝BE DE ＝31. ∴AE →＝3EF →，∴AE →＝34AF →.在△AOE 中，AE →＝AO →＋OE →＝12a ＋14b .∴AF →＝43AE →＝23a ＋13b .]。

数学·必修 4(人教 A 版)2．3平面向量的基本定理及坐标表示2．3.1平面向量基本定理基础提高1．假如 e1、e2是平面α内全部向量的一组基底，那么 ()A ．若实数λ、λ使λ ＋λ＝0，则λ＝λ＝0 121e12e212B．空间任一直量＋λ，这里λ、λ是实数a 能够表示为 a＝λ1e12e212、λ，λ ＋λ不必定在平面α内C．对实数λ121e12e2D．对平面α中的任一直量 a，使 a＝λ1e1＋λ的实数λ、λ有无2e212数对答案： A2．假如 3e1＋4e2＝a,2e1＋3e2＝b，此中 a，b 为已知向量，则 e1＝________， e2＝ ________.- 1 -3．设 e1，e2是平面内一组基底，假如→→＋AB＝3e1－2e2，BC＝4e1→e2，CD＝8e1－9e2，则共线的三点是 ()A．A、 B、C B．B、C、 DC．A、 B、D D．A、C、D答案： C4．设 e1，e2是平面内全部向量的一组基底，则下边四组向量中，不可以作为基底的是 ()A．e1＋e2和 e1－e2B．3e1－2e2和 4e2－6e1C．e1＋2e2和 e2＋2e1D．e2和 e1＋ e2分析：∵4e2－6e1＝－ 2(3e1－2e2)，∴3e1－2e2与 4e2－6e1共线，应选 B.答案： B5．已知向量 a，b 不共线，实数 x，y 知足 (3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则 x－y＝________.分析：由题意，得 3x－4y＝6 且 2x－3y＝3，解得 x＝ 6，y＝3，∴x －y＝3.答案： 3巩 固提高6．以下列图所示， 已知 E 、F 分别是矩形 ABCD 的边 BC 、CD 的中→ → →点，EF 与 AC 交于点 G ，若AB ＝a ，AD ＝ b ，用 a 、b 表示 AG ＝________.分析： ∵E 、F 分别为相应边中点，∴→3→3 3 3 AG ＝ 4AC ＝4(a ＋b)＝4a ＋4b.3 3答案： 4a ＋4b→ 1 → →7．在三角形 ABC 中， AE ＝5AB ，EF ∥BC 交 AC 于 F 点，设 AB → → ＝a ，AC ＝b ，试用 a ，b 表示向量 BF.分析：以下图，→1→→→→∵AE＝5AB，EF ∥BC 交 AC 于 F 点，∴BF＝BE＋EF4→ 1 →＝5BA＋5BC4 → 1 →→＝－5AB＋5 AC－AB→ 1 →1＝－ AB＋5AC＝－ a＋5b.8．若 a，b 是两个有同样起点且不共线的非零向量，当t(t∈R)为1何值时，三向量a，tb，3(a＋b)的终点在同一条直线上？→→→ 1→ →→2分析：设OA＝a，OB＝tb，OC＝3(a＋b)，∴AC＝OC－OA＝－3a1→ →→→→＋3b，AB＝OB－OA＝tb－a.要使 A，B，C 三点共线，则 AC＝λAB，221－3＝－λ，11即－3a＋3b＝λtb－λa，∴1解得 t＝2.∴当 t＝2时，三3＝λt，向量终点在同向来线上．9．在平行四边形ABCD 中， E 和 F 分别是边 CD 和 BC 的中点，→→→若AC＝λAE＋μAF，此中λ，μ∈ R，则λ＋μ＝________________________________________________________ ________________.→→→1→1→分析：设 BC＝b，BA＝a，则 AF＝2b－a，AE＝b－2a，AC＝ b－→→→24a.代入条件 AC＝λAE＋μAF得λ＝μ＝3.∴ λ＋μ＝3.。

第二章平面向量2.2 平面向量的线性运算 2.2.1 向量加法运算及其几何意义课后篇巩固探究基础巩固1.在四边形ABCD 中,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则四边形ABCD 是 ( )A.梯形B.矩形C.正方形D.平行四边形,四边形ABCD 是以AB,AD 为邻边的平行四边形.2.如图所示,四边形ABCD 是梯形,AD ∥BC,AC 与BD 交于点O,则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.CD ⃗⃗⃗⃗⃗ B.OC ⃗⃗⃗⃗⃗ C.DA ⃗⃗⃗⃗⃗D.CO⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC⃗⃗⃗⃗⃗ .3.已知向量a ∥b,且|a|>|b|>0,则向量a+b 的方向 ( )A.与向量a 的方向相同B.与向量a 的方向相反C.与向量b 的方向相同D.不确定a 和b 方向相同,则它们的和的方向应该与a(或b)的方向相同;若它们的方向相反,而a 的模大于b 的模,则它们的和的方向与a 的方向相同.4.如图,在正六边形ABCDEF 中,BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +FB ⃗⃗⃗⃗ 等于( ) A.0 B.BE ⃗⃗⃗⃗⃗ C.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ D.CF⃗⃗⃗⃗CD⃗⃗⃗⃗⃗ =AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +FB ⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AF ⃗⃗⃗⃗⃗ +FB ⃗⃗⃗⃗ =0.5.向量(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+(AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 化简后等于( ) A.AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B.PA ⃗⃗⃗⃗⃗ C.PC ⃗⃗⃗⃗D.PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+(AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =PO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =PC ⃗⃗⃗⃗ .6.在矩形ABCD 中,若AB=2,BC=1,则|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |= .ABCD 是矩形,所以对角线AC=√22+12=√5,于是|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√5. √57.如图,在平行四边形ABCD 中,写出下列各式的结果:(1)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ = ; (2)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DO ⃗⃗⃗⃗⃗ = ; (3)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD⃗⃗⃗⃗⃗ = ;(4)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ = .由平行四边形法则可知为AC⃗⃗⃗⃗⃗ ; (2)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DO ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DO ⃗⃗⃗⃗⃗ =AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ; (3)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ;(4)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0.AC ⃗⃗⃗⃗⃗ (2)AO ⃗⃗⃗⃗⃗ (3)AD ⃗⃗⃗⃗⃗ (4)08.如图所示,若P 为△ABC 的外心,且PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =PC ⃗⃗⃗⃗ ,则∠ACB= .P 为△ABC 的外心,所以PA=PB=PC,因为PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =PC ⃗⃗⃗⃗ ,由向量的线性运算可得四边形PACB 是菱形,且∠PAC=60°,所以∠ACB=120°.9.是否存在a,b,使|a+b|=|a|=|b|?请画出图形说明.,如图,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,OB⃗⃗⃗⃗⃗ =b,OA=OB=OC,∠AOB=120°,∠AOC=∠COB=60°. 10.如图所示,P,Q 是△ABC 的边BC 上两点,且BP=QC.求证:AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +AQ⃗⃗⃗⃗⃗ .AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ +QC⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ +QC ⃗⃗⃗⃗⃗ . ∵PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与QC ⃗⃗⃗⃗⃗ 大小相等,方向相反, ∴PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +QC⃗⃗⃗⃗⃗ =0. 故AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ +0=AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +AQ⃗⃗⃗⃗⃗ . 能力提升1.已知四边形ABCD 为菱形,则下列等式中成立的是 ( )A.AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗B.AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗C.AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗D.AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC⃗⃗⃗⃗⃗ABCD 是菱形,所以也是平行四边形,于是AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故C 项正确.2.设a=(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ )+(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ),b 是任一非零向量,则在下列结论中: ①a ∥b;②a+b=a;③a+b=b;④|a+b|<|a|+|b|;⑤|a+b|=|a|+|b|. 正确结论的序号是( ) A.①⑤B.②④⑤C.③⑤D.①③⑤a=(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+(CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 又b 为任一非零向量,∴①③⑤均正确.3.如图,已知电线AO 与天花板的夹角为60°,电线AO 所受拉力|F 1|=24 N.绳BO 与墙壁垂直,所受拉力|F 2|=12 N,则F 1与F 2的合力大小为 ,方向为 .OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB⃗⃗⃗⃗⃗ 为邻边作平行四边形BOAC,则F 1+F 2=F,即OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC⃗⃗⃗⃗⃗ ,则∠OAC=60°,|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=24,|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=12, ∴∠ACO=90°,∴|OC⃗⃗⃗⃗⃗ |=12√3. ∴F 1与F 2的合力大小为12√3N,方向为竖直向上.√3 N 竖直向上 4.如图,在△ABC 中,O 为重心,D,E,F 分别是BC,AC,AB 的中点,化简下列三式:(1)BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗ +EA ⃗⃗⃗⃗⃗ ; (2)OE ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +EA ⃗⃗⃗⃗⃗ ; (3)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +FE ⃗⃗⃗⃗ +DC⃗⃗⃗⃗⃗ .BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗ +EA ⃗⃗⃗⃗⃗ =BE ⃗⃗⃗⃗⃗ +EA ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA⃗⃗⃗⃗⃗ . (2)OE ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +EA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(OE ⃗⃗⃗⃗⃗ +EA ⃗⃗⃗⃗⃗ )+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ . (3)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +FE ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC⃗⃗⃗⃗⃗ . 5.一艘船在水中航行,水流速度与船在静水中航行的速度均为5 km/h.如果此船实际向南偏西30°方向行驶2 km,然后又向西行驶2 km,你知道此船在整个过程中的位移吗?,用AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示船的第一次位移,用CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示船的第二次位移,根据向量加法的三角形法则知AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 可表示两次位移的和位移. 由题意知,在Rt △ABC 中,∠BAC=30°, 则BC=12AC=1,AB=√3.在等腰三角形ACD 中,AC=CD=2, 所以∠D=∠DAC=12∠ACB=30°,所以∠BAD=60°,AD=2AB=2√3,所以两次位移的和位移的方向是南偏西60°,位移的大小为2√3km. 6.如图所示,一架飞机从A 地按北偏东35°的方向飞行800 km 到达B 地,然后又从B 地按南偏东55°的方向飞行600 km 到达C 地,求这架飞机飞行的路程及两次位移的和(参考数据:sin 37°=0.6).AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 分别表示飞机从A 地按北偏东35°的方向飞行800km,从B 地按南偏东55°的方向飞行600km,则飞机飞行的路程指的是|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |+|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |;两次位移的和指的是AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ .依题意,有|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |+|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=800+600=1400(km),∠ABC=35°+55°=90°.在Rt △ABC 中,|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=√8002+6002=1000(km),其中∠BAC=37°,所以方向为北偏东35°+37°=72°.从而飞机飞行的路程是1400km,两次飞行的位移和的大小为1000km,方向为北偏东72°.。

数学·必修 4(人教 A 版)2．4平面向量的数目积2．4.2平面向量数目积的坐标表示、模、夹角基础提高1．设 m，n 是两个非零向量， m＝(x1，y1)，n＝(x2，y2)，则以下不等式与 m⊥n 等价的个数有 ()①m·n＝ 0；② x1· x2＝－ y1y2；③ |m ＋n| ＝ |m －n| ；④ |m ＋ n| ＝m2＋n2.A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个答案： D2．已知 a＝(2，－ 2)，b＝(－ 1，0)，向量λa＋b 与 a－2b 垂直，则实数λ的值为 ()1111A.3B．－3C．－6 D.6答案： A3．已知向量 a＝(1，－ 1)，b＝(－1，x)，若 a＋b 与 2b－a 平行，则实数 x 的值是 ()A．－ 2B． 0C．1D．2答案： Cπ4．(2013 江·西卷 )设 e1，e2 为单位向量，且e1，e2 的夹角为3，若 a ＝e1＋3e2，b＝2e1，则向量 a 在 b 方向上的射影为 ________．分析：因为 a ＝e1＋3e2，b ＝2e1，1 因此 |b| ＝2，a ·b ＝(e1＋3e2) ·2e1＝2e21＋6e1·e2＝2＋6×＝5，2a ·b5因此 a 在 b 方向上的射影为 |a| ·cos 〈a ，b 〉＝ |b| ＝2.5答案： 25．已知 a ＝(4，2)，则与 a 垂直的单位向量坐标为 ________．答案：5 2 5 或 － 5 2 5 5 ，－ 5 5 ， 56．已知向量 a ，b 夹角为 45°，且 |a| ＝1， |2a －b| ＝ 10，则 |b| ＝ ________.答案： 3 2巩 固 提 高7．已知 △ABC 的三个极点分别为 A (2，5)，B (5，2)，C (10，7)，判断三角形的形状．分析：由 A (2，5)，B (5，2)， C (10，7)得→＝(－3，3)， →＝(5，5)，BABC→ →∴BA ·BC ＝0.∴∠ B ＝90°，∴△ ABC 为直角三角形．8．已知向量 a ＝3e1－2e2，b ＝4e1＋e2，此中 e1＝(1，0)，e2＝(0，1).(1)求 a ·b ；(2)求| a ＋b | ；(3)求 a 与 b 的夹角的余弦值．分析： (1)由 e1＝(1，0)，e2＝(0，1)得a ＝3e1－2e2＝(3，－ 2)，b ＝4e1＋e2＝(4，1)，∴a ·b ＝12－2＝10.(2)a ＋b ＝(7，－ 1)，∴| a ＋b | ＝5 2.a ·b ＝10＝10 221(3)cos 〈a ，b 〉＝ | a | | b |13× 17221.9．已知向量 a ＝(1，2)，b ＝(x ，1)，(1)当 x 为什么值时，使 (a ＋2b )∥(2a －b )？(2)当 x 为什么值时，使 (a ＋2b )⊥(2a －b )？分析：由 a ＝(1，2)，b ＝(x ，1)，得a ＋2b ＝(2x ＋1，4)，2a －b ＝(2－x ，3).(1)∵ (a ＋2b )∥(2a －b )，1∴3(2x ＋1)－4(2－x )＝0，解得 x ＝2.(2)∵ (a ＋2b )⊥(2a －b )，7∴(2x ＋1)(2－x)＋12＝0，解得 x ＝－ 2 或 x ＝2.10．已知三个点 A (2，1)，B (3，2)，D (－1，4).→⊥ →；(1)求证： AB AD(1)证明：由 A (2，1)，B (3，2)，D (－1，4)，得 →＝(1，1)， →＝ (－3，3)，AB AD→ → ＝1×(－3 )＋1×3＝0，又AB·AD→→∴AB ⊥AD.(2)要使四边形 ABCD 为矩形，求点 C 的坐标，并求矩形 ABCD 两对角线所夹的锐角的余弦值．(2)分析：∵四边形 ABCD 为矩形，且 AB ⊥AD ，→→∴AD ＝BC.设点 C (x ，y )，则 (－3，3)＝(x －3，y －2)，－3＝x －3，x ＝0，∴∴3＝y －2， y ＝5.∴点 C 的坐标为 (0，5).→ → 又AC ＝(－2，4)，BD ＝(－4， 2)，→ →＝8＋8＝16，而 → ＝25，→＝2 5， ∴AC·BD AC BD → → 设AC 与BD 的夹角为 θ，则 → → 16 4cos ＝θ AC ·BD→ → ＝ ＝ .2 5×25 5AC BD。

[学业水平训练]1．在四边形ABCD 中，AC →＝AB →＋AD →，则( ) A ．ABCD 一定是矩形 B ．ABCD 一定是菱形 C ．ABCD 一定是正方形D ．ABCD 一定是平行四边形解析：选D.由AC →＝AB →＋AD →知A ，B ，C ，D 构成的四边形一定是平行四边形． 2.AB →＋BC →＋CD →＋DE →＋EF →＋FA →＝( )A ．0B ．0C ．2AD →D ．－2AD →解析：选B.由向量加法的运算法则可知AB →＋BC →＋CD →＋DE →＋EF →＋FA →＝0.3．已知a ，b ，c 是非零向量，则(a ＋c )＋b ，b ＋(a ＋c )，b ＋(c ＋a )，c ＋(a ＋b )，c ＋(b ＋a )中，与向量a ＋b ＋c 相等的个数为( )A ．5B ．4C ．3D ．2解析：选A.依据向量加法的交换律及结合律，每个向量式均与a ＋b ＋c 相等，故选A. 4．向量a 、b 均为非零向量，则下列说法不正确的是( )A ．若向量a 与b 反向，且|a |>|b |，则向量a ＋b 与a 的方向相同B ．若向量a 与b 反向，且|a |<|b |，则向量a ＋b 与a 的方向相同C ．若向量a 与b 同向，则向量a ＋b 与a 的方向相同D ．若向量a 与b 的方向相同或相反，则a ＋b 的方向必与a 、b 之一的方向相同 解析：选B.对于B ，向量a ＋b 与b 的方向相同，故选B.5. 如图所示，四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，则OA →＋BC →＋AB →＝( )A.CD →B.OC →C.DA →D.CO →解析：选B.OA →＋BC →＋AB →＝OA →＋AB →＋BC →＝OC →.6．化简(AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →＝________．解析：原式＝(AB →＋BO →)＋(OM →＋MB →)＋BC →＝AO →＋OB →＋BC →＝AB →＋BC →＝AC →.答案：AC →7．在正方形ABCD 中，边长为1，AB →＝a ，BC →＝b ，则|a ＋b |＝________．解析：a ＋b ＝AB →＋BC →＝AC →，∴|a ＋b |＝|AC →|＝ 2. 答案：28．在平行四边形ABCD 中，若|BC →＋BA →|＝|BC →＋AB →|，则四边形ABCD 是________．解析：由图知|BC →＋BA →|＝|BD →|.又|BC →＋AB →|＝|AD →＋AB →|＝|AC →|， ∴|BD →|＝|AC →|.∴四边形ABCD 为矩形． 答案：矩形9．如图，请在图中直接标出(1)AB →＋BC →； (2)AB →＋BC →＋CD →＋DE →.解：如图所示，(1)向量AC →等于AB →＋BC →；(2)向量AE →等于AB →＋BC →＋CD →＋DE →.10．已知四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，且AO →＝OC →，DO →＝OB →. 求证：四边形ABCD 是平行四边形．证明：AB →＝AO →＋OB →，DC →＝DO →＋OC →，又∵AO →＝OC →，OB →＝DO →，∴AB →＝DC →.∴AB ＝CD 且AB ∥DC .∴四边形ABCD 为平行四边形．[高考水平训练]1．已知|AB →|＝10，|BC →|＝7，则|AC →|的取值范围是( ) A ．[3，17] B ．[3，17) C ．[3，10] D ．(3，10]解析：选A.∵AC →＝AB →＋BC →， ∴|AC →|＝|AB →＋BC →|≤|AB →|＋|BC →|＝17(当且仅当AB →与BC →同向时取得等号)． 又|AC →|≥||AB →|－|BC →||＝3，∴3≤|AC →|≤17.2. 如图，已知△ABC 是直角三角形且∠A ＝90°，则在下列结论中正确的是________．①|AB →＋AC →|＝|BC →|； ②|AB →＋BC →|＝|CA →|； ③|AB →＋CA →|＝|BC →|； ④|AB →|2＋|AC →|2＝|BC →|2. 解析：①正确．以AB ，AC 为邻边作▱ABDC ，又∠A ＝90°， 所以▱ABDC 为矩形，所以AD ＝BC ，所以|AB →＋AC →|＝|AD →|＝|BC →|.②正确．|AB →＋BC →|＝|AC →|＝|CA →|.③正确．|AB →＋CA →|＝|CB →|＝|BC →|.④正确．由勾股定理知|AB →|2＋|AC →|2＝|BC →|2. 答案：①②③④3．一艘船以 5 km/h 的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成30°角，求水流速度和船实际航行速度．解：如图所示，OA →表示水流速度，OB →表示船垂直于对岸的方向行驶的速度，OC →表示船实际航行的速度，∠AOC ＝30°，|OB →|＝5.∵四边形OACB 为矩形，∴|OA →|＝|AC →|tan 30°＝53，|OC →|＝|OB →|sin 30°＝10，∴水流速度大小为5 3 km/h ，船实际航行速度为10 km/h. 4．如图，已知向量a ，b ，c ，d ，(1)求作a ＋b ＋c ＋d .(2)设|a |＝2，e 为单位向量，求|a ＋e |的最大值．解：(1)在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，BC →＝c ，CD →＝d ，则OD →＝a ＋b ＋c ＋d .(2)在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝e ，则a ＋e ＝OA →＋AB →＝OB →，因为e 为单位向量，所以点B 在以A 为圆心的单位圆上(如图所示)． 由图可知当B 在点B 1时，O ，A ，B 1三点共线， |OB →|即|a ＋e |最大，最大值是3.希望对大家有所帮助，多谢您的浏览！。

数学 ·必修 4(人教 A 版)2.2 平面向量的线性运算2．2.1向量加法、减法运算及其几何意义基 础 提 升．化简 → → →PM －PN ＋MN 所得结果是 ()1→ →C ．0→ A.MP B.NPD.MN答案： C．在△ 中， → ＝ → ＝ → ＝ ，则 → →ABC|BC| |CA|－AC 的值为()2 |AB| 1 |AB |A ．0B ．1 C. 3D ． 2答案： B3．已知向量 a ∥b ，且 |a|>|b|>0，则向量 a ＋b 的方向 ( )A ．与向量 a 方向同样B ．与向量 a 方向相反C ．与向量 b 方向同样D ．与向量 b 方向相反答案： A→ → →4．在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O ，AB ＋AD ＝ λAO ，则 λ＝________.答案： 2．向量 → → ＋ →→ ＋ → 等于()(AB ＋MB (BO ＋BCOM 5 ))→→ → → A.BCB.ABC.ACD.AM →→ ＋ → ＋ → ＋ → ＝ → ＋ → ＋ → ＋ → ＋ → ＝ → ＋ 分析： (AB ＋MB )BC) OM(MB BO) OM(BO (AB BC) AC→→ → MO ＋OM ＝AC.应选 C.答案： C稳固提升→ →6．已知 |OA|＝|a|＝3，|OB|＝|b|＝3，∠ AOB ＝ 120°，则 |a ＋b|＝________. 答案： 3．如图，已知 为平行四边行 内一点， → →→O ABCD＝a ，OB ＝b ，OC ＝c ，7OA求→OD.分析：∵→→ → → → → → → → → → →BA ＝CD ，BA ＝OA －OB ，CD ＝OD －OC ，∴OD －OC ＝OA －OB ，→→→→ → OD ＝OA －OB ＋OC ，∴ OD ＝a － b ＋c.．在正六边形 中， → →→ABCDEF AE ＝m ，AD ＝n ，则 BA ＝__________.8分析：在正六边形 ABCDEF 中，→ → → →BA ＝DE ＝AE －AD ＝m －n.答案：m －n19．已知：△ ABC 中， D 、E 分别是边 AB 、AC 的中点．求证： DE 綊2BC.证明：由于 D 、E 分别为 AB 、AC 的中点，故 →＝1→，→＝1→AD2ABAE2AC.→＝→－→＝1→－→ ＝1→ DE AE AD2(AC AB) 2BC.1因此 DE 綊2BC.。

§2.2 平面向量的线性运算 2．2.1 向量加法运算及其几何意义课时目标 1.理解向量加法的法则及其几何意义.2.能用法则及其几何意义，正确作出两个向量的和．1．向量的加法法则 (1)三角形法则如图所示，已知非零向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB →＝a ，BC →＝b ，则向量________叫做a 与b 的和(或和向量)，记作__________，即a ＋b ＝AB →＋BC →＝________.上述求两个向量和的作图法则，叫做向量求和的三角形法则．对于零向量与任一向量a 的和有a ＋0＝________＋______＝______. (2)平行四边形法则如图所示，已知两个不共线向量a ，b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则O 、A 、B 三点不共线，以______，______为邻边作__________，则对角线上的向量________＝a ＋b ，这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则． 2．向量加法的运算律(1)交换律：a ＋b ＝______________.(2)结合律：(a ＋b )＋c ＝______________________.一、选择题 1．已知向量a 表示“向东航行1 km ”，向量b 表示“向南航行1 km ”，则a ＋b 表示( ) A ．向东南航行 2 km B ．向东南航行2 km C ．向东北航行 2 km D ．向东北航行2 km2．如图，在平行四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，下列结论正确的是( )A.AB →＝CD →，BC →＝AD →B.AD →＋OD →＝DA →C.AO →＋OD →＝AC →＋CD →D.AB →＋BC →＋CD →＝DA →3．在四边形ABCD 中，AC →＝AB →＋AD →，则( ) A ．四边形ABCD 一定是矩形 B ．四边形ABCD 一定是菱形 C ．四边形ABCD 一定是正方形D ．四边形ABCD 一定是平行四边形4．a ，b 为非零向量，且|a ＋b |＝|a |＋|b |，则( ) A ．a ∥b ，且a 与b 方向相同 B ．a ，b 是共线向量且方向相反 C ．a ＝bD ．a ，b 无论什么关系均可5. 如图所示，在平行四边形ABCD 中，BC →＋DC →＋BA →等于( )A. BD →B. DB →C. BC →D. CB →6. 如图所示，在正六边形ABCDEF 中，若AB ＝1，则|AB →＋FE →＋CD →|等于( )C ．3D ．2 3 题 号 1 2 3 4 5 6 答 案7．在平行四边形ABCD 中，BC →＋DC →＋BA →＋DA →＝________.8．已知在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，则AB →＋BC →＋AC →的模等于________． 9．已知|a |＝3，|b |＝5，则向量a ＋b 模长的最大值是____．10. 设E 是平行四边形ABCD 外一点，如图所示，化简下列各式(1)DE →＋EA →＝________； (2)BE →＋AB →＋EA →＝________； (3)DE →＋CB →＋EC →＝________； (4)BA →＋DB →＋EC →＋AE →＝________.三、解答题11．一艘船以5 km/h 的速度向垂直于对岸方向行驶，船实际航行方向与水流方向成30°角，求水流速度和船实际速度．12. 如图所示，在平行四边形ABCD 的对角线BD 的延长线和反向延长线上取点F ，E ，使BE ＝DF .求证：四边形AECF 是平行四边形．能力提升13．已知点G 是△ABC 的重心，则GA →＋GB →＋GC →＝______.14．在水流速度为4 3 km /h 的河中，如果要船以12 km/h 的实际航速与河岸垂直行驶，求船航行速度的大小和方向．1．三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是统一的．当两个向量首尾相连时常选用三角形法则，当两个向量共始点时，常选用平行四边形法则． 2．向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行．§2.2 平面向量的线性运算 2．2.1 向量加法运算及其几何意义答案知识梳理1．(1)AC → a ＋b AC → 0 a a (2)OA OB 平行四边形 OC → 2．(1)b ＋a (2)a ＋(b ＋c ) 作业设计1．A 2.C 3.D 4.A5．C [BC →＋DC →＋BA →＝BC →＋(DC →＋BA →)＝BC →＋0＝BC →.]6．B [|AB →＋FE →＋CD →|＝|AB →＋BC →＋CD →|＝|AD →|＝2.] 7．0解析 注意DC →＋BA →＝0，BC →＋DA →＝0. 8．213解析 |AB →＋BC →＋AC →|＝|2AC →|＝2|AC →|＝213. 9．8解析 ∵|a ＋b |≤|a |＋|b |＝3＋5＝8. ∴|a ＋b |的最大值为8.10．(1)DA → (2)0 (3)DB → (4)DC →11．解如图所示，OA →表示水流速度，OB →表示船垂直于对岸的方向行驶的速度，OC →表示船实际航行的速度，∠AOC ＝30°，|OB →|＝5 (km/h)． ∵四边形OACB 为矩形，∴|OA →|＝|AC →|tan 30°＝5 3 (km/h)，|OC →|＝|OB →|sin 30°＝10 (km/h)，∴水流速度大小为5 3 km /h ，船实际速度为10 km/h.12．证明 AE →＝AB →＋BE →，FC →＝FD →＋DC →，因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AB →＝DC →，因为FD ＝BE ，且FD →与BE →的方向相同，所以FD →＝BE →，所以AE →＝FC →，即AE 与FC 平行且相等， 所以四边形AECF 是平行四边形． 13．0解析如图所示，连接AG并延长交BC于E点，点E为BC的中点，延长AE到D点，使GE＝ED，则GB→＋GC→＝GD→，GD→＋GA→＝0，∴GA→＋GB→＋GC→＝0.14．解如图，设AB→表示水流速度，则AC→表示船航行的实际速度，作AD綊BC，则AD→即表示船航行的速度．因为|AB→|＝4 3，|AC→|＝12，∠CAB＝90°，所以tan∠ACB＝4 312＝33，即∠ACB＝30°，∠CAD＝30°.所以|AD→|＝8 3，∠BAD＝120°.即船航行的速度大小为8 3 km/h，方向与水流方向所成角为120°.。

双曲线方程及性质的应用(30分钟50分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.(2014²重庆高二检测)已知双曲线x2-y2=2,过定点P(2,0)作直线l与双曲线有且只有一个交点,则这样的直线l的条数为( )A.1B.2C.3D.4【解析】选B.因为点P(2,0)在双曲线含焦点的区域内,故只有当直线l与渐近线平行时才会与双曲线只有一个交点,故这样的直线只有两条.【变式训练】过双曲线x2-=1的右焦点作直线与双曲线交于A,B两点,若|AB|=16,这样的直线有( ) A.一条 B.两条 C.三条 D.四条【解析】选C.过右焦点且垂直于x轴的弦长为16,因为|AB|=16,所以当l与双曲线的两交点都在右支上时只有一条.又因为实轴长为2,16>2,所以当l与双曲线的两交点在左、右两支上时应该有两条,共三条. 2.(2014²长春高二检测)已知双曲线E的中心在原点,F(3,0)是E的焦点,过F的直线l与E相交于A,B两点,且AB中点为N(-12,-15),则E的方程为( )A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1【解析】选 B.由已知条件易得直线l的斜率k==1,设双曲线方程为-=1(a>0,b>0),A(x1,y1),B(x2,y2),则-=1,-=1,两式相减并结合x1+x2=-24,y1+y2=-30得=,从而=1,又因为a2+b2=c2=9,故a2=4,b2=5,所以E的方程为-=1.【拓展延伸】解决与双曲线弦的中点有关问题的两种方法(1)根与系数的关系法:联立直线方程和双曲线方程构成方程组,消去一个未知数,利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决.(2)点差法:利用端点在曲线上,坐标满足方程,将端点坐标分别代入双曲线方程,然后作差,构造出中点坐标和斜率的关系,可求斜率k=.这是解决与中点有关问题的简便而有效的方法.求弦中点轨迹问题,此方法依然有效.3.(2014²郑州高二检测)双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,过F1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M点,若MF2⊥x轴,则双曲线的离心率为( )A. B. C. D.【解题指南】将x=c代入双曲线方程求出点M的坐标,通过解直角三角形列出三参数a,b,c的关系,求出离心率的值.【解析】选B.将x=c代入双曲线的方程得y=,即M,在△MF1F2中,tan30°=,即=,解得e==.4.F1,F2是双曲线-y2=1的两个焦点,过右焦点F2作倾斜角为的弦AB,则△F1AB的面积为( )A. B.2 C. D.【解析】选B.由双曲线-y2=1,得a2=3,b2=1,c2=a2+b2=4,所以c=2,F1(-2,0),F2(2,0),直线AB:y=x-2.由得2x2-12x+15=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=6,x1²x2=,所以|AB|=|x1-x2|=²=2.又F1到直线AB:x-y-2=0的距离为:d==2,所以=³d³|AB|=³2³2=2.5.(2014²攀枝花高二检测)P是双曲线-=1右支上的一点,M,N分别是圆(x+5)2+y2=4和(x-5)2+y2=1上的点,则|PM|-|PN|的最大值为( )A.9B.8C.7D.6【解析】选A.由双曲线-=1,知a2=9,b2=16,所以c2=25,所以c=5.因此双曲线左、右焦点分别是F1(-5,0),F2(5,0),由圆的方程知,两圆的圆心分别为左、右焦点,由双曲线的定义知|PF1|-|PF2|=2a=6,结合图形当M为PF1延长线与圆交点时PM最长,当N为PF2与圆交点时PN最短,此时|PM|-|PN|最大,故最大值为6+2+1=9.6.(2014²天津高二检测)已知双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),过左焦点F1作斜率为的直线交双曲线的右支于点P,且y轴平分线段F1P,则双曲线的离心率为( )A. B.+1 C. D.2+【解析】选A.由双曲线-=1(a>0,b>0),得左焦点F1(-c,0),则直线方程为y=(x+c).又PF1的中点在y轴上,故P点横坐标为x P=c,代入直线y=(x+c),得y P=c,又点P在双曲线上,故-=1,即c4-a2c2+a4=0,所以e4-e2+1=0,解得e=或e=(舍).二、填空题(每小题4分,共12分)7.过点A(6,1)作直线与双曲线x2-4y2=16相交于两点B,C,且A为线段BC的中点,则直线的方程为.【解题指南】根据直线经过点A(6,1),设出直线方程y-1=k(x-6);根据点A(6,1)为线段BC的中点,应用中点坐标公式,确定B,C的坐标关系;应用“点差法”确定直线的斜率.【解析】依题意可得直线的斜率存在,设为k(k≠0),则直线的方程为y-1=k(x-6).设B(x1,y1),C(x2,y2),因为点A(6,1)为线段BC的中点,所以x1+x2=12,y1+y2=2.因为点B,C在双曲线x2-4y2=16上,所以由②-①得:(x2-x1)(x2+x1)-4(y2-y1)(y2+y1)=0,所以k====,所以经检验,直线的方程为y-1=(x-6),即3x-2y-16=0.答案:3x-2y-16=08.(2014²福州高二检测)设双曲线-=1的右顶点为A,右焦点为F.过点F且与双曲线的一条渐近线平行的直线与另一条渐近线交于点B,则△AFB的面积为.【解题指南】由双曲线的方程可得a,b的值,进而可得c的值,得到A,F两点的坐标.因此可设BF的方程为y=±(x-5),与双曲线的渐近线方程联立,得到点B的坐标,即可算出△AFB的面积.【解析】根据题意,得a2=9,b2=16,所以c==5,且A(3,0),F(5,0).因为双曲线-=1的渐近线方程为y=±x.所以直线BF的方程为y=±(x-5).①若直线BF的方程为y=(x-5),与渐近线y=-x交于点B,此时S△AFB=|AF|²|y B|=³2³=;②若直线BF的方程为y=-(x-5),与渐近线y=x交于点B.此时S△AFB=|AF|²|y B|=³2³=.因此,△AFB的面积为.答案:9.(2014²景德镇高二检测)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0),若存在过右焦点F的直线与双曲线C相交于A,B两点,且=3,则双曲线离心率的最小值为.【解析】因为过右焦点的直线与双曲线C相交于A,B两点且=3,故直线与双曲线相交只能是如图所示的情况,即A点在双曲线的左支,B点在右支,设A(x1,y1),B(x2,y2),右焦点F(c,0),因为=3,所以c-x1=3(c-x2),3x2-x1=2c,由图可知,x1≤-a,x2≥a,所以-x1≥a,3x2≥3a,故3x2-x1≥4a,即2c≥4a,≥2,即e ≥2,所以离心率的最小值为2.答案:2三、解答题(每小题10分,共20分)10.(2014²遵义高二检测)设双曲线C:-y2=1(a>0)与直线l:x+y=1交于两个不同的点A,B,求双曲线C的离心率e的取值范围.【解析】由C与l相交于两个不同的点,可知方程组有两组不同的解,消去y,并整理得(1-a2)x2+2a2x-2a2=0,①所以解得0<a<,且a≠1,而双曲线C的离心率e==,从而e>,且e≠,即双曲线C的离心率e的取值范围为∪(,+∞).【举一反三】本题若加上条件“设直线l与y轴交于点P,且=”.求a的值.【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),且P(0,1),因为=,所以(x1,y1-1)=(x2,y2-1),得x1=x2.由于x1,x2是方程①的两个根,所以x1+x2=-,x1x2=-,即x2=-,=-,消去x2,得-=,解得a=.11.(2014²荆州高二检测)双曲线C的中点在原点,右焦点为F,渐近线方程为y=±x.(1)求双曲线C的方程.(2)设直线L:y=kx+1与双曲线交于A,B两点,问:当k为何值时,以AB为直径的圆过原点?【解题指南】(1)设出双曲线方程-=1,由条件建立关于a,b的方程组求解.(2)只需根据OA⊥OB,即x1x2+y1y2=0求出k的值.【解析】(1)设双曲线的方程为-=1,由焦点坐标得c=,渐近线方程为y=±x=±x,结合c2=a2+b2得a2=,b2=1⇒-y2=1.(2)由得(3-k2)x2-2kx-2=0,由Δ>0,且3-k2≠0,得-<k<,且k≠±.设A(x1,y1),B(x2,y2),因为以AB为直径的圆过原点,所以OA⊥OB,所以x1x2+y1y2=0.又x1+x2=,x1x2=,所以y1y2=(kx1+1)(kx2+1)=k2x1x2+k(x1+x2)+1=1,所以+1=0,解得k=±1.(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.若点O和点F1(-2,0)分别是双曲线-y2=1(a>0)的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的一点,并且P点与右焦点F2的连线垂直x轴,则线段OP的长为( )A. B. C. D.【解析】选B.由条件知a2+1=4,因为a>0,所以a=,又PF2⊥x轴,把x=2代入-y2=1得y2=.所以|OP|==.【举一反三】若本题条件不变时,点P是右支上任意一点,求²的取值范围.【解析】设P(x0,y0),由题目可知-=1,且x0≥,又F1(-2,0),所以²=(x0,y0)²(x0+2,y0)=+2x0+=+2x0+-1=+2x0-1=-.因为x0≥,所以x0=时,²最小,其值为3+2.即²∈[3+2,+∞).2.(2014²兰州高二检测)直线y=kx+2与双曲线x2-y2=2有且只有一个交点,那么k的值是( )A.k=±1B.k=±C.k=±1或k=±D.k=±【解析】选C.联立直线y=kx+2与双曲线x2-y2=2,消元,得:(1-k2)x2-4kx-6=0,当1-k2=0时,k=±1,此时方程只有一解;当1-k2≠0时,要满足题意,Δ=16k2+24(1-k2)=0,即k=±.综上知:k的值是k=±1或k=±.3.(2014²温州高二检测)F是双曲线-=1(a>0,b>0)的一个焦点,过F作直线l与一条渐近线平行,直线l与双曲线交于点M,与y轴交于点N,若=,则双曲线的离心率为( )A. B. C. D.【解析】选B.不妨设F为右焦点,则F(c,0),直线l与直线y=x平行,则l方程为:y=(x-c),设l与双曲线的交点M坐标为(x1,y1),与y轴交点坐标为N(0,y0),则=(x1-c,y1),=(-x1,y0-y1).由=,得x1=c,代入直线l方程得y1=-.又M在双曲线上,故-=1,解得c2=3a2,所以e=.【变式训练】已知点F1,F2是双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过F2且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点,若△ABF1是锐角三角形,则该双曲线的离心率e的取值范围是( )A.(+1,+∞)B.(1,)C.(1,1+)D.(,+∞)【解析】选C.设F2(c,0),将x=c代入双曲线方程,得y=±,令A,B,由△ABF1是锐角三角形,可得tan∠AF1F2=<1,故b2<2ac,所以c2-2ac-a2<0,两边同除以a2可得e2-2e-1<0,可解得1-<e<1+,又e>1,故1<e<1+,选C.4.(2014²黄石高二检测)已知平面上两点M(-5,0)和N(5,0),若直线上存在点P使|PM|-|PN|=6,则称该直线为“单曲型直线”,下列直线中是“单曲型直线”的是( )①y=x+1; ②y=2; ③y=x; ④y=2x+1.A.①③B.③④C.②③D.①②【解析】选D.因为|PM|-|PN|=6,所以点P在以M,N为焦点的双曲线的右支上,即-=1(x>0).对于①,联立消y得7x2-18x-153=0,因为Δ=(-18)2-4³7³(-153)>0,所以y=x+1是“单曲型直线”.对于②,联立消y得x2=,所以y=2是“单曲型直线”.对于③,联立整理得0=1,不成立,所以y=x不是“单曲型直线”.对于④,联立消y得20x2+36x+153=0,因为Δ=362-4³20³153<0,所以y=2x+1不是“单曲型直线”.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2014²哈尔滨高二检测)双曲线C的中心为原点O,焦点在x轴上,一条渐近线记为l1,经过右焦点F且垂直于l1的直线交l1于A.已知||=2||,则双曲线C的离心率为.【解析】不妨设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),则两条渐近线方程分别为l1:y=x,l2:y=-x.因为||=2||,所以==,即=,所以e=.答案:6.(2014²莆田高二检测)已知直线x=3与双曲线C:-=1的渐近线交于E1,E2两点,记=e1,=e2,任取双曲线上的点P,若=a e1+b e2(a,b∈R),则下列关于a,b的表述:①4ab=1;②0<a2+b2<;③a2+b2≥1;④a2+b2≥;⑤ab=1,其中正确的是.【解题指南】由已知条件,求出E1,E2点的坐标,表示出向量,及向量,从而得出点P的坐标代入双曲线方程,得出a,b的关系求解.【解析】由双曲线-=1,得渐近线方程y=±x,所以E1(3,2),E2(3,-2),所以=e1=(3,2),=e2=(3,-2),=a e1+b e2=a(3,2)+b(3,-2)=(3(a+b),2(a-b)).又点P在双曲线C上,故(a+b)2-(a-b)2=1,所以得4ab=1,故①正确.又a2+b2≥2ab=,所以④正确.答案:①④三、解答题(每小题12分,共24分)7.(2014²南昌高二检测)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0),如图,B是右顶点,F是右焦点,点A在x轴正半轴上,且满足:||,||,||成等比数列,过F作双曲线C在第一、三象限的渐近线的垂线l,垂足为P.(1)求证:²=².(2)若l与双曲线C的左右两支分别相交于点E,D,求双曲线离心率e的取值范围.【解析】(1)双曲线的渐近线为y=±x,F(c,0),所以直线l的斜率为:-,所以直线l:y=-(x-c).由得P,因为||,||,||成等比数列,所以x A²c=a2,所以x A=,A,=,=,=所以²=-,²=-,则²=².(2)由得,x2+2cx-=0,因为点E,D分别在左右两支上,所以<0,所以b2>a2,所以e2>2,所以e>.8.(2014²长春高二检测)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率e=,过点A(0,-b)和B(a,0)的直线与原点的距离是.(1)求双曲线的方程及渐近线方程.(2)若直线y=kx+5(k≠0)与双曲线交于不同的两点C,D,且两点都在以A为圆心的同一个圆上,求k的值. 【解析】(1)直线AB的方程为:+=1,即bx-ay-ab=0.又原点O到直线AB的距离=⇒ab=c,由得所求双曲线方程为-y2=1,渐近线方程为:y=±x.(2)由(1)可知A(0,-1),设C(x1,y1),D(x2,y2),由|AC|=|AD|得:所以3+3+(y1+1)2=3+3+(y2+1)2,整理得:(y1-y2)[2(y1+y2)+1]=0,因为k≠0,所以y1≠y2,所以y1+y2=-,又由⇒(1-3k2)y2-10y+25-3k2=0,所以y1+y2==-,得k2=7,由Δ=100-4(1-3k2)(25-3k2)>0⇒0<k2<,k2=7满足此条件,故满足题设的k=±.【一题多解】(2)由⇒(1-3k2)x2-30kx-78=0,设C(x1,y1),D(x2,y2),CD的中点M(x0,y0),因为|AC|=|AD|,所以M在CD的中垂线AM上,因为l AM:y+1=-x,所以+1=-²,整理得k2=7,解得k=±.(k2=7满足1-3k2≠0且Δ>0).。

抛物线方程及性质的应用(30分钟50分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.(2014²安阳高二检测)过点(-1,0)且与抛物线y2=x有且仅有一个公共点的直线有( )A.1条B.2条C.3条D.4条【解析】选C.点(-1,0)在抛物线y2=x的外部,故过(-1,0)且与其有且仅有一个公共点的直线有三条,其中两条为切线,一条为x轴.【举一反三】若把本题中的点(-1,0)改为(1,1),则此时与y2=x只有一个公共点的直线有( )A.1条B.2条C.3条D.4条【解析】选B.因为点(1,1)在抛物线y2=x上,所以作与y2=x只有一个公共点的直线有两条,其中一条为切线,一条为平行于x轴的直线.2.(2014²桂林高二检测)设F为抛物线y2=4x的焦点,A,B,C为抛物线上不同的三点,点F是△ABC的重心,O为坐标原点,△OFA,△OFB,△OFC的面积分别为S1,S2,S3,则++=( )A.9B.6C.3D.2【解析】选C.A,B,C在抛物线上,所以设A,B,C,抛物线y2=4x的焦点为(1,0),所以y1+y2+y3=0,=1,所以++=12,所以++=³1³(++)=3.3.(2014²莆田高二检测)若抛物线y2=x上两点A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线y=x+b对称,且y1y2=-1,则实数b的值为( )A.-3B.3C.2D.-2【解析】选D.因为A,B关于直线y=x+b对称,故kAB=-1, 设AB的方程为y=-x+t,与y2=x联立,消去x得y2+y-t=0,所以y1+y2=-1,y1²y2=-t=-1,所以t=1,得x1+x2=3.由AB 的中点在直线y=x+b 上, 所以=+b,即-=+b,得b=-2.4.(2013²新课标全国卷Ⅱ)设抛物线C:y 2=4x 的焦点为F,直线l 过F 且与C 交于A,B 两点.若|AF|=3|BF|,则l 的方程为( ) A.y=x-1或y=-x+1 B.y=(x-1)或y=-(x-1) C.y=(x-1)或y=-(x-1) D.y=(x-1)或y=-(x-1)【解析】选C.由题意,可设|BF|=x,则|AF|=3x,设直线l 与抛物线的准线相交于点M,则由抛物线的定义可知:=,所以|MB|=2x,所以直线l 的倾斜角为60°或120°,即直线l 的斜率为±,故选C.【一题多解】选 C.抛物线y 2=4x 的焦点坐标为(1,0),准线方程为x=-1,设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),因为|AF|=3|BF|,所以x 1+1=3(x 2+1),所以x 1=3x 2+2.因为|y 1|=3|y 2|,x 1=9x 2,所以x 1=3,x 2=,当x 1=3时,=12,所以此时y 1=±=±2,若y 1=2,则A(3,2),B ,此时k AB =,直线方程为y=(x-1).若y 1=-2,则A(3,-2),B,此时k AB =-,直线方程为y=-(x-1).5.已知抛物线y 2=2px(p>0),过焦点F 且斜率为1的直线交抛物线于A,B 两点,若线段AB 的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为( ) A.x=1B.x=-1C.x=2D.x=-2【解析】选B.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), 则线段AB 的中点为,所以=2,因为A,B 在抛物线y 2=2px 上, 所以①-②得-=2p(x 1-x 2), 所以k AB ===,因为kAB=1,所以p=2,所以抛物线方程为y2=4x,所以准线的方程为x=-1.【拓展延伸】“中点弦”处理方法当涉及弦中点的坐标、弦所在直线斜率之间的关系时,可以“设而不求”,采用平方差法.(1)代端点.把弦的两端点坐标(x1,y1),(x2,y2)代入圆锥曲线方程.(2)“平方差”.将两方程作差,利用平方差公式.(3)得斜率.把x1+x2=2x,y1+y2=2y(中点坐标(x,y))代入可得,即直线的斜率.(4)求结论.由点斜式求直线方程或代入转化求其他.6.(2014²成都高二检测)已知抛物线C的方程为x2=y,过点A(0,-1)和点B(t,3)的直线与抛物线C没有公共点,则实数t的取值范围是( )A.(-∞,-1)∪(1,+∞)B.∪C.(-∞,-2)∪(2,+∞)D.(-∞,-)∪(,+∞)【解析】选D.据已知可得直线AB的方程为y=x-1,联立直线与抛物线方程,得消元整理,得2x2-x+1=0,由于直线与抛物线无公共点,即方程2x2-x+1=0无解,故有Δ=-8<0,解得t>或t<-.二、填空题(每小题4分,共12分)7.(2014²北京高二检测)已知直线l:y=kx+1与抛物线C:y2=x,则“k≠0”是“直线l与抛物线C有两个不同交点”的条件.【解析】直线l与抛物线C有两个不同交点,即方程组有两组不同的实数解,等价于方程k2x2+(2k-1)x+1=0有两个不同的实根,由得k<且k≠0,故是必要而不充分条件.答案:必要而不充分8.(2014²广州高二检测)设A,B是抛物线y=-x2上的两个动点,且|AB|=6,则AB的中点M到x轴的距离的最小值为.【解析】当线段AB过抛物线的焦点时,AB的中点M到x轴的距离最小.因为|AB|=6,结合抛物线的定义知,A,B两点到准线的距离之和为6,所以中点M到准线的距离为3,另抛物线y=-x2化为x2=-4y,其准线为y=1,则AB的中点M到x轴的距离为2.答案:2【变式训练】(2014²吉林高二检测)设AB为抛物线y2=x上的动弦,且|AB|=2,则弦AB的中点M到y轴的最小距离为( )A.2B.C.1D.【解析】选B.设弦的端点为A(x1,y1),B(x2,y2),弦AB的中点M到y轴的距离最短,则弦AB过焦点,所以x 1++x2+=2,所以弦AB的中点M到y轴的最小距离为-=.9.(2014²长春高二检测)抛物线焦点在y轴上,截得直线y=x+1的弦长为5,则抛物线的标准方程为.【解析】设抛物线方程为x2=my,联立抛物线方程与直线y=x+1方程并消元,得:2x2-mx-2m=0,所以x1+x2=,x1x2=-m,所以5=,把x1+x2=,x1x2=-m代入解得m=4或-20,所以抛物线的标准方程为x2=4y或x2=-20y.答案:x2=4y或x2=-20y三、解答题(每小题10分,共20分)10.(2014²长沙高二检测)已知顶点在原点、对称轴为坐标轴且开口向右的抛物线过点M(4,-4),(1)求抛物线的方程.(2)过抛物线焦点F的直线l与抛物线交于不同的两点A,B,若|AB|=8,求直线l的方程.【解析】(1)由已知可设所求抛物线的方程为y2=2px(p>0),而点M(4,-4)在抛物线上,则(-4)2=8p,所以p=2,故所求抛物线方程为y2=4x.(2)由(1)知F(1,0),若直线l垂直于x轴,则A(1,2),B(1,-2),此时|AB|=4,与题设不符;若直线l与x轴不垂直,可设直线l的方程为y=k(x-1),再设A(x1,y1),B(x2,y2),由⇒k2x2-2(k2+2)x+k2=0, 于是则|AB|===, 令=8,解得k=±1,从而,所求直线l的方程为y=±(x-1).11.(2013²福建高考)如图,抛物线E:y2=4x的焦点为F,准线l与x轴的交点为A.点C 在抛物线E上,以C为圆心,为半径作圆,设圆C与准线l交于不同的两点M,N.(1)若点C的纵坐标为2,求.(2)若=²,求圆C的半径.【解题指南】(1)利用垂径定理求圆的弦长MN.(2)先设C的坐标,写出圆方程,联立方程,然后结合已知条件列式求解.【解析】(1)抛物线y2=4x的准线l的方程为x=-1,由点C的纵坐标为2,得点C的坐标为(1,2),所以点C到准线l的距离d=2,又|CO|=.所以|MN|=2=2=2.(2)设C,则圆C的方程为+(y-y0)2=+,即x2-x+y2-2yy=0.由x=-1,得y2-2yy+1+=0,设M(-1,y1),N(-1,y2),则:由|AF|2=|AM|²|AN|,得|y1y2|=4,所以+1=4,解得y=±,此时Δ>0,所以圆心C的坐标为或,从而|CO|2=,|CO|=,即圆C的半径为.(30分钟50分) 一、选择题(每小题4分,共16分)1.已知抛物线y2=4x的焦点为F,过点F的直线l与该抛物线交于A,B两点,直线l与该抛物线的准线交于点C,且点F为AC的中点,则|AB|等于( )A. B. C.4 D.2【解析】选B.如图,设A(x1,y1),B(x2,y2),因为F(1,0)为AC的中点,所以有2=x1-1得x1=3,则直线l的方程可写为y=x-,联立⇒3x2-10x+3=0. 由根与系数的关系得,|AB|=x1+x2+p=+2=.2.过抛物线y2=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A,B两点,它们的横坐标之和等于5,则这样的直线( )A.有且仅有一条B.有且仅有两条C.有无穷多条D.不存在【解析】选B.设过焦点的直线为y=k(x-1)[因焦点坐标为(1,0),故k不存在时,A,B横坐标均为1,和为2,不合题意],设A(x1,y1),B(x2,y2),⇒k2x2-(2k2+4)x+k2=0,其中k≠0,否则只有一个交点,x1+x2==5,即2+=5,解得k=±,故这样的直线有且仅有两条.3.(2013²大纲版全国卷)已知抛物线C:y2=8x与点M,过C的焦点,且斜率为k的直线与C交于A,B 两点,若²=0,则k=( )A. B. C. D.2【解题指南】先求出抛物线的焦点,列出过焦点的直线方程,与抛物线联立,化简成关于x的一元二次方程,利用根与系数的关系代入求解.【解析】选D.由题意知,直线AB的方程为y=k(x-2),将其代入到y2=8x得,k2x2-4(k2+2)x+4k2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=4.①又y 1+y 2=k(x 1+x 2)-4k,② y 1y 2=k 2[x 1x 2-2(x 1+x 2)+4].③ 因为²=0,所以(x 1+2,y 1-2)²(x 2+2,y 2-2)=0, 即x 1x 2+2(x 1+x 2)+y 1y 2-2(y 1+y 2)+8=0.④ 由①②③④得,k=2.4.(2014²杭州高二检测)如图,已知抛物线的方程为x 2=2py(p>0),过点A(0,-1)作直线l 与抛物线相交于P,Q 两点,点B 的坐标为(0,1),连接BP,BQ,设QB,BP 与x 轴分别相交于M,N 两点.如果QB 的斜率与PB 的斜率的乘积为-3,则∠MBN 的大小等于( )A.B.C.D.【解析】选D.设P 点坐标为,Q 点坐标为,因为A,P,Q 三点共线,所以k PA =k QA ,即=,所以-=-===0,因为x P ≠x Q ,所以x P x Q -2p=0.又kPB +kQB=+===0,又kBP ²kBQ=-3,得kBP=,kBQ=-,所以∠BNM=∠BMN=,故∠MBN=.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2013²浙江高考)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,过点P(-1,0)的直线l交抛物线C于A,B两点,点Q为线段AB的中点,若|FQ|=2,则直线l的斜率等于.【解题指南】由抛物线方程可知F的坐标,再利用待定系数法表示A,B两点的坐标,根据|FQ|=2求解. 【解析】设直线l:y=k(x+1),由消去y得,k2x2+(2k2-4)x+k2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1²x2=1,设AB的中点Q(x,y),则x0=-,y=k(x+1)=,因为|FQ|=2,F(1,0),所以+=4,所以k2=1,k=±1.答案:±16.(2014²北京高二检测)过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F作倾斜角为60°的直线与抛物线分别交于A,B 两点(点A在x轴上方),则= .【解析】记|AF|=a,|BF|=b,准线为l,分别过A,B作AA1⊥l,BB1⊥l,则|AA1|=|AF|=a,|BB1|=|BF|=b,再过B作BM⊥AA1于M.在Rt△BMA中,∠ABM=30°,AM=a-b,AB=a+b,于是a+b=2(a-b),a=3b,故所求为3.答案:3【一题多解】⇒A,B,F.|AF|=2p,|BF|=,故所求为3.答案:3三、解答题(每小题12分,共24分)7.(2014²重庆高二检测)在平面直角坐标系xOy中,F是抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,圆Q过O点与F点,且圆心Q到抛物线C的准线的距离为.(1)求抛物线C的方程.(2)过F作倾斜角为60°的直线l,交曲线C于A,B两点,求△OAB的面积.【解析】(1)由F,所以圆心Q在线段OF的垂直平分线x=上,又因为准线方程为x=-,所以-=,得p=2,所以抛物线C:y2=4x.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由得y2-y-4=0.所以y1+y2=,y1y2=-4,所以S△OAB =³|OF|³|y2-y1|=³1³=²=.【变式训练】(2014²大同高二检测)已知抛物线C:y2=2px,点P(-1,0)是其准线与x轴的交点,过P的直线l与抛物线C交于A,B两点.(1)当线段AB的中点在直线x=7上时,求直线l的方程.(2)设F为抛物线C的焦点,当A为线段PB中点时,求△FAB的面积.【解析】(1)因为抛物线的准线为x=-1,所以p=2,抛物线方程为y2=4x,设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l的方程为y=k(x+1),(依题意k存在,且k≠0)与抛物线方程联立, 消去y得k2x2+(2k2-4)x+k2=0(*)x 1+x2=,x1x2=1.所以AB中点的横坐标为,即=7,所以k2=(此时(*)式判别式大于零),所以直线l的方程为y=±(x+1).(2)因为A为线段PB中点,所以=x1,=y1,由A,B为抛物线上的点,得=4³,=4x2,解得x2=2,y2=±2,当y2=2时,y1=;当y2=-2时,y1=-,所以△FAB的面积S△FAB =S△PFB-S△PFA=|PF|²|y2-y1|=.8.(2014²天水高二检测)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,经过点F的直线与抛物线交于A,B两点.(1)若p=2,求线段AF中点M的轨迹方程.(2)若直线AB的方向向量为n=(1,2),当焦点为F时,求△OAB的面积.(3)若M是抛物线C准线上的点,求证:直线MA,MF,MB的斜率成等差数列.【解析】(1)设A(x0,y),M(x,y),焦点F(1,0),则由题意即所求的轨迹方程为4y2=4(2x-1), 即y2=2x-1.(2)y2=2x,F,直线y=2=2x-1,由得y2-y-1=0,|AB|=|y1-y2|=,d=,S△OAB=d|AB|=.(3)显然直线MA,MB,MF的斜率都存在,分别设为k1,k2,k3,点A,B,M的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),M,设直线AB:x=my+,代入抛物线得y2-2mpy-p2=0,所以y1y2=-p2,又=2px1,=2px2,因而x1+=+=(+p2),x2+=+=+=(+p2),因而k1+k2=+=+=-,而k3==-,故k1+k2=2k3.。