2015年高中数学 3.2.2对数函数(2)教案 苏教版必修1

3.2.2 对数函数～3.2.3 指数函数与对数函数的关系1．对数函数的概念(1)定义：一般地，我们把函数y ＝log a x (a ＞0，a ≠1，x ＞0)叫做对数函数，其中x 是自变量．．．，函数的定义域是(0，＋∞)． (2)对于对数函数的概念应注意以下三个方面：①定义域：因为对数函数y ＝log a x 是由指数函数y ＝a x变化而来的，对数函数的自变量x 恰好对应指数函数的函数值y ，所以对数函数y ＝log a x 的定义域是指数函数y ＝a x的值域，即x ∈(0，＋∞)．②底数：对数函数y ＝log a x 的底数a ＞0，且a ≠1. ③形式上的严格性：在对数函数的定义表达式y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1，x ＞0)中，log a x 前面的系数必须是1，自变量x 在真数的位置上，否则不是对数函数．【例1】下列函数是对数函数的序号是________．(1)y ＝4x；(2)y ＝log x 2；(3)y ＝－log 3x ；(4)y ＝log 0.4x ；(5)y ＝log (2a －1)x 1,12a a x ⎛⎫>≠ ⎪⎝⎭且，是自变量；(6)y ＝log 2(x ＋1)． 解析：根据对数函数的定义，只有严格符合y ＝log a x (a ＞0，a ≠1，x ＞0)形式的函数才是对数函数，其中x 是自变量，a 是常数．易知，(1)式是指数函数；(2)式中的自变量在对数的底数的位置，不是对数函数；(3)式中313=log =log y x x -是对数函数；(4)式中20.40.4log log y x x ==是对数函数；(5)中对数的底数2a －1是一个大于0且不等于1的常数，符合对数函数的定义；(6)中函数在对数的真数处不只是自变量x ，而是关于x 的表达式x ＋1，故不是对数函数．由此可知只有(3)(4)(5)是对数函数．答案：(3)(4)(5)点技巧 利用概念准确判断对数函数判断一个函数是否为对数函数时，要紧扣对数函数解析式的三个特征，三者缺一不可． 2．对数函数y ＝log a x (a ＞0，a ≠1，x ＞0)的图象与性质(1)在同一直角坐标系中作出函数y ＝log 2x ，y ＝log 3x ，12=log y x ，13=log y x 的图象，如图所示，观察图象可以看出：①这些图象都在y 轴右侧，且向y 轴的正、负方向无限延伸；②图象都经过点(1,0)；③函数y ＝log 2x 和y ＝log 3x 的图象从左向右逐渐上升；函数12=log y x 和13=log y x 的图象从左向右逐渐下降．0＜a ＜1a ＞1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R图象过定点(1,0)，即x ＝1时，y ＝0在(0，＋∞)上是减．函数 在(0，＋∞)上是增．函数 a由表格中的关系易知：当a ，x 在同一个区间(0,1)或(1，＋∞)取值时，log a x ＞0；当a ，x 分别取自不同的区间(0,1)和(1，＋∞)，log a x ＜0，简记为“同正，异负”．【例2－1】函数y ＝log 11x 的定义域和值域分别是( ) A ．R ，R B ．R ，(0，＋∞)C ．(0，＋∞)，RD ．(0，＋∞)，(0，＋∞)解析：函数y＝log11x的定义域是(0，＋∞)，值域是R.答案：C【例2－2】图中的曲线C1，C2，C3，C4都是对数函数y＝log a x的图象．已知a取3,2，1 3，15四个值，则相应于C1，C2，C3，C4的a的值依次是( )A．3,2，13，15B．3,2，15，13C．2,3，13，15D．2,3，15，13解析：方法1：当a＞1时，自左向右看，图象上升；当0＜a＜1时，自左向右看，图象下降．又当a＞1时，a越大，图象向右越靠近x轴；0＜a＜1时，a越小，图象向右越靠近x轴，所以曲线C1，C2，C3，C4的a的值依次为2,3，15，13.方法2：作直线y＝1，设C1，C2，C3，C4与直线y＝1的交点分别为(a1,1)，(a2,1)，(a3,1)，(a4,1)，由图象知：a3＜a4＜1＜a1＜a2.所以a1，a2，a3，a4的值分别为2,3，15，13.答案：D3．反函数当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量，我们称这两个函数互为反函数．一般地，如果函数y＝f(x)存在反函数，那么它的反函数通常用y＝f－1(x)表示，反函数也是函数，它具有函数的一切特性．反函数是相对于原函数而言的，函数与它的反函数互为反函数．(1)对数函数的反函数指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)互为反函数．(2)互为反函数的两个函数之间的关系①原函数的定义域、值域是其反函数的值域、定义域；②互为反函数的两个函数的图象关于直线．．．．y．＝．x．对称．．．．(3)函数y＝f(x)的反函数的求法①确定原函数的值域．因为函数是由定义域和对应法则构成的，一个函数的反函数是对换原函数的自变量和因变量而得到的新函数，新函数的自变量就是原函数的因变量，新函数的定义域就是原函数的值域，因此，只有确定了原函数的值域，才能确定新函数的定义域．②把原函数y ＝f (x )视为方程，用y 表示出x .因此y 是新函数的自变量，x 是它的函数值．③把x ，y 互换，同时标明反函数的定义域．因为我们习惯用x 表示自变量，用y 表示函数值，所以把x ，y 互换．而反函数的定义域就是原函数的值域．也可简记为：反解—互换—求定义域． 析规律 理解反函数应注意的三点(1)只有一一映射确定的函数才有反函数．如一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)、反比例函数y ＝k x(k ≠0)、指数函数y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)、对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)，它们都是一一映射确定的函数，因此都有反函数；像二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，在整个定义域上没有反函数，因为关于对称轴x ＝－b2a对称的两个不同自变量对应同一函数值，它不是一一映射下的函数，所以没有反函数．(2)反函数也是函数，是相对而言的，一个函数与它的反函数互为反函数．(3)互为反函数的两个函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称，因此，如果原函数的图象经过定点(a ，b )，则其反函数的图象经过定点(b ，a )．对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)与指数函数y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称，且y ＝log a x (a＞0，且a ≠1)的图象经过定点(1,0)，而y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)的图象经过定点(0,1)．【例3－1】函数12=1log y x +的反函数是( )A ．y ＝2xB ．1=2xy ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．y ＝log 2xD ．y ＝21－x解析：由12=1log y x +，得12log =1x y -且值域为R ，所以11=2y x -⎛⎫⎪⎝⎭.以x 代y ，以y 代x ，得11=2x y -⎛⎫⎪⎝⎭.故选D.答案：D【例3－2】若函数y ＝f (x )的反函数．．．的图象过点(1,5)，则函数y ＝f (x )图象必过点( )A ．(5,1)B ．(1,5)C ．(1,1)D ．(5,5) 解析：由于原函数与反函数的图象关于y ＝x 对称，而点(1,5)关于直线y ＝x 的对称点为(5,1)，所以函数y ＝f (x )的图象必经过(5,1)． 答案：A【例3－3】已知函数f (x )＝1＋lg x (x ＞0)，f (x )的反函数为f －1(x )，则f (1)＋f －1(1)＝______.解析：令y ＝f (x )＝1＋lg x ，∴y －1＝lg x .∴x ＝10y －1.∴f －1(x )＝10x －1.∴f (1)＋f －1(1)＝(1＋lg 1)＋101－1＝2. 答案：24．对数函数的解析式及求值问题对数函数的解析式y ＝log a x 中仅含有一个参数a ，则只需要一个条件即可确定对数函数的解析式，这样的条件往往是已知f (m )＝n 或图象过点(m ，n )等等．通常利用待定系数法求解，设出对数函数的解析式f (x )＝log a x ，利用已知条件列方程求出常数a 的值．利用待定系数法求对数函数的解析式时，常常遇到解方程，比如log a m ＝n ，这时先把对数式log a m ＝n 化为指数式的形式a n ＝m ，把m 化为以n 为指数的指数幂形式m ＝k n，则解得a ＝k ＞0.还可以直接写出1=n a m ，再利用指数幂的运算性质化简1nm .例如：解方程log a 4＝－2，则a －2＝4，由于4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2.所以a ＝±12，又a ＞0，所以a ＝12.当然，也可以直接写出124a -=，再利用指数幂的运算性质，得124a -=＝122(2)-＝2－1＝12. 【4－1】已知f (e x)＝x ，则f (5)＝( )A ．e 5B ．5eC ．ln 5D ．log 5e解析：方法1：令t ＝e x，则x ＝ln t ，所以f (t )＝ln t ，即f (x )＝ln x ．所以f (5)＝ln 5.方法2：令e x＝5，则x ＝ln 5，所以f (5)＝ln 5. 答案：C【例4－2】已知对数函数f (x )的图象经过点1,29⎛⎫ ⎪⎝⎭，试求f (3)的值． 分析：设出函数f (x )的解析式，利用待定系数法即可求出． 解：设f (x )＝log a x (a ＞0，且a ≠1)， ∵对数函数f (x )的图象经过点1,29⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴11=log =299af ⎛⎫ ⎪⎝⎭. ∴21=9a .∴11222111===933a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦.∴13()=log f x x .∴111331(3)=log 3=log =13f -⎛⎫- ⎪⎝⎭.5．对数函数的定义域、值域的应用(1)利用对数函数的定义域、值域求形如y ＝f (log a x )(a ＞0，且a ≠1)型的函数的定义域和值域．对于函数y ＝f (log a x )(a ＞0，且a ≠1)，由于对数函数y ＝log a x 的定义域是(0，＋∞)，值域是R ，则利用换元法，设log a x ＝t ，则⎩⎪⎨⎪⎧x >0，f (t )有意义的解集是f (log a x )的定义域，函数f (t )(t ∈R )的值域就是f (log a x )的值域．(2)利用对数函数的定义域、值域，求形如y ＝log a f (x )(a ＞0，且a ≠1)的函数的定义域、值域．对于函数y ＝log a f (x )(a ＞0，且a ≠1)，由于对数函数y ＝log a x 的定义域是(0，＋∞)，因此满足f (x )＞0的解集是函数log a f (x )的定义域．设u ＝f (x )，求出函数u ＝f (x )的值域E ，则函数y ＝log a u (u ∈E )的值域是函数log a f (x )的值域．【例5－1】求下列函数的定义域：(1)y ＝log x －1(5＋x )；(2)0.1=log (43)y x -.解：(1)要使函数有意义，需10,11,50,x x x ->⎧⎪-≠⎨⎪+>⎩即1,2,5,x x x >⎧⎪≠⎨⎪>-⎩∴x ＞1，且x ≠2.∴所给函数的定义域为(1,2)∪(2，＋∞)．(2)要使函数有意义，需0.1430,log (43)0,x x ->⎧⎨-≥⎩即430,431,x x ->⎧⎨-≤⎩解得34＜x ≤1.∴所给函数的定义域为3,14⎛⎤ ⎥⎝⎦.点技巧 如何求对数函数的定义域求与对数函数有关的函数的定义域时，除遵循前面已学过的求函数定义域的方法外，对这种函数自身还有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意对数的底数；三是按底数的取值应用单调性，有针对性地解不等式．【例5－2】求函数y ＝log a (a －a x)(a ＞1)的值域．解：令u ＝a －a x ，∵u ＞0，a ＞1，∴a x＜a ，即x ＜1.∴y ＝log a (a －a x)的定义域为(－∞，1)．∵a x ＜a ，且a x ＞0，∴u ＝a －a x＜a . ∴y ＜log a a ＝1.∴所求函数的值域为(－∞，1)． 6．对数函数的图象变换及定点问题(1)与对数函数有关的函数图象过定点问题对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)过定点(1,0)，即对任意的a ＞0，且a ≠1都有log a 1＝0.这是解决与对数函数有关的函数图象问题的关键．对于函数y ＝b ＋k log a f (x )(k ，b 均为常数，且k ≠0)，令f (x )＝1，解方程得x ＝m ，则该函数恒过定点(m ，b )．方程f (x )＝1的解的个数等于该函数图象恒过定点的个数．(2)对数函数的图象变换的问题①函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)――----------------→向左(b >0)或向右(b <0)平移|b |个单位长度y ＝log a (x ＋b )(a ＞0，且a ≠1)； ②函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)――----------------→向上(b >0)或向下(b <0)平移|b |个单位长度y ＝log a x ＋b (a ＞0，且a ≠1)；③函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)――-------------------------→当x >0时，两函数图象相同当x <0时，将x >0时的图象关于y 轴对称y ＝log a |x |(a ＞0，且a ≠1)；④函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)y ＝|log a x |(a ＞0，且a ≠1)．【例6－1】若a ＞0，且a ≠1，则函数f (x )2log a (5x －10)＋2恒过定点P 的坐标是__________．解析：令5x －10＝1，解得11=5x ， 所以函数f (x )恒过定点11,25⎛⎫⎪⎝⎭.答案：11,25⎛⎫ ⎪⎝⎭【例6－2】作出函数y ＝|log 2(x ＋1)|＋2的图象． 解：第一步：作y ＝log 2x 的图象，如图①.第二步：将y ＝log 2x 的图象沿x 轴向左平移1个单位长度，得y ＝log 2(x ＋1)的图象，如图②.第三步：将y ＝log 2(x ＋1)在x 轴下方的图象作关于x 轴的对称变换，得y ＝|log 2(x ＋1)|的图象，如图③.第四步：将y ＝|log 2(x ＋1)|的图象，沿y 轴方向向上平移2个单位长度，便得到所求函数的图象，如图④.7．对数函数单调性的应用 (1)比较两个对数式的大小比较两个对数式大小的方法有以下几种：①单调法：比较同底数(是具体的数值)的对数大小，构造对数函数，利用对数函数的单调性比较大小．要注意：明确所给的两个值是哪个对数函数的两个函数值；明确对数函数的底数与1的大小关系；最后根据对数函数的单调性判断大小．②中间量法：比较不同底数对数的大小，常借助于中间值0进行比较．利用口诀：“同大异小”，判断对数的符号．对于对数log a x ，a 和x 均与1比较大小，当a 和x 都同大于(小于)1时，log a x 大于0，否则log a x 小于0.③分类讨论：比较同底数(不是具体的数值)的对数大小，构造对数函数，利用对数函数的单调性比较大小．要注意：明确所给的两个值是哪个对数函数的两个函数值；分类讨论对数函数的底数与1的大小；最后根据对数函数的单调性判断大小．(2)复合函数单调区间的求法求复合函数的单调区间时，一要注意定义域，二要利用“同增异减”法则，三要注意某些情况下区间端点的取舍．(3)利用函数单调性求解简单的对数不等式根据对数函数的单调性，当a ＞0，且a ≠1时，有①log a f (x )＝log a g (x )⇔f (x )＝g (x )(f (x )＞0，g (x )＞0)；②当a ＞1时，log a f (x )＞log a g (x )⇔f (x )＞g (x )(f (x )＞0，g (x )＞0)； ③当0＜a ＜1时，log a f (x )＞log a g (x )⇔f (x )＜g (x )(f (x )＞0，g (x )＞0)． 辨误区 注意对数自身的性质解对数不等式时，要注意保证真数大于0，另外，为了方便解题，要尽量统一底数． 【例7－1】比较下列各组数的大小：(1)log 2π与log 29；(2)log 20.3与log 0.20.3；(3)log a 2.7与log a 2.8(a ＞0，且a ≠1)；(4)148log 7与156log 5. 解：(1)因为函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数，又π＜9，所以log 2π＜log 29.(2)因为log 20.3＜log 21＝0，log 0.20.3＞log 0.21＝0，所以log 20.3＜log 0.20.3.(3)当a ＞1时，由函数y ＝log a x 的单调性知log a 2.7＜log a 2.8；当0＜a ＜1时，由函数y ＝log a x 的单调性知log a 2.7＞log a 2.8.(4)设148=log 7m ，156=log 5n ，则1816=,=4755m n⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以754=,5=86mn .因为75>86，所以4m ＞5n，两边取常用对数得m ·lg 4＞n ·lg 5.因为lg 4＞0，所以lg5>>lg 4m n n ⋅，即114586log >log 75. 【例7－2】函数f (x )＝log 2(x 2－x －6)的单调递减区间是__________．分析：将所给函数分解为两个简单函数，利用复合函数的单调性求解．解析：令u ＝x 2－x －6，则y ＝log 2u . ∵y ＝log 2u 为(0，＋∞)上的增函数，∴当u ＝x 2－x －6为x 的减函数时，y 为x 的减函数．为使函数有意义，需x 2－x －6＞0，即定义域为(－∞，－2)∪(3，＋∞)． 由二次函数u ＝x 2－x －6的对称轴为直线1=2x ， 知当x ∈(－∞，－2)时，u ＝x 2－x －6是减函数，于是原函数的单调递减区间为(－∞，－2)．答案：(－∞，－2)【例7－3】若22log <13a⎛⎫⎪⎝⎭，求a 的取值范围． 解：∵22log <13a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴21<log <13a -，即12log <log <log 3a a a a a .当a＞1时，y＝log a x为增函数．∴12<<3aa，∴3>2a，结合a＞1，可知3>2a.当0＜a＜1时，y＝log a x为减函数．∴12>>3aa，∴2<3a，结合0＜a＜1，知20<<3a.∴a的取值范围是2332a a a⎧⎫⎫<<>⎨⎬⎪⎭⎩⎭或.8．互为反函数的两个函数所遵循的原则和规律(1)定义域与值域互换、对应法则互逆的原则，即原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域，反映到解析式上，即f－1(a)＝b f(b)＝a.(2)图象关于直线y＝x对称的原则．(3)单调性相同的原则，即若原函数是增函数(或减函数)，它的反函数一定是增函数(或减函数)．(4)若一奇函数有反函数，则它的反函数也是奇函数；若一函数为偶函数，则它没有反函数．奇函数不一定有反函数，偶函数一定没有反函数．【例8】已知函数y＝f(x)的定义域是[－1,1]，其图象如图所示，则不等式－1≤f－1(x)≤12的解集是( )A．112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，B．122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，C．[－2,0)∪112⎡⎤⎢⎥⎣⎦， D．[－1,0]∪112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，解析：由题意可得f－1(x)的图象如图所示．由图象知－1≤f－1(x)＜0的解为－2≤x＜0,0≤f－1(x)≤12的解为12≤x≤1.故不等式－1≤f－1(x)≤12的解集为[－2,0)∪112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.答案：C9．对数函数与函数单调性、奇偶性的综合问题(1)判断与对数函数有关的函数的奇偶性也是根据奇、偶函数的定义进行判断．(2)对数函数的单调性与底数的大小有关系，因此讨论对数函数的单调性时，一定要明确底数与1的大小关系．与对数函数有关的函数的单调性往往也与底数有关系，其解决手段就是函数单调性的定义．判断或证明函数单调性的步骤是：①在所给的区间上任取两个自变量x1和x2，通常令x1＜x2；②比较f(x1)和f(x2)的大小，通常是用作差比较法比较大小，此时比较它们大小的步骤是作差、变形、判断正负．③再归纳结论．(3)对形如y＝log a f(x)(a＞0，且a≠1)函数的单调性，通常要根据a的取值进行讨论：①当a＞1时，函数y＝log a f(x)在定义域内的单调性与函数y＝f(x)(f(x)＞0)的单调性相同．②当0＜a＜1时，函数y＝log a f(x)在定义域内的单调性与函数y＝f(x)(f(x)＞0)单调性相反．【例9－1】下列区间中，函数f(x)＝|ln(2－x)|在其上为增函数的是( )A．(－∞，1] B．4 13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，C．32⎡⎫⎪⎢⎣⎭， D．[1,2)答案：D【例9－2】已知函数1()=log1amxf xx--(a＞0，a≠1，m≠1)是奇函数．(1)求实数m的值；(2)判断函数f(x)在(1，＋∞)上的单调性，并给出证明．解：(1)由已知条件得f(－x)＋f(x)＝0对定义域中的x均成立．∴11log log=011a amx mxx x+-+---，即11=111mx mxx x+-⋅---，∴m2x2－1＝x2－1对定义域中的x均成立．∴m2＝1，即m＝1(舍去)或m＝－1.(2)由(1)得1()=log1axf xx+-.设1122===1111x x t x x x +-++---， ∴当x 1＞x 2＞1时， t 1－t 2＝2112122()22=11(1)(1)x x x x x x ------＜0， ∴t 1＜t 2.当a ＞1时，log a t 1＜log a t 2，即f (x 1)＜f (x 2)． ∴当a ＞1时，f (x )在(1，＋∞)上是减函数．同理当0＜a ＜1时，f (x )在(1，＋∞)上是增函数．。

课题：3.2.1对数的概念(第1课时)授课教师：师大学附属中学萍教材：教版高中数学必修1一. 教材分析对数这节课是教版必修1第3章对数函数第1课时．学习对数的概念是对指数概念和指数函数的回顾与深化，是学习对数函数的基础．二. 学情分析高一学生已经学习了函数的概念、函数的表示方法与函数的一般性质，对函数有了初步的认识．学生已经完成了分数指数幂和指数函数的学习，了解了研究函数的一般方法，经历过从特殊到一般，具体到抽象的研究过程．对数的概念对学生来说，是全新的，需要教师引导学生利用指数与指数函数的相关知识理解对数的概念．在教学过程中，力求让学生体会运用从特殊到一般，类比等数学方法来理解对数式与指数式之间的在联系，将对数这一新知纳入已有的知识结构中．三. 教学目标1. 理解对数的概念，会熟练地进行指数式与对数式的互化．2. 学生在解决具体问题中体会引入对数的必要性，在举例过程中理解对数．3. 学生在学习过程中感受化归与转化、数形结合、特殊到一般的数学思想，学会用相互联系的观点辩证地看问题．四. 重点与难点1. 重点：（1）对数的概念；（2）对数式与指数式的互化．2. 难点：对数概念的理解．五. 教学方法与教学手段问题教学法，启发式教学．六．教学过程1. 创设情境 建构概念某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年，这种物质剩留的质量是原来的84%．（设该物质最初的质量为1）【问题1】你能就此情境提出一个问题吗？[设计意图]通过学生熟悉的问题情境，让学生自主地提出问题，引发思考，体会这些问题之间的关联是指数式a b =N 中已知两个量求第三个量．[教学过程]师：写好的同学请和同桌交流一下.师：你提的是什么问题呢？生：经过5年，这种物质的剩留量为原来的多少？师：是多少呢？生：0.845=N.师：有不同的问题吗？生：经过多少年，这种物质的剩留量为原来的一半？师：这个问题怎么解决呢？ 0.84x=12. 师：同学们提出了很好的问题，这两个问题实际上都与我们学过的指数函数y=0.84x 有关．第一个问题是已知指数x 求幂y ；第二个问题是已知幂y 求指数x ．如果底数是未知的，那么，我们还可以解决已知指数x 和幂y 求底数a 的问题．[阶段小结]这些问题实际就是在研究a b=N (其中a ＞0且a ≠1)中已知两个量求第三个量．我们可以研究以下三类问题：设a b=N.(1)已知a，b，求N；比如32＝9，53＝125，……(2)已知b，N，求a；比如a5＝32⇒a＝2，a3＝5⇒a＝35，……(3)已知a，N，求b.2b＝2⇔b＝1，2b＝4⇔b＝2，【问题2】2b=3，这样的指数b有没有呢？[设计意图]利用具体的问题引发学生的认知冲突，引导学生运用数形结合的方法探索指数b是存在的，并且只有一个，进而想办法用数学符号表示指数b．[教学过程]生：2b＝3这个问题和指数函数y=2x有关，我们可以作出它的图象来观察.师：作出2x＝3与y=3的图象，发现它们有交点，而且只有一个，那么指数b 在哪里呢？生：交点的横坐标就是指数b．师：看来满足2b＝3的指数b可由“2和3”唯一确定，但它究竟是个什么数呢？现在用我们学过的数又不能把它写出来，怎么办呢？生：用一个新的符号来表示它.师：是的，数学家也是这么想的，他们解决这种问题的办法就是引进一个新的符号，比如这里的a3＝5，a等于什么呢？数学家就用a＝35来表示，a是由3和5确定的，将3和5写在相应的位置.师：现在如何表示这里的指数b 呢？指数b 由2和3确定，数学家用log 23来表示，读作以2为底3的对数，其中2为底数，写在下方，3叫真数．师：有了这个符号，就可以解决我们刚才的问题了，0.84x=12⇔ x ＝log 0.8412. 师：你能再举一些这样的对数吗？生：3b ＝10⇔ b ＝log 310；4b ＝5⇔ b ＝log 45；2b ＝7⇔ b ＝log 27；……师：这里的1能用对数表示吗？生：1= log 22．师：同样这里的2也可以表示为log 24. 对数b 其实就是一个数．思考：根据这些具体的例子，你能得到一般情况下，对数是怎么表示的吗？ 对数的概念：如果a 的b 次幂等于N (其中a ＞0，a ≠1)，即a b =N ，那么就称b 是以 a 为底 N 的对数，记作log a N ＝b ．其中，a 叫做对数的底数，N 叫做真数．数学史简介：对数是由17世纪格兰数学家纳皮尔发明的，有兴趣的同学可以查阅相关的数学史资料.师：根据对数的概念，我们不难发现，对数来源于指数，这两个等式表示的是a ，b ，N 三个量之间的同一个关系，只是表现形式不同而已，比如在a b =N 中，a ＞0，a ≠1，a 叫底数，b 叫指数，N 叫幂，当变为对数式时，a 的围不变，a 还叫底数，指数b 现在叫对数，幂N 现在叫真数.2．具体实例 理解概念[学生活动]请每位同学写出2—3个对数，与同桌交流．[设计意图]深入理解对数．第一阶段，让学生体会对数可以转化为指数，对数式和指数式是等价的；第二阶段，认识特殊的对数，明确对数式中a ，b ，N 的围．[教学过程]师：大家都在积极地认识对数这个新朋友.我们一起来看看，有同学写了这样一个对数log 327. 你知道它是个什么样的数吗？师：为什么等于3呢？生：因为33 =27.师：还有同学写了log 139，这是个什么数啊？生：－2.师：为什么？生：因为(13)－2 =9. 师：想认识对数只要将它转化为相应的指数式就容易理解了.师：我也写一个log 926，这是个什么数呢？师：你知道它大概是多大吗?生：1到2之间.师：你怎么知道的呢？生：因为91=9，92=81，26在9和81之间.师：你是将问题转化为指数问题来考虑的.我们知道对数就是一个数，可以设它为b，转化为9b=26就好理解了.[阶段小结]其实想要认识同学写的对数，只要将它转化为相应的指数式就明白了，指数式和对数式是可以等价转化的.师：看大家写的对数有大于0的，有小于0的，有没有等于0的对数呢？生：log21=0.师：还有吗？生：只要底数取a>0，a≠1，真数为1的对数都等于0.师：怎么表示呢？生：log a1=0(a>0，a≠1).师：为什么？生：因为a0＝1(a>0,a≠1) .师：a0＝1是个特殊的指数式，还有其他特殊的指数式吗？生：a1＝a.师：由这个我们又能得到什么样的对数式呢？生：log a a=1(a>0，a≠1) .师：对数可正可负可为0，那对数是否能取到所有的实数呢？师：你怎么知道的呢？生：从指数式a b=N(其中a＞0且a≠1)中我们可以知道.师：对数b可以取到一切实数，底数a＞0，a≠1，真数N应满足什么要求呢？生：大于0.生：在a＞0且a≠1时，a b=N，根据指数函数的值域可知N只能取大于0的数.[阶段小结]通过讨论，我们认识了一些特殊的对数，知道对数b可以取到一切实数，但是真数N必须大于0. 在认识对数的过程中，我们运用了对数式与指数式之间的等价转化.3．概念应用方法总结练习求下列各式的值：(1)log264；(2)log101100；(3)log927．[设计意图](1)理解对数是个数，对数问题可以转化为指数问题来解决．(2)反思解题过程，从中得到两个对数性质log a a b=b，a log a N＝N (a＞0且a≠1)，为对数求值提供新的方法．(3)激起学生进一步探索对数相关结论的兴趣．(4)介绍常用对数和自然对数．[教学过程]师：回头看第1个问题的解决过程，log226=6，log1010-2=-2你有什么发现？师：一般情况下log a a b=b对吗？生：对，因为a b= a b.师：在log a a b=b这个式子中，真数N变成了a b，相当于将指数式a b=N带入对数式log a N=b，消去N.现在如果将对数式log a N=b带入指数式a b=N消去b，会得到什么呢？生：a log a N＝N (a＞0且a≠1)．师：从第3小题中，你又会有什么发现呢？对数还有很多有趣的性质，有兴趣的同学可以继续研究.师：大家看第2小题底数是10，我们通常将以10为底的对数叫常用对数，简记为log10 N＝lg N．以后在高等数学和物理学中还会经常用到以e为底的对数，叫做自然对数，loge N＝ln N．比如，lg2，ln3.【问题3】什么是对数？研究对数的基本方法是什么？[设计意图]回顾反思本节课学习的知识和方法．主要让学生体会研究一个新的数学对象的一般方法，即生：对数就是一个数．遇到对数问题转化为指数问题来解决．师：很好，我们通过一些具体的例子得到了对数的概念，又通过举例和练习进一步认识了对数，在认识的过程中，发现遇到对数的问题可以转化为指数问题来解决.这两个式子是等价的，表示的是a，b，N这三个量之间的同一种关系.师：既然对数就是一个数，你觉得下面我们可以研究什么？生：对数的运算．师：那如何研究对数的运算性质呢？请同学们先回去思考，我们下节课再研究．4. 课堂小结布置作业(1)课本P74 练习第1、3、4、5题．(2)探究对数的运算性质．[设计意图]布置作业的面向全体学生，旨在掌握对数的概念，熟练对数式与指数式的互化．探究对数的运算性质给学生提供进一步自主研究对数的机会．七. 教学设计说明对数概念对于高一的同学来讲是一个全新的概念。

第二十四课时 对数函数（2）学习要求1.复习巩固对数函数的图象和性质；2.会求一类与对数函数有关的复合函数的定义域、值域等；3.了解函数图像的平移变换、对称变换、绝对值变换。

．自学评价 1．函数3log (2)y x =+的图象是由函数3log y x =的图象2. 函数3log (2)3y x =-+的图象是由函数3log y x =的图象 得到。

3. 函数log ()a y x b c =++（0,1a a >≠）的图象是由函数log a y x =的图象当0,0b c >>时先向左平移 b 个单位，再向上平移 c 个单位得到; 当0,0b c <>时先向右平移| b|个单位，再向上平移c 个单位得到; 当0,0b c ><时先向左平移 b 个单位，再向下平移|c |个单位得到; 当0,0b c <<时先向右平移| b|个 单位，再向下平移|c| 个单位得到。

4.说明：上述变换称为平移变换。

()()y f x y f x a b =→=++【精典范例】例1：说明下列函数的图像与对数函数3log y x =的图像的关系，并画出它们的示意图，由图像写出它的单调区间：(1)3log ||y x =； (2)3|log |y x =； (3) 3log ()y x =-；(4) 3log y x =- 分析：由函数式出发分析它与3log y x =的关系，再由3log y x =的图象作出相应函数的图象。

【解】（1）3log y x =−−−−−−−→保留y轴右边的图像，并作关于y轴对称图像3log ||y x =为(,0)-∞。

（2）3log y x =−−−−−−−→保留x轴上方的图像将x轴下方图像翻折上去3|log |y x = 由图象知：单调增区间为(1,)+∞，单调减区间为(0,1)。

（3）3log y x =−−−−−→关于y轴对称3log ()y x =- 由图象知：单调减区间为(,0)-∞。

2.3.2 对数函数（2）教学目标：1．掌握对数函数的性质，能初步运用性质解决问题．2．运用对数函数的图形和性质．3．培养学生数形结合的思想，以及分析推理的能力．教学重点：对数函数性质的应用．教学难点：对数函数图象的变换．教学过程：一、问题情境1．复习对数函数的定义及性质．2．问题：如何解决与对数函数的定义、图象和性质有关的问题？二、学生活动1．画出3log (2)y x =+、3log 2y x =+等函数的图象，并与对数函数3log y x =的图象进行对比，总结出图像变换的一般规律．2．探求函数图象对称变换的规律．三、建构数学1．函数log ()a y x b c =++（0,1a a >≠）的图象是由函数log a y x =的图象得到；2．函数|log |a y x =的图象与函数log a y x =的图象关系是 ；3．函数log ||a y x =的图象与函数log a y x =的图象关系是 ．四、数学运用例1 如图所示曲线是对数函数y ＝log a x 的图像，已知a 值取0.2，0.5，1.5，e ，则相应于C 1，C 2，C 3，C 4的a 的值依次为 ． 1C 2C 3C 4C 1 0 xy例2 分别作出下列函数的图象，并与函数y＝log3x的图像进行比较，找出它们之间的关系（1）y＝log3(x－2)；（2）y＝log3(x＋2)；（3）y＝log3x－2；（4）y＝log3x＋2．练习：1．将函数y＝log a x的图像沿x轴向右平移2个单位，再向下平移1个单位，所得到函数图像的解析式为．2．对任意的实数a(a＞0，a≠1)，函数y＝log a(x－1)＋2的图像所过的定点坐标为．3．由函数y＝log3(x＋2)，y ＝log3x的图象与直线y=－1，y＝1所围成的封闭图形的面积是．例3 分别作出下列函数的图象，并与函数y＝log2x的图像进行比较，找出它们之间的关系（1）y＝log2|x|；（2）y＝|log2x|；（3）y＝log2(－x)；（4）y＝－log2x．练习结合函数y＝log2|x|的图象，完成下列各题：（1）函数y＝log2|x|的奇偶性为；（2）函数y＝log2|x|的单调增区间为，减区间为．（3）函数y＝log2(x－2)2的单调增区间为，减区间为．（4）函数y＝|log2x－1|的单调增区间为，减区间为．五、要点归纳与方法小结（1）函数图象的变换（平移变换和对称变换）的规律；（2）能画出较复杂函数的图象，根据图象研究函数的性质(数形结合)．六、作业1．课本P70－6，8，9．2．课后探究：试说出函数y＝log212x的图象与函数y＝log2x图象的关系．。

第2课时 对数的运算性质1．理解对数的运算性质，能灵活准确地进行对数式的化简与计算；2．了解对数的换底公式，并能将一般对数式转化为自然对数或常用对数，从而进行简单的化简与证明．1．对数的运算法则如果a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0，n ∈R ，那么： 指数的运算法则⇒对数的运算法则 ①a m ·a n ＝a m ＋n⇒log a (MN )＝log a M ＋log a N ；②a m a n ＝a m ·a －n ＝a m －n ⇒log a MN ＝log a M －log a N ； ③(a m )n ＝a mn ⇒log a (N n)＝n ·log a N.积的对数变为加，商的对数变为减，幂的乘方取对数，要把指数提到前． 【做一做1－1】计算：(1)log 26－log 23＝________；(2)log 53＋log 513＝__________.答案：(1)1 (2)0【做一做1－2】若2lg(x －2y )＝lg x ＋lg y ，则x y的值是__________． 解析：由等式得(x －2y )2＝xy ， 从而(x －y )(x －4y )＝0， 因为x ＞2y ，所以x ＝4y . 答案：4 2．换底公式 (1)log a b ＝log log c c ba，即有log c a ·log a b ＝log c b (a ＞0，a ≠1，c ＞0，c ≠1，b ＞0)； (2)log b a ＝1log a b，即有log a b ·log b a ＝1(a ＞0，a ≠1，b ＞0，b ≠1)； (3)log m na b ＝log a nb m(a ＞0，a ≠1，b ＞0)．换底公式真神奇，换成新底可任意，原底加底变分母，真数加底变分子． 【做一做2】已知lg N ＝a ，用a 的代数式表示： (1)log 100N ＝__________；(2)＝__________. 答案：(1)12a (2)2a运用对数的运算性质应注意哪些问题？ 剖析：对数的运算性质有三方面，它是我们对一个对数式进行运算、变形的主要依据．要掌握它们需注意如下几点：第一，要会推导，要求对每一条性质都会证明，通过推导加深对对数概念的理解和对对数运算性质的理解，掌握对数运算性质中三个公式的特征，以免乱造公式．例如：log n (M ±N )＝log a M ±log a N ，log a (M ·N )＝log a M ·log a N 等都是错误的．第二，要注意对数运算性质成立的条件，也就是要把握各个字母取值的范围：a ＞0且a ≠1，M ＞0，N ＞0.例如，lg(－2)(－3)是存在的，但lg(－2)、lg(－3)都不存在，因而得不到lg(－2)(－3)＝lg(－2)＋lg(－3)．第三，由于对数的运算性质是三个公式，因此在应用时不仅要掌握公式的“正用”，同时还应掌握公式的“逆用”．题型一 有关对数式的混合运算 【例1】求下列各式的值：(1)log 535＋122log 2－log 5150－log 514；(2)lg 52＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋lg 22；(3)lg 2＋lg 3－lg 10lg 1.8.分析：利用对数运算性质和“lg 2＋lg 5＝1”解答． 解：(1)log 535＋122log 2－log 5150－log 514＝log 535×5014＋12122log 2＝log 553－1＝2. (2)lg 52＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋lg 22＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋lg 22＝2lg 10＋(lg 2＋lg 5)2＝2＋1＝3.(3)lg 2＋lg 3－lg 10lg 1.8＝12lg 2＋lg 9－lg 10lg 1.8＝lg 18102lg 1.8＝12. 反思：对数的运算一般有两种方法：一种是将式中真数的积、幂、商、方根运用对数运算法则将它们化为对数的和、差、积、商，然后计算；另一种是将式中的和、差、积、商运用对数运算法则将它们化为真数的积、幂、商、方根，然后化简求值．另外注意利用“lg 2＋lg 5＝1”来解题．题型二 有关对数式的恒等证明【例2】已知4a 2＋9b 2＝4ab (a ＞0)，证明lg 2a ＋3b 4＝lg a ＋lg b 2.分析：运用对数运算性质对所证等式转化为lg 2a ＋3b4＝lg ab ，因此只要利用条件证出真数相等即可．证明：由4a 2＋9b 2＝4ab ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋3b 42＝ab ， 因为a ＞0，所以b ＞0，两边取以10为底的对数，得lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋3b 42＝lg(ab )， 即2lg 2a ＋3b 4＝lg(ab )，lg 2a ＋3b 4＝12lg(ab )，所以lg 2a ＋3b 4＝12(lg a ＋lg b )．因此lg 2a ＋3b 4＝lg a ＋lg b2，所以原等式成立．反思：在由一般等式证明对数式时，要注意使对数有意义，这里在取对数前要说明b ＞0.题型三 对数换底公式的应用【例3】已知log 23＝a,3b＝7，则log 1256＝__________(用a ，b 表示)．解析：方法一：∵log 23＝a ，∴2a＝3.又3b ＝7，∴7＝(2a )b ＝2ab.故56＝8×7＝23＋ab.又12＝3×4＝2a ×4＝2a ＋2， 从而33+22256=(2)=12ab ab a aa ++++.故log 1256＝32123log 12=2ab a aba ++++. 方法二：∵log 23＝a ，∴log 32＝1a. 又3b＝7，∴log 37＝b .从而log 1256＝log 356log 312＝log 37＋log 38log 33＋log 34＝log 37＋3log 321＋2log 32＝b ＋3·1a 1＋2·1a＝ab ＋3a ＋2.方法三：∵log 23＝lg 3lg 2＝a ，∴lg 3＝a lg 2.又3b＝7，∴lg 7＝b lg 3.∴lg 7＝ab lg 2.从而log 1256＝lg 56lg 12＝3lg 2＋lg 72lg 2＋lg 3＝3lg 2＋ab lg 22lg 2＋a lg 2＝3＋ab2＋a.答案：3＋ab 2＋a反思：方法一是借助指数变形来解；方法二与方法三是利用换底公式来解，显得较简明．应用对数换底公式解这类题的关键是适当选取新的底数，从而把已知对数和所求对数都换成新的对数，再代入求值即可．题型四 有关对数的应用题【例4】科学研究表明，宇宙射线在大气中能够产生放射性14C.14C 的衰变极有规律，其精确性可以称为自然界的“标准时钟”，动植物在生长过程中衰变的14C ，可以通过与大气的相互作用而得到补充，所以活着的动植物每克组织中的14C 含量保持不变，死亡后的动植物，停止了与外界环境的相互作用，机体中原有的14C 按确定的规律衰减，我们已经知道其“半衰期”为5 730年．(1)设生物体死亡时，体内每克组织的14C 含量为1，试推算生物死亡t 年后体内每克组织中的14C 含量p ；(2)湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时14C 的残余量约占原始含量的76.7%，试推算马王堆汉墓的年代．解：(1)设生物体死亡1年后，体内每克组织中14C 的残留量为x .由于死亡机体中原有的14C 按确定的规律衰减，所以生物体的死亡年数t 与其体内每克组织的14C 含量p 有如下关系：由于大约经过5 730年，死亡生物体的14C 含量衰减为原来的一半，所以12＝x 5 730.于是x ＝5 73012＝1573012⎛⎫ ⎪⎝⎭. 所以生物死亡t 年后体内每克组织中的14C 含量573012t p ⎛⎫=⎪⎝⎭.(2)由573012t p ⎛⎫=⎪⎝⎭可得125730log t p =.湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时14C 的残余量约占原始含量的76.7%，即p ＝0.767. 所以125730log 0.767 2 193t =≈.故马王堆汉墓约是2 193年前的遗址．反思：生物体死亡后，机体中原有的14C 每年按相同的比率衰减，因此，可以根据“半衰期”得到这一比率．已知衰减比率，求若干年后机体内14C 的含量属于指数函数模型；反之，已知衰减比率和若干年后机体内14C 的含量，求衰减的年数应属于对数知识．1设lg a ＝1.02，则0.010.01的值为__________(用a 表示)．解析：设0.010.01＝x ，则lg x ＝lg 0.010.01＝0.01lg 0.01＝－0.02， ∴lg a ＋lg x ＝lg ax ＝－0.02＋1.02＝1.∴ax ＝10，x ＝10a.答案：10a2若lg 2＝a ，lg 3＝b ，则lg 0.18等于__________． 解析：lg 0.18＝lg 18－2＝2lg 3＋lg 2－2＝a ＋2b －2. 答案：a ＋2b －23已知＝1－aa，则log 23＝__________.解析：由条件得log 23＝a 1－a ，所以log 23＝2a 1－a.答案：2a1－a4计算：log 2748＋log 212－12log 242. 解：原式＝log 2⎝⎛⎭⎪⎫743×12×17×6＝－12.5设x ，y ，z 为正数，且3x ＝4y ＝6z，求证：1z －1x ＝12y.证明：设3x ＝4y ＝6z＝k ，且x ，y ，z 为正数， 所以k ＞1.那么x ＝log 3k ，y ＝log 4k ，z ＝log 6k ，所以1z －1x ＝1log 6k －1log 3k ＝log k 6－log k 3＝log k 2＝12log k 4＝12log 4k ＝12y .所以1z －1x ＝12y.。

高一数学对数函数的性质班级： 姓名： 学号： 学习任务：1. 熟悉对数函数的图像与性质，会用对数函数的性质求一些与对数有关的函数值域与单调区间。

2. 会解一些简单的对数方程。

课前预习：1.将函数x y 2log =的图像向 平移2个单位，就得到函数)2(log 2-=x y 的图像2.5log ,6log ,5.0log 653的大小顺序为3.若),10(,132log <<<a a则a 的取值范围是 4.函数)3(log 21-=x y 的定义域为 5.若函数)1,0)(1(log )(≠>+=a a x x f a 的值域与定义域都是[]1,0，则a 等于6.若],21,0[),12(log )(21∈+=x x x f 则其值域为合作探究：学点一：求与对数函数相关的复合函数定义域例1：求下列函数定义域（1）3)1(log 12-+=x y （2）)23(log )12(-=-x y x（3）)34(log 5.0-=x y学点二：对数函数单调性的应用例2：求证：函数)12(log 21-=x y 在其定义域上是单调减函数例3：已知函数)1,0)(1(log )(≠>-=a a a x f x a求(1))(x f 的定义域（2）讨论)(x f 的单调性学点三：对数函数的最值问题例4：求下列函数的值域（1）)1(),12lg(-≤+-=x x y（2）)1(log 25.0+=x y（3）)2,0[(),32lg(2∈++=x x x y例5：求函数2lg lg )(2++=x x x f 在[]100,1内的最值变式训练：已知函数]100,1[,lg )(∈=x x x f ，求函数1)()]([)(22++=x f x f x g 的最值自我检测：1. 已知,lg )(x x f =则)2(),31(),41(f f f 的大小关系为2. 若函数)10(log )(<<=a x x f a 在区间]2,[a a 上的最大值是最小值的3倍，则a 为3. 已知函数)2(log ax y a -=在区间]1,0[上是减函数，则a 的取值范围是4. 函数)(),1(log 22R x x x y ∈++=的奇偶性为5. 若函数)(x f 的定义域为),1,0[则)]3([log )(21x f x F -=的定义域为6. 已知函数),1,0(11log )(≠>-+=a a x mx x f a在其定义域),1()1,(+∞⋃--∞上是奇函数， （1） 求m 的值（2） 判断)(x f 在区间),1(+∞上的单调性，并加以证明7. 设,0,0≥≥y x 且,212=+y x 求函数)148(log 221++y xy 的最大值与最小值学后反思：。

对数函数教学目标1．使学生掌握对数函数的定义，会画对数函数的图象，掌握对数函数的性质．2．通过对数函数与指数函数互为反函数的教学，学生进一步加深对反函数概念及函数和反函数图象间的关系的认识与理解．3．通过比较、对照的方法，学生更好地掌握两个函数的定义、图象及性质，认识两个函数的内在联系，提高学生对函数思想方法的认识和应用意识．教学重点与难点教学重点是对数函数的定义、图象及性质．难点是由对数函数与指数函数互为反函数这一关系，利用指数函数图象及性质得到对数函数的图象及性质．教学过程设计师：在新课开始前，我们先复习一些有关概念．什么叫对数？生：若a b=N，则数b叫做以a为底N的对数，记作log a N=b．其中a为底数，N是真数．师：各个字母的取值范围呢？生：a＞0且a≠1；N＞0；b∈R．师：这个定义也为我们提供了指数式化对数式，对数式化指数式的方法．请将b p=M 化成对数式．生：b p=M化为对数式是log b M=p．师：请将log c a=q化为指数式．生：log c a=q化为指数式是c q=a．师：什么是指数函数？它有哪些性质？(生回答指数函数定义及性质．)师：请大家回忆如何求一个函数的反函数？生：(1)先求原来函数的定义域和值域；(2)把函数式y=f(x)看作以x为未知数的方(3)把x=(y)改写成y=(x)，并写出反函数的定义域．师：好．为什么求一个函数的反函数时，要先求出这个函数的定义域和值域呢？生：求原来函数的定义域是为了求原来函数的值域，而原来函数的值域就是其反函数的定义域．师：很好．原来函数的定义域和值域，就是其反函数的值域和定义域．根据前面复习的求反函数的方法，请同学们求函数y=a x(a＞0，a≠1)的反函数．生：函数y=a x(a＞0，a≠1)的定义域x∈R，值域y∈(0，＋∞)．将指数式y=a x化为对数式x=log a y，所以函数y=a x(a＞0，a≠1)的反函数为y=log a x(x＞0)．师：今天这节课我们介绍一下新的函数——对数函数，它是指数函数的反函数．定义函数y=log a x(a＞0，a≠1)叫做对数函数．因为对数函数y=log a x是指数函数y=a x的反函数，所以要说明以下两点：(1)对于底数a，同样必须满足a＞0且a≠1的条件．(2)指数函数的定义域为R，值域为R+．根据反函数性质可知：对数函数的定义域为R+，值域为R．同指数函数一样，在学习了函数定义之后，我们要画函数的图象．应该如何画对数函数的图象呢？生：用描点法画图．师：对．我们每学习一种新的函数都可以根据函数的解析式，列表、描点画图．再考虑一下，我们还可以用什么方法画出对数函数的图象呢？生：因为对数函数是指数函数的反函数，所以它们的图象关于直线y=x对称．因此，只要画出指数函数的图象，就可利用图象的对称性画出对数函数的图象．师：非常好．我们画对数函数图象，即可用描点法，也可用图象变换法．下边我们就利用这两种方法画对数函数图象．方法一(描点法)首先列出x，y值的对应表．因为对数函数的定义域为x＞0，因此可取x=1，2，3，4，…，请计算对应的y值．生：y=log21=0，y=log22=1，y=log23=1.59，y=log24=2．师：我们在分析对数函数值域时知y∈R．由上面所说的x值计算出的y≥0，所以方法二(图象变换法)师：我们讲函数与其反函数的图象关系时，说明了点(a，b)关于直线y=x的对称点的坐标是什么？生：是点(b，a)．师：由于对数函数是指数函数的反函数，指数函数图象分a＞1和0＜a＜1两类，因此对数函数图象也分a＞1和0＜a＜1两类．现在我们观察对数函数图象，并对照指数函数性质来分析对数函数的性质．生：对数函数的图象都在y轴右侧，说明x＞0．生：函数图象都过(1，0)点，说明x=1时，y=0．师：对．这从直观上体现了对数式的真数大于0且1的对数是0的事实．请继续分析．生：当底数是2和10时，若x＞1，则y＞0，若x＜1，则y＜0．当底数师：对．由此可归纳得到：当底数a＞1时，若x＞1，则y＞0；若0＜x＜1，则y ＜0，反之亦然．当底数0＜a＜1时，若x＞1，则y＜0；若0＜x＜1，则y＞0，反之亦然．这体现了真数的取值范围与对数的正负性之间的紧密联系．再继续分析．生：当底数a＞1时，对数函数在(0，＋∞)上递增；当底数0＜a＜1时，对数函数在(0，＋∞)上递减．师：好．下边我们看一下指数函数与对数函数性质对照表．师：今天我们所要讲的有关概念就讲完了，现在我们通过例题进一步巩固理解这些概念．例2求下列函数的定义域：生：(1)因为x2＞0，所以x≠0，即y=log a x2的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．生：(2)因为4－x＞0，所以x＜4，即y=log a(4－x)的定义域是(－∞，4)．师：在这个函数的解析式中，不仅有对数式，还有二次根式，因此要求定义域，既要真数大于0，还要被开方数大于或等于0，从而得到不等式组．这个不等式组如何解，问题出在log0.5(3x－1)≥0上，怎么办？生：把0看作log0.51，即log0.5(3x－1)≥log0.51，因为0＜0.5＜1，所以此函数是减函数，所以3x－1≤1．师：对．他是利用了对数函数的单调性．还有别的说法吗？生：因为底数0＜0.5＜1，而log0.5(3x－1)≥0，所以3x－1≤1．师：对．他是利用了对数函数的第三条性质．根据函数值的范围，判断了真数的范围，因此只要解0＜3x－1≤1，即可得出函数定义域．例3比较下列各组中两个数的大小：(1)log23和log23.5；(2)log0.71.6和log0.71.8．师：请同学们观察这两组数中两个数的特征，想一想应如何比较这两个数的大小．生：这两组数都是对数．每组中的对数式的底数相同，而真数不同，因此可根据函数y=log2x是增函数的性质来比较它们的大小．师：对．针对(1)中两个数的底数都是2，我们构造函数y=log2x，利用这个函数在(0，＋∞)是单调递增的，通过比较真数的大小来决定对数的大小．请一名同学写出解题过程．生：(板书)解：因为函数y=log2x在(0，＋∞)上是增函数，又因0＜3＜3.5，所以log23＜log23.5．师：好．请同学简答(2)中两个数的比较过程．并说明理由．生：因为函数y=log0.7x在(0，＋∞)上是减函数，又因0＜1.6＜1.8，所以log0.71.6＞log0.71.8．师：对．上述方法仍是采用“函数法”比较两个数的大小．当两个对数式的底数相同时，我们构造对数函数．对于a＞1的对数函数在定义域内是增函数；对于0＜a＜1的对数函数在定义域内是减函数．只要比较真数的大小，即可得到函数值的大小．例4比较下列各组中两个数的大小：(1)log0.34和log0.20.7；(2)log23和log32．师：这两组数都是对数，但它们的底数与真数都不相同，不便于利用对数函数的单调性比较它们的大小．请大家仔细观察各组中两个数的特点，判断出它们的大小．生：在log0.34中，因为底数0＜0.3＜1，且4＞1，所以log0.34＜0；在log0.20.7中，因为0＜0.2＜1，且0.7＜1，所以log0.20.7＞0，故log0.34＜log0.20.7．师：很好．根据对数函数性质，当底数0＜a＜1时，若x＞1，则y＜0；若0＜x＜1，则y＞0．由此可以判定这两个数中，一个比零大，另一个比零小，从而比较出两个数的大小，这是采用了“中间量法”．请比较第(2)组两个数的大小．生：在log23中，底数2＞1，真数3＞1，所以log23＞0；在log32中，底数3＞1，真数2＞1，所以log32＞0，…师：根据对数性质可判断：log23和log32都比零大．怎么办？生：因为log23＞1，log32＜1，所以log23＞log32．师：很好．这是根据对数函数的单调性得到的，事实上，log23＞log22＝1，log32＜log33＝1，这里利用了底数的对数为1，即log22=log33=1，从而判断出一个数大于1，而另一个数小于1，由此比较出两个数的大小．请同学们口答下列问题：练习1求下列函数的反函数：(1)y=3x(x∈R)；(2)y=0.7x(x∈R)；(3)y=log5x (x＞0)；(4)y=log0.6x (x＞0)．生：y=3x(x∈R)的反函数是y=log3x(x＞0)．生：y=0.7x(x∈R)的反函数是y=log0.7x(x＞0)．生：y=log5x(x＞0)的反函数是y=5x(x∈R)．生：y=log0.6x(x＞0)的反函数是y=0.6x(x∈R)．练习2指出下列各对数中，哪个大于零？哪个小于零？哪个等于零？并简述理由．生：在log50.1中，因为5＞1，0.1＜1，所以log50.1＜0．生：在log27中，因为2＞1，7＞1，所以log27＞0．生：在log0.60.1中，因为0.6＜1，0.1＜1，所以log0.60.1＞0．生：在log0.43中，因为0.4＜1，3＞1，所以log0.43＜0．练习3用“＜”号连接下列各数：0.32，log20.3，20.3．生：由指数函数性质可知0＜0.32＜1，20.3＞1，由对数函数性质可知log20.3＜0，所以log20.3＜0.32＜20.3．师：现在我们将这节课的内容小结一下，本节课我们介绍了对数函数的定义、图象及性质，请同学回答对数函数的定义及性质．生：(复述)……师：对数函数的定义，我们是通过求指数函数的反函数而得到的，从而揭示了指数函数与对数函数之间的内在联系，对于对数函数的图象及性质，都可以利用指数函数的图象及性质得到．对于对数函数的性质，可以利用对数函数图象记忆，也可以对照指数函数的性质记忆．对于函数的定义域，除了原来要求的分母不能为0及偶次根式中被开方式大于或等于0以外，还应要求对数式中真数大于零，底数大于零且不等于1．如果函数中同时出现几种情况，就要全部考虑进去，求它们共同作用的结果．例3、例4都是利用对数函数的性质，通过“函数法”和“中间量法”比较两个数大小的典型例子．师：作业题1是作图题，画法有两种，可任选其中一种画法．然后由所画出的五个函数图象进行对比分析，思考两个或两个以上对数函数图象的特征，下节课我们共同讨论．(答案：(1)底数是互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称．(2)当底数a＞1时，底数越大的越接近x轴；当底数0＜a＜1时，底数越小的越接近x轴．)补充题1．求下列函数的定义域：2．比较下列各题中两个数值的大小：(1)log30.7和log0.20.5；(2)log0.64和log7.11.2；(3)log0.50.6和log0.60.5；(4)log25和log34．(答案：1．(1)(－∞，－2)∪(3，＋∞)；(2)[2，＋∞)；(3)(－1，0)∪(0，1)∪(1，＋∞)．2．(1)＜；(2)＜；(3)＜，提示：两个数与1比较；(4)＞，提示：两个数与2比较．)3．(选作)已知函数f(x)=log2(kx2－2x＋k)的定义域是一切正实数，求k的取值课堂教学设计说明1．本节新课的开始是由求指数函数的反函数引入对数函数的，因此在讲授对数函数的定义、图象及性质时，要处处与指数函数对照着讲解，既可揭示指数函数与对数函数之间的内在联系．又可以旧带新，便于学生记忆掌握．2．课本是根据互为反函数的两个函数图象关于直线y=x对称的性质，由指数函数巩固学生对互为反函数的两个函数之间的关系的认识，便于将对数函数的图象和性质与指数函数的图象和性质对照．但使用描点法画函数图象更为方便．两种画法可同时进行．分析画法之后，可以让学生自由选择画法，也可以安排某几行同学用描点法，另外几行同学用图象的对称变换画图．在黑板上让两名学生同时各用一种方法画出图象，或让学生用投影片用不同的方法画出图来，在投影仪上展示给大家看．总之，根据时间，能够把两种画法展示给学生更好．3．为了加大课堂密度，提高45分钟课堂效率，可采用投影仪或电脑等现代化教学手段，充分利用时间，但不能用它代替学生的思维过程，要让学生有动脑、动口、动手的机会，突出学生参与过程．4．要了解自己学生的程度，根据不同层次的教学对象制定教学方案，选择不同程度的例题和习题，注意不要让学生吃不饱，也不要太撑，要适量．。