2019版高考数学一轮总复习 解答题专项训练1 理.doc

2019年高考数学第一轮复习模拟测试题学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．函数sin 2cos 263y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小正周期和最大值分别为（ ）（2007山东理科）（5） A ．π，1 B ．π，3 C ．2π，1 D ．2π，32．1．有下列四个命题：①过平面外一点平行于此平面的所有直线必在同一平面内；②平行于同一平面的两条直线平行；③过平面外一点作与该平面平行的平面，有且只有一个；④分别在两个平行平面内的两条直线一定平行。

其中真命题的个数是-------------------------------------------------------------------------------------（ ）(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D)3．若曲线2y x ax b =++在点(0,)b 处的切线方程是10x y -+=，则 （A ）1,1a b == (B) 1,1a b =-= (C) 1,1a b ==- (D) 1,1a b =-=-二、填空题4．若直线230ax y ++=与直线320x y --=平行，则a =_____5．在如图所示的流程图中，输出的结果是 24 ．6．现剪切一块边长为4的正方形铁板，制作成一个母线长为4的圆锥V 的侧面，那么，当剪切掉作废的铁板面积最小时，圆锥V 的体积为 ．7．已知命题P ：“R x ∈∀，0322≥-+x x ”，请写出命题P 的否定: ▲ .8．函数xy -=1)21(的值域是 ．9．曲线xy e =在点2(2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 . 【解析】切线的斜率22'e y k x === ∴切线的方程为)2(22-=-x e e y 令0=x ，则2e y -=；0=y ，1=x .即切线与两坐标轴的交点分别是),0(),0,1(2e - ∴曲线xy e =在点2(2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为=⨯⨯2121e 22e .10．已知圆22x y m +=与圆2268110x y x y ++--=相交，则实数m 的取值范围为 ．11．若集合{}|2A x x =≤，{}|B x x a =≥满足{2}A B =，则实数a = ．12．抛物线y 2=4mx(m ＞0)的焦点到双曲线x 216－y 29=l 的一条渐近线的距离为3，则此抛物线的方程为 ．13．已知圆x 2＋y 2＝R 2与直线y ＝2x ＋m 相交于A 、B 两点，以x 轴的正方向为始边，OA 为终边(O 是坐标原点)的角为α，OB 为终边的角为β，则tan(α＋β)的值为________．解析：如右图，过O 作OM ⊥AB 于M ，则∠AOM ＝∠BOM ＝12∠AOB ＝12(β－α)，∴∠xOM ＝α＋∠AOM ＝α＋β2，∴tan α＋β2＝k OM ＝－1k AB ＝－12，∴tan(α＋β)＝2tanα＋β21－tan 2α＋β2＝－43.14．已知三角形的三边长分别是,a b15．()y f x =为奇函数，当0x <时，2(),f x x ax =+且(2)6f =，则当0()x f x ≥时，的解析式为 ▲ .16．已知集合A=}{1|->x x ，集合B ＝}22|{<<-x x ，则A B ⋃等于 ． 17．正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线11A B DC 和所成角的大小为 ．18．集合{}|0,|sin cos ,,4M z z N y y x x x M π⎧⎫=<<==+∈⎨⎬⎩⎭则M N =分析：集合N 实际上是定义域为M 时函数sin cos y x x =+的值域19．在ABC ∆中，已知sin 2sin cos A B C =，且3sin 5B =，则sin A 的值为 ▲ ．20．已知5()lg ,f x x =则(2)f =21．已知正四棱锥的底面边长是6，这个正四棱锥的侧面积是 ▲ ．22．在平面直角坐标系xOy 中作平行四边形OA B C ，已知3||,4||==，则⋅的值为 .23．已知圆()1222=+-y x 经过双曲线22221x y a b-=()0a b >>的一个顶点和一个焦点，则此双曲线的离心率e = 5=e24．设函数()cos(2)f x x ϕ=+，则“()f x 为奇函数”是“2πϕ=”的 条件.（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）25．已知圆22(2)9x y -+=和直线y k x =交于A,B 两点,O 是坐标原点,若2OA OB O +=，求 ||AB26． 设AB 是平面a 的斜线段，A 为斜足，若点P 在平面a 内运动，使得△ABP 的面积为定值，则动点P 的轨迹是 ▲27．直线053=+-y x 的倾斜角是 .28． 幂函数()y f x =的图象经过点1(2,)8--，则满足()f x ＝27的x 的值是 ▲ ．29．在平面直角坐标系xOy 中，(1,0)A ，函数xy e =的图像与y 轴的交点为B ，P 为函数xy e =图像上的任意一点，则OP AB 的最小值 ▲ ．30． “m <14”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的________条件．解析：∵x 2＋x ＋m ＝0有实数解，∴m ＝－x 2－x ，令f (x )＝－x 2－x ＝－⎝⎛⎭⎫x ＋122＋14， ∴f (x )的值域为⎝⎛⎦⎤－∞，14， ∴x 2＋x ＋m ＝0有实数解时，m ≤14，∴m <14是x 2＋x ＋m ＝0有实数解的充分非必要条件．31．在△ABC 中，若1AC BC =，2AB BC =-，则BC 的值为32．若复数z 满足：i z z 2=-，iz z =，（i 为虚数单位），则=2z ．33．如图，在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别在边CD 和BC 上，且→→→→==BF BC DE DC 3,3，其中R n m ∈,，若→→→+=AF n AE m AC ，则=+n m ．34．已知点(,)m n在曲线y =23n m --的取值范围是____ ___ ．35．不等式021>+-x x的解集是__________36．若复数z 满足1(iz i i =+为虚数单位)，则z =＿＿＿＿＿＿＿.37．集合{}7,6,4,2,1=A ，{}7,5,4,3=B ，则A B ⋂= ▲ ． 38．已知复数1(1)az i =+-，若复数z 为纯虚数，则实数a 的值为 . 三、解答题39．ABC ∆中，三边,,a b c 满足222.a b c ab bc ca ++=++试判断ABC ∆的形状. 40．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别为棱1A A ，1C C 的中点，AC ⊥BE ，点F 在棱AB 上，且4AB AF =．（1）求证：1BC C D ⊥；（2）试在线段BE 上确定一点M ，使得1//C D 平面BFM ，并给出证明．（第16题1AABC1C1BFEMD41．[选修4－1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，⊙O 是等腰三角形ABC 的外接圆，AB =AC ，延长BC 到点D ，使得CD =AC ，连结AD 交⊙O 于点E ，连结BE 与AC 交于点F ，求证BE 平分∠ABC ．42．已知向量(cos ,sin )a αα=, (cos ,sin )b ββ=, 25||5a b -=. （Ⅰ）求cos()αβ-的值; （Ⅱ）若02πα<<, 0,2πβ-<<且5sin 13β=-, 求sin α. 43．如图，在平面直角坐标系xOy 中，M 、N 分别是椭圆12422=+y x 的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P 、A 两点，其中P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C ，连接AC ，并延长交椭圆于点B ，设直线PA 的斜率为k（1）当直线PA 平分线段MN ，求k 的值； （2）当k=2时，求点P 到直线AB 的距离d ；（3）对任意k>0，求证：PA ⊥PB(2011年高考江苏卷18)D(第21A 图)【解析】（1）因为(2,0)M -、N ,所以MN 的中点坐标为(-1,2),又因为直线PA 平分线段MN ， 所以k的值为 (2)因为k=2,所以直线AP 的方程为2y x =,由222142y xx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得交点P(24,33)、A(24,33--), 因为PC ⊥x 轴，所以C （2,03)，所以直线AC 的斜率为1，直线AB 的方程为23y x =-，所以点P 到直线AB 的距离242||--=3.2．已知椭圆22:14x G y +=.过点（m ,0）作圆221x y +=的切线I 交椭圆G 于A ，B 两点. （I ）求椭圆G 的焦点坐标和离心率；（II ）将AB 表示为m 的函数，并求AB 的最大值. (2011年高考北京卷理科19)（本小题共14分）44．已知,m n 是两条不重合的直线，,,αβγ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题： ①若,,m m αβαβ⊥⊥则∥；②若;αγβαγβ⊥⊥，，则∥③若,,,m n m n αβαβ⊂⊂∥则∥④若,m n 是异面直线，,,,m m n αβααβ⊂∥∥则∥其中所有真命题的序号是45．一投掷飞碟的游戏中，飞碟投入红袋记2分，投入蓝袋记1分，未投入袋记0分．经过多次试验，某人投掷100个飞碟有50个入红袋，25个入蓝袋，其余不能入袋．（Ⅰ）求该人在4次投掷中恰有三次投入红袋的概率； （Ⅱ）求该人两次投掷后得分ξ的数学期望E ξ．解（Ⅰ） “飞碟投入红袋”，“飞碟投入蓝袋”，“飞碟不入袋”分别记为事件A ，B ，C ． 则4110025)()(,2110050)(=====C P B P A P 因每次投掷飞碟为相互独立事件，故4次投掷中恰有三次投入红袋的概率为41)211()21()3(3344=-=C P ----------4分（Ⅱ）两次投掷得分ξ的得分可取值为0，1，2，3，4则：161)()()0(===C P C P P ξ 8141412)()()1(12=⨯⨯===C P B P C P ξ165)()()()()2(12=+==B P B P C P A P C P ξ 41)()()3(12===C P A P C P ξ；41)()()4(===A P A P P ξ 2541441316528111610=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∴ξE -----------------10分46．设111()3422f n n n n =++⋅⋅⋅++++，是否存在一个最大的自然数m ，使不等式()72mf n >对n N ∈恒成立，若不存在，说明理由；若存在，求出m 的值，并证明这个不等式.47．解关于x 的不等式0(0)a xa b b x-<+>+ 关键字：解分式不等式；解含参不等式48．（1）已知两点(1,1),(3,2)A B -，在x 轴上求一点P ，使PA PB +最小；（249．已知向量(53cos ,cos )a x x =，(sin ,2cos )b x x =，函数2()f x a b b =⋅+.（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）当62x ππ≤≤时，求函数()f x 的值域.50．已知等比数列{a n }中,a 1=a >0,公比q >0且q ≠1,同时对于任意自然数n ,都有a n ≠1,将以x 为未知数的方程a x n ·a 2n +1·xn a 2+=1称作方程1n .(1)试证明11,12,13……有公共解,并求这个公共解.(2)试证明对于每一个给定的自然数n ,方程1n 除公共解外,还有另一个解,并求出这个解进一步证明数列{n x +11}是一个等差数列。

2019年高考（理科）数学一轮复习专题强化训练全套试题01函数与导数(45分钟 48分)1.(12分)已知函数f(x)=e x +x 2-x, g(x)=x 2+ax+b,a,b ∈R. (1)当a=1时,求函数F(x)=f(x)-g(x)的单调区间.(2)若曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线l 与曲线y=g(x)切于点(1,c),求a,b,c 的值. (3)若f(x)≥g(x)恒成立,求a+b 的最大值.2.(12分)已知函数f(x)=a x +x 2-xln a-b(a, b ∈R, a>1),e 是自然对数的底数. (1)当a=e, b=4时,求函数f(x)的零点个数. (2)若b=1,求f(x)在[-1,1]上的最大值.3.(12分)已知函数f(x)=(k+4k)ln x+4-x 2x,其中常数k>0.(1)讨论f(x)在(0,2)上的单调性.(2)当k ∈[4,+∞)时,若曲线y=f(x)上总存在相异两点M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),使曲线y=f(x)在M,N 两点处的切线互相平行,试求x 1+x 2的取值范围.4.(12分) 设函数f(x)=ln x.(1)令F(x)=f(x)+a x(0<x ≤3),若F(x)的图象上任意一点P (x 0,y 0)处切线的斜率k ≤12恒成立,求实数a 的取值范围.(2)当a>0时,设函数g(x)=(x 2-2x)f(x)+ax 2-x,且函数g(x)有且仅有一个零点,若e -2<x<e,g(x)≤m,求m 的取值范围.(45分钟 48分)1.(12分)已知函数f(x)=4cos ωx·sin (ωx+π4)(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值.(2)讨论f(x)在区间[0,π2]上的单调性.2.(12分)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且2cos 2A -B 2cos B-sin (A-B)sin B+cos (A+C)=-35.(1)求cos A 的值. (2)若a=4√2,b=5,求向量在方向上的投影.3.(12分)设函数f(x)=cos (2x -4π3)+2cos 2x.(1)求f(x)的最大值,并写出使f(x)取最大值时x 的集合.(2)已知△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若f(B+C)=32,b+c=2,求a 的最小值.4.(12分)设函数f(x)=√32-√3sin 2ωx -sin ωxcos ωx(ω>0),且y=f(x)图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值. (2)求f(x)在区间[π,3π2]上的最大值和最小值.(45分钟48分)1.(12分)已知正项等比数列{a n}满足a1,2a2,a3+6成等差数列,且a42=9a1a5.(1)求数列{a n}的通项公式.(2)设b n=(1+log√3a n)·a n,求数列{b n}的前n项和T n.2.(12分)已知数列{a n}满足a1=1,a n+1=2a n+3,n∈N*.(1)求证:数列{a n+3}是等比数列.(2)求数列{na n}的前n项和S n.3.(12分)设数列{a n}的前n项和为S n,已知S n=2a n-1(n∈N*).(1)求数列{a n}的通项公式.(2)若对任意的n∈N*,不等式k(S n+1)≥2n-9恒成立,求实数k的取值范围.4.(12分)数列{a n}的前n项和S n满足S n=2a n-a1,且a1,a3+1,a4成等差数列.世纪金榜导学号12560596(1)求数列{a n}的通项公式.(2)设b n=log2a1+log2a2+…+log2a n,求使(n-8)b n≥nk对任意n∈N*恒成立的实数k的取值范围.04立体几何(45分钟 48分)1.(12分)如图,多面体ABCDEF 中,四边形ABCD 为平行四边形,其中∠BAD=π6,AD=√3,AB=1,等边△ADE 所在平面与平面ABCD 垂直,FC ⊥平面ABCD,且FC=32.(1)点P 在棱AE 上,且AP PE=2,Q 为△EBC 的重心,求证:PQ ∥平面EDC.(2)求平面DEF 与平面EAB 所成锐二面角的余弦值.2.(12分)在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,AB ⊥平面BCC 1B 1,∠BCC 1=π3,AB=BC=2,BB 1=4,点D 在棱CC 1上,且CD=λCC 1(0<λ<1).建立如图所示的空间直角坐标系. (1)当λ=12时,求异面直线AB 1与A 1D 的夹角的余弦值.(2)若二面角A-B 1D-A 1的平面角为π4,求λ的值.3.(12分)如图,在梯形ABCD 中,AB ∥CD,∠BCD=2π3,四边形ACFE 为矩形,且CF ⊥平面ABCD,AD=CD=BC=CF=1. (1)求证:EF ⊥平面BCF.(2)点M 在线段EF(含端点)上运动,当点M 在什么位置时,平面MAB 与平面FCB 所成锐二面角最大,并求此时二面角的余弦值.4.(12分)在如图所示的几何体中,平面ADNM ⊥平面ABCD,四边形ABCD 是菱形,四边形ADNM 是矩形,∠DAB=π3,AB=2,AM=1,E 是AB 的中点.(1)求证:DE ⊥平面ABM.(2)在线段AM 上是否存在点P,使二面角P-EC-D 的大小为π4?若存在,求出AP 的长;若不存在,请说明理由.05解析几何(45分钟 48分)1.(12分)已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)经过点(√62,-1),左右焦点分别为F 1,F 2,坐标原点O与直线x+y+b=0上的点的距离最小值为1.(1)求椭圆C 的标准方程.(2)设Q 是椭圆C 上不在x 轴上的一个动点,过点F 2作OQ 的平行线交椭圆C 于M,N 两个不同的点,|MN ||OQ |2的值是否为一个常数?若是,求出这个常数;若不是,请说明理由.2.(12分)已知椭圆C:y 2a 2+x 2b 2=1(a>b>0)的离心率为√22,且过点(2,0).(1)求椭圆C 的方程.(2)过点M(1,0)任作一条直线与椭圆C 相交于P,Q 两点,试问在x 轴上是否存在定点N,使得直线PN 与直线QN 关于x 轴对称?若存在,求出点N 的坐标;若不存在,说明理由.3.(12分)已知F 1,F 2是椭圆Ω:x 24+y 2b 2=1(b>0)的左,右焦点.(1)当b=1时,若P 是椭圆Ω上在第一象限内的一点,且·=-54,求点P 的坐标.(2)当椭圆Ω的焦点在x 轴上且焦距为2时,若直线l :y=kx+m 与椭圆Ω相交于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点,且3x 1x 2+4y 1y 2=0,求证:△AOB 的面积为定值.4.(12分)已知抛物线C:y 2=2px(p>0)的焦点为F,A 为C 上位于第一象限的任意一点,过点A 的直线l 交C 于另一点B,交x 轴的正半轴于点D.(1)若当点A 的横坐标为3,且△ADF 为以F 为顶点的等腰三角形,求C 的方程. (2)对于(1)中求出的抛物线C,若点D(x 0,0)(x 0≥12),记点B 关于x 轴的对称点为E,AE 交x 轴于点P,且AP ⊥BP,求证:点P 的坐标为(-x 0,0),并求点P 到直线AB 的距离d 的取值范围.06概率与统计(45分钟50分)1.(12分)某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计,绘制了频率分布直方图(如图所示),规定80分及以上者晋级成功,否则晋级失败(满分为100分).(1)求图中a的值.(2)估计该次考试的平均分x(同一组中的数据用该组的区间中点值代表).(3)根据已知条件完成2×2列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为“晋级成功”(参考公式:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d)2.(12分)在一次全国高中五省大联考中, 有90万名学生参加, 考后对所有学生成绩统计发现, 英语成绩服从正态分布N(μ,σ2).用茎叶图列举了20名学生的英语成绩, 巧合的是这20个数据的平均数和方差恰好比所有90万个数据的平均数和方差都多0.9,且这20个数据的方差为49.9.世纪金榜导学号12560836(1)求μ,σ.(2)给出正态分布的数据:P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.682 6P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.954 4①若从这90万名学生中随机抽取1名, 求该生英语成绩在(82.1,103.1)的概率;②若从这90万名学生中随机抽取1万名, 记X为这1万名学生中英语成绩在(82.1,103.1)的人数, 求X的数学期望.3.(13分)观察研究某种植物的生长速度与温度的关系,经过统计,得到生长速度(单位:毫米/月)与月平均气温的对比表如下:(1)).(2)利用(1)中的线性回归方程,分析气温从-5℃至20℃时生长速度的变化情况,如果某月的平均气温是2℃时,预测这月大约能生长多少.附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:4.(13分)近年来,微信越来越受欢迎,许多人通过微信表达自己、交流思想和传递信息.微信是现代生活中进行信息交流的重要工具.而微信支付为用户带来了全新的支付体验,支付环节由此变得简便而快捷.某商场随机对商场购物的100名顾客进行统计,其中40岁以下占35,采用微信支付的占23,40岁以上采用微信支付的占14.(1)请完成下面并由列联表中所得数据判断在犯错误的概率不超过多少的前提下认为“使用微信支付与年龄有关”?(2)若以频率代替概率,采用随机抽样的方法从“40岁以下”的人中抽取2人,从“40岁以上”的人中抽取1人,了解使用微信支付的情况,问至少有一人使用微信支付的概率为多少? 参考公式:K 2=n (ad -bc )2(a+b )(c+d )(a+c )(b+d ),n=a+b+c+d. 参考数据:2019年高考（理科）数学一轮复习强化训练全套试题答案及解析01函数与导数(45分钟 48分)1.(12分)已知函数f(x)=e x +x 2-x, g(x)=x 2+ax+b,a,b ∈R. (1)当a=1时,求函数F(x)=f(x)-g(x)的单调区间.(2)若曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线l 与曲线y=g(x)切于点(1,c),求a,b,c 的值. (3)若f(x)≥g(x)恒成立,求a+b 的最大值.【解析】(1) F(x)=e x-2x-b,则F ′(x)=e x-2.(1分)令F ′(x)=e x-2>0,得x>ln 2,所以F(x)在(ln 2,+∞)上单调递增.令F ′(x)=e x-2<0,得x<ln 2, 所以F(x)在(-∞,ln 2)上单调递减. (4分)(2)因为f ′(x)=e x+2x-1,所以f ′(0)=0,所以l 的方程为y=1.依题意,g ′(x)=2x+a,g ′(1)=2+a=0,所以-a 2=1, c=1.于是l 与抛物线g(x)=x 2-2x+b 切于点(1,1),由12-2+b=1得b=2.所以a=-2,b=2,c=1.(3)设h(x)=f(x)-g(x)=e x -(a+1)x-b,则h(x)≥0恒成立.易得h ′(x) =e x-(a+1).(6分) ①当a+1≤0时,因为h ′(x)>0,所以此时h(x)在(-∞,+∞)上单调递增. 若a+1=0,则当b ≤0时满足条件,此时a+b ≤-1;(7分) 若a+1<0,取x 0<0且x 0<1-ba+1,此时h(x 0)=ex 0-(a+1)x 0-b<1-(a+1)1-ba+1-b=0,所以h(x)≥0不恒成立.不满足条件;(8分)②当a+1>0时,令h ′(x)=0,得x=ln (a+1).由h ′(x)>0,得x>ln (a+1);由 h ′(x)<0,得x<ln (a+1).所以h(x)在(-∞,ln (a+1))上单调递减,在 (ln (a+1),+∞)上单调递增.(10分)要使得“h(x)=e x-(a+1)x-b ≥0恒成立”,必须有“当x=ln (a+1)时, h(x)min =(a+1)-(a+1)ln (a+1)-b ≥0”成立.所以b ≤(a+1)-(a+1)ln (a+1).则a+b ≤2(a+1)-(a+1)ln (a+1)-1.令G(x)=2x-xln x-1,x>0,则G ′(x)=1-ln x. 令G ′(x)=0,得x=e.由G ′(x)>0,得0<x<e;由G ′(x)<0,得x>e.所以G(x)在(0,e)上单调递增,在 (e,+∞)上单调递减,所以,当x=e 时, G(x)max =e-1.从而,当a=e-1,b=0时, a+b 的最大值为e-1.综上, a+b 的最大值为e-1.(12分)2.(12分)已知函数f(x)=a x +x 2-xln a-b(a, b ∈R, a>1),e 是自然对数的底数. (1)当a=e, b=4时,求函数f(x)的零点个数. (2)若b=1,求f(x)在[-1,1]上的最大值.【解析】 (1)f(x)=e x +x 2-x-4,所以f ′(x)=e x+2x-1,所以f ′(0)=0,(1分)当x>0时, e x>1,所以f ′(x)>0,故f(x)是(0,+∞)上的增函数,(2分)当x<0时, e x<1,所以f ′(x)<0,故f(x)是(-∞,0)上的减函数,(3分)f(1)=e-4<0, f(2)= e 2-2>0,所以存在x 1∈(1,2)是f(x)在(0,+∞)上的唯一零点;(4分)f(-2)=1e 2+2>0, f(-1)=1e -2<0,所以存在x 2∈(-2,-1)是f(x)在(-∞,0)上的唯一零点,所以f(x)的零点个数为2.(6分)(2)f ′(x)=a x ln a+2x-ln a =2x+(a x-1)ln a,(7分)当x>0时,由a>1,可知a x -1>0, ln a>0,所以f ′(x)>0,当x<0时,由a>1,可知a x-1<0, ln a>0,所以f ′(x)<0,当x=0时, f ′(x)=0,所以f(x)是[-1,0]上的减函数, [0,1]上的增函数,所以当x ∈[-1,1]时, f(x)min =f(0), f(x)max 为f(-1)和f(1)中的较大者.而f(1)-f(-1)=a-1a-2ln a,设g(x)=x-1x-2ln x(x>1),因为g ′(x)=1+1x 2-2x =(1x-1)2≥0(当且仅当x=1时等号成立),(8分)所以g(x)在(0,+∞)上单调递增,而g(1)=0,(10分)所以当x>1时, g(x)>0,即a>1时, a-1a-2ln a>0,所以f(1)>f(-1).所以f(x)在[-1,1]上的最大值为f(1)=a-ln a.(12分) 3.(12分)已知函数f(x)=(k+4k)ln x+4-x 2x,其中常数k>0.(1)讨论f(x)在(0,2)上的单调性.(2)当k ∈[4,+∞)时,若曲线y=f(x)上总存在相异两点M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),使曲线y=f(x)在M,N 两点处的切线互相平行,试求x 1+x 2的取值范围. 【解析】(1)由已知得, f(x)的定义域为(0,+∞),且f ′(x)=k+4k x-4x2-1=-x 2-(k+4k )x+4x 2=-(x -k )(x -4k )x 2(k>0),(2分)①当0<k<2时, 4k>k>0,且4k>2,所以x ∈(0,k)时, f ′(x)<0; x ∈(k,2)时, f ′(x)>0.所以,函数f(x)在(0,k)上是减函数,在(k,2)上是增函数;(3分)②当k=2时, 4k=k=2, f ′(x)<0在区间(0,2)内恒成立,所以f(x)在(0,2)上是减函数;(4分)③当k>2时, 0<4k <2,k<4k,所以x ∈(0,4k)时, f ′(x)<0; x ∈(4k,2)时,f ′(x)>0, 所以函数在(0,4k)上是减函数,在(4k,2)上是增函数.(6分)(2)由题意,可得f ′(x 1)=f ′(x 2), x 1x 2>0且x 1≠x 2,即k +4k x 1-4x 12-1 = k +4k x 2-4x 22-1,化简得, 4(x 1+x 2)=(k+4k)x 1x 2,(8分)由x 1x 2<(x 1+x 22)2,得4(x 1+x 2)<(k+4k)(x 1+x 22)2,即x 1+x 2>16k+4k对k ∈[4,+∞)恒成立,(10分) 令g(k)=k+4k ,则g ′(k)=1-4k 2=k 2-4k 2>0对k ∈[4,+∞)恒成立,所以g(k)在[4,+∞)上单调递增,则g(k)≥g(4)=5,所以16k+4k≤165,所以x 1+x 2>165,故x 1+x 2的取值范围为(165,+∞).(12分)4.(12分) 设函数f(x)=ln x.(1)令F(x)=f(x)+a x(0<x ≤3),若F(x)的图象上任意一点P (x 0,y 0)处切线的斜率k ≤12恒成立,求实数a 的取值范围.(2)当a>0时,设函数g(x)=(x 2-2x)f(x)+ax 2-x,且函数g(x)有且仅有一个零点,若e -2<x<e,g(x)≤m,求m 的取值范围.【解析】(1)F(x)=f(x)+a x=ln x+a x,x ∈(0,3],则有F ′(x 0)=x 0-a x 02≤12在x 0∈(0,3]上恒成立,(2分) 所以a ≥(-12x 02+x 0)max,(4分)x 0∈(0,3],当x 0=1时,-12x 02+x 0取得最大值12,所以a ≥12. (6分)(2)因为x ∈(0,+∞),令g(x)=(x 2-2x)f(x)+ax 2-x=0,则(x 2-2x)ln x+ax 2=x, 即a=1-(x -2)lnxx,(7分) 令h(x)=1-(x -2)lnxx,则h ′(x)=-1x 2-1x+2-2lnx x 2=1-x -2lnxx 2,(8分)令t(x)=1-x-2ln x,t ′(x)=-1-2x=-x -2x,因为t ′(x)<0,所以t(x)在(0,+∞)上是减函数,又因为t(1)=h ′(1)=0,所以当0<x<1时,h ′(x)>0,当x>1时,h ′(x)<0,所以h(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减, 所以h(x)max =h(1)=1,因为a>0,所以当函数g(x)有且仅有一个零点时,a=1.(10分)当a=1时,g(x)=(x 2-2x)f(x)+x 2-x,若e -2<x<e,g(x)≤m,则g(x)max ≤m, g ′(x)=(x-1)(3+2ln x), 令g ′(x)=0得x=1或x=e -32,又因为e -2<x<e,所以函数g(x)在(e -2,e-32)上单调递增,在(e-32,1)上单调递减,在(1,e)上单调递增,又g(e-32)=-12e -3+2e-32,g(e)=2e 2-3e,因为g(e-32)<g(e),所以g(x)max =g(e)=2e 2-3e,所以m ≥2e 2-3e.(12分)02三角(45分钟 48分)1.(12分)已知函数f(x)=4cos ωx·sin (ωx+π4)(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值.(2)讨论f(x)在区间[0,π2]上的单调性.【解析】 (1)f(x)=4cos ωx·sin (ωx +π4)=2√2sin ωx·cos ωx+2√2cos 2ωx =√2(sin 2ωx+cos 2ωx)+√2 =2sin (2ωx+π4)+√2.(2分)因为f(x)的最小正周期为π,且ω>0, 从而有2π2ω=π,故ω=1.(4分)(2)由(1)知,f(x)=2sin (2x +π4)+√2.若0≤x≤π2,则π4≤2x+π4≤5π4.当π4≤2x+π4≤π2,即0≤x≤π8时,f(x)单调递增; (8分) 当π2<2x+π4≤5π4,即π8<x≤π2时,f(x)单调递减.综上可知,f(x)在区间[0,π8]上单调递增,在区间(π8,π2]上单调递减. (12分)2.(12分)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且2cos 2A -B 2cos B-sin (A-B)sin B+cos (A+C)=-35.(1)求cos A 的值. (2)若a=4√2,b=5,求向量在方向上的投影.【解析】 (1)由2cos 2A -B 2cos B-sin (A-B)·sin B+cos (A+C)=-35,得[cos (A-B)+1]cos B-sin (A-B)sin B-cos B=-35,(2分)即cos (A-B)cos B-sin (A-B)sin B=-35,则cos (A-B+B)=-35,即cos A=-35. (4分)(2)由cos A=-35,0<A<π,得sin A=45.(6分)由正弦定理,有asinA =bsinB,所以sin B=bsinA a =√22.(8分) 由题意知a>b,则A>B,故B=π4.根据余弦定理,有(4√2)2=52+c 2-2×5×c×(-35),解得c=1或c=-7(舍去). 故向量在方向上的投影为||cos B=√22.(12分)3.(12分)设函数f(x)=cos (2x -4π3)+2cos 2x.(1)求f(x)的最大值,并写出使f(x)取最大值时x 的集合.(2)已知△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若f(B+C)=32,b+c=2,求a 的最小值. 【解析】 (1)因为f(x)=cos (2x -4π3)+2cos 2x=cos (2x+π3)+1,所以f(x)的最大值为2.(3分) f(x)取最大值时,cos (2x+π3)=1,2x+π3=2k π(k ∈Z),故x 的集合为{x|x=k π-π6,k ∈Z}. (5分)(2)由f(B+C) =cos [2(B+C )+π3]+1=32,可得cos (2A -π3)=12,由A ∈(0,π),可得A=π3.(8分)在△ABC 中,由余弦定理,得a 2=b 2+c 2-2bccos π3=(b+c)2-3bc,由b+c=2知bc≤(b+c 2)2=1,当b=c=1时bc 取最大值,此时a 取最小值1. (12分)4.(12分)设函数f(x)=√32-√3sin 2ωx -sin ωxcos ωx(ω>0),且y=f(x)图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值. (2)求f(x)在区间[π,3π2]上的最大值和最小值.【解析】 (1)f(x)=√32-√3sin 2ωx -sin ωxcos ωx=√32-√3·1-cos2ωx 2- 12sin 2ωx=√32cos 2ωx -12sin 2ωx=-sin (2ωx -π3).(4分)因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4,又ω>0,所以2π2ω=4×π4.因此ω=1.(6分)(2)由(1)知f(x)=-sin (2x -π3).当π≤x≤3π2时,5π3≤2x -π3≤8π3.所以-√32≤sin (2x -π3)≤1.(10分)因此-1≤f(x)≤√32.故f(x)在区间[π,3π2]上的最大值和最小值分别为√32,-1. (12分)03数列(45分钟 48分)1.(12分)已知正项等比数列{a n }满足a 1,2a 2,a 3+6成等差数列,且a 42=9a 1a 5. (1)求数列{a n }的通项公式. (2)设b n =(1+log √3a n )·a n ,求数列{b n }的前n 项和T n .【解析】(1)设正项等比数列{a n }的公比为q(q>0),由a 42= 9a 1 a 5 = 9a 32,(2分)故q 2 = a 42a32= 9,(3分)解得q=±3,因为q>0,所以q=3.又因为a 1, 2a 2, a 3+6成等差数列,所以a 1+(a 3+6)-4a 2=0, 解得a 1=3,(4分)所以数列{a n }的通项公式为a n =3n .(6分) (2)依题意得b n =(2n+1)·3n ,则T n =3·31+5·32+7·33+…+(2n+1)·3n ,①(7分) 3T n =3·32+5·33+7·34+…+(2n -1)·3n +(2n+1)·3n+1,② 由②-①得2T n =(2n+1)·3n+1-2·(32+33+…+3n )-32 =(2n+1)·3n+1-2·32-3n+11-3-32=2n·3n+1,(10分)所以数列{b n }的前n 项和T n =n·3n+1.(12分)2.(12分)已知数列{a n }满足a 1=1,a n+1=2a n +3,n ∈N *. (1)求证:数列{a n +3}是等比数列. (2)求数列{na n }的前n 项和S n .【解析】(1)a n+1+3a n +3=2a n +3+3a n +3=2,(n ∈N *),因此数列{a n +3}是等比数列,且公比为2. (4分)(2)由(1)及题设可知,数列{a n +3}是首项为4,公比为2的等比数列,因此a n +3=4×2n-1=2n+1,于是a n =2n+1-3; 所以n·a n =n·2n+1-3n.(6分) 设b n =n·2n+1,c n =-3n,并设它们的前n 项和分别为T n ,R n . 则T n =1×22+2×23+3×24+…+n·2n+1,①(8分) 所以2T n =1×23+2×24+…+(n -1)·2n+1+n·2n+2 ② ②-①得T n =-22-23-24-…-2n+1+n·2n+2=n·2n+2-4·1-2n 1-2=(n-1)·2n+2+4,(10分)又R n =-3+(-3n )2·n=-32n 2-32n,故S n =T n +R n =(n-1)·2n+2-32n 2-32n+4.(12分)3.(12分)设数列{a n }的前n 项和为S n ,已知S n =2a n -1(n ∈N *). (1)求数列{a n }的通项公式.(2)若对任意的n ∈N *,不等式k(S n +1)≥2n -9恒成立,求实数k 的取值范围. 【解析】 (1)令n=1,S 1=2a 1-1=a 1, 解得a 1=1.(2分) 由S n =2a n -1,有S n-1=2a n-1-1, 两式相减得a n =2a n -2a n-1,化简得a n =2a n-1(n≥2),所以数列{a n }是以首项为1,公比为2 的等比数列,所以数列{a n }的通项公式a n =2n-1.(4分) (2)由k(S n +1)≥2n -9,整理得k≥2n -92n,令b n =2n -92n,则b n+1-b n =2n -72n+1-2n -92n =11-2n2n+1, n=1,2,3,4,5时,b n+1-b n =11-2n2n+1>0,所以b 1<b 2<b 3<b 4<b 5. n=6,7,8,…时,b n+1-b n =11-2n2n+1<0,(8分)即b 6>b 7>b 8>….因为b 5=132<b 6=364, 所以b n 的最大值是b 6=364.所以实数k 的取值范围是[364,+∞).(12分)4.(12分)数列{a n }的前n 项和S n 满足S n =2a n -a 1,且a 1,a 3+1,a 4成等差数列. 世纪金榜导学号12560596 (1)求数列{a n }的通项公式.(2)设b n =log 2a 1+log 2a 2+…+log 2a n ,求使(n-8)b n ≥nk 对任意n ∈N *恒成立的实数k 的取值范围. 【解析】 (1)由题意,S n =2a n -a 1,则当n≥2时,S n-1=2a n-1-a 1,两式相减得a n =2a n-1(n≥2),所以a 2=2a 1,a 3=2a 2=4a 1,a 4=2a 3=8a 1,又a 1,a 3+1,a 4成等差数列,所以2(4a 1+1)=a 1+8a 1,解得a 1=2,(4分) 所以数列{a n }是以2为首项,2为公比的等比数列,所以a n =2n .(6分) (2)b n =log 2a 1+log 2a 2+…+log 2a n =1+2+3+…+n=n (n+1)2,由(n-8)b n ≥nk 对任意n ∈N *恒成立,知(n -8)(n+1)2≥k 对n ∈N *恒成立,(8分)设c n =12(n-8)(n+1)=12(n 2-7n-8),则当n=3或4时,c n 取得最小值,为-10,所以k≤-10.(12分)04立体几何(45分钟 48分)1.(12分)如图,多面体ABCDEF 中,四边形ABCD 为平行四边形,其中∠BAD=π6,AD=√3,AB=1,等边△ADE 所在平面与平面ABCD 垂直,FC ⊥平面ABCD,且FC=32.(1)点P 在棱AE 上,且AP PE=2,Q 为△EBC 的重心,求证:PQ ∥平面EDC.(2)求平面DEF 与平面EAB 所成锐二面角的余弦值.【解析】(1)如图,在棱BE 上取点M,使得BM=2ME;连接BQ 并延长,交CE 于点N.则在△ABE 中,又AP=2PE,所以PM ∥AB,(2分)又四边形ABCD 为平行四边形,所以AB ∥CD,所以PM ∥CD. 在△BCE 中,Q 为重心, 所以BQ=2QN,又BM=2ME,(3分)所以MQ ∥EC.又因为PM∩MQ=M,CD∩EC=C,所以平面MPQ ∥平面DEC.又PQ ⊂平面MPQ,所以PQ ∥平面EDC.(4分)(2)在△ABD 中,∠BAD=π6,AD=√3,AB=1,由余弦定理可得.BD 2=AB 2+AD 2-2AB·ADcos ∠BAD=12+(√3)2-2×1×√3cos π6=1.所以BD=1.(6分)取AD 的中点O,连接EO,OB.在△EAD 中,EA=ED=AD=√3,所以EO ⊥AD,且EO=√32AD=32.又因为平面EAD ⊥平面ABCD,平面EAD∩平面ABCD=AD,所以EO ⊥平面ABCD.又在△ABD 中,AB=BD=1,AD=√3,所以OB ⊥AD,且OB=12.如图,以O 为坐标原点,分别以OA,OB,OE 所在直线为x,y,z 轴建立空间直角坐标系.(8分)则A (√32,0,0),D (-√32,0,0),B (0,12,0), E (0,0,32),C (-√3,12,0),F (-√3,12,32).则=(-√32,12,0),=(-√32,0,32), =(√32,0,32),=(-√32,12,32).设平面ABE 的法向量为m =(x 1,y 1,z 1),则由可得整理得{√3x 1-y 1=0,√3x 1-3z 1=0.令z 1=1,则x 1=√3,y 1=3.所以m =(√3,3,1)为平面ABE 的一个法向量.设平面DEF 的法向量为n =(x 2,y 2,z 2),则由可得整理得{x 2+√3z 2=0,√3x 2-y 2-3z 2=0.令z 2=-1,则x 2=√3,y 2=6.所以n =(√3,6,-1)为平面DEF 的一个法向量. (10分)所以cos<m ,n >==√3×√3+3×6+1×(-1)√(√3)2+32+12×√(√3)2+62+(-1)2=√13013, 设平面DEF 与平面EAB 所成锐二面角为θ,则cos θ=cos<m ,n >=√13013. (12分) 2.(12分)在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,AB ⊥平面BCC 1B 1,∠BCC 1=π3,AB=BC=2,BB 1=4,点D 在棱CC 1上,且CD=λCC 1(0<λ<1).建立如图所示的空间直角坐标系. (1)当λ=12时,求异面直线AB 1与A 1D 的夹角的余弦值.(2)若二面角A-B 1D-A 1的平面角为π4,求λ的值.【解析】(1)易知A(0,0,2),B 1(0,4,0),A 1(0,4,2).因为BC=CD=2,∠BCC 1=π3,所以C(√3,-1,0),当λ=12时,D(√3,1,0).所以=(0,4,-2),=(√3,-3,-2).(3分)所以cos<,>==0×√3+4×(-3)+(-2)×(-2)√42+(-2)2·√(√3)2+(-3)2+(-2)2=-√55.(5分) 故异面直线AB 1与A 1D 的夹角的余弦值为√55. (6分)(2)由CD=λCC 1可知,D(√3,4λ-1,0) , 所以=(-√3,5-4λ,0),由(1)知,=(0,4,-2).设平面AB 1D 的法向量为m =(x,y,z),则即{4y -2z =0,(5-4λ)y -√3x =0.令y=1,解得x=5-4λ√3,z=2,所以平面AB 1D 的一个法向量为m =(5-4λ√3,1,2).(7分)设平面A 1B 1D 的法向量为n =(x′,y′,z′),则即令y′=1,解得x′=√3,z′=0,所以平面A 1B 1D 的一个法向量为n =(√3,1,0). (8分)因为二面角A-B 1D-A 1的平面角为π4,所以|cos<m ,n >|==|√3×√3+1×1+2×0|√(√3)2+12+22·√(√3)2+12=√22, 即(5-4λ)2=9,解得λ=12或λ=2(舍),故λ的值为12.(12分)3.(12分)如图,在梯形ABCD 中,AB ∥CD,∠BCD=2π3,四边形ACFE 为矩形,且CF ⊥平面ABCD,AD=CD=BC=CF=1. (1)求证:EF ⊥平面BCF.(2)点M 在线段EF(含端点)上运动,当点M 在什么位置时,平面MAB 与平面FCB 所成锐二面角最大,并求此时二面角的余弦值.【解析】(1)在梯形ABCD 中,因为AB ∥CD,AD=CD=BC=1,又因为∠BCD=2π3,所以AB=2,(2分)所以AC 2=AB 2+BC 2-2AB·BC·cos 60°=3.所以AB 2=AC 2+BC 2.所以BC ⊥AC. 因为CF ⊥平面ABCD,AC ⊂平面ABCD, 所以AC ⊥CF,(4分)而CF∩BC=C,所以AC ⊥平面BCF,因为EF ∥AC,所以EF ⊥平面BCF. (6分) (2)由(1)可建立分别以直线CA,CB,CF 为x 轴,y 轴, z 轴的空间直角坐标系如图所示,(8分)AD=CD=BC=CF=1, 令FM=λ(0≤λ≤√3),则C(0,0,0),A(√3,0,0),B(0,1,0),M(λ,0,1), 所以=(-√3,1,0),=(λ,-1,1),设n 1=(x,y,z)为平面MAB 的一个法向量,由得{-√3x +y =0,λx -y +z =0,取x=1,则n 1=(1,√3,√3-λ),因为n 2=(1,0,0)是平面FCB 的一个法向量,(9分)所以cos θ==√1+3+(√3-λ)2×1=√(λ-√3)2+4,(10分)因为0≤λ≤√3,所以当λ=0时,cos θ有最小值√77,所以点M 与点F 重合时,平面MAB 与平面FCB 所成锐二面角最大,此时二面角的余弦值为√77.(12分)4.(12分)在如图所示的几何体中,平面ADNM ⊥平面ABCD,四边形ABCD 是菱形,四边形ADNM 是矩形,∠DAB=π3,AB=2,AM=1,E 是AB 的中点.(1)求证:DE ⊥平面ABM.(2)在线段AM 上是否存在点P,使二面角P-EC-D 的大小为π4?若存在,求出AP 的长;若不存在,请说明理由.【解析】(1)连接BD,因为四边形ABCD 是菱形,∠DAB=π3,E 是AB 的中点,所以DE ⊥AB,(2分)因为四边形ADNM 是矩形,平面ADNM ⊥平面ABCD 且交线为AD,所以MA ⊥平面ABCD,又DE ⊂平面ABCD,所以DE ⊥AM,又AM∩AB=A,所以DE ⊥平面ABM.(4分)(2)由DE ⊥AB,AB ∥CD,可得DE ⊥CD,因为四边形ADNM 是矩形,平面ADNM ⊥平面ABCD 且交线为AD,ND ⊥AD,所以ND ⊥平面ABCD,以D 为原点,DE 为x 轴建立如图所示的空间直角坐标系,(6分)则D(0,0,0),E(√3,0,0),C(0,2,0),N(0,0,1),设P(√3,-1,m)(0≤m≤1),则=(-√3,2,0),=(0,-1,m),因为ND ⊥平面ABCD,平面ECD 的一个法向量为=(0,0,1),(7分)设平面PEC 的法向量为n =(x,y,z),n ·=n ·=0,即{-√3x +2y =0,-y +mz =0,取z=1,可得n =(√3,m ,1),(8分)假设在线段AM 上存在点P,使二面角P-EC-D 的大小为π4,则cos π4==1√4m 23+m 2+1,解得m=√217,(11分)所以在线段AM 上,符合题意的点P 存在,此时AP=√217. (12分)05解析几何(45分钟 48分)1.(12分)已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)经过点(√62,-1),左右焦点分别为F 1,F 2,坐标原点O与直线x+y+b=0上的点的距离最小值为1.(1)求椭圆C 的标准方程.(2)设Q 是椭圆C 上不在x 轴上的一个动点,过点F 2作OQ 的平行线交椭圆C 于M,N 两个不同的点,|MN ||OQ |2的值是否为一个常数?若是,求出这个常数;若不是,请说明理由.【解析】(1)原点O 与直线x+y+b=0上的点的距离最小值为1,则√2=1,所以b=√2.因为点(√62,-1)在椭圆上,所以32a 2+12=1,所以a=√3, 所以椭圆C 的标准方程为x 23+y 22=1. (3分)(2)设Q(x 0,y 0),M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),OQ 的方程为x=my,则MN 的方程为x=my+1,由{x =my ,x 23+y 22=1得{x 2=6m 22m 2+3,y 2=62m 2+3,即{x 02=6m 22m 2+3,y 02=62m 2+3.所以|OQ|=√1+m 2|y 0|=√6√1+m2√2m 2+3, (6分)由{x =my +1,x 23+y 22=1,得(2m 2+3)y 2+4my-4=0. 所以y 1+y 2=-4m2m 2+3,y 1y 2=-42m 2+3, (8分)|MN|=√1+m 2|y 1-y 2|=√1+m 2·√16m 2(2m 2+3)2+162m 2+3=√1+m 2·4√3√1+m 22m 2+3=4√3(1+m 2)2m 2+3. (10分)所以|MN ||OQ |2=4√3(1+m 2)2m 2+36(1+m 2)2m 2+3=2√33. 所以|MN ||OQ |2的值是常数2√33. (12分)2.(12分)已知椭圆C:y 2a 2+x 2b 2=1(a>b>0)的离心率为√22,且过点(2,0).(1)求椭圆C 的方程.(2)过点M(1,0)任作一条直线与椭圆C 相交于P,Q 两点,试问在x 轴上是否存在定点N,使得直线PN 与直线QN 关于x 轴对称?若存在,求出点N 的坐标;若不存在,说明理由. 【解析】(1)由题意得b=2,a 2=8,故椭圆C 的方程为y 28+x 24=1.(4分)(2)假设存在点N(m,0)满足题设条件.当直线PQ 与x 轴不垂直时,设PQ 的方程为y=k(x-1), 代入椭圆方程化简得:(2+k 2)x 2-2k 2x+k 2-8=0,(6分) 设P(x 1,y 1), Q(x 2,y 2),则x 1+x 2=2k 22+k 2,x 1x 2=k 2-82+k 2,所以k PN +k QN =y 1x 1-m +y 2x 2-m=k (x 1-1)x 1-m+k (x 2-1)x 2-m=k (x 1-1)(x 2-m )+k (x 2-1)(x 1-m )(x 1-m )(x 2-m )=k [2x 1x 2-(1+m )(x 1+x 2)+2m ](x 1-m )(x 2-m ),(8分)因为2x 1x 2-(1+m)(x 1+x 2)+2m=2(k 2-8)2+k 2-2(1+m )k 22+k 2+2m=4m -162+k 2,(10分)所以当m=4时,k PN +k QN =0,直线PN 与直线QN 关于x 轴对称,当PQ ⊥x 轴时,由椭圆的对称性可知恒有直线PN 与直线QN 关于x 轴对称,综上可得,在x 轴上存在定点N(4,0),使得直线PN 与直线QN 关于x 轴对称.(12分) 3.(12分)已知F 1,F 2是椭圆Ω:x 24+y 2b 2=1(b>0)的左,右焦点.(1)当b=1时,若P 是椭圆Ω上在第一象限内的一点,且·=-54,求点P 的坐标.(2)当椭圆Ω的焦点在x 轴上且焦距为2时,若直线l :y=kx+m 与椭圆Ω相交于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点,且3x 1x 2+4y 1y 2=0,求证:△AOB 的面积为定值. 【解析】(1)当b=1时,椭圆方程为x 24+y 2=1,则F 1(-√3,0),F 2(√3,0)(1分).设P(x,y)(x>0,y>0),则=(-√3-x,-y),=(√3-x,-y),(2分)由·=-54,得x 2+y 2=74,(3分)与椭圆方程联立解得x=1,y=√32,即点P 的坐标为(1,√32).(4分) (2)当椭圆Ω的焦距为2时,c=1.则b 2=a 2-c 2=3,所以椭圆Ω的方程为x 24+y 23=1.由{y =kx +m ,x 24+y 23=1,得:(3+4k 2)x 2+8kmx+4m 2-12=0.(6分)因为Δ=64k 2m 2-16(3+4k 2)(m 2-3)=48(3+4k 2-m 2)>0,所以3+4k 2-m 2>0, 所以x 1+x 2=-8km3+4k 2,x 1x 2=4(m 2-3)3+4k 2.所以y 1y 2=(kx 1+m)(kx 2+m)=k 2x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2=3m 2-12k 23+4k 2.由3x 1x 2+4y 1y 2=0,得3·4(m 2-3)3+4k 2+4·3m 2-12k 23+4k 2=0.(8分)所以2m 2=3+4k 2. 因为|AB|=√1+k 2·|x 1-x 2|=√1+k 2·√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=√1+k 2·√48(3+4k 2-m 2)(3+4k 2)2 =√1+k 2·√48(2m 2-m 2)(2m 2)2 =√1+k 2·√12m2.(10分) 又点O 到直线AB 的距离 d=|m |√1+k 2=√m 2√1+k 2,所以S △AOB =12·|AB|·d=12·√1+k 2·√12m 2·√m 21+k2=√3.即△AOB 的面积为定值.(12分) 4.(12分)已知抛物线C:y 2=2px(p>0)的焦点为F,A 为C 上位于第一象限的任意一点,过点A 的直线l 交C 于另一点B,交x 轴的正半轴于点D.(1)若当点A 的横坐标为3,且△ADF 为以F 为顶点的等腰三角形,求C 的方程. (2)对于(1)中求出的抛物线C,若点D(x 0,0)(x 0≥12),记点B 关于x 轴的对称点为E,AE 交x 轴于点P,且AP ⊥BP,求证:点P 的坐标为(-x 0,0),并求点P 到直线AB 的距离d 的取值范围.【解析】(1)由题知F (p 2,0),|FA |=3+p 2,(2分)则D(3+p,0),FD 的中点坐标为(32+3p 4,0),(3分)则32+3p 4=3,解得p=2,故C 的方程为y 2=4x.(4分)(2)依题可设直线AB 的方程为x=my+x 0(m≠0), A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则E(x 2,-y 2),由{y 2=4x ,x =my +x 0消去x,得y 2-4my-4x 0=0,因为x 0≥12.所以Δ=16m 2+16x 0>0,y 1+y 2=4m,y 1y 2=-4x 0,(6分) 设P 的坐标为(x P ,0),则=(x 2-x P ,-y 2),=(x 1-x P ,y 1),由题知∥,所以(x 2-x P )y 1+y 2(x 1-x P )=0,即x 2y 1+y 2x 1=(y 1+y 2)x P =y 22y 1+y 12y 24=y 1y 2(y 1+y 2)4,显然y 1+y 2=4m≠0,所以x P =y 1y 24=-x 0,即证x P (-x 0,0),由题知△EPB 为等腰直角三角形,所以k AP =1, 即y 1+y 2x 1-x 2=1,也即y 1+y 214(y 12-y 22)=1,(8分)所以y 1-y 2=4,所以(y 1+y 2)2-4y 1y 2=16,即16m 2+16x 0=16,m 2=1-x 0,x 0<1, 又因为x 0≥12,所以12≤x 0<1,d=|0-x 0|√1+m 2=√1+m 2=√2-x 0,令√2-x 0=t ∈(1,√62],x 0=2-t 2,d=2(2-t 2)t =4t-2t,(10分)易知f(t)=4t -2t 在(1,√62]上是减函数,所以d ∈[√63,2).(12分)06概率与统计(45分钟 50分)1.(12分)某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计,绘制了频率分布直方图(如图所示),规定80分及以上者晋级成功,否则晋级失败(满分为100分).(1)求图中a 的值.(2)估计该次考试的平均分x (同一组中的数据用该组的区间中点值代表).(3)根据已知条件完成2×2列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为“晋级成功”(参考公式:K 2=n (ad -bc )2(a+b )(c+d )(a+c )(b+d ),其中n=a+b+c+d)【解析】(1)10=1,故a=0.005.(2)由频率分布直方图知各小组依次是[50,60),[60,70),[70,80),[80,90), [90,100],其中点分别为55,65,75,85,95,对应的频率分别为0.05,0.30,0.40, 0.20,0.05,故可估计平均分x =55×0.05+65×0.3+75×0.4+85×0.2+95×0.05=74(分).(3)由频率分布直方图知,晋级成功的频率为0.20+0.05=0.25, 故晋级成功的人数为100×0.25=25(人),列联表如下(10分)假设“晋级成功”与性别无关,根据上表数据代入公式可得K 2的观测值 k=100×(16×41-34×9)225×75×50×50≈2.613>2.072,所以在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为“晋级成功”与性别有关.(12分)2.(12分)在一次全国高中五省大联考中, 有90万名学生参加, 考后对所有学生成绩统计发现, 英语成绩服从正态分布N(μ,σ2).用茎叶图列举了20名学生的英语成绩, 巧合的是这20个数据的平均数和方差恰好比所有90万个数据的平均数和方差都多0.9,且这20个数据的方差为49.9.世纪金榜导学号12560836(1)求μ,σ.(2)给出正态分布的数据: P (μ-σ<X ≤μ+σ)=0.682 6 P (μ-2σ<X ≤μ+2σ)=0.954 4①若从这90万名学生中随机抽取1名, 求该生英语成绩在(82.1,103.1)的概率;②若从这90万名学生中随机抽取1万名, 记X 为这1万名学生中英语成绩在(82.1,103.1)的人数, 求X 的数学期望.【解析】(1)因为通过计算可得这20个数据的平均数为x =90,所以由题可得μ=90-0.9=89.1,σ=√49.9-0.9=7. (3分)(2)①因为μ=89.1,σ=7,所以(82.1,103.1)=(μ-σ,μ+2σ),所以该生英语成绩在(82.1,103.1)的概率为0.6826+0.95442=0.818 5. (6分)②由题可得X服从二项分布B(10 000,0.8185),所以E(X)=10 000×0.818 5=818 5. (12分)3.(13分)观察研究某种植物的生长速度与温度的关系,经过统计,得到生长速度(单位:毫米/月)与月平均气温的对比表如下:(1)求生长速度y关于温度t的线性回归方程.(斜率和截距均保留为三位有效数字).(2)利用(1)中的线性回归方程,分析气温从-5℃至20℃时生长速度的变化情况,如果某月的平均气温是2℃时,预测这月大约能生长多少.附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:【解析】(1)由题可知于是生长速度y关于温度t的线性回归方程为:y=3.560+0.305t.(8分)(2)利用(1)的线性回归方程可以发现,月平均气温从-5℃至20℃时该植物生长速度逐渐增加,如果某月的平均气温是2℃时,预测这月大约能生长3.560+0.305×2=4.17 mm.(13分)4.(13分)近年来,微信越来越受欢迎,许多人通过微信表达自己、交流思想和传递信息.微信是现代生活中进行信息交流的重要工具.而微信支付为用户带来了全新的支付体验,支付环节由此变得简便而快捷.某商场随机对商场购物的100名顾客进行统计,其中40岁以下占35,采用微信支付的占23,40岁以上采用微信支付的占14.(1)请完成下面并由列联表中所得数据判断在犯错误的概率不超过多少的前提下认为“使用微信支付与年龄有关”?(2)若以频率代替概率,采用随机抽样的方法从“40岁以下”的人中抽取2人,从“40岁以上”的人中抽取1人,了解使用微信支付的情况,问至少有一人使用微信支付的概率为多少? 参考公式:K 2=n (ad -bc )2(a+b )(c+d )(a+c )(b+d ),n=a+b+c+d. 参考数据:【解析】(1)由已知可得,40岁以下的有100×5=60人,使用微信支付的有60×23=40人,40岁以上使用微信支付的有40×14=10人.(2分)所以2×2列联表为:(4分)由列联表中的数据计算可得K 2的观测值为k=100×(40×30-20×10)260×40×50×50=503,(6分)由于503>10.828,所以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“使用微信支付与年龄有关”.(8分)(2)若以频率代替概率,采用随机抽样的方法从“40岁以下”的人中抽取2人,这两人使用微信支付分别记为A,B,则P(A)=P(B)=23,从“40岁以上”的人中抽取1人,这个人使用微信支付记为C,则P(C)=14,显然A,B,C 相互独立,则至少有一人使用微信支付的概率为1-P(ABC )=1-13×13×34=1112,故至少有一人使用微信支付的概率为1112.(13分)。

2019年高考数学第一轮复习模拟测试题学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．如图1：OM ∥AB ，点P 由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的阴影区域内（不含边界）.且y x +=，则实数对（x ,y ）可以是（ ）A ．)43,41(B . )32,32(- C. )43,41(- D . )57,51(-(2006湖南文)2．函数()()21n f x ax x =-在区间[]0,1上的图象如图所示，则n 可能是（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4（2011安徽文10） 3．已知sin α＞sin β，那么下列命题成立的是（ ）（2000全国4） A ．若α、β是第一象限角，则cos α＞cos β B ．若α、β是第二象限角，则tan α＞tan β C ．若α、β是第三象限角，则cos α＞cos β D ．若α、β是第四象限角，则tan α＞tan β4．已知一等比数列的前三项依次为33,22,++x x x ，那么2113-是此数列的第（ ）项 A ．2 B ．4 C ．6 D ．8A图15．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(如下图)．(1)根据频率分布直方图完成以上表格； (2)用组中值估计这10 000人月收入的平均值；(3)为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[2000，3500)(元)月收入段应抽出多少人？6．根据表格中的数据，可以断定函数2)(--=x e x f x的一个零点所在的区间是A (—1，0)B (0，1）C (1，2）D (2，3）( ） 二、填空题7．在ABC∆中,已知sin sin cos sin sin cos A B C A C B =sin sin cos B C A +,若,,a b c 分1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000别是角,,A B C 所对的边,则2abc 的最大值为 ▲ .8．如图给出的是计算20081614121+⋅⋅⋅+++的值的一个算法流程图，则其中判断框内应填入的条件是 ▲ ．第4题9．已知1,10,220x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩则22x y +的最小值是 5 .10．不等式217x A x --<的解集为__ _ {}4,3 ____.11．数y x =-12．若722642>++++n ，则正整数n 的最小值为_______13．已知1F 、2F 是椭圆22x k ++21y k +=1的左右焦点，弦AB 过F 1，若2ABF ∆的周长为8，则椭圆的离心率为 ．14． 已知某等差数列共10项，其中奇数项的和为15，偶数项的和是30，则该数列的公差 是 ▲15．不等式322+-x x 122--≤a a 在R 上的解集是∅，则实数a 的取值范围是16．34sin (cos )55i θθ-+-（）是纯虚数，则=θtan ▲ .17．将一个各个面上均涂有颜色的正方体锯成3(3)n n ≥个同样大小的小正方体，从这些小正方体中任取一个，其中至少有一面涂有颜色的概率是___________18．用,,A B C 分别表示甲、乙、丙击中目标，试用,,A B C 及其逆事件表示下列事件： （1）只有甲击中目标__________________； （2）三人均未击中目标_________________； （3）至少有一人击中目标_________________. 19．若复数z 的共轭复数为,3i +-则=||z __________20． 在复平面内，复数121,23z i z i =+=+对应的点分别为A 、B ，O 为坐标原点，,.OP OA OB R =+λλ∈若点P 在第四象限内，则实数λ的取值范围是__________.21．盒子中有大小相同的3只白球、2只黑球，若从中随机地摸出两只球，则两只球颜色相同的概率是______．22． 设关于x 的方程012=+-mx x 的两个根为210,,<<<<βαβα且，则实数m 的取值范围是 ▲ ．23． 当n 为正整数时,函数()N n 表示n 的最大奇因数,如()33N =,()105N =,…,设()()()()()()1234212n n n S N N N N N N =++++⋅⋅⋅+-+,则n S =___________.24． 已知三棱台111ABC A B C -中，三棱锥111B A B C -、1A ABC -的体积分别为2、18，则此三棱台的体积的值等于______________．25．下列说法中，正确的序号是( )①．命题“若am 2<bm 2，则a<b ”的逆命题是真命题②．已知x ∈R ，则“x 2-2x-3=0” 是“x=3”的必要不充分条件 ③．命题“p ∨q ”为真命题，则“命题p ”和“命题q ”均为真命题 ④已知x ∈R ，则“x>1”是“x>2”的充分不必要条件 26．设曲线(1)xy ax e =-在点A 01(,)x y 的切线为1l ，曲线1xxy e -=在点B 02(,)x y 的切线为2l ，若存在013[,]22x ∈-，使得12l l ⊥，则实数a 的取值范围是_______27．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））抽样统计甲、乙两位设计运动员的5此训练成绩(单位:环),结果如下:则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为_____________.28．若直线y x m =-与圆22(2)1x y -+=有两个不同的公共点，则实数m 的取值范围为__________；29． 过双曲线x 2－122=y 的右焦点作直线交双曲线于A 、B 两点，且4=AB ，则这样的直线有___________条.30．已知向量a ，b 满足a ＋2b ＝(2，－4)，3a －b ＝(－8,16)，则向量a ，b 的夹角的大小为________．π31． 设M 为平面内一些向量组成的集合，若对任意正实数λ和向量∈M ，都有λa ∈M ，则称M 为“点射域”，在此基础上给出下列四个向量集合：①}|),{(2x y y x ≥；②}00|),{(⎩⎨⎧≤+≥-y x y x y x ；③}02|),{(22≥-+y y x y x ；④}01223|),{(22<-+y x y x ．其中平面向量的集合为“点射域”的序号是 ② ． 32．复数iia 212+-(i 是虚数单位)是纯虚数,则实数a 的值为 ． 33．已知x x f 2log )(=，正实数n m ,满足,n m <且),()(n f m f =若)(x f 在区间],[2n m 上的最大值为2，则=+n m .34．已知实数b a ,分别满足15323=+-a a a ，55323=+-b b b ， 则b a +的值 为 ．35．若某程序流程图如图所示，则该程序运行后输出的y 等于 ．三、解答题36． 已知数列{}n a 满足k n kn a n (233--=为常数)。

2019年高考数学第一轮复习模拟测试题学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．若函数()21=f x x ax x ++在1,+2⎛⎫∞ ⎪⎝⎭是增函数,则a 的取值范围是 (A)[-1,0] (B)[1,)-+∞ (C)[0,3] (D)[3,)+∞（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））2．在平面直角坐标系中，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-+2,02,02x y x y x 表示的平面区域的面积是B(A)24 (B)4 (C) 22 (D)2(2006浙江理)【考点分析】本题考查简单的线性规划的可行域、三角形的面积。

3．(2005全国2文)抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为４，则点A 与抛物线焦点的距离为（ ）（A ）２ （B ）３（C ）４ （D ）５4．从0,2 中选一个数字,从1,3,5中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中奇数的个数为 （ ）A ．24B ．18C ．12D ．6（2012北京理）5．直线032=+-y x l ：关于x y -=，对称的直线方程是（ ） A ．032=+-y x B ．032=-+x y C ．032=--y x D ．032=--y x 6．不等式14-x ≤x －1的解集是----------------------------------------------------------( )(A ）(－∞,－]1∪[)∞+ 3, (B) [)1,1-∪[)∞+ 3,(C) [－1,3] (D) ( －∞,－3) ∪[)∞+ 1,7．1 ．（2013年高考湖南（文））已知正方体的棱长为1,其俯视图是一个面积为1的正方形,的矩形,则该正方体的正视图的面积等于______（ ）AB ．1 CD二、填空题8．若b a b a b a -=+==2,1,2，则a 与b的夹角的余弦值为9．已知()x f 是定义在()+∞,0的等调递增函数，()()(),y f x f xy f +=且()12=f ，则不等式()()23≤-+x f x f 的解集为10．某小卖部为了了解冰糕销售量y (箱)与气温x (C ︒)之间的关系，随机统计了某4天卖出的冰糕的箱数与当天气温，并制作了对照表（如左所示）：由表中数据算得线性回归方程a bx y+=ˆ中的2b ≈，预测当气温为25C ︒时，冰糕销量为___________箱．11．四棱锥P-ABCD 的顶点P 在底面ABCD 中的投影恰好是D ，其三视图如图所示，则四棱锥P-ABCD 的表面积为(22aB12．若函数)(x f 满足4)()1(+=+n f n f ，且2)1(=f ，则)100(f =______13．设()f x 是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，()f x x x 2=2-，则()f 1= ▲ ；14．已知直线12:(1)20,:280l x m y m l mx y +++-=++=，若1l 与2l 相交，则m 的取值范围是_____15．设等比数列{a n }的公比q = 12，前n 项和为S n ，则 S 4a 4= ____▲_______.16．已知集合}{12A x x =-<<，集合}{31B x x =-<≤，则B A = ★ .17．2．9个学生排成前后两排，前排4人，后排5人，若其中A B 、两人必须相邻，则共有______种不同排法18．如图，已知圆O 的弦AB 交半径OC 于点D ．若3=AD ，2=BD ，且D 为OC 的中点，则=CD ．19．方程x x 28lg -=的根)1,(+∈k k x ，k ∈Z ，则k = ．20．若sin cos 2sin cos θθθθ+=-，则()()3πsin 5πsin 2θθ-⋅-= ▲ .21．函数2()21f x kx kx =++在区间[3,2]-上的最大值为4，则实数k 的值为_ ▲____. 22．下列计算正确的．．．是 ▲ .（把你认为正确的序号全部写上） ①1221[(2)]2--=- ②822log (log 16)3=③3sin 6002= ④0AB BD AC CD +--=23．已知点()()4,2,6,4-B A ，则直线A B 的方程为24．已知各项均为正数的等比数列{}n a ，若4321228a a a a +--=，则872a a +的最小值为___▲___.25．已知函数22sin π,10,()e ,0,x x x f x x -⎧-⎪=⎨>⎪⎩≤≤则满足0()1f x =的实数0x = ．26． 函数)54ln(2-+=x x y 的单调递增区间是 ▲ ．27． 已知3log (1),()(2) (1),x x f x f x x >⎧=⎨+≤⎩则(3)f -= 1 28． 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n ＋n －1，则a 1＋a 3＝__________.7 29．已知i 为虚数单位，计算2(12i)(1i)+-= ▲ ．30．一个正方体玩具的6个面分别标有数字1，2，2，3，3，3．若连续抛掷该玩具两次，则向上一面数字之和为5的概率为 ▲ ．31． 某校举行2011年元旦汇演，七位评委为某班的小品打出的分数如右上茎叶统计图所示，则去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数 据的平均值为 ▲ .32．设γβα,,是三个不重合的平面，l 是直线，给出下列四个命题： ①若αββα//,,l l 则⊥⊥； ②若βαβα⊥⊥则,//,l l ； ③若l 上有两点到α的距离相等，则l //α； ④若βγγαβα⊥⊥则,//,． 其中正确命题的序号是___▲___. 33．在二项式8(ax 的展开式中，若含2x 项的系数为70，则实数a =_____________.三、解答题34．已知二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 3c 1，矩阵A 属于特征值λ1＝－1的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1. (1) 求矩阵A 的另一个特征值及其对应的一个特征向量；(2) 若向量m ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1－4，求A 4m .35．如图所示，半圆O 的直径为2，A 为直线延长线上的一点，OA=2,B 为半圆上的任意一点，以AB 为一边作等边三角形ABC 。

2019年高考数学第一轮复习模拟测试题学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．下列函数中,既是偶函数,又在区间(1,2)内是增函数的为（ ）A ．cos 2y x =B ．2log ||y x =C ．2x x e e y --= D ．31y x =+（2012天津文）2．将函数sin(2)3y x π=+的图象按向量α平移后所得的图象关于点(,0)12π-中心对称，则向量α的坐标可能为（ ） A ．(,0)12π-B ．(,0)6π-C ．(,0)12πD ．(,0)6π(2008安徽理)3．对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足(1)()0x f x '-≥，则必有（C ） Ａ．(0)(2)2(1)f f f +< Ｂ．(0)(2)2(1)f f f +≤ Ｃ．(0)(2)2(1)f f f +≥Ｄ．(0)(2)2(1)f f f +>4．已知函数33y x x c =-+的图像与x 轴恰有两个公共点,则c = （ ）A ．2-或2B ．9-或3C ．1-或1D ．3-或1（2012大纲理） 答案A5．函数y ＝a |x|（a ＞1）的图象是（ ）（1998全国2）6．对a,b ∈R,记max{a,b}=⎩⎨⎧≥ba b ba a ＜,,，函数f （x ）＝max{|x+1|,|x-2|}(x ∈R)的最小值是（C ） (A)0 (B)12 (C 32(D)3(2006浙江文)7．i 是虚数单位，复数734ii+=+（ ）（A ）1i - （B ）1i -+ （C ）17312525i + （D ）172577i -+8．已知2()82f x x x =+-，如果2()(2)g x f x =-，那么()g x ------------------------------（ ）A.在区间(－1，0)上是减函数B.在区间(0，1)上是减函数C.在区间(－2，0)上是增函数D.在区间(0，2)上是增函数 9．设函数()2sin()25f x x ππ=+，若对任意x R ∈，都有12()()()f x f x f x ≤≤成立，则12x x -的最小值为--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------（ ）A ．4B ． 2C ．1D ．1210．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若(2,4)AB =，(1,3)AC =,则AB =（ ） A ．（－2，－4） B ．（－3，－5）C ．（3，5）D ．（2，4） (2008安徽理) 二、填空题11．已知集合{1,sin }A θ=，1{0,,1}2B =，若A B ⊆，则锐角θ= ．12．不等式ax 2+ bx + c ＞0 ，解集区间（- 21，2），对于系数a 、b 、c ，则有如下结论：a ＞0 ②b ＞0 ③c ＞0 ④a + b + c ＞0 ⑤a – b + c ＞0，其中正确的结论的序号是13．已知函数()f x 是偶函数，并且对于定义域内任意的x ，满足()()12f x f x +=-， 若当23x <<时，()f x x =，则)5.2007(f =__________ _14．函数)(x f 是奇函数，当41≤≤x 时，54)(2+-=x x x f ，则当14-≤≤-x 时，函数)(x f 的最大值是 。

2019年高考数学第一轮复习模拟测试题学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．设集合M={-1,0,1}，N={x|x 2≤x}，则M ∩N= A.{0} B.{0,1} C.{-1,1} D.{-1,0,0}2．(2006陕西理)为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文→密文(加密),接收方由密文→明文(解密),已知加密规则为:明文a,b,c,d 对应密文a+2b,2b+c,2c+3d,4d,例如,明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时,则解密得到的明文为( ) A.4,6,1,7 B.7,6,1,4 C.6,4,1,7 D.1,6,4,73．如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使1AE =，连接EC 、ED 则sin CED ∠=（ ）A 、10B 、10C 、10D 、154．曲线y=2xe -+1在点(0，2)处的切线与直线y=0和y=x 围成的三角形的面积为(A)13 (B)12 (C)23(D)15．下列区间为函数cos(2)4y x π=-的增区间的是--------------------------------------------------------------（ ） (A)4[,]45ππ (B)5[,]88ππ (C)3[,0]8π- (D)3[,]44ππ- 6．已知直线01=-+by ax （a ，b 不全为0）与圆5022=+y x有公共点，且公共点的横、纵坐标均为整数，那么这样的直线共有（ ） A ．66条 B ．72条C ．74条D ．78条7．椭圆⎩⎨⎧=+=ϕϕsin 3cos 54y x （ϕ为参数）的焦点坐标为（ ）（2003京春理，7）A ．（0，0），（0，－8）B ．（0，0），（－8，0）C ．（0，0），（0，8）D ．（0，0），（8，0）二、填空题8．已知等差数列的前n 项和为7n ２-5n ,则a 100= .9．已知)0,(),0,(21c F c F -为椭圆12222=+by a x 的两个焦点，P 为椭圆上的一点且221c PF PF =⋅，则此椭圆离心率的取值范围是 ．10．简化“鸟巢”的钢结构俯视图如图所示，内外两圈的钢骨架 是离心率相同的椭圆，外层椭圆顶点向内层椭圆引切线AC ， BD .设内层椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则外层椭圆方程可设为x 2(ma )2＋y 2(mb )2＝1(a >b >0，m >1)．若AC 与BD 的斜率之积为－916，则椭圆的离心率为________．解析：设切线AC 的方程为y ＝k 1(x －ma )，代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b2＝1中得(b 2＋a 2k 21)x 2－ 2ma 3k 21x ＋m 2a 4k 21－a 2b 2＝0，由Δ＝0得k 21＝b 2a 2·1m 2－1，同理，k 22＝b 2a2·(m 2－1)，所以k 21·k 22＝ b 4a 4⇒b 2a 2＝916.所以e 2＝716，即e ＝7411．在中，若则面积的最大值为▲ .12．下图是一个算法的流程图，则输出的e 值是_________。

2019年高考数学第一轮复习模拟测试题学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．若非空集合A,B,C 满足A ∪B=C ，且B 不是A 的子集，则 A ．“x ∈C ”是“x ∈A ”的充分条件但不是必要条件 B ． “x ∈C ”是“x ∈A ”的必要条件但不是充分条件 C ． “x ∈C ”是“x ∈A ”的充分条件D ． “x ∈C ”是“x ∈A ”的充分条件也不是“x ∈A ”必要条件(2008湖北理)2．集合A= {x ∣12x -≤≤}，B={x ∣x<1}，则()R AB ð= （D ）（A ）{x ∣x>1} (B) {x ∣x ≥ 1} (C) {x ∣12x <≤ } (D) {x ∣12x ≤≤} （2007）3．若实数,a b 满足0,0a b ≥≥，且0ab =，则称a 与b 互补，记(,),a b a b ϕ-那么(,)0a b ϕ=是a 与b 互补的A.必要而不充分条件B.充分而不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4．设,,x y R ∈则“2x ≥且2y ≥”是“224x y +≥”的 A. 充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．即不充分也不必要条件5．已知数列｛an ｝满足a1=3，an+1 - an + 1=0 (n ∈N* ), 则数列｛an ｝的通项公式为 A. an= n 2 +2 B. an= n +2 C. an=4-n D. an= 2 n +16．lgx,lgy,lgz 成等差数列是y2=xz 成立的 A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件二、填空题7．函数2)1(log )(++=x x f a ，0(>a 且)1≠a 必过定点 ▲ ；8．已知函数()f x 是偶函数，并且对于定义域内任意的x ，满足()()12f x f x +=-， 若当23x <<时，()f x x =，则)5.2007(f =__________ _9．已知当椭圆的长半轴长为a ，短半轴长为b 时，椭圆的面积是πab ．请针对椭圆2212516x y +=，求解下列问题： （1）若m ，n 是实数，且|m |≤5，|n |≤4．求点P （m ，n ）落在椭圆内的概率;（2）若m ，n 是整数，且|m |≤5，|n |≤4．求点P （m ，n ）落在椭圆外的概率以及点P 落在椭圆上的概率。

绝密 ★ 启用前2019年高考（理科）数学总复习综合试题（一）总分：150分，时间：120分钟注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分． 1．在复平面内，复数z ＝cos 3＋isin 3(i 为虚数单位)，则|z |为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．42．|x |·(1－2x )＞0的解集为( ) A ．(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫0，12 B ．⎝⎛⎭⎫－∞，12 C ．⎝⎛⎭⎫12，＋∞D ．⎝⎛⎭⎫0，12 3．已知双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．x －2y ＝0B ．2x －y ＝0C ．2x ±y ＝0D ．x ±2y ＝04．执行如图所示的程序框图，若输入的n 的值为5，则输出的S 的值为( )此卷只装订不密封级 姓名 准考证号 考场号 座位号A．17 B．36C．52 D．725．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”问此人第4天和第5天共走了() A．60里B．48里C．36里D．24里6．函数f(x)＝(cos x)·ln |x|的大致图象是()7．如图，半径为5 cm的圆形纸板内有一个相同圆心的半径为1 cm的小圆，现将半径为1 cm 的一枚硬币抛到此纸板上，使整块硬币完全随机落在纸板内，则硬币与小圆无公共点的概率为( )A ．12B ．2125C ．14D ．348．如图，正四面体A -BCD 中，E 、F 分别是棱BC 和AD 的中点，则直线AE 和CF 所成的角的余弦值为( )A ．13B ．23C ．14D ．349．已知a ＞0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1x ＋y ≤3y ≥a (x －3)，若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a 等于( )A ．14B ．12C ．1D ．210．在△ABC 中，BC ＝6，AB ＝2,1＋tan A tan B ＝2ABAC ，则AC ＝( )A ．6－1B ．1＋ 6C ．3－1D ．1＋ 311．已知点P 是直线2x －y ＋3＝0上的一个动点，定点M (－1,2)，Q 是线段PM 延长线上的一点，且|PM |＝|MQ |，则Q 点的轨迹方程是( )A ．2x ＋y ＋1＝0B ．2x －y －5＝0C ．2x －y －1＝0D ． 2x －y ＋5＝012．设函数f (x )满足xf ′(x )＋f (x )＝ln x x ，f (e)＝1e，则函数f (x )( )A ．在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减B ．在(0，＋∞)上单调递增C ．在(0，e)上单调递减，在(e ，＋∞)上单调递增D ．在(0，＋∞)上单调递减二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．在二项式⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x －123x 6的展开式中，第四项的系数为________． 14．设S n 是数列{a n }的前n 项和，2S n ＋1＝S n ＋S n ＋2(n ∈N *)，若a 3＝3，则a 100＝______． 15．已知向量|a |＝2，b 与(b －a )的夹角为30°，则|b |最大值为________．16．设点M ，N 是抛物线y ＝ax 2(a ＞0)上任意两点，点G (0，－1)满足GN →·GM →＞0，则a 的取值范围是_________．三、解答题：17．(12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n ＋1是首项和公差均为12的等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a 2n ＋1＋a 2n ＋2a n ＋1·a n ＋2，求数列{b n }的前n 项和T n ．18．(12分)2017年省内事业单位面向社会公开招聘工作人员，为保证公平竞争，报名者需要参加笔试和面试两部分，且要求笔试成绩必须大于或等于90分的才有资格参加面试，90分以下(不含90分)则被淘汰．现有2 000名竞聘者参加笔试，参加笔试的成绩按区间[30,50)，[50,70)，[70,90)，[90,110)，[110,130)，[130,150]分段，其频率分布直方图如下图所示(频率分布直方图有污损)，但是知道参加面试的人数为500，且笔试成绩在[50,110)的人数为1 440．(1)根据频率分布直方图，估算竞聘者参加笔试的平均成绩；(2)若在面试过程中每人最多有5次选题答题的机会，累计答题或答错3题即终止答题．答对3题者方可参加复赛．已知面试者甲答对每一个问题的概率都相同，并且相互之间没有影响．若他连续三次答题中答对一次的概率为964，求面试者甲答题个数X的分布列和数学期望．19．(12分)如图，在四棱锥P-ABCD中，已知PB⊥底面ABCD，BC⊥AB，AD∥BC，AB＝AD＝2，CD⊥PD，异面直线P A与CD所成角等于60°．(1)求证：平面PCD⊥平面PBD；(2)求直线CD和平面P AD所成角的正弦值；(3)在棱P A上是否存在一点E，使得平面P AB与平面BDE所成锐二面角的正切值为5？若存在，指出点E的位置，若不存在，请说明理由．20．(12分)如图，已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左右顶点分别是A(－2，0)，B(2，0)，离心率为22.设点P (a ，t )(t ≠0)，连接P A 交椭圆于点C ，坐标原点是O ．(1)证明：OP ⊥BC ；(2)若三角形ABC 的面积不大于四边形OBPC 的面积，求|t |的最小值．21．(12分)已知函数f (x )＝2x －(x ＋1)ln x ，g (x )＝x ln x －a x 2－1． (1)求证：对∀x ∈(1，＋∞)，f (x )＜2；(2)若方程g (x )＝0有两个根，设两根分别为x 1、x 2，求证：ln x 1＋ln x 22＞1＋2x 1x 2．以下两题请任选一题： [选修4－4：坐标系与参数方程]22．(10分)已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝mty ＝3t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ＋4ρ2sin 2θ＝4，直线l 过曲线C的左焦点F ．(1)直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求|AB |； (2)设曲线C 的内接矩形的周长为c ，求c 的最大值．[选修4－5：不等式证明选讲]23．(10分)已知函数f (x )＝9sin 2x ＋4cos 2x ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且f (x )≥t 恒成立． (1)求实数t 的最大值；(2)当t 取最大时，求不等式⎪⎪⎪⎪x ＋t5＋|2x －1|≤6的解集．2019年高考（理科）数学总复习综合试题（一）答案及解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分． 1．在复平面内，复数z ＝cos 3＋isin 3(i 为虚数单位)，则|z |为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：|z |＝cos 23＋sin 23＝1.故选A ． 答案：A2．|x |·(1－2x )＞0的解集为( ) A ．(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫0，12 B ．⎝⎛⎭⎫－∞，12 C ．⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D ．⎝⎛⎭⎫0，12 解析：由不等式|x |(1－2x )＞0可得 x ≠0，且1－2x ＞0，求得x ＜12，且x ≠0，故选A ．答案：A3．已知双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．x －2y ＝0B ．2x －y ＝0C ．2x ±y ＝0D ．x ±2y ＝0解析：双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，可得c a ＝3，即a 2＋b 2a 2＝3，可得b a ＝2.则该双曲线的渐近线方程为x ±2y ＝0.故选D ． 答案：D4．执行如图所示的程序框图，若输入的n 的值为5，则输出的S 的值为( )A ． 17B ．36C ．52D ．72解析：根据程序框图可知k ＝1，S ＝0，进入循环体后，循环次数、S 的值、k 的值的变化情况为：所以输出的S 的值为72.故选D ．5．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”问此人第4天和第5天共走了( )A ．60里B ．48里C ．36里D ．24里解析：记每天走的路程里数为{a n }，可知{a n }是公比q ＝12的等比数列，由S 6＝378，得S 6＝a 1⎝⎛⎭⎫1－1261－12＝378，解得：a 1＝192，∴a 4＝192×123＝24，a 5＝192×124＝12，此人第4天和第5天共走了24＋12＝36里．故选C ．答案：C6．函数f (x )＝(cos x )·ln |x |的大致图象是( )解析：函数f (x )＝(cos x )·ln |x |是偶函数，排除C ，D ． 当x ＝π6时，f ⎝⎛⎭⎫π6＝32·ln π6＜0.排除A ，故选B ． 答案：B7．如图，半径为5 cm 的圆形纸板内有一个相同圆心的半径为1 cm 的小圆，现将半径为1 cm 的一枚硬币抛到此纸板上，使整块硬币完全随机落在纸板内，则硬币与小圆无公共点的概率为( )A ．12B ．2125C ．14D ．34解析：记“硬币落下后与小圆无公共点”为事件A ，硬币要落在纸板内，硬币圆心距离纸板圆心的距离应该小于4，其面积为16π，无公共点也就意味着，硬币的圆心与纸板的圆心相距超过2 cm ，以纸板的圆心为圆心，作一个半径2 cm 的圆，硬币的圆心在此圆外面，则硬币与半径为1 cm 的小圆无公共交点．所以有公共点的概率为416，无公共点的概率为P (A )＝1－416＝34，故选D ．答案：D8．如图，正四面体A -BCD 中，E 、F 分别是棱BC 和AD 的中点，则直线AE 和CF 所成的角的余弦值为( )A ．13B ．23C ．14D ．34解析：连接BF 、EF ，∵正四面体A -BCD 中，E 、F 分别是棱BC 和AD 的中点，∴BF ⊥AD ，CF ⊥AD ，又BF ∩CF ＝F ，∴AD ⊥面BCF ，∴AE 在平面BCF 上的射影为EF ，设异面直线AE 和CF 所成的角为θ，正四面体棱长为1，则AE ＝CF ＝32，EF ＝22.∵cos θ＝cos ∠AEF ·cos ∠EFC ，∴cos θ＝2232×2232＝23.故直线AE 和CF 所成的角的余弦值为23.故选B ．答案：B9．已知a ＞0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1x ＋y ≤3y ≥a (x －3)，若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a 等于( )A ．14B ．12C ．1D ．2解析：先根据约束条件画出可行域，如图示：z ＝2x ＋y ，将最小值转化为y 轴上的截距的最小值，当直线z ＝2x ＋y 经过点B 时，z 最小，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝12x ＋y ＝1得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝－1，代入直线y ＝a (x －3)得，a ＝12， 故选B ．答案：B10．在△ABC 中，BC ＝6，AB ＝2,1＋tan A tan B ＝2ABAC ，则AC ＝( )A ．6－1B ．1＋ 6C ．3－1D ．1＋ 3解析：∵1＋tan A tan B ＝2AB AC ，∴sin (A ＋B )sin B cos A ＝2c b ，∴sin C sin B cos A ＝2c b ，∴1cos A ＝2，即cos A ＝12，A ∈(0，π)，解得A ＝π3． 由余弦定理可得：(6)2＝22＋b 2－4b cos π3，∴b 2－2b －2＝0，解得b ＝1＋ 3.故选D ． 答案：D11．已知点P 是直线2x －y ＋3＝0上的一个动点，定点M (－1,2)，Q 是线段PM 延长线上的一点，且|PM |＝|MQ |，则Q 点的轨迹方程是( )A ．2x ＋y ＋1＝0B ．2x －y －5＝0C ．2x －y －1＝0D ． 2x －y ＋5＝0解析：设Q (x ，y )，则P (－2－x,4－y )，代入2x －y ＋3＝0得2x －y ＋5＝0． 答案：D12．设函数f (x )满足xf ′(x )＋f (x )＝ln x x ，f (e)＝1e，则函数f (x )( ) A ．在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减 B ．在(0，＋∞)上单调递增C ．在(0，e)上单调递减，在(e ，＋∞)上单调递增D ．在(0，＋∞)上单调递减解析：∵[xf (x )]′＝xf ′(x )＋f (x )，∴[xf (x )]′＝ln x x ＝⎝⎛⎭⎫ln 2x 2＋c ′，∴xf (x )＝12ln 2x ＋c ，∴f (x )＝ln 2x 2x ＋c x，∵f (e)＝1e ，∴1e ＝12e ＋c e ，即c ＝12，∴f ′(x )＝2ln x －ln 2x 2x 2－12x 2＝－ln 2x －2ln x ＋12x 2＝－(ln x －1)22x 2＜0，∴f (x )在(0，＋∞)为减函数．故选D ． 答案：D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．在二项式⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x －123x 6的展开式中，第四项的系数为________． 解析：由已知二项式得到展开式的第四项为： T 4＝C 36(3x )3⎝ ⎛⎭⎪⎫－123x 3＝－52． 答案：－5214．设S n 是数列{a n }的前n 项和，2S n ＋1＝S n ＋S n ＋2(n ∈N *)，若a 3＝3，则a 100＝______． 解析：∵S n 是数列{a n }的前n 项和，2S n ＋1＝S n ＋S n ＋2(n ∈N *)， ∴数列{S n }是等差数列，设公差为d ，可得S n －S n －1＝d ． ∴a 3＝S 3－S 2＝d ＝3，则a 100＝S 100－S 99＝d ＝3.故答案为3． 答案：315．已知向量|a |＝2，b 与(b －a )的夹角为30°，则|b |最大值为________． 解析：以|a |，|b |为邻边做平行四边形ABCD ，设AB →＝a ，AD →＝b ， 则BD →＝b －a ，由题意∠ADB ＝30°，设∠ABD ＝θ，∵|a |＝2，∴在△ABD 中，由正弦定理可得，AB sin 30°＝AD sin θ，∴AD ＝4sin θ≤4.即|b |的最大值为4.故答案为4． 答案：416．设点M ，N 是抛物线y ＝ax 2(a ＞0)上任意两点，点G (0，－1)满足GN →·GM →＞0，则a 的取值范围是_________．解析：过G 点作抛物线的两条切线，设切线方程为y ＝kx －1， 切点坐标为A (x 0，y 0)，B (－x 0，y 0)，则由导数的几何意义可知⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝ax 20y 0＝kx 0－12ax 0＝k ，解得k ＝±2a ．∵GN →·GM →＞0恒成立，∴∠AOB ＜90°， 即∠AGO ＜45°，∴|k |＞tan45°＝1，即2a ＞1， 解得a ＞14.故答案为⎝⎛⎭⎫14，＋∞．答案：⎝⎛⎭⎫14，＋∞ 三、解答题：17．(12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n ＋1是首项和公差均为12的等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a 2n ＋1＋a 2n ＋2a n ＋1·a n ＋2，求数列{b n }的前n 项和T n ．解：(1)∵⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n ＋1是首项和公差均为12的等差数列，∴S n n ＋1＝12＋12(n －1)＝n2，∴S n ＝n (n ＋1)2．∴n ＝1时，a 1＝S 1＝1；n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n (n ＋1)2－n (n －1)2＝n .n ＝1时也成立．∴a n ＝n ．(2)b n ＝a 2n ＋1＋a 2n ＋2a n ＋1·a n ＋2＝(n ＋1)2＋(n ＋2)2(n ＋1)(n ＋2)＝n ＋1n ＋2＋n ＋2n ＋1＝2＋1n ＋1－1n ＋2，∴数列{b n }的前n 项和T n ＝2n ＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝⎛⎭⎫1n ＋1－1n ＋2＝2n ＋12－1n ＋2．18．(12分)2017年省内事业单位面向社会公开招聘工作人员，为保证公平竞争，报名者需要参加笔试和面试两部分，且要求笔试成绩必须大于或等于90分的才有资格参加面试，90分以下(不含90分)则被淘汰．现有2 000名竞聘者参加笔试，参加笔试的成绩按区间[30,50)，[50,70)，[70,90)，[90,110)，[110,130)，[130,150]分段，其频率分布直方图如下图所示(频率分布直方图有污损)，但是知道参加面试的人数为500，且笔试成绩在[50,110)的人数为1 440．(1)根据频率分布直方图，估算竞聘者参加笔试的平均成绩；(2)若在面试过程中每人最多有5次选题答题的机会，累计答题或答错3题即终止答题．答对3题者方可参加复赛．已知面试者甲答对每一个问题的概率都相同，并且相互之间没有影响．若他连续三次答题中答对一次的概率为964，求面试者甲答题个数X 的分布列和数学期望．解：(1)设竞聘者成绩在区间[30,50)，[90,110)，[110,130)的人数分别为x ，y ，z ， 则(0.017 0＋0.014 0)×20×2 000＋x ＝2 000－500，解得x ＝260， (0.017 0＋0.014 0)×20×2 000＋y ＝1 440，解得y ＝200， 0．003 2×20×2 000＋200＋z ＝500，解得z ＝172， 竞聘者参加笔试的平均成绩为：12 000×(260×40＋200×100＋172×120)＋(0.014×60＋0.017×80＋0.003 2×140)×20＝78.48(分)．(2)设面试者甲每道题答对的概率为p ，则C 13p (1－p )2＝964，解得p ＝34， 面试者甲答题个数X 的可能取值为3,4,5， 则P (X ＝3)＝⎝⎛⎭⎫343＋⎝⎛⎭⎫143＝716，P (X ＝4)＝C 13⎝⎛⎭⎫14⎝⎛⎭⎫343＋C 13⎝⎛⎭⎫34⎝⎛⎭⎫142⎝⎛⎭⎫14＝45128， P (X ＝5)＝1－P (X ＝3)－P (X ＝4)＝1－716－45128＝27128，∴X 的分布列为：E (X )＝716×3＋45128×4＋27128×5＝483128．19．(12分)如图，在四棱锥P -ABCD 中，已知PB ⊥底面ABCD ，BC ⊥AB ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝2，CD ⊥PD ，异面直线P A 与CD 所成角等于60°．(1)求证：平面PCD ⊥平面PBD ；(2)求直线CD 和平面P AD 所成角的正弦值；(3)在棱P A 上是否存在一点E ，使得平面P AB 与平面BDE 所成锐二面角的正切值为5？若存在，指出点E 的位置，若不存在，请说明理由．(1)证明：∵PB ⊥底面ABCD ，∴PB ⊥CD ， 又∵CD ⊥PD ，PD ∩PB ＝P ，PD ，PB ⊂平面PBD ， ∴CD ⊥平面PBD ，∵CD ⊂平面PCD ， ∴平面PCD ⊥平面PBD ．(2)解：如图，以B 为原点，BA 、BC 、BP 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，由(1)知△BCD 是等腰直角三角形，∴BC ＝4，设BP ＝b (b ＞0)，则B (0,0,0)，A (2,0,0)，C (0,4,0)，D (2,2,0)，P (0,0，b )， 则P A →＝(2,0，－b )，CD →＝(2，－2,0)， ∵异面直线P A 、CD 所成角为60°，∴cos 60°＝|P A →·CD →||P A →||CD →|＝44＋b 2·22＝12，解得b ＝2， ∵AD →＝(0,2,0)，P A →＝(2,0，－2)，设平面P AD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AD →＝2y ＝0n ·P A →＝2x －2z ＝0，取x ＝1，得n ＝(1,0,1)，设直线CD 和平面P AD 所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈CD →，n 〉|＝|CD →·n ||CD →||n |＝22×8＝12，∴直线CD 和平面P AD 所成角的正弦值为12．(3)假设棱P A 上存在一点E ，使得平面P AB 与平面BDE 所成锐二面角的正切值为5， 设PE →＝λP A →(0＜λ＜1)，且E (x ，y ，z )，则(x ，y ，z －2)＝λ(2,0，－2)， ∴E (2λ，0,2－2λ)，设平面DEB 的一个法向量为m ＝(a ，b ，c )， BE →＝(2λ，0,2－2λ)，BD →＝(2,2,0)，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·BE →＝2λa ＋(2－2λ)c ＝0m ·BD →＝2a ＋2b ＝0，取a ＝λ－1，得m ＝(λ－1,1－λ，λ)，平面P AB 的法向量p ＝(0,1,0)，∵平面P AB 与平面BDE 所成锐二面角的正切值为5， ∴平面P AB 与平面BDE 所成锐二面角的余弦值为66， ∴|cos 〈m ，p 〉|＝|m ·p ||m ||p |＝1－λ2(1－λ)2＋λ2＝66， 解得λ＝23或λ＝2(舍)，∴在棱P A 上存在一点E ，使得平面P AB 与平面BDE 所成锐二面角的正切值为5，E 为棱P A 上靠近A 的三等分点．20．(12分)如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左右顶点分别是A (－2，0)，B (2，0)，离心率为22.设点P (a ，t )(t ≠0)，连接P A 交椭圆于点C ，坐标原点是O ．(1)证明：OP ⊥BC ；(2)若三角形ABC 的面积不大于四边形OBPC 的面积，求|t |的最小值． (1)证明：由题意可知：a ＝2，e ＝ca ＝1－b 2a 2＝22，则b ＝1， ∴椭圆的标准方程：x 22＋y 2＝1，设直线P A 的方程 y ＝t22(x ＋2)，则⎩⎨⎧x 22＋y 2＝1y ＝t22(x ＋2)，整理得：(4＋t 2)x 2＋22t 2x ＋2t 2－8＝0， 解得：x 1＝－2，x 2＝42－2t 24＋t 2，则C 点坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫42－2t24＋t2，4t 4＋t 2， 故直线BC 的斜率k BC ＝－2t ，直线OP 的斜率k OP ＝t 2， ∴k BC ·k OP ＝－1， ∴OP ⊥BC ；(2)解：由(1)可知：四边形OBPC 的面积 S 1＝12×|OP |×|BC |＝2|t ||t 2＋2|t 2＋4，则三角形ABC 的面积S 2＝12×22×4|t |4＋t 2＝42|t |4＋t 2，由42|t |4＋t 2≤2|t ||t 2＋2|t 2＋4，整理得：t 2＋2≥4， 则|t |≥2，∴|t |min ＝2，|t |的最小值2．21．(12分)已知函数f (x )＝2x －(x ＋1)ln x ，g (x )＝x ln x －a x 2－1． (1)求证：对∀x ∈(1，＋∞)，f (x )＜2；(2)若方程g (x )＝0有两个根，设两根分别为x 1、x 2，求证：ln x 1＋ln x 22＞1＋2x 1x 2．证明：(1)∵f (x )＝2x －(x ＋1)ln x ， ∴f ′(x )＝1－ln x －1x ，令h (x )＝1－ln x －1x，∴h ′(x )＝－1x ＋1x 2＝1－xx 2＜0，在(1，＋∞)恒成立，∴h (x )在(1，＋∞)单调递减， ∴h (x )＜h (1)＝1－ln 1－1＝0，∴f (x )在(1，＋∞)单调递减，∴f (x )＜f (1)＝2， ∴对∀x ∈(1，＋∞)，f (x )＜2(2)由g (x )＝x ln x －ax 2－1＝0，得ln x －1x ＝ax ，于是有ln x 1－1x 1＝ax 1，ln x 2－1x 2＝ax 2，两式相加得ln x 1x 2－x 1＋x 2x 1x 2＝a (x 1＋x 2)，①，两式相减得lnx 2x 1－x 1－x 2x 1x 2＝a (x 2－x 1)，②， 由②可得lnx 2x 1x 2－x 1＋1x 1x 2＝a ，③，将③代入①可得，ln x 1x 2－x 1＋x 2x 1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ln x 2x 1x 2－x 1＋1x 1x 2(x 1＋x 2)， 即ln x 1x 2－2×x 1＋x 2x 1x 2＝x 1＋x 2x 2－x 1·ln x 2x 1，不妨设0＜x 1＜x 2，t ＝x 2x 1＞1，则x 1＋x 2x 2－x 1·ln x 2x 1＝t ＋1t －1 ln t ，由(1)可得t ＋1t －1ln t ＞2，∴ln x 1x 2－2×x 1＋x 2x 1x 2＞2，∵ln x 1x 2－2×x 1＋x 2x 1x 2＜4x 1x 2x 2x 1＝ln x 1x 2－4x 1x 2＝2ln x 1x 2－4x 1x 2，∴2ln x 1x 2－4x 1x 2＞2，∴ln x 1x 2－2x 1x 2＞1， 即ln x 1＋ln x 22＞1＋2x 1x 2． 以下两题请任选一题：[选修4－4：坐标系与参数方程]22．(10分)已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝mty ＝3t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ＋4ρ2sin 2θ＝4，直线l 过曲线C 的左焦点F ．(1)直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求|AB |； (2)设曲线C 的内接矩形的周长为c ，求c 的最大值．解：(1)曲线C ：x 24＋y 2＝1，∴F (－3，0)，曲线C 与直线联立得13t 2－23t －1＝0，方程两根为t 1，t 2，则AB ＝2|t 1－t 2|＝1613． (2)设矩形的第一象限的顶点为(2cos θ，sin θ)⎝⎛⎭⎫0＜θ＜π2，所以c ＝4(2cos θ＋sin θ)＝45sin(θ＋φ)， 所以当sin(θ＋φ)＝1时，c 最大值为45． [选修4－5：不等式证明选讲]23．(10分)已知函数f (x )＝9sin 2x ＋4cos 2x ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且f (x )≥t 恒成立． (1)求实数t 的最大值；(2)当t 取最大时，求不等式⎪⎪⎪⎪x ＋t5＋|2x －1|≤6的解集． 解：(1)因为f (x )＝9sin 2x ＋4cos 2x ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且f (x )≥t 恒成立， 所以只需t ≤f (x )min ，又因为f (x )＝9sin 2x ＋4cos 2x ＝⎝⎛⎭⎫9sin 2x ＋4cos 2x (sin 2x ＋cos 2x )＝13＋9cos 2x sin 2x ＋4sin 2xcos 2x≥13＋29×4＝25，所以t ≤25，即t 的最大值为25．(2)t 的最大值为25时原式变为|x ＋5|＋|2x －1|≤6， 当x ≥12时，可得3x ＋4≤6，解得12≤x ≤23；当x ≤－5时，可得－3x －4≤6，无解；当－5≤x ≤12时，可得－x ＋6≤6，可得0≤x ≤12；综上可得，原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |0≤x ≤23．。

2019年高考数学第一轮复习模拟测试题学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象（ ）A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度D ．向左平移3π个单位长度（2004全国1文92．设集合22{||cos sin |,}M y y x x x R ==-∈，1{|||N x x i=-<，i 为虚数单位，x ∈R }，则M N 为（ ）（A ）（0，1） （B ）(0，1] （C ）[0，1) （D ）[0，1]（2011陕西理7） 13．“x>1”是“|x|>1”的（A ）．充分不必要条件 （B ）．必要不充分条件（C ）．充分必要条件 （D ）．既不充分又不必要条件（2011湖南文3） 4．在下列各区间中，函数y=sin （x ＋4π）的单调递增区间是（ ）（1996上海2）A ．［2π，π］B ．［0，4π］ C ．［－π，0］D ．［4π，2π］5．在△ABC 中，sin A ＞sin B 是A ＞B 的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件二、填空题6．若()2,a i i b i -=-其中,,a b R i ∈是虚数单位，则a b +=7． 为了求方程lg 3x x =-的近似解，我们设计了如图所示的流程图，其输出的结果 ▲ ．8．已知方程01342=+++a ax x （a 为大于1的常数）的两根为αtan ，βtan ， 且α、∈β ⎝⎛-2π,⎪⎭⎫2π，则2tan βα+的值是_________________.9．已知32()26(f x x x m m =-+为常数）在[2,2]-上有最大值3，那么此函数在[2,2]- 上的最小值为 ▲ ．10．设P 是V ABC 所在平面内的一点，2BC BA BP +=uu u r uu r uu r ，则PC PA +=uu u r uu r★ ．11．若曲线()4f x x x =-在点P 处的切线平行于直线30x y -=，则点P 的坐标为 。

高考大题专项练一高考中的函数与导数1.(2017北京,理19)已知函数f(x)=e x cos x-x.(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值.2.已知函数f(x)=e mx-ln x-2.(1)若m=1,证明:存在唯一实数t∈,使得f'(t)=0;(2)求证:存在0<m<1,使得f(x)>0.3.设函数f(x)=αcos 2x+(α-1)(cos x+1),其中α>0,记|f(x)|的最大值为A.(1)求f'(x);(2)求A;(3)证明|f'(x)|≤2A.4.(2017全国Ⅱ,理21)已知函数f(x)=ax2-ax-x ln x,且f(x)≥0.(1)求a;(2)证明:f(x)存在唯一的极大值点x0,且e-2<f(x0)<2-2.5.已知函数f(x)=x e tx-e x+1,其中t∈R,e是自然对数的底数.(1)若方程f(x)=1无实数根,求实数t的取值范围;(2)若函数f(x)在区间(0,+∞)内为减函数,求实数t的取值范围.6.已知f(x)=ax-ln x,x∈(0,e],g(x)=,其中e是自然对数的底数,a∈R.(1)讨论当a=1时,函数f(x)的单调性和极值;(2)求证:在(1)的条件下,f(x)>g(x)+;(3)是否存在正实数a,使f(x)的最小值是3?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.7.已知函数f(x)=a x+b x(a>0,b>0,a≠1,b≠1).(1)设a=2,b=.①求方程f(x)=2的根;②若对于任意x∈R,不等式f(2x)≥mf(x)-6恒成立,求实数m的最大值;(2)若0<a<1,b>1,函数g(x)=f(x)-2有且只有1个零点,求ab的值.8.(2017天津,理20)设a∈Z,已知定义在R上的函数f(x)=2x4+3x3-3x2-6x+a在区间(1,2)内有一个零点x0,g(x)为f(x)的导函数.(1)求g(x)的单调区间;(2)设m∈[1,x0)∪(x0,2],函数h(x)=g(x)(m-x0)-f(m),求证:h(m)h(x0)<0;(3)求证:存在大于0的常数A,使得对于任意的正整数p,q,且∈[1,x0)∪(x0,2],满足-.答案：1.解(1)因为f(x)=e x cos x-x,所以f'(x)=e x(cos x-sin x)-1,f'(0)=0.又因为f(0)=1,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=1.(2)设h(x)=e x(cos x-sin x)-1,则h'(x)=e x(cos x-sin x-sin x-cos x)=-2e x sin x.当x∈时,h'(x)<0,所以h(x)在区间上单调递减.所以对任意x∈有h(x)<h(0)=0,即f'(x)<0.所以函数f(x)在区间上单调递减.因此f(x)在区间上的最大值为f(0)=1,最小值为f=-.2.证明(1)当m=1时,f(x)=e x-ln x-2,f'(x)=e x-,x>0.显然f'(x)在(0,+∞)内单调递增且图象是连续的,又f'<0,f'(1)>0,故存在唯一实数t∈,使得f'(t)=0.(2)f'(x)=m e mx-=m-.由0<m<1,得f'(x)在(0,+∞)内单调递增,由(1)得mx0=t时,f'(x0)=0,所以f(x)在(0,x0)内单调递减,在(x0,+∞)内单调递增,即f(x)的最小值为f(x0)=f=e t-ln t+ln m-2,因为e t-=0,所以e t=,t=-ln t.于是f(x0)=f+t+ln m-2,所以当ln m>2-时,f(x0)>0.取k=2-<0,故m∈(e k,1)时成立,因此,存在0<m<1,使得f(x)>0.3.(1)解f'(x)=-2αsin 2x-(α-1)sin x.(2)解(分类讨论)当α≥1时,|f(x)|=|αcos 2x+(α-1)(cos x+1)|≤α+2(α-1)=3α-2=f(0).因此A=3α-2.当0<α<1时,将f(x)变形为f(x)=2αcos2x+(α-1)cos x-1.(构造函数)令g(t)=2αt2+(α-1)t-1,则A是|g(t)|在[-1,1]上的最大值,g(-1)=α,g(1)=3α-2,且当t=-时,g(t)取得极小值,极小值为g-=---1=-.令-1<-<1,解得α<-(舍去),α>.(ⅰ)当0<α≤时,g(t)在(-1,1)内无极值点,|g(-1)|=α,|g(1)|=2-3α,|g(-1)|<|g(1)|,所以A=2-3α.(ⅱ)当<α<1时,由g(-1)-g(1)=2(1-α)>0,知g(-1)>g(1)>g-.又--|g(-1)|=->0,所以A=-.-综上,A=-(3)证明由(1),得|f'(x)|=|-2αsin 2x-(α-1)sin x|≤2α+|α-1|.当0<α≤时,|f'(x)|≤1+α≤2-4α<2(2-3α)=2A.当<α<1时,A=≥1,所以|f'(x)|≤1+α<2A.当α≥1时,|f'(x)|≤3α-1≤6α-4=2A.所以|f'(x)|≤2A.4.(1)解f(x)的定义域为(0,+∞).设g(x)=ax-a-ln x,则f(x)=xg(x),f(x)≥0等价于g(x)≥0.因为g(1)=0,g(x)≥0,故g'(1)=0,而g'(x)=a-,g'(1)=a-1,得a=1.若a=1,则g'(x)=1-.当0<x<1时,g'(x)<0,g(x)单调递减;当x>1时,g'(x)>0,g(x)单调递增.所以x=1是g(x)的极小值点,故g(x)≥g(1)=0.综上,a=1.(2)证明由(1)知f(x)=x2-x-x ln x,f'(x)=2x-2-ln x.设h(x)=2x-2-ln x,则h'(x)=2-.当x∈时,h'(x)<0;当x∈时,h'(x)>0.所以h(x)在内单调递减,在内单调递增.又h(e-2)>0,h<0,h(1)=0,所以h(x)在内有唯一零点x0,在内有唯一零点1,且当x∈(0,x0)时,h(x)>0;当x∈(x0,1)时,h(x)<0;当x∈(1,+∞)时,h(x)>0.因为f'(x)=h(x),所以x=x0是f(x)的唯一极大值点.由f'(x0)=0得ln x0=2(x0-1),故f(x0)=x0(1-x0).由x0∈(0,1)得f(x0)<.因为x=x0是f(x)在(0,1)内的最大值点,由e-1∈(0,1),f'(e-1)≠0得f(x0)>f(e-1)=e-2.所以e-2<f(x0)<2-2.5.解(1)由f(x)=1,得x e tx=e x,即x=e x(1-t)>0,故有=1-t.令g(x)=,则g'(x)=-.由g'(x)>0,得0<x<e;由g'(x)<0,得x>e.故g(x)在区间(0,e)内单调递增,在区间(e,+∞)内单调递减.因此,g(x)max=g(e)=,所以g(x)的值域为-,要使得方程f(x)=1无实数根,则1-t>,即t<1-.(2)f'(x)=e tx+tx e tx-e x=e tx[1+tx-e(1-t)x].由题设知,对∀x>0,f'(x)≤0恒成立.不妨取x=1,有f'(1)=e t(1+t-e1-t)≤0.而当t≥1时,f'(1)>0,故t<1.①当t≤,且x>0时,f'(x)=e tx[1+tx-e(1-t)x]≤-.而当x>0时,有e x>1+x,故1+<0,所以f'(x)<0.所以f(x)在区间(0,+∞)内单调递减,故当t≤时满足题意.②当<t<1时,0<1-t<,且->1,即-ln->0.令h(x)=1+tx-e(1-t)x,则h(0)=0, h'(x)=t-(1-t)e(1-t)x=(1-t)---.当0<x<-ln-时,h'(x)>0,此时,h(x)>h(0)=0,则当0<x<-ln-时,f'(x)>0,故f(x)在区间--内单调递增.与题设矛盾,不符合题意,舍去.所以,当t≤时,函数f(x)在区间(0,+∞)内是减函数.6.(1)解∵当a=1时,f(x)=x-ln x,∴f'(x)=1--.∴当0<x<1时,f'(x)<0,此时f(x)单调递减;当1<x≤e时,f'(x)>0时,此时f(x)单调递增.∴f(x)的极小值为f(1)=1.(2)证明∵f(x)的极小值为1,∴f(x)在(0,e]上的最小值为1,即[f(x)]min=1.又g'(x)=-,∴当0<x<e时,g'(x)>0,g(x)在(0,e]上单调递增.∴[g(x)]max=g(e)=,∴[f(x)]min-[g(x)]max>,∴在(1)的条件下,f(x)>g(x)+.(3)解假设存在正实数a,使f(x)=ax-ln x(x∈(0,e])有最小值3,则f'(x)=a--.①当0<<e时,f(x)在内单调递减,在上单调递增,[f(x)]min=f=1+ln a=3,a=e2,满足条件;②当≥e时,f(x)在(0,e]上单调递减,[f(x)]min=f(e)=a e-1=3,a=(舍去).综上,存在实数a=e2,使得当x∈(0,e]时f(x)有最小值3.7.解(1)因为a=2,b=,所以f(x)=2x+2-x.①方程f(x)=2,即2x+2-x=2,亦即(2x)2-2×2x+1=0,所以(2x-1)2=0,即2x=1,解得x=0.②由条件知f(2x)=22x+2-2x=(2x+2-x)2-2=(f(x))2-2.因为f(2x)≥mf(x)-6对于x∈R恒成立,且f(x)>0,所以m≤对于x∈R恒成立.而=f(x)+≥2=4,且=4,所以m≤4,故实数m的最大值为4.(2)因为函数g(x)=f(x)-2有且只有1个零点,而g(0)=f(0)-2=a0+b0-2=0,所以0是函数g(x)的唯一零点.因为g'(x)=a x ln a+b x ln b,又由0<a<1,b>1知ln a<0,ln b>0,所以g'(x)=0有唯一解x0=lo-.令h(x)=g'(x),则h'(x)=(a x ln a+b x ln b)'=a x(ln a)2+b x(ln b)2,从而对任意x∈R,h'(x)>0,所以g'(x)=h(x)是(-∞,+∞)内的增函数.于是当x∈(-∞,x0)时,g'(x)<g'(x0)=0;当x∈(x0,+∞)时,g'(x)>g'(x0)=0.因而函数g(x)在(-∞,x0)内是减函数,在(x0,+∞)内是增函数.下证x0=0.若x0<0,则x0<<0,于是g<g(0)=0.又g(log a2)=-2>-2=0,且函数g(x)在以和log a2为端点的闭区间上的图象不间断,所以在和log a2之间存在g(x)的零点,记为x1.因为0<a<1,所以log a2<0.又<0,所以x1<0,与“0是函数g(x)的唯一零点”矛盾.若x0>0,同理可得,在和log b2之间存在g(x)的非0的零点,矛盾.因此,x0=0.于是-=1,故ln a+ln b=0,所以ab=1.8.(1)解由f(x)=2x4+3x3-3x2-6x+a,可得g(x)=f'(x)=8x3+9x2-6x-6,进而可得g'(x)=24x2+18x-6.令g'(x)=0,解得x=-1或x=.当x变化时,g'(x),g(x)的变化情况如下表:所以,g(x)的单调递增区间是(-∞,-1),,单调递减区间是-.(2)证明由h(x)=g(x)(m-x0)-f(m),得h(m)=g(m)(m-x0)-f(m),h(x0)=g(x0)(m-x0)-f(m).令函数H1(x)=g(x)(x-x0)-f(x),则H'1(x)=g'(x)(x-x0).由(1)知,当x∈[1,2]时,g'(x)>0,故当x∈[1,x0)时,H'1(x)<0,H1(x)单调递减;当x∈(x0,2]时,H'1(x)>0,H1(x)单调递增.因此,当x∈[1,x0)∪(x0,2]时,H1(x)>H1(x0)=-f(x0)=0,可得H1(m)>0,即h(m)>0.令函数H2(x)=g(x0)(x-x0)-f(x),则H'2(x)=g(x0)-g(x).由(1)知g(x)在[1,2]上单调递增,故当x∈[1,x0)时,H'2(x)>0,H2(x)单调递增;当x∈(x0,2]时,H'2(x)<0,H2(x)单调递减.因此,当x∈[1,x0)∪(x0,2]时,H2(x)<H2(x0)=0,可得H2(m)<0,即h(x0)<0.所以,h(m)h(x0)<0.(3)证明对于任意的正整数p,q,且∈[1,x0)∪(x0,2],令m=,函数h(x)=g(x)(m-x0)-f(m).由(2)知,当m∈[1,x0)时,h(x)在区间(m,x0)内有零点;当m∈(x0,2]时,h(x)在区间(x0,m)内有零点.所以h(x)在(1,2)内至少有一个零点,不妨设为x1,则h(x1)=g(x1)--f=0.由(1)知g(x)在[1,2]上单调递增,故0<g(1)<g(x1)<g(2).于是-==--.因为当x∈[1,2]时,g(x)>0,故f(x)在[1,2]上单调递增,所以f(x)在区间[1,2]上除x0外没有其他的零点,而≠x0,故f≠0.又因为p,q,a均为整数,所以|2p4+3p3q-3p2q2-6pq3+aq4|是正整数,从而|2p4+3p3q-3p2q2-6pq3+aq4|≥1.所以-.所以,只要取A=g(2),就有-.。