初二上 一次函数(3)----动点问题

一次函数是指函数的最高次幂为1的多项式函数，其一般形式为y = mx + b，其中m 和b 是常数。

针对一次函数的动点问题，我们可以考虑一个点在直线上的运动情况。

假设有一条直线，用一次函数的方程y = mx + b 来表示，其中m 是斜率，b 是截距。

给定一点的初始位置(x₀, y₀)，我们可以根据一次函数的方程计算点在直线上的位置。

假设时间t 经过后，点的位置为(x, y)。

根据直线上任意一点的坐标计算公式，我们可以得到：
x = x₀+ vt,
y = y₀+ mt,
其中v 是点在x 轴上的速度，m 是斜率。

这样，我们可以通过给定初始位置、速度和斜率来描述一次函数的动点问题。

根据给定的条件和问题要求，我们可以进一步计算点的运动轨迹、到达特定位置的时间等。

需要注意的是，一次函数的动点问题通常与直线运动或直线关系有关，其中斜率和截距是重要的参数。

具体问题的解决方法和计算步骤可能会因问题的具体条件而有所不同，所以在解决具体问题时，需要根据问题的要求和给定条件来进行适当的数学建模和计算。

1用函数知识求解动点问题，需要将问题给合几何图形的性质,建立函数模型求解，解要符合题意，要注意数与形结合。

2.以一次函数为背景的问题，要充分运用方程、转化、函数以及数形结合等思想研究解决，注意自变量的取值范围例题1：如图，直线1l 的解析表达式为33y x =-+，且1l 与x 轴交于点D ，直线2l 经过点A B ，，直线1l ，2l 交于点C ．（1）求点D 的坐标；（2）求直线2l 的解析表达式；（3）求ADC △的面积；（4）在直线2l 上存在异于点C 的另一点P ，使得ADP △与ADC △的面积相等，请直接．．写出点P 的坐标．例题2：如图，在平面直角坐标系内，已知点A （0，6）、点B （8，0），动点P 从点A 开始在线段AO 上以每秒1个单位长度的速度向点O 移动，同时动点Q 从点B 开始在线段BA 上以每秒2个单位长度的速度向点A 移动,设点P 、Q 移动的时间为t 秒．(1) 求直线AB 的解析式；(2) 当t 为何值时，△APQ 的面积为524个平方单位？当堂巩固：如图，直线6y kx =+与轴、y 轴分别交于点E 、F ，点E 的坐标为（-8，0），点A 的坐标为（-6，0）。

（1）求k 的值；（2）若点P （x ，y ）是第二象限内的直线上的一个动点，在点P 的运动过程中，试写出△OPA 的面积S 与的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）探究：当点P 运动到什么位置时，△OPA 的面积为278，并说明理由。

课后检测： 1、如果一次函数y=-+1的图象与轴、y 轴分别交于点A 点、B 点，点M 在轴上，并且使以点A 、B 、M 为顶点的三角形是等腰三角形，那么这样的点M 有（ ）。

A ．3个B ．4个C ．5个D ．7个2、直线与y=-1与两坐标轴分别交于A 、B 两点，点C 在坐标轴上，若△ABC 为等腰三角形，则满足条件的点C 最多有（ ）.A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个4、如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线1y x =+与334y x =-+交于点A ，分别交x 轴于点B 和点C ，点D 是直线AC 上的一个动点．（1）求点A B C ，，的坐标．（2）当CBD △为等腰三角形时，求点D 的坐标．5、如图：直线3+=kx y 与轴、y 轴分别交于A 、B 两点，43=OA OB ，点C(,y)是直线y ＝＋3上与A 、B 不重合的动点。

一次函数之动点问题（讲义）一、知识点睛动点问题的特征是速度已知，主要考查运动的过程． 1. 一次函数背景下研究动点问题的思考方向：①把函数信息（坐标或表达式）转化为基本图形的信息； ②分析运动过程，注意状态转折，确定对应的时间范围； ③画出符合题意的图形，研究几何特征，设计解决方案． 2. 解决具体问题时会涉及线段长的表达，需要注意两点：①路程即线段长，可根据s =vt 直接表达已走路程或未走路程；②根据研究几何特征需求进行表达，既要利用动点的运动情况，又要结合基本图形信息．二、精讲精练1. 如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线334y x =-+与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点．点P 从点A 出发，以每秒1个单位的速度沿射线AO 匀速运动，设点P 的运动时间为 t 秒．（1）求OA ，OB 的长．（2）过点P 与直线AB 垂直的直线与y 轴交于点E ，在点P 的运动过程中，是否存在这样的点P ，使△EOP ≌△AOB ？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．y xOBA2. 如图，直线=3+43y x 与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，直线BC 与x 轴交于点C ，∠ABC =60°．（1）求直线BC 的解析式．（2）若动点P 从点A 出发沿AC 方向向点C 运动（点P 不与点A ，C 重合），同时动点Q 从点C 出发沿折线CB —BA 向点A 运动（点Q 不与点A ，C 重合），动点P 的运动速度是每秒1个单位长度，动点Q 的运动速度是每秒2个单位长度．设△APQ 的面积为S ，运动时间为t 秒，求S 与t 之间的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围． （3）当t =4时，y 轴上是否存在一点M ，使得以A ，Q ，M 为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．C ABOxy CABOxy3. 如图，在直角梯形COAB 中，OC ∥AB ，以O 为原点建立平面直角坐标系，A ，B ，C三点的坐标分别为A (8，0)，B (8，11)，C (0，5)，点D 为线段BC 的中点．动点P 从点O 出发，以每秒1个单位的速度，沿折线OA —AB —BD 的路线运动，至点D 停止，设运动时间为t 秒．（1）求直线BC 的解析式．（2）若动点P 在线段OA 上运动，当t 为何值时，四边形OPDC 的面积是梯形COAB 面积的14？（3）在动点P 的运动过程中，设△OPD 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围．P DCxA OByyBO A xCD4. 如图，直线334y x =-+与x 轴交于点A ，与直线33y x =交于点P ． （1）求点P 的坐标． （2）求△OP A 的面积．（3）动点E 从原点O 出发，以每秒1个单位的速度沿OA 方向向终点A 运动，过点E 作EF ⊥x 轴交线段OP 或线段P A 于点F ，FB ⊥y 轴于点B ．设运动时间为t 秒，矩形OEFB 与△OP A 重叠部分的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式．PFE xA OB y5. 如图，直线l 的解析式为y =-x +4，它与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，平行于直线l的直线m 从原点O 出发，沿x 轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动，它与x 轴、y 轴分别交于M ，N 两点，设运动时间为t 秒（0< t <4）． （1）求A ，B 两点的坐标；（2）用含t 的代数式表示△MON 的面积S 1；（3）以MN 为对角线作矩形OMPN ，记△MPN 和△OAB 重 叠部分的面积为S 2，试探究S 2与t 之间的函数关系式．xy OABm l PM N【参考答案】1．（1）OA =4，OB =3； （2）t =1或t =7 2．（1）343y x =-+（2）223(04)2343(48)2t t S t t t ⎧<⎪⎪=⎨⎪-+<<⎪⎩≤（3）123(0438)(0438)(043)M M M -+-，或，或，443(0)3M 或，3．（1）354y x =+（2）32t =（3）4(08)248(819)248(1924)t t S t t t t <⎧⎪=-+<⎨⎪-+<<⎩≤≤4．（1）(33)P ， （2）23（3）223(03)653163243(34)2tt S t t t ⎧<⎪⎪=⎨⎪-+-<<⎪⎩≤5．（1）(40)(04)A B ，,，（2）2112S t =（3）2221(02)2388(24)2t t S t t t ⎧<⎪⎪=⎨⎪-+-<<⎪⎩≤。

八年级数学一次函数动点问题1、如图 , 以等边△ OAB 的边 OB 所在直线为 x 轴, 点 O 为坐标原点 , 使点 A 在第一象限成立平面直角坐标系，此中△ OAB 边长为 6 个单位，点 P 从 O 点出发沿折线 OAB 向 B 点以 3 单位 / 秒的速度向 B 点运动, 点 Q 从 O 点出发以 2 单位 / 秒的速度沿折线 OBA 向 A 点运动，两点同时出发， 运动时间为 t （单位：秒），当两点相遇时运动停止 .① 点 A 坐标为 ________， P 、 Q 两点相遇时交点的坐标为 ________；② 当 t =2 时， S ；当 t =3 时， △____________； △OPQ ____________ S OPQ ③ 设△ OPQ 的面积为 S ，试求 S 对于 t 的函数关系式 ;④ 当△ OPQ 的面积最大时，试求在 y 轴上可否找一点 M ，使得以 M 、 P 、 Q 为极点的三角形是 Rt △，若能找到恳求出 M 点的坐标，若不可以找到请简单说明原因。

yyyAAAO B x O B x O B x2、如图，在平面直角坐标系内，已知点 A （ 0， 6）、点 B （8，0），动点 P 从点 A 开始在线段 AO 上以每秒 1 个单位长度的速度向点 O 挪动，同时动点 Q 从点 B 开始在线段 BA 上以每秒 2 个单位长度的速度向点 A 挪动 , 设点 P 、Q 挪动的时间为 t 秒． (1) 求直线 AB 的分析式；24(2) 当 t 为何值时，△ APQ 的面积为 5 个平方单位？3、如图，在 Rt △AOB中，∠ AOB=90°， OA=3cm，OB=4cm，以点 O 为坐标原点成立坐标系，设P、 Q 分别为 AB、OB边上的动点它们同时分别从点 A、O向 B 点匀速运动，速度均为 1cm/秒，设 P、Q 挪动时间为 t （ 0≤ t ≤ 4）。

一次函数动点问题例题如图,直线1l 的解析表达式为33y x =-+,且1l 与x 轴交于点D ,直线2l 经由点A B ，,直线1l ,2l 交于点C ． （1）求点D 的坐标;（2）求直线2l 的解析表达式; （3）求ADC △的面积;（4）在直线2l 上消失异于点C 的另一点P ,使得ADP △与ADC △的面积相等,请直接写出点P 的坐标．演习题如图,以等边△OAB 的边OB 地点直线为x 轴,点O 为坐标原点,使点A 在第一象限树立平面直角坐标系,个中△OAB 边长为6个单位,点P 从O 点动身沿折线OAB 向B 点以3单位/秒的速度向B 点活动,点Q 从O 点动身以2单位/秒的速度沿折线OBA 向A 点活动,两点同时动身,活动时光为t （单位：秒）,当两点相遇时活动停滞.①点A 坐标为_____________,P.Q 两点相遇时交点的坐标为________________;② 当t =2时,S =△OPQ ____________;当t =3时,OPQ S =△____________; ③ 设△OPQ 的面积为S ,试求S 关于t 的函数关系式;④当△OPQ 的面积最大时,试求在y 轴上可否找一点M,使得以M.P.Q 为极点xyOAB x yOAB xyOAB的三角形是Rt △,若能找到请求出M 点的坐标,若不克不及找到请简略解释来由.例题如图,在Rt △AOB 中,∠AOB=90°,OA=3cm,OB=4cm,以点O 为坐标原点树立坐标系,设P.Q 分离为AB.OB 边上的动点它们同时分离从点A.O 向B 点匀速活动,速度均为1cm/秒,设P.Q 移动时光为t （0≤t ≤4）（1）过点P 做PM ⊥OA 于M,求证：AM ：AO=PM ：BO=AP ：AB,并求出P 点的坐标（用t 暗示）（2）求△OPQ 面积S （cm 2）,与活动时光t （秒）之间的函数关系式,当t 为何值时,S 有最大值？最大是若干？（3）当t 为何值时,△OPQ 为直角三角形？（4）证实无论t 为何值时,△OPQ 都不成能为正三角形.若点P 活动速度不变转变Q 的活动速度,使△OPQ 为正三角形,求Q 点活动的速度和此时t 的值.演习题己知如图在直角坐标系中,矩形OABC 的对角线AC 地点直线的解析式33x（1）求线段AC .（2）动点P 从点C开端在线段CO单位长度的速度向点O 移动,动点Q 从点O 开端 在线段OA A （P.Q 两点同时开端移动）设P.Q 移动的时光为t 秒. S,求S 与t 之间的函数关系式, 并求出当t 为何值时,S 有最小值. （3）在坐标平面内消失如许的点M,30°,写出所有相符请求的点M的坐标.例题如图,在平面直角坐标系内,已知点A（0,6）.点B（8,0）,动点P从点A开端在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动,同时动点Q从点B开端在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动,设点P.Q移动的时光为t秒．24个平地契(1) 求直线AB的解析式;(3) 当t为何值时,△APQ的面积为5位？演习题如图,在平面直角坐标系中．四边形OABC是平行四边形．直线l经由O.C两点．点A的坐标为(8,o),点B的坐标为(11．4),动点P在线段OA上从点O动身以每秒1个单位的速度向点A活动,同时动点Q从点A动身以每秒2个单位的速度沿A→B→C的偏向向点C活动,过点P作PM垂直于x轴,与折线O一C—B订交于点M.当P.Q两点中有一点到达终点时,另一点也随t )．△MPQ的面积为S．之停滞活动,设点P.Q活动的时光为t秒(0（1）点C的坐标为___________,直线l的解析式为___________．(每空l分,共2分)（2）试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式,并写出响应的t的取值规模.（3）试求题(2)中当t为何值时,S的值最大,并求出S的最大值.（4）跟着P.Q两点的活动,当点M在线段CB上活动时,设PM的延伸线与直线l订交于点N.试探讨：当t为何值时,△QMN为等腰三角形？请直接写出t 的值．例题如图(1),在矩形ABCD中,AB=10cm,BC=8cm,点P从A动身, 沿A→B→C →D路线活动,到D停滞;点Q从D动身,沿D→C→B→A路线活动,到A停滞.若点P.点Q 同时动身,点P 的速度为1cm/s,点Q 的速度为2cm/s,as 时点P.点Q 同时转变速度,点P 的速度变成bcm/s,点Q 的速度变成dcm/s .图(2)是点P 动身x 秒后△APD 的面积S1(cm 2)与x(s)的函数关系图象;图(3)是点Q 动身x 秒后△AQD 的面积S 2(cm 2)与x(s)的函数关系图象. (1)参照图(2),求a.b 及图(2)中c 的值; (2)求d 的值;(3)设点P 分开点A 的旅程为y 1(cm),点Q 到A 还需走的旅程为y 2(cm), 请分离写出动点P.Q 转变速度后y 1.y 2与动身后的活动时光x(s)的函数关系式,并求出P.Q 相遇时x 的值;(4)当点Q 动身_______s 时,点P.点Q 在活动路线上相距的旅程为25cm. 演习题.如图,正方形ABCD 的边长为5,P 为CD 边上一动点,设DP 的长为x ,ADP ∆的面积为y ,y 与x 之间的函数关系式,及自变量x 的取值规模12．如图1,在直角梯形ABCD 中,动点P 从点B 动身,沿BC,CD 活动至点D 停滞．设点P 活动的旅程为x ,△ABP 的面积为y,假如y 关于x 的函数图象如图2所示,则△BCD 的面积是（ ） A ．3B ．4C ．5D ．613．如图,△ABC 和的△DEF 是等腰直角三角形,∠C=∠F=90°,AB=2.DE=4．点B 与点D 重合,点A,B(D),E 在统一条直线上,将△ABC 沿D E →偏向平移,至点A 与点图12 O5 x A B C P D 图2E 重应时停滞．设点B,D 之间的距离为x ,△ABC 与△DEF 重叠 部分的面积为y,则精确反应y 与x 之间对应关系的图象是（ ）40．如图,点G.D.C 在直线a 上,点E .F.A.B 在直线b 上,若a b Rt GEF ∥，△从如图所示的地位动身,沿直线b 向右匀速活动,直到EG 与BC 重合．活动进程中GEF △与矩形ABCD 重合部分的面积（S ）随时光（t ）变更的图象大致是 ）45．（2009年牡丹江）如图,平面直角坐标系中,在边长为1的正方形ABCD 的边上有一动点P 沿A B C D A →→→→活动一周,则P 的纵坐标y 与点P 走过的旅程s 之间的函数关系用图象暗示大致是（ ）46．如图,动点P 从点A 动身,沿线段AB 活动至点B 后,立刻按原路返回,点P在活动进程中速度大小不变,则以点A 为圆心,线段AP 长为半径的圆的面积S 与点P 的活动时光t 之间的函数图象大致为（ ）8．如图,正方形ABCD 的边长为10,点E 在CB 的延伸线上,10EB =,点P 在边CD 上活动（C .D 两点除外）,EP 与AB 订交于点F ,若CP x =,四边形FBCP 的面积为y ,则y 关于x 的函数关系式是．2.如图,直线6y kx =+与x 轴.y 轴分离交于点E.F,点E 的坐标为（-8,0）,点A 的坐标为（-6,0）. （1）求k 的值;OSt OSt OSt OStAPBA ．B ．C ．D ．（第8题）G DC a（第11题s t OA s t OB Cs t ODstO1 2 3 412ysO 1 2 3 41 2ys O s 1 2 3 41 2 ysO 1 2 3 41 2 yO A .B .C .D .PD CBFAE（2）若点P （x ,y ）是第二象限内的直线上的一个动点,在点P 的活动进程中,试写出△OPA 的面积S 与x 的函数关系式,并写出自变量x 的取值规模;（3）探讨：当点P 活动到什么地位时,△OPA 的面积为278,并解释来由.八年级数学《一次函数动点问题》演习题1.假如一次函数y=-x+1的图象与x 轴.y 轴分离交于点A 点.B 点,点M 在x 轴上,并且使以点A.B.M 为极点的三角形是等腰三角形,那么如许的点M 有（）.A ．3个B ．4个C ．5个D ．7个2.直线与y=x-1与两坐标轴分离交于A.B 两点,点C 在坐标轴上,若△ABC 为等腰三角形,则知足前提的点C 最多有（）.A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个3.直线643+-=x y 与坐标轴分离交于A.B 两点,动点P.Q 同时从O 点动身,同时到达A 点,活动停滞．点Q 沿线段OA 活动,速度为每秒1个单位长度,点P 沿路线O ⇒B ⇒A 活动． （1）直接写出A.B 两点的坐标;（2）设点Q 的活动时光为t （秒）,△OPQ 的面积为S,求出S 与t 之间的函数关系式; （3）当548=S 时,求出点P的坐标,并直接写出以点O.P.Q 为极点的平行四边形的第四个极点M 的坐标．4.如图,在平面直角坐标系xOy 中,直线1y x =+与334y x =-+交于点A ,分离交x 轴于点B 和点C ,点D 是直线AC 上的一个动点． （1）求点A B C ，，的坐标．AFEoyxA y xDCOBxyOBA（2）当CBD △为等腰三角形时,求点D 的坐标．（3）在直线AB 上是否消失点E ,使得以点E D O A ，，，为极点的四边形是平行四边形？5.如图：直线3+=kx y 与x 轴.y 轴分离交于A .B两点,43=OA OB ,点C(x ,y)是直线y ＝kx ＋3上与A .B 不重合的动点. （1）求直线3+=kx y 的解析式;（2）当点C 活动到什么地位时△AOC 的面积是6;（3）过点C 的另一向线CD 与y 轴订交于D 点,是否存在点C 使△BCD 与△AOB 全等？若消失,请求出点C 的坐标;若不消失,请解释来由.二.经典例题：1.已知,如图在边长为2的等边△ABC 中,E 是AB 边上不合于点A.点B 的一动点,过点E 作ED ⊥BC 于点D,过点D 作DH ⊥AC 于点H,过点H 作HF ⊥AB 于点F,设BE 的长为x ,AF 的长为y ;⑴求y 与x 的函数关系式,并写出自变量的规模; ⑵当x 为何值时,点E 与点F 重合,断定这时△EDH 为什么三角形（断定外形,不需证实）. 2.如图,点 A.B.C 的坐标分离是（0,4）,（2,4）,（6,0）.点M 是折线ABC 上一个动点,MN ⊥x 轴于N ,设ON 的长为x ,MN 左侧部分多边形的面积为S. ⑴写出S 与x 的函数关系式; ⑵当x =3时,求S 的值.3.如图,已知在平面直角坐标系中,直线l ：y =-21x +2分离交两坐标轴于A.B 两点,M 是线段AB 上一个动点,设M 的横坐标为x ,△OMB 的面积为S; ⑴写出S 与x 的函数关系式;⑵若△OMB 的面积为3,求点M 的坐标; ⑶当△OMB 是以OB 为底的等腰三角形时,求它的面积; ⑷画出函数s 图象. 四.自我检测：如图,直线OC.BC 的函数关系式分离为y =x 和y =-2x +6,动点P(x ,0)在OB上移动(0<x <3), ⑴求点C 的坐标;⑵若A 点坐标为（0,1）,当点P 活动到什么地位时(它的坐标是什么),AP+CP 最小;⑶设△OBC 中位于直线PC 左侧部分的面积为S,求S 与x 之间的函数关系式. 功课：1.一次函数的图象交x 轴于点A （-6,0）,与y 轴交于B,若△AOB 的面积为12,且y 随x 的增大而削减,求一次函数的解析式.2.直线y =－x ＋2与x 轴,y 轴分离交于点A 和点B,另一向线y =kx ＋b 经由点C （1,0）,且把△AOB 分成两部分面积相等,求k 和b 的值. 例1如图1,点A 的坐标为(1,0),点B 在直线y x =-上活动,当线段AB 最短时,点B 的坐标为A ．（0,0）B ．（12,－12）图1MlMyxOBACD例2如图2,在矩形ABCD 中,动点P 从点B 动身,沿BC.CD.DA 活动至点A 停滞,设点P 活动的旅程为x,△ABP 的面积为y,假如y 关于x 的函数图象如图2所示,则△ABC 的面积是（ ）A.10B.16C.18D.20动点问题1.如图,正方形ABCD 的边长为6cm,动点P从A 点动身,在正方形的边上由A→B→C→D 活动,设活动的时光为t（s ）,△APD 的面积为S （cm 2）,S 与t 的函数图象如图所示,请答复下列问题：（1）点P 在AB 上活动时光为s,在CD 上活动的速度为cm/s,△APD 的面积S 的最大值为 cm 2;（2）求出点P 在CD 上活动时S 与t 的函数解析式; （3）当t 为s 时,△APD 的面积为10cm 2．2.如图1,等边△ABC 中,BC=6cm,现有两个动点P.Q 分离从点A 和点B 同时动身,个中点P 以2cm/s 的速度沿AB 向终点B 移动;点Q 以1cm/s 的速度沿BC 向终点C 移动,个中一点到终点,另一点也随之停滞．衔接PQ,设动点活动时光为x 秒．（图2.图3备用）（1）填空：BQ=,PB=（用含x 的代数式暗示）; （2）当x 为何值时,PQ∥AC？94xyOPD图2（3）当x为何值时,△PBQ为直角三角形？3.如图,矩形ABCD中,AB=6,BC=8,点P从A动身沿A→B→C→D的路线移动,设点P移动的路线为x,△PAD的面积为y．（1）写出y与x之间的函数关系式,并在坐标系中画出这个函数的图象．（2）求当x=4和x=18时的函数值．（3）当x取何值时,y=20,并解释此时点P在矩形的哪条边上．4.如图1,在矩形ABCD中,点P从B点动身沿着四边按B→C→D→A偏向活动,开端以每秒m个单位匀速活动,a秒后变成每秒2个单位匀速活动,b秒后又恢复为每秒m个单位匀速活动．在活动进程中,△ABP的面积S与活动时光t 的函数关系如图2所示．（1）求矩形ABCD的长和宽;（2）求m.a.b的值5.如图1所示,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,∠B=90°．动点P从点B动身,沿梯形的边由B→C→D→A活动．设点P活动的旅程为x,△ABP的面积为y．把y看作x的函数,函数的图象如图2所示,试求当0≤x≤9时y与x的函数关系式．6.如图1,在矩形ABCD中,AB=12cm,BC=6cm,点P从A点动身,沿A→B→C→D路线活动,到D点停滞;点Q从D点动身,沿D→C→B→A活动,到A点停滞．若点P.点Q同时动身,点P的速度为每秒1cm,点Q的速度为每秒2cm,a 秒时点P.点Q同时转变速度,点P的速度变成每秒b（cm）,点Q的速度变成每秒c（cm）．如图2是点P动身x秒后△APD的面积S1（cm2）与x（秒）的函数关系图象;图3是点Q动身x秒后△AQD的面积S2（cm2）与x（秒）的函数关系图象．依据图象：（1）求a.b.c的值;（2）设点P分开点A的旅程为y1（cm）,点Q到点A还须要走的旅程为y2（cm）,请分离写出转变速度后y1.y2与动身后的活动时光x（秒）的函数关系式,并求出P与Q相遇时x的值．。

一次函数的动点问题类型一 面积问题 23. 如图，直线133+-=x y 和两坐标轴交于点B A ,, 以线段AB 为边在第一象限作等边三角形ABC ， 存在点)21,(m P ， 使ABC ∆的面积与ABP ∆的面积相等，求m 的值。

练习1 已知如图，直线121+-=x y 和两坐标轴交于点B A ,, 把线段AB 绕点A 顺时针旋转90°得到线段'AB . （1）求直线'AB 的解析式。

(2) 若动点),1(a C 使得'ABB ABC S S ∆∆=的面积相等，求a 的值。

练习2 如图，已知一次函数b x y +-=21的图像过)3,2(A , x AB ⊥轴于点B ， 连接OA 。

（1）求一次函数解析式。

（2）设点P 为直线b x y +-=21上一点，且在第一象限内，经过点P （不与A 重合）作x 轴的垂线，若AOB POQ S S ∆∆=, 求点P 的坐标。

练习3 已知)0,0(),0,2(),2,0(C B A 三个点为顶点的三角形被直线a ax y -=分成两部分， （1）填空: 不论a 为何值，直线a ax y -=必定经过一顶点C ， 则该顶点为 。

（2）若所分的两部分面积之比为7:1， 求a 的值。

如图， 已知直线42+=x y 的图像交两坐标轴于点B A ,, 点C 为OB 的中点，直线l 经过点C ，与AB 交于点D , 把AOB ∆的面积分为2:1， 求直线l 的解析式。

如图，直线32+=x y 与x 轴交于点A ， 与y 轴交于点B 。

（1）求点B A ,的坐标。

（2）过点B 作直线BP 与x 轴交于点P ， 若415=∆ABP S , 求直线BP 的解析式。

二 动点问题一条直线上顺次有C B A ,,三个港口，甲乙两船分别从B A ,港口出发，沿直线行驶到C 港口，最终到达C 港口在一条直线上依次有A 、B 、C 三个港口,甲乙两船同时分别从A 、B 港口出发,沿直线匀速驶向C 港．最终到达C 港.设甲、乙两船行驶x(h)后,与B 港的距离分别为y1、y2（km ）,y1、y2与x 的函数关系如图所示.（1）填空：A 、C 两港口间的距离____km,a= _____； （2）求图中点P 的坐标,并解释该点坐标所表示的实际意义；（3）若两船的距离不超过10km 时能够相互望见,求甲、乙两船可以相互望见时,x 的取值范围．两城B A ,间的公路长为450千米，甲、乙两车同时从A 城出发沿这一公路驶向B 城，甲车到达B 城1小时后沿原路返回．如图是它们离A 城的路程y （千米）与行驶时间 x （小时）之间的函数图像． （1）求甲车返回过程中y 与x 之间的函数解析式，并写出x 的取值范围； （2）乙车与返回的甲车相遇距离B 城还有多远？特殊三角形问题已知)4,4(A, 在y轴上找一点C，使得ABC0,1(B),为等腰三角形，求出点C的坐标。

一次函数之动点问题（讲义）➢ 课前预习1. 由点的运动（速度已知）产生的几何问题称为动点问题．动点问题的解决方法： （1）研究_________________； （2）分析_________________，分段； （3）表达_________________，建方程．2. 根据前期训练的标准动作及上述内容，完成下题．如图，△ABC 是边长为6的等边三角形．动点P 从点A 出发，沿折线AB -BC 以每秒2个单位长度的速度运动，过点P 作PQ ⊥AC 于点Q ．设点P 运动的时间为t 秒，请用含t 的式子分别表达出PQ 和AQ 的长．思路分析：3s 3s2/s :06P A B C t −−→−−→≤≤（）（） ①当03t ≤≤时，PQ =_________，AQ =__________；②当36t <≤时，PQ =_________，AQ =__________．3. 用铅笔做讲义第1，2题，并将计算、演草保留在讲义上，先看知识点睛，再做题，思路受阻时（某个点做了2~3分钟）重复上述动作，若仍无法解决，课堂重点听．➢ 知识点睛1. 动点问题的特征是____________，主要考查运动的________．Q B P C A2.一次函数背景下解决动点问题的思考方向：（1）研究背景图形把函数信息（坐标或表达式）转化为背景图形的信息（2）分析运动过程，分段、定范围分析运动过程常借助运动状态分析图：①起点、终点、速度——确定时间范围②状态转折点——决定分段③所求目标——明确方向（3）分析几何特征、表达、设计方案求解分段画图，表达相关线段长，列方程求解，回归范围进行验证．➢精讲精练取值范围．（这里规定：线段是面积为零的三角形）（2）当12t≤≤时，是否存在某一时刻，使得△OEF是等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．4.如图，点A在直线y 上，过点A作AC⊥x轴于点C，AC=2，过点A作AB⊥y轴于点B．动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿O→B→A→O的路线向点O运动；同时动点Q以相同的速度沿C→A→O→C 的路线向点C运动，设点P运动的时间为t（秒）．（1）设△OPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．（这里规定：线段是面积为零的三角形）（2）当点Q在OC上运动时，是否存在某一时刻，使△OPQ是等腰三角形？若存在，求出相应的t值；若不存在，请说明理由．【参考答案】➢课前预习1.（1）背景图形；（2）运动过程；（3）线段长2.，t；②+t.➢知识点睛1.速度已知，过程➢精讲精练1.22042482tSt<⎪⎪=⎨⎪-+<<⎪⎩≤（）（）2.2222122 22(2422tS t t tt t<⎪⎪⎪⎪=-+<⎨-+++<<+⎪⎩≤（）（3.（1）221(0)1(12)41(212t S t tt t⎪⎪⎪=-+<⎨⎪⎪-<+⎪⎪⎩≤≤≤≤（2）存在，t14.（1）2202132240261696642tt tStt t⎪++<+⎪⎪=⎨+<⎪⎪⎪-+--<+⎪⎩≤≤≤≤≤（）（）（））（2）存在，t的值为39+。

一次函数中的动点运动问题一次函数中的动点问题一直是难点。

其难度在于:①直线或点的旋转、平移、翻折运动；②因动直线或动点产生的面积问题；③因动点产生的三角形存在性问题。

解法分析：本题的第1问是点的平移，点的平移运动遵循“上加下减，左减右加”；本题的第2问是直线的左右平移，尽管是新的背景，但是直线的平移就是直线上点的平移运动，只要找准直线上的一个点进行平移运动，代入即可；本题的第3问是点的旋转运动，经过的路径长就是以O为圆心，AO为半径，圆心角为90°的弧长；本题的第4问是直线的旋转运动，只要求出直线上的任意两点(一般选与坐标轴的两交点)绕旋转中心旋转后的对应点，即可求出型的直线表达式。

(旋转后构造“一线三直角模型”，即可求出旋转后对应点的坐标)对于直线的左右平移按照以下方法进行：①从直线上任意取一点进行左右平移，得到平移后的点的坐标；②设出平移后的直线表达式；③将平移后的点代入平移后的表达式中，即可求出b，得到新的表达式。

对于平面直角坐标系中点的旋转运动，往往可以通过构造一线三直角模型，借助全等三角形找到对应的等边。

解法分析：本题的第1问和第2问是手拉手旋转型模型，难度不大，围绕旋转角相等，证明▲AOE'≌▲BOF'，即可得到AE'=BF'，AE'⊥BF'。

本题的第3问是求P纵坐标的最大值，这是本题的难点，从动态的角度来看，当P与D'重合时，可以求得点P的纵坐标的最大值。

通过画出图形，进行分析，可以得到此时∠A为30°，以此通过30°-60°-90°直角三角形的性质得到点P的纵坐标。

因动点产生的三角形存在性问题有以下几类：①等腰三角形的存在性问题(设点、利用距离公式，线段相等即可求出点的坐标)；②直角三角形的存在性问题(设点，利用距离公式和勾股定理求出点的坐标)；③等腰直角三角形的存在性问题(根据题意画出图形，利用等腰直角三角形的性质求出点的坐标)。