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定积分的概念教案一、教学目标：1.了解定积分的定义和计算方法；2.掌握定积分的性质和应用；3.培养学生的数学计算能力和逻辑思维能力。
二、教学内容：1.定积分的定义；2.定积分的计算方法；3.定积分的性质和应用。
三、教学重点：1.定积分的定义；2.定积分的计算方法。
四、教学难点：1.定积分的性质和应用；2.定积分与原函数的关系。
五、教学过程：Step 1 引入教师与学生展开对话，探讨学生对积分的了解：教师：同学们，你们对积分有什么了解？学生：积分就是求和。
教师：不错，积分的确是求和，但是定积分具体是什么呢？我们一起来探讨一下。
Step 2 定积分的定义教师向学生介绍定积分的定义：教师：定积分是微积分的一个重要概念，表示函数曲线与x轴之间的面积。
我们用符号∫来表示定积分，函数f(x)的定积分表示为∫f(x)dx，在积分号下面写上被积函数，dx表示自变量。
Step 3 定积分的计算方法教师通过示例向学生演示定积分的计算方法：教师：我们以函数f(x)=x^2为例，计算f(x)在区间[1,3]上的定积分。
教师在黑板上写下∫(1→3)x^2dx，并进行具体的计算步骤解释。
Step 4 定积分的性质和应用教师向学生介绍定积分的性质和应用，并通过例题进行讲解：教师：定积分具有线性性质、区间可加性和变量替换的性质，同时也可以用于计算面积、体积、质量等。
我们来看一个例题，计算函数f(x)=x在区间[-2,2]上的定积分，并解释其实际意义。
Step 5 定积分与原函数的关系教师引导学生思考定积分与原函数的关系：Step 6 总结与归纳教师与学生总结本节课的内容，并归纳出定积分的概念和性质：教师：同学们，通过本节课的学习，我们初步了解了定积分的定义、计算方法和性质。
下节课我们将进一步学习定积分的应用。
大家要做好预习哦！六、教学反思本节课通过引入、定义、示例演算等方式，使学生初步了解了定积分的概念和计算方法。
通过例题讲解，学生对定积分的应用有了基本的认识。
定积分的概念说课稿定积分的概念说课稿作为一名默默奉献的教育工作者，就有可能用到说课稿，说课稿有助于提高教师的语言表达能力。
说课稿要怎么写呢？下面是小编为大家整理的定积分的概念说课稿，仅供参考，大家一起来看看吧。
众所周知，高等数学是工科专业最重要的课程之一。
其重要的原因不仅在于可以学到一些数学概念、公式和结论，为其他数学课和专业课的学习打好基础，更重要的是通过学习数学可以培育人的理性思维品格和思辩能力，能启迪智慧，开发创造力。
下面，笔者将从教材、教法、设计理念以及教学设计四个方面，介绍“定积分的概念”这节课。
一、说教材分析课程定位：高等数学在高职（专）院校的教学计划中是一门重要的公共基础理论课。
通过本课程的学习，使学生获得够用的微积分、向量代数及空间解析几何的基本知识、必要的基础理论和常用的运算方法，为学习后续课程，特别是专业课程的学习和进一步扩展数学知识奠定必要的基础。
地位作用：本节课选自世纪数学教育信息化精品教材《高等数学》第五章第一节定积分的概念，是高等数学中最主要的经典理论，是学生进入“积分”世界必须跨过的第一道门槛。
这节课上承导数、不定积分，下接定积分在几何、物理、经济、电工学等其他学科中的应用。
教学内容：本节内容为定积分概念，主要包括三方面内容：两个引例——曲边梯形的.面积和变速直线运动的路程；定积分的定义及几何意义；定积分的性质。
教学目标：知识目标——通过探求曲边梯形的面积，使学生了解“分割、近似、求和、取极限”的思想方法；能力目标——通过类比“割圆术”，引导学生萌发“以直代曲”的想法，逐步培养学生的辨证思维能力和知识迁移的能力；情感目标——从实践中创设情境，渗透“化整为零零积整”的辨证唯物观，培养学生的创新意识和科技服务于生活的人文精神。
二、说教学方法学情分析：学生参加过高考，具备一定初等数学基础知识，但学生学高等数学的基础不扎实。
教学方法：数学课程对于高职学生来说，往往难度很大，教学时力求从学生已有知识和实际学习情况出发引入新课，启发、诱导学生参与教学活动，提出问题、分析问题、解决问题，适当采用自学辅导法（阅读教材）、通过以上方法的运用，让学生掌握重点知识，突破难点，提高应用知识的能力。
1.5.3．定积分的概念一、复习回顾：1． 回忆前面曲边梯形的面积，汽车行驶的路程等问题的解决方法，解决步骤：2．上述两个问题的共性是什么？二、新知探究1．定积分的概念注：说明：（1）定积分()ba f x dx ⎰是一个 ，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时）记为()ba f x dx ⎰，而不是n S ．（2）用定义求定积分的一般方法是：（3）曲边图形面积：变速运动路程：变力做功：例1：利用定积分的定义,计算dx x ⎰102 、 dx x ⎰103 的值.2．定积分的性质根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：性质1⎰b a dx x kf )(= ； 性质2 dx x g x f b a⎰±)]()([= 性质3 ⎰⎰=ca b a dx x f dx x f )()(+ 3．定积分的几何意义从几何上看，如果在区间[],a b 上函数()f x 连续且恒有()0f x ≥，那么定积分()ba f x dx ⎰表示由直线 和曲线 所围成的曲边梯形(如图中的阴影部分)的面积，这就是定积分()b a f x dx ⎰的 几何意义。
思考：（1）在[,]a b 上0)(≥x f ，()b a f x dx ⎰= （2）在[,]a b 上0)(≤x f ，()ba f x dx ⎰=（3）在[,]a b 上)(x f 变号，()ba f x dx ⎰=⑤练习：1、利用定积分的几何意义，判断下列定积分值的正、负号。
（1）dx x ⎰20sin π（2）dx x ⎰-212 （3）dx x ⎰-1232、利用定积分的几何意义，说明下列各式成立（1）0sin 22=⎰-dx x ππ ， 0sin 20=⎰dx x π （2）dx x dx x ⎰⎰=200sin 2sin ππ3、计算下列定积分（1）dx b a ⎰1 （2）11x dx -⎰． （3） 50(24)x dx -⎰（4）dx x ⎰-1021 （5）120(2)x x dx -⎰三、课堂小结：①定积分的概念及性质②用定义法求简单的定积分③定积分的几何意义。
教案图4.1图AB的很慢，有的根本听不懂，基于这些特点，结合教学内容，我以板书教学为主，多媒体教学为辅，把概念较强的课本知识直观化、形象化，引导学生探索性学习。
六、教学方法：根据对学生的学情分析，本次课主要采用案例教学法，问题驱动教学法，讲与练互相结合，以教师的引导和讲解为主，同时充分调动学生学习的主动性和思考问题的积极性。
七、教学手段：传统教学与多媒体资源相结合。
八、教学时数：1课时。
九、教学过程：1、由两个实际例子引出定积分的概念.定积分是积分学的另一个重要的基本概念，和导数概念一样，它也是在解决各种实际问题中逐渐形成并发展起来的，现已成为解决许多实际问题的有力工具．本节将首先从实际问题出发引出定积分的概念，并介绍定积分的几何意义．例1 求曲边梯形的面积．初等数学可以计算多边形、圆形和扇形等规则图形的面积，但对于较复杂的曲线所围成的图形(图4.1)的面积计算则无能为力．如图所示，我们总可以用若干互相垂直的直线将图形分割成如阴影部分所示的基本图形，它是由两条平行线段，一条与之垂直的线段，以及一条曲线弧所围成，这样的图形称为曲边梯形．特别地，当平行线之一缩为一点时，称为曲边三角形．那么，为什么要研究曲边梯形呢？因为求任何曲线围成的几何图形的面积，都可归结为求若干个曲边梯形的面积的代数和. 现把问题归结如下：求由直线0,,===y b x a x 和连续曲线)(x f y =(()0)f x ≥所围成的曲边梯形AabB (图4.2)的面积S ．如果曲边梯形的高不变,即C y =(常数),则根据矩形面积公式 面积=底⨯高)n .2)n , 作积分和∑==∆ni i i x 12ξ)12n +. n λ→∞⇔概念?。
定积分的概念说课稿华洪涛（河南科技学院）尊敬的各位评委老师大家好，我是来自河南科技学院的教师华洪涛，我今天说课的题目是“高等数学第五章第一节定积分的概念”。
一、教材分析1、课程定位：高等数学在理工院校的教学计划中是一门重要的公共基础理论课。
通过本课程的学习，使学生获得的微积分、向量代数及空间解析几何的基本知识和常用的运算方法，为后续课程，特别是专业课程的学习和进一步扩展数学知识奠定必要的基础。
2、地位与作用第五章第一节定积分的概念，是高等数学中最主要的经典理论，是学生进入“积分”世界必须跨过的第一道门槛。
这节课上承极限的运算、导数、不定积分，下接定积分的性质、计算，以及定积分在几何、物理、经济、电工学等其他学科中的应用。
正确理解定积分的概念及几何意义有助于进一步讨论定积分的性质与计算方法。
3、教学重点、难点，及学情分析教学重点：定积分的基本思想方法，定积分概念的形成过程。
教学难点：定积分概念的理解，关键是理解定积分定义的“四步曲”及定积分的几何意义。
学生情况分析：学生已经学习过极限和微分，接受了近似值转化为精确值和以直代曲的数学事实。
但是对于概念性知识的理解，特别是将概念性的知识运用于实践还比较欠缺。
二、教学目标1、知识目标：理解定积分的定义与几何意义，掌握可积性条件，会用定义与几何意义计算简单函数的定积分。
2、能力目标：逐步培养学生的辨证思维能力和知识迁移的能力，提高学生的抽象思维能力、探索能力和高等数学语言表达能力。
3、情感目标：引导学生进一步体会“以直代曲”的数学思想，渗透“化整为零零积整”的辨证唯物观，培养学生勇于探索新知的科学态度，克服畏难心理。
三、教法学法定积分的概念比较抽象，本节课以学生自主探索和教师的引导相结合的方式。
在教学中采用黑板和多媒体相结合，激发学生的学习兴趣，并加深对积分四步曲（大化小、常代变、近似和、取极限）的理解。
在教学中由曲边梯形的面积和变速直线运动的路程引出定积分的定义，实际探索方案如下：教法：引导探究法与讲解法（把曲边梯形面积问题转化为小规则图形面积问题）1、曲边梯形的面积→若干小曲边梯形的面积→若干小矩形的面积。
个性化教学辅导教案学生活动——进门测 评分_____（老师根据学生情况进行添加）1．将区间[1,3]进行10等分需插入________个分点，第三个区间是________． 答案：9 [1.4,1.6]2．做直线运动的物体的速度v ＝2t (m/s)，则物体在前3 s 内行驶的路程为________ m. 答案：93.⎠⎛02x d x 的值为( )A ．1 B.12 C ．2 D ．－2答案：C4．已知⎠⎛02f (x )d x ＝8，则( ) A.⎠⎛01f (x )d x ＝4 B.⎠⎛02f (x )d x ＝4C.⎠⎛01f (x )d x ＋⎠⎛12f (x )d x ＝8 D ．以上答案都不对 答案：C5．已知⎠⎛0tx d x ＝2，则⎠⎛－t 0x d x ＝________. 答案：－2曲边梯形的面积 汽车行驶的路程1．连续函数如果函数y ＝f (x )在某个区间I 上的图象是一条连续不断的曲线，那么就把它称为区间I 上的连续函数．2．曲边梯形的面积(1)曲边梯形：由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的图形称为曲边梯形(如图①)． (2)求曲边梯形面积的方法与步骤：①分割：把区间[a ，b ]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形 (如图②)； ②近似代替：对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值(如图②)；③求和：把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值求和；④取极限：当小曲边梯形的个数趋向无穷时，各小曲边梯形的面积之和趋向一个定值，即为曲边梯形的面积．3．求变速直线运动的位移(路程)如果物体作变速直线运动，速度函数为v ＝v (t )，那么也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，求出它在a ≤t ≤b 内所作的位移s .[点睛] 当n →＋∞时，所得梯形的面积不是近似值，而是真实值．求曲边梯形的面积[典例] 求直线x ＝0，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝x 2＋1所围成的曲边梯形的面积[参考公式12＋22＋…＋n 2＝16n (n ＋1)(2n ＋1)]．[解] 令f (x )＝x 2＋1.(1)分割：将区间[0,2]n 等分，分点依次为 x 0＝0，x 1＝2n ，x 2＝4n ，…，x n －1＝2(n －1)n，x n ＝2.第i 个区间为⎣⎡⎦⎤2i －2n ， 2i n (i ＝1,2，…，n )，每个区间长度为Δx ＝2i n －2i －2n ＝2n.(2)近似代替、求和：取ξi ＝2in (i ＝1,2，…，n )，S n ＝∑i ＝1nf ⎝⎛⎭⎫2i n ·Δx ＝∑i ＝1n⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2i n 2＋1·2n＝8n 3∑i ＝1n i 2＋2＝8n 3(12＋22＋…＋n 2)＋2 ＝8n 3·n (n ＋1)(2n ＋1)6＋2＝43⎝⎛⎭⎫2＋3n ＋1n 2＋2. (3)取极限：S ＝S n ＝⎣⎡⎦⎤43⎝⎛⎭⎫2＋3n ＋1n 2＋2 ＝143，即所求曲边梯形的面积为143.求曲边梯形面积(1)思想：以直代曲．(2)步骤：分割→近似代替→求和→取极限． (3)关键：近似代替．(4)结果：分割越细，面积越精确． [活学活用]求由直线x ＝1，x ＝2，y ＝0及曲线y ＝x 3所围成的图形的面积．⎝⎛⎭⎫提示：13＋23＋…＋n 3＝⎣⎡⎦⎤12n (n ＋1)2 解：①分割．如图所示，用分点n ＋1n ，n ＋2n ，…，n ＋(n －1)n ，把区间[1,2]等分成n个小区间⎣⎡⎦⎤1，n ＋1n ，⎣⎡⎦⎤n ＋1n ，n ＋2n ， …，⎣⎡⎦⎤n ＋i －1n ，n ＋i n ，…，⎣⎡⎦⎤n ＋(n －1)n ，2，每个小区间的长度为Δx ＝n ＋i n －n ＋i －1n ＝1n (i ＝1,2,3，…，n )．过各分点作x 轴的垂线，把曲边梯形ABCD 分割成n 个小曲边梯形，它们的面积分别记作ΔS 1，ΔS 2，…，ΔS n .②近似代替．各小区间的左端点为ξi ，取以点ξi 的纵坐标ξ3i 为一边，以小区间长Δx ＝1n为其邻边的小矩形面积，近似代替小曲边梯形面积．第i 个小曲边梯形面积，可以近似地表示为ΔS i ≈ξ3i ·Δx ＝⎝⎛⎭⎫n ＋i －1n 3·1n (i ＝1,2,3，…，n )．③求和．因为每一个小矩形的面积都可以作为相应的小曲边梯形面积的近似值，所以n 个小矩形面积的和就是曲边梯形ABCD 面积S 的近似值，即S ＝∑i ＝1nΔS i ≈∑i ＝1n⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫n ＋i －1n 3 ·1n . ④取极限．当分点数目越多，即Δx 越小时，和式的值就越接近曲边梯形ABCD 的面积S .因此n →∞，即Δx →0时，和式的极限，就是所求的曲边梯形ABCD 的面积．因为∑i ＝1n⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫n ＋i －1n 3·1n ＝1n 4∑i ＝1n(n ＋i －1)3 ＝1n 4∑i ＝1n[(n －1)3＋3(n －1)2i ＋3(n －1)i 2＋i 3] ＝1n 4[n (n －1)3＋3(n －1)2·n (n ＋1)2＋3(n －1)·n 6·(n ＋1)·(2n ＋1)＋14n 2(n ＋1)2]， 所以S ＝∑i ＝1n⎝⎛⎭⎫n ＋i －1n 3·1n＝1＋32＋1＋14＝154.求变速运动的路程[典例] 一辆汽车作变速直线运动，设汽车在时间t 的速度v (t )＝6t 2，求汽车在t ＝1到t ＝2这段时间内运动的路程s .[解] (1)分割：把区间[1,2]等分成n 个小区间⎣⎡⎦⎤n ＋i －1n ，n ＋i n (i ＝1,2，…，n )，每个区间的长度Δt＝1n，每个时间段行驶的路程记为Δs i (i ＝1,2，…，n )．故路程和s n ＝∑i ＝1ns i .(2)近似代替：ξi ＝n ＋i －1n (i ＝1,2，…，n )，Δs i ≈v ⎝⎛⎭⎫n ＋i －1n ·Δt ＝6·⎝⎛⎭⎫n n ＋i －12·1n＝6n (n ＋i －1)2 ≈6n(n ＋i －1)(n ＋i )(i ＝1,2,3，…，n )．(3)求和：s n ＝∑i ＝1n6n(n ＋i －1)(n ＋i )＝6n ⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1＋1n ＋1－1n ＋2＋…＋12n －1－12n＝6n ⎝⎛⎭⎫1n －12n .(4)取极限：s ＝lim n →∞ s n ＝lim n →∞ 6n ⎝⎛⎭⎫1n －12n ＝3.求变速直线运动路程的方法求变速直线运动路程的问题，方法和步骤类似于求曲边梯形的面积，用“以直代曲”“逼近”的思想求解．求解过程为：分割、近似代替、求和、取极限．应特别注意变速直线运动的时间区间．[活学活用]已知一质点的运动速度为v (t )＝6t 2＋4(单位：m/s)，求质点开始运动后5 s 内通过的路程． 解：(1)分割在时间区间[0,5]上等间隔地插入n －1个点，将区间等分成n 个小区间⎣⎡⎦⎤0，5n ，⎣⎡⎦⎤5n ，10n ，…，⎣⎡⎦⎤5(i －1)n ，5i n ，…，⎣⎡⎦⎤5n －5n ，5，其中，第i (1≤i ≤n )个小区间为⎣⎡⎦⎤5(i －1)n ，5i n ，其区间长度为5i n －5(i －1)n ＝5n，每个小时间段内的路程记为s 1，s 2，…，s n . (2)近似代替根据题意可得第i (1≤i ≤n )个小时间段内的路程为Δs i ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫6⎣⎡⎦⎤5(i －1)n 2＋4·5n＝750(i －1)2n 3＋20n .(3)求和每个小时间段内的路程之和为 S n ＝∑i ＝1n⎣⎡⎦⎤750(i －1)2n 3＋20n ＝750n 3[02＋12＋22＋…＋(n －1)2]＋20 ＝750n 3·16(n －1)n (2n －1)＋20 ＝125n 2(2n 2－3n ＋1)＋20. (4)取极限当n →∞时，S n 的极限值就是所求质点运动的路程， s ＝lim n →∞S n ＝lim n →∞⎣⎡⎦⎤125n2(2n 2－3n ＋1)＋20＝270， 即质点运动的路程为270 m.定积分的概念1．定积分的概念与几何意义(1)定积分的概念：一般地，设函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n＝b 将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式∑i ＝1nf(ξ i )Δx ＝∑i ＝1nb －an f (ξ i )，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛a bf (x )d x ，即⎠⎛a bf (x )d x ＝lim n →∞∑i ＝1n b －a n f (ξ i )，这里，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式．(2)定积分的几何意义：如果在区间[a ，b ]上函数连续且恒有f (x )≥0，那么定积分⎠⎛a bf (x )d x 表示由直线x ＝a ，x ＝b (a <b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积(如图中的阴影部分的面积)．[点睛] 利用定积分的几何意义求定积分的关注点(1)当f (x )≥0时，⎠⎛a bf (x )d x 等于由直线x ＝a ，x ＝b ，y ＝0与曲线y ＝f (x )围成曲边梯形的面积，这是定积分的几何意义．(2)计算⎠⎛a bf (x )d x 时，先明确积分区间[a ，b ]，从而确定曲边梯形的三条直边x ＝a ，x ＝b ，y ＝0，再明确被积函数f (x )，从而确定曲边梯形的曲边，这样就可以通过求曲边梯形的面积S 而得到定积分的值：当f (x )≥0时，⎠⎛a bf (x )d x ＝S ；当f (x )<0时，⎠⎛a bf (x )d x ＝－S .2．定积分的性质(1)⎠⎛a bkf (x )d x ＝k ⎠⎛a bf (x )d x (k 为常数)．(2)⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛a bf 2(x )d x .(3)⎠⎛a bf (x )d x ＝⎠⎛a cf (x )d x ＋⎠⎛c bf (x )d x (其中a <c <b )．利用定义求定积分[典例] 利用定义求定积分⎠⎛03x 2d x . [解] 令f (x )＝x 2，(1)分割：在区间[0,3]上等间隔地插入n －1个点，把区间[0,3]分成n 等份，其分点为x i ＝3i n (i ＝1,2，…，n －1)，这样每个小区间[x i －1，x i ]的长度Δx ＝3n(i ＝1,2，…，n )．(2)近似代替、求和：令ξi ＝x i ＝3i n (i ＝1,2，…，n )，于是有和式：∑i ＝1n f (ξi )Δx ＝∑i ＝1n ⎝⎛⎭⎫3i n 2·3n ＝27n 3∑i ＝1n i 2＝27n 3·16n (n ＋1)(2n ＋1)＝92⎝⎛⎭⎫1＋1n ⎝⎛⎭⎫2＋1n . (3)取极限：根据定积分的定义，有⎠⎛03x 2d x ＝∑i ＝1nf (ξi )Δx＝⎣⎡⎦⎤92⎝⎛⎭⎫1＋1n ⎝⎛⎭⎫2＋1n ＝9.用定义求定积分的一般步骤(1)分割：n 等分区间[a ，b ]；(2)近似代替：取点ξi ∈[x i －1，x i ]，可取ξi ＝x i －1或ξi ＝x i ； (3)求和：∑i ＝1nf (ξi )·b －an ；(4)取极限：⎠⎛a bf (x )＝limn →∞∑i ＝1n f (ξi )·b －a n .[活学活用]利用定积分的定义计算⎠⎛12(－x 2＋2x )d x 的值． 解：令f (x )＝－x 2＋2x . (1)分割在区间[1,2]上等间隔地插入n －1个分点，把区间[1,2]等分为n 个小区间⎣⎡⎦⎤1＋i －1n ，1＋i n (i ＝1,2，…，n )，每个小区间的长度为Δx ＝1n.(2)近似代替、求和取ξi ＝1＋in (i ＝1,2，…，n )，则S n ＝∑i ＝1n f ⎝⎛⎭⎫1＋in ·Δx ＝∑i ＝1n⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫1＋i n 2＋2⎝⎛⎭⎫1＋i n ·1n ＝－1n 3[(n ＋1)2＋(n ＋2)2＋(n ＋3)2＋…＋(2n )2]＋2n 2[(n ＋1)＋(n ＋2)＋(n ＋3)＋…＋2n ]＝－1n 3⎣⎡⎦⎤2n (2n ＋1)(4n ＋1)6－n (n ＋1)(2n ＋1)6＋2n 2·n (n ＋1＋2n )2 ＝－13⎝⎛⎭⎫2＋1n ⎝⎛⎭⎫4＋1n ＋16⎝⎛⎭⎫1＋1n ⎝⎛⎭⎫2＋1n ＋3＋1n . (3)取极限⎠⎛12(－x 2＋2x )d x ＝S n ＝－13⎝⎛⎭⎫2＋1n ⎝⎛⎭⎫4＋1n ＋16⎝⎛⎭⎫1＋1n ⎝⎛⎭⎫2＋1n ＋3＋1n＝23. 用定积分的性质求定积分[典例] (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，0≤x <1，2x 2，1≤x ≤2.则⎠⎛02f (x )d x ＝( )A.⎠⎛02(x ＋1)d x B.⎠⎛022x 2d xC.⎠⎛01(x ＋1)d x ＋⎠⎛122x 2d x D.⎠⎛012x d x ＋⎠⎛12(x ＋1)d x(2)已知⎠⎛0ex d x ＝e 22，⎠⎛0ex 2d x ＝e 33，求下列定积分的值：①⎠⎛0e(2x ＋x 2)d x ； ②⎠⎛0e(2x 2－x ＋1)d x .[解析] (1)由定积分的几何性质得：⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01(x ＋1)d x ＋⎠⎛122x 2d x .答案：C(2)解：①⎠⎛0e(2x ＋x 2)d x ＝2⎠⎛0ex d x ＋⎠⎛0ex 2d x ＝2×e 22＋e 33＝e 2＋e 33.②⎠⎛0e(2x 2－x ＋1)d x ＝⎠⎛0e2x 2d x －⎠⎛0ex d x ＋⎠⎛0e1d x ， 因为已知⎠⎛0ex d x ＝e 22，⎠⎛0ex 2d x ＝e 33，又由定积分的几何意义知：⎠⎛0e 1d x 等于直线x ＝0，x ＝e ，y ＝0，y ＝1所围成的图形的面积，所以⎠⎛0e1d x ＝1×e ＝e ，故⎠⎛0e(2x 2－x ＋1)d x ＝2×e 33－e 22＋e ＝23e 3－12e 2＋e.利用定积分的性质计算定积分的步骤(1)如果被积函数是几个简单函数的和的形式，利用定积分的线性性质进行计算，可以简化计算． (2)如果被积函数含有绝对值或被积函数为分段函数，一般利用积分区间的连续可加性计算． [活学活用]若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，－1≤x <0，e －x ，0≤x ≤1.且⎠⎛0－1(2x －1)d x ＝－2，⎠⎛01e －x d x ＝1－e －1，求⎠⎛1－1f (x )d x . 解：对于分段函数的定积分，通常利用积分区间可加性来计算，即⎠⎛1－1f (x )d x ＝⎠⎛0－1f (x )d x ＋⎠⎛01f (x )d x＝⎠⎛0－1(2x －1)d x ＋⎠⎛01e －x d x ＝－2＋1－e －1＝－(e －1＋1). 用定积分的几何意义求定积分[典例] 求定积分：⎠⎛02(4－(x －2)2－x )d x .[解] ⎠⎛024－(x －2)2d x 表示圆心在(2,0)，半径等于2的圆的面积的14，即⎠⎛024－(x －2)2d x ＝14×π×22＝π.⎠⎛02x d x 表示底和高都为2的直角三角形的面积，即⎠⎛02x d x ＝12×22＝2.∴原式＝⎠⎛024－(x －2)2d x －⎠⎛02x d x ＝π－2.当被积函数的几何意义明显时，可利用定积分的几何意义求定积分，但要注意定积分的符号． [活学活用]计算⎠⎛3－3(9－x 2－x 3)d x 的值． 解：如图所示，由定积分的几何意义得⎠⎛3－39－x 2d x ＝π×322＝9π2， ⎠⎛3－3x 3d x ＝0，由定积分性质得 ⎠⎛3－3(9－x 2－x 3)d x ＝⎠⎛3－39－x 2d x －⎠⎛3－3x 3d x ＝9π2.1．和式∑i ＝15(x i ＋1)可表示为( )A ．(x 1＋1)＋(x 5＋1)B ．x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋1C ．x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋5D ．(x 1＋1)(x 2＋1)…(x 5＋1)解析：选D 当n 很大时，区间⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n 的长度1n 越来越小，f (x )的值变化很小，故选D. 6．若⎠⎛a bf (x )d x ＝3，⎠⎛a bg (x )d x ＝2，则⎠⎛a b[f (x )＋g (x )]d x ＝__________. 解析：⎠⎛a b[f (x )＋g (x )]d x ＝⎠⎛a bf (x )d x ＋⎠⎛a bg (x )d x ＝3＋2＝5. 答案：57．若⎠⎛a bf (x )d x ＝1，⎠⎛a bg (x )d x ＝－3，则⎠⎛a b[2f (x )＋g (x )]d x ＝_______. 解析：⎠⎛a b[2f (x )＋g (x )]d x ＝2⎠⎛a bf (x )d x ＋⎠⎛a bg (x )d x ＝2×1－3＝－1. 答案：－18．计算：⎠⎛0416－x 2d x ＝____________.解析：⎠⎛0416－x 2d x 表示以原点为圆心，半径为4的14圆的面积，∴⎠⎛0416－x 2d x ＝14π·42＝4π.答案：4π9．化简下列各式，并画出各题所表示的图形的面积．(1)⎠⎛－3－2 x 2d x ＋⎠⎛1－2x 2d x ； (2)⎠⎛01(1－x )d x ＋⎠⎛12(x －1)d x .解：(1)原式＝⎠⎛1－3x 2d x ，如图(1)所示． (2)⎠⎛01(1－x )d x ＋⎠⎛12(x －1)d x ＝⎠⎛02|1－x |d x ，如图(2)所示．10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 5，x ∈[－1，1]，x ，x ∈[1，π)，sin x ，x ∈[π，3π]，求f (x )在区间[－1,3π]上的定积分． 解：由定积分的几何意义知：∵f (x )＝x 5是奇函数，故⎠⎛1－1x 5d x ＝0； ⎠⎛π3πsin x d x ＝0(如图(1)所示)；⎠⎛1πx d x ＝12(1＋π)(π－1)＝12(π2－1)(如图(2)所示)．∴⎠⎛－13πf (x )d x ＝⎠⎛－11x 5d x ＋⎠⎛1πx d x ＋⎠⎛－π3πsin x d x＝⎠⎛1πx d x ＝12(π2－1)．1、⎠⎛a bf (x )d x ＝lim n →∞∑i ＝1n b －a n f (ξ i )2、定积分的性质(1)⎠⎛a bkf (x )d x ＝k ⎠⎛a bf (x )d x (k 为常数)．(2)⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛a bf 2(x )d x .(3)⎠⎛a bf (x )d x ＝⎠⎛a cf (x )d x ＋⎠⎛c bf (x )d x (其中a <c <b )．——出门测 评分_____1．已知汽车在时间[0，t 1]内以速度v ＝v (t )做直线运动，则下列说法不正确的是( ) A ．当v ＝a (常数)时，汽车做匀速直线运动，这时路程s ＝v t 1B ．当v ＝at ＋b (a ，b 为常数)时，汽车做匀速直线运动，这时路程s ＝bt 1＋12at 21C ．当v ＝at ＋b (a ≠0，a ，b 为常数)时，汽车做匀变速直线运动，这时路程s ＝bt 1＋12at 21D ．当v ＝at 2＋bt ＋c (a ≠0，a ，b ，c为常数)时，汽车做变速直线运动，这时路程s ＝lim n →∞s n ＝lim n →∞∑i ＝1nv(ξi )Δt【解析】 对于v ＝at ＋b ，当a ＝0时为匀速直线运动，当a ≠0时为匀变速直线运动，其中a ＞0时为匀加速直线运动，a ＜0时为匀减速直线运动，对于v ＝at 2＋bx ＋c (a ≠0)及v ＝v (t )是t 的三次、四次函数时，汽车做的都是变速(即变加速或变减速)直线运动，故B 是错误的．【答案】 B2．函数f (x )＝x 2－1在区间⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n 上( )A ．f (x )的值变化很小B ．f (x )的值变化很大C ．f (x )的值不变化D ．当n 很大时，f (x )的值变化很小【解析】 当n 很大，即Δx 很小时，f (x )在区间⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n 上函数值变化很小，可以认为近似等于一个常数．【答案】 D3．在求直线x ＝0，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝x 2所围成的曲边三角形的面积时，把区间[0,2]等分成n 个小区间，则第i 个小区间是________．【解析】 将区间[0,2]等分为n 个小区间后，每个小区间的长度为2n ，第i 个小区间为⎣⎡⎦⎤2(i －1)n ，2i n . 【答案】 ⎣⎡⎦⎤2(i －1)n ，2i n4．图1-5-3中阴影部分的面积用定积分表示为( )图1-5-3A.⎠⎛012x dxB.⎠⎛01(2x －1)d xC.⎠⎛01(2x ＋1)d xD.⎠⎛01(1－2x )d x【解析】 根据定积分的几何意义，阴影部分的面积为⎠⎛012x d x －⎠⎛011d x ＝⎠⎛01(2x －1)d x .【答案】 B5．由y ＝sin x ，x ＝0，x ＝π2，y ＝0所围成图形的面积写成定积分的形式是________.【解析】 ∵0＜x ＜π2，∴sin x ＞0.∴y ＝sin x ，x ＝0，x ＝π2，y ＝0所围成图形的面积写成定积分的形式为⎠⎜⎛0π2sin x d x .【答案】 ⎠⎜⎛0π2sin x d x6．若⎠⎛a b [f (x )＋g (x )]d x ＝3，⎠⎛a b [f (x )－g (x )]d x ＝1，则⎠⎛ab [2g (x )]d x ＝________.【解析】 ⎠⎛ab [2g (x )]d x＝⎠⎛a b [(f (x )＋g (x ))－(f (x )－g (x ))]d x＝⎠⎛ab [f (x )＋g (x )]d x －⎠⎛ab [f (x )－g (x )]d x＝3－1＝2.【答案】 21．定积分⎠⎛2－2f (x )d x (f (x )>0)的积分区间是( ) A ．[－2,2] B ．[0,2] C ．[－2,0]D ．不确定解析：选A 由定积分的概念得定积分⎠⎛2－2f (x )d x 的积分区间是[－2,2]． 2．定积分⎠⎛13(－3)d x 等于( ) A ．－6 B ．6 C ．－3D ．3解析：选A 由定积分的几何意义知，⎠⎛13(－3)d x 表示由x ＝1，x ＝3，y ＝0及y ＝－3所围成的矩形面积的相反数，故⎠⎛13(－3)d x ＝－6.3．下列命题不正确的是( )A ．若f (x )是连续的奇函数，则⎠⎛a －a f (x )d x ＝0 B ．若f (x )是连续的偶函数，则⎠⎛a －af (x )d x ＝2⎠⎛0af (x )d xC ．若f (x )在[a ，b ]上连续且恒正，则⎠⎛a bf (x )d x ＞0D ．若f (x )在[a ，b ]上连续且⎠⎛a bf (x )d x ＞0，则f (x )在[a ，b ]上恒正解析：选D A 项，因为f (x )是奇函数，图象关于原点对称，所以x 轴上方的面积和x 轴下方的面积相等，故积分是0，所以A 项正确；B 项，因为f (x )是偶函数，图象关于y 轴对称，故y 轴两侧的图象都在x 轴上方或下方且面积相等，故B 项正确；由定积分的几何意义知，C 项显然正确；D 项，f (x )也可以小于0，但必须有大于0的部分，且f (x )＞0的曲线围成的面积比f (x )＜0的曲线围成的面积大．4．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，2x ，x <0，则⎠⎛1－1f (x )d x 的值是( ) A.⎠⎛1－1 x 2d x B.⎠⎛1－12xd x C.⎠⎛1－1x 2d x ＋⎠⎛1－12x d x D.⎠⎛0－12x d x ＋⎠⎛10x 2d x解析：选D 由定积分性质(3)求f (x )在区间[－1,1]上的定积分，可以通过求f (x )在区间[－1,0]与[0,1]上的定积分来实现，显然D 正确，故应选D.5．下列各阴影部分的面积S 不可以用S ＝⎠⎛a b[f (x )－g (x )]d x 求出的是( )解析：选D 定积分S ＝⎠⎛a b[f (x )－g (x )]d x 的几何意义是求函数f (x )与g (x )之间的阴影部分的面积，必须注意f (x )的图象要在g (x )的图象上方．对照各选项可知，D 项中f (x )的图象不全在g (x )的图象上方．故选D.6.求由抛物线f (x )＝x 2，直线x ＝0，x ＝1以及x 轴所围成的平面图形的面积时，若将区间[0,1] 5等分，如图所示，以小区间中点的纵坐标为高，则所有矩形的面积之和为__________．解析：S ＝15×⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1102＋⎝⎛⎭⎫3102＋⎝⎛⎭⎫5102＋⎝⎛⎭⎫7102＋⎝⎛⎭⎫9102＝0.33. 答案：0.337．由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0和曲线y ＝x 2＋2x 围成的图形的面积为________________． 解析：将区间[0,1]n 等分，每个区间长度为1n ，区间右端点函数值y ＝⎝⎛⎭⎫i n 2＋2·i n ＝i 2n 2＋2i n .作和S n ＝∑i ＝1n⎝⎛⎭⎫i 2n 2＋2i n 1n ＝∑i ＝1n⎝⎛⎭⎫i 2n 3＋2i n 2＝1n 3∑i ＝1ni 2＋2n 2∑i ＝1ni ＝1n 3×16n (n ＋1)(2n ＋1)＋2n 2×n (n ＋1)2＝(n ＋1)(2n ＋1)6n 2＋n ＋1n ＝8n 2＋9n ＋16n 2，∴所求面积S ＝ 8n 2＋9n ＋16n 2＝⎝⎛⎭⎫43＋32n ＋16n 2＝43. 答案：438．汽车以v ＝(3t ＋2)m/s 做变速直线运动，在第1 s 到第2 s 间经过的路程是________． 解析：将[1,2]n 等分，并取每个小区间的左端点的速度近似代替，则Δt ＝1n ，v (ξi )＝v ⎝⎛⎭⎫1＋i －1n ＝3⎝⎛⎭⎫1＋i －1n ＋2＝3n (i －1)＋5.所以s n ＝∑i ＝1n⎣⎡⎦⎤3n (i －1)＋5·1n ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫3n [0＋1＋2＋…＋(n －1)]＋5n ·1n＝3n 2·n (n －1)2＋5＝32⎝⎛⎭⎫1－1n ＋5， 所以s ＝s n ＝32＋5＝6.5 (m)．答案：6.5 m9. 求由抛物线y ＝x 2与直线y ＝4所围成的图形的面积． 解：如图，∵y ＝x 2为偶函数，图象关于y 轴对称，∴所求图形的面积应为y ＝x 2(x ≥0)与直线x ＝0，y ＝4所围成的图形面积S 阴影的2倍，下面求S 阴影． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝4，x ≥0，得交点为(2,4)．先求由直线x ＝0，x ＝2，y ＝0和曲线y ＝x 2围成的图形的面积． (1)分割将区间[0,2]n 等分，则Δx ＝2n ，取ξi ＝2(i －1)n (i ＝1,2，…，n )．(2)近似代替、求和 S n ＝∑i ＝1n⎣⎡⎦⎤2(i －1)n 2·2n ＝8n 3[02＋12＋22＋32＋…＋(n －1)2] ＝83⎝⎛⎭⎫1－1n ⎝⎛⎭⎫1－12n (3)取极限 S ＝⎣⎡⎦⎤83⎝⎛⎭⎫1－1n ⎝⎛⎭⎫1－12n ＝83.∴S 阴影＝2×4－83＝163.∴2S 阴影＝323.即抛物线y ＝x 2与直线y ＝4所围成的图形的面积为323.10．汽车做变速直线运动，在时刻t 的速度(单位：km/h)为v (t )＝t 2＋2，那么它在1≤t ≤2(单位：h)这段时间行驶的路程为多少？解：将区间[1,2]等分成n 个小区间，第i 个小区间为⎣⎡⎦⎤1＋i －1n ，1＋in (i ＝1,2，…，n )．第i 个时间区间的路程的近似值为 Δξi ≈Δξi ′＝v (t )·1n ＝v ⎝⎛⎭⎫1＋i －1n ·1n＝3n ＋2(i －1)n 2＋(i －1)2n3， 于是s n ＝∑i ＝1nΔξi ′＝∑i ＝1n⎣⎡⎦⎤3n ＋2(i －1)n 2＋(i －1)2n 3＝n ·3n ＋2n 2·[0＋1＋2＋…＋(n －1)]＋1n 3[02＋12＋22＋…＋(n －1)2]＝3＋2n 2·(n －1)·n 2＋1n 3·(n －1)n (2n －1)6＝3＋⎝⎛⎭⎫1－1n ＋13⎝⎛⎭⎫1－1n ⎝⎛⎭⎫1－12n . 所以s ＝s n ＝3＋⎝⎛⎭⎫1－1n ＋13⎝⎛⎭⎫1－1n ⎝⎛⎭⎫1－12n ＝133. 故这段时间行驶的路程为133 km.。
