2013届高三文科数学中档题训练_2

2013年北京市昌平区高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）1．（5分）（2013•昌平区二模）i是虚数单位，则复数z=在复平面内对应的点在（）z==2+ix4．（5分）（2013•昌平区二模）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）5．（5分）（2013•昌平区二模）在区间上随机取一个数x，则事件“tanxcosx≥”发生的概率为B．且在区间，即且∈[）∴在区间≥．6．（5分）（2013•昌平区二模）某地区的绿化面积每年平均比上一年增长18%，经过x年，绿化面积与原B．=7．（5分）（2013•昌平区二模）已知四棱锥P﹣ABCD的三视图如图所示，则此四棱锥的四个侧面的面积中最大的是（）．，所以后面的三角形的高为：，，三角形的面积为：．，其面积为：，，，三角形的面积为：，．8．（5分）（2013•昌平区二模）定义一种新运算：a•b=已知函数f（x）=（1+）•log2x，=log1+＜1+x=二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）（2013•昌平区二模）在△ABC中，若a=4，b=5，c=，则∠C的大小为120°．，则由余弦定理可得cosC==，10．（5分）（2013•昌平区二模）双曲线的一条渐近线方程为y=，则b=．利用双曲线的渐近线方程解：∵双曲线的一条渐近线方程为，∴故答案为．正确理解双曲线的渐近线方程11．（5分）（2013•昌平区二模）某高校在2013年的自主招生考试成绩中随机抽取50名学生的笔试成绩，绘制成频率分布直方图如图所示，由图中数据可知a=0.040；若要从成绩在[85，90），[90，95），[95，100]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取12人参加面试，则成绩在[95，100]内的学生中，学生甲被选取的概率为．×××．12．（5分）（2013•昌平区二模）设与抛物线y2=﹣4x的准线围成的三角形区域（包含边界）为D，P（x，y）为D内的一个动点，则目标函数z=x﹣2y的最大值为3．，它和不等式，13．（5分）（2013•昌平区二模）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，E为CD的中点，则= 1．表示为＞，=，∴+）=•+=2关键是将将表示为内角不加区别，导致结果出错．本题还可以以14．（5分）（2013•昌平区二模）对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），给出定义：设f′（x）是函数y=f（x）的导数，f″（x）是函数f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．给定函数，请你根据上面探究结果，解答以下问题（1）函数f（x）=x3﹣x2+3x﹣的对称中心为（，1）；（2）计算+…+f（）=2012．x﹣的对称中心．﹣的对称中心为（（x x﹣，（×=1x x的对称中心为（=﹣的对称中心为（，）（三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（13分）（2013•昌平区二模）已知S n为等差数列{a n}的前n项和，且a3=S3=9（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若等比数列{b n}满足b1=a2，b4=S4，求{b n}的前n项和公式．，得，解出所以，解得=24项和公式为16．（13分）（2013•昌平区二模）已知函数f（x）=﹣2cos2x+1，x∈R．（Ⅰ）求f（）；（Ⅱ）求f（x）的最小正周期及单调递增区间．﹣）的﹣≤+=x+1=）（×﹣×=1﹣T=﹣≤，≤+≤]17．（14分）（2013•昌平区二模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD=2，E、F分别为PC、BD的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；（Ⅱ）求三棱锥P﹣BCD的体积；（Ⅲ）在线段AB上是否存在点G，使得CD⊥平面EFG？说明理由．AD=2AD=PO==4=18．（13分）（2013•昌平区二模）已知函数f（x）=（Ⅰ）若f（x）在x=2处的切线与直线3x﹣2y+1=0平行，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）求f（x）在区间[1，e]上的最小值．===，x0 +x=①若；＜，）单调递减；在（）a③若e；当＜a=19．（13分）（2013•昌平区二模）已知椭圆的离心率为且过点（0，1）．（I）求此椭圆的方程；（II）已知定点E（﹣1，0），直线y=kx+2与此椭圆交于C、D两点．是否存在实数k，使得以线段CD为直径的圆过E点．如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．点，则，解得∴椭圆方程为．，则，点，则，）代入上式得解得所以存在使得以线段20．（14分）（2013•昌平区二模）如果函数y=f（x）的定义域为R，对于定义域内的任意x，存在实数a 使得f（x+a）=f（﹣x）成立，则称此函数具有“P（a）性质”．（I）判断函数y=sinx是否具有“P（a）性质”，若具有“P（a）性质”，求出所有a的值；若不具有“P（a）性质”，请说明理由；（II）设函数y=g（x）具有“P（±1）性质”，且当时，g（x）=|x|．若y=g（x）与y=mx交点个数为2013个，求m的值．又设，则﹣≤≤≤n+≤2k+，则﹣≤≤≤2k+1+，则，﹣n+（≤n+1+，，）﹣±…。

2013年普通高等学校招生全国统一考试数学注意事项：本试卷分第Ⅰ卷（阅读题）和第Ⅱ卷（表达题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.作答时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题。

每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合M=｛x|(x+1)2<4,x∈R｝，N=｛-1，0，1，2，3｝，则M∩N=（）（A）｛0，1，2｝（B）｛-1，0，1，2｝（C）{-1，0，2，3}（D）{0，1，2，3}（2）设复数z满足（1-i）z=2i，则z=（）（A）-1+i（B）-1-i（C）1+i（D）1-i（3）等比数列｛an｝的前n项和为Sn，已知S3=a2+10a1，a5=9，则a1=（）（A）（B）-（C）（D）-（4）已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β。

直线l满足l⊥m，l⊥n，l β，则（）（A）α∥β且l∥α（B）α⊥β且l⊥β（C）α与β相交，且交线垂直于l（D）α与β相交，且交线平行于l （5）已知（1+ɑx）(1+x)5的展开式中x2的系数为5，则ɑ=（A）-4（B）-3（C）-2（D）-1（6）执行右面的程序框图，如果输入的N=10，那么输出的s=（A）1+++…+（B）1+++…+（C）1+++…+（D）1+++…+（7）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（1，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为搞影面，则得到正视图可以为(A)(B)(C)(D)（8）设ɑ=log36，b=log510，c=log714，则（A）c＞b＞a（B）b＞c＞a（C）a＞c＞b(D)a＞b＞c（9）已知a＞0，x，y满足约束条件,若z=2x+y的最小值为1，则a=(A)(B)(C)1(D)2（10）已知函数f(x)=x2+αx2+bx+，下列结论中错误的是（A）∑xα∈Rf(xα)=0（B）函数y=f(x)的图像是中心对称图形（C ）若xα是f(x)的极小值点，则f(x)在区间（-∞,xα）单调递减（D ）若xn 是f （x ）的极值点，则f1(xα)=0（11）设抛物线y2=3px(p≥0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF|=5若以MF 为直径的园过点（0，3），则C 的方程为（A ）y2=4x 或y2=8x（B ）y2=2x 或y2=8x （C ）y2=4x 或y2=16x （D ）y2=2x 或y2=16x（12）已知点A （-1，0）；B （1，0）；C （0，1），直线y=ax+b(a>0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是（A ）（0，1）(B)（1-，1/2）(C)（1-，1/3）(D)[1/3,1/2）第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题，每个试题考生都必修作答。

2013年河南省郑州市高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中．只有一个符合题目要求．1．（5分）（2013•郑州二模）复数z1=3+i，z2=1﹣i则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数代数形式的乘除运算．分析：把复数z1=3+i，z2=1﹣i代入复数，化简为a+bi的形式，即可得到结果．解答：解：把复数z1=3+i，z2=1﹣i代入复数，得复数在复平面内对应的点位于第一象限．故选A．点评：本题考查复数代数形式的除法运算，是容易题．2．（5分）（2013•郑州二模）若，，则角θ的终边一定落在直线（）上．A．7x+24y=0 B．7x﹣24y=0 C．24x+7y=0 D．24x﹣7y=0考点：终边相同的角；半角的三角函数．专题：计算题．分析：由题意确定的范围，然后求出角θ的终边的值，求出直线的斜率，即可得到选项．解答：解：，，所以在第四象限，，θ是第三象限角，tan=﹣，所以tanθ==；所以角θ的终边一定落在直线24x﹣7y=0上．故选D点评：本题是基础题，考查终边相同的角，直线的斜率，三角函数的化简求值，考查计算能力，常考题型．3．（5分）（2013•郑州二模）在正项等比数列{a n}中，a1=1，前n项和为S n，且﹣a3，a2，a4成等差数列，则S7的值为（）A．125 B．126 C．127 D．128考点：等差数列的前n项和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：设出等比数列的公比，由已知条件列式求出公比，则等比数列的前7项和可求．解答：解：设正项等比数列{a n}的公比为q（q＞0），且a1=1，由﹣a3，a2，a4成等差数列，得2a2=a4﹣a3．即．因为q＞0．所以q2﹣q﹣2=0．解得q=﹣1（舍），或q=2．则．故选C．点评：本题考查了等比数列的通项公式，考查了等差数列的通项公式，考查了等比数列的前n项和公式，考查了学生的计算能力，是基础题．4．（5分）（2013•郑州二模）设α、β为两个不同的平面，直线l⊂α，则“l⊥β”是“α⊥β”成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：直线与平面垂直的性质；必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：面面平行的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．根据题意由判断定理得l⊥β⇒α⊥β．若α⊥β，直线l⊂α则直线l⊥β，或直线l∥β，或直线l与平面β相交，或直线l在平面β内．由α⊥β，直线l⊂α得不到l⊥β，所以所以“l⊥β”是“α⊥β”成立的充分不必要条件．解答：解：面面平行的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．因为直线l⊂α，且l⊥β所以由判断定理得α⊥β．所以直线l⊂α，且l⊥β⇒α⊥β若α⊥β，直线l⊂α则直线l⊥β，或直线l∥β，或直线l与平面β相交，或直线l在平面β内．所以“l⊥β”是“α⊥β”成立的充分不必要条件．故答案为充分不必要．点评：解决此类问题的关键是判断充要条件可以先判断命题的真假，最好用⇒来表示，再转换为是什么样的命题，最后转化是什么样的条件．5．（5分）（2013•郑州二模）函数f（x）=x2﹣2x在x∈R上的零点的个数是（）A．0B．1C．2D．3考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：可先结合函数的特点将问题转化为研究两个函数图象交点的问题．作出函数的图象可得答案．解答：解：由题意可知：函数f（x）=x2﹣2x的零点个数，等价于函数y=2x，y=x2的图象交点个数．画出函数y=2x，y=x2的图象由图象可得有3个交点．故选D．点评：本题考查的是函数零点的个数判定问题，数形结合是解决问题的关键，属中档题．6．（5分）（2013•郑州二模）若x∈（e﹣1，1），a=lnx，b=，c=e lnx，则a，b，c的大小关系为（）A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．b＞a＞c考点：有理数指数幂的化简求值；对数值大小的比较．专题：计算题．分析：依题意，由对数函数与指数函数的性质可求得a＜0，b＞1，＜c＜1，从而可得答案．解答：解：∵x∈（e﹣1，1），a=lnx∴a∈（﹣1，0），即a＜0；又y=为减函数，∴b=＞==1，即b＞1；又c=e lnx=x∈（e﹣1，1），∴b＞c＞a．故选B．点评：本题考查有理数指数幂的化简求值，考查对数值大小的比较，掌握对数函数与指数函数的性质是关键，属于中档题．7．（5分）（2013•郑州二模）函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f'（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极大值点（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点： 利用导数研究函数的极值． 专题：导数的概念及应用．分析： 根据题目给出的导函数的图象，得到导函数在给定定义域内不同区间上的符号，由此判断出原函数在各个区间上的单调性，从而判断出函数取得极大值的情况．解答： 解：如图，不妨设导函数的零点分别为x 1，x 2，x 3，x 4．由导函数的图象可知：当x ∈（a ，x 1）时，f ′（x ）＞0，f （x ）为增函数，当x ∈（x 1，x 2）时，f ′（x ）＜0，f （x ）为减函数，当x ∈（x 2，x 3）时，f ′（x ）＞0，f （x ）为增函数，当x ∈（x 3，x 4）时，f ′（x ）＞0，f （x ）为增函数，当x ∈（x 4，b ）时，f ′（x ）＜0，f （x ）为减函数，由此可知，函数f （x ）在开区间（a ，b ）内有两个极大值点，分别是当x=x 1时和x=x 4时函数取得极大值． 故选B ．点评： 本题考查了利用导函数研究函数的极值，由导函数在给定区间内的符号可以判断原函数的单调性，连续函数在某点处先增后减，该点是极大值点，先减后增，该点是极小值点．此题是中档题．8．（5分）（2013•怀化三模）一个锥体的主视图和左视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是（ ）A ．B ．C ．D ．考点： 简单空间图形的三视图． 专题： 作图题．分析： 由三视图的作法规则，长对正，宽相等，对四个选项进行比对，找出错误选项．解答： 解：本题中给出了正视图与左视图，故可以根据正视图与俯视图长对正，左视图与俯视图宽相等来找出正确选项A 中的视图满足三视图的作法规则；B 中的视图满足三视图的作法规则；C 中的视图不满足三视图的作法规则中的宽相等，故其为错误选项；D 中的视图满足三视图的作法规则；故选C点评：本题考查三视图的作法，解题的关键是掌握住三视图的作法规则即长对正，宽相等，高平齐，利用这些规则即可选出正确选项．9．（5分）（2013•郑州二模）已知A（1，2），B（3，4），C（﹣2，2），D（﹣3，5），则向量在向量上的投影为（）A．B．C．D．考点：平面向量数量积的含义与物理意义．专题：平面向量及应用．分析：由题意可得向量与的坐标，可得投影为cosθ=，代入数值可求．解答：解：由题意可知：=（2，2），=（﹣1，3），设θ为向量与的夹角，则向量在向量上的投影为cosθ，又由夹角公式可得cosθ=，∴cosθ===故选B点评：本题考查向量投影的定义，涉及平面向量数量积的求解，属基础题．10．（5分）（2013•郑州二模）如图所示，F1，F2是双曲线（a＞0，b＞0）的两个焦点，以坐标原点O为圆心，|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点分别为A，B，且△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为（）A．+1 B．+1 C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：连接AF1，可得∠AF2F1=30°，∠F1AF2=90°，F2F1=2c，AF1=c，AF2=，由双曲线的定义可知：AF2﹣AF1=﹣c=2a，变形可得离心率的值．解答：解：连接AF1，可得∠AF2F1=30°，∠F1AF2=90°，由焦距的意义可知F2F1=2c，AF1=c，由勾股定理可知AF2=，由双曲线的定义可知：AF2﹣AF1=2a，即﹣c=2a，变形可得双曲线的离心率==故选B点评：本题考查双曲线的性质，涉及直角三角形的性质，属中档题．11．（5分）（2011•安徽）函数f（x）=ax n（1﹣x）2在区间（0.1）上的图象如图所示，则n可能是（）A．1B．2C．3D．4考点：利用导数研究函数的单调性．专题：计算题；压轴题；数形结合．分析：先从图象上得出原函数的最值（极值）点小于0.5，再把答案分别代入验证法看哪个选项符合要求来找答案即可．解答：解：由于本题是选择题，可以用代入法来作，由图得，原函数的最值（极值）点小于0.5．当n=1时，f（x）=ax（1﹣x）2=a（x3﹣2x2+x），所以f'（x）=a（3x﹣1）（x﹣1），令f'（x）=0⇒x=，x=1，即函数在x=处有最值，故A对；当n=2时，f（x）=ax2（1﹣x）2=a（x4﹣2x3+x2），有f'（x）=a（4x3﹣6x2+2x）=2ax（2x﹣1）（x ﹣1），令f'（x）=0⇒x=0，x=，x=1，即函数在x=处有最值，故B错；当n=3时，f（x）=ax3（1﹣x）2，有f'（x）=ax2（x﹣1）（5x﹣3），令f'（x）=0，⇒x=0，x=1，x=，即函数在x=处有最值，故C错．当n=4时，f（x）=ax4（1﹣x）2，有f'（x）=2x3（3x﹣2）（x﹣1），令f'（x）=0，⇒x=0，x=1，x=，即函数在x=处有最值，故D错故选A．点评：本题主要考查函数的最值（极值）点与导函数之间的关系．在利用导函数来研究函数的极值时，分三步①求导函数，②求导函数为0的根，③判断根左右两侧的符号，若左正右负，原函数取极大值；若左负右正，原函数取极小值．本本题考查利用极值求对应变量的值．可导函数的极值点一定是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点．12．（5分）（2013•郑州二模）设f（x）是定义在R上的增函数，且对于任意的x都有f（1﹣x）+f（1+x）=0恒成立．如果实数m、n满足不等式组，那么m2+n2的取值范围是（）A．（3，7）B．（9，25）C．（13，49）D．（9，49）考点：简单线性规划的应用．专题：综合题．分析：根据对于任意的x都有f（1﹣x）+f（1+x）=0恒成立，不等式可化为f（m2﹣6m+23）＜f（2﹣n2+8n），利用f（x）是定义在R上的增函数，可得∴（m﹣3）2+（n﹣4）2＜4，确定（m﹣3）2+（n﹣4）2=4（m＞3）内的点到原点距离的取值范围，即可求得m2+n2 的取值范围．解答：解：∵对于任意的x都有f（1﹣x）+f（1+x）=0恒成立∴f（1﹣x）=﹣f（1+x）∵f（m2﹣6m+23）+f（n2﹣8n）＜0，∴f（m2﹣6m+23）＜﹣f[（1+（n2﹣8n﹣1）]，∴f（m2﹣6m+23）＜f[（1﹣（n2﹣8n﹣1）]=f（2﹣n2+8n）∵f（x）是定义在R上的增函数，∴m2﹣6m+23＜2﹣n2+8n∴（m﹣3）2+（n﹣4）2＜4∵（m﹣3）2+（n﹣4）2=4的圆心坐标为：（3，4），半径为2∴（m﹣3）2+（n﹣4）2=4（m＞3）内的点到原点距离的取值范围为（，5+2），即（，7）∵m2+n2表示（m﹣3）2+（n﹣4）2=4内的点到原点距离的平方∴m2+n2 的取值范围是（13，49）．故选C．点评：本题考查函数的奇偶性与单调性，考查不等式的含义，解题的关键是确定半圆内的点到原点距离的取值范围．二、填空题：本大题共4小题．每小题5分．13．（5分）（2013•郑州二模）等差数列{a n}的前7项和等于前2项和，若a1=1，a k+a4=0，则k=6．考点：等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：设出等差数列的公差，由前7项和等于前2项和列式求出公差，然后利用a k+a4=0列式求得k的值．解答：解：设等差数列的公差为d，设其前n项和为S n．由S7=S2，得，即7×1+21d=2+d，解得d=．再由．解得：k=6．故答案为6．点评：本题考查了等差数列的通项公式，考查了学生的计算能力，是基础的运算题．14．（5分）（2013•郑州二模）设z=x+y，其中x，y满足，当z的最大值为6时，k的值为3．考点：简单线性规划．专题：计算题；数形结合．分析：先根据条件画出可行域，观察可行域，当直线z=x+y过A点时取最大值，从而求出k值．解答：解：作出可行域如图：直线x+y=6过的交点A（k，k）时，z=x+y取最大，2k=6，∴k=3，故答案为：3点评：本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．15．（5分）（2013•郑州二模）函数y=log a（x+3）﹣1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在mx+ny+2=0上，其中mn＞0，则+的最小值为．考点：基本不等式；对数函数的单调性与特殊点．专题：函数的性质及应用．分析：利用对数函数的单调性和特殊点求得点A（﹣2，﹣1），由点A在mx+ny+2=0上，可得2m+n=2．再由=+，利用基本不等式求得它的最小值．解答：解：∵函数y=log a（x+3）﹣1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A（﹣2，﹣1），点A在mx+ny+2=0上，其中mn＞0，∴﹣2m﹣n+2=0，即2m+n=2．∴=+=1+++=+≥+2=，当且仅当时取等号，故+的最小值为，故答案为．点评：本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，基本不等式的应用，属于基础题．16．（5分）（2013•郑州二模）已知函数f（x）=x﹣cosx则方程f（x）=所有根的和为．考点：函数的零点与方程根的关系．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：利用导数研究函数y=f（x）的单调性，可得f（x）=x﹣cosx在（﹣，）上是增函数，结合f（）=得到在（﹣，）上有且只有一个实数x=满足f（x）=．再由cosx的有界性和不等式的性质，证出当x≤﹣时，有f（x），且x≥时，f（x）＞．因此当x∉（﹣，）时，方程f（x）=没有实数根，由此即可得到方程f（x）=只有一实数根x=，得到本题答案．解答：解：∵f（x）=x﹣cosx，∴f'（x）=+sinx，当x∈（﹣，）时，因为sinx，所以f'（x）=+sinx＞0∴f（x）=x﹣cosx在（﹣，）上是增函数∵f（）=﹣cos=∴在区间（﹣，）上有且只有一个实数x=满足f（x）=．又∵当x≤﹣时，x＜﹣，﹣cosx≤1，∴当x≤﹣时，f（x）=x﹣cosx≤1﹣，由此可得：当x≤﹣时，方程f（x）=没有实数根同理可证：当x≥时，方程f（x）≥﹣1＞，所以方程f（x）=也没有实数根综上所述，方程f（x）=只有一个实数根x=，因此方程f（x）=所有根的和为故答案为：点评：本题给出基本初等函数f（x）=x﹣cosx，求方程f（x）=所有根的和．着重考查了利用导数研究函数的单调性、函数的图象与性质、函数的零点和不等式的性质等知识，属于中档题．三、解答题：解答应写出说明文字，证明过程或演算步骤．17．（12分）（2013•郑州二模）如图所示，一辆汽车从O点出发沿一条直线公路以50公里/小时的速度匀速行驶（图中的箭头方向为汽车行驶方向），汽车开动的同时，在距汽车出发点O点的距离为5公里，距离公路线的垂直距离为3公里的M点的地方有一个人骑摩托车出发想把一件东西送给汽车司机．问骑摩托车的人至少以多大的速度匀速行驶才能实现他的愿望，此时他驾驶摩托车行驶了多少公里？考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：作MI垂直公路所在直线于点I，则MI=3，OM=5，可得OI=4，且，设骑摩托车的人的速度为v公里/小时，由余弦定理可得，求得，再利用二次函数的性质求得v的最小值，以及此时他行驶的距离vt的值．解答：解：作MI垂直公路所在直线于点I，则MI=3，∵OM=5，∴．﹣﹣﹣﹣（2分）设骑摩托车的人的速度为v公里/小时，追上汽车的时间为t小时，由余弦定理：﹣﹣﹣﹣（6分），求得，﹣﹣﹣﹣（8分）∴当时，v的最小值为30，∴其行驶距离为公里．﹣﹣﹣﹣（11分）故骑摩托车的人至少以30公里/时的速度行驶才能实现他的愿望，他驾驶摩托车行驶了公里．﹣﹣﹣﹣（12分）点评：本题主要考查二次函数的性质，余弦定理的应用，属于中档题．18．（12分）（2013•郑州二模）每年的三月十二日，是中国的植树节，林管部门在植树前，为保证树苗的质量，都会在植树前对树苗进行检测．现从甲、乙两批树苗中各抽测了10株树苗的高度，规定高于128厘米的为“良种树苗”，测得高度如下（单位：厘米）甲：137，121，131，120，129，119，132，123，125，133乙：110，130，147，127，146，114，126，110，144，146（Ⅰ）根据抽测结果，完成答题卷中的茎叶图，并根据你填写的茎叶图，对甲、乙两批树苗的高度作比较，写出对两种树苗高度的统计结论；（Ⅱ）设抽测的10株甲种树苗高度平均值为，将这10株树苗的高度依次输入按程序框图进行运算，（如图）问输出的S大小为多少？并说明S的统计学意义．考点：程序框图；茎叶图；众数、中位数、平均数．专题：图表型．分析：（I）将数据填入茎叶图，然后计算两组数据的平均数进行比较，计算中位数从而可得甲、乙两种树苗高度的统计结论；（II）根据流程图的含义可知S表示10株甲树苗高度的方差，是描述树苗高度离散程度的量，根据方差公式解之可得S．解答：解（Ⅰ）茎叶图略．﹣﹣﹣（2分）统计结论：①甲种树苗的平均高度小于乙种树苗的平均高度；②甲种树苗比乙种树苗长得更整齐；③甲种树苗的中位数为127，乙种树苗的中位数为128.5；④甲种树苗的高度基本上是对称的，而且大多数集中在均值附近，乙种树苗的高度分布较为分散．﹣﹣﹣（6分）（每写出一个统计结论得2分）（Ⅱ）．﹣﹣﹣﹣（9分），S表示10株甲树苗高度的方差，是描述树苗高度离散程度的量．S值越小，表示长得越整齐，S值越大，表示长得越参差不齐．﹣﹣﹣﹣（12分）点评：本题主要考查了茎叶图和算法流程图，以及平均数、中位数和方差的度量，同时考查了识图能力，属于基础题．19．（12分）（2013•郑州二模）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点．（Ⅰ）求证：AB1⊥面A1BD；（Ⅱ）设点O为AB1上的动点，当OD∥平面ABC时，求的值．考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）由三棱柱ABC﹣A1B1C1为正三棱柱，取BC边的中点M，连结AM，可证AM垂直于底面，从而得到AM垂直于BD，在正方形BB1C1C中，通过直角三角形角的关系可证BD⊥B1M，利用线面垂直的判定定理得到要证的结论；（Ⅱ）取AA1的中点为N，连结ND，OD，ON．利用线面平行的判定定理证明线面平行，从而得到面面平行，再借助于两面平行的性质得到线线平行，根据N点是AA1的中点，得到O为AB1的中点，即．解答：（Ⅰ）证明：取BC中点为M，连结AM，B1M，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，面ABC⊥面CB1，△ABC为正三角形，所以AM⊥BC，故AM⊥平面CB1，又BD⊂平面CB1，所以AM⊥BD．又正方形BCC1B1中，，所以∠BB1M=∠CBD，所以BD⊥B1M，又B1M∩AM=M，所以BD⊥平面AB1M，故AB1⊥BD，又正方形BAA1B1中，AB1⊥A1B，A1B∩BD=B，所以AB1⊥面A1BD；（Ⅱ）取AA1的中点为N，连结ND，OD，ON．因为N，D分别为AA1，CC1的中点，所以ND∥平面ABC，又OD∥平面ABC，ND∩OD=D，所以平面NOD∥平面ABC，所以ON∥平面ABC，又ON⊂平面BAA1B1，平面BAA1B1∩平面ABC=AB，所以ON∥AB，注意到AB∥A1B1，所以ON∥A1B1，又N为AA1的中点，所以O为AB1的中点，即为所求．点评：本题考查了直线与平面垂直的判定，考查了直线与平面平行的判定，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力，是中档题．20．（12分）（2013•郑州二模）已知椭圆C：的右焦点为F，左顶点为A，点P为曲线D上的动点，以PF为直径的圆恒与y轴相切．（Ⅰ）求曲线D的方程；（Ⅱ）设O为坐标原点，是否存在同时满足下列两个条件的△APM？①点M在椭圆C上；②点O为APM 的重心．若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．（若三角形ABC的三点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），则其重心G的坐标为（，））考点：直线与圆锥曲线的关系；抛物线的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（I）设P（x，y），由椭圆C的方程可得F（1，0），由题意可得以PF为直径的圆的圆心，利用两点间的距离公式得到，化简即可；（II）不存在．可用反证法证明．若这样的三角形存在，由题可设，由条件知点M在椭圆上可得，由三角形的重心定理可得，及点A（﹣2，0），代入化简即可得到x2，判断即可．解答：解：（Ⅰ）设P（x，y），由题知F（1，0），所以以PF为直径的圆的圆心，则，整理得y2=4x，为所求．（Ⅱ）不存在，理由如下：若这样的三角形存在，由题可设，由条件①知，由条件②得，又因为点A（﹣2，0），所以即，故，解之得x2=2或（舍），当x2=2时，解得P（0，0）不合题意，所以同时满足两个条件的三角形不存在．点评：本题考查了椭圆及抛物线的定义、标准方程及其性质、反证法、重心定理、向量的运算性质等基础知识与基本技能，考查了推理能力和计算能力．21．（12分）（2013•郑州二模）已知函数f（x）=lnx与g（x）=kx+b（k，b∈R）的图象交于P，Q两点，曲线y=f（x）在P，Q两点处的切线交于点A．（Ⅰ）当k=e，b=﹣3时，求f（x）﹣g（x）的最大值；（e为自然常数）（Ⅱ）若A（，），求实数k，b的值．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）构建新函数，求导函数，利用导数确定函数的单调性，从而可求函数的最大值；（Ⅱ）先求出切线方程，代入A的坐标，进而求出P，Q的坐标，即可求实数k，b的值．解答：解：（Ⅰ）设h（x）=f（x）﹣g（x）=lnx﹣ex+3（x＞0），则，﹣﹣﹣﹣（1分）当时，h′（x）＞0，此时函数h（x）为增函数；当时，h′（x）＜0，此时函数h（x）为减函数．所以函数h（x）的增区间为，减区间为．∴时，f（x）﹣g（x）的最大值为；﹣﹣﹣﹣（4分）（Ⅱ）设过点A的直线l与函数f（x）=lnx切于点（x0，lnx0），则其斜率，故切线，将点代入直线l方程得：，即，﹣﹣﹣﹣（7分）设，则，当时，v′（x）＜0，函数v（x）为增函数；当时，v′（x）＞0，函数v（x）为减函数．故方程v（x）=0至多有两个实根，﹣﹣﹣﹣（10分）又v（1）=v（e）=0，所以方程v（x）=0的两个实根为1和e，故P（1，0），Q（e，1），所以为所求．﹣﹣﹣﹣（12分）点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查导数的几何意义，解题的关键是构建函数，正确运用导数知识．22．（4分）（2013•郑州二模）如图，已知⊙O和⊙M相交于A、B两点，AD为⊙M的直径，直线BD交⊙O于点C，点G为BD中点，连接AG分别交⊙O、BD于点E、F连接CE．（1）求证：AG•EF=CE•GD；（2）求证：．考点：圆的切线的性质定理的证明；与圆有关的比例线段．专题：证明题；压轴题．分析：（1）要证明AG•EF=CE•GD我们可以分析积等式中四条线段的位置，然后判断它们所在的三角形是否相似，然后将其转化为一个证明三角形相似的问题．（2）由（1）的推理过程，我们易得∠DAG=∠GDF，又由公共角∠G，故△DFG∽△AGD，易得DG2=AG•GF，结合（1）的结论，不难得到要证明的结论．解答：证明：（1）连接AB，AC，∵AD为⊙M的直径，∴∠ABD=90°，∴AC为⊙O的直径，∴∠CEF=∠AGD，∵∠DFG=∠CFE，∴∠ECF=∠GDF，∵G为弧BD中点，∴∠DAG=∠GDF，∵∠ECB=∠BAG，∴∠DAG=∠ECF，∴△CEF∽△AGD，∴，∴AG•EF=CE•GD（2）由（1）知∠DAG=∠GDF，∠G=∠G，∴△DFG∽△AGD，∴DG2=AG•GF，由（1）知，∴．点评：证明三角形相似有三个判定定理：（1）如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似（简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似（2）如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似（简叙为：三边对应成比例，两个三角形相似（3）如果两个三角形的两个角分别对应相等（或三个角分别对应相等），则有两个三角形相似．我们要根据已知条件进行合理的选择，以简化证明过程．23．（3分）（2010•宁夏）已知直线C1（t为参数），C2（θ为参数），（Ⅰ）当α=时，求C1与C2的交点坐标；（Ⅱ）过坐标原点O做C1的垂线，垂足为A，P为OA中点，当α变化时，求P点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．考点：简单曲线的极坐标方程；轨迹方程；直线和圆的方程的应用；直线的参数方程；圆的参数方程．专题：综合题；压轴题．分析：（I）先消去参数将曲线C1与C2的参数方程化成普通方程，再联立方程组求出交点坐标即可，（II）设P（x，y），利用中点坐标公式得P点轨迹的参数方程，消去参数即得普通方程，由普通方程即可看出其是什么类型的曲线．解答：解：（Ⅰ）当α=时，C1的普通方程为，C2的普通方程为x2+y2=1．联立方程组，解得C1与C2的交点为（1，0）．（Ⅱ）C1的普通方程为xsinα﹣ycosα﹣sinα=0．A点坐标为（sin2α，﹣cosαsinα），故当α变化时，P点轨迹的参数方程为：，P点轨迹的普通方程．故P点轨迹是圆心为，半径为的圆．点评：本题主要考查直线与圆的参数方程，参数方程与普通方程的互化，利用参数方程研究轨迹问题的能力．24．（3分）（2013•郑州二模）已知函数f（x）=|x﹣a|．（1）若不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣1≤x≤5}，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，若f（x）+f（x+5）≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．考点：绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．专题：综合题；压轴题；转化思想．分析：（1）不等式f（x）≤3就是|x﹣a|≤3，求出它的解集，与{x|﹣1≤x≤5}相同，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，f（x）+f（x+5）≥m对一切实数x恒成立，根据f（x）+f（x+5）的最小值≥m，可求实数m的取值范围．解答：解：（1）由f（x）≤3得|x﹣a|≤3，解得a﹣3≤x≤a+3．又已知不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣1≤x≤5}，所以解得a=2．（6分）（2）当a=2时，f（x）=|x﹣2|．设g（x）=f（x）+f（x+5），于是所以当x＜﹣3时，g（x）＞5；当﹣3≤x≤2时，g（x）=5；当x＞2时，g（x）＞5．综上可得，g（x）的最小值为5．从而，若f（x）+f（x+5）≥m即g（x）≥m对一切实数x恒成立，则m的取值范围为（﹣∞，5]．（12分）点评：本题考查函数恒成立问题，绝对值不等式的解法，考查转化思想，是中档题，。

2013年广东省揭阳市高考数学二模试卷（文科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2013•揭阳二模）函数的定义域为（）A．[0，+∞）B．（﹣∞，0]C．（0，+∞）D．（﹣∞，0）考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数的解析式可得1﹣2x≥0，解得x≤0，由此可得函数的定义域．解答：解：由于函数，故有1﹣2x≥0，解得x≤0，故函数的定义域为（﹣∞，0]，故选B．点评：本题主要考查根据函数的解析式求函数的定义域，属于基础题．2．（5分）（2013•揭阳二模）若（1+2ai）i=1﹣bi，其中a、b∈R，i是虚数单位，则|a+bi|=（）A．B．C．D．考点：复数求模；复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：首先进行复数的乘法运算，根据复数相等的充要条件，得到复数的实部和虚部分别相等，得到a，b的值，求出复数的模长．解答：解：∵（1+2ai）i=1﹣bi，∴i﹣2a=1﹣bi∴﹣2a=1，b=﹣1∴a=﹣，b=﹣1∴|a+bi|=故选C．点评：本题考查复数的代数形式的乘除运算和复数的求模，本题解题的关键是求出复数中的字母系数，本题是一个基础题．3．（5分）（2013•揭阳二模）已知点A（﹣1，5）和向量=（2，3），若，则点B的坐标为（）A．（7，4）B．（7，14）C．（5，4）D．（5，14）考点：平面向量的坐标运算．专题：平面向量及应用．分析：设B（x，y），由得（x+1，y﹣5）=（6，9），求得x、y的值，即可求得点B的坐标．解答：解：设B（x，y），由得（x+1，y﹣5）=（6，9），故有，解得，故选D．点评：本题主要考查两个向量的坐标形式的运算，属于基础题．4．（5分）（2013•揭阳二模）设函数f（x）=，则函数的最小正周期为（）A．B．πC．2πD．4π考点：三角函数的周期性及其求法；诱导公式的作用．专题：三角函数的图像与性质．分析：先利用诱导公式进行化简，再利用两角和的正弦公式即可把asinx+bcosx化为的形式，利用T=即可得到正周期．解答：解：函数f（x）=cosx+sinx==，故其最小正周期为=2π，故选C．点评：熟练掌握利用两角和的正弦公式即可把asinx+bcosx化为的形式、诱导公式、周期公式是解题的关键．5．（5分）（2013•揭阳二模）以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为（）A．B．C．D．考点：双曲线的标准方程；椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：熟练掌握圆锥曲线的标准方程及其性质是解题的关键．解答：解：设要求的双曲线为，由椭圆得焦点为（±1，0），顶点为（±2，0）．∴双曲线的顶点为（±1，0）焦点为（±2，0）．∴a=1，c=2，∴b2=c2﹣a2=3．∴双曲线为．故选B．点评：熟练掌握圆锥曲线的标准方程及其性质是解题的关键．6．（5分）（2013•揭阳二模）在等差数列{a n}中，首项a1=0，公差d≠0，若a m=a1+a2+…+a9，则m的值为（）A．37 B．36 C．20 D．19考点：数列的求和；等差数列．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：利用等差数列的通项公式可得a m=0+（m﹣1）d，利用等差数列前9项和的性质可得a1+a2+…+a9=9a5=36d，二式相等即可求得m的值．解答：解：∵{a n}为等差数列，首项a1=0，a m=a1+a2+…+a9，∴0+（m﹣1）d=9a5=36d，又公差d≠0，∴m=37，故选A．点评：本题考查等差数列的通项公式与求和，考查等差数列性质的应用，考查分析与运算能力，属于中档题．7．（5分）（2013•揭阳二模）设定义在[﹣1，7]上的函数y=f（x）的图象如图示，则关于函数的单调区间表述正确的是（）A．在[﹣1，1]上单调递减B．在（0，1]上单调递减，在[1，3）上单调递增C．在[5，7]上单调递减D．在[3，5]上单调递增考点：函数单调性的判断与证明．分析：当x=0，x=3，x=6时，函数无意义，故排除A、C、D，进而可得答案．解答：解：由图象可知当x=0，x=3，x=6时，f（x）=0，此时函数无意义，而选项A、C、D均违背定义域，。

高三数学中档题训练一1．已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线， 则“α⊥β”是“m ⊥β” 的 ___ ____ 条件．（填“充分不必要”、 “必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”）2．设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，+∞)上单调递增，则满足不等式 f (1)＜f (lg(2x ))的x 的取值范围是 ______ ．3．在△ABC 中，已知∠BAC ＝90°，AB ＝6，若D 点在斜边BC 上，CD ＝2DB ，则AB →·AD →的值为 ______ ．4．在平面直角坐标系xOy 中，点M 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）上的点，以M 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的焦点F ，圆M 与y 轴相交于P ，Q 两点．若△PQM 是钝角三角形，则该椭圆离心率的取值范围是 ________ ．5．对于定义域内的任意实数x ，函数f (x )＝x 2+(a －1)x －2a +22x 2+ax －2a的值恒为正数，则实数a 的取值范围是 _______ ．6．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2b －3c 3a＝cos C cos A ． （1）求角A 的值；（2）若角6B π=，BC 边上的中线AM ABC ∆的面积．7．某商场为促销要准备一些正三棱锥形状的装饰品，用半径为10cm 的圆形包装纸包装．要求如下：正三棱锥的底面中心与包装纸的圆心重合，包装纸不能裁剪，沿底边向上翻折，其边缘恰好达到三棱锥的顶点，如图所示．设正三棱锥的底面边长为x cm ，体积为Vcm 3．在所有能用这种包装纸包装的正三棱锥装饰品中，V 的最大值是多少？并求此时x 的值．高三中档题训练二1. 若关于x 的不等式2230x x a -+<的解集为(),1m ，则实数m =．2. 已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且6AB BC ==，则棱锥O ABCD -的体积为 ．3. 已知锐角A ，B 满足)tan(tan 2B A A +=,则B tan 的最大值为 ．4. 已知双曲线:C 22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线与圆22(2)1x y -+=相交，则双曲 线C 离心率的取值范围是 ．5. 设函数)102)(36sin(2)(<<-+=x x x f ππ的图像与x 轴交于点A ，过点A 的直线l 与函数()f x 的图像交于另外两点B 、C .O 是坐标原点，则()OB OC OA +u u u r u u u r u u r g = ．6.已知,(0,)2αβπ∈，且7sin(2)sin 5αβα+=． （1）求证：tan()6tan αββ+=； （2）若tan 3tan αβ=，求α的值．7．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）的离心率为32，两个顶点分别为A 1(－2，0)，A 2(2，0)．过点D (1，0)的直线交椭圆于M ，N 两点，直线A 1M 与NA 2的交点为G ．（1）求实数a ，b 的值；（2）当直线MN 的斜率为1时，若椭圆上恰有两个点P 1，P 2使得△P 1MN 和△P 2MN 的面积为S ，求S 的取值范围；。

高三数学中档题训练(一)1、已知向量OA=3i-4j，OB=6i-3j，OC=(5-m)I-(3+m)j，其中i、j分别是直角坐标系内x轴与y轴正方向上的单位向量.①若A、B、C能构成三角形，求实数m应满足的条件；②若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，求实数m的值.2、已知数列{a n}的前n项之和为S n，且S n=a(a n-1)(a≠0，a≠1，n∈N n)(1)求数列{a n}的通项公式；(2)数列{b n}=2n+b(b是常数)，且a1=b1，a2>b2，求a的取值范围.3、如图，在三棱锥P-ABC 中，PA ⊥底面ABC ，△ABC 为正三角形，D 、E 分别是BC 、CA 的中点.(1)证明：平面PBE ⊥平面PAC ； (2)如何在BC 上找一点F ，使AD//平面PEF ？并说明理由； (3)若PA=AB=2，对于(2)中的点F ，求三棱锥B-PEF 的体积.4、某种细菌两小时分裂一次，(每一个细菌分裂成两个，分裂所需的时间忽略不计)，研究开始时有两个细菌，在研究过程中不断进行分裂，细菌总数y 是研究时间t 的函数，记作y=f(t)(1)写出函数y=f(t)的定义域和值域；(2)在所给坐标系中画出y=f(t)；(0≤t<6)的图象；(3)写出研究进行到n 小时(n ≤0，n ∈Z)时细菌的总数有多少个(用关于n 的式子表示).答案在第9页A B D CFP高三数学中档题训练(二)1、求函数x x x f 4131)(3-=的单调区间，并求f(sinx)的最大值.2、数列{a n }共有k 项(k 为定值)，它的前n 项和S n =2n 2+n(1≤n ≤k ，n ∈N)，现从k 项中抽取一项(不抽首项、末项)，余下的k-1项的平均值是79.(1)求数列{a n }的通项.(2)求出k 的值并指出抽取的第几项.3、若一个三棱锥的三个侧面中有两个是等腰直角三角形，另一个是边长为1的正三角形，试求所有的满足上述条件的三棱锥的体积.4、某服装公司生产的衬衫，若每件定价80元，则在某市年销售量为8万件. 若该服装公司在该市设立代理商来销售该衬衫，代理商要收取代销费，代销费是销售额的p%(即每销售100元时收取p 元). 为此，该衬衫每件的价格要提高到%180p 元，而每年销售量将减少0.62p 万件.(1)设该衬衫每年销售额为y 元，试写y 与p 的函数关系式，并指出这个函数的定义域； (2)若代理商对衬衫每年收取的代理费不小于16万元，求p 的取值范围.高三数学中档题训练(三)1、已知：A 、B 是△ABC 的两个内角，j BA i b A m 2sin 252cos ++-=，其中i 、j 为互相垂地的单位向量. 若|m |=423，试求tanA ·tanB 的值.2、如图，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB=AC=4,∠BAC=90°，侧面ABB 1A 1为正方形，D 为正方形ABB 1A 1的中心，E 为BC 的中点.(1)求证：平面DB 1E ⊥平面BCC 1B 1； (2)求异面直线A 1B 与B 1E 所成的角.1A 1C BA C D1B E3、某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与利率的平方成正比，比例系数为K(K>0)，货款的利率为4.8%，又银行吸收的存款能全部放货出去.(1)若存款的利率为x ，x ∈(0，0.048)，试写出存款量g(x)及银行应支付给储户的利息(x)；(2)存款利率定为多少时，银行可获得最大收益？4、已知函数f(x)=nxx a x a a n 2210a …++++(n ∈N n)，且y=f(x)的图象经过点(1，n 2)，数列{a n }(n ∈N +)为等差数列.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)当n 为奇函数时，设g(x)=)]()([21x f x f --,是否存在自然数m 和M ，使不等式m<g(21)<M 恒成立，若存在，求出M-m 的最小值；若不存在，说明理由.高三数学中档题训练(四)1、已知函数)R (2sin 3cos 2)(2∈++=a a x x x f ．（1）若x ∈R ，求f （x ）的单调递增区间；（2）若x ∈[0，2π]时，f （x ）的最大值为4，求a 的值，并指出这时x 的值．2、设两个向量1e 、2e ，满足|1e |＝2，|2e |＝1，1e 、2e 的夹角为60°，若向量2172e te +与向量21te e +的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．3、如图，平面VAD ⊥平面ABCD ，△VAD 是等边三角形，ABCD 是矩形，AB ∶AD ＝2∶1，F 是AB 的中点．（1）求VC 与平面ABCD 所成的角；（2）求二面角V -FC -B 的度数；（3）当V 到平面ABCD 的距离是3时，求B 到平面VFC 的距离．4、已知数列{n a }中531=a ，112--=n n a a （n ≥2，+∈N n ），数列}{n b ，满足11-=n n a b（1）求证数列{n b }是等差数列；（2）求数列{n a }中的最大项与最小项，并说明理由； （3）记++=21b b S n …n b +，求1)1(+-n nS b n高三数学中档题训练(一)答案1、①当m ≠21时，A 、B 、C 三点能构成三角形； ②当m=47时，三角形ABC 为直角三角形，且∠A=90°.2、(1)n n a a a )1(-= (2))2,1()1,21(⋃3、(1) ∵PA ⊥底面ABC ，∴PA ⊥BE又∵△ABC 是正三角形，且E 为AC 的中点，∴BE ⊥CA又PA A CA =⋂，∴BE ⊥平面PAC ∵BE ⊂平面PBE ，∴平面PBE ⊥平面PAC. (2)取CD 的中点F ，则点F 即为所求. ∵E 、F 分别为CA 、CD 的中点，∴EF//AD 又EF ⊂平面PEF ，AD ⊄平面PEF ，∴AD//平面PEF. (3)43 4、 (1)函数y=f(t)的定义域为[0，+∞)；值域为{y|y=2n，n ∈N *} (2)(3)y=⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅-为奇数时当为偶数当n n n,22n ,22212 高三数学中档题训练(二)答案1、f(sinx)有最大值121. 2、(1)a n =4n-1(1≤n ≤k) (2)抽取的是第20项. 3、1 2 3 4 5 6x12 3 4 5 6 78y4、解：(1))31400p (0 )62.08(%180<<--=p p y(2)16100)6.08(%180≥⨯--pp p 10311000100411.32≤≤∴≤+-∴p p p高三数学中档题训练(二)答案1、91 2、(1)证明：延长B 1D 至A ，连结AE∵三棱柱为直三棱柱，∴平面BCC 1B 1⊥平面ABC 又△ABC 中AB=AC ，E 为AB 中点 ∴AE ⊥BC ∴AE ⊥平面BCC 1B 1又∵AC ⊂平面B 1DE ∴平面B 1DE ⊥平面BCC 1B 1 (2)63 3、(1)由题意，存款量g(x)=Kx 2，银行应支付的利息h(x)=x ·g(x)=Kx 36(2)存款利率为3.2%时，银行可获得最大利益4、(1)据题意：f(1)=n 2 即a 0+a 1+a 2+……+a n =n 2令n=1 则a 0+a 1=1，a 1=1-a 0 令n=2 则a 0+a 1+a 2=22，a 2=4-(a 0+a 1)=4-1=3令n=3 则a 0+a 1+a 2+a 3=32，a 3=9-(a 0+a 1+a 2)=9-4=5 ∵{a n }为等差数列 ∴d=a 3-a 2=5-3=2 a 1=3-2=1 a 0=0 a n =1+(n-1)·2=2n-1(2)由(1)f(x)=a 1x 1+a 2x 2+a 3x 3+…+a n x nn 为奇数时，f(-x)=-a 1x 1+a 2x 2-a 3x 3+…+a n-1x n-1-a n x ng(x)=n n n n x a x a x a x a x a x f x f +++++=----22553311)]()([21n n n n g )21)(12()21)(52()21(9)21(5211)21(253-+-++⋅+⋅+⋅=-2753)21)(12()21)(52()21(9)21(5)21(1)21(41+-+-++⋅+⋅+⋅=n n n n g相减得 253)21)(12(])21()21()21[(4211)21(43+--++++⋅=n n n g∴n n n g )21(32)21(913914)21(+-= 令n n n C )21(32= ∵*1N n ,021)21(32∈≤-⋅⋅=-+n C C n n n ∴C n+1≤C n ，C n 随n 增大而减小 又n )21(913⋅随n 增大而减小 ∴g(21)为n 的增函数，当n=1时，g(21)=21 而914)21(32)21(913914<-⋅-n n n 914)21(21<≤∴g ∴使m<g(21)<M 恒成立的自然m 的最大值为0，M 最小值为2. M-m 的最小值为2.高三数学中档题训练(三)答案解析：1、（1）a x a x x x f +++=+++=1)6π2sin(212cos 2sin 3)(． 解不等式2ππ26π22ππ2+≤+≤-k x k ． 得)Z (6ππ3ππ∈+≤≤-k k x k∴ f （x ）的单调增区间为3ππ[-k ，)Z ](6ππ∈+k k ．（2）∵ 0[∈x ，2π]， ∴ 6π76π26π≤+≤x ．∴ 当2π6π2=+x 即6π=x 时，a x f +=3)(max ． ∵ 3＋a ＝4，∴ a ＝1，此时6π=x ． 2、解析：由已知得421=e ，122=e ，160cos 1221=⨯⨯=⋅ e e ．∴ 71527)72(2)()72(222212212121++=+++=++⋅t t te e e t te te e e te ． 欲使夹角为钝角，需071522<++t t ． 得 217-<<-t ． 设)0)((722121<+=+λte e i e te ． ∴ ⎩⎨⎧==λλt t 72，∴ 722=t ．∴ 214-=t ，此时14-=λ． 即214-=t 时，向量2172e te +与21te e +的夹角为π ． ∴ 夹角为钝角时，t 的取值范围是（-7，214-） （214-，21-）． 3、解析：（甲）取AD 的中点G ，连结VG ，CG ．（1）∵ △ADV 为正三角形，∴ VG ⊥AD ．又平面VAD ⊥平面ABCD ．AD 为交线，∴ VG ⊥平面ABCD ，则∠VCG 为CV 与平面ABCD所成的角．设AD ＝a ，则a VG 23=，a DC 2=． 在Rt △GDC 中， a a a GD DC GC 23422222=+=+=． 在Rt △VGC 中，33tan ==∠GC VG VCG ． ∴ 30=∠VCG ． 即VC 与平面ABCD 成30°．（2）连结GF ，则a AF AG GF 2322=+=． 而 a BC FB FC 2622=+=． 在△GFC 中，222FC GF GC +=． ∴ GF ⊥FC ．连结VF ，由VG ⊥平面ABCD 知VF ⊥FC ，则∠VFG 即为二面角V -FC -D 的平面角． 在Rt △VFG 中，a GF VG 23==． ∴ ∠VFG ＝45°． 二面角V -FC -B 的度数为135°．（3）设B 到平面VFC 的距离为h ，当V 到平面ABCD 的距离是3时，即VG ＝3． 此时32==BC AD ，6=FB ，23=FC ，23=VF ． ∴ 921==⋅∆FC VF S VFC ， 2321==⋅∆BC FB S BFC ． ∵ VCF B FCB V V V --=， ∴ VFC FBC S h S VG ∆∆⋅⋅⋅⋅=3131． ∴ 93123331⋅⋅=⨯⨯h ． ∴ 2=h 即B 到面VCF 的距离为2解析：（1）4、4、 4、1112111111-=--=-=---n n n n n a a a a b ， 而 1111-=--n n a b ， ∴ 11111111=-=-=-----n n n n n a a a b b ．)(+∈N n ∴ {n b }是首项为251111-=-=a b ，公差为1的等差数列． （2）依题意有n n b a 11=-，而5.31)1(25-=-+-=⋅n n b n ， ∴ 5.311-=-n a n ． 对于函数5.31-=x y ，在x ＞3.5时，y ＞0，0<y'，在（3.5，∞+）上为减函数． 故当n ＝4时，5.311-+=n a n 取最大值3 而函数5.31-=x y 在x ＜3.5时，y ＜0，0)5.3(12<--=x y'，在（∞-，3.5）上也为减函数．故当n ＝3时，取最小值，3a ＝-1． （3）2)5)(1(2)25225)(1(1-+=-+-+=+n n n n S n ，5.3-=n b n ，∴ ∞→+∞→=-+--=-n n n n n n n n S b n 2)5)(1()5.3)(1(2lim )1(lim 1．。

高2013级高三文科中档题训练（3）出题人：邓 成 兵 审核人：王 维17、在ABC ∆中，c b a ,,分别是内角C B A ,,的对边，AB=5,51=∠ABC COS . （1）若BC=4,求ABC ∆的面积ABC S ∆； （2）若D 是边AC 的中点，且27=BD ，求边BC 的长.18、如图,四棱锥P ABCD -中, PA ,ABCD E BD ⊥平面为的中点,G 为PD 的中点，,DAB DCB ∆≅∆,312EA EB AB PA ====，,连接CE 并延长交AD 于F . (Ⅰ)求证:AD CFG ⊥平面; (Ⅱ)求三棱锥P ACG V -的体积.19、某校的教育教学水平不断提高，该校记录了2006年到2015年十年间每年考入清华大学、北京大学的人数和。

为方便计算，2006年编号为1，2007年编号为2，…，2015年编号为10.数据如下：（Ⅰ）从这10年中的后6年随机抽取两年，求考入清华大学、北京大学的人数和至少有一年多于20人的概率；（Ⅱ）根据前5年的数据，利用最小二乘法求出y 关于x 的回归方程 y bxa =+ ，并计算2013年的估计值和实际值之间的差的绝对值。

1221ni ii ni i x y nx ybx nx==-=-∑∑ ， ay bx =- .21、已知函数1()()ln (,)f x a x b x a b R x=--∈，2()g x x =. （1）若1a =，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与y 轴垂直，求b 的值； （2）在（1）的条件下，求证：()()2ln 2;g x f x >-年份（x ） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10人数（y ） 3 5 8 11 13 14 17 22 30 31。

2013年广东省江门、佛山市高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2013•江门二模）设集合A={x|﹣1≤x≤2，x∈N}，集合B={2，3}，则A∪B=（）A．{1，2，3} B．{0，1，2，3} C．{2} D．{﹣1，0，1，2，3}考点：并集及其运算．专题：计算题．分析：把集合A的所有元素和集合B的所有元素合并到一起，得到集合A∪B．由此根据集合A={x|﹣1≤x≤2，x∈N}，集合B={2，3}，能求出A∪B．解答：解：∵集合A={x|﹣1≤x≤2，x∈N}={0，1，2}，集合B={2，3}，∴A∪B={0，1，2，3}．故选B．点评：本题考查集合的并集的定义及其运算，解题时要认真审题，仔细解答，注意并集中相同的元素只写一个．2．（5分）（2013•江门二模）已知复数z的实部为1，且|z|=2，则复数z的虚部是（）A．B．C．D．考点：复数求模．专题：计算题．分析：设复数z的虚部是为b，根据已知复数z的实部为1，且|z|=2，可得1+b2=4，由此解得b的值，即为所求．解答：解：设复数z的虚部是为b，∵已知复数z的实部为1，且|z|=2，故有1+b2=4，解得b=±，故选D．点评：本题主要考查复数的基本概念，求复数的模，属于基础题．3．（5分）（2013•江门二模）已知命题p：∃x＞1，x2﹣1＞0，那么¬p是（）A．∀x＞1，x2﹣1＞0 B．∀x＞1，x2﹣1≤0 C．∃x＞1，x2﹣1≤0 D．∃x≤1，x2﹣1≤0考点：命题的否定．专题：常规题型．分析：将量词“∃”变为“∀”，结论否定即可．解答：解：∵命题p：∃x＞1，x2﹣1＞0∴￢p：∀x＞1，x2﹣1≤0故选B点评：本题考查含量词的命题的否定形式：将量词“∀”与“∃”互换，结论同时否定．4．（5分）（2013•江门二模）为了解一片经济林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：cm）．根据所得数据画出样本的频率分布直方图，那么在这100株树木中，底部周长小于110cm的株数是（）A．30 B．60 C．70 D．80考点：频率分布直方图．专题：计算题．分析：由图分析，易得底部周长小于110cm段的频率，根据频率与频数的关系可得频数．解答：解：由图可知：则底部周长小于110cm段的频率为（0.01+0.02+0.04）×10=0.7，则频数为100×0.7=70人．故选C．点评：本题考查读图的能力，读图时要全面细致，同时，解题方法要灵活多样，切忌死记硬背，要充分运用数形结合思想来解决由统计图形式给出的数学实际问题．5．（5分）（2013•江门二模）函数f（x）=sin，x∈[﹣1，1]，则（）A．f（x）为偶函数，且在[0，1]上单调递减B．f（x）为偶函数，且在[0，1]上单调递增C．f（x）为奇函数，且在[﹣1，0]上单调递增D．f（x）为奇函数，且在[﹣1，0]上单调递减．考点：复合三角函数的单调性；正弦函数的奇偶性．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用诱导公式化简函数f（x）的解析式为cosπx，故函数为偶函数．再由当x∈[0，1]时，可得函数y=cosπx 是减函数，从而得出结论．解答：解：∵函数f（x）=sin=cosπx，故函数为偶函数，故排除C、D．当x∈[0，1]时，πx∈[0，π]，函数y=cosπx 是减函数，故选A．点评：本题主要考查诱导公式、余弦函数的奇偶性和单调性，属于中档题．6．（5分）（2013•江门二模）设等比数列{a n}的前n项和为S n．则“a1＞0”是“S3＞S2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：综合题；点列、递归数列与数学归纳法．分析：分公比q=1和q≠1两种情况，分别由a1＞0推出S3＞S2成立，再由S3＞S2也分q=1和q≠1两种情况推出a1＞0，从而得出结论．解答：解：当公比q=1时，由a1＞0可得s3=3a1＞2a1=s2，即S3＞S2成立．当q≠1时，由于=q2+q+1＞1+q=，再由a1＞0可得＞，即S3＞S2成立．故“a1＞0”是“S3＞S2”的充分条件．当公比q=1时，由S3＞S2成立，可得a1＞0．当q≠1时，由S3＞S2成立可得＞，再由＞，可得a1＞0．故“a1＞0”是“S3＞S2”的必要条件．综上可得，“a1＞0”是“S3＞S2”的充要条件，故选C．点评：本题主要考查充分条件、必要条件、充要条件的定义和判断，不等式性质的应用，属于基础题．7．（5分）（2013•江门二模）已知幂函数f（x）=x a，当x＞1时，恒有f（x）＜x，则a的取值范围是（）A．0＜a＜1 B．a＜1 C．a＞0 D．a＜0考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的概念及应用．分析：x＞1时，f（x）＜x恒成立转化为x a﹣1＜x0恒成立，借助指数函数单调性可求a的取值范围．解答：解：当x＞1时，f（x）＜x恒成立，即x a﹣1＜1=x0恒成立，因为x＞1，所以a﹣1＜0，解得a＜1，故选B．点评：本题考查幂函数的性质，考查函数恒成立问题，考查转化思想，解决本题关键是把不等式进行合理转化，利用指数函数性质解决．8．（5分）（2013•江门二模）设m、n是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题：①若α∥β，α∥γ，则β∥γ②若α⊥β，m∥α，则m⊥β③若m⊥α，m∥β，则α⊥β④若m∥n，n⊂α，则m∥α其中真命题的序号是（）A．①④B．②③C．②④D．①③考点：平面与平面之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系．分析：对每一选支进行逐一判定，不正确的只需取出反例，正确的证明一下即可．解答：解：对于①利用平面与平面平行的性质定理可证α∥β，α∥γ，则β∥γ，正确对于②面BD⊥面D1C，A1B1∥面BD，此时A1B1∥面D1C，不正确。

江西省南昌十九中2013届高三第三次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每题5分，共50分）1．（5分）定义集合A、B的一种运算：A*B={x|x=x1+x2，x1∈A，x2∈B}，若A={1，2，3}，B={1，2}，则A*B中的所有元素之和为（）A．21 B．18 C．14 D．9考点：元素与集合关系的判断．专题：计算题．分析：根据新定义A*B={x|x=x1+x2，x1∈A，x2∈B}，把集合A与集合B中的元素分别代入再求和即可求出答案．解答：解：∵A*B={x|x=x1+x2，x1∈A，x2∈B}，A={1，2，3}，B={1，2}，∴A*B={2，3，4，5}，∴A*B中的所有元素之和为：2+3+4+5=14，故选C．点评：本题考查了元素与集合关系的判断，属于基础题，关键是根据新定义求解．2．（5分）（2011•辽宁）设函数f（x）=则满足f（x）≤2的x的取值范围是（）A．[﹣1，2]B．[0，2]C．[1，+∞）D．[0，+∞）考点：对数函数的单调性与特殊点．专题：分类讨论．分析：分类讨论：①当x≤1时；②当x＞1时，再按照指数不等式和对数不等式求解，最后求出它们的并集即可．解答：解：当x≤1时，21﹣x≤2的可变形为1﹣x≤1，x≥0，∴0≤x≤1．当x＞1时，1﹣log2x≤2的可变形为x≥，∴x≥1，故答案为[0，+∞）．故选D．点评：本题主要考查不等式的转化与求解，应该转化特定的不等式类型求解．3．（5分）（2009•重庆）设△ABC的三个内角A，B，C，向量，，若=1+cos（A+B），则C=（）A．B．C．D．考点：三角函数的化简求值．专题：计算题．分析：利用向量的坐标表示可求=1+cos（A+B），结合条件C=π﹣（A+B）可得sin（C+=，由0＜C＜π可求C解答：解：因为=又因为所以又C=π﹣（B+A）所以因为0＜C＜π，所以故选C．点评：本题主要以向量的坐标表示为载体考查三角函数，向量与三角的综合问题作为高考的热点，把握它的关键是掌握好三角与向量的基本知识，掌握一些基本技巧，还要具备一些运算的基本技能．4．（5分）已知奇函数f（x）定义在（﹣1，1）上，且对任意的x1，x2∈（﹣1，1）（x1≠x2），都有成立，若f（2x﹣1）+f（x﹣1）＞0，则x的取值范围是（）A．（，1）B．（0，2）C．（0，1）D．（0，）考点：奇偶性与单调性的综合．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：先确定函数f（x）在（﹣1，1）上单调递减，再利用函数是奇函数，即可将不等式转化为具体不等式，从而可求x的取值范围．解答：解：∵对任意的x1，x2∈（﹣1，1）（x1≠x2），都有成立，∴函数f（x）在（﹣1，1）上单调递减∵函数是奇函数∴f（2x﹣1）+f（x﹣1）＞0等价于f（2x﹣1）＞f（1﹣x）∴，∴0＜x＜故选D．点评：本题考查函数单调性与奇偶性的结合，考查解不等式，考查学生的计算能力，确定函数的单调性是关键．5．（5分）已知三角形△ABC的三边长成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为，则这个三角形的周长是（）A．18 B．21 C．24 D．15考点：数列与三角函数的综合．专题：综合题．分析：设三角形的三边分别为a、b、c，且a＞b＞c＞0，设公差为d=2，三个角分别为、A、B、C，则a﹣b=b﹣c=2，a=c+4，b=c+2，因为sinA=，所以A=60°或120°．若A=60°，因为三条边不相等，则必有角大于A，矛盾，故A=120°．由余弦定理能求出三边长，从而得到这个三角形的周长．解答：解：不妨设三角形的三边分别为a、b、c，且a＞b＞c＞0，设公差为d=2，三个角分别为、A、B、C，则a﹣b=b﹣c=2，a=c+4，b=c+2，∵sinA=，∴A=60°或120°．若A=60°，因为三条边不相等，则必有角大于A，矛盾，故A=120°．cosA====﹣．∴c=3，∴b=c+2=5，a=c+4=7．∴这个三角形的周长=3+5+7=15．故选D．点评：本题考查三角形的周长的求法，考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．解题是要认真审题，注意余弦定理的合理运用．6．（5分）（2012•安徽模拟）设函数是定义在R上的函数，其中f（x）的导函数f'（x）满足f'（x）＜f（x）对于x∈R恒成立，则（）A．f（2）＞e2f（0），f（2012）＞e2012f（0）B．f（2）＞e2f（0），f（2012）＜e2012f（0）C．f（2）＞e2f（0），f（2012）＜e2012f（0）D．f（2）＜e2f（0），f（2012）＞e2012f（0）考点：利用导数研究函数的单调性．专题：计算题．分析：根据函数的导数为F′（x）＜0，可得函数是定义在R上的减函数，故有F（2）＜F（0），推出f（2）＜e2f（0）．同理可得f（2012）＜e2012f（0），从而得出结论．解答：解：函数的导数为F′（x）==＜0，故函数是定义在R上的减函数，∴F（2）＜F（0），即＜，f（2）＜e2f（0）．同理可得f（2012）＜e2012f（0）．故选B．点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，导数的运算法则的应用，属于中档题．7．（5分）（2012•安徽模拟）函数y=cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）为奇函数，该函数的部分图象如图所表示，A、B分别为最高点与最低点，并且两点间的距离为，则该函数的一条对称轴为（）A．B．C．x=1 D．x=2考点：余弦函数的对称性．专题：计算题．分析：函数y=cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）为奇函数，求出φ，该函数的部分图象如图所表示，A、B分别为最高点与最低点，并且两点间的距离为，求出函数的周期，然后得到ω，求出对称轴方程即可．解答：解：函数y=cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）为奇函数，所以φ=，该函数的部分图象如图所表示，A、B分别为最高点与最低点，并且两点间的距离为，所以，所以T=4，ω=，所以函数的表达式为：y=﹣sin，显然x=1是它的一条对称轴方程．故选C点评：本题是基础题，考查函数解析式的求法，三角函数的对称性的应用，考查发现问题解决问题的解决问题的能力．8．（5分）（2012•张掖模拟）设实数x，y满足，则的取值范围是（）A．B．C．D．考点：简单线性规划．专题：数形结合．分析：先根据约束条件画出可行域，设，再利用z的几何意义求最值，表示的是区域内的点与点O连线的斜率．故z的最值问题即为直线的斜率的最值问题．只需求出直线OQ过可行域内的点A时，从而得到z的最大值即可．解答：解：作出可行域如图阴影部分所示：目标函数═≥2当且仅当=1时，z最小，最小值为：2．又其中可以认为是原点（0，0）与可行域内一点（x，y）连线OQ的斜率．其最大值为：2，最小值为：，因此的最大值为，则目标函数则的取值范围是故选C．点评：巧妙识别目标函数的几何意义是我们研究规划问题的基础，纵观目标函数包括线性的与非线性，非线性问题的介入是线性规划问题的拓展与延伸，使得规划问题得以深化．本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．9．（5分）（2012•张掖模拟）函数f（x）=x2+bx的图象在点A（1，f（1））处的切线与直线3x﹣y+2=0平行，若数列{}的前n项和为S n，则S2012的值为（）A．B．C．D．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；数列与函数的综合．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：对函数求导，根据导数的几何意义可求切线在x=1处的斜率，然后根据直线平行时斜率相等的条件可求b，代入可求f（n），利用裂项求和即可求解答：解：∵f（x）=x2+bx∴f′（x）=2x+b∴y=f（x）的图象在点A（1，f（1））处的切线斜率k=f′（1）=2+b∵切线与直线3x﹣y+2=0平行∴b+2=3∴b=1，f（x）=x2+x∴f（n）=n2+n=n（n+1）∴=∴S2012==1﹣=1﹣=故选D点评：本题以函数的导数的几何意义为载体，主要考查了切线斜率的求解，两直线平行时的斜率关系的应用，及裂项求和方法的应用．10．（5分）（2012•泉州模拟）设函数y=f（x）的定义域为D，若对于任意x1，x2∈D且x1+x2=2a，恒有f（x1）+f（x2）=2b，则称点（a，b）为函数y=f（x）图象的对称中心．研究并利用函数f（x）=x3﹣3x2﹣sin（πx）的对称中心，可得=（）A．4023 B．﹣4023 C．8046 D．﹣8046考点：数列的求和；函数的值．专题：计算题．分析：函数（x）=x3﹣3x2﹣sin（πx）图象的对称中心的坐标为（1，﹣2），即x1+x2=2时，总有f （x1）+f（x2）=﹣4，再利用倒序相加，即可得到结论．解答：解：由题意可知要求的值，易知，所以函数（x）=x3﹣3x2﹣sin（πx）图象的对称中心的坐标为（1，﹣2），即x1+x2=2时，总有f（x1）+f（x2）=﹣4∴+f（）+…+f（）+f（）=﹣4×4023∴=﹣8046故选D．点评：本题考查函数的对称性，确定函数的对称中心，利用倒序相加x1+x2=2，是解题的关键．二、填空题（每题5分，共25分）11．（5分）（2012•姜堰市模拟）函数f（x）=2x+log2x（x∈[1，2]）的值域为[2，5]．考点：幂函数的概念、解析式、定义域、值域；指数函数的定义、解析式、定义域和值域．专题：计算题．分析：先确定原函数在[1，2]上的单调性，再由单调性求原函数的值域解答：解：∵y=2x单调递增，y=log2x单调递增∴f（x）=2x+log2x在[1，2]上单调递增∴f（x）的最小值为f（1）=21+log21=2+0=2最大值为f（2）=22+log22=4+1=5∴f（x）=2x+log2x在x∈[1，2]时的值域为[2，5]故答案为：[2，5]点评：本题考查指数函数幂函数的单调性，由单调性求最值．要研究指数函数和幂函数的单调性，须注意底数的范围，有时候须分类讨论．属简单题12．（5分）若不等式对一切非零实数x恒成立，则实数a的取值范围是[﹣，]．考点：函数恒成立问题．专题：计算题；压轴题；函数的性质及应用．分析：利用基本不等式，求出右边的最小值，可得关于a的不等式，即可求得实数a的取值范围．解答：解：∵|x+|=|x|+≥2∴不等式对一切非零实数x恒成立，等价于|2a﹣1|≤2∴﹣2≤2a﹣1≤2∴∴实数a的取值范围是[﹣，]故答案为：[﹣，]．点评：本题考查恒成立问题，考查基本不等式求最值，考查学生分析解决问题的能力，正确求最值是关键．13．（5分）已知数列{a n}中，a1=1，当n∈N+，n≥2时，a n=，则数列{a n}的通项公式a n=．考点：数列递推式．专题：计算题．分析：由a n=，a1=1可得==且a n＞0，结合等差数列的通项公式可求，进而可求a n解答：解：a n=，a1=1∴==，a n＞0即∴数列{}是以1为首项以1为公差的等差数列∴∴故答案为：点评：本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的通项，解题的关键是对已知条件变形构造等差数列，体会构造思想的应用14．（5分）各项均为正数的等比数列{a n}满足a1a7=4，a6=8，若函数的导数为f′（x），则=．考点：导数的运算；数列与函数的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：利用等比数列和等差数列的通项公式、导数的运算法则即可得出．解答：解：由各项均为正数的等比数列{a n}满足a1a7=4，a6=8，设公比为q＞0，于是，解得，∴．∴f′（x）=…+，∵=n×2n﹣3×21﹣n=，∴===．故答案为．点评：熟练掌握等比数列和等差数列的通项公式、导数的运算法则是解题的关键．15．（5分）A，B，C是圆O上的三点，∠AOB=120°，CO的延长线与线段AB交于点D，若（m，n∈R），则m+n的取值范围是[﹣2，﹣1]．考点：向量在几何中的应用．专题：计算题；平面向量及应用．分析：利用已知条件，两边平方，结合基本不等式，即可求得结论．解答：解：设圆的半径为1，则由题意m≤0，n≤0∵=，|OC|=|OB|=|OA|=1，∠AOB=120°，∴==m2+n2+2mn•cos120°=（m+n）2﹣3mn=1．∴（m+n）2=1+3mn≥1，∴m+n≤﹣1，∵（m+n）2=1+3mn≤1+（m+n）2，∴（m+n）2≤4∴m+n≥﹣2∴m+n的取值范围是[﹣2，﹣1]故答案为：[﹣2，﹣1]点评：本题考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．三、解答题（共75分）16．（12分）已知，q：1﹣m≤x≤1+m，若非P是非q的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；逻辑联结词“非”．专题：计算题．分析：由题意得p：﹣2≤x≤10，．由此可知实数m的取值范围是{m|m≥9}．解答：解：由题意得p：﹣2≤x≤10．∵非p是非q的必要不充分条件，∴q是p的必要不充分条件，∴p⇒q，q推不出p，∴p不属于q∴∴m≥9；∴实数m的取值范围是{m|m≥9}．点评：本题考查不等式的基本性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．17．（12分）在等差数列{a n}中，a1=3，其前n项和为S n，等比数列{b n}的各项均为正数，b1=1，公比为q，且b2+S2=12，．（Ⅰ）求a n与b n；（Ⅱ）设c n=a n•b n，求数列{c n}的前n项和T n．考点：等比数列的通项公式；等差数列的通项公式；数列的求和．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（1）根据b2+S2=12，{b n}的公比，建立方程组，即可求出a n与b n；（2）由a n=3n，bn=3n﹣1，知c n=a n•b n=n•3n，由此利用错位相减法能求出数列{c n}的前n项和T n．解答：解：（1）∵在等差数列{a n}中，a1=3，其前n项和为S n，等比数列{b n}的各项均为正数，b1=1，公比为q，且b2+S2=12，．∴b2=b1q=q，，（3分）解方程组得，q=3或q=﹣4（舍去），a2=6（5分）∴a n=3+3（n﹣1）=3n，bn=3n﹣1．（7分）（2）∵a n=3n，bn=3n﹣1，∴c n=a n•b n=n•3n，∴数列{c n}的前n项和T n=1×3+2×32+3×33+…+n×3n，∴3T n=1×32+2×33+3×34+…+n×3n+1，∴﹣2T n=3+32+33+…+3n﹣n×3n+1=﹣n×3n+1=﹣n×3n+1，∴T n=×3n+1﹣．点评：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质和错位相减法的合理运用．18．（14分）已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期及单调增区间；（2）在△ABC中，A、B、C所对的边分别为a，b，c，若，f（A）=1，求b+c的最大值．考点：解三角形；三角函数中的恒等变换应用．专题：解三角形．分析：（1）将f（x）解析式第一、三项结合，利用二倍角的余弦函数公式化简，第二项利用二倍角的正弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式即可求出函数的最小正周期；由正弦函数的递增区间为[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z），列出关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到函数的递增区间；（2）由（1）确定的函数解析式，及f（A）=1，利用特殊角的三角函数值求出A的度数，确定出sinA的值，及B+C的度数，用B表示出C，由a与sinA的值，利用正弦定理表示出b 与c，代入b+c中，将表示出的C代入，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由正弦函数的值域即可求出正弦函数的最大值，即为b+c的最大值．解答：解：（1）f（x）=cos2x﹣sin2x+2sinxcosx=cos2x+sin2x=2sin（2x+），∵ω=2，∴f（x）的最小正周期为T=π，令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+（k∈Z），解得：kπ﹣≤x≤π+，k∈Z，则f（x）的单调增区间为[kπ﹣，π+]，k∈Z；（2）∵f（A）=2sin（2A+）=1，∴sin（2A+）=，∴2A+=，∴A=，∴B+C=，∵a=，sinA=，∴由正弦定理得：====2，∴b+c=2（sinB+sinC）=2[sinB+sin（﹣B）]=2（sinB+cosB+cosB）=2（sinB+cosB）=2sin（B+）≤2，∴当B=时，b+c最大为2．点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，二倍角的正弦、余弦函数公式，三角函数的周期性及其求法，以及正弦函数的单调性，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．19．（12分）已知函数．（1）当x∈[2，4]时．求该函数的值域；（2）若f（x）≥mlog2x对于x∈[4，16]恒成立，求m的取值范围．考点：函数恒成立问题；二次函数在闭区间上的最值．专题：函数的性质及应用．分析：（1）令t=log4x，则可将函数在x∈[2，4]时的值域问题转化为二次函数在定区间上的值域问题，利用二次函数的图象分析出函数的最值，即可得到函数的值域；（2）令t=log4x，则可将已知问题转化为2t2﹣3t+1≥2mt对t∈[1，2]恒成立，即对t∈[1，2]恒成立，求出不等号右边式子的最小值即可得到答案．解答：解：（1），此时，，当t=时，y取最小值，当t=或1时，y取最大值0，∴（2）若f（x）≥mlog2x对于x∈[4，16]恒成立，令t=log4x，即2t2﹣3t+1≥2mt对t∈[1，2]恒成立，∴对t∈[1，2]恒成立易知在t∈[1，2]上单调递增∴g（t）min=g（1）=0，∴m≤0．点评：本题考查的知识点是对数函数的性质，二次函数在闭区间上的最值问题，函数恒成立问题，函数的最值，是函数图象和性质的简单综合应用，难度中档20．（15分）（2010•汕头模拟）如图，多面体AEDBFC的直观图及三视图如图所示，M，N分别为AF，BC的中点．（1）求证：MN∥平面CDEF；（2）求多面体A﹣CDEF的体积．考点：直线与平面平行的判定；由三视图还原实物图；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；证明题．分析：（1）通过三视图说明几何体的特征，证明MN平行平面CDEF内的直线BC，即可证明MN∥平面CDEF；（2）说明四边形CDEF是矩形，AH⊥平面CDEF，然后就是求多面体A﹣CDEF的体积．解答：解：（1）证明：由多面体AEDBFC的三视图知，三棱柱AED﹣BFC中，底面DAE是等腰直角三角形，DA=AE=2，DA⊥平面ABEF，侧面ABFE，ABCD都是边长为2的正方形．连接EB，则M是EB的中点，在△EBC中，MN∥EC，且EC⊂平面CDEF，MN⊄平面CDEF，∴MN∥平面CDEF．（2）因为DA⊥平面ABEF，EF⊂平面ABEF，∴EF⊥AD，又EF⊥AE，所以，EF⊥平面ADE，∴四边形CDEF是矩形，且侧面CDEF⊥平面DAE取DE的中点H，∵DA⊥AE，DA=AE=2，∴，且AH⊥平面CDEF．所以多面体A﹣CDEF的体积．点评：本题是中档题，考查直线与平面平行的证明方法，几何体的体积的求法，考查计算能力．21．（10分）已知函数f（x）=alnx﹣ax﹣3（a∈R）（1）求f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）的图象在点（2，f）处切线的倾斜角为45°，且对于任意的t∈[1，2]，函数在区间（t，3）上总不为单调函数，求m的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；函数的单调性与导数的关系．专题：综合题；压轴题．分析：（1）先求导数fˊ（x）然后在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，fˊ（x）＞0的区间为单调增区间，fˊ（x）＜0的区间为单调减区间．（2）对函数求导，求出函数的单调区间，根据函数的单调区间得到若f（x）在[1，2]上不单调，只要极值点出现在这个区间就可以，得到对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，从而求m的取值范围．解答：解：（1），a＞0时，f（x）在（0，1]上单调递增，在[1，+∞）单调递减；a＜0时，f（x）在（0，1]上单调递减，在[1，+∞）单调递增；a=0时，f（x）不是单调函数．（2）由f′（2）=1得a=﹣2，所以f（x）=﹣2lnx+2x﹣3，则，故g′（x）=3x2+（m+4）x﹣2因为g（x）在（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）=﹣2，∴．由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，综上，．m的取值范围为：．点评：本题考查了函数的单调性，利用导数判断函数的单调性的步骤是：（1）确定函数的定义域；（2）求导数fˊ（x）；（3）在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0；（4）确定函数的单调区间．若在函数式中含字母系数，往往要分类讨论．。

2013年广东省梅州市高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2013•梅州二模）sin660°的值为（）A．B．C．D．﹣考点：运用诱导公式化简求值．专题：计算题．分析：利用诱导公式，把sin660°等价转化为﹣cos30°，由此能求出结果．解答：解：sin660°=sin300°=﹣cos30°=﹣．故选D．点评：本题考查三角函数的诱导公式的灵活运用，是基础题．解题时要注意三角函数符号的变化．2．（5分）（2013•梅州二模）已知集合A={3，a2}，集合B={0，b，1﹣a}，且A∩B={1}，则A∪B=（）A．{0，1，3} B．{1，2，4} C．{0，1，2，3} D．{0，1，2，3，4}考点：并集及其运算．专题：计算题．分析：由A与B交集的元素为1，得到1属于A且属于B，得到a2=1，求出a的值，进而求出b的值，确定出A与B，找出既属于A又属于B的元素，即可确定出两集合的并集．解答：解：∵A={3，a2}，集合B={0，b，1﹣a}，且A∩B={1}，∴a2=1，解得：a=1或a=﹣1，当a=1时，1﹣a=1﹣1=0，不合题意，舍去；当a=﹣1时，1﹣a=1﹣（﹣1）=2，此时b=1，∴A={3，1}，集合B={0，1，2}，则A∪B={0，1，2，3}．故选C点评：此题考查了交、并集及其运算，是一道基本题型，熟练掌握交、并集的定义是解本题的关键．3．（5分）（2013•梅州二模）复数（i为虚数单位）的共轭复数是（）A．1﹣i B．1+i C．D．考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：计算题．分析：化简复数分母为实数，然后求出复数的共轭复数即可得到选项．解答：解：因为复数==．所以=．故选D．点评：本题考查复数的代数形式的表示法与运算，复数的基本概念的应用．4．（5分）（2009•宁夏）已知a=（﹣3，2），b=（﹣1，0），向量λa+b与a﹣2b垂直，则实数λ的值为（）A．﹣B．C．﹣D．考点：平面向量数量积的运算；数量积判断两个平面向量的垂直关系．分析：首先由向量坐标运算表示出λ与的坐标，再由它们垂直列方程解之即可．解答：解：由题意知λ=λ（﹣3，2）+（﹣1，0）=（﹣3λ﹣1，2λ），=（﹣3，2）﹣2（﹣1，0）=（﹣1，2），又因为两向量垂直，所以（﹣3λ﹣1，2λ）（﹣1，2）=0，即3λ+1+4λ=0，解得λ=．故选A．点评：本题考查向量坐标运算及两向量垂直的条件．5．（5分）（2009•安徽）下列曲线中离心率为的是（）A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：通过验证法可得双曲线的方程为时，．解答：解：选项A中a=，b=2，c==，e=排除．选项B中a=2，c=，则e=符合题意选项C中a=2，c=，则e=不符合题意选项D中a=2，c=则e=，不符合题意故选B点评：本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了双曲线方程中利用，a，b和c的关系求离心率问题．6．（5分）（2009•陕西）某单位共有老、中、青职工430人，其中青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍．为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为（）A．9B．18 C．27 D．36考点：分层抽样方法．专题：计算题．分析：根据条件中职工总数和青年职工人数，以及中年和老年职工的关系列出方程，解出老年职工的人数，根据青年职工在样本中的个数，算出每个个体被抽到的概率，用概率乘以老年职工的个数，得到结果．解答：解：设老年职工有x人，中年职工人数是老年职工人数的2倍，则中年职工有2x，∵x+2x+160=430，∴x=90，即由比例可得该单位老年职工共有90人，∵在抽取的样本中有青年职工32人，∴每个个体被抽到的概率是=，用分层抽样的比例应抽取×90=18人．故选B．点评：本题是一个分层抽样问题，容易出错的是不理解分层抽样的含义或与其它混淆．抽样方法是数学中的一个小知识点，但一般不难，故也是一个重要的得分点，不容错过．7．（5分）（2009•重庆）已知a＞0，b＞0，则的最小值是（）A．2B．C．4D．5考点：基本不等式．分析：a＞0，b＞0，即，给出了基本不等式使用的第一个条件，而使用后得到的式子恰好可以再次使用基本不等式．解答：解：因为当且仅当，且，即a=b时，取“=”号．故选C．点评：基本不等式a+b，（当且仅当a=b时取“=”）的必须具备得使用条件：一正（即a，b都需要是正数）二定（求和时，积是定值；求积时，和是定值．）三等（当且仅当a=b时，才能取等号）。