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13.1
.
20
1800年一位德国数学家猜 想这一等式成立，96年后，两 位法国数学家同时独立地证明 了猜想的正确性。
数学在法国地位崇高，视数
学为国学。n
猎奇——审美，它们之间是 相通的。
在杂乱无章的素数分布上，
人们发现了许多奇特的规律，
犹如万树丛中的鸟语花香。
.
22
2.斐波那契数列与黄金分割
4 9 6 1 2 4 8 1 8 3 1 6 2 1 2 4 2 4 8
.
10
第 四 个 完 全 数 是 8 ,1 2 8 ( 1 0 0 0 多 年 前 )
第 五 个 完 全 数 是 3 3 ,5 5 0 ,3 3 6 ( 1 5 3 8 年 )
第 六 个 完 全 数 是 8 ,5 8 9 ,8 6 9 ,0 5 6 ( 1 5 8 8 年 )
简洁、和谐、对称、奇异
.
7
1．整数的美学审视
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8
因 数: x i|a ,i 1 , ,n .1 x i a
完全数: a 1 x 1 x2 xn
.
9
完全数有多少?
6 的 因 数 为 1 ,2 ,3 6 1 2 3
28的 因 数 为 1,2,4,7， 14 28124714
4 9 6 的 因 数 为 1 ,2 ,4 ,8 ,1 8 ,3 1 ,6 2 ,1 2 4 ,2 4 8
286243 1是一个25000多位的数, 需要用30页A4纸. 是通过高性能
计算机来检验它是一个素数的. Mersen数在代数编码（密码学） 中有用。
.
15
区间
素数个数
1-100
25
100-200
21
200-300
16
300-400
16
400-500
17
500-600
14
600-700
16
.
16
.
2
学生怎么想的： 数学是什么？ 学数学有用吗？
高中数学要学什么？
要学好数学就是多解题吗？
.
3
起始课的任务是什么？
◆数学文化的启蒙教育
◆ 导游图
.
4
一、数学是美的 二、数学是有用的 三、高中数学特点
.
5
一、数学是美的
.
6
数学美的特点
自然而不矫作 ； 高贵而不庸俗； 沉稳而不浮躁 ； 冷峻中不失灵动 ； 奇异中又不乏和谐 。
区间 1-100 1-1000 1-10000 1-100000
.
比例 1/4 1/6 1/8 1/10
17
19世纪有一位数学爱好者观察
了600000内的素数，发现在n 和2n之间至少有1个素数。9年
后一位俄国数学家证明了猜想的
正确性。
.
18
1-n的区间 n 100 n 1000 n 10000 n 100000
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23
魔术师的地毯
在美国《科学美国人》杂志上曾刊登过一则有趣的故
事：世界著名的魔术家兰迪先生有一块长和宽都是8分 米的地毯，他想把它改成5分米宽、13分米长的地毯。
他拿着这块地毯去找地毯匠奥马尔，并对他说：“我
的朋友，我想请您把这块地毯分成四块，然后再把它们 缝在一起，成为一块5分米×13分米的地毯。”奥马尔 听了以后说道：“很遗憾，兰迪先生。您是一位伟大的 魔术家，但您的算术怎么这样差呢！8×8=64， 5×13=65，这怎么办得到呢？”兰迪说：“亲爱的奥 马尔，伟大的兰迪是从来不会错的，请您把这块地毯裁 成这样的四块。”
素数个数π(n) 25 168
1229 9592
.
π(n)/n< 1/4 1/5 1/8 1/10
19
ln n
lim
1
n n / (n)
n
10
100
1000
10000 100000 1000000
n /π(n) 2.5
4
5.95
8.14 10.42 12.05
ln n
2.3
4.6
6.9
9.2
11.5
仙居中学 应福贵
.
1
引子
一学生说在微博上看到：“语文使人谈吐优雅， 历史使人不背叛，政治让人懂得如何维权，地理 起码让人不迷路……数学呢？难道用函数去买菜 吗？”
我学了9年的数学，还未真正考虑过学数学究 竟是为了干什么。如果只是一味地做题，而不 知道目的是什么，那真是白学了。老师，你一 定要慎重对待这个问题。
物以稀为贵。虽然未找到实际中的特别
用途，但完全数的奇异和美丽吸引了许
多人。
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11
完全数有许多有趣的性质：
1、它们都是三角形数
6=1+2+3 28=1+2+3+4+5+6+7 496=1+2+3+……+30+31 8128=1+2+3……+126+127
2、它们的全部因数的倒数之和都是2
1/1+1/2+1/3+1/6=2 1/1+1/2+1/4+1/7+1/14+1/28=2 1/1+1/2+1/4+1/8+1/16+1/31+1/62+1/124+1/248+1/496=2
1 0 7 ,1 2 7 , 5 2 1, 6 0 7 ,1 2 7 9 , 2 2 0 3
2 2 8 1, 3 2 1 7 , 4 2 5 3, 4 4 2 3, 9 6 8 9
9 9 4 1,1 1 2 1 3,1 9 9 3 7 , 2 1 7 0 1,
23209, 44497,86243
.
14
Euclid在探寻完全数的时候发现： 完全数可能的公式：
Cn 2n1(2n1)
并猜想当n和2n 1都是素数时,
Cn是完全数. 此猜想被18世纪的一
位数学家所证明.
.
13
形如2n 1的素数称为Mersen素数, 记为
Mn 2n 1
共 有 28个 M ersen素 数 被 发 现 :
n 2 , 3, 5 , 7 ,1 3,1 7 ,1 9 , 3 1, 6 1, 8 9
.
24
然而奥马尔照他所说的裁成四块后。兰迪
先生便把这四块重新摆好，再让奥马尔把它们 缝在一起，这样就得到了一块5分米×13分米 的地毯。
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25
魔术师的地毯
把一个边长为8分米的正方形按图（1）方式剪 裁，然后拼成图(2)的矩形，会发现：
（1）
（2）
原正方形面积为： 82 64
而长方形面积为： 13×5=65
多出一个面积单位，何故？
3、都可以表达为2的一些连续正整数次幂之和
6=2^1+2^2
28=2^2+2^3+2^4
496=2^4+2^5+2^6+2^7+2^8
8128=2^6+2^7+2^8+2^. 9+2^10+2^11+2^12
12
33550336=2^12+2^13+……+2^24
当n2,3,5,7,13,17时, Cn确实是前6个完全数.
