第5章最小二乘法

最小二乘法抛物线拟合公式好的，以下是为您生成的文章：在咱们学习数学的这条“漫漫征途”上，有一个神秘而有趣的“家伙”叫做最小二乘法抛物线拟合公式。

这玩意儿听起来好像很复杂，让人摸不着头脑，但其实啊，它就像我们生活中的一把“万能钥匙”，能解决不少难题呢！我记得有一次，我带着学生们去做一个实验，测量一个物体下落的高度和时间。

大家兴致勃勃地拿着尺子和秒表，认真地记录着每一组数据。

可当数据摆在眼前的时候，大家都傻了眼，这一堆数字到底能说明啥呀？这时候，我就给他们引出了最小二乘法抛物线拟合公式。

咱们先来看看这个公式到底长啥样：对于一组数据（x₁, y₁），（x₂, y₂），...，（xₙ, yₙ），要拟合的抛物线方程为 y = ax² + bx + c ，那么最小二乘法就是要找到 a、b、c 使得∑(yₙ - (axₙ² + bxₙ + c))² 最小。

说起来有点绕，咱举个简单的例子。

比如说我们有这样五组数据（1，2），（2，5），（3，10），（4，17），（5，26）。

咱们要通过最小二乘法来找到最合适的抛物线。

首先，把这五组数据代入到抛物线方程里，就得到了五个方程：2 = a + b + c5 = 4a + 2b + c10 = 9a + 3b + c17 = 16a + 4b + c26 = 25a + 5b + c接下来就是解这个方程组啦。

这可不是一件轻松的事儿，得一步一步来，仔细计算，不能马虎。

经过一番“苦战”，咱们算出 a = 1，b = 0，c = 1 ，所以拟合出来的抛物线方程就是 y = x² + 1 。

这时候再回头看看咱们一开始的那些数据，是不是发现这个抛物线把这些点都“串”起来啦，就像串糖葫芦一样！最小二乘法抛物线拟合公式在实际生活中的应用可多啦！比如说在经济学中，预测商品的销售趋势；在物理学中，分析物体的运动轨迹；在工程学中，设计桥梁的拱形结构等等。

第五章 广义逆及最小二乘解在应用上见得最频繁的、大约莫过于线性方程组了。

作一番调查或整理一批实验数据，常常归结为一个线性方程组：Ax b =然而是否是相容方程呢？倘若不是，又如何处理呢？最小二乘解是常见的一种处理方法。

其实它不过是最小二乘法的代数形式而已。

广义逆从1935年Moore 提出以后，未得响应。

据说： (S.L.Campbell ＆ C.D.Meyer.Jr Generalized Inverses of Linear Transformations 1979 P9)原因之一，可能是他给出的定义，有点晦涩。

其后，1955年Penrose 给出了现在大都采用的定义以后，对广义逆的研究起了影响，三十年来，广义逆无论在理论还是应用上都有了巨大发展，一直成为了线性代数中不可缺少的内容之一。

为了讨论的顺利进行，我们在第一节中先给出点准备，作出矩阵的奇值分解。

§5.1 矩阵的酉交分解、满秩分解和奇值分解在线行空间中，知道一个线性变换在不同基偶下的矩阵表示是相抵的或等价的。

用矩阵的语言来说，就是：若 ,m n A B C ×∈，倘有非异矩阵()P m n ×，()Q n n ×存在，使B PAQ =则称A 与B 相抵的或等价的。

利用初等变换容易证明m n A C ×∈，秩为r ，则必有P ，Q ，使000r m nI PAQ C ×⎛⎞=∈⎜⎟⎝⎠(5.1-1) 其中r I 是r 阶单位阵。

在酉空间中，上面的说法，当然也成立，如果加上P ，Q 是酉交阵的要求，情形又如何呢？下面就来讨论这个问题。

定理 5.1.1 (酉交分解) m n A C ×∈，且秩为r ，则(),(),,H H m n U m n V n n U U I V V I ∃××==，使00r HU AV Δ⎛⎞=×⎜⎟⎝⎠(m n) (5.1-2) 其中r Δ为r 阶非异下三角阵。

第五章-异方差性-答案第五章 异方差性一、判断题1. 在异方差的情况下，通常预测失效。

（ T ）2. 当模型存在异方差时，普通最小二乘法是有偏的。

（ F ）3. 存在异方差时，可以用广义差分法进行补救。

（F ）4. 存在异方差时，普通最小二乘法会低估参数估计量的方差。

（F ）5. 如果回归模型遗漏一个重要变量，则OLS 残差必定表现出明显的趋势。

（ T ）二、单项选择题1.Goldfeld-Quandt 方法用于检验（ A ）A.异方差性B.自相关性C.随机解释变量D.多重共线性2.在异方差性情况下，常用的估计方法是（ D ）A.一阶差分法B.广义差分法C.工具变量法D.加权最小二乘法3.White 检验方法主要用于检验（ A ）A.异方差性B.自相关性C.随机解释变量D.多重共线性4.下列哪种方法不是检验异方差的方法（ D ）A.戈德菲尔特——匡特检验B.怀特检验C.戈里瑟检验D.方差膨胀因子检验5.加权最小二乘法克服异方差的主要原理是通过赋予不同观测点以不同的权数，从而提高估计精度，即（ B ）A.重视大误差的作用，轻视小误差的作用B.重视小误差的作用，轻视大误差的作用C.重视小误差和大误差的作用D.轻视小误差和大误差的作用6.如果戈里瑟检验表明，普通最小二乘估计结果的残差与有显著的形式的相关关系（满足线性模型的全部经典假设），则用加权最小二乘法估计模型参数时，权数应为（ B ）A. B. C. D. 7.设回归模型为，其中()2i2i x u Var σ=，则b 的最有效估计量为（ D ）i e i x i i i v x e +=28715.0i v i x 21i x i x 1ix 1i i i u bx y +=A. B. C. D. ∑=i i x y n 1b ˆ 8.容易产生异方差的数据是（ C ）A. 时间序列数据B.平均数据C.横截面数据D.年度数据9.假设回归模型为i i i u X Y ++=βα,其中()2i 2i X u Var σ=，则使用加权最小二乘法估计模型时，应将模型变换为（ C ）。

广义最小二乘法第五章广义最小二乘法当计量经济学模型同时存在序列相关和异方差,而且随机误差项的方差-协方差矩阵未知时我们可以考虑使用广义最小二乘法(gls)。

即下列模型：y=xβ+μ满足这样一些条件：e(μ)=0cov(μμ')=δ2ωω=11ω1221ω221ωn2...ω1n...ω2nωnn设立ω=dd'用d左乘y=xβ+μ的两边，得到一个新的模型d-1y=d-1xβ+d-1μy=x**-1β+μ*（1）该模型具备同方差性和随机误差相互独立性。

因为可以证明：e(μ*μ*')=δ2i于是需用普通最轻二乘法估算（1）式，获得的参数估计结果为ˆ=(x*'x*)-1x*'y*β=(x'ωx)x'ωy整个过程最重要的一步就是要估计ω，当模型存在一阶自相关时。

我们取-1-1-1ρn-1ρn-2ρn-1ρn-21案例四：广义最小二乘法在这里我们举例子去表明广义最轻二乘法的应用领域。

在探讨这个问题时所使用的数据如下表中5.1右图：首先我们计算ρ，我们可以直接根据ols估计出来的dw来计算，ols估计出来的结果为下表5.2：可以根据ρ=1-dw/2，dw=0.8774，因此ρ=0.5613,在这个基础上,我们可以得出结论这个方差-协方差矩阵。

方差协方差矩阵可以由以下一个程序去赢得：!p=0.5613matrix(17,17)fac1for!i=1to17fac1(!i,!i)=1for!j=1to17for!i=!j+1to17fac1(!i,!j)=!p^(!i-!j)fac1(!j,!i)=fac1(!i,!j)得到的矩阵结果为下表5.3下面再展开cholosky水解,获得d,展开cholosky水解时所用至的命令如下:1sym(17,17)fact1matrixfact1=@cholesky(fact)得到的fact1矩阵如下解fact1的逆矩阵就可以将数据展开切换,获得m2和gdp,解逆矩阵时使用的命令如下:matrix(17,17)fact2**fact2=@inverse(fact)得到的fact1矩阵的逆矩阵fact2如下m2*=m2*fact2gdp*=gdp*fact这样就可以获得一组转换后的数据,数据如下再对这组数据进行普通最小二乘法就可以得到这个方程的广义最小二乘法的估计结果,结果如下:可以看见，采用广义最轻二乘法后，序列有关的情况获得提升。

最小二乘法拟合相对旋转四元数的集合概述说明以及解释引言部分的内容：1.1 概述本文旨在介绍最小二乘法拟合相对旋转四元数的集合。

旋转四元数是一种用于表示三维空间中旋转变换的数学工具，而相对旋转四元数集合则是一组连续变化的旋转变换序列。

通过最小二乘法，我们可以将这个相对旋转四元数集合拟合成一组连续变化的曲线，进而利用这个曲线来描述和模拟实际应用场景中的旋转变换。

1.2 文章结构本文分为五个部分，如下所示：第一部分是引言部分，主要包括概述、文章结构和目的。

第二部分是最小二乘法拟合相对旋转四元数的集合概述，详细介绍了最小二乘法和旋转四元数的基本概念以及相对旋转四元数集合的应用场景。

第三部分是最小二乘法拟合相对旋转四元数的原理解释，探讨了最小二乘法在曲线拟合中的应用，并说明了如何将旋转四元数集合拟合成一组连续变化的曲线，并解释了算法的步骤。

第四部分是实验结果与讨论，介绍了数据收集和处理方法，并对最小二乘法拟合相对旋转四元数的结果进行了分析和评价。

同时，对实验结果进行了讨论和解释，深入探讨了其应用的效果和局限性。

最后一部分是结论与展望，总结了本文的研究发现，提出了研究的局限性和改进方向，并展望了未来的工作方向。

1.3 目的本文的目的是介绍最小二乘法拟合相对旋转四元数的集合及其应用。

通过详细解释最小二乘法在曲线拟合中的原理，并结合旋转四元数集合的特点，探索如何将其拟合成连续变化曲线。

通过实验结果与讨论，评估该方法在模拟旋转变换过程中的可行性和有效性。

最后，在结论与展望中总结研究结果，并提出未来研究工作的展望。

2. 最小二乘法拟合相对旋转四元数的集合概述2.1 什么是最小二乘法：最小二乘法是一种常用的数学优化方法，通过最小化误差的平方和来拟合数据。

它在很多领域中被广泛应用，包括曲线拟合、回归分析等。

2.2 旋转四元数的基本概念：旋转四元数是一种表示三维空间中旋转的数学工具，由实部和虚部构成。

它们可以用来描述物体在三维空间中的姿态变化，并且能够保持旋转操作的代数特性。