第五章 曲线拟合与最小二乘法

最小二乘法拟合原理最小二乘法是一种常用的数学方法，用于寻找一组数据的最佳拟合曲线或者最佳拟合函数。

它的原理是通过最小化实际观测数据与拟合曲线之间的残差平方和，来确定最佳拟合曲线的参数。

这个方法在实际应用以及科学研究中非常常见，下面将详细介绍最小二乘法的拟合原理。

在介绍最小二乘法之前，我们首先需要了解线性回归模型。

线性回归是一种常见的数据拟合手段，它基于以下假设：给定自变量X和因变量Y，存在一个线性关系Y=aX+b。

其中，a称为斜率，b称为截距。

当我们拥有一组数据（X1，Y1），（X2，Y2），（X3，Y3），...，（Xn，Yn）时，最小二乘法通过找到最佳的a和b，使得方程Y=aX+b最好地拟合这组数据。

它通过最小化每个观测点的残差来确定最佳拟合曲线。

残差是指实际观测值与拟合值之间的差异。

对于每一个观测点（Xi，Yi），其拟合值为Yi'=aXi+b，残差为Ri=Yi-Yi'，即实际观测值与拟合值的差。

S=∑(Yi-Yi')²=∑(Yi-aXi-b)²为了找到最佳的a和b，我们需要求解方程S对a和b的偏导数，并令其等于0。

求解a和b的偏导数得到以下两个方程：∂S/∂a=0∂S/∂b=0对第一个方程求解可以得到：∂S/∂a=-2∑(Yi-aXi-b)Xi=0进一步整理可以得到：∑YiXi-a∑(Xi)²-b∑(Xi)=0对第二个方程求解可以得到：∂S/∂b=-2∑(Yi-aXi-b)=0进一步整理可以得到：∑Yi - a∑(Xi) - nb = 0其中，n为观测点的数目。

解这个方程组，我们可以得到a和b的值，从而确定最佳拟合曲线的方程Y=aX+b。

最小二乘法还可以用于非线性的数据拟合。

对于非线性拟合，我们可以假设一个非线性的函数模型，例如Y=f(X,θ)，其中θ是待拟合的参数。

然后，通过最小化残差平方和来确定最佳的θ值。

方法类似于线性拟合，其中拟合值变为Yi'=f(Xi,θ)，残差为Ri=Yi-Yi'。

曲线拟合（curve-fitting ）：工程实践中，用测量到的一些离散的数据},...2,1,0),,{(m i y x i i =求一个近似的函数)(x ϕ来拟合这组数据，要求所得的拟合曲线能最好的反映数据的基本趋势（即使)(x ϕ最好地逼近()x f ，而不必满足插值原则。

因此没必要取)(i x ϕ=i y ，只要使i i i y x -=)(ϕδ尽可能地小）。

原理：给定数据点},...2,1,0),,{(m i y x i i =。

求近似曲线)(x ϕ。

并且使得近似曲线与()x f 的偏差最小。

近似曲线在该点处的偏差i i i y x -=)(ϕδ，i=1,2,...,m 。

常见的曲线拟合方法:1.使偏差绝对值之和最小2.使偏差绝对值最大的最小3.使偏差平方和最小最小二乘法：按偏差平方和最小的原则选取拟合曲线，并且采取二项式方程为拟合曲线的方法,称为最小二乘法。

推导过程：1. 设拟合多项式为：2. 各点到这条曲线的距离之和，即偏差平方和如下：3. 问题转化为求待定系数0a ...k a 对等式右边求i a 偏导数，因而我们得到了： .......4、 把这些等式化简并表示成矩阵的形式，就可以得到下面的矩阵：5. 将这个范德蒙得矩阵化简后可得到:6. 也就是说X*A=Y ，那么A = (X'*X)-1*X'*Y ，便得到了系数矩阵A ，同时，我们也就得到了拟合曲线。

MATLAB 实现：MATLAB 提供了polyfit （）函数命令进行最小二乘曲线拟合。

调用格式：p=polyfit(x,y,n)[p,s]= polyfit(x,y,n)[p,s,mu]=polyfit(x,y,n)x,y 为数据点，n 为多项式阶数，返回p 为幂次从高到低的多项式系数向量p 。

x 必须是单调的。

矩阵s 包括R （对x 进行QR 分解的三角元素）、df(自由度）、normr(残差）用于生成预测值的误差估计。

第五章 数据拟合这就是数据拟合成曲线的思想，简称为曲线拟合(fitting a curve)。

根据一组二维数据，即平面上的若干点，要求确定一个一元函数y = f (x )，即曲线，使这些点与曲线总体来说尽量接近，曲线拟合其目的是根据实验获得的数据去建立因变量与自变量之间有效的经验函数关系，为进一步的深入研究提供线索。

本章的目的，掌握一些曲线拟合的基本方法，弄清楚曲线拟合与插值方法之间的区别,学会使用MATLAB 软件进行曲线拟合。

§1 最小二乘法给定平面上的点(x i, y i )，（i = 1,2,…,n ），进行曲线拟合有多种方法，其中最小二乘法是解决曲线拟合最常用的方法。

最小二乘法的原理是：求 ∑∑==-==n i i i ni i y x f x f 1212])([),(δδ使 达到最小如图1所示，其中δi 为点(x i ,y i )与曲线y=f (x )的距离。

曲线拟合的实际含义是寻求一个函数y=f (x )，使f (x )在某种准则下与所有数据点最为接近，即曲线拟合得最好。

最小二乘准则就是使所有散点到曲线的距离平方和最小。

拟合时选用一定的拟合函数f (x ) 形式，设拟合函数可由一些简单的“基函数”（例如幂函数，三角函数等等） )(),...,(),(10x x x m ϕϕϕ来线性表示：)(...)()()(1100x c x c x c x f m m ϕϕϕ+++=图1 曲线拟合示意图现在要确定系数c 0，c 1，…，c m ，使d 达到极小。

为此，将f (x )的表达式代入d 中，d 就成为c 0，c 1，…，c m 的函数，求d 的极小，就可令d 对 c i 的偏导数等于零，于是得到m +1个方程组，从中求解出c i 。

通常取基函数为1，x ，x 2，x 3，…，x m ，这时拟合函数f (x )为多项式函数。

当m =1时，f (x ) = a + bx ，称为一元线性拟合函数，它是曲线拟合最简单的形式。

最小二乘拟合法公式最小二乘拟合法是一种常用的数据分析方法，用于找到一条最佳的拟合曲线或函数，使其在给定的数据集上的误差平方和最小。

这种方法可以用于解决各种问题，例如线性回归、曲线拟合等。

在最小二乘拟合法中，我们希望找到一个函数或曲线，使其能够最好地拟合给定的数据点。

假设我们有一组数据点{(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)}，我们希望找到一个函数y = f(x)，使得对于每个数据点(xi, yi)，f(xi)的值与yi的值之间的差异最小。

为了实现这个目标，我们可以使用最小二乘法来确定最佳的拟合函数。

最小二乘法通过最小化误差平方和来找到最佳拟合函数的系数。

误差平方和定义为每个数据点的预测值与实际值之差的平方之和。

最小二乘拟合法的公式如下所示：β = (X^T * X)^(-1) * X^T * Y其中，β是一个包含拟合函数的系数的向量，X是一个包含数据点的矩阵，Y是一个包含对应的实际值的向量，^T表示矩阵的转置，^(-1)表示矩阵的逆运算。

通过求解上述公式，我们可以得到最佳的拟合函数的系数。

然后，我们可以使用这些系数来计算拟合函数在其他输入值上的预测值。

最小二乘拟合法在实际应用中具有广泛的用途。

例如，在线性回归中，我们可以使用最小二乘法来拟合一条最佳的直线，以描述自变量和因变量之间的关系。

在曲线拟合中，我们可以使用最小二乘法来拟合一条最佳的曲线，以逼近给定的数据点。

需要注意的是，最小二乘拟合法在某些情况下可能会出现问题。

例如，当数据点存在较大的误差或离群值时，最小二乘法可能会受到影响。

此外，最小二乘法只能用于找到最佳的拟合函数，而不能确定拟合函数的可靠性或显著性。

总结起来，最小二乘拟合法是一种常用的数据分析方法，用于找到一条最佳的拟合曲线或函数。

通过最小化误差平方和，最小二乘法可以确定拟合函数的系数，从而实现对给定数据的最佳拟合。

然而，最小二乘法也有一些限制，需要在实际应用中进行注意。

---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 数值分析论文--曲线拟合的最小二乘法曲线拟合的最小二乘法姓名：徐志超学号：2019730059 专业：材料工程学院：材料科学与工程学院科目：数值分析曲线拟合的最小二乘法一、目的和意义在物理实验中经常要观测两个有函数关系的物理量。

根据两个量的许多组观测数据来确定它们的函数曲线，这就是实验数据处理中的曲线拟合问题。

这类问题通常有两种情况：一种是两个观测量 x 与 y 之间的函数形式已知，但一些参数未知，需要确定未知参数的最佳估计值；另一种是 x 与 y 之间的函数形式还不知道，需要找出它们之间的经验公式。

后一种情况常假设 x 与 y 之间的关系是一个待定的多项式，多项式系数就是待定的未知参数，从而可采用类似于前一种情况的处理方法。

在两个观测量中，往往总有一个量精度比另一个高得多，为简单起见把精度较高的观测量看作没有误差，并把这个观测量选作x，而把所有的误差只认为是y 的误差。

设 x 和 y 的函数关系由理论公式 y＝f（x； c1， c2， cm）1 / 13（0-0-1）给出，其中 c1， c2， cm 是 m 个要通过实验确定的参数。

对于每组观测数据（xi， yi） i＝1， 2，， N。

都对应于 xy 平面上一个点。

若不存在测量误差，则这些数据点都准确落在理论曲线上。

只要选取m 组测量值代入式（0-0-1），便得到方程组yi＝f （x；c1，c2，cm）（0-0-2）式中 i＝1，2，， m.求 m 个方程的联立解即得 m 个参数的数值。

显然Nm 时，参数不能确定。

在 Nm 的情况下，式（0-0-2）成为矛盾方程组，不能直接用解方程的方法求得 m 个参数值，只能用曲线拟合的方法来处理。

origin最小二乘法曲线拟合最小二乘法曲线拟合是数学中的一种重要的拟合技术，它的主要作用是用最小二乘法曲线拟合数据，用于预测数据、分析数据变化趋势等。

1. 什么是最小二乘法曲线拟合？最小二乘法曲线拟合是一种数学方法，它假设数据点可以使用某个函数来拟合，以最小二乘法方法最小化由该函数参数估计值的“残差平方和”的值的过程。

所拟合的函数称为最小二乘法曲线或拟合曲线，其参数估计值称为参数估计值（又称拟合系数或参数估计）。

2. 最小二乘法曲线拟合的应用：（1）预测数据：通过分析拟合出来的曲线，可以预测未来的数据走势；（2）分析数据变化趋势：通过拟合出来的曲线可以看出过去数据的变化趋势；（3）估算参数值：可以用此方法对数据中某个参数值进行准确估算；（4）确定有关性系数：最小二乘法曲线拟合可以确定两个变量之间的相关性系数。

3. 最小二乘法曲线拟合的步骤：（1）首先记录被测量的原始数据，找出变量的坐标原点；（2）用最小二乘法曲线拟合，求出拟合函数的参数估计值；（3）求出拟合出的曲线，并用该曲线代入原始函数，观察拟合效果；（4）采用常用的统计评价指标（比如均方根误差、决定系数等）来进行拟合程度的评价；（5）如果拟合值不理想，可以考虑更改拟合曲线的变量个数或估计参数值，重新求解，重复以上步骤，直至拟合效果较好，完成拟合过程。

4. 最小二乘法曲线拟合的改进：（1）可以采用多元线性回归来完善最小二乘法曲线拟合，以更加精确的拟合数据；（2）此外，通过对数据进行重复性拟合，加大拟合幂数等，也可以更加准确地拟合数据；（3）另外，可以采用正则化方法结合最小二乘法来拟合非线性数据，提高准确性。

5.最小二乘法曲线拟合的优点：（1）算法简单，计算速度快，效率高；（2）不需要精确的初始估计值；（3）可以拟合各种类型的函数形式；（4）泛化性良好，结果精度较高；（5）对某些变量的影响程度可以根据变量的权重来解释。

Excel拟合曲线用的最小二乘法1. 介绍Excel作为一款常用的办公软件，被广泛应用于数据分析和处理，而拟合曲线是数据分析中常用的方法之一。

拟合曲线用的最小二乘法是一种常见的拟合方法，通过最小化数据点与拟合曲线之间的距离来找到最佳拟合曲线，从而对数据进行预测和分析。

在本文中，我将从深度和广度的角度来探讨Excel拟合曲线用的最小二乘法，带你深入探索这一主题。

2. 最小二乘法的原理在Excel中进行曲线拟合时，最小二乘法是一种常用的拟合方法。

其原理是通过最小化残差平方和来找到最佳拟合曲线。

残差是指每个数据点到拟合曲线的垂直距离，最小二乘法通过调整拟合曲线的参数，使得残差平方和最小化，从而得到最佳拟合曲线。

在Excel中，可以利用内置函数或插件来实现最小二乘法的曲线拟合，对于不同类型的曲线拟合，可以选择不同的拟合函数进行拟合。

3. Excel中的拟合曲线在Excel中进行拟合曲线时，首先需要将数据导入Excel，然后利用内置的数据分析工具或者插件来进行曲线拟合。

通过选择拟合函数、调整参数等操作，可以得到拟合曲线的相关信息，如拟合优度、参数估计值等。

可以根据拟合曲线的结果来对数据进行预测和分析，从而得到对应的结论和见解。

4. 个人观点与理解对于Excel拟合曲线用的最小二乘法，我认为这是一种简单而有效的数据分析方法。

它能够快速对数据进行拟合，并得到拟合曲线的相关信息，对于数据的预测和分析具有一定的帮助。

然而，也需要注意到拟合曲线并不一定能够准确描述数据的真实情况，需要结合实际背景和专业知识进行分析和判断。

在使用最小二乘法进行曲线拟合时，需要注意数据的可靠性和拟合结果的可信度，以避免出现不准确的结论和偏差的情况。

5. 总结通过本文的探讨，我们对Excel拟合曲线用的最小二乘法有了更深入的了解。

最小二乘法的原理、Excel中的实际操作以及个人观点与理解都得到了充分的展示和探讨。

在实际应用中，需要结合具体情况和专业知识来灵活运用最小二乘法进行曲线拟合，从而得到准确的分析和预测结果。

实验五 最小二乘法及数据拟合建模的回归分析一、实验目的:1．掌握用最小二乘建立回归数学模型。

2．学习通过几个数据拟合的回归分析来判断曲线（直线）拟合的精度，通过回归分析来判断模型建立是否正确。

3．应用建立的模型进行预测。

二、基本原理和方法 1．建立回归数学模型在进行建模和仿真分析时，人们经常面临用已知系统实测数据应用数学模型描述对应系统，即对数据进行拟合。

拟合的目的是寻找给定的曲线（直线），它在某种准则下最佳地拟合数据。

最佳拟合要在什么准则下的最佳？以及用什么样的曲线模型去拟合。

常用的拟合方法之一是多项式的最小二乘拟合，其准则是最小误差平方和准则，所用的拟合曲线为多项式。

本实验在Matlab 平台上，以多项式最小二乘拟合为例，掌握回归模型的建立（包括参数估计和模型建立）和用模型进行预测的方法，并学习回归分析的基本方法。

2．在MATLAB 里，用于求解最小二乘多项式拟合问题的函数如下： polyfit 最小二乘多项式拟合p=polyfit(x,y,n) 对输入数据y 的n 阶最小二乘拟合多项式p(x)的系数Y=polyval(p,x) 求多项式的函数值Y )1n (p x )n (p x )2(p x )1(p Y 1n n +++++=−L以下是一个多项式拟合的例子。

已知 x=0,0.1,0.2,0.3,...,0.9,1 共11个点（自变量），实测数据y=-0.447, 1.978, 3.28, 6.16, 7.08, 7.34, 7.66, 9.56,9.48, 9.30, 11.2求：2阶的预测方程，并用8阶的预测方程与之比较。

x=linspace(0,1,11);y=[-.447 1.978 3.28 6.16 7.08 7.34 7.66 9.56 9.48 9.30 11.2]; p=polyfit(x,y,2)%求2阶的预测方程 2210x b x b b y ++= 的系数 p= b 2 b 1 b 0z=polyval(p,x); %求预测的y 值 （z 表示y )） p2=polyfit(x,y,8) %求8阶的预测方程 z1=polyval(p2,x);plot(x,y,'om',x,z,':*r'x,z1, ':+b')图中：”0” 代表散点图 “+”代表8阶预测方程“*”代表2阶预测方程图1 散点图与2阶预测方程3．回归模型的检验回归模型的检验是判断数据拟合的好坏即模型建立的正确与否，为建立模型和应用模型提供支持。

假设现在有n对坐标系中的点
现在要做k阶多项式拟合，多项式函数如下
将已知的观测点数据代入上述公式得到如下n组等式：
......
最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术。

它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。

利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小，如下所示：
代入公式可以得到
可以通过上述公式对求偏导后，令其为0来求解所有a的值，得到下面的式子
......
将上述方程整理归纳得
......
将上述方程用矩阵表述
将上述方程分解，令
，
那么上面的矩阵计算可以简化为，所以得到
网上的一些证明到这里基本就结束了，但我觉得根据逆矩阵的特性还可以优化的，在矩阵中AB的逆等于B的逆乘A的逆，如下
化简可以得到a为X的逆乘Y
计算出X的逆矩阵乘Y得到的就是多项式的系数，就能得到一个多项式了，曲线拟合就算完成了。

但是有没有发现，X的逆矩阵计算量很大，还要明白如何求解逆矩阵的，用程序去实现也有一定难度。

后面会介绍一种法则，求解多项式的系数，套公式即可。

以及用C语言实现最小二乘法的2次曲线拟合算法。

在线曲线拟合(最小二乘法)一、简介在线曲线拟合，也被称为最小二乘法，是一种常用的数学优化技术，主要用于数据分析和预测。

通过最小化预测值与实际观测值之间的平方差，找到最佳拟合曲线的参数。

这种方法在各个领域都有广泛的应用，例如经济预测、科学实验数据分析、金融市场分析等。

二、基本原理在线曲线拟合的基本原理是通过最小化预测值与实际观测值之间的平方差和，找到最佳拟合曲线的参数。

具体来说，假设我们有一组数据点（x1, y1）, (x2, y2), ..., (xn, yn)，我们要找到一条曲线y = f(x)，使得这些数据点与曲线之间的偏差最小。

偏差通常用平方差来度量，即∑(yi - f(xi))^2。

我们的目标是找到一组参数，使得这个偏差最小。

三、实现步骤在线曲线拟合的实现步骤如下：1. 收集数据：首先需要收集用于拟合的数据。

这些数据通常是一组观测值，可以是一维或多维的。

2. 设定模型：选择一个合适的数学模型，用于描述数据的内在规律。

模型通常是一条曲线，可以是一次函数、二次函数、指数函数等。

3. 计算偏差：计算每个数据点到拟合曲线的偏差，通常用平方差来度量。

偏差的计算方法取决于所选择的模型和数据点的具体形式。

4. 最小化偏差：通过迭代或优化算法，找到一组参数，使得偏差最小。

这一步通常需要使用数学优化技术，例如梯度下降法、牛顿法等。

5. 评估拟合效果：最后，需要对拟合结果进行评估。

可以通过计算残差、R方值等指标来衡量拟合效果的好坏。

如果拟合效果不理想，可能需要重新设定模型或收集更多的数据。

四、应用示例在线曲线拟合的应用非常广泛，下面举一个简单的例子来说明其应用。

假设我们有一组销售数据，想要通过这些数据来预测未来的销售趋势。

我们可以选择一条线性模型y = ax + b，其中a 和b 是待求解的参数。

通过最小化预测值与实际观测值之间的平方差和，我们可以找到最佳拟合曲线的参数a 和b。

最后，我们可以用这些参数来预测未来的销售趋势。