3案例分析(多重共线性)

回归分析是统计学中常用的一种分析方法，它用于研究一个或多个自变量与一个因变量之间的关系。

然而，在进行回归分析时，经常会面临一个多重共线性的问题。

多重共线性是指在回归模型中，自变量之间存在高度相关性的情况。

当自变量之间存在多重共线性时，就会导致回归系数估计不准确，增加了回归模型的不稳定性。

这对于研究者来说是一个很大的困扰，因为他们很难判断自变量之间到底是有关系还是无关系，从而无法准确地分析自变量对因变量的影响。

多重共线性问题的存在会使得回归系数的估计值变得不稳定，回归系数的符号可能会与理论上相悖，使得回归模型的解释性大大降低。

同时，多重共线性还会增加回归系数的标准误差，导致对回归系数的假设检验结果不可信。

那么，如何解决多重共线性问题呢？首先，我们可以通过计算自变量之间的相关系数来判断是否存在多重共线性。

如果自变量之间的相关系数较高，就需要考虑采取一些措施来解决多重共线性问题。

一种解决方法是通过方差膨胀因子（VIF）来检验多重共线性。

VIF是用来判断自变量之间存在多重共线性的一个指标，通常VIF大于10就表示存在多重共线性。

其次，我们可以采取一些方法来解决多重共线性问题。

一种解决方法是通过主成分分析（PCA）来降维。

主成分分析是一种常用的降维方法，它可以将原始的自变量通过线性变换转换为一组新的主成分，从而减少自变量之间的相关性。

通过主成分分析，可以将原始的自变量转换为一组新的主成分，从而减少自变量之间的相关性，解决多重共线性问题。

另一种解决多重共线性问题的方法是通过岭回归（Ridge Regression）。

岭回归是一种常用的回归分析方法，它通过对回归系数进行惩罚，可以减少自变量之间的相关性，从而解决多重共线性问题。

通过岭回归，可以对自变量的回归系数进行缩减，从而减少多重共线性对回归系数估计的影响。

此外，我们还可以通过逐步回归法（Stepwise Regression）来解决多重共线性问题。

逐步回归法是一种常用的变量选择方法，它可以通过逐步添加或删除自变量来选择最优的回归模型。

多元线性回归模型案例分析——中国人口自然增长分析一·研究目的要求中国从1971年开始全面开展了计划生育,使中国总和生育率很快从1970年的5.8降到1980年2.24,接近世代更替水平。

此后，人口自然增长率（即人口的生育率）很大程度上与经济的发展等各方面的因素相联系，与经济生活息息相关，为了研究此后影响中国人口自然增长的主要原因，分析全国人口增长规律，与猜测中国未来的增长趋势，需要建立计量经济学模型。

影响中国人口自然增长率的因素有很多，但据分析主要因素可能有：（1）从宏观经济上看，经济整体增长是人口自然增长的基本源泉；（2）居民消费水平，它的高低可能会间接影响人口增长率。

(3)文化程度，由于教育年限的高低，相应会转变人的传统观念，可能会间接影响人口自然增长率（4）人口分布，非农业与农业人口的比率也会对人口增长率有相应的影响。

二·模型设定为了全面反映中国“人口自然增长率”的全貌，选择人口增长率作为被解释变量，以反映中国人口的增长；选择“国名收入”及“人均GDP”作为经济整体增长的代表；选择“居民消费价格指数增长率”作为居民消费水平的代表。

暂不考虑文化程度及人口分布的影响。

从《中国统计年鉴》收集到以下数据（见表1）：表1 中国人口增长率及相关数据设定的线性回归模型为：1222334t t t t t Y X X X u ββββ=++++三、估计参数利用EViews 估计模型的参数，方法是：1、建立工作文件：启动EViews ，点击File\New\Workfile ，在对话框“Workfile Range ”。

在“Workfile frequency ”中选择“Annual ” (年度)，并在“Start date ”中输入开始时间“1988”，在“end date ”中输入最后时间“2005”，点击“ok ”，出现“Workfile UNTITLED ”工作框。

其中已有变量：“c ”—截距项 “resid ”—剩余项。

多元线性回归模型案例分析——中国人口自然增长分析一·研究目的要求中国从1971年开始全面开展了计划生育,使中国总和生育率很快从1970年的5.8降到1980年2.24,接近世代更替水平.此后,人口自然增长率<即人口的生育率>很大程度上与经济的发展等各方面的因素相联系,与经济生活息息相关,为了研究此后影响中国人口自然增长的主要原因,分析全国人口增长规律,与猜测中国未来的增长趋势,需要建立计量经济学模型.影响中国人口自然增长率的因素有很多,但据分析主要因素可能有：<1>从宏观经济上看,经济整体增长是人口自然增长的基本源泉；<2>居民消费水平,它的高低可能会间接影响人口增长率.〕3〔文化程度,由于教育年限的高低,相应会转变人的传统观念,可能会间接影响人口自然增长率<4>人口分布,非农业与农业人口的比率也会对人口增长率有相应的影响.二·模型设定为了全面反映中国"人口自然增长率"的全貌,选择人口增长率作为被解释变量,以反映中国人口的增长；选择"国名收入"及"人均GDP"作为经济整体增长的代表；选择"居民消费价格指数增长率"作为居民消费水平的代表.暂不考虑文化程度及人口分布的影响.从《中国统计年鉴》收集到以下数据<见表1>：表1中国人口增长率及相关数据设定的线性回归模型为： 三、估计参数利用EViews 估计模型的参数,方法是：1、建立工作文件：启动EViews,点击File\New\Workfile,在对话框"Workfile Range".在"Workfile frequency"中选择"Annual" 〕年度〔,并在"Start date"中输入开始时间"1988",在"end date"中输入最后时间"2005",点击"ok",出现"Workfile UNTITLED"工作框.其中已有变量："c"—截距项"resid"—剩余项.在"Objects"菜单中点击"New Objects",在"New Objects"对话框中选"Group",并在"Name for Objects"上定义文件名,点击"OK"出现数据编辑窗口.2、输入数据：点击"Quik"下拉菜单中的"Empty Group",出现"Group"窗口数据编辑框,点第一列与"obs"对应的格,在命令栏输入"Y",点下行键"↓",即将该序列命名为Y,并依此输入Y 的数据.用同年份 人口自然增长率<%.> 国民总收入<亿元> 居民消费价格指数增长率<CPI>% 人均GDP<元> 1988 15.73 15037 18.8 1366 1989 15.04 17001 18 1519 1990 14.39 18718 3.1 1644 1991 12.98 21826 3.4 1893 1992 11.6 26937 6.4 2311 1993 11.45 35260 14.7 2998 1994 11.21 48108 24.1 4044 1995 10.55 59811 17.1 5046 1996 10.42 70142 8.3 5846 1997 10.06 78061 2.8 6420 1998 9.14 83024 -0.8 6796 1999 8.18 88479 -1.4 7159 2000 7.58 98000 0.4 7858 2001 6.95 108068 0.7 8622 2002 6.45 119096 -0.8 9398 2003 6.01 135174 1.2 10542 2004 5.87 159587 3.9 12336 2005 5.89 184089 1.8 14040 20065.38 213132 1.5 16024样方法在对应的列命名X 2、X 3、X 4,并输入相应的数据.或者在EViews 命令框直接键入"data Y 2X X 3 X 4… ",回车出现"Group"窗口数据编辑框,在对应的Y 、X 2、X 3、X 4下输入响应的数据.3、估计参数：点击"Procs"下拉菜单中的"Make Equation",在出现的对话框的"Equation Specification"栏中键入"Y C X 2 X 3 X 4",在"Estimation Settings"栏中选择"Least Sqares"〕最小二乘法〔,点"ok",即出现回归结果： 表3.4根据表3.4中数据,模型估计的结果为：〕0.913842〔 〕0.000134〔 〕0.033919〔 〕0.001771〔t= 〕17.08010〔 〕2.482857〔 〕1.412721〔 〕-2.884953〔930526.02=R 915638.02=R F=62.50441四、模型检验1、经济意义检验模型估计结果说明,在假定其它变量不变的情况下,当年国民总收入每增长1亿元,人口增长率增长0.000332%；在假定其它变量不变的情况下,当年居民消费价格指数增长率每增长 1%,人口增长率增长0.047918%；在假定其它变量不变的情况下,当年人均GDP 没增加一元,人口增长率就会降低0.005109%.这与理论分析和经验判断相一致.2、统计检验<1>拟合优度：由表3.4中数据可以得到：930526.02=R ,修正的可决系数为915638.02=R,这说明模型对样本的拟合很好.<2>F 检验：针对0234:0H βββ===,给定显著性水平0.05α=,在F 分布表中查出自由度为k-1=3和n-k=14的临界值34.3)14,3(=αF .由表3.4中得到F=62.50441,由于F=62.50441 >(3,21) 3.075F α=,应拒绝原假设0234:0H βββ===,说明回归方程显著,即"国民总收入"、"居民消费价格指数增长率"、"人均GDP"等变量联合起来确实对"人口自然增长率"有显著影响.<3>t 检验：分别针对0H ：0(1,2,3,4)j j β==,给定显著性水平0.05α=,查t 分布表得自由度为n-k=14临界值145.2)(2/=-k n t α.由表3.4中数据可得,与^1β、^2β、^3β、^4β对应的t 统计量分别为17.08010、2.482857、1.412721、-2.884953除^3β,其绝对值均大于145.2)(2/=-k n t α,这说明分别都应当拒绝0H ：)4,2,1(0==j j β,也就是说,当在其它解释变量不变的情况下,解释变量"国民总收入"、"人均GDP"分别对被解释变量"人口自然增长率"Y 都有显著的影响.^3β的绝对值小于145.2)(2/=-k n t α,：这说明接受0H ：03=β,X3系数对t 检验不显著,这表明很可能存在多重共线性.所以计算各解释变量的相关系数,选择X2、X3、X4数据,点"view/correlations"得相关系数矩阵<如表4.4>：表4.4由相关系数矩阵可以看出：各解释变量相互之间的相关系数较高,证实确实存在严重多重共线性. 五、消除多重共线性采用逐步回归的办法,去检验和解决多重共线性问题.分别作Y 对X2、X3、X4的一元回归,结果如表4.5所示：表4.5按2R 的大小排序为：X4、X2、X3以X2为基础,顺次加入其他变量逐步回归.首先加入X2回归结果为：t=〕2.542529〔 〕-2.970874〔 920622.02=R当取05.0=α时,131.2)318(025.0)(2/=-=-tt k n α,X2参数的t 检验显著,加入X3回归得t= 〕17.08010〔 〕2.482857〔〕1.412721〔 〕-2.884953〔930526.02=R 915638.02=R F=62.50441当取05.0=α时,145.2)418(2/=-αt ,X3参数的t 检验不显著,予以剔除即40005397.02000350.035540.16ˆX X Y -+=,这是最后消除多重共线性的结果.在假定其它变量不变的情况下,当年国民总收入每增长1亿元,人口增长率增长0.000332%；在假定其它变量不变的情况下,在假定其它变量不变的情况下,当年人均GDP 没增加一元,人口增长率就会降低0.005109%.金服131 王亚平13019122。

多重共线性案例：变量Y，X1，X2，X3，X4，X5的数据年Y X1X2X3X4X51974 98.45 560.2 153.20 6.53 1.23 1.891975 100.70 603.11 190.00 9.12 1.30 2.031976 102.80 668.05 240.30 8.10 1.80 2.711977 133.95 715.47 301.12 10.10 2.09 3.001978 140.13 724.27 361.00 10.93 2.39 3.291979 143.11 736.13 420.00 11.85 3.90 5.241980 146.15 748.91 491.76 12.28 5.13 6.831981 144.60 760.32 501.00 13.50 5.47 8.361982 148.94 774.92 529.20 15.29 6.09 10.071983 158.55 785.30 552.72 18.10 7.97 12.571984 169.68 795.50 771.16 19.61 10.18 15.121985 162.14 804.80 811.80 17.22 11.79 18.251986 170.09 814.94 988.43 18.60 11.54 20.591987 178.69 828.73 1094.65 23.53 11.68 23.37资料来源：《天津统计年鉴》1988.用1974-1987年数据建立天津市粮食需求模型如下，Y = -3.49 + 0.13 X1 + 0.07 X2 + 2.67 X3 + 3.44 X4– 4.49 X5(-0.11) (2.12) (1.95) (2.13) (1.41) (-2.03)R2 = 0.97, F = 52.59, T = 14, t0.05(8) = 2.31, (1974-1987)其中Y：粮食销售量（万吨/ 年），X1：市常住人口数（万人），X2：人均收入（元/ 年），X3：肉销售量（万吨/ 年），X4：蛋销售量（万吨/ 年），X5：鱼虾销售量（万吨/ 年）。

实验五 多重共线性检验实验时间： 姓名：学号： 成绩：【实验目的】1、掌握多元线性回归模型的估计、检验和预测；2、掌握多重共线性问题的检验方法3、掌握多重共线性问题的修正方法 【实验内容】1、数据的读取和编辑；2、多元回归模型的估计、检验、预测；3、多重共线性问题的检验4、多重共线性问题的修正 【实验背景】为了评价报账最低工资（负收入税）政策的可行性，兰德公司进行了一项研究，以评价劳动供给（平均工作小时数）对小时工资提高的反应，词研究中的数据取自6000户男户主收入低于15000美元的一个国民样本，这些数据分成39个人口组，并放在表1中，由于4个人口组中的某些变量确实，所以只给出了35个组的数据，用于分析的各个变量的定义如下：Y 表示该年度平均工作小时数；X1表示平均小时工资（美元）；X2表示配偶平均收入（美元）；X3表示其他家庭成员的平均收入（美元）；X4表示年均非劳动收入（美元）；X5表示平均家庭资产拥有量；X6表示被调查者的平均年龄；X7表示平均赡养人数；X8表示平均受教育年限。

μ为随机干扰项，考虑一下回归模型：μβββββββββ+++++++++=87654321876543210X X X X X X X X Y（1） 将该年度平均工作小时数Y 对X 进行回归，并对模型进行简单分析； （2） 计算各变量之间的相关系数矩阵，利用相关系数法分析变量间是否具有多重共线性；（3） 利用逐步回归方法检验并修正回归模型，最后再对模型进行经济意义检验、统计检验。

表5观测组Y X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X81 2157 2.905 1121 291 380 7250 38.5 2.34 10.52 2174 2.97 1128 301 398 7744 39.3 2.335 10.53 2062 2.35 1214 326 185 3068 40.1 2.851 8.94 2111 2.511 1203 49 117 1632 22.4 1.159 11.55 2134 2.791 1013 594 730 12710 57.7 1.229 8.86 2185 3.04 1135 287 382 776 38.6 2.602 10.77 2210 3.222 1100 295 474 9338 39 2.187 1128 2105 2.495 1180 310 255 4730 39.9 2.616 9.39 2267 2.838 1298 252 431 8317 38.9 2.024 11.110 2205 2.356 885 264 373 6489 38.8 2.662 9.511 2121 2.922 1251 328 312 5907 39.8 2.287 10.312 2109 2.499 1207 347 271 5069 39.7 3.193 8.913 2108 2.796 1036 300 259 4614 38.2 2.4 9.214 2047 2.453 1213 397 139 1987 40.3 2.545 9.115 2174 3.582 1141 414 498 10239 40 2.064 11.716 2067 2.909 1805 290 239 4439 39.1 2.301 10.517 2159 2.511 1075 289 308 5621 39.3 2.486 9.518 2257 2.516 1093 176 392 7293 37.9 2.042 10.119 1985 1.423 553 381 146 1866 40.6 3.833 6.620 2184 3.636 1091 291 560 11240 39.1 2.328 11.621 2084 2.983 1327 331 296 5653 39.8 2.208 10.222 2051 2.573 1197 279 172 2806 40 2.362 9.123 2127 3.263 1226 314 408 8042 39.5 2.259 10.824 2102 3.234 1188 414 352 7557 39.8 2.019 10.725 2098 2.28 973 364 272 4400 40.6 2.661 8.426 2042 2.304 1085 328 140 1739 41.8 2.444 8.227 2181 2.912 1072 304 383 9340 39 2.337 10.228 2186 3.015 1122 30 352 7292 37.2 2.046 10.929 2188 3.01 990 366 374 7325 38.4 2.847 10.630 2077 1.901 350 209 95 1370 37.4 4.158 8.231 2196 3.009 947 294 342 6888 37.5 3.047 10.632 2093 1.899 342 311 120 1425 37.5 4.512 8.133 2173 2.959 1116 296 387 7625 39.2 2.342 10.534 2179 2.959 1116 296 387 7625 39.2 2.342 10.535 2200 2.98 1126 204 393 7885 39.2 2.341 10.6 【实验过程】一、利用Eviews软件建立年度平均工作小时数y的回归模型。

第七章 多重共线性“多重共线性”一词由R. Frisch 1934年提出，它原指模型的解释变量间存在线性关系。

7.1多重共线性及产生的原因 7.1.1．非多重共线性假定111211212221121111k k T T Tk x x xx xx X x x x ---=如果rk (X 'X ) = rk (X ) ＜ k 或`0X X =称解释变量是完全共线性相关。

在实际经济问题中，完全多重共线性和完全无多重共线性两种极端情况都是极少的，大多数情况是解释变量存在不完全的多重共线性，或者近似的多重共线性，可一表示为：1122110k k x x x u λλλ--++++= 7.1.2．多重共线性的经济解释（1）经济变量在时间上有共同变化的趋势。

如在经济上升时期，收入、消费、就业率等都增长，当经济收缩期，收入、消费、就业率等又都下降。

当这些变量同时进入模型后就会带来多重共线性问题。

0.E+001.E+112.E+113.E+114.E+11808284868890929496980002GDPCONS0.E +001.E +112.E +113.E +114.E +110.0E +005.0E +101.0E +111.5E +112.0E +112.5E +11C O N SG D P o f H o n g K o n g（2）解释变量与其滞后变量同作解释变量。

滞后变量与原因变量在经济意义上没有本质区别，只是时间上的差异，原因变量与解释变量有相关关系，滞后变量也会有相关关系。

（见下图） （3）解释变量之间往往存在密切的关联度。

对同一经济现象的解释变量，往往存在密切的相关关系，如生产函数，资本大，需投入的劳动力也应趆多。

0.E+001.E+112.E+113.E+114.E+11GDP0.E+001.E+112.E+113.E+114.E+110.E+001.E+112.E+113.E+114.E+11GDP(-1)GDP7.2．多重共线性的后果（1） 当 `0X X =，X 为降秩矩阵，则 (X 'X ) -1不存在，βˆ= (X 'X )-1 X 'Y 不可计算。