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一、每题6分，共10题。
1、试叙述信号分析的不确定原理，并以高斯信号为例解释相关概念。
不确定原理：对给定的信号，其时宽与带宽的乘积为一常数，当信号的时宽减小时，其带宽装将相应增大，当时宽减到无穷小时，带宽半变成无穷大，这就是说，信号的时宽与带宽不可能同时趋于无限小。
（P24）2、相对于傅里叶变换，短时傅里叶变换有何特点？窗口应满足什么条件？相对于傅里叶变换，除了同样可以了解信号包含的频谱信息，还可以对信号的频率进行时间上的定位。
STFT在时域用窗函数g(τ)去截x(τ),结截下来的局部信号作傅里叶变换，即可得到在t时刻的该段信号的傅里叶变换。
不断地移动t，也即不断地移动窗函数g(τ)的中心位置，即可得到不同时刻的傅里叶变换。
由于g(τ)是窗函数，因此它在时域应是有限支撑的，又由于e jΩt在频域是线谱，所以STFT的基函数g(τ-t) e jΩt在时域和频域都应是有限支撑的，这样，他的结果就有了对x(t)实现时频定位的功能。
3、相对于信号的谱图，wvd有何缺点？（P80）4、什么是小波变换的恒Q性质？试由此简要说明小波变换的时频分析特点。
(P241)5、试给出能保持信号能量边缘特性的和不能保持信号能量边缘特性的时频变换的例子。
6、什么是连续信号的Gabor展开？实际利用Gabor展开分析信号时，是采用临界采样还是过采样？说明理由。
什么是连续信号的Gabor展开：P61理由:实际利用Gabor展开分析信号时，是采用临界采样的。
因为在Gabor变换中，常数a和b的取值有3种情况：（1）ab=1，称为临界抽样，（2）ab>1，称为欠抽样，（3）ab<1，称为过抽样，由证明得，在ab>1的欠抽样的情况下，由于栅格过稀，因此将缺乏足够的信息来恢复原信号x(t)。
由于欠抽样时的这一固有的缺点，人们很少研究它，因此研究最多的是临界抽样和过抽样。
可以想象，在ab<1的过抽样的情况下，表示x(t)的离散系数C mn必然包含冗余的信息，这类似于对一维信号抽样时抽样间隔过小的情况。
1、已知0()2cos(2)a x t f t π=式中0f =100HZ,以采样频率s f =400Hz 对()a x t 进行采样，得到采样信号ˆ()a xt 和时域离散信号()x n ，试完成下面各题： （1）写出()a x t 的傅里叶变换表示式()a X j Ω；（2）写出()a x t 和()x n 的表达式；（3）分别求出()a x t 的傅里叶变换和()x n 的傅里叶变换。
解：（1）000()()2cos()()j t j t a a j t j t j t X j x t e dt t e dt e e e dt ∞∞-Ω-Ω-∞-∞∞Ω-Ω-Ω-∞Ω==Ω=+⎰⎰⎰上式中指数函数和傅里叶变换不存在，引入奇异函数δ函数，它的傅里叶变换可以表示成：00()2[()()]a X j πδδΩ=Ω-Ω+Ω+Ω（2）00ˆ()()()2cos()()()2cos(),a a n n xt x t t nT nT t nT x n nT n δδ∞∞=-∞=-∞=-=Ω-=Ω-∞<<∞∑∑2、用微处理器对实数序列作谱分析，要求谱分辨率50F Hz ≤，信号最高频率1KHz,是确定以下各参数：（1）最小记录时间min p T（2）最大取样时间max T（3）最少采样点数min N（4）在频带宽度不变的情况下将频率分辨率提高一倍的N 值。
解：（1）已知50F Hz ≤min 110.0250p T s F === （2） max 3min max 1110.52210s T ms f f ====⨯ （3） min 30.02400.510p T s N T s-===⨯ （4）频带宽度不变就意味着采样间隔T 不变，应该使记录时间扩大一倍为0.04s 实频率分辩率提高1倍（F 变成原来的12）min 30.04800.510p T s N T s -===⨯ 3、在时域对一有限长的模拟信号以4KHZ 采样，然后对采到的N 个抽样做N 点DFT ，所得离散谱线的间距相当于模拟频率100HZ 。
精心整理1、已知0()2cos(2)a x t f t π=式中0f =100HZ,以采样频率s f =400Hz 对()a x t 进行采样，得到采样信号ˆ()a xt 和时域离散信号()x n ，试完成下面各题： （1）写出()a x t 的傅里叶变换表示式()a X j Ω； （2）写出()a x t 和()x n 的表达式；（3）分别求出()a x t 的傅里叶变换和()x n 的傅里叶变换。
解：（1）0()()2cos()j t j ta a X j x t e dt t e dt∞∞-Ω-Ω-∞-∞∞Ω==Ω⎰⎰ ()a X j Ω=（2）ˆ((a xt x n 2参数：（1（2（3（4解：（1（2）（3）（4提高138KHZ 采样，对采到的2N 个样点做2N 点DFT 。
问：他的目的能达到吗？ 答：不能，因为他忽略了数字频率和模拟频率的区别。
提高采样频率s f ，N 固然大了，数字频率（单位圆）上的样点数确实增加了，但从模拟频率谱看，样点一点也没有变得密集，这是因为数字频率π2总是对应模拟频率s f 。
采样频率由s f 到2sf 增加一倍，N 也增加一倍，但模拟频率的采样间隔Hz NfN f s s 10022==一点也没有变。
所以，增大采样频率，只能提高数字频率的分辨率222(NN ππ→，不能提高模拟频率的分辨率。
4、在A/D 变换之前和D/A 变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，他们分别起什么作用？解：在D A /变换之前让信号通过一个低通滤波器，是为了限制信号的最高频率，使其满足当采样频率一定时，采样频率应大于等于信号最高频率2倍的条件。
此滤波器亦称为“抗折叠”滤波器。
精心整理在A D /变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，是为了滤除高频延拓谱，以便把抽样保持的阶梯形输出波平滑化，故又称为“平滑”滤波器。
5、已知10,)1)(1(1)(12<<---=-a az az a z H ，分析其因果性和稳定性。
学习要点u 1.课随机变量的描述 u 2.随机变量的数值特征 u 3.离散随机过程 u 4.狭义平衡随机过程 u 5.随机过程的数值特征 u 随机过程的数值特征u 6.自相关序列和自协方差序列 u 7.离散随机过程的平均u 8.相关序列和协方差序列的性质 u 9.功率谱u 10.离散随机信号通过线性非移变系统 习题一解：因为正弦与余弦为正交函数：12()cos()sin(),()PSD pi i i i i i i x n A w n B w n A B x n σ==+∑设 其中随机变量都服从均值为零、方差为的高斯分布，并且两两之间互相独立。
求的均值、自相关函数和功率谱密度（）。
[][][]111()()cos()sin() cos()+sin() =0pi i ii i p p i i i ii i x n E x n E A w n B w n E A w n E B w n ===⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑∑∑的均值为：＝[][]1211221112121112()()()()=cos()sin()cos()sin()cos()cos()sin()sin()=cos(),-p p i i i i i i i i i i p p p p i j i j i j i j i j i i px n x n E x n x n E A w n B w n A w n B w n E A A w n w n E B B w n w n w m m n n φσ======⎛⎫⎛⎫++⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎡⎤+⎣⎦⎣⎦=∑∑∑∑∑∑∑的自相关函数为：＝第二章维纳滤波器第二章维纳滤波器习题课 内容• 维纳滤波器分类 • 维纳滤波器的时域解 • 维纳滤波器的Z 域解 • 维纳滤波器的预测器 一、维纳滤波分类二、维纳滤波的时域解三、维纳滤波的复频域(Z)解[][][][]1221222()P ()FT ()()=FT cos(),-(-)()=(-)()p i i pi i ipi i i x n x n x n x n w m m n n w w w w w w w w φσσπδδσπδδ⎡⎤=⎣⎦⎡⎤=⎢⎥⎣⎦=++++∑∑∑的功率谱函数为：(2)ˆ(),(-1),(-2),,()x n x n x n s n N + 由过去的观测值估计当前甚至将来的信号值，即以来确定，这属于预测或外推。
现代数字信号处理技术复习题一、填空题1、平稳随机信号是指：概率分布不随时间推移而变化的随机信号，也就是说，平稳随机信号的统计特性与起始时间无关，只与时间间隔有关。
判断随机信号是否广义平稳的三个条件是：（1）x(t)的均值为与时间无关的常数：C t m x =)( （C 为常数） ；（2）x(t)的自相关函数与起始时间无关，即：)(),(),(ττx i i x j i x R t t R t t R =+=；（3）信号的瞬时功率有限，即：∞<=)0(x x R D 。
高斯白噪声信号是指：噪声的概率密度函数满足正态分布统计特性，同时其功率谱密度函数是常数的一类噪声信号。
信号的遍历性是指：从随机过程中得到的任一样本函数,好象经历了随机过程的所有可能状态,因此,用一个样本函数的时间平均就可以代替它的集合平均 。
广义遍历信号x(n)的时间均值的定义为： ，其时间自相关函数的定义为： 。
2、连续随机信号f(t)在区间上的能量E 定义为：其功率P 定义为：离散随机信号f(n)在区间上的能量E 定义为：其功率P 定义为：注意:(1)如果信号的能量0<E<∞，则称之为能量有限信号，简称能量信号。
(2)如果信号的功率0<P<∞，则称之为功率有限信号，简称功率信号。
3、因果系统是指：对于线性时不变系统，如果它在任意时刻的输出只取决于现在时刻和过去时刻的输入，而与将来时刻的输入无关，则该系统称为因果系统。
4、对平稳随机信号，其自相关函数为)(τx R ，自协方差函数为)(τx C ， （1）当0→τ时，有：)(τx R =x D ，)(τx C ＝2x σ。
（2）当∞→τ时，有：)(τx R =2x m ，)(τx C ＝0。
5、高斯－马尔可夫随机信号的自相关函数的一般表达式可表示为:||)(τβητ-e R x ＝ 。
6、高斯–马尔可夫信号)(t x 的自相关函数为||410)(ττ-e R x ＝，其均值 0)(=∞=x x R m ，均方值10)0(==x x R D ,方差102==x D σ。
P29采样、频率混叠，画图说明将连续信号转换成离散的数字序列过程就是信号的采样。
它包含了离散和量化两个主要步骤。
若采样间隔Δt 太大，使得平移距离2π/Δt 过小。
移至各采样脉冲函数对应频域序列点上的频谱X(ω)就会有一部分相互重叠，由此造成离散信号的频谱与原信号频谱不一致，这种现象称为混叠。
P33列举时域参数（有量纲和无量纲），说明其意义与作用。
有量纲参数指标包括方根幅值、平均幅值、均方幅值和峰值四种。
无量纲参数指标包括了波形指标、峰值指标、脉冲指标和裕度指标。
偏斜度指标S 表示信号概率密度函数的中心偏离正态分布的程度，反映信号幅值分布相对其均值的不对称性。
峭度指标K 表示信号概率密度函数峰顶的陡峭程度，反映信号波形中的冲击分量的大小。
P37～自相关互相关及作用（举例说明）相关，就是指变量之间的线性联系或相互依赖关系。
信号x (t )的自相关函数：信号中的周期性分量在相应的自相关函数中不会衰减，且保持了原来的周期。
因此，自相关函数可从被噪声干扰的信号中找出周期成分。
在用噪声诊断机器运行状态时，正常机器噪声是由大量、无序、大小近似相等的随机成分叠加的结果，因此正常机器噪声具有较宽而均匀的频谱。
当机器状态异常时，随机噪声中将出现有规则、周期性的信号，其幅度要比正常噪声的幅度大得多。
依靠自相关函数就可在噪声中发现隐藏的周期分量，确定机器的缺陷所在。
（如：自相关分析识别车床变速箱运行状态，确定存在缺陷轴的位置；确定信号周期。
）互相关函数：互相关函数的周期与信号x(t)和y(t)的周期相同，同时保留了两个信号的相位差信息φ。
可在噪音背景下提取有用信息；速度测量；板墙对声音的反射和衰减测量等。
（如：利用互相关分析测定船舶的航速；探测地下水管的破损地点。
P42）P51～蝶形算法FFT 的基本思想是把长度为2的正整数次幂的数据序列｛x k ｝分隔成若干较短的序列作DFT 计算，用以代替原始序列的DFT 计算。
题1：(1) 错误!未找到引用源。
是随错误!未找到引用源。
变化的随机信号，因此错误!未找到引用源。
=错误!未找到引用源。
.所以谐波信号)(tx的均值为错误!未找到引用源。
=错误!未找到引用源。
由于谐波信号)(tx的均值等于零，故其方差等于二阶矩，既有错误!未找到引用源。
错误!未找到引用源。
所以x(t)的方差为错误!未找到引用源。
谐波信号)(tx的自相关函数错误!未找到引用源。
又错误!未找到引用源。
所以错误!未找到引用源。
由于x(t)的均值为0，故所以错误!未找到引用源。
(2) y(t)是随B变化的随机信号，因此错误!未找到引用源。
B是标准高斯随机变量，所以错误!未找到引用源。
，所以错误!未找到引用源。
. 由于错误!未找到引用源。
统计独立，故有错误!未找到引用源。
而x(t)和y(t)的均值均为0，所以错误!未找到引用源。
题2：令错误!未找到引用源。
，由于错误!未找到引用源。
是零均值、方差为错误!未找到引用源。
的高斯随机过程，错误!未找到引用源。
和错误!未找到引用源。
是确定的过程，所以x(n)也是一高斯随机过程，其均值错误!未找到引用源。
是时间的函数.所以x(n)的概率密度函数是∏=---=NnBnAnxxf1222}])([21ex p{21);(σπσθ=}])([21ex p{)2(12122/2BnAnxNnN---∑=σπσ在多个未知参数的情况下，Cramer-Rao不等式变为矩阵不等式:∑-≥)(1θJ其中错误!未找到引用源。
无偏估计子错误!未找到引用源。
的协方差矩阵，而错误!未找到引用源。
是Fisher信息矩阵J的逆矩阵，而信息矩阵错误!未找到引用源。
的构成元素为错误!未找到引用源。
本题中，计算得错误!未找到引用源。
错误!未找到引用源。
=错误!未找到引用源。
错误!未找到引用源。
错误!未找到引用源。
错误!未找到引用源。
错误!未找到引用源。
=错误!未找到引用源。
=错误!未找到引用源。
1、已知0()2cos(2)a x t f t π=式中0f =100HZ,以采样频率s f =400Hz 对()a x t 进行采样，得到采样信号ˆ()a xt 和时域离散信号()x n ，试完成下面各题： （1）写出()a x t 的傅里叶变换表示式()a X j Ω； （2）写出()a x t 和()x n 的表达式；（3）分别求出()a x t 的傅里叶变换和()x n 的傅里叶变换。
解：（1）000()()2cos()()j tj ta a j t j t j t X j x t edt t edte e e dt∞∞-Ω-Ω-∞-∞∞Ω-Ω-Ω-∞Ω==Ω=+⎰⎰⎰上式中指数函数和傅里叶变换不存在，引入奇异函数δ函数，它的傅里叶变换可以表示成：00()2[()()]a X j πδδΩ=Ω-Ω+Ω+Ω （2）0ˆ()()()2cos()()()2cos(),a an n xt x t t nT nT t nT x n nT n δδ∞∞=-∞=-∞=-=Ω-=Ω-∞<<∞∑∑2、用微处理器对实数序列作谱分析，要求谱分辨率50F Hz ≤，信号最高频率1KHz,是确定以下各参数：（1）最小记录时间min p T （2）最大取样时间max T （3）最少采样点数min N（4）在频带宽度不变的情况下将频率分辨率提高一倍的N 值。
解：（1）已知50F Hz ≤min 110.0250p T s F =≥= （2） max 3min max 1110.52210s T ms f f ====⨯ （3） min 30.02400.510p T s N T s-===⨯ （4）频带宽度不变就意味着采样间隔T 不变，应该使记录时间扩大一倍为0.04s 实频率分辩率提高1倍（F 变成原来的12）min 30.04800.510p T s N T s-===⨯3、在时域对一有限长的模拟信号以4KHZ 采样，然后对采到的N 个抽样做N 点DFT ，所得离散谱线的间距相当于模拟频率100HZ 。
现代信号处理复习题1. 试说明维纳滤波器和卡尔曼滤波器的主要异同？2. LMS 算法与最陡下降法有何异同？什么叫LMS 算法的学习曲线？平均学习曲线和个别学习曲线的不同点是什么？为什么平均学习曲线的稳态值高于维纳滤波时的最小均方误差？3.为什么不用信号的傅里叶变换而用功率谱描述随机信号的频率特性？周期图作谱估计时，211ˆ()()N j nXXn P x n eNωω--==∑ 说明为什么可用FFT 进行计算？周期图的谱分辨率较低，且估计的方差也较大，说明造成这两种缺点的原因以及无论选什么样的窗函数，都难以从根本上解决问题的原因。
4.简述人工自适应系统的特点和建立自适应系统一般应该满足的要求。
5. 简述Wold 分解定理。
6. 简述自适应滤波的最陡下降法基本思想。
7. 说明LMS 算法与RLS 算法的代价函数。
8.一个线性时不变因果系统由差分方程)1(21)()1(41)(-+=-+n x n x n y n y 描述，求该系统的频率响应。
9.若{}{}1,1)1(),0()(==h h n h ，{}{}4,3,2,1)3(,),0()(=⋅⋅⋅=x x n x ，则)(n x 和)(n h 的线性卷积=)3(y 。
10.已知一IIR 数字滤波器的系统函数18.011)(-+=z z H ，则该滤波器的类型为（低通、高通、带通、带阻）11.若[]x n 是白噪声[]w n 通过一个一阶LTI 系统11()10.25H z z -=-产生的随机过程，已知白噪声的方差21wσ=，求信号[]x n 功率谱。
12. 描述AR 模型的正则方程，即Yuler-Walker 方程的矩阵。
13.设()x n 是一个宽平稳随机过程，均值为x m ，自相关为()x r k ，若()x n 通过一个单位采样响应为()h n 的稳定线性时不变系统，写出输出随机过程()y n 的均值，自相关函数。
14.设()x n 为AR （1）过程，自相关序列为()k x r k α=，试设计其最优线性预测器。
一、 基本概念填空1、 统计检测理论是利用信号与噪声的统计特性等信息来建立最佳判决的数学理论。
2、 主要解决在受噪声干扰的观测中信号有无的判决问题3、 信号估计主要解决的是在受噪声干扰的观测中，信号参量和波形的确定问题。
4、 在二元假设检验中，如果发送端发送为H 1，而检测为H 0，则成为漏警，发送端发送H 0，而检测为H 1，则称为虚警。
5、 若滤波器的冲激响应时无限长，称为 IIR 滤波器，反之，称为 FIR 滤波器6、 若滤波器的输出到达最大信噪比成为匹配滤波器；若使输出滤波器的均方估计误差为最小，称为维纳滤波器。
7、 在参量估计中，所包含的转换空间有参量空间和观测空间8、 在小波分析中，小波函数应满足∫φ(t )dt =0+∞−∞和∫|φ(t )|dt =1+∞−∞两个数学条件。
9、 在小波的基本概念中，主要存在F (w )=∫f(t)e −iωt dt +∞−∞和f(t)=12π∫F(w)e iωt dw +∞−∞两个基本方程。
(这个不确定答案，个人感觉是) 10、 在谱估计中，有经典谱估计和现代谱估计组成了完整的谱估计。
11、 如果系统为一个稳定系统，则在Z 变换中，零极点的分布应在单位圆内，如果系统为因果系统，在拉普拉斯变换中，零极点的分布应在左边平面。
二、 问题1、 在信号检测中，在什么条件下，使用贝叶斯准则，什么条件下使用极大极小准则？什么条件下使用Neyman-Pearson 准则？答：先验概率和代价函数均已知的情况下，使用贝叶斯准则，先验概率未知，但可选代价函数时，使用极大极小准则，先验概率和代价函数均未知的情况下，使用Neyman-Pearson 准则。
2、 在参量估计中，无偏估计和渐进无偏估计的定义是什么？答：无偏估计：若估计量的均值等于被估计量的均值（随机变量），即E(θ̃)=E(θ)或等于被估计量的真值（非随机参量）E(θ̃)=θ，则称θ̃为θ的无偏估计。
渐进无偏估计：若lim N→∞E{θ̃}=E(θ ),称θ̃为θ的渐进无偏估计。
一、简答题
1. 简述最小相位信号、最大相位信号以及混合相位信号的定义。
2. 维纳滤波理论对信号和系统做了哪些假设和限制？
3. 最大似然估计、线性最小方差估计和最小二乘估计对被估计序列做了何
种假设，哪一种方法的估计精度最优？估计量评价标准是什么？
二、证明题：证明短时Fourier 变换是一种线性时频表示。
三、计算题
1. 两个有限长序列)(n x 和)(n y 的零值区间为
n
n n y n n n x ≤<=≤<=20,0,0)(10,0,0)( 对每个序列做20点DFT ，即
19,,1,0)],([)(;19,,1,0)],([)( ====k n y DFT k Y k n x DFT k X 如果19,,1,0)],([)(;19,,1,0),()()( ====k k F IDFT n f k k Y k X k F ，试问在哪些点上)(*)()(n y n x n f =，为什么？
2. 对于抽取系统，如果输入信号)(n x 的频谱如图所示，试分别画出抽取因
子分别为2、3、4时输出信号的频谱，问哪种情况属于最大抽取?
3. 令信号为
⎩⎨⎧<>=-0
00)(t t e t s t
并且加性噪声)(t n 是一高斯白噪声，其均值 0，方差为1。
求匹配滤波器的冲激响应)(0t h 。
1．现代信号处理的范畴主要包含哪几个方面？它们与经典信号处理有何联系与区别？2．严平稳和弱平稳随机信号在概念上有何区别？严平稳随机信号是否一定是弱平稳的？试以严平稳和弱平稳白噪声〔其均值与方差相同〕为例，说明严平稳和弱平稳随机信号的区别。
3．随机信号的均值、均方值和方差等数值特征与随机变量的这些数值特征在形式上有何区别？为什么会出现这种区别？而平稳随机信号的这些数值特征在形式上与随机变量的数值特征相同，它们在含义上有何区别？4．自相关函数的直观物理含义是什么？如何理解白噪声自相关函数的特点？一个方差为2σ的平稳白噪声序列，试写出其n 阶自相关函数矩阵和自协方差矩阵。
5．试证明实平稳随机信号自相关函数和互相关函数的以下性质： 〔1〕()(), ()()xx xx xy yx r m r m r m r m =-=-； 〔2〕[]2(0)()xx r E x n =；〔3〕(0)(), for any integer xx xx r r m m ≥；〔4〕2lim (), lim ()xx x xy x y m m r m m r m m m →∞→∞==。
6．两个实平稳随机信号的互功率谱是否一定为实函数？ 答：不一定。
7．随机信号的独立性和相关性之间有什么联系与区别？试证明两个相互独立的随机信号必然是不相关的。
8．结合随机过程数字特征的含义以与维纳-辛钦定理，根据你的理解，阐述弱平稳随机信号定义中的两个条件：〔1〕()()x x x m n m n l m =+=，〔2〕1122(,)(,)()xx xx xx r n n m r n n m r m +=+=分别体现了平稳随机信号哪些方面的特性。
9．试叙述你对“平稳随机过程各态历经性〞的理解。
平稳随机信号的各态历经性对简化其分析过程有什么帮助？10． 平稳随机信号通过LTI 系统后，其功率谱将如何变化？这种功率谱的变化在实际应用中有何意义？11． 设有一LTI 系统，其频率特性未知，试根据LTI 系统输入输出信号互功率谱与输入信号功率谱之间的关系，以白噪声作为输入，设计一个方案，估计该LTI 系统的频率特性。
第一题：1. 零点2. 2 23.、3δ(n+3)-2δ（n-1）+δ(n)4. 3-j, 2+j5. 250, 0.5s6. 10 25*210=25600第二题：1. B2.D3.A4.D5.B第三题：1. 因果性：)0(0)(<=n n h稳定性：∞<∑+∞-∞=|)(|n n h2. 线性：T[ax 1(n)+b x 2(n)]=n(ax 1(n)+ bx 2(n))=an x 1(n)+bn x 2(n)= aT[x 1(n)]+bT[ x 2(n)] 时变：T[x(n-m)] ≠(n-m)x(n-m)3.102110010()()()()()()()N j j nn N N j kn kn N N n n N nn X e x n e X k x n ex n W X z x n z ωωπ--=---==--=====∑∑∑∑ 序列Z 变换()X z 在单位圆上的取值为该序列的傅立叶变换()j X e ω，即0()|()()j n j n jw z e X z x n e X e ωω∞-====∑()j X e ω在[0, 2π)区间上的等间隔N 点采样值即： w=2πk/N 处的()j X e ω值即为X(K)2()()j k N X k X e ωπω==第四题： 1.特征方程：2320λλ++=特征根为-1, -2，因此零输入响应表达式为y(t) = [C 1e -t + C 2e -2t ]u(t)。
代入初始条件y (0-) = 2，y ' (0-) = 4，得到C 1 + C 2 = 2-C 1 -2 C 2 = 4解得C 1 = 8, C 2 = -6，y(t) = [8e -t -6e -2t ]u(t)2. 2227248802()()32323()2(1)0,,7j kn j k j k N n k j jk k kX k x n ee e e e j k πππππ---=--==+=+=-+-=∑由)()(48k X W k Y k =得88()((4))()2()3(6)y n x n R n n n δδ=-=+-3. 1）通过21tan()2T ωΩ=将数字带通滤波器的技术指标转换为模拟带通滤波器技术指标，求得u Ω、l Ω、1s Ω、2s Ω、0Ω、B2）求得模拟归一化低通滤波器技术指标：λp=1，22202s s s B λΩ-Ω=Ω或22101s s s B λΩ-Ω-=Ω 3)设计模拟归一化低通滤波器：lg ,lg sp s sp sp p sp k k N λλλλ=≥-根据N ，查表可得归一化低通传输函数G(p)4）将归一化模拟低通转化成模拟带通：220()()()u l a s p s H s G p +Ω=Ω-Ω= 5）通过双线性变换法将Ha(s)转换成数字带通滤波器H(z)： 1211()()|z s T z H z H s --=+=4．(1) a = 5(2) ωωωωωωωωωj j j j j j n n j j e e e e e e e n h e H -----+∞-∞=-+=++=++==∑]1)cos(10[)155(55)()(2 因此ωωφωω-=+=)(],1)cos(10[)(H(3))5(10)4(2)3(10)(*)()(-+-+-==n n n n h n x n y δδδ5. 2(0.5)(0.5)()3212()()52555z z z z H z z z z z ++==-+-- 1） 因为是因果系统，所以收敛域需包含∞，25z >，包含单位圆，所以是稳定系统 2） 收敛域25z > 1(0.5)()()12()()55n n z F z z H z z z z -+==-- 0n ≥时 ，围线内极点12,55z z ==12()Re [(),]Re [(),]5521[4.5*() 3.5*()]()55n n h n s F z s F z u n =+=- 3） 差分方程：32()(1)(2)()0.5(1)525y n y n y n x n x n --+-=+- 4）。
XX 大学信息工程专业 现代信号处理习题第一部分1.计算下面系统的冲激响应。
解：,)(1)0(,0)h(0(t),3h(t)(t)h 4)(321≥+=='==+'+''--++t eK e K t h h t h ttδ带入初值得 )h(0+,021=+=K K )0(+'h =1321=--K K 解之得 5.0,5.021-==K K所以 )(5.0-5.0)(32t e K e t h t t ε）（--=2已知描述系统的微分方程和初始状态如下，试求其全响应。
3.求下列函数的卷积积分。
解：4.求下列差分方程所描述的离散系统的单位序列响应。
解：5.求下列差分方程所描述的离散系统的全响应。
解：6.各序列的图形如下所示，求下列卷积和。
解：第二部分1.计算下面系统的冲激响应。
解：,)(1)0(,0)h(0(t),3h(t)(t)h 4)(321≥+=='==+'+''--++t eK e K t h h t h ttδ带入初值得 )h(0+,021=+=K K )0(+'h =1321=--K K 解之得 5.0,5.021-==K K所以 )(5.0-5.0)(32t e K e t h t t ε）（--=2已知描述系统的微分方程和初始状态如下，试求其全响应。
3.求下列函数的卷积积分。
解：4.求下列差分方程所描述的离散系统的单位序列响应。
解：5.求下列差分方程所描述的离散系统的全响应。
解：6.各序列的图形如下所示，求下列卷积和。
解：第三部分1.求下面系统的冲激响应。
解：2.已知系统的微分方程和初始状态如下，试求其完全响应。
解：3.求下列函数的卷积积分。
解：4.求下列差分方程所描述的离散系统的单位序列响应。
解：5.求下列差分方程所描述的离散系统的全响应。
解：6.各序列如下图所示，求其卷积。
解：。
现代信号处理复习题Revised on November 25, 20201、已知0()2cos(2)a x t f t π=式中0f =100HZ,以采样频率s f =400Hz 对()a x t 进行采样，得到采样信号ˆ()a xt 和时域离散信号()x n ，试完成下面各题： （1）写出()a x t 的傅里叶变换表示式()a X j Ω；（2）写出()a x t 和()x n 的表达式；（3）分别求出()a x t 的傅里叶变换和()x n 的傅里叶变换。
解：（1）000()()2cos()()j t j t a a j t j t j t X j x t e dt t e dte e e dt∞∞-Ω-Ω-∞-∞∞Ω-Ω-Ω-∞Ω==Ω=+⎰⎰⎰ 上式中指数函数和傅里叶变换不存在，引入奇异函数δ函数，它的傅里叶变换可以表示成：00()2[()()]a X j πδδΩ=Ω-Ω+Ω+Ω （2）00ˆ()()()2cos()()()2cos(),a a n n xt x t t nT nT t nT x n nT n δδ∞∞=-∞=-∞=-=Ω-=Ω-∞<<∞∑∑ 2、用微处理器对实数序列作谱分析，要求谱分辨率50F Hz ≤，信号最高频率1KHz,是确定以下各参数： （1）最小记录时间min p T（2）最大取样时间max T （3）最少采样点数min N（4）在频带宽度不变的情况下将频率分辨率提高一倍的N 值。
解：（1）已知50F Hz ≤（2） max 3min max 1110.52210s T ms f f ====⨯ （3） min 30.02400.510p T s N T s-===⨯ （4）频带宽度不变就意味着采样间隔T 不变，应该使记录时间扩大一倍为实频率分辩率提高1倍（F 变成原来的12）3、在时域对一有限长的模拟信号以4KHZ 采样，然后对采到的N 个抽样做N 点DFT ，所得离散谱线的间距相当于模拟频率100HZ 。
某人想使频率能被看得清楚些，每50HZ 能有一根谱线，于是他用8KHZ 采样，对采到的2N 个样点做2N 点DFT 。
问：他的目的能达到吗答：不能，因为他忽略了数字频率和模拟频率的区别。
提高采样频率s f ，N 固然大了，数字频率（单位圆）上的样点数确实增加了，但从模拟频率谱看，样点一点也没有变得密集，这是因为数字频率π2总是对应模拟频率s f 。
采样频率由s f 到2s f 增加一倍，N 也增加一倍，但模拟频率的采样间隔Hz NfN f s s 10022== 一点也没有变。
所以，增大采样频率，只能提高数字频率的分辨率)222(NN ππ→ ，不能提高模拟频率的分辨率。
4、在A/D 变换之前和D/A 变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，他们分别起什么作用解：在D A / 变换之前让信号通过一个低通滤波器，是为了限制信号的最高频率，使其满足当采样频率一定时，采样频率应大于等于信号最高频率2倍的条件。
此滤波器亦称为“抗折叠”滤波器。
在A D / 变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，是为了滤除高频延拓谱，以便把抽样保持的阶梯形输出波平滑化，故又称为“平滑”滤波器。
5、已知10,)1)(1(1)(12<<---=-a az az a z H ，分析其因果性和稳定性。
解： )(z H 的极点为1,z a z a -==，（1） 收敛域1z a -<≤∞，对应的系统是因果系统，但由于收敛域不包含单位圆，因此是不稳定系统。
单位脉冲响应()()()n n h n a a u n -=-，这是一个因果序列，但不收敛。
（2）收敛域a z <≤0，对应的系统是非因果且不稳定系统。
其单位脉冲响应()()(1)n n h n a a u n -=---，这是一个非因果且不收敛的序列。
（3）收敛域1a z a -<<，对应的系统是一个非因果系统，但由于收敛域包含单位圆，因此是稳定系统。
其单位脉冲响应()n h n a =，这是一个收敛的双边序列。
9：若序列()h n 是因果序列，其傅里叶变换的实部为()1cos()j R H e ωω=+，求序列的()h n 及其傅里叶变换()j H e ω 。
解：11()1cos()1[()]()22j j j j n R e e n H e e e FT h n h n e ωωωωω∞--=-∞=+=++==∑10、什么是宽平稳随机过程什么是严平稳随机过程它们之间有什么联系答：若一个随机过程的数学期望与时间无关，而其相关函数仅与τ有关，则称这个随机过程是宽平稳的或广义平稳的。
所谓严平稳随机过程是指它的任何n 维分布函数或概率密度函数与时间起点无关。
严平稳的随机过程一定是宽平稳的，反之则不然。
15、如图所示：（1估计 （2）观察上述框图，说出这是哪一种经典功率谱估计的方法，并写出描述估计关系式。
（3）根据维纳-辛钦定理及相关估计方法写出另一种经典功率谱估计描述估计关系式，结合框图或关系式说明上述框图所示方法的优点。
（4）两种经典功率谱估计都有一个致命的缺点，请简要说明并写出常用的改进方法的名称。
解：1.对于随机信号，其傅里叶变换并不存在，因此转向研究其功率谱。
2.图中所示的是周期图法3. 1*1ˆ()()()N m xx n rm x n x n m N=-==+∑ˆˆ()()j j n BTxxm P e r m e ωω∞-=-∞=∑周期图法简单，不用估计自相关函数，且可以用FFT 进行计算。
4.经典谱估计得致命缺点是频率分辨率低，其原因是傅里叶变换域是无限大，而用作估计的观察数据只有有限个，认为剩余的数据为0，造成系统偏差。
改进的方法有：1.平均周期法2.窗函数法3.修正的周期图求平均法。
16、如图所示的RC 电路，若输入电压的功率谱密度为X （ω），求输出电压的功率谱密度 Y （ω）。
解：RC 电路系统的频率响应函数为H （ω） = C j R C j ωω11+= 11+RC j ωH （ω）2=1)(12+RC ω由线性系统的输出谱密度与输入谱密度之间的关系可得：Y （ω） = H （ω）2* X （ω）=1)()X(2+RC ωω17、已知LTI 系统的传输函数为h （t ），输入是实平稳随机过程X （t ），输出是Y （t ），求)()()(t h R R Y X 和、ττ三者间的关系解：平稳随机过程经过LTI 系统输出还是平稳随机过程，所以 其中⊗是卷积运算。
18、常用的自适应滤波理论与算法有哪些从理论上讲，自适应滤波问题没有惟一的解。
为了得到自适应滤波器及其应用系统，可以采用各种不同的递推算法，这些自适应算法都有各自的特点，适用于不同场合。
常用的自适应滤波理论与算法有： （1）、基于维纳滤波理论的方法。
（2）、基于卡尔曼滤波理论的方法。
（3）、基于最小均方误差准则的方法。
（4）、基于最小二乘准则的方法。
RC Y(ω)X(ω)22、从最速下降法出发：其中，1j W + 是第j+1个抽样时刻的滤波器权矢量， μ 控制收敛稳定性和速率，∇ 是误差-性能曲面的真实梯度，推导自适应噪声消除的 Widrow-Hopf 的LMS 算法。
解答：梯度矢量▽，初级输入与刺激输入的互相关P 以及初级输入的自相关R 之间的关系为：∇=2+2RW P -在LMS 算法中，使用∇的瞬时估计，则有j ∇ =-2j P +2j R j W =-2j X j y +2j X T j X j W (1) =-j j 2()2j j j j X y X W e X -=- 其中 T j j j j e y X W =-用（1）式替换最速下降法的梯度，我们得到基本的Widrow-Hopf 的LMS 算法：其中j e =yT jj j W X -23、自适应滤波器的特点及应用范围答案：由于滤波器的参数可以按照某种准则自动地调整到满足最佳滤波的要求；实现时不需要任何关于信号和噪声的自相关特性，尤其当输入统计特性变化时，自适应滤波器都能调整自身的参数来满足最佳滤波的需要，即具有学习和跟踪的性能。
当符合下面几个情况时都可以应用自适应滤波(1)需要滤波器特性变化以自适应改变的情况时（2）当信号和噪声存在频谱重叠时（3）噪声占据的频谱是时变或未知。
例如电话回声对消，雷达信号处理，导航系统，通信信道均衡和生物医学信号增强。
25、怎样判断随机过程}),({T t t X ∈是宽平稳随机过程并证明随机过程0),sin()cos()(>+=t t Z t Y t X θθ是宽平稳过程，其中，Y , Z 是相互独立的随机变量，且2,0σ====DZ DY EZ EY 。
答：（1）如果)(t X 满足，如下条件： （a ）}),({T t t X ∈是二阶矩过程；（b ）对任意T t ∈，==)()(t EX t m X 常数；（c ）对任意T t s ∈,，)()]()([),(t s R t X s X E t s R X X -==。
则判定}),({T t t X ∈是宽平稳随机过程。
（2） 证明：因为Y,Z 是相互独立的随机过程，且2,0σ====DZ DY EZ EY ，所以 )]([2t X E =+∞<2σ 0)sin(][)cos(][)]sin()cos([)(=+=+=t Z E t Y E t Z t Y E t EX θθθθ=常数 )](cos[)]sin()sin())(sin()cos()cos([))]sin()cos(())sin()cos([()]()([),(222t s t s Z s t YZ t s Y E t Z t Y s Z s Y E t X s X E t s R X -=+++=+⨯+==θσθθθθθθθθθ，),(t s R X 只与时间间隔有关，与时间起点无关。
所以，}),({T t t X ∈是宽平稳随机过程。
26、若}),({T t t X ∈为均方连续的实平稳随机过程，则其自相关函数)(τX R 具有那些常用性质)(τX R 在计算其功率谱)(ωX S 时有什么作用 答：（1）)(τX R 具有如下常用性质： （a ）;0)0(≥X R（b ）)(τX R =)(τ-X R ，)(τX R 是实偶函数； （c ）|)(τX R |≤)0(X R ；（d ）若)(t X 是周期为T 的周期函数，即)(t X =)(T t X +，则)()(T R R X X +=ττ；（e ）若)(t X 是不含周期分量的非周期过程，当+∞→||τ时，)(t X 与)(τ+t X 相互独立，则___||)(lim X X X m m R =+∞→ττ。
