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第5章约束优化方法(二)

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北航刘红英数学规划教材课后习题参考答案

北航刘红英数学规划教材课后习题参考答案

ri(x)∇ri(x)
=
2A(x)T r(x),
∇2f (x)
= =
2 2
∑m ∑mi=1
i=1
ri(x)∇2ri(x) ri(x)∇2ri(x)
+ +
2
∑n
i=1
∇ri
(x)(∇ri
(x))T
2A(x)T A(x).
1.6 考虑向量值函数 f (x) : Rn → Rm ，设 f 的每个分量函数 fi(x) 在 x′ 都可微. 写出 f 在 x′ 的Taylor展式，请用 A(x)T 表示 ∇f (x)T (= [∇f1(x), · · · , ∇fm(x)]).
maximize 200x + 60y + 206z
subject to 3x + y + 5z ≤ 8000000
5x + y + 3z ≤ 5000000
x, y, z ≥ 0, 且 x, y, z 是整数.
忽略掉整性要求后，调用 Matlab 中的 linprog.m 函数求解，得最优解 x = 0, y = 500000, z = 1500000，自动满足整性要求.
的最优值相同，将这个问题的最优解投影到 (x, y, z) 所在的空间可以得到原问题的解. 这个问题可以写成线性规划问题：
minimize t1 + t2 + t3 subject to x + y ≤ 1,
2x + z = 3, −t1 ≤ x ≤ t1, −t2 ≤ y ≤ t2, −t3 ≤ z ≤ t3.
解:
(a) ∇f (x) = a, ∇2f (x) = 0n×n; (b) ∇f (x) = (A + AT )x, ∇2f (x) = A + AT ;

数学建模：第五章 运筹与优化模型

数学建模：第五章 运筹与优化模型

1
例1、某工厂制造A.B两种产品，制造A每吨 需用煤9t，电力4kw，3个工作日；制造B每吨需 用煤5t，电力5kw，10个工作日。已知制造产品A 和B每吨分别获利7000元和12000元，现工厂只有 煤360t，电力200kw，工作日300个可以利用，问 A、B两种产品各应生产多少吨才能获利最大？ 解：设 x1 x 2 ,（单位为吨）分别表示A、B产 品的计划生产数； f表示利润（单位千元） 则问题归结为如下线性规划问题：
a21 x1 a22 x2 a2 n xn (, )b2
am1 x1 am 2 x2 amn xn (, )bm

x1 , x2 ,, xn 0
7
例3：生产组织与计划问题 设有m种资源，第i(i=1,2…,m)种资源的现存量 为 bi ，现要生产n种产品，已知生产j(j=1,2…,n)种 产品时，每单位产品需要第i种资源量为 a ij ，而每 单位j种产品可得利润 c j ，问如何组织生产才能使 利润最大？ 解：用 x j 表示生产第j(j=1,2,…,n)种产品 的计划数， 上述问题可归结为如下的数学问题：
z 14.3750
即 第1年项目A,D分别投资3.8268和6.1732(万元)；
第2年项目A,C分别投资3.5436和3(万元)；
第3年项目A,B分别投资0.4008和4(万元)； 第4年项目A投资4.0752(万元)； 第5年项目D投资0.4609(万元)； 5年后总资金 14。375万元，即盈利43.75%.
x 模型建立 设该容器底边长和高分别为 x1米、 2米， 则问题的数学模型为
min f ( X ) 40 x1 x2 20 x1 （容器的费用）
2
x12 x 2 12, （容器体积） 2 s.t . 12 x1 x 2 2 x1 68, （容器重量） x 0, x 0. 2 1

约束问题的优化方法

约束问题的优化方法

XR
变形的复合形
可行的新点，用新点代替最坏点， 构成新的复合形，复合形的形状 每改变一次，就向最优点移动一
XC
XL
初始复合形
步，直至逼近最优点。从复合形
法工作原理可看出，实现复合形 法最关键的是:构造复合形和复 合形变换等问题。
XH
0
x1
图4-4复合形法的算法原理
《车辆优化设计与实践》教学课件
4.3.2 方法实现的关键技术
初始点更优的新点，至此完成一
轮迭代。然后，以新点为新的初
始点，即令 X 0 X 。重复以
0
上过程，经过若干次迭代计算后，
最终取得约束最优解。
X X
X1 X0
x1 图4-1 随机方向法的原理
《车辆优化设计与实践》教学课件
4.2.2 方法实现的关键技术
实现随机方向法的关键包括初始点的选择，可行搜方 向的产生和搜索步长的选择等问题。 (1)初始点形成 随机方向法的初始点 X 0必须是一个可行点，即满足全 部不等式约束条件：g j (X 0 ) 0 ( j 1, 2, , m)。当约束条件 较为复杂，用人工不易选择可行初始点时，可用随机 选择的方法来产生。计算随机点的步骤如下： 1）输入设计变量的下限值和上限值，即
式计算随机单位向量 e j
ej
1
rr12jj
1
n
i 1
rij
22
rnj
( j 1, 2, , k)
（4-3）
《车辆优化设计与实践》教学课件
2）取一X 试j 验X步0 长0e0，j 按（4下-4式）计算K个随机点 显然，K个随机点分布在以初始点X 0为中心，以试验 步长 0为半径的超球面上。 3）检验K个随机点X j( j 1, 2, , k)是否为可行点，除 去非可行点，计算余下的可行随机点的目标函数值， 比较其大小，选出目标函数值最小的点 X L。 4）比较X L 和 X 0两点的目标函数值，若 f (X L ) f (X 0 )，则 取X L 和X 0的连线方向 f ( X L ) f ( X 0 ) 作为可行搜索方向 为止。如果缩小到很小（例如 0 106），仍然找不到 一个X L 使 f (X L ) f (X 0 )则说明 X 0 是一个局部极小点，此 时可更换初始点，转步骤1）。

机械优化设计 第5章 约束优化方法

机械优化设计 第5章 约束优化方法

2. 将(0,1)中的随机数 i 变换到(-1,1)中去;
yi 2i 1
3. 构成随机方向
y1
e
1

y2

n
i 1
yi2
...

yn

i 1,2,...,n
例: 对于三维问题: 1 0.2,2 0.6,3 0.8 变换得: y1 0.6, y2 0.2, y3 0.6
一. 基本思路
搜索方向----采用随机产生的方向 ① 若该方向不适用、可行，则 产生另一方向；
②若该方向适用、可行，则以加 速步长前进；
③若在某处产生的方向足够多， 仍无一适用、可行，则采用收缩 步长；
④若步长小于预先给定的误差限 则终止迭代。
2019/12/12
5
二.随机方向的构成
1.用RND(X)产生n个随机数 i , i 1,2,..., n(0 i 1)
j =1
给定内点 X 0 ,0 , m,
α =α 0, F0=F(X0)
K=0, j=0
0 初始步长； m 在一迭代点处允许产生的方向数； 终止误差限(步长)
产生随机方向
X X 0 S
否
X∈D
是
F=F（X）
否 F<F0 是
X0=X, F0=F
否 j =0
是
K=K+1
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2
二.迭代步骤
X (0) X (3) X (4)
X (1) X (2)
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3
三.存在问题
有时会出现死点, 导致输出“伪最优 点”.
* 为辨别真伪, 要用K-T条件进行检查.

约束优化方法的讲解

约束优化方法的讲解
根据它们在惩罚函数中的作用，分别称障碍项和惩罚 项。 障碍项的作用是当迭代点在可行域内时，在迭代过程 中将阻止迭代点越出可形域。 惩罚项的作用是当迭代点在非可行域或不满足等式约 束条件时，在迭代过程中将迫使迭代点逼近约束边界或 等式约束曲面。 按照惩罚函数在优化过程中迭代点是否可行，分为： 内点法、外点法及混合法。
2）按经验公式
r0 f x0 1 0 g x j 1 j
m
计算r0 值。这样选取的r0 ，可以是惩罚函数中的障 碍项和原目标函数的值大致相等，不会因障碍项的值 太大则其支配作用，也不会因障碍项的值太小而被忽 略掉。 3.惩罚因子的缩减系数c的选取 在构造序列惩罚函数时，惩罚因子r是一个逐次递 减到0的数列，相邻两次迭代的惩罚因子的关系为：
(k=0,1,2,…)
逐步趋向最优解，直到满足终止准则才停止迭代。
直接解法的原理简单，方法实用，其特点是：
1）由于整个过程在可行域内进行，因此，迭代计算不论 何时终止，都可以获得比初始点好的设计点。 2）若目标函数为凸函数，可行域为凸集，则可获得全域 最优解，否则，可能存在多个局部最优解，当选择的初始 点不同，而搜索到不同的局部最优解。 3）要求可行域有界的非空集。
a) 可行域是凸集；b)可行域是非凸集
间接解法的求解思路：
将约束函数进行特殊的加权处理后，和目标函数结合起来， 构成一个新的目标函数，即将原约束优化问题转化为一个 或一系列的无约束优化问题。
x, 1 , 2 f x 1G hk x g j x 2 H
当迭代点离约束边界越远时，惩罚项愈大，这可看 成是对迭代点不满足约束条件的一种惩罚。
例6-6 用外点法求问题
hk x 0

运筹学-约束最优化方法

运筹学-约束最优化方法

若AT的各个行向量线性无 关.根据Kuhn-Tucker条件, 在该线性规划的最优点y* 处存在乘子向量x*≥0,使得
即Ax*=b 对偶规划约束条件 及(ATy*-c)T x*=0 线性规划互补松弛条件
29
5.1.3 一般约束问题的最优性条件
定理1.3.1 在上述问题中,若 (i)x*为局部最优解, 有效集I*={i|ci(x*)=0,i∈I}; (ii)f(x),ci(x)(1≤i≤m)在x*点可微; (iii)对于i∈E∪I*, 线性无关, 则存在向量l*=(l1*,· · · ,lm*)使得

解:本问题是求点(1,1)T到如图三角形区域的最短 距离.显然唯一最优解为x*=(1/2,1/2)T.
19
例题(Fritz-John条件)
min f(x)=(x1-1)2+(x2-1)2 s.t. c1(x1,x2)=(1-x1-x2)3≥0 c2(x)=x1≥0 c3(x)=x2≥0 即

35
惩罚函数法
惩罚是手段，不是目的
KT条件中li*ci(x*)=0 称为互补松弛条件. 它表明li*与ci(x*)不能 同时不为0.

28
线性规划情形
对于线性规划问题 min f(y)=-bTy s.t. -ATy≥-c 其中 y∈Rm,A∈Rm×n, b∈Rm,c∈Rn 问题有n个约束条件. 各个约束条件关于y 的梯度为-AT的行向 量(-pi).

借助于Farkas引理,可推出存在li*≥0(i∈I*), 使得
类似与Fritz-John条件的证明,可以证明KuhnTucker条件. 有效约束函数的梯度线性无关称为KuhnTucker约束规范. 如果该约束规范不满足,最优点不一定是KT点.

工程设计中的优化方法

工程设计中的优化方法
X =[ x1, x2, x3, x4 ]T，X∈R4
②目标函数 优化目标为质量最轻。 梁的跨度已知，故可用梁的截面面积作为目 标函数。截面面积之半可近似为
f (X) = x1x3 + x2x4 （忽略了-2x3x4项,厚度的乘积） 使质量最轻就是使f (X)的值最小。
③约束条件 设计的箱形梁需满足一定的强度、 刚度、稳定性以及几何要求。推导得
优化目标函数就是求目标函数的极小值或极大 值，即
min f (X) 或 max f (X)。
• 用效果函数(如性能指标、利润等)作目标函数，则是求极大值； • 用费用函数(如能源、材料、经费等)作目标函数，则求极小值。
单目标和多目标优化问题
• 单目标优化问题：只包含一个优化目标的问题 • 多目标优化问题：存在两个或两个以上优化目
优化结果：取出三种跨度的优化结果见表5-1。
所用数据为：F1=120kN， F2=12kN，[σ]=140MPa
表5-1 箱形梁设计结果比铰
跨度 l(cm)
常规设计（mm）
x1
x2
x3
x4
1050 760 340 6 10 1350 880 390 6 10 1650 1010 440 6 10
优化设计(mm)
无约束优化方法
无约束优化方法分为解析法和数值计算法两类。
• 解析法 用求导数或变分方法求出极值存在的 必要条件，再求出它们的解析解。然后按照充 分条件或问题的实际物理意义确定最优解。
仅适用于目标函数和约束条件较为简单明确的情况。
• 数值法 利用函数在某一局部区域的性质和一 些己知点的数值，确定下一步的计算点，经过 迭代搜索，最后达到最优点。可解决复杂的优 化设计问题，是优化设计采用的主要方法。

第2章 最优化的基本理论和基本方法 最优性条件 2.2 有约束优化(第5次课 等式约束优化,作业问题讲解)

第2章 最优化的基本理论和基本方法 最优性条件 2.2 有约束优化(第5次课 等式约束优化,作业问题讲解)


11



2x1 2x2
1

0
c1(x) = 2 - x12 - x2 2 = 0 解得x1=-1，x2 =-1，λ1=-1/2；
x1=1，x2 =1，λ1=1/2 。它们是可能的局部解。
图解：
c1(x)
O
c1(x*)
f(x*) x*
f(x)
f(x) = x1 + x2 = -2
先满足 一阶 必要 条件
i 1
如果对所有 z Z(x*),z 0 有 zT x2L(x*,*)z 0
则 x=x*为问题的局部解。
例 min f(x) = x1 + x2
st c1(x) = 2 - x12 - x2 2 = 0
已经求出了 可能的局部解
2 f (x) 0
2c1(x)

i，i= 1, 2, ..., l为拉格朗日乘子（或乘数）。
拉格朗日乘子法
l
xL(x, ) f (x) i ci (x) 0
i 1
ci(x) = 0, i=1, 2, ..., l 。 空格
解上述方程组，得x*即是可能的局部解。
（式一是L(x, λ)对各个xi 的偏导数为0， λ视为常数）
zTx2L(x*,*) z 0
【这里
l

2 x
L(
x*,
*)


2
f
(
x*)

i* 2ci (x*)
i 1
】
Z(x*) {z | z Rn,ci (x*)T z 0,i 1,2, ,l}
局部解的充分条件 (选学)
定理 对于等式约束最优化问题

算法分析作业--第5章

算法分析作业--第5章
证： 取{l1 , l2 , l3 , l4 , l5} = {10，9，8，6，5}
按l1≥ l2 ≥ l3 ≥ l4 ≥ l5次序得到 A={10,6,5},B={9,8}，最大值是21.
若令A={10,9},B={8,6,5}，最大值是19. 这种方式更优。
故命题得证。
① 当n=7，（p1 ,…, p7）=(3,5,20,18,1,6,30) 和(d1,…,d7)=(1,3,4,3,2,1,2)时，算法5.4所生 成的解是什么？
将以上数据情况的背包问题记为I。设FG(I)是 物品按pi的非增次序输入时由GREEDYKNAPSACK所生成的解，FO(I)是一个最优解。 问FO(I)/ FG(I)是多少?
当物品按wi的非降次序输入时，重复②的讨 论。
i 1234 5
p 10 5 15 7 6
w2 3 5 7 1
p/w 5 5/3 3 1 6
③ 证明按fi/li的非增次序来存放程序时ERT取最 小值。
I:
(l1,l2)=(10,12) (f1,f2)=(0.4,0.6)
ERT(I)=10*0.4+(10+12)*0.6=17.2 ERT(I’)=12*0.6+(10+12)*0.4=16
I:
(l1,l2)=(2,1) (f1,f2)=(0.6,0.4)
x 1 2/3 1
1
n=7，m=15
根据贪心（x5,x1,x6,x3,x7,x2,x4）= （1,1,1,1,1,2/3,0）即
(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)=(1,2/3,1,0,1,1,1 ) FO(I)=166/3。
67 18 3 41 9/2 3 11
i 1234 5

第五章拉格朗日松弛算法

第五章拉格朗日松弛算法

第五章拉格朗日松弛算法拉格朗日松弛算法（Lagrangian relaxation algorithm）是一种数学优化算法，用于求解在约束条件下的最优解。

它的基本思想是通过引入拉格朗日乘子，将原问题转化为一个无约束的问题，进而通过求解该无约束问题的下界或上界，得到原问题的近似最优解。

拉格朗日松弛算法的基本步骤如下：1.构建原问题的拉格朗日函数。

拉格朗日函数通常由原问题的目标函数和约束条件构成，其中引入拉格朗日乘子对应于约束条件。

将原问题的约束条件转化为一个惩罚项，该惩罚项与拉格朗日乘子的乘积表示。

2.对拉格朗日函数进行极小化。

极小化拉格朗日函数相当于求解一个无约束的优化问题。

可以应用原问题的优化技术，如梯度下降法或牛顿法等，来求解该无约束问题。

3.更新拉格朗日乘子。

根据当前的极小化解，更新拉格朗日乘子以接近于原问题的约束条件。

这通常通过计算其中一种形式的梯度或子梯度来进行。

4.判断收敛条件。

判断当前解是否满足约束条件和目标函数的收敛。

如果满足，则算法终止；否则，返回第2步。

拉格朗日松弛算法的优点在于它能够通过引入拉格朗日乘子来简化原始问题，并将复杂的约束条件转化为一个无约束问题进行求解。

由于不再需要考虑原问题的约束条件，使得求解过程更加高效。

然而，拉格朗日松弛算法也有一些限制。

首先，它只能提供原问题的非严格最优解。

其次，算法的求解效果取决于拉格朗日乘子的选择和更新过程。

如果乘子选择不合适或更新不及时，可能会导致算法收敛缓慢或跳过最优解。

总之，拉格朗日松弛算法是一种常用的优化算法，它通过引入拉格朗日乘子，将原问题转化为一个无约束的问题进行求解。

尽管存在一些限制，但该算法仍然被广泛应用于各种问题的求解中，如线性规划、组合优化等。

编译原理课后答案第五章代码优化

编译原理课后答案第五章代码优化
进行代码外提就是将循环中的不变运算外提到循 环入口结点前新设置的循环前置结点中。经检查，找 出的不变运算为B2中的B=J+1。因此，代码外提后的程 序流图如图5-6所示。
第五章 代码优化
A＝ 0 I＝ 1
B1
B＝ J＋ 1 B′2
L1： C＝ B＋ I
B2
A＝ C＋ A
if I＝ 100 g2oto L
第五章 代码优化
所以d必有通路到达M中任一结点ni，而M中任一结 点又可以通过n到达d(n→d为回边)，从而M中任意两个 结点之间必有一通路，L中任意两个结点之间亦必有一 通路。此外，由M中结点性质可知：d到M中任一结点ni 的通路上所有结点都应属于M，ni到n的通路上所有结 点也都属于M。因此，L中任意两结点间通路上所有结 点都属于L，也即，L是强连通的。
L1： E＝ B*B
B3
F＝ F＋ 2
E＝ E＋ F
write(E)
if E＞ 100 g2oto L
halt B4 L2： F＝ F－ B15 goto1 L
图5-1 程序流图
第五章 代码优化
5.4 基本块的DAG如图5-2所示。若： (1) b在该基本块出口处不活跃； (2) b在该基本块出口处活跃； 请分别给出下列代码经过优化之后的代码： (1) a=b+c (2) b=a-d (3) c=b+c (4) d=a-d
if I＝ 100 g2oto L
F
T
I＝ I＋ 1 B3 goto 1L
L2： write AB4 halt
图5-5 习题5.8的程序流图
第五章 代码优化
(2) 很容易看出，B3→B2是流图中的一条有向边， 并且有B2 DOM B3，故B3→B2为流图中的一条回边。循 环可通过回边求得，即找出由结点B2、结点B3以及有通 路到达B3但不经过B2的所有结点。所以，由回边组成的 B3→B2循环是{ B2，B3}。

第五章约束问题的最优化方法

第五章约束问题的最优化方法
g1 ( x ) x1 x2 4,
g1 ( x) [ 1 , 1 ]T
g2 ( x) x1 ,
g2 ( x) [ 1 , 0 ]T 。
g3 ( x) x2 ,
g3 ( x) [ 0 , 1 ]T 。
18
由K T条件得
x1 3 1 1 0 x 3 1 1 2 0 3 1 0 2
第七讲 约束非线性规划
约束极值及最优性条件
等式约束 不等式约束 一般约束问题
约束极值问题的算法
外点法 内点法 乘子法
1
一 、约束极值问题的最优性条件
1、约束极值问题的表示 min f ( x ) hi ( x ) 0 i 1 , 2 ,, m s .t . g j ( x ) 0 j 1 , 2 , , l
8
2 g3 ( x ) 0。 2
I ( x ) { 1 , 2 }。
x2 g2 ( x ) 0
g3 ( x ) 0
O
g1 ( x ) 0
x
x1
②如何判断一个方向是可行方向?
9
定理1:
给 定 点x Q , 记 点 x 的 积 极 约 束 指 标 集 为 I ( x )。 给 定 向 量 d ， 如果对任意的 i I ( x ) 有 gi ( x )T d 0 , 则 d 是 点 x 的 可 行 方 向 。
则 向 量d 是 点 x 处 的 可 行 下 降 方 向 。
证略
③极值点的必要条件: 定理3:
设 x* Q， I ( x*)是其积极约束指标集。
f ( x) 和 gi ( x) (i I ( x*)) 在点x * 处可微，

第五章 约束优化方法

第五章 约束优化方法
如果点 是最优点，则必须满足K-T条件； 反之，满足K-T条件的点则不一定是约束最优点。
只有当目标函数是凸函数，约束构成的可行域是凸集 时，则满足K-T条件的点 是全局极小点的必要而充 分条件。
讨论: 约束最优解的必要条件——几何条件
当迭代点 有两个起作用约束，写出目标函数与 约束集的关系如下：
区域内
5.3.1 约束坐标轮换法
一、约束坐标轮换法与无约束坐标轮换法的区别
约束坐标轮换法的基本思想与无约束坐标轮换 法基本相同，其主要区别如下：
1、沿坐标方向搜索的迭代步长采用加速步长， 而不是采用最优步长。因为按照最优步长所得到的迭 代点往往超出了可行域。
2、对于每一个迭代点，不仅要检查目标函数值 是否下降，而且必须检查是否在可行域内，即进行适 用性和可行性的检查。
2、将非可行点移入可行域
用上述方法的随机点不一定是可行点。但是只 要它们中至少有一个点在可行域内，就可以用一定 的方法将非可行点移入可行域。如果k个随机点没 有一个是可行点，则应重新产生随机点，直至其中 有至少一个是可行点为止。
对于具有等式约束的优化问题，若出现两个或两个
以上的局部最优点，此时全局最优点是全部局部最优点 中函数值最小的一个。
对于具有一般约束的优化问题，若出现两个或两个 以上的局部最优点，此时全局最优点是全部局部最优点 中函数值最小且同时满足等式约束与不等式约束的一个。 例如：设数学模型为
该优化问题的最优点如下图所示，对于这两个局部最小
5.3.2 随机方向法
参看右图 预先选定可行初始点 ， 利用随机函数构成随机方 向S1，按给定的初始步长
，沿S1方向取得 试探点
检查x点的适用性和可行性
若满足
继续按下面的迭代式在S1方向上获取新点。重复上 述步骤，迭代点可沿S1方向前进。直至到达某迭代点 不

《结构力学》第5章：力法

《结构力学》第5章：力法

03
对边界条件敏感
力法对边界条件的处理较为敏感， 边界条件的微小变化可能导致计 算结果的显著不同。
适用范围讨论
适用于线弹性结构
01
力法适用于线弹性结构，即结构在荷载作用下发生的
变形与荷载成正比，且卸载后能够完全恢复。
适用于静定和超静定结构
02 力法既适用于静定结构，也适用于超静定结构，但超
静定结构需要引入多余未知力和变形协调条件。
在传动系统的力学分析中，采用力法计算各部件的受力情况，
确保传动系统的正常运转。
案例分析与启示
力法应用广泛性
力法计算精确性
通过以上案例可以看出，力法在桥梁、建 筑和机械工程等领域具有广泛的应用价值 。
力法作为一种精确的计算方法，在解决超 静定问题方面具有显著优势。
力法在工程实践中的局限性
对未来研究的启示
《结构力学》第 力法典型方程及应用 • 力法计算过程与实例分析 • 力法优缺点及适用范围 • 力法在工程实践中应用 • 力法学习建议与拓展资源
01 力法基本概念与原理
力法定义及作用
力法是一种求解超静定结构的方法， 通过引入多余未知力，将超静定问题 转化为静定问题进行求解。
桁架结构应用
桁架结构由杆件组成，通过力法可以求解桁架结构中的多余未知力，进而分析 桁架的稳定性和承载能力。
组合结构应用
组合结构由不同材料或不同形式的构件组成，通过力法可以分析组合结构的内 力和变形，为结构设计提供优化建议。
复杂结构简化与力法应用
复杂结构简化
对于复杂结构，可以通过合理简化为静定结构或简单超静定结构，进而应用力法求解。
适用于简单和规则结构
03
对于简单和规则结构，力法能够较为方便地求解出结

现代设计方法_第一阶段练习 (1)

现代设计方法_第一阶段练习 (1)

江南大学网络教育第一阶段练习题考试科目:《现代设计方法》第章至第章（总分100分）__________学习中心（教学点）批次：层次：专业：学号：身份证号：姓名：得分：一单选题 (共18题，总分值18分，下列选项中有且仅有一个选项符合题目要求，请在答题卡上正确填涂。

)1. 在约束优化方法中，容易处理含等式约束条件的优化设计方法是（D）。

（1 分）A. 可行方向法B. 复合形法C. 内点罚函数法D. 外点罚函数法2. 平面三角形单元内任意点的位移可表示为三个节点位移的（D）。

（1 分）A. 算术平均值B. 代数和车员C. 矢量和D. 线性组合3. Powell修正算法是一种（A）。

（1 分）A. 一维搜索方法B. 处理约束问题的优化方法C. 利用梯度的无约束优化方法D. 不利用梯度的无约束优化方法4. 在一平面桁架中，节点3处铅直方向位移为已知，若用置大数法引入支承条件，则应将总体刚度矩阵中的（ B ）。

（1 分）A. 第3行和第3列上的所有元素换为大数AB. 第6行第6列上的对角线元素乘以大数AC. 第3行和第3列上的所有元素换为零D. 第6行和第6列上的所有元素换为零5. 平面应力问题中(Z轴与该平面垂直)，所有非零应力分量均位于（A）。

（1 分）A. XY平面内B. XZ平面内C. YZ平面内D. XYZ空间内6. 对于二次函数F(X)= X T AX+b T X+c,若X*为其驻点，则▽F(X*)为（A）。

（1 分）A. 零B. 无穷大C. 正值D. 负值7. 约束极值点的库恩——塔克条件为：，当约束函数是g i(X)≤0和λi>0时，则q应为（D）。

（1 分）A. 等式约束数目B. 不等式约束数目C. 起作用的等式约束数目D. 起作用的不等式约束数目8. 已知F(X)=(x1-2)2+x22,则在点处的梯度为（D）。

（1 分）A.B.C.D.9. 内点罚函数，在其无约束极值点逼近原目标函数的约束最优点时，惩罚项中（ A）。

第5章 优化(Optimizer)工具的使用

第5章 优化(Optimizer)工具的使用

第5章优化（Optimizer）工具的使用电路模拟（仿真）是非常重要的，它辅助工程师设计了各种电路。

但与期望的EDA还有距离，人们是从两方面解决这个问题。

一是基于数学的最优化算法；一是基于知识信息系统，二者都有很大发展。

PSpice/Optimizer是基于前者，这就需要读者了解一些数学的最优化算法，本章只做一些简介，主要是介绍优化（Optimizer）工具的使用方法。

5.1 优化（Optimizer）工具的工作流程优化（Optimizer）工具的工作流程如图5-1所示。

图5-1 优化工具（Optimizer）的工作流程图中：1.设置电路图（与第4章相同）；2.调用PSpice进行电路特性模拟（与第4章相同）；3.确定电路特性函数，（与第4章相同）；4.检验电路特性函数模拟结果（与第4章相同）；5.运行灵敏度分析，确定最关键的元器件（选作项目这与读者本身知识和经验有关）；6.确定最关键的元器件的参数；7.设置优化特性函数，PSpice提供有53个电路特性函数（Measurement）；8.确定优化目标函数；9.确定约束条件和目标函数的权重；10.选用优化引擎（Engine）；11.运行优化工具；12.判断电路是否满足设计要求，有3项选择：13.否！调整优化过程；14.否！修改修改元器件参数或电路；15.是！已满足，依此，更新电路中元器件参数值；16.打印输出17.保存文件从流程图中可以看出，优化程序是在分析的基础上进行的，优化的方法涉及到了数学的最优化算法，下面先介绍有关优化算法的基本知识。

然后再按优化工作流程具体介绍优化（Optimizer）工具的使用方法。

5.2 优化的基本概念5.2.1 设计变量优化问题离不开设计变量、目标函数和约束条件等三个方面的问题。

而首当其冲的就是如何选择设计变量。

设计变量：就是在优化设计中出现的各个可以选择取值的变动参数。

例：一个RC单管放大电路如图-2所示。

在工作时，有一个100pf的寄生负载电容。

第五章-优化设计方法课件

第五章-优化设计方法课件
第五章-优化设计方法
一、目标与过程
•目 标：
•方案的价值系数：
v F ——功能 C ——成本
方案优化法：
➢以功能分析为基础 ➢运用创造技巧
总体优化的过程：
➢确定优化对象
➢最大程度降低成本 ➢努力提高功能
➢ 优化方案的建立
➢寻求最大价值系数
➢ 优化方案的评选
第五章-优化设计方法
二、优化对象的确定
产品返修率高 次品率、废品率高 产品赔偿率，退换率高
效果显著 具备各种改善条件 有改善潜力 情报资料齐全 无需大量人力物力 牵涉面不广
•具体方法
•1 .从技术角度选择优化对象 •（1）经验分析法 •（2）综合分析法
确定评价指标 计入权重 专家评分 按加权总评分决策
第五章-优化设计方法
案例：某产品有A、B、C、D4个组成部分。经过企业有关人 士的分析,决定以可靠性、操作性、维修性、工艺性、生产 效率和安全性等6项指标来评价每一部分的技术水平，并根 据6项指标对产品的不同工艺重要性赋予不同的权重
• 2）针对难以处理性态不好的问题、难以求得全局最 优解等弱点，发展了一批新的方法，如：模拟退火法、 遗传算法、人工神经网络法、模糊算法、小波变换法、 分形几何法等。
• 3）在数学模型描述能力上，由仅能处理连续变量、 离散变量，发展到能处理随机变量、模糊变量、非数 值变量等，在建模方面，开展了柔性建模和智能建模 的研究。
• 2）建模难度大，技术性高，数学模型描述 能力低，数学模型误差大。
• 3）方法程序的求解能力有限，难以处理复 杂问题和性态不好的问题，难以求得全局最 优解。
第五章-优化设计方法
现 为了提高最优化方法的综合求解能力，人们探索： 状
• 1）引入了人工智能、专家系统技术，增加了最优化 方法中处理方案设计、决策等优化问题的能力，在优 化方法中的参数选择时借助专家系统，减少了参数选 择的盲目性，提高了程序求解能力。

天津大学《最优化方法》复习题(含答案)

天津大学《最优化方法》复习题(含答案)

天津大学《最优化方法》复习题(含答案)天津大学《最优化方法》复习题（含答案）第一章 概述(包括凸规划)一、 判断与填空题1 )].([arg )(arg m in m axx f x f nnRx Rx -=∈∈ √2 {}{}.:)(min :)(max nnR D x x f R D x x f ⊆∈-=⊆∈ ⨯3 设.:R R D f n →⊆ 若nR x∈*，对于一切nR x ∈恒有)()(x f x f ≤*，则称*x 为最优化问题)(minx f Dx ∈的全局最优解. ⨯4 设.:R RD f n→⊆ 若Dx∈*，存在*x 的某邻域)(*x N ε，使得对一切)(*∈x N x ε恒有)()(x f x f <*，则称*x 为最优化问题)(minx f Dx ∈的严格局部最优解. ⨯5 给定一个最优化问题，那么它的最优值是一个定值. √6 非空集合nR D ⊆为凸集当且仅当D 中任意两点连线段上任一点属于D . √7 非空集合nR D ⊆为凸集当且仅当D 中任意有限个点的凸组合仍属于D . √8 任意两个凸集的并集为凸集. ⨯ 9 函数RR D f n→⊆:为凸集D 上的凸函数当且仅当f -为D 上的凹函数. √10 设RRD f n→⊆:为凸集D 上的可微凸函数，Dx ∈*.则对D x ∈∀，有).()()()(***-∇≤-x x x f x f x f T⨯ 11 若)(x c 是凹函数，则}0)( {≥∈=x c R x D n是凸集。

√12 设{}kx 为由求解)(minx f Dx ∈的算法A 产生的迭代序列，假设算法A 为下降算法，则对{},2,1,0∈∀k ，恒有)()(1kk x f x f ≤+ .13 算法迭代时的终止准则（写出三种）：_____________________________________。

14 凸规划的全体极小点组成的集合是凸集。

1 (LP)的解集是凸的. √2 对于标准型的(LP)，设{}k x 由单纯形算法产生，则对{} ,2,1,0∈k ，有.1+>k T k T x c x c ×3 若*x 为(LP)的最优解，*y 为(DP)的可行解，则.**y b x c T T ≥ √4 设0x 是线性规划(LP)对应的基),,(1m P P B =的基可行解，与基变量m x x ,,1 对应的规范式中，若存在0<k σ，则线性规划(LP)没有最优解。

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5.3.5 惩罚函数法
间接法: 约束优化问题
无约束优化问题
这种转化必须满足如下两个前提条件： ❖①不破坏原约束问题的约束条件; ❖②最优解必须归结到原约束问题的最优解上去。
参数型 惩罚函数法有两种类型 非参数型
约束优化问题
min F ( X ) X D Rn D : gu ( X ) 0, u 1, 2, ..., p
0
x2
1
r(k) x22
0
------ ① ------ ②
由式①得: x1 1 r(k)
由式②得: x2 r(k)
x1*
lim
r(k) 0
x1
lim
r(k) 0
1
r(k) 1
x2*
lim
r(k) 0
x2
lim
r(k) 0
r(k) 0
X*
1 0
,
F * 8 2.667 3
r(k)
10
无约束优化问题
min ( X , r(k), m(k) ) X D Rn
新目标函数 min ( X , r(k), m(k) ) 惩罚函数
p
q
F (X ) r(k) G gu(X ) m(k) (k) －罚因子，是大于零的一系列可调参数
惩罚项
1
0.1 0.01 0.001 0
X
* k
2.040 1.414 1.147 1.049 1.016
3.162
1
0.316 0.100
0.032
1 0
*k 25.305 9.105 5.094 3.272 2.857 2.667
(补充作业)内点法的解析计算法
❖ 例题:用对数形式的内点法求解:
r(k1) C r(k) , 0 C 1
lim
k
X
* k
X*
10
一、内点法
2. 内点罚函数法的形式及特点 （1）一般形式 （2）特点
①内点法只适用于解不等式约束优化问题。
②初始点X(0)必须在可行域内部选取。
③内点法的突出优点在于每个迭代点都是可行点，当迭代到达 一定阶段时，尽管尚没有到达最优点，但也可以被接受为一个 较好的近似解。
f(x)
x D R1
D : g1( x) x b 0
(x, r(0) ) ( x, r(1) )
r (0) 0.1 ( x, r(k) )
解：首先构造罚函数
( x, r (k) ) F ( x) r (k) 1 ax r (k) 1
g1( x)
xb
r(1) 0.01
o
b
x
x* xk* x1*
罚函数中，既包含了原目标函数F(X)，又包含了约束函数gu(X)和 hv(X)。问题 的关键是恰当地构造函数G[gu(X)]和H[hv(X)]。在对无约束优化问题的求解过程 中，通过不断地调整罚因子，就能使目标函数的最优解逐渐趋近于原约束优化
问题的最优解。
2
5.3.5 惩罚函数法
r(k), m(k) －罚因子，是大于零的一系列可调参数
r (0) , m(0)
r (1) , m(1)
r (2) , m(2)
......
r (k ) , m(k)
( X , r(0), m(0) )
X
* 0
( X , r(1), m(1) )
X1*
( X , r(2), m(2) )
X
* 2
...... ( X, r(k), m(k))
X
* k
X*
X*
③“内点”的含义
“围墙函数法”
o
“障碍函数法”
(x, r(0) ) ( x, r(1) )
r (0) 0.1 ( x, r(k) ) r(1) 0.01
b
x
x* xk* x1*
x0*
9
一、内点法
2. 内点罚函数法的形式及特点
（1）一般形式
min F ( X )
X D Rn
D : gu ( X ) 0, u 1, 2, ..., p
按照该数学模型解出的最优点X*，至少比原设计点X(k)多满足一个
约束条件。重复数次，直到所有的约束条件都得到满足，最终可
取得在可行域内部的初始点x(0)。
12
4. 关于几个参数的选择
(1) 初始罚因子r(0)的选取。
初始罚因子r(0)选择得是否恰当，将对解题的成败和速度产生相当大的影响。
如果r(0)值选得太大，效率低。则在一开始罚函数中的惩罚项的值将远远超出原目标函 数的值，因此，它的第一次无约束极小点将远离原问题的约束最优点。在以后的迭代 中，需要很长时间的搜索才能使序列无约束极小点逐渐向约束最优点逼近。
3. 初始点X(0)的确定
(1) 自定法 (2) 搜索法
11
初始点x(0)的确定 (1) 自定法 : (2) 搜索法: 先任取一个设计点X(k)； 计算X(k)点的诸约束函数值gu(X(k))，u＝1，2，…，p
若： gu ( X (k) ) 0 u 1, 2,L , s
gu ( X (k) ) 0 u s 1, s 2,L , p
r(k)
x1
x2
2x1 4x2
0 x1 x2 1
r(k)
0
x1 x2 1
------ ① ------ ②
x1 2x2 代入②式得
r(k) 4x2 3x2 1 0
19
(补充作业)内点法的解析计算法
❖ 解(续)
4 x2
r(k) 3x2 1
0
12x22 4x2 r(k) 0
序列无约束极小化方法：SUMT法 （Sequential Unconstrained Minimization Technique）
内点罚函数法(内点法) 罚函数法 外点罚函数法(外点法)
混合罚函数法(混合法)
3
一、内点惩罚函数法
基本思想：将新目标函数定义于可行域内，序列迭代点在可 行域内逐步逼近原目标函数约束边界上的最优点。
hv ( X ) 0, v 1, 2, ..., q
无约束优化问题 min ( X , r(k), m(k) ) X D Rn
1
5.3.5 惩罚函数法
约束优化问题
min F ( X ) X D Rn D : gu ( X ) 0, u 1, 2, ..., p
hv ( X ) 0, v 1, 2, ..., q
根据经验，一般可取初始罚因子r(0)＝1~50。也有资料提出如下建议，按惩罚项的初始值 与目标函数的初始值F(X(0))相近的原则确定r(0)，即取:
F (X (0)) r(0)
p
G gu ( X (0) )
13
u1
4. 关于几个参数的选择
(1) 初始罚因子r(0)的选取。
(2) 递减系数C的选择。一般认为对算法的成败和速度影响不大。
若r(0)取得过小，导致计算的失败。则在一开始惩罚项的作用甚小，在可行域内部的惩 罚函数φ(X，r(0))与原目标函数F(X)很相近，只是在约束边界附近罚函数值才突然增高。 这样，使得其罚函数φ(X，r(k))在约束边界附近出现深沟谷地，罚函数的性态变得恶劣。 一般来说，对于有深沟谷地性态差的函数，不仅搜索所需的时间长，而且很难使迭代 点进入最优点的邻域，以至极易使迭代点落入非可行域而导致计算的失败。即使是用 最稳定的无约束算法，迭代点仍有逸出可行域的危险。
r(k ) Cr (k1) , 0 C 1
lim r(k ) 0
k 4
内点惩罚函数法的思路: 当X由可行域内靠近任一约束边界时,惩罚项值趋于无穷大，所 以它就像围墙一样阻止迭代点越出约束边界。
x2
条件1：不破坏原约束问题的约束条件
5
x1 o
条件2：最优解必须归结到原约束问题的最优解上去
1. 引例
p
q
( X , r(k), m(k) ) F ( X ) r(k) G gu ( X ) m(k) H hv ( X )
u 1
v 1
❖ 设有一维不等式约束优化问题的数学模型
min F ( x) ax
f(x)
x D R1
D : g1( x) x b 0
x*=b, F*=ab
min ( X , r (k) ) X R2
F(X)
r(k)
1 g1( X )
1 g2(X )
1 3
x1
13
x2
r(k)
1 x1 1
1 x2
17
(补充)内点法的解析计算法
解:
(X ,r(k))
1 3
x1
13
x2
r
(
k
)
1 x1 1
1 x2
x1
x1
12
r(k)
x1 12
x0*
8
一、内点法
分析:
①r(k)>0,且迭代点∈D时,总有:
f(x)
(x, r(k)) F (x)
②r(k)是递减序列
r(0) r(1) ...... r(k) r(k) ...... 0
( x, r (0) ) ( x, r (1) )
x0*
x1*
(x, r(k)) xk*
r(k)→0时, (x, r(k) ) F (x)
min(X , r(k) ) min F(X ) r(k) 1/ gu (X )
随着r ( k )的减小, 惩罚作用趋于消失,
lim r(k)
k
1 0 gu (X )
lim( X , r(k) ) F ( X )
k
( X , r(k) )的最优解就逼近原问题的约束最优解