近5年高考文科数学考试细目表(含2020年)

绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题目时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其它答案标号框.回答非选择题目时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题目：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合A ={x ||x |<3，x ∈Z }，B ={x ||x |>1，x ∈Z }，则A ∩B =（）A. B.{–3，–2，2，3）C.{–2，0，2} D.{–2，2}【答案】D 【解析】【分析】解绝对值不等式化简集合,A B 的表示，再根据集合交集的定义进行求解即可.【详解】因为3,2,1,0,1,2A x x x Z ，1,1B x x x Z x x 或 1,x x Z ，所以 2,2A B ∩.故选：D.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查集合交集的定义，属于基础题.2.（1–i ）4=（）A.–4B.4C.–4iD.4i【答案】A【解析】【分析】根据指数幂的运算性质，结合复数的乘方运算性质进行求解即可.【详解】422222(1)[(1)](12)(2)4i i i i i .故选：A.【点睛】本题考查了复数的乘方运算性质，考查了数学运算能力，属于基础题.3.如图，将钢琴上的12个键依次记为a 1，a 2，…，a 12.设1≤i <j <k ≤12．若k –j =3且j –i =4，则称a i ，a j ，a k 为原位大三和弦；若k –j =4且j –i =3，则称a i ，a j ，a k 为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为（）A.5B.8C.10D.15【答案】C 【解析】【分析】根据原位大三和弦满足3,4k j j i ，原位小三和弦满足4,3k j j i 从1i 开始，利用列举法即可解出．【详解】根据题意可知，原位大三和弦满足：3,4k j j i ．∴1,5,8i j k ；2,6,9i j k ；3,7,10i j k ；4,8,11i j k ；5,9,12i j k ．原位小三和弦满足：4,3k j j i ．∴1,4,8i j k ；2,5,9i j k ；3,6,10i j k ；4,7,11i j k ；5,8,12i j k ．故个数之和为10．故选：C ．【点睛】本题主要考查列举法的应用，以及对新定义的理解和应用，属于基础题．4.在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（）A.10名B.18名C.24名D.32名【答案】B 【解析】【分析】算出第二天订单数，除以志愿者每天能完成的订单配货数即可.【详解】由题意，第二天新增订单数为50016001200900 ，故需要志愿者9001850名.故选：B【点晴】本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题.5.已知单位向量a ，b 的夹角为60°，则在下列向量中，与b 垂直的是（）A.a +2bB.2a +bC.a –2bD.2a –b【答案】D 【解析】【分析】根据平面向量数量积的定义、运算性质，结合两平面向量垂直数量积为零这一性质逐一判断即可.【详解】由已知可得：11cos 601122a b a b .A ：因为215(2)221022a b b a b b ，所以本选项不符合题意；B ：因为21(2)221202a b b a b b ，所以本选项不符合题意；C ：因213(2)221022a b b a b b ，所以本选项不符合题意；D：因为21(2)22102a b b a b b ，所以本选项符合题意.故选：D.【点睛】本题考查了平面向量数量积的定义和运算性质，考查了两平面向量数量积为零则这两个平面向量互相垂直这一性质，考查了数学运算能力.6.记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 5–a 3=12，a 6–a 4=24，则nnS a =（）A.2n –1 B.2–21–n C.2–2n –1D.21–n –1【答案】B 【解析】【分析】根据等比数列的通项公式，可以得到方程组，解方程组求出首项和公比，最后利用等比数列的通项公式和前n 项和公式进行求解即可.【详解】设等比数列的公比为q ，由536412,24a a a a 可得：421153111122124a q a q q a a q a q ，所以1111(1)122,21112n nn n n n n a q a a qS q ，因此1121222n n n n n S a .故选：B.【点睛】本题考查了等比数列的通项公式的基本量计算，考查了等比数列前n 项和公式的应用，考查了数学运算能力.7.执行右面的程序框图，若输入的k =0，a =0，则输出的k 为（）A.2B.3C.4D.5【答案】C 【解析】分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出的k 值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，即可求得答案.【详解】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出的k 值模拟程序的运行过程0,0k a 第1次循环，2011a ,011k ，210 为否第2次循环，2113a ,112k ，310 为否第3次循环，2317a ,213k ，710 为否第4次循环，27115a ,314k ，1510 为是退出循环输出4k .故选：C.【点睛】本题考查求循环框图的输出值，解题关键是掌握模拟循环语句运行的计算方法，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.8.若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y 的距离为（）A.55B.255C.355D.455【答案】B 【解析】【分析】由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为 ,,0a a a ，可得圆的半径为a ，写出圆的标准方程，利用点 2,1在圆上，求得实数a 的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线230x y 的距离.【详解】由于圆上的点 2,1在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，设圆心的坐标为,a a ，则圆的半径为a ，圆的标准方程为 222x a y a a .由题意可得 22221a a a ，可得2650a a ，解得1a 或5a ，所以圆心的坐标为 1,1或 5,5，圆心到直线230x y 的距离均为22555d；所以，圆心到直线230x y 的距离为255.故选：B.【点睛】本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.9.设O 为坐标原点，直线x a 与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b的两条渐近线分别交于,D E 两点，若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为（）A.4B.8C.16D.32【答案】B 【解析】【分析】因为2222:1(0,0)x y C a b a b ，可得双曲线的渐近线方程是b y x a，与直线x a 联立方程求得D ，E 两点坐标，即可求得||ED ，根据ODE 的面积为8，可得ab 值，根据2222c a b ，结合均值不等式，即可求得答案.【详解】∵2222:1(0,0)x y C a b a b双曲线的渐近线方程是by x a∵直线x a 与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b的两条渐近线分别交于D ，E 两点不妨设D 为在第一象限，E 在第四象限联立x ab y x a，解得x a y b故(,)D a b 联立x ab y x a，解得x a y b故(,)E a b ||2ED bODE 面积为：1282ODE S a b ab△∵双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b其焦距为2222222168c a b ab 当且仅当22a b 取等号C 的焦距的最小值：8【点睛】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.10.设函数331()f x x x,则()f x （）A.是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B.是奇函数，且在(0,+∞)单调递减C.是偶函数，且在(0,+∞)单调递增 D.是偶函数，且在(0,+∞)单调递减【答案】A 【解析】【分析】根据函数的解析式可知函数的定义域为0x x ，利用定义可得出函数 f x 为奇函数，再根据函数的单调性法则，即可解出．【详解】因为函数 331f x x x定义域为 0x x ，其关于原点对称，而 f x f x ，所以函数 f x 为奇函数．又因为函数3y x 在()0,+¥上单调递增，在(),0-¥上单调递增，而331y x x在()0,+¥上单调递减，在(),0-¥上单调递减，所以函数 331f x x x在()0,+¥上单调递增，在(),0-¥上单调递增．故选：A ．【点睛】本题主要考查利用函数的解析式研究函数的性质，属于基础题．11.已知△ABC 是面积为934的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上.若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为（）A.3B.32C.1D.32【答案】C【分析】根据球O 的表面积和ABC 的面积可求得球O 的半径R 和ABC 外接圆半径r ，由球的性质可知所求距离22d R r.【详解】设球O 的半径为R ，则2416R ，解得：2R .设ABC 外接圆半径为r ，边长为a ，ABC ∵ 是面积为934的等边三角形，21393224a ，解得：3a ，22229933434a r a ，球心O 到平面ABC 的距离22431d R r .故选：C.【点睛】本题考查球的相关问题的求解，涉及到球的表面积公式和三角形面积公式的应用；解题关键是明确球的性质，即球心和三角形外接圆圆心的连线必垂直于三角形所在平面.12.若2233x y x y ，则（）A.ln(1)0y x B.ln(1)0y x C.ln ||0x y D.ln ||0x y 【答案】A 【解析】【分析】将不等式变为2323x x y y ，根据 23t tf t 的单调性知x y ，以此去判断各个选项中真数与1的大小关系，进而得到结果.【详解】由2233x y x y 得：2323x x y y ，令 23ttf t ，2x y ∵为R 上的增函数，3x y 为R 上的减函数， f t 为R 上的增函数，x y ，0y x Q ，11y x ， ln 10y x ，则A 正确，B 错误；x y Q 与1的大小不确定，故CD 无法确定.故选：A.【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到,x y 的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.二、填空题目：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若2sin 3x ，则cos 2x __________．【答案】19【解析】【分析】直接利用余弦的二倍角公式进行运算求解即可.【详解】22281cos 212sin 12()1399x x .故答案为：19.【点睛】本题考查了余弦的二倍角公式的应用，属于基础题.14.记n S 为等差数列 n a 的前n 项和．若1262,2a a a ，则10S __________．【答案】25【解析】【分析】因为 n a 是等差数列，根据已知条件262a a ，求出公差，根据等差数列前n 项和，即可求得答案.【详解】∵ n a 是等差数列，且12a ，262a a 设 n a 等差数列的公差d根据等差数列通项公式： 11n a a n d 可得1152a d a d 即： 2252d d 整理可得：66d 解得：1d∵根据等差数列前n 项和公式：*1(1),2n n n S na d n N可得： 1010(101)1022045252S1025S .故答案为：25.【点睛】本题主要考查了求等差数列的前n 项和，解题关键是掌握等差数列的前n 项和公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.15.若x ，y 满足约束条件1121,x y x y x y，，则2z x y 的最大值是__________．【答案】8【解析】【分析】在平面直角坐标系内画出不等式组表示的平面区域，然后平移直线12y x ，在平面区域内找到一点使得直线1122y x z在纵轴上的截距最大，求出点的坐标代入目标函数中即可.【详解】不等式组表示的平面区域为下图所示：平移直线12y x，当直线经过点A 时，直线1122y x z 在纵轴上的截距最大，此时点A 的坐标是方程组121x y x y的解，解得：23x y，因此2z x y 的最大值为：2238 .故答案为：8.【点睛】本题考查了线性规划的应用，考查了数形结合思想，考查数学运算能力.16.设有下列四个命题：p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.p 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.p 4：若直线l 平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l .则下述命题中所有真命题的序号是__________.①14p p ②12p p ③23p p ④34p p 【答案】①③④【解析】【分析】利用两交线直线确定一个平面可判断命题1p 的真假；利用三点共线可判断命题2p 的真假；利用异面直线可判断命题3p 的真假，利用线面垂直的定义可判断命题4p 的真假.再利用复合命题的真假可得出结论.【详解】对于命题1p ，可设1l 与2l 相交，这两条直线确定的平面为 ；若3l 与1l 相交，则交点A 在平面 内，同理，3l 与2l 的交点B 也在平面 内，所以，AB ，即3l ，命题1p 真命题；对于命题2p ，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，命题2p 为假命题；对于命题3p ，空间中两条直线相交、平行或异面，命题3p 为假命题；对于命题4p ，若直线m 平面 ，则m 垂直于平面 内所有直线，∵直线l 平面 ， 直线m 直线l ，命题4p 为真命题.综上可知，14p p 为真命题，12p p 为假命题，23p p 为真命题，34p p 为真命题.故答案为：①③④.【点睛】本题考查复合命题的真假，同时也考查了空间中线面关系有关命题真假的判断，考查推理能力，属于中等题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知25cos ()cos 24A A ．（1）求A ；（2）若33b c a，证明：△ABC 是直角三角形．【答案】（1）3A；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据诱导公式和同角三角函数平方关系，25cos cos 24A A可化为251cos cos 4A A，即可解出；（2）根据余弦定理可得222b c a bc ，将33b c a 代入可找到,,a b c 关系，再根据勾股定理或正弦定理即可证出．【详解】（1）因为25cos cos 24A A，所以25sin cos 4A A ，即251cos cos 4A A ，解得1cos 2A ，又0A ，所以3A；（2）因为3A ，所以2221cos 22b c a A bc ，即222b c a bc ①，又33b c a②，将②代入①得， 2223b c b c bc ，即222250b c bc ，而b c ，解得2b c ，所以3a c，故222b a c ，即ABC 是直角三角形．【点睛】本题主要考查诱导公式和平方关系的应用，利用勾股定理或正弦定理，余弦定理判断三角形的形状，属于基础题．18.某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(x i ，y i )(i =1，2，…，20)，其中x i 和y i 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得20160i ix，2011200i iy，2021)80i i x x （，2021)9000i i y y （，201))800i i i x y x y （（.（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；（2）求样本(x i ，y i )(i =1，2，…，20)的相关系数（精确到0.01）；（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.附：相关系数r =12211))))ni iiiin ni i x y x x y y y x（（（（，2=1.414.【答案】（1）12000；（2）0.94；（3）详见解析【解析】【分析】（1）利用野生动物数量的估计值等于样区野生动物平均数乘以地块数，代入数据即可；（2）利用公式20120202211()()()()iii iii i x x yy r x x yy计算即可；（3）各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表性，应采用分层抽样.【详解】（1）样区野生动物平均数为201111200602020i i y ，地块数为200，该地区这种野生动物的估计值为2006012000 （2）样本(,)i i x y 的相关系数为20120202211()()800220.943809000()()iii i i i i x x y y r x x y y（3）由于各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表性，应采用分层抽样先将植物覆盖面积按优中差分成三层，在各层内按比例抽取样本，在每层内用简单随机抽样法抽取样本即可.【点晴】本题主要考查平均数的估计值、相关系数的计算以及抽样方法的选取，考查学生数学运算能力，是一道容易题.19.已知椭圆C 1：22221x y a b(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴重直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |．（1）求C 1的离心率；（2）若C 1的四个顶点到C 2的准线距离之和为12，求C 1与C 2的标准方程．【答案】（1）12；（2）1C ：2211612x y ，2C ：28y x .【解析】【分析】（1）根据题意求出2C 的方程，结合椭圆和抛物线的对称性不妨设,A C 在第一象限，运用代入法求出,,,A B C D 点的纵坐标，根据4||||3CD AB ，结合椭圆离心率的公式进行求解即可；（2）由（1）可以得到椭圆的标准方程，确定椭圆的四个顶点坐标，再确定抛物线的准线方程，最后结合已知进行求解即可；【详解】解：（1）因为椭圆1C 的右焦点坐标为：(c,0)F ,所以抛物线2C 的方程为24y cx ，其中22c a b.不妨设,A C 在第一象限，因为椭圆1C 的方程为：22221x y a b，所以当x c 时，有222221c y b y a b a ，因此,A B 的纵坐标分别为2b a ，2ba；又因为抛物线2C 的方程为24y cx ，所以当x c 时，有242y c c y c ，所以,C D 的纵坐标分别为2c ，2c ，故22||bAB a，||4CD c .由4||||3CD AB 得2843b c a，即2322()c c a a ，解得2c a （舍去），12c a .所以1C 的离心率为12.（2）由（1）知2a c ，3b c ，故22122:143x y C c c，所以1C 的四个顶点坐标分别为(2,0)c ，(2,0)c ，(0,3)c ，(0,3)c ，2C 的准线为x c .由已知得312c c c c ，即2c .所以1C 的标准方程为2211612x y ，2C 的标准方程为28y x .【点睛】本题考查了求椭圆的离心率，考查了求椭圆和抛物线的标准方程，考查了椭圆的四个顶点的坐标以及抛物线的准线方程，考查了数学运算能力.20.如图，已知三棱柱ABC –A 1B 1C 1的底面是正三角形，侧面BB 1C 1C 是矩形，M ，N 分别为BC ，B 1C 1的中点，P 为AM 上一点．过B 1C 1和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F ．（1）证明：AA 1//MN ，且平面A 1AMN ⊥平面EB 1C 1F ；（2）设O 为△A 1B 1C 1的中心，若AO =AB =6，AO //平面EB 1C 1F ，且∠MPN =π3，求四棱锥B –EB 1C 1F 的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）24.【解析】【分析】（1）由,M N 分别为BC ，11B C 的中点，1//MN CC ，根据条件可得11//AA BB ，可证1MN AA //，要证平面11EB C F 平面1A AMN ，只需证明EF 平面1A AMN 即可；（2）根据已知条件求得11EB C F S 四边形和M 到PN 的距离，根据椎体体积公式，即可求得11B EB C F V .【详解】（1）∵,M N 分别为BC ，11B C 的中点，1//MN BB 又11//AA BB1//MN AA 在等边ABC 中，M 为BC 中点，则BC AM 又∵侧面11BB C C 为矩形，1BC BB 1//MN BB ∵MN BC由MN AM M ，,MN AM 平面1A AMNBC ⊥平面1A AMN又∵11//B C BC ，且11B C 平面ABC ，BC 平面ABC ，11//B C 平面ABC又∵11B C 平面11EB C F ，且平面11EB C F 平面ABC EF11//B C EF//EF BC又BC ∵平面1A AMNEF 平面1A AMN EF ∵平面11EB C F 平面11EB C F 平面1A AMN（2）过M 作PN 垂线，交点为H ，画出图形，如图∵//AO 平面11EB C FAO 平面1A AMN ，平面1A AMN 平面11EB C F NP//AO NP又∵//NO AP6AO NP ∵O 为111A B C △的中心.1111sin 606sin 60333ON A C故：3ON AP，则333AM AP ，∵平面11EB C F 平面1A AMN ，平面11EB C F 平面1A AMN NP ，MH 平面1A AMNMH 平面11EB C F又∵在等边ABC 中EF APBC AM即36233AP BC EF AM由（1）知，四边形11EB C F 为梯形四边形11EB C F 的面积为：111126=62422EB C F EF B C S NP 四边形111113B EBC F EB C F V S h 四边形，h 为M 到PN 的距离23sin 603MH ， 1243243V .【点睛】本题主要考查了证明线线平行和面面垂直，及其求四棱锥的体积，解题关键是掌握面面垂直转为求证线面垂直的证法和棱锥的体积公式，考查了分析能力和空间想象能力，属于中档题.21.已知函数f （x ）=2ln x +1．（1）若f （x ）≤2x +c ，求c 的取值范围；（2）设a >0时，讨论函数g （x ）=()()f x f a x a的单调性．【答案】（1）1c ；（2）()g x 在区间(0,)a 和(,)a 上单调递减，没有递增区间【解析】【分析】（1）不等式()2f x x c 转化为()20f x x c ，构造新函数，利用导数求出新函数的最大值，进而进行求解即可；（2）对函数()g x 求导，把导函数()g x 分子构成一个新函数()m x ，再求导得到()m x ，根据()m x 的正负，判断()m x 的单调性，进而确定()g x 的正负性，最后求出函数()g x 的单调性.【详解】（1）函数()f x 的定义域为：(0,)()2()202ln 120()f x x c f x x c x x c ，设()2ln 12(0)h x x x c x ，则有22(1)()2x h x x x，当1x 时，()0,()h x h x 单调递减，当01x 时，()0,()h x h x 单调递增，所以当1x 时，函数()h x 有最大值，即max ()(1)2ln11211h x h c c ，要想不等式() 在(0,) 上恒成立，只需max ()0101h x c c ；（2）2ln 1(2ln 1)2(ln ln )()(0x a x a g x x x a x a且)x a 因此22(ln ln )()()x a x x x a g x x x a ，设()2(ln ln )m x x a x x x a ，则有()2(ln ln )m x a x ，当x a 时，ln ln x a ，所以()0m x ，()m x 单调递减，因此有()()0m x m a ，即()0g x ，所以()g x 单调递减；当0x a 时，ln ln x a ，所以()0m x ，()m x 单调递增，因此有()()0m x m a ，即()0g x ，所以()g x 单调递减，所以函数()g x 在区间(0,)a 和(,)a 上单调递减，没有递增区间.【点睛】本题考查了利用导数研究不等式恒成立问题，以及利用导数判断含参函数的单调性，考查了数学运算能力，是中档题.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中选定一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑．按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分．[选修4—4：坐标系与参数方程]22.已知曲线C 1，C 2的参数方程分别为C 1：224cos 4sin x y ，（θ为参数），C 2：1,1x t t y t t（t 为参数）.（1）将C 1，C 2的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C 1，C 2的交点为P ，求圆心在极轴上，且经过极点和P 的圆的极坐标方程.【答案】（1）1:4C x y ；222:4C x y ；（2）17cos 5.【解析】【分析】（1）分别消去参数 和t 即可得到所求普通方程；（2）两方程联立求得点P ，求得所求圆的直角坐标方程后，根据直角坐标与极坐标的互化即可得到所求极坐标方程.【详解】（1）由22cos sin 1 得1C 的普通方程为：4x y ；由11x t t y t t 得：2222221212x t t y t t，两式作差可得2C 的普通方程为：224x y .（2）由2244x y x y 得：5232x y ，即53,22P ；设所求圆圆心的直角坐标为 ,0a ，其中0a ，则22253022a a，解得：1710a ， 所求圆的半径1710r ， 所求圆的直角坐标方程为：22217171010x y ，即22175x y x ， 所求圆的极坐标方程为17cos 5.【点睛】本题考查极坐标与参数方程的综合应用问题，涉及到参数方程化普通方程、直角坐标方程化极坐标方程等知识，属于常考题型.[选修4—5：不等式选讲]23.已知函数2()|21|f x x a x a .（1）当2a 时，求不等式()4f x 的解集；（2）若()4f x ，求a 的取值范围.【答案】（1）32x x或112x；（2） ,13, .【解析】【分析】（1）分别在3x 、34x 和4x 三种情况下解不等式求得结果；（2）利用绝对值三角不等式可得到 21f x a ，由此构造不等式求得结果.【详解】（1）当2a 时， 43f x x x .当3x 时， 43724f x x x x ，解得：32x ≤；当34x 时， 4314f x x x ，无解；当4x 时， 43274f x x x x ，解得：112x；综上所述： 4f x 的解集为32x x或112x .（2） 22222121211f x x a x a x ax a a a a （当且仅当221a x a 时取等号）， 214a ，解得：1a 或3a ，a 的取值范围为 ,13, .【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型.祝福语祝你马到成功，万事顺意!。

考试内容能力层次高考要求07年08年09年10年11年12年备注理解有关集合的概念和意义逻辑联结词四种命题及其相互关系理解逻辑联结词"或". "且" "非"的含义;四种命题及其相互关系全特称命题的否定理解24(全特称命题的真假）充分条件与必要条件掌握充要条件的意义映射与函数理解有关概念抽象函数函数的单调性掌握判断一些简单函数单调性的方法3二次函数掌握解决有关数学问题21（2）（二次函数最值及解含参二次不等式）指数函数与对数函数掌握指数函数与对数函数的概念图象和性质11（指对都有的不等式）全国高考数学（新课标）知识双向细目表（文史类）1(不等式）16（奇偶性求和）1(有限集）31(绝对值不等式与有限集）1(有限集）1(不等式）1(不等式）14（二次函数是偶函数求字母）有关术语和符号，能正确地表示出一些简单的集合有关概念能利用函数的奇偶性与图象的对称性的关系描述函数图象掌握掌握掌握集合与集合运算函数的定义域·解析式·值域函数的奇偶性函数的图象理解有关概念,利用特值、单调、周期、奇偶判断12（画图象求最值）12（综合周期、奇偶绝对值画图求交点个数）11（指对都有的不等式）零点与方程理解有关概念，会求零点区间、个数10（求零点区间）利用函数知识解应用题掌握应用函数知识解决实际难度问题18（1）函数的综合问题掌握综合运用函数知识解决数学问题9（奇偶与指数不等式结合）12（图象与对数运算结合）推理与证明数列的概念理解数列、通项公式的概念等比数列掌握等比数列的通项公式，前n 项和公式6（等比性质）8（和与项的比）1517（1）14（由和求公比）掌握差比裂项求和17（2）12（求和）17（求完通项、和后求和最值）8（性质应用）13（通项应用）16（基本量求d ）有关概念及解决实际问题由Sn求an的公式等差数列的通项公式，前n 项和公式掌握掌握掌握等差数列数列的综合应用三角函数概念公式掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，用三角函数线表示正弦、余弦和正切;同角三角函数的基本关系式;正弦、余弦的诱导公式7（用到定义）和差倍公式掌握通过公式的推导，了解它们的内在联系，从而培养逻辑推理能力9（二倍角、和差公式约分，含π/4的）11（二倍角化为二次函数求最值）17（1）107、11（用到）17（1）求值图象与性质掌握会用三角函数线画正弦函数，正切函数的图象，由诱导公式画余弦函数的图象;理解它们的性质; 会用"五点法"3(一个半周期闭区间上图象）6（由定义得解析式并判断图象）11（单调区间、对称轴）用"五点法"画函数y=Asin(ωx+Φ)的简图9（由图象求ω、Φ）16（由图象求ω、Φ进而求值）A 、ω、Φ的物理意义理解掌握y=Asin(ωx+Φ)的图象图象变换掌握利用三角知识求范围最值掌握运用所学三角知识解决实际问题了解共线向量，平面向量基本定理理解向量，向量共线的充要条件，平面向量的坐标9（共线条件）掌握向量的几何表示，实数与向量的积，向量加法与减法，平面向量的坐标运算4（线性运算的坐标表示）了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直等问题2（用数量积坐标运算求夹角）掌握平面向量的数量积及其几何意义;向量垂直的条件5（由垂直求字母）7（由垂直求字母）13（由垂直求字母，非坐标）向量综合掌握综合不等式的概念性质理解不等式的性质不等式证明分析法、综合法、比较法证明简单的不等式均值不等式掌握并会简单的应用;17（2）15（解三角形后求面积）16（解三角形求线段长）17（实际测量求值）17（2）17（实际测量，用字母表示）正弦定理、余弦定理，并能运用它们解斜三角形掌握掌握ωx+Φ)的图象三角最值及综合应用正余弦定理向量、向量的加法与减法、实数与向量的积数量积解不等式掌握二次不等式、简单的分式不等式的解法7（二次不等式解法，三个范围公共解）21（2）（讨论解含参二次不等式）掌握简单的绝对值不等式的解法直线方程及位置关系理解直线的倾斜角和斜率20（斜率取值范围，化为不等式问题）掌握两点斜率公式:一点和斜率求出直线方程的方法;点斜式、两点式和一般式，熟练求出直线方程.两条直线平行与垂直的条件，两条直线成的角、点到直线的距离公式，两条直线的位直关系了解简单的线性规划问题，线性规划的意义掌握二元一次不等式表示平面区域，简单线性规划问题10（线段点到原点距离）611145圆与圆理解16（外切）20（1）（结合抛物线条件求圆的方20（1）（由三点定方程）13（求圆的方程）5（求关于直线对称的圆）20（1）（1次比2次型不不等式|a+b|≤|a|+|b|有关概念圆的标准方程和一般方程掌握理解灵活运用不等式的应用线性规化圆的方程绝对值不等式直线与圆掌握直线与圆的位置关系21（交点个数，结合向量共线类似椭圆问题）20（2）（分成弧的比）20（2）（结合OA、OB垂直类似椭圆问题）掌握椭圆的标准方程及其几何性质20（1）由定义性质求方程20（1）椭圆定义4(离心率）4理解椭圆的定义、概念双曲线了解双曲线的标准方程及其几何性质13（几何性质应用求离心率）2(直接求焦距）5（渐近线求离心率）10抛物线了解抛物线的标准方程及其几何性质7（从坐标考抛物线定义)14（弦中点求抛物线方程）4（知切点求切线）9（定义应用求距离）10(用到）20（2）（切线方程）轨迹方程了解20（2）代入法求轨迹并讨论什么曲线直线与圆锥曲线掌握综合16（求交点与原点组成三角形面积）20（2）（弦长问题）综合应用熟练掌握综合线面、面面平行12（平行垂直判断）18椭圆线面、面面垂直18（面面垂直化为线面垂直，存在问题）12（平行垂直判断）18（线线垂直与线面垂直、面面垂直转化，求体积）18（1）1819（1）三视图掌握三视图8（体积）1811（三视图求全面积）1587（三视图求体积）体积计算了解会求几何体的表面积、体积，会处理几何体的侧面展开图问题8,111818（2）19（2）了解球的概念11（球内接三棱锥）掌握球的性质、表面积、体积公式，球面距离14（球内接正六棱柱求球的体积）7（知内接长方体求表面积）16（球中直角三角形）综合18（由直观图得三视图计算体积，证线面平行）9（平行、垂直，体积计算）算法初步掌握程序框图5（求和）6（三数输出最大）10（条件结构）56（图的含义）古典概型掌握计算等可能性事件的概率，会用互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率20（1）19（2）14（估计古典概型）618（2）几何概型了解计算几何概型概率20（2）球了解独立性检验19（2）了解线性回归的方法简单应用3（散点图观察正负相关）3(相关系数的理解）了解茎叶图16（说明直观含义）掌握频率分布直方图19（2）（画图并由图估计平均数）抽样19（1）（分层抽样人数）19（1）（估计比例）（3）（用分层更好）导数概念运算掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；基本导数公式；和、差、积、商的求导法则；会求某些简单函数的导数；4掌握导数求切线1021（切线求字母，切线与定直线围成面积）1321（1）（切线求字母）13（知切点求切线）19（1）12平均数与方差计算掌握统计掌握会求一些实际问题的最大值和最小值19掌握导数证明不等式、恒成立21（2）（有特点）21（2）（有特点，用上了分析法）了解复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义掌握运算法则，能进行复数代数形式的加法、减法、乘法、除法运算153（除法）2（除法）3（乘除）2（除法）2（除法）说明21题必考有选修选考有选修选考有选修选考，有选修选考，有选修选考，19是频率估计概率，数学期望21（1）（单调区间）21（1）（2）（恒成立求字母范围）21（1）（求极值）19可导函数的单调性与其导数的关系；可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件了解导数应用复数。

近五年高考文科数学试卷及答案解析(全国1卷)（2016年—2020年）说明：含有2016年—2020年的全国1卷高考文科数学试题以及答案详细解析（客观题也有答案详解）目录2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（I卷）答案详解 (3)2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（I卷） (19)2019年普通高等学校招生全国统一考试文科数学1卷 (29)2019年普通高等学校招生全国统一考试文科数学1卷答案详解 (39)2018年普通高等学校招生全国统一考试文科数学1卷 (50)2018年普通高等学校招生全国统一考试文科数学1卷答案详解 (60)2017年普通高等学校招生全国统一考试文科数学1卷 (71)2017年普通高等学校招生全国统一考试文科数学I卷答案详解 (81)2016年普通高等学校招生全国统一考试文科数学1卷 (93)2016年普通高等学校招生全国统一考试文科数学1卷答案详解 (103)2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（I 卷）答案详解一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.（集合）已知合集{}2340A x x x =--<，{}4,1,3,5B =-，则A B = A.{}4,1- B.{}1,5C.{}3,5 D.{}1,3【解析】∵{}14A x x =-<<，∴{1,3}A B = .【答案】D2.（复数）若312z i i =++，则z =A.0 B.1C. D.2【解析】∵3i i =-，∴1z i =+，∴z 【答案】C3.（立体几何）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为A.514- B.512C.514+ D.512【解析】如图A3所示，设正四棱锥底面的边长为a ，则有22221212h am a h m ⎧=⎪⎪⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩整理得22420m am a --=，令mt a=，则有24210t t --=，∴114t +=，214t -=（舍去），即14m a +=.图A3【答案】C4.（概率统计）设O 为正方形ABCD 的中心，在O,A ,B,C,D 中任取3点，则取到的3点共线的概率为A.15B.25C.12D.45【解析】如图A4所示，从O,A ,B,C,D 中任取3点的所有情况数为35C =10，取到的3点共线的情况有：AOC 、BOD ，共2种情况，所以所求的概率为51102==P.图A4【答案】A5.（概率统计）某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：C ）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子的发芽实验，由实验数据,)(i i x y i =（1,2,…,20)得到下面的散点图：由此散点图，在10C 至40C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是A.y a bx=+ B.2y a bx =+ C.xy a be =+ D.ln y a b x=+【解析】根据散点图的趋势和已学函数图象可知，本题的回归方程类型为对数函数，故选D选项.【答案】D6.（解析几何）已知圆2260x y x +-=，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为A.1B.2C.3D.4【解析】222(3)3x y -+=，设直线方程为2(1)y k x -=-，∴20kx y k -+-=，∴圆心(3,0)到该直线的距离为d ==，∴2max 8d =，故弦的长度的最小值为2==.【答案】B7.（三角函数）设函数()cos()6f x x πω=+在[]ππ-，的图像大致如下图，则()f x 的最小正周期为A.109π B.76π C.43π D.32π【解析】∵函数过点4π,09⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴4ππcos()=096x ω-+，∴4πππ=962x ω-+-，解得23=ω，∴()f x 的最小正周期为3π4π2==ωT .【答案】C8.（函数）设3log 42a =，则4a -A.116B.19C.18D.16【解析】∵33log 4log 42a a ==，∴2439a ==，∴11449a a -==.【答案】B9.（算法框图）执行右面的程序框图，则输出的n =A.17B.19C.21D.23【解析】①输入10n S ==，，得1S S n =+=，100S ≤成立，继续；②输入31n S ==，，得4S S n =+=，100S ≤成立，继续；③输入54n S ==，，得9S S n =+=，100S ≤成立，继续；……由上述规律可以看出，S 是一个以a 1=1为首项，d =2为公差的等差数列的前m 项和，且21n m =-，故有21(1)2m m m S ma d m -=+=.当2100m S m =>，即11n >时，程序退出循环，此时2121n m =-=.【答案】C10.（数列）设{}n a 是等比数列，且123+1a a a +=，2342a a a ++=，则678+a a a +=A.12B.24C.30D.32【解析】设{}n a 的公比为q ，∵234123(+)2a a a q a a a ++=+=，∴2q =，∴55678123+(+)232a a a q a a a +=+==．【答案】D11.（解析几何）设1F ，2F 是双曲线22:13y C x -=的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且|OP |=2，则∆12PF F 的面积为A.72B.3C.52D.2【解析】由题可知1,2a b c ===，12(2,0),(2,0)F F -，解法一：设(,)P m n ，∵||2OP =，故有224m n +=，又∵点P 在C 上，故有2213n m -=，联立方程2222413m n n m ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得3||2n =，故∆12PF F 的面积为12113||||43222n F F ⋅=⨯⨯=．解法二：∵||2OP =，故点P 在以F 1、F 2为直径的圆上，故PF 1⊥PF 2，则22212||||(2)16PF PF c +==，又∵12||||22PF PF a -==，即222121212||||||||2||||4PF PF PF PF PF PF -=+-=，∴12||||6PF PF =，∴∆12PF F 的面积为1211||||6322PF PF =⨯=．图A11【答案】B12.（立体几何）已知A ，B ，C 为球O 的球面上的三个点， 1O 为△ABC 的外接圆.若 1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为A ．64πB ．48πC ．36πD ．32π【解析】由题意可知， 1O 为的半径r =2，由正弦定理可知，2sin =ABr C，则12sin 2sin 6023==== OO AB r C r O 的半径2214R r OO =+=，∴球O 的表面积为24π64πR =．图A12【答案】A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

近三年高考文科数学试卷考点及其分值分析一．选择题1.复数代数形式的混合运算分值：52. 交、并、补集的混合运算分值：53.命题的否定分值：54.函数奇偶性的判断分值：55.等比数列的通项公式及其性质分值：56.古典概型及其概率计算公式分值：57.分段函数的应用分值：58.余弦定理；正弦定理分值：59.命题的真假判断与应用分值：510.三角函数中的恒等变换应用分值：511.独立性检验的应用, 概率与统计, 程序框图分值：512.程序框图, 计算题；算法和程序框图分值：513.双曲线的简单性质, 计算题, 圆锥曲线的定义、性质与方程分值：514.函数的图象及其变换, 函数的性质及应用分值：515.由三视图求面积, 体积分值：5二．填空题1.利用导数研究曲线上某点切线方程分值：52.向量的模分值：53.线性回归方程分值：54.平面向量数量积的运算分值：55.简单线性规划, 有理数指数幂的化简求值分值：56.等差数列的性质, 点列、递归数列与数学归纳法分值：57.椭圆的简单性质, 圆锥曲线的定义、性质与方程分值：58.绝对值不等式分值：5三．解答题1.三角函数中的恒等变换应用, 正弦函数图像, 函数奇偶性的性质分值：122.类比推理, 双曲线的简单性质分值：123.等比关系的确定, 数列递推式, 等差数列与等比数列分值：124.空间几何综合问题分值：125.二次不等式与实际问题分值：126.利用导数求闭区间上函数的最值, 利用导数研究函数的单调性分值：127.空间中直线与直线之间的位置关系, 棱柱、棱锥、棱台的体积分值：128.直线与圆锥曲线的综合问题分值：139.排列、组合的实际应用分值：14近三年江西省理科高考数学试卷考点及其分值分析一．选择题1.集合运算、解一元二次不等式分值：52.复数模的概念、四则运算分值：53.诱导公式与和差角分值：54.抽象函数奇偶性分值：55.全称与特称命题分值：56.相互独立事件的概率分值：57.三视图与直观图分值：58.含参数不等式与零点分值：59.古典概型分值：510.双曲线几何性质与数量积分值：511.三角函数图像性质分值：512.圆锥体积分值：513.程序框图分值：514.平面向量基本定理分值：515.二倍角公式和同角三角函数基本关系式分值：516.线性约束条件、全称与特称命题分值：517.直线与抛物线、向量运算分值：518.二项式通项分值：519.导数、函数零点与参数范围分值：520.组合体三视图与表面积分值：5二．填空题1.函数奇偶性分值：52.椭圆与圆的方程分值：53.推理与证明分值：54.线性规划与斜率分值：55.向量的和与数量积分值：56.正弦定理、和差角公式、三角形面积分值：5三．解答题1.正弦定理、和差角公式、三角形面积分值：122.递推公式与等差数列、裂项相消法求和分值：123.等差数列通项与求和分值：124.频率分布直方图中的平均数与方差、正态分布分值：125.线面垂直与线线垂直分值：126.三棱柱中的线线关系、二面角分值：127.散点图、函数模拟与线性回归分值：128.求轨迹方程、直线与椭圆相交弦长与面积最值分值：129.导数几何意义、直线与抛物线, 导数与单调性与最值, 参数与零点问题分值：10.平面几何直线与圆分值：1211.解含绝对值不等式与三角形面积分值：1212.均值不等式、解不定方程分值：1213.方程互化与函数（三角形面积, 线段长）最值分值：12以活活被整死；堂堂大元帅受辱骂；……这哪里还有什么尊重可言！3、用在设问句后。

高考数学】近五年全国卷数学考点分布--全国新课标全国新课标2020数学考试涵盖了复数运算、集合交集、指数对数等基础知识，同时也考察了黄金分割、函数图象等高阶概念。

2019年考试同样涉及了这些基础知识，其中复数运算模、补集不等式、饼图信息、等差数列和、三次奇函数切线方程等内容也在考试范围内。

2018年考试重点考察了集合交集、复数运算模等内容。

2017年考试则着重考察了集合交集并集、几何概型、命题真假等知识点。

2016年考试则涉及了复数点象限参、集合并集、向量坐标垂直等基础知识，同时也考察了抛物线焦半径、线性回归方程等高阶概念。

在2020年的文科数学考试中，同样考察了复数运算、集合交集、指数对数等基础知识，同时也考察了黄金分割等高阶概念。

2019年考试同样涉及了集合交集、复数运算模等内容。

2018年考试则重点考察了集合交集，2017年考试则着重考察了集合交集并集、统计平均数中位数等知识点。

2016年考试则涉及了集合交集、复数相等求参等基础知识，同时也考察了饼图信息、椭圆离心率等高阶概念。

总体来说，这些年的数学考试都注重考察学生的基础知识，同时也会涉及到一些高阶概念。

学生在备考过程中需要注重基础知识的巩固，同时也需要了解高阶概念的应用。

XXX GraphsProgram FlowchartsCuboid Face DiagonalsAngle of XXXXXX DerivativesRangesPerpendicular VectorsXXX IdentitiesArea of Lines。

Circles。

and Planes7 XXX8 XXX9 Program Flowcharts10 XXX11 Properties of HyperbolasProgram FlowchartsEccentricity of HyperbolasSolving Trianglesds。

Extremums。

XXXXXX DerivativesCuboid Edge。

五年高考（新课标文科数学卷）知识点及考题分布精华版
逻辑（全称、存在量词、
22
,sin(2)cos(
x R x
∃∈+
,,sin()sin
x y R x y
∃∈-=
2,
r=起始位置
0(2,2)
P-，角速度
P到x轴的距离
函数与不等式
123,
a a a
>>
求x的取值范围解析几何（抛物线定义、等差、焦半径）抛物线22
y=
123
,,
P P P在抛物
213
2x x x
=+，求
三视图（四棱锥三视
（抛物线的定义：给出过焦点，准线上有一点P，求求解析式、解不等式或（二倍角公式、两角和差正弦）
cos sin
αα
+的值
（分段函数的图象、最值）
-≥
x x
2,10}(0)
比较三名运动员成绩标准差的大小
立体几何（面面、线线垂直、设问新颖）,2,
ABC AB AC BC
∆==
ADB以AB为轴转动
(1)当ADB ABC
⊥时，求
(2)当ADB转动时，是否总有
(1)估计AB两种配方的优质品率
(2)B的利润与指标t的关系统计（分层抽样，独立性检验）
500老人
(1)估计该地区老年人中，需要志愿者
提供帮助的老年人的比例；
①先确定x y
、根据直方图回答那个差
异度更小
②估计A类B类工人生产能力平均数，
并估计该工厂工人和生产能力平均数。

2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标I）【含详答】2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标I）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知合集A={x|x2?3x?4<0}，B={?4,1,3,5}，则A?B=A. {?4,1}B. {1,5}C. {3,5}D. {1,3}2.若z=1+2i+i3，则|z|=()A. 0B. 1C. √2D. 23.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为()A. √5?14B. √5?12C. √5+14D. √5+124.设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为()A. 15B. 25C. 12D. 455.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位：?°C)的关系，在20个不同的温度条件下进行种子的发芽实验，由实验数据(x i,yi)(i=1,2，…，20)得到下面的散点图：由此散点图，在10?°C至40?°C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x的回归方程类型的是()A. y=a+bxB. y=a+bx2C. y=a+be xD. y=a+blnx6.已知圆x2+y2?6x=0，过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为()A. 1B. 2D. 47.设函数f(x)=cos(ωx+π6)在[?π,π]的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为()A. 10π9B. 7π6C. 4π3D. 3π28.设alog34=2，则4?a=()A. 116B. 19C. 18D. 169.执行下面的程序框图，则输出的n=()B. 19C. 21D. 2310.设{a n}是等比数列，且a1+a2+a3=1，a2+a3+a4=2，则a6+a7+a8=()A. 12B. 24C. 30D. 3211.设F1，F2是双曲线C:x2?y23=1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|=2，则ΔPF1F2的面积为()A. 72B. 3 C. 52D. 212.已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O1为?ABC的外接圆.若⊙O1的面积为4π，AB=BC=AC=OO1，则球O的表面积为()A. 64πB. 48πC. 36πD. 32π二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若x，y满足约束条件{2x+y?2≤0x?y?1≥0y+1≥0，则z=x+7y的最大值为_____．14.设向量a?=(1,?1)，b? =(m+1,2m?4)，若a?⊥b? ，则m=______．15.曲线y=lnx+x+1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为____．16.数列{a n}满足a n+2+(?1)n a n=3n?1，前16项和为540，则a1=____．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A，B，C，D四个等级，加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元、50元、20元；对于D级品，厂家每件赔偿原料损失费50元，该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务，甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件，厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：甲分厂产品等级的频数分布表乙分厂产品等级的频数分布表(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应该选哪个分厂承接加工业务？18.?ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知B=150°．(1)若a=√3c，b=2√7，求?ABC的面积；(2)若sinA+√3sinC=√2，求C．219.如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，?ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，∠APC=90°．(1)证明：平面PAB⊥平面PAC；(2)设DO=√2，圆锥的侧面积为√3π，求三棱锥P?ABC的体积．20.已知函数f(x)=e x?a(x+2).(1)当a=1时，讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围．21.已知A，B分别为椭圆E:+=1(a>1)的左、右顶点，G为E的上顶点，=8，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E 的另一交点为D，(1)求E的方程;(2)证明：直线CD过定点．22.[选修4?4：坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{x=cos k ty=sin k t,(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为4ρcosθ?16ρcosθ+3=0．(1)当k=1时，C1是什么曲线？(2)当k=4时，求C1与C2的公共点的直角坐标．23.[选修4—5：不等式选讲]已知函数f(x)=│3x+1│?2│x?1│．(1)画出y=f(x)的图像；(2)求不等式f(x)>f(x+1)的解集．2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标I）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）已知合集A={x|x2?3x?4<0}，B={?4,1,3,5}，则A?B=A. {?4,1}B. {1,5}C. {3,5}D. {1,3}【答案】D【解析】【分析】本题主要考查集合的交集运算和解一元二次不等式，属于基础题．【解答】解：由不等式x2?3x?4<0，解得?1<x<4，< p="">所以A∩B={1,3}，故选D．24.若z=1+2i+i3，则|z|=()A. 0B. 1C. √2D. 2【答案】C【解析】【分析】本题主要考查复数的运算，求复数的模，属于基础题．【解答】解：z=1+2i?i=1+i，则|z|=√12+12=√2，故选C．25.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为()A. √5?14B. √5?12C. √5+14D. √5+12【答案】C【解析】【分析】根据题意列出a,?′,?的关系式，化简即可得到答案．本题考查了立体几何中的比例关系，属于基础题．【解析】如图，设正四棱锥的高为h，底面边长为a,侧面三角形底边上的高为?′，则由题意可得{2=12a?′2=(?′)2?(a2)2,故(?′)2?(a2)2=12a?′，化简可得4(?′a)2?2(?′a)?1=0,解得?′a =√5+14．故答案选C．26.设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为()A. 15B. 25C. 12D. 45【答案】A【解析】【分析】本题主要考查概率的知识，属于基础题．【解答】解：如图，从5点中随机选取3个点，共有10种情况，其中三点共线的有两种情况：AOC和BOD，则p=210=15．故选A．27.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位：?°C)的关系，在20个不同的温度条件下进行种子的发芽实验，由实验数据(x i,y i)(i=1,2，…，20)得到下面的散点图：由此散点图，在10?°C至40?°C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x的回归方程类型的是()A. y=a+bxB. y=a+bx2C. y=a+be xD. y=a+blnx 【答案】D【解析】【分析】本题考查函数模型的应用，属于基础题．连接各点，判断图象的大致走向，可判断函数为对数模型．【解析】用光滑的曲线把图中各点连接起来，由图象的走向判断，此函数应该是对数函数类型的，故应该选用的函数模型为y=a+blnx．故答案选D．28.已知圆x2+y2?6x=0，过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为()A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】本题考查圆的方程、直线方程以及求弦长，属于较易题．【解答】解：由可得，则圆心，半径，已知定点，则当直线与OA垂直时，弦长最小，OA=√(3?1)2+(0?2)2=√8弦长，故选B．29.设函数f(x)=cos(ωx+π6)在[?π,π]的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为()A. 10π9B. 7π6C. 4π3D. 3π2【答案】C【解析】【分析】本题考查了余弦函数的图象与性质，属于中档题．先利用f(?4π9)=0得到w =?3+9k 4(k ∈Z)，由T <2π<2T ，可得，由w =3+9k 4(k ∈Z)可得k 的值，w 的值可得，即可求解．【解析】解：由图可知f(?4π9)=cos(?4π9w +π6)=0，所以?4π9w +π6=π2+kπ(k ∈Z),化简可得w =?3+9k 4(k ∈Z)，又因为T <2π<2T ，即2π|w |<2π<4π|w |，所以，当且仅当k =?1时，所以w =32，最小正周期T =2π|w |=4π3．故答案选C ．30. 设alog 34=2，则4?a =( )A. 116B. 19C. 18D. 16【答案】B【解析】【分析】本题主要考查指对数的运算，属于基础题．【解答】解：由alog 34=log 34a =2，可得4a =32=9，∴4?a =(4a )?1=9?1=19，故选B ．31. 执行下面的程序框图，则输出的n =( )A. 17B. 19C. 21D. 23【答案】C【解析】【分析】本题以程序框图为载体，考查了等差数列求和，属于中档题．【解答】解：输入n=1，S=0，则S=S+n=1，S?100，n=n+2=3，S=S+n=1+3=4，S?100，n=n+2=5，S=S+n=1+3+5=9，S?100，n=n+2=7，S=S+n=1+3+5+7=16，S?100，n=n+2=9，根据等差数列求和可得，S=1+3+5+?+19=100?100，n=19+2=21，输出n=21．故选C．32.设{a n}是等比数列，且a1+a2+a3=1，a2+a3+a4=2，则a6+a7+a8=()A. 12B. 24C. 30D. 32【答案】D【解析】【分析】本题主要考查等比数列的通项公式，属基础题．根据a1+a2+a3=1,a2+a3+a4=2，结合等比数列的通项公式可求得等比数列的公比q，因为a6+a7+a8=q5(a1+a2+a3)，从而得到答案．【解答】解：∵a1+a2+a3=1,a2+a3+a4=2，∴q(a1+a2+a3)=2，所以q=2，∵a6+a7+a8=q5(a1+a2+a3)，所以a6+a7+a8=32，故选D33.设F1，F2是双曲线C:x2?y23=1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|=2，则ΔPF1F2的面积为()A. 72B. 3 C. 52D. 2【答案】B【解析】【分析】本题主要考查双曲线的定义、双曲线的简单几何性质、圆的性质，属一般题．根据双曲线的标准方程得到其焦点坐标，结合|OP|=2，可确定点P在以F1F2为直径的圆上，得到|PF1|2+|PF2|2=16，结合双曲线的定义可得|PF1|?|PF2|的值，从而得到答案．【解答】解：由双曲线的标准方程可得a=1,b=√3，c=2，所以焦点坐标为F1(?2,0),F2(2,0)，因为|OP|=2，所以点P在以F1F2为直径的圆上，∴|PF1|2+|PF2|2=16，∵||PF1|?|PF2||=2a=2，所以||PF1|?|PF2||2=|PF1|2+|PF2|2?2|PF1|?|PF2|= 4，所以|PF1|?|PF2|=6，所以三角形PF1F2面积为3，故选B．34.已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O1为?ABC的外接圆.若⊙O1的面积为4π，AB=BC=AC=OO1，则球O的表面积为()A. 64πB. 48πC. 36πD. 32π【答案】B【解析】【分析】本题考查球的结构与性质，球的表面积公式，属中档题．【解答】解：由圆O1的面积为4π=πr2，故圆O1的半径ρ=2，∵AB=BC=AC=OO1，则三角形ABC是正三角形，由正弦定理：ABsin60°=2r=4，得AB=OO1=2√3，由R2=r2+OO12，得球O的半径R=4，表面积为4πR2=64π，故答案为A．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）35.若x，y满足约束条件{2x+y?2≤0x?y?1≥0y+1≥0，则z=x+7y的最大值为_____．【答案】1【解析】【分析】本题考查利用线性规划求最值问题，属基础题．【解答】解：根据约束条件画出可行域为：由z=x+7y得y=?17x+17z，平移直线y=?17x，要使z最大，则y=?17x+17z在y轴上的截距最大，由图可知经过点A(1,0)时截距最大，此时z=1，故答案为1．36.设向量a?=(1,?1)，b? =(m+1,2m?4)，若a?⊥b? ，则m=______．【答案】5【解析】【分析】本题主要考查平面向量垂直的充要条件，平面向量数量积的坐标运算，属基础题．由a?⊥b? 可得a??b? =0，再把两向量坐标代入运算可得答案．【解答】解：∵a?⊥b? ，所以a??b? =0，因为a?=(1,?1),b? =(m+1,2m?4)，所以m+1?(2m?4)=0，故m=5．故答案为：537.曲线y=lnx+x+1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为____．【答案】2x?y=0【解析】【分析】本题主要考查导数的几何意义，属基础题．根据导数的几何意义确定切点坐标，再根据直线的点斜式得到切线方程．【解答】+1解：∵y=lnx+x+1，∴y′=1x+1=2，故x0=1，设切点坐标为(x0,y0)，因为切线斜率为2，所以1x此时，y0=ln1+2=2，所以切点坐标为(1,2)，∴y?2=2(x?1)所以切线方程为2x?y=0．故答案为：2x?y=0．38.数列{a n}满足a n+2+(?1)n a n=3n?1，前16项和为540，则a1=____．【答案】7【解析】【分析】本题主要考查累加法求通项公式，等差数列的求和公式以及数列的递推关系，属较难题．对n取偶数，再结合条件可求得前16项中所有奇数项的和，对n 取奇数时，利用累加法求得a n+2的值，用其表示出前16项和可得答案．【解答】解：因为a n+2+(?1)n a n=3n?1，当n=2，6，10，14时，a2+a4=5，a6+a8= 17，a10+a12=29，a14+a16=41因为前16项和为540，所以a1+a3+a5+a7+a9+a11+a13+a15=540?(5+17+29+41)，所以a1+a3+a5+a7+a9+a11+a13+a15=448，当n为奇数时，a n+2?a n=3n?1，所以a3?a1=2，a5?a3=8，a7?a5=14?a n+2?a n=3n?1，累加得an+2?a1=2+8+14+?3n?1=(2+3n?1)?n+122，∴a n+2=(3n+1)?(n+1)4+a1，∴a3=2+a1，a5=10+a1，a7=24+a1，a9=44+a1，a11=70+a1，a13= 102+a1，a15=140+a1，因为a1+a3+a5+a7+a9+a11+a13+a15=448，所以8a1+392=448，所以a1=7．故答案为7．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）39.某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A，B，C，D四个等级，加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元、50元、20元；对于D级品，厂家每件赔偿原料损失费50元，该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务，甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件，厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：甲分厂产品等级的频数分布表乙分厂产品等级的频数分布表(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应该选哪个分厂承接加工业务？【答案】解：(1)根据频数分布表可知甲、乙分厂加工出来的一件产品为A级品的频数分别为40，28，所以频率分别为40100=0.4，28100=0.28，用频率估计概率可得甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率分别为0.4和0.28．(2)甲分厂四个等级的频率分别为：0.4，0.2，0.2，0.2，故甲分厂的平均利润为：0.4×(90?25)+0.2×(50?25)+0.2×(20?25)+0.2×(?50?25)=15(元)，乙分厂四个等级的频率分别为：0.28，0.17，0.34，0.21，故乙分厂的平均利润为：0.28×(90?20)+0.17×(50?20)+0.34×(20?20)+0.21×(?50?20)= 10(元)，因为甲分厂平均利润大于乙厂的平均利润，故选甲分厂承接加工业务．【解析】本题主要考查频率的算法，平均数的概念及其意义，属基础题．(1)根据图表信息可得甲乙分厂的频数，从而得到答案．(2)根据图表信息可得甲乙分厂的四个等级的频率，再根据平均数的定义求得答案，比较两厂的平均数得到最终答案即可．40.?ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知B=150°．(1)若a=√3c，b=2√7，求?ABC的面积；(2)若sinA+√3sinC=√22，求C．【答案】解：(1)由余弦定理得b2=a2+c2?2accosB，即28=3c2+c2?2√3c2cos150°，解得c=4，所以a=4√3，所以S△ABC=12acsinB=12×4√3×4×12=4√3．(2)因为A=180°?B?C=30°?C，所以sinA+√3sinC=sin(30°?C)+√3sinC=12cosC+√32sinC=sin(30°+C)=√22，因为A>0°，C>0°，所以0°<c<30°，所以30°<30°+c<60°，< p="">所以30°+C=45°，所以C=15°．【解析】【解析】本题考查余弦定理，三角形面积公式的应用，三角恒等变换的应用，属于中档题．(1)由已知条件结合余弦定理可求得c，从而可根据三角形面积公式求解；(2)由两角差的正弦公式对已知式进行化简，再由辅助角公式根据C的范围求解即可．41.如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，?ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，∠APC=90°．(1)证明：平面PAB⊥平面PAC；(2)设DO=√2，圆锥的侧面积为√3π，求三棱锥P?ABC的体积．【答案】解：(1)由已知条件得PA=PB=PC，因为∠APC=90°，所以PA⊥PC，所以AP2+PC2=AC2，又因为△ABC是等边三角形，所以AC=AB=BC，所以PA2+PB2=AB2，PB2+PC2=BC2，所以PB⊥PA，PB⊥PC，因为PA∩PC=P，所以PB⊥平面PAC，因为PB?平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAC．(2)设圆锥的底面半径为r，母线长为l，由题意得{2+r2=l2,πrl=√3π,解得l=√3,r=1，所以等边三角形ABC的边长为√3，从而PA=PB=PC=√62，所以PO=√32?1=√22，所以三棱锥P?ABC的体积V=13SΔABC?PO=13×12×√3×√3×√32×√228．【解析】【解析】本题考查线面位置关系的判定，圆锥的侧面积公式，棱锥的体积公式的应用，考查空间想象能力与运算能力，属于中档题．(1)由题意证得PB⊥PA，PB⊥PC，从而得到PB⊥平面PAC，根据面面垂直的判定定理即可证明；(2)由圆锥的性质可求得底面半径与母线长，从而可求得△ABC的边长，从而可求得三棱锥P?ABC的高，从而可求得体积．42.已知函数f(x)=e x?a(x+2).(1)当a=1时，讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围．【答案】解：(1)当a=1时，f(x)=e x?(x+2)，则f′(x)=e x?1，令f′(x)>0，得x>0；令f′(x)<0，得x<0，从而f(x)在(?∞,0)单调递减；在(0,+∞)单调递增．(2)f(x)=e x?a(x+2)=0，显然x≠?2，所以a=e xx+2，令g(x)=e xx+2，问题转化为y=a与g(x)的图象有两个交点，所以g′(x)=e x(x+1)(x+2)2，当x<?2或?2<x<?1时，g′(x)?1时，g′(x)>0，g(x)单调递增，所以g(x)的极小值为g(?1)=1e当x <?2时，g(x)?2时，g(x)>0，所以当a >1e 时，y =a 与g(x)的图象有两个交点，所以a 的取值范围为(1e ,+∞)．【解析】【解析】本题考查利用导数判断函数的单调性，利用导数研究函数的零点，有一定难度． (1)先求导，可直接得出函数的单调性；(2)先分离参数得a =e x x+2，再构造函数，利用导数研究函数的性质，即可得出a 的取值范围．43. 已知A ，B 分别为椭圆E:+=1(a >1)的左、右顶点，G 为E 的上顶点，=8，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ， (1)求E 的方程;(2)证明：直线CD 过定点．【答案】解：由题意A (?a,0),B (a,0),G (0,1),AG =(a,1),GB =(a,?1), AGGB =a 2?1=8?a 2=9?a =3，∴椭圆E 的方程为x 29+y 2=1．(2)由(1)知A (?3,0),B (3,0),P (6,m )，则直线PA 的方程为y =m 9(x +3)，联立{y=m9(x+3)x29+y2=1(9+m2)x2+6m2x+9m2?81=0, 由韦达定理?3x C=9m2?819+m2?x C=?3m2+279+m2，代入直线PA的方程y=m9(x+3)得，y C=6m9+m2，即C(?3m2+279+m2,6m9+m2)，直线PB的方程为y=m3(x?3)，联立{y=m3(x?3)x29+y2=1(1+m2)x2?6m2x+9m2?9=0, 由韦达定理3x D=9m2?91+m2?x D=3m2?31+m2，代入直线PA的方程y=m 3(x?3)得，y D=2m 1+m2，即D(3m2?3 1+m2,?2m1+m2)，∴直线CD的斜率k CD= 6m9+m22m1+m23m2+279+m23m2?31+m2=4m3(3?m2)，∴直线CD的方程为y??2m 1+m2=4m3(3?m2)(x?3m2?31+m2)，整理得y=4m3(3?m2)(x?32)，∴直线CD过定点(32,0)．【解析】本题考查直线于椭圆的位置关系，定点问题，属于较难题；(1)求出各点坐标，表示出向量；(2)求出C，D两点坐标，进而求出直线CD，即可证明．44.[选修4?4：坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{x=cos k ty=sin k t,(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为4ρcosθ?16ρcosθ+3=0．(1)当k=1时，C1是什么曲线？(2)当k=4时，求C1与C2的公共点的直角坐标．</c<30°，所以30°<30°+c<60°，<></x<4，<>。