伯川德模型分析

博弈论学习笔记（七）纳什均衡伯川德模型与选民投票古诺模型复习在古诺模型中，多少如我们所预料的，事情很⾃然的处于极端情况之间，即⾏业产量在某种程度上是介于在垄断和完全竞争两种情况之间的。

它⽐在垄断下的价格低，⽐在完全竞争下的价格⾼；⾏业利润⽐垄断下的利润低，⽐完全竞争时的利润⾼。

如果想要得到不完全竞争的局⾯，他么他就在垄断与完全竞争之间。

但是在另外⼀种情况下能够得到⼀种完全拨通的模型 -- 伯川德竞争（Bertrand competition）。

伯川德模型的饮料案例同样是卖饮料，但是这次的的策略是每单位商品的价格p,我们设：有两个参与者1和2，他们分别卖可⼝可乐和百事可乐。

参与者i的出价策略为p i，i=1，2。

编辑成本为c。

对于参与者1，对于不同的出价p1，对应的销量q1为：当p1<p2，q1=1-p1当p1>p2，q1=0当p1=p2，q1=(1-p1)/2这种情况下p1=p2=c为纳什均衡。

如果参与者1选择某个⼤于c的价格p1=c+3*ε，参与者2就会选择⼀个较⼩的价格，如p2c+2*ε，从⽽迫使价格趋向于两者都为编辑价格c，达到纳什均衡。

选民投票n个⼈的政治⽴场平均分布在⼀条直线上，其中越左边的⼈的政治⽴场⽉偏向于左翼，越右边的⼈的政治⽴场⽉偏向于右翼。

他们可以选择竞选总统或者作为选民。

如果他们作为选民，那么他们的选票将会投给离他⾃⼰政治⽴场最近的⼀个参选者。

如果有位置⼀样的则平分。

举个例⼦，如果现在在x位置有⼀个⼈如果x位置的⼈参选并且获胜，他将得到收益b-c（这⾥假设b=2*c，c是竞选的成本）如果x位置的⼈参选y位置的⼈获胜，他将得到收益-c-|x-y| 若果x位置的⼈没有竞选总统，⽽离他最近的y位置的⼈赢得了竞选，他将得到的收益为-|x-y|假设n为奇数，如果现在每个位置平均只有⼀个⼈，那么：只有中间那⼀个⼈竞选是纳什均衡，因为当他竞选时不管是他左边有个⼈想站出来竞选还是他右边有个⼈想站出来竞选都不会成功。

寡头市场的均衡分析——古诺模型与伯川德模型一致性研究陈耿宣（西南财经大学金融学院611130）摘要：本文通过对伯川德模型进行深入分析，找出了产生伯川德悖论的原因，然后在修正的伯川德模型下找出实行价格竞争策略的寡头市场均衡，并与产量竞争策略的均衡比较，得出在理论上两者一致的结论，并以此推断出寡头垄断的结果是垄断高价；政策制定者如果想改变其垄断现状，只简单的通过引入寡头竞争是无效的。

关键词：寡头市场古诺模型伯川德模型伯川德悖论考察寡头市场有两个经典模型——古诺（Cournot）模型和伯川德（Bertrand）模型，但两者的结论大相径庭：伯川德模型假设价格为策略性变量而更为现实，但是它所推导出的结果却过于极端；反过来，虽然古诺模型假设策略性变量是产量，却似乎更符合实际。

下面就从这两个经典模型以及相关问题开始本文的分析：一、古诺模型以及重复博弈的古诺均衡考察只有两个厂商A、B的寡头市场，有基本假设：1、两个寡头具有相同的成本函数，不变的平均成本都为c；2、生产的产品是完全同质的；3、厂商之间没有正式或非正式的串谋行为；4、两个厂商同时选择产量，给定市场总的产量下，市场价格由市场需求决定。

推导和结论：假设市场反需求函数为P=a—bQ。

根据模型的假定，厂商A、B的利润函数分别为：πA=Q A*[a—b*（Q A+Q B）]和πB=Q B*[a—b*（Q A+Q B）]。

利润最大化下联立求解得双方均衡产量为Q A*= Q B*=（a—c）/（3b）。

然而由单个理性得到的均衡解并非集体理性的最优产量解，如果厂商勾结，共同瓜分市场，每个厂商将产量定为Q*=（a—c）/（4b），则市场均衡价格为P*=（a+c）/2，带入利润函数可知双方利润πA’=πB’>πA*=πB*。

这是一个典型的个人理性与集体理性的冲突，对此问题，博弈论中的囚徒困境博弈模型有着详细的讨论，引入重复博弈，考虑厂商在市场中的长期利益，若寡头厂商选择“以牙还牙”策略，对于无限期的重复博弈（每个厂商都不知道哪一期是最后一期）而言博弈的均衡解就是（合作，合作），即此条件下市场均衡解为P*=（a+c）/2和均衡交易量Q*=（a—c）/（2b）。

产品替代系数视角下保险公司伯川德价格博弈分析本文从对医疗保险公司在产品替代系数方面的不完全信息出发,运用伯川德价格博弈模型分别求出他们的博弈均衡解并对其进行分析。

最后提出提高产品替代系数的建议:对已存在的医保产品的设计上进行创新、加强公司产品品牌建设和宣传、提高服务质量。

关键词：伯川德模型不完全信息替代系数据中国宏观经济网的研究数据显示，1990～1999 年我国城镇居民家庭人均可支配收入年均增长16.25%，消费性支出年均增长15.33% (均未扣除物价因素) ，而卫生总费用和人均卫生费用却几乎都是以21%左右的速度递增。

由此说明：城镇居民收入增长的速度远远跟不上卫生费用的增长速度；城镇居民个人负担的卫生费用越来越重。

然而，在卫生总费用和人均卫生费用都不长的情况下，我国的医疗保险并没有出现预期的销售业绩。

然而，1998年初的社会调查表明，民众对医疗保险的需求率为52% ，高于养老保险；2002年国务院对我国51个城市保险需求的调查发现，有76%的消费者愿意购买医疗保险；在各种商业保险的需求调查中，28.3%的居民将商业医疗保险作为首选。

因此，并不是老百姓不愿意购买商业医疗保险，而是因为我国的商业保险公司商业医疗保险基本处于亏损状态，本文认为这与医疗保险产品的价格有很大的关系。

本文运用伯川德价格博弈模型对此进行分析，得出产品替代系数越高的保险公司其保险产品的价格越高。

不完全信息下静态伯川德价格博弈（一）一个公司不知道另一个公司的具体的产品替代系数假设在市场中，仅有两个医疗保险公司1和2，双方通过制定不同的价格进行博弈。

设医疗保险公司1和2分别打算卖出的产品数量为q1和q2，产品价格分别为p1、p2 ；在不完全信息条件下，假定医疗保险公司2知道自己和医疗保险公司1的产品替代系数b，而医疗保险公司1除了知道自己的产品替代系数外，对医疗保险公司2的产品替代系数却无法知道，但他知道医疗保险公司2取高替代系数和低替代系数的概率服从二点分布，即（1）其中bH>b>bL，且00为常数。

博弈论伯川德模型推导1. 博弈论简介说到博弈论，大家可能会想：“这是什么高大上的东西？”其实，博弈论就是研究决策的科学，简单来说，就是在竞争和合作的场合下，怎么做决策才能赢得最多的利益。

想象一下，几个小伙伴在一起打麻将，每个人都想赢，得时刻考虑其他人可能的动作和反应，这就是博弈论的基本思路。

那今天咱们就聊聊伯川德模型，听起来有点复杂，但其实它就像是个有趣的游戏。

1.1 伯川德模型概述伯川德模型（BurkovDear model）是博弈论中的一个经典模型，主要用于分析参与者在重复博弈中的策略选择。

它的核心思想是，参与者会根据之前的结果来调整自己的策略。

比如说，你和朋友一起打扑克，如果你发现朋友总是先出一张高牌，那你下次就得琢磨琢磨怎么应对，是不是该出个小牌试试？通过不断观察和调整，最终找到对策，嘿，赢的机会就大大增加了。

1.2 模型的基本假设在这个模型里，有几个基本的假设。

首先，参与者都是理性的，意味着他们会根据自己的利益最大化来做出决策。

想想啊，谁会自愿跳进火坑呢？其次，信息是对称的，所有参与者都能获得相同的信息。

这就像是你和朋友们都在同一桌子上，大家都能看到牌，只是看谁出牌更聪明。

最后，参与者之间存在着策略的可重复性，换句话说，他们可以根据之前的结果调整自己的行为。

这就好比，玩游戏的时候，你总会总结经验，下次再也不犯同样的错误。

2. 模型的推导过程接下来，我们就要进入推导过程了。

乍一看，推导可能有点晦涩，但其实只要耐心点，慢慢来，就能明白其中的奥妙。

2.1 基本方程式在这个模型中，参与者的收益可以用一个简单的方程表示。

假设有两个参与者A 和B，他们的收益分别是R_A和R_B。

根据博弈的不同阶段，他们的收益可以通过计算对手的策略来得出。

比如说，如果A选择合作而B选择背叛，那么A的收益会减少，B 的收益则会增加。

就像是一个你死我活的游戏，谁都想在最后成为赢家。

2.2 策略选择当我们分析参与者的策略选择时，通常会用“纳什均衡”这个概念。

伯特兰德模型(Bertrand Model)什么是伯特兰德模型伯特兰德模型是由法国经济学家约瑟夫·伯特兰德(Joseph Bertrand)于1883年建立的。

古诺模型和斯塔克尔伯格模型都是把厂商的产量作为竞争手段，是一种产量竞争模型，而伯特兰德模型是价格竞争模型，伯特兰德模型的假设为：（1）各寡头厂商通过选择价格进行竞争；（2）各寡头厂商生产的产品是同质的；（3）寡头厂商之间也没有正式或非正式的串谋行为。

伯特兰德模型的前提假定伯特兰德模型假定，当企业制定其价格时，认为其他企业的价格不会因它的决策而改变，并且n个（为简化，取n=2）寡头企业的产品是完全替代品。

A、B两个企业的价格分别为P1、P2 ，边际成本都等于C。

伯特兰德模型的推导和分析根据模型的假定，由于A、B两个企业的产品是完全替代品，所以消费者的选择就是价格较低的企业的产品；如果A、B的价格相等，则两个企业平分需求。

于是，每一个企业的需求函数为：因此，两个企业会竞相削价以争取更多的顾客。

当价格降到P1=P2=C时，达到均衡，即伯特兰德均衡。

结论：只要有一个竞争对手存在，企业的行为就同在完全竞争的市场结构中一样，价格等于边际成本。

伯川德均衡及伯川德悖论根据伯川德模型，谁的价格低谁就将赢得整个市场，而谁的价格高谁就将失去整个市场，因此寡头之间会相互削价，直至价格等于各自的边际成本为止，即均衡解为：根据伯川德均衡可以得到两个结论：1.寡头市场的均衡价格为：P=MC；2.寡头的长期经济利润为0。

这个结论表明只要市场中企业数目不小于2个，无论实际数目多大都会出现完全竞争的结果，这显然与实际经验不符，因此被称为伯川德悖论伯特兰德模型存在的问题伯特兰德模型之所以会得出这样的结论，与它的前提假定有关。

从模型的假定看至少存在以下两方面的问题：①假定企业没有生产能力的限制。

如果企业的生产能力是有限的，它就无法供应整个市场，价格也不会降到边际成本的水平上。

博弈论教学/伯川德垄断竞争模型出自MyKnowledgeBase< 博弈论教学Bread crumbs: Main Page > 教学工作 > 博弈论教学 > 博弈论教学/伯川德垄断竞争模型目录■1 背景■2 伯川德(Bertrand)垄断竞争一般模型■3 具有不变单位成本和线性需求函数的双寡头垄断模型■4 讨论■5 伯川德悖论■6 练习题■7 See Also1 背景1.古诺模型：每个厂商选择一个产量，价格由市场的需求确定的。

2.伯川德模型(Bertrand competition)：每个厂商选择一个价格，并且在所有厂商选择的价格给定的情况下，每家厂商生产足够的产品以迎合她所面临的需求。

2 伯川德(Bertrand)垄断竞争一般模型1.背景：1.厂商：家厂商生产同一件产品，每家厂商生产件产品的成本为.2.市场：如果商品的价格为是有效的，那么总需求量为. （称为“需求函数”）如果各厂商设定不一样的价格，那么所有的消费者都是从价格最低的厂商那里购买商品，而该厂商生产足够的产品以满足这些需求。

(非常关键)如果有不止一家厂商设定最低价格，那么所有这样做的厂商平分这些需求。

如果价格高于最低价格，就不会有顾客提出需求，厂商也就不会生产商品。

注意：即使最低价格低于单位生产成本，假设厂商仍然根据她所面临的需求生产。

（简化模型的需要）。

2.博弈模型：1.局中人：厂商2.行动：每家厂商的行动集合是可能的价格（非负）集合3.偏好：厂商的偏好由她的获利来表示。

如果厂商是设定最低价格的家厂商之一，那么其偏好等于；如果某些厂商的价格低于，那么厂商的获利为零。

3 具有不变单位成本和线性需求函数的双寡头垄断模型1.参数分析：厂商，单位生产成本为,则需求函数为，厂商的获利(利润=单位利润*需求)（单位利润=一件商品售价-成本）为：；；。

是另外一家厂商。

最优反应分析：如果厂商选择价格,那么厂商的最优价格是多少？如果厂商选择价格，那么它和厂商平分市场。