重庆科技学院毕业设计（论文）题目高精度数值积分公式的构造及其应用学院专业班级指导教师职称讲师评阅教师职称年月日注意事项1.设计（论文）的内容包括：1）封面（按教务处制定的标准封面格式制作）2）原创性声明3）中文摘要（300字左右）、关键词4）外文摘要、关键词5）目次页（附件不统一编入）6）论文主体部分：引言（或绪论）、正文、结论7）参考文献8）致谢9）附录（对论文支持必要时）2.论文字数要求：理工类设计（论文）正文字数不少于1万字（不包括图纸、程序清单等），文科类论文正文字数不少于1.2万字。
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与我一同工作的同志对本设计（研究）所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。
毕业设计（论文）作者（签字）：年月日摘要求解函数()f x 在[,]a b 区间上的定积分()ba f x dx ⎰时，如果被积函数()f x 在[,]ab 区间上原函数很难用初等函数表达，我们就不能够借助牛顿-莱布尼兹公式来计算此定积分()ba f x dx ⎰。
另外，许多实际问题中的被积函数()f x 往往是列表函数或其他形式的非连续函数，显然其原函数没有意义，所以对这类函数的积分，也不能用经典的不定积分方法求解。
因此，数值积分的理论与方法一直是计算数学研究的基本课题。
本文首先总结了数值积分的基本思想和几类常用的数值积分方法，并且给出了数值积分稳定的一般性条件。
接着，我们基于文献[10]提出了一个改进的三点高斯公式，通过理论分析，此公式具有7次代数精度。
最后，利用一个数值算例验证了我们提出公式相比文献[10]的两点高斯公式无论是在代数精度还是在数值精度方面都有较大提高。
并将该公式应用到2010年数学建模A 题，取得了比较好的结果。
关键词: 数值积分方法 三点高斯公式 代数精度ABSTRACTIf the primitive function of integrand f(x) cannot be expressed by the elementary function in definite integral computation. We cannot calculate the definite integral()baf x dxby using Newton-Leibniz formula. In real world, integrand is often list function or other forms of discontinuous function in many practical problems. For this kind of function of definite integral ，its primary function is obviously unmeaningful; it cannot use the indefinite integral method to solve. Therefore, the theory and method of numerical integration is always the computational mathematics basic topic.This paper first summarizes the basic ideas of numerical integration and some common numerical integration formates, in addition, represents the general stability condition of numerical integration. Next, we propose an improvement two-point gaussian formula based on the literature [10]. It has seven-time algebraic precision essentially. Finally, the experimental results are represented, which indicate that our numerical format is superior in algebraic precision and numerical precision compared to the three-point Gaussian formula in [10] and some of the other classical numerical format. and the formula is applied to the 2010 mathematical modeling problem A, achieved good results.Keywords : Numerical integral method ；Three-point gauss formula ；Algebra precision目录摘要 (I)ABSTRACT (II)1绪论 (1)2数值积分的计算方法 (2)2.1 数值积分的基本思想与评价指标 (2)2.2 几种常用数值积分方法 (5)2.2.1 插值型求积公式 (5)2.2.2 Newton-Cotes公式 (6)2.2.3 复合求积公式 (8)2.2.4 逐次分半技术与Romberg公式 (9)2.2.5 Gauss型求积公式 (10)2.2.6 Gauss-Legendre求积公式 (13)2.2.7 Gauss-Chebyshev求积公式 (14)3改进三点Gauss公式 (16)3.1改进三点Gauss公式的介绍 (16)3.2 数值算例 (17)3.3 2010年数学建模A题求解 (18)4 结束语 (28)参考文献 (29)致谢 (30)附录 (31)1绪论数值积分是求定积分的近似值的数值方法。
即用被积函数的有限个抽样值的加权平均近似值代替定积分的值。
数值积分是计算方法或数值分析课程中非常重要的教学内容，数值积分方法也是解决实际计算问题的重要方法。
我们知道计算定积分是采用牛顿—莱布尼兹(Newton-Leibniz)公式：()()()baf x dx F b F a =-⎰但由于其适用范围有限，不能普遍适用，因此有其局限性。
所有说牛顿—莱布尼兹公式不是万能的，而数值积分公式却具备这种良好的性质。
只要数值积分构造得当，就能很好的计算出某个定积分的近似值。
以下罗列出牛顿—莱布尼兹公式不适用的三种情况：(1) ()x f 的解析式没有给出，只给出了()x f 的一些离散点。
(2) ()x f 的原函数不能用初等函数表示，如：()dx e dx x x x ⎰⎰-10102sin ，。
(3)原函数表达式相当复杂，计算十分不便。
由于以上原因，数值积分的理论与方法一直是计算数学研究的基本课题。
对微积分学作出杰出贡献的数学大师，如牛顿、欧拉、高斯等人也在数值积分这个领域作出了各自的贡献，并奠定了它的理论基础。
数值积分还是微分方程数值解法的重要依据。
许多重要公式都可以用数值积分方程导出。
因此，数值积分的理论与方法还是其他学科的理论依据。
由于数值积分是求解定积分近似值的数值方法，所以它的意义在于能够求出定积分的近似值。
而定积分又具有广泛应用，它几乎是所有课程的公共基础课。
以下列举了它的一部分应用：1、 计算图形面积、曲线弧长、立体图像体积。
2、 在力学中的应用，计算力做的功、位移、能量等作用。
3、 在电学中的应用，计算场强、电势差、电压等作用。
4、利用定积分证明不等式。
由于定积分的应用广泛，作用巨大，而高精度数值积分是计算定积分近似值的良好数值方法。
由此可以看出构造高精度数值积分公式是十分必要的。
由于高精度数值积分具有计算结果准确、代数精度高、使用方便、稳定性好等优点。
因此，探讨高精度数值积分的构造及其应用具有明显的实际意义。
2数值积分的计算方法2.1 数值积分的基本思想与评价指标[1]对于数值积分法的思想来源于定积分的定义，即1()lim ()nbk k ak f x dx f x x λ→==∆∑⎰其中m a x{}k kx λ=∆，一般的提法是:用()f x 在点01n a x x x b =<<⋅⋅⋅<=处的函数值()(0,1,,)k f x k n =的线性组合 00110()()()()()nn n n k k k I f A f x A f x A f x A f x ==++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=∑作为积分()()baI f f x dx =⎰的近似值，即()()()nbk k ak I f f x dx A f x ==≈∑⎰ (2.1)并称此为数值求积公式，也称为机械求积公式。
形如：()()()n R f I f I f =-为求积公式(2.1)的余项或误差，k x 及(0,1,2,,)k A k n =⋅⋅⋅分别称为求积公式(2.1)的求积节点及求积系数，这里求积系数(0,1,2,,)k A k n =⋅⋅⋅只与积分区间[,]a b 有关，而与()f x 无关。
为保证机械求积公式的精度, 自然希望它对尽可能多的简单函数是准确成立的，如果要求它对一切不超过n 次多项式都准确成立, 而对1n +次多项式不一定准确成立。
则得到关于系数k A 的1n +阶线性方程组：0122001111001121n n nn n nn nn nA A A b a b a A x A x A x b a A x A x A xn +++++=-⎧⎪-⎪+++=⎪⎨⎪⎪-+++=⎪+⎩由于系数行列式为范德蒙德行列式,其值不为零,则解k A 是唯一确定的。
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