高考数学一轮复习(北师大版文科)课时作业5

2015届高考数学（文）一轮复习质量检测：5 立体几何 北师大版测试内容：立体几何 (时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2012年大连期末)一几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为103，则h ＝( )A.32B. 3 C ．2 3D ．5 3解析：分析几何体的三视图，可知该几何体是底面为矩形的四棱锥，体积V ＝13×5×6×h ＝103，解得h ＝ 3.答案：B2．设m ，n 是平面α内的两条不同直线；l 1，l 2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是( )A ．m ∥β且l 1∥αB ．m ∥l 1且n ∥l 2C ．m ∥β且n ∥βD ．m ∥β且n ∥l 2解析：⎭⎬⎫l 1∥m m ⊂α⇒l 1∥α，⎭⎬⎫同理l 2∥αl 1与l 2相交l 1，l 2⊂β⇒α∥β. 答案：B3．(2012年郑州质检)一个几何体的三视图及其尺寸如下图所示，其中正(主)视图是直角三角形，侧(左)视图是半圆，俯视图是等腰三角形，则这个几何体的体积是(单位：cm 3)( )A.π2B.π3C.π4D ．π解析：依三视图可知，该几何体是半个圆锥，且底面半径为1，高为3，故V ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫13×Sh ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫13×π×12×3＝π2，选A.答案：A4．(2012年杭州质检)将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为()解析：由几何体的直观图可知，侧视图为一矩形(内有从左下到右上的对角线，因为该对角线看不到轮廓线，故用虚线)．故选D.答案：D5．(2012年广州高三调研)在正四棱锥V －ABCD 中，底面正方形ABCD 的边长为1，侧棱长为2，则异面直线VA 与BD 所成角的大小为A.π6B.π4C.π3D.π2解析：取BD 的中点O ，则VO ⊥BD ，AC ⊥BD ，所以BD ⊥平面VAC ，则异面直线VA 与BD 所成角的大小为π2.答案：D6．给定下列四个命题：(1)若一个平面内的两条直线与另外一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；(2)若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； (3)垂直于同一直线的两条直线相互平行；(4)若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中为真命题的是( )A ．(1)和(2)B ．(2)和(3)C ．(3)和(4)D ．(2)和(4)解析：对于(1)，两条直线必须相交，否则不能证明面面平行，错误；对于(3)，垂直于同一条直线的两条直线还可能异面，错误；(2)(4)正确．所以选D.答案：D7．如图是一个几何体的正视图、侧视图、俯视图，且正视图、侧视图都是矩形，则该几何体的体积是( )A ．24B ．12C ．8D ．4解析：依题意知，该几何体是从一个长方体中挖去一个三棱柱后剩下的几何体，因此其体积等于2×3×4－12×(2×3)×4＝12，选B.答案：B8．如图是某一几何体的三视图，则这个几何体的侧面积和体积分别是( )A ．82＋25＋6,8B ．22＋85＋6,8C ．42＋85＋12,16D ．82＋45＋12,16解析：几何体的侧面积有四部分，左侧面面积S 1＝12×2×25＝25，右侧面面积S 2＝12×2×42＝42，后侧面面积S 3＝12×6×4＝12，前侧面面积S 4＝12×6×25＝65，所以侧面积为S ＝42＋85＋12，体积为V ＝13Sh ＝13×2×6×4＝16，故选C.答案：C9．如图所示，直线P A 垂直于⊙O 所在的平面，△ABC 内接于⊙O ，且AB 为⊙O 的直径，点M 为线段PB 的中点．现有结论：①BC ⊥PC ；②OM ∥平面APC ；③点B 到平面P AC 的距离等于线段BC 的长．其中正确的是( )A ．①②B ．①②③C ．①D ．②③解析：对于①，∵P A ⊥平面ABC ，∴P A ⊥BC ，∵AB 为⊙O 的直径，∴BC ⊥AC ，∴BC ⊥平面P AC ，又PC ⊂平面P AC ，∴BC ⊥PC ；对于②，∵点M 为线段PB 的中点，∴OM ∥P A ，∵P A ⊂平面P AC ，∴OM ∥平面P AC ；对于③，由①知BC ⊥平面P AC ，∴线段BC 的长即是点B 到平面P AC 的距离，故①②③都正确．答案：B10．(2012年沈阳质检)如图，正方体AC 1的棱长为1，过点A 作平面A 1BD 的垂线，垂足为点H ，则以下命题中，错误的命题是( )A ．点H 是△A 1BD 的垂心B ．AH 的延长线经过点C 1 C ．AH 垂直平面CB 1D 1D ．直线AH 和BB 1所成角为45°解析：计算得AH ＝33，直线AH 和BB 1所成角为arccos 33，故D 项错误，选项A ，B ，C 是正确的．答案：D11．(2012年唐山模拟)把一个皮球放入如图所示的由8根长均为20 cm 的铁丝接成的四棱锥形骨架内，使皮球的表面与8根铁丝都有接触点，则皮球的半径为( )A ．10 3 cmB ．10 cmC ．10 2 cmD ．30 cm解析：该骨架为一个棱长为20 cm 的正四棱锥，设为G －ABCD ，与各棱均相切的球的球心记为O ，则O 在棱锥的高GT 上，如图示，设球半径为R ，与棱GB ，CD 分别交于点H ，M ，设OT ＝h ，由正四棱锥性质可知，|TM |＝12|BC |＝10，|BT |＝12|BD |＝102，|GT |＝|GB |2－|BT |2＝102，在△OTM 中，有R 2＝h 2＋102①，由△GHO ∽△GTB 可得|GO ||GB |＝|OH ||BT |，即102－h 20＝R 102②，联立①②可得R ＝10或R ＝30(舍)，故选B.答案：B12．在正方形ABCD 中，AB ＝4，沿对角线AC 将正方形ABCD 折成一个直二面角B －AC －D ，则点B 到直线CD 的距离为( )A ．2 2B ．3 2C ．2 3D ．2＋2 2解析：如图，取AC 中点E ，连接DE ，BE ，易知∠DEB 是二面角A －DC －B 的平面角，由于两平面垂直，故∠DEB ＝π2，即平面BE ⊥平面ADC ，过点E 作EF ⊥DC 于F ，连接BF ，则DC ⊥平面BEF ，所以BF ⊥DC ，故线段BF 即为点B 到DC 的距离，由于EF ＝12AD ＝2，BE ＝22，故BF ＝22＋(22)2＝2 3.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13．已知正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为433，则它的体积为________．解析：如图，在正三棱锥P －ABC 中，由于P A ＝433，AO ＝233，在直角三角形P AO 中可得PO ＝2，故V P －ABC ＝13×34×22×2＝233.答案：23314．如图，已知△ABC 和△BCD 所在平面互相垂直，∠ABC ＝∠BCD ＝90°，AB ＝a ，BC ＝b ，CD ＝c ，且a 2＋b 2＋c 2＝1，则三棱锥A －BCD 的外接球的表面积为________．解析：如图所示，可将该三棱锥补体为一个长方体，该长方体的体对角线长即为AD ，由AB ＝a ，BC ＝b ，CD ＝c ，且a 2＋b 2＋c 2＝1，可得该三棱锥外接球即为长方体的外接球的直径为1，其外接球的表面积为S ＝4π×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝π.答案：π15．如果一个几何体的正视图、侧视图、俯视图均为如图所示的面积为2的等腰直角三角形，那么该几何体的表面积等于________．解析：由题可得几何体如图所示，其中AP ⊥PC ，PC ⊥CB ，并且AP ＝PC ＝CB ＝2，PB ＝AC ＝22，△PBC ，△P AC 的面积都是2；CB ⊥面P AC ，所以CB ⊥AC ，又AP ⊥面PBC ，所以AP ⊥PB ，进而可求得△P AB ，△ABC 的面积都是22，所以该几何体的表面积等于4＋4 2.答案：4＋4 216．在三棱锥P －ABC 中，三条侧棱P A ，PB ，PC 两两互相垂直，且P A ＝PB ＝PC ，M 为AB 的中点，则PM 与平面ABC 所成角的正弦值为________．解析：如图，将三棱锥补为正方体，由于三棱锥P －ABC 为正三棱锥，故点P 在底面ABC 的射影为其中心N ，连接MN ，则∠PMN 即为直线PM 与平面ABC 所成角，设P A ＝PB ＝PC ＝a ，则PM ＝22a ，PN ＝33a ，故sin ∠PMN ＝PN PM ＝63.答案：63三、解答题(本大题共6小题，共70分，17题10分，18～22题，每题12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)17．如图，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，AC ⊥CD ，E 是AA 1上的一点．(1)求证：CD ⊥平面ACE ；(2)若平面CBE 交DD 1于点F ，求证：EF ∥AD .证明：(1)因为ABCD －A 1B 1C 1D 1为直四棱柱，所以AA 1⊥平面ABCD . 因为CD ⊂平面ABCD ，所以AA 1⊥CD ，即AE ⊥CD .因为AC ⊥CD ，AE ⊂平面AEC ，AC ⊂平面AEC ，AE ∩AC ＝A ，所以CD ⊥平面AEC .(2)因为AD ∥BC ，AD ⊂平面ADD 1A 1，BC ⊄平面ADD 1A 1，所以BC ∥平面ADD 1A 1.因为BC ⊂平面BCE ，平面BCE ∩平面ADD 1A 1＝EF ，所以EF ∥BC . 因为AD ∥BC ，所以EF ∥AD .18．如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为平行四边形，且AB ＝1，BC ＝2，∠ABC ＝π3，E ，F 分别为AD ，BC 的中点．(1)求证：EF ∥平面PCD ； (2)求证：AC ⊥平面P AB .证明：(1)如图，因为在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，所以ED ＝FC ，ED ∥FC ，可得EFCD 为平行四边形，所以EF ∥CD .又因为EF⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，所以EF∥平面PCD.(2)因为P A⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，故P A⊥AC.在△ABC中，AB＝1，BC＝2，∠ABC＝π3，由余弦定理得AC＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC＝1＋4－2×1×2cos π3＝ 3.故AB2＋AC2＝BC2，所以AB⊥AC.而P A∩AB＝A，且AB，P A⊂平面P AB，所以AC⊥平面P AB.19．一个多面体的三视图和直观图分别如图(1)(2)所示，其中M、N分别为AB、AC的中点，G是DF上的一动点．(1)求证：GN⊥AC；(2)当FG＝GD时，在棱AB上确定一点P，使得GP∥平面FMC，并给出证明．证明：(1)如图，连接DB，可知B，N，D共线，且AC⊥DN.又∵FD⊥AD，FD⊥CD，AD∩CD＝D，∴FD⊥平面ABCD.又∵AC⊂平面ABCD，∴FD⊥AC.又∵DN∩FD＝D，∴AC⊥平面FDN.又GN⊂平面FDN，∴GN⊥AC.(2)点P与点A重合时，GP∥平面FMC.证明：取FC中点H，连接GH，GA，MH.∵G是DF的中点，∴GH綊12CD.∵M是AB的中点，∴AM綊12CD.∴GH綊AM，∴四边形GHMA是平行四边形．∴GA∥MH.又∵MH⊂平面FMC，GA⊄平面FMC，∴GA∥平面FMC，即GP∥平面FMC.20．(2013年西安质检)如图，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°.(1)求证：BD⊥平面P AC；(2)若P A＝PB，求PB与AC所成角的余弦值．解：证明：(1)因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD.又因为P A⊥平面ABCD，所以P A⊥BD，而P A∩AC＝A，所以BD⊥平面P AC.(2)设AC∩BD＝O.因为∠BAD＝60°，P A＝PB＝2，所以BO＝1，AO＝CO＝ 3.如图，以O为坐标原点，OB为x轴正方向，OC为y轴正方向，与AP平行的方向为z 轴正方向，建立空间直角坐标系O －xyz ，则点P (0，－3，2)，A (0，－3，0)，B (1,0,0)，C (0，3，0)．所以PB →＝(1，3，－2)，AC →＝(0,23，0)．设PB 与AC 所成角为θ，则cos θ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪PB →·AC →|PB →|·|AC →|＝622×23＝64.21．(2012年长沙联考)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，AA 1＝4，点D 是AB 的中点．(1)求证：AC ⊥BC 1；(2)求二面角D －CB 1－B 的平面角的正切值．解：(1)证明：在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面三边长AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5.因为AC 2＋BC 2＝AB 2，所以AC ⊥BC .又AC ⊥C 1C ，且BC ∩C 1C ＝C ，所以AC ⊥平面BCC 1.又BC 1⊂平面BCC 1，所以AC ⊥BC 1.(2)解法一：取BC 中点E ，过点D 作DF ⊥B 1C 于点F ，连接EF ，ED . 因为D 是AB 中点，所以DE ∥AC ，又AC ⊥平面BB 1C 1C ，所以DE ⊥平面BB 1C 1C .又因为BC 1⊂平面BB 1C 1C ，所以B 1C ⊥DE .而DF ⊥B 1C 且DE ∩DF ＝D ，所以B 1C ⊥平面DEF ，EF ⊂平面DEF ，所以B 1C ⊥EF ，所以∠EFD 是二面角D －CB 1－B 的平面角．因为AC ＝3，BC ＝4，AA 1＝4，所以在△DEF 中，DE ⊥EF ，DE ＝32，EF ＝2，所以tan ∠EFD ＝DE EF ＝322＝324. 所以二面角D －CB 1－B 的正切值为324.解法二：以CA ，CB ，CC 1分别为x ，y ，z 轴建立如图所示空间直角坐标系．因为AC ＝3，BC ＝4，AA 1＝4，所以点A (3,0,0)，B (0,4,0)，C (0,0,0)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，0，B 1(0,4,4)，所以CD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，0，CB 1→＝(0,4,4)． 平面CBB 1C 1的法向量n 1＝(1,0,0)，设平面DB 1C 的法向量n 2＝(x 0，y 0，z 0)，则n 1，n 2的夹角(或其补角)的大小就是二面角D －CB 1－B 的大小．则由⎩⎨⎧ n 2·CD →＝0，n 2·CB 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 32x 0＋2y 0＝0，4y 0＋4z 0＝0.令x 0＝4，则y 0＝－3，z 0＝3，所以n 2＝(4，－3,3)．cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝434，则tan 〈n 1，n 2〉＝324. 因为二面角D －CB 1－B 是锐二面角，所以二面角D －CB 1－B 的正切值为324.22．将两块全等的三角板的一对直角边拼接在一起，使得一块三角板的直角边与另一块三角板所在平面垂直，如图，AB ＝BC ＝CD ＝2，∠ABC ＝∠BCD ＝90°，E ，F ，G 分别为AB ，BC ，AC 的中点，P 为BD 上的点．(1)当点P 为BD 的中点时，求证：BG ⊥PF ；(2)线段BD 上是否存在点P ，使得二面角B －EF －P 的大小为2π3？若存在，求出BP PD 的值；若不存在，说明理由．解：(1)证明：如图，以B 为坐标原点，以BC ，BA 所在直线为y 轴，z 轴，以过B 作DC 的平行线为x 轴，建立空间直角坐标系，则B (0,0,0)，E (0,0,1)，F (0,1,0)，G (0,1,1)，C (0,2,0)，D (2,2,0)，当点P 为BD 的中点时，P (1,1,0)，∴BG →＝(0,1,1)，FP →＝(1,0,0)，∴BG →·FP →＝0，∴BG ⊥PF .(2)假设线段BD 上存在点P (t ，t,0)(0≤t ≤2)，使得二面角B －EF －P 的大小为2π3，由(1)得EF →＝(0,1，－1)，FP →＝(t ，t －1,0)．设平面EFP 的一个法向量为n ＝(x ，y,1)，则⎩⎨⎧ n ·EF →＝0，n ·FP →＝0，即⎩⎨⎧0＋y －1＝0，tx ＋(t －1)y ＝0，解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1－t t ，y ＝1，从而n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t t ，1，1， 又取平面BEF 的一个法向量为m ＝(1,0,0)，∴cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝1－t 3t 2－2t ＋1；又二面角B －EF －P 的大小为2π3，∴〈m ，n 〉＝2π3，故－12＝1－t 3t 2－2t ＋1， 解得t ＝3±6，经检验不符合题意． 故线段BD 上不存在点P ，使得二面角B －EF －P 的大小为2π3.。

课时作业(一)A [第1讲 集合及其运算](时间：35分钟 分值：80分)基础热身1．[2012·江西八校模拟] 设集合A ＝{4，5，7，9}，B ＝{3，4，7，8，9}，全集U ＝A ∪B ，则集合∁U (A ∩B )的真子集共有( )A ．3个B ．6个C ．7个D ．8个2．[2012·商丘模拟] 设全集U ＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A ＝{1，2，3，5}，B ＝{2，4，6}，则图K1－1中的阴影部分表示的集合为( )图K1－1A ．{2}B ．{4，6}C ．{1，3，5}D ．{4，6，7，8}3．设非空集合M ，N 满足：M ＝{x |f (x )＝0}，N ＝{x |g (x )＝0}，P ＝{x |f (x )g (x )＝0}，则集合P 恒满足的关系为( )A ．P ＝M ∪NB ．P ⊆(M ∪N )C ．P ≠∅D ．P ＝∅4．[2012·上海卷] 若集合A ＝{x |2x －1>0}，B ＝{x ||x |<1}，则A ∩B ＝________．能力提升5．已知集合A ＝{x |x 2－4x －12<0}，B ＝{x |x <2}，则A ∪(∁R B )＝( ) A ．{x |x <6} B ．{x |－2<x <2} C ．{x |x >－2} D ．{x |2≤x <6}6．设集合A ＝{1，2}，则满足A ∪B ＝{1，2，3}的集合B 的个数为( ) A ．1 B ．3 C ．4 D ．87．[2012·高安中学模拟] 已知全集U ＝R ，函数y ＝1x ＋1的定义域为集合A ，函数y ＝log 2(x ＋2)的定义域为集合B ，则集合(∁U A )∩B ＝( )A ．(－2，－1)B ．(－2，－1]C ．(－∞，－2)D ．(－1，＋∞)8．[2012·北京卷] 已知集合A ＝{x ∈R |3x ＋2>0}，B ＝{x ∈R |(x ＋1)(x －3)>0}，则A ∩B ＝( )A ．(－∞，－1) B.⎝⎛⎭⎪⎫－1，－23 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，3 D ．(3，＋∞) 9．已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y 为实数，且x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ，y 为实数，且y ＝x }，则A ∩B 的元素个数为________．10．集合A ＝{x |ax －1＝0}，B ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，且A ∪B ＝B ，则实数a 的值为________．11．[2011·江苏卷] 设集合A ＝⎩⎨⎧（x ，y ）⎪⎪⎪⎭⎬⎫m 2≤（x －2）2＋y 2≤m 2，x ，y ∈R ， B ＝{(x ，y )|2m ≤x ＋y ≤2m ＋1，x ，y ∈R }, 若A ∩B ≠∅， 则实数m 的取值范围是________．12．(13分)集合A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}，B＝{x|x2－5x＋6＝0}，C＝{x|x2＋2x－8＝0}，满足A∩B≠∅，A∩C＝∅，求实数a的值．难点突破13．(12分)集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}．(1)若B⊆A，求实数m的取值范围；(2)当x∈Z时，求A的非空真子集的个数；(3)当x∈R时，若A∩B＝∅，求实数m的取值范围．课时作业(一)B [第1讲 集合及其运算](时间：35分钟 分值：80分)基础热身1．[2012·临川一中模拟] 已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2x ≥14，N ＝{x ︱x 2＋y 2＝4，x ∈R ，y ∈R }，则M ∩N ＝( )A ．{－2，1}B ．{(－2，0)，(1，3)}C ．∅D ．N2．[2012·浙江卷] 设全集U ＝{1，2，3，4，5，6}，集合P ＝{1，2，3，4}，Q ＝{3，4，5}，则P ∩(∁U Q )＝( )A ．{1，2，3，4，6}B ．{1，2，3，4，5}C ．{1，2，5}D ．{1，2}3．若集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪log 12x ≥12，则∁R A ＝( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，＋∞ B.⎝⎛⎭⎪⎫22，＋∞ C ．(－∞，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，＋∞ D ．(－∞，0]∪⎝⎛⎭⎪⎫22，＋∞ 4．[2012·淮阴模拟] 已知全集U ＝{1，2，3，4，5}，集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x ＝2a ，a ∈A }，则集合∁U (A ∪B )＝________．能力提升5．[2012·驻马店模拟] 集合A ＝{x |x 2－2x ＋a >0}，1∉A ，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0] B ．[0，＋∞) C ．[1，＋∞) D ．(－∞，1]6．定义集合运算：A ⊙B ＝{z |z ＝xy (x ＋y )，x ∈A ，y ∈B }，设集合A ＝{0，1}，B ＝{2，3}，则集合A ⊙B 的所有元素之和为( )A ．0B ．6C ．12D ．187．已知A ，B 均为集合U ＝{1，3，5，7，9}的子集，且A ∩B ＝{3}，(∁U B )∩A ＝{9}，则A等于( )A．{1，3} B．{3，7，9}C．{3，5，9} D．{3，9}8．已知集合A，B，A＝{x|－2≤x<2}，A∪B＝A，则集合B不可能．．．为( ) A．∅ B．{x|0≤x≤2}C．{x|0<x<2} D．{x|0≤x<2}9．已知集合M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{(x，y)|x－y＝1}，则M∩N＝________．10．[2012·南昌模拟] 若非空集合X＝{x|a＋1≤x≤3a－5}，Y＝{x|1≤x≤16}，则使得X⊆X∩Y成立的所有的a的集合是________．11．集合A＝{(x，y)|y＝1－x2}，B＝{(x，y)|y＝x＋b}，若A∩B的子集有4个，则b 的取值范围是________．12．(13分)设关于x的不等式x(x－a－1)<0(a∈R)的解集为M，不等式x2－2x－3≤0的解集为N.(1)当a＝1时，求集合M；(2)若M⊆N，求实数a的取值范围．难点突破13．(1)(6分)[2012·北京西城区模拟] 已知集合A＝{a1，a2，…，a20}，其中a k>0(k＝1，2，…，20)，集合B＝{(a，b)|a∈A，b∈A，a－b∈A}，则集合B中的元素至多有( ) A．210个 B．200个C．190个 D．180个(2)(6分)[2012·北京朝阳区模拟] 已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤4}，集合B＝{(x，y)|y≥m|x|，m为正常数}．若O为坐标原点，M，N为集合A所表示的平面区域与集合B所表示的平面区域的边界的交点，则△MON的面积S与m的关系式为________．课时作业(二) [第2讲 命题及其关系、充分条件、必要条件](时间：35分钟 分值：80分)基础热身1．[2012·重庆卷] 命题“若p ，则q ”的逆命题是( ) A ．若q ，则p B ．若綈p ，则綈q C ．若綈q ，则綈p D ．若p ，则綈q 2．下列有关命题的说法正确的是( )A ．命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为：“若x 2＝1，则x ≠1”B ．“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的必要不充分条件C ．命题“存在x ∈R ，使得x 2＋x －1<0”的否定是：“任x ∈R ，均有x 2＋x －1>0” D ．命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”的逆否命题为真命题 3．下列命题中为真命题的是( ) A ．命题“若x >y ，则x >|y |”的逆命题B ．命题“若x >1，则x 2>1”的否命题C ．命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题D ．命题“若x 2>0，则x >1”的逆否命题4．已知：A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪⎪12<2x <8，B ＝{x |－1<x <m ＋1}，若x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是________．能力提升5．[2012·宜春模拟] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋ax ，x ≤1，ax 2＋x ，x >1，则“a ≤－2”是“f (x )在R 上单调递减”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．下列有关命题的说法中，正确的是( )A ．命题“若x 2>1，则x >1”的否命题为“若x 2>1，则x ≤1”B ．“x >1”是“x 2＋x －2>0”的充分不必要条件C ．命题“存在x ∈R ，使得x 2＋x ＋1<0”的否定是“任意x ∈R ，都有x 2＋x ＋1>0” D ．命题“若α>β，则tan α>tan β”的逆命题为真命题 7．下列命题中，真命题的个数是( )①x，y∈R，“若x2＋y2＝0，则x，y全为0”的逆命题；②“若a＋b是偶数，则a，b都是偶数”的否命题；③“若x＝3或x＝7，则(x－3)(x－7)＝0”的逆否命题．A．0 B．1C．2 D．38．[2012·郑州模拟] 设p：|2x＋1|>a，q：x－12x－1>0，使p是q的必要不充分条件的实数a的取值范围是( )A．(－∞，0) B．(－∞，－2]C．[－2，3] D．(－∞，3]9．[2012·焦作质检] 写出一个使不等式x2－x<0成立的充分不必要条件________．10．已知命题“若a>b，则ac2>bc2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中正确命题的个数是________．11．“x＝2”是“向量a＝(x＋2，1)与向量b＝(2，2－x)共线”的________条件．12．(13分)π为圆周率，a，b，c，d∈Q，已知命题p：若aπ＋b＝cπ＋d，则a＝c且b＝d.(1)写出命题p的否定并判断真假；(2)写出命题p的逆命题、否命题、逆否命题并判断真假；(3)“a＝c且b＝d”是“aπ＋b＝cπ＋d”的什么条件？并证明你的结论．难点突破13．(12分)已知集合A＝y错误!y＝x2－错误!x＋1，x∈错误!，2，B＝{x|x＋m2≥1}．条件p：x∈A，条件q：x∈B，并且p是q的充分条件，求实数m的取值范围．课时作业(三) [第3讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词](时间：35分钟分值：80分)基础热身1．已知命题p：任意x∈R，x>sin x，则命题p的否定形式为( )A．存在x∈R，x<sin x B．任意x∈R，x≤sin xC．存在x∈R，x≤sin x D．任意x∈R，x<sin x2．[2012·乌鲁木齐模拟] 已知α，β是两个不重合的平面，l是空间一条直线，命题p：若α∥l，β∥l，则α∥β；命题q：若α⊥l，β⊥l，则α∥β.对以上两个命题，下列结论中正确的是( )A．命题“p且q”为真B．命题“p或q”为假C．命题“p或q”为真D．命题“(綈p)且(綈q)”为真3．[2012·鹰潭一中模拟] 给出如下四个命题，其中不正确．．．的命题的个数是( )①若“p且q”为假命题，则p，q均为假命题；②命题“若a>b，则2a>2b－1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b－1”；③“任意x∈R，x2＋1≥1”的否定是“存在x∈R，x2＋1≤1”；④在△ABC中，“A>B”是“sin A>sin B”的充要条件．A．4 B．3 C．2 D．14．[2012·河南四校联考] 命题“任意x∈R，都有|x－1|－|x＋1|≤3”的否定是________________________________________________________________________．能力提升5．[2012·黄冈中学月考] 命题“任意x∈[1，2]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必．．．．要条件．．．是( )A．a≥4 B．a≤4 C．a≥5 D．a≤56．[2013·德州重点中学月考] 下列有关命题的说法正确的是( )A．命题“若xy＝0，则x＝0”的否命题为：“若xy＝0，则x≠0”B．“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为真命题C．命题“存在x∈R，使得2x2－1<0”的否定是：“任意x∈R，均有2x2－1<0”D．命题“若cos x＝cos y，则x＝y”的逆否命题为真命题7．[2012·东北三校联考] 已知命题p：存在x0∈0，π2，sin x0＝12，则綈p为( )A ．任意x ∈0，π2，sin x ≠12B ．任意x ∈0，π2，sin x ＝12C ．存在x ∈0，π2，sin x ≠12D ．存在x ∈0，π2，sin x >128．[2012·南昌二中模拟] 有四个关于三角函数的命题：p 1：存在x ∈R ，sin 2x 2＋cos 2x 2＝12；p 2：存在x ，y ∈R ，sin(x －y )＝sin x －sin y ；p 3：任意x ∈[0，π]，1－cos2x2＝sin x ；p 4：sin x ＝cos y ⇒x ＋y ＝π2.其中假命题的是( )A ．p 1，p 4B ．p 2，p 4C ．p 1，p 3D ．p 2，p 39．在“綈p ”“p 且q ”“p 或q ”形式的命题中，“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，“綈p ”为真，那么p ，q 的真假为p ________，q ________．10．[2012·宁德质检] 若“任意x ∈R ，(a －2)x ＋1>0”是真命题，则实数a 的取值集合是________．11．下列四个命题：①任意x ∈R ，x 2＋x ＋1≥0；②任意x ∈Q ，12x 2＋x －13是有理数；③存在α，β∈R ，使sin(α＋β)＝sin α＋sin β； ④存在x ，y ∈Z ，使3x －2y ＝10. 所有真命题的序号是________．12．(13分)[2012·吉林模拟] 已知p ：f (x )＝x 3－ax 在(2，＋∞)上为增函数，q ：g (x )＝x 2－ax ＋3在(1，2)上为减函数，若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求a 的取值范围．难点突破13．(12分)已知p ：方程a 2x 2＋ax －2＝0在[－1，1]上有解；q ：只有一个实数x 满足不等式x 2＋2ax ＋2a ≤0，若“p 或q ”是假命题，求实数a 的取值范围．课时作业(四)A [第4讲 函数的概念及其表示](时间：35分钟 分值：80分)基础热身1．[2012·石家庄质检] 下列函数中与函数y ＝x 相同的是( )A ．y ＝|x |B ．y ＝1xC ．y ＝x 2D ．y ＝3x 32．[2012·郑州质检] 函数f (x )＝2x －1log 2x的定义域为( )A ．(0，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(0，1)D ．(0，1)∪(1，＋∞)3．下列函数中，值域为[0，3]的函数是( ) A ．y ＝－2x ＋1(－1≤x ≤0) B ．y ＝3sin xC ．y ＝x 2＋2x (0≤x ≤1) D ．y ＝x ＋34．[2012·陕西卷] 设函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x ＜0，则f (f (－4))＝________．能力提升5．[2013·浙江重点中学联考] 已知f (x ＋1)＝－f (x )，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1（－1<x <0），0（0≤x ≤1），则f (3)＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．1或0 6．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，例如解析式为y ＝2x 2＋1，值域为{9}的“孪生函数”三个：(1)y ＝2x 2＋1，x ∈{－2}；(2)y＝2x 2＋1，x ∈{2}；(3)y ＝2x 2＋1，x ∈{－2，2}．那么函数解析式为y ＝2x 2－1，值域为{－1，5}的“孪生函数”共有( )A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个7．[2012·唐山模拟] 函数y ＝1－lg （x ＋2）的定义域为( ) A ．(0，8] B ．(－2，8]C ．(2，8]D ．[8，＋∞)8．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＝2x ＋3，f (m )＝6，则m 等于( ) A.14 B ．－14 C.32 D ．－329．[2012·江西八所高中模拟] 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－8（x <0），x 2＋x －1（x ≥0），若f (a )＞1，则实数a 的取值范围是________．10．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，0，x <0，则不等式xf (x )＋x ≤2的解集是________．11．已知g (x )＝1－2x ，f (g (x ))＝1－x 2x 2(x ≠0)，那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝________． 12．(13分)图K4－1是一个电子元件在处理数据时的流程图：(1)试确定y ＝f (x )的函数关系式；(2)求f (－3)，f (1)的值； (3)若f (x )＝16，求x 的值．难点突破13．(12分)已知二次函数f (x )有两个零点0和－2，且f (x )的最小值是－1，函数g (x )与f (x )的图像关于原点对称．(1)求f (x )和g (x )的解析式；(2)若h (x )＝f (x )－λg (x )在区间[－1，1]上是增函数，求实数λ的取值范围．课时作业(四)B [第4讲 函数的概念及其表示](时间：35分钟 分值：80分)基础热身1．下列是映射的是(图 2A ．(1)(2)(3)B ．(1)(2)(5)C ．(1)(3)(5)D ．(1)(2)(3)(5)2．[2012·江西师大附中月考] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x ，x ≤0a x ，x >0，若f (1)＝f (－1)，则实数a 的值等于( )A ．1B ．2C ．3D ．43．[2012·马鞍山二模] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．34．函数y ＝x －x 的值域是________．能力提升5．已知f (x )的图像恒过点(1，2)，则f (x ＋3)的图像恒过点( ) A ．(－3，1) B ．(2，－2) C ．(－2，2) D ．(3，5)6．[2012·肇庆一模] 已知函数f (x )＝lg x 的定义域为M ，函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >2，－3x ＋1，x <1的定义域为N ，则M ∩N ＝( )A ．(0，1)B ．(2，＋∞)C ．(0，＋∞)D ．(0，1)∪(2，＋∞)7．已知函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤0，－2x ，x >0，则使函数值为5的x 的值是( )A ．－2B ．2或－52C ．2或－2D ．2或－2或－528．[2012·石家庄质检] 设集合A ＝⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12，x ∈A ，2（1－x ），x ∈B ，若x 0∈A 且f (f (x 0))∈A ，则x 0的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14B.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12C.⎝ ⎛⎦⎥⎤14，12D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，38 9．[2012·四川卷] 函数f (x )＝11－2x的定义域是________．(用区间表示)10．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln 1x，x >0，1x ，x <0，则f (x )＞－1的解集为____________________．11．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ＋1，x <1，1x，x >1的值域是________．12．(13分)(1)求函数f (x )＝lg （x 2－2x ）9－x2的定义域； (2)已知函数f (x )的定义域为[0，1]，求下列函数的定义域：①f (x 2)，②f (x －1)；(3)已知函数f (lg(x ＋1))的定义域是[0，9]，求函数f (2x)的定义域．难点突破13．(12分)已知f (x )是定义在[－6，6]上的奇函数，它在[0，3]上是一次函数，在[3，6]上是二次函数，且当x ∈[3，6]时，f (x )≤f (5)＝3，f (6)＝2，求f (x )的解析式．课时作业(五) [第5讲 函数的单调性与最值](时间：45分钟 分值：100分)基础热身 1．下列函数中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)”的是( )A ．f (x )＝1xB ．f (x )＝(x －1)2C ．f (x )＝e xD ．f (x )＝ln(x ＋1)2．函数f (x )＝1－1x在[3，4)上( )A ．有最小值无最大值B ．有最大值无最小值C ．既有最大值又有最小值D ．最大值和最小值皆不存在3．[2012·天津卷] 下列函数中，既是偶函数，又在区间(1，2)内是增函数的为( ) A ．y ＝cos2x ，x ∈RB ．y ＝log 2|x |，x ∈R 且x ≠0C ．y ＝e x －e －x 2，x ∈RD ．y ＝x 3＋1，x ∈R 4．函数f (x )＝xx ＋1的最大值为________．能力提升5．[2012·宁波模拟] 已知函数f (x )为R 上的减函数，则满足f (|x |)<f (1)的实数x 的取值范围是( )A ．(－1，1)B ．(0，1)C ．(－1，0)∪(0，1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)6．[2012·商丘三模] 设f (x )＝x 2－2x －3(x ∈R )，则在区间[－π，π]上随机取一个实数x ，使f (x )＜0的概率为( )A.1π B.2π C.3π D.32π7．[2012·哈尔滨师范大学附中期中] 函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121x 2＋1的值域为( )A ．(－∞，1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ 8．[2013·惠州二调] 已知函数f (x )＝e x －1，g (x )＝－x 2＋4x －3，若有f (a )＝g (b )，则b 的取值范围为( )A ．(2－2，2＋2)B ．[2－2，2＋2]C ．[1，3]D ．(1，3)9．[2012·长春外国语学校月考] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x （x <0），（a －3）x ＋4a （x ≥0）满足对任意的实数x 1≠x 2都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2<0成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(3，＋∞)B ．(0，1) C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14 D ．(1，3) 10．若函数y ＝f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3，则函数F (x )＝f (x )＋1f （x ）的值域是________． 11．若在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上，函数f (x )＝x 2＋px ＋q 与g (x )＝x ＋1x 在同一点取得相同的最小值，则f (x )在该区间上的最大值是________．12．函数y ＝xx ＋a在(－2，＋∞)上为增函数，则a 的取值范围是________．13．函数y ＝ln 1＋x1－x 的单调递增区间是________．14．(10分)试讨论函数f (x )＝xx 2＋1的单调性．15．(13分)已知函数f (x )＝a －1|x |.(1)求证：函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )<2x 在(1，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围．难点突破16．(12分)已知函数f(x)＝x2x－2(x∈R，且x≠2)．(1)求f(x)的单调区间；(2)若函数g(x)＝x2－2ax与函数f(x)在x∈[0，1]上有相同的值域，求a的值．课时作业(六)A [第6讲 函数的奇偶性与周期性](时间：35分钟 分值：80分)基础热身1．[2012·九江模拟] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2－x（x ≥0），2x －1（x <0），则该函数是( )A ．偶函数，且单调递增B ．偶函数，且单调递减C ．奇函数，且单调递增D ．奇函数，且单调递减2．函数f (x )＝a 2x －1ax (a >0，a ≠1)的图像( )A ．关于原点对称B ．关于直线y ＝x 对称C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称3．[2012·哈尔滨师范大学附中月考] 设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，则f (1)＝( )A ．－3B ．－1C ．1D ．34．[2012·上海卷] 已知y ＝f (x )是奇函数，若g (x )＝f (x )＋2且g (1)＝1，则g (－1)＝________．能力提升5．设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－134＝( ) A.32 B ．－32 C.12 D ．－126．[2012·长春外国语学校月考] 已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x ＋2)＝－f (x )，若f (1)＝1，则f (3)－f (4)＝( )A ．－1B ．1C ．－2D ．27．[2013·保定摸底] 若函数f (x )＝|x －2|＋a 4－x 2的图像关于原点对称，则f a2＝( ) A.33 B ．－33C ．1D ．－1 8．[2012·鹰潭模拟] 设函数f (x )＝x 3＋log 2(x ＋x 2＋1)，则对任意实数a ，b ，a ＋b ≥0是f (a )＋f (b )≥0的( )A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件9．[2013·银川一中月考] 已知f (x )是定义在R 上的函数，且满足f (x ＋1)＋f (x )＝3，当x ∈[0，1]时，f (x )＝2－x ，则f (－2 005.5)＝________．10．[2013·南昌一中、十中联考] 函数f (x )是定义在R 上的奇函数，下列结论中，正确结论的序号是________．①f (－x )＋f (x )＝0；②f (－x )－f (x )＝－2f (x )；③f (x )f (－x )≤0；④f （x ）f （－x ）＝－1.11．[2012·南京三模] 若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2＋ax ，x <0是奇函数，则满足f (x )>a 的x 的取值范围是________．12．(13分)[2012·衡水中学一调] 已知函数f (x )＝x m－2x 且f (4)＝72.(1)求m 的值；(2)判定f (x )的奇偶性；(3)判断f (x )在(0，＋∞)上的单调性，并给予证明．难点突破13．(12分)已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x＋b2x ＋1＋a是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围．课时作业(六)B [第6讲 函数的奇偶性与周期性](时间：35分钟 分值：80分)基础热身1．[2012·佛山质检] 下列函数中既是奇函数，又在区间(－1，1)上是增函数的为( ) A ．y ＝|x | B ．y ＝sin xC ．y ＝e x ＋e －xD ．y ＝－x 32．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1，2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( )A ．－13 B.13 C.12 D ．－123．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ＋1（x >0），－x 2－x －1（x <0），则f (x )为( ) A ．奇函数 B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．不能确定奇偶性4．[2012·浙江卷] 设函数f (x )是定义在R 上的周期为2的偶函数，当x ∈[0，1]时，f (x )＝x ＋1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝________．能力提升5．[2012·郑州模拟] 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x <0，0，x ＝0，g （x ），x >0，且f (x )为奇函数，则g (3)＝( )A ．8 B.18 C ．－8 D ．－186．已知y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，如果x 1<0，x 2>0，且|x 1|<|x 2|，则有( )A ．f (－x 1)＋f (－x 2)>0B ．f (x 1)＋f (x 2)<0C ．f (－x 1)－f (－x 2)>0D ．f (x 1)－f (x 2)<07．[2012·石嘴山二联] 已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x ≥0，都有f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0，2)时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (－2 012)＋f (2 011)的值为( )A ．1B ．2C ．－2D ．－18．[2013·忻州一中月考] 命题p ：任意x ∈R ，3x>x ；命题q ：若函数y ＝f (x －1)为奇函数，则函数y ＝f (x )的图像关于点(1，0)成中心对称．以下说法正确的是( ) A ．p 或q 真 B ．p 且q 真 C ．綈p 真 D ．綈q 假9．函数f (x )对于任意实数x 满足条件f (x ＋2)f (x )＝1，若f (1)＝－5，则f (－5)＝________．10．[2011·广东卷] 设函数f (x )＝x 3cos x ＋1.若f (a )＝11，则f (－a )＝________．11．[2012·临川模拟] 设函数f (x )＝2 011x ＋1＋2 0102 011x＋1＋2 012sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2的最大值为M ，最小值为N ，那么M ＋N ＝__________．12．(13分)已知函数f (x )＝lg 1＋x1－x.(1)求证：对于f (x )的定义域内的任意两个实数a ，b ，都有f (a )＋f (b )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 1＋ab ；(2)判断f (x )的奇偶性，并予以证明．难点突破13．(12分)函数f (x )的定义域为D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)．(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f (4)＝1，f (3x ＋1)＋f (2x －6)≤3，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围．课时作业(七) [第7讲 二次函数](时间：45分钟 分值：100分)基础热身1．已知二次函数y ＝x 2－2ax ＋1在区间(2，3)内是单调函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≤2或a ≥3 B ．2≤a ≤3C ．a ≤－3或a ≥－2D ．－3≤a ≤－22．函数y ＝(cos x －a )2＋1，当cos x ＝a 时有最小值，当cos x ＝－1时有最大值，则a 的取值范围是( )A ．[－1，0]B ．[－1，1]C ．(－∞，0]D ．[0，1]3．[2012·长春外国语学校月考] 若函数f (x )＝(m －1)x 2＋(m 2－1)x ＋1是偶函数，则f (x )在区间(－∞，0]上是( )A ．增函数B ．减函数C ．常数D ．增函数或常数4．[2011·陕西卷] 设n ∈N ＋，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数．．根的充要条件是n ＝________．能力提升5．函数f (x )＝4x 2－mx ＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则f (1)的取值范围是( ) A ．f (1)≥25 B ．f (1)＝25 C ．f (1)≤25 D ．f (1)>256．已知函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a ，x ∈[0，1]，若f (x )有最小值－2，则f (x )的最大值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．27．[2012·鹰潭模拟] 已知函数f (x )＝x 2＋|x |－2，则满足f (2x －1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的实数x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，238．若f (x )＝x 2－x ＋a ，f (－m )＜0，则f (m ＋1)的值为( ) A ．正数 B ．负数C ．非负数D ．与m 有关9．[2012·牡丹江一中期中] 如图K7－1是二次函数f (x )＝x 2－bx ＋a 的图像，其函数f (x )的导函数为f ′(x )，则函数g (x )＝ln x ＋f ′(x )的零点所在的区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C ．(1，2) D ．(2，3)10．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3（－2≤x <0），x 2－2x －3（0≤x ≤3）的值域是________．11．方程|x 2－2x |＝a 2＋1(a ∈(0，＋∞))的解的个数是________．12．若x ≥0，y ≥0，且x ＋2y ＝1，那么2x ＋3y 2的最小值为________． 13．[2012·北京卷] 已知f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)，g (x )＝2x －2，若任意x ∈R ，f (x )<0或g (x )<0，则m 的取值范围是________．14．(10分)[2012·正定中学月考] 已知f (x )＝2x 2＋bx ＋c ，不等式f (x )<0的解集是(0，5)．(1)求f (x )的解析式；(2)对于任意x ∈[－1，1]，不等式f (x )＋t ≤2恒成立，求t 的范围．15．(13分)设f (x )是定义在R 上的偶函数，当0≤x ≤2时，y ＝x ，当x >2时，y ＝f (x )的图像是顶点为P (3，4)，且过点A (2，2)的抛物线的一部分．(1)求函数f (x )在(－∞，－2)上的解析式；(2)在下面的直角坐标系中直接画出函数f (x )的草图； (3)写出函数f (x )的值域．难点突破16．(12分)[2013·衡水中学一调] 已知对于函数f(x)，若存在x0∈R，使f(x0)＝x0，则称x0是f(x)的一个不动点，已知函数f(x)＝ax2＋(b＋1)x＋(b－1)(a≠0)．(1)当a＝1，b＝－2时，求函数f(x)的不动点；(2)对任意实数b，函数恒有两个相异的不动点，求a的取值范围；(3)在(2)的条件下，若y＝f(x)的图像上A，B两点的横坐标是f(x)的不动点，且A，B两点关于直线y＝kx＋12a2＋1对称，求b的最小值．课时作业(八)A [第8讲 指数与对数的运算](时间：35分钟 分值：80分)基础热身1．2log 510＋log 50.25＝( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．42．下列等式能够成立的是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫n m 5＝m 15n 5B.12（－2）4＝3－2C.4x 3＋y 3＝(x ＋y )34D.39＝333．在对数式b ＝log (a －2)(5－a )中，实数a 的取值范围是( ) A ．a >5或a <2 B ．2<a <5C ．2<a <3或3<a <5D ．3<a <44．[2012·正定中学月考] 计算lg 14－lg25100－12＝________．能力提升5．若log 2log 3log 4x ＝log 3log 4log 2y ＝log 4log 2log 3z ＝0，则x ＋y ＋z 的值为( ) A ．50 B ．58 C ．89 D ．1116．[2012·武汉调研] 若x ＝log 43，则(2x －2－x )2＝( ) A.94 B.54C.34D.437．[2012·重庆卷] 已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＝b <cB ．a ＝b >cC ．a <b <cD ．a >b >c8．若lg(x －y )＋lg(x ＋2y )＝lg2＋lg x ＋lg y ，则x y＝( ) A ．2 B ．3 C.12 D.139．[2012·海南五校联考] x >0，则(2x 14＋332)(2x 14－332)－4x －12(x －x 12)＝________．10．[(1－log 63)2＋log 62·log 618]÷log 64＝________．11．[2012·上海卷] 方程4x －2x ＋1－3＝0的解是________．12．(13分)设x >1，y >1，且2log x y －2log y x ＋3＝0，求T ＝x 2－4y 2的最小值．难点突破13．(12分)已知f (x )＝e x －e －x ，g (x )＝e x ＋e －x.(1)求[f (x )]2－[g (x )]2的值；(2)若f (x )·f (y )＝4，g (x )·g (y )＝8，求g （x ＋y ）g （x －y ）的值．课时作业(八)B [第8讲 指数与对数的运算](时间：35分钟 分值：80分)基础热身1．下列命题中，正确命题的个数为( ) ①na n ＝a ；②若a ∈R ，则(a 2－a ＋1)0＝1； ③3x 4＋y 6＝x 43＋y 2；④5－3＝10（－3）2.A ．0B ．1C ．2D ．32．化简：（log 23）2－4log 23＋4＋log 213＝( )A ．2B ．2－2log 23C ．－2D ．2log 23－23．log(n ＋1＋n )(n ＋1－n )＝( ) A ．1 B ．－1 C ．2 D ．－24．已知a 12＝49，则log 23a ＝________．能力提升5．若10x ＝2，10y＝3，则103x －y 2＝( )A.263B.63 C.233 D.366．函数y ＝x 2＋2x ＋1＋3x 3－3x 2＋3x －1的图像是( ) A ．一条直线 B ．两条射线 C ．抛物线 D ．半圆7．若a >1，b >0，且a b ＋a －b ＝22，则a b －a －b的值等于( ) A. 6 B ．2或－2 C ．2 D ．－28．[2012·唐山模拟] 已知3x ＝4y＝12，则1x ＋1y＝( )A. 2 B ．1 C.12D ．2 9．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ∈（－∞，1]，log 81x ，x ∈（1，＋∞），则满足f (x )＝14的x 值为________．10．[2012·福州质检] 化简：lg2＋lg5－lg8lg50－lg40＝________．11．方程log 2(x 2＋x )＝log 2(2x ＋2)的解是________．12．(13分)已知x 12＋x －12＝3，求x 2＋x －2－2x 32＋x －32－3的值．难点突破13．(12分)设a ，b ，c 均为正数，且满足a 2＋b 2＝c 2.(1)求证：log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b ＋c a ＋log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a －c b ＝1；(2)若log 4⎝⎛⎭⎪⎫1＋b ＋c a ＝1，log 8(a ＋b －c )＝23，求a ，b ，c 的值．课时作业(九) [第9讲 指数函数、对数函数、幂函数](时间：45分钟 分值：100分)基础热身1．[2012·西安质检] 已知a ＝32，函数f (x )＝a x，若实数m ，n 满足f (m )>f (n )，则m ，n 满足的关系为( )A ．m ＋n <0B ．m ＋n >0C ．m >nD ．m <n2．[2012·梅州中学月考] 若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)的反函数，其图像经过点(a ，a )，则f (x )＝( )A ．log 2xB ．log 12x C.12x D ．x 23．[2012·四川卷] 函数y ＝a x－a (a >0，且a ≠1)的图像可能是( )K9－4．[2012·南通模拟] 已知幂函数f (x )＝k ·x α的图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α＝________．能力提升5．[2012·汕头测评] 下列各式中错误．．的是( ) A ．0.83>0.73B ．log 0.50.4>log 0.50.6C ．0.75－0.1<0.750.1D ．lg1.6>lg1.4 6．若集合A ＝{y |y ＝x 13，－1≤x ≤1}，B ＝y⎪⎪⎪ )y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x ≤0，则A ∩B ＝( )A ．(－∞，1)B ．[－1，1]C ．∅D ．{1}7．[2012·南昌调研] 函数f (x )＝log 22x 2＋1的值域为( ) A ．[1，＋∞) B ．(0，1]C ．(－∞，1]D ．(－∞，1)8．[2012·新余一中模拟] 已知函数f (x )＝x 2－bx ＋c 满足f (1＋x )＝f (1－x )，且f (0)＝3，则f (b x )与f (c x)的大小关系是( )A ．f (c x )<f (b x )B ．f (c x )≤f (b x)C ．f (c x )>f (b x )D ．f (c x )≥f (b x)9．[2012·全国卷] 已知x ＝ln π，y ＝log 52，z ＝e －12，则( )A ．x <y <zB ．z <x <yC ．z <y <xD ．y <z <x10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，3x ，x <0，则满足f (a )<13的a 的取值范围是________．11．若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，且a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是________．12．[2013·河北五校联盟调研] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，（x >0），2x ，（x ≤0）且关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________．13．[2012·长春外国语学校月考] 关于函数f (x )＝lg x 2＋1|x |(x ≠0)，有下列命题：①其图像关于y 轴对称； ②f (x )的最小值是lg2；③当x >0时，f (x )是增函数；当x <0时，f (x )是减函数； ④f (x )在区间(－1，0)，(2，＋∞)上是增函数； ⑤f (x )无最大值，也无最小值．其中所有正确结论的序号是________．14．(10分)设a >0，f (x )＝e xa ＋aex 是R 上的偶函数．(1)求a 的值；(2)证明f (x )在(0，＋∞)上是增函数； (3)解方程f (x )＝2.15．(13分)已知函数f (x )＝log a (x ＋1)(a >1)，且函数y ＝g (x )图像上任意一点P 关于原点的对称点Q 的轨迹恰好是函数f (x )的图像．(1)写出函数g (x )的解析式；(2)当x ∈[0，1)时总有f (x )＋g (x )≥m 成立，求m 的取值范围．难点突破16．(12分)已知函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)．(1)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间；(2)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．课时作业(十) [第10讲 函数的图像与性质的综合](时间：45分钟 分值：100分)基础热身1．函数f (x )＝1x＋2x 的图像关于( )A ．y 轴对称B ．直线y ＝－x 对称C ．坐标原点对称D ．直线y ＝x 对称2．为了得到函数y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 的图像，可以把函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x的图像( ) A ．向左平移3个单位长度B ．向右平移3个单位长度C ．向左平移1个单位长度D ．向右平移1个单位长度3．下列四个函数中，图像如图 )A ．y ＝x ＋lg xB ．y ＝x －lg xC ．y ＝－x ＋lg xD ．y ＝－x －lg x4．[2012·开封质检] 把函数y ＝f (x )＝(x －2)2＋2的图像向左平移1个单位，再向上平移1个单位，所得图像对应的函数的解析式是________________________________________________________________________．能力提升5．在函数y ＝|x |(x ∈[－1，1])的图像上有一点P (t ，|t |)，此函数与x 轴、直线x ＝－1及x ＝t 围成图形(如图K10－2阴影部分)的面积为S ，则S 与t 的函数关系图像可表示为( )6．已知图K10－4①中的图像对应的函数为y ＝f (x )，则图K10－4②中的图像对应的函数为( )－A ．y ＝f (|x |) B ．y ＝|f (x )| C ．y ＝f (－|x |) D ．y ＝－f (|x |)7．[2012·郑州调研] 已知曲线如图K10－5所示：图K10－以下为编号为①②③④的四个方程： ①x －y ＝0；②|x |－|y |＝0； ③x －|y |＝0；④|x |－y ＝0.请按曲线A ，B ，C ，D 的顺序，依次写出与之对应的方程的编号为( ) A ．④②①③ B ．④①②③ C ．①③④② D ．①②③④8．函数f (x )＝1＋log 2与()＝21－x( )图9．[2012·江西卷] 如图K10－7，|OA |＝2(单位：m)，|OB |＝1(单位：m)，OA 与OB 的夹角为π6，以A 为圆心，AB 为半径作圆弧BDC 与线段OA 延长线交于点C .甲、乙两质点同时从点O 出发，甲先以速率1(单位：m/s)沿线段OB 行至点B ，再以速率3(单位：m/s)沿圆弧BDC 行至点C 后停止；乙以速率2(单位：m/s)沿线段OA 行至点A 后停止，设t 时刻甲、乙所到达的两点连线与它们经过的路径所围成图形的面积为S (t )(S (0)＝0)，则函数y ＝S (t )的图象大致是( )10．将函数y ＝2x ＋1的图像按向量a 平移得到函数y ＝2x ＋1的图像，则a ＝________．11．[2012·海淀一模] 函数f (x )＝x ＋1x图像的对称中心为________．12．设函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －a |的图像关于直线x ＝1对称，则a 的值为________． 13．[2012·唐山二模] 奇函数f (x )、偶函数g (x )的图像分别如图K10－9(1)，K10－9(2)所示，方程f (g (x ))＝0，g (f (x ))＝0的实根个数分别为a ，b ，则a ＋b ＝________．14．(10分)设函数f (x )＝x ＋1x的图像为C 1，C 1关于点A (2，1)对称的图像为C 2，C 2对应的函数为g (x )．求g (x )的解析式．15．(13分)已知f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)，如果对于任意的x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2都有|f (x )|≤1成立，试求a 的取值范围．难点突破 16．(12分)(1)已知函数y ＝f (x )的定义域为R ，且当x ∈R 时，f (m ＋x )＝f (m －x )恒成立，求证y ＝f (x )的图像关于直线x ＝m 对称；(2)若函数y ＝log 2|ax －1|的图像的对称轴是x ＝2，求非零实数a 的值．课时作业(十一) [第11讲函数与方程] (时间：45分钟分值：100分)基础热身 1．[2013·安庆四校联考] 图K11－1是函数f (x )的图像，它与x 轴有4个不同的公共点．给出下列四个区间之中，存在不能用二分法求出的零点的区间是( )A ．[－2.1，－1]B ．[1.9，2.3]C ．[4.1，5]D ．[5，6.1]2．[2012·唐山期末] 设f (x )＝e x＋x －4，则函数f (x )的零点位于区间( ) A ．(－1，0) B ．(0，1) C ．(1，2) D ．(2，3)3．[2012·德兴模拟] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －x 3，x ≤0，⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －log 2x ，x >0，若x 0是y ＝f (x )的零点，且t ＜x 0，则f (t )( )A ．恒小于0B ．恒大于0C ．等于0D ．不大于04．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________．能力提升5．[2012·临川一中模拟] 已知函数f (x )＝a x＋x －b 的零点x 0∈(n ，n ＋1)(n ∈Z )，其中常数a ，b 满足2a ＝3，3b＝2，则n 等于( )A ．1B ．－2C ．－1D ．26．[2013·诸城月考] 设函数y ＝x 2与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的图像的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4)7．已知定义在R 上的函数f (x )＝(x 2－3x ＋2)g (x )＋3x －4，其中函数y ＝g (x )的图像是一条连续曲线，则方程f (x )＝0在下面哪个范围内必有实数根( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4)8．[2011·陕西卷] 方程|x |＝cos x 在(－∞，＋∞)内( ) A ．没有根 B ．有且仅有一个根C ．有且仅有两个根D ．有无穷多个根9．[2012·石家庄质检] 已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－sin x ，则f (x )在[0，2π]上的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．410．若方程2ax 2－x －1＝0在(0，1)内恰有一解，则a 的取值范围是________．11．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2和3，则不等式af (－2x )>0的解集是________．12．[2012·盐城二模] 若y ＝f (x )是定义在R 上的周期为2的偶函数，当x ∈[0，1]时，f (x )＝2x －1，则函数g (x )＝f (x )－log 3|x |的零点个数为________．13．[2013·扬州中学月考] 已知函数f (x )＝|x 2－1|x －1－kx ＋2恰有两个零点，则k 的取值范围是________．14．(10分)已知函数f (x )＝4x ＋m ·2x＋1有且仅有一个零点，求m 的取值范围，并求出该零点．15．(13分)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R ，a >0)，设方程f (x )＝x 的两个实数根为x 1和x 2.(1)如果x 1<2<x 2<4，设函数f (x )的对称轴为x ＝x 0，求证：x 0>－1； (2)如果|x 1|<2，|x 2－x 1|＝2，求b 的取值范围．难点突破16．(12分)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x （0≤x ≤1），－25x ＋125（1<x ≤5）.(1)若函数y ＝f (x )的图像与直线kx －y －k ＋1＝0有两个交点，求实数k 的取值范围； (2)试求函数g (x )＝xf (x )的值域．课时作业(十二) [第12讲 函数模型及其应用](时间：45分钟 分值：100分)基础热身1．“红豆生南国，春来发几枝？”，图K12－1给出了红豆生长时间t (月)与枝数y (枝)的散点图，那么红豆生长时间与枝数的关系用下列哪个函数模型拟合最好？( )A ．y ＝t 2B ．y ＝log 2tC ．y ＝2tD ．y ＝2t 22．等边三角形的边长为x ，面积为y ，则y 与x 之间的函数关系式为( )A ．y ＝x 2B ．y ＝12x 2C ．y ＝32x 2 D ．y ＝34x 2 3．某工厂第三年的产量比第一年的产量增长44%，若每年的平均增长率相同(设为x )，则以下结论正确的是( )A ．x >22%B ．x <22%C ．x ＝22%D ．x 的大小由第一年的产量确定4．某种储蓄按复利计算利息，若本金为a 元，每期利率为r ，存期是x ，本利和(本金加利息)为y 元，则本利和y 随存期x 变化的函数关系式是________．能力提升5．某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y 与投放市场的月数x 之间关系的是( )A ．y ＝100xB ．y ＝50x 2－50x ＋100C ．y ＝50×2xD ．y ＝100log 2x ＋1006．[2012·华南师大附中模拟] 在股票买卖过程中，经常用到两种曲线，一种是即时价格曲线y ＝f (x )，一种是平均价格曲线y ＝g (x )(如f (2)＝3表示开始交易后第2小时的即时价格为3元；g (2)＝4表示开始交易后两个小时内所有成交股票的平均价格为4元)．下面所给出的四个图像中，实线表示y ＝f (x )，虚线表示y ＝g (x )，其中可能正确的是( )7．[2012·商丘一模] 某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝5.06x －0.15x 2和L 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为( )A ．45.606万元B ．45.6万元C ．45.56万元D ．45.51万元 8．[2013·荆州中学一检] 下列所给4个图像中，与所给3件事吻合最好的顺序为( ) (a)我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学； (b)我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间； (c)K12A ．(1)(2)(4) B ．(4)(2)(3) C ．(4)(1)(3) D ．(4)(1)(2)9．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件10．一位设计师在边长为3的正方形ABCD 中设计图案，他分别以A ，B ，C ，D 为圆心，以b ⎝⎛⎭⎪⎫0<b ≤32为半径画圆，由正方形内的圆弧与正方形边上线段(圆弧端点在正方形边上的连线)构成了丰富多彩的图形，则这些图形中实线部分总长度的最小值为________．11．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y (单位：10万元)与营运年数x (x ∈N )为二次函数关系(如图K12－5所示)，若每辆客车营运的年平均利润最大，则营运的年数为________年．12．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km 按起步价收费)；超过3 km 但不超过8 km 时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km 时，超过的部分按每千米2.85元收费，每次乘车需付燃油附加费1元，现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________13．[2013·上海南汇一中月考] 为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y (mg)与时间t (h)成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －a (a 为常数)，如图K12－6所示，据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25 mg 以下时，学生方可进教室，那从药物释放开始，至少需要经过________h 后，学生才能回到教室．14．(10分)某地上年度电价为0.8元，年用电量为1亿千瓦时．本年度计划将电价调至0.55元～0.75元之间，经测算，若电价调至x 元，则本年度新增用电量y (亿千瓦时)与(x －0.4)元成反比例．又当x ＝0.65时，y ＝0.8.(1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)若每千瓦时电的成本价为0.3元，则电价调至多少时，本年度电力部门的收益将比上年增加20%？[收益＝用电量×(实际电价－成本价)]15．(13分)[2013·重庆北江中学月考] 围建一个面积为360 m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m 的进出口，如图K12－7所示．已知旧墙的维修费为45元/m ，新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为x (单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y (单位：元)．(1)将y 表示为x 的函数；(2)试确定x图K12－7。

2025年高考数学一轮复习课时作业-事件的独立性、条件概率与全概率公式【原卷版】(时间:45分钟分值:90分)【基础落实练】1.(5分)若P(AB)=19,P( )=23,P(B)=13,则事件A与B的关系是()A.互斥B.对立C.相互独立D.既互斥又相互独立2.(5分)(2024·泉州模拟)某运动员每次射击击中目标的概率均相等,若三次射击中,至少有一次击中目标的概率为6364,则射击一次,击中目标的概率为()A.78B.34C.14D.183.(5分)小王每天在6:30至6:50出发去上班,其中在6:30至6:40出发的概率为0.3,在该时间段出发上班迟到的概率为0.1;在6:40至6:50出发的概率为0.7,在该时间段出发上班迟到的概率为0.2,则小王某天在6:30至6:50出发上班迟到的概率为()A.0.13B.0.17C.0.21D.0.34.(5分)设甲乘汽车、动车前往目的地的概率分别为0.4,0.6,汽车和动车正点到达目的地的概率分别为0.7,0.9,则甲正点到达目的地的概率为()A.0.78B.0.8C.0.82D.0.845.(5分)(多选题)甲罐中有5个红球、2个白球和3个黑球,乙罐中有4个红球、3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,分别以A1,A2和A3表示由甲罐取出的球是红球、白球和黑球的事件;再从乙罐中随机取出一球,以B表示由乙罐取出的球是红球的事件.则下列结论中正确的是()A.P(B)=25B.P(B|A1)=511C.事件B与事件A1相互独立D.A1,A2,A3是两两互斥的事件6.(5分)(多选题)(2024·湖南师大附中模拟)已知某数据库有视频a个、图片b张 , ∈N*, > >1,从中随机选出一个视频和一张图片,记“视频甲和图片乙入选”为事件A,“视频甲入选”为事件B,“图片乙入选”为事件C,则下列判断中正确的是()A.P(A)=P(B)+P(C)B.P(A)=P(B)·P(C)C.P( )>P( C)+P(B )D.P( C)<P(B )7.(5分)某医生一周(7天)晚上值2次班,在已知他周二晚上一定值班的条件下,他在周三晚上值班的概率为________.每次击中目标的概率为45,现连续射击两次.(1)已知第一次击中,则第二次击中的概率是________;(2)在仅击中一次的条件下,第二次击中的概率是________.9.(10分)(2024·苏州模拟)苏州某公司有甲、乙两个研发小组,开发芯片需要两道工序,第一道工序成功的概率分别为15和35.第二道工序成功的概率分别为12和23.根据生产需要现安排甲小组研发芯片A,乙小组研发芯片B,假设甲、乙两个小组的研发相互独立.(1)求两种芯片都研发成功的概率;(2)政府为了提高该公司研发的积极性,决定只要有芯片研发成功就奖励该公司500万元,求该公司获得政府奖励的概率.【能力提升练】10.(5分)(2024·南京模拟)在一段时间内,若甲去参观市博物馆的概率为0.6,乙去参观市博物馆的概率为0.5,且甲乙两人各自行动,则在这段时间内,甲乙两人至少有一个去参观博物馆的概率是()A.0.3B.0.32C.0.8D.0.8411.(5分)(2024·苏州模拟)杭州亚运会组委会将甲、乙、丙、丁4名志愿者随机派往黄龙体育中心、杭州奥体中心、浙江大学紫金港校区三座体育馆工作,每座体育馆至少派1名志愿者,A表示事件“志愿者甲派往黄龙体育中心”;B表示事件“志愿者乙派往黄龙体育中心”;C表示事件“志愿者乙派往杭州奥体中心”,则()A.事件A与B相互独立B.事件A与C为互斥事件C.P =13D.P =1612.(5分)(2024·泉州模拟)某中学为丰富学生的业余生活,举行“汉字听写大会”,老师要求参赛学生从星期一到星期四每天学习2个汉字及正确注释,每周五对一周内所学汉字随机抽取4个进行检测(一周所学的汉字每个被抽到的可能性相同),若已知抽取4个进行检测的字中至少有一个字是最后一天学习的,则所抽取的4个进行检测的字中恰有3个是后两天学习过的汉字的概率为________. 13.(5分)(2024·长春模拟)设A,B是一个随机试验中的两个事件,且P(A)=13,P(B)=34, P(A+ )=12,则P(A )=________,P(B|A)=__________.14.(10分)某企业使用新技术对某款芯片进行试生产.在试产初期,该款芯片的生产有四道工序,前三道工序的生产互不影响,第四道是检测评估工序,包括智能自动检测与人工抽检.已知该款芯片在生产中,前三道工序的次品率分别为P1=110,P2=19,P3=18.(1)求该款芯片生产在进入第四道工序前的次品率;(2)如果第四道工序中智能自动检测为次品的芯片会被自动淘汰,合格的芯片进入流水线并由工人进行人工抽检.在芯片智能自动检测显示合格率为90%的条件下,求工人在流水线进行人工抽检时,抽检一个芯片恰为合格品的概率.15.(10分)两台车床加工同样的零件,第一台出现废品的概率是0.03,第二台出现废品的概率是0.02.加工出来的零件放在一起,并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍.(1)求任意取出的零件是合格品的概率;(2)如果任意取出的零件是废品,求它是第二台车床加工的概率.2025年高考数学一轮复习课时作业-事件的独立性、条件概率与全概率公式【解析版】(时间:45分钟分值:90分)【基础落实练】1.(5分)若P(AB)=19,P( )=23,P(B)=13,则事件A与B的关系是()A.互斥B.对立C.相互独立D.既互斥又相互独立【解析】选C.因为P(A)=1-P( )=1-23=13,所以P(A)P(B)=19,所以P(AB)=P(A)P(B)≠0,所以事件A与B相互独立,事件A与B不互斥也不对立.2.(5分)(2024·泉州模拟)某运动员每次射击击中目标的概率均相等,若三次射击中,至少有一次击中目标的概率为6364,则射击一次,击中目标的概率为() A.78B.34C.14D.18【解析】选B.设该运动员射击一次,击中目标的概率为p,若该运动员三次射击中,至少有一次击中目标的概率为1-1- 3=6364,解得p=34.3.(5分)小王每天在6:30至6:50出发去上班,其中在6:30至6:40出发的概率为0.3,在该时间段出发上班迟到的概率为0.1;在6:40至6:50出发的概率为0.7,在该时间段出发上班迟到的概率为0.2,则小王某天在6:30至6:50出发上班迟到的概率为()A.0.13B.0.17C.0.21D.0.3【解析】选B.由题意,在6:30至6:50出发上班迟到的概率为0.3×0.1+0.7×0.2=0.17.4.(5分)设甲乘汽车、动车前往目的地的概率分别为0.4,0.6,汽车和动车正点到达目的地的概率分别为0.7,0.9,则甲正点到达目的地的概率为()A.0.78B.0.8C.0.82D.0.84【解析】选C.设事件A表示“甲正点到达目的地”,事件B表示“甲乘动车到达目的地”,事件C表示“甲乘汽车到达目的地”,由题意知P(B)=0.6,P(C)=0.4,P(A|B)=0.9,P(A|C)=0.7.由全概率公式得P(A)=P(B)P(A|B)+P(C)P(A|C)=0.6×0.9+0.4×0.7=0.54+0.28=0.82.5.(5分)(多选题)甲罐中有5个红球、2个白球和3个黑球,乙罐中有4个红球、3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,分别以A1,A2和A3表示由甲罐取出的球是红球、白球和黑球的事件;再从乙罐中随机取出一球,以B表示由乙罐取出的球是红球的事件.则下列结论中正确的是()A.P(B)=25B.P(B|A1)=511C.事件B与事件A1相互独立D.A1,A2,A3是两两互斥的事件【解析】选BD.由题意知,A1,A2,A3是两两互斥的事件,故D正确;P(A1)=510=12,P(A2)=210=15,P(A3)=310,P(B|A1)=511,由此知,B正确;P(B|A2)=411,P(B|A3)=411;而P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=12×511+15×411+310×411=922,由此知A,C 不正确.6.(5分)(多选题)(2024·湖南师大附中模拟)已知某数据库有视频a个、图片b张 , ∈N*, > >1,从中随机选出一个视频和一张图片,记“视频甲和图片乙入选”为事件A,“视频甲入选”为事件B,“图片乙入选”为事件C,则下列判断中正确的是()A.P(A)=P(B)+P(C)B.P(A)=P(B)·P(C)C.P( )>P( C)+P(B )D.P( C)<P(B )【解析】选BC.由相互独立事件的概率的乘法计算公式,可得A错误,B正确;事件 包含“视频甲未入选,图片乙入选”“视频甲入选,图片乙未入选”“视频甲、图片乙都未入选”三种情况,所以P( )=P( C)+P(B )+P( ),则P( )>P( C)+P(B ),所以C正确;由题可知,P( C)=1-·1 = -1 ,P(B )=1 ·1-= -1 ,因为a,b∈N*,a>b>1,所以 -1 > -1 ,即P( C)>P(B ),故D错误.7.(5分)某医生一周(7天)晚上值2次班,在已知他周二晚上一定值班的条件下,他在周三晚上值班的概率为________.【解析】设事件A 为“周二晚上值班”,事件B 为“周三晚上值班”,则P (A )=C 61C 72=27,P (AB )=1C 72=121,故P (B |A )= ( ) ( )=16.答案:168.(5分)某射击运动员每次击中目标的概率为45,现连续射击两次.(1)已知第一次击中,则第二次击中的概率是________;(2)在仅击中一次的条件下,第二次击中的概率是________.【解析】(1)设第一次击中为事件A ,第二次击中为事件B ,则P (A )=45,由题意知,第一次击中与否对第二次没有影响,因此已知第一次击中,则第二次击中的概率是45.(2)设仅击中一次为事件C ,则仅击中一次的概率为P (C )=C 21×45×15=825,在仅击中一次的条件下,第二次击中的概率是P (B |C )=15×45825=12.答案:(1)45(2)129.(10分)(2024·苏州模拟)苏州某公司有甲、乙两个研发小组,开发芯片需要两道工序,第一道工序成功的概率分别为15和35.第二道工序成功的概率分别为12和23.根据生产需要现安排甲小组研发芯片A ,乙小组研发芯片B ,假设甲、乙两个小组的研发相互独立.(1)求两种芯片都研发成功的概率;(2)政府为了提高该公司研发的积极性,决定只要有芯片研发成功就奖励该公司500万元,求该公司获得政府奖励的概率.【解析】(1)甲小组研发芯片A 成功的概率为p 1=15×12=110,乙小组研发芯片B 成功的概率为p 2=35×23=25,由于甲、乙两个小组的研发相互独立,所以A ,B 两种芯片都研发成功的概率P=p1·p2=110×25=125.(2)该公司获得政府奖励则需有芯片研发成功,根据对立事件可知获奖的概率: P=1-(1-p1)(1-p2)=1-(1-110)(1-25)=1-910×35=2350.【能力提升练】10.(5分)(2024·南京模拟)在一段时间内,若甲去参观市博物馆的概率为0.6,乙去参观市博物馆的概率为0.5,且甲乙两人各自行动,则在这段时间内,甲乙两人至少有一个去参观博物馆的概率是()A.0.3B.0.32C.0.8D.0.84【解析】选C.依题意,在这段时间内,甲乙都不去参观博物馆的概率为P1=1-0.6×1-0.5=0.2,所以在这段时间内,甲乙两人至少有一个去参观博物馆的概率是P=1-P1=1-0.2=0.8.11.(5分)(2024·苏州模拟)杭州亚运会组委会将甲、乙、丙、丁4名志愿者随机派往黄龙体育中心、杭州奥体中心、浙江大学紫金港校区三座体育馆工作,每座体育馆至少派1名志愿者,A表示事件“志愿者甲派往黄龙体育中心”;B表示事件“志愿者乙派往黄龙体育中心”;C表示事件“志愿者乙派往杭州奥体中心”,则()A.事件A与B相互独立B.事件A与C为互斥事件C.P =13D.P =16【解析】选D.将4名志愿者分配到三座体育馆,每座体育馆至少派1名志愿者,共有C42C21A22·A33=36种安排方案;志愿者甲派往黄龙体育中心、志愿者乙派往黄龙体育中心、志愿者乙派往杭州奥体中心,各有C32A22+A33=12种方案,所以P =P =P(C)=1236=13;志愿者甲、乙均派往黄龙体育中心,有A22=2种方案,所以P =236=118;志愿者甲派往黄龙体育中心且志愿者乙派往杭州奥体中心,有1+C21C21=5种方案,所以P =536;对于A,因为P ≠P P ,所以事件A与B不相互独立,A错误;对于B,因为P =536≠0,所以事件A与C不是互斥事件,B错误;对于C,P =53613=512,C错误;对于D,P =11813=16,D正确.12.(5分)(2024·泉州模拟)某中学为丰富学生的业余生活,举行“汉字听写大会”,老师要求参赛学生从星期一到星期四每天学习2个汉字及正确注释,每周五对一周内所学汉字随机抽取4个进行检测(一周所学的汉字每个被抽到的可能性相同),若已知抽取4个进行检测的字中至少有一个字是最后一天学习的,则所抽取的4个进行检测的字中恰有3个是后两天学习过的汉字的概率为________.【解析】设进行检测的4个汉字中至少有一个是最后一天学习的为事件A,恰有3个是后两天学习过的汉字为事件B,则事件A所包含的基本事件有n(A)=C21×C63+C62×C22=55,事件B所包含的基本事件有n(B)=C41×C43=16,所以P | = ( ) ( )= ( ) ( )=1655.答案:165513.(5分)(2024·长春模拟)设A,B是一个随机试验中的两个事件,且P(A)=13,P(B)=34, P(A+ )=12,则P(A )=________,P(B|A)=__________.【解析】由题知,P (A )=13,P (B )=34,P (A + )=P +P -P =12,即13+14-P =12,则P (A )=112.因为P +P P ,所以P =13-112=14,则P (B |A =1413=34.答案:1123414.(10分)某企业使用新技术对某款芯片进行试生产.在试产初期,该款芯片的生产有四道工序,前三道工序的生产互不影响,第四道是检测评估工序,包括智能自动检测与人工抽检.已知该款芯片在生产中,前三道工序的次品率分别为P 1=110,P 2=19,P 3=18.(1)求该款芯片生产在进入第四道工序前的次品率;(2)如果第四道工序中智能自动检测为次品的芯片会被自动淘汰,合格的芯片进入流水线并由工人进行人工抽检.在芯片智能自动检测显示合格率为90%的条件下,求工人在流水线进行人工抽检时,抽检一个芯片恰为合格品的概率.【解析】(1)该款芯片生产在进入第四道工序前的次品率P =1-(1-110)(1-19)(1-18)=310.(2)设“该款芯片智能自动检测合格”为事件A ,“人工抽检合格”为事件B ,则P (A )=910,P (AB )=1-310=710,则工人在流水线进行人工抽检时,抽检一个芯片恰为合格品的概率P (B |A )= ( )( )=710910=79.15.(10分)两台车床加工同样的零件,第一台出现废品的概率是0.03,第二台出现废品的概率是0.02.加工出来的零件放在一起,并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍.(1)求任意取出的零件是合格品的概率;(2)如果任意取出的零件是废品,求它是第二台车床加工的概率.【解析】设A i表示“第i台车床加工的零件(i=1,2)”,B表示“出现废品”,C表示“出现合格品”.(1)P(C)=P(A1C∪A2C)=P(A1C)+P(A2C)=P(A1)P(C|A1)+P(A2)P(C|A2)=23×(1-0.03)+13×(1-0.02)≈0.973. (2)P(A2|B)= ( 2 ) ( )= ( 2) ( | 2)( 1) ( | 1)+ ( 2) ( | 2)=13×0.0223×0.03+13×0.02=0.25.。

一、单项选择题1．(2023·哈尔滨模拟)函数y ＝log 0.5(4x －3)的定义域为()A ．[1，＋∞)B.34，1C.34，1 D.0，342．若函数f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)的反函数的图象过点(1,3)，则f (log 28)等于()A ．－1B ．1C ．2D ．33．若12log 0.8log 0.8x x <<0，则x 1与x 2的关系正确的是()A ．0<x 2<x 1<1B ．0<x 1<x 2<1C ．1<x 1<x 2D ．1<x 2<x 14.已知函数f (x )＝log a (x －b )(a >0，且a ≠1，a ，b 为常数)的图象如图，则下列结论正确的是()A ．a >0，b <－1B ．a >0，－1<b <0C ．0<a <1，b <－1D ．0<a <1，－1<b <05．(2024·通化模拟)设a ＝log 0.14，b ＝log 504，则()A ．2ab <2(a ＋b )<abB ．2ab <a ＋b <4abC ．ab <a ＋b <2abD ．2ab <a ＋b <ab6．(2023·本溪模拟)若不等式(x －1)2<log a x (a >0且a ≠1)在x ∈(1,2]内恒成立，则实数a 的取值范围为()A ．(1,2]B ．(1,2)C ．(1，2]D ．(2，2)二、多项选择题7．(2024·永州模拟)若10a ＝5，10b ＝20，则()A ．a ＋b ＝4B ．b －a ＝lg 4C ．ab <2(lg 5)2D ．b －a >lg 58．(2023·吕梁模拟)已知函数f (x )x 2－4x ，x ≤0，2x |，x >0，若x 1<x 2<x 3<x 4，且f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝f (x 4)，则下列结论正确的是()A ．x 1＋x 2＝－4B ．x 3x 4＝1C ．1<x 4<4D ．0<x 1x 2x 3x 4≤2三、填空题9．计算：lg 25＋23lg 8－log 227×log 32＋2log 32＝.10．(2023·绍兴模拟)已知函数f (x )满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，且当x >y 时，f (x )<f (y )，请你写出一个符合上述条件的函数f (x )＝.11．设p >0，q >0，若log 4p ＝log 6q ＝log 9(2p ＋q )，则p q ＝.12．(2023·龙岩模拟)已知函数y ＝f (x )，若在定义域内存在实数x ，使得f (－x )＝－f (x )，则称函数y ＝f (x )为定义域上的局部奇函数．若函数f (x )＝log 3(x ＋m )是[－2,2]上的局部奇函数，则实数m 的取值范围是．四、解答题13．已知f (x )＝213log (5)x ax a -+．(1)若a ＝2，求f (x )的值域；(2)若f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围．14．(2024·株洲模拟)已知函数f (x )＝log 9(9x ＋1)－kx (k ∈R )是偶函数．(1)求k 的值；(2)若方程f (x )＝log 9m 的取值范围．15．已知正实数x，y，z满足log2x＝log3y＝log5z≠0，则()A．x>y>zB．x<y<zC．x，y，z可能构成等比数列D．关于x，y，z的方程x＋y＝z有且只有一组解16．(2023·潍坊模拟)已知函数f(x)＝log a x－(a)x－log a2(a>1)有两个零点，则实数a的取值范围是．§2.8对数运算与对数函数1．C 2.B 3.C 4.D 5.D 6．B [若0<a <1，此时x ∈(1,2]，log a x <0，而(x －1)2>0，故(x －1)2<log a x 无解；若a >1，此时x ∈(1,2]，log a x >0，而(x －1)2>0，令f (x )＝log a x ，g (x )＝(x －1)2，画出函数f (x )与g (x )的图象，如图，若不等式(x －1)2<log a x 在x ∈(1,2]内恒成立，则log a 2>1，解得a ∈(1,2)．]7．BC [由10a ＝5，10b ＝20，得a ＝lg 5，b ＝lg 20，则a ＋b ＝lg 5＋lg 20＝lg(5×20)＝lg 100＝2，故A 错误；b －a ＝lg 20－lg 5＝lg 205＝lg 4<lg 5，故B 正确，D 错误；ab ＝lg 5×lg 20＝lg 5×(lg 4＋lg 5)＝lg 5×lg 4＋(lg 5)2，∵lg 4<lg 5，∴lg 5×lg 4＋(lg 5)2<lg 5×lg 5＋(lg 5)2＝2(lg 5)2，∴ab <2(lg 5)2，故C 正确．]8．AB [函数f (x )x 2－4x ，x ≤0，2x |，x >0的图象如图所示，设f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝f (x 4)＝t ，则0<t <4，则直线y ＝t 与函数y ＝f (x )图象的4个交点横坐标分别为x 1，x 2，x 3，x 4.对于A ，函数y ＝－x 2－4x 的图象关于直线x ＝－2对称，则x 1＋x 2＝－4，故A 正确；对于B ，由图象可知|log 2x 3|＝|log 2x 4|，且0<x 3<1<x 4，所以－log 2x 3＝log 2x 4，即log 2(x 3x 4)＝0，所以x 3x 4＝1，故B 正确；对于C ，由图象可知log 2x 4∈(0,4)，则1<x 4<16，故C 错误；对于D ，由图象可知－4<x 1<－2，当x ≤0时，f (x )＝－x 2－4x ＝－(x ＋2)2＋4，所以x 1x 2x 3x 4＝x 1(－4－x 1)＝－x 21－4x 1＝－(x 1＋2)2＋4＝f (x 1)∈(0,4)，故D 错误．]9．210.12log x (答案不唯一)11.1212．(2，5]解析因为f (x )＝log 3(x ＋m )是[－2,2]上的局部奇函数，所以x ＋m >0在[－2,2]上恒成立，所以m －2>0，即m >2，由局部奇函数的定义，存在x ∈[－2,2]，使得log 3(－x ＋m )＝－log 3(x ＋m )，即log 3(－x ＋m )＋log 3(x ＋m )＝log 3(m 2－x 2)＝0，所以存在x ∈[－2,2]，使得m 2－x 2＝1，即m 2＝x 2＋1，又因为x ∈[－2,2]，所以x 2＋1∈[1,5]，所以m 2∈[1,5]，即m ∈[－5，－1]∪[1，5]，综上，m ∈(2，5]．13．解(1)当a ＝2时，f (x )＝213log (-210)x x ，令t ＝x 2－2x ＋10＝(x －1)2＋9，∴t ≥9，f (x )≤13log 9＝－2，∴f (x )的值域为(－∞，－2]．(2)令u ＝x 2－ax ＋5a ，∵y ＝13log u 为减函数，f (x )在(1，＋∞)上单调递减，∴u ＝x 2－ax ＋5a 在(1，＋∞)上单调递增，1，4a ≥0，解得－14≤a ≤2，∴a 的取值范围是－14，2.14．解(1)因为9x ＋1>0，所以f (x )的定义域为R ，又因为f (x )是偶函数，所以∀x ∈R ，有f (－x )＝f (x )，即log 9(9－x ＋1)＋kx ＝log 9(9x ＋1)－kx 对∀x ∈R 恒成立，则2kx ＝log 9(9x ＋1)－log 9(9－x＋1)＝log 99x ＋19－x ＋1＝log 99x ＝x 对∀x ∈R 恒成立，即x (2k －1)＝0对∀x ∈R 恒成立，因为x 不恒为0，所以k ＝12.(2)由(1)得f (x )＝log 9(9x ＋1)－12x ＝log 9(9x ＋1)－129log 9x ＝log 99x ＋13x ＝log x则方程f (x )＝log log x log 不相等的实数解，所以方程3x ＋13x ＝m 3x ＋1有两个不相等的实数解，令t ＝3x ，且t >0，方程化为t ＋1t ＝m t＋1，即方程m ＝t 2－t ＋1在(0，＋∞)上有两个不相等的实数解，令g (t )＝t 2－t ＋1，则y ＝m 与y ＝g (t )在(0，＋∞)上有两个交点，如图所示，又g (t )所以g (t )≥＝34，且g (0)＝1，所以m 15．D [令log 2x ＝log 3y ＝log 5z ＝t ≠0，则x ＝2t ，y ＝3t ，z ＝5t ，令g(k)＝k t，由幂函数图象的性质可知，当t>0时，g(k)＝k t在(0，＋∞)上单调递增，故2t<3t<5t，即x<y<z，当t<0时，g(k)＝k t在(0，＋∞)上单调递减，故2t>3t>5t，即x>y>z，故A，B不一定正确；假设x，y，z成等比数列，则y2＝xz⇒(3t)2＝2t·5t⇒9t＝10t，则t＝0，与已知矛盾，故C错误；因为x＋y＝z，则2t＋3t＝5t，即1，令f(t)1，由指数函数的性质可知f(t)为减函数，注意到f(1)＝0，故f(t)只有一个零点，即1只有一个解t＝1，所以x＋y＝z只有一组解x＝2，y＝3，z＝5，故D正确．]16．(1，1 e e)解析由题知，x>0，f(x)＝log a x－(a)x－log a2＝log a x2－2x a，令t＝x2，t>0，则y＝log at与y＝a t的图象在(0，＋∞)上有两个交点，又y＝log a t与y＝a t互为反函数，所以交点在直线y＝t上，设y＝log a t，y＝a t的图象与直线y＝t相切时，切点坐标为(m，n)，m>0，a m ln a＝1，a m，解得m＝e，又1m ln a＝1，所以a＝1e e>1，所以当a＝1e e时，y＝log a t和y＝a t只有一个交点，如图1；当a>1e e时，y＝log a t和y＝a t无交点，如图2；当1<a<1e e时，y＝log a t和y＝a t有两个交点，如图3.综上，a的取值范围为(1，1e e)．。

椭圆课时作业1．若椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为( )A ．12B ．33 C ．22D ．24答案 C解析 因为椭圆的短轴长等于焦距，所以b ＝c ，所以a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，所以e ＝c a ＝22，故选C ．2．已知椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1，长轴在y 轴上，若焦距为4，则m 等于( )A ．4B ．5C ．7D ．8答案 D解析 椭圆焦点在y 轴上，∴a 2＝m －2，b 2＝10－m .又c ＝2，∴m －2－(10－m )＝c 2＝4.∴m ＝8.3．(2019·杭州模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( )A ．x 23＋y 22＝1B ．x 23＋y 2＝1C ．x 212＋y 28＝1 D ．x 212＋y 24＝1 答案 A解析 由题意及椭圆的定义知4a ＝43，则a ＝3，又c a＝c3＝33，∴c ＝1，∴b 2＝2，∴C 的方程为x 23＋y 22＝1.选A ．4．椭圆x 225＋y 29＝1上一点M 到焦点F 1的距离为2，N 是MF 1的中点，则|ON |等于( )A ．2B ．4C ．8D ．32答案 B解析 |ON |＝12|MF 2|＝12×(2a －|MF 1|)＝12×(10－2)＝4，故选B ．5．(2019·河南豫北联考)已知点P ⎝⎛⎭⎪⎫1，22是椭圆x 2a 2＋y 2＝1(a >1)上的点，A ，B 是椭圆的左、右顶点，则△PAB 的面积为( )A ．2B ．24C ．12 D ．1答案 D解析 由题可得1a 2＋12＝1，∴a 2＝2，解得a ＝2(负值舍去)，则S △PAB ＝12×2a ×22＝1，故选D ．6．(2019·吉林长春模拟)椭圆x 22＋y 2＝1的两个焦点分别是F 1，F 2，点P 是椭圆上任意一点，则·的取值范围是( )A ．[－1,1]B ．[－1,0]C ．[0,1]D ．[－1,2]答案 C解析 由椭圆方程得F 1(－1,0)，F 2(1,0)，设P (x ，y )，∴＝(－1－x ，－y )，＝(1－x ，－y )，则·＝x 2＋y 2－1＝x 22∈[0,1]，故选C ．7．(2019·湖南郴州模拟)设e 是椭圆x 24＋y 2k ＝1的离心率，且e ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，则实数k 的取值范围是( )A ．(0,3)B ．⎝⎛⎭⎪⎫3，163C ．(0,3)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫163，＋∞D ．(0,2)答案 C解析 当k >4时，c ＝k －4，由条件知14<k －4k <1，解得k >163；当0<k <4时，c ＝4－k ，由条件知14<4－k4<1，解得0<k <3.故选C ．8．若椭圆x 236＋y 29＝1的弦被点(4,2)平分，则此弦所在直线的斜率是( )A ．2B ．－2C ．13D ．－12答案 D解析 设弦的端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋4y 21＝36，x 22＋4y 22＝36，整理，得x 21－x 22＝－4(y 21－y 22)，∴此弦的斜率为y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 2－4(y 1＋y 2)＝－12，则此直线的斜率为－12. 9．(2020·甘肃联考)设A ，B 是椭圆C ：x 212＋y 22＝1的两个焦点，点P 是椭圆C 与圆M ：x 2＋y 2＝10的一个交点，则||PA |－|PB ||＝( )A ．2 2B ．4 3C ．4 2D ．6 2答案 C解析 由题意知，A ，B 恰好在圆M 上且AB 为圆M 的直径，∴|PA |＋|PB |＝2a ＝43，|PA |2＋|PB |2＝(2c )2＝40，∴(|PA |＋|PB |)2＝|PA |2＋|PB |2＋2|PA ||PB |，解得2|PA ||PB |＝8，∴(|PA |－|PB |)2＝|PA |2＋|PB |2－2|PA ||PB |＝32，则||PA |－|PB ||＝42，故选C ．10．(2020·西安摸底检测)设AB 是椭圆的长轴，点C 在椭圆上，且∠CBA ＝π4，若AB ＝4，BC ＝2，则椭圆的两个焦点之间的距离为( )A ．463B ．263C ．433D ．233答案 A解析 不妨设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，如图，由题意知，2a ＝4，a ＝2，∵∠CBA ＝π4，BC ＝2，∴点C 的坐标为(－1,1)，∵点C 在椭圆上，∴14＋1b 2＝1，∴b 2＝43，∴c 2＝a 2－b 2＝4－43＝83，c ＝263，则椭圆的两个焦点之间的距离为463.11．(2019·山西八校联考)椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，弦AB 过F 1，若△ABF 2的内切圆周长为π，A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则|y 1－y 2|的值为( )A ．53 B ．103C ．203D ．53答案 A解析 在椭圆x 225＋y 216＝1中，a ＝5，b ＝4，所以c ＝3.故椭圆左、右焦点分别为F 1(－3,0)，F 2(3,0)．由△ABF 2的内切圆周长为π，可得内切圆的半径为r ＝12.△ABF 2的面积＝△AF 1F 2的面积＋△BF 1F 2的面积＝12|y 1|·|F 1F 2|＋12|y 2|·|F 1F 2|＝12(|y 1|＋|y 2|)·|F 1F 2|＝3|y 1－y 2|(A ，B 在x轴的上下两侧)，又△ABF 2的面积＝12r (|AB |＋|BF 2|＋|F 2A |)＝12×12(2a ＋2a )＝a ＝5，所以3|y 1－y 2|＝5，即|y 1－y 2|＝53.12．(2019·湖北八校联考)如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，F (－5，0)为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足|OP |＝|OF |且|PF |＝6，则椭圆C 的方程为( )A ．x 236＋y 216＝1B ．x 240＋y 215＝1C ．x 249＋y 224＝1 D ．x 245＋y 220＝1 答案 C解析 由题意可得c ＝5，设右焦点为F ′，连接PF ′，由|OP |＝|OF |＝|OF ′|＝12|FF ′|知，∠FPF ′＝90°，即PF ⊥PF ′.在Rt △PFF ′中，由勾股定理，得|PF ′|＝|FF ′|2－|PF |2＝102－62＝8，由椭圆定义，得|PF |＋|PF ′|＝2a ＝6＋8＝14，从而a ＝7，得a 2＝49，于是b 2＝a 2－c 2＝72－52＝24，所以椭圆C 的方程为x 249＋y 224＝1，故选C ．13．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为________．答案33解析 设|PF 2|＝m ，∵PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，∴|PF 1|＝2m ，|F 1F 2|＝3m .又|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|F 1F 2|＝2c .∴2a ＝3m,2c ＝3m ，∴C 的离心率为e ＝c a ＝33. 14．(2019·全国卷Ⅲ)设F 1，F 2为椭圆C ：x 236＋y 220＝1的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限．若△MF 1F 2为等腰三角形，则M 的坐标为________.答案 (3，15)解析 设F 1为椭圆的左焦点，分析可知M 在以F 1为圆心、焦距为半径的圆上，即在圆(x ＋4)2＋y 2＝64上．因为点M 在椭圆x 236＋y 220＝1上，所以联立方程可得⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋4)2＋y 2＝64，x 236＋y 220＝1，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝±15.又因为点M 在第一象限，所以点M 的坐标为(3，15)．15．(2019·浙江高考)已知椭圆x 29＋y 25＝1的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方．若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，|OF |为半径的圆上，则直线PF 的斜率是________．答案15解析 如图，左焦点F (－2,0)，右焦点F ′(2,0)．线段PF 的中点M 在以O (0,0)为圆心，2为半径的圆上，因此OM ＝2. 在△FF ′P 中，OM 12PF ′， 所以PF ′＝4.根据椭圆的定义，得PF ＋PF ′＝6，所以PF ＝2. 又因为FF ′＝4， 所以在Rt △MFF ′中，tan ∠PFF ′＝MF ′MF ＝FF ′2－MF 2MF＝15，即直线PF 的斜率是15.16．(2020·南充模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个焦点为(3，0)，A 为椭圆C的右顶点，以A 为圆心的圆与直线y ＝b ax 相交于P ，Q 两点，且·＝0，＝3，则椭圆C 的标准方程为________，圆A 的标准方程为________．答案x 24＋y 2＝1 (x －2)2＋y 2＝85解析 如图，设T 为线段PQ 的中点，连接AT ，则AT ⊥PQ .∵·＝0，即AP ⊥AQ ， ∴|AT |＝12|PQ |.又＝3， ∴|OT |＝|PQ |. ∴|AT ||OT |＝12，即b a ＝12. 由已知得半焦距c ＝3，∴a 2＝4，b 2＝1， 故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.又|AT |2＋|OT |2＝4， ∴|AT |2＋4|AT |2＝4，∴|AT |＝255，r ＝|AP |＝2105.∴圆A 的方程为(x －2)2＋y 2＝85.17．(2019·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为C 上的点，O 为坐标原点．(1)若△POF 2为等边三角形，求C 的离心率；(2)如果存在点P ，使得PF 1⊥PF 2，且△F 1PF 2的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围． 解 (1)连接PF 1.由△POF 2为等边三角形可知在△F 1PF 2中，∠F 1PF 2＝90°，|PF 2|＝c ，|PF 1|＝3c ，于是2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝(3＋1)c ，故C 的离心率为e ＝ca＝3－1.(2)由题意可知，满足条件的点P (x ，y )存在当且仅当 12|y |·2c ＝16，y x ＋c ·y x －c ＝－1，x 2a 2＋y 2b 2＝1， 即c |y |＝16，①x 2＋y 2＝c 2，② x 2a 2＋y 2b 2＝1.③ 由②③及a 2＝b 2＋c 2得y 2＝b 4c2.又由①知y 2＝162c2，故b ＝4.由②③及a 2＝b 2＋c 2得x 2＝a 2c2(c 2－b 2)，所以c 2≥b 2，从而a 2＝b 2＋c 2≥2b 2＝32，故a ≥4 2. 当b ＝4，a ≥42时，存在满足条件的点P . 所以b ＝4，a 的取值范围为[42，＋∞)．18．(2019·成都一诊)已知椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点为F ，设直线l ：x ＝5与x 轴的交点为E ，过点F 且斜率为k 的直线l 1与椭圆交于A ，B 两点，M 为线段EF 的中点．(1)若直线l 1的倾斜角为π4，求|AB |的值；(2)设直线AM 交直线l 于点N ，证明：直线BN ⊥l . 解 由题意知，F (1,0)，E (5,0)，M (3,0)． (1)∵直线l 1的倾斜角为π4，∴斜率k ＝1.∴直线l 1的方程为y ＝x －1.代入椭圆方程，可得9x 2－10x －15＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝109，x 1x 2＝－53.∴|AB |＝2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 1 ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1092＋4×53＝1659.(2)证明：设直线l 1的方程为y ＝k (x －1)． 代入椭圆方程，得(4＋5k 2)x 2－10k 2x ＋5k 2－20＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝10k 24＋5k 2，x 1x 2＝5k 2－204＋5k 2.设N (5，y 0)，∵A ，M ，N 三点共线， ∴－y 13－x 1＝y 02，∴y 0＝2y 1x 1－3. 而y 0－y 2＝2y 1x 1－3－y 2＝2k (x 1－1)x 1－3－k (x 2－1) ＝3k (x 1＋x 2)－kx 1x 2－5kx 1－3＝3k ·10k 24＋5k 2－k ·5k 2－204＋5k 2－5k x 1－3＝0.∴直线BN ∥x 轴，即直线BN ⊥l .19．(2019·广东广州联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的焦距为26，且过点A (2,1)．(1)求椭圆C 的方程；(2)若不经过点A 的直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 交于P ，Q 两点，且直线AP 与直线AQ 的斜率之和为0，证明：直线PQ 的斜率为定值．解 (1)因为椭圆C 的焦距为26，且过点A (2,1)， 所以4a 2＋1b2＝1,2c ＝2 6.又因为a 2＝b 2＋c 2，由以上三式解得a 2＝8，b 2＝2， 所以椭圆C 的方程为x 28＋y 22＝1.(2)证明：设点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，x 1≠x 2≠2， 则y 1＝kx 1＋m ，y 2＝kx 2＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 28＋y22＝1，消去y 并整理，得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－8＝0， 则x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－84k 2＋1.因为k AP ＋k AQ ＝0，所以y 1－1x 1－2＝－y 2－1x 2－2， 化简得x 1y 2＋x 2y 1－(x 1＋x 2)－2(y 1＋y 2)＋4＝0. 即2kx 1x 2＋(m －1－2k )(x 1＋x 2)－4m ＋4＝0. 所以2k (4m 2－8)4k 2＋1－8km (m －1－2k )4k 2＋1－4m ＋4＝0， 整理得(2k －1)(m ＋2k －1)＝0. 因为直线l 不经过点A ， 所以2k ＋m －1≠0，所以k ＝12.所以直线PQ 的斜率为定值，该值为12.20．(2019·天津高考)设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B ．已知椭圆的短轴长为4，离心率为55. (1)求椭圆的方程；(2)设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上，若|ON |＝|OF |(O 为原点)，且OP ⊥MN ，求直线PB 的斜率．解 (1)设椭圆的半焦距为c ，依题意，2b ＝4，c a ＝55，又a 2＝b 2＋c 2，可得a ＝5，b ＝2，c ＝1.所以，椭圆的方程为x 25＋y 24＝1.(2)由题意，设P (x P ，y P )(x P ≠0)，M (x M,0)，直线PB 的斜率为k (k ≠0)，因为B (0,2)，则直线PB 的方程为y ＝kx ＋2，与椭圆方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 25＋y24＝1，整理得(4＋5k 2)x 2＋20kx ＝0， 可得x P ＝－20k4＋5k2，代入y ＝kx ＋2得y P ＝8－10k24＋5k2，进而直线OP 的斜率为y P x P ＝4－5k 2－10k.在y ＝kx ＋2中，令y ＝0，得x M ＝－2k.由题意得N (0，－1)，所以直线MN 的斜率为－k2.由OP ⊥MN ，得4－5k 2－10k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 2＝－1，化简得k 2＝245，从而k ＝±2305.所以直线PB 的斜率为2305或－2305.附：什么样的考试心态最好大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。

课时规范练54二项分布、超几何分布、正态分布基础巩固组1.袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，则3次中恰有2次抽到黄球的概率是()A.25B.35C.18125D.541252.已知随机变量X服从正态分布N(1，σ2)，若P(X≤0)=0.2，则P(X≤2)=()A.0.2B.0.4C.0.6D.0.83.(2021河南驻马店模拟)已知X~B(20，p)，且EX=6，则DX=()A.1.8B.6C.2.1D.4.24.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数，则P(ξ≤1)=()A.15B.25C.35D.455.(2021重庆三模)已知随机变量X服从正态分布N(6，σ2)(σ>0)，若P(X>3)=0.8，则P(3<X≤9)=()A.0.2B.0.4C.0.6D.0.86.一袋中装有5个红球和3个黑球(除颜色外无区别)，任取3球，记其中黑球数为X，则EX=()A.98B.78C.12D.62567.某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高X(单位:cm)服从正态分布，其密度曲线函数为f(x)=10√2π-(x-100)2200，x∈(-∞，+∞)，则下列说法正确的是()A.该地水稻的平均株高为100 cmB.该地水稻株高的方差为10C.随机测量一株水稻，其株高在120 cm以上的概率比株高在70 cm以下的概率小D.随机测量一株水稻，其株高在(80，90]和在(100，110](单位:cm)的概率一样大8.某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18，19，20层停靠，若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯是等可能的，用X表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，则EX= .9.(2021山东烟台一模)某企业加工了一批新零件，其综合质量指标值X服从正态分布N(80，σ2)，且P(X≤60)=0.2，现从中随机抽取该零件500个，估计综合质量指标值位于(60，100]的零件个数为.10.(2021广东普宁二中月考)某种水果按照果径大小可分为四类:标准果、优质果、精品果、礼品果，某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下:(1)若将频率视为概率，从这100个水果中有放回地随机抽取3个，求恰好有2个水果是礼品果的概率;(结果用分数表示)(2)用分层随机抽样的方法从这100个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中随机抽取2个，若X表示抽到的精品果的数量，求X的分布列和期望.综合提升组11.某射手每次射击击中目标的概率固定，他准备进行n (n ∈N *)次射击，设击中目标的次数记为X ，已知P (X=1)=P (X=n-1)，且EX=4，则DX=( ) A.14B.12C.1D.212.掷一个质地不均匀的硬币6次，每次掷出正面的概率均为23，恰好出现k 次正面的概率记为P k ，则下列说法正确的是( ) A.P 1=P 5 B.P 1>P 5C.∑k=16P k =1D.P 0，P 1，P 2，…，P 6中最大值为P 413.(2021河北衡水第一中学高三月考)在某次大型联考中，所有学生的数学成绩X~N (100，225).若成绩不高于m+10的同学人数和不低于2m-20的同学人数相同，则整数m 的值为 . 14.(2021天津河北一模)袋子中有5个大小质地完全相同的小球，其中有3个红球，2个黄球，从袋中一次性随机取出3个小球后，再将小球放回.则“取出的3个小球中有2个红球，1个黄球”的概率为 ，记“取出的3个小球中有2个红球，1个黄球”发生的次数为X ，若重复5次这样的实验，则X 的数学期望为 .15.(2021湖北恩施模拟)目前某市居民使用天然气实行阶梯价格制度，从该市随机抽取10户调查同一年的天然气使用情况，得到统计表如下:(1)现要在这10户家庭中任意抽取3户，求抽到的年用气量超过228立方米而不超过348立方米的用户数的分布列与数学期望;(2)若以表中抽到的10户作为样本估计全市居民的年用气情况，现从全市居民中抽取10户，其中恰有k户年用气量不超过228立方米的概率为P(k)，求使P(k)取到最大值时，k的值.创新应用组16.《山东省高考改革试点方案》规定:从2017年秋季高中入学的新生开始，不分文理科;2020年开始，高考总成绩由语数外3门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成.将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A、B+、B、C+、C、D+、D、E共8个等级.参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%.选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到[91，100]、[81，90]、[71，80]、[61，70]、[51，60]、[41，50]、[31，40]、[21，30]八个分数区间，得到考生的等级成绩.某校高一年级共2 000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布N(60，169).(1)估计物理原始成绩在区间(47，86]的人数;(2)按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取3人，记X表示这3人中等级成绩在区间[61，80]的人数，求X的分布列和数学期望.(附:若随机变量ξ~N(μ，σ2)，则P(μ-σ<ξ≤μ+σ)≈0.682 6，P(μ-2σ<ξ≤μ+2σ)≈0.954 4，P(μ-3σ<ξ≤μ+3σ)≈0.997 4)课时规范练54 二项分布、超几何分布、正态分布1.D 解析: ∵每次取到黄球的概率为35，∴3次中恰有2次抽到黄球的概率为C 32(35)2(1−35)=54125.2.D 解析: 因为P (X ≤0)=0.2，所以P (X ≤2)=1-P (X ≤0)=1-0.2=0.8.故选D .3.D 解析: 因为X 服从二项分布X~B (20，p )，所以EX=20p=6，得p=0.3，故DX=np (1-p )=20×0.3×0.7=4.2.故选D .4.D 解析: P (ξ≤1)=1-P (ξ=2)=1-C 41C 22C 63=45.5.C 解析: 因为X 服从正态分布N (6，σ2)(σ>0)，P (X>3)=0.8， 所以P (X>9)=P (X ≤3)=1-P (X>3)=0.2， 所以P (3<X ≤9)=1-P (X ≤3)-P (X>9)=0.6. 故选C .6.A 解析: 由题意可知，随机变量X 的可能取值有0，1，2，3， 则P (X=0)=C 53C 83=1056，P (X=1)=C 52C 31C 83=3056，P (X=2)=C 51C 32C 83=1556，P (X=3)=C 33C 83=156.故随机变量X 的数学期望为EX=0×1056+1×3056+2×1556+3×156=98. 故选A .7.A 解析: f (x )=10√2π-(x -100)2200，故μ=100，σ2=100，故A 正确，B 错误;P (X>120)=P (X ≤80)>P (X≤70)，故C 错误;根据正态分布的对称性知P (100<X ≤110)=P (90<X ≤100)>P (80<X ≤90)，故D 错误.故选A .8.53 解析: 由题意可知X~B (5,13)，故EX=5×13=53.9.300 解析: 由题意，这种产品的综合质量指标值X 服从正态分布N (80，σ2)，则正态分布的对称轴为x=80，根据正态分布的对称性，得P (60<X ≤100)=2(P (X ≤80)-P (X ≤60))=2×(0.5-0.2)=0.6.所以从中随机抽取该零件500个，估计综合质量指标值位于(60，100]的零件个数为500×0.6=300. 10.解(1)设从这100个水果中随机抽取1个是礼品果为事件A ，则P (A )=20100=15，现有放回地随机抽取3个，设抽到礼品果的个数为X ，则X~B (3,15)，故恰好有2个水果是礼品果的概率为P (X=2)=C 32(15)2×45=12125.(2)用分层随机抽样的方法从这100个水果中抽取10个，其中精品果有4个，非精品果有6个，再从中随机抽取2个，则精品果的数量X 服从超几何分布， 所有可能的取值为0，1，2，则P (X=0)=C 62C 102=13，P (X=1)=C 61C 41C 102=815，P (X=2)=C 42C 102=215. 故X 的分布列为所以EX=1×815+2×215=45.11.D 解析: 设某射手每次射击击中目标的概率为p (0<p<1)， 由题意可得击中目标的次数记为X~B (n ，p )， 因为P (X=1)=P (X=n-1)，所以C n 1p (1-p )n-1=C n n -1p n-1(1-p )，整理可得(1-p )n-2=p n-2， 即1-p=p ，解得p=12.因为EX=np=12n=4，解得n=8， 所以DX=np (1-p )=8×12×(1−12)=2. 故选D .12.D 解析: P 1=C 6123×(1−23)5=4243，P 5=C 65235×(1−23)1=64243，P 1<P 5，故A ，B 错误;∑k=06P k =1，故C 错误;由二项分布概率公式可得P 0=1729，P 1=4243，P 2=20243，P 3=160729，P 4=80243，P 5=64243，P 6=64729，最大值为P 4，D 正确.故选D .13.70 解析: 由题意P (X ≤m+10)=P (X ≥2m-20). 又X~N (100，225)，所以m+10+2m-20=200， 所以m=70.14.35 3 解析: 设事件A 为“取出3个球中有2个红球，1个黄球”，则P (A )=C 32C 21C 53=35.由题意可得，重复5次这样的实验，事件A 发生的次数X 服从二项分布，即X~B (5,35)， 则EX=5×35=3.15.解(1)由题知，10户家庭中年用气量超过228立方米而不超过348立方米的用户有3户， 设抽到的年用气量超过228立方米而不超过348立方米的用户数为ξ，则ξ服从超几何分布，且ξ的可能取值为0，1，2，3，则P (ξ=0)=C 73C 103=724，P (ξ=1)=C 72C 31C 103=2140，P (ξ=2)=C 71C 32C 103=740，P (ξ=3)=C 33C 103=1120，故随机变量ξ的分布列为所以E ξ=0×724+1×2140+2×740+3×1120=910.(2)由题意知，设从全市住户抽到的年用气量不超过228立方米的用户数为η，则η服从二项分布η~B (10,35)，且P (η=k )=C 10k(35)k (25)10−k(k=0，1，2，3，…，10)，由{C 10k (35)k (25)10−k≥C 10k+1(35)k+1(25)9−k,C 10k (35)k (25)10−k ≥C 10k -1(35)k -1(25)11−k ,解得285≤k ≤335，k ∈N *，所以k=6.故当P (k )取到最大值时，k=6. 16.解(1)因为物理原始成绩ξ~N (60，132)，所以P (47<ξ≤86)=P (47<ξ≤60)+P (60<ξ≤86)=12P (60-13<ξ≤60+13)+12P (60-2×13<ξ≤60+2×13)≈0.68262+0.95442=0.8185.所以物理原始成绩在(47，86]的人数约为2000×0.8185=1637(人).(2)由题意得，随机抽取1人，其成绩在区间[61，80]内的概率为25.所以随机抽取三人，则X 的所有可能取值为0，1，2，3，且X~B (3,25)，所以P (X=0)=(35)3=27125，P (X=1)=C 31×25×(35)2=54125， P (X=2)=C 32×(25)2×35=36125，P (X=3)=(25)3=8125.所以X 的分布列为所以数学期望EX=3×25=65.。

课时规范练50 二项式定理基础巩固组1.(x +12x )6的展开式中的第3项为( ) A.3x 4B.52C.154x 2D.1516x 22.(1x -1)5的展开式中x -2的系数是( ) A.15 B.-15 C.10D.-103.(2021湖南怀化一模)(x 2+1)(1x -2)5展开式的常数项为( ) A.112 B.48 C.-112D.-484.(2021湖北荆门月考)若(x √x3)8的展开式中x 4的系数为7,则展开式的常数项为( )A.716 B.12 C.-716D.-125.(2021广东湛江三模)(1+3x )2+(1+2x )3+(1+x )4=a 0+a 1x+a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4,则a 0+a 1+a 2+a 3+a 4= ( )A.49B.56C.59D.646.(x +1x -2)6的展开式中含x 5项的系数为( ) A.12 B.-12 C.24D.-247.对于二项式(1x+x 3)n (n ∈N *),以下判断正确的有( )①存在n ∈N *,展开式中有常数项 ②对任意n ∈N *,展开式中没有常数项 ③对任意n ∈N *,展开式中没有含x 的项 ④存在n ∈N *,展开式中有含x 的项 A.①③B.②④C.②③D.①④8.(2021福建漳州模拟)已知(x+1)6=a 0+a 1(x-1)+a 2(x-1)2+…+a 6(x-1)6,则a 4= . 9.(2021湖南长郡中学模拟三)若(x -12x )n的展开式中只有第5项的二项式系数最大,则展开式中常数项为 .(用数字作答)综合提升组10.(2021河南郑州一模)式子(x -y 2x)(x+y )5的展开式中,x 3y 3的系数为( ) A.3 B.5 C.15 D.2011.已知(ax 2+√x)n(a>0)的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等,且展开式的各项系数之和为1 024,则下列说法不正确的是( ) A.展开式中奇数项的二项式系数和为256 B.展开式中第6项的系数最大 C.展开式中存在常数项D.展开式中含x 15的项的系数为45 12.(2021河北石家庄一模)关于(1-2x )2 021=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 2 021x 2 021(x ∈R ),则( )A.a 0=0B.a 1+a 2+a 3+…+a 2 021=32 021C.a 3=8C 20213D.a 1-a 2+a 3-a 4+…+a 2 021=1-32 02113.(2021安徽蚌埠高三开学考试(理))若二项式(x +12)n展开式中第4项的系数最大,则n 的所有可能取值的个数为 .14.(2021福建宁德三模)已知(a +1x)(1+x )5展开式中的所有项的系数和为64,则实数a= ;展开式中常数项为 .创新应用组15.设a,b,m为整数(m>0),若a和b被m除得的余数相同,则称a和b对模m同余,记为a≡b(mod m).若a=C200+C201·2+C202·22+…+C2020·220,a≡b(mod 10),则b的值可以是()A.2 018B.2 019C.2 020D.2 02116.“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律,最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现.如下图,在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中,第10行中从左至右第5与第6个数的比值为.课时规范练50 二项式定理1.C 解析∵(a+b )n的二项式通项为T k+1=C n k ·a n-k·b k,∴(x +12x )6的展开式中的第3项是T 3=T 2+1=C 62·x 6-2·(12x )2=154x 2. 2.D 解析(1x-1)5的二项式通项T k+1=C 5k (1x )5-k ·(-1)k =(-1)k ·C 5k x k-5,当k=3时,T 4=-C 53x -2=-10x -2,即x -2的系数为-10.3.C 解析由题得,(1x -2)5的二项式通项为T r+1=C 5r (-2)r x r-5,令r=3,r=5,得展开式的常数项为C 53×(-2)3+(-2)5=-112.故选C .4.A 解析(x √x 3)8的二项式通项为T r+1=C 8r x 8-r (√x3)r=C 8r (-a )r x 8-43r .令8-43r=4,解得r=3,所以展开式中x 4的系数为C 83(-a )3=7,解得a=-12,所以(x √x3)8的二项式通项为T r+1=C 8r (12)rx 8-43r .令8-43r=0,解得r=6,所以展开式的常数项为C 86×(12)6=716.故选A .5.C 解析令x=1,a 0+a 1+a 2+a 3+a 4=(1+3)2+(1+2)3+(1+1)4=59.故选C . 6.B 解析由(x +1x -2)6=(x 2-2x+1x)6=(x -1)12x 6,则(x-1)12的二项式通项为T r+1=C 12rx12-r(-1)r=(-1)rC 12rx12-r.当r=1,此时T 2=-1×C 121x 11=-12x 11,可得(x -1)12x 6展开式中x 5项的系数为-12.故选B .7.D 解析设(1x +x 3)n (n ∈N *)的二项式通项为T k+1,则T k+1=C n k (1x )n -k(x 3)k =C n k x4k-n,不妨令n=4,则当k=1时,展开式中有常数项,故①正确,②错误;令n=3,则当k=1时,展开式中有含x 的项,故③错误,④正确.故选D .8.60 解析∵(x+1)6=[(x-1)+2]6,∴展开式通项T r+1=C 6r(x-1)6-r 2r.由题知,a 4对应6-r=4,则可得r=2.∴T 3=C 62(x-1)4·22=4C 62(x-1)4,即a 4=4C 62=60.9.358 解析(x -12x )n的展开式中只有第5项的二项式系数最大,则由二项式系数性质知,展开式共有9项,则n=8.(x -12x )8的二项式通项为T r+1=C 8r x 8-r·(-12x )r =(-12)rC 8rx 8-2r,令8-2r=0,解得r=4.所以展开式中常数项为T 5=(-12)4×C 84=116×70=358.10.B 解析∵(x -y 2x)(x+y )5=x (x+y )5-y 2x (x+y )5, 则x (x+y )5的二项式通项为T k+1=x C 5k x 5-k y k=C 5k x 6-k y k, y 2x(x+y )5的二项式通项为T r+1=y 2xC 5r x 5-r y r=C 5rx 4-r y r+2,由{6-k =3,4-r =3,解得{k =3,r =1. 故式子(x -y 2x)(x+y )5的展开式中,x 3y 3的系数为C 53−C 51=5. 故选B .11.A 解析由二项展开式中第5项与第7项的二项式系数相等可知n=10.又因为展开式的各项系数之和为1024,即当x=1时,(a+1)10=1024,所以a=1.所以二项式为(x 2√x)10=(x 2+x -12)10.二项式系数和为210=1024,则奇数项的二项式系数和为12×1024=512,故A 不正确;由n=10可知展开式共有11项,中间项的二项式系数最大,即第6项的二项式系数最大,因为x 2与x -12的系数均为1,则该二项式展开式的二项式系数与系数相同,所以第6项的系数最大,故B 正确;若展开式中存在常数项,由二项式通项T k+1=C 10k x 2(10-k )·x -12k 可得2(10-k )-12k=0,解得k=8,故C 正确;由二项式通项T k+1=C 10kx2(10-k )x -12k 可得2(10-k )-12k=15,解得k=2,所以展开式中含x 15的项的系数为C 102=45,故D 正确.故选A .12.D 解析令x=0,则12021=a 0,即a 0=1,故A 错误;令x=1,则(1-2)2021=a 0+a 1+a 2+…+a 2021,即a 0+a 1+a 2+a 3+…+a 2021=-1,所以a 1+a 2+a 3+…+a 2021=-2,故B 错误;根据二项式通项得,a 3=C 20213×12018×(-2)3=-8C 20213,故C 错误;令x=1,则a 0+a 1+a 2+a 3+…+a 2021=-1, 令x=-1,则a 0-a 1+a 2-a 3+…-a 2021=(1+2)2021=32021,两式相加可得a 0+a 2+…+a 2020=32021-12, ① 两式相减可得a 1+a 3+…+a 2021=-1-320212,②②-①可得-a 0+a 1-a 2+a 3-a 4+…+a 2021=-1-32021-32021+12=-32021,所以a 1-a 2+a 3-a 4+…+a 2021=1-32021,故D 正确.故选D .13.4 解析因为(x +12)n的二项式通项为C n r x n-r (12)r=C n r (12)r x n-r.由题意可得{C n 3(12)3≥C n 2(12)2,C n 3(12)3≥C n 4(12)4,即{n -2≥6,8≥n -3,故8≤n ≤11.又因为n 为正整数,所以n=8或9或10或11,故n 的所有可能取值的个数为4.14.1 6 解析令x=1,可得(a +1x)(1+x )5展开式中的所有项的系数和为32(a+1)=64,解得a=1.则展开式中常数项为a ×C 50+C 51=1+5=6.15.D 解析a=C 200+C 201·2+C 202·22+…+C 2020·220=(1+2)20=320=(80+1)5,它被10除所得余数为1.又因为a ≡b (mod10),所以b 的值可以是2021.16.56 解析由题意第10行的数就是(a+b )10的展开式中各项的二项式系数,因此从左至右第5与第6个数的比值为C 104C 105=56.。

课时作业(四) 函数及其表示A 级1．已知a 、b 为实数，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫b a ，1，N ＝{a,0}，f ：x →x 表示把M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a ＋b 等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．±12．(2012·江西卷)下列函数中，与函数y ＝13x定义域相同的函数为( ) A ．y ＝1sin xB ．y ＝ln x xC ．y ＝x e xD ．y ＝sin xx3．(2012·杭州模拟)设函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0－x ，x <0，若f (a )＋f (－1)＝2，则a ＝( )A ．－3B ．±3C ．－1D ．±14．(2012·安徽卷)下列函数中，不满足f (2x )＝2f (x )的是( ) A ．f (x )＝|x | B ．f (x )＝x －|x | C ．f (x )＝x ＋1D ．f (x )＝－x5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1， x <0f (x －1)＋1， x ≥0，则f (2 013)＝( )A ．2 010B ．2 011C ．2 012D ．2 0136．函数f (x )＝x －4|x |－5的定义域为________． 7．已知f (x )＝x 2＋px ＋q 满足f (1)＝f (2)＝0，则f (－1)＝________. 8．图中的图像所表示的函数的解析式f (x )＝________.9．(2012·珠海模拟)若函数y ＝f (x )的值域是[1,3]，则函数F (x )＝1－2f (x ＋3)的值域是________．10．已知函数f (x )＝2x －1，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2， x ≥0－1， x <0，求f (g (x ))和g (f (x ))的解析式．11．设x ≥0时，f (x )＝2；x <0时，f (x )＝1，又规定：g (x )＝3f (x －1)－f (x －2)2(x >0)，试写出y ＝g (x )的解析式，并画出其图像．B 级1．已知函数f (x )满足f (x )＋2f (3－x )＝x 2，则f (x )的解析式为( ) A ．f (x )＝x 2－12x ＋18 B ．f (x )＝13x 2－4x ＋6C ．f (x )＝6x ＋9D ．f (x )＝2x ＋32．(2012·枣庄模拟)对于实数x ，y ，定义运算x *y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋y (xy >0)x ＋by (xy <0)，已知1]2)的序号为________．(填写所有正确结果的序号)①2*2 ②－2*2 ③－32*2 2 ④32*(－22)3．规定[t ]为不超过t 的最大整数，例如[12.6]＝12，[－3.5]＝－4，对任意实数x ，令f 1(x )＝[4x]，g(x)＝4x－[4x]，进一步令f2(x)＝f1[g(x)]．(1)若x＝716，分别求f1(x)和f2(x)；(2)若f1(x)＝1，f2(x)＝3同时满足，求x的取值范围．答案课时作业(四)A级1．C a＝1，b＝0，∴a＋b＝1.2．D函数y＝13x的定义域为{x|x≠0}，选项A中由sin x≠0⇒x≠kπ，k∈Z，故A不对；选项B中x＞0，故B不对；选项C中x∈R，故C不对；选项D中由正弦函数及分式型函数的定义域确定方法可知定义域为{x|x≠0}，故选D.3．D∵f(a)＋f(－1)＝2，且f(－1)＝1＝1，∴f(a)＝1，当a≥0时，f(a)＝a＝1，∴a＝1，当a<0时，f(a)＝－a＝1，∴a＝－1.4．C A，f(2x)＝|2x|＝2|x|＝2f(x)，满足要求；B，f(2x)＝2x－|2x|＝2(x－|x|)＝2f(x)，满足要求；C，f(2x)＝2x＋1≠2(x＋1)＝2f(x)，不满足要求；D，f(2x)＝－2x＝2f(x)，满足要求．5．C由已知得f(0)＝f(0－1)＋1＝f(－1)＋1＝－1－1＋1＝－1，f(1)＝f(0)＋1＝0，f(2)＝f(1)＋1＝1，f(3)＝f(2)＋1＝2，…f (2 013)＝f (2 012)＋1＝2 011＋1＝2 012.6．解析： 由⎩⎪⎨⎪⎧x －4≥0，|x |－5≠0∴x ≥4且x ≠5.答案： {x |x ≥4且x ≠5} 7．解析： 由f (1)＝f (2)＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ 12＋p ＋q ＝022＋2p ＋q ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－3q ＝2， ∴f (x )＝x 2－3x ＋2. ∴f (－1)＝(－1)2＋3＋2＝6. 答案： 68．解析： 由图像知每段为线段．设f (x )＝ax ＋b ，把(0,0)，⎝⎛⎫1，32和⎝⎛⎭⎫1，32，(2,0)分别代入求解 ⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝3.答案： f (x )＝⎩⎨⎧32x ，0≤x ≤13－32x ，1<x ≤29．解析： ∵1≤f (x )≤3，∴－6≤－2f (x ＋3)≤－2，∴－5≤1－2f (x ＋3)≤－1， 即F (x )的值域为[－5，－1]． 答案： [－5，－1]10．解析： 当x ≥0时，g (x )＝x 2，f (g (x ))＝2x 2－1； 当x <0时，g (x )＝－1，f (g (x ))＝－2－1＝－3；∴f (g (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－1，x ≥0，－3， x <0.又∵当2x －1≥0，即x ≥12时，g (f (x ))＝(2x －1)2；当2x －1<0，即x <12时，g (f (x ))＝－1；∴g (f (x ))＝⎩⎨⎧(2x －1)2，x ≥12，－1， x <12.11．解析： 当0<x <1时，x －1<0，x －2<0，∴g (x )＝3－12＝1.当1≤x <2时，x －1≥0，x －2<0，∴g (x )＝6－12＝52；当x ≥2时，x －1>0，x －2≥0，∴g (x )＝6－22＝2.故g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (0<x <1)52 (1≤x <2)2 (x ≥2)，其图像如图所示．B 级1．B 由f (x )＋2f (3－x )＝x 2可得f (3－x )＋2f (x )＝(3－x )2，由以上两式解得f (x )＝13x 2－4x ＋6，故选B.2．解析： ∵1]2x ＋y (xy >0) x ＋3y (xy <0)∴①2*2＝22＋2＝3 2 ②－2*2＝－2＋32＝2 2 ③－32*22＝－32＋3×22＝3 2 ④32*(－22)＝32＋3×(－22)＝－3 2. 答案： ①③3．解析： (1)∵x ＝716时，4x ＝74，∴f 1(x )＝⎣⎡⎦⎤74＝1， g (x )＝74－⎣⎡⎦⎤74＝34.∴f 2(x )＝f 1[g (x )]＝f 1⎝⎛⎭⎫34＝[3]＝3. (2)∵f 1(x )＝[4x ]＝1，g (x )＝4x －1， ∴f 2(x )＝f 1(4x －1)＝[16x －4]＝3.∴⎩⎪⎨⎪⎧1≤4x <2，3≤16x －4<4.∴716≤x <12.。

等差数列及其前n 项和一、选择题1．若{a n }为等差数列,且a 7－2a 4＝－1,a 3＝0,则公差d 等于( ) A ．－2 B ．－12 C ．12D ．2B [由于a 7－2a 4＝a 1＋6d －2(a 1＋3d )＝－a 1＝－1,则a 1＝1．又由a 3＝a 1＋2d ＝1＋2d ＝0,解得d ＝－12．故选B ．]2．在等差数列{a n }中,a 3,a 9是方程x 2＋24x ＋12＝0的两根,则数列{a n }的前11项和等于( )A ．66B ．132C ．－66D ．－132D [因为a 3,a 9是方程x 2＋24x ＋12＝0的两根,所以a 3＋a 9＝－24． 又a 3＋a 9＝－24＝2a 6,所以a 6＝－12,S 11＝11×a 1＋a 112＝11×2a 62＝－132,故选D ．]3．数列{a n }满足2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2),且a 2＋a 4＋a 6＝12,则a 3＋a 4＋a 5＝( ) A ．9 B ．10 C ．11 D ．12D [由2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)可知数列{a n }为等差数列,∴a 2＋a 4＋a 6＝a 3＋a 4＋a 5＝12．故选D ．]4．公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 6＝3a 4,且S 10＝λa 4,则λ的值为( )A ．15B ．21C ．23D ．25D [由题意得a 1＋5d ＝3(a 1＋3d ),∴a 1＝－2d ．∴λ＝S 10a 4＝10a 1＋10×92da 1＋3d ＝10×－2d ＋45d－2d ＋3d＝25,故选D ．]5．等差数列{a n }中,已知|a 6|＝|a 11|,且公差d >0,则其前n 项和取最小值时的n 的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9 C [∵|a 6|＝|a 11|且公差d >0, ∴a 6＝－a 11．∴a 6＋a 11＝a 8＋a 9＝0,且a 8<0,a 9>0, ∴a 1<a 2<…<a 8<0<a 9<a 10<…,∴使S n 取最小值的n 的值为8．故选C ．]6．程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉,赠分八子做盘缠．次第每人多十七,要将第八数来言．务要分明依次弟,孝和休惹外人传．”意为：996斤棉花,分别赠送给8个子女做旅费,从第一个开始,以后每人依次多17斤,直到第八个孩子为止．分配时一定要等级分明,使孝顺子女的美德外传,则第八个孩子分得斤数为( )A ．65B ．176C ．183D ．184D [由题意知,8个孩子所得棉花构成公差为17的等差数列,且前8项之和为996． 设首项为a 1,则S 8＝8a 1＋8×72×17＝996,解得a 1＝65,则a 8＝a 1＋7d ＝65＋7×17＝184,故选D ．] 二、填空题7．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若a 1≠0,a 2＝3a 1,则S 10S 5＝________． 4 [设等差数列{a n }的公差为d ,由a 2＝3a 1,即a 1＋d ＝3a 1,得2a 1＝d ,所以S 10S 5＝10a 1＋10×92d5a 1＋5×42d＝100a 125a 1＝4．] 8．(2020·新高考全国卷Ⅰ)将数列{2n －1}与{3n －2}的公共项从小到大排列得到数列{a n },则{a n }的前n 项和为________．3n 2－2n [将数列{2n －1}与{3n －2}的公共项从小到大排列得到数列{a n },则{a n }是以1为首项,以6为公差的等差数列,故它的前n 项和为S n ＝n ×1＋n n －12×6＝3n 2－2n ．]9．已知数列{a n }是等差数列,前n 项和为S n ,满足a 1＋5a 3＝S 8,给出下列结论： ①a 10＝0；②S 10最小；③S 7＝S 12；④S 20＝0．其中一定正确的结论是________．(填序号) ①③ [a 1＋5(a 1＋2d )＝8a 1＋28d , 所以a 1＝－9d ,a 10＝a 1＋9d ＝0,故①正确；由于d 的符号未知,所以S 10不一定最小,故②错误；S 7＝7a 1＋21d ＝－42d ,S 12＝12a 1＋66d ＝－42d ,所以S 7＝S 12,故③正确；S 20＝20a 1＋190d ＝10d ,不一定为0,故④错误．所以正确的是①③．] 三、解答题10．(2021·新高考卷Ⅰ)已知数列{a n }满足a 1＝1,a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋1，n 为奇数，a n ＋2，n 为偶数.(1)记b n ＝a 2n ,写出b 1,b 2,并求数列{b n }的通项公式； (2)求{a n }的前20项和．[解] (1)因为b n ＝a 2n ,且a 1＝1,a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋1，n 为奇数，a n ＋2，n 为偶数，所以b 1＝a 2＝a 1＋1＝2,b 2＝a 4＝a 3＋1＝a 2＋2＋1＝5．因为b n ＝a 2n ,所以b n ＋1＝a 2n ＋2＝a 2n ＋1＋1＝a 2n ＋1＋1＝a 2n ＋2＋1＝a 2n ＋3, 所以b n ＋1－b n ＝a 2n ＋3－a 2n ＝3,所以数列{b n }是以2为首项,3为公差的等差数列,b n ＝2＋3(n －1)＝3n －1,n ∈N *． (2)因为a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋1，n 为奇数，a n ＋2，n 为偶数，所以k ∈N *时,a 2k ＝a 2k －1＋1＝a 2k －1＋1, 即a 2k ＝a 2k －1＋1,①a 2k ＋1＝a 2k ＋2,②a 2k ＋2＝a 2k ＋1＋1＝a 2k ＋1＋1,即a 2k ＋2＝a 2k ＋1＋1,③所以①＋②得a 2k ＋1＝a 2k －1＋3,即a 2k ＋1－a 2k －1＝3,所以数列{a n }的奇数项是以1为首项,3为公差的等差数列； ②＋③得a 2k ＋2＝a 2k ＋3,即a 2k ＋2－a 2k ＝3,又a 2＝2,所以数列{a n }的偶数项是以2为首项,3为公差的等差数列．所以数列{a n }的前20项和S 20＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 19)＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 20)＝10＋10×92×3＋20＋10×92×3＝300． 11．已知等差数列的前三项依次为a ,4,3a ,前n 项和为S n ,且S k ＝110． (1)求a 及k 的值；(2)已知数列{b n }满足b n ＝S nn,证明数列{b n }是等差数列,并求其前n 项和T n ． [解] (1)设该等差数列为{a n },则a 1＝a ,a 2＝4,a 3＝3a , 由已知有a ＋3a ＝8,得a 1＝a ＝2,公差d ＝4－2＝2, 所以S k ＝ka 1＋k k －12·d ＝2k ＋k k －12×2＝k 2＋k ．由S k ＝110,得k 2＋k －110＝0, 解得k ＝10或k ＝－11(舍去), 故a ＝2,k ＝10． (2)由(1)得S n ＝n 2＋2n2＝n (n ＋1),则b n ＝S n n＝n ＋1,故b n ＋1－b n ＝(n ＋2)－(n ＋1)＝1,又b 1＝2, 即数列{b n }是首项为2,公差为1的等差数列, 所以T n ＝n 2＋n ＋12＝n n ＋32．1．(2021·大连模拟)若{a n }是等差数列,首项a 1＞0,a 2 019＋a 2 020＞0,a 2 019·a 2 020＜0,则使前n 项和S n ＞0成立的最大正整数n 是( )A ．2 019B ．2 020C ．4 039D ．4 038D [{a n }是等差数列,首项a 1＞0,a 2 019＋a 2 020＞0,a 2 019·a 2 020＜0,所以{a n }是递减的等差数列,且a 2 019＞0,a 2 020＜0,因为a 2 019＋a 2 020＝a 1＋a 4 038＞0,a 1＋a 4 039＝2a 2 020＜0,所以S 4 038＝4 038a 1＋a 4 0382＞0,S 4 039＝4 039a 1＋a 4 0392＜0．所以使前n 项和S n ＞0成立的最大正整数n 是4 038．故选D ．]2．已知数列{a n }满足a 1＝－19,a n ＋1＝a n 8a n ＋1(n ∈N *),则a n ＝________,数列{a n }中最大项的值为________．18n －17 17 [由题意知a n ≠0,由a n ＋1＝a n 8a n ＋1得1a n ＋1＝8a n ＋1a n ＝1a n ＋8,整理得1a n ＋1－1a n＝8,即数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是公差为8的等差数列,故1a n ＝1a 1＋(n －1)×8＝8n －17,所以a n ＝18n －17．当n ＝1,2时, a n ＜0；当n ≥3时,a n ＞0,则数列{a n }在n ≥3时是递减数列,故{a n }中最大项的值为a 3＝17．]3．(2021·全国卷乙)记S n 为数列{a n }的前n 项和,b n 为数列{S n }的前n 项积,已知2S n ＋1b n＝2．(1)证明：数列{b n }是等差数列； (2)求{a n }的通项公式．[解] (1)证明：因为b n 是数列{S n }的前n 项积, 所以n ≥2时,S n ＝b nb n －1, 代入2S n ＋1b n＝2可得,2b n －1b n＋1b n＝2,整理可得2b n －1＋1＝2b n ,即b n －b n －1＝12(n ≥2)．又2S 1＋1b 1＝3b 1＝2,所以b 1＝32, 故{b n }是以32为首项,12为公差的等差数列．(2)由(1)可知,b n ＝n ＋22,则2S n ＋2n ＋2＝2,所以S n ＝n ＋2n ＋1, 当n ＝1时,a 1＝S 1＝32,当n ≥2时,a n ＝S n －S n －1＝n ＋2n ＋1－n ＋1n ＝－1n n ＋1． 故a n＝⎩⎪⎨⎪⎧32，n ＝1－1n n ＋1，n ≥2．1．(2021·青岛模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1＝1,a n ＋a n ＋1＝2n ＋1(n ∈N *),则a 20＝________,S 21＝________．20 231 [∵a n ＋a n ＋1＝2n ＋1,① ∴a n ＋1＋a n ＋2＝2n ＋3,② ②－①得a n ＋2－a n ＝2．∴数列{a n }的奇数项和偶数项均成公差为2的等差数列． 又a 1＝1,且a 1＋a 2＝3,∴a 2＝2, ∴a 21＝1＋10×2＝21,a 20＝2＋9×2＝20, ∴S 21＝(a 1＋a 3＋…＋a 21)＋(a 2＋a 4＋…＋a 20) ＝1＋21×112＋2＋20×102＝231．]2．(2021·海淀区二模)已知{a n }是公差为d 的无穷等差数列,其前n 项和为S n ．又________,且S 5＝40,是否存在大于1的正整数k ,使得S k ＝S 1？若存在,求k 的值；若不存在,说明理由．从①a 1＝4,②d ＝－2这两个条件中任选一个,补充在上面问题中并作答． [解] 选①a 1＝4．∵{a n }是等差数列,a 1＝4,S 5＝40,∴S 5＝20＋10d ＝40,∴d ＝2． ∵S k ＝k 2＋3k ,S 1＝a 1＝4,且S k ＝S 1, ∴k 2＋3k ＝4,即(k －1)(k ＋4)＝0,解得k＝1或k＝－4(舍去)．∴不存在k＞1的正整数,使得S k＝S1．选②d＝－2．∵{a n}是等差数列,d＝－2,S5＝40,∴a1＝12．∴S k＝－k2＋13k,S1＝a1＝12．∵S k＝S1,∴－k2＋13k＝12,即(k－12)(k－1)＝0,解得k＝1或k＝12, ∵k＝12＞1,∴存在k＞1的正整数,使得S k＝S1．。

第2讲 不等式的证明[学生用书P223]1．不等式证明的方法 (1)比较法 ①作差比较法：知道a ＞b ⇔a －b ＞0，a ＜b ⇔a －b ＜0，因此要证明a ＞b 只要证明a －b ＞0即可，这种方法称为作差比较法．②作商比较法：由a ＞b ＞0⇔a b ＞1且a ＞0，b ＞0，因此当a ＞0，b ＞0时，要证明a ＞b ，只要证明ab ＞1即可，这种方法称为作商比较法．(2)综合法从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，最终推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法叫综合法．即“由因导果”的方法．(3)分析法从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等)，从而得出要证的不等式成立，这种证明方法叫分析法．即“执果索因”的方法．(4)反证法和放缩法①先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，这种方法叫做反证法．②在证明不等式时，有时要把所证不等式的一边适当地放大或缩小，此利于化简并使它与不等式的另一边的关系更为明显，从而得出原不等式成立，这种方法称为放缩法．(5)数学归纳法一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n 0的所有正整数n 都成立时，可以用以下两个步骤：①证明当n ＝n 0时命题成立；②假设当n ＝k (k ∈N *，且k ≥n 0)时命题成立，证明n ＝k ＋1时命题也成立．在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n 0的所有正整数都成立．这种证明方法称为数学归纳法．2．几个常用基本不等式(1)二维形式的柯西不等式 ①定理1(二维形式的柯西不等式)若a ，b ，c ，d 都是实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时，等号成立． ②(二维变式)a 2＋b 2·c 2＋d 2≥|ac ＋bd |，a 2＋b 2·c 2＋d 2≥|ac |＋|bd |．③定理2(柯西不等式的向量形式)设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使α＝k β时，等号成立．④定理3(二维形式的三角不等式)设x 1，y 1，x 2，y 2∈R ，那么x 21＋y 21＋x 22＋y 22≥⑤(三角变式)设x 1，y 1，x 2，y 2，x 3，y 3∈R ，则（x 1－x 3）2＋（y 1－y 3）2＋（x 2－x 3）2＋（y 2－y 3）2≥(2)柯西不等式的一般形式设a 1，a 2，a 3，…，a n ，b 1，b 2，b 3，…，b n 是实数，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2，当且仅当b i ＝0(i ＝1，2，…，n )或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1，2，…，n )时，等号成立．(3)排序不等式设a 1≤a 2≤…≤a n ，b 1≤b 2≤…≤b n 为两组实数，c 1，c 2，…，c n 为b 1，b 2，…，b n 的任一排列，则有：a 1b n ＋a 2b n －1＋…＋a n b 1≤a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a n c n ≤a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 或b 1＝b 2＝…＝b n 时，反序和等于顺序和．排序原理可简记作：反序和≤乱序和≤顺序和．若a ＞b ＞1，x ＝a ＋1a ，y ＝b ＋1b ，则x 与y 的大小关系是( )A ．x ＞yB.x ＜y C ．x ≥y D ．x ≤y解析：选A .x －y ＝a ＋1a －⎝⎛⎭⎫b ＋1b ＝a －b ＋b －a ab ＝（a －b ）（ab －1）ab .由a ＞b ＞1得ab ＞1，a －b ＞0，所以（a －b ）（ab －1）ab＞0，即x －y ＞0，所以x ＞y .下列四个不等式：①log x 10＋lg x ≥2(x ＞1)；②|a －b |＜|a |＋|b |；③|b a ＋ab |≥2(ab ≠0)；④|x －1|＋|x －2|≥1，其中恒成立的个数是( )A ．1B.2 C ．3 D ．4解析：选C .log x 10＋lg x ＝1lg x＋lg x ≥2(x ＞1)；①正确．ab ≤0时，|a －b |＝|a |＋|b |，②不正确； 因为ab ≠0，b a 与ab 同号，所以|b a ＋b a |＝|b a |＋|ab |≥2，③正确；由|x －1|＋|x －2|的几何意义知， |x －1|＋|x －2|≥1恒成立，④也正确， 综上①③④正确．设a ，b ，m ，n ∈R ，且a 2＋b 2＝5，ma ＋nb ＝5，则m 2＋n 2的最小值为________． 解析：由柯西不等式得(ma ＋nb )2≤(m 2＋n 2)(a 2＋b 2)，即m 2＋n 2≥5，所以m 2＋n 2≥ 5，所以m 2＋n 2的最小值为5.答案： 5若a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1，求a ＋b ＋c 的最大值． 解：(a ＋b ＋c )2＝(1×a ＋1×b ＋1×c )2 ≤(12＋12＋12)(a ＋b ＋c )＝3. 当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立．所以(a ＋b ＋c )2≤3. 故a ＋b ＋c 的最大值为3.设x ＞0，y ＞0，若不等式1x ＋1y ＋λx ＋y ≥0恒成立，求实数λ的最小值．解：因为x ＞0，y ＞0，所以原不等式可化为－λ≤(1x ＋1y )(x ＋y )＝2＋y x ＋x y .因为2＋y x ＋xy ≥2＋2y x ·xy＝4，当且仅当x ＝y 时等号成立．所以⎣⎡⎦⎤（1x ＋1y ）（x ＋y ）min＝4， 即－λ≤4，λ≥－4. 所以λ的最小值为－4.用综合法、分析法证明不等式 [学生用书P224][典例引领](2017·高考全国卷Ⅱ)已知a >0，b >0，a 3＋b 3＝2.证明： (1)(a ＋b )(a 5＋b 5)≥4； (2)a ＋b ≤2.【证明】 (1)(a ＋b )(a 5＋b 5)＝a 6＋ab 5＋a 5b ＋b 6 ＝(a 3＋b 3)2－2a 3b 3＋ab (a 4＋b 4) ＝4＋ab (a 2－b 2)2≥4.(2)因为(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3＝2＋3ab (a ＋b )≤2＋3（a ＋b ）24(a ＋b )＝2＋3（a ＋b ）34，所以(a ＋b )3≤8，因此a ＋b ≤2.用综合法证明不等式是“由因导果”，用分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法．综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野．[通关练习]1．设a ＞0，b ＞0，若3是3a 与3b 的等比中项，求证：1a ＋1b ≥4.证明：由3是3a 与3b 的等比中项得 3a ·3b ＝3，即a ＋b ＝1，要证原不等式成立， 只需证a ＋b a ＋a ＋b b ≥4成立，即证b a ＋ab ≥2成立，因为a ＞0，b ＞0，所以b a ＋a b ≥2b a ·ab＝2， (当且仅当b a ＝a b ，即a ＝b ＝12时，“＝”成立)，所以1a ＋1b≥4.2．设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明： (1)ab ＋bc ＋ca ≤13；(2)a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1. 证明：(1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca 得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca . 由题设得(a ＋b ＋c )2＝1，即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1， 所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1， 即ab ＋bc ＋ca ≤13.(2)因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a ＋a ≥2c ，所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a ＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )，即a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥a ＋b ＋c . 所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1.放缩法证明不等式[学生用书P225][典例引领]若a ，b ∈R ，求证：|a ＋b |1＋|a ＋b |≤|a |1＋|a |＋|b |1＋|b |.【证明】 当|a ＋b |＝0时，不等式显然成立． 当|a ＋b |≠0时， 由0＜|a ＋b |≤|a |＋|b | ⇒1|a ＋b |≥1|a |＋|b |，所以|a ＋b |1＋|a ＋b |＝11|a ＋b |＋1≤11＋1|a |＋|b |＝|a |＋|b |1＋|a |＋|b |＝|a |1＋|a |＋|b |＋|b |1＋|a |＋|b |≤|a |1＋|a |＋|b |1＋|b |.在不等式的证明中，“放”和“缩”是常用的推证技巧．常见的放缩变换有： (1)变换分式的分子和分母，如1k 2＜1k （k －1），1k 2＞1k （k ＋1），1k ＜2k ＋k －1，1k ＞2k ＋k ＋1.上面不等式中k ∈N *，k ＞1.(2)利用函数的单调性．(3)真分数性质“若0＜a ＜b ，m ＞0，则a b ＜a ＋mb ＋m”．[注意] 在用放缩法证明不等式时，“放”和“缩”均需把握一个度．[通关练习]设n 是正整数，求证：12≤1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n <1.证明： 由2n ≥n ＋k >n (k ＝1，2，…，n )，得12n ≤1n ＋k <1n .当k ＝1时，12n ≤1n ＋1<1n ；当k ＝2时，12n ≤1n ＋2<1n ；…当k ＝n 时，12n ≤1n ＋n <1n，所以12＝n 2n ≤1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n <n n＝1.所以原不等式成立．柯西不等式的应用[学生用书P225][典例引领]已知x ，y ，z 均为实数．(1)若x ＋y ＋z ＝1，求证：3x ＋1＋3y ＋2＋3z ＋3≤33； (2)若x ＋2y ＋3z ＝6，求x 2＋y 2＋z 2的最小值． 【解】 (1)证明：因为(3x ＋1＋3y ＋2＋3z ＋3)2≤(12＋12＋12)(3x ＋1＋3y ＋2＋3z＋3)＝27.所以3x ＋1＋3y ＋2＋3z ＋3≤33. 当且仅当x ＝23，y ＝13，z ＝0时取等号．(2)因为6＝x ＋2y ＋3z ≤x 2＋y 2＋z 2·1＋4＋9，所以x 2＋y 2＋z 2≥187，当且仅当x ＝y 2＝z 3即x ＝37，y ＝67，z ＝97时，x 2＋y 2＋z 2有最小值187.(1)使用柯西不等式证明不等式的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进行证明．(2)利用柯西不等式求最值的一般结构为：(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(1a 21＋1a 22＋…＋1a 2n )≥(1＋1＋…＋1)2＝n 2.在使用柯西不等式时，要注意右边为常数且应注意等号成立的条件．[通关练习]1．设x ，y ，z ∈R ，x 2＋y 2＋z 2＝25，试求x －2y ＋2z 的最大值与最小值． 解： 根据柯西不等式，有(1·x －2·y ＋2·z )2≤[12＋(－2)2＋22](x 2＋y 2＋z 2)， 即(x －2y ＋2z )2≤9×25， 所以－15≤x －2y ＋2z ≤15，故x －2y ＋2z 的最大值为15，最小值为－15.2．已知大于1的正数x ，y ，z 满足x ＋y ＋z ＝33.求证：x 2x ＋2y ＋3z ＋y 2y ＋2z ＋3x ＋z 2z ＋2x ＋3y ≥32.证明： 由柯西不等式及题意得，⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x ＋2y ＋3z ＋y 2y ＋2z ＋3x ＋z 2z ＋2x ＋3y ·[(x ＋2y ＋3z )＋(y ＋2z ＋3x )＋(z ＋2x ＋3y )]≥(x ＋y ＋z )2＝27.又(x ＋2y ＋3z )＋(y ＋2z ＋3x )＋(z ＋2x ＋3y )＝6(x ＋y ＋z )＝183， 所以x 2x ＋2y ＋3z ＋y 2y ＋2z ＋3x ＋z 2z ＋2x ＋3y ≥27183＝32，当且仅当x ＝y ＝z ＝3时，等号成立．排序不等式的应用[学生用书P226][典例引领]设a ，b ，c 为任意正数，求a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b的最小值． 【证明】 不妨设a ≥b ≥c ，则a ＋b ≥a ＋c ≥b ＋c ，1b ＋c ≥1c ＋a ≥1a ＋b ，由排序不等式得，ab ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥b b ＋c ＋c c ＋a ＋a a ＋b ， a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥c b ＋c ＋a c ＋a ＋b a ＋b ， 上述两式相加得：2⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥3， 即ab ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥32. 当且仅当a ＝b ＝c 时， ab ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b 取最小值32.求最小(大)值时，往往所给式子是顺(反)序和式．然后利用顺(反)序和不小(大)于乱序和的原理构造出适当的一个或两个乱序和，从而求出其最小(大)值．[通关练习]设0<a ≤b ≤c 且abc ＝1.试求1a 3（b ＋c ）＋1b 3（a ＋c ）＋1c 3（a ＋b ）的最小值．解： 令S ＝1a 3（b ＋c ）＋1b 3（a ＋c ）＋1c 3（a ＋b ），则S ＝（abc ）2a 3（b ＋c ）＋（abc ）2b 3（a ＋c ）＋（abc ）2c 3（a ＋b ）＝bca （b ＋c ）·bc ＋ac b （a ＋c ）·ac ＋abc （a ＋b ）·ab .由已知可得：1a （b ＋c ）≥1b （a ＋c ）≥1c （a ＋b ），ab ≤ac ≤bc .所以S ≥bc a （b ＋c ）·ac ＋ac b （a ＋c ）·ab ＋abc （a ＋b ）·bc＝ca （b ＋c ）＋a b （a ＋c ）＋bc （a ＋b ）.又S ≥bc a （b ＋c ）·ab ＋ac b （a ＋c ）·bc ＋abc （a ＋b ）·ac＝ba （b ＋c ）＋c b （a ＋c ）＋ac （a ＋b ），两式相加得：2S ≥1a ＋1b ＋1c ≥331abc＝3.所以S ≥32，即1a 3（b ＋c ）＋1b 3（a ＋c ）＋1c 3（a ＋b ）的最小值为32.证明不等式的常用方法与技巧(1)如果已知条件与待证明的结论直接联系不明显，可考虑用分析法；如果待证的命题以“至少”“至多”等方式给出或否定性命题、唯一性命题，则考虑用反证法；如果待证不等式与自然数有关，则考虑用数学归纳法等．(2)在必要的情况下，可能还需要使用换元法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明．尤其是对含绝对值不等式的解法或证明，其简化的基本思路是去绝对值号，转化为常见的不等式(组)求解．多以绝对值的几何意义或“找零点、分区间、逐个解、并起来”为简化策略，而绝对值三角不等式，往往作为不等式放缩的依据．证明不等式需要注意的2个问题(1)在使用基本不等式时，等号成立的条件是一直要注意的事情，特别是连续使用时，要分析每次使用时等号是否成立．(2)柯西不等式使用的关键是出现其结构形式，也要注意等号成立的条件．[学生用书P353(单独成册)]1．(2018·长春质量检测(二))(1)如果关于x 的不等式|x ＋1|＋|x －5|≤m 的解集不是空集，求实数m 的取值范围；(2)若a ，b 均为正数，求证：a a b b ≥a b b a .解：(1)令y ＝|x ＋1|＋|x －5|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋4，x ≤－16，－1＜x ＜52x －4，x ≥5，可知|x ＋1|＋|x －5|≥6，故要使不等式|x ＋1|＋|x －5|≤m 的解集不是空集，只需m ≥6.(2)证明：因为a ，b 均为正数，所以要证a a b b ≥a b b a ，只需证a a －b b b －a ≥1，即证(a b )a －b ≥1，当a ≥b 时，a －b ≥0，a b ≥1，可得(ab )a －b ≥1；当a ＜b 时，a －b ＜0，0＜a b ＜1，可得(a b )a －b ＞1，故a ，b 均为正数时，(ab )a －b ≥1，当且仅当a ＝b 时等号成立，故a a b b≥a b b a 成立．2．(2018·湘中名校联考)已知关于x 的不等式|x ＋a |＜b 的解集为{x |2＜x ＜4}． (1)求实数a ，b 的值；(2)求at ＋12＋3bt 的最大值．解：(1)由|x ＋a |＜b ，可得－b －a ＜x ＜b －a ， 所以－b －a ＝2且b －a ＝4.解得a ＝－3，b ＝1. (2)利用柯西不等式，可得－3t ＋12＋3t ＝3(4－t ＋t )≤3（1＋1）（4－t ＋t ）＝6×4－t ＋t ＝26，当且仅当t ＝4－t ，即t ＝2时等号成立．当t ＝2时，at ＋12＋3bt 的最大值为26.3．已知实数a ，b ，c ，d 满足a >b >c >d ，求证：1a －b ＋1b －c ＋1c －d ≥9a －d. 证明： 法一：因为⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＋1c －d (a －d )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＋1c －d [(a －b )＋(b －c )＋(c －d )] ≥331a －b ·1b －c ·1c －d ·33（a －b ）（b －c ）（c －d ）＝9， 当且仅当a －b ＝b －c ＝c －d 时取等号，所以1a －b ＋1b －c ＋1c －d ≥9a －d. 法二：因为⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＋1c －d (a －d ) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＋1c －d [(a －b )＋(b －c )＋(c －d )] ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫ 1a －b ·a －b ＋1b －c ·b －c ＋1c －d ·c －d 2＝9， 当且仅当a －b ＝b －c ＝c －d 时取等号，所以1a －b ＋1b －c ＋1c －d ≥9a －d. 4．设a ，b ，c >0，且ab ＋bc ＋ca ＝1.求证：(1)a ＋b ＋c ≥3；(2)a bc ＋b ac ＋c ab≥3(a ＋b ＋c )． 证明：(1)要证a ＋b ＋c ≥3；由于a ，b ，c >0，因此只需证明(a ＋b ＋c )2≥3.即证a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )≥3.而ab ＋bc ＋ca ＝1，故只需证明a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )≥3(ab ＋bc ＋ca )，即证a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .而这可以由ab ＋bc ＋ca ≤a 2＋b 22＋b 2＋c 22＋c 2＋a 22＝a 2＋b 2＋c 2(当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立)证得．所以原不等式成立．(2)a bc ＋b ac ＋c ab ＝a ＋b ＋c abc. 在(1)中已证a ＋b ＋c ≥3.因此要证原不等式成立，只需证明1abc ≥a ＋b ＋c ， 即证a bc ＋b ac ＋c ab ≤1，即证a bc ＋b ac ＋c ab ≤ab ＋bc ＋ca .而a bc ＝ab ·ac ≤ab ＋ac 2， b ac ≤ab ＋bc 2，c ab ≤bc ＋ac 2， 所以a bc ＋b ac ＋c ab ≤ab ＋bc ＋ca .(当且仅当a ＝b ＝c ＝33时等号成立) 所以原不等式成立．1．求证：112＋122＋132＋ (1)2＜2. 证明：因为1n 2＜1n （n －1）＝1n －1－1n， 所以112＋122＋132＋…＋1n 2＜1＋11×2＋12×3＋13×4＋…＋1（n －1）×n＝1＋⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＝2－1n ＜2. 2．(2018·成都第二次诊断性检测)(1)求证：a 2＋b 2＋3≥ab ＋3(a ＋b )；(2)已知a ，b ，c 均为实数，且a ＝x 2＋2y ＋π2，b ＝y 2＋2z ＋π3，c ＝z 2＋2x ＋π6，求证：a ，b ，c 中至少有一个大于0.证明：(1)因为a 2＋b 2≥2ab ，a 2＋3≥23a ，b 2＋3≥23b ，将此三式相加得2(a 2＋b 2＋3)≥2ab ＋23a ＋23b ，所以a 2＋b 2＋3≥ab ＋3(a ＋b )．(2)假设a ，b ，c 都不大于0，即a ≤0，b ≤0，c ≤0，则a ＋b ＋c ≤0，因为a ＝x 2＋2y ＋π2，b ＝y 2＋2z ＋π3，c ＝z 2＋2x ＋π6， 所以a ＋b ＋c ＝(x 2＋2y ＋π2)＋(y 2＋2z ＋π3)＋(z 2＋2x ＋π6)＝(x ＋1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2＋π－3＞0，即a ＋b ＋c ＞0与a ＋b ＋c ≤0矛盾，故假设错误，原命题成立，即a , b ，c 中至少有一个大于0.3．设a ，b ，c ，d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d ，证明：(1)若ab >cd ，则a ＋b >c ＋d ； (2)a ＋b >c ＋d 是|a －b |<|c －d |的充要条件．证明：(1)因为(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ， (c ＋d )2＝c ＋d ＋2cd ，由题设a ＋b ＝c ＋d ，ab >cd ，得(a ＋b )2>(c ＋d )2. 因此a ＋b >c ＋d .(2)①若|a －b |<|c －d |，则(a －b )2<(c －d )2，即(a ＋b )2－4ab <(c ＋d )2－4cd .因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab >cd .由(1)，得a ＋b >c ＋d . ②若a ＋b >c ＋d ，则(a ＋b )2>(c ＋d )2，即a ＋b ＋2ab >c ＋d ＋2cd .因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab >cd .于是(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab <(c ＋d )2－4cd ＝(c －d )2.因此|a －b |<|c －d |.综上，a ＋b > c ＋d 是|a －b |<|c －d |的充要条件．4．设不等式－2＜|x －1|－|x ＋2|＜0的解集为M ，a ，b ∈M .(1)证明：⎪⎪⎪⎪13a ＋16b ＜14.(2)比较|1－4ab |与2|a －b |的大小．解：(1)证明：记f (x )＝|x －1|－|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧3，x ≤－2，－2x －1，－2＜x ≤1，－3，x ＞1，由－2＜－2x －1＜0解得－12＜x ＜12，即M ＝⎝⎛⎭⎫－12，12， 所以⎪⎪⎪⎪13a ＋16b ≤13|a |＋16|b |＜13×12＋16×12＝14. (2)由(1)得a 2＜14，b 2＜14，因为|1－4ab |2－4|a －b |2 ＝(1－8ab ＋16a 2b 2)－4(a 2－2ab ＋b 2)＝(4a 2－1)(4b 2－1)＞0，故|1－4ab |2＞4|a －b |2，即|1－4ab |＞2|a －b |.。

高考解答题专项五　圆锥曲线中的综合问题第1课时　定点与定值问题1.(2020全国Ⅰ,理20)已知A ,B 分别为椭圆E :x 2a 2+y 2=1(a>1)的左、右顶点,点G 为椭圆E 的上顶点,⃗AG ·⃗G B =8.点P 为直线x=6上的动点,PA 与椭圆E 的另一交点为C ,PB 与椭圆E 的另一交点为D.(1)求E 的方程;(2)证明:直线CD 过定点.2.(2021湖北十一校联考)已知动点P 在x 轴及其上方,且点P 到点F (0,1)的距离比到x 轴的距离大1.(1)求点P 的轨迹C 的方程;(2)若点Q 是直线y=x-4上任意一点,过点Q 作点P 的轨迹C 的两切线QA ,QB ,其中A ,B 为切点,试证明直线AB 恒过一定点,并求出该点的坐标.3.(2021湖南长郡中学模拟)设A ,B 为双曲线C :x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的左、右顶点,直线l 过右焦点F 且与双曲线C 的右支交于M ,N 两点,当直线l 垂直于x 轴时,△AMN 为等腰直角三角形.(1)求双曲线C 的离心率;(2)已知直线AM ,AN 分别交直线x=a 2于P ,Q 两点,当直线l 的倾斜角变化时,以线段PQ 为直径的圆是否过定点?若过定点,求出定点的坐标;若不过定点,请说明理由.4.(2021河南洛阳一模)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点P(4,m)(m>0)是抛物线C上一点,且|PF|=5.(1)求抛物线C的方程;(2)过点Q(1,-4)的直线与抛物线C交于A,B两个不同的点(均与点P不重合),设直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,求证:k1k2为定值.5.(2021辽宁朝阳一模)已知双曲线C :x 2a 2−y 2b2=1(a>0,b>0)的焦距为2√5,且双曲线C 右支上一动点P (x 0,y 0)到两条渐近线l 1,l 2的距离之积为4b 25.(1)求双曲线C 的方程;(2)设直线l 是曲线C 在点P (x 0,y 0)处的切线,且直线l 分别交两条渐近线l 1,l 2于M ,N 两点,点O 为坐标原点,证明:△MON 面积为定值,并求出该定值.6.(2020山东,22)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的离心率为√22,且过点A (2,1).(1)求椭圆C 的方程;(2)点M ,N 在椭圆C 上,且AM ⊥AN ,AD ⊥MN ,D 为垂足.证明:存在定点Q ,使得|DQ|为定值.高考解答题专项五　圆锥曲线中的综合问题第1课时　定点与定值问题1.(1)解由题可得A (-a ,0),B (a ,0),G (0,1),则⃗AG =(a ,1),⃗G B =(a ,-1).由⃗AG ·⃗G B =8得a 2-1=8,即a=3,所以E 的方程为x 29+y 2=1.(2)证明设C (x 1,y 1),D (x 2,y 2),P (6,t ).若t ≠0,设直线CD 的方程为x=my+n ,由题可知-3<n<3.因为直线PA 的方程为y=t 9(x+3),所以y 1=t 9(x 1+3).因为直线PB 的方程为y=t 3(x-3),所以y 2=t 3(x 2-3),所以3y 1(x 2-3)=y 2(x 1+3).因为x 229+y 22=1,所以y 22=-(x 2+3)(x 2-3)9,所以27y 1y 2=-(x 1+3)(x 2+3),即(27+m 2)y 1y 2+m (n+3)(y 1+y 2)+(n+3)2=0.①将x=my+n 代入x 29+y 2=1得(m 2+9)y 2+2mny+n 2-9=0.由题可知m 2+9≠0,Δ>0,所以y 1+y 2=-2mn m 2+9,y 1y 2=n 2-9m 2+9,代入①式得(27+m 2)(n 2-9)-2m (n+3)mn+(n+3)2·(m 2+9)=0.解得n=-3(舍去)或n=32,故直线CD的方程为x=my+32,即直线CD过定点(32,0).若t=0,则直线CD的方程为y=0,过点(32,0).综上,直线CD过定点(32,0).2.解(1)设点P(x,y),则|PF|=|y|+1,即√x2+(y-1)2=|y|+1,∴x2=2|y|+2y.∵y≥0,∴x2=4y,∴点P的轨迹C的方程为x2=4y.(2)∵y=14x2,∴y'=12x.设切点(x0,y0),则过该切点的切线的斜率为12x0,∴切线方程为y-y0=12x0(x-x0)=12x0x-12x2=12x0x-2y0,即x0x-2y-2y0=0.设Q(t,t-4).∵切线过点Q,∴tx0-2y0-2(t-4)=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则两切线方程是tx1-2y1-2(t-4)=0与tx2-2y2-2(t-4)=0,∴直线AB的方程是tx-2y-2(t-4)=0,即t(x-2)+8-2y=0,∴对任意实数t,直线AB恒过定点,定点坐标为(2,4).3.解(1)由直线l垂直于x轴时,△AMN为等腰直角三角形,得|AF|=|NF|=|MF|,所以a+c=b2a,即c2-ac-2a2=0,所以e2-e-2=0.又e>1,所以e=2.(2)因为e=c a =2,所以双曲线C :x 2a 2−y 23a2=1.由题可知直线l 的斜率不为0,设直线l :x=my+2a ,M (x 1,y 1),N (x 2,y 2).联立{x =my +2a ,x 2a 2-y 23a2=1,得(3m 2-1)y 2+12amy+9a 2=0,因为3m 2-1≠0,Δ=144a 2m 2-36a 2(3m 2-1)=36a 2m 2+36a 2>0,所以y 1+y 2=-12am 3m 2-1,y 1y 2=9a 23m 2-1,①所以x 1+x 2=m (y 1+y 2)+4a=-4a 3m 2-1,②x 1x 2=m 2y 1y 2+2am (y 1+y 2)+4a 2=-3a 2m 2-4a 23m 2-1.③设直线AM :y=y 1x 1+a (x+a ),直线AN :y=y2x 2+a(x+a ).令x=a2,则P(a 2,3a y 12(x 1+a )),Q (a 2,3a y 22(x 2+a )).设点G (x ,y )是以线段PQ 为直径的圆上的任意一点,则⃗P G ·⃗Q G=0,所以圆的方程为(x -a 2)2+y-3a y 12(x 1+a)y-3a y 22(x 2+a)=0.由对称性可知,若存在定点,则一定在x 轴上.令y=0,得(x -a 2)2+3a y 12(x 1+a )·3a y 22(x 2+a )=0,即(x -a2)2+9a 2y 1y 24[x 1x 2+a (x 1+x 2)+a 2]=0.将①②③代入,可得(x -a2)2+9a 2·9a 23m 2-14(-3a 2m 2-4a 23m 2-1+a ·-4a 3m 2-1+a2)=0,即(x -a 2)2=94a 2,解得x=-a 或x=2a ,所以以线段PQ 为直径的圆过定点(-a ,0),(2a ,0).4.(1)解∵点P (4,m )(m>0)是抛物线C 上一点,且|PF|=5,∴p 2+4=5,∴p=2,∴抛物线C 的方程为y 2=4x.(2)证明∵点P (4,m )(m>0)是抛物线C 上一点,∴m=4,即P (4,4).由题可知直线AB 的斜率不为零,故设直线的方程为x-1=t (y+4),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).联立{x -1=t (y +4),y 2=4x ,得y 2-4ty-16t-4=0.∵Δ=16t 2+4(16t+4)>0,∴y 1+y 2=4t ,y 1y 2=-16t-4,∴k 1k 2=y 1-4x 1-4·y 2-4x 2-4=y 1-4y 124-4·y 2-4y 224-4=16(y 1+4)(y 2+4)=16y 1y 2+4(y 1+y 2)+16=16-16t -4+4×4t +16=43,∴k 1k 2为定值.5.(1)解由题可知,双曲线C :x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为bx+ay=0和bx-ay=0.∵动点P (x 0,y 0)到两条渐近线l 1,l 2√22√22|b 2x 02-a 2y 02|a 2+b 2=a 2b 2a 2+b 2,∴4b 25=a 2b 2a 2+b 2,即a 2=4b 2.又2c=2√5,即c 2=a 2+b 2=5,∴a=2,b=1,∴双曲线的方程为x 24-y 2=1.(2)证明设直线l 的方程为y=kx+m ,与双曲线的方程x 2-4y 2=4联立,得(4k 2-1)x 2+8kmx+4m 2+4=0.∵直线与双曲线的右支相切,∴Δ=(8km )2-4(4k 2-1)(4m 2+4)=0,∴4k 2=m 2+1.设直线l 与x 轴交于点D ,则D (-m k ,0),∴S △MON =S △MOD +S △NOD =12|OD||y M -y N |=12|m k||k||x M -x N |=|m 2||x M -x N |.又双曲线的渐近线方程为y=±12x ,联立{y =12x ,y =kx +m ,得M 2m 1-2k ,m 1-2k.同理可得N (-2m 1+2k ,m 1+2k ),∴S △MON =|m 2|2m 1+2k +2m1-2k =|m 2||4m 1-4k 2|=2m 2m2=2.∴△MON 面积为定值2.6.解(1)由题可得4a 2+1b 2=1,a 2-b 2a 2=12,解得a 2=6,b 2=3,所以椭圆C 的方程为x 26+y 23=1.(2)设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2).若直线MN 与x 轴不垂直,设直线MN 的方程为y=kx+m ,代入x 26+y 23=1得(1+2k 2)x 2+4kmx+2m 2-6=0.由题可知1+2k 2≠0,Δ>0,所以x 1+x 2=-4km 1+2k 2,x 1x 2=2m 2-61+2k2.①由AM ⊥AN 知⃗AM ·⃗AN =0,故(x 1-2)(x 2-2)+(y 1-1)(y 2-1)=0,可得(k 2+1)x 1x 2+(km-k-2)(x 1+x 2)+(m-1)2+4=0.整理得(2k+3m+1)(2k+m-1)=0.因为点A(2,1)不在直线MN上,所以2k+m-1≠0,故2k+3m+1=0,k≠1.于是MN的方程为y=k(x-23)−13(k≠1),所以直线MN过点P(23,-13).若直线MN与x轴垂直,可得N(x1,-y1).由⃗AM·⃗AN=0得(x1-2)(x1-2)+(y1-1)(-y1-1)=0.又x126+y123=1,所以3x12-8x1+4=0,解得x1=2(舍去),x1=23,此时直线MN过点P(23,-13).令点Q为AP的中点,即Q(43,13).若点D与点P不重合,则由题可知线段AP是Rt△ADP的斜边,故|DQ|=12|AP|=2√23.若点D与点P重合,则|DQ|=12|AP|.综上,存在点Q(43,13),使得|DQ|为定值.。

课时(kèshí)作业(五)一、选择题1．函数(hánshù)y ＝x 2－6x ＋10在区间(qū jiān)(2,4)上是( ) A ．递减(dìjiǎn)函数 B ．递增函数 C ．先减后增 D ．先增后减答案 C解析 对称轴为x ＝3，函数在(2,3]上为减函数，在[3,4)上为增函数． 2．以下函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，都有f x 2－f x 1x 2－x 1<0”的是( )A ．f (x )＝1xB ．f (x )＝(x －1)2C ．f (x )＝e xD ．f (x )＝ln(x ＋1)答案 A 解析 满足f x 2－f x 1x 2－x 1<0其实就是f (x )在(0，＋∞)上为减函数，应选A.3．假设f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4)上是减函数，那么实数a 的取值范围是( )A ．a <－3B ．a ≤－3C ．a >－3D ．a ≥－3答案 B解析 对称轴x ＝1－a ≥4.∴a ≤－3.4．以下函数中既是偶函数，又是区间[－1,0]上的减函数的是( ) A ．y ＝cos x B ．y ＝－|x －1| C ．y ＝ln 2－x2＋xD ．y ＝e x＋e －x答案 D5．函数(hánshù)y ＝log a (x 2＋2x －3)，当x ＝2时，y >0，那么此函数的单调递减(dìjiǎn)区间是( )A ．(－∞，－3)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－1，＋∞)答案(dá àn) A解析(jiě xī) 当x ＝2时，y ＝log a (22＋2·2－3) ∴y ＝log a 5>0，∴a >1 由复合函数单调性知单减区间须满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3>0x <－1，解之得x <－3.6．奇函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且不等式f x 1－f x 2x 1－x 2>0对任意两个不相等的正实数x 1、x 2都成立．在以下不等式中，正确的选项是( )A ．f (－5)>f (3)B ．f (－5)<f (3)C ．f (－3)>f (－5)D ．f (－3)<f (－5)答案 C 解析 由f x 1－f x 2x 1－x 2>0对任意两个不相等的正实数x 1、x 2都成立，可知，f (x )在(0，＋∞)上为增函数，又f (x )为奇函数，故f (x )在(－∞，0)上也为增函数，应选C.7．函数f (x )在区间(－2,3)上是增函数，那么y ＝f (x ＋5)的一个递增区间是( ) A ．(3,8) B ．(－7，－2) C ．(－2，－3) D ．(0,5)答案 B解析 令－2<x ＋5<3，得：－7<x <－2.8．(09·)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x ＜0.假设f (2－a 2)＞f (a )，那么实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞) 答案(dá àn) C解析(jiě xī) y ＝x 2＋4x ＝(x ＋2)2－4在[0，＋∞)上单调(dāndiào)递增；y ＝－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4在(－∞，0)上单调(dāndiào)递增．又x 2＋4x －(4x －x 2)＝2x 2≥0，∴f (2－a 2)＞f (a )⇒2－a 2＞a ⇒a 2＋a －2＜0⇒－2＜a ＜1，应选C.9．(2021·卷)给定函数①y ＝x 12；②y ＝log 12(x ＋1)；③y ＝|x －1|；④y ＝2x ＋1，其中在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④答案 B解析 ①是幂函数，其在(0，＋∞)上为增函数，故此项不符合题意；②中的函数是由函数y ＝log 12x 向左平移1个单位而得到的，因原函数在(0，＋∞)上为减函数，故此项符合题意；③中的函数图象是函数y ＝x －1的图象保存x 轴上方的局部，下方的图象翻折到x 轴上方而得到的，由其图象可知函数符合题意；④中的函数为指数函数，其底数大于1，故其在R 上单调递增，不符合题意，综上可知选择B.二、填空题 10．给出以下命题①y ＝1x在定义域内为减函数；②y ＝(x －1)2在(0，＋∞)上是增函数；③y ＝－1x在(－∞，0)上为增函数；④y ＝kx 不是增函数就是(jiùshì)减函数． 其中错误(cuòwù)命题的个数有________． 答案(dá àn) 3解析(jiě xī) ①②④错误，其中④中假设k ＝0，那么命题不成立． 11．函数f (x )＝|log a x |(0<a <1)的单调递增区间是________． 答案 [1，＋∞) 解析 函数图象如图12．函数f (x )＝－x 2＋|x |的递减区间是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，0与⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ 解析 数形结合13．在给出的以下4个条件中，①⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <1x ∈－∞，0 ②⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <1x ∈0，＋∞③⎩⎪⎨⎪⎧a >1a ∈－∞，0 ④⎩⎪⎨⎪⎧a >1x ∈0，＋∞能使函数y ＝log a 1x2为单调递减函数的是________． (把你认为正确的条件编号都填上)． 答案 ①④解析 利用复合函数的性质，①④正确．14．假设奇函数f (x )在(－∞，0]上单调递减，那么不等式f (lg x )＋f (1)>0的解集是________．答案(dá àn) (0，110)解析(jiě xī) 因为f (x )为奇函数，所以(suǒyǐ)f (－x )＝－f (x )，又因为(yīn wèi)f (x )在(－∞，0]上单调递减，所以f (x )在[0，＋∞)上也为单调递减函数，所以函数f (x )在R 上为单调递减函数．不等式f (lg x )＋f (1)>0可化为f (lg x )>－f (1)＝f (－1)，所以lg x <－1，解得0<x <110.三、解答题15．(2021·调研)f (x )＝xx －a(x ≠a )．(1)假设a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增； (2)假设a >0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围． 答案 (1)略 (2)0<a ≤1 解析 (1)证明 任设x 1<x 2<－2， 那么f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2x 1－x 2x 1＋2x 2＋2.∵(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0，∴f (x 1)<f (x 2)， ∴f (x )在(－∞，－2)内单调递增． (2)解 任设1<x 1<x 2，那么f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a x 2－x 1x 1－a x 2－a.∵a >0，x 2－x 1>0，∴要使f (x 1)－f (x 2)>0，只需(x 1－a )(x 2－a )>0恒成立，∴a ≤1. 综上所述知0<a ≤1.16．函数f (x )对任意的a 、b ∈R ，都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )－1，并且当x >0时，f (x )>1.(1)求证：f (x )是R 上的增函数；(2)假设f (4)＝5，解不等式f (3m 2－m －2)<3. 答案(dá àn) (1)略 (2){m |－1<m <43}解 (1)证明(zhèngmíng)：设x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，那么(nà me)x 2－x 1>0，∴f (x 2－x 1)>1.f (x 2)－f (x 1)＝f [(x 2－x 1)＋x 1]－f (x 1)＝f (x 2－x 1)＋f (x 1)－1－f (x 1)＝f (x 2－x 1)－1>0. ∴f (x 2)>f (x 1)．即f (x )是R 上的增函数．(2)∵f (4)＝f (2＋2)＝f (2)＋f (2)－1＝5， ∴f (2)＝3，∴原不等式可化为f (3m 2－m －2)<f (2)， ∵f (x )是R 上的增函数， ∴3m 2－m －2<2，解得－1<m <43，故m 的解集为{m |－1<m <43}．内容总结。

课时分层作业(五) 一元二次不等式及其解法一、选择题1．不等式(x －1)(2－x )≥0的解集为( ) A ．{x |1≤x ≤2} B ．{x |x ≤1或x ≥2} C ．{x |1＜x ＜2}D ．{x |x ＜1或x ＞2}A [原不等式可化为(x －1)(x －2)≤0，解得1≤x ≤2，故选A ．] 2．若0＜m ＜1，则不等式x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋1m x ＋1＜0的解集为( )A ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1m ＜x ＜mB ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞1m 或x ＜mC ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞m 或x ＜1mD ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪m ＜x ＜1mD [不等式x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋1m x ＋1＜0可化为(x －m )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1m ＜0，由0＜m ＜1知m＜1m ，因此原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪m ＜x ＜1m ，故选D ．]3．若不等式ax 2＋bx ＋2＞0的解集为{x |－1＜x ＜2}，则不等式2x 2＋bx ＋a ＞0的解集为( )A ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜－1或x ＞12B ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1＜x ＜12C ．{x |－2＜x ＜1}D ．{x |x ＜－2或x ＞1}A[由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－ba ＝－1＋2，2a ＝－1×2，即⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝－1，2a ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1，则不等式2x 2＋bx ＋a ＞0，即为2x 2＋x －1＞0，解得x ＞12或x ＜－1，故选A ．] 4．已知某产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式是y ＝3 000＋20x －0.1x 2，x ∈(0，240)．若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是( )A ．100台B ．120台C ．150台D ．180台C [由题设，产量为x 台时，总售价为25x 万元； 欲使生产者不亏本，必须满足总售价大于或等于总成本， 即25x ≥3 000＋20x －0.1x 2，即0.1x 2＋5x －3 000≥0，x 2＋50x －30 000≥0， 解得x ≥150或x ≤－200(舍去)．故欲使生产者不亏本，最低产量是150台．]5．若存在实数x ，使得不等式x 2－ax ＋1＜0成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[－2，2]B ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)C ．(－2，2]D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D [由题意知，当x ∈R 时，不等式x 2－ax ＋1＜0有解，则Δ＝a 2－4＞0，解得a ＞2或a ＜－2．故选D ．]6．关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ＜0的解集中恰有3个整数，则实数a 的取值范围是( )A ．(4，5)B ．(－3，－2)∪(4，5)C ．(4，5]D ．[－3，－2)∪(4，5]D [原不等式可化为(x －1)(x －a )＜0，当a ＞1时，得1＜x ＜a ，此时解集中的整数为2，3，4，则4＜a ≤5；当a ＜1时，得a ＜x ＜1，此时解集中的整数为－2，－1，0，则－3≤a ＜－2，因此实数a 的取值范围是[－3，－2)∪(4，5]．故选D ．]二、填空题7．一元二次方程x 2－(k －2)x ＋k ＋1＝0有一正一负实数根，则k 的取值范围是________．(－∞，－1) [由题意知k ＋1＜0，即k ＜－1．]8．关于x 的不等式x 2＋ax ＋a ≤1对一切x ∈(0，1)恒成立，则a 的取值范围为________．(－∞，0] [原不等式可化为x 2＋ax ＋a －1≤0，设f (x )＝x 2＋ax ＋a －1， 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧f (0)≤0，f (1)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a －1≤0，2a ≤0，解得a ≤0．] 9．不等式2x ＋1＜1的解集是________． {x |x ＞1或x ＜－1} [由2x ＋1＜1得1－x x ＋1＜0，原不等式可化为(x －1)(x ＋1)＞0，解得x ＞1或x ＜－1．] 三、解答题10．已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6． (1)解关于a 的不等式f (1)>0；(2)若不等式f (x )>b 的解集为(－1，3)，求实数a ，b 的值．[解] (1)由题意知f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3>0，即a 2－6a －3<0，解得3－23<a <3＋23．所以不等式的解集为{a |3－23＜a ＜3＋23}．(2)∵f (x )＞b 的解集为(－1，3)，∴方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1，3，∴⎩⎨⎧(－1)＋3＝a (6－a )3，(－1)×3＝－6－b 3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3±3，b ＝－3.故a 的值为3±3，b 的值为－3．11．解不等式2x 2－3(1＋a )x ＋6a ＞0(0＜a ＜1)． [解] Δ＝9(1＋a )2－48a ＝9a 2－30a ＋9＝9(a －3)⎝ ⎛⎭⎪⎫a －13．(1)当13＜a ＜1时，Δ＜0，原不等式的解集为R ．(2)当a ＝13时，原不等式为2x 2－4x ＋2＞0，即(x －1)2＞0，解得x ≠1，原不等式的解集为{x |x ≠1}．(3)当0＜a ＜13时，Δ＞0，方程2x 2－3(1＋a )x ＋6a ＝0的两个根为x 1＝3a ＋3－9a 2－30a ＋94，x 2＝3a ＋3＋9a 2－30a ＋94，因为x 2＞x 1，所以原不等式的解集为 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＞3a ＋3＋9a 2－30a ＋94或x ＜3a ＋3－9a 2－30a ＋94． 综上所述：当0＜a ＜13时，原不等式的解集为 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞3a ＋3＋9a 2－30a ＋94或x ＜3a ＋3－9a 2－30a ＋94当a ＝13时，原不等式的解集为{x |x ≠1}； 当13＜a ＜1时，原不等式的解集为R ．1．设函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，对任意的x ∈(1，4)都有f (x )>0，则实数a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞D [∵对任意的x ∈(1，4)，都有f (x )＝ax 2－2x ＋2>0恒成立，∴a >2(x －1)x 2＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤14－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －122，对任意的x ∈(1，4)恒成立，∵14<1x <1， ∴2⎣⎢⎡⎦⎥⎤14－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －122∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12，∴实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞．]2．若不等式x 2＋ax －2＞0在区间[1，5]上有解，则a 的取值范围是( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－235，1C ．(1，＋∞)D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－235A [由题意知a ＞2x －x 在x ∈[1，5]时有解．又y ＝2x －x 在区间[1，5]上是减函数，则y ≥25－5＝－235． 所以a ＞－235，故选A ．]3．某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x 成．要求售价不能低于成本价．(1)设该商店一天的营业额为y 元，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域；(2)若要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x 的取值范围． [解] (1)由题意得，y ＝100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 10·100⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋850x ．因为售价不能低于成本价， 所以100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 10－80≥0，解得0≤x ≤2．所以y ＝f (x )＝40(10－x )(25＋4x )， 定义域为{x |0≤x ≤2}．(2)由题意得40(10－x )(25＋4x )≥10 260， 化简得8x 2－30x ＋13≤0， 解得12≤x ≤134．所以x 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2．。