2015新课标A版数学文一轮复习课时作业：4-1 Word版含解析

质量检测(四)测试内容：立体几何 时间：90分钟 分值：120分一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1．(2013·烟台诊断)一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为( )A.13B.12C.23D.16解析：V ＝13Sh ＝13×12×2×1×1＝13. 答案：A2．已知水平放置的△ABC 的直观图△A ′B ′C ′(斜二测画法)是边长为2a 的正三角形，则原△ABC 的面积为( )A.2a 2B.32a 2 C.62a 2D.6a 2解析：斜二测画法中原图面积与直观图面积之比为1∶24，则易知24S ＝34(2a )2，∴S ＝6a 2.故选D.答案：D3．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AA 1，AB 的中点，则EF 与对角面BDD 1B 1所成角的度数是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．150°解析：如图，∵EF ∥A 1B ，∴EF ，A 1B 与对角面BDD 1B 1所成的角相等，设正方体的棱长为1，则A 1B ＝ 2.连接A 1C 1，交D 1B 1于点M ，连接BM ，则有A 1M ⊥面BDD 1B 1，∠A 1BM 为A 1B 与面BDD 1B 1所成的角．Rt △A 1BM 中，A 1B ＝2，A 1M ＝22，故∠A 1BM ＝30°.∴EF 与对角面BDD 1B 1所成角的度数是30°.答案：A4．(2013·山东卷)一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正(主)视图如右图所示，则该四棱锥侧面积和体积分别是( )A ．45，8B ．45，83 C ．4(5＋1)，83D ．8,8解析：由题意可知该四棱锥为正四棱锥，底面边长为2，高为2，侧面上的斜高为22＋12＝5，所以S 侧＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×5＝45，V ＝13×22×2＝83.答案：B5．(2013·宁波市高三“十校”联考)若有直线m 、n 和平面α、β，下列四个命题中，正确的是( )A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB ．若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥βC ．若α⊥β，m ⊂α，则m ⊥βD ．若α⊥β，m ⊥β，m ⊄α，则m ∥α解析：α⊥β，m ⊥β，则m ∥α或m ⊂α，又∵m ⊄α，∴m ∥α，选D.答案：D6．(2013·保定第一次模拟)三棱锥V －ABC 的底面ABC 为正三角形，侧面VAC 垂直于底面，VA ＝VC ，已知其正视图(VAC )的面积为23，则其左视图的面积为( )A.32B.36C.34D.33解析：利用三棱锥及三视图的特征，可设底面边长为a ，高为h ，则12ah ＝23，∴ah ＝43，故其左视图的面积为S ＝12·32a ·h ＝32，故选D.答案：D7．(2013·南平质检)如图是某几何体的三视图，其中正视图是正方形，侧视图是矩形，俯视图是半径为2的半圆，则该几何体的表面积等于( )A ．16＋2πB ．24πC ．16＋4πD ．12π解析：由三视图知，几何体是半个圆柱，而圆柱下底面圆的半径为2，其轴截面为边长为4的正方形，故表面积为4×4＋2π·4＋2·2π＝16＋12π.答案：A8．(2013·荆州质检(Ⅱ))在半径为R 的球内有一内接圆柱，设该圆柱底面半径为r ，当圆柱的侧面积最大时，rR 为( )A.14B.12C.22D.32解析：圆柱的底面半径为r ，则有h ＝2R 2－r 2，侧面积S ＝2πr ·h ＝4πr R 2－r 2＝4πr 2(R 2－r 2)≤4π⎝ ⎛⎭⎪⎫r 2＋R 2－r 222＝2πR 2，当且仅当r 2＝R 2－r 2即r R ＝22时，圆柱的侧面积取得最大值，所以选C.答案：C9．(2013·山东潍坊模拟)已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，给出四个命题：①若α∩β＝m ，n ⊂α，n ⊥m ，则α⊥β；②若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β；③若m ⊥α，n ⊥β，m ⊥n ，则α⊥β；④若m ∥α，n ∥β，m ∥n ，则α∥β.其中正确的命题是( ) A ．①② B ．②③ C ．①④D ．②④解析：由面面平行、垂直的定义可知②③正确，故选B. 答案：B10．(2013·东北三校第二次联考)三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面是边长为3的正三角形，侧棱AA 1⊥底面ABC .若球O 与三棱柱ABC －A 1B 1C 1各侧面、底面均相切，则侧棱AA 1的长为( )A.12B.32 C ．1D. 3解析：此三棱柱为正三棱柱，球O 与三个侧面均相切，其俯视图如图所示．其半径为R ，R ＝BD ·13＝12.球O 的半径为12，若球O 与上、下底面均相切，则AA 1＝2R ＝1，故选C.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．(2013·乌鲁木齐第一次诊断)如图，单位正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 在平面A 1BC 1上，则三棱锥P －ACD 1的体积为________．解析：由图易知，平面A 1BC 1∥平面ACD 1，∴P 到平面ACD 1的距离等于平面A 1BC 1与平面ACD 1间的距离，等于13B 1D ＝33，而S △ACD 1＝12AD 1·CD 1sin 60°＝32，∴三棱锥P －ACD 1的体积为13×32×33＝16. 答案：1612．(2013·汕头质量测评(二))如图，某简单几何体的正(主)视图与侧(左)视图都是边长为1的正方形，且其体积为π4，则该几何体的俯视图可以是________．解析：该几何体是高为1的柱体，由体积为π4，知底面积为π4，所以填D.答案：D13．(2013·新课标全国卷Ⅱ)已知正四棱锥O －ABCD 的体积为322，底面边长为3，则以O 为球心，OA 为半径的球的表面积为________．解析：过O 作底面ABCD 的垂线段OE ，则E 为正方形ABCD 的中心．由题意可知13×(3)2×OE ＝322，所以OE ＝322，故球的半径R ＝OA ＝OE 2＋EA 2＝6，则球的表面积S ＝4πR 2＝24π.答案：24π14．(2013·北京卷)如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为BC 的中点，点P 在线段D 1E 上．点P 到直线CC 1的距离的最小值为________．解析：点P 到直线CC 1的距离等于点P 在平面ABCD 上的射影到点C 的距离，设点P 在平面ABCD 上的射影为P ′，显然点P 到直线CC 1的距离的最小值为P ′C 的长度的最小值．当P ′C ⊥DE 时，P ′C 的长度最小，此时P ′C ＝2×122＋1＝255.答案：255三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)15．(满分12分)(2013·重庆卷)如图，四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝23，BC ＝CD ＝2，∠ACB ＝∠ACD ＝π3.(1)求证：BD ⊥平面P AC ；(2)若侧棱PC 上的点F 满足PF ＝7FC ，求三棱锥P －BDF 的体积．解：(1)证明：因为BC ＝CD ，所以△BCD 为等腰三角形， 又∠ACB ＝∠ACD ，故BD ⊥AC .因为P A ⊥底面ABCD ，所以P A ⊥BD .从而BD 与平面P AC 内两条相交直线P A ，AC 都垂直，所以BD ⊥平面P AC .(2)三棱锥P －BCD 的底面BCD 的面积S △BCD ＝12BC ·CD ·sin ∠BCD ＝12×2×2×sin 2π3＝ 3.由P A ⊥底面ABCD ，得V P －BCD ＝13·S △BCD ·P A ＝13×3×23＝2.由PF ＝7FC ，得三棱锥F －BCD 的高为18P A ，故 V F －BCD ＝13·S △BCD ·18P A ＝13×3×18×23＝14， 所以V P －BDF ＝V P －BCD －V F －BCD ＝2－14＝74.16．(满分12分)(2013·辽宁卷)如图，AB 是圆O 的直径，P A 垂直圆O 所在的平面，C 是圆O 上的点．(1)求证：BC ⊥平面P AC ；(2)设Q 为P A 的中点，G 为△AOC 的重心，求证：QG ∥平面PBC . 证明：(1)由AB 是圆O 的直径，得AC ⊥BC ， 由P A ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，得P A ⊥BC . 又P A ∩AC ＝A ，P A ⊂平面P AC ，AC ⊂平面P AC ， 所以BC ⊥平面P AC .(2)连接OG并延长交AC于M，连接QM，QO，由G为△AOC的重心，得M为AC的中点．由Q为P A的中点，得QM∥PC，又O为AB的中点，得OM∥BC.因为QM∩MO＝M，QM⊂平面QMO，MO⊂平面QMO，BC∩PC＝C，BC⊂平面PBC，PC⊂平面PBC，所以平面QMO∥平面PBC.因为QG⊂平面QMO，所以QG∥平面PBC.17．(满分13分)(2013·新课标全国卷Ⅰ)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.(1)证明：AB⊥A1C；(2)若AB＝CB＝2，A1C＝6，求三棱柱ABC－A1B1C1的体积．解：(1)证明：取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B.因为CA＝CB，所以OC⊥AB.由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°，故△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB.因为OC∩OA1＝O，所以AB⊥平面OA1C.又A1C⊂平面OA1C，故AB⊥A1C.(2)由题设知△ABC与△AA1B都是边长为2的等边三角形，所以OC＝OA1＝3，又A1C＝6，则A1C2＝OC2＋OA21，故OA1⊥OC.因为OC∩AB＝O，所以OA1⊥平面ABC，OA1为三棱柱ABC－A1B1C1的高．又△ABC的面积S△ABC＝3，故三棱柱ABC－A1B1C1的体积V＝S△ABC×OA1＝3.18．(满分13分)(2013·四川卷)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，AB ＝AC ＝2AA 1＝2，∠BAC ＝120°，D ，D 1分别是线段BC ，B 1C 1的中点，P 是线段AD 上异于端点的点．(1)在平面ABC 内，试作出过点P 与平面A 1BC 平行的直线l ，说明理由，并证明直线l ⊥平面ADD 1A 1；(2)设(1)中的直线l 交AC 于点Q ，求三棱锥A 1－QC 1D 的体积．(锥体体积公式：V ＝13Sh ，其中S 为底面面积，h 为高)解：(1)证明：如图，在平面ABC 内，过点P 作直线l ∥BC ，因为l 在平面A 1BC 外，BC 在平面A 1BC 内，由直线与平面平行的判定定理可知，l ∥平面A 1BC .由已知，AB ＝AC ，D 是BC 的中点，所以，BC ⊥AD ，则直线l ⊥AD .因为AA 1⊥平面ABC ，所以AA 1⊥直线l .又因为AD ，AA 1在平面ADD 1A 1内，且AD 与AA 1相交， 所以直线l ⊥平面ADD 1A 1.(2)过D 作DE ⊥AC 于E .因为AA 1⊥平面ABC ，所以DE ⊥AA 1.又因为AC ，AA 1在平面AA 1C 1C 内，且AC 与AA 1相交， 所以DE ⊥平面AA 1C 1C .由AB ＝AC ＝2，∠BAC ＝120°，有AD ＝1，∠DAC ＝60°，所以在△ACD 中，DE ＝32AD ＝32，又S △A 1QC 1＝12A 1C 1·AA 1＝1，所以V A 1－QC 1D ＝V D －A 1QC 1＝13DE ·S △A 1QC 1＝13×32×1＝36.因此三棱锥A 1－QC 1D 的体积是36.。

质量检测(三)测试内容：数列 不等式 推理与证明时间：90分钟 分值：120分一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1．(2013·天津十二区县重点学校联考(一))“lg x ，lg y ，lg z 成等差数列”是“y 2＝xz ”成立的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：lg x ，lg y ，lg z 成等差，必有2lg y ＝lg x ＋lg z 得y 2＝xz .故前者为后者的充分条件，但y 2＝x ·z ，y <0，x <0，z <0时，lg x ，lg y ，lg z 没有意义，故前者不是后者的必要条件，选A.答案：A2．(2013·辽宁六校联考)公比为q 的等比数列{a n }的各项为正数，且a 2a 12＝16，log q a 10＝7，则公比q ＝( )A.12B. 2 C ．2D.22解析：∵a 10＝a 4q 6＝q 7，∴a 4＝q ，又a 27＝a 2a 12＝a 4a 10＝16，∴q 8＝16，q 2＝2，q ＝2，故选B.答案：B3．(2013·东北三校第二次联考)已知{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和．若a 3a 5＝14a 1，且a 4与a 7的等差中项为98，则S 5等于( )A ．35B ．33C ．31D ．29解析：等比数列中，a 3·a 5＝a 1·a 7，∴a 7＝14，a 4＋a 7＝2×98，∴a 4＝2，得q ＝12，a 1＝16，S 5＝16⎝⎛⎭⎪⎫1－1251－12＝31，选C. 答案：C4．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＋a 9＋a 11＝30，那么S 13的值是( )A ．65B ．70C ．130D ．260解析：a 1＋a 1＋8d ＋a 1＋10d ＝30 3a 1＋18d ＝30 a 1＋6d ＝10，a 7＝10S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13a 7＝130，故选C. 答案：C5．若a >0，b >0，且a ＋b ＝4，则下列不等式恒成立的是( ) A.1ab >12 B.1a ＋1b ≤1 C.ab ≥2D ．a 2＋b 2≥8 解析：a ＋b ＝4≥2ab ，ab ≤2，ab ≤4 ∴1ab ≥14，故C 错，A 错． 1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝4ab ≥1，故B 错． (a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2ab ≤2(a 2＋b 2) ∴a 2＋b 2≥8，故选D. 答案：D6．(2012·辽宁卷)设变量x ，y满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤10，0≤x ＋y ≤20，0≤y ≤15，则2x ＋3y的最大值为( )A ．20B ．35C ．45D ．55 解析：可行域如图所示：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝15，x ＋y ＝20得A (5,15)，A 点为最优解， ∴z max ＝2×5＋3×15＝55，故选D. 答案：D7．若不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对于x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是( )A ．(－2,2)B ．[－2,2]C ．(－2,2]D ．[－2,2)解析：当a ＝2时，不等式－4<0恒成立；当a ≠2时，由⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0Δ＝4(a －2)2＋4×4(a －2)<0，解得－2<a <2， ∴符合要求的a 的取值范围是(－2,2]，故选C. 答案：C8．(2013·辽宁卷)下面是关于公差d >0的等差数列{a n }的四个命题：p 1：数列{a n }是递增数列； p 2：数列{na n }是递增数列；p 3：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是递增数列；p 4：数列{a n ＋3nd }是递增数列． 其中的真命题为( )A ．p 1，p 2B ．p 3，p 4C ．p 2，p 3D ．p 1，p 4解析：设a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋a 1－d ，它是递增数列，所以p 1为真命题；若a n ＝3n －12，则满足已知，但na n ＝3n 2－12n 并非递增数列，所以p 2为假命题；若a n ＝n ＋1，则满足已知，但a n n ＝1＋1n 是递减数列，所以p 3为假命题；设a n ＋3nd ＝4dn ＋a 1－d ，它是递增数列，所以p 4为真命题．答案：D9．(2013·浙江五校第二次联考)已知实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0x －y ≥1x ＋2y ≤4x ＋my ＋n ≥0，若该不等式组所表示的平面区域是一个面积为54的直角三角形，则n 的值是( )A ．－32 B ．－2 C ．2D.12解析：在坐标平面内画出线性约束条件所表示的可行域，欲使可行域为直角三角形，可得m ＝1时，可与直线x －y ＝1垂直，此时求出⎩⎪⎨⎪⎧ x －y －1＝0x ＋y ＋n ＝0与⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋n ＝0x ＋2y －4＝0的解，由直角三角形的面积为54，可求得n ＝－32，故选A.答案：A10．定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x ＋2)，当x >1时，f (x )单调递增，如果x 1＋x 2>2且(x 1－1)(x 2－1)<0，则f (x 1)＋f (x 2)的值( )A ．恒小于0B ．恒大于0C ．可能为0D ．可正可负解析：由f (－x )＝－f (x ＋2)知函数y ＝f (x )关于点(1,0)对称，因此由x >1时f (x )单调递增可知当x <1时函数f (x )单调递增．由(x 1－1)(x 2－1)<0知x 1－1，x 2－1异号，不妨设x 1>1， 则x 2<1.∵x 1＋x 2>2，∴x 1>2－x 2.由x 2<1知2－x 2>1，故x 1>2－x 2>1. ∴f (x 1)>f (2－x 2)．∵f (2－x 2)＝－f (x 2)．∴f (x 1)>－f (x 2)， 即f (x 1)＋f (x 2)>0. 答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 5＝a 8＋5，S 6＝a 7＋a 9－5，则公差d 等于________．解析：a 6＝S 6－S 5＝a 7＋a 9－5－(a 8＋5) ＝a 7＋a 9－a 8－10，∴a 6－a 7＝a 9－a 8－10，∴－d ＝d －10，∴d ＝5. 答案：512．二维空间中圆的一维测度(周长)l ＝2πr ，二维测度(面积)S ＝πr 2，观察发现S ′＝l ；三维空间中球的二维测度(表面积)S ＝4πr 2，三维测度(体积)V ＝43πr 3，观察发现V ′＝S .则四维空间中“超球”的四维测度W ＝2πr 4，猜想其三维测度V ＝________.解析：由已知，可得圆的一维测度为二维测度的导函数；球的二维测度是三维测度的导函数．类比上述结论，“超球”的三维测度是四维测度的导函数，即V ＝W ′＝(2πr 4)′＝8πr 3.故填8πr 3.答案：8πr 313．(2013·安徽卷)若非负变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－1，x ＋2y ≤4，则x ＋y 的最大值为________．解析：法一：画出可行域是如图所示的四边形OABC 的边界及内部，令z ＝x ＋y ，易知当直线y ＝－x ＋z 经过点C (4,0)时，直线在y 轴上截距最大，目标函数z 取得最大值，即z max ＝4.法二：令z ＝x ＋y .界点定值，同法一先画出可行域，这时把边界点O (0,0)，A (0,1)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，52，C (4,0)代入目标函数z ＝x ＋y 可得z A ＝1，z B ＝73，z C ＝4，比较可得z max ＝4.答案：414．(2013·重庆卷)设0≤α≤π，不等式8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x ∈R 恒成立，则α的取值范围为________．解析：根据题意可得(8sin α)2－4×8cos 2α≤0，即2sin 2α－cos 2α≤0,2sin 2α－(1－2sin 2α)≤0，即－12≤sin α≤12.因为0≤α≤π，故α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)15．(满分12分)(2013·新课标全国卷Ⅱ)已知等差数列{a n }的公差不为零，a 1＝25，且a 1，a 11，a 13成等比数列．(1)求{a n }的通项公式； (2)求a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2.解：(1)设{a n }的公差为d .由题意，a 211＝a 1a 13， 即(a 1＋10d )2＝a 1(a 1＋12d )， 于是d (2a 1＋25d )＝0.又a 1＝25，所以d ＝0(舍去)，d ＝－2. 故a n ＝－2n ＋27.(2)令S n ＝a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2.由(1)知a 3n －2＝－6n ＋31，故{a 3n －2}是首项为25，公差为－6的等差数列．从而S n ＝n 2(a 1＋a 3n －2)＝n2(－6n ＋56)＝－3n 2＋28n .16．(满分12分)(1)解不等式：ax 2－(a ＋1)x ＋1<0(a >0)； (2)已知f (x )＝x 2－2ax ＋2(a ∈R )，当x ∈[－1，＋∞)时， f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围．解：(1)原不等式变为(ax －1)(x －1)<0， 因为a >0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0. 所以当a >1时，解为1a <x <1； 当a ＝1时，解集为Ø； 当0<a <1时，解为1<x <1a .综上，当0<a <1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1<x <1a ；当a ＝1时，不等式的解集为Ø；当a >1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1a <x <1.(2)法一：f (x )＝(x －a )2＋2－a 2，此二次函数图象的对称轴为x ＝a .①当a ∈(－∞，－1)时， f (x )在[－1，＋∞)上单调递增， f (x )min＝f (－1)＝2a ＋3.要使f (x )≥a 恒成立，只需f (x )min ≥a ，即2a ＋3≥a ，解得－3≤a <－1；②当a ∈[－1，＋∞)时， f (x )min ＝f (a )＝2－a 2，由2－a 2≥a ，解得－1≤a ≤1.综上所述，a 的取值范围为[－3,1]．法二：令g (x )＝x 2－2ax ＋2－a ，由已知，得x 2－2ax ＋2－a ≥0在[－1，＋∞)上恒成立，即Δ＝4a 2－4(2－a )≤0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，a <－1，g (－1)≥0.解得－3≤a ≤1.所求a 的取值范围是[－3,1]．17．(满分13分)某商店预备在一个月内分批购入每张价值为20元的书桌共36张，每批都购入x 张(x 是正整数)，且每批均需付运费4元，储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书桌的总价值(不含运费)成正比，若每批购入4张，则该月需用去运费和保管费共52元，现在全月只有48元资金可以用于支付运费和保管费．(1)求该月需用去的运费和保管费的总费用f (x )；(2)能否恰当地安排每批进货的数量，使资金够用？写出你的结论，并说明理由．解：(1)设题中比例系数为k ，若每批购入x 张书桌，则共需分36x 批，每批价值为20x 元，由题意得f (x )＝36x ·4＋k ·20x . 由x ＝4时，f (x )＝52，得k ＝1680＝15. ∴f (x )＝144x ＋4x (0<x ≤36，x ∈N *)． (2)由(1)知f (x )＝144x ＋4x (0<x ≤36，x ∈N *)， ∴f (x )≥2144x ×4x ＝48(元)．当且仅当144x ＝4x ，即x ＝6时，上式等号成立． 故只需每批购入6张书桌，可以使资金够用．18．(满分13分)(2013·浙江省重点中学摸底)已知数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＝2a n －1＋2n (n ≥2且n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{a n }的前n 项之和为S n ，求S n ，并证明：S n2n >2n －3. 解：(1)∵a n ＝2a n －1＋2n (n ≥2，且n ∈N *)， ∴a n 2n ＝a n －12n －1＋1，即a n 2n －a n －12n －1＝1(n ≥2，且n ∈N *)，所以，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是等差数列，公差d ＝1，首项12， 于是a n 2n ＝12＋(n －1)d ＝12＋(n －1)·1＝n －12， ∴a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12·2n . (2)∵S n ＝12·21＋32·22＋52·23＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12·2n ∴2S n ＝12·22＋32·23＋52·24＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12·2n ＋1 以上两式相减得－S n ＝1＋22＋23＋ (2)－⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12·2n ＋1＝2＋22＋23＋ (2)－⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12·2n ＋1－1 ＝2(1－2n )1－2－⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12·2n ＋1－1＝(3－2n )·2n －3，S n ＝(2n －3)·2n ＋3>(2n －3)·2n ， ∴S n2n >2n －3.。

课时作业(三)一、选择题1．(2013·湖北八校第一次联考)若命题p：∃x0∈[－3,3]，x20＋2x0＋1≤0，则对命题p的否定是()A．∀x∈[－3,3]，x2＋2x＋1>0B．∀x∈(－∞，－3)∪(3，＋∞)，x2＋2x＋1>0C．∃x∈(－∞，－3)∪(3，＋∞)，x2＋2x＋1≤0D．∃x0∈[－3,3]，x20＋2x0＋1<0解析：存在命题的否定是全称命题，故选A.答案：A2．(2013·湖南省六校联考)下列说法中正确的是()A．“x>5”是“x>3”必要不充分条件B．命题“对∀x∈R，恒有x2＋1>0”的否定是“∃x∈R，使得x2＋1≤0”C．∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是奇函数D．设p，q是简单命题，若p∨q是真命题，则p∧q也是真命题解析：对于A，x>5是x>3的充分不必要条件；对于C，∀m∈R，函数f(x)＝x2＋mx都不是奇函数；对于D，p∨q为真命题；则p与q 有两种情况：均为真命题，一真一假，故p∧q不能判断其真假性；对于B是特称命题与全称命题的互换．答案：B3．(2013·资阳市第一次模拟)已知命题p：“若直线ax＋y＋1＝0与直线ax －y ＋2＝0垂直，则a ＝1”；命题q ：“a 12>b 12”是“a >b ”的充要条件，则( )A ．p 真，q 假B ．“p ∧q ”真C ．“p ∨q ”真D ．“p ∨q ”假解析：命题p ：若直线ax ＋y ＋1＝0与直线ax －y ＋2＝0垂直，即斜率(－a )·a ＝－1，即a 2＝1，a ＝±1，∴命题p 为假．命题q ：a 12>b 12⇒a >b ，但a >bD ⇒/a 12>b 12，∴命题q 为假．∴p ∨q 为假，故选D.答案：D4．(2013·辽宁五校第二次模拟)有下列说法：①“p ∧q ”为真是“p ∨q ”为真的充分不必要条件；②“p ∧q ”为假是“p ∨q ”为真的充分不必要条件；③“p ∨q ”为真是“綈p ”为假的必要不充分条件；④“綈p ”为真是“p ∧q ”为假的必要不充分条件．其中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：对于复合命题p ∧q ，p ∨q ，其真假性为：p ∧q 中，p 与q 至少有一个为假命题，则p ∧q 为假命题，p 与q 均为真命题，则p ∧q 为真命题；p 与q 至少有一个真命题，则p ∨q 为真命题，当p 与q 均为假命题时，p ∨q 为假命题，故①③正确．选B.答案：B5．(2013·湖北八校第二次联考)已知命题p ：m ，n 为直线，α为平面，若m ∥n ，n ⊂α，则m ∥α；命题q ：若a >b ，则ac >bc ，则下列命题为真命题的是( )A ．p 或qB ．綈p 或qC ．綈p 且qD ．p 且q解析：m ⊂α时，m ∥α不正确，命题p 假，c ≤0时，命题q 假，故选B.答案：B6．(2013·成都市第三次诊断性检测)对x ∈R ，“关于x 的不等式f (x )>0有解”等价于( )A ．∃x 0∈R ，使得f (x 0)>0成立B ．∃x 0∈R ，使得f (x 0)≤0成立C ．∀x ∈R, f (x )>0成立D ．∀x ∈R, f (x )≤0成立解析：由命题的转化关系易知A 正确．答案：A7．(2013·山东泰安第二次模拟)下列选项中，说法正确的是( )A ．命题“若am 2<bm 2，则a <b ”的逆命题是真命题B ．设a ，b 是向量，命题“若a ＝－b ，则|a |＝|b |”的否命题是真命题C ．命题“p ∨q ”为真命题，则命题p 和q 均为真命题D ．命题“∃x ∈R ，x 2－x >0”的否定是“∀x ∈R ，x 2－x ≤0” 解析：∃x ∈R ，x 2－x >0的否定是∀x ∈R ，x 2－x ≤0.答案：D8．(2013·东北三校第二次联考)下列判断中正确的是( )A ．命题“若a ＋b ＝1，则a 2＋b 2>12”是真命题 B ．“1a ＋1b ＝4”的必要不充分条件是“a ＝b ＝12”C ．命题“若a ＋1a ＝2，则a ＝1”的逆否命题是“若a ＝1，则a＋1a ≠2”D ．命题“∀a ∈R ，a 2＋1≥2a ”的否定是“∃a ∈R ，a 2＋1<2a ”解析：A 选项中，当a ＝12，b ＝12时，a 2＋b 2＝12>12不成立，B 选项中，1a ＋1b ＝4的充分不必要条件是a ＝b ＝12，C 选项中，逆否命题是“若a ≠1，则a ＋1a ≠2”，故选D.答案：D二、填空题9．(2013·安徽省江南十校高三模拟)命题p ：∀x ∈R,2x >1，则綈p ：________.解析：由全称命题的否定是特称命题很容易得綈p ：∃x 0∈R ，使2x 0≤1.答案：∃x 0∈R ，使2x 0≤110．若命题“∃x ∈R ，x 2＋(a －1)x ＋1<0”是假命题，则实数a 的取值范围是________．解析：命题“∃x ∈R ，x 2＋(a －1)x ＋1<0”是假命题，则“∀x ∈R ，x 2＋(a －1)x ＋1≥0”是真命题，所以Δ＝(a －1)2－4≤0，解得－1≤a ≤3.答案：[－1,3]11．(2013·江西南昌调研考试)已知命题p ：“存在x ∈R ，使4x ＋2x ＋1＋m ＝0”，若“非p ”是假命题，则实数m 的取值范围是________．解析：∵非p 是假命题，则p 是真命题，即∃x ∈R ，使m ＝－(4x ＋2·2x )m ＝－(2x ＋1)2＋1<0，∴m <0.答案：(－∞，0)三、解答题12．已知c >0，且c ≠1，设p ：函数y ＝c x 在R 上递减；q ：函数f (x )＝x 2－2cx －1在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上为增函数，若“p 且q ”为假，“p 或q ”为真，求实数c 的取值范围．解：若p 为真，则0<c <1；若q 为真，则二次函数的对称轴x ＝c 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞的左侧，即c ≤12.因为“p 且q ”为假，“p 或q ”为真，所以“p 真q 假”或“p 假q 真”，当“p 真q 假”时，c 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |12<c <1；当“p 假q 真”时，c 无解．所以实数c 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |12<c <1. 13．已知命题p ：方程2x 2＋ax －a 2＝0在[－1,1]上有解：命题q ：只有一个实数x 0满足不等式x 20＋2ax 0＋2a ≤0，若命题“p 或q ”是假命题，求a 的取值范围．解：由2x 2＋ax －a 2＝0得(2x －a )(x ＋a )＝0，∴x ＝a 2或x ＝－a ，∴当命题p 为真命题时，|a 2|≤1或|－a |≤1，∴|a |≤2.又“只有一个实数x 0满足x 20＋2ax 0＋2a ≤0”，即抛物线y ＝x 2＋2ax ＋2a 与x 轴只有一个交点，∴Δ＝4a 2－8a ＝0，∴a ＝0或a ＝2.∴当命题q 为真命题时，a ＝0或a ＝2.∴命题“p 或q ”为真命题时，|a |≤2.∵命题“p 或q ”为假命题，∴a >2或a <－2，即a 的取值范围为{a |a >2或a <－2}．[热点预测]14．(1)(2013·贵州省六校联盟高三第一次联考)给出下列四个命题：①命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题为假命题；②命题p ：∀x ∈R ，sin x ≤1.则綈p ：∃x 0∈R ，使sin x 0>1；③“φ＝π2＋kπ(k ∈Z )”是“函数y ＝sin(2x ＋φ)为偶函数”的充要条件；④命题p ：“∃x 0∈R ，使sin x 0＋cos x 0＝32”；命题q ：“若sinα>sin β，则α>β ”，那么(綈p )∧q 为真命题．其中正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4(2)已知f (x )＝x 2，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －m ，若对∀x 1∈[－1,3]，∃x 2∈[0,2], f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是________．解析：(1)①原命题：若α＝π4，则tan α＝1为真命题，所以其逆否命题也为真命题，故①错；②全称命题与特称命题之间的转化，故②对；③y ＝f (x )＝sin(2x ＋φ)是偶函数则对任意的x ∈R 有f (－x )＝f (x )，即sin(2x ＋φ)＝sin(－2x ＋φ)，化简得：sin 2x cos φ＋cos 2x sin φ＝－sin 2x cos φ＋cos 2x sin φ从而对任意x ∈R 方程sin 2x cos φ＝0恒成立，故cos φ＝0解得：φ＝π2＋kπ(k ∈Z )，另一方面φ＝π2＋kπ(k ∈Z )时y ＝f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＋kπ＝cos(2x ＋kπ)＝(－1)k cos 2x 为偶函数，故③对；④对于命题q ：若sin α>sin β，则α>β，由于y ＝sin x 有增区间也有减区间，所以q 假，(綈p )∧q 为假，故④错．答案选择B.(2)由已知可得f min (x 1)≥g min (x 2)即0≥14－m ，∴m ≥14. 答案：(1)B (2)m ≥14。

课时作业(七)一、选择题1．(2013·重庆九校联考)下图给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是( )A ．①y ＝x 13 ，②y ＝x 2，③y ＝x 12 ，④y ＝x －1B ．①y ＝x 3，②y ＝x 2，③y ＝x12 ，④y ＝x －1 C ．①y ＝x 2，②y ＝x 3，③y ＝x12 ，④y ＝x －1 D ．①y ＝x 13 ，②y ＝x 12 ，③y ＝x 2，④y ＝x －1解析：由①图可知此函数为奇函数，且单调递增，结合选项对应的函数应为y ＝x 3，由②图可知，此函数为偶函数且过原点，结合选项对应的函数为y ＝x 2，由③图知，函数的定义域为[0，＋∞)，单调递增，由④图知，为奇函数，定义域为{x |x ≠0，x ∈R }，所以选B.答案：B2．(2013·增城市调研测试)已知函数f (x )＝x －2，则( )A ．f (x )为偶函数且在(0，＋∞)上单调增B ．f (x )为奇函数且在(0，＋∞)上单调增C ．f (x )为偶函数且在(0，＋∞)上单调减D ．f (x )为奇函数且在(0，＋∞)上单调减解析：∵f (－x )＝(－x )－2＝x －2＝f (x )且定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，∴f (x )为偶函数，又f ′(x )＝－2x －3，当x ∈(0，＋∞)时f ′(x )<0，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递减，故选C.答案：C3．已知f (x )＝x 2＋bx ＋c 且f (－1)＝f (3)，则( )A ．f (－3)<c <f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52 B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<c <f (－3) C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (－3)<c D ．c <f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (－3) 解析：由已知可得二次函数图象关于直线x ＝1对称，则f (－3)＝f (5)，c ＝f (0)＝f (2)，二次函数在区间(1，＋∞)上单调递增，故有f (－3)＝f (5)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52>f (2)＝f (0)＝c . 答案：D4．设二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，且f (m )≤f (0)，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．[2，＋∞)C ．(－∞，0]∪[2，＋∞)D ．[0,2]解析：二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，则a ≠0, f ′(x )＝2a (x －1)≤0，x ∈[0,1]，所以a >0，即函数图象的开口向上，对称轴是直线x ＝1.所以f (0)＝f (2)，则当f (m )≤f (0)时，有0≤m ≤2.答案：D5．(2013·温州模拟)方程x 2＋ax －2＝0在区间[1,5]上有解，则实数a 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞ B ．(1，＋∞) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－235，1 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－235 解析：令f (x )＝x 2＋ax －2，由题意，知f (x )的图象与x 轴在[1,5]上有交点，则⎩⎪⎨⎪⎧f (1)≤0，f (5)≥0.解得－235≤a ≤1. 答案：C6．函数f (x )＝－x 2＋(2a －1)|x |＋1的定义域被分成了四个不同的单调区间，则实数a 的取值范围是( )A ．a >23 B.12<a <32 C ．a >12 D ．a <12解析：f (x )＝－x 2＋(2a －1)|x |＋1是由函数f (x )＝－x 2＋(2a －1)x ＋1变化得到，第一步保留y 轴右侧的图象，再作关于y 轴对称的图象．因为定义域被分成四个单调区间，所以f (x )＝－x 2＋(2a －1)x ＋1的对称轴在y 轴的右侧，使y 轴右侧有两个单调区间，对称后有四个单调区间．所以2a －12>0，即a >12.故选C.答案：C二、填空题 7.当0<x <1时，f (x )＝x 2，g (x )＝x 12，h (x )＝x －2，则f (x )，g (x )，h (x )的大小关系是______．解析：分别作出f (x )，g (x )，h (x )的图象，如图所示．可知h (x )>g (x )>f (x )．答案：h (x )>g (x )>f (x )8．函数f (x )＝(m －1)x 2＋2(m ＋1)x －1的图象与x 轴只有一个交点，则实数m 的取值的集合是________．解析：当m ＝1时， f (x )＝4x －1，其图象和x 轴只有一个交点⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0. 当m ≠1时，依题意得Δ＝4(m ＋1)2＋4(m －1)＝0，即m 2＋3m ＝0，解得m ＝－3或m ＝0.∴m 的取值的集合为{－3,0,1}．答案：{－3,0,1}9．若x ≥0，y ≥0，且x ＋2y ＝1，那么2x ＋3y 2的最小值为________．解析：由x ≥0，y ≥0，x ＝1－2y ≥0知0≤y ≤12，令t ＝2x ＋3y 2＝3y 2－4y ＋2，则t ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫y －232＋23. 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12上递减，当y ＝12时，t 取到最小值，t min ＝34. 答案：34三、解答题10．如果幂函数f (x )＝ (p ∈Z )是偶函数．且在(0，＋∞)上是增函数．求p 的值，并写出相应的函数f (x )的解析式．解：∵f (x )在(0，＋∞)上是增函数，∴－12p 2＋p ＋32>0，即p 2－2p －3<0.∴－1<p <3.又∵f (x )是偶函数且p ∈Z ，∴p ＝1，故f (x )＝x 2.11．(2013·宁德市质检)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 为偶函数，且f (－1)＝－1.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若函数g (x )＝f (x )＋(2－k )x 在区间[－2,2]上单调递减，求实数k 的取值范围．解：(1)∵二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1为偶函数，∴对称轴x ＝－b 2a ＝0，得b ＝0.由f (－1)＝a ＋1＝－1，得a ＝－2，∴f (x )＝－2x 2＋1.(2)g (x )＝－2x 2＋(2－k )x ＋1∵抛物线g (x )的开口向下，对称轴x ＝2－k 4，∴函数g (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫2－k 4，＋∞上单调递减． 依题意可得2－k 4≤－2，解得k ≥10.∴实数k 的取值范围为[10，＋∞)．12．若二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1.(1)求f (x )的解析式；(2)若在区间[－1,1]上，不等式f (x )>2x ＋m 恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)由f (0)＝1得，c ＝1.∴f (x )＝ax 2＋bx ＋1.又f (x ＋1)－f (x )＝2x ，∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x ，即2ax ＋a ＋b ＝2x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝2a ＋b ＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－1. 因此， f (x )＝x 2－x ＋1.(2)f (x )>2x ＋m 等价于x 2－x ＋1>2x ＋m ，即x 2－3x ＋1－m >0，要使此不等式在[－1,1]上恒成立，只需使函数g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上的最小值大于0即可．∵g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上单调递减，∴g (x )min ＝g (1)＝－m －1，由－m －1>0得，m <－1.因此满足条件的实数m 的取值范围是(－∞，－1)．[热点预测]13．(2013·河北高三质量监测)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )满足下列条件：①当x ∈R 时， f (x )的最小值为0，且f (x －1)＝f (－x －1)恒成立； ②当x ∈(0,5)时，x ≤f (x )≤2|x －1|＋1恒成立．(1)求f (1)的值；(2)求f (x )的解析式；(3)求最大的实数m (m >1)，使得存在实数t ，当x ∈[1，m ]时， f (x ＋t )≤x 恒成立．解：(1)在②中令x ＝1，有1≤f (1)≤1.故f (1)＝1.(2)由①知二次函数的图象关于直线x ＝－1对称，且开口向上，故设此二次函数为f (x )＝a (x ＋1)2(a >0)．因为f (1)＝1，所以a ＝14，所以f (x )＝14(x ＋1)2.(3)f (x )＝14(x ＋1)2的图象开口向上，而y ＝f (x ＋t )的图象是由y ＝f (x )的图象向左或向右平移|t |个单位得到的，要在区间[1，m ]上使得y ＝f (x ＋t )的图象在y ＝x 的图象下方，且m 最大，则1和m 应当是方程14(x ＋t ＋1)2＝x 的两个根．令x ＝1代入方程，得t ＝0或－4.当t ＝0时，方程的解为x 1＝x 2＝1(这与m >1矛盾，舍去)； 当t ＝－4时，方程的解为x 1＝1，x 2＝9，所以m ＝9.又当t ＝－4时，对任意x ∈[1,9]，y ＝f (x －4)－x ＝14(x －3)2－x ＝14(x 2－10x ＋9)＝14(x －5)2－4≤0， 即f (x －4)≤x 恒成立．所以最大的实数m 为9.。

课时作业(五十九)一、填空题1．(2013·重庆模拟)如图，已知圆O 的半径为3，AB 与圆D 相切于A ，BO 与圆O 相交于C ，BC ＝2，则△ABC 的面积为________．解析：连接OA ，易知∠OAB ＝90°，OA ＝3，BO ＝5，AB ＝4，△ABC 中BC 边上的高为125，故S △ABC ＝12×2×125＝125.答案：1252．(2013·茂名市第一次模拟)如图，⊙O 的直径AB ＝6 cm ，P 是AB 延长线上的一点，过P 点作⊙O 的切线，切点为C ，连接AC ，若∠CP A ＝30°，PC ＝________.解析：∵AB ＝6，∴OA ＝OB ＝OC ＝3Rt △OCP 中，∠CPO ＝30°，∴OP ＝6，∴BP ＝3根据切割线定理PC 2＝PB ·P A ＝3×9＝27，∴PC ＝3 3.答案：3 33．(2013·增城调研测试)已知圆O 割线P AB 交圆O 于A ，B (P A <PB )两点，割线PCD 经过圆心O (PC <PD )，已知P A ＝6，AB ＝713，PO ＝10，则圆O 的半径是________．解析：如图，设半径为r ，PO ＝PC ＋r ＝10，∴PC ＝10－r ，PD ＝10＋r 根据割线定理P A ·PB ＝PC ·PD∴6×403＝(10－r )(10＋r )，∴r 2＝20，∴r ＝2 5.答案：2 54．(2013·陕西宝鸡质检(一))如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，P A 是⊙O 的切线，PB 交AC 于点E ，交⊙O 于点D ，若P A ＝PE ，∠ABC ＝60°，PD ＝1，PB ＝9，则EC ＝________.解析：根据切割线定理P A 2＝PD ·PB ＝9∴P A ＝3，∵∠ABC ＝∠CAP ＝60°，P A ＝PE ＝3，∴△P AE 为等边三角形，∴AE ＝3DE ＝2，BE ＝PB －PE ＝6根据相交弦定理，AE ·EC ＝DE ·BE∴EC ＝4答案：45．(2013·黄冈模拟)如图，△ABC 内接于圆O ，AB ＝AC ，直线MN 切圆O 于点C ，BE ∥MN 交于点E .若AB ＝6，BC ＝4，则AE 的长为________．解析：由BE ∥MN ⇒∠EBC ＝∠MCB ；而∠MCB ＝∠CAB ，故可得∠CBE ＝∠CAB ，故△BEC ∽△ABC 可得EC BC ＝BC AC ⇒EC ＝83，故AE＝6－83＝103.答案：1036．(2013·北京西城区高三二模)如图，AB 是半圆O 的直径，P 在AB 的延长线上，PD 与半圆O 相切于点C ，AD ⊥PD .若PC ＝4，PB ＝2，则CD ＝________.解析：连接AC ，OC ，由圆的切割线定理可得△BPC ∽△OP A ⇒CP P A＝BP CP ⇒AP ＝8，得圆的半径r ＝3，又因为PC 切圆于点C ，则PC PD ＝PO P A⇒PD ＝325，故CD ＝PD －PC ＝125.答案：1257．(2013·武汉模拟)如图所示，圆O 的半径为1，A 、B 、C 是圆周上的三点，满足∠ABC ＝30°，过点A 作圆O 的切线与OC 的延长线交于点P ，则P A ＝________.解析：延长PC 与圆交于点D ，连接AC ，AO ，由平面圆的性质，易得∠ADP ＝30°，∠AOP ＝60°，故∠APD ＝30°，得PC ＝1，PD ＝3，由切割线定理可求得P A ＝ 3. 答案： 38．(2013·天津十二区县重点学校联考(一))如图，CB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，AP与CB的延长线交于点P，A为切点．若P A＝10，PB＝5，则AB的长为________．解析：由切割线定理得P A2＝PB·PC，又P A＝10，PB＝5得PC ＝20，则BC＝15，∠P AB＝∠PCA，∠P＝∠P，故△PBA∽△P AC，得ABAC＝PBP A＝12，AC＝2AB，△ABC中，AC2＋AB2＝BC2即5AB2＝BC2＝225，AB2＝45，即AB＝3 5.答案：3 5二、解答题9．(2013·东北三校第二次联考)如图，AB为⊙O的直径，过点B 作⊙O的切线BC，OC交⊙O于点E，AE的延长线交BC于点D.(1)求证：CE2＝CD·CB；(2)若AB＝BC＝2，求CE和CD的长．解：(1)证明：连接BE.∵BC为⊙O的切线，∴∠ABC＝90°，∠CBE＝∠A.∵OA＝OE，∴∠A＝∠AEO.∵∠AEO＝∠CED，∴∠CED＝∠CBE，∵∠C ＝∠C ，∴△CED ∽△CBE ，∴CE CB ＝CD CE ，∴CE 2＝CD ·CB .(2)∵OB ＝1，BC ＝2，∴OC ＝5，∴CE ＝OC －OE ＝5－1.由(1)CE 2＝CD ·CB ，得(5－1)2＝2CD ，∴CD ＝3－ 5.10．(2013·辽宁卷)如图，AB 为⊙O 的直径，直线CD 与⊙O 相切于E ，AD 垂直CD 于D ，BC 垂直CD 于C ，EF 垂直AB 于F ，连接AE ，BE .证明：(1)∠FEB ＝∠CEB ；(2)EF 2＝AD ·BC .证明：(1)由直线CD 与⊙O 相切，得∠CEB ＝∠EAB .由AB 为⊙O 的直径，得AE ⊥EB ，从而∠EAB ＋∠EBF ＝π2；又EF ⊥AB ，得∠FEB ＋∠EBF ＝π2，从而∠FEB ＝∠EAB .故∠FEB ＝∠CEB .(2)由BC ⊥CE ，EF ⊥AB ，∠FEB ＝∠CEB ，BE 是公共边， 得Rt △BCE ≌Rt △BFE ，所以BC ＝BF .类似可证，Rt △ADE ≌Rt △AFE ，得AD ＝AF .又在Rt△AEB中，EF⊥AB，故EF2＝AF·BF，所以EF2＝AD·BC.11．(2013·石家庄市高三模拟)如图，过圆O外一点P作该圆的两条割线P AB和PCD，分别交圆O于点A、B、C、D，弦AD和BC 交于Q点，割线PEF经过Q点交圆O于点E、F，点M在EF上，且∠BAD＝∠BMF.求证：(1)P A·PB＝PM·PQ；(2)∠BMD＝∠BOD.证明：(1)∵∠BAD＝∠BMF，所以A，Q，M，B四点共圆，所以P A·PB＝PM·PQ.(2)∵P A·PB＝PC·PD，∴PC·PD＝PM·PQ，又∠CPQ＝∠MPD，所以△CPQ∽△MPD，∴∠PCQ＝∠PMD，则∠DCB＝∠FMD，∵∠BAD＝∠BCD，∴∠BMD＝∠BMF＋∠DMF＝2∠BAD，∠BOD＝2∠BAD，所以∠BMD＝∠BOD.12．(2013·辽宁六校高三联考)如图，D，E分别为△ABC的边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF∥AB，证明：(1)CD＝BC；(2)△BCD∽△GBD.证明：(1)连接AF，∵D，E分别为AB，AC的中点，∴DE∥BC，即DF∥BC，又CF∥AB，∴CF綊BD，CF綊AD，∴四边形ADCF为平行四边形，∴CD＝AF.∵CF∥AB，∴∠ACF＝∠CAB，∴AF＝BC，∴CD＝BC.(2)∵BC∥GF，∴BG＝CF，又CF＝BD，∴BG＝BD，∴∠BGD＝∠BDG，∵CD＝CB，∴∠CBD＝∠CDB，又∠GDB＝∠DBC，∴∠BGD＝∠BDG＝∠DBC＝∠BDC，∴△BCD∽△GBD.13．(2013·河南开封第二次模拟)如图，在△ABC中，∠C为钝角，点E、H是边AB上的点，点K、M分别是边AC和BC上的点，且AH＝AC，EB＝BC，AE＝AK，BH＝BM.(1)求证：E、H、M、K四点共圆；(2)若KE＝EH，CE＝3，求线段KM的长．解：(1)证明：连接CH，∵AC＝AH，AK＝AE，∴四边形CHEK为等腰梯形，注意到等腰梯形的对角互补，故C，H，E，K四点共圆，同理C，E，H，M四点共圆，即E，H，M，K 均在点C，E，H所确定的圆上．∴E、H、M、K四点共圆．(2)连接EM，由(1)得E，H，M，C，K五点共圆，∵四边形CEHM 为等腰梯形，∴EM＝HC，故∠MKE＝∠CEH，由KE＝EH可得∠KME＝∠ECH，故△MKE≌△CEH，即KM＝EC＝3为所求．14．(2013·吉林期中检测)如图，△ABC 是直角三角形，∠ABC ＝90°.以AB 为直径的圆O 交AC 于点E ，点D 是BC 边的中点．连接OD 交圆O 于点M .(1)求证：O 、B 、D 、E 四点共圆；(2)求证：2DE 2＝DM ·AC ＋DM ·AB证明：(1)如图，连接OE 、BE ，则BE ⊥EC又∵D 是BC 的中点，∴DE ＝BD .又∵OE ＝OB ，OD ＝OD ，∴△ODE ≌△ODB ，∴∠OBD ＝∠OED ＝90°.∴O 、B 、D 、E 四点共圆．(2)延长DO 交圆O 于点H .由(1)知DE 为圆O 的切线，∴DE 2＝DM ·DH ＝DM ·(DO ＋OH )＝DM ·DO ＋DM ·OH ，∴DE 2＝DM ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12AC ＋DM ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB ， ∴2DE 2＝DM ·AC ＋DM ·AB .[热点预测]15．(2013·吉林长春第一次调研)如图，已知⊙O 和⊙M 相交于A 、B 两点，AD 为⊙M 的直径，直线BD 交⊙O 于点C ，点G 为中点，连接AG 分别交⊙O 、BD 于点E 、F ，连接CE .(1)求证：AG ·EF ＝CE ·GD ；(2)求证：GF AG ＝EF 2CE 2.证明：(1)已知AD 为⊙M 的直径，连接AB ，则∠BCE ＝∠BAE ，∠CEF ＝∠ABC ＝90°，由点G 为的中点可知∠GAD ＝∠BAE ＝∠FCE ，故△CEF ∽△AGD ，所以有CE AG ＝EF GD ，即AG ·EF ＝CE ·GD .(2)由(1)知∠DFG ＝∠CFE ＝∠ADG ，故△AGD ∽△DGF ，所以GF DG ＝DG AG ＝EF CE ，即GF AG ＝EF 2CE 2.。

课时作业(一)一、选择题1．(2013·安徽卷)已知A＝{x|x＋1>0}，B＝{－2，－1,0,1}，则(∁A)∩B＝()RA．{－2，－1} B．{－2}C．{－1,0,1} D．{0,1}解析：集合A＝{x|x>－1}，所以∁R A＝{x|x≤－1}，所以(∁R A)∩B ＝{－2，－1}．答案：A2．(2013·天津卷)已知集合A＝{x∈R||x|≤2}，B＝{x∈R|x≤1}，则A∩B＝()A．(－∞，2] B．[1,2] C．[－2,2] D．[－2,1]解析：解不等式|x|≤2得，－2≤x≤2，所以A＝[－2,2]，又B＝(－∞，1]，所以A∩B＝[－2,1]．答案：D3．(2013·福建省高三上学期第一次联考)已知集合A＝{3，a2}，集合B＝{0，b,1－a}，且A∩B＝{1}，则A∪B＝() A．{0,1,3} B．{1,2,4}C．{0,1,2,3} D．{0,1,2,3,4}解析：因为a2＝1，所以a＝1或a＝－1，当a＝1时，B＝{0，b,0}与集合中元素互异性矛盾，所以舍去，故a＝－1，此时B＝{0，b,2}，所以b＝1，所以A∪B＝{0,1,2,3}．答案：C4．(2013·河南郑州第一次质量预测)若集合A＝{0,1,2，x}，B＝{1，x2}，A∪B＝A，则满足条件的实数x有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：∵A＝{0,1,2，x}，B＝{1，x2}，A∪B＝A，∴B⊆A，∴x2＝0或x2＝2或x2＝x，解得x＝0或2或－2或1.经检验当x＝2或－2时满足题意，故选B.答案：B5．(2013·合肥第二次质检)已知集合A＝{x∈R|x≥2}，B＝{x∈R|x2－x－2<0}且R为实数集，则下列结论正确的是() A．A∪B＝R B．A∩B≠ØC．A⊆(∁R B) D．A⊇(∁R B)解析：由题意可知B＝{x|－1<x<2}，故选C.答案：C6．(2013·山东烟台高三诊断性测试)若集合M＝{x∈N*|x<6}，N ＝{x||x－1|≤2}，则M∩(∁R N)＝()A．(－∞，－1) B．[1,3)C．(3,6) D．{4,5}解析：M＝{x∈N*|x<6}＝{1,2,3,4,5}，N＝{x||x－1|≤2}＝{x|－1≤x≤3}，∁R N＝{x|x<－1或x>3}．所以M∩(∁R N)＝{4,5}，选D.答案：D二、填空题7．已知集合A＝{(0,1)，(1,1)，(－1,2)}，B＝{(x，y)|x＋y－1＝0，x，y∈Z}，则A∩B＝______.解析：A，B都表示点集，A∩B即是由A中在直线x＋y－1＝0上的所有点组成的集合，代入验证即可．答案：{(0,1)，(－1,2)}8．设A ，B 是非空集合，定义A ×B ＝{x |x ∈A ∪B 且x ∉A ∩B }，已知A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |y ≥0}，则A ×B ＝______.解析：A ∪B ＝[0，＋∞)，A ∩B ＝[0,2]，所以A ×B ＝(2，＋∞)． 答案：(2，＋∞)9．设集合A ＝{x ||x －a |<1，x ∈R }，B ＝{x |1<x <5，x ∈R }，若A B ，则a 的取值范围为________．解析：由|x －a |<1得－1<x －a <1，∴a －1<x <a ＋1，由A B 得⎩⎪⎨⎪⎧a －1>1a ＋1<5，∴2<a <4. 又当a ＝2时，A ＝{x |1<x <3}满足A B ，a ＝4时，A ＝{x |3<x <5}也满足A B ，∴2≤a ≤4.答案：2≤a ≤4 三、解答题10．设A ＝{x |2x 2－px ＋q ＝0}，B ＝{x |6x 2＋(p ＋2)x ＋5＋q ＝0}，若A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，求A ∪B .解：∵A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，∴12∈A 且12∈B . 将12分别代入方程2x 2－px ＋q ＝0及6x 2＋(p ＋2)x ＋5＋q ＝0， 联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧12－12p ＋q ＝0，32＋12(p ＋2)＋5＋q ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－7，q ＝－4，∴A ＝{x |2x 2＋7x －4＝0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－4，12， B ＝{x |6x 2－5x ＋1＝0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，13，∴A ∪B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，13，－4. 11．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2，m ∈R }．(1)若A ∪B ＝A ，求实数m 的取值； (2)若A ∩B ＝{x |0≤x ≤3}，求实数m 的值； (3)若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围． 解：A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2} (1)∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，如图有：⎩⎪⎨⎪⎧ m －2≥－1m ＋2≤3，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ≥1m ≤1，∴m ＝1.(2)∵A ∩B ＝{x |0≤x ≤3}∴⎩⎪⎨⎪⎧m －2＝0m ＋2≥3，∴m ＝2.(3)∁R B ＝{x |x <m －2或x >m ＋2}． ∵A ⊆∁R B ∴m －2>3或m ＋2<－1， ∴m >5或m <－3.12．设全集I ＝R ，已知集合M ＝{x |(x ＋3)2≤0}，N ＝{x |x 2＋x －6＝0}．(1)求(∁I M )∩N ；(2)记集合A ＝(∁I M )∩N ，已知集合B ＝{x |a －1≤x ≤5－a ，a ∈R }，若B ∪A ＝A ，求实数a 的取值范围．解：(1)∵M ＝{x |(x ＋3)2≤0}＝{－3}， N ＝{x |x 2＋x －6＝0}＝{－3,2}， ∴∁I M ＝{x |x ∈R 且x ≠－3}， ∴(∁I M )∩N ＝{2}． (2)A ＝(∁I M )∩N ＝{2}，∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，∴B ＝Ø或B ＝{2}， 当B ＝Ø时，a －1>5－a ，∴a >3；当B ＝{2}时，⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝2，5－a ＝2，解得a ＝3，综上所述，所求a 的取值范围为{a |a ≥3}． [热点预测]13．(1)(2014·河北沧州高三质检)已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －21－2x >0，B ＝{}y |y ＝log 2(x －1)，x ∈[3，9]，则A ∩B ＝( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤12，3 B ．(2,3] C ．[1,2) D ．(1,2)(2)(2013·重庆市高三模拟)对于数集A ，B ，定义A ＋B ＝{x |x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B }，A ÷B ＝{x |x ＝a b ，a ∈A ，b ∈B }，若集合A ＝{1,2}，则集合(A ＋A )÷A 中所有元素之和为( )A.102B.152C.212D.232(3)已知U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－x －2＝0}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，B ∩(∁U A )＝Ø，则m ＝________.解析：(1)A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12<x <2，B ＝{y |1≤y ≤3}，∴A ∩B ＝[1,2)．(2)由已知A ＋A ＝{2,3,4}，所以(A ＋A )÷A ＝{2,1,3，32，4}，其和为232.(3)A ＝{－1,2}，B ＝Ø时，m ＝0； B ＝{－1}时，m ＝1；B ＝{2}时，m ＝－12. 答案：(1)C (2)D (3)0,1，－12。

课时作业(二十六)一、选择题1．(2013·辽宁五校第一次联考)设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，BC →2＝16，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，则|AM →|＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：由|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|得AB →·AC →＝0，所以AM 为直角三角形ABC 斜边上的中线，所以|AM →|＝12|BC →|＝2.答案：A2．(2013·内江第二次模拟)已知向量m ＝(1,2)，n ＝(1,1)且向量m 与m ＋λn 垂直，则λ＝( )A ．－35B ．－53 C.35 D.53解析：向量m 与m ＋λn 垂直，所以m ·(m ＋λn )＝m 2＋λm ·n ＝5＋3λ＝0得λ＝－53，选B.答案：B3．(2013·绵阳第三次诊断)如图所示，在△ABC 中，D 为BC 的中点，BP ⊥DA ，垂足为P ，且BP ＝2，则BC →·BP →＝( )A ．2B ．4C ．8D ．16解析：BP ⊥DA 则BP →·PD →＝0，D 为BC 中点，所以BC →·BP →＝2BD →·BP →＝2(BP →＋PD →)·BP →＝2BP →2＝8，选C.答案：C4．(2013·泰安质检)已知|a |＝1，|b |＝6，a ·(b －a )＝2，则向量a 与b 的夹角为( )A.π2B.π3C.π4D.π6解析：设a 与b 夹角为θ，则a ·(b －a )＝a ·b －a 2＝|a ||b |cos θ－|a |2＝1×6×cos θ－1＝2，∴cos θ＝12，∴θ＝π3，选B.答案：B5．(2013·辽宁六校联考)已知A 、B 、C 是平面上不共线的三点，且|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，动点P 满足OP →＝13[(1－λ)OA →＋(1－λ)OB →＋(1＋2λ)OC →]，λ∈R ，则点P 的轨迹一定经过( )A ．△ABC 的内心B ．△ABC 的垂心 C ．△ABC 的重心D ．AB 边的中点解析：取AB 的中点D ，则2OD →＝OA →＋OB →，∵OP →＝13[(1－λ)OA →＋(1－λ)OB →＋(1＋2λ)OC →]，∴OP →＝13[2(1－λ)·OD →＋(1＋2λ)OC →]＝2(1－λ)3OD →＋1＋2λ3OC →，而2(1－λ)3＋1＋2λ3＝1，∴P 、C 、D 三点共线，∴点P 的轨迹一定经过△ABC 的重心．答案：C6．(2013·淄博阶段性检测)如图，平行四边形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，∠A ＝60°，点M 在AB 边上，且AM ＝13AB ，则DM →·DB →等于( )A ．－32 B.32 C ．－1 D ．1解析：DM →＝DA →＋AM →＝DA →＋13DC →，DB →＝DA →＋DC →，∠ADC ＝120°， ∴DM →·DB →＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫DA →＋13DC →·(DA →＋DC →)＝DA →2＋13DC →2＋43DA →·DC →＝1＋43＋43×1×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝1，选D. 答案：D 二、填空题7．(2013·山东泰安第二次模拟)设单位向量e 1，e 2满足e 1·e 2＝－12，则|e 1＋2e 2|＝________.解析：|e 1＋2e 2|＝e 21＋4e 1·e 2＋4e 22＝5－2＝ 3. 答案： 38．(2013·陕西宝鸡第三次模拟)a ＝(0,1)，b ＝(1,0)且(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值为________．解析：(a －c )·(b －c )＝0得a ·b －|c |·|b ＋a |·cos θ＋|c |2＝0，〈c ，a ＋b 〉＝θ得|c |＝2cos θ，∴cos θ＝1时，|c |max ＝ 2.答案： 29．(2013·安徽卷)若非零向量a ，b 满足|a |＝3|b |＝|a ＋2b |，则a 与b 夹角的余弦值为________．解析：对向量的模同时平方可得，|a |2＝9|b |2＝|a ＋2b |2＝|a |2＋4|b |2＋4a ·b ，所以有4a ·b ＝－4|b |2，即cos 〈a ，b 〉＝－|b ||a |＝－13.答案：－1310．(2013·湖北武汉调研测试)已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则(1)DE →·CB →的值为________． (2)DE →·DC →的最大值为________．解析：(1)由正方形的性质，正方形的边长为1，DE →·CB →＝|DE →|·|CB →|cos ∠ADE ，而在直角三角形ADE 中，DA ＝DE ·cos ∠ADE ，∴DE →·|CB →|＝|DA →|·|DA →|＝1×1＝1.(2)法一：DE →·DC →＝|DE →|·|DC →|cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2－∠ADE ＝|DE →|sin ∠ADE ＝|AE→|≤|AB →|＝1，∴DE →·DC →的最大值为1.法二：由数量积的几何意义DE →·CB →为|CB →|与DE →在CB →上投影的积，而无论E 点在AB 的哪个位置DE →在CB →上的投影均为1∴DE →·CB →＝1同理DE →·DC →的最大值为E 在B 点时其值为1. 答案：1 1 三、解答题11．已知a ＝(1,2)，b ＝(－2，n )，a 与b 的夹角是45°. (1)求b ；(2)若c 与b 同向，且a 与c －a 垂直，求c . 解：(1)a ·b ＝2n －2，|a |＝5，|b |＝n 2＋4，∴cos 45°＝2n －25·n 2＋4＝22，∴3n 2－16n －12＝0(n >1)， ∴n ＝6或n ＝－23(舍)，∴b ＝(－2,6)． (2)由(1)知，a ·b ＝10，|a |2＝5.又c 与b 同向，故可设c ＝λb (λ>0)，(c －a )·a ＝0， ∴λb ·a －|a |2＝0，∴λ＝|a |2b ·a＝510＝12，∴c ＝12b ＝(－1,3)．12．(2013·辽宁卷)设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(1)若|a |＝|b |，求x 的值；(2)设函数f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值． 解：(1)由|a |2＝(3sin x )2＋(sin x )2＝4sin 2x ， |b |2＝(cos x )2＋(sin x )2＝1， 及|a |＝|b |，得4sin 2x ＝1.又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，从而sin x ＝12，所以x ＝π6.(2)f (x )＝a ·b ＝3sin x ·cos x ＋sin 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12，当x ＝π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6取最大值1.所以f (x )的最大值为32.13．(2013·无锡第一中学质检)已知圆心为O ，半径为1，弧度数为π的圆弧上有两点P ，C ，其中(如图)．(1)若P 为圆弧的中点，E 在线段OA 上运动，求|OP →＋OE →|的最小值；(2)若E ，F 分别为线段OA ，OC 的中点，当P 在圆弧上运动时，求PE →·PF →的最大值．解：(1)设OE ＝x (0≤x ≤1)，则|OP →＋OE →|2＝1＋2×1×x ×cos 3π4＋x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －222＋12，所以当x ＝22时，|OP →＋OE →|的最小值为22.(2)以O 为原点，BA 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，设P (x ，y )，则x 2＋y 2＝1(y ≥0)， PE →·PF →＝⎝⎛⎭⎪⎫12－x ，－y ·⎝⎛⎭⎪⎫－x ，12－y ＝1－12(x ＋y )， 所以PE →·PF →的最大值是32. [热点预测]14．(1)(2013·湖北武汉调研测试)在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，AB →·BC →＝1，则BC ＝________.(2)(2013·资阳第一次模拟)已知非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝233|a |，则向量a ＋b 与a －b 的夹角为________．(3)(2013·荆州质检(Ⅱ))在△ABC 中，O 是中线AM 上一个动点，若AM ＝4，则OA →·(OB →＋OC →)的最小值是( )A ．－4B ．－8C ．－10D ．－12 解析：(1)∵AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|cos(π－B )＝1， ∴|BC |cos B ＝－12，由余弦定理，|AC |2＝|AB |2＋|BC |2－2|AB |·|BC |cos B ∴32＝22＋|BC |2＋2，∴|BC |＝ 3.(2)由|a ＋b |＝|a －b |两边平方得a 2＋b 2＋2a ·b ＝a 2＋b 2－2a ·b ，∴a ·b ＝0由|a ＋b |＝233|a |两边平方得a 2＋b 2＋2a ·b ＝43a 2， ∴b 2＝13a 2设a ＋b 与a －b 夹角为θ，∴cos θ＝(a ＋b )·(a －b )|a ＋b ||a －b |＝a 2－b 2233|a |·233|a |＝23a 243a 2＝12，∴θ＝60°.(3)令|OA →|＝x ，则|OM →|＝4－x .(0<x <4)，M 为BC 边中点，∴OB →＋OC →＝2OM →∴OA →·(OB →＋OC →)＝OA →·2OM →＝－2x (4－x )≥－2·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4－x 22＝－8，当且仅当x ＝4－x ，即x ＝2时，取得最小值，即O 为AM 中点时OA →·(OB →＋OC →)的最小值是－8.选B.答案：(1)3 (2)60° (3)B。

课时作业(二十五)一、选择题1．(2013·成都市第三次诊断)已知向量a ＝(－2,4)，b ＝(－1，m )．若a ∥b ，则实数m 的值为( )A ．－12B ．－2C ．2 D.12解析：由a ∥b 可得－2m ＝－4得m ＝2，故选C.答案：C2．已知向量a ＝(3,1)，b ＝(1,3)，c ＝(k,7)，若(a －c )∥b ，则k ＝( )A ．3B ．0C ．5D ．－5解析：由已知得：(a －c )＝(3－k ，－6)，又∵(a －c )∥b ，∴3(3－k )＋6＝0，∴k ＝5.答案：C3．设向量a ＝(3，3)，b 为单位向量，且a ∥b ，则b ＝( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12或⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12或⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12 解析：设b ＝(x ，y )，由a ∥b 可得3y －3x ＝0，又x 2＋y 2＝1得b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12或b ＝⎝⎛⎭⎪⎫－32，－12. 答案：D4．如图，平面内的两条相交直线OP 1和OP 2将该平面分割成四个部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包含边界)．设OP →＝mOP 1→＋nOP 2→，且点P 落在第Ⅲ部分，则实数m ，n 满足()A ．m >0，n >0B ．m >0，n <0C ．m <0，n >0D ．m <0，n <0解析：由题意及平面向量基本定理易得在OP →＝mOP 1→＋nOP 2→中，m >0，n <0.答案：B5．已知向量OA →＝(1，－3)，OB →＝(2，－1)，OC →＝(m ＋1，m －2)，若点A 、B 、C 能构成三角形，则实数m 应满足的条件是( )A ．m ≠－2B ．m ≠12C ．m ≠1D ．m ≠－1解析：若点A 、B 、C 不能构成三角形，则只能共线．∵AB →＝OB →－OA →＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，AC →＝OC →－OA →＝(m ＋1，m －2)－(1，－3)＝(m ，m ＋1)．假设A 、B 、C 三点共线，则1×(m ＋1)－2m ＝0，即m ＝1.∴若A 、B 、C 三点能构成三角形，则m ≠1.答案：C6．(2013·广东卷)设a是已知的平面向量且a≠0.关于向量a的分解，有如下四个命题：①给定向量b，总存在向量c，使a＝b＋c；②给定向量b和c，总存在实数λ和μ，使a＝λb＋μc；③给定单位向量b和正数μ，总存在单位向量c和实数λ，使a ＝λb＋μc；④给定正数λ和μ，总存在单位向量b和单位向量c，使a＝λb ＋μc.上述命题中的向量b，c和a在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是()A．1 B．2 C．3 D．4解析：显然①②正确；对于③，当μ<|a|sin〈a，b〉时，不存在符合题意的单位向量c和实数λ，③错；对于④，当λ＝μ＝1，|a|>2时，易知④错．答案：B二、填空题7．(2013·河南郑州第一次质量预测)已知向量a＝(1,2)，b＝(x,6)，且a∥b，则|a－b|＝________.解析：由a＝(1,2)，b＝(x,6)，a∥b，得x＝3，故|a－b|＝(－2)2＋(－4)2＝2 5.答案：2 58．(2013·安徽亳州摸底联考)已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若m a＋n b与a－2b共线，则nm等于________．解析：m a＋n b＝m(2,3)＋n(－1,2)＝(2m－n,3m＋2n) a－2b＝(2,3)－2(－1,2)＝(4，－1)∵m a ＋n b 与a －2b 共线，∴－(2m －n )－4(3m ＋2n )＝0∴n m ＝－2.答案：－29．梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别是CD ，AB的中点，设AB →＝a ，AD →＝b .若MN →＝m a ＋n b ，则n m ＝________.解析：∵MN →＝MD →＋DA →＋AN →＝－14a －b ＋12a ＝14a －b ，∴m ＝14，n ＝－1.∴n m ＝－4.答案：－4三、解答题10．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2，－1)．(1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数t 满足(AB →－tOC →)·OC →＝0，求t 的值．解：(1)由题设知AB →＝(3,5)，AC →＝(－1,1)，则AB →＋AC →＝(2,6)，AB →－AC →＝(4,4)．所以|AB →＋AC →|＝210，|AB →－AC →|＝4 2.故所求的两条对角线长分别为42，210.(2)由题设知OC →＝(－2，－1)，AB →－tOC →＝(3＋2t,5＋t )．由(AB →－tOC →)·OC →＝0，得(3＋2t,5＋t )·(－2，－1)＝0，从而5t ＝－11，所以t ＝－115.11．(2013·江西南昌调研)已知向量OA →＝3i －4j ，OB →＝6i －3j ，OC →＝(5－m )i －(3＋m )j ，其中i ，j 分别是直角坐标系内x 轴与y 轴正方向上的单位向量．(1)A ，B ，C 能构成三角形，求实数m 应满足的条件．(2)对任意m ∈[1,2]使不等式AC →2≤－x 2＋x ＋3恒成立，求x 的取值范围．解：(1)AB →＝(3,1)，AC →＝(2－m,1－m )，∵AB →，AC →不共线，∴3(1－m )≠2－m ，m ≠12.(2)因为AC →2＝(2－m )2＋(1－m )2＝2m 2－6m ＋5，所以，当m ＝1或2时，AC →2最大，最大值是1，所以1≤－x 2＋x ＋3，即x 的取值范围是[－1,2]．12．(2013·四川省成都市一诊)在△ABC 中，已知内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，向量m ＝(2sin B ，－3)，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2B ，2cos 2B 2－1，且m ∥n . (1)求锐角B 的大小；(2)如果b ＝2，求△ABC 的面积S △ABC 的最大值．解：(1)∵m ∥n⇒2sin B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2B 2－1＝－3cos 2B ∴tan 2B ＝－3，又0<B <π2，∴0<2B <π，∴2B ＝2π3，B ＝π3(2)由tan 2B ＝－3，0<B <π，得B ＝π3，5π6①当B ＝π3时，已知b ＝2，由余弦定理得：4＝a 2＋c 2－ac ≥ac (当且仅当a ＝c ＝2时等号成立)∵△ABC 的面积S △ABC ＝12ac sin B ＝34ac ≤3，∴△ABC 的面积最大值为 3②当B ＝5π6时，已知b ＝2，由余弦定理得：4＝a 2＋c 2＋3ac ≥(2＋3)ac ⇒ac ≤4(2－3)(当且仅当a ＝c ＝6－2时等号成立)∵△ABC 的面积S △ABC ＝12ac sin B ＝14ac ≤2－ 3∴△ABC 的面积最大值为 3.[热点预测]13．(1)△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，且p ∥q ，则角C ＝________.(2)(2013·浙江杭州第二次质检)在△OAB 中，C 为OA 上的一点，且OC →＝23OA →，D 是BC 的中点，过点A 的直线l ∥OD ，P 是直线l 上的动点，OP →＝l 1OB →＋l 2OC →，则l 1－l 2＝________.解析：(1)因为p ∥q ，则(a ＋c )(c －a )－b (b －a )＝0，所以a 2＋b 2－c 2＝ab ，a 2＋b 2－c 22ab ＝12， 结合余弦定理知，cos C ＝12，又0°<C <180°，∴C ＝60°.(2)由已知OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋λOD →＝32OC →＋12λ(OB →＋OC →)＝λ2OB →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋λ2OC →＝l 1OB →＋l 2OC →，即可得l 1＝λ2，l 2＝32＋λ2，则l 1－l 2＝－32. 答案：(1)60° (2)－32。

质量检测(二)测试内容：三角函数 平面向量 解三角形 复数时间：90分钟 分值：120分一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1．(2013·黄冈模拟)sin 2 013°的值属于区间( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 解析：sin 2 013°＝sin(360°×5＋213°)＝sin 213°＝－sin 33°，即sin 30°<sin 33°，所以－sin 33°<－12，故选B.答案：B2．(2013·武汉四月调研)若复数7＋b i3＋4i (b ∈R )的实部与虚部互为相反数，则b ＝( )A ．－7B ．－1C ．1D ．7解析：7＋b i 3＋4i ＝(7＋b i )(3－4i )(3＋4i )(3－4i )＝21＋4b 25＋3b －2825i ，实部与虚部互为相反数，则有21＋4b 25＋3b －2825＝0，解得b ＝1，选C.答案：C3．(2013·重庆模拟)已知向量a ＝(2，k )，b ＝(1,2)，若a ∥b ，则k 的值为( )A ．4B ．1C ．－1D ．－4解析：由a ∥b ⇒2×2＝k ×1⇒k ＝4，故选A. 答案：A4．(2013·重庆市六区调研抽测)设e 1，e 2是夹角为2π3的单位向量，且a ＝2e 1＋3e 2，b ＝k e 1－4e 2.若a ⊥b ，则实数k 的值为( )A.167B.327 C ．16 D ．32解析：∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0，(2e 1＋3e 2)·(k e 1－4e 2)＝2k |e 1|2－12|e 2|2＋(3k －8)e 1·e 2＝2k －12＋(3k －8)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0，得k ＝16.答案：C5．(2013·辽宁大连第一次模拟)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫x ∈R ，A >0，ω>0，|φ|<π2的图象(部分)如图所示，则ω，φ分别为( )A ．ω＝π，φ＝π3 B ．ω＝2π，φ＝π3 C ．ω＝π，φ＝π6 D ．ω＝2π，φ＝π6解析：由所对应函数的图象知A ＝2，14T ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫56－13，得T ＝2，所以ω＝π，又因为函数图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫13，2，代入2sin(πx ＋φ)得φ＝π6，故选C.答案：C6．(2013·湖北卷)将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R )的图象向左平移m (m >0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( )A.π12B.π6C.π3D.5π6解析：y ＝3cos x ＋sin x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos x ＋12sin x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象向左平移m 个单位后，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋m ＋π3的图象，此图象关于y轴对称，则x ＝0时，y ＝±2，即2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋π3＝±2，所以m ＋π3＝π2＋kπ，k ∈Z ，由于m >0，所以m min ＝π6，故选B.答案：B7．(2013·武汉市高中毕业生四月调研测试)已知tan α＝2，则4sin 3α－2cos α5cos α＋3sin α＝( )A.25B.511C.35D.711解析：由tan α＝2得sin α＝2cos α，又因为sin 2α＋cos 2α＝1所以sin 2α＝45，原式4sin 3 α－2cos α5cos α＋3sin α＝4sin 2α·tan α－25＋3tan α＝4×45×2－25＋6＝25，选A.答案：A8．(2013·保定第一次模拟)若平面向量a ，b ，c 两两所成的角相等，且|a |＝1，|b |＝1，|c |＝3，则|a ＋b ＋c |等于( )A ．2B ．5C ．2或5 D.2或 5解析：由已知a ，b ，c 两两夹角相等，故其夹角为0°或120°，|a ＋b ＋c |2＝|a |2＋|b |2＋|c |2＋2(|a ||b |cos θ＋|b ||c |cos θ＋|a ||c |cos θ)代入数据易得θ＝0°时，|a ＋b ＋c |＝5；θ＝120°时，|a ＋b ＋c |＝2，故选C.答案：C9．(2013·安徽卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ，则角C ＝( )A.π3B.2π3C.3π4D.5π6解析：根据正弦定理可将3sin A ＝5sin B 化为3a ＝5b ，所以a ＝53b ，代入b ＋c ＝2a 可得c ＝73b ，然后结合余弦定理可得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，所以角C ＝2π3.答案：B10．(2013·郑州第三次质量预测)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，a ＝6，b ＝2，且1＋2cos(B ＋C )＝0，则△ABC 的BC 边上的高等于( )A. 2B.62 C.6＋22 D.3＋12解析：设BC 边上的高为h ，则由1＋2cos(B ＋C )＝0⇒cos A ＝12，又0<A <π，A ＝π3，由正弦定理a sin A ＝b sin B ⇒sin B ＝22⇒B ＝π4，故有sin 15°＝6－h 2⇒h ＝6＋22.或由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos 75°＝4＋23＝(3＋1)2得c ＝3＋1，h ＝c ·sin π4＝6＋22.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．(2013·厦门市高三质检)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝35，则cos 2x ＝________.解析：sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－x ＝cos x ＝35，∴cos 2x ＝2cos 2x －1＝－725.答案：－72512．(2013·江西八校联考)已知向量a ，b ，满足|a |＝2，|b |＝1，且(a ＋b )⊥⎝⎛⎭⎪⎫a －52b ，则a 与b 的夹角为________． 解析：(a ＋b )⊥⎝⎛⎭⎪⎫a －52b ⇒(a ＋b )·⎝⎛⎭⎪⎫a －52b ＝0⇒a 2－52b 2－32|a |·|b |·cos θ＝0⇒cos θ＝12，又两向量夹角范围为[0°，180°]，故θ＝60°.答案：60°13．(2013·资阳第一次模拟)在钝角△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A 、B 、C 的对边，b ＝1，c ＝3，∠B ＝30°，则△ABC 的面积等于________．解析：由正弦定理b sin B ＝csin Csin C ＝c b sin B ＝32，又△ABC 为钝角三角形，则C ＝120°，A ＝30°.S △ABC ＝12×1×3×12＝34.答案：3414．(2013·荆门高三调考)已知|OA →|＝1，|OB →|≤1，且S △OAB ＝14，则OA →与OB →夹角的取值范围是________．解析：S △OAB ＝12|OA →||OB →|·sin θ＝12|OB →|·sin θ＝14，∴sin θ＝12|OB →|≥12，∴π6≤θ≤56π.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)15．(满分12分)(2013·陕西卷)已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x ，－12，b ＝()3sin x ，cos 2x ，x ∈R ，设函数f (x )＝a ·b . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值． 解：f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫cos x ，－12·()3sin x ，cos 2x＝3cos x sin x －12cos 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＝cos π6sin 2x －sin π6cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.(1)f (x )的最小正周期为T ＝2πω＝2π2＝π， 即函数f (x )的最小正周期为π. (2)∵0≤x ≤π2，∴－π6≤2x －π6≤5π6. 由正弦函数的性质，知当2x －π6＝π2，即x ＝π3时， f (x )取得最大值1. 当2x －π6＝－π6，即x ＝0时， f (0)＝－12，当2x －π6＝5π6，即x ＝π2时， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝12，∴f (x )的最小值为－12.因此， f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值是1，最小值是－12. 16．(满分12分)(2013·天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c .已知b sin A ＝3c sin B ，a ＝3，cos B ＝23.(1)求b 的值； (2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π3的值．解：(1)在△ABC 中，由a sin A ＝bsin B ，可得b sin A ＝a sin B ，又由b sin A ＝3c sin B ，可得a ＝3c ，又a ＝3，故c ＝1.由b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，cos B ＝23，可得b ＝ 6.(2)由cos B ＝23，得sin B ＝53，从而得cos 2B ＝2cos 2B －1＝－19，sin 2B ＝2sin B cos B ＝459.所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π3＝sin 2B cos π3－cos 2B sin π3＝45＋318. 17．(满分13分)(2013·资阳第一次模拟)设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋sin 2x .(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12α－π6＝13，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求f (α)的值．解：f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋sin 2x＝cos 2x cos π6－sin 2x sin π6＋sin 2x ＝32cos 2x ＋12sin 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.(1)令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，则k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z ，∴函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z )．(2)由(1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12α－π6＝sin α＝13，∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos α＝－223， 故sin 2α＝2×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－223＝－429，cos 2α＝2⎝⎛⎭⎪⎫－2232－1＝79， ∵f (α)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝12sin 2α＋32cos 2α＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－429＋32×79＝73－4218. 18．(满分13分)(2013·重庆卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2＝b 2＋c 2＋3bc .(1)求A ；(2)设a ＝3，S 为△ABC 的面积，求S ＋3cos B cos C 的最大值，并指出此时B 的值．解：(1)由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc2bc ＝－32.又0<A <π，所以A ＝5π6.(2)由(1)得sin A ＝12，又由正弦定理及a ＝3得 S ＝12bc sin A ＝12·a sin B sin A ·a sin C ＝3sin B sin C ， 因此，S ＋3cos B cos C ＝3(sin B sin C ＋cos B cos C )＝3cos(B －C )． 所以，当B ＝C ，即B ＝π－A 2＝π12时，S ＋3cos B cos C 取最大值3.。

课时作业(四)一、选择题1．下列函数中，与函数y ＝13x定义域相同的函数为( ) A ．y ＝1sin x B ．y ＝ln xx C ．y ＝x e xD ．y ＝sin xx解析：函数y ＝13x的定义域为{x |x ≠0}，选项A 中由sin x ≠0⇒x ≠kπ，k ∈Z ，故A 不对；选项B 中x >0，故B 不对；选项C 中x ∈R ，故C 不对；选项D 中由正弦函数及分式型函数的定义域确定方法可知定义域为{x |x ≠0}．答案：D2．若f (x )对于任意实数x 恒有2f (x )－f (－x )＝3x ＋1，则f (x )＝( )A ．x －1B ．x ＋1C ．2x ＋1D ．3x ＋3 解析：由题意知2f (x )－f (－x )＝3x ＋1.①将①中x 换为－x ，则有2f (－x )－f (x )＝－3x ＋1.② ①×2＋②得3f (x )＝3x ＋3， 即f (x )＝x ＋1. 答案：B3．已知函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＝x 2＋1x 2，则f (3)＝( ) A ．8 B ．9 C ．11 D ．10解析：∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 2＋2，∴f (3)＝9＋2＝11. 答案：C4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2，x ∈[－1，2]，x －3，x ∈(2，5]，则方程f (x )＝1的解是( )A.2或2B.2或3C.2或4 D ．±2或4 解析：(1)当x ∈[－1,2]时，由3－x 2＝1⇒x ＝2； (2)当x ∈(2,5]时，由x －3＝1⇒x ＝4. 综上所述，f (x )＝1的解为2或4. 答案：C5．(2013·重庆卷)函数y ＝1log 2(x －2)的定义域是( )A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(2,3)∪(3，＋∞)D ．(2,4)∪(4，＋∞)解析：由题可知⎩⎪⎨⎪⎧x －2>0x －2≠1，所以x >2且x ≠3，故选C.答案：C6．(2013·山东潍坊模拟)某学校要召开学生代表大会，规定根据班级人数每10人给一个代表名额，当班级人数除以10的余数大于6时，再增加一名代表名额．那么各班代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可表示为( )A ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 10B ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋310 C ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋410 D ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋510解析：由题意可得余数从7开始就应增加一名代表名额，故选B.答案：B 二、填空题7．(2013·湛江市普通高考测试题(二))已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤0log 3x ，x >0，那么f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝________.解析：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝log 313＝－1，f (－1)＝2－1＝12，∴f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝12. 答案：128．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2ax ，x ≥2，2x ＋1，x <2，若f []f (1)>3a 2，则a 的取值范围是________．解析：由题知，f (1)＝2＋1＝3, f []f (1)＝f (3)＝32＋6a ，若f []f (1)>3a 2，则9＋6a >3a 2，即a 2－2a －3<0，解得－1<a <3.答案：(－1,3)9．已知a ，b 为两个不相等的实数，集合M ＝{a 2－4a ，－1}，N ＝{b 2－4b ＋1，－2}，f ：x →x 表示把M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a ＋b 等于________．解析：由已知可得M ＝N ，由⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－4a ＝－2，b 2－4b ＋1＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4a ＋2＝0，b 2－4b ＋2＝0，所以a ，b 是方程x 2－4x ＋2＝0的两根，故a ＋b ＝4. 答案：4三、解答题10．若函数f (x )＝xax ＋b (a ≠0)，f (2)＝1，又方程f (x )＝x 有惟一解，求f (x )的解析式．解：由f (2)＝1得22a ＋b＝1，即2a ＋b ＝2；由f (x )＝x 得xax ＋b ＝x ，变形得x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1ax ＋b －1＝0，解此方程得x ＝0或x ＝1－ba ， 又因方程有惟一解，故1－ba ＝0， 解得b ＝1，代入2a ＋b ＝2得a ＝12， 所以f (x )＝2xx ＋2.11．已知函数f (x )＝2x －1，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－1，x <0，求f [g (x )]和g [f (x )]的解析式．解：当x ≥0时，g (x )＝x 2， f [g (x )]＝2x 2－1， 当x <0时，g (x )＝－1， f [g (x )]＝－2－1＝－3，∴f [g (x )]＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－1，x ≥0，－3，x <0.∵当2x －1≥0，即x ≥12时，g [f (x )]＝(2x －1)2， 当2x －1<0，即x <12时，g [f (x )]＝－1，∴g [f (x )]＝⎩⎪⎨⎪⎧(2x －1)2，x ≥12，－1，x <12.12．如图1是某公共汽车线路收支差额y 元与乘客量x 的图象．(1)试说明图1上点A 、点B 以及射线AB 上的点的实际意义； (2)由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议，如图2、3所示．你能根据图象，说明这两种建议的意义吗？(3)此问题中直线斜率的实际意义是什么？ (4)图1、图2、图3中的票价分别是多少元？解：(1)点A 表示无人乘车时收支差额为－20元，点B 表示有10人乘车时收支差额为0元，线段AB 上的点表示亏损，AB 延长线上的点表示赢利．(2)图2的建议是降低成本，票价不变，图3的建议是提高票价． (3)斜率表示票价．(4)图1、2中的票价是2元．图3中的票价是4元． [热点预测]13．(1)具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”交换的函数，下列函数：①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝x ＋1x ；③f (x )＝⎩⎨⎧x ，0<x <10，x ＝1－1x ，x >1中满足“倒负”变换的函数是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．只有①(2)(2013·安阳模拟)函数y ＝x ＋1＋(x －1)0lg (2－x )的定义域是________．解析：(1)①f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x －x ＝－f (x )满足．②f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x ＋x ＝f (x )不满足． ③0<x <1时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－x ＝－f (x )，x ＝1时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝0＝－f (x )，x >1时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x ＝－f (x )满足．故选B.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，x －1≠0，2－x >0，2－x ≠1得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－1，x ≠1，x <2，则⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x <2，x ≠1所以定义域是 {x |－1≤x <1或1<x <2}．答案：(1)B (2){x |－1≤x <1或1<x <2}。

课时作业(二十八)一、选择题1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2(a n －1)，则a 2等于( )A ．4B ．2C ．1D ．－2解析：由题可知S n ＝2(a n －1)，所以S 1＝a 1＝2(a 1－1)，解得a 1＝2.又S 2＝a 1＋a 2＝2(a 2－1)，解得a 2＝a 1＋2＝4.答案：A2．按数列的排列规律猜想数列23，－45，67，－89，…的第10项是( )A ．－1617B ．－1819C ．－2021D ．－2223解析：所给数列呈现分数形式，且正负相间，容易归纳出数列{a n }的通项公式，a n ＝(－1)n ＋1·2n 2n ＋1，故a 10＝－2021. 答案：C3．数列{a n }的前n 项积为n 2，那么当n ≥2时，a n ＝( )A ．2n －1B ．n 2 C.(n ＋1)2n 2 D.n 2(n －1)2解析：设数列{a n }的前n 项积为T n ，则T n ＝n 2，当n ≥2时，a n ＝TT n －1＝n 2(n －1)2. 答案：D4．数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N *)，a 2＝2，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21为( )A ．5 B.72 C.92 D.132解析：∵a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N *)，∴a 1＝12－a 2＝12－2，a 2＝2，a 3＝12－2，a 4＝2，…，故a 2n ＝2，a 2n －1＝12－2.∴S 21＝10×12＋a 1＝5＋12－2＝72.答案：B5．数列{a n }中，a 1＝1，对于所有的n ≥2，n ∈N *都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5等于( )A.6116B.259C.2516D.3115解析：由题意知：a 1·a 2·a 3·…·a n －1＝(n －1)2，∴a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n n －12(n ≥2)，∴a 3＋a 5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫542＝6116. 答案：A6．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10……这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16……这样的数称为“正方形数”．如图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和，下列等式中，符合这一规律的表达式为( )①13＝3＋10；②25＝9＋16；③36＝15＋21；④49＝18＋31；⑤64＝28＋36A．③⑤B．②④⑤C．②③④D．①②③⑤解析：这些三角形数的规律是1,3,6,10,15,21,28,36,45，…，且正方形数是这串数中相邻两数之和，很容易看到：恰有15＋21＝36,28＋36＝64，只有③⑤是对的．答案：A二、填空题7．(2014·浙江温州八校期初联考)用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为________．解析：由图可知，第一条“金鱼”需火柴棒a1＝8，第二条“金鱼”需火柴棒a2＝14，依次类推a3＝20条，a n比a n－1多6条，∴a n －a n－1＝6，∴a n＝a1＋6(n－1)＝6n＋2.答案：6n＋28．已知数列{a n }满足a st ＝a s a t (s ，t ∈N *)，且a 2＝2，则a 8＝________.解析：令s ＝t ＝2，则a 4＝a 2×a 2＝4，令s ＝2，t ＝4，则a 8＝a 2×a 4＝8.答案：89．已知{a n }的前n 项和为S n ，且满足log 2(S n ＋1)＝n ＋1，则a n ＝________.解析：由已知条件可得S n ＋1＝2n ＋1.则S n ＝2n ＋1－1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝3，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1－1－2n ＋1＝2n ，n ＝1时不适合a n ，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3， n ＝1，2n ， n ≥2. 答案：⎩⎪⎨⎪⎧3， n ＝1，2n ， n ≥2. 三、解答题10．数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2－7n ＋6.(1)这个数列的第4项是多少？(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？(3)该数列从第几项开始各项都是正数？解：(1)当n ＝4时，a 4＝42－4×7＋6＝－6.(2)令a n ＝150，即n 2－7n ＋6＝150，解得n ＝16或n ＝－9(舍去)，即150是这个数列的第16项．(3)令a n ＝n 2－7n ＋6>0，解得n >6或n <1(舍)．∴从第7项起各项都是正数．11．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋2n ，数列{b n }的前n 项和T n ＝2－b n .求数列{a n }与{b n }的通项公式．解：∵当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2＋2n )－[2(n －1)2＋2(n －1)]＝4n ，当n ＝1时，a 1＝S 1＝4也适合，∴{a n }的通项公式是a n ＝4n (n ∈N *)．∵T n ＝2－b n ，∴当n ＝1时，b 1＝2－b 1，b 1＝1.当n ≥2时，b n ＝T n －T n －1＝(2－b n )－(2－b n －1)，∴2b n ＝b n －1，∴数列{b n }是公比为12，首项为1的等比数列．∴b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1. 12．已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝－13，a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝2n －6.(1)设b n ＝a n ＋1－a n ，求数列{b n }的通项公式．(2)求n 为何值时a n 最小．解：(1)由a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝2n －6得，(a n ＋2－a n ＋1)－(a n ＋1－a n )＝2n －6.∴b n ＋1－b n ＝2n －6.当n ≥2时，b n －b n －1＝2(n －1)－6b n －1－b n －2＝2(n －2)－6⋮b 3－b 2＝2×2－6b 2－b 1＝2×1－6累加得b n －b 1＝2(1＋2＋…＋n －1)－6(n －1)＝n (n －1)－6n ＋6＝n 2－7n ＋6.又b 1＝a 2－a 1＝－14，∴b n ＝n 2－7n －8(n ≥2)，n ＝1时，b 1也适合此式，故b n ＝n 2－7n －8.(2)由b n ＝(n －8)(n ＋1)得a n ＋1－a n ＝(n －8)(n ＋1)，∴当n <8时，a n ＋1<a n .当n ＝8时，a 9＝a 8.当n >8时，a n ＋1>a n .∴当n ＝8或n ＝9时，a n 的值最小．[热点预测]13．(1)已知数列{a n }中，a 2＝102，a n ＋1－a n ＝4n ，则数列{a n n }的最小项是( )A ．第6项B ．第7项C ．第8项D ．第9项(2)已知数列{a n }中，S n 是其前n 项和，若a 1＝1，a 2＝2，a n a n ＋1a n ＋2＝a n ＋a n ＋1＋a n ＋2，且a n ＋1a n ＋2≠1，则a 1＋a 2＋a 3＝________，S 2 013＝________.(3)(2013·江西八校联考)将石子摆成如图的梯形形状．称数列5,9,14,20，…为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第2 014项与5的差，即a 2 014－5＝( )A ．2 020×2 014B ．2 020×2 013C ．1 010×2 014D ．1 010×2 013解析：(1)根据a n ＋1－a n ＝4n ，得a 2－a 1＝4，故a 1＝98，由于a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝98＋4×1＋4×2＋…＋4×(n －1)＝98＋2n (n －1)，所以a n n ＝98n ＋2n －2≥298n ·2n －2＝26，当且仅当98n ＝2n ，即n ＝7时等号成立．(2)由1×2×a 3＝1＋2＋a 3，得a 3＝3，a 1＋a 2＋a 3＝6.继续依据递推关系得到a 4＝1，a 5＝2，a 6＝3，…，故该数列是周期为3的数列，S 2 013＝6×2 0133＝4 026.(3)因为a n －a n －1＝n ＋2(n ≥2)，a 1＝5， ∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝(n ＋2)＋(n ＋1)＋…＋4＋5 ＝(n －1)(n ＋2＋4)2＋5 所以a n ＝5＋(n ＋6)(n －1)2， 所以a 2 014－5＝1 010×2 013. 答案：(1)B (2)6 4 026 (3)D。

课时作业(六十)一、填空题1．(2013·北京朝阳期末考试)在极坐标系中，过圆ρ＝4cos θ的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程为________．解析：圆ρ＝4cos θ即x 2＋y 2＝4x ，故圆心为(2,0)，所求直线为x ＝2，其极坐标方程为ρ cos θ＝2.答案：ρcos θ＝22．(2013·江西红色六校第二次联考)化极坐标方程ρ2cos θ－ρ＝0为直角坐标方程为________．解析：由ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y 得ρ2cos θ－ρ＝0即为ρ(ρcos θ－1)＝0，∴(x 2＋y 2)·(x －1)＝0，∴x 2＋y 2＝0或x －1＝0.答案：x 2＋y 2＝0或x ＝13．(2013·广州调研测试)已知圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝sin θ＋2(θ为参数)，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为ρsin θ＋ρcos θ＝1，则直线截圆C 所得的弦长是________．解析：圆C 的参数方程化为平面直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝1，直线的极坐标方程化为平面直角坐标方程为x ＋y ＝1，如图所示，圆心到直线的距离d ＝|0＋2－1|2＝22， 故圆C 截直线所得的弦长为212－d 2＝ 2.答案： 24．(2013·3月襄阳调研统一测试)在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos αy ＝1＋sin α(α为参数)与曲线ρ2－2ρcos θ＝0的交点个数为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos αy ＝1＋sin α得x 2＋(y －1)2＝1，由ρ2－2ρcos θ＝0得x 2＋y 2－2x ＝0，即(x －1)2＋y 2＝1，而方程x 2＋(y －1)2＝1与(x －1)2＋y 2＝1都是圆的方程，半径都是1，圆心距离为12＋12＝2<2，故两个圆相交，有两个交点．答案：25．(2013·黄冈质检)曲线C 1的极坐标方程ρcos 2θ＝sin θ，曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－t y ＝1－t ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则曲线C 1上的点与曲线C 2上的点最近的距离为________．解析：由ρcos 2θ＝sin θ，则y ＝x 2，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－t y ＝1－t ，则x －y ＝2，设平行于直线x －y ＝2且与曲线y ＝x 2相切的直线方程为x －y ＝a ，根据⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2x －y ＝a ，整理为x 2－x ＋a ＝0， 由Δ＝1－4a ＝0，得a ＝14，又直线x －y －2＝0与x －y －14＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2＋142＝728，故曲线C 1上的点与曲线C 2上的点最近的距离为两平行直线间的距离，即为728.答案：7286．(2013·湖南重点高中十校联考)在平面直角坐标系中，已知直线l ：ρcos θ＋ρsin θ＝2(θ为参数)和曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋2y ＝t 2(t 为参数)，若l 与C 相交于A 、B 两点，则|AB |＝________.解析：直线方程为x ＋y －2＝0，曲线C ：y ＝(x －2)2，把直线方程代入曲线方程得，x 2－5x ＋4＝0，x 1＋x 2＝5，x 1x 2＝4，由弦长公式得|AB |＝1＋(－1)252－4×4＝3 2.答案：3 27．(2013·湖北八市三月调考)设直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t y ＝a ＋3t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，另一直线l 2的方程为ρsin θ－3ρcos θ＋4＝0，若直线l 1与l 2间的距离为10，则实数a 的值为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t y ＝a ＋3t 消去t 得3x －y －3＋a ＝0，由ρsin θ－3ρcos θ＋4＝0化为普通方程得3x －y －4＝0，∵直线l 1与l 2间的距离为10， ∴10＝|－4＋3－a |32＋(－1)2，解得a ＝9或－11. 答案：9或－118．(2013·安徽省“江南十校”高三联考)在极坐标系中，直线ρcos θ－ρsin θ＋1＝0与圆ρ＝2sin θ的位置关系是________．解析：直线方程为x －y ＋1＝0，圆的方程为x 2＋y 2－2y ＝0，即x 2＋(y －1)2＝1，直线过点(0,1)，而(0,1)为圆心，所以直线与圆相交．答案：相交9．(2013·上海卷)在极坐标系中，曲线ρ＝cos θ＋1与ρcos θ＝1的公共点到极点的距离为________．解析：联立方程组得ρ(ρ－1)＝1⇒ρ＝1±52，又ρ≥0，故所求为1＋52.答案：1＋52二、解答题10．(2013·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t ＋1y ＝2t (t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2tan 2θy ＝2tan θ(θ为参数)．试求直线l 和曲线C 的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．解：因为直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1y ＝2t (t 为参数)，由x ＝t ＋1得t ＝x －1，代入y ＝2t ，得到直线l 的普通方程为2x －y －2＝0.同理得到曲线C 的普通方程为y 2＝2x .解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2(x －1)，y 2＝2x ，得公共点的坐标为(2,2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1. 11．(2013·福建卷)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝a ，且点A 在直线l 上． (1)求a 的值及直线l 的直角坐标方程；(2)圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos αy ＝sin α(α为参数)，试判断直线l 与圆C 的位置关系．解：(1)由点A ⎝⎛⎭⎪⎫2，π4在直线ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝a 上，可得a ＝ 2. 所以直线l 的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2，从而直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.(2)由已知得圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，所以圆C 的圆心为(1,0)，半径r ＝1，因为圆心C 到直线l 的距离d ＝12＝22<1，所以直线l 与圆C 相交．12．(2013·辽宁卷)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C 1，直线C 2的极坐标方程分别为ρ＝4sinθ，ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2 2. (1)求C 1与C 2交点的极坐标；(2)设P 为C 1的圆心，Q 为C 1与C 2交点连线的中点．已知直线PQ 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t 3＋a y ＝b 2t 3＋1(t ∈R 为参数)，求a ，b 的值． 解：(1)圆C 1的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4，直线C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.解⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋(y －2)2＝4，x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝0，y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2，y 2＝2. 所以C 1与C 2交点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4. 注：极坐标系下点的表示不惟一．(2)由(1)可得，P 点与Q 点的直角坐标分别为(0,2)，(1,3)． 故直线PQ 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0，由参数方程可得y ＝b 2x －ab 2＋1.所以⎩⎪⎨⎪⎧ b 2＝1，－ab 2＋1＝2，解得a ＝－1，b ＝2.13．(2013·东北三校第一次联考)在直角坐标系xOy 中，圆C 1和C 2的参数方程分别是⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2＋2cos φy ＝2sin φ(φ为参数)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φy ＝1＋sin φ(φ为参数)．以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求圆C 1和C 2的极坐标方程；(2)射线OM ：θ＝α与圆C 1的交点为O 、P ，与圆C 2的交点为O 、Q ，求|OP |·|OQ |的最大值．解：(1)圆C 1和C 2的普通方程分别是(x －2)2＋y 2＝4和x 2＋(y －1)2＝1，所以圆C 1和C 2的极坐标方程分别是ρ＝4cos θ和ρ＝2sin θ.(2)依题意得，点P ，Q 的极坐标分别为P (4cos α，α)和Q (2sin α，α)所以|OP |＝|4cos α|，|OQ |＝|2sin α|.从而|OP |·|OQ |＝|4sin 2α|≤4. 当且仅当sin 2α＝±1时，上式取“＝”即|OP |·|OQ |的最大值是4.14．(2013·辽宁卷)在直角坐标xOy 中，圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：(x －2)2＋y 2＝4.(1)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C 1，C 2的极坐标方程，并求出圆C 1，C 2的交点坐标(用极坐标表示)；(2)求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程．解：(1)圆C 1：x 2＋y 2＝4的极坐标方程为ρ＝2，圆C 2：(x －2)2＋y 2＝4的极坐标方程为ρ＝4cos θ，由⎩⎪⎨⎪⎧ ρ＝4cos θρ＝2得⎩⎨⎧ θ＝±π3ρ＝2，故圆C 1与圆C 2交点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，⎝⎛⎭⎪⎫2，－π3 (2)法一：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ，得圆C 1与圆C 2交点的直角坐标为(1，3)，(1，－3)，故圆C 1与圆C 2交点的公共弦的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1y ＝t ，t ∈[－3， 3 ]法二：将x ＝1代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ，得ρcos θ＝1， 从而ρ＝1cos θ故圆C 1与圆C 2交点的公共弦的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝1y ＝ρsin θ＝sin θcos θ＝tan θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3.15．(2014·河北沧州质量监测)曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2cos θ－2sin θ. (1)化曲线C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)设曲线C 1与x 轴的一个交点的坐标为P (m,0)(m >0)，经过点P 作曲线C 2的切线l ，求切线l 的方程．解：(1)曲线C 1：x 216＋y 24＝1，曲线C 2：(x －1)2＋(y ＋1)2＝2，曲线C 1为中心为坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是4，短半轴长是2的椭圆；曲线C 2为圆心是(1，－1)，半径是2的圆．(2)曲线C 1：x 216＋y 24＝1与x 轴的交点坐标为(－4,0)和(4,0)，因为m >0，所以点P 的坐标为(4,0)，显然切线l 的斜率存在，设为k ，则切线l 的方程为y ＝k (x －4)，则|－3k ＋1|k 2＋1＝2，所以7k 2－6k －1＝0，得k ＝1或k ＝－17，所以切线l 的方程为x －y －4＝0或x ＋7y －4＝0.[热点预测]16．(2013·泉州质检)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－t y ＝3t (t 为参数)，P 、Q 分别为直线l 与x 轴、y 轴的交点，线段PQ 的中点为M .(1)求直线l 的直角坐标方程；(2)以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M 的极坐标和直线OM 的极坐标方程．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－t ，y ＝3t .得3x ＋y －23＝0， ∴直线l 的平面直角坐标方程为3x ＋y －23＝0.(2)当y ＝0时，x ＝2，∴点P 的直角坐标为(2,0)；当x ＝0时，y ＝23，∴点Q 的直角坐标为(0,23)， ∴线段PQ 的中点M 的直角坐标为(1，3)，∵ρ＝12＋(3)2＝2和tan θ＝31＝3，且x ＝1>0，y ＝3>0，∴M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3， 直线OM 的极坐标方程为θ＝π3(ρ∈R ).。

质量检测(一)测试内容：集合常用逻辑用语与函数导数及应用时间：90分钟分值：120分一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．(2013·陕西卷)设全集为R，函数f(x)＝1－x2的定义域为M，则∁R M为()A．[－1,1] B．(－1,1)C．(－∞，－1]∪[1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：从函数定义域切入，∵1－x2≥0，∴－1≤x≤1，依据补集的运算知所求集合为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，选D.答案：D2．(2013·福建卷)已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：因为A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，若a＝3，则A＝{1,3}，所以A⊆B；若A⊆B，则a＝2或a＝3，所以A⊆BD⇒/a＝3，所以“a ＝3”是“A⊆B”的充分而不必要条件．答案：A3．(2013·山东烟台诊断)下列说法错误的是()A．命题“若x2－4x＋3＝0，则x＝3”的逆否命题是“若x≠3，则x2－4x＋3≠0”B．“x>1”是“|x|>0”的充分不必要条件C．若p∧q为假命题，则p、q均为假命题D．命题p：“∃x∈R，使得x2＋x＋1<0”，则綈p：“∀x∈R，x2＋x＋1≥0”解析：若p∧q为假命题，则p、q中至少有一个是假命题，故选C.答案：C4．(2013·西安长安区第一次质检)下列函数中，既是奇函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的函数是()A．y＝m 1|x|B．y＝x3C．y＝2|x|D．y＝cos x解析：f(x)＝x3，f(－x)＝－x3＝－f(x)，∴f(x)＝x3为奇函数．且f(x)＝x3在R上单调递增，∴在(0，＋∞)上单调递增，故选B.答案：B5．若函数f(x)＝ax2＋(a2－1)x－3a为偶函数，其定义域为[4a＋2，a2＋1]，则f(x)的最小值为()A．3 B．0 C．2 D．－1解析：由f(x)为偶函数知a2－1＝0，即a＝±1，又其定义域需关于原点对称，即4a＋2＋a2＋1＝0必有a＝－1.这时f(x)＝－x2＋3，其最小值为f(－2)＝f(2)＝－1.故选D.答案：D6．(2014·河北名校名师俱乐部二调)曲线y ＝12x 2＋x 在点(2,4)处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( )A ．1B ．2 C.43 D.23解析：y ′＝x ＋1，所以切线在点(2,4)处的斜率为3，切线方程为y －4＝3(x －2)，令x ＝0，得y ＝－2，令y ＝0，得x ＝23，所以切线与坐标轴围成的三角形的面积为S ＝12×|－2|×23＝23.答案：D7．(2013·重庆卷)已知函数f (x )＝ax 3＋b sin x ＋4(a ，b ∈R )，f [lg(log 210)]＝5，则f [lg(lg 2)]＝( )A ．－5B ．－1C ．3D ．4解析：因为f [lg(log 210)]＝f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1lg2＝f [－lg(lg 2)]＝5，又f (x )＋f (－x )＝8，所以f [－lg(lg 2)]＋f [lg(lg 2)]＝8，所以f [lg(lg 2)]＝3，故选C.答案：C8．(2013·青岛市统一质检)已知函数f (x )对定义域R 内的任意x 都有f (x )＝f (4－x )，且当x ≠2时其导函数f ′(x )满足xf ′(x )>2f ′(x )，若2<a <4则( )A ．f (2a )<f (3)<f (log 2a )B ．f (3)<f (log 2a )<f (2a )C ．f (log 2a )<f (3)<f (2a )D ．f (log 2a )<f (2a )<f (3)解析：由f (x )＝f (4－x )知函数f (x )关于x ＝2对称，x ≠2时，有(x －2)f ′(x )>0，∴x >2时f ′(x )>0，x <2时，f ′(x )<0，f (x )在(－∞，2)上单调减，在(2，＋∞)上单调增，2<a <4时4<2a <16，k log 2a <2，∴log 2a <2<2a ，知f (log 2a )<f (3)<f (2a )，选C.答案：C9．(2013·南平市质检)已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪e x ＋a e x ，(a ∈R ，e 是自然对数的底数)，在区间[0,1]上单调递增，则a 的取值范围是( )A ．[0,1]B ．[－1,0]C ．[－1,1]D ．(－∞，－e 2)∪[e 2，＋∞)解析：当a ＝1时，f (x )＝e x ＋1e x f ′(x )＝e x －1e x ＝e x－1e x 在[0,1]上f ′(x )≥0，所以f (x )在区间[0,1]上单调递增．a ＝－1时f (x )＝e x －1e x 很显然在区间[0,1]上单调递增，故选C.答案：C10．(2014·河北名校名师俱乐部二调)下图中，有一个是函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2－1)x ＋1(a ∈R ，a ≠0)的导函数f ′(x )的图象，则f (－1)等于( )A.13 B ．－13 C.73 D ．－13或53解析：∵f ′(x )＝x 2＋2ax ＋(a 2－1)，∴导函数f ′(x )的图象开口向上．又∵a ≠0，∴其图象必为第(3)个图．由图象特征知f ′(0)＝0，且－a >0，∴a ＝－1，∴f (x )＝13x 3－x 2＋1，故f (－1)＝－13－1＋1＝－13.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．(2013·重庆市九校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >02x ，x ≤0，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝________.解析：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝－2，f (－2)＝14， ∴f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝f (－2)＝14. 答案：1412．f (x )＝xn 2－3n (n ∈Z )是偶函数，且y ＝f (x )在(0，＋∞)上是减函数，则n ＝________.解析：因为f (x )在(0，＋∞)上是减函数，所以n 2－3n <0，即0<n <3，又因为f (x )是偶函数，所以n 2－3n 是偶数，只有n ＝1或2满足条件．答案：1或213．(2013·山东菏泽模拟)设函数f (x )＝x m ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则⎠⎛12f(－x)d x 的值等于________． 解析：由于f(x)＝x m ＋ax 的导函数f ′(x)＝2x ＋1，所以f(x)＝x 2＋x ，于是⎠⎛12f(－x)d x ＝⎠⎛12(x 2－x)d x ＝(13x 3－12x 2)|21＝56.答案：5614．(2013·陕西卷)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为________(m )．解析：如图，过A 作AH ⊥BC 于H ，交DE 于F ，易知DE BC ＝x 40＝AD AB ＝AF AH ⇒AF ＝x ⇒FH ＝40－x.则S ＝x(40－x)≤⎝ ⎛⎭⎪⎫4022，当且仅当40－x ＝x ，即x ＝20时取等号．所以满足题意的边长x 为20(m )．答案：20三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)15．(满分12分)已知命题p ：方程2x 2＋ax －a 2＝0在[－1,1]上有解；命题q ：只有一个实数x 0满足不等式x 20＋2ax 0＋2a ≤0，若命题“p ∨q ”是假命题，求a 的取值范围．解：由2x 2＋ax －a 2＝0，得(2x －a)(x ＋a)＝0，∴x ＝a 2或x ＝－a ，∴当命题p 为真命题时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2≤1或|－a|≤1，∴|a|≤2. 又“只有一个实数x 0满足不等式x 20＋2ax 0＋2a ≤0”，即抛物线y ＝x 2＋2ax ＋2a 与x 轴只有一个交点，∴Δ＝4a 2－8a ＝0，∴a ＝0或a ＝2.∴当命题q 为真命题时，a ＝0或a ＝2.∴命题“p ∨q ”为真命题时，|a|≤2.∵命题“p ∨q ”为假命题，∴a>2或a<－2.即a 的取值范围为{a|a>2或a<－2}．16．(满分12分)(2013·丰台区期末练习)已知函数f(x)＝(ax 2＋bx ＋c)e x (a>0)的导函数y ＝f ′(x)的两个零点为－3和0.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)的极小值为－1，求f(x)的极大值．解：(1)f ′(x)＝(2ax ＋b)e x ＋(ax 2＋bx ＋c)e x ＝[ax 2＋(2a ＋b)x ＋b ＋c]e x .令g(x)＝ax 2＋(2a ＋b)x ＋b ＋c ，∵e x >0，∴y ＝f ′(x)的零点就是g(x)＝ax 2＋(2a ＋b)x ＋b ＋c 的零点，且f ′(x)与g(x)符号相同．又∵a>0，∴当x<－3，或x>0时，g(x)>0，即f ′(x)>0，当－3<x<0时，g(x)<0，即f ′(x)<0，∴f(x)的单调增区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)，单调减区间是(－3,0)．(2)由(1)知，x ＝0是f(x)的极小值点，所以有⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝－1，b ＋c ＝0，9a －3(2a ＋b )＋b ＋c ＝0，解得a ＝1，b ＝1，c ＝－1.所以函数的解析式为f(x)＝(x 2＋x －1)e x .又由(1)知，f(x)的单调增区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)，单调减区间是(－3,0)．所以，函数f(x)的极大值为f(－3)＝(9－3－1)e －3＝5e 3.17．(满分12分)2013年8月31日第十二届全运会在辽宁沈阳开幕，历时13天．某小商品公司以此为契机，开发了一种纪念品，每件产品的成本是15元，销售价是20元，月平均销售a 件，通过改进工艺，产品的成本不变，质量得到提高，市场分析的结果表明：如果产品的销售价提高的百分率为x(0<x<1)，那么月平均销售量减少的百分率为x 2，记改进工艺后，该公司销售纪念品的月平均利润是y 元．(1)写出y 与x 的函数关系式；(2)改进工艺后，试确定该纪念品的销售价，使该公司销售该纪念品的月平均利润最大．解：(1)改进工艺后，每件产品的销售价为20(1＋x)元，月平均销售量为a(1－x 2)件，则月平均利润为y ＝a(1－x 2)·[20(1＋x)－15]元，所以y 与x 的函数关系式为y ＝5a(1＋4x －x 2－4x 3)(0<x<1)．(2)由y ′＝5a(4－2x －12x 2)＝0，得x 1＝12，x 2＝－23(舍去)，所以当0<x<12时，y ′>0；当12<x<1时，y ′<0.所以函数y ＝5a(1＋4x －x 2－4x 3)(0<x<1)在x ＝12处取得最大值． 故改进工艺后，纪念品的销售价为20×⎝⎛⎭⎪⎫1＋12＝30元时，该公司销售该纪念品的月平均利润最大．18．(满分14分)(2013·山西省第三次四校联考)已知函数f(x)＝ax 2－(a ＋2)x ＋ln x.(1)当a ＝1时，求曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)当a>0时，若f(x)在区间[1，e ]上的最小值为－2，求a 的取值范围；(3)若对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，x 1<x 2，且f(x 1)＋2x 1< f(x 2)＋2x 2恒成立，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，f(x)＝x 2－3x ＋ln x ，f(x)＝2x －3＋1x . 因为f ′(1)＝0，f(1)＝－2.所以切线方程是y ＝－2.(2)函数f(x)＝2ax 2－(a ＋2)x ＋ln x 的定义域是(0，＋∞)．当a>0时，f ′(x)＝2ax －(a ＋2)＋1x＝2ax 2－(a ＋2)x －1x(x>0) 令f ′(x)＝0，即f ′(x)＝2ax 2－(a ＋2)x ＋1x＝(2x －1)(ax －1)x＝0， 所以x ＝12或x ＝1a .当0<1a ≤1，即a ≥1时，f(x)在[1，e ]上单调递增，所以f(x)在[1，e ]上的最小值是f(1)＝－2；当1<1a <e 时，f(x)在[1，e ]上的最小值是f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a <f(1)＝－2，不合题意；当1a ≥e 时，f(x)在(1，e )上单调递减，所以f(x)在[1，e ]上的最小值是f(e )<f(1)＝－2，不合题意． ∴综上a ≥1.(3)设g(x)＝f(x)＋2x ，则g(x)＝ax 2－ax ＋ln x ，只要g(x)在(0，＋∞)上单调递增即可．而g ′(x)＝2ax －a ＋1x ＝2ax 2－ax ＋1x当a ＝0时，g ′(x)＝1x >0，此时g(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a ≠0时，只需g ′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，因为x ∈(0，＋∞)，只要2ax 2－ax ＋1≥0，则需要a>0，对于函数y ＝2ax 2－ax ＋1，过定点(0,1)，对称轴x ＝14>0，只需Δ＝a 2－8a ≤0，即0<a ≤8.综上0≤a ≤8.。

课时作业(十八)一、选择题1．(2013·云南昆明高三调研)已知a 是实数，则函数f (x )＝a cos ax 的图象可能是( )解析：对于A 、D ，注意到当x ＝0时， f (x )＝a cos 0＝a ≠0，因此结合选项知，选项A 、D 不正确；对于B ，注意到其最小正周期T ＝2πa ＝π，a ＝2，此时相应的最大值是2，这与所给的图象不相吻合，因此选项B 不正确．综上所述，选C.答案：C2．(2013·河南洛阳高三统考)如果函数y ＝3sin(2x ＋φ)的图象关于直线x ＝π6对称，则|φ|的最小值为( )A.π6B.π4C.π3D.π2解析：依题意得，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝±1，则π3＋φ＝kπ＋π2，即φ＝kπ＋π6，其中k ∈Z ，因此|φ|的最小值是π6，选A.3．(2013·吉林期中复习检测)函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x 的最小正周期为( )A.3π2 B ．2π C ．π D.π2解析：f (x )＝(1＋3tan x )cos x ＝cos x ＋3sin x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，最小正周期为2π，选B.答案：B4．(2013·天津和平区第一次质量调查)若f (x )＝a sin x ＋b (a ，b 为常数)的最大值是5，最小值是－1，则ab 的值为( )A ．－23 B.23或－23 C ．－32 D.32解析：函数f (x )的最大值是5，最小值是1，5－(－1)2＝b ，5＋(－1)2＝|a |，∴a ＝±2，b ＝3，则a b ＝±23，选B.答案：B5．(2013·河北唐山第二次模拟)已知函数f (x )＝sin(2x ＋α)在x ＝π12时有极大值，且f (x －β)为奇函数，则α，β的一组可能值依次为( )A.π6，－π12B.π6，π12C.π3，－π6D.π3，π6解析：x ＝π12时f (x )取最大值，得2×π12＋α＝π2＋2kπ(k ∈Z )，∴α＝π3＋2kπ排除A 、B ，令β＝π6，检验知选D.6．(2013·黑龙江哈尔滨四校统一检测)对于函数f (x )＝2(sin x ＋cos x )，给出下列四个命题：①存在α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，使f (α)＝2； ②存在α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，使f (x －α)＝f (x ＋α)恒成立； ③存在φ∈R ，使函数f (x ＋φ)的图象关于坐标原点成中心对称； ④函数f (x )的图象关于直线x ＝－3π4对称；⑤函数f (x )的图象向左平移π4个单位就能得到y ＝－2cos x 的图象．其中正确命题的序号是( )A ．①②③B ．③④⑤C ．③④D ．②③⑤解析：f (x )＝2(sin x ＋cos x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，对于①，由f (α)＝2得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝22，因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，所以α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4，此时sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝22不成立，①错，排除A ；对于②，由f (x －α)＝f (x ＋α)得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －α＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋α＋π4，所以x －α＋π4＝x ＋α＋π4＋2kπ或x －α＋π4＝π－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋α＋π4＋2kπ恒成立，k ∈Z ，即α＝kπ或x ＝π4＋kπ(舍)，由于α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以②错，排除D ；对于③，f (x ＋φ)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φ＋π4的图象关于坐标原点成中心对称，所以φ＋π4＝kπ(k ∈Z )，即φ＝－π4＋kπ，所以③正确；对于④，由f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4知，函数f (x )的对称轴为x ＝π4＋kπ(k ∈Z )，函数f (x )的图象关于直线x ＝－3π4对称，所以④正确；对于⑤，函数f (x )的图象向左平移π4个单位得到y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝2cos x 的图象，所以⑤错误，选择C.答案：C 二、填空题7．(2013·柳州市、贵港市、钦州市、河池市模拟)f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上的最大值是2，则ω＝________. 解析：x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3时，ωx ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3ω，其最大值为2<2,2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3ω＝2，∴ω＝34. 答案：348．(2013·南平市质检)已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(0<ω<2)图象的一条对称轴方程为x ＝π3，若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f (x )的取值范围是________．解析：函数f (x )关于x ＝π3对称，所以π3ω－π6＝π2＋kπ(k ∈Z )，∴ω＝3k ＋2，又∵0<ω<3∴ω＝2，f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，56π，3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3∴f (x )的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，39．(2013·湖北八市调考)函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象为C ，如下结论中正确的是________．(写出所有正确结论的编号)①图象C 关于直线x ＝1112π对称；②图象C 关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0对称； ③函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，5π12内是增函数；④由y ＝3sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C . 解析：对①，当x ＝1112π时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1112π＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×11π12－π3＝3sin 3π2＝－3，故①正确；对②，当x ＝2π3时，f ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×2π3－π3＝3sin π＝0，故②正确；对③，因为函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤kπ－π12，kπ＋5π12(k ∈N *)，当k ＝0时，函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调增区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，5π12，故③正确；对④，由y ＝3sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度可以得到函数y ＝3sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3的图象不是函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，故④错误．所以正确结论的编号为①②③. 答案：①②③ 三、解答题10．设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π<φ<0)，y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ；(2)求函数y ＝f (x )的单调增区间． 解：(1)令2×π8＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ， ∴φ＝k π＋π4，又－π<φ<0，则－54<k <－14， ∴k ＝－1，则φ＝－3π4. (2)由(1)得：f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4， 令－π2＋2k π≤2x －3π4≤π2＋2k π， 可解得π8＋k π≤x ≤5π8＋k π，k ∈Z ，因此y ＝f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8＋k π，5π8＋k π，k ∈Z .11．设函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x －π3－1.(1)求y ＝f (x )的最小正周期及单调递增区间；(2)若函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，求当x ∈[0,1]时，函数y ＝g (x )的最大值．解：(1)由f (x )＝3·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 3－π3－1，得y ＝f (x )的最小正周期T ＝2ππ3＝6.由2kπ－π2≤π3x －π3≤2kπ＋π2，k ∈Z ， 得6k －12≤x ≤6k ＋52，k ∈Z ，所以y ＝f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤6k －12，6k ＋52，k ∈Z .(2)因为函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称， 所以当x ∈[0,1]时，y ＝g (x )的最大值即为x ∈[3,4]时，y ＝f (x )的最大值．当x ∈[3,4]时，π3x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤23π，π，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32，f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，此时y ＝g (x )的最大值为12.12．已知a >0，函数f (x )＝－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1.(1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间．解：(1)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，∴－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]． ∴f (x )∈[b,3a ＋b ]，又∵－5≤f (x )≤1， ∴b ＝－5,3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5. (2)由(1)得a ＝2，b ＝－5， ∴f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1，g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋7π6－1＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1，又由lg g (x )>0得g (x )>1，∴4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1>1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6>12，∴2kπ＋π6<2x ＋π6<2kπ＋5π6，k ∈Z ， 其中当2kπ＋π6<2x ＋π6≤2kπ＋π2，k ∈Z 时， g (x )单调递增，即kπ<x ≤kπ＋π6，k ∈Z ， ∴g (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤kπ，kπ＋π6，k ∈Z 又∵当2kπ＋π2<2x ＋π6<2kπ＋5π6，k ∈Z 时， g (x )单调递减，即kπ＋π6<x <kπ＋π3，k ∈Z . ∴g (x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎪⎫kπ＋π6，kπ＋π3，k ∈Z .[热点预测]13．(1)(2013·辽宁六校高三联考)已知ω>0，函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的一条对称轴为x ＝π3，一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0，则ω有( )A ．最小值2B ．最大值2C ．最小值1D ．最大值1 (2)(2013·湖南重点高中十校联考)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，其中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，a . ①当a ＝π3时，f (x )的值域是________；②若f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，则a 的取值范围是________．(3)(2013·江西宜春高三模拟)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，－π<φ≤π.若f (x )的最小正周期为6π，且当x ＝π2时，f (x )取得最大值，则( )A ．f (x )在区间[－3π，－π]上是减函数B ．f (x )在区间[－2π，0]上是增函数C ．f (x )在区间[0,2π]上是减函数D ．f (x )在区间[π，3π]上是增函数解析：(1)由题意知π3－π12≥T 4，T ＝2πω≤π，ω≥2，故选A.(2)令t ＝2x ＋π6，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3，∴t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，∵t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，∴sin t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，若函数值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，则π2≤2a ＋π6≤7π6，∴a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2. (3)由T ＝6π可知ω＝13；由x ＝π2时，f (x )取得最大值，可知13×π2＋φ＝π2＋2kπ，(k ∈Z )由题意－π<φ≤π所以φ＝π3，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋π3，易知B 正确，故选B.答案：(1)A (2)①⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1 ②⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2 (3)B。

课时作业(六十一)一、填空题1．(2013·江西宜春高三模拟)不等式|2－x |＋|x ＋1|≤a 对任意x ∈[－2,1]恒成立的实数a 的取值范围为________．解析：令f (x )＝|2－x |＋|x ＋1|，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2x ， －2≤x ≤－13，－1<x ≤1，可知y ＝f (x )的最大值为5，所以a ≥5.答案：[5，＋∞)2．(2013·济宁市高三4月考试)已知不等式|x ＋2|＋|x |≤a 的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________．解析：|x ＋2|＋|x |≥|x ＋2－x |＝2，a ≥|x ＋2|＋|x |有解，即a ≥(|x ＋2|＋|x |)min ，∴a ≥2.答案：a ≥23．(2013·长沙市模拟)不等式|x －1|<4－|x ＋2|的解集是________． 解析：不等式可化为|x －1|＋|x ＋2|<4，令f (x )＝|x －1|＋|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x －1 x <－23 －2≤x ≤12x ＋1 x >1，则f (x )<4的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，32. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，32 4．(2013·江西师大附中、鹰潭一中高三联考)不等式|x ＋3|－|x －1|≤a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：f (x )＝|x ＋3|－|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －4 (x <－3)2x ＋2 (－3≤x <1)4 (x >1)易得f (x )，在R上的最大值为4，故只需a 2－3a ≥4即可．解得a ≤－1或a ≥4.答案：a ≤－1或a ≥45．(2013·江西省八校联考)若不等式|x ＋2|＋|x －3|≥a ＋4a －1对任意的实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：当a <1时a ＋4a －1<0，故此时不等式恒成立；由绝对值的几何意义可推知|x ＋2|＋|x －3|的最小值为5，故当a ＋4a －1≤5时，a ＝3时不等式恒成立，综上所述，a ＝3或a <1.答案：a ＝3或a <16．(2013·天津十二区县重点学校联考(一))若不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋4x ≥|m －2|＋1对一切非零实数x 均成立，记实数m 的取值范围为M ，已知集合A ＝{x |x ∈M }，集合B ＝{x ∈R |x 2－x －6<0}，则集合A ∩B ＝________.解析：⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋4x ≥4，由⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋4x ≥|m －2|＋1恒成立得|m －2|≤3，解得－1≤m ≤5，故A ＝{x |－1≤x ≤5}，B ＝{x |－2<x <3}，故A ∩B ＝{x |－1≤x <3}．答案：{x |－1≤x <3}7．(2013·长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学第三次模拟)若实数a ，b ，c 满足a 2＋b 2＋c 2＝4，则3a ＋4b ＋5c 的最大值为________．解析：由柯西不等式，得3a ＋4b ＋5c ≤a 2＋b 2＋c 2·32＋42＋52＝10 2.答案：10 28．对于任意实数a (a ≠0)和b ，不等式|a ＋b |＋|a －b |≥|a ||x －1|恒成立，则实数x 的取值范围是________．解析：a ≠0，所以不等式等价于|x －1|≤|a ＋b |＋|a －b ||a |恒成立，|x －1|≤⎝ ⎛⎭⎪⎫|a ＋b |＋|a －b ||a |min ， |a ＋b |＋|a －b ||a |≥|2a ||a |＝2，∴|x －1|≤2，∴－1≤x ≤3. 答案：－1≤x ≤3二、解答题9．(2013·福州市质检)已知不等式|x ＋2|＋|x －m |≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}．(1)求实数m 的值；(2)若a 2＋2b 2＋3c 2＝m ，求a ＋2b ＋3c 的取值范围．解：(1)依题意，当x ＝1时不等式成立，所以3＋|1－m |≤3，解得m ＝1，经检验，m ＝1符合题意．(2)由(1)知a 2＋2b 2＋3c 2＝1.根据柯西不等式，得(a ＋2b ＋3c )2≤(12＋(2)2＋(3)2)[a 2＋(2b )2＋(3c )2]＝6， 所以－6≤a ＋2b ＋3c ≤ 6，当且仅当a ＝b ＝c ＝66时，取得最大值6，a ＝b ＝c ＝－66时，取得最小值－6，因此a ＋2b ＋3c 的取值范围是[]－6，6.10．(2013·郑州第三次质量预测)已知函数f (x )＝log 2(|2x －1|＋|x ＋2|－a )．(1)当a ＝4时，求函数f (x )的定义域；(2)若对任意的x ∈R ，都有f (x )≥2成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)由题意得f (x )＝log 2(|2x －1|＋|x ＋2|－4)，|2x －1|＋|x ＋2|－4>0.当x <－2时，－(2x －1)－(x ＋2)－4>0，∴x <－53.即x <－2.当－2≤x ≤12时，－(2x －1)＋(x ＋2)－4>0，∴x <－1.即－2≤x <－1.当x >12时，(2x －1)＋(x ＋2)－4>0，∴x >1.即x >1.综上所述，函数f (x )的定义域为{x |x <－1或x >1}．(2)由题意得log 2(|2x －1|＋|x ＋2|－a )≥2＝log 24恒成立， 即|2x －1|＋|x ＋2|－a ≥4，∴|2x －1|＋|x ＋2|－4≥a 恒成立，令g (x )＝|2x －1|＋|x ＋2|－4＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x －5，x <－2，－x －1，－2≤x ≤12，3x －3，x >12.显然x ＝12时，g (x )取得最小值－32，∴a ≤－32.11．(2013·石家庄市高三模拟考试)已知函数f (x )＝|x －2|＋2|x －a |(a ∈R )．(1)当a ＝1时，解不等式f (x )>3；(2)不等式f (x )≥1在区间(－∞，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1)⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥2x －2＋2x －2>3解得x >73， ⎩⎨⎧ 1<x <22－x ＋2x －2>3解得x ∈Ø ⎩⎪⎨⎪⎧x ≤12－x ＋2－2x >3解得x <13. 不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫73，＋∞. (2)a >2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x ＋2＋2a ，x ≤2－x ＋2a －2，2<x <a ；3x －2－2a ，x ≥aa ＝2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋6，x ≤23x －6，x >2； a <2时， f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x ＋2＋2a ，x ≤a x －2a ＋2，a <x <23x －2－2a ，x ≥2； ∴f (x )的最小值为f (2)或f (a )；则⎩⎪⎨⎪⎧f (a )≥1f (2)≥1，解得a ≤1或a ≥3. 12．(2014·河北沧州质量监测)设函数f (x )＝|x －2|－|x ＋1|.(1)解不等式f (x )>2；(2)若关于x 的不等式a 2－2a ≤f (x )解集是空集，求a 的取值范围．解：(1)由|x －2|－|x ＋1|>2，得⎩⎨⎧ x ≤－1，3>2或⎩⎪⎨⎪⎧ －1<x <2，1－2x >2或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，－3>2解得x <－12，即解集为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12. (2)∵a 2－2a ≤f (x )的解集为空集，∴a 2－2a >f (x )max ，而f (x )＝|x －2|－|x ＋1|≤|(x －2)－(x ＋1)|＝3，∴a 2－2a >3，即a >3或a <－1.13．(2013·山西适应性训练)已知函数f (x )＝|x ＋a |.(1)当a ＝－1时，求不等式f (x )≥|x ＋1|＋1的解集；(2)若不等式f (x )＋f (－x )<2存在实数解，求实数a 的取值范围． 解：(1)a ＝－1时， f (x )＝|x －1|≥|x ＋1|＋1，即：|x －1|－|x ＋1|≥1，x ≤－1时，－x ＋1＋x ＋1≥1，∴x ≤－1；－1≤x ≤1时，－x ＋1－x －1≥1，∴－1≤x ≤－12；x ≥1时，x －1－x －1≥1，无解．∴x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12. (2)f (x )＋f (－x )＝|x ＋a |＋|－x ＋a |≥|(x ＋a )＋(－x ＋a )|＝|2a |， ∴|2a |≤f (x )＋f (－x )<2，∴－1<a <1.14．(2013·云南昆明高三检测)设f (x )＝|x －3|＋|x －4|.(1)解不等式f (x )≤2；(2)若存在实数x 满足f (x )≤ax －1，试求实数a 的取值范围．解：(1)f (x )＝|x －3|＋|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧ 7－2x ，x <31，3≤x ≤42x －7，x >4，作函数y ＝f (x )的图象，它与直线y ＝2交点的横坐标为52和92，由图象知不等式f (x )≤2的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，92.(2)函数y ＝ax －1的图象是过点(0，－1)的直线．当且仅当函数y ＝f (x )与直线y ＝ax －1有公共点时，存在满足题意的x .由图象知，a 的取值范围为(－∞，－2)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. [热点预测]15．(2013·江苏卷)已知a ≥b >0，求证：2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b . 证明：2a 3－b 3－(2ab 2－a 2b )＝2a (a 2－b 2)＋b (a 2－b 2)＝(a 2－b 2)(2a ＋b )＝(a －b )(a ＋b )(2a ＋b )．因为a ≥b >0，所以a －b ≥0，a ＋b >0,2a ＋b >0，从而(a －b )(a ＋b )(2a ＋b )≥0，即2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b .。

课时作业(二)一、选择题1．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是()A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”解析：原命题的逆命题是：若一个数的平方是正数，则它是负数．答案：B2．命题“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是()A．若x2≥1，则x≥1或x≤－1B．若－1<x<1，则x2<1C．若x>1或x<－1，则x2>1D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1解析：x2<1的否定为：x2≥1；－1<x<1的否定为x≥1或x≤－1，故原命题的逆否命题为：若x≥1或x≤－1，则x2≥1.答案：D3．下列命题中为真命题的是()A．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题B．命题“若x>1，则x2>1”的否命题C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题D．命题“若x2>0，则x>1”的逆否命题解析：对于A，其逆命题是：若x>|y|，则x>y，是真命题，这是因为x>|y|≥y，必有x>y；对于B，否命题是：若x≤1，则x2≤1，是假命题．如x＝－5，x2＝25>1；对于C，其否命题是：若x≠1，则x2＋x－2≠0，由于x＝－2时，x2＋x－2＝0，所以是假命题；对于D，若x2>0，则x>0或x<0，不一定有x>1，因此原命题与它的逆否命题都是假命题．答案：A4．(2013·福建卷)设点P(x，y)，则“x＝2且y＝－1”是“点P 在直线l：x＋y－1＝0上”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：“x＝2且y＝－1”满足方程x＋y－1＝0，故“x＝2且y ＝－1”可推得“点P在直线l：x＋y－1＝0上”；但方程x＋y－1＝0有无数多个解，故“点P在直线l：x＋y－1＝0上”不能推得“x＝2且y＝－1”，故“x＝2且y＝－1”是“点P在直线l：x＋y－1＝0上”的充分不必要条件．答案：A5．(2014·河北名校名师俱乐部二调)已知“x>k”是“3x＋1<1”的充分不必要条件，则k的取值范围是()A．[2，＋∞) B．[1，＋∞)C．(2，＋∞) D．(－∞，－1]解析：由3x＋1<1，得3x＋1－1＝－x＋2x＋1<0，所以x<－1或x>2.因为“x>k”是“3x＋1<1”的充分不必要条件，所以k≥2. 答案：A6．(2013·湖南卷)“1<x <2”是“x <2”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 解析：“1<x <2”可以推得“x <2”，即满足充分性，但“x <2”得不出“1<x <2”，所以为充分不必要条件．答案：A7．(2013·浙江卷)若α∈R ，则“α＝0”是“sin α<cos α”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 解析：当α＝0时，sin α＝0，cos α＝1，∴sin α<cos α；而当sin α<cos α时，α＝0或α＝π6，…，故选A.答案：A8．设x 、y 是两个实数，命题“x 、y 中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是( )A ．x ＋y ＝2B ．x ＋y >2C ．x 2＋y 2>2D ．xy >1解析：命题“x 、y 中至少有一个数大于1”等价于“x >1或y >1”． 若x ＋y >2，必有x >1或y >1，否则x ＋y ≤2；而当x ＝2，y ＝－1时，2－1＝1<2，所以x >1或y >1不能推出x ＋y >2.对于x ＋y ＝2，当x ＝1，且y ＝1时，满足x ＋y ＝2，不能推出x >1或y >1.对于x 2＋y 2>2，当x <－1，y <－1时，满足x 2＋y 2>2，故不能推出x >1或y >1.对于xy >1，当x <－1，y <－1时，满足xy >1，不能推出x >1或y >1，故选B.答案：B二、填空题9．命题“若x >0，则x 2>0”的否命题是________命题．(填 “真”或“假”)解析：其否命题为“若x ≤0，则x 2≤0”，它是假命题．答案：假10．(2013·绍兴模拟)“－3<a <1”是“方程x 2a ＋3＋y 21－a＝1表示椭圆”的________条件．解析：方程表示椭圆时，应有⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋3>0，1－a >0，a ＋3≠1－a解得－3<a <1且a ≠－1，故“－3<a <1”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件．答案：必要不充分11．下列命题：①若ac 2>bc 2，则a >b ；②若sin α＝sin β，则α＝β；③“实数a ＝0”是“直线x －2ay ＝1和直线2x －2ay ＝1平行”的充要条件；④若f (x )＝log 2x ，则f (|x |)是偶函数．其中正确命题的序号是________．解析：对于①，ac 2>bc 2，c 2>0，∴a >b 正确；对于②，sin 30°＝sin 150°D ⇒/30°＝150°，所以②错误；对于③，l 1∥l 2⇔A 1B 2＝A 2B 1，即－2a ＝－4a ⇒a ＝0且A 1C 2D ⇒/A 2C 1，所以③正确；④显然正确．答案：①③④12．(2013·山西高考考前适应性训练)给出下面几个命题： ①“若x >2，则x >3”的否命题；②“∀a ∈(0，＋∞)，函数y ＝a x 在定义域内单调递增”的否定； ③“π是函数y ＝sin x 的一个周期”或“2π是函数y ＝sin 2x 的一个周期”；④“x 2＋y 2＝0”是“xy ＝0”的必要条件．其中真命题的序号是________．解析：①的否命题为：若x ≤2，则x ≤3，这是个真命题；②的否定为：∃a ∈(0，＋∞)使得函数y ＝a x 在定义域上是减函数；因为a ∈(0,1)时，函数y ＝a x 在定义域上是减函数，因此这个命题是真命题；③或连接的命题只要有一个为真则连接命题为真，其中2π是函数y ＝sin 2x 的一个周期为真，因此这个是真命题；④x 2＋y 2＝0可得：x ＝0且y ＝0，即：xy ＝0；而xy ＝0，可得：x 2＋y 2≥0；因此x 2＋y 2＝0是xy ＝0的充分条件，不是必要条件．答案：①②③三、解答题13．(2013·荆门市高三元月调考)已知命题p ：函数f (x )＝(2a －5)x 是R 上的减函数；命题q ：在x ∈(1,2)时，不等式x 2－ax ＋2<0恒成立，若p ∨q 是真命题，求实数a 的取值范围．解：p ：∵函数f (x )＝(2a －5)x 是R 上的减函数∴0<2a －5<1，故有52<a <3.q ：由x 2－ax ＋x <0得ax >x 2＋2，∵1<x <2，且a >x 2＋2x ＝x ＋2x 在x ∈(1,2)时恒成立，又x ＋2x ∈[22，3]，∴a ≥3.p ∨q 是真命题，故p 真或q 真，所以有52<a <3或a ≥3.所以a 的取值范围是a >52.[热点预测]14．设条件p ：2x 2－3x ＋1≤0，条件q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．解：条件p 为：12≤x ≤1，条件q 为：a ≤x ≤a ＋1.綈p 对应的集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x >1，或x <12，綈q 对应的集合B ＝{x |x >a ＋1，或x <a }．∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，∴B A ，∴a ＋1>1且a ≤12或a ＋1≥1且a <12.∴0≤a ≤12.故a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12.。

第四单元细胞的生命历程第1讲细胞的增殖(时间：30分钟)基础对点练——考纲对点·夯基础考点一细胞的生长和增殖的周期性(Ⅰ)1．(2013·太原调研)细胞增殖是生物体内一项重要的生命活动，下图是某二倍体高等植物细胞有丝分裂周期图，请据图分析，下列说法正确的是()。

A．丁过程叫作细胞分化，该过程中遗传物质发生改变B．在分裂间期，细胞内发生着活跃的代谢变化，最重要的变化是发生在P 期的DNA复制C．G时期染色体和染色单体数目均加倍D．丙过程的出现，只能是秋水仙素的处理，且处理时期应为E时期解析细胞分化过程中遗传物质不变；在分裂间期，主要发生DNA复制和蛋白质合成，DNA复制发生于图中P期；G时期为有丝分裂后期，着丝点分裂，姐妹染色单体分开形成子染色体，染色体数目加倍，姐妹染色单体消失；丙过程为诱导染色体数目加倍，常用秋水仙素处理，也可用低温处理，处理时期为E时期。

答案 B2．下列关于细胞周期的叙述，正确的是()。

A．成熟的生殖细胞产生后立即进入下一个细胞周期B．机体内所有的细胞都处于细胞周期中C．抑制DNA的合成，细胞将停留在分裂期D．细胞分裂间期为细胞分裂期提供物质基础解析成熟的生殖细胞产生后不会进行分裂，即不会进入下一个细胞周期；机体内有的细胞不连续分裂，如神经细胞高度分化，不再分裂，没有细胞周期；DNA的复制在细胞分裂间期进行，抑制DNA的合成，细胞将停留在分裂间期；细胞分裂间期进行DNA复制和有关蛋白质的合成，为细胞分裂期提供物质基础。

答案 D考点二细胞的有丝分裂及其实验观察(Ⅱ)3．某同学在用光学显微镜“观察洋葱根尖分生组织细胞的有丝分裂”实验中，可观察到的现象是()。

A．绝大多数细胞中能观察到染色体B．不同细胞的染色体数目可能不相等C．清晰地看到中心体和染色体D．某一细胞由中期逐渐过渡到后期解析有丝分裂的间期经历时间最长，细胞核中的遗传物质以染色质的形式存在，因此绝大多数的细胞不能观察到染色体；有丝分裂的后期染色体数目是其他时期细胞的二倍；高等植物细胞中无中心体；此实验在解离时细胞已经被杀死，不同细胞处在不同的时期，不能继续分裂。