2021高考数学一轮复习课时作业53曲线与方程理(含答案及解析)

课时作业(五十三) 第53讲 曲线与方程时间：45分钟 分值：100分基础热身1．与两圆x 2＋y 2＝1及x 2＋y 2－8x ＋12＝0都外切的圆的圆心在( ) A ．一个椭圆上 B ．双曲线的一支上 C ．一条抛物线上 D ．一个圆上2．2011·湖南师大附中月考 已知两定点A (1,1)，B (－1，－1)，动点P 满足·＝x22，则点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．拋物线3．已知点O (0,0)，A (1，－2)，动点P 满足|PA |＝3|PO |，则P 点的轨迹方程是( )A ．8x 2＋8y 2＋2x －4y －5＝0B ．8x 2＋8y 2－2x －4y －5＝0C ．8x 2＋8y 2＋2x ＋4y －5＝0D ．8x 2＋8y 2－2x ＋4y －5＝04．已知A (0,7)、B (0，－7)、C (12,2)，以C 为一个焦点作过A 、B 的椭圆，椭圆的另一个焦点F 的轨迹方程是( )A ．y 2－x 248＝1(y ≤－1) B ．y 2－x248＝1C ．y 2－x248＝－1 D ．x 2－y248＝1 能力提升5．2011·江门质检 设过点P (x ，y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A ，B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若＝2，且·＝1，则P 点的轨迹方程是( )A.32x 2＋3y 2＝1(x >0，y >0) B.32x 2－3y 2＝1(x >0，y >0) C ．3x 2－32y 2＝1(x >0，y >0)D ．3x 2＋32y 2＝1(x >0，y >0)6．已知||＝3，A 、B 分别在y 轴和x 轴上运动，O 为原点，＝13＋23，则动点P 的轨迹方程是( )A.x24＋y 2＝1 B ．x 2＋y24＝1 C ．.x29＋y 2＝1 D ．.x 2＋y29＝1 7．已知二面角α－l －β的平面角为θ，点P 在二面角内，PA ⊥α，PB ⊥β，A ，B 为垂足，且PA ＝4，PB ＝5，设A ，B 到棱l 的距离分别为x ，y ，当θ变化时，点(x ，y )的轨迹方程是( )A ．x 2－y 2＝9(x ≥0)B ．x 2－y 2＝9(x ≥0，y ≥0)C ．y 2－x 2＝9(y ≥0)D ．y 2－x 2＝9(x ≥0，y ≥0)8．2011·南平测试 已知点M (－3,0)，N (3,0)，B (1,0)，圆C 与直线MN 切于点B ，过M 、N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，则P 点的轨迹方程为( )A ．x 2－y28＝1(x <－1) B ．x 2－y28＝1(x >1)C ．x 2＋y28＝1(x >0) D ．x 2－y210＝1(x >1)9．2011·哈尔滨第三中学三模 已知动点P 在直线x ＋2y －2＝0上，动点Q 在直线x ＋2y ＋4＝0上，线段PQ 中点M (x 0，y 0)满足不等式⎩⎪⎨⎪⎧y 0≤x 03＋2，y 0≤－x 0＋2，则x 20＋y 20的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤55，34 B.⎣⎡⎦⎤15，34C.⎣⎡⎦⎤15，10 D ．10,34 10．已知直线l ：2x ＋4y ＋3＝0，P 为l 上的动点，O 为坐标原点．若2＝，则点Q 的轨迹方程是________________．11．已知F 1、F 2为椭圆x24＋y23＝1的左、右焦点，A 为椭圆上任一点，过焦点F 1向∠F 1AF 2的外角平分线作垂线，垂足为D ，则点D 的轨迹方程是________．12．设过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，且AB 中点为M ，则点M 的轨迹方程是________．13．2011·北京卷 曲线C 是平面内与两个定点F 1(－1,0)和F 2(1,0)的距离的积等于常数a 2(a >1)的点的轨迹，给出下列三个结论：①曲线C 过坐标原点；②曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则△F 1PF 2的面积不大于12a 2.其中，所有正确结论的序号是________．14．(10分)2011·课标全国卷 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0，－1)，B 点在直线y ＝－3上，M 点满足∥，·＝·，M 点的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程；(2)P 为C 上的动点，l 为C 在P 点处的切线，求O 点到l 距离的最小值．15．(13分)2011·银川一中一模 已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，椭圆短半轴长为1，动点M (2，t )(t >0)在直线x ＝a2c(a 为长半轴长，c 为半焦距)上．(1)求椭圆的标准方程；(2)求以OM 为直径且被直线3x －4y －5＝0截得的弦长为2的圆的方程；(3)设F 是椭圆的右焦点，过点F 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆交于点N ，求证：线段ON 的长为定值，并求出这个定值．难点突破16．(12分)2011·东北三省四市测试 已知A 、B 分别是直线y ＝33x 和y ＝－33x 上的两个动点，线段AB的长为23，D是AB的中点．(1)求动点D的轨迹C的方程；(2)过点N(1,0)作与x轴不垂直的直线l，交曲线C于P、Q两点，若在线段ON上存在点M(m,0)，使得以MP、MQ为邻边的平行四边形是菱形，试求m的取值范围．课时作业(五十三)【基础热身】1．B 解析圆x2＋y2－8x＋12＝0的圆心为(4,0)，半径为2，动圆的圆心到(4,0)的距离减去到(0,0)的距离等于1，由此可知，动圆的圆心在双曲线的一支上．2．B 解析设点P(x，y)，则＝(1－x,1－y)，＝(－1－x，－1－y)，所以·＝(1－x)(－1－x)＋(1－y)(－1－y)＝x2＋y2－2.由已知x2＋y2－2＝x22，即x24＋y22＝1，所以点P的轨迹为椭圆．3．A 解析设P点的坐标为(x，y)，则(x－1)2＋(y＋2)2＝3x2＋y2，整理，得8x2＋8y2＋2x－4y－5＝0.4．A 解析由题意|AC|＝13，|BC|＝15，|AB|＝14，又|AF|＋|AC|＝|BF|＋|BC|，∴|AF|－|BF|＝|BC|－|AC|＝2.故F点的轨迹是以A、B为焦点，实轴长为2的双曲线下支．又c＝7，a＝1，b2＝48，所以轨迹方程为y2－x248＝1(y≤－1)．【能力提升】5．A 解析设A(a,0)，B(0，b)，a>0，b>0.由＝2得(x，y－b)＝2(a－x，－y)，即a＝32x>0，b＝3y>0.由题知点Q(－x，y)，故由·＝1，得(－x，y)·(－a，b)＝1，即ax＋by＝1.将a，b代入上式得，所求的轨迹方程为32x2＋3y2＝1(x>0，y>0)．6．A 解析设A(0，a)，B(b,0)，则由||＝3得a2＋b2＝9.设P(x，y)，由＝13＋23得(x，y)＝13(0，a)＋23(b,0)，由此得b＝32x，a＝3y，代入a2＋b2＝9得9y2＋94x2＝9⇒x24＋y2＝1.7．B 解析实际上就是求x，y所满足的一个等式，设平面PAB与二面角的棱的交点是C，则AC＝x，BC ＝y，在两个直角三角形Rt△PAC，Rt△PBC中其斜边相等，根据勾股定理即可得到x，y所满足的关系式．如图，x2＋42＝y2＋52，即x2－y2＝9(x≥0，y≥0)．8．B 解析设直线PM、PN与圆C|AM|＝|MB|，|PD|＝|PA|，|DN|＝|NB|，所以|PM|－|PN|＝|PA|＋|AM|－|PD|－|DN|＝|MB|－|NB|＝2<|MN|，由双曲线的定义知点P的轨迹是以M、N为焦点、实轴长为2的双曲线的右支(除去点B)．9．B 解析 ＝0，点M (x 0，y 0)就是直线x ＋2y ＋1＝0位于区域⎩⎪⎨⎪⎧y 0≤x 03＋2，y 0≤－x 0＋2内的线段上，如图．根据几何意义，坐标原点到直线x ＋2y ＋1＝0的距离是15，故最小值是15，根据图形在点A 处取得最大值，点A 的坐标是(5，－3)，故最大值是34.10．2x ＋4y ＋1＝0 解析 设点Q 11)．根据2＝得2(x ，y )＝(x 1－x ，y 1－y )，即⎩⎨⎧x 1＝3x ，y 1＝3y .∵点P 在直线l 上，∴2x 1＋4y 1＋3＝0，把x 1＝3x ，y 1＝3y 代入上式并化简，得2x ＋4y ＋1＝0，为所求轨迹方程．11．x 2＋y 2＝4 解析 延长F 1D 与F 2A 交于B ，连接DO ，可知|DO |＝12|F 2B |＝2，∴动点D 的轨迹方程为x 2＋y 2＝4.12．y 2＝2(x －1) 解析 F (1,0)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x ，y )，则x 1＋x 2＝2x ，y 1＋y 2＝2y ，y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，后两式相减并将前两式代入得(y 1－y 2)y ＝2(x 1－x 2)，当x 1≠x 2时，y 1－y 2x 1－x 2×y ＝2.又A 、B 、M 、F 四点共线，y 1－y 2x 1－x 2＝y x －1，代入得y 2＝2(x －1)，当x 1＝x 2时，M (1,0)也适合这个方程，即y2＝2(x －1)是所求的轨迹方程．13．②③ 解析 ①曲线C 经过原点，这点不难验证是错误的，如果经过原点，那么a ＝1，与条件不符；②曲线C 关于原点对称，这点显然正确，如果在某点处|PF 1||PF 2|＝a 2，关于原点的对称点处也一定符合|PF 1||PF 2|＝a 2；③三角形的面积S △F 1F 2P 2≤a 22，很显然S △F 1F 2P ＝12|PF 1||PF 2|sin ∠F 1PF 2≤12|PF 1||PF 2|＝a 22.所以②③正确．14．解答 (1)设M (x ，y )，由已知得B (x ，－3)，A (0，－1)． 所以＝(－x ，－1－y )，＝(0，－3－y )，＝(x ，－2)． 再由题意可知(＋)·＝0，即(－x ，－4－2y )·(x ，－2)＝0，所以曲线C 的方程为y ＝14x 2－2.(2)设P (x 0，y 0)为曲线C ：y ＝14x 2－2上一点，因为y ′＝12x ，所以l 的斜率为12x 0.因此直线l 的方程为y －y 0＝12x 0(x －x 0)，即x 0x －2y ＋2y 0－x 20＝0.则O 点到l 的距离d ＝||2y 0－x 20x 20＋4，又y 0＝14x 20－2，所以d ＝12x 20＋4x 20＋4＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20＋4＋4x 20＋4≥2， 当x 0＝0时取等号，所以O 点到l 距离的最小值为2. 15．解答 (1)由点M 在直线x ＝a 2c 上，得a2c＝2，又b ＝1，故1＋c2c＝2，∴c ＝1，从而a ＝ 2.∴椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)以OM 为直径的圆的方程为x (x －2)＋y (y －t )＝0，即(x －1)2＋⎝⎛⎭⎫y －t 22＝t24＋1，其圆心为⎝⎛⎭⎫1，t 2，半径r ＝t 24＋1.因为以OM 为直径的圆被直线3x －4y －5＝0截得的弦长为2，所以圆心到直线3x －4y －5＝0的距离d ＝r 2－1＝t 2，所以|3－2t －5|5＝t 2，解得t ＝4，所以所求圆的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5. (3)证法一：设OM ，FN 交于点K .由平面几何的性质知|ON |2＝|OK ||OM |，直线OM ：y ＝t 2x ，直线FN ：y ＝－2t (x －1)．由⎩⎨⎧y ＝t 2，y ＝－2t(x －1)，得x K ＝4t 2＋4. ∴|ON |2＝⎝⎛⎭⎫1＋t 24x K ·⎝⎛⎭⎫1＋t 24x M ＝⎝⎛⎭⎫1＋t 24·4t 2＋4·2＝2，所以线段ON 的长为定值 2.证法二：设N (x 0，y 0)，则＝(x 0－1，y 0)，＝(2，t )， ＝(x 0－2，y 0－t )，＝(x 0，y 0)，∵⊥，∴2(x 0－1)＋ty 0＝0，∴2x 0＋ty 0＝2， 又∵⊥，∴x 0(x 0－2)＋y 0(y 0－t )＝0，∴x 20＋y 20＝2x 0＋ty 0＝2，所以，||＝x 20＋y 20＝2为定值． 【难点突破】16．解答 (1)设D (x ，y )，A ⎝⎛⎭⎪⎫x 1，33x 1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，－33x 2. 因为D 是线段AB 的中点， 所以x ＝x 1＋x 22，y ＝33·x 1－x 22. 因为|AB |＝23，所以(x 1－x 2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫33x 1＋33x 22＝12，所以(23y )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫33×2x 2＝12， 即x29＋y 2＝1.故点D 的轨迹C 的方程为x29＋y 2＝1.(2)设l ：y ＝k (x －1)(k ≠0)，代入椭圆方程x29＋y 2＝1，得(1＋9k 2)x 2－18k 2x ＋9k 2－9＝0，所以x 1＋x 2＝18k21＋9k，所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－2k ＝－2k1＋9k 2. 所以PQ 中点H 的坐标为⎝⎛⎭⎫9k 21＋9k 2，－k 1＋9k 2. 因为以MP 、MQ 为邻边的平行四边形是菱形， 所以k MH ·k ＝－1.所以－k1＋9k 29k 21＋9k2－m ·k ＝－1，即m ＝8k 21＋9k2.因为k ≠0，所以0<m <89.又点M (m,0)在线段ON 上，所以0<m <1.综上，0<m <89.。

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课时分层作业五十三曲线与方程一、选择题（每小题5分,共35分）1。

到两坐标轴的距离相等的动点的轨迹方程是（）A。

y=x B。

y=｜x｜C.x2+y2=0D.y2=x2【解析】选D。

设动点的坐标为(x，y)。

因为动点到两坐标轴的距离相等，所以|x｜=｜y｜即y2=x2,动点的轨迹方程是y2=x2。

2。

(2018·南昌模拟)已知点F,直线l:x=-，点B是l上的动点.若过B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是( )A。

双曲线B。

椭圆C。

圆 D.抛物线【解析】选D。

由已知得｜MF|=｜MB|。

由抛物线定义知,点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线.3。

（2018·张家口模拟）设线段AB的两个端点A,B分别在x轴、y轴上滑动,且｜AB|=5，=+,则点M的轨迹方程为（）A.+=1 B。

+=1C.+=1 D。

+=1【解析】选A。

设M（x，y),A(x0，0),B(0,y0）,由=+,得（x，y)=(x0，0）+（0，y0),则解得由｜AB|=5，得+=25,化简得+=1.【变式备选】(2018·福州模拟）已知F1, F2分别为椭圆C:+=1的左、右焦点,点P为椭圆C上的动点,则△PF1F2的重心G的轨迹方程为( ）A。

姓名，年级：时间：课时规范练53用样本估计总体基础巩固组1。

（2019湖南娄底一模,5)学校医务室对本校高一1 000名新生的视力情况进行跟踪调查，随机抽取了100名学生的体检表，得到的频率分布直方图如下，若直方图的后四组的频率成等差数列，则估计高一新生中视力在4.8以下的人数为（）A。

600 B。

390 C。

610 D.5102。

(2019江苏徐州模拟，6)甲、乙两人在相同条件下，射击5次,命中环数如下:根据以上数据估计(）A.甲比乙的射击技术稳定B.乙比甲的射击技术稳定C.两人没有区别D.两人区别不大3.(2019四川德阳高三一诊，7)将甲、乙两个篮球队10场比赛的得分数据整理成如图所示的茎叶图,由图可知(）A。

甲队得分的众数是3B.甲、乙两队得分在［30,39）分数段频率相等C.甲、乙两队得分的极差相等D。

乙队得分的中位数是38。

54.当5个正整数从小到大排列时,其中位数为4，若这5个数的唯一众数为6，则这5个数的均值不可能为（)A.3.6B.3.8C.4D.4。

25.如图为某班35名学生的投篮成绩(每人投一次)的条形统计图，其中上面部分数据破损导致数据不完全.已知该班学生投篮成绩的中位数是5,则根据统计图,无法确定下列哪一选项中的数值（）A.3球以下（含3球）的人数B.4球以下（含4球)的人数C。

5球以下(含5球)的人数D。

6球以下(含6球)的人数6.（2019吉林长春质检,4)某市气象部门根据2018年各月的每天最高气温平均值与最低气温平均值（单位:℃）数据,绘制如下折线图:那么,下列叙述错误的是()A。

各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关B。

全年中,2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大C.全年中各月最低气温平均值不高于10 ℃的月份有5个D.从2018年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值呈下降趋势7.已知数据x1,x2，…,x10，2的平均值为2，方差为1,则数据x1，x2,…,x10相对于原数据（)A。

2021年高考数学大一轮复习 8.8曲线与方程课时作业 理一、选择题1．方程(x 2－y 2－1)x －y －1＝0表示的曲线的大致形状是(图中实线部分)( )解析：原方程等价于⎩⎨⎧x 2－y 2－1＝0，x －y －1≥0或x －y －1＝0，前者表示等轴双曲线x 2－y 2＝1位于直线x －y －1＝0下方的部分，后者为直线x －y －1＝0，这两部分合起来即为所求．答案：B2．动点P (x ，y )满足5x －12＋y －22＝|3x ＋4y －11|，则点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．直线解析：设定点F (1,2)，定直线l ：3x ＋4y －11＝0，则|PF |＝x －12＋y －22，点P 到直线l 的距离d ＝|3x ＋4y －11|5.由已知得|PF |d ＝1，但注意到点F (1,2)恰在直线l 上，所以点P 的轨迹是直线．选D.答案：D3．已知点A (－1,0)，B (2,4)，△ABC 的面积为10，则动点C 的轨迹方程是( )A ．4x －3y －16＝0或4x －3y ＋16＝0B ．4x －3y －16＝0或4x －3y ＋24＝0C ．4x －3y ＋16＝0或4x －3y ＋24＝0D ．4x －3y ＋16＝0或4x －3y －24＝0解析：∵AB 的方程为4x －3y ＋4＝0，又|AB |＝5，设点C (x ，y )由题意可知12×5×|4x －3y ＋4|5＝10，∴4x －3y －16＝0或4x －3y ＋24＝0.答案：B4．设圆(x ＋1)2＋y 2＝25的圆心为C ，A (1,0)是圆内一定点，Q 为圆周上任一点．线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为( )A.4x 221－4y225＝1 B.4x 221＋4y225＝1 C.4x 225－4y221＝1 D.4x 225＋4y221＝1 解析：M 为AQ 垂直平分线上一点，则|AM |＝|MQ |，∴|MC |＋|MA |＝|MC |＋|MQ |＝|CQ |＝5，故M 的轨迹为椭圆，∴a ＝52，c ＝1，则b 2＝a2－c 2＝214， ∴椭圆的标准方程为4x 225＋4y221＝1.答案：D5．动点P (x ，y )到定点A (3,4)的距离比P 到x 轴的距离多一个单位长度，则动点P 的轨迹方程为( )A ．x 2－6x －10y ＋24＝0 B ．x 2－6x －6y ＋24＝0C ．x 2－6x －10y ＋24＝0或x 2－6x －6y ＝0 D ．x 2－8x －8y ＋24＝0解析：本题满足条件|PA |＝|y |＋1，即x －32＋y －42＝|y |＋1，当y >0时，整理得x 2－6x －10y ＋24＝0；当y ≤0时，整理得x 2－6x －6y ＋24＝0，变为(x －3)2＋15＝6y ，此方程无轨迹．答案：A6．设P 为圆x 2＋y 2＝1上的动点，过P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，若PM →＝λMQ →(其中λ为正常数)，则点M 的轨迹为( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线解析：设M (x ，y )，P (x 0，y 0)，则Q (x 0,0)，由PM →＝λMQ →得⎩⎪⎨⎪⎧x －x 0＝λx 0－xy －y 0＝λ－y(λ>0)∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x y 0＝λ＋1y，由x 20＋y 20＝1，∴x 2＋(λ＋1)2y 2＝1(λ>0)，∴点M 的轨迹为椭圆． 答案：B 二、填空题7．设P 是圆x 2＋y 2＝100上的动点，点A (8,0)，线段AP 的垂直平分线交半径OP 于M 点，则点M 的轨迹为________．解析：如图，设M (x ，y )，由于l 是AP 的垂直平分线，于是|AM |＝|PM |，又由于10＝|OP |＝|OM |＋|PM |＝|OM |＋|AM |，即|OM |＋|AM |＝10，也就是说，动点M 到O (0,0)及A (8,0)的距离之和是10，故动点M 的轨迹是以O (0,0)，A (8,0)为焦点，中心在(4,0)，长半轴长是5的椭圆．答案：椭圆8．直线x a ＋y2－a ＝1与x 、y 轴交点的中点的轨迹方程是________．解析：设直线x a ＋y2－a＝1与x 、y 轴交点为A (a,0)、B (0,2－a )，A 、B 中点为M (x ，y )，则x ＝a 2，y ＝1－a2，消去a ，得x ＋y ＝1，∵a ≠0，a ≠2，∴x ≠0，x ≠1.答案：x ＋y ＝1(x ≠0，x ≠1)9．P 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上的任意一点，F 1、F 2是它的两个焦点，O 为坐标原点，OQ →＝PF 1→＋PF 2→，则动点Q 的轨迹方程是________．解析：由OQ →＝PF 1→＋PF 2→，又PF 1→＋PF 2→＝PM →＝2PO →＝－2OP →， 设Q (x ，y )，则OP →＝－12OQ →＝－12(x ，y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x2，－y 2，即P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2，－y2，又P 在椭圆上， 则有⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 22b 2＝1，即x 24a 2＋y 24b2＝1.答案：x 24a 2＋y 24b2＝1三、解答题10．已知曲线E ：ax 2＋by 2＝1(a >0，b >0)，经过点M (33，0)的直线l 与曲线E 交于点A ，B ，且MB →＝－2MA →.若点B 的坐标为(0,2)，求曲线E 的方程．解：设A (x 0，y 0)，∵B (0,2)，M (33，0)， 故MB →＝(－33，2)，MA →＝(x 0－33，y 0)．由于MB →＝－2MA →，∴(－33，2)＝－2(x 0－33，y 0)．∴x 0＝32，y 0＝－1，即A (32，－1)． ∵A ，B 都在曲线E 上，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ·02＋b ·22＝1a ·322＋b ·－12＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝14.∴曲线E 的方程为x 2＋y 24＝1.11．如图，设P 是圆x 2＋y 2＝25上的动点，点D 是P 在x 轴上的投影，M 为PD 上一点，且|MD |＝45|PD |.(1)当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程； (2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的长度．解：(1)设M 的坐标为(x ，y )，P 的坐标为(x P ，y P )，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x P ＝x ，y P ＝54y ，∵P 在圆上，∴x 2＋(54y )2＝25，即轨迹C 的方程为x 225＋y216＝1.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)，设直线与C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线方程y ＝45(x －3)代入C 的方程，得x225＋x －3225＝1，即x 2－3x －8＝0.∴x 1＝3－412，x 2＝3＋412. ∴线段AB 的长度为|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝1＋k2x 1－x 22＝4125×41＝415.1．在平面直角坐标系xOy 中，设点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，直线l ：x ＝－12，点P 在直线l 上移动，R 是线段PF 与y 轴的交点，PQ ⊥FP ，PQ ⊥l .(1)求动点Q 的轨迹方程C ；(2)设圆M 过A (1,0)，且圆心M 在曲线C 上，TS 是圆M 在y 轴上截得的弦，当M 运动时，弦长|TS |是否为定值？请说明理由．解：(1)依题意知，点R 是线段FP 的中点，且RQ ⊥FP ， ∴RQ 是线段FP 的垂直平分线． ∵|PQ |是点Q 到直线l 的距离． 点Q 在线段FP 的垂直平分线上， ∴|PQ |＝|QF |.故动点Q 的轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线， 其方程为y 2＝2x (x >0)．(2)弦长|TS |为定值．理由如下：取曲线C 上一点M (x 0，y 0)，M 到y 轴的距离为d ＝|x 0|＝x 0，圆的半径r ＝|MA |＝x 0－12＋y 20，则|TS |＝2r 2－d 2＝2y 20－2x 0＋1， 因为点M 在曲线C 上，所以x 0＝y 202，所以|TS |＝2y 20－y 20＋1＝2，是定值．2．如图，抛物线C 1：x 2＝4y ，C 2：x 2＝－2py (p >0)．点M (x 0，y 0)在抛物线C 2上，过M作C 1的切线，切点为A ，B (M 为原点O 时，A ，B 重合于O )．当x 0＝1－2时，切线MA 的斜率为－12.(1)求p 的值；(2)当M 在C 2上运动时，求线段AB 中点N 的轨迹方程(A ，B 重合于O 时，中点为O )． 解：(1)因为抛物线C 1：x 2＝4y 上任意一点(x ，y )的切线斜率为y ′＝x2，且切线MA 的斜率为－12，所以点A 坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－1，14，故切线MA 的方程为y ＝－12(x ＋1)＋14. 因为点M (1－2，y 0)在切线MA 及抛物线C 2上，于是y 0＝－12(2－2)＋14＝－3－224，① y 0＝－1－222p＝－3－222p.② 由①②得p ＝2.(2)设N (x ，y )，A ⎝⎛⎭⎪⎫x 1，x 214，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，x 224，x 1≠x 2，由N 为线段AB 的中点，知x ＝x 1＋x 22，③y ＝x 21＋x 228.④故切线MA ，MB 的方程为y ＝x 12(x －x 1)＋x 214.⑤y ＝x 22(x －x 2)＋x 224.⑥由⑤⑥得MA ，MB 的交点M (x 0，y 0)的坐标为x 0＝x 1＋x 22，y 0＝x 1x 24.因为点M (x 0，y 0)在C 2上，即x 20＝－4y 0， 所以x 1x 2＝－x 21＋x 226.⑦由③④⑦得x 2＝43y ，x ≠0.当x 1＝x 2时，A ，B 重合于原点O ，AB 中点N 为O ，坐标满足x 2＝43y .因此线段AB 中点N 的轨迹方程为x 2＝43y . p 35886 8C2E 谮23469 5BAD 宭21768 5508 唈gAG39820 9B8C 鮌21321 5349 卉40798 9F5E 齞31421 7ABD 窽。

2021版高考数学一轮复习第八章解析几何第53讲曲线与方程学案202105072100考纲要求考情分析命题趋势了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.2021·全国卷Ⅱ，202021·全国卷Ⅰ，20(1)2021·全国卷Ⅲ，20(2)求满足条件的动点轨迹及轨迹方程，用直截了当法和定义法较为普遍.分值：3～5分1．曲线与方程一样地，在直角坐标系中，假如某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下关系：(1)曲线上点的坐标差不多上__那个方程__的解；(2)以那个方程的解为坐标的点差不多上__曲线上__的点．那么，那个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．曲线能够看作是符合某条件的点的集合，也可看作是适合某种条件的点的轨迹，因此，此类问题也叫轨迹问题．2．求曲线方程的差不多步骤1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．(1)f(x0，y0)＝0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的充要条件．( √)(2)方程x2＋xy＝x表示的曲线是一个点和一条直线．(×)(3)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x2＝y2.( ×)(4)方程y＝x与x＝y2表示同一曲线．(×)解析(1)正确．由f(x0，y0)＝0可知点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上，又P(x0，y0)在曲线f (x ，y )＝0上时，有f (x 0，y 0)＝0.因此f (x 0，y 0)＝0是P (x 0，y 0)在曲线f (x ，y )＝0上的充要条件．(2)错误．方程变为x (x ＋y －1)＝0，因此x ＝0或x ＋y －1＝0，故方程表示直线x ＝0或直线x ＋y －1＝0.(3)错误．当以两条互相垂直的直线为x 轴，y 轴时，是x 2＝y 2，否则不正确． (4)错误．因为方程y ＝x 表示的曲线只是方程x ＝y 2表示曲线的一部分，故其不正确． 2．和点O (0,0)，A (c,0)距离的平方和为常数c (c ≠0)的点的轨迹方程为__2x 2＋2y 2－2cx ＋c 2－c ＝0__.解析 设点的坐标为(x ，y )，由题意知((x －0)2＋(y －0)2)2＋((x －c )2＋(y －0)2)2＝c ， 即x 2＋y 2＋(x －c )2＋y 2＝c ，即2x 2＋2y 2－2cx ＋c 2－c ＝0.3．MA 和MB 分别是动点M (x ，y )与两定点A (－1,0)和B (1,0)的连线，则使∠AMB 为直角的动点M 的轨迹方程是__x 2＋y 2＝1(x ≠±1)__.解析 点M 在以A ，B 为直径的圆上，但不能是A ，B 两点．4．平面内有三个点A (－2，y )，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 2，C (x ，y )，若AB →⊥BC →，则动点C 的轨迹方程为__y 2＝8x (x ≠0)__．解析 AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－y 2，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，y 2，由AB →⊥BC →，得AB →·BC →＝0.即2x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 2·y2＝0.∴动点C 的轨迹方程为y 2＝8x (x ≠0)．5．圆的方程为x 2＋y 2＝4，抛物线过点A (－1,0)，B (1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线焦点的轨迹方程是__x 24＋y 23＝1(y ≠0) __.解析 设抛物线焦点为F ，过A ，B ，O 作准线的垂线AA 1，BB 1，OO 1，则||AA 1＋||BB 1＝2||OO 1＝4，由抛物线定义得||AA 1＋||BB 1＝||FA ＋||FB ，∴||FA ＋||FB ＝4，故F 点的轨迹是以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)．一 定义法求轨迹方程应用定义法求曲线方程的关键在于由已知条件推出关于动点的等量关系式，由等量关系结合曲线定义判定是何种曲线，再设出标准方程，用待定系数法求解．【例1】 已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切同时与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C ，求C 的方程．解析 由已知得圆M 的圆心为M (－1,0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2＝3.设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R .因为圆P 与圆M 外切同时与圆N 内切，因此||PM ＋||PN ＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4＞2＝||MN .由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x 24＋y 23＝1(x ≠－2)．二 直截了当法求轨迹方程直截了当法求轨迹方程的常见类型及解题策略(1)题中给出等量关系，求轨迹方程．直截了当代入即可得出方程．(2)题中未明确给出等量关系，求轨迹方程．可利用已知条件查找等量关系，得出方程． 【例2】 (2021·全国卷Ⅲ)已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．解析 由题知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0.设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，则ab ≠0，且A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22，a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22，b ，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ， R ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ＋b 2. 记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0. (1)由于F 在线段AB 上，故1＋ab ＝0. 记AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2，则k 1＝a －b 1＋a 2＝a －b a 2－ab ＝1a ＝－aba＝－b ＝k 2. 因此AR ∥FQ .(2)设l 与x 轴的交点为D (x 1,0)， 则S △ABF ＝12|b －a ||FD |＝12|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12，S △PQF ＝|a －b |2. 由题设可得|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12＝|a －b |2，解得x 1＝1. 设满足条件的AB 的中点为E (x ，y )．当AB 与x 轴不垂直时，由k AB ＝k DE 可得2a ＋b ＝y x －1(x ≠1)． 而a ＋b2＝y ，因此y 2＝x －1(x ≠1)．当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，故所求轨迹方程为y 2＝x －1.三 相关点法求轨迹方程相关点法求轨迹方程的差不多步骤(1)设点：设被动点坐标为(x ，y )，主动点坐标为(x 1，y 1)，(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝f (x ，y )，y 1＝g (x ，y )，(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程． 【例3】 (2020·安徽合肥高三调研)已知M 为椭圆C ：x 225＋y 29＝1上的动点，过点M 作x 轴的垂线，垂足为D ，点P 满足PD →＝53MD →.(1)求动点P 的轨迹E 的方程；(2)若A ，B 两点分别为椭圆C 的左、右顶点，F 为椭圆C 的左焦点，直线PB 与椭圆C 交于点Q ，直线QF ，PA 的斜率分别为k QF ，k PA ，求k QFk PA的取值范畴． 解析 (1)设P (x ，y )，M (m ，n )，依题意知D (m,0)，且y ≠0. 由PD →＝53M D →，得(m －x ，－y )＝53(0，－n )，则有⎩⎪⎨⎪⎧m －x ＝0，－y ＝－53n ⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝x ，n ＝35y .又M (m ，n )为椭圆C ：x 225＋y 29＝1上的点， ∴x225＋⎝ ⎛⎭⎪⎫35y 29＝1，即x 2＋y 2＝25， 故动点P 的轨迹E 的方程为x 2＋y 2＝25(y ≠0)．(2)依题意知A (－5,0)，B (5,0)，F (－4,0)，设Q (x 0，y 0)，∵线段AB 为圆E 的直径，∴AP ⊥BP ，设直线PB 的斜率为k PB ，则k PA ＝－1k PB，k QFk PA＝k QF－1k PB＝－k QF k PB＝－k QF k QB＝－yx0＋4·y0x0－5＝－y20(x0＋4)(x0－5)＝－9⎝⎛⎭⎪⎫1－x2025(x0＋4)(x0－5)＝925(x20－25)(x0＋4)(x0－5)＝925(x0＋5)x0＋4＝925⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x0＋4，∵点P不同于A，B两点且直线QF的斜率存在，∴－5<x0<5且x0≠－4，又y＝1x＋4在(－5，－4)和(－4,5)上差不多上减函数，∴925⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x0＋4∈(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎪⎫25，＋∞，故k QFk PA的取值范畴是(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎪⎫25，＋∞.1．已知点A(－4,4)，B(4,4)，直线AM与BM相交于点M，且直线AM的斜率与BM的斜率之差为－2，点M的轨迹为曲线C，则曲线C的轨迹方程为__x2＝4y(x≠±4)__．解析设M(x，y)，由已知得k AM－k BM＝y－4x＋4－y－4x－4＝－2，化简得x2＝4y(x≠±4)．2．已知圆C的方程为(x－3)2＋y2＝100，点A的坐标为(－3,0)，M为圆C上任一点，线段AM的垂直平分线交CM于点P，则点P的轨迹方程为x225＋y216＝1 .解析由题可知C(3,0)，r＝10，由中垂线性质知||PA＝||PM，故||PA＋||PC＝||PM ＋||PC＝||CM＝10，即P点的轨迹为以原点为中心，点A，C为焦点的椭圆，2a＝10，c＝3，b＝4，故点P的轨迹方程为x225＋y216＝1.3．已知两个定圆O1和O2，它们的半径分别是1和2，且||O1O2＝4.动圆M与圆O1内切，又与圆O2外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线．解析如图所示，以O1O2的中点O为原点，O1O2所在直线为x轴建立平面直角坐标系．由||O1O2＝4，得O1(－2,0)，O2(2,0)．设动圆M的半径为r，则由动圆M与圆O1内切，有||MO1＝r－1，由动圆M与圆O2外切，有||MO2＝r＋2，∴||MO2－||MO1＝3，∴点M 的轨迹是以O 1，O 2为焦点，实轴长为3的双曲线的左支， ∴a ＝32，c ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝74，∴点M 的轨迹方程为4x 29－4y 27＝1⎝⎛⎭⎪⎫x ≤－32. 4．如图所示，A (m ，3m )和B (n ，－3n )两点分别在射线OS ，OT (点S ，T 分别在第一、四象限)上移动，且OA →·OB →＝－12，O 为坐标原点，动点P 满足OP →＝OA →＋OB →.(1)求mn 的值；(2)求动点P 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？解析 (1)∵OA →·OB →＝(m ，3m )·(n ，－3n )＝－2mn ＝－12，∴mn ＝14.(2)设P (x ，y )(x ＞0)，由OP →＝OA →＋OB →，得(x ，y )＝(m ，3m )＋(n ，－3n )＝(m ＋n ，3m －3n )．∴⎩⎨⎧x ＝m ＋n ，y ＝3m －3n ，整理得x 2－y 23＝4mn ，又mn ＝14，∴P 点的轨迹方程为x 2－y 23＝1(x ＞0)．它表示以原点为中心，焦点在x 轴上，实轴长为2，焦距为4的双曲线x 2－y 23＝1的右支．易错点 轨迹方程与实际的轨迹不对应错因分析：①要注意参数的取值阻碍x ，y 的取值范畴；②曲线的方程与方程的曲线要对应．【例1】 如图，在正方形OABC 中，O 为坐标原点，点A 的坐标为(10,0)，点C 的坐标为(0,10)，分别将线段OA 和AB 十等分，分点分别记为A 1，A 2，…，A 9和B 1，B 2，…，B 9，连接OB i ，过A i 作x 轴的垂线与OB i 交于点P i (i ∈N *，1≤i ≤9)．求证：点P i (i ∈N *,1≤i ≤9)都在同一条抛物线上，并求P 的轨迹方程．解析 依题意，过A i (i ∈N *,1≤i ≤9)且与x 轴垂直的直线方程为x ＝i ，B i 的坐标为(10，i )，因此直线OB i 的方程为y ＝i10x .设P i 的坐标为(x ，y )，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝i ，y ＝i10x ，得y ＝110x 2，即x 2＝10y .因此点P i (i ∈N *,1≤i ≤9)都在同一条抛物线上，且抛物线E 的方程为x 2＝10y . 由于i ∈[1,9]，因此x ∈[0,10]，y ∈[0,10]，从而点P 的轨迹方程为x 2＝10y (x ∈[0,10])．【跟踪训练1】 方程(x 2＋y 2－4)x ＋y ＋1＝0的曲线形状是( C )解析 由题意得x ＋y ＋1＝0或x 2＋y 2＝4(x ＋y ＋1≥0)表示直线x ＋y ＋1＝0和圆x 2＋y 2＝4在直线x ＋y ＋1＝0右上方的部分．课时达标 第53讲[解密考纲]求曲线的轨迹方程，经常通过定义法或直截了当法，在解答题的第(1)问中显现．一、选择题1．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，假如动点P 满足|PA |＝2|PB |，则动点P 的轨迹是( B )A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线解析 设P (x ，y )，则(x ＋2)2＋y 2＝2(x －1)2＋y 2，整理得x 2＋y 2－4x ＝0， 又D 2＋E 2－4F ＝16>0，因此动点P 的轨迹是圆．2．(2021·全国卷Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( B )A ．x 28－y 210＝1B ．x 24－y 25＝1C ．x 25－y 24＝1D ．x 24－y 23＝1解析 依照双曲线C 的渐近线方程为y ＝52x ，可知b a ＝52， ①又椭圆x 212＋y23＝1的焦点坐标为(3,0)和(－3,0)，因此a 2＋b 2＝9， ②依照①②可知a 2＝4，b 2＝5，故选B ．3．已知点P 是直线2x －y ＋3＝0上的一个动点，定点M (－1,2)，Q 是线段PM 延长线上的一点，且|PM |＝|MQ |，则Q 点的轨迹方程是( D )A ．2x ＋y ＋1＝0B ．2x －y －5＝0C ．2x －y －1＝0D ．2x －y ＋5＝0解析 设Q (x ，y )，则P 为(－2－x,4－y )，代入2x －y ＋3＝0得Q 点的轨迹方程为2x －y ＋5＝0.4．设圆(x ＋1)2＋y 2＝25的圆心为C ，A (1,0)是圆内一定点，Q 为圆周上任一点，线段AQ 的垂直平分线与 CQ 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为( D )A ．4x 221－4y225＝1B ．4x 221＋4y225＝1C ．4x 225－4y221＝1D ．4x 225＋4y221＝1解析 ∵M 为AQ 垂直平分线上一点，则|AM |＝|MQ |，∴|MC |＋|MA |＝|MC |＋|MQ |＝|CQ |＝5， 故M 的轨迹是以定点C ，A 为焦点的椭圆， ∴a ＝52，c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝214，∴椭圆的标准方程为4x 225＋4y221＝1.5．设过点P (x ，y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A ，B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若BP →＝2PA →，且OQ →·AB →＝1，则点P 的轨迹方程是( A )A ．32x 2＋3y 2＝1(x >0，y >0) B ．32x 2－3y 2＝1(x >0，y >0) C ．3x 2－32y 2＝1(x >0，y >0)D ．3x 2＋32y 2＝1(x >0，y >0)解析 设A (a,0)，B (0，b )，a >0，b >0.由BP →＝2PA →，得(x ，y －b )＝2(a －x ，－y )，即a ＝32x >0，b ＝3y >0，点Q (－x ，y )，故由OQ →·AB →＝1，得(－x ，y )·(－a ，b )＝1，即ax ＋by ＝1.将a ，b 代入ax ＋by ＝1得所求的轨迹方程为32x2＋3y 2＝1(x >0，y >0)．6．已知圆锥曲线mx 2＋4y 2＝4m 的离心率e 为方程2x 2－5x ＋2＝0的根，则满足条件的圆锥曲线的个数为( B )A ．4B ．3C ．2D ．1解析 ∵e 是方程2x 2－5x ＋2＝0的根，∴e ＝2或e ＝12，mx 2＋4y 2＝4m 可化为x 24＋y 2m ＝1，当它表示焦点在x 轴上的椭圆时，有4－m 2＝12，∴m ＝3；当它表示焦点在y 轴上的椭圆时，有m －4m＝12，∴m ＝163；当它表示焦点在x 轴上的双曲线时，可化为x 24－y 2－m ＝1，有4－m2＝2，∴m ＝－12，∴满足条件的圆锥曲线有3个，故选B ．二、填空题7．已知△ABC 的顶点 A (－5,0)，B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是__x 29－y 216＝1(x >3)__.解析 如图，|AD |＝|AE |＝8，|BF |＝|BE |＝2，|CD |＝|CF |，因此|CA |－|CB |＝8－2＝6.依照双曲线定义，所求轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为x 29－y 216＝1(x >3)． 8．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A (1,0)，B (2,2)，若点C 满足O C →＝O A →＋t (O B→－O A →)，其中t ∈R ，则点C 的轨迹方程是__2x －y －2＝0__.解析 设 C (x ，y )，则OC →＝(x ，y )，OA →＋t (OB →－OA →)＝(1＋t,2t )，因此⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t ，消去参数t 得点C 的轨迹方程为y ＝2x －2.9．P 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上的任意一点，F 1，F 2是它的两个焦点，O 为坐标原点，有一动点Q 满足O Q →＝PF 1→＋PF 2→，则动点Q 的轨迹方程是 x 24a 2＋y 24b2＝1 .解析 作P 关于O 的对称点M ，连接F 1M ，F 2M ， 则四边形F 1PF 2M 为平行四边形， 因此PF 1→＋PF 2→＝PM →＝2PO →＝－2OP →. 又OQ →＝PF 1→＋PF 2→，因此OP →＝－12OQ →，设Q (x ，y )，则OP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x2，－y 2，即点P 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2，－y2，又P 在椭圆上， 则有⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 22b 2＝1，即x 24a 2＋y 24b2＝1.三、解答题10．已知圆C 1的圆心在坐标原点O ，且恰好与直线l 1：x －y －22＝0相切． (1)求圆的标准方程；(2)设点A 为圆上一动点，AN ⊥x 轴于点N ，若动点Q 满足OQ →＝mOA →＋(1－m )ON →(其中m 为非零常数)，试求动点Q 的轨迹方程C 2.解析 (1)依题意圆的半径为圆心(0,0)到直线l 1的距离|－22|12＋12＝2，故圆C 1的方程为x 2＋y 2＝4.(2)设动点Q (x ，y )，A (x 0，y 0)． ∵AN ⊥x 轴交于点N ，∴N (x 0,0)，由题意，得(x ，y )＝m (x 0，y 0)＋(1－m )·(x 0,0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x 0，y ＝my 0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝x ，y 0＝1m y ，将A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，1m y ，代入x 2＋y 2＝4， 得x 24＋y 24m 2＝1.即动点Q 的轨迹方程为x 24＋y 24m 2＝1. 11．(2020·河北唐山统考)已知动点P 到直线l ：x ＝－1的距离等于它到圆C ：x 2＋y 2－4x ＋1＝0的切线长(P 到切点的距离)．记动点P 的轨迹为曲线E .(1)求曲线E 的方程；(2)过圆心C 作直线AB ：x ＝my ＋2交曲线E 于A ，B 两点，设线段AB 的中点为D ，过圆心C 作直线CQ 垂直于直线AB 交直线l 于点Q ，求|QD ||AB |的取值范畴． 解析 (1)由已知得圆的方程为(x －2)2＋y 2＝3，则圆心为C (2,0)，半径r ＝ 3.设P (x ，y )，依题意可得|x ＋1|＝(x －2)2＋y 2－3，整理得y 2＝6x .故曲线E 的方程为y 2＝6x .(2)又直线AB 的方程为my ＝x －2，则直线CQ 的方程为y ＝－m (x －2)，可得Q (－1,3m )．将my ＝x －2代入y 2＝6x 并整理可得y 2－6my －12＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝6m ，y 1y 2＝－12， AB 的中点D 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22， 即D (3m 2＋2,3m )，|QD |＝3m 2＋3. |AB |＝1＋m 2·(y 1－y 2)2＝23(1＋m )2(3m 2＋4)， 因此⎝ ⎛⎭⎪⎫|QD ||AB |2＝3m 2＋34(3m 2＋4)＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13m 2＋4∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫316，14， 故|QD ||AB |的取值范畴是⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，12. 12．(2021·全国卷Ⅱ)设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：x 22＋y 2＝1上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP →＝ 2 NM →.(1)求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线x ＝－3上，且OP →·PQ →＝1.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .解析 (1)设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，则N (x 0,0)，NP →＝(x －x 0，y )，NM →＝(0，y 0)．由NP →＝ 2 NM →得x 0＝x ，y 0＝22y . 因为M (x 0，y 0)在椭圆C 上，因此x 22＋y 22＝1. 因此点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝2.(2)由题意知F (－1,0)．设Q (－3，t )，P (m ，n )，则OQ →＝(－3，t )，PF →＝(－1－m ，－n )，OQ →·PF →＝3＋3m －tn ， OP →＝(m ，n )，PQ →＝(－3－m ，t －n )．由OP →·PQ →＝1得－3m －m 2＋tn －n 2＝1，又由(1)知m 2＋n 2＝2，故3＋3m －tn ＝0.因此OQ →·PF →＝0，即OQ →⊥PF →.又过点F 存在唯独直线垂直于OQ ，因此过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .。

2019年高考数学总复习课时作业（五十三）第53讲曲线与方程理编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019年高考数学总复习课时作业（五十三）第53讲曲线与方程理）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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课时作业（五十三）第53讲曲线与方程基础热身1。

在平面直角坐标系中，已知定点A(0，—)，B（0，),直线PA与直线PB的斜率之积为-2,则动点P的轨迹方程为()A。

+x2=1B.+x2=1（x≠0）C。

-x2=1D.+y2=1(x≠0)2.过点F(0，3）且和直线y+3=0相切的动圆圆心的轨迹方程为（) A。

x2=12yB。

y2=—12xC.y2=12xD。

x2=-12y3.设P为双曲线-y2=1上一动点,O为坐标原点,M为线段OP的中点，则点M 的轨迹方程是()A.x2—4y2=1B.4y2-x2=1C.x2—=1D。

—y2=14.[2017·沈阳模拟］平面直角坐标系中，已知O为坐标原点,点A,B的坐标分别为(1,1),(—3，3）.若动点P满足=λ+μ，其中λ,μ∈R，且λ+μ=1，则点P的轨迹方程为（）A。

x-y=0B。

x+y=0C。

x+2y-3=0D.+=55。

[2017·北京海淀区期中］已知F1（—2，0），F2(2,0),满足｜｜PF1|-|PF2｜|=2的动点P的轨迹方程为。

能力提升6.[2017·上海普陀区二模]动点P在抛物线y=2x2+1上移动,若P与点Q(0,—1)连线的中点为M，则动点M的轨迹方程为(）A。

课时作业53 双曲线一、选择题1．已知双曲线x 29－y 24＝1，则其焦距为( D )A. 5 B ．2 5 C.13D ．213解析：由双曲线方程知c 2＝9＋4＝13，∴c ＝13，∴焦距为213，故选D. 2．(2019·北京卷)已知双曲线x 2a 2－y 2＝1(a >0)的离心率是5，则a ＝( D )A. 6 B ．4 C ．2D.12 解析：解法1：由双曲线方程可知b 2＝1，所以c ＝a 2＋b 2＝a 2＋1，所以e ＝ca＝a 2＋1a＝5，解得a ＝12，故选D.解法2：由e ＝5，e 2＝1＋b 2a 2，b 2＝1，得5＝1＋1a 2，得a ＝12，故选D. 3．已知双曲线x 2m －y 2m ＋6＝1(m >0)的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的标准方程为( D )A.x 22－y 24＝1 B.x 24－y 28＝1 C ．x 2－y 28＝1 D.x 22－y 28＝1 解析：由题意，得2m ＝m ＋6，解得m ＝2，∴双曲线的标准方程为x 22－y 28＝1，故选D.4．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝2x ，且经过点P (6，4)，则双曲线的方程是( C )A.x 24－y 232＝1 B.x 23－y 24＝1 C.x 22－y 28＝1 D ．x 2－y 24＝1 解析：因为双曲线的一条渐近线方程为y ＝2x ，所以ba＝2 ①.又双曲线过点P (6，4)，所以6a 2－16b 2＝1 ②.①②联立，解得a ＝2，b ＝22，所以双曲线的方程为x 22－y 28＝1，故选C.5．已知定点F 1(－2,0)，F 2(2,0)，N 是圆O ：x 2＋y 2＝1上任意一点，点F 1关于点N 的对称点为M ，线段F 1M 的中垂线与直线F 2M 相交于点P ，则点P 的轨迹是( D )A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线解析：因为N 为线段F 1M 的中点，O 为线段F 1F 2的中点，所以|F 2M |＝2|ON |＝2.因为P 在线段F 1M 的中垂线上，所以|PF 1|＝|PM |，所以||PF 1|－|PF 2||＝|F 2M |＝2|ON |＝2<|F 1F 2|，所以点P 的轨迹是双曲线，故选D.6．(2019·全国卷Ⅲ)双曲线C ：x 24－y 22＝1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O为坐标原点．若|PO |＝|PF |，则△PFO 的面积为( A )A.324B.322 C ．2 2D ．3 2解析：不妨设点P 在第一象限，根据题意可知c 2＝6，所以|OF |＝ 6.又tan ∠POF ＝b a ＝22，所以等腰三角形POF 的高h ＝62×22＝32，所以S △PFO ＝12×6×32＝324. 7．经过点(2,1)，且渐近线与圆x 2＋(y －2)2＝1相切的双曲线的标准方程为( A ) A.x 2113－y 211＝1 B.x 22－y 2＝1 C.y 2113－x 211＝1 D.y 211－x 2113＝1 解析：设双曲线的渐近线方程为y ＝kx ，即kx －y ＝0，由渐近线与圆x 2＋(y －2)2＝1相切可得圆心(0,2)到渐近线的距离等于半径1，由点到直线的距离公式可得|k ×0－2|k 2＋1＝1，解得k ＝±3.因为双曲线经过点(2,1)，所以双曲线的焦点在x 轴上，可设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，将点(2,1)代入可得4a 2－1b 2＝1，由⎩⎨⎧4a 2－1b 2＝1，ba ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝113，b 2＝11，故所求双曲线的方程为x 2113－y 211＝1.故选A.8．已知双曲线x 24－y 22＝1的右焦点为F ，P 为双曲线左支上一点，点A (0，2)，则△APF周长l 的最小值为( B )A ．4＋ 2B ．4(1＋2) C ．2(2＋6) D.6＋3 2解析：设双曲线的左焦点为F ′.双曲线的右焦点为F (6，0)，△APF 的周长l ＝|AF |＋|AP |＋|PF |＝|AF |＋|AP |＋2a ＋|PF ′|，要使△APF 周长最小，只需|AP |＋|PF ′|最小，如图，当A ，P ，F ′三点共线时|AP |＋|PF ′|取得最小值，此时l ＝2|AF |＋2a ＝4(1＋2)，故选B.9．(多选题)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点，若∠MAN ＝60°，则有( AC )A ．渐近线方程为y ＝±33xB ．e ＝322C ．e ＝233D ．渐近线方程为y ＝±3x解析：双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右顶点为A (a,0)，以A 为圆心，b 为半径做圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点．若∠MAN ＝60°，可得A 到渐近线bx ＋ay ＝0的距离为：b cos30°＝32b ，可得：|ab |a 2＋b2＝32b ，即a c ＝32，故e ＝233.且ba ＝e 2－1＝33，故渐近线方程为y ＝±33x .故选AC. 10．(多选题)已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为e 1，椭圆C 1的上顶点为M ，且MF 1→·MF 2→＝0，双曲线C 2和椭圆C 1有相同焦点，且双曲线C 2的离心率为e 2，P 为曲线C 1与C 2的一个公共点，若∠F 1PF 2＝π3，则正确的是( BD )A.e 2e 1＝2 B ．e 1·e 2＝32C ．e 21＋e 22＝52D ．e 22－e 21＝1解析：因为MF 1→·MF 2→＝0且|MF 1→|＝|MF 2→|，故三角形MF 1F 2为等腰直角三角形，设椭圆的半焦距为c ，则c ＝b ＝22a ，所以e 1＝22.在焦点三角形PF 1F 2中，设∠F 1PF 2＝π3，|PF 1|＝x ，|PF 2|＝y ，双曲线C 2的实半轴长为a ′，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－xy ＝4c 2x ＋y ＝22c|x －y |＝2a ′，故xy ＝43c 2，从而(x －y )2＝x 2＋y 2－xy －xy ＝8c 23，所以(a ′)2＝2c 23即e 2＝62，故e 2e 1＝3，e 2e 1＝32，e 21＋e 22＝2，e 22－e 21＝1，故选BD.二、填空题11．(多填题)已知双曲线的渐近线方程为4x ±3y ＝0，它的焦点是椭圆x 225＋y 210＝1的长轴端点，则此双曲线方程为x 29－y 216＝1，离心率为53.解析：由x 225＋y 210＝1可得其长轴端点为(5,0)，(－5,0)，由双曲线的渐近线为：4x ±3y ＝0，所以可设双曲线的方程为：x 29λ－y 216λ＝1(λ>0)，根据题意可得：9λ＋16λ＝25，即λ＝1，所以双曲线的标准方程为：x 29－y 216＝1，其离心率为e ＝53.12．已知双曲线C ：x 2－4y 2＝1，过点P (2,0)的直线l 与C 有唯一公共点，则直线l 的方程为y ＝±12(x －2)．解析：∵双曲线C 的方程为x 2－4y 2＝1，∴a ＝1，b ＝12，∴渐近线方程为y ＝±12x .∵P (2,0)在双曲线内部且直线l 与双曲线有唯一公共点，∴直线l 与双曲线的渐近线平行，∴直线l 的斜率为±12，∴直线l 的方程为y ＝±12(x －2)．13．已知点P (1，3)在双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线上，F 为C 的右焦点，O 为原点，若∠FPO ＝90°，则C 的方程为x 24－y 212＝1.解析：设双曲线的一条渐近线方程为y ＝b a x ，由渐近线过点P (1，3)，得ba＝3，且|OP |＝2.焦点到渐近线的距离是b ，即|PF |＝b ，在Rt △OPF 中，|OF |2＝|OP |2＋|PF |2，即c 2＝22＋b 2.又c 2＝a 2＋b 2，所以a ＝2，b ＝23，所以双曲线C 的方程为x 24－y 212＝1.14．(多填题)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的方程是22x －y ＝0，则双曲线E 的离心率e ＝3；若双曲线E 的实轴长为2，过双曲线E 的右焦点F 可作两条直线与圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y ＋m ＝0相切，则实数m 的取值范围是(－3,5)．解析：因为双曲线E 的一条渐近线的方程是22x －y ＝0，所以b a ＝22，所以e ＝ca ＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a2＝1＋(22)2＝3.因为双曲线E 的实轴长为2，所以2a ＝2，即a ＝1，所以c ＝3，F (3,0)．由题意得右焦点F 在圆C 外，所以需满足条件⎩⎪⎨⎪⎧32＋02－2×3＋4×0＋m >0，(x －1)2＋(y ＋2)2＝5－m >0，解得－3<m <5，故实数m 的取值范围是(－3,5)．15．古希腊数学家阿波罗尼斯在他的著作《圆锥曲线论》中记截了用平面切割圆锥得到圆锥曲线的方法．如图，将两个完全相同的圆锥对顶放置(两圆锥的轴重合)，已知两个圆锥的底面半径均为1，母线长均为2，记过圆锥轴的平面ABCD 为平面α(α与两个圆锥侧面的交线为AC ，BD )，用平行于α的平面截圆锥，该平面与两个圆锥侧面的交线即双曲线Γ的一部分，且双曲线Γ的两条渐近线分别平行于AC ，BD ，则双曲线Γ的离心率为( A )A.233B. 2C. 3D ．2解析：设与平面α平行的平面为β，以AC ，BD 的交点在平面β内的射影为坐标原点，两圆锥的轴在平面β内的射影为x 轴，在平面β内与x 轴垂直的直线为y 轴，建立平面直角坐标系．根据题意可设双曲线Γ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．由题意可得双曲线Γ的渐近线方程为y ＝±33x ，即b a ＝33，所以离心率e ＝ca＝1＋(b a )2＝233.16．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，渐近线方程是y＝±255x ，点A (0，b )，且△AF 1F 2的面积为6.(1)求双曲线C 的标准方程；(2)直线l ：y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)与双曲线C 交于不同的两点P ，Q ，若|AP |＝|AQ |，求实数m 的取值范围．解：(1)由题意得b a ＝255①，S △AF 1F 2＝12×2c ·b ＝6②，a 2＋b 2＝c 2③，由①②③求得a 2＝5，b 2＝4， ∴双曲线C 的标准方程是x 25－y 24＝1.(2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，线段PQ 的中点为D (x 0，y 0)．将y ＝kx ＋m 与x 25－y 24＝1联立，消去y ，整理得(4－5k 2)x 2－10kmx －5m 2－20＝0，由4－5k 2≠0及Δ>0，得⎩⎪⎨⎪⎧4－5k 2≠0，m 2－5k 2＋4>0，④∴x 1＋x 2＝10km4－5k 2，x 1·x 2＝－5m 2＋204－5k 2，∴x 0＝x 1＋x 22＝5km4－5k 2，y 0＝kx 0＋m ＝4m4－5k 2.由|AP |＝|AQ |知，AD ⊥PQ ，∴k AD ＝y 0－2x 0＝4m4－5k 2－25km 4－5k 2＝－1k，化简得10k 2＝8－9m ，⑤ 将⑤代入④，得m <－92或m >0.由10k 2＝8－9m >0，得m <89.综上，实数m 的取值范围是m <－92或0<m <89.。

课时作业53 曲线与方程一、选择题(每小题5分，共40分)1．动点P (x ，y )满足5(x －1)2＋(y －2)2＝|3x ＋4y －11|，则点P 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线D ．直线解析：设定点F (1,2)，定直线l ：3x ＋4y －11＝0，则|PF |＝(x －1)2＋(y －2)2，点P 到直线l 的距离d ＝|3x ＋4y －11|5.由已知得|PF |d ＝1，但留意到点F (1,2)恰在直线l 上，所以点P 的轨迹是直线．选D.答案：D2．(2022·榆林模拟)若点P 到直线x ＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P 的轨迹为( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线解析：依题意，点P 到直线x ＝－2的距离等于它到点(2,0)的距离，故点P 的轨迹是抛物线．答案：D3．设圆(x ＋1)2＋y 2＝25的圆心为C ，A (1,0)是圆内确定点，Q 为圆周上任一点，线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为( )A.4x 221－4y 225＝1 B.4x 221＋4y 225＝1 C.4x 225－4y 221＝1 D.4x 225＋4y 221＝1解析：M 为AQ 垂直平分线上一点，则|AM |＝|MQ |，∴|MC |＋|MA |＝|MC |＋|MQ |＝|CQ |＝5，故M 的轨迹为椭圆，∴a ＝52，c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝214，∴椭圆的标准方程为4x 225＋4y 221＝1.答案：D4．(2022·烟台月考)已知点P 是直线2x －y ＋3＝0上的一个动点，定点M (－1,2)，Q 是线段PM 延长线上的一点，且|PM |＝|MQ |，则Q 点的轨迹方程是( )A ．2x ＋y ＋1＝0B ．2x －y －5＝0C ．2x －y －1＝0D ．2x －y ＋5＝0解析：由题意知，M 为PQ 中点，设Q (x ，y )，则P 为(－2－x,4－y )，代入2x －y ＋3＝0，得2x －y ＋5＝0.答案：D5．(2022·合肥模拟，6)如图所示，A是圆O内确定点，B是圆周上一个动点，AB的中垂线CD与OB 交于E，则点E的轨迹是()A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线解析：由题意知，|EA|＋|EO|＝|EB|＋|EO|＝r(r为圆的半径)且r>|OA|，故E的轨迹为以O，A为焦点的椭圆，故选B.答案：B6．(2022·上海徐汇模拟，16)假如命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是正确的，则下列命题中正确的是()A．曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线B．方程f(x，y)＝0的每一组解对应的点都在曲线C上C．不满足方程f(x，y)＝0的点(x，y)不在曲线C上D．方程f(x，y)＝0是曲线C的方程解析：由曲线与方程的对应关系可知，由于不能推断以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点是否都在曲线C上，故方程f(x，y)＝0的曲线不愿定是C，所以曲线C 是方程f(x，y)＝0的曲线不正确；方程f(x，y)＝0的每一组解对应的点都在曲线C 上也不正确；不能推出曲线C是方程f(x，y)＝0的轨迹．举特例，曲线C为y＝x，而方程x2－y2＝0，即y＝±x，则只有C正确．答案：C7．方程x2－y2＝0对应的图像是()解析：由x2－y2＝0得y＝x或y＝－x.答案：C8．有一动圆P恒过定点F(a,0)(a>0)且与y轴相交于点A、B，若△ABP为正三角形，则点P的轨迹为()A．直线B．圆C．椭圆D．双曲线解析：设P(x，y)，动圆P的半径为R，由于△ABP为正三角形，∴P到y轴的距离d＝32R，即|x|＝32R.。