高三数学一轮复习课时作业2 命题及其关系、充分条件、必要条件 新人教A版 文

课时作业(二) 命题及其关系、充分条件与必要条件A 级1．命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( ) A ．若α≠π4，则tan α≠1 B ．若α＝π4，则tan α≠1 C ．若tan α≠1，则α≠π4D ．若tan α≠1，则α＝π4 2．下列说法中正确的是( )A ．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B ．“a ＞b ”与“a ＋c ＞b ＋c ”不等价C ．“a 2＋b 2＝0，则a ，b 全为0”的逆否命题是“若a ，b 全不为0，则a 2＋b 2≠0”D ．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真3．有下列命题：①两组对应边相等的三角形是全等三角形； ②“若xy ＝0，则|x |＋|y |＝0”的逆命题；③“若a ＞b ，则2x ·a ＞2x ·b ”的否命题；④“矩形的对角线互相垂直”的逆否命题．其中真命题共有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 4．设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，使a |a |＝b |b |成立的充分条件是( ) A ．a ＝－bB ．a ∥bC ．a ＝2bD ．a ∥b 且|a |＝|b | 5．命题“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )A ．a ≥4B ．a ≤4C ．a ≥5D ．a ≤56．e 1、e 2是不共线的两个向量，a ＝e 1＋k e 2，b ＝k e 1＋e 2，则a ∥b 的充要条件是实数k ＝________.7．在命题“若m >－n ，则m 2>n 2”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是________．8．有三个命题：(1)“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题；(2)“若a >b ，则a 2>b 2”的逆否命题；(3)“若x ≤－3，则x 2＋x －6>0”的否命题．其中真命题的个数为________．9．a <0是方程ax 2＋1＝0有一个负数根的________条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”)10．已知命题p ：“若ac ≥0，则二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0没有实根”．(1)写出命题p 的否命题．(2)判断命题p 的否命题的真假，并证明你的结论．11．指出下列命题中，p 是q 的什么条件(在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)．(1)在△ABC 中，p ：∠A ＝∠B ，q ：sin A ＝sin B ；(2)非空集合A 、B 中，p ：x ∈A ∪B ，q ：x ∈B ；(3)已知x 、y ∈R ，p ：(x －1)2＋(y －2)2＝0，q ：(x －1)(y －2)＝0.B 级1．下列命题：①“若a 2<b 2，则a <b ”的否命题；②“全等三角形面积相等”的逆命题；③“若a >1，则ax 2－2ax ＋a ＋3>0的解集为R ”的逆否命题；④“若3x (x ≠0)为有理数，则x 为无理数”的逆否命题．其中正确的命题是( )A ．③④B ．①③C ．①②D ．②④ 2．若命题“ax 2－2ax －3＞0不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是________．3．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪ y ＝x 2－32x ＋1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，2，B ＝{x |x ＋m 2≥1}．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，求实数m 的取值范围．答案：课时作业(二)A 级1．C 命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠π4”． 2．D 否命题和逆命题是互为逆否命题，有着一致的真假性．3．B ①是假命题，②是真命题，③是真命题，④是假命题．4．C 因为a |a |＝b |b |，则向量a |a |与b |b |是方向相同的单位向量，所以a 与b 共线同向，即使a |a |＝b |b |成立的充分条件为选项C. 5．C 原命题等价于“a ≥x 2对于任意x ∈[1,2]恒成立”，其充要条件是a ≥4，所以C 正确．6．解析： a ＝λb ，⎩⎪⎨⎪⎧ 1＝kλk ＝λ⇒k 2＝1⇒k ＝±1. 答案： ±17．解析： 原命题为假命题，逆否命题也为假命题，逆命题也是假命题，否命题也是假命题．故假命题个数为3.答案： 38．解析： 命题(1)为“若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”是真命题；因为命题“若a >b ，则a 2>b 2”是假命题，故命题(2)是假命题；命题(3)为“若x >－3，则x 2＋x －6≤0”，因为x 2＋x －6≤0⇔－3≤x ≤2，故命题(3)是假命题，综上知真命题只有1个．答案： 19．解析： 当a <0时，由ax 2＋1＝0得x 2＝－1a>0， 故方程ax 2＋1＝0有一个负数根；若方程ax 2＋1＝0有一个负数根，则x 2＝－1a>0，∴a <0，从而a <0是方程ax 2＋1＝0有一个负数根的充要条件．答案： 充分必要10．解析： (1)否命题：“若ac <0，则二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有实根”．(2)命题p 的否命题为真命题，证明如下：∵ac <0，∴－ac >0⇒Δ＝b 2－4ac >0⇒二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有实根．11．解析： (1)在△ABC 中，∠A ＝∠B ⇒sin A ＝sin B ，反之，若sin A ＝sin B ，因为A 与B 不可能互补(因为三角形三个内角和为180°)，所以只有A ＝B .故p 是q 的充要条件．(2)显然x ∈A ∪B 不一定有x ∈B ，但x ∈B 一定有x ∈A ∪B ，所以p 是q 的必要不充分条件．(3)条件p ：x ＝1且y ＝2，条件q ：x ＝1或y ＝2，所以p ⇒q 但q ⇒/ p ，故p 是q 的充分不必要条件．B 级1．A 对于①，否命题为“若a 2≥b 2，则a ≥b ”，为假命题；对于②，逆命题为“面积相等的三角形是全等三角形”，是假命题；对于③，当a >1时，Δ＝－12a <0，原命题正确，从而其逆否命题正确，故③正确；对于④，原命题正确，从而其逆否命题正确，故④正确，故选A.2．解析： ax 2－2ax －3≤0恒成立，当a ＝0时，－3≤0成立；当a ≠0时，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＜0Δ＝4a 2＋12a ≤0，解得－3≤a ＜0，故－3≤a ≤0.答案： [－3,0]3．解析： y ＝x 2－32x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋716，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，2，∴716≤y ≤2，∴A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪ 716≤y ≤2，由x ＋m 2≥1，得x ≥1－m 2，∴B ＝{x |x ≥1－m 2}，∵“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，∴A ⊆B ，∴1－m 2≤716，解得m ≥34或m ≤－34，故实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－34∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞.。

时间：45分钟 满分：100分 班级：________ 姓名：________ 学号：________ 得分：________一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分，在下列四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列命题中为真命题的是( )A ．命题“若x ＞y ，则x ＞|y |”的逆命题B ．命题“若x ＞1，则x 2>1”的否命题C ．命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题D ．命题“若x 2＞0，则x ＞1”的逆否命题解析：对于A ，其逆命题是：若x ＞|y |，则x ＞y ，是真命题，这是因为x ＞|y |＝⎩⎪⎨⎪⎧y (y ≥0)，－y (y ＜0)，必有x >y ；对于B ，否命题是：若x ≤1，则x 2≤1，是假命题．如x ＝－5，x 2＝25＞1；对于C ，其否命题是：若x ≠1，则x 2＋x －2≠0，由于x ＝－2时，x 2＋x －2＝0，所以是假命题；对于D ，若x 2>0，则x >0或x ＜0，不一定有x >1，因此原命题的逆否命题是假命题，故选A.答案：A2．(2014·锦州模拟)“a ＝1”是“函数y ＝cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为π”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 解析：函数y ＝cos 2ax －sin 2ax ＝cos2ax 的最小正周期为π⇔a ＝1或a ＝－1，所以“a ＝1”是“函数y ＝cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为π”的充分不必要条件．答案：A3．(2013·福建)已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的() A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：因为A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，若a＝3，则A＝{1,3}，所以A⊆B；若A⊆B，则a＝2或a＝3，所以A⊆B a＝3，所以“a＝3”是“A⊆B”的充分而不必要条件．答案：A4．(2014·株洲二模)给出如下三个命题：①四个非零实数a，b，c，d依次成等比数列的充要条件是ad＝bc；②设a，b∈R且ab≠0，若ab＜1，则ba＞1；③若f(x)＝log2x，则f(|x|)是偶函数．其中假命题的序号是()A．①②B．②③C．①③D．①②③解析：①ad＝bc不一定使a，b，c，d依次成等比数列，如取a＝d＝－2，b＝c＝2，故①错误；②如a＝2，b＝－4时，ab＜1得不到ba＞1，故a，b异号时不正确，故②错误；③f(|x|)＝f(x)＝f(－x)成立，故③正确．故不正确的有①②.答案：A5．(2014·潍坊一模)有下列四个命题：①若“xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；②“面积相等的三角形全等”的否命题；③若“m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题；④“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题．其中真命题为()A．①②B．②③C．①④D．①②③解析：①的逆命题：“若x，y互为倒数，则xy＝1”是真命题；②的否命题：“面积不相等的三角形不是全等三角形”是真命题；③的逆否命题：“若x2－2x ＋m＝0没有实数解，则m＞1”是真命题；命题④是假命题，所以它的逆否命题也是假命题，故选D.答案：D6．(2014·郑州外国语模拟)下列命题：①△ABC 的三边分别为a ，b ，c ，则该三角形是等边三角形的充要条件为a 2＋b 2＋c 2＝ab ＋ac ＋bc ；②数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ＝An 2＋Bn 是数列{a n }为等差数列的必要不充分条件；③△ABC 中，A ＝B 是sin A ＝sin B 的充分不必要条件；④已知a 1，b 1，c 1，a 2，b 2，c 2都是不等于零的实数，关于x 的不等式a 1x 2＋b 1x ＋c 1＞0和a 2x 2＋b 2x ＋c 2＞0的解集分别为P ，Q ，则a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2是P ＝Q 的充分必要条件．其中真命题是( ) A ．①④B ．①②③C ．②③④D ．①③解析：△ABC 中，由a 2＋b 2＋c 2＝ab ＋ac ＋bc ，得(a －b )2＋(a －c )2＋(b －c )2＝0，则a ＝b ＝c ；若△ABC 是等边三角形，则a ＝b ＝c ，故ab ＋ac ＋bc ＝a 2＋b 2＋c 2，故 ①正确；S n ＝An 2＋Bn 是数列{a n }为等差数列的充要条件，故②错误；A ＝B 时，可得出sin A ＝sin B ，但sin A ＝sin B 时，A ＝B 或A ＋B ＝π，故A ＝B 是sin A ＝sin B 的充分不必要条件，故③正确；由于两不等式的系数符号不确定，由a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2不能推出P ＝Q ；反之P ＝Q 时，若P ＝Q ＝Ø，则不一定有a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2，故a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2是P ＝Q 的既不充分也不必要条件，故④错误． 答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上)7．(2014·南昌一模)若“x 2－2x －8＞0”是“x ＜m ”的必要不充分条件，则m 的最大值为________．解析：若“x 2－2x －8＞0”是“x ＜m ”的必要不充分条件，则集合{x |x ＜m }是集合{x |x ＞4或x ＜－2}的真子集，所以m ≤－2，即m 的最大值为－2.答案：－28．命题“若m >0，则关于x 的方程x 2＋x －m ＝0有实数根”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________．解析：先写出其命题的逆命题、否命题、逆否命题，逐一判断．或只写出逆命题，判断原命题和逆命题的真假即可，原命题为真，逆命题为假．答案：29．(2014·大同模拟)设命题p ：2x 2－3x ＋1≤0；命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________．解析：解p 得12≤x ≤1，解q 得a ≤x ≤a ＋1，由题设条件得q 是p 的必要不充分条件，即p ⇒q ，qp ∴[12，1][a ，a ＋1]，∴a ≤12且a ＋1≥1，解得0≤a ≤12.答案：0≤a ≤1210．(2014·西安调研)设n ∈N *，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根的充要条件是n ＝________.解析：一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0的根x ＝4±16－4n 2，即n ＝2±4－n ；因为x 是整数，即2±4－n 为整数，所以4－n 为整数，且n ≤4，又因为n ∈N *，取n ＝1,2,3,4，验证可知n ＝3,4符合题意；反之由n ＝3,4，可推出一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根．答案：3或4三、解答题(本大题共3小题，共40分，11、12题各13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤)11．判断命题“若a ≥0，则x 2＋x －a ＝0有实根”的逆否命题的真假． 解：解法一：原命题：若a ≥0，则x 2＋x －a ＝0有实根．逆否命题：若x 2＋x －a ＝0无实根，则a ＜0.判断如下：∵x2＋x－a＝0无实根，∴Δ＝1＋4a＜0，∴a＜－14＜0，∴“若x2＋x－a＝0无实根，则a＜0”为真命题．解法二：∵a≥0，∴4a≥0，∴4a＋1＞0，∴方程x2＋x－a＝0的判别式Δ＝4a＋1＞0，∴方程x2＋x－a＝0有实根．故原命题“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”为真．又因原命题与其逆否命题等价，∴“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”的逆否命题为真．解法三：设p：a≥0，q：x2＋x－a＝0有实根，∴p：A＝{a∈R|a≥0}，q：B＝{a∈R|方程x2＋x－a＝0有实根}＝{a∈R|a≥－14}，即A⊆B，∴“若p，则q”为真，∴“若p，则q”的逆否命题“若綈q，綈p”为真，∴“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”的逆否命题为真．解法四：设p：a≥0，q：x2＋x－a＝0有实根，则綈p：a＜0，綈q：x2＋x－a＝0无实根，∴綈p：A＝{a∈R|a＜0}，綈q：B＝{a∈R|方程x2＋x－a＝0无实根}＝{a∈R|a＜－1 4}．∵B⊆A，∴“若綈q，则綈p”为真，即“若方程x2＋x－a＝0无实根，则a＜0”为真．12．设函数f(x)＝lg (x2－x－2)的定义域为集合A，函数g(x)＝3x－1的定义域为集合B.已知α：x∈A∩B，β：x满足2x＋p≤0，且α是β的充分条件，求实数p的取值范围．解：依题意，得A＝{x|x2－x－2>0}＝(－∞，－1)∪(2，＋∞)，B＝{x|3x－1≥0}＝(0,3]，∴A∩B＝(2,3]．设集合C＝{x|2x＋p≤0}，则x∈(－∞，－p 2]．∵α是β的充分条件，∴(A∩B)⊆C.则需满足3≤－p2⇒p≤－6.∴实数p的取值范围是(－∞，－6]．13．设a，b，c为△ABC的三边，求证方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是a2＝b2＋c2.解：设m是两个方程的公共根，显然m≠0.由题设知m2＋2am＋b2＝0，①m2＋2cm－b2＝0，②由①＋②得2m(a＋c＋m)＝0，∴m＝－(a＋c)，③将③代入①得(a＋c)2－2a(a＋c)＋b2＝0，化简得a2＝b2＋c2，∴所给的两个方程有公共根的必要条件是a2＝b2＋c2.下面证明其充分性．∵a2＝b2＋c2，∴方程x2＋2ax＋b2＝0即为x2＋2ax＋a2－c2＝0，它的两个根分别为x1＝－(a＋c)，x2＝c－a；同理，方程x2＋2cx－b2＝0的两根分别为x3＝－(a＋c)，x4＝a－c.∵x1＝x3，∴方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根．综上所述，方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是a2＝b2＋c2.。

课时作业2 命题及其关系、充分条件与必要条件A ．“若a >1，则a 2>1”的否命题是“若a >1，则a 2≤1”B ．“若am 2<bm 2，则a <b ”的逆命题为真命题C ．存在x 0∈(0，＋∞)，使3x 0>4x 0成立D ．“若sin α≠12，则α≠π6”是真命题 解析：对于选项A ，“若a >1，则a 2>1”的否命题是“若a ≤1，则a 2≤1”，故选项A 错误；对于选项B ，“若am 2<bm 2，则a <b ”的逆命题为“若a <b ，则am 2<bm 2”，因为当m ＝0时，am 2＝bm 2，所以逆命题为假命题，故选项B 错误；对于选项C ，由指数函数的图象知，对任意的x ∈(0，＋∞)，都有4x >3x ，故选项C 错误；对于选项D ，“若sin α≠12，则α≠π6”的逆否命题为“若α＝π6，则sin α＝12”，该逆否命题为真命题，所以原命题为真命题，故选D.答案：D二、填空题11．在命题“若m >－n ，则m 2>n 2”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是________．解析：原命题为假命题，逆否命题也为假命题，逆命题也是假命题，否命题也是假命题．故假命题个数为3.答案：312．[2019·某某某某模拟]有下列几个命题：①“若a >b ，则a 2>b 2”的否命题；②“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题；③“若x 2<4，则－2<x <2”的逆否命题．其中真命题的序号是________．解析：①原命题的否命题为“若a ≤b ，则a 2≤b 2”，假命题．②原命题的逆命题为：“若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”，真命题．③原命题的逆否命题为“若x ≥2或x ≤－2，则x 2≥4”，真命题．答案：②③13．[2017·某某卷]设x ∈R ，则“2－x ≥0”是“|x －1|≤1”的________条件． 解析：由2－x ≥0，得x ≤2；由|x －1|≤1，得－1≤x －1≤1，即0≤x ≤2，因为[0,2](－∞，2]，所以“2－x ≥0”是“|x －1|≤1”的必要而不充分条件．34b 2＋c 2－12bc 2bc ≥34×2bc －12bc 2bc ＝12，当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立，所以0<A ≤π3，所以B ＋C ≥2π3≥2A ，即A ≤B ＋C 2，若A ≤B ＋C 2，由A ＋B ＋C ＝π，得0<A ≤π3， 令A ＝π3，B ＝π6，C ＝π2，满足A ≤B ＋C 2，此时令a ＝3t (t >0)，则b ＝t ，c ＝2t ，由3t >1＋22t ＝32t ，得a >b ＋c 2. 综上，条件p 是条件q 成立的充分不必要条件．故选A.答案：A16．[2019·某某联考]“不等式x 2－x ＋m >0在R 上恒成立”的一个必要不充分条件是( )A ．m >14B ．0<m <1C ．m >0D ．m >1解析：若不等式x 2－x ＋m >0在R 上恒成立，则Δ＝(－1)2－4m <0，解得m >14，因此当不等式x 2－x ＋m >0在R 上恒成立时，可以有m >0，但当m >0时，不一定推出不等式在R 上恒成立，故所求的必要不充分条件可以是m >0.答案：C17．[2018·卷]能说明“若f (x )>f (0)对任意的x ∈(0,2]都成立，则f (x )在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是________．解析：本题主要考查函数的单调性及最值．根据函数单调性的概念，只要找到一个定义域为[0,2]的不单调函数，满足在定义域内有唯一的最小值点，且f (x )min ＝f (0)即可，除所给答案外，还可以举出f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 0，x ＝0，1x ，0<x ≤2等．答案：f (x )＝sin x ，x ∈[0,2](答案不唯一)。

高考数学一轮复习：课时作业2 命题及其关系、充分条件与必要条件[基础达标]一、选择题1．已知命题：若a >2，则a 2>4，其逆命题、否命题、逆否命题这三个命题中真命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．32．[2020·衡阳联考]设p ：x 2－x －20>0，q ：log 2(x －5)<2，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．在△ABC 中，“A >B ”是“sin A >sin B ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．[2020·四川成都市高中毕业班第一次诊断检测]命题“若a >b ，则a ＋c >b ＋c ”的否命题是( )A ．若a ≤b ，则a ＋c ≤b ＋cB ．若a ＋c ≤b ＋c ，则a ≤bC ．若a ＋c >b ＋c ，则a >bD ．若a >b ，则a ＋c ≤b ＋c5．设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n <0”的( )A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件6．使a >0，b >0成立的一个必要不充分条件是( )A ．a ＋b >0B ．a －b >0C ．ab >1 D.a b>17．下列说法正确的是( )A ．命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题是“若x 2＝1，则x ≠1”B ．“x ＝－1”是“x 2－x －2＝0”的必要不充分条件C ．命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”的逆否命题是真命题D ．“tan x ＝1”是“x ＝π4”的充分不必要条件 8．[2020·北京门头沟综合练习]已知向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，且其夹角为θ，则“|a －b |＝1”是“θ＝π3”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．[2020·安徽合肥模拟]祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如果在等高处的截面积恒相等，那么体积相等．设A ，B 为两个同高的几何体，p ：A ，B 的体积不相等，q ：A ，B 在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．若x >2m 2－3是－1<x <4的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是( )A ．[－3,3]B ．(－∞，－3]∪[3，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)D ．[－1,1]二、填空题11．[2020·山东临沂模拟]有下列几个命题：①“若a >b ，则a 2>b 2”的否命题；②“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题；③“若x 2<4，则－2<x <2”的逆否命题．其中真命题的序号是________．12．已知p (x )：x 2＋2x －m >0，若p (1)是假命题，p (2)是真命题，则实数m 的取值范围为________．13．[2019·江苏扬州期中]已知条件p ：x >a ，条件q ：1－x x ＋2>0.若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________．14．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪ y ＝x 2－32x ＋1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，2，B ＝{x |x ＋m 2≥1}．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，求实数m 的取值范围________．[能力挑战]15．已知条件p ：14<2x <16，条件q ：(x ＋2)(x ＋a )<0，若p 是q 的充分而不必要条件，则a 的取值范围为( )A ．[－4，＋∞) B．(－∞，－4)C ．(－∞，－4]D ．(4，＋∞)16．设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，则“|q |＝1”是“S 4＝2S 2”的________条件．17．[2020·安徽池州月考]已知集合P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若“x ∈P ”是“x ∈S ”的必要条件，则m 的取值范围为________．1．解析：原命题显然是真命题，其逆命题为“若a 2>4，则a >2”，显然是假命题，由互为逆否命题的等价性知，否命题是假命题，逆否命题是真命题．答案：B2．解析：∵x 2－x －20>0，∴x >5或x <－4，∴p ：x >5或x <－4.∵log 2(x －5)<2，∴0<x －5<4，即5<x <9，∴q ：5<x <9，∵{x |5<x <9}{x |x >5或x <－4}，∴p 是q 的必要不充分条件．故选B 项．答案：B3．解析：由正弦定理知a sin A ＝b sin B＝2R (R 为△ABC 外接圆半径)．若sin A >sin B ，则a 2R >b 2R，即a >b ，所以A >B ；若A >B ，则a >b ，所以2R sin A >2R sin B ，即sin A >sin B ，所以“A >B ”是“sin A >sin B ”成立的充要条件．答案：C4．解析：命题的否命题是将原命题的条件和结论均否定，所以题中命题的否命题为“若a ≤b ，则a ＋c ≤b ＋c ”，故选A.答案：A5．解析：由存在负数λ，使得m ＝λn ，可得m 、n 共线且反向，夹角为180°，则m ·n ＝－|m ||n |<0，故充分性成立．由m ·n <0，可得m ，n 的夹角为钝角或180°，故必要性不成立．答案：B6．解析：因为a >0，b >0⇒a ＋b >0，反之不成立，而由a >0，b >0不能推出a －b >0，ab >1，a b >1. 答案：A 7．解析：由原命题与否命题的关系知，原命题的否命题是“若x 2≠1，则x ≠1”，即A 项不正确；因为x 2－x －2＝0⇔x ＝－1或x ＝2，所以由“x ＝－1”能推出“x 2－x －2＝0”，反之，由“x 2－x －2＝0”推不出“x ＝－1”，所以“x ＝－1”是“x 2－x －2＝0”的充分不必要条件，即B 项不正确；因为由x ＝y 能推得sin x ＝sin y ，即原命题是真命题，所以它的逆否命题是真命题，故C 项正确；由x ＝π4能推得tan x ＝1，但由tan x ＝1推不出x ＝π4，所以“x ＝π4”是“tan x ＝1”的充分不必要条件，即D 项不正确． 答案：C8．解析：由|a －b |＝1得|a －b |2＝1，得|a |2＋|b |2－2a ·b ＝1，即1＋1－2a ·b ＝1，得2a ·b ＝1，即a ·b ＝12，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝121×1＝12，所以θ＝π3；反之当θ＝π3时，a ·b ＝12，则|a －b |2＝|a |2＋|b |2－2a ·b ＝1＋1－2×12＝1＋1－1＝1，所以|a －b |＝1，所以“|a －b |＝1”是“θ＝π3”的充要条件，故选C 项． 答案：C9．解析：根据祖暅原理，“A ，B 在等高处的截面积恒相等”是“A ，B 的体积相等”的充分不必要条件，即綈q 是綈p 的充分不必要条件，故p 是q 的充分不必要条件，选A 项．答案：A10．解析：∵x >2m 2－3是－1<x <4的必要不充分条件，∴(－1,4)(2m 2－3，＋∞)，∴2m 2－3≤－1，解得－1≤m ≤1，故选D 项．答案：D11．解析：①原命题的否命题为“若a ≤b ，则a 2≤b 2”，假命题．②原命题的逆命题为：“若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”，真命题．③原命题的逆否命题为“若x ≥2或x ≤－2，则x 2≥4”，真命题．答案：②③12．解析：因为p (1)是假命题，所以1＋2－m ≤0，解得m ≥3；又p (2)是真命题，所以4＋4－m >0，解得m <8.故实数m 的取值范围是[3,8)．答案：[3,8)13．解析：由1－x x ＋2>0，得{x |－2<x <1}．因为p 是q 的必要不充分条件，所以a ≤－2. 答案：(－∞，－2]14．解析：y ＝x 2－32x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋716， ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，2，∴716≤y ≤2， ∴A ＝⎩⎨⎧ y ⎪⎪⎪⎭⎬⎫716≤y ≤2. 由x ＋m 2≥1，得x ≥1－m 2，∴B ＝{x |x ≥1－m 2}．∵“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，∴A ⊆B ，∴1－m 2≤716， 解得m ≥34或m ≤－34， 故实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－34∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞. 答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－34∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞ 15．解析：由14<2x <16，得－2<x <4，即p ：－2<x <4. 方程(x ＋2)(x ＋a )＝0的两个根分别为－a ，－2.①若－a >－2，即a <2，则条件q ：(x ＋2)(x ＋a )<0等价于－2<x <－a ，由p 是q 的充分而不必要条件可得－a >4，则a <－4；②若－a ＝－2，即a ＝2，则(x ＋2)(x ＋a )<0无解，不符合题意；③若－a <－2，即a >2，则q ：(x ＋2)(x ＋a )<0等价于－a <x <－2，不符合题意． 综上可得a <－4，故选B 项．答案：B16．解析：∵等比数列{a n }的前n 项和为S n ，又S 4＝2S 2，∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝2(a 1＋a 2)，∴a 3＋a 4＝a 1＋a 2，∴q 2＝1⇔|q |＝1，∴“|q |＝1”是“S 4＝2S 2”的充要条件．答案：充要17．解析：x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10，所以P ＝{x |－2≤x ≤10}，由“x ∈P ”是“x ∈S ”的必要条件，知S ⊆P .又集合S 非空，则⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2，1＋m ≤10，所以0≤m ≤3.故m 的取值范围是[0,3]．答案：[0,3]。

一、知识梳理１．命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．２．四种命题及其关系（１）四种命题间的相互关系（２）四种命题的真假关系１两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；２两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．３．充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q错误!pp是q的必要不充分条件p错误!q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p错误!q且q错误!pq”，即“p⇒q”⇔“若p，则q”为真命题．常用结论１．充要条件的两个结论（１）若p是q的充分不必要条件，q是r的充分不必要条件，则p是r的充分不必要条件．（２）若p是q的充分不必要条件，则綈q是綈p的充分不必要条件．２．一些常见词语及其否定词语是都是都不是等于大于否定不是不都是至少一个是不等于不大于二、习题改编１．（选修１­１P8A组T２改编）命题“若x２>y２，则x>y”的逆否命题是（）Ａ．“若x<y，则x２<y２”Ｂ．“若x>y，则x２>y２”Ｃ．“若x≤y，则x２≤y２”Ｄ．“若x≥y，则x２≥y２”解析：选Ｃ．根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若x２>y２，则x>y”的逆否命题是“若x≤y，则x２≤y２”．故选Ｃ．２．（选修１­１P１0练习T３（２）改编）“（x—１）（x＋２）＝0”是“x＝１”的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件解析：选Ｂ．若x＝１，则（x—１）（x＋２）＝0显然成立，但反之不成立，即若（x—１）（x＋２）＝0，则x的值也可能为—２.故选Ｂ．一、思考辨析判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）“x２＋２x—３<0”是命题．（）（２）命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”．（）（３）若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．（）（４）当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．（）（５）q不是p的必要条件时，“p错误!q”成立．（）答案：（１）×（２）×（３）√（４）√（５）√二、易错纠偏错误!（１）不明确命题的条件与结论；（２）对充分必要条件判断错误；（３）含有大前提的命题的否命题易出错．１．命题“若△ABC有一内角为错误!，则△ABC的三个内角成等差数列”的逆命题（）Ａ．与原命题同为假命题Ｂ．与原命题的否命题同为假命题Ｃ．与原命题的逆否命题同为假命题Ｄ．与原命题同为真命题解析：选Ｄ．原命题显然为真，原命题的逆命题为“若△ABC的三个内角成等差数列，则△ABC有一内角为错误!”，它是真命题．２．已知p：a<0，q：a２>a，则綈p是綈q的________条件（填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要）．解析：綈p：a≥0；綈q：a２≤a，即0≤a≤１，故綈p是綈q的必要不充分条件．答案：必要不充分３．已知命题“对任意a，b∈R，若ab>0，则a>0”，则它的否命题是____________．答案：存在a，b∈R，若ab≤0，则a≤0．四种命题的相互关系及其真假判断（师生共研）（２0２0·长春质量检测（二））命题“若x２<１，则—１<x<１”的逆否命题是（）Ａ．若x２≥１，则x≥１或x≤—１Ｂ．若—１<x<１，则x２<１Ｃ．若x>１或x<—１，则x２>１Ｄ．若x≥１或x≤—１，则x２≥１【解析】命题的形式是“若p，则q”，由逆否命题的知识，可知其逆否命题为“若綈q，则綈p”的形式，所以“若x２<１，则—１<x<１”的逆否命题是“若x≥１或x≤—１，则x２≥１”．故选Ｄ．【答案】D错误!（１）判断命题真假的两种方法（２）由原命题写出其他三种命题的方法由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将原命题的条件与结论互换即得逆命题，将原命题的条件与结论同时否定即得否命题，将原命题的条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．１．命题“若a２＋b２＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是（）Ａ．若a２＋b２≠0，则a≠0且b≠0Ｂ．若a２＋b２≠0，则a≠0或b≠0Ｃ．若a＝0且b＝0，则a２＋b２≠0Ｄ．若a≠0或b≠0，则a２＋b２≠0解析：选Ｄ．“若a２＋b２＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是“若a≠0或b≠0，则a２＋b２≠0”，故选Ｄ．２．（２0２0·甘肃酒泉敦煌中学一诊）有下列四个命题，其中真命题是（）１“若xy＝１，则lg x＋lg y＝0”的逆命题；２“若a·b＝a·c，则a⊥（b—c）”的否命题；３“若b≤0，则方程x２—２bx＋b２＋b＝0有实根”的逆否命题；４“等边三角形的三个内角均为60°”的逆命题．Ａ．１２Ｂ．１２３４Ｃ．２３４Ｄ．１３４解析：选Ｂ．１“若xy＝１，则lg x＋lg y＝0”的逆命题为“若lg x＋lg y＝0，则xy＝１”，该命题为真命题；２“若a·b＝a·c，则a⊥（b—c）”的否命题为“若a·b≠a·c，则a不垂直（b—c）”，由a·b≠a·c 可得a（b—c）≠0，据此可知a不垂直（b—c），该命题为真命题；３若b≤0，则方程x２—２bx＋b２＋b＝0的判别式Δ＝（—２b）２—４（b２＋b）＝—４b≥0，方程有实根，为真命题，则其逆否命题为真命题；４“等边三角形的三个内角均为60°”的逆命题为“三个内角均为60°的三角形为等边三角形”，该命题为真命题．综上可得，真命题是１２３４．故选Ｂ．充分条件、必要条件的判断（师生共研）（１）（２0１9·高考天津卷）设x∈R，则“x２—５x<0”是“|x—１|<１”的（）Ａ．充分而不必要条件Ｂ．必要而不充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件（２）（２0１9·高考北京卷）设函数f（x）＝cos x＋b sin x（b为常数），则“b＝0”是“f（x）为偶函数”的（）Ａ．充分而不必要条件Ｂ．必要而不充分条件Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件【解析】（１）由x２—５x<0可得0<x<５，由|x—１|<１可得0<x<２．由于区间（0，２）是（0，５）的真子集，故“x２—５x<0”是“|x—１|<１”的必要而不充分条件．（２）b＝0时，f（x）＝cos x，显然f（x）是偶函数，故“b＝0”是“f（x）是偶函数”的充分条件；f（x）是偶函数，则有f（—x）＝f（x），即cos（—x）＋b sin（—x）＝cos x＋b sin x，又cos（—x）＝cos x，sin（—x）＝—sin x，所以cos x—b sin x＝cos x＋b sin x，则２b sin x＝0对任意x∈R恒成立，得b＝0，因此“b＝0”是“f（x）是偶函数”的必要条件．因此“b＝0”是“f（x）是偶函数” 的充分必要条件，故选Ｃ．【答案】（１）B （２）C错误!充分条件、必要条件的三种判断方法（１）定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断．（２）集合法：根据p，q成立的对应的集合之间的包含关系进行判断．（３）等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题．１．设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C”是“A∩B＝∅”的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件解析：选Ａ．由A⊆C，B⊆∁U C，易知A∩B＝∅，但A∩B＝∅时未必有A⊆C，B⊆∁U C，如图所示，所以“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C”是“A∩B＝∅”的充分不必要条件．２．设x∈R，则“２—x≥0”是“（x—１）２≤１”的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件解析：选Ｂ．２—x≥0，则x≤２，（x—１）２≤１，则—１≤x—１≤１，即0≤x≤２，据此可知，“２—x≥0”是“（x—１）２≤１”的必要不充分条件．３．已知p：x＋y≠—２，q：x，y不都是—１，则p是q的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件解析：选Ａ．因为p：x＋y≠—２，q：x≠—１或y≠—１，所以綈p：x＋y＝—２，綈q：x＝—１且y＝—１，因为綈q⇒綈p但綈p错误!綈q，所以綈q是綈p的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件．故选Ａ．充分条件、必要条件的应用（典例迁移）已知条件p：集合P＝{x|x２—8x—２0≤0}，条件q：非空集合S＝{x|１—m≤x≤１＋m}．若p 是q的必要条件，求m的取值范围．【解】由x２—8x—２0≤0，得—２≤x≤１0，所以P＝{x|—２≤x≤１0}，由p是q的必要条件，知S⊆P.则错误!所以0≤m≤３．所以当0≤m≤３时，p是q的必要条件，即所求m的取值范围是[0，３]．【迁移探究１】（变结论）若本例条件不变，问是否存在实数m，使p是q的充要条件．解：若p是q的充要条件，则P＝S，所以错误!所以错误!即不存在实数m，使p是q的充要条件．【迁移探究２】（变结论）本例条件不变，若綈p是綈q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．解：由例题知P＝{x|—２≤x≤１0}，因为綈p是綈q的必要不充分条件，所以p⇒q且q⇒p.所以[—２，１0][１—m，１＋m]．所以错误!或错误!所以m≥9，即m的取值范围是[9，＋∞）．错误!已知充分、必要条件求参数取值范围的解题策略（１）解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合的包含、相等关系，然后列出有关参数的不等式（组）求解．（２）涉及参数问题，直接解决较为困难时，可用等价转化思想，将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决，如将綈p，綈q之间的关系转化成p，q之间的关系来求解．[注意] （１）注意对区间端点值的处理；（２）注意条件的等价变形．设p：—错误!<x<错误!（m>0）；q：x<错误!或x>１，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为______．解析：因为p是q的充分不必要条件，又m>0，所以错误!≤错误!，所以0<m≤２．答案：（0，２]思想方法系列１等价转化思想在充要条件中的应用等价转化思想就是对原问题换一个方式、换一个角度、换一个观点加以考虑，把要解决的问题通过某种转化，再转化，化归为一类已经解决或比较容易解决的问题，从而使问题得到圆满解决的思维方式．已知条件p：|x—４|≤6；条件q：（x—１）２—m２≤0（m>0）．若綈p是綈q的充分不必要条件，则m的取值范围为______．【解析】条件p：—２≤x≤１0，条件q：１—m≤x≤１＋m，又綈p是綈q的充分不必要条件，则q是p的充分不必要条件．故有错误!，所以0<m≤３．【答案】（0，３]错误!本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题化归为简单、熟悉的问题来解决．一般地，在涉及字母参数的取值范围的充分、必要条件问题中，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑，这是解此类问题的关键．１．如果x，y是实数，那么“x≠y”是“cos x≠cos y”的（）Ａ．充要条件Ｂ．充分不必要条件Ｃ．必要不充分条件Ｄ．既不充分也不必要条件解析：选Ｃ．法一：设集合A＝{（x，y）|x≠y}，B＝{（x，y）|cos x≠cos y}，则A的补集C＝{（x，y）|x＝y}，B的补集D＝{（x，y）|cos x＝cos y}，显然C D，所以B A，于是“x≠y”是“cos x≠cos y”的必要不充分条件．法二（等价转化法）：因为x＝y⇒cos x＝cos y，而cos x＝cos y错误!x＝y，所以“cos x＝cos y”是“x＝y”的必要不充分条件，故“x≠y”是“cos x≠cos y”的必要不充分条件．２．（２0２0·宁夏银川一中模拟）王昌龄的《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的（）Ａ．充分条件Ｂ．必要条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件解析：选Ｂ．“攻破楼兰”不一定“返回家乡”，但“返回家乡”一定是“攻破楼兰”，故“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要非充分条件．故选Ｂ．[基础题组练]１．已知命题p：若x≥a２＋b２，则x≥２ab，则下列说法正确的是（）Ａ．命题p的逆命题是“若x＜a２＋b２，则x＜２ab”Ｂ．命题p的逆命题是“若x＜２ab，则x＜a２＋b２”Ｃ．命题p的否命题是“若x＜a２＋b２，则x＜２ab”Ｄ．命题p的否命题是“若x≥a２＋b２，则x＜２ab”解析：选Ｃ．命题p的逆命题是“若x≥２ab，则x≥a２＋b２”，故A，B都错误；命题p的否命题是“若x＜a２＋b２，则x＜２ab”，故C正确，D错误．２．已知p：a≠0，q：ab≠0，则p是q的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件C．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件解析：选Ｂ．a≠0错误!ab≠0，但ab≠0⇒a≠0，因此p是q的必要不充分条件．３．已知a，b，c是实数，下列结论正确的是（）Ａ．“a２>b２”是“a>b”的充分条件Ｂ．“a２>b２”是“a>b”的必要条件Ｃ．“ac２>bc２”是“a>b”的充分条件Ｄ．“|a|>|b|”是“a>b”的充要条件解析：选Ｃ．对于A，当a＝—５，b＝１时，满足a２>b２，但是a<b，所以充分性不成立；对于B，当a＝１，b＝—２时，满足a>b，但是a２<b２，所以必要性不成立；对于C，由ac２>bc２得c≠0，则有a>b成立，即充分性成立，故正确；对于D，当a＝—５，b＝１时，|a|>|b|成立，但是a<b，所以充分性不成立，当a＝１，b＝—２时，满足a>b，但是|a|<|b|，所以必要性也不成立，故“|a|>|b|”是“a>b”的既不充分也不必要条件．故选Ｃ．４．已知命题α：如果x<３，那么x<５；命题β：如果x≥３，那么x≥５；命题γ：如果x≥５，那么x≥３．关于这三个命题之间的关系中，下列说法正确的是（）１命题α是命题β的否命题，且命题γ是命题β的逆命题；２命题α是命题β的逆命题，且命题γ是命题β的否命题；３命题β是命题α的否命题，且命题γ是命题α的逆否命题．Ａ．１３Ｂ．２Ｃ．２３Ｄ．１２３解析：选Ａ．本题考查命题的四种形式，逆命题是把原命题中的条件和结论互换，否命题是把原命题中的条件和结论都加以否定，逆否命题是把原命题中的条件与结论先都否定然后互换所得，故１正确，２错误，３正确．５．“（x＋１）（y—２）＝0”是“x＝—１且y＝２”的________条件．解析：因为（x＋１）（y—２）＝0，所以x＝—１或y＝２，所以（x＋１）（y—２）＝0错误!x＝—１且y＝２，x＝—１且y＝２⇒（x＋１）（y—２）＝0，所以是必要不充分条件．答案：必要不充分6．已知命题p：x≤１，命题q：错误!<１，则綈p是q的______．解析：由题意，得綈p：x>１，q：x<0或x>１，故綈p是q的充分不必要条件．答案：充分不必要条件7．若命题“ax２—２ax—３>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________．解析：由题意知ax２—２ax—３≤0恒成立，当a＝0时，—３≤0成立；当a≠0时，得错误!解得—３≤a<0，故—３≤a≤0．答案：[—３，0]8．已知命题p：（x＋３）（x—１）>0；命题q：x>a２—２a—２．若綈p是綈q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．解：已知p：（x＋３）（x—１）>0，可知p：x>１或x<—３，因为綈p是綈q的充分不必要条件，所以q是p的充分不必要条件，得a２—２a—２≥１，解得a≤—１或a≥３，即a∈（—∞，—１]∪[３，＋∞）．[综合题组练]１．（创新型）（２0２0·抚州七校联考）A，B，C三个学生参加了一次考试，A，B的得分均为70分，C的得分为6５分．已知命题p：若及格分低于70分，则A，B，C都没有及格．则下列四个命题中为p 的逆否命题的是（）Ａ．若及格分不低于70分，则A，B，C都及格Ｂ．若A，B，C都及格，则及格分不低于70分Ｃ．若A，B，C至少有一人及格，则及格分不低于70分Ｄ．若A，B，C至少有一人及格，则及格分高于70分解析：选C.根据原命题与它的逆否命题之间的关系知，命题p的逆否命题是若A，B，C至少有一人及格，则及格分不低于70分．故选Ｃ．２．（２0２0·辽宁丹东质量测试（一））已知x，y∈R，则“x＋y≤１”是“x≤错误!且y≤错误!”的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件解析：选Ｂ．当“x＋y≤１”时，如x＝—４，y＝１，满足x＋y≤１，但不满足“x≤错误!且y≤错误!”．当“x≤错误!且y≤错误!”时，根据不等式的性质有“x＋y≤１”．故“x＋y≤１”是“x≤错误!且y≤错误!”的必要不充分条件．故选Ｂ．３．（２0２0·湖南雅礼中学３月月考）若关于x的不等式|x—１|<a成立的充分条件是0<x<４，则实数a的取值范围是（）Ａ．a≤１Ｂ．a<１Ｃ．a>３Ｄ．a≥３解析：选Ｄ．|x—１|<a⇒—a<x—１<a⇒１—a<x<１＋a，因为不等式|x—１|<a成立的充分条件是0<x<４，所以（0，４）⊆（１—a，１＋a），所以错误!⇒错误!⇒a≥３．故D正确．４．下列命题中为真命题的序号是______．１若x≠0，则x＋错误!≥２；３“a＝１”是“直线x—ay＝0与直线x＋ay＝0互相垂直”的充要条件；４命题“若x<—１，则x２—２x—３>0”的否命题为“若x≥—１，则x２—２x—３≤0”．解析：当x<0时，x＋错误!≤—２，故１是假命题；根据逆否命题的定义可知，２是真命题；“a＝±１”是“直线x—ay＝0与直线x＋ay＝0互相垂直”的充要条件，故３是假命题；根据否命题的定义知４是真命题．答案：２４。

第二节命题及其关系、充分条件与必要条件1. 命题“若X, y都是偶数，则x+ y也是偶数”的逆否命题是（）A. 若x + y是偶数，则x与y不都是偶数B. 若x + y是偶数，则x与y都不是偶数C. 若x + y不是偶数，则x与y不都是偶数D. 若x + y不是偶数，则x与y都不是偶数答案：C2. （2014 •浙江卷）设四边形ABCD勺两条对角线为AC, BD,则“四边形ABCD为菱形” 是“ ACL BD” 的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件解析：若四边形ABCD是菱形，则其对角线互相垂直，即AC L BD反过来，若AC L BD 但AC与BD不相互平分，则四边形ABCD不是菱形，即“四边形ABCD为菱形”是“ AC L BD 的充分不必要条件.故选 A.答案：A2 23.（2013 •西安五校模拟）命题“若a + b = 0,a,b€ R,则a= b = 0”的逆否命题是（）A. 若a^0 且0, a, b€ R,贝U a + b 工0B. 若a = 0, a, b€ R,贝U a2+ b2工0C. 若a^0 或0, a, b€ R,贝U a + b 工0D. 若0, a, b€ R,贝U a2+ b2= 0解析：根据逆否命题的构成规则知，原命题的逆否命题是“若a^0或0, a, b€ R,则a2+ b2工0”.故选C.答案：C4. 设a, b 是两个非零向量，则使a • b= |a||b|成立的一个必要非充分的条件是（）A. a= b B . a //bC. a L bD. a=^ b（入〉0）解析：根据向量数量积的定义可得 a • b= |a||b| ? cos a, b = 1? a / b,故其成立的一个必要非充分条件为 a // b.故选B.答案：B5. (2013 •陕西五校第三次联考)已知p: 2x —K 1, q：(x —a)(x —a—1) < 0.若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是()A.1 0，2B.1 0，2C.(—m, 0)u12，+ mD.(—m, 0)u 12，+ m____ 1解析：令A= { x| 2x —KI }，得A= x f x wi，令B= {x|(x —a)(x —a—1) <0},1 1 a w：, a<-,得B= {x|a w x< a+ 1}，若p是q的充分不必要条件，则 A B,需2或2a+ 1>1 a +1 > 1,1o w a w 2故选A.答案：A6. 下列四个命题：①“若x+ y = 0,则x, y互为相反数”的逆命题；②“若x2+ x —6>0,贝U x>2”的否命题；1③在△ ABC中，“ A> 30 °”是“ sin A >孑的充分不必要条件；④“函数f(x) = tan(x +0 )为奇函数”的充要条件是k n (k € Z) ”.其中真命题的序号是_________ (把真命题的序号都填上).答案：①②7. 若“x 2>1 ”是“x<a”的必要不充分条件，则a的最大值为 _________ .2 2解析：由x >1，得x< —1或x>1 ,又“x >1”是“x<a”的必要不充分条件，知由“x<a”可以推出“x 2>1”，反之不成立，所以a w —1，即a的最大值为一1.答案：—18. 已知p: 1—厂w 2, q : x2—2x + 1 —m i w 0( m>C)，若綈p是綈q的必要不充分3条件，求实数m的取值范围.答案：由题意知，命题：由綈p是綈q的必要不充分条件的等价命题即逆否命题为：p是q的充分不必要条件.x —1 x —1p： 1 —3 w2 ? —2w 3 —1W2? —2w x w 10.2 2q：x —2x+ 1 —m W0?[x —(1 —m)][x —(1 + m)] < 0.(*)•••p是q的充分不必要条件，x —1 2 2•••不等式1 —3 W2的解集是x2—2x+ 1—m w 0(m> 0)的真子集.又• m> 0,.••不等式(*)的解集为{x|1 —m<x< 1+ m}.又•/ 1—m=—2与1 + m= 10不同时成立，1 —m<—2, 1 —m< —2, m> 3, m> 3,•或？或• m> 9.1 + m> 10 1 + m> 10 m>9 m> 9.•实数m的取值范围是[9 ,+s).9. (2013 -江苏镇江高三期末)已知p：1< 2x< 8; q :不等式x2—mx+ 4>0恒成立，若綈p 是綈q的必要条件，求实数m的取值范围.解析：命题p：1<2x< 8即0<x< 3,••綈p是綈q的必要条件，•p是q的充分条件，•不等式x2—mx+ 4>0对x€ (0 , 3)恒成立，x + 4 4• mW ---- = x + -对x € (0 , 3)恒成立，x x4• m W x +x min因为x + 4》2\：x • 4= 4,当且仅当x= 2时，等号成立.所以m的取值范围是(一R, 4].。

第二节命题及其关系、充足条件与必要条件[考纲传真 ] 1.理解命题的观点；认识“若 p，则 q”形式的命题及其抗命题、否命题与逆否命题，会剖析四种命题的互相关系.2.理解必需条件、充足条件与充要条件的意义．1．命题用语言、符号或式子表达的，能够判断真假的陈说句叫做命题，此中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其互相关系(1)四种命题间的互相关系图 1-2-1(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有同样的真假性；②两个命题互为抗命题或互为否命题，它们的真假性没相关系．3．充足条件与必需条件(1)假如 p? q，则 p 是 q 的充足条件， q 是 p 的必需条件．(2)假如 p? q，那么 p 与 q 互为充要条件．(3)假如 p q，且 q p，则 p 是 q 的既不充足也不用要条件．4．会合与充要条件设会合 A＝{ x|x 知足条件 p} ，B＝{ x|x 知足条件 q} ，则有：(1)若 A? B，则p 是q 的充足条件，若A B，则p 是q 的充足不用要条件．(2)若 B? A，则p 是q 的必需条件，若B A，则p 是q 的必需不充足条件．(3)若A＝B，则p 是q 的充要条件．1．(思虑辨析 )判断以下结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“ x2＋2x－ 3<0”是命题． ()(2)命题“若 p，则 q”的否命题是“若p，则綈 q”． ()(3)当 q 是 p 的必需条件时， p 是 q 的充足条件． ()(4)“若 p 不建立，则 q 不建立”等价于“若q 建立，则 p 建立”． ()[分析 ](1)错误．该语句不可以判断真假，故该说法是错误的．(2)错误．否命题既否认条件，又否认结论．(3)正确． q 是 p 的必需条件说明p? q，所以 p 是 q 的充足条件．(4)正确．原命题与逆否命题是等价命题．[答案 ] (1)×(2)× (3)√ (4)√．教材改编π2 ()命题“若α＝4πA．若α≠4，则 tan α≠1πB．若α＝4，则 tan α≠1πC．若 tan α≠ 1，则α≠4πD．若 tan α≠ 1，则α＝4C[“若p，则q”的逆否命题是“若綈q，则綈p”，明显綈q：tanα≠1，ππ綈 p：α≠4，所以该命题的逆否命题是“ 若tanα≠1，则α≠ 4”．] 3．已知会合 A＝ {1 ，a} ， B＝{1,2,3} ，则“ a＝ 3”是“ A? B”的 ()【导学号： 01772005】A．充足不用要条件 B.必需不充足条件C．充要条件 D.既不充足也不用要条件A[a＝3时，A＝{1,3}，明显A? B.但 A? B 时， a＝ 2 或 3.∴“a＝3”是“ A? B”的充足不用要条件． ]4．命题“若 a＞－ 3，则 a＞－ 6”以及它的抗命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为 ()A．1 B.2C.3D.4B[原命题正确，进而其逆否命题也正确；其抗命题为“若a＞－6，则a＞－3”是假命题，进而其否命题也是假命题．所以 4 个命题中有 2 个假命题． ]5．(2016 ·津高考天 )设 x＞ 0， y∈R，则“ x＞y”是“ x＞ |y|”的 ()A．充要条件B．充足而不用要条件C．必需而不充足条件D．既不充足也不用要条件C[当x＝1，y＝－2时，x＞y，但x＞|y|不建立；若 x＞|y|，因为 |y|≥y，所以 x＞ y.所以 x＞ y 是 x＞|y|的必需而不充足条件． ]四种命题的关系及其真假判断(1)命题“若 x2－3x－ 4＝ 0，则 x＝4”的逆否命题及其真假性为()A．“若 x＝4，则 x2－3x－4＝0”为真命题B．“若 x≠4，则 x2－3x－4≠0”为真命题C．“若 x≠4，则 x2－3x－4≠0”为假命题D．“若 x＝4，则 x2－3x－4＝0”为假命题(2)原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则 |z1|＝|z2|”，对于抗命题，否命题，逆否命题真假性的判断挨次以下，正确的选项是()A．真，假，真 B.假，假，真C．真，真，假 D.假，假，假(1)C(2)B[(1) 依据逆否命题的定义能够清除 A ， D，由 x2－3x－4＝0，得 x ＝ 4 或－ 1，所以原命题为假命题，所以其逆否命题也是假命题．(2)由共轭复数的性质，原命题为真命题，所以其逆否命题也为真命题．当 z1＝1＋2i，z2＝2＋i 时，明显 |z1 |＝|z2|，但 z1与 z2不共轭，所以抗命题为假命题，进而它的否命题亦为假命题． ][规律方法 ] 1.已知原命题写出该命题的其余命题时，先要分清命题的条件与结论．特别注意的是，假如命题不是“若 p，则 q”形式的命题，需先改写为“若 p，则 q”的形式．2．给出一个命题，要判断它是真命题，需经过严格的推理证明；而要说明它是假命题，只要举一反例即可．3．因为原命题与其逆否命题的真假性同样，所以有时能够利用这类等价性间接地证明命题的真假．a n＋ a n＋1*[变式训练 1]原命题为“若＜a n，n∈N，则{ a n}为递减数列”，关于其抗命题、否命题、逆否命题真假性的判断挨次以下，正确的选项是() A．真，真，真 B.假，假，真C．真，真，假 D.假，假，假a n ＋a n ＋1A [由＜ a n ，得 a n ＋a n＋1＜2a n ，即 a n ＋1＜a n .2a ＋an ＋1n所以当2＜a n 时，必有 a n ＋1＜ a n ，则{ a n } 是递减数列．反之，若 { a n } 是递减数列，必有 a n ＋1＜a n ，a ＋an ＋1n进而有2＜a n .所以原命题及其抗命题均为真命题， 进而其否命题及其逆否命题也均是真命题． ]充足条件与必需条件的判断(1)(2014 全·国卷Ⅱ 函数f(x) 在 x ＝ x 0 处导数存在．若 p ：f ′ (x 0 ) )＝ 0； q ： x ＝x 0 是 f(x)的极值点，则 ()A ．p 是 q 的充足必需条件B ．p 是 q 的充足条件，但不是 q 的必需条件C ．p 是 q 的必需条件，但不是 q 的充足条件D ．p 既不是 q 的充足条件，也不是 q 的必需条件(2)设 x ∈ R ，则“ |x －＜”是“ 2＋x －2＞0”的 ()2| 1 xA ．充足不用要条件B ．必需不充足条件C ．充要条件D ．既不充足也不用要条件(1)C (2)A [(1) 当 f ′(x 0)＝ 0 时， x ＝x 0 不必定是 f(x)的极值点，比方，y ＝x 3 在 x ＝0 时，f ′(0)＝0，但在 x ＝0 的左右双侧 f ′(x)的符号同样，因此 x ＝0 不是 y ＝x 3的极值点．由极值的定义知， x＝x0是 f(x)的极值点必有 f′(x0)＝0.综上知， p 是 q 的必需条件，但不是充足条件．(2)|x－ 2|＜1? 1＜ x＜ 3， x2＋x－2＞0? x＞ 1 或 x＜－ 2.因为 {x|1＜x＜3} 是{ x|x＞1 或 x＜－ 2} 的真子集．所以“|x－2|＜ 1”是“x2＋x－2＞0”的充足不用要条件． ][规律方法 ]充足条件、必需条件的三种判断方法(1)定义法：依据p? q， q? p 进行判断，合用于定义、定理判断性问题．(2)会合法：依据p，q 建立的对象的会合之间的包括关系进行判断，多合用于命题中波及字母的范围的推测问题．(3)等价转变法：依据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转变为其逆否命题进行判断，合用于条件和结论带有否认性词语的命题．[变式训练2](2016 ·武汉模拟 )设会合M＝ {1,2}，N＝{ a2} ，则“ a＝1”是“N? M”的 ()【导学号：01772006】A．必需不充足条件C．充要条件B.充足不用要条件D.既不充足也不用要条件B[若a＝1，则会合N＝{1}，此时知足N? M.若N? M，则a2＝1或2，所以a＝±1 或 a＝± 2.故“a＝1”是“N? M”的充足不用要条件． ] 充足条件、必需条件的应用已知 P＝{ x|x2－8x－20≤0} ，非空会合 S＝{ x|1－ m≤ x≤ 1＋ m} ．若 x ∈P 是 x∈S 的必需条件，求 m 的取值范围．[解 ] 由 x2－8x－20≤ 0 得－2≤x≤10，∴P＝ {x|－ 2≤ x≤10}.3 分∵x∈P 是 x∈S 的必需条件，则S? P，1－ m≥－2，∴1＋ m≤10，∴ ≤ ≤3.8分0 m1－ m≤1＋m，综上，可知 0≤ m≤3 时， x∈P 是 x∈S 的必需条件 .12 分[迁徙研究 1]本例条件不变，问能否存在实数m，使 x∈P 是 x∈ S 的充要条件．[解 ]由例题知P＝{ x|－2≤x≤ 10}.2分若 x∈P 是 x∈S 的充要条件，则P＝ S，1－m＝－ 2，∴8 分1＋m＝10，m＝ 3，∴m＝ 9，这样的 m 不存在 .12 分[迁徙研究 2] 本例条件不变，若綈 P 是綈 S 的必需不充足条件，务实数 m 的取值范围．[解 ]由例题知P＝{ x|－2≤x≤ 10}．∵綈P 是綈 S 的必需不充足条件，∴ P 是 S 的充足不用要条件，∴P? S且 S P，4 分∴[－2,10] [1 －m,1＋m]，1－m≤－ 2，1－m＜－ 2，8 分∴或1＋m＞101＋m≥10，∴m≥9，即 m 的取值范围是 [9，＋∞ ).12 分[规律方法 ]充足条件、必需条件的应用，一般表此刻参数问题的求解上．解题时需注意：(1)把充足条件、必需条件或充要条件转变为会合之间的关系，而后依据集合之间的关系列出对于参数的不等式(组)求解．(2)要注意区间端点值的查验．[变式训练 3] (1)(2017 长·沙模拟 )已知命题 p：a≤ x≤ a＋ 1，命题 q：x2－4x<0，若 p 是 q 的充足不用要条件，则 a 的取值范围是 ________．(2)方程 ax2＋ 2x＋1＝0(a∈R，a 为常数 )的解集只有一个负实根的充要条件是 ________．(1)(0,3)(2)a≤0 或 a＝ 1[(1) 令 M ＝ { x|a≤x≤a＋ 1} ， N＝ { x|x2－ 4x<0} ＝{ x|0<x<4} ．∵p 是 q 的充足不用要条件，∴ M N，a>0，∴解得 0<a<3.a＋1<4，(2)当 a＝0 时，原方程为 2x＋ 1＝ 0，1∴原方程有一个负实根 x＝－2.2当 a≠ 0 时， ax ＋2x＋ 1＝ 0 只有一个负实根．∴方程有一个正根和一个负根或方程有两个相等的负根，当方程有一正一负根时，则 x1x2＜0，1∴＜ 0，且＝4－4a＞0，解得a＜0.a1，符当方程有两个相等的负根时，＝4－4a＝0，a＝1，此时方程的根为－合题意，综上，方程的解集只有一个负实根的充要条件是a≤ 0 或 a＝1.][思想与方法 ]1．写出一个命题的抗命题、否命题及逆否命题的重点是分清原命题的条件和结论，而后按定义来写；在判断原命题及其抗命题、否命题以及逆否命题的真假时，要借助原命题与其逆否命题同真或同假，抗命题与否命题同真或同假来判定．2．充足条件、必需条件的几种判断方法(1)定义法：直接判断“若 p，则 q”“若 q，则 p”的真假．(2)等价法：利用 A? B 与綈 B? 綈 A；B? A 与綈 A? 綈 B；A? B 与綈 B? 綈 A 的等价关系，对于条件或结论能否认形式的命题，一般运用等价法．(3)利用会合间的包括关系判断：设A＝{ x|p(x)} ，B＝{ x|q(x)} ，若 A? B，则p 是 q 的充足条件或 q 是 p 的必需条件；若 A B，则 p 是 q 的充足不用要条件，若 A＝B，则 p 是 q 的充要条件．[易错与防备 ]1．当一个命题有大前提而要写出其余三种命题时，一定保存大前提．2．判断命题的真假及写四种命题时，必定要明确命题的构造，能够先把命题改写成“若 p，则 q”的形式．3．判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，正确理解“p的一个充足而不用要条件是q”等语言的含义．。

课时规范练2 命题及其关系、充要条件基础巩固组1.命题“若a>b,则a-1>b-1”的否命题是()A.若a>b,则a-1≤b-1B.若a>b,则a-1<b-1C.若a≤b,则a-1≤b-1D.若a<b,则a-1<b-12.(2019河北沧州模拟,4)已知直线a,b和平面α,a⊂α,则“b⊄α”是“b与a异面”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.给定①②两个命题:①“若a=b,则a2=b2”的逆否命题;②“若x=-3,则x2+x-6=0”的否命题,则以下判断正确的是()A.①为真命题,②为真命题B.①为假命题,②为假命题C.①为真命题,②为假命题D.①为假命题,②为真命题”的()4.(2019湖南长沙雅礼中学月考,4)在△ABC中,“A>60°”是“sin A>√32A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.(2019山东师大附中二模)设a,b是非零向量,则“a=2b”是“a|a|=a|a|”成立的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分又不必要条件6.下列命题为真命题的是()A.命题“若x>y,则x>|y|”的逆命题B.命题“若x>1,则x2>1”的否命题C.命题“若x=1,则x2+x-2=0”的否命题D.命题“若x2>0,则x>1”的逆否命题7.(2019山东临沂模拟,3)“不等式x2-2x+m≥0在R上恒成立”的一个充分不必要条件是()A.m≥1B.m≤1C.m≥0D.m≥28.若“x>2”是“x>m”的必要不充分条件,则m的取值范围是.9.已知p:|x-1|≤2,q:x2-2x+1-a2≥0(a>0).若a p是q的充分不必要条件,则实数a的取值范围是.10.已知命题p:“若a>b>0,则lo g12a<lo g12b+1”,命题p的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为.],tan x≤m”是真命题,则实数m的最小值为.11.若“∀x∈[0,π4综合提升组12.在命题p的四种形式(原命题、逆命题、否命题、逆否命题)中,真命题的个数记为f(p),已知命题p:“若两条直线l1:a1x+b1y+c1=0,l2:a2x+b2y+c2=0平行,则a1b2-a2b1=0”,那么f(p)等于() A.1 B.2C.3D.413.(2019齐鲁名校教科研协作体联考一)设x∈R,若“log2(x-1)<1”是“x>2m2-1”的充分不必要条件,则实数m的取值范围是()A.[-√2,√2]B.(-1,1)C.(-√2,√2)D.[-1,1]14.下列命题是真命题的是()①“若x2+y2≠0,则x,y不全为零”的否命题;②“正多边形都相似”的逆命题;③“若m>0,则x2+x-m=0有实根”的逆否命题;④“若x-312是有理数,则x是无理数”的逆否命题.A.①②③④B.①③④C.②③④D.①④>0.若p是q的必要不充分条件,则实数a的取15.(2019江苏扬州期中)已知条件p:x>a,条件q:1-aa+2值范围是.创新应用组16.已知函数f(x),x∈R,则“f(x)的最大值为1”是“f(x)≤1恒成立”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件17.(2019北京东城一模,7)南北朝时代的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献,他在实践的基础上提出祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”.其含义是:夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平行平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等.如图,夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为V1,V2,被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面的面积分别为S1,S2,则“V1,V2相等”是“S1,S2总相等”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件参考答案课时规范练2命题及其关系、充要条件1.C根据否命题的定义可知,命题“若a>b,则a-1>b-1”的否命题应为“若a≤b,则a-1≤b-1”.2.B由题意,若直线b不在平面α内,则b与α相交或b∥α,不一定有b与a异面;反之,若b与a异面,一定有直线b不在平面α内,即“b⊄α”是“b与a异面”的必要不充分条件.3.C对于①,原命题显然为真命题,故其逆否命题也为真命题.对于②,其否命题是“若x≠-3,则x2+x-6≠0”,由于x=2时,x2+x-6=0,故否命题是假命题.所以①为真命题,②为假命题,故选C.4.B因为A为△ABC的内角,则A∈(0°,180°),又由sin A>√32,则60°<A<120°,而当A=150°时,sin A=12<√32,所以“A>60°”是“sin A>√32”的必要不充分条件,故选B.5.B由a=2b可知,a,b方向相同,a|a|,a|a|表示a,b方向上的单位向量,所以a|a|=a|a|成立;反之不成立,故选B.6.A对于A,其逆命题是“若x>|y|,则x>y”,它是真命题.这是因为x>|y|≥y,所以必有x>y;对于B,否命题是“若x≤1,则x2≤1”,它是假命题,如x=-5,x2=25>1;对于C,其否命题是“若x≠1,则x2+x-2≠0”,因为当x=-2时,x2+x-2=0,所以它是假命题;对于D,若x2>0,则x≠0,不一定有x>1,因此原命题的逆否命题是假命题.7.D“不等式x2-2x+m≥0在R上恒成立”的充要条件为(-2)2-4m≤0,即m≥1.又“m≥2”是“m≥1”的充分不必要条件,则“不等式x2-2x+m≥0在R上恒成立”的一个充分不必要条件是“m≥2”,故选D.8.m>2因为“x>2”是“x>m”的必要不充分条件,所以(m,+∞)是(2,+∞)的真子集,所以m>2,故答案为m>2.9.(0,2)由|x-1|≤2,得-1≤x≤3,则a p:x<-1或x>3.由x2-2x+1-a2≥0,解得x≤1-a或x≥1+a.令P={x|x<-1或x>3},Q={x|x≤1-a或x≥1+a},因为a p是q的充分不必要条件,所以P⫋Q,即{a>0,1-a≥-1,1+a<3或{a>0,1-a>-1,1+a≤3,解得0<a<2.10.2∵a>b>0,∴lo g12a<lo g12b,命题p为真命题,其逆命题为:若lo g12a<(lo g12b)+1,则a>b>0,∵a=2,b=2时,lo g12a<(lo g12b)+1,而a=b,∴逆命题为假命题.根据命题与其逆否命题的真假性相同,逆命题与否命题是互为逆否命题,∴命题p的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中,只有命题及其逆否命题是真命题,故答案为2.11.1由题意知m≥(tan x)max.∵x∈[0,π4],∴tan x∈[0,1].∴m≥1.故m的最小值为1.12.B原命题p显然是真命题,故其逆否命题也是真命题.而其逆命题是“若a1b2-a2b1=0,则两条直线l1与l2平行”,这是假命题.因为当a1b2-a2b1=0时,还有可能l1与l2重合,逆命题是假命题,从而否命题也为假命题,故f(p)=2.13.D由log2(x-1)<1,可得0<x-1<2,解得1<x<3.若“log2(x-1)<1”是“x>2m2-1”的充分不必要条件,则(1,3)⫋(2m2-1,+∞),∴2m2-1≤1,∴-1≤m≤1,故选D.14.B对于①,其否命题是“若x2+y2=0,则x,y全为零”,这显然是正确的,故①为真命题;对于②,其逆命题是“若两个多边形相似,则它们一定是正多边形”,这显然是错误的,故②为假命题;对于③,Δ=1+4m,当m>0时,Δ>0,所以原命题是真命题,其逆否命题也是真命题,即③为真命题;对于④,原命题为真,故逆否命题也为真.因此是真命题的是①③④.>0化为(x+2)(x-1)<0,解得-2<x<1.15.(-∞,-2]条件q:1-aa+2∵p是q的必要不充分条件,∴a≤-2,即实数a的取值范围是(-∞,-2].16.A因为由f(x)的最大值为1,可得f(x)≤1恒成立,反之,由f(x)≤1恒成立,不一定得到f(x)的最大值为1(最大值小于1也有f(x)≤1恒成立),所以“f(x)的最大值为1”是“f(x)≤1恒成立”的充分不必要条件,故选A.17.B由题意知两个几何体的高相等,由V1=V2得不到一定S1=S2;若两个几何体被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面的面积S1=S2,又它们的高相等,则两个几何体的体积V1=V2.故选B.。

第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件基础巩固题组(建议用时：30分钟)一、选择题1．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( ) A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”解析依题意，得原命题的逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数．答案 B2．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是( ) A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2＜3B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2＜3C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3解析同时否定原命题的条件和结论，所得命题就是它的否命题．答案 A3．命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是( ) A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数D．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数解析由于“x，y都是偶数”的否定表达是“x，y不都是偶数”，“x＋y是偶数”的否定表达是“x＋y不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x＋y不是偶数，则x，y不都是偶数”，故选C.答案 C4．(2015·郑州检测)已知直线l，m，其中只有m在平面α内，则“l∥α”是“l∥m”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析当l∥α时，直线l与平面α内的直线m平行、异面都有可能，所以l∥m不成立；当l∥m时，根据直线与平面平行的判定定理知直线l∥α，即“l∥α”是“l∥m”的必要不充分条件，故选B.答案 B5．(2014·成都二诊)下列说法正确的是( ) A．命题“若x2＞1，则x＞1”的否命题为“若x2＞1，则x≤1”B．命题“∃x0∈R，x20＞1”的否定是“∀x∈R，x2＞1”C．命题“若x＝y，则cos x＝cos y”的逆否命题为假命题D．命题“若x＝y，则cos x＝cos y”的逆命题为假命题解析A项中否命题为“若x2≤1，则x≤1”，所以A错误；B项中否定为“∀x∈R，x2≤1”，所以B错误；因为逆否命题与原命题同真假，所以C错误；易知D正确，故选D.答案 D6．(2014·广东卷)在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，则“a≤b”是“sin A≤sin B”的( )A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解析结合正弦定理可知，a≤b⇔2R sin A≤2R sin B⇔sin A≤sin B(R为△ABC外接圆的半径)．故选A.答案 A7．(2014·临沂模拟)已知p：x≥k，q：(x＋1)(2－x)＜0，如果p是q的充分不必要条件，则k的取值范围是( )A．[2，＋∞) B．(2，＋∞)C．[1，＋∞) D．(－∞，－1]解析由q：(x＋1)(2－x)＜0，得x＜－1或x＞2，又p是q的充分不必要条件，所以k＞2，即实数k的取值范围是(2，＋∞)，故选B.答案 B8．(2014·东北三省四市联考)下列命题中真命题是( ) A．“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件B．“a＞b”是“a2＞b2”的必要条件C．“a＞b”是“ac2＞bc2”的必要条件D．“a＞b”是“|a|＞|b|”的充要条件解析由a＞b不能得知ac2＞bc2，当c2＝0时，ac2＝bc2；反过来，由ac2＞bc2可得a＞b.因此，“a＞b”是“ac2＞bc2”的必要不充分条件，故选C.答案 C二、填空题9．命题“若x2＞y2，则x＞y”的逆否命题是________．答案“若x≤y，则x2≤y2”10．“m <14”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的________条件(填“充分不必要、必要不充分、充要”)．解析 x 2＋x ＋m ＝0有实数解等价于Δ＝1－4m ≥0，即m ≤14.答案 充分不必要11．函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称的充要条件是________．解析 已知函数f (x )＝x 2－2x ＋1的图象关于直线x ＝1对称，则m ＝－2；反之也成立． 所以函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称的充要条件是m ＝－2. 答案 m ＝－2 12．下列命题：①“全等三角形的面积相等”的逆命题； ②“若ab ＝0，则a ＝0”的否命题；③“正三角形的三个角均为60°”的逆否命题． 其中真命题的序号是________．解析 ①“全等三角形的面积相等”的逆命题为“面积相等的三角形全等”，显然该命题为假命题；②“若ab ＝0，则a ＝0”的否命题为“若ab ≠0，则a ≠0”，而由ab ≠0，可得a ，b 都不为零，故a ≠0，所以该命题是真命题；③因为原命题“正三角形的三个角均为60°”是一个真命题，故其逆否命题也是一个真命题． 答案 ②③ 能力提升题组 (建议用时：15分钟)13．(2014·天津卷)设a ，b ∈R ，则“a ＞b ”是“a |a |＞b |b |”的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析 先证“a ＞b ”⇒“a |a |＞b |b |”．若a ＞b ≥0，则a 2＞b 2，即a |a |＞b |b |；若a ≥0＞b ，则a |a |≥0＞b |b |；若0＞a ＞b ，则a 2＜b 2，即－a |a |＜－b |b |，从而a |a |＞b |b |. 再证“a |a |＞b |b |”⇒“a ＞b ”．若a ，b ≥0，则由a |a |＞b |b |，得a 2＞b 2，故a ＞b ；若a ，b ≤0，则由a |a |＞b |b |，得－a 2＞－b 2，即a 2＜b 2，故a ＞b ；若a ≥0，b ＜0，则a ＞b .综上，“a ＞b ”是“a |a |＞b |b |”的充要条件． 答案 C14．(2014·成都检测)已知p 是r 的充分不必要条件，q 是r 的充分条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件．现有下列命题： ①s 是q 的充要条件； ②p 是q 的充分不必要条件；③r 是q 的必要不充分条件； ④綈p 是綈s 的必要不充分条件； ⑤r 是s 的充分不必要条件． 则正确命题的序号是( )A ．①④⑤B ．①②④C ．②③⑤D ．②④⑤解析 ∵q 是r 的充分条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件．∴q ，r ，s 互为充要条件．又p 是r 的充分不必要条件．∴①s 是q 的充要条件正确；②p 是q 的充分不必要条件正确；③r 是q 的必要不充分条件错误；④綈p 是綈s 的必要不充分条件正确；⑤r 是s 的充分不必要条件错误，故选B. 答案 B15．(2014·湖南高考诊断)下列选项中，p 是q 的必要不充分条件的是 ( ) A ．p ：x ＝1，q ：x 2＝x B ．p ：|a |＞|b |，q ：a 2＞b 2C ．p ：x ＞a 2＋b 2，q ：x ＞2ab D ．p ：a ＋c ＞b ＋d ，q ：a ＞b 且c ＞d解析 A 中，x ＝1⇒x 2＝x ，x 2＝x ⇒x ＝0或x ＝1x ＝1，故p 是q 的充分不必要条件；B 中，因为|a |＞|b |，根据不等式的性质可得a 2＞b 2，反之也成立，故p 是q 的充要条件；C 中，因为a 2＋b 2≥2ab ，由x ＞a 2＋b 2，得x ＞2ab ，反之不成立，故p 是q 的充分不必要条件；D 中，取a ＝－1，b ＝1，c ＝0，d ＝ －3，满足a ＋c ＞b ＋d ，但是a ＜b ，c ＞d ，反之，由同向不等式可加性得a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c ＞b ＋d ，故p 是q 的必要不充分条件．综上所述，故选D. 答案 D16．设n ∈N *，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根的充要条件是n ＝________． 解析 已知方程有根，由判别式Δ＝16－4n ≥0，解得n ≤4，又n ∈N *，逐个分析，当n ＝1，2时，方程没有整数根；而当n ＝3时，方程有整数根1，3；当n ＝4时，方程有整数根2. 答案 3或417．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12＜2x＜8，x ∈R ，B ＝{x |－1＜x ＜m ＋1，x ∈R }，若x ∈B 成立的一个充分不必要的条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是________．解析 A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12＜2x＜8，x ∈R ＝{x |－1＜x ＜3}，∵x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，∴A B，∴m＋1＞3，即m＞2. 答案(2，＋∞)。

第2课时命题及其关系、充分条件与必要条件1. 命题用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的___________ 叫做命题,其中__________ 的语句叫做真命题, _________ 的语句叫做假命题•2. 四种命题及其关系(1) 四种命题若原命题为“若p,则q”，则其逆命题是___________________ ;否命题是____________ ;逆否命题是_________.(2) 四种命题间的关系(3) 四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题,它们有__________ 的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性_____________ .3. 充分条件、必要条件与充要条件(1) “若p,则q”为真命题,记作：p? q,则 ___________ 的充分条件，________ 的必要条件⑵如果既有p? q,又有q? p,记作：p? q,则p是q的_____________ , q也是p的 _________1.设a, b是向量，命题“若a=-b,则|a|=|b| ”的逆命题是().A.若a z-b,则|a| 丰 |b|B.若a=-b,则|a| 丰 |b|C.若|a| 丰 |b| ,则a z -bD.若|a|=|b| ,则a=-b2. 设a € R,则“ a=1” 是“ |a|= 1 ”的（）.A. 充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件3. 命题“若a>b,则a-1>b-2”的逆否命题是（）.A. 若a-1 w b- 2,则a w bB.若a<b,则a-1 <b- 2C.若a-1 >b-2,贝V a>bD.若a w b,贝V a-1 w b- 24. （教材改编）给出命题：“若x2+y2=0,则x=y=O” ,在它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是_________ .5. _______________________________________________ （教材改编）下列命题中,所有真命题的序号是________________________________________________ .①“ a>b”是“ a2>b2”的充分条件；②“ |a|>|b| ”是“ a2>b2”的必要条件;“ 是“ ”的充要条件♦注意两种“否”命题的否定与否命题混淆，否定含有一个量词的命题时忽视量词的改变导致出错；若命题为：若p,则q,则该命题的否命题为：若p,则q;命题的否定为：若p,则q.四种命题的三种关系：互否关系、互逆关系、互为逆否关系，只有互为逆否关系的命题是等价命题.判断p与q之间的关系时，要注意p与q之间关系的方向性，充分条件与必要条件方向正好相反，不要混淆.如：a=0是“ a • b=0”的充分不必要条件，“ a • b=0”是“ a=0”的必要不充分条件.考向一四种命题及其关系【审题视点】 本题主要考查数列的性质，四种命题的关系与真假判定【方法总结】 在根据给出的命题构造其逆命题、否命题、逆否命题时 ，首先要把原命题的条件和结论弄清楚，这样逆命题就是把原命题的条件和结论交换了的命题 ,否命题就是把原命题中否定了的条件作条件、否定了的结论作结论的命题 ，逆否命题就是把原命题中否定了的结论作条件、否定了的条件作结论的命题 .在这四种命题中原命题和逆否命题等价、否命题和逆命题互为逆否命题也是等价的.例1 (2014 •陕西)原命题为“若 则｛a n ｝为递减数列” ( ). A.真、真、真 C.真、真、假,关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下B.假、假、真 D.假、假、假va n , n €N +, ,正确的是1.命题“若a 是, 则tan a的逆否命题( ).,则tan a 丰1 B.D.若tan a 半 1, 考向二充分条件与必要条件的判断例2 (2014 •全国新课标II)函数f(x)在x=x o处导数存在.若p: f (x o) =0；q：x=x o是f(x)的极值点，则().A. p是q的充分必要条件B. p是q的充分条件，但不是q的必要条件C. p是q的必要条件，但不是q的充分条件D. p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件【审题视点】本题考查导数的应用以及充分条件、必要条件的判断，难度中等.【方法总结】命题的充要关系的判断方法.(1)定义法：直接判断若p则q、若q则p的真假.⑵等价法：利用A? B与B? A B? A与A? B A? B与B? A的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法.(3)利用集合间的包含关系判断：若A? B则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A=B 则A 是B的充要条件.变式训练2. (2014 •北京)设a, b 是实数，则“ a>b” 是“ a2>b2” 的().A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件考向三充分条件、必要条件的应用例3已知条件p: < -1,条件q:x2+x<a2-a,且q的一个充分不必要条件是p,则a的取值范围是().【审题视点】q的充分不必要条件是p,等价于p是q的必要不充分条件，化简p和q后,借助集合间的包含关系即可求得a的范围.【方法总结】（1）解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解（2）注意利用转化的方法理解充分必要条件：若p是q的充分不必要（必要不充分、充要）条件,则p是q的必要不充分（充分不必要、充要）条件.变式训练3."直线x-y-k= 0与圆（x-1）2+y2=2有两个不同交点”的一个充分不必要条件可以是（）.A. -1vk<3B. - K k< 3C. 0 vk<3D. k<-1 或k>3典例（2014 •广东）在厶ABC中,角AB,C所对应的边分别为a, b,c,则“ a< b”是“ sin A wsin B” 的（）.C.必要不充分条件D.非充分非必要条件【解题指南】本题考查正弦定理的应用.【解析】由正弦定理知因为a, b,sin A sin B都为正数,所以a< b? sin A w sin B.【答案】A1. （2014 •上海）设a, b€ R,则“ a+b>4” 是“ a>2 且b>2”的（）.A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件2. （2014 •浙江）设四边形ABCD勺两条对角线为ACBD则“四边形ABC［为菱形”是“ AC±BD 的（）.A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件A.充分必要条件B.充分不必要条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件参考答案与解析1.陈述句判断为真判断为假2. (1) 若q,则p 若p,则q 若q,则p⑶①相同②没有关系3.(1) p是q q是p (2)充要条件充要条件1. D2. A3. A4. 35.②③考点透析【例1】A 解析：由单调数列的性质知原命题是真命题,则其逆否命题也是真命题,排除选项C, D；又其逆命题与否命题也是互为逆否命题，必是同真同假，结合逆命题可以判断其逆命题也是真命题.1. C 解析：根据原命题与其逆否命题的关系求解•由命题与其逆否命题之间的关系可知命题的逆否命题是:若。

课时作业梯级练二命题及其关系、充分条件与必要条件一、选择题(每题5分,共35分)1.命题“假设m>-1,那么m>-4”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中,假命题的个数为( )【解析】选B.原命题为真命题,从而其逆否命题也为真命题;逆命题“假设m>-4,那么m>-1”为假命题,故否命题也为假命题.2.(2021·北京高考)α,β∈R,那么“存在k∈Z,使得α=kπ+(-1)kβ〞是“sinα=sinβ〞的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选C.假设存在k∈Z,使得α=kπ+(-1)kβ,那么有sinα=sinβ是显然的;反之假设sinα=sinβ,那么α=2kπ+β或2kπ+π-β,即α=kπ+(-1)kβ(k∈Z).3.(2021·绵阳模拟)“a=1”是“直线ax+y+1=0与直线(a+2)x-3y-2=0垂直〞的( )A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.(1)a=1时,直线x+y+1=0的斜率为-1,3x-3y-2=0的斜率为1,所以这两条直线垂直;(2)假设直线ax+y+1=0与(a+2)x-3y-2=0垂直,那么:-a·=-1,解得a=1,或-3;所以“直线ax+y+1=0与直线(a+2)x-3y-2=0垂直〞不一定得到“a=1〞;综上得“a=1〞是“直线ax+y+1=0与直线(a+2)x-3y-2=0垂直〞的充分不必要条件.【加练备选·拔高】祖暅原理:“幂势既同,那么积不容异〞.它是中国古代一个涉及几何体体积的问题,意思是两个同高的几何体,如果在等高处的截面积恒相等,那么体积相等.设A,B为两个同高的几何体,p:A,B的体积不相等,q:A,B在等高处的截面积不恒相等,根据祖暅原理可知,p是q的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.设命题a:“假设p,那么q〞,可知命题a是祖暅原理的逆否命题,那么a是真命题,故p是q的充分条件;设命题b:“假设q,那么p〞,假设A比B在某些等高处的截面积小一些,在另一些等高处的截面积大一些,且大的总量与小的总量相抵,那么它们的体积还是一样的.所以命题b是假命题,即p不是q的必要条件.综上所述,p是q的充分不必要条件.4.(2021·合肥模拟)不等式2x2-5x-3≥0成立的一个充分不必要条件是( )≥0B.x<0或x>2C.x<-2≤-或x≥3【解析】选C.解不等式2x2-5x-3≥0,得x≥3或x≤-,结合四个选项,D选项是其充要条件,AB选项是其既不充分也不必要条件,C选项x<-2是其充分不必要条件.【加练备选·拔高】假设a,b都是正整数,那么a+b>ab成立的充要条件是( )A.a=b=1B.a,b至少有一个为1C.a=b=2D.a>1且b>1【解析】选B.因为a+b>ab,所以(a-1)(b-1)<1.因为a,b∈N+,所以(a-1)(b-1)∈N,所以(a-1)(b-1)=0,所以a=1或b=1.5.以下命题正确的选项是( )A.命题“假设α=β,那么sinα=sinβ〞的逆否命题为真命题B.命题“假设a<b,那么ac2≤bc2”的逆命题为真命题C.命题“∀x>0,5x>0”的否认是“∃x0≤0,≤0”D.“x<-1”是“ln(x+2)<0”的充分不必要条件【解析】选A.对于A,原命题为真命题,所以其逆否命题为真命题,故正确;对于B,逆命题为“假设ac2≤bc2,那么a<b〞,当c=0时不成立,故错误;对于C,命题“∀x>0,5x>0”的否认是“∃x0>0,≤0”,故错误;对于D,由ln(x+2)<0得-2<x<-1,所以“x<-1〞不是“ln(x+2)<0”的充分不必要条件,故错误.6.p:x2+2x-3>0;q:x>a,且q的一个充分不必要条件是p,那么a的取值范围是( )A.[1,+∞)B.(-∞,1]C.[-1,+∞)D.(-∞,-3]【解析】选A.由x2+2x-3>0,得x<-3或x>1,由q的一个充分不必要条件是p,可知p是q的充分不必要条件,等价于q是p的充分不必要条件,故a≥1.7.“假设x,y∈R,x2+y2=0,那么x,y全为0”的逆否命题是( )A.假设x,y∈R,x,y全不为0,那么x2+y2≠0B.假设x,y∈R,x,y不全为0,那么x2+y2=0C.假设x,y∈R,x,y不全为0,那么x2+y2≠0D.假设x,y∈R,x,y全为0,那么x2+y2≠0【解析】选C.依题意得,原命题的题设为假设x2+y2=0,结论为x,y全为0.逆否命题:假设x,y 不全为0,那么x2+y2≠0.二、填空题(每题5分,共15分)8.在△ABC中,“A=B〞是“tanA=tanB〞的______条件.【解析】由A=B,得tanA=tanB,反之,假设tanA=tanB,那么A=B+kπ,k∈Z.因为0<A<π,0<B<π,所以A=B,故“A=B〞是“tanA=tanB〞的充要条件.答案:充要9.生活中,我们常用“水滴石穿〞“有志者,事竟成〞“坚持就是胜利〞等熟语来勉励自己和他人保持信心、坚持不懈地努力.在这些熟语里,“石穿〞“事成〞“胜利〞分别是“水滴〞“有志〞“坚持〞的________条件,这正是我们努力的信心之源,鼓励着我们直面一切困难与挑战,不断取得进步.(填“充分不必要、必要不充分、充要或者既不充分也不必要〞)【解析】由“石穿〞“事成〞“胜利〞不能推出“水滴〞“有志〞“坚持〞,如“石穿〞可能推出“化学腐蚀〞;由“水滴〞“有志〞“坚持〞能推出“石穿〞“事成〞“胜利〞,如“水滴〞可以推出“石穿〞;综上所述,“石穿〞“事成〞“胜利〞是“水滴〞“有志〞“坚持〞的必要不充分条件.答案:必要不充分10.以下不等式:①x<1;②0<x<1;③-1<x<0;④-1<x<1.其中可以作为“x2<1”的一个充分条件的所有序号为________.【解析】由于x2<1,即-1<x<1,①显然不能使-1<x<1一定成立,②③④满足题意.答案:②③④1.(5分)A,B,C三个学生参加了一次考试,A,B的得分均为70分,C的得分为65分.命题p:假设及格分低于70分,那么A,B,C都没有及格.那么以下四个命题中为p的逆否命题的是( )A.假设及格分不低于70分,那么A,B,C都及格B.假设A,B,C都及格,那么及格分不低于70分C.假设A,B,C至少有一人及格,那么及格分不低于70分D.假设A,B,C至少有一人及格,那么及格分高于70分【解析】选C.根据原命题与它的逆否命题之间的关系知,命题p的逆否命题是假设A,B,C至少有一人及格,那么及格分不低于70分.【加练备选·拔高】(2021·咸阳模拟)p:m=-1,q:直线x-y=0与直线x+m2y=0互相垂直,那么p是q的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.由题意得直线x+m2y=0的斜率是-1,所以=-1,m=±1.所以p是q的充分不必要条件.2.(5分)以下命题:①“假设a≤b,那么a<b〞的否命题;②“假设a=1,那么ax2-x+3≥0的解集为R〞的逆否命题;③“周长相同的圆面积相等〞的逆命题;④“假设x为有理数,那么x为无理数〞的逆否命题.其中真命题的序号为( )A.②④B.①②③C.②③④D.①③④【解析】选B.对于①,逆命题为真,故否命题为真;对于②,原命题为真,故逆否命题为真;对于③,“面积相等的圆周长相同〞为真;对于④,“假设x为有理数,那么x为0或无理数〞,故原命题为假,逆否命题为假.3.(5分)以下四个结论:①“x>2”是“<〞的充分不必要条件;②命题“设a,b∈R,假设a+b ≠6,那么a≠3或b≠3”是一个假命题;③命题p:存在x0∈R,使得+x0+1<0,那么p:任意x∈R都有x2+x+1≥0;④一个命题的否命题为真,那么它的逆命题一定为真,其中正确的选项是( )A.①④B.②④C.①③④D.①③【解析】选C.对于①,由“x>2〞可得“<〞,反之不成立,所以“x>2〞是“<〞的充分不必要条件,正确.对于②,命题“设a,b∈R,假设a+b≠6,那么a≠3或b≠3”,它的逆否命题是:假设a=3且b=3,那么a+b=6,因为逆否命题是真命题,所以原命题是真命题,说是一个假命题,显然不正确;对于③,命题p:存在x0∈R,使得+x0+1<0,那么p:任意x∈R都有x2+x+1≥0,满足命题的否认形式,正确;对于④一个命题的否命题为真,那么它的逆命题一定为真,显然正确.4.(10分)p:≤2,q:x2-2x+1-m2≤0(m>0),且p是q的必要不充分条件,求实数m的取值范围.【解析】方法一:由q:x2-2x+1-m2≤0,得1-m≤x≤1+m,所以q:A={x|x>1+m或x<1-m,m>0}, 由p:≤2,解得-2≤x≤10,所以p:B={x|x>10或x<-2}.因为p是B,所以或即m≥9或m>9.所以m≥9.方法二:因为p是q的必要不充分条件,所以p是q的充分不必要条件,由q:x2-2x+1-m2≤0,得1-m≤x≤1+m,所以q:Q={x|1-m≤x≤1+m},由p:≤2,解得-2≤x≤10,所以p:P={x|-2≤x≤10}.因为p是q的充分不必要条件,所以P Q,所以或即m≥9或m>9,所以m≥9.5.(10分)(2021·贵阳模拟)条件p:|5x-1|>a(a>0)和条件q:>0,请选取适当的实数a的值,分别利用所给出的两个条件作为A,B构造命题:“假设A,那么B〞,并使得构造的原命题为真命题,而其逆命题为假命题.那么这样的一个原命题可以是什么?并说明为什么这一命题是符合要求的命题.【解析】条件p,即5x-1<-a或5x-1>a,得x<或x>.条件q,即2x2-3x+1>0,得x<或x>1;令a=4,那么p即x<-或x>1,此时必有p⇒q成立,反之不然.故可以选取一个实数是a=4,A为p,B为q,对应的命题是假设A,那么B.由以上过程可知这一命题的原命题为真命题,而它的逆命题为假命题.。

作业理（含解析）新人教A版一、选择题1．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( )A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”解析：原命题的逆命题是：若一个数的平方是正数，则它是负数．答案：B2．命题“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是( )A．若x2≥1，则x≥1或x≤－1B．若－1<x<1，则x2<1C．若x>1或x<－1，则x2>1D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1解析：x2<1的否定为：x2≥1；－1<x<1的否定为x≥1或x≤－1，故原命题的逆否命题为：若x≥1或x≤－1，则x2≥1.答案：D3．下列命题中为真命题的是( )A．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题B．命题“若x>1，则x2>1”的否命题C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题D．命题“若x2>0，则x>1”的逆否命题解析：对于A，其逆命题是：若x>|y|，则x>y，是真命题，这是因为x>|y|≥y，必有x>y；对于B，否命题是：若x≤1，则x2≤1，是假命题．如x＝－5，x2＝25>1；对于C，其否命题是：若x≠1，则x2＋x－2≠0，由于x＝－2时，x2＋x －2＝0，所以是假命题；对于D，若x2>0，则x>0或x<0，不一定有x>1，因此原命题与它的逆否命题都是假命题．答案：A4．(xx·福建卷)设点P(x，y)，则“x＝2且y＝－1”是“点P在直线l：x ＋y－1＝0上”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：“x＝2且y＝－1”满足方程x＋y－1＝0，故“x＝2且y＝－1”可推得“点P在直线l：x＋y－1＝0上”；但方程x＋y－1＝0有无数多个解，故“点P在直线l：x＋y－1＝0上”不能推得“x＝2且y＝－1”，故“x＝2且y ＝－1”是“点P在直线l：x＋y－1＝0上”的充分不必要条件．答案：A5．(xx·河北名校名师俱乐部二调)已知“x>k”是“3x＋1<1”的充分不必要条件，则k的取值范围是( )A．[2，＋∞) B．[1，＋∞)C．(2，＋∞) D．(－∞，－1]解析：由3x＋1<1，得3x＋1－1＝－x＋2x＋1<0，所以x<－1或x>2.因为“x>k”是“3x＋1<1”的充分不必要条件，所以k≥2.答案：A6．(xx·湖南卷)“1<x<2”是“x<2”成立的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：“1<x<2”可以推得“x<2”，即满足充分性，但“x<2”得不出“1<x<2”，所以为充分不必要条件．答案：A7．(xx·浙江卷)若α∈R，则“α＝0”是“sin α<cos α”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：当α＝0时，sin α＝0，cos α＝1，∴sin α<cos α；而当sin α<cos α时，α＝0或α＝π6，…，故选A.答案：A8．设x、y是两个实数，命题“x、y中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是( )A．x＋y＝2 B．x＋y>2C．x2＋y2>2 D．xy>1解析：命题“x、y中至少有一个数大于1”等价于“x>1或y>1”．若x＋y>2，必有x>1或y>1，否则x＋y≤2；而当x＝2，y＝－1时，2－1＝1<2，所以x>1或y>1不能推出x＋y>2.对于x＋y＝2，当x＝1，且y＝1时，满足x＋y＝2，不能推出x>1或y>1.对于x2＋y2>2，当x<－1，y<－1时，满足x2＋y2>2，故不能推出x>1或y>1.对于xy>1，当x<－1，y<－1时，满足xy>1，不能推出x>1或y>1，故选B.答案：B二、填空题9．命题“若x>0，则x2>0”的否命题是________命题．(填“真”或“假”)解析：其否命题为“若x≤0，则x2≤0”，它是假命题．答案：假10．(xx·绍兴模拟)“－3<a<1”是“方程x2a＋3＋y21－a＝1表示椭圆”的________条件．解析：方程表示椭圆时，应有⎩⎨⎧a ＋3>0，1－a >0，a ＋3≠1－a解得－3<a <1且a ≠－1，故“－3<a <1”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件． 答案：必要不充分 11．下列命题： ①若ac 2>bc 2，则a >b ；②若sin α＝sin β，则α＝β；③“实数a ＝0”是“直线x －2ay ＝1和直线2x －2ay ＝1平行”的充要条件； ④若f (x )＝log 2x ，则f (|x |)是偶函数． 其中正确命题的序号是________．解析：对于①，ac 2>bc 2，c 2>0，∴a >b 正确；对于②，sin 30°＝sin 150°D ⇒/30°＝150°，所以②错误；对于③，l 1∥l 2⇔A 1B 2＝A 2B 1，即－2a ＝－4a ⇒a ＝0且A 1C 2D ⇒/A 2C 1，所以③正确；④显然正确．答案：①③④12．(xx·山西高考考前适应性训练)给出下面几个命题： ①“若x >2，则x >3”的否命题；②“∀a ∈(0，＋∞)，函数y ＝a x 在定义域内单调递增”的否定；③“π是函数y＝sin x的一个周期”或“2π是函数y＝sin 2x的一个周期”；④“x2＋y2＝0”是“xy＝0”的必要条件．其中真命题的序号是________．解析：①的否命题为：若x≤2，则x≤3，这是个真命题；②的否定为：∃a ∈(0，＋∞)使得函数y＝a x在定义域上是减函数；因为a∈(0,1)时，函数y＝a x在定义域上是减函数，因此这个命题是真命题；③或连接的命题只要有一个为真则连接命题为真，其中2π是函数y＝sin 2x的一个周期为真，因此这个是真命题；④x2＋y2＝0可得：x＝0且y＝0，即：xy＝0；而xy＝0，可得：x2＋y2≥0；因此x2＋y2＝0是xy＝0的充分条件，不是必要条件．答案：①②③三、解答题13．(xx·荆门市高三元月调考)已知命题p：函数f(x)＝(2a－5)x是R上的减函数；命题q：在x∈(1,2)时，不等式x2－ax＋2<0恒成立，若p∨q是真命题，求实数a的取值范围．解：p：∵函数f(x)＝(2a－5)x是R上的减函数∴0<2a－5<1，故有52<a<3.q：由x2－ax＋x<0得ax>x2＋2，∵1<x<2，且a >x 2＋2x ＝x ＋2x 在x ∈(1,2)时恒成立，又x ＋2x∈[22，3]，∴a ≥3.p ∨q 是真命题，故p 真或q 真，所以有52<a <3或a ≥3.所以a 的取值范围是a >52.[热点预测]14．设条件p ：2x 2－3x ＋1≤0，条件q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．解：条件p 为：12≤x ≤1，条件q 为：a ≤x ≤a ＋1.綈p 对应的集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x >1，或x <12，綈q 对应的集合B ＝{x |x >a ＋1，或x <a }．∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，∴B A ，∴a ＋1>1且a ≤12或a ＋1≥1且a <12.∴0≤a ≤12.故a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12.29752 7438 琸38236 955C 镜21184 52C0 勀 $ \39406 99EE 駮zp39852 9BAC 鮬38682971A 霚25202 6272 扲>。

课时作业(二)第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件时间/30分钟分值/80分基础热身1.[2017·某某某某七校联考]命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”的逆命题是()A.“若一个数是负数,则它的平方不是正数”B.“若一个数的平方是正数,则它是负数”C.“若一个数不是负数,则它的平方不是正数”D.“若一个数的平方不是正数,则它不是负数”2.在四边形ABCD中,“∃λ∈R,=λ,=λ”是“四边形ABCD为平行四边形”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3.已知命题p:若a>b>0,则lo a<lo b+1,则命题p及其逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为()A.0B.1C.2D.44.[2017·某某百所重点中学联考]命题“若x≥1,则x2-4x+2≥-1”的否命题为.5.[2017·某某武邑中学四模]设向量a=(x-1,x),b=(x+2,x-4),则“a⊥b”是“x=2”的条件.能力提升6.[2017·某某冀州二模]命题“∀x∈[1,2],x2-a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是()A.a≥4B.a≤4C.a≥5D.a≤57.[2017·某某三校联考]设a∈R,则“a=-1”是“直线ax+y-1=0与直线x+ay+5=0平行”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件8.下列说法错误的是()A. 命题“若x2-3x-4=0,则x=4”的逆否命题为“若x≠4,则x2-3x-4≠0”B.“x=4”是“x2-3x-4=0”的充分条件C. 命题“若m>0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆命题为真命题D. 命题“若m2+n2=0,则m=0且n=0”的否命题是“若m2+n2≠0,则m≠0或n≠0”9.[2017·某某三模]“2a>2b>1”是“>”的()A. 充要条件B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件10.[2017·某某大学附属中学八模]已知f(x)是R上的奇函数,则“x1+x2=0”是“f(x1)+f(x2)=0”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件11.[2017·某某某某一检]下列四个命题中真命题的个数是()①x+y=0的充要条件是=-1;②已知α,β是不同的平面,m,n是不同的直线,m∥α,n∥β,α⊥β,则m⊥n;③条件p:x≠2或y≠3,条件q:x+y≠5,则p是q的必要不充分条件;④“若a+b≥2,则a,b中至少有一个不小于1”的逆命题是假命题.A.1B.2C.3D.412.命题“若函数f(x)=log a x(a>0,a≠1)在其定义域内是减函数,则log a2<0”的逆否命题是.13.方程ax2+2x+1=0至少有一个负实根的充要条件是.14.已知α,β∈(0,π),则“sinα+sinβ<”是“sin(α+β)<”的条件.难点突破15.(5分)[2017·某某二模]已知等比数列{a n}的前n项和为S n,则“a1>0”是“S2017>0”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件16.(5分)已知p:实数m满足m2+12a2<7am(a>0),q:方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆,且p是q的充分不必要条件,则a的取值X围是.课时作业(二)1.B[解析] 命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”的逆命题是“若一个数的平方是正数,则它是负数”.故选B.2.C[解析] 若=λ,=λ,则∥,∥,可得四边形ABCD是平行四边形;若四边形ABCD为平行四边形,则=,=,即存在λ=1,满足=λ,=λ.故选C.3.C[解析] 当a>b>0时,因为y=lo x为减函数,所以lo a<lo b,从而lo a<lo b+1,因此命题p为真命题,则逆否命题也为真命题.令a=3,b=4,则lo a<lo b+1成立,但a>b不成立,故逆命题为假命题,从而否命题也为假命题.故选C.4.若x<1,则x2-4x+2<-1[解析] 由否命题的定义可知,命题“若x≥1,则x2-4x+2≥-1”的否命题为“若x<1,则x2-4x+2<-1”.5.必要不充分[解析] 若a⊥b,则a·b=(x-1)(x+2)+x(x-4)=2x2-3x-2=0,则x=2或x=-.若x=2,则a·b=0,即a⊥b.所以“a⊥b”是“x=2”的必要不充分条件.6.C[解析] 由命题“∀x∈[1,2],x2-a≤0”为真命题,得a≥4,即“∀x∈[1,2],x2-a≤0”为真命题的充要条件为a≥4,结合选项知选C.7.A[解析] 直线ax+y-1=0与直线x+ay+5=0平行,则a2=1,得a=±1,所以“a=-1”是“直线ax+y-1=0与直线x+ay+5=0平行”的充分不必要条件.故选A.8.C[解析] 选项C中命题的逆命题为“若方程x2+x-m=0有实根,则m>0”,若方程有实根,则Δ=1+4m≥0,即m≥-,不能推出m>0,故选C.9.C[解析] 由2a>2b>1⇒a>b>0,由>⇒a>b,∴“2a>2b>1”是“>”的充分不必要条件.故选C.10.A[解析] 若x1+x2=0,则x1=-x2,∵函数f(x)是奇函数,∴f(x1)=f(-x2)=-f(x2),即f(x1)+f(x2)=0成立,即充分性成立.若f(x)=0,满足f(x)是奇函数,当x1=x2=2时,满足f(x1)=f(x2)=0,此时满足f(x1)+f(x2)=0,但x1+x2=4≠0,即必要性不成立.故“x1+x2=0”是“f(x1)+f(x2)=0”的充分不必要条件.11.B[解析] 对于①,“x+y=0的充要条件是=-1”是假命题,比如y=0时,不成立,因此不正确;对于②,直线m,n可以平行或相交或异面,因此不正确;对于③,“若x=2且y=3,则x+y=5”是真命题,故③是正确的;对于④,原命题的逆命题为“若a,b中至少有一个不小于1,则a+b ≥2”,而a=2,b=-2满足a,b中至少有一个不小于1,但此时a+b=0,故④正确.所以选B.12.若log a2≥0(a>0,a≠1),则函数f(x)=log a x在其定义域内不是减函数[解析]“若函数f(x)=log a x(a>0,a≠1)在其定义域内是减函数,则log a2<0”的逆否命题是“若log a2≥0(a>0,a ≠1),则函数f(x)=log a x在其定义域内不是减函数”.13.a≤1[解析] 当a=0时,原方程为一元一次方程2x+1=0,有一个负根x=-.当a≠0时,原方程为一元二次方程,若方程有两个异号实根,则a<0;若方程有两个负实根,则解得0<a≤1.综上所述,a≤1.14.充分不必要[解析] 因为sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ<sinα+sinβ,所以若sinα+sinβ<,则有sin(α+β)<;当α=β=时,有sin(α+β)=sinπ=0<,而sinα+sinβ=1+1=2,不满足sinα+sinβ<.所以“sinα+sinβ<”是“sin(α+β)<”的充分不必要条件.15.C[解析] 若公比q=1,则当a1>0时,S2017>0成立,反之也成立.若q≠1,则S2017=, ∵1-q与1-q2017符号相同,∴a1与S2017的符号相同.故“a1>0”是“S2017>0”的充要条件,故选C.16.[解析] 由a>0,m2-7am+12a2<0,得3a<m<4a,即p:3a<m<4a,a>0.由方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆,可得2-m>m-1>0,解得1<m<,即q:1<m<.因为p是q的充分不必要条件,所以或解得≤a≤,所以实数a的取值X围是.。