高二数学等比数列的前n项和1
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明目标、知重点 1.掌握等比数列的前n 项和公式及公式推导思路.2.会用等比数列的前n 项和公式解决有关等比数列的一些简单问题.1.等比数列前n 项和公式:(1)公式:S n =⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1-q n)1-q =a 1-a n q 1-q (q ≠1)na 1(q =1). (2)注意:应用该公式时,一定不要忽略q =1的情况. 2.等比数列前n 项和公式的变式若{a n }是等比数列,且公比q ≠1,则前n 项和S n =a 11-q (1-q n )=A (q n -1).其中A =a 1q -1.3.错位相减法推导等比数列前n 项和的方法叫错位相减法.一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n 项和.[情境导学]国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏象棋的发明者,问他想要什么.发明者说:“请在象棋的第一个格子里放1颗麦粒,第二个格子放2颗麦粒,第三个格子放4颗麦粒,以此类推,每个格子放的麦粒数都是前一个格子的两倍,直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求”.国王觉得这个要求不高,就欣然同意了.假定千粒麦子的质量为40 g ,据查目前世界年度小麦产量约6亿吨,根据以上数据,判断国王是否能实现他的诺言. 探究点一 等比数列前n 项和公式的推导思考1 在情境导学中,如果把各格所放的麦粒数看成是一个数列,那么这个数列是怎样的一个数列?通项公式是什么?答 所得数列为1,2,4,8,…,263.它首项为1,公比为2的等比数列,通项公式为a n =2n -1. 思考2 在情境导学中,国王能否满足发明者要求的问题,可转化为一个怎样的数列问题? 答 转化为求通项为a n =2n-1的等比数列前64项的和.思考3 类比求等差数列前n 项和的方法,能否用倒序相加法求数列1,2,4,8,…,263的和?为什么?答 不能用倒序相加法,因为对应各项相加后的和不相等. 思考4 如何求等比数列{a n }的前n 项和S n?答 设等比数列{a n }的首项是a 1,公比是q ,前n 项和为S n . S n 写成:S n =a 1+a 1q +a 1q 2+…+a 1q n -1.① 则qS n =a 1q +a 1q 2+…+a 1q n -1+a 1q n .② 由①-②得:(1-q )S n =a 1-a 1q n . 当q ≠1时,S n =a 1(1-q n )1-q;当q =1时,由于a 1=a 2=…=a n ,所以S n =na 1.小结 (1)千粒麦子的质量约为40 g,1.84×1019粒麦子相当于7 000多亿吨,而目前世界年度小麦产量约6亿吨,所以国王是无法满足发明者要求的. 0(2)等比数列{a n }的前n 项和S n 可以用a 1,q ,a n 表示为 S n=⎩⎪⎨⎪⎧na 1,q =1,a 1-a nq1-q ,q ≠1.例1 求下列等比数列前8项的和: (1)12,14,18,…; (2)a 1=27,a 9=1243,q <0.解 (1)因为a 1=12,q =12,所以S 8=12[1-(12)8]1-12=255256.(2)由a 1=27,a 9=1243,可得1243=27·q 8.又由q <0,可得q =-13.所以S 8=27[1-(-13)8]1-(-13)=1 64081.反思与感悟 涉及等比数列前n 项和时,要先判断q =1是否成立,防止因漏掉q =1而出错. 跟踪训练1 若等比数列{a n }满足a 2+a 4=20,a 3+a 5=40,则公比q =________;前n 项和S n =________. 答案 2 2n +1-2解析 设等比数列的公比为q ,由a 2+a 4=20,a 3+a 5=40.∴20q =40,且a 1q +a 1q 3=20,解之得q =2,且a 1=2. 因此S n =a 1(1-q n )1-q=2n +1-2.探究点二 等比数列前n 项和的实际应用例2 某商场今年销售计算机5 000台,如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%,那么从今起,大约几年可使总销售量达到30 000台(结果保留到个位)?解 根据题意,每年销售量比上一年增加的百分率相同.所以,从今年起,每年的销售量组成一个等比数列{a n },其中a 1=5 000,q =1+10%=1.1,S n =30 000. 于是得到5 000(1-1.1n )1-1.1=30 000.整理,得1.1n =1.6.两边取对数,得n lg 1.1=lg 1.6. 用计算器算得n =lg 1.6lg 1.1≈0.200.041≈5(年).答 大约5年可以使总销量达到30 000台.反思与感悟 解应用题先要认真阅读题目,尤其是一些关键词:“平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%”.理解题意后,将文字语言向数字语言转化,建立数学模型,再用数学知识解决问题.跟踪训练2 一个热气球在第一分钟上升了25 m 的高度,在以后的每一分钟里,它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125 m 吗? 解 用a n 表示热气球在第n 分钟上升的高度, 由题意,得a n +1=45a n ,因此,数列{a n }是首项a 1=25,公比q =45的等比数列.热气球在前n 分钟内上升的总高度为 S n =a 1+a 2+…+a n =a 1(1-q n )1-q=25×⎣⎡⎦⎤1-⎝⎛⎭⎫45n 1-45=125×⎣⎡⎦⎤1-⎝⎛⎭⎫45n <125. 故这个热气球上升的高度不可能超过125 m. 探究点三 错位相减法求和思考 教材中推导等比数列前n 项和的方法叫错位相减法.这种方法也适用于一个等差数列{a n }与一个等比数列{b n }对应项之积构成的新数列求和.如何用错位相减法求数列{n2n }前n项和?答 设S n =12+222+323+…+n2n ,则有12S n =122+223+…+n -12n +n2n +1,两式相减,得S n -12S n =12+122+123+…+12n -n 2n +1,即12S n =12(1-12n )1-12-n 2n +1=1-12n -n2n +1. ∴S n =2-12n -1-n2n =2-n +22n .例3 求和:S n =x +2x 2+3x 3+…+nx n (x ≠0). 解 分x =1和x ≠1两种情况.当x =1时,S n =1+2+3+…+n =n (n +1)2.当x ≠1时,S n =x +2x 2+3x 3+…+nx n , xS n =x 2+2x 3+3x 4+…+(n -1)x n +nx n +1, ∴(1-x )S n =x +x 2+x 3+…+x n -nx n +1 =x (1-x n )1-x -nx n +1.∴S n =x (1-x n )(1-x )2-nx n +11-x.综上可得S n=⎩⎪⎨⎪⎧n (n +1)2 (x =1),x (1-x n)(1-x )2-nxn +11-x (x ≠1且x ≠0).反思与感悟 一般地,如果数列{a n }是等差数列,{b n }是等比数列,求数列{a n b n }的前n 项和时,可采用错位相减法.跟踪训练3 求数列1,3a,5a 2,7a 3,…,(2n -1)·a n -1的前n 项和.解 (1)当a =0时,S n =1.(2)当a =1时,数列变为1,3,5,7,…,(2n -1), 则S n =n [1+(2n -1)]2=n 2.(3)当a ≠1且a ≠0时,有S n =1+3a +5a 2+7a 3+…+(2n -1)a n -1① aS n =a +3a 2+5a 3+7a 4+…+(2n -1)·a n ② ①-②得S n -aS n =1+2a +2a 2+2a 3+…+2a n -1-(2n -1)·a n , (1-a )S n =1-(2n -1)a n +2(a +a 2+a 3+a 4+…+a n -1) =1-(2n -1)a n +2·a (1-a n -1)1-a=1-(2n -1)a n+2(a -a n )1-a,又1-a ≠0,∴S n =1-(2n -1)a n 1-a +2(a -a n )(1-a )2.综上,S n=⎩⎪⎨⎪⎧1 (a =0),n 2(a =1),1-(2n -1)a n1-a +2(a -a n )(1-a )2(a ≠0且a ≠1).1.等比数列1,x ,x 2,x 3,…的前n 项和S n 为( ) A.1-x n 1-xB.1-x n -11-xC.⎩⎪⎨⎪⎧1-x n1-x ,x ≠1,n , x =1 D.⎩⎪⎨⎪⎧1-x n -11-x ,x ≠1,n , x =1答案 C解析 当x =1时,S n =n ; 当x ≠1时,S n =1-x n 1-x.2.设等比数列{a n }的公比q =2,前n 项和为S n ,则S 4a 2等于( )A .2B .4 C.152 D.172答案 C解析 方法一 由等比数列的定义,S 4=a 1+a 2+a 3+a 4=a 2q +a 2+a 2q +a 2q 2,得S 4a 2=1q +1+q +q 2=152. 方法二 S 4=a 1(1-q 4)1-q,a 2=a 1q ,∴S 4a 2=1-q 4(1-q )q =152. 3.等比数列{a n }的各项都是正数,若a 1=81,a 5=16,则它的前5项的和是( ) A .179 B .211 C .243 D .275 答案 B解析 ∵q 4=a 5a 1=1681=(23)4,且q >0,∴q =23,∴S 5=a 1-a 5q 1-q =81-16×231-23=211.4.某厂去年产值为a ,计划在5年内每年比上一年产值增长10%,从今年起5年内,该厂的总产值为________. 答案 11a (1.15-1)解析 注意去年产值为a ,今年起5年内各年的产值分别为1.1a,1.12a,1.13a,1.14a,1.15a . ∴1.1a +1.12a +1.13a +1.14a +1.15a =11a (1.15-1). [呈重点、现规律]1.在等比数列的通项公式和前n 项和公式中,共涉及五个量:a 1,a n ,n ,q ,S n ,其中首项a 1和公比q 为基本量,且“知三求二”.2.前n 项和公式的应用中,注意前n 项和公式要分类讨论,即q ≠1和q =1时是不同的公式形式,不可忽略q =1的情况.3.一般地,如果数列{a n }是等差数列,{b n }是等比数列且公比为q ,求数列{a n ·b n }的前n 项和时,可采用错位相减的方法求和.一、基础过关1.设数列{(-1)n }的前n 项和为S n ,则S n 等于( ) A.n [(-1)n -1]2B.(-1)n +1+12C.(-1)n +12D.(-1)n -12答案 D解析 S n =(-1)[1-(-1)n ]1-(-1)=(-1)n -12.2.在各项都为正数的等比数列{a n }中,首项a 1=3,前3项和为21,则a 3+a 4+a 5等于( ) A .33 B .72 C .84 D .189 答案 C解析 由S 3=a 1(1+q +q 2)=21且a 1=3,得q 2+q -6=0. ∵q >0,∴q =2.∴a 3+a 4+a 5=q 2(a 1+a 2+a 3)=22·S 3=84.3.设S n 为等比数列{a n }的前n 项和,8a 2+a 5=0,则S 5S 2等于( )A .11B .5C .-8D .-11答案 D解析 由8a 2+a 5=0得8a 1q +a 1q 4=0,∴q =-2,则S 5S 2=a 1(1+25)a 1(1-22)=-11.4.等比数列{a n }的前n 项和为S n ,已知S 3=a 2+10a 1,a 5=9,则a 1等于( ) A.13 B .-13C.19 D .-19答案 C解析 设等比数列{a n }的公比为q ,由S 3=a 2+10a 1得a 1+a 2+a 3=a 2+10a 1,即a 3=9a 1,q 2=9,又a 5=a 1q 4=9,所以a 1=19.5.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 1=1,S 6=4S 3,则a 4=________. 答案 3解析 S 6=4S 3⇒a 1(1-q 6)1-q =4·a 1(1-q 3)1-q ⇒q 3=3.∴a 4=a 1·q 3=1×3=3.6.如果数列{a n }满足a 1,a 2-a 1,a 3-a 2,…,a n -a n -1,…,是首项为1,公比为2的等比数列,那么a n =________. 答案 2n -1解析 a n -a n -1=a 1q n -1=2n -1,即⎩⎪⎨⎪⎧a 2-a 1=2,a 3-a 2=22,…a n-a n -1=2n -1.各式相加得a n -a 1=2+22+…+2n -1=2n -2, 故a n =a 1+2n -2=2n -1.7.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 3+S 6=2S 9,求数列的公比q . 解 当q =1时,S n =na 1,S 3+S 6=3a 1+6a 1=9a 1=S 9≠2S 9; 当q ≠1时,a 1(1-q 3)1-q +a 1(1-q 6)1-q =2×a 1(1-q 9)1-q ,得2-q 3-q 6=2-2q 9, ∴2q 9-q 6-q 3=0,解得q 3=-12或q 3=1(舍去),∴q =-342.8.求和:1×21+2×22+3×23+…+n ×2n . 解 设S n =1×21+2×22+3×23+…+n ×2n 则2S n =1×22+2×23+…+(n -1)×2n +n ×2n +1 ∴-S n =21+22+23+…+2n -n ×2n +1 =2(1-2n )1-2-n ×2n +1=2n +1-2-n ×2n +1=(1-n )×2n +1-2 ∴S n =(n -1)·2n +1+2. 二、能力提升9.一弹性球从100米高处自由落下,每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下,则第10次着地时所经过的路程和是(结果保留到个位)( ) A .300米 B .299米 C .199米 D .166米 答案 A解析 小球10次着地共经过的路程为100+100+50+…+100×⎝⎛⎭⎫128=2993964≈300(米). 10.已知数列{a n }满足3a n +1+a n =0,a 2=-43,则{a n }的前10项和等于 ( )A .-6(1-3-10)B.19(1-3-10) C .3(1-3-10) D .3(1+3-10)答案 C解析 先根据等比数列的定义判断数列{a n }是等比数列,得到首项与公比,再代入等比数列前n 项和公式计算.由3a n +1+a n =0,得a n +1a n =-13,故数列{a n }是公比q =-13的等比数列.又a 2=-43,可得a 1=4.所以S 10=4⎣⎡⎦⎤1-(-13)101-⎝⎛⎭⎫-13=3(1-3-10).11.等比数列{a n }的前n 项和为S n ,已知S 1,2S 2,3S 3成等差数列,则{a n }的公比为________. 答案 13解析 由已知4S 2=S 1+3S 3,即4(a 1+a 2)=a 1+3(a 1+a 2+a 3).∴a 2=3a 3, ∴{a n }的公比q =a 3a 2=13.12.为保护我国的稀土资源,国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨,该矿区计划从2013年开始出口,当年出口a 吨,以后每年出口量均比上一年减少10%. (1)以2013年为第一年,设第n 年出口量为a n 吨,试求a n 的表达式;(2)因稀土资源不能再生,国家计划10年后终止该矿区的出口,问2013年最多出口多少吨?(保留一位小数) 参考数据:0.910≈0.35.解 (1)由题意知每年的出口量构成等比数列,且首项a 1=a ,公比q =1-10%=0.9,∴a n =a ·0.9n -1 (n ≥1).(2)10年的出口总量S 10=a (1-0.910)1-0.9=10a (1-0.910).∵S 10≤80,∴10a (1-0.910)≤80,即a ≤81-0.910,∴a ≤12.3.故2013年最多出口12.3吨. 三、探究与拓展13.已知等差数列{a n }满足a 2=0,a 6+a 8=-10. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n -1的前n 项和.解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ,由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1+d =0,2a 1+12d =-10,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=1,d =-1.高中数学-打印版精心校对 故数列{a n }的通项公式为a n =2-n .(2)设数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n -1的前n 项和为S n , 即S n =a 1+a 22+…+a n2n -1,①S n 2=a 12+a 24+…+a n2n .②所以,当n >1时,①-②得 S n 2=a 1+a 2-a 12+…+a n -a n -12n -1-a n2n=1-(12+14+…+12n -1)-2-n2n=1-(1-12n -1)-2-n 2n =n2n .所以S n =n 2n -1.当n =1时也成立. 综上,数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n -1的前n 项和S n =n2n -1.。
等比公式前n项求和公式等比公式是数学中常见的一种公式,用于求解等比数列的前n项和。
在数学中,等比数列是指每一项与前一项的比值相等的数列。
等比数列的前n项和的公式可以用来计算任意等比数列的前n项之和。
设等比数列的首项为a,公比为r,第n项为an。
根据等比数列的定义,我们可以得到如下关系式:a2 = ar (第二项等于首项乘以公比)a3 = ar^2 (第三项等于首项乘以公比的平方)...an = ar^(n-1) (第n项等于首项乘以公比的n-1次方)为了求解等比数列的前n项和,我们可以利用以上关系式进行变形和求和。
具体步骤如下:Step 1: 将等比数列的前n项和表示为SnStep 2: 将Sn乘以公比rStep 3: Sn乘以公比r后,得到的结果仍然是一个等比数列,其首项为ar,公比为rStep 4: 用Sn乘以公比r后的等比数列减去原等比数列,即Sn - rSnStep 5: 将Sn - rSn进行因式分解,得到公式 Sn(1 - r) = a(1 - r^n)Step 6: 由于1 - r不等于0,所以可以将公式进一步变形为 Sn = a(1 - r^n) / (1 - r)通过以上步骤,我们得到了用于求解等比数列前n项和的公式 Sn = a(1 - r^n) / (1 - r)。
这个公式可以广泛应用于实际生活和工作中的问题。
例如,在金融领域,我们可以利用等比数列的前n项和公式来计算年金的现值和未来值。
在工程领域,我们可以利用等比数列的前n项和公式来计算复利的本利和。
在电子商务领域,我们可以利用等比数列的前n 项和公式来计算销售额的增长率。
需要注意的是,等比数列的前n项和公式只有在公比r的绝对值小于1时才成立。
当公比r的绝对值大于等于1时,等比数列的前n 项和将无穷大。
因此,在使用等比公式前n项求和公式时,需要确保公比r的绝对值小于1。
等比数列的前n项和公式也可以通过数学归纳法进行推导和证明。
课 题:3.5 等比数列的前n 项和(一)教学目的:1.掌握等比数列的前n 项和公式及公式证明思路.2.会用等比数列的前n 项和公式解决有关等比数列的一些简单问题教学重点:等比数列的前n 项和公式推导教学难点:灵活应用公式解决有关问题 授课类型:新授课 课时安排:1课时教 具:多媒体、实物投影仪教材分析:本节是对公式的教学,要充分揭示公式之间的内在联系,掌握与理解公式的来龙去脉,掌握公式的导出方法,理解公式的成立条件.也就是让学生对本课要学习的新知识有一个清晰的、完整的认识、忽视公式的推导和条件,直接记忆公式的结论是降低教学要求,违背教学规律的做法教学过程:一、复习引入:首先回忆一下前两节课所学主要内容:1.等比数列:如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比;公比通常用字母q 表示(q ≠0),即:1-n n a a =q (q ≠0)2.等比数列的通项公式:)0(111≠⋅⋅=-q a qa a n n , 1(0)n mn m a a qa q -=⋅⋅≠3.{n a }成等比数列⇔nn a a 1+=q (+∈N n ,q ≠0)“n a ≠0”是数列{n a }成等比数列的必要非充分条件4.既是等差又是等比数列的数列:非零常数列. 5.等比中项:G 为a 与b 的等比中项. 即G =±ab (a ,b 同号).6.性质:若m+n=p+q ,q p n m a a a a ⋅=⋅7.判断等比数列的方法:定义法,中项法,通项公式法8.等比数列的增减性:当q>1, 1a >0或0<q<1, 1a <0时, {n a }是递增数列;当q>1, 1a <0,或0<q<1, 1a >0时, {n a }是递减数列;当q=1时, {n a }是常数列;当q<0时, {n a }是摆动数列; 二、讲解新课:例如求数列1,2,4,…262,263的各项和即求以1为首项,2为公比的等比数列的前64项的和,可表示为:636264228421+++++= S ①26463642216842+++++= S ②由②—①可得:126464-=S这种求和方法称为“错位相减法” “错位相减法”,是研究数列求和的一个重要方法等比数列的前n 项和公式:∴当1≠q 时,qq a S nn --=1)1(1 ① 或qq a a S n n --=11 ②当q=1时,1na S n =当已知1a , q, n 时用公式①;当已知1a , q, n a 时,用公式②.公式的推导方法一:一般地,设等比数列 n a a a a ,,321+它的前n 项和是=n S n a a a a +++321由⎩⎨⎧=+++=-11321n nn n q a a a a a a S 得⎪⎩⎪⎨⎧++++=++++=---nn n n n n q a qa q a q a q a qS q a q a q a q a a S 1113121111212111nn q a a S q 11)1(-=-∴∴当1≠q 时,qq a S nn --=1)1(1 ① 或qq a a S n n --=11 ②当q=1时,1na S n =公式的推导方法二:有等比数列的定义,q a a a a a a n n ====-12312根据等比的性质,有q a S a S a a a a a a nn n n n =--=++++++-112132即q a S a S nn n =--1⇒q a a S q n n -=-1)1((结论同上)围绕基本概念,从等比数列的定义出发,运用等比定理,导出了公式. 公式的推导方法三:=n S n a a a a +++321=)(13211-++++n a a a a q a =11-+n qS a =)(1n n a S q a -+⇒q a a S q n n -=-1)1((结论同上)“方程”在代数课程里占有重要的地位,方程思想是应用十分广泛的一种数学思想,利用方程思想,在已知量和未知量之间搭起桥梁,使问题得到解决 三、例题讲解例1 求等比数列1,2,4,…从第5项到第10项的和. 解:由2 2,121===q a a 得1521)21(144=--⨯=∴S , 102321)21(11010=--⨯=S从第5项到第10项的和为10S -4S =1008例2一条信息,若一人得知后用一小时将信息传给两个人,这两个人又用一小时各传给未知此信息的另外两人,如此继续下去,一天时间可传遍多少人?解:根据题意可知,获知此信息的人数成首项2,11==q a 的等比数列则:一天内获知此信息的人数为:252525122112S -==--例3 已知{n a }为等比数列,且n S =a ,n S 2=b ,(ab ≠0),求n S 3.分析:要求n S 3,需知1a ,q ,而已知条件为n S 和n S 2.能否进一步挖掘题目的条件,使已知和未知沟通起来?当1≠q 时 q q a S nn --=1)1(1=a ①n S 2=qq a n--1)1(21=qq q a nn--+1)1)(1(1=b ②②/①得 ab q n =+1 ③将③代入①,得ba aqa -=-2121∴n S 3=qq a n--1)1(31=qa -11)1(3nq-=ba a-22])1(1[3--ab以下再化简即可.这样处理问题很巧妙.没有分别求得1a 与q 的值,而改为求nq 与qa -11的值,这样使问题变得简单但在分析的过程中是否完备?第①式就有问题,附加了条件q ≠1.而对q=1情况没有考虑. 使用等比数列前n 项和公式时,要特别注意适用条件,即 q=1时,n S =n 1a ;当1≠q 时,qq a a S n n --=11 或qq a S nn --=1)1(1(含字母已知数的等比数列求和题目,学生常忽略q=1情况,要引起足够重视,以培养学生思维的严密性)解法1:设等比数列{n a }的公比为q .若q=1(此时数列为常数列),则n S =n 1a =a ,122na S n ==b ,从而有2a=b ∴a na S n 3313==(或233313b a na S n ===)若q ≠1(即2a ≠b ),由已知 qq a S nn --=1)1(1=a ① qq a S nn --=1)1(212=b ②又ab ≠0, ②/①得 ab qn=+1 , 1-=ab q n ③将③代入①,得ba aqa -=-2121∴n S 3=qq a n--1)1(31=qa -11)1(3nq-=ba a-22])1(1[3--ab=abab a 22+-解法2:由n S ,n S 2-n S ,n S 3-n S 2成等比数列(练习中证此结论),即a,b-a, n S 3-b 成等比,所以a(n S 3-b)=( b-a)2从而有 n S 3=abab a 22+- (包含了q=1的情况)四、练习:{}n a 是等比数列,n S 是其前n 项和,数列k k k k k S S S S S 232,,--(+∈N k )是否仍成等比数列? 解:设{},n a 首项是1a ,公比为q,①当q =-1且k 为偶数时,k k k k k S S S S S 232,,--不是等比数列. ∵此时,k k k k k S S S S S 232-=-= =0.例如:数列1,-1,1,-1,…是公比为-1的等比数列,46242S S S S S -=-=S 2=0, ②当q ≠-1或k 为奇数时,k S =k a a a a +++3210≠k k S S -2=)(321k ka a a a q +++0≠ k k S S 23-=)(3212k ka a a a q+++0≠⇒k k k k k S S S S S 232,,--(+∈N k )成等比数列评述:应注意等比数列中的公比q 的各种取值情况的讨论,还易忽视等比数列的各项应全不为0的前提条件.五、小结 1. 等比数列求和公式:当q=1时,1na S n =当1≠q 时,qq a a S n n --=11 或qq a S nn --=1)1(1 ;2.n S 是等比数列{}n a 的前n 项和,①当q =-1且k 为偶数时,k k k k k S S S S S 232,,--不是等比数列. ②当q ≠-1或k 为奇数时,k k k k k S S S S S 232,,-- 仍成等比数列3.这节课我们从已有的知识出发,用多种方法(迭加法、运用等比性质、错位相减法、方程法)推导出了等比数列的前n 项和公式,并在应用中加深了对公式的认识. 六、课后作业:已知数列{}n a 是等比数列,n S 是其前n 项的和,求证7S ,14S -7S ,21S -14S 成等比数列.解:(1)①当q =1时,7S =71a ,14S =141a ,14S -7S =141a -71a =71a ,21S -14S =211a -14a 1=71a∴7S ,14S -7S ,21S -14S 为以71a 为首项,1为公比的等比数列.②当q ≠1时,7S =()()()qq a S qq a S qq a --=--=--11,11,11211211411471()()qq a qq a S S -----=-111171141714()qqq a --=11771()()qq a qq a S S -----=-11111412111421()qqq a --=11771()()22714212714)1(1q q qa S S --=-∴()()q q q a qq a S S S --⋅--=-⋅1111)(71417114217()2271421)1(1q q qa --=∴()2714S S -=)(14217S S S -⋅ ∴7S ,14S -7S ,21S -14S 成等比数列. [这一过程也可如下证明:14S -7S =)(14321a a a a +++-)(7321a a a a +++=141098a a a a +++=)(73217a a a a q +++=77S q 0≠同理,21S -14S =21171615a a a a +++= 714S q 0≠∴7S ,14S -7S ,21S -14S 为等比数列. 七、板书设计(略) 八、课后记:。