11-2九年级数学24.1.2垂径定理

24.1 圆的有关性质24.1.2 垂直于弦的直径一、教学目标【知识与技能】1.通过观察实验，使学生理解圆的轴对称性.2.掌握垂径定理及其推论.理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题.【过程与方法】通过探索垂径定理及其推论的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法.【情感态度与价值观】1.结合本课特点，向学生进行爱国主义教育和美育渗透.2.激发学生探究、发现数学问题的兴趣和欲望.二、课型新授课三、课时1课时。

四、教学重难点【教学重点】垂径定理及其推论，会运用垂径定理等结论解决一些有关证明，计算和作图问题.【教学难点】垂径定理及其推论.五、课前准备课件、图片、直尺等.六、教学过程（一）导入新课你知道赵州桥吗?它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？（出示课件2）（二）探索新知探究一圆的轴对称性教师问：把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？（出示课件4）学生通过自己动手操作，归纳出结论：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．出示课件5：教师问：圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？学生答：圆是轴对称图形，任意一条直径所在直线都是圆的对称轴.思考：如何来证明圆是轴对称图形呢？出示课件6:已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E．教师问：此图是轴对称图形吗？学生答：是轴对称图形．教师问：满足什么条件才能证明圆是轴对称图形呢？师生共同解答如下：（出示课件7）证明：连结OA、OB.则OA＝OB．又∵CD⊥AB，∴直径CD所在的直线是AB的垂直平分线.∴对于圆上任意一点，在圆上都有关于直线CD的对称点，即⊙O关于直线CD对称.师生进一步认知：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.探究二垂径定理及其推论出示课件8：如图，AB是⊙O的一条弦, 直径CD⊥AB, 垂足为E.你能发现图中有哪些相等的线段和劣弧?为什么?学生独立思考后口答：线段:AE=BE弧:AC⌒=BC⌒,AD⌒=BD⌒学生简述理由：把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A 与点B重合，AE与BE重合，重合．教师总结归纳：（出示课件9）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.推导格式：∵CD是直径，CD⊥AB，∴AE=BE, AC⌒=BC⌒,AD⌒=BD⌒教师强调：垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？（出示课件10）学生独立思考后口答：1图是；2图不是，因为没有垂直；3图是；4图不是，因为CD没有过圆心.教师强调：垂径定理的几个基本图形：（出示课件11）出示课件12：如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真命题吗？①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？学生思考后教师总结：深化认知：（出示课件13）如图，①CD是直径；②CD⊥AB，垂足为E；③AE=BE；④AC⌒=BC⌒;⑤AD⌒=BD⌒.举例证明其中一种组合方法.学生思考后独立解决，并加以交流，教师加以指导，并举例.（出示课件14）如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE.（1）CD⊥AB吗？为什么？⑵AC⌒与BC⌒相等吗？AD⌒与BD⌒相等吗？为什么？证明：⑴连接AO,BO,则AO=BO,又AE=BE，OE=OE∴△AOE≌△BOE（SSS），∴∠AEO=∠BEO=90°，∴CD⊥AB.（2）由垂径定理可得AC⌒=BC⌒,AD⌒=BD⌒教师归纳总结：（出示课件15）垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如不能，请举出反例.教师强调：圆的两条直径是互相平分的.出示课件16：例1 如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm,OE=6cm,则AB=cm.学生思考后师生共同解答：连接OA，∵OE⊥AB，巩固练习：（出示课件17）如图，⊙O的弦AB＝8cm，直径CE⊥AB于D，DC＝2cm，求半径OC的长.学生自主思考后，独立解答如下：解：连接OA，∵CE⊥AB于D，，∴设OC=xcm，则OD=x-2,根据勾股定理，得x2=42+(x-2)2，∴22221068AE OA OE=-=-=cm.1184(cm)22AD AB==⨯=解得x=5，即半径OC的长为5cm.出示课件18：例2 已知：⊙O中弦AB∥CD,求证：学生思考后师生共同解答.证明：作直径MN⊥AB.∵AB∥CD，∴MN⊥CD.则（垂直于弦的直径平分弦所对的弧）教师强调：平行弦夹的弧相等.师生共同归纳总结：（出示课件19）解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心距（垂线段），或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.巩固练习：（出示课件20）如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证: 四边形ADOE是正方形．学生独立解答，一生板演.证明：∵OE⊥AC，OD⊥AB，AB⊥AC，∴∠OEA=∠EAD=∠ODA=90°.∴四边形ADOE为矩形，AE=12AC,AD=12AB.又∵AC=AB,∴AE=AD.∴四边形ADOE为正方形.出示课件21：例3 根据刚刚所学，你能利用垂径定理求出导入中赵州桥主桥拱半径的问题吗?教师引导学生分析题意，先把实际问题转化为数学问题，然后画出图形进行解答.解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R.经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D，与弧AB交于点C，则D是AB的中点，C 是弧AB的中点，CD就是拱高.∴AB=37m，CD=7.23m.AB=18.5m，OD=OC-CD=R-7.23.∴AD=12OA2=AD2+OD2，R2=18.52+(R-7.23)2，解得R≈27.3.即主桥拱半径约为27.3m.巩固练习:（出示课件23）如图a、b,一弓形弦长为，弓形所在的圆的半径为7cm，则弓形的高为_______.学生独立思考后解答：如图，分两种情况，弓形的高为5cm或12cm.教师归纳：1.涉及垂径定理时辅助线的添加方法（出示课件24）在圆中有关弦长a,半径r, 弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.2.弓形中重要数量关系弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：⑴d+h=r；⑵2 222ar d⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（三）课堂练习（出示课件25-29）1.2.已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径为.3.⊙O的直径AB=20cm, ∠BAC=30°则弦AC= .4.（分类讨论题）已知⊙O的半径为10cm，弦MN∥EF,且MN=12cm,EF=16cm,则弦MN和EF之间的距离为.5.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点.你认为AC和BD有什么关系？为什么？6.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD，垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.参考答案：1.C2.5cm3.4.14cm或2cm5.证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，则AE＝BE，CE＝DE.∴AE－CE＝BE－DE.即AC＝BD.6.解:连接OC.设这段弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m.,OE CD ⊥11600300(m)22CF CD ∴==⨯=，根据勾股定理，得222,OC CF OF =+ ()22230090.R R =+- 解得R=545.∴这段弯路的半径约为545m.（四）课堂小结通过这节课的学习，你有哪些收获和体会？（五）课前预习预习下节课（24.1.3）的相关内容.七、课后作业配套练习册内容八、板书设计：九、教学反思：1.这节课的教学从利用垂径定理来解决赵州桥桥拱半径问题开始，引入课题从实验入手，得到圆的轴对称性，进而推出垂径定理及推论.教学设计中，从具体、简单、特殊到抽象、复杂、一般，层层递进，以利于提高学生的数学思维能力，同时，注意加强对学生的启发和引导，培养学生们大胆猜想，小心求证的科学研究素质.2.本课的教学方法是将垂径定理和勾股定理有机结合，将圆的问题转化为直角三角形，常作的辅助线是半径或垂直于弦的直径.。

人教版数学九年级上册24.1.2《垂径定理》教学设计2一. 教材分析《垂径定理》是人教版数学九年级上册第24章第1节的内容，本节课主要介绍圆中的垂径定理。

垂径定理是指：圆中，如果一条直线垂直于直径，那么这条直线平分这条直径，并且平分直径所对的圆周角。

教材通过生活中的实例引入垂径定理的概念，然后通过证明和应用来巩固这个定理。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了圆的基本概念和性质，如圆的周长、直径、半径等。

同时，学生也掌握了平行线和相交线的性质。

但是，学生对于圆中的垂径定理可能比较难以理解和证明，因此需要通过生活中的实例和图形的直观展示，帮助学生理解和掌握这个定理。

三. 教学目标1.知识与技能：让学生理解和掌握圆中的垂径定理，能够运用垂径定理解决相关问题。

2.过程与方法：通过观察、操作、证明等过程，培养学生的几何思维和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识。

四. 教学重难点1.教学重点：理解和掌握垂径定理，能够运用垂径定理解决相关问题。

2.教学难点：垂径定理的证明和运用。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活中的实例引入垂径定理，激发学生的学习兴趣。

2.演示法：通过图形的直观展示，帮助学生理解和证明垂径定理。

3.问题驱动法：通过提出问题和解决问题，引导学生主动探索和学习。

4.小组合作学习：鼓励学生分组讨论和合作，培养学生的团队合作意识。

六. 教学准备1.教具准备：多媒体教学设备、圆规、直尺、黑板等。

2.教学素材：教材、课件、练习题等。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示生活中的实例，如自行车轮子、时钟等，引导学生观察和思考圆中的垂径定理。

让学生感受到数学与生活的紧密联系，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）展示垂径定理的定义和性质，通过图形的直观展示，让学生理解和掌握垂径定理。

同时，引导学生思考如何证明这个定理。

3.操练（10分钟）让学生分组讨论和合作，尝试证明垂径定理。

24．1.2 垂直于弦的直径教学目标1．理解圆的对称性．2．通过圆的轴对称性质的学习，理解垂直于弦的直径的性质．3．能运用垂径定理计算和证明实际问题．预习反馈阅读教材P81～83内容，并完成下列问题．1．圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴，圆也是中心对称图形，对称中心为圆心．2．垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，即如图，∵CD 是⊙O 的直径，且AB ⊥CD ，∴AE ＝BE ；AC ︵＝BC ︵；AD ︵＝BD ︵．3．推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，即如图，∵CD 是⊙O 的直径，且AE ＝BE(AB 不是直径)，∴CD ⊥AB ；AC ︵＝BC ︵；AD ︵＝BD ︵．例题讲解例1 (教材补充例题)已知⊙O 的半径为5 cm.(1)若圆心O 到弦AB 的距离为3 cm ，则弦AB 的长为8__cm ；(2)若弦AB 的长为8 cm ，则圆心O 到AB 的距离为3__cm ．【点拨】 (1)圆中已知半径、弦长、弦心距三者中的任何两个，即可求出另一个．(2)“已知弦的中点，连接圆心和中点构造垂直”或“连接半径，由半径、半弦、弦心距构造直角三角形”是常用的辅助线．【跟踪训练1】 若⊙O 的半径OA ＝5 cm ，弦AB ＝8 cm ，点C 是AB 的中点，则OC 的长为3__cm ．【跟踪训练2】 已知AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，E 为垂足．若AE ＝9，BE ＝1，求CD 的长．解：连接OC.∵AE ＝9，BE ＝1，∴半径OC ＝5，OE ＝4.∵弦CD ⊥AB ，∴在Rt △OCE 中，CE ＝OC 2－OE 2＝3.又∵AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，∴CD ＝2CE ＝6.【跟踪训练3】 ⊙O 的半径为5，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的动点，则线段OM 的长的最小值为3，最大值为5．【点拨】 当OM 与AB 垂直时，OM 最小(为什么)；当M 在A(或B)处时，OM 最大．例2 (教材P82例2)赵州桥(如图)是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1 400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37 m ，拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23 m ，求赵州桥主桥拱的半径(结果保留小数点后一位)．【解答】 如图，用AB ︵表示主桥拱，设AB ︵所在圆的圆心为O ，半径为R.经过圆心O 作弦AB 的垂线OC ，D 为垂足，OC 与AB ︵相交于点C ，连接OA.根据垂径定理，D 是AB 的中点，C 是AB ︵的中点，CD 就是拱高．由题设可知AB ＝37 cm ，CD ＝7.23 cm ，所以AD ＝12AB ＝12×37＝18.5(cm)， OD ＝OC －CD ＝R －7.23.在Rt △OAD 中，由勾股定理，得OA 2＝AD 2＋OD 2，即R 2＝18.52＋(R －7.23)2.解得R ≈27.3.因此，赵州桥的主桥拱直径约为27.3 m.【点拨】 圆中已知半径、弦长、弦心距或弓形高四者中的任何两个，即可求出另一个．【跟踪训练4】 (教材P82例2的变式题)某公园的一石拱桥是圆弧形(劣弧)，其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为8米．巩固训练1．在直径是20 cm 的⊙O 中，∠AOB 的度数是60°，那么弦AB 的弦心距是3__cm ．【点拨】 这里利用60°角构造等边三角形，从而得出弦长．2．弓形的弦长为6 cm ，弓形的高为2 cm ，则这个弓形所在的圆的半径为134__cm ．3．如图，AB 为⊙O 的直径，E 是BC ︵中点，OE 交BC 于点D ，BD ＝3，AB ＝10，则AC ＝8．4．⊙O 的半径是5，P 是圆内一点，且OP ＝3，过点P 最短弦的长为8，最长弦的长为10．【点拨】过点P最短弦即为与OP垂直的弦，最长弦即为直径．5．已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点．求证：AC＝BD.【点拨】过圆心作垂径．证明：过点O作OE⊥AB于点E.则AE＝BE，CE＝DE.∴AE－CE＝BE－DE，即AC＝BD.6．已知⊙O的直径是50 cm，⊙O的两条平行弦AB＝40 cm，CD＝48 cm，则弦AB与CD 之间的距离为22__cm或8__cm．【点拨】分情况讨论：①AB，CD在点O两侧；②AB，CD在点O同侧．课堂小结1．垂径定理及其推论．2．常用的辅助线(作垂径)和解题思路(构造由半径、半弦、弦心距组成的直角三角形)．。

人教版数学九年级上册24.1.2《垂径定理》说课稿1一. 教材分析《垂径定理》是人教版数学九年级上册第24章圆的一部分，它是圆的性质中的重要定理之一。

本节课的主要内容是引导学生探究并证明圆中垂径定理，即圆中垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧。

这个定理在解决圆的相关问题时具有重要作用，为学生进一步学习圆的性质和圆的方程打下基础。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了平面几何的基本知识，对图形的性质和证明有一定的理解。

他们对圆的概念和性质有一定的了解，但可能对垂径定理的理解还不够深入。

在学习本节课时，学生需要通过观察、思考、探究、证明等过程，理解和掌握垂径定理。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解垂径定理的内容，并能够运用垂径定理解决相关问题。

2.过程与方法目标：学生通过观察、思考、探究、证明等过程，培养逻辑思维能力和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：学生通过对垂径定理的学习，增强对数学的兴趣和自信心，培养坚持不懈、严谨治学的态度。

四. 说教学重难点1.教学重点：学生能够理解并掌握垂径定理的内容。

2.教学难点：学生能够通过证明过程，理解并掌握垂径定理的证明方法。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动的教学方法，引导学生观察、思考、探究、证明。

2.教学手段：利用多媒体演示和实物模型，帮助学生直观地理解垂径定理。

六. 说教学过程1.导入：通过展示一些与圆相关的实际问题，引发学生对圆的性质的思考，激发学生的学习兴趣。

2.新课引入：介绍垂径定理的概念，引导学生观察和思考垂径定理的性质。

3.探究与证明：学生分组进行探究，通过观察、实验、推理等方法，引导学生自己发现并证明垂径定理。

4.讲解与解释：教师对学生的探究结果进行讲解和解释，帮助学生理解和掌握垂径定理。

5.练习与巩固：学生进行一些相关的练习题，巩固对垂径定理的理解和运用。

6.总结与拓展：学生总结垂径定理的内容和证明方法，并进行一些拓展问题的讨论。

人教版数学九年级上册24.1.2《垂径定理》教案2一. 教材分析《垂径定理》是人教版数学九年级上册第24章第一节的一部分，主要介绍了圆中垂径定理的内容。

垂径定理是指：圆中，如果一条直径的两端点分别连接圆上两点，那么这条直径垂直于连接这两点的弦。

这一定理是九年级学生学习圆的基础知识，对于培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力具有重要意义。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了圆的基本概念和性质，如圆的周长、直径等。

但是，对于垂径定理的理解和运用还需要进一步引导。

此外，学生对于几何图形的观察和分析能力有待提高，因此需要通过实例讲解和动手操作来帮助学生理解和掌握垂径定理。

三. 教学目标1.让学生理解垂径定理的内容，并能够运用垂径定理解决实际问题。

2.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

3.提高学生的观察和分析能力，培养学生的合作意识和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.重点：理解并掌握垂径定理的内容。

2.难点：如何运用垂径定理解决实际问题。

五. 教学方法1.实例讲解：通过具体的图形和实例，讲解垂径定理的内容和运用。

2.动手操作：让学生亲自动手画图和验证垂径定理，提高学生的实践能力。

3.小组讨论：学生进行小组讨论，分享学习心得和解决问题的方法。

4.问题解决：引导学生运用垂径定理解决实际问题，培养学生的解决问题的能力。

六. 教学准备1.教学PPT：制作相关的教学PPT，展示垂径定理的图形和实例。

2.教学素材：准备一些相关的几何图形和题目，用于讲解和练习。

3.教学工具：准备黑板、粉笔等教学工具。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾圆的基本概念和性质，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（10分钟）教师通过PPT展示垂径定理的图形和实例，引导学生观察和分析，然后讲解垂径定理的内容和证明过程。

3.操练（10分钟）教师给出一些相关的题目，让学生亲自动手画图和验证垂径定理，提高学生的实践能力。

人教版九年级数学上册24.1.2《垂直于弦的直径》说课稿一. 教材分析人教版九年级数学上册第24章《圆》的1.2节《垂直于弦的直径》是本章的重要内容。

这部分主要介绍了垂径定理及其推论，为后续学习圆的性质和圆的方程打下基础。

本节内容通过探究垂直于弦的直径的性质，引导学生利用几何推理证明结论，培养学生的逻辑思维能力。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了初中阶段的基本几何知识，对圆的基本概念和性质有所了解。

但学生在解决几何问题时，往往缺乏推理证明的能力。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的思维过程，引导学生掌握几何推理的方法。

三. 说教学目标1.知识与技能：掌握垂径定理及其推论，能运用垂径定理解决简单几何问题。

2.过程与方法：通过观察、探究、推理，培养学生的逻辑思维能力和几何直观能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养合作探究的精神。

四. 说教学重难点1.教学重点：垂径定理及其推论的证明和应用。

2.教学难点：垂径定理的证明，以及如何引导学生运用几何推理方法。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动、合作探究的教学方法，引导学生主动参与课堂讨论。

2.教学手段：利用多媒体课件辅助教学，直观展示几何图形的性质和推理过程。

六. 说教学过程1.导入新课：通过回顾圆的基本性质，引出垂直于弦的直径的性质。

2.探究垂直于弦的直径的性质：让学生分组讨论，观察几何图形，引导学生发现垂直于弦的直径的性质。

3.推理证明：引导学生运用几何推理方法，证明垂径定理及其推论。

4.应用拓展：举例说明垂径定理在解决实际问题中的应用。

5.总结归纳：对本节课的主要内容进行总结，强调垂径定理及其推论的重要性。

七. 说板书设计板书设计如下：垂直于弦的直径性质：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的弧。

八. 说教学评价本节课通过课堂提问、学生作业、小组讨论等方式进行教学评价。

主要评价学生在掌握垂径定理、运用几何推理方法以及解决实际问题方面的表现。